[r]
(1)Phòng GD&ĐT huyện Yên Thành
Đề thi chọn học sinh giỏi huyện năm học 2009 - 2010 Môn: Toán - Lớp 9
Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1 (2điểm)
Cho biểu thức
P =
2
2
1 2
x x x
x x x
a, Rót gän P
b, Chøng minh r»ng, nÕu < x < th× P > c, Tìm giá trị lớn P
Bài 2. (2điểm)
Cho phơng trình
3
4
x x x a
(a tham số) a, Tìm điều kiện x phng trỡnh cú ngha
b, Với giá trị a phơng trình có nghiệm? Tính x theo a
Bài 3 (2điểm)
a, Với hai bé sè (a1, a2) vµ (b1, b2) bÊt kú
Chøng minh r»ng (a1b1+ a2b2)2 (a12 + a22)(b12 + b22)
b, Cho x, y vµ x2 + y2 = Chøng minh r»ng
2 x3 + y3 1 Bµi 4 (2,5®iĨm)
Cho đờng trịn (O) đờng kính AB Từ A B ta vẽ hai dây AC BD cắt N Hai tiếp tuyến Cx, Dy đờng tròn cắt M (C, D tiếp điểm) Gọi P giao điểm hai đờng thẳng AD BC
a, Chøng minh PN vu«ng gãc víi AB b, Chøng minh P, M, N th¼ng hàng
Câu 5. (1,5 điểm)
Tìm tất hàm số bậc f(x) hàm số g(x) thoả mÃn điều kiện:
f [g(x)]=x f(x)+g(x)=2x
-Hết -Cán coi thi không giải thích thêm
Kỳ thi chọn học sinh giỏi huyện năm học 2009 - 2010 Hớng dẫn chấm toán 9-
Câu Nội dung Điểm
1
(2đ) a, Rút gọn P P =
2
2
1 2
x x x
x x x
Không có ĐK 0.25
(2)=
2
2
2
1 1
x
x x
x x x
=
2
2
1
x x x x
x x
= x1 x
b, Với < x < x 0 x 1 => 1 x0 Do P = x1 x >
c, Ta cã P =
2
1 1
2 4
x x x
Nªn Pmax =
1
4 x 2 hay
x
0.25 0.25 0.25 0.25
2
(2đ) a, Phơng trình có nghĩa vµ chØ
2
3
0 4
4
4
3
0
1
4
x x
x x
x x
b,
3
4
x x x a
2
2 4
3 1
4 2
x x a
x x a
x a
Do
3 1 1
;
4 2 4
x x a a Khi đó:
2
2
3 1
4 2
3 1
4 2
3 1
4 2
1
2
2 2(2 1)
x a
x a
x a
x a
a a
x
0.5
0.25
0.25 0.25
0.25
(3)3
(2đ) a, Chứng minh bất đẳng thức Bunhiacơpxkib, Vì hai số x, y khơng âm thoả mãn x2 + y2 = 1 nên x1 v y1
Vì x3 x2 y3 y2
Suy x3 + y3 x2 + y2 = 1
áp dung BĐT Bunhiacôpxki, ta đợc
x + y = 1.x + 1.y
2 2 (1 )(x y )
(x + y)(x3 + y3) =
2
2 3 3 2 2
1
x y x y x y
Suy x3 + y3
1
2
x y
1.0 0.25 0.25 0.25 0.25
3 (2,5®)
a, Trong tam gi¸c APB cã: AC BP; BD AP N trực tâm tam giác APB
PN AB (ĐPCM) b, Gọi I trung điểm PN
Trong tam giác vuông PCN CI trung tuyến CI = IP = IN IPC c©n IPC = ICP Mặt khác ACO cân CAO = ACO
Hơn CAB = HBP (cùng phụ với APB) PCI = ACO.
Nhng MCP = ACO (cïng phơ víi MCN) I MC
Chøng minh t¬ng tù I MP
VËy I MC MP MI hay P, M, N thẳng hàng.
1.0 0.25 0.25 0.25
0.25 0.25 0.25
4
(1.5đ) Giả sử f(x) = ax +b (aVì f[g(x)]=x nªn a.g(x) + b = x.0 ) Suy g(x) =
ax − b a
Tõ gi¶ thiÕt suy
2x=f(x)+g(x)=ax+b+1
ax − b a=(a+
1
a)x+(b− b a)
Do a+1
a=2;b − b a=0
Suy a2−2a
+1=0, b(a −1)=0 VËy a = 1, b tuú ý
Hai hµm sè cần tìm f(x) = x + b ; g(x) = x- b, b R
0.25 0.25
0.25 0.25 0.25 0.25
Mọi cách giải cho điểm tối đa
N O P
M
y
x
A B
C D
H