[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP TỈNH LONG AN MƠN THI: TỐN
NGÀY THI : 17/04/2015
THỜI GIAN : 150 phút ( Không kể thời gian phát đề )
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ CHÍNH THỨC
Bài Nội dung Điểm 1
(4đ) 1/(2đ)
2
A 17 2 3 3 2 3 14 15
Ta có:
2
17 2 3
2 17
4
…… …
2
2
17
3
2
……….
2 2
17 17
3 5
2
………
Tương tự:
2
4 2 3
2
4
………
2
2
2
……….…
2 2
2 5
………
Vậy
2
17
A 5 14 15
2
2
13 13
A 14 15 15 14 15
2
A 52 13 15 14 15 52 15
0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ
0,25đ 0,25đ
2/ (2đ) (1 a)(1 b)(1 c) B
(1 a)(1 b)(1 c)
(a, b, c > a + b + c = 1)
Ta có: a b c 1
1 a b c b a c c a b
* Từ a b c 1 a b c
1 a 1 b c (1 b) (1 c) (1 b)(1 c)
(1)
* Tương tự: b (1 a) (1 c) (1 a)(1 c) (2)
c (1 a) (1 b) (1 a)(1 b) (3) * Từ (1),(2),(3) (1 a)(1 b)(1 c) (1 a) (1 b) (1 c)
(1 a)(1 b)(1 c) 8(1 a)(1 b)(1 c)
0,25đ
0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ
(2)(1 a)(1 b)(1 c) (1 a)(1 b)(1 c)
=> Giá trị nhỏ B
Dấu “ = ” xảy
1 a b c a b c
3 0,25đ 2 (5đ)
1/ (2đ) Giải phương trình: x2 x 2015 2015
Điều kiện: x2015; Đặt t = x 2015 0 => t2 – x = 2015 …
Ta có hệ phương trình :
2
x t 2015 t x 2015
2
t x x t x t 2015
(t x)(t x 1) x t 2015
………
* Giải hệ pt:
t x
x t 2015
t x
x x 2015
t x 8061 x 8061 x
* Giải hệ pt:
t x x t 2015
t x
x x 2014
t x
1 8057 x 8057 x
*Đối chiếu với điều kiện tốn, nghiệm phương trình cho là:
1 8061 x
2
;
1 8057 x 0,25 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,25 đ 2/ (3đ)
Giải hệ phương trình:
2
4 2
x y xy x y x y 21
2
2 2 2 2
x y 2xy xy
(x y ) 2x y x y 21
2
2 2
x y xy
x y 2xy x y 21
Đặt:
x y a xy b 2 2
a b
a 2b b 21
……… 2
2 2
a b a b
49 14b b b 21 b 2b b 21
(3)2 a 3 a
b b
a = 3; b = a = - 3; b = .
* Ta có:
x y xy
=> x = 1; y = x = 2; y =
* Ta có:
x y xy
=> x = - 1; y = - x = - 2; y = -
Vậy nghiệm HPT (1 ; 2) ; (2 ; 1) ; (-1 ; -2) ; (-2 ; -1)……
0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ
3(5đ) 1/ (3đ)
K I
F
E
O
B A
D C
M
a/ Chứng minh điểm: E, I, F thẳng hàng
Tứ giác DEMI tứ giác nội tiếp DEM DIM 900………….
Tứ giác CMIF tứ giác nội tiếp MIC MFC 900………
MDE MIE (1)………
MIF MCF 1800 (2)………
MDE MCF ( Vì tứ giác ADMC nội tiếp) (3)………
Từ (1), (2) (3) MIF MIE 1800………
điểm E, I, F thẳng hàng ………
b) Chứng minh: MA4 + MB4 + MC4 + MD4 = 24R4
MA4 + MC4 = ( MA2 + MC2 )2 – 2MA2 MC2 = AC4 – 2MF2.AC2 = 16R4 – 8R2.MF2………
Kẻ MK BD, chứng minh tương tự ta có:
MB4 + MD4 = 16R4 – 8R2.MK2……….
MA4 + MB4 + MC4 + MD4 = 32R4 – 8R2 ( MF2 + MK2 )
0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25đ
(4)= 32R4 – 8R2.R2 = 24R4………
2/ (2đ)
Kẻ trung tuyến DN, CM ACD, chúng cắt E
=> E trọng tâm CAD (gt) =>
CE
CM 3
Gọi G giao điểm AO CD Mà: AO CD hai đường trung tuyến ABC cắt G
=> G trọng tâm ABC =>
CG
CD 3
Vậy:
CE CG
CM CD……….
=> EG//DM => EG//AB Do: DA = DB => ODAB => ODEG (1)
Ta có: BC//DE ( DN đường trung bình ABC)
Mà: AOBC => OGBC => OGDE (2)
Từ (1) (2) => G trực tâm ODE
=> OEDG => OECD
0,25 đ
0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ
4(3đ)
Ta có: SABC SAMB SBMC SAMC……… 0,25 đ
G M
E N D
O
C B
A
z
y x H
L
K
A' C
B
A
(5)
1 2ah =
1 2ax +
1 2ay +
1
2az ………
h = x + y + z ………
h2 = (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2(xy + xz + yz) ……… Mà: x2 + y2 ≥ 2xy
y2 + z2 ≥ 2yz
x2 + z2 ≥ 2xz
2(x2 + y2 + z2 ) ≥ 2(xy + xz + yz) ………
h2 = x2 + y2 + z2 + 2(xy + xz + yz) ≤ x2 + y2 + z2 + 2(x2 + y2 + z2)…… h2 ≤ 3(x2 + y2 + z2)
x2 + y2 + z2 ≥
1
3h2 ………
0,5 đ 0,25 đ 0,5 đ
0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ
5(3đ) 1/
(1,5đ) Cho x > thỏa :
2
x
x
Hãy tính
5 x
x
2
1
x x
x x
1
x
x
3
3
3
1 1 1
x x x x x x
x x x x x x
= 33 – 3.3 = 18
Do:
2
2
1 1
x x x x
x
x x x
5
5
1 1
x x x x 7.18 123
x
x x x
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
2/
(1,5đ) Ta thấy số
P số 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, xuất 20 lần;
số xuất 21 lần ……… Tổng chữ số P (2+3+4+5+6+7+8+9).20+1.21 = 901
Như P không chia hết cho hiển nhiên không chia hết
cho 2016
0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ Chú ý:
Học sinh làm theo cách khác đủ ý cho đủ số điểm phần hướng dẫn chấm