Bai tap toan 8 theo chuong dai so

4 chiều rộng cũ thì chu vi hình chữ nhật không đổi. Một khu đất hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng là 10m. Nếu chiều dài tăng thêm 6m, chiều rộng giảm đi 3m thì diện tích mới tăn[r]

I NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA THỨC – NHÂN ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC Bài 1. Thực phép tính sau:

a) ( –1)(x2 x22 )x b) (2x 1)(3x2)(3 – )x c) (x3)(x23 –5)x

d) (x1)( –x2 x1) e) (2x3 3x 1).(5x2) f) (x2 2x3).(x 4) Bài 2. Thực phép tính sau:

a) 2x y x3 (2 –32 y5 )yz b) ( –2 )(x y x y2 2 xy2 )y c) xy x y x y

2 ( –5 10 )

5 

d) x y xy x y

2

2 .(3 – )

3  e) ( – )(x y x2xy y 2) f) xy x x

1 –1 ( –2 –6)

 

 

 

Bài 3. Chứng minh đẳng thức sau:

a) (x y x )( 4x y x y3  2xy3y4)x5 y5 b) (x y x )( 4 x y x y3  2 xy3y4)x5y5 c) (a b a )( 3 a b ab2  2 b3)a4 b4

d) (a b a )( 2 ab b 2)a3b3

Bài 4. Thực phép tính, sau tính giá trị biểu thức:

a) A(x 2)(x42x34x28x16) với x3. ĐS: A211

b) B(x1)(x7 x6x5 x4x3 x2 x 1) với x2. ĐS: B255

c) C(x1)(x6 x5x4 x3x2 x1) với x2. ĐS: C 129 d) D2 (10x x2 5x 2) (4 x x2 2x1) với x5. ĐS: D5 Bài 5. Thực phép tính, sau tính giá trị biểu thức:

a) A(x3 x y xy2  2 y x y3)(  ) với x y 2,

2

 

ĐS: A

255 16  b) B(a b a )( 4a b a b3  2ab3b4) với a3,b2 ĐS:

B275

c) C(x2 2xy2 )(y x2 2y2) 2 x y3  3x y2 22xy3 với x y 1,

2

 

ĐS:

C

16 

Bài 6. Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x: a) A(3x7)(2x3) (3 x 5)(2x11)

b) B(x2 2)(x2 x 1) x x( 3x2 3x 2) c) C x x ( 3x2 3x 2) ( x2 2)(x2 x 1) d) D x x (2 1) x x2( 2)x3 x3

e) E(x1)(x2 x1) ( x 1)(x2 x 1)

Bài 7. * Tính giá trị đa thức:

a) P x( )x7 80x680x5 80x4 80 x15 với x79 ĐS: P(79) 94 b) Q x( )x1410x1310x12 10x11 10 x2 10x10 với x9 ĐS: Q(9) 1 c) R x( )x4 17x317x2 17x20 với x16 ĐS: R(16) 4 d) S x( )x1013x913x8 13x7 13 x2 13x10 với x12 ĐS: S(12)2

II HẰNG ĐẲNG THỨC Bài 1. Điền vào chỗ trống cho thích hợp:

a) x24x4 b) x x2   16   c) (x5)(x 5)

d) x312x248x64 e) x3 6x212x 8 f) (x2)(x2 2x4)

g) (x 3)(x23x9) h) x22x 1 i) x2–1

k) x26x 9 l) 4 –9x2  m) 16 –8x2 x 1 n) 9x26x 1 o) 36x236x 9 p) x327

Bài 2. Thực phép tính:

a) (2x3 )y b) (5 – )x y c) (2x y 3) d)

2 . 2

5

x y x y

   

 

   

    e)

2

1

x

 



 

  f)

3

2 3x y

 



 

 

g) (3 –2 )x2 y h) (x )(y x23xy9 )y2 i) (x2 3).(x43x29) k) (x2y z x )( 2 – )y z l) (2 –1)(4x x22x1) m) (5 ) x

Bài 3. Tính giá trị biểu thức cách vận dụng đẳng thức:

a) A x 33x23x6 với x19 b) B x 3 3x23x với x11 ĐS: a) A8005 b) B1001.

Bài 4. Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x:

a) (2x3)(4x2 6x9) 2(4 x31) b) (4x1)3 (4x 3)(16x23)

c) 2(x3y3) 3( x2y2) với x y 1 d) (x1)3 (x 1)3 6(x1)(x1) e)

x x

x

2

2

( 5) ( 5) 25

  

 f)

x x

x

2

2

(2 5) (5 2)

  



ĐS: a) 29 b) 8 c) –1 d) 8 e) 2 f) 29

Bài 5. Giải phương trình sau:

a) (x 1)3(2 x)(4 2 x x 2) ( x x2) 17 b) (x2)(x2 2x4) x x( 2 2) 15 c) (x 3)3 (x 3)(x23x9) 9( x1)215 d) x x(  5)(x5) ( x2)(x2 2x4) 3 ĐS: a)x

10 

b) x 

c) x 15 

d) x

11 25  Bài 6. So sánh hai số cách vận dụng đẳng thức:

c) A2011.2013 B20122 d) A4(321)(341) (3641) B31281 Bài 7. Tìm giá trị lớn biểu thức:

a) A5 –x x2 b) B x x – c) C4 –x x23

d) D–x26x11 e) E 5 8x x f) F4x x 21 Bài 8. Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

a) A x 2–6x11 b) B x 2–20x101 c) C x 2 6x11 d) D(x 1)(x2)(x3)(x6) e) E x 2 2x y 24y8 f) x2 4x y 2 8y6 g) G x 2–4xy5y210 –22x y28

HD: g) G(x 2y5)2(y1)2 2

Bài 9. Cho a b S  ab P Hãy biểu diễn theo S P, biểu thức sau đây: a) A a 2b2 b) B a 3b3 c) C a 4b4

III PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ VẤN ĐỀ I Phương pháp đặt nhân tử chung Bài 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a) 4x2 6x b) 9x y4 33x y2 c) x3 2x25x d) (x x 1) 5( x 1) e) (x x2 1) 4( x1) f) 3x 6xy9xz Bài 2. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a) 2x y2  4xy26xy b) 4x y3 2 8x y2 32x y4

c) 9x y2 3 3x y4 2 6x y3 218xy4 d) 7x y2 2 21xy z2 7xyz14xy e) a x y a x a x y

3 4

2

 

VẤN ĐỀ II Phương pháp nhóm nhiều hạng tử Bài 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a) x3 2x22x13 b) x y xy x2   1 c) ax by ay bx   d) x2 (a b x ab )  e) x y xy2  2 x y f) ax2ay bx 2 by Bài 2. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a) ax 2x a 22a b) x2 x ax a c) 2x24ax x 2a d) 2xy ax x  2 2ay e) x3ax2 x a f) x y2 2y3zx2yz Bài 3. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a) (x 3)(x 1) 3( x 3) b) (x 1)(2x1) 3( x1)(x2)(2x1) c) (6x3) (2 x 5)(2x1) d) (x 5)2(x5)(x 5) (5  x)(2x1) e) (3x 2)(4x 3) (2 )(  x x 1) 2(3 x 2)(x1)

Bài 5. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a) (a b a )( 2 ) (b  b a a b )(2  ) ( a b a )( 3 )b b) 5xy3 2xyz 15y26z

c) (x y )(2x y ) (2 x y x y )(3  ) ( y )x d) ab c3 2 a b c2 2ab c2 3 a bc2 e) x y z2(  )y z x2(  )z x y2(  )

VẤN ĐỀ III Phương pháp dùng đẳng thức Bài 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a) 4x212x9 b) 4x24x1 c) 1 12 x36x2 d) 9x2 24xy16y2 e)

x2 2xy 4y2

4   f) x210x 25 g) 16a b4 6 24a b5 5 9a b6 h) 25x2 20xy4y2 i) 25x410x y y2  Bài 2. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a) (3x1) 162 b) (5x 4)2 49x2 c) (2x5)2 (x 9)2 d) (3x1)2 4(x 2)2 e) 9(2x3)2 4(x1)2 f) 4b c2 2 (b2c2 a2 2) g) (ax by )2 (ay bx )2 h) (a2b2 5)2 4(ab2)2

i) (4x2 3x 18)2 (4x23 )x k) 9(x y 1)2 4(2x3y1)2 l) 4x212xy 9y225 m) x2 2xy y 2 4m24mn n Bài 3. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a) 8x3 64 b) 1 8 x y6 c) 125x31

d) 8x3 27 e)

y x3 27

8 

f) 125x327y3 Bài 4. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a) x36x212x8 b) x3 3x23x c) 1 9 x27x2 27x3

d) x x x

3 3

2

  

e) 27x3 54x y2 36xy2 8y3 Bài 5. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

Bài 6. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a) (x2 25)2 (x 5)2 b) (4x2 25)2 9(2x 5)2 c) 4(2x 3)2 9(4x2 9)2 d) a6 a42a32a2 e) (3x23x2)2 (3x23x 2)2

Bài 7. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a) (xy1)2 (x y )2 b) (x y )3 (x y )3 c) 3x y4 23x y3 23xy23y2 d) 4(x2 y2) 8( x ay ) 4( a2 1) e) (x y ) (3  xy x y 1)

Bài 8. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a) x31 5 x2 3 x b) a5a4a3a2 a c) x3 3x23x 1 y3 d) 5x3 3x y2  45xy227y3 e) (x a b c2   ) 36 ( xy a b c  ) 108 ( y a b c2   )

VẤN ĐỀ IV Một số phương pháp khác

Bài 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (tách hạng tử thành nhiều hạng tử) a) x2 5x6 b) 3x29x 30 c) x2 3x2

d) x2 9x18 e) x2 6x8 f) x2 5x 14 g) x26x5 h) x2 7x12 i) x2 7x10 Bài 2. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (tách hạng tử thành nhiều hạng tử)

a) 3x2 5x b) 2x2 x c) 7x250x7 d) 12x27x12 e) 15x27x f) a2 5a 14 g) 2m210m8 h) 4p2 36p56 i) 2x25x2 Bài 3. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (tách hạng tử thành nhiều hạng tử)

a) x24xy 21y2 b) 5x26xy y c) x22xy15y2 d) (x y )24(x y ) 12 e) x2 7xy10y2 f) x yz2 5xyz14yz Bài 4. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (tách hạng tử thành nhiều hạng tử)

a) a4a21 b) a4a2 c) x44x2 d) x3 19x 30 e) x3 7x f) x3 5x2 14x Bài 5. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (thêm bớt hạng tử)

a) x44 b) x464 c) x8x71

d) x8x41 e) x5 x f) x3x24 g) x42x2 24 h) x3 2x i) a44b4 HD: Số hạng cần thêm bớt:

g) 4x2 h) 2x22x i) 4a b2

Bài 6. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (đặt biến phụ)

a) (x2x) 14(2 x2x) 24 b) (x2x)24x24x 12 c) x42x35x24x12 d) (x1)(x2)(x3)(x4) 1 e) (x1)(x3)(x5)(x7) 15 f) (x1)(x2)(x3)(x4) 24 Bài 7. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (đặt biến phụ)

a) (x24x8)23 (x x24x8) 2 x2 b) (x2 x 1)(x2 x 2) 12 c) (x28x7)(x28x15) 15 d) (x2)(x3)(x4)(x5) 24

VẤN ĐỀ V Tổng hợp Bài 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a) x24x3 b) 16x 5x2 c) 2x2 7x5 d) 2x23x e) x3 3x2 1 3x f) x2 4x g) (a21)2 4a2 h) x3 – 4x2 x12 i) x4x3 x k) x4–x3–x21 l) (2x1) –( –1)2 x m) x44 –5x2 Bài 2. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a) x y 2x2 y b) x x y(  ) 5 x 5y c) x2 5x5y y d) 5x3 5x y2 10x210xy e) 27x3 8y3 f) x2–y2– –x y g) x2 y2 2xy y 2  h) x2 y2 4 4x i) x6 y6

k) x33x23x1–27z3 l) 4x24 –9x y21 m) x2–3x xy –3y Bài 3. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a) 5x2 10xy5y2 20z2 b) x2 z2y2 2xy c) a3 ay a x xy  d) x2 2xy 4z2y2 e) 3x2 6xy3y2 12z2 f) x2 6xy 25z29y2 g) x2 y22yz z h) x2–2xy y 2–xz yz i) x2–2xy tx –2ty

a) x3x z y z xyz y2    b) bc b c ca c a ab a b(  ) (  ) (  ) c) a b c2(  )b c a c a b2(  ) 2(  ) d) a6 a42a32a2

e) x9 x7 x6 x5x4x3x2 f) (x y z  )3 x3 y3 z3 g) (a b c  )3 (a b c  )3 (b c a  )3 (c a b  )3h) x3y3z3 3xyz Bài 5. Giải phương trình sau:

a) (x 2) –( –3)(2 x x3) 6 b) (x3)2(4x)(4 – ) 10x  c) (x4)2(1– )(1x x) 7 d) ( – 4) –( –2)(x x x2) 6 e) 4( –3) –(2 –1)(2x x x1) 10 f) 25(x3)2(1–5 )(1 ) 8x  x  g) 9(x1) –(3 –2)(32 x x2) 10 h) 4( –1)x 2(2 –1)(2x x1)3 Bài 6. Chứng minh rằng:

a) a a2( 1) ( a a1)chia hết cho với a Z . b) a a(2  3) ( a a1) chia hết cho với a Z . c) x22x 2 0 với x Z .

d)  x24x 0 với x Z .

IV CHIA ĐA THỨC

VẤN ĐỀ I Chia đa thức cho đơn thức Bài 1. Thực phép tính:

a) ( 2) : ( 2)  b) ( ) : ( )y y c) x12: ( x10) d) (2 ) : (2 )x6 x e) ( ) : ( ) x  x f) (xy2 4) : (xy2 2) Bài 2. Thực phép tính:

a) (x2) : (9 x2)6 b) (x y ) : (4 x 2)3 c) (x22x4) : (5 x22x4)

d) x x

2 2( 1) : ( 1)

3

 

e) x y x y

5

5( ) : ( )

 

Bài 3. Thực phép tính:

a) 6xy2: 3y b) 6x y xy2 3: 2 c) 8x y xy2 : d) 5x y xy2 5: e) ( 4 x y4 3) : 2x y2 f) xy z3 4: ( 2 xz3) g)

x y3 x y2

3 :

4

  

 

k)

a b ab a b 3

2 (3 ) ( )

( ) l)

xy x y x y 2

3 2 (2 ) (3 )

(2 ) Bài 4. Thực phép tính:

a) (2x3 x25 ) :x x b) (3x4 2x3x2) : ( ) x c) ( 2 x53 – ) : 2x2 x3 x2 d)

x3 x y2 xy2 1x ( –2 ) :

2     

  e) 3(x y )5 2(x y )43(x y ) : 5(2 x y )2 Bài 5. Thực phép tính:

a) (3x y5 24x y3 3 5x y2 4) : 2x y2 b) a x a x ax ax

6 3

3 :3

5 10

 

 

 

 

c) (9x y2 315x y4 4) : 3x y2  (2 3 x y y2 ) d) (6x2 xy x) : (2x y3 3xy2) :xy (2x1)x

e) x xy x x y x y x y x y

2 4 3

( ) : (6 15 ) :

2

   

VẤN ĐỀ II Chia đa thức cho đa thức Bài 1. Thực phép tính:

a) ( –3 ) : ( –3)x3 x2 x b) (2x22x 4) : (x2) c) ( – –14) : ( –2)x4 x x d) (x3 3x2 x 3) : (x 3)

e) (x3x2–12) : ( –2)x f) (2x3 5x26 –15) : (2 –5)x x g) ( 3 x35x2 9x15) : (5 ) x h) ( x26x3 26x21) : (2x 3) Bài 2. Thực phép tính:

a) (2x4 5x2x3 3 ) : ( x x2 3) b) (x5x3x21) : (x31)

c) (2x35 –2x2 x3) : (2 –x2 x1) d) (8x 8x3 10x23x4 5) : (3x2 2x1) e) (x32x4 4 x27 ) : (x x2 x 1)

a) (5x29xy ) : (y2 x2 )y b) (x4 x y x y3  2 xy3) : (x2y2) c) (4x53xy4 y52x y4  6x y3 2) : (2x3y3 2xy2) d) (2a37ab2 7a b2  ) : (2b3 a b ) Bài 4. Thực phép tính:

a) (2x4 ) : (y x2 ) (9y  x312x2 ) : ( ) 3(x  x  x23) b) (13x y2 2 5x46y413x y3 13xy3) : (2y2 x2 )xy Bài 5. Tìm a b, để đa thức f x( ) chia hết cho đa thức g x( ), với:

a) f x( )x4 9x321x2ax b , g x( )x2 x b) f x( )x4 x36x2 x a , g x( )x2 x5 c) f x( ) 3 x310x2 5a, g x( ) 3 x1 d) f x( )x3–3x a , g x( ) ( –1) x ĐS: a) a1,b30

Bài 6. Thực phép chia f x( ) cho g x( ) để tìm thương dư: a) f x( ) 4 x3 3x21, g x( )x22x1

b) f x( ) 4  x3x47x2 5x3, g x( ) 1 x2 x c) f x( ) 19 x211x3 9 20x2x4, g x( ) 1 x2 4x

d) f x( ) 3 x y x4  5 3x y3 2x y2 3 x y2 22xy3 y4, g x( )x3 x y y2 

VẤN ĐỀ III Tìm đa thức phương pháp hệ số bất định Bài 1. Cho biết đa thức f x( ) chia hết cho đa thức g x( ) Tìm đa thức thương:

a) f x( )x3 5x211x10, g x( ) x ĐS: q x( )x2 3x5 b) f x( ) 3 x3 7x24x 4, g x( ) x ĐS: q x( ) 3 x2 x2 Bài 2. Phân tích đa thức P x( )x4 x3 2x thành nhân tử, biết nhân tử có dạng:

Bài 3. Với giá trị a b đa thức x3ax22x b chia hết cho đa thức x2 x 1. ĐS: a2,b1.

Bài 4. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a) x3 x2 14x24 b) x34x24x3 c) x3 7x d) x3 19x 30 e) a3 6a211a

Bài 5. Tìm giá trị a, b, k để đa thức f x( ) chia hết cho đa thức g x( ):

a) f x( )x4 9x321x2 x k, g x( )x2 x ĐS: k30. b) f x( )x4 3x33x2ax b , g x( )x2 3x4 ĐS: a3,b4.

Bài 6. Tìm tất số tự nhiên k đa thức f k( )k32k215 chia hết cho nhị thức

g k( ) k 3. ĐS: k0,k 3.

BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG I Bài 1. Thực phép tính:

a) (3x3 2x2 x 2).(5 )x2 b) (a x2 3 5x3 ).( 2a  a x3 )

c) (3x25x 2)(2x2 4x3) d) (a4a b a b3  2 ab3b a b4)(  ) Bài 2. Rút gọn biểu thức sau:

c) (2 ) y 2 (2x ) 12y 2 xy d) (x1)3 (x1)3 (x3 1) ( x1)(x2 x 1) Bài 3. Trong biểu thức sau, biểu thức không phụ thuộc vào x:

a) (x 1)3 (x1)36(x1)(x 1) b) (x1)(x2 x1) ( x1)(x2 x 1) c) (x 2)2 (x 3)(x1) d) (x1)(x2 x1) ( x1)(x2 x 1) e) (x 1)3 (x1)36(x1)(x 1) f) (x3)2 (x 3) 122 x

Bài 4. Tính giá trị biểu thức sau:

a) A a 3 3a23a4 với a11 b) B2(x3y3) 3( x2y2) với x y 1 Bài 5. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a) 2 xy x 2 y2 b) a2b2 c2 d2 2ab2cd c) a b3 31 d) x y z2(  )y z x2(  )z x y2(  ) e) x2 15x36 f) x12 3x y6 62y12

g) x8 64x2 h) (x2 8)2 784 Bài 6. Thực phép chia đa thức sau: (đặt phép chia vào bài)

a) (35x341x213x 5) : (5x 2) b) (x4 6x316x2 22x15) : (x2 2x3) c) (x4 x y x y3  2 xy3) : (x2y2) d) (4x414x y3  24x y2 2 54 ) : (y4 x2 3xy )y2 Bài 7. Thực phép chia đa thức sau:

a) (3x4 8x3 10x28x 5) : (3x2 2x1) b) (2x3 9x219x 15) : (x2 3x5) c) (15x4 x3 x241x 70) : (3x2 2x7)

d) (6x5 3x y4 2x y3 24x y2 3 5xy42 ) : (3y5 x3 2xy2y3) Bài 8. Giải phương trình sau:

a) x316x 0 b) 2x3 50x0 c) x3 4x2 9x36 0 d) 5x2 4(x2 2x1) 0  e) (x2 9)2 (x 3)20 f) x3 3x 2

g) (2x 3)(x1) (4 x3 6x2 ) : ( ) 18x  x  Bài 9. Chứng minh rằng:

a) a22a b 2 1 0 với giá trị a b. b) x2y22xy 4 với giá trị x y c) (x 3)(x 5) 0  với giá trị x

Bài 10.Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức sau:

a) x2 x b) 2 x x2 c) x2 4x1

d) 4x24x11 e) 3x2 6x1 f) x2 2x y 2 4y6 g) h h( 1)(h2)(h3)

I PHÂN THỨC ĐẠI SỐ

VẤN ĐỀ I Tìm điều kiện để phân thức có nghĩa Bài 1. Tìm điều kiện xác định phân thức:

a) x

−4

9x2−16 b)

2x −1

x2−4x+4 c)

x2−4

x2−1

d)

5x −3 2x2− x

e) x x x 2  

 f) x x

2 ( 1)(  3)

g) x x2 x

2

5

  

Bài 2. Tìm điều kiện xác định phân thức: a) x2 y2

1

 b)

x y x

x x 2 2 

  c)

x y x2 x

5 10    d) x y

x y

( 3) ( 2) 

  

VẤN ĐỀ II Tìm điều kiện để phân thức 0 Bài 1. Tìm giá trị biến số x để phân thức sau không:

a) x x 10   b) x x x 2  c) x x   d) x x

x2 x

( 1)( 2)

4

 

  e)

x x

x2 x

( 1)( 2)

4

 

  f)

x x x 2    Bài 2. Tìm giá trị biến số x để phân thức sau không:

a) x x x 2 10 

  b)

x x

x x x

3

3

16

3



  c)

x x x

x x 3     

VẤN ĐỀ III Chứng minh phân thức ln có nghĩa Bài 1. Chứng minh phân thức sau ln có nghĩa:

a) x2

3  b) x x ( 1)



  c)

x x2 x

5    d) x x x 2 4 

   e)

x x2 x

5

   Bài 2. Chứng minh phân thức sau ln có nghĩa:

a)

x y x2 2y2



  b) x2 y2 x

4

2

  

VẤN ĐỀ I Phân thức nhau Bài 1. Chứng minh đẳng thức sau:

a)

y xy x x

3 ( 0)

4   b)

x x y

y y

2

3 ( 0)

2



 

 c)

x y x y

y x

2( ) 2 ( )

3( )

     d) xy xy a y a ay

2 ( 0, 0)

3 12   e)

x x y

y y

1 1 ( 2)

2

 

 

  f)

a a b

b b

2 2 ( 0)

5



 

 Bài 2. Chứng minh đẳng thức sau:

a)

x x x

x x x x

3

2 ( 0)

( 4)

 

 

   b)

x x(x y x y

x y y2 x2

3 3  ) ( )

 

 

c)

x y a x y a x y

a a x y

2

3 ( ) ( 0, )

3 9 ( )

 

  



Bài 3. Với giá trị x hai phân thức sau nhau: a)

x x2 x

2

5



  x

3 

Bài 4. Cho hai phân thức A B Hãy xét chúng trường hợp sau:

i) x N ii) x Z iii) x Q

a)

x x

A

x

(2 1)( 2)

3(2 1)     , x B  

Bài 5. Cho ba phân thức A, B C Hãy xét chúng trường hợp sau:

i) x N ii) x Z iii) x Q

a) x A   , x x B x

( 1)( 2)

5( 2)     , x x C x

( 1)(3 2)

5(3 2)

 





VẤN ĐỀ II Rút gọn phân thức Bài 1. Rút gọn phân thức sau:

a) x

10 b) xy yy

4 ( 0)

2  c) x y xyxy

2

21 ( 0)

6  d) x y 2  e)

x y x y x y

5 5 ( )

3





 f) x x y x yy x

15 ( ) ( )

3( )

 

 

Bài 2. Rút gọn phân thức sau: a)

x x x

x x

2

16 ( 0, 4)



 

 b)

x x x

x 4

3 ( 3)

 



 c)

x x y y x y y x y

3

15 ( ) ( ( ) 0) ( )



  



d)

x y y x x y

x y

5( ) 3( ) ( )

10( )

  



 e)

x y x y x y

x y x y

2 5 ( )

2 5

  



   f)

x xy x y y xy y

2

2 ( , 0)

3



 

g)

ax ax a b x

b bx

2

2 2 ( 0, 1)

5

 

 

 h)

x xy x x y

x x y

3

4 ( 0, )

5



 



i)

x y z x y z

x y z 2

(  )  ( 0)

  

  k)

x x y y x x y

x xy 3

7

2 ( 0, )

 

 

 Bài 3. Rút gọn, tính giá trị phân thức sau:

a)

x x x

A

x x x

2

3

(2 )( 2) ( )( 1)

 



  với x

1 

b)

x x y xy B

x y

3 2

3

 



 với x5,y10 Bài 4. Rút gọn phân thức sau:

a)

a b c

a b c 2 (  ) 

  b)

a b c ab

a b c ac

2 2 2

2

  

   c)

x x x

x x x

3

3

2 12 45

3 19 33

  

  

Bài 5. Rút gọn phân thức sau: a)

a b c abc

a b c ab bc ca 3

2 2

3

  

     b)

x y z xyz

x y y z z x

3 3

2 2

3

( ) ( ) ( )

  

    

c)

x y z xyz

x y y z z x

3 3

2 2

3

( ) ( ) ( )

  

     d)

a b c b c a c a b

a b c b c a c a b

2 2

4 2 2 2

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

    

    

e)

a b c b c a c a b ab ac b bc

2 2

2

(  ) (  ) (  )

   f)

x x x x

x x x x

24 20 16

26 24 22

    

    

Bài 6. Tìm giá trị biến x để: a)

P

x2 x

1

2



  đạt giá trị lớn nhất ĐS: P khi x

1 max   b) x x Q x x 2   

  đạt giá trị nhỏ nhất ĐS: Q khi x

3

min

4

 

Bài 7. Chứng minh phân thức sau không phụ thuộc vào x y: a)

x a a a x

x a a a x

2 2

2 2

( )(1 )

( )(1 )

   

    b)

xy x y x x y

y x

2

3 2 1 , 1

1 3

 

   

    

   

c)

ax a axy ax ay a x y

x y

2

( 1, 1)

1

   

  

  d)

x a x

x a 2 ( )    e) x y x y ay ax

2

( )( )



  f)

ax x y ay

ax x y ay

2 3

4

  

III CÁC PHÉP TOÁN VỀ PHÂN THỨC VẤN ĐỀ I Qui đồng mẫu thức nhiều phân thức

Bài 1. Tìm điều kiện để phân thức sau có nghĩa tìm mẫu thức chung chúng: a)

x xy,

16 20 b) x y

1 ,

4 c) xy y8 15,

d)

x y y, x

2 e) xy yz xz8 12 24, , f)

xy yz zx z, x, y

2

Bài 2. Tìm điều kiện để phân thức sau có nghĩa tìm mẫu thức chung chúng: a) x

5

2  4, x

3  , x

50 25 b) x

a 2 ,

y a 2 ,

z a2

4 c)

a b2 , x a b

2 2 , y a2 b2

d) x 6,

x x2 x

2

6



  e) x2 x

1

2

  , x2 x

2  f) x x 1 

 , x21 Bài 3. Qui đồng mẫu thức phân thức sau:

a)

x x2 x

2 7  15,

x x2 x

2

3 10



  , x

5

 b) x2 x

1

3

   , x2 x

1

5

  , x2 x

1

4

  

c) x3

3

 , x x2 x

2

  , x

x1 d)

x

x2 2xy y 2 z2 ,

y

x22yz y 2 z2 ,

z

x2 2xz y 2z2

VẤN ĐỀ II Thực phép toán phân thức Bài 1. Thực phép tính:

a)

x x

5

 



b)

x y 2y

8

 

c)

x x x

xy xy

2 1 4

 



d)

xy x y xy x y

xy xy

2 2

5

3

 



e)

x x x

a b a b a b

1

  

 

   f) 3

5 4

2

 



xy y xy y

x y x y

g)

x xy xy y y x

x y y x x y

2 2

2   

 

  

a)

x x

2

10 15

 



b)

x x x

3 2

10 15 20

    c) x x x x 2

2 2 2

 



 

d)

1−2x

2x +

2x

2x −1+

2x −4x2 e)

x x y

xy y2 xy x2  

  f)

x x x x x 2

6

4    



g)

x xy y x x y

xy y x

2

2 10

2

  

 

h)

x x y x y x2 y2

2 3

     i) x y x y x y 2  

 Bài 3. Thực phép tính:

a) 2 2

2

2

x y

x  xy xy y x  y b)

xy x y

x y y x3 x2 xy y2

1 

 

   

c)

x y x x y

x2 xy y2 x2 x2 xy

2 16

2

 

 

   d) x x x2 x4 x8 x16

1 16

1 1 1 1 1 1 Bài 4. Thực phép tính:

a)

x x

1 3

2

 



b)

x y x y y

x x

2 2(  )(  ) 2



c)

x x

x y x y

3 1 



 

d)

xy x

x y y x

2 1

2

 

  e) 2

4

3

x x

x y x y

 

 Bài 5. Thực phép tính:

a)

x x

4

2

 



b)

x x

x x x2 x

3

3 3



 

  c)

x

x2 x2 x

3 1     d) x

x x x2

1 10

3 9 4

 

 

   e)

x

x x2 x x2

3 2

2



 

  f)

x x

x y x y

3

5 5  10  10

g)

a a a

a

a a a

2

3

4

1

1

  

 



   h)

x y x y

xy y

2

5  



i)

x y y

x2 y2 x2 xy

9     k)

3x+2 x2−2x+1−

6

x2−1−

3x −2

x2+2x+1 l)

3

2 6

x

x x x

 

  m)

x x x 2 1    

n) a a a2 a3

5 10 15

1 ( 1) 1

   

Bài 6. Thực phép tính: a)

x x y

1 6.

d)

x y

x y x

3

2 .

5

 e)

5 10

4

x x

x x

 

  f)

2 36 3

10

x

x x



 

g)

x y xy

x y x y

2

2 .

2 



h)

x y x y

xy y x

2 2

3 . 15

5 2



 i)

a b a b

a b a ab b

3

2

2 . 6

3 2

 

  

Bài 7. Thực phép tính: a)

x x2

2 :

3 b)

x y x y2 18

16 :

5

 



 

  c)

x y3 xy2 25 :15

3

d)

x y x y

xy x y

2 2 : 3

 

e)

a ab a b

b a a b

2

2

:

2

 

  f)

x y x xy

y x x y

2 2 : 3     g) 2

1 4 :

x x

x x x

 

 h)

5x −15 4x+4 :

x −9

x2

+2x+1 i)

6x+48

7x −7 :

x2−64

x2−2x +1

k) 4x −24

5x+5 :

x2−36

x2+2x+1 l)

3x+21

5x+5 :

x2−49

x2+2x+1 m)

1+x¿2 ¿ ¿

3−3x

¿ Bài 8. Thực phép tính:

a)

1

:                   x x

x x x x b)

(

1−3x3x+ 2x

3x+1

)

:

6x2+10x

1−6x+9x2

c)

(

9

x3−9x+

1

x+3

)

:

(

x −3

x2 +3x−

x

3x+9

)

d)

1

: :

2

    

 

    

x x x

x x x

Bài 9. Rút gọn biểu thức sau:

a) x y x y 1 1   b) x x x x x x x x 1 1       c) x x x 1    d) x x x 2 1 1      e) x y y x x y x y x y x y



 



  f)

a x x

a a x

a x x

a a x

     

Bài 10.Tìm giá trị nguyên biến số x để biểu thức cho có giá trị nguyên: a)

x x x 2

1

 

 b)

x x

x

3 2 4

 

 c)

x x x

x

2 2

2

  



d)

x x x

x

3

3 11

3

  

 e)

x

x x x x

4

4

16

4 16 16



   

Bài 11 * Phân tích phân thức sau thành tổng phân thức mà mẫu thức nhị thức bậc nhất:

a) x x2 x

2

5



  b)

x x

x x x

2 2 6

( 1)( 2)( 4)

 

   c)

x x

x x x

2

3 12

( 1)( 2)

 

Bài 12 * Tìm số A, B, C để có: a)

x x A B C

x

x x x

2

3

2

1 ( 1) ( 1) ( 1)

 

  



   b)

x x A Bx C

x

x x x

2

2

2

1

( 1)( 1)

  

 



  

Bài 13 * Tính tổng: a)

a b c

A

a b a c b a b c c a c b

( )( ) ( )( ) ( )( )

  

     

b)

a b c

B

a b a c b a b c c a c b

2 2

( )( ) ( )( ) ( )( )

  

     

Bài 14 * Tính tổng: a)

A

n n

1 1

1.2 2.3 3.4 ( 1)

    

 HD: k k k k

1 1

( 1)   1

b) B

n n n

1 1

1.2.3 2.3.4 3.4.5 ( 1)( 2)

    

  HD: k k k k k k

1 1 1

( 1)( 2) 2

 

   

     

Bài 15 * Chứng minh với m N , ta có:

a) m m m m

4 1

4 2  1 ( 1)(2 1)

b) m m m m m m

4 1

4 3 2 ( 1)( 2) ( 1)(4 3)

c) m m m m m m

4 1

8 5 2( 1) 2( 1)(3 2) 2(3 2)(8 5)

d) m m m m m

4 1

3 2  1 3 2 ( 1)(3 2)

BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG II Bài 1. Thực phép tính:

a) x2 x2 x2 x

8

1 ( 3)( 1) 3 

b)

x y x y y

x y x y x y

2 2

2 2( ) 2( )

 

 

  

c)

x x

x3 x3 x2 x3 x2 x

1

2

 

 

   d)

xy x a y a x b y b

ab a a b b a b

( )( ) ( )( )

( ) ( )

   

 

 

e)

x x

x x x x

3 1 1

1 1 1

    f)

x x x

x x

x

2

2 20

2

4

  

 

 

g)

x y x y x y xy

x y x y xy x y

2

2

2                

    h) a b b c b c c a c a a b

1 1

(  )(  ) (  )(  ) (  )(  )

i)

a b c a b c

a b c a c ac b

2

2 2

( ) ( )

( )( )

     

 

     k)

x y x y x y

xy x y y x x

2 1 2

:                

Bài 2. Rút gọn phân thức: a)

x x

x

2

25 20

25

 

 b)

x xy y

x y

2

3

5 10

3

 

 c)

x

x x x

2 1     d)

x x x

x 4 16     e)

x x x x

x

4

2

4 20 13 30

(4 1)

   

 Bài 3. Rút gọn tính giá trị biểu thức:

a)

a b c ab

a b c ac

2 2 2

2

  

   với a4,b5,c6 b)

x xy x xy 2 16 40 24 

 với

x y 10  c)

x xy y x xy y

x y x y

x x y

x y

2 2

2

   



 

 

 với x9,y10

Bài 4. Biểu diễn phân thức sau dạng tổng đa thức phân thức với bậc tử thức nhỏ bậc chủa mẫu thức:

a) x x 2   b) x x 2 1   c)

x x x x

x

4

2

4

1

   

 d)

x x x

x

5 2 3

  

 Bài 5. Tìm giá trị nguyên x để biểu thức sau có giá trị nguyên:

a) x

2

 b) x

1   c) x x x 2

1

 

 d)

x x

x

3 2 4

 



Bài 6. Cho biểu thức:

x x

P

x x

2

3

( 1)(2 6)

 

  .

a) Tìm điều kiện xác định P b) Tìm giá trị x để P1. Bài 7. Cho biểu thức:

x P

x x2 x x

2

3 6



  

   

a) Tìm điều kiện xác định P b) Rút gọn biểu thức P

c) Tìm x để P  

d) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức P có giá trị nguyên e) Tính giá trị biểu thức P x2– 0 .

Bài 8. Cho biểu thức:

a a

P

a a a

2

2

( 3) 1 18

2

 

 

   

   .

a) Tìm điều kiện xác định P b) Rút gọn biểu thức P

Bài 9. Cho biểu thức:

x x

P

x x

2

1

2 2 2



 

  .

a) Tìm điều kiện xác định P b) Rút gọn biểu thức P

c) Tìm giá trị x để P 

Bài 10.Cho biểu thức:

x x x x

P

x x x x

2 2 5 50 5

2 10 ( 5)

  

  

  .

a) Tìm điều kiện xác định P b) Tìm giá trị x để P = 1; P = –3 Bài 11.Cho biểu thức:

x P

x x x x

2

2 (2 3)(2 3)



  

    .

a) Tìm điều kiện xác định P b) Rút gọn biểu thức P

c) Tìm giá trị x để P = –1 Bài 12.Cho biểu thức:

x P

x x x x

1 2 10

5 ( 5)( 5)



  

    .

a) Tìm điều kiện xác định P b) Rút gọn biểu thức P

c) Cho P = –3 Tính giá trị biểu thức Q9 – 42x2 x49 Bài 13.Cho biểu thức:

P

x x x2

3 18

3 3 9

  

   .

a) Tìm điều kiện xác định P b) Rút gọn biểu thức P

c) Tìm giá trị x để P = Bài 14.Cho biểu thức:

x x x

P

x x x x

2

2

2 10 50

5 25 5

 

  

  .

a) Tìm điều kiện xác định P b) Rút gọn biểu thức P

c) Tìm giá trị x để P = –4 Bài 15.Cho biểu thức:

x x

P

x

3

3 12

8

  

 a) Tìm điều kiện xác định P

b) Rút gọn biểu thức P c) Tính giá trị P với x

4001 2000 

Bài 16.Cho biểu thức:

x x x x

P

x x x x x

2

3

1 . :

1 1 2 1

    

  

      

  .

a) Tìm điều kiện xác định P b) Rút gọn biểu thức P

c) Tính giá trị P x 

Bài 17.Cho biểu thức:

x x x x

P

x x x x

2 2 5 50 5

2 10 ( 5)

  

  

a) Tìm điều kiện xác định P b) Rút gọn biểu thức P

c) Tìm giá trị x để P = 0; P = 4. d) Tìm giá trị x để P > 0; P < Bài 18.Cho biểu thức:

x x x

P

x x x

2

1 3 4.

2 1 2

    

   

  

  .

a) Tìm điều kiện xác định P

b) CMR: giá trị biểu thức xác định khơng phụ thuộc vào giá trị biến x? Bài 19.Cho biểu thức:

x x x

P

x x x

2

2 2

5 . 100

10 10

    

  

  

  .

a) Tìm điều kiện xác định P b) Rút gọn biểu thức P

c) Tính giá trị P x = 20040 Bài 20.Cho biểu thức:

x x

P

x x

2

10 25

5

 



 .

a) Tìm điều kiện xác định P b) Tìm giá trị x để P = 0; P

5 

c) Tìm giá trị nguyên x để P có giá trị nguyên

I MỞ ĐẦU VỀ PHƯƠNG TRÌNH

VẤN ĐỀ I Chứng minh số nghiệm phương trình Phương pháp: Dùng mệnh đề sau:

 x0 nghiệm phương trình A x( )B x( )  A x( )0 B x( )0

 x0 không nghiệm phương trình A x( )B x( )  A x( )0 B x( )0 Bài 3. Xét xem x0 có nghiệm phương trình hay khơng?

a) 3(2 x) 2   x; x02 b) 5x 3 x1; x0  c) 3x 5 x 1; x02 d) 2(x4) 3  x; x02 e) 3 x x  5; x04 f) 2(x1) 3 x8; x02 g) 5x (x 1) 7 ; x01 h) 3x 2 x1; x03

Bài 4. Xét xem x0 có nghiệm phương trình hay không?

a) x2 3x  7 2x; x02 b) x2 3x 10 0 ; x02

c) x2 3x4 2( x1); x0 2 d) (x1)(x 2)(x 5) 0 ; x0 1 e) 2x23x 1 0; x01 f) 4x2 3x2x1; x05

Bài 5. Tìm giá trị k cho phương trình có nghiệm x0 ra:

a) 2x k x  –1; x02 b) (2x1)(9x2 ) –5(k x2) 40 ; x0 2 c) 2(2x1) 18 3(  x2)(2x k ); x0 1 d) 5(k3 )(x x1) – 4(1 ) 80 x  ; x0 2

VẤN ĐỀ II Số nghiệm phương trình Phương pháp: Dùng mệnh đề sau:

 Phương trình A x( )B x( ) vô nghiệm  A x( )B x( ),x

 Phương trình A x( )B x( ) có vơ số nghiệm  A x( )B x( ),x Bài 1. Chứng tỏ phương trình sau vơ nghiệm:

a) 2x 5 4(x 1) 2( x 3) b) 2x 2( x 3)

c) x 1 d) x2 4x 6

Bài 2. Chứng tỏ phương trình sau có vơ số nghiệm:

a) 4(x 2) 3 x x  b) 4(x 3) 16 4(1 )   x

c) 2(x1) 2 x d) x x

e) (x2)2 x24x4 f) (3 x)2x2 6x9 Bài 3. Chứng tỏ phương trình sau có nhiều nghiệm:

a) x2 0 b) (x 1)(x 2) 0

c) (x 1)(2 x x)( 3) 0 d) x2 3x0

e) x1 3 f) 2x 1

VẤN ĐỀ III Chứng minh hai phương trình tương đương

Để chứng minh hai phương trình tương đương, ta sử dụng cách sau:  Chứng minh hai phương trình có tập nghiệm.

 Sử dụng phép biến đổi tương đương để biến đổi phương trình thành phương trình kia.  Hai qui tắc biến đổi phương trình:

– Qui tắc chuyển vế: Trong phương trình, ta chuyển hạng tử từ vế sang vế kia đổi dấu hạng tử đó.

– Qui tắc nhân: Trong phương trình, ta nhân hai vế với số khác 0. Bài 1. Xét xem phương trình sau có tương đương hay khơng?

a) 3x3 x 0 b) x 3 0 3x 9 c) x 0 (x 2)(x3) 0 d) 2x 0 x x(  3) 0 Bài 2. Xét xem phương trình sau có tương đương hay khơng?

a) x22 0 x x( 22) 0 b) x 1 x x2 1 c) x 2 0

x

x2 0 d) x x x x

21  1

II PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN

VẤN ĐỀ I Phương trình đưa dạng phương trình bậc nhất Bài 1. Giải phương trình sau:

a) –10 0x  b) 7 –3x 9 x c) 2 –(3 – ) 4(x x  x3) d) (6  x) 4(3 )  x e) 4(x3)7x17 f)

x x

5(  3) 2(  1) 7

g) 5(x 3) 2(  x1) 7 h) 4(3x 2) 3( x 4) 7 x20 ĐS: a) x

5 

b) x1 c) x5 d) x 13

9 

e)x 11 

f)x8 g)x8 h) x8

Bài 2. Giải phương trình sau:

a) (3x 1)(x3) (2  x)(5 ) x b) (x5)(2x 1) (2 x 3)(x1) c) (x1)(x9) ( x3)(x5) d) (3x5)(2x1) (6 x 2)(x 3) e) (x2)22(x 4) ( x 4)(x 2) f) (x1)(2x 3) 3( x 2) 2( x1)2 ĐS: a)x

13 19 

b)x 

c)x3 d)x 33 

e)x1 f) vô

nghiệm

a) (3x2)2 (3x 2)25x38 b) 3(x 2)29(x 1) 3( x2 x 3)

c) (x3)2 (x 3)2 6x18 d) ( –1) – (x x x1)25 (2 – ) –11(x x x2) e) (x1)(x2 x1) 2 x x x (  1)(x1) f) ( –2)x 3(3 –1)(3x x1) ( x1)3 ĐS: a) x2 b) x2 c) x3 d)x7 e) x1 f) x

10  Bài 4. Giải phương trình sau:

a)

x 5x 15x x 5

3  12  4 b)

x x x x

8 3 2

4 2

   

  

c)

x x 2x 13 0

2 15

  

  

d)

x x x

3(3 ) 2(5 ) 2

8

  

  

e)

x x x

3(5 2) 2 5( 7)

4



   

f)

x 2x x x

2

  

  

g)

x x x 7 1

11

  

  

h)

x x x

3 0,4 1,5 0,5

2

  

 

ĐS: a) x 30

7 

b) x0 c) x16 d) x 11 e) x6 f) x 53 10 

g) x

28 31 

h) x 19  Bài 5. Giải phương trình sau:

a)

x x x

2

5 15

  

 

b)

x x x 5 1

2

  

  

c)

x x x x

2( 5) 12 5( 2) 11

3

  

   

d)

x 3x x 2x 7x

5 10

   

   

e)

x x x

2( 3) 13

7 21

  

 

f)

x x x

3 1

2

 

 

   

 

ĐS: a) x tuỳ ý b) x tuỳ ý c) x tuỳ ý d) vô nghiệm e) vô nghiệm f) vô nghiệm Bài 6. Giải phương trình sau:

a)

x x x x x x

( 2)( 10) ( 4)( 10) ( 2)( 4)

3 12

     

 

b)

x x x

( 2) 2(2 1) 25 ( 2)

8

 

   

c)

x x x x

(2 3)(2 3) ( 4) ( 2)

8

   

 

d)

x2 x x x

7 14 (2 1) ( 1)

15

   

 

e)

x x x x x

(7 1)( 2) ( 2) ( 1)( 3)

10 5

    

  

ĐS: a) x8 b) x9 c) x 123

64 

d) x 12 

e) x 19 15  Bài 7. Giải phương trình sau: (Biến đổi đặc biệt)

a)

x x x x

35 33 31 29

   

  

(HD: Cộng thêm vào hạng tử) b)

x 10 x x x x 1994 1996 1998 2000 2002

    

    

x 2002 x 2000 x 1998 x 1996 x 1994

2 10

    

    

c)

x 1991 x 1993 x 1995 x 1997 x 1999

9

    

    

x x x x x 1991 1993 1995 1997 1999

    

    

(HD: Trừ vào hạng tử) d)

x 85 x 74 x 67 x 64 10

15 13 11

   

   

(Chú ý: 10 4    ) e)

x 2x 13 3x 15 4x 27

13 15 27 29

   

  

(HD: Thêm bớt vào hạng tử) ĐS: a) x36 b) x2004 c) x2000 d) x100 e) x14

Bài 8. Giải phương trình sau: (Biến đổi đặc biệt) a)

x x x x

65 63 61 59

   

  

b)

x 29 x 27 x 17 x 15

31 33 43 45

   

  

c)

x x x 10 x 12 1999 1997 1995 1993

   

  

d)

x x x x

1909 1907 1905 1903 4 0

91 93 95 91

   

    

e)

x 29 x 27 x 25 x 23 x 21 x 19 1970 1972 1974 1976 1978 1980

     

     

x 1970 x 1972 x 1974 x 1976 x 1978 x 1980

29 27 25 23 21 19

     

     

ĐS: a) x66 b) x60 c) x2005 d) x 2000 e) x1999

VẤN ĐỀ II Phương trình tích Để giải phương trình tích, ta áp dụng cơng thức:

A x B x( ) ( ) A x( ) 0 B x( ) 0  A x B x( ) 0( )

 

 



Ta giải hai phương trình A x( ) 0 B x( ) 0 , lấy tất nghiệm chúng. Bài 1. Giải phương trình sau:

a) (5x 4)(4x6) 0 b) (3,5x 7)(2,1x 6,3) 0 c) (4x 10)(24 ) 0 x  d) (x 3)(2x1) 0

e) (5x 10)(8 ) 0 x  f) (9 )(15 ) 0 x  x  ĐS: a)x x

4;

5

 

b) x2;x3 c) x x 5;

2 24

 

d) x x 3;

2

e) x2;x4 f) x3;x5 Bài 2. Giải phương trình sau:

a) (2x1)(x22) 0 b) (x24)(7x 3) 0 c) (x2 x 1)(6 ) 0 x  d) (8x 4)(x22x2) 0 ĐS: a)x

1 

b) x 

c) x3 d) x  Bài 3. Giải phương trình sau:

a) (x 5)(3 )(3 x x4) 0 b) (2x1)(3x2)(5 x) 0 c) (2x1)(x 3)(x7) 0 d) (3 )(6 x x4)(5 ) 0 x  e) (x1)(x3)(x5)(x 6) 0 f) (2x1)(3x 2)(5x 8)(2x1) 0 ĐS: a) S

3

5; ;

2

 

     b) S

1; 2; 5

2

 

   

  c) S ;3; 72

 

  

  d) S

3; 5;

2

 

  

 

e) S 



1; 3; 5;6 



f) S

1 1; ; ;

 

  

 

Bài 4. Giải phương trình sau:

a) (x 2)(3x5) (2 x 4)(x1) b) (2x5)(x 4) ( x 5)(4 x) c) 9x2 (3 x1)(2x 3) d) 2(9x26x1) (3 x1)(x 2) e) 27 (x x2 3) 12( x23 ) 0x  f) 16x2 8x 1 4(x3)(4x 1) ĐS: a) x2;x3 b) x0;x4c)x 1;3 x2 d)x x

1;

3

 

e) x x x 0; 3;

9

  

f) x  Bài 5. Giải phương trình sau:

a) (2x1)249 b) (5x 3)2 (4x 7)2 0 c) (2x7)2 9(x2)2 d) (x2)29(x2 4x4)

e) 4(2x7)2 9(x3)2 0 f) (5x2 2x10)2 (3x210x 8)2 ĐS: a) x4;x3 b) x x

10 4;

9

 

c) x x 13 1;

5

 

d) x1;x4 e) x x

23 5;

7

 

f) x x 3;

2

 

Bài 6. Giải phương trình sau:

a) (9x2 4)(x1) (3 x2)(x2 1) b) (x 1) 12 x2  (1 x x)( 3) c) (x2 1)(x2)(x 3) ( x 1)(x2 4)(x5) d) x4x3x 1

e) x3 7x6 0 f) x4 4x312x 0 g) x5 5x34x0 h) x4 4x33x24x 0 ĐS: a)x x x

2; 1;

3

  

b) x1;x1 c) x x x 1; 2;

5

  

Bài 7. Giải phương trình sau: (Đặt ẩn phụ)

a) (x2x)24(x2x) 12 0  b) x2 x x2 x

( 2 3)  9( 2 3) 18 0 

c) (x 2)(x2)(x2 10) 72 d) x x( 1)(x2 x 1) 42 e) (x 1)(x 3)(x5)(x7) 297 0  f) x4 2x2 144x 1295 0

ĐS: a)x1;x2 b) x0;x1;x2;x 3 c) x4;x4 d) x2;x3 e) x4;x8 f) x5;x 7

VẤN ĐỀ III Phương trình chứa ẩn mẫu Các bước giải phương trình chứa ẩn mẫu:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định phương trình.

Bước 2: Qui đồng mẫu hai vế phương trình, khử mẫu.

Bước 3: Giải phương trình vừa nhân được.

Bước 4: (Kết luận) Trong giá trị ẩn tìm bước 3, các giá trị thoả mãn điều kiện xác định nghiệm phương trình cho.

Bài 1. Giải phương trình sau: a)

x x

4 29    b) x x 1 2    c) x x x x

4 5 2

1



 

 

d) x x

7

2 

  e)

x x

x x

2 0

2



 

 f)

x x x

x

12 10 20 17

11 18

  

 

 ĐS: a) x

136 17 

b) x 11

8 

c) x3 d) x 41

4 

e) x 

f) x2 Bài 2. Giải phương trình sau:

a) x x x

11

1

 

  b)

x

x x x

14

3 12

       c) x x x x x2

12 3

1 3

1

 

 

 

 d)

x x x

x2 x x2 x2 x

5 25

5 50 10

  

 

  

e)

x x

x x x2

1 16

1 1

 

 

   f)

x x x x

x x x

1 1

1 ( 2)

1 1

    

   

 

  

 

ĐS: a)x44 b) x5 c)x1 d) vô nghiệm e)x4 f) x3

Bài 3. Giải phương trình sau: a)

x

x x

x2 x

6

2

7 10



 

 

  b)

x x

x x x x

x2

2 0

( 2) ( 2)

4

 

  

 

c)

x x

x x x x x

2

1 ( 1)

3 2 3



  

     d) x x x2 x

1

2 3 6

   

e)

x

x x x x

2

3

2 16

2 8 2 4



 

    f)

x x x

x x x x x

2

2

1 2( 2)

1 1

  

 

    

ĐS: a)x 

b) vô nghiệm c) x 

d) x4 e) vô nghiệm f) x

5  Bài 4. Giải phương trình sau:

a) x x x x

8 11 10

8 11 9 10

    b)

x x x x

x 3 x 5x 4 x

c) x2 x x2 x

4 1 0

3 2 1 

    d) x x x x

1

1 2 3

   

ĐS: a) x x 19 0;

2

 

b) x x 0;

2

 

c) x0;x 3 d) x 6;x 12

5

 

Bài 5. Giải phương trình sau:

a) b)

III GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH Các bước giải tốn cách lập phương trình:

Bước 1:Lập phương trình

– Chọn ẩn số đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số.

– Biểu diễn đại lượng chưa biết khác theo ẩn đại lượng biết. – Lập phương trình biểu thị mối quan hệ đại lượng.

Bước 2: Giải phương trình Bước 3: Trả lời

Kiểm tra xem nghiệm phương trình, nghiệm thoả mãn điều kiện ẩn, nghiệm không, kết luận.

VẤN ĐỀ I Loại so sánh Trong đầu thường có từ:

– nhiều hơn, thêm, đắt hơn, chậm hơn, : tương ứng với phép tốn cộng. – hơn, bớt, rẻ hơn, nhanh hơn, : tương ứng với phép toán trừ.

– gấp nhiều lần: tương ứng với phép toán nhân. – nhiều lần: tương ứng với phép tốn chia.

Bài 1. Tìm hai số ngun liên tiếp, biết lần số nhỏ cộng lần số lớn –87 ĐS: 18; 17 .

Bài 2. Một phân số có tử số nhỏ mẫu số Nếu thêm đơn vị vào tử số bớt mẫu số đơn vị ta phân số

3

4 Tìm phân số cho. ĐS:

7 15

Bài 3. Tổng số 45 Nếu lấy số thứ cộng thêm 2, số thứ hai trừ 2, số thứ ba nhân với 2, số thứ tư chi cho bốn kết Tìm số ban đầu

ĐS: 8; 12; 5; 20

Bài 4. Thương hai số Nếu tăng số bị chia lên 10 giảm số chia nửa hiệu hai số 30 Tìm hai số

ĐS: 24;

Bài 5. Một đội công nhân sửa đoạn đường ngày Ngày thứ đội sửa 3 đoạn đường, ngày thứ hai đội sửa đoạn đường

4

3 đoạn làm ngày thứ nhất, ngày thứ ba đội sửa 80m cịn lại Tính chiều dài đoạn đường mà đội phải sửa

ĐS: 360m

Bài 6. Hai phân xưởng có tổng cộng 220 công nhân Sau chuyển 10 công nhân phân xưởng sang phân xưởng

2

3 số công nhân phân xưởng

5 số cơng nhân phân xưởng 2. Tính số công nhân phân xưởng lúc đầu

ĐS: Phân xưởng có 120 cơng nhân, phân xưởng có 90 cơng nhân

Bài 7. Hai bể nước chứa 800 lít nước 1300 lít nước Người ta tháo lúc bể thứ 15 lít/phút, bể thứ hai 25 lít/phút Hỏi sau số nước bể thứ

2

3 số nước bể thứ hai?

ĐS: 40 phút

hiện ĐS: 14 tuổi

Bài 9. Tìm số có chữ số hàng đơn vị 2, biết xố chữ số số giảm 200 ĐS: 222

Bài 10 Gia đình Đào có người: bố, mẹ, bé Mai Đào Tuổi trung bình nhà 23 Nếu viết thêm chữ số vào bên phải tuổi bé Mai tuổi bố, tuổi mẹ

9 10 tuổi bố gấp lần tuổi Đào Tìm tuổi người gia đình Đào

ĐS: Tuổi bố, mẹ, bé Mai Đào là: 40, 36, 4, 12

Bài 11 Nhân ngày tháng 6, phân đội thiếu niên tặng số kẹo số kẹo chia hết chia cho đội viên phân đội Để đảm bảo nguyên tắc chia ấy, đội trưởng đề xuất cách chia sau:

– Bạn thứ nhận viên kẹo lấy thêm

11 số kẹo lại.

– Sau bạn thứ lấy phần mình, bạn thứ hai nhận viên kẹo lấy thêm 11 số kẹo lại

Cứ đến bạn cuối cùng, thứ n, nhận n viên kẹo lấy thêm

11 số kẹo lại. Hỏi phân đội có đội viên đội viên nhận viên kẹo

ĐS: 10 đội viên, mỗi đội viện nhận 10 viên kẹo.

Bài 12 Một người bán số sầu riêng thu hoạch sau: – Lần thứ bán trái

1

6 số sầu riêng lại. – Lần thứ hai bán 18 trái

1

6 số sầu riêng lại mới. – Lần thứ ba bá 27 trái

1

6 số sầu riêng lại mới, v.v

Với cách bán lần sau vừa hết số sầu riêng bán lần Hỏi người bán lần số sầu riêng thu hoạch trái? ĐS: 225 trái,bán 5 lần.

Bài 13 Ba lớp A, B, C góp sách tặng bạn học sinh vùng khó khăn, tất 358 Tỉ số số sách lớp A so với lớp B

6

11 Tỉ số số sách lớp A so với lớp C 10. Hỏi lớp góp sách?

ĐS: Lớp A: 84 cuốn; lớp B: 154 cuốn; lớp C: 120 cuốn.

Bài 14 Dân số tỉnh A 612060 người Hàng năm dân số tỉnh tăng 1% Hỏi hai năm trước dân số tỉnh A bao nhiêu?

ĐS: 600000 người.

VẤN ĐỀ II Loại tìm số gồm hai, ba chữ số

 Số có hai chữ số có dạng: xy10x y Điều kiện: x y N,  ,0x9,0 y 9.

 Số có ba chữ số có dạng: xyz100x10y z Điều kiện: x y z N, ,  ,0x9,0y z, 9. Bài 1. Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng:

– Tổng hai chữ số 12

– Nếu đổi chỗ hai chữ số số lớn số 36 ĐS: 48

Bài 2. Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng: – Tổng hai chữ số 10

– Nếu viết số theo thứ tự ngược lại số nhỏ số 36 ĐS: 73

Bài 3. Một số tự nhiên có chữ số Nếu thêm chữ số vào bên phải hay bên trái số ta số có chữ số Biết viết thêm vào bên phải số số lớn gấp ba lần số nhận ta viết thêm vào bên trái số Tìm số

ĐS: 42857

Bài 4. Một số có hai chữ số, chữ số hàng chục gấp lần chữ số hàng đơn vị Nếu đổi chỗ hai chữ số ta số có hai chữ số nhỏ số ban đầu 18 đơn vị Tìm số

ĐS: 31

Bài 5. Một số tự nhiên có hai chữ số có tổng chữ số Nếu thêm chữ số vào hai chữ số ta số có chữ số lớn số cho 180 Tìm số

ĐS: 25 Bài 6.

ĐS:

VẤN ĐỀ III Loại làm chung - làm riêng việc

 Khi công việc không đo số lượng cụ thể, ta coi tồn cơng việc đơn vị công việc, biểu thị số 1.

 Năng suất làm việc phần việc làm đơn vị thời gian.

Gọi A khối lượng công việc, n suất, t thời gian làm việc Ta có: A nt .  Tổng suất riêng suất chung làm.

Bài 1. Hai người làm công việc 24 xong Năng suất người thứ

2 suất ngwòi thứ hai Hỏi người làm cơng việc phải mất thời gian bao lâu?

ĐS: 40 giờ; 60 giờ.

Bài 2. Một bồn chứa có đặt hai vịi nước chảy vào vịi tháo nước – Bồn trống không, mở riêng vịi thứ sau bồn đầy nước – Bồn trống khơng, mở riêng vịi thứ hai sau bồn đầy nước

– Bồn trống khơng, đồng thời mở ba vịi sau 12 phút bồn đầy nước Hỏi bồn chứa đầy nước, mở riêng vịi tháo nước sau tháo ra? ĐS: 36 phút.

phẩm nên sau 16 ngày anh làm xong làm thêm 20 sản phẩm ngồi kế hoạch Tính xem ngày anh làm sản phẩm

ĐS: 75 sản phẩm.

VẤN ĐỀ IV Loại chuyển động đều

 Gọi d quãng đường động tử đi, v vận tốc, t thời gian đi, ta có: d vt .  Vận tốc xi dịng nước = Vận tốc lúc nước yên lặng + Vận tốc dòng nước  Vận tốc ngược dòng nước = Vận tốc lúc nước yên lặng – Vận tốc dòng nước

Bài 1. Một xe vận tải từ địa điểm A đến địa điểm B với vận tốc 50 km/h, từ B quay A với vận tốc 40 km/h Cả thời gian 24 phút Tìm chiều dài quãng đường từ A đến B

ĐS: 120km.

Bài 2. Một xe đạp khởi hành từ điểm A, chạy với vận tốc 20 km/h Sau giờ, xe đuổi theo với vận tốc 50 km/h Hỏi xe chạy đuổi kịp xe đạp?

ĐS: 2 giờ.

Bài 3. Một người xe gắn máy, từ địa điểm A đến địa điểm B quãng đường dài 35km Lúc trở người theo đường khác dài 42km với vận tốc vận tốc lượt km/h Thời gian lượt

3

2 thời gian lượt Tìm vận tốc lượt lượt về. ĐS: Vận tốc lượt 30 km/h; vận tốc lượt 24 km/h.

Bài 4. Một xe tải từ A đến B với vận tốc 50 km/h Đi 24 phút gặp đường xấu nên vận tốc quãng đường cịn lại giảm cịn 40 km/h Vì đến nơi chậm 18 phút Tìm chiều dài quãng đường từ A đến B

ĐS: 80km.

Bài 5. Lúc 15 phút, ô tô từ A để đên B với vận tốc 70 km/h Khi đến B, ô tô nghỉ rưỡi, quay A với vận tốc 60 km/h đến A lúc 11 ngày Tính quãng đường AB

ĐS: 105 km.

Bài 6. Hàng ngày Tuấn xe đạp đến trường với vận tốc 12 km/h Sáng dậy muộn, Tuấn xuất phát chậm phút Tuấn nhẩm tính, để đến trường hơm trước Tuấn phải với vận tốc 15 km/h Tính quãng đường từ nhà Tuấn đến trường

ĐS: 2 km.

Bài 7. Một người xe máy từ thành phố Thanh Hoá thành phố Vinh Nếu chạy với vận tốc 25 km/h muộn so với dự định Nếu chạy với vận tốc 30 km/h đường nghỉ muộn Hỏi để đến nơi mà dọc đường khơng nghỉ xe phải chạy kilômet?

ĐS: 37,5 km.

Bài 8. Hai ô tô khởi hành lúc để từ Huế Đà Nẵng Vận tốc xe thứ 40 km/h, vận tốc xe thứ hai 60 km/h Xe thứ hai đến Đà Nẵng nghỉ nửa quay lại Huế gặp xe thứ cách Đà Nẵng 10 km Tính quãng đường Huế - Đà Nẵng

ĐS: 110 km.

Bài 9. Quãng đường AD dài km, gồm đoạn AB lên dốc, đoạn BC nằm ngang, đoạn CD xuống dốc Một người từ A đến D quay trở A hết tất 41 phút Tính quãng đường BC, biết vận tốc lúc lên dốc người km/h, lúc xuống dốc km/h lúc đường nằm ngang km/h

ĐS: 4 km.

ĐS: 450 km.

Bài 11 Một đò máy xi dịng từ bến A đến bến B ngược dòng từ B A giờ. Vận tốc dịng nước km/h Tìm chiều dài quãng đường từ A đến B

ĐS: 80km.

Bài 12 Một ca nơ xi dịng từ A đến B ngược dòng từ B đến A Tính khoảng cách AB, biết vận tốc dòng nước km/h

ĐS: 120 km.

Bài 13 Hai bến sông A B cách 40 km Cùng lúc với ca nơ xi dịng từ bến A, có một bè trôi từ bến A với vận tốc km/h Sau đến B, ca nô trở bêbs A gặp bè bè trôi km Tính vận tốc ca nơ

ĐS: 27 km/h.

Bài 14 Một thuyền từ bến A đến bến B hết giờ, từ bến B đến bến A hết Hỏi một đám béo trôi theo dịng sơng từ A đến B hết bao lâu?

ĐS: 35 giờ. Bài 15

ĐS:

VẤN ĐỀ V Loại có nội dung hình học

 Hình chữ nhật có hai kích thước a, b Diện tích: S ab ; Chu vi: P2(a b )  Tam giác vng có hai cạnh góc vng a, b Diện tích:

S 1ab 

Bài 1. Chu vi khu vườn hình chữ nhật 60m, hiệu độ dài chiều dài chiều rộng m

20 Tìm độ dài cạnh hình chữ nhật. ĐS: 5 ;25m m

Bài 2. Một đất hình chữ nhật có chu vi 56m Nếu giảm chiều rộng 2m tăng chiều dài m

4 diện tích tăng thêm 8m2 Tìm chiều rộng chiều dài đất. ĐS: 12 ;16m m

Bài 3. Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài lần chiều rộng Nếu tăng cạnh thêm m

5 diện tích khu vườn tăng thêm 385m2 Tính độ dài cạnh khu vườn. ĐS: 18 ;54m m

Bài 4. Hiệu số đo chu vi hai hình vng 32m hiệu số đo diện tích chúng 464m2 Tìm số đo cạnh hình vng

ĐS: cạnh hình vng nhỏ 25m; cạnh hình vng lớn 33m.

Bài 5. Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 450m Nếu giàm chiều dài

5 chiều dài cũ và tăng chiều rộng thêm

1

4 chiều rộng cũ chu vi hình chữ nhật khơng đổi Tính chiều dài và chiều rộng khu vườn

ĐS: 100 ;125m m

Bài 6. Một khu đất hình chữ nhật có chiều dài chiều rộng 10m Nếu chiều dài tăng thêm 6m, chiều rộng giảm 3m diện tích tăng diện tích cũ 12m2 Tính kích thước khu đất

Bài 7. ĐS:

BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG III Bài 1. Giải phương trình sau:

a) 6x2 5x 3 2x (3 )x  x b)

x x x x

2( 4)

4 10

  

  

c)

x x x

2 3(2 1)

3

 

  

d)

x x x x

6 10 2

2

  

  

e) (x 4)(x4) 2(3 x 2) ( x 4)2 f) (x1)3 (x 1)36(x2 x 1) ĐS: a) x

3 

b) x5 c) x 17 19 

d) x 

e) x14 f) x  Bài 2. Giải phương trình sau:

a) (4x 3)(2x1) ( x 3)(4x 3) b) 25x2 (5 x3)(2x1) c) (3x 4)2 4(x1)20 d) x42x3 3x2 8x 0 e) (x 2)(x2)(x2 10) 72 f) 2x37x27x 2 ĐS: a) S ; 24

 

  

  b) S

3 4;

 

  

  c) S ;65    

  d) S 



1; 2;2



e) S 



4;4



f) S

1 2; 1;

2

 

    

 

Bài 3. Giải phương trình sau: a)

x x x x

98 96 94 92

   

  

b)

x 2x 45 3x 4x 69

13 15 37

   

  

ĐS: a) x100 b) x15 Bài 4. Giải phương trình sau:

a) x x x2

2

2 1 2 1 4 1 b)

x x

x x2 x x

2 18

1 2 3



 

   

c)

x

x x x x

2

3

1

1 1 1



 

   

ĐS: a) x 

b) x1 c) x0

Bài 5. Thương hai số Nếu tăng số bị chia 10 đơn vị giảm số chia nửa số thứ thu lớn số thứ hai thu 30 Tìm hai số ban đầu

ĐS: 24 và

Bài 6. Chu vi hình chữ nhật 140 m, hiệu số đo chiều dài chiều rộng 10 m Tìm số đo cạnh hình chữ nhật

ĐS: 30 m và 40 m

thứ gấp đơi lượng dầu cịn lại thùng thứ hai Hỏi lấy lít dầu? ĐS: 26 lít 78 lít.

Bài 8. Chu vi bánh xe lớn đầu máy xe lửa 5,6 m bánh xe nhỏ 2,4 m Khi xe chạy từ ga A đến ga B bánh nhỏ lăn nhiều bánh lớn 4000 vòng Tính quãng đường AB

ĐS: 16800 m

Bài 9. Hai vòi nước chảy 12 đầy hồ nước Cho hai vịi chảy khố vịi thứ lại cho vòi thứ hai chảy tiếp với lưu lượng mạnh gấp đơi phải 30 phút đầy hồ Hỏi vịi chảy với lưu lượng ban đầu phải đầy hồ

ĐS: Vòi thứ chảy 28 giờ, vòi thứ hai chảy 21 giờ.

Bài 10 Một ô tô quãng đường dài 60 km thời gian định Ơ tơ nửa quãng đường đầu với vận tốc dự định 10 km/h nửa quãng đường lại với vận tốc thấp dự định km/h ô tô đến thời gian định Tính thời gian ô tô dự định quãng đường

ĐS: giờ

Bài 11 Một xe tơ từ Hà Nội Thanh Hố Sau 43 km dừng lại 40 phút Để về đến Thanh Hoá định phải với vận tốc 1,2 lần vận tốc trước Tính vận tốc lúc đầu, biết quãng đường Hà Nội - Thanh Hoá dài 163 km

ĐS: 30 km.

Bài 12 Hai người khởi hành từ A để đến B Người thứ nửa thời gian đầu với vận tốc km/h, nửa thời gian sau với vận tốc km/h Người thứ hai nửa quãng đường đầu với vận tốc km/h nửa quãng đường sau với vận tốc km/h Hỏi người đến B trước? ĐS: Người thứ đến trước.

Bài 13. ĐS:

I BẤT ĐẲNG THỨC 1 Bất đẳng thức

Ta gọi hệ thức dạng a < b (hay a > b, a ≤ b, a ≥ b) bất đẳng thức gọi a vế trái, b vế phải bất đẳng thức.

2 Tính chất

3 Một số bất đẳng thức thơng dụng

CHƯƠNG IV: BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN

Điều kiện Nội dung

a < b  a + c < b + c (1) c > 0 a < b  ac < bc (2a) c < 0 a < b  ac > bc (2b) a < b c < d  a + c < b + d (3) a > 0, c > 0 a < b c < d  ac < bd (4) n nguyên dương 0 < a < b a < b  a2n+1 < b2n+1 (5a)

 a2n < b2n (5b) ab > 0

a > b  a b

1

 (6a)

ab < 0

a > b  a b

1

a) a20,a Dấu "=" xảy  a = 0 a2b22ab Dấu "=" xảy  a = b.

b) Bất đẳng thức Cô–si:

Với a, b  0, ta có:

a b ab

 

Dấu

"=" xảy  a = b

Hệ quả: – Nếu x, y > có S = x + y khơng đổi P = xy lớn  x = y.

– Nếu x, y > có P = x y khơng đổi S = x + y nhỏ nhất  x = y.

c) Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối

d) Bất đẳng thức cạnh tam giác

Với a, b, c là độ dài cạnh tam giác, ta có:

+ a, b, c > 0. + a b c a b    ; b c a b c    ; c a b c a   

4 Chứng minh bất đẳng thức

Chứng minh BĐT lập luận để khẳng định tính đắn BĐT đó. Để chứng minh BĐT ta thường sử dụng:

– Tính chất quan hệ thứ tự số. – Tính chất bất đẳng thức.

– Một số BĐT thông dụng.

VẤN ĐỀ 1: Chứng minh BĐT dựa vào định nghia tính chất bản  Để chứng minh BĐT ta sử dụng cách sau:

– Biến đổi BĐT cần chứng minh tương đương với BĐT biết. – Sử dụng BĐT biết, biến đổi để dẫn đến BĐT cần chứng minh.  Một số BĐT thường dùng:

+ A2 0 + A2B20 + A B 0 với A, B  0. + A2B2 2AB

Chú ý:

– Trong trình biến đổi, ta thường ý đến đẳng thức.

– Khi chứng minh BĐT ta thường tìm điều kiện để dấu đẳng thức xảy Khi ta tìm GTLN, GTNN biểu thức.

Bài 1. Cho a, b, c, d, e  R Chứng minh bất đẳng thức sau:

a) a2b2c2 ab bc ca  b) a2b2 1 ab a b  c) a2b2c2 3 2(a b c  ) d) a2b2c2 2(ab bc ca  ) e) a4b4c2 1 (a ab2 a c 1) f)

a2 b2 c2 ab ac 2bc

4     

Điều kiện Nội dung

x 0, x x x , x

a > 0

x a   a x a 

x a

x a   x a  

g) a2(1b2)b2(1c2)c2(1a2) 6 abc h) a2b2c2d2e2a b c d e(    ) HD: a)  (a b )2(b c )2(c a )20 b)  (a b )2(a1)2(b1)20

c)  (a1)2(b1)2( 1)c 20 d)  (a b c  )2 0

e)  (a2 b2 2) (a c )2(a1)2 0 f) 

a (b c) 0

 

  

 

 

g)  (a bc )2(b ca )2(c ab )2 0

h) 

a b a c a d a e 0

2 2

       

       

       

       

Bài 2. Cho a, b, c  R Chứng minh bất đẳng thức sau:

a)

a b a b

ab

2 2 2

2

   

  

  b)

a3 b3 a b

2

 

 

 

  ; với a, b  0 c) a4b4a b ab3  d) a4 3 4a

e) a3b3c33abc, với a, b, c > 0 f)

a b

a b

b a

6 4

2

  

; với a, b  0

g) a2 b2 ab

1

1

1 1   ; với ab 1 h) (a5b a b5)(  ) ( a4b a4)( 2b2); với ab > 0.

HD: a)

a b ab (a b)2 0

2

   

  

 

  ;

a2 b2 a b (a b)2 0

2

 

  

    

 

b) 

a b a b ( )( )

8    c)  (a3 b a b3)(  ) 0 d)  (a1) (2 a22a3) 0 e) Chú ý: a3b3 (a b )3 3a b2  3ab2

BĐT  a b c a b c ab bc ca 2

(   )    (   ) 0

. f)  (a2 b2 2) (a4a b2 2b4) 0 g) 

b a ab

ab a b

2

2

( ) ( 1) 0

(1 )(1 )(1 )

 



  

h)  ab a b a(  )( 3 b3) 0 .

Bài 3. Cho a, b, c, d  R Chứng minh a2b22ab (1) Áp dụng chứng minh bất đẳng thức sau:

a) a4b4c4d44abcd b) (a21)(b21)(c21) 8 abc c) (a24)(b24)(c24)(d24) 256 abcd

HD: a) a4b42a b c2 2; 2d2 2c d2 2; a b2 2c d2 2abcd b) a2 1 ;a b2 1 ;b c2 1 2c

c) a2 4 ;a b2 4 ;b c2 4 ;c d2 4 4d

Bài 4. Cho a, b, c, d > Chứng minh a

b 1

a a c b b c  

a)

a b c

a b b c c a

1   2

   b)

a b c d

a b c b c d c d a d a b

1    2

       

c)

a b b c c d d a

a b c b c d c d a d a b

2        3

       

HD: BĐT (1)  (a – b)c < 0. a) Sử dụng (1), ta được:

a a a c

a b c a b a b c 

 

     ;

b b b a

a b c b c a b c 

 

     ;

c c c b

a b c c a a b c 

 

     .

Cộng BĐT vế theo vế, ta đpcm. b) Sử dụng tính chất phân số, ta có:

a a a

a b c d a b c a c       

Tương tự:

b b b

a b c d b c d b d        ;

c c c

a b c d c d a a c        ;

d d d

a b c d d a b d b        Cộng BĐT vế theo vế ta đpcm. c) Chứng minh tương tự câu b) Ta có:

a b a b a b d

a b c d a b c a b c d

   

 

       

Cùng với BĐT tương tự, ta suy đpcm

Bài 5. Cho a, b, c  R Chứng minh bất đẳng thức: a2b2c2 ab bc ca  (1) Áp dụng chứng minh bất đẳng thức sau:

a) (a b c  )2 3(a2b2c2) b)

a2 b2 c2 a b c

3

 

   

 

 

c) (a b c  )2 3(ab bc ca  ) d) a4b4c4 abc a b c(   ) HD:  (a b )2(b c )2(c a )20.

a) Khai triển, rút gọn, đưa (1) b, c) Vận dụng a) d) Sử dụng (1) hai lần

Bài 6. Cho a, b  Chứng minh bất đẳng thức: a3b3 a b b a ab a b2   (  ) (1) Áp dụng chứng minh bất đẳng thức sau:

a) a3 b3 abc b3 c3 abc c3 a3 abc abc

1 1

  

      ; với a, b, c > 0.

b) a3 b3 b3 c3 c3 a3

1 1 1

1 1 1

      ; với a, b, c > 0 abc = 1.

c) a b b c c a

1 1 1

1 1 1

      ; với a, b, c > 0 abc = 1. HD: (1)  (a2 b a b2)(  ) 0 .

a) Từ (1)  a3b3abc ab a b c (   )  a3 b3 abc ab a b c

1

( )



 

  .

Cùng với BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta suy đpcm. b, c) Sử dụng a).

a) ab bc ca a b   2+ 2c2<2(ab bc ca  ) b) abc(a b c b c a a c b  )(   )(   ) c) 2a b2 22b c2 22c a2 2 a4 b4 c4 0 d) a b c(  )2b c a(  )2c a b(  )2a3b3c3

HD: a) Sử dụng BĐT tam giác, ta có: a b c   a2 b2 2bc c 2. Cùng với BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta suy đpcm.

b) Ta có: a2 a2 (b c )2 a2 (a b c a b c  )(   ). Cùng với BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta suy đpcm. c)  (a b c a b c b c a c a b  )(   )(   )(   ) 0 .

d)  (a b c b c a c a b  )(   )(   ) 0 .

Bài 8. Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác Chứng minh: a) a b b c c a

1 ; ;

   độ dài cạnh tam giác khác. b) a b c b c a c a b a b c

1 1 1

    

      .

HD: a) Sử dụng tính chất phân số BĐT cạnh tam giác Ta có: a b b c a b c a b c

1 1

  

      > c a c a c a

2



   

Tương tự, chứng minh BĐT lại.

b) Sử dụng BĐT: Với x > 0, y > ta có: x y x y

1

 

 .

Ta có: a b c b c a a b c b c a b

1

( ) ( )

  

         .

Cùng với BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta suy đpcm.

VẤN ĐỀ 2: Phương pháp làm trội

Dùng tính chất bất đẳng thức để đưa vế bất đẳng thức dạng tổng hữu hạn hoặc tích hữu hạn.

Phương pháp chung để tính tổng hữu hạn: S = u1u2  un

Ta biến đổi số hạng tổng quát uk hiệu hai số hạng liên tiếp nhau: uk ak ak1 Khi đó: S =



a1 a2

 

 a2 a3



 



an an1



a1 an1

Ta biến đổi số hạng uk thương hai số hạng liên tiếp nhau:

k k

k

a u

a 1 

Khi đó: P =

1

1

2

2

1.

 



n n

n

a a a

a a a a a

Bài 1. Chứng minh với số tự nhiên n1, ta có:

a)

3 1

       

n n n

n b) 2



1



1

1     n  n

c) 2 n2

1 1

1

2

    

d)

1 2+

1 3+

1

3 4+ .+

(n −1).n<1

HD: a) Ta có: n k n n 2n

1 1

  

 , với k = 1, 2, 3, …, n –1.

b) Ta có:





k k

k k k

k    12 1

2

2

, với k = 1, 2, 3, …, n. c) Ta có: k k



k



k k

1 1 1

2 

   

, với k = 2, 3, …, n. d) Ta có: k n k k

1 1

(  1)   1 , với k = 2, 3, …, n.

VẤN ĐỀ 3: Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Cô–si

1 Bất đẳng thức Cô–si:

+ Với a, b  0, ta có:

a b ab

 

. Dấu "=" xảy  a = b.

2 Ứng dụng tìm GTLN, GTNN:

+ Nếu x, y > có S = x + y khơng đổi P = xy lớn nhất  x = y.

+ Nếu x, y > có P = x y khơng đổi S = x + y nhỏ nhất  x = y.

Bài 1. Cho a, b, c  0 Chứng minh bất đẳng thức sau: a) (a b b c c a )(  )(  ) 8 abc

b) bc ca ab a b ca  b  c    ; với a, b, c > 0. c)

ab bc ca a b c

a b b c c a

 

  

   ; với a, b, c > 0.

d)

a b c

b c c a a b

  

   ; với a, b, c > 0.

b)

bc ca abc c

a b ab

2

2

  

,

ca ab a bc a

b c bc

2

2

  

,

ab bc ab c b

c a ac

2

2

  

đpcm

c) Vì a b 2 ab nên

ab ab ab

a b 2 ab  Tương tự:

bc bc ca ca

b c  ; c a  .



ab bc ca ab bc ca a b c

a b b c c a 2

   

   

   (vì ab bc ca a b c   )

d) VT =

a b c

b c c a a b

     

     

     

  

     

=



a b b c c a



b c c a a b

1 ( ) ( ) ( ) 1 3

2

 

        

  

  

9 3 2 2.  Cách khác: Đặt x =b + c, y = c + a, z = a + b.

Khi đó, VT =

x y z x z y

y x x z y z

1 3

2

      

     

      

 

   

  

1(2 2 3)    2.

Bài 2. Cho a, b, c > 0 Chứng minh bất đẳng thức sau: a) a b c a b c a b c

3 3 1

(   )   (   )

 

b) 3(a3b3c3) (a b c a  )( 2b2c2) c) 9(a3b3c3) ( a b c  )3 HD: a) VT =

a b b c c a

a b c

b a c b a c

3 3 3

2 2      

        

     .

Chú ý:

a b a b ab

b a

3

2

2

  

Cùng với BĐT tương tự ta suy đpcm. b)  2(a3b3c3)



a b b a2 

 

 b c bc2  2

 

 c a ca2  2



.

Chú ý: a3b3ab a b(  ) Cùng với BĐT tương tự ta suy đpcm. c) Áp dụng b) ta có: 9(a3b3c3) 3( a b c a  )( 2b2c2). Dễ chứng minh được: 3(a2b2c2) ( a b c  )2  đpcm.

Bài 3. Cho a, b > 0 Chứng minh a b a b

1

 

 (1) Áp dụng chứng minh BĐT sau: a) a b c a b b c c a

1 1 2 1 

      

  

 ; với a, b, c > 0. b) a b b c c a a b c a b c a b c

1 1 2 1

2 2

 

      

          ; với a, b, c > 0.

c) Cho a, b, c > 0 thoả a b c1 1 4   Chứng minh: a b c a b c a b c

1 1 1

2    2    2 

d)

ab bc ca a b c

a b b c c a

 

  

   ; với a, b, c > 0.

e) Cho x, y, z > 0 thoả x2y4z12 Chứng minh:

xy yz xz

x y y z z x

2 6

2 2 4 

   .

p a p b p c a b c 1 21 1

      

    .

HD: (1)  a b

a b 1 (  )  4

  Hiển nhiển suy từ BĐT Cô–si.

a) Áp dụng (1) ba lần ta được: a b a b b c b c c a c a 1 ; 1 ; 1

     

   .

Cộng BĐT vế theo vế ta đpcm. b) Tương tự câu a).

c) Áp dụng a) b) ta được: a b c a b c a b c a b c

1 1 4 1

2 2

 

      

     

 .

d) Theo (1): a b a b 1 1

4

 

   

   

ab a b

a b 1 (4  ).

Cùng với BĐT tương tự, cộng vế theo vế ta đpcm.

e) Áp dụng câu d) với a = x, b = 2y, c = 4z a b c  12  đpcm. f) Nhận xét: (p –a) + (p – b) = 2p – (a + b) = c.

Áp dụng (1) ta được: p a p b p a p b c

1 4

( ) ( )

  

     .

Cùng với BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta đpcm.

Bài 4. Cho a, b, c > 0 Chứng minh a b c a b c

1 1

  

  (1) Áp dụng chứng minh BĐT sau:

a) a b c a b b c c a a b c

2 2 1

( ) ( )

2

 

       

  

  .

b) Cho x, y, z > 0 thoả x y z  1 Tìm GTLN biểu thức: P =

x y z

x1y1z1. c) Cho a, b, c > 0 thoả a b c  1 Tìm GTNN biểu thức:

P = a2 bc b2 ac c2 ab

1 1

2  

   .

d) Cho a, b, c > 0 thoả a b c  1 Chứng minh: a2 b2 c2 ab bc ca

1 1 1 30

   

  .

HD: Ta có: (1) 

a b c

a b c 1 (   )   9

  Dễ dàng suy từ BĐT Cô–si.

a) Áp dụng (1) ta được: a b b c c a a b c

1 1

2( )

  

     .

 VT 

a b c a b c a b c

a b c a b c

2 2 2

9( ) 3(. ) 3( )

2( ) 2

   

   

   

Chú ý: (a b c  )2 3(a2b2c2). b) Để áp dụng (1), ta biến đổi P sau:

P =

x y z

x y z

1 1 1

1 1

     

 

   = x y z

1 1

3

1 1

 

    

  

 

Ta có: x y z x y z

1 1 9

1 1 1 4

      Suy ra:P 

9 3

4

 

Chú ý: Bài toán tổng quát sau:

Cho x, y, z > thoả x y z  1 k số dương cho trước Tìm GTLN của biểu thức: P =

x y z

kx1ky1kz1.

c) Ta có: P  a2 bc b2 ca c2 ab a b c

9 9

2 2 ( ) 

       .

d) VT  a2 b2 c2 ab bc ca

1



 

 

= a2 b2 c2 ab bc ca ab bc ca ab bc ca

1 1

                 

ab bc ca a b c

9 9 30

1 ( )        

Chú ý: ab bc ca a b c

1( )

3

     

.

Bài 5. Áp dụng BĐT Cô–si để tìm GTNN biểu thức sau: a) x y x x 18;   

b)

x

y x

x2 ;

2     c) x y x x

3 1 ; 1

2

   

 d)

x

y x

x

5 ;

3 2

  



e)

x

y x

x x5 ; 1      f) x y x x

21;    g) x x y x x 4

4 ;

 

 

h)

y x x

x

3

2 ;

  

HD: a) Miny = x = 6 b) Miny =

2 x = 3

c) Miny =

3

2 

x = 36 1 d) Miny =

30



x =

30



e) Miny = 2 5 x

5  

f) Miny = 3

4 x = 32

g) Miny = x = 2 h) Miny = 5

27 x = 53

Bài 6. Áp dụng BĐT Cơ–si để tìm GTLN biểu thức sau: a) y(x3)(5 x); 3  x b) y x (6 x); 0 x

c) y x x x

5 ( 3)(5 );

2

     

d) y x x x

5

(2 5)(5 );

2

     

e) y x x x

1

(6 3)(5 );

2

     

f)

x

y x

x2 2;

 



c) Maxy = 121

8 x = 

d) Maxy = 625

8 x =

e) Maxy = x = 1 f) Maxy =

2 2 x = 2 (2x2 2 2x)

II BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN 1 Định nghĩa

Bất phương trình dạng ax b 0 (hoặc ax b 0,ax b 0,ax b 0), a, b hai số cho, a  0, đgl bất phương trình bậc ẩn.

2 Hai qui tắc biến đổi bất phương trình

 Qui tắc chuyển vế: Khi chuyển hạng tử bất phương trình từ vế sang vế ta phải đổi dấu hạng tử đó.

Qui tắc nhân: Khi nhân hai vế bất phương trình với số khác 0, ta phải: – Giữ nguyên chiều bất phương trình số đódương.

– Đổi chiều bất phương trình số âm.

Bài 1. Giải bất phương trình sau:

a) 3(2x 3) 4(2  x) 13 b) 6x1 (3 9) 8 x+  x (2 x1) c) 8x17 3(2 x3) 10( x2) d) 17(x5) 41 x15(x4) 1 e) 4(2 ) (5 x   x) 11  x f) 2(3 x) 1,5( x 4) 3  x

ĐS: a) x3 b) x 

c) x 

d) x

83 73 

e) x  

f) x 18

5 

Bài 2. Giải bất phương trình sau: a)

x x

2

3

 



b)

x x

5( 1) 1 2( 1)

6

 

 

c)

x x

3( 1)

2

8

 

  

d)

x x x

3 1

2

 

  

e)

x x x

1 2 1

4 3

3

  

 

f)

x x x x x

2 22 5

6 4

   

   

ĐS: a) x20 b) x15 c) x 

d) x5 e) x 14 19 

f) x 

Bài 3. Giải bất phương trình sau:

a) (2x3)(2x 1) ( x x2) b) 5(x1) x(7 x)x2 c) (x1)2(x 3)2 x2(x1)2 d)

x x

(2 1) (3 )

8

 



e)

x x x2

( 2) 3( 1)

5 10

  

 

f)

x(1,5x 1) (2 x)2 5x 2

6

 

  

ĐS: a) x  

b) x  

c) x 10 

d) x 

e) x 

f) x2

a)

x

x

8

5

 

    

  b)

x

x x

2

2



  

c)

x x x 3 1

6

  

  

d)

x x x

x

6

   

e)

x 2x x 15 15



  

ĐS: a) x tuỳ ý b) x tuỳ ý c) x tuỳ ý d) vô nghiệm e) vô nghiệm

Bài 5. Với giá trị x thì:

a) Giá trị biểu thức 3( x1) không nhỏ giá trị biểu thức 2(x 3) 4 b) Giá trị biểu thức

x x 1



 

lớn giá trị biểu thức x3.

c) Giá trị biểu thức (x1)2 không lớn giá trị biểu thức (x 3)2

d) Giá trị biểu thức

x x

3

2  

nhỏ giá trị biểu thức

x

4 2

3 

 ĐS: a) x

14 

b) x 2 c) x 

d) x2.

Bài 6. Giải bất phương trình sau: (Biến đổi đặc biệt) a)

x 1987 x 1988 x 1989 x 1990 2002 2003 2004 2005

   

  

b)

x x x x x x

99 97 95 98 96 94

     

    

c)

x-1987 x 1988 x 1989 x 1990 2002 2003 2004 2005

  

  

d)

x x x x x x

99 97 95 98 96 94

     

    

ĐS: a) x15 b) x100

Bài 7.

a) Một số có hai chữ số có chữ số hàng chục lớn chữ số hàng đơn vị Tìm số biết lớn 21 nhỏ 36

b) Tìm số nguyên nằm khoảng từ 300 đến 400, biết số chia cho 3, 4, có số dư

c) Tìm số nguyên nằm khoảng từ 500 đến 600, biết số chia cho 5, 8, 10 có số dư 2, 5,

ĐS: a) 31 b) 301 (x 1 chia hết cho 3, 4, 5) c) 557 (x3 chia hết cho 5, 8, 10)

III PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 1 Định nghĩa giá trị tuyệt đối

a a a  a a00

 



2 Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

Dạng A B

C

A hay A

A B A B

1  0  0

  

  

 

C

B hay B

A B A B

2  0  0

  

 

 

Dạng A B  A B hay A B

Dạng phương trình có chứa nhiều dấu giá trị tuyệt đối – Xét dấu biểu thức chứa ẩn nằm dấu GTTĐ.

– Chia trục số thành nhiều khoảng cho khoảng, biểu thức nói có dấu xác định.

– Xét khoảng, khử dấu GTTĐ, giải PT tương ứng trường hợp đó. – Kết hợp trường hợp xét, suy số nghiệm PT cho.

Bài 1. Giải phương trình sau:

a) 4x x 2 b) 2 x  2 3x c) 2x 5 x d) 2x 6x x8 e)

x x

1 6 5



 

f)

x x 1 x

2

  

  

ĐS: a) S

2 2;

 

  

  b) S

 

0 c) S    

  d)S e)S 19 20    

  f) S      

Bài 2. Giải phương trình sau:

a) x2 2x x b) 2x2 5x3 2x22 c) x24x x21 d) 3x2 7x2 x25x

ĐS: a) S



0;1;3



b) S

1 1;

4

 

 

  c) S 



3;1



d) S

 

2

Bài 3. Giải phương trình sau: a)

x x

x

3 2

1 

 

 b)

x x

x

x 6 8

3

 

  

 c)

x x2

6 2 36 

 

d)

x x x

x x

2

4 3

5

 

 

  e)

x x x

x

2 4 4

2

  

 

 f)

x x x

x x

2

5 4

3

 

 

 

ĐS: a) S

 

2 b) S ;43

 

     c) S

13

 

  

  d) S 3;35

 

 

Bài 4. Giải phương trình sau:

a) 2x  1 x b) 5 x 3x1 c) 4 x  7x 0 d) 2x25x 10 2 x21 e) x 6  f) x2 3x x 21 ĐS: a) S 



2;0



b)S

1 3;

 

 

  c)S 111 ;1

 

 

  d)S

9 9;1;

 

  

  e)S



1;5



f) S 1;      

Bài 5. Giải phương trình sau:

a) 2x 1 5x 3 b) x  x3 0  c) x  x 1 d) x 1 2x x e) 2x3  x x  0 f) x1 x 1 ĐS: a) S b) S

 

4 c)2 x d) S

1 3; 2

 

 

  e) S

1

 

  

  f)S BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG IV

Bài 1. Giải bất phương trình sau:

a) 3x 12 x+ b) 4x15 24 7  x c) x  1 2x d)

x x 1 x

2

  

  

e)

x x x

2 1 2 (2 1)



  

f)

x x x x

2

  

  

ĐS: a) x10 b) x3 c) x2 d) x 11

7 

e) x 

f) x1

Bài 2.

a) Tìm tất nghiệm nguyên dương bất phương trình:11x 8 x2 b) Tìm tất nghiệm nguyên âm bất phương trình:

x2 2x x2 x x2 x x

2

      

  

c) Tìm nghiệm nguyên lớn bất phương trình: 4(2 ) (5 x   x) 11  x d) Tìm nghiệm nguyên nhỏ bất phương trình: 2(3 x) 1,5( x 4) 3  x ĐS: a)



1;2



b)



3; 2; 1 



Bài 3. Giải bất phương trình sau: a)

x x 15 x 2005 x 1995

2005 1995 15

   

  

b)

x x x x

1987 1988 27 28 4

15 16 1999 2000

   

   

c) x

1 1

1.101 2.102 10.110 1.11 2.12 100.110

 

      

 

 

ĐS: a) x2010 Trừ vế cho 2 b) x1972 Trừ vế cho 4 c) x10 Biến đổi k k k k

1 1

(100 ) 100 100

 

   

   , k k k k

1 1

( 10) 10 10

 

   

   

Bài 4. Giải phương trình sau:

a) x 5 x7 b) x 2 x c) 2x 11 x 8 d)

x x

x

4

4 

  

 e)

x x x

x

7 2 7

5

 

 

 f)

x x x

x x

2

8 15 9

2

 

 

 

ĐS: a) S    

  b) S

14 4;

3

 

 

  c) S



1;19



d) S

3 15; 4

 

  

  e) S

1 2;

 

 

S