Bài viết này của chúng tôi hi vọng phần nào giúp các em học sinh giải quyết được những khó khăn trong việc các bài toán dạng này.. Có thể chia bài toán thể tích thành các loại toán như s[r]
(1)PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TỐN THỂ TÍCH TRONG ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐH-CĐ Ths Nguyễn Bá Thuỷ
Trường THPT Bắc Yên Thành
Theo cấu trúc đề thi Tuyển sinh ĐH-CĐ Bộ GD-ĐT ban hành đề thi Tuyển sinh ĐH-CĐ năm gần đây, phần HHKG chủ đề bắt buộc (chiếm khoảng 1,0điểm) Đây tốn gây nhiều khó khăn cho thí sinh Nguyên nhân học sinh khơng biết lựa chọn cơng cụ giải tốn phù hợp, hay nói cách khác em chưa nắm “yếu quyết” để giải qiuyết loại toán Một loại tốn thường gặp hình học không gian tổng hợp đề thi tuyển sinh tốn thể tích Bài viết chúng tơi hi vọng phần giúp em học sinh giải khó khăn việc tốn dạng
Có thể chia tốn thể tích thành loại toán sau: Loại 1: Các tốn tính thể tích trực tiếp.
Đề giải toán thuộc dạng này, vấn đề quan trọng xác định đường cao đa diện.
Ví dụ (TSĐH 2009A) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D, có AB+AD=2a, CD=a Góc mặt phẳng (SCB) (ABCD) 600 Gọi I trung điểm AD, biết mặt phẳng (SBI) SCI) vng góc với (ABCD) Tính thể tích khối chóp S.ABCD? Giải:
(SIB)(ABCD) (SIC)(ABCD) nên ta có SI(ABCD)
Vậy SI đường cao hình chóp S.ABCD Ta tính SI:
Có diện tích hình thang ABCD là: dt(ABCD)= 3a2.
1
dt( ABI) AB.IA a
,
2
1
dt( CDI) CD.ID a
2
2 3a dt( ICB) dt(ABCD) dt(IAB) dt(ICD)
2
2
BC (AB CD) AD a
Kẻ IKBC (KBC) ta có BC(SIK) SKI 60 0
2dt( IBC) 5a IK
CB
15a
SI IK.tan SKI
Suy thể tích khối chóp S.ABCD :
3
1 15a
V SI.dt(ABCD)
3
(đvtt) Chú ý 1.
Khối chóp có cạnh vng góc với đáy cạnh đường cao
Khối chóp có mặt bên vng góc với đáy đường cao đường kẻ từ đỉnh vng góc
với giao tuyến đáy với mặt bên (Nói đơn giản đường cao mặt bên)
Khối chóp có mặt bên kề vng góc với đáy đường cao cạnh bên chung
của mặt
Khối chóp có cạnh bên cạnh bên tạo với đáy góc
nhau chân đường cao tâm đường trịn ngoại tiếp đáy
Khối chóp có mặt bên tạo với đáy góc chân đường cao tâm
đường tròn nội tiếp đáy
Ngoài số trường hợp khác khai thác tính chất khác đa diện để xác định đường cao
Ví dụ (TSĐH 2010B) Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có Ab=a, góc hai mặt phẳng (A’BC) (ABC) 600 Gọi G trọng tâm A 'BC Tính thể tích khối lăng trụ cho tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a
S
A
D
B
C I
(2)Giải: (Ở chúng tối giải phần tính thể tích nhằm minh họa cho viết mình)
Gọi D trung điểm BC, ta có :
BC AD BCA 'D, suy : ADA ' 60
Ta có :
3a
AA ' AD.tan ADA'
a dt( ABC)
4
Do thể tích khối lăng trụ cho :
ABC.A 'B'C'
3a V AA '.dt( ABC)
8
(đvtt)
Chú ý 2.
Với lăng trụ đứng ta thường gặp loại:
- Biết chiều cao cạnh đáy
- Biết góc đường thẳng mặt phẳng - Biết góc giưa mặt phẳng
Với khối lăng trụ xiên: Vấn đề quan trọng xác định chiều cao lăng trụ
Loại 2: Các toán sử dụng cơng thức tỉ số thể tích.
Lưu ý: Đối với khối chóp tam giác S.ABC A’, B’, C’ điểm tương ứng thuộc các cạnh SA, SB, SC ta có:
S.A 'B'C' S.ABC
V SA ' SB' SC ' V SA SB SC .
Ví dụ (Đề dự bị 2007A) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB=a, AD=2a, cạnh SA vng góc với đáy, cạnh SB tạo với đáy góc 600 Trên cạnh SA lấy điểm M cho
a AM
3
Mặt phẳng (BCM) cắt SD N Tính thể tích khối chóp SBCMN?
Từ M kẻ đường thẳng song song với AD, cắt SD N N giao điểm (BCM) SD, SA (ABCD) nên góc giữa
SB (ABCD) SBA 60 0 Ta có SA SB.tan SBA a 3 .
Từ ta có:
a 31 SM SA AM a
3
SM SN SA SA
Dễ thấy: VS.ABCD VS.ABCVS.ADC 2VS.ABC 2VS.ADC Và VS.BCNM VS.BCMVS.CNM
Do đó:
S.BCNM S.BCM S.CNM S.BCM S.CNM S.ABCD S.ABCD S.ABC S.ADC
V V V V V
V V 2V 2V
1 SM SB SC SM SN SC
2 SA SB SC SA SD SC 9
j
A' C'
B'
A
B
C D
G
H
S
A
B C
D
(3)Mà
3 S.ABCD
1 3a
V SA.dt(ABCD)
3
3 S.BCNM
10 3a V
27
(đvtt)
Chú ý công thức áp dụng cho khối chóp tam giác, nhiều hs nhầm lẫn đã áp dụng cho khối chóp khơng phải chóp tam giác dẫn đến kết sai!!!
Loại 3: Các toán sử dụng phép phân chia khối đa diện.
Ta biết rằng: Nếu khối đa diện (H) phân chia thành khối đa diện (H1) (H2) thể tich (H) tổng thể tích (H1) (H2) Và nhiều trường hợp việc sử dụng phép phân chia khối đa diện giúp cho phương pháp tính thể tích khối đa diện, đặc biệt khối đa diện khối
Ví dụ (TSĐH 2003A) Cho hình hộp chữ nhật ABCD A’B’C’D’ có đáy hình vng cạnh a, chiều cao AA’=b Gọi M trung điểm cạnh CC’ Tính thể tích tứ diện BDA’M
Giải:
Trong mặt phẳng (AA’C’C) gọi E giao điểm AC A’M Gọi O tâm đáy ABCD Ta có: Vì M trung điểm CC’ nên ta có: CE AC a 2
3a OE
2
Do ABCD hình vng nên OEBD Do đó:
2
1 3a 3a
dt( BDE) BD.OE a
2 2
Ta có: A '.BMD A '.BED M.BED
1
V V V AA '.dt( BDE) MC.dt( BDE)
3
2
1 b a b
b dt( BDE)
3
(đvtt)
Loại 4: Sử dụng thể tích để giải tốn khoảng cách.
Trong nhiều trường hợp tốn khoảng cách giải cách quy toán thể tích khối đa diện Việc tính khoảng cách dựa vào công thức hiển nhiên sau :
3V h
S
(Với V, S, h thể tích, diện tích đáy chiều cao khối chóp đó) V
h S
(đối với khối lăng trụ) Như tốn tìm khoảng cách quy tốn tìm chiều cao hình chóp lăng trụ
Ví dụ (TSĐH 2009D) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ đáy ABC tam giác vuông B. Giả sử AB=a, AA’=2a; AC a 3 Gọi M trung điểm AC’ I giao điểm AM và
A’C
1) Tính thể tích tứ diện IABC
2) Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (IBC) O
D'
A'
C'
B'
A B
D C
(4)Giải: (Do khuôn khổ báo chúng tơi khơng trình bày trọn vẹn lời giải mà trình bày lời giải cho ý 2))
Theo phần 1) ta có
3 IABC
4a V
9
Có BC AC2 AB2 2a
Kẻ IHAC(H AC) IH(ABC)
Kẻ HEBC(E BC) IEBC (Định lí đường vng góc)
Ta có
HE CH CB' 2 2a HE AB ABCA CA ' 3 3 Do
2
2 16a 2a IE IH HE 4a
9
Nên
1 2a 2a dt( IBC) IE.BC 2a
2 3
Gọi h khoảng cách từ I đến mặt phẳng (ABC) thì:
2 IABC
4a
3.V 9 2a
h
dt( IBC) 2a 5
Trên số trao đổi xung quanh vấn đề giải tốn liên quan đến thể tích đề thi Tuyển sinh ĐH-CĐ Hy vọng giúp em học sinh phần việc ôn tập, chuẩn bị cho kỳ thi quan trọng tới Rất mong nhận góp ý quý đồng nghiệp bạn đọc
H I
A' C'
B'
A
B
C M