4 chiều rộng cũ thì chu vi hình chữ nhật không đổi. Một khu đất hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng là 10m. Nếu chiều dài tăng thêm 6m, chiều rộng giảm đi 3m thì diện tích mới tăn[r]
(1)I NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA THỨC – NHÂN ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC Bài 1. Thực phép tính sau:
a) ( –1)(x2 x22 )x b) (2x 1)(3x2)(3 – )x c) (x3)(x23 –5)x
d) (x1)( –x2 x1) e) (2x3 3x 1).(5x2) f) (x2 2x3).(x 4) Bài 2. Thực phép tính sau:
a) 2x y x3 (2 –32 y5 )yz b) ( –2 )(x y x y2 2 xy2 )y c) xy x y x y
2 ( –5 10 )
5
d) x y xy x y
2
2 .(3 – )
3 e) ( – )(x y x2xy y 2) f) xy x x
1 –1 ( –2 –6)
Bài 3. Chứng minh đẳng thức sau:
a) (x y x )( 4x y x y3 2xy3y4)x5 y5 b) (x y x )( 4 x y x y3 2 xy3y4)x5y5 c) (a b a )( 3 a b ab2 2 b3)a4 b4
d) (a b a )( 2 ab b 2)a3b3
Bài 4. Thực phép tính, sau tính giá trị biểu thức:
a) A(x 2)(x42x34x28x16) với x3. ĐS: A211
b) B(x1)(x7 x6x5 x4x3 x2 x 1) với x2. ĐS: B255
c) C(x1)(x6 x5x4 x3x2 x1) với x2. ĐS: C 129 d) D2 (10x x2 5x 2) (4 x x2 2x1) với x5. ĐS: D5 Bài 5. Thực phép tính, sau tính giá trị biểu thức:
a) A(x3 x y xy2 2 y x y3)( ) với x y 2,
2
ĐS: A
255 16 b) B(a b a )( 4a b a b3 2ab3b4) với a3,b2 ĐS:
B275
c) C(x2 2xy2 )(y x2 2y2) 2 x y3 3x y2 22xy3 với x y 1,
2
ĐS:
C
16
Bài 6. Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x: a) A(3x7)(2x3) (3 x 5)(2x11)
b) B(x2 2)(x2 x 1) x x( 3x2 3x 2) c) C x x ( 3x2 3x 2) ( x2 2)(x2 x 1) d) D x x (2 1) x x2( 2)x3 x3
e) E(x1)(x2 x1) ( x 1)(x2 x 1)
(2)Bài 7. * Tính giá trị đa thức:
a) P x( )x7 80x680x5 80x4 80 x15 với x79 ĐS: P(79) 94 b) Q x( )x1410x1310x12 10x11 10 x2 10x10 với x9 ĐS: Q(9) 1 c) R x( )x4 17x317x2 17x20 với x16 ĐS: R(16) 4 d) S x( )x1013x913x8 13x7 13 x2 13x10 với x12 ĐS: S(12)2
II HẰNG ĐẲNG THỨC Bài 1. Điền vào chỗ trống cho thích hợp:
a) x24x4 b) x x2 16 c) (x5)(x 5)
d) x312x248x64 e) x3 6x212x 8 f) (x2)(x2 2x4)
g) (x 3)(x23x9) h) x22x 1 i) x2–1
k) x26x 9 l) 4 –9x2 m) 16 –8x2 x 1 n) 9x26x 1 o) 36x236x 9 p) x327
Bài 2. Thực phép tính:
a) (2x3 )y b) (5 – )x y c) (2x y 3) d)
2 . 2
5
x y x y
e)
2
1
x
f)
3
2 3x y
g) (3 –2 )x2 y h) (x )(y x23xy9 )y2 i) (x2 3).(x43x29) k) (x2y z x )( 2 – )y z l) (2 –1)(4x x22x1) m) (5 ) x
Bài 3. Tính giá trị biểu thức cách vận dụng đẳng thức:
a) A x 33x23x6 với x19 b) B x 3 3x23x với x11 ĐS: a) A8005 b) B1001.
Bài 4. Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x:
a) (2x3)(4x2 6x9) 2(4 x31) b) (4x1)3 (4x 3)(16x23)
c) 2(x3y3) 3( x2y2) với x y 1 d) (x1)3 (x 1)3 6(x1)(x1) e)
x x
x
2
2
( 5) ( 5) 25
f)
x x
x
2
2
(2 5) (5 2)
ĐS: a) 29 b) 8 c) –1 d) 8 e) 2 f) 29
Bài 5. Giải phương trình sau:
a) (x 1)3(2 x)(4 2 x x 2) ( x x2) 17 b) (x2)(x2 2x4) x x( 2 2) 15 c) (x 3)3 (x 3)(x23x9) 9( x1)215 d) x x( 5)(x5) ( x2)(x2 2x4) 3 ĐS: a)x
10
b) x
c) x 15
d) x
11 25 Bài 6. So sánh hai số cách vận dụng đẳng thức:
(3)c) A2011.2013 B20122 d) A4(321)(341) (3641) B31281 Bài 7. Tìm giá trị lớn biểu thức:
a) A5 –x x2 b) B x x – c) C4 –x x23
d) D–x26x11 e) E 5 8x x f) F4x x 21 Bài 8. Tìm giá trị nhỏ biểu thức:
a) A x 2–6x11 b) B x 2–20x101 c) C x 2 6x11 d) D(x 1)(x2)(x3)(x6) e) E x 2 2x y 24y8 f) x2 4x y 2 8y6 g) G x 2–4xy5y210 –22x y28
HD: g) G(x 2y5)2(y1)2 2
Bài 9. Cho a b S ab P Hãy biểu diễn theo S P, biểu thức sau đây: a) A a 2b2 b) B a 3b3 c) C a 4b4
III PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ VẤN ĐỀ I Phương pháp đặt nhân tử chung Bài 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a) 4x2 6x b) 9x y4 33x y2 c) x3 2x25x d) (x x 1) 5( x 1) e) (x x2 1) 4( x1) f) 3x 6xy9xz Bài 2. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a) 2x y2 4xy26xy b) 4x y3 2 8x y2 32x y4
c) 9x y2 3 3x y4 2 6x y3 218xy4 d) 7x y2 2 21xy z2 7xyz14xy e) a x y a x a x y
3 4
2
VẤN ĐỀ II Phương pháp nhóm nhiều hạng tử Bài 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a) x3 2x22x13 b) x y xy x2 1 c) ax by ay bx d) x2 (a b x ab ) e) x y xy2 2 x y f) ax2ay bx 2 by Bài 2. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a) ax 2x a 22a b) x2 x ax a c) 2x24ax x 2a d) 2xy ax x 2 2ay e) x3ax2 x a f) x y2 2y3zx2yz Bài 3. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
(4)a) (x 3)(x 1) 3( x 3) b) (x 1)(2x1) 3( x1)(x2)(2x1) c) (6x3) (2 x 5)(2x1) d) (x 5)2(x5)(x 5) (5 x)(2x1) e) (3x 2)(4x 3) (2 )( x x 1) 2(3 x 2)(x1)
Bài 5. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a) (a b a )( 2 ) (b b a a b )(2 ) ( a b a )( 3 )b b) 5xy3 2xyz 15y26z
c) (x y )(2x y ) (2 x y x y )(3 ) ( y )x d) ab c3 2 a b c2 2ab c2 3 a bc2 e) x y z2( )y z x2( )z x y2( )
VẤN ĐỀ III Phương pháp dùng đẳng thức Bài 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a) 4x212x9 b) 4x24x1 c) 1 12 x36x2 d) 9x2 24xy16y2 e)
x2 2xy 4y2
4 f) x210x 25 g) 16a b4 6 24a b5 5 9a b6 h) 25x2 20xy4y2 i) 25x410x y y2 Bài 2. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a) (3x1) 162 b) (5x 4)2 49x2 c) (2x5)2 (x 9)2 d) (3x1)2 4(x 2)2 e) 9(2x3)2 4(x1)2 f) 4b c2 2 (b2c2 a2 2) g) (ax by )2 (ay bx )2 h) (a2b2 5)2 4(ab2)2
i) (4x2 3x 18)2 (4x23 )x k) 9(x y 1)2 4(2x3y1)2 l) 4x212xy 9y225 m) x2 2xy y 2 4m24mn n Bài 3. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a) 8x3 64 b) 1 8 x y6 c) 125x31
d) 8x3 27 e)
y x3 27
8
f) 125x327y3 Bài 4. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a) x36x212x8 b) x3 3x23x c) 1 9 x27x2 27x3
d) x x x
3 3
2
e) 27x3 54x y2 36xy2 8y3 Bài 5. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
(5)Bài 6. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a) (x2 25)2 (x 5)2 b) (4x2 25)2 9(2x 5)2 c) 4(2x 3)2 9(4x2 9)2 d) a6 a42a32a2 e) (3x23x2)2 (3x23x 2)2
Bài 7. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a) (xy1)2 (x y )2 b) (x y )3 (x y )3 c) 3x y4 23x y3 23xy23y2 d) 4(x2 y2) 8( x ay ) 4( a2 1) e) (x y ) (3 xy x y 1)
Bài 8. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a) x31 5 x2 3 x b) a5a4a3a2 a c) x3 3x23x 1 y3 d) 5x3 3x y2 45xy227y3 e) (x a b c2 ) 36 ( xy a b c ) 108 ( y a b c2 )
VẤN ĐỀ IV Một số phương pháp khác
Bài 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (tách hạng tử thành nhiều hạng tử) a) x2 5x6 b) 3x29x 30 c) x2 3x2
d) x2 9x18 e) x2 6x8 f) x2 5x 14 g) x26x5 h) x2 7x12 i) x2 7x10 Bài 2. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (tách hạng tử thành nhiều hạng tử)
a) 3x2 5x b) 2x2 x c) 7x250x7 d) 12x27x12 e) 15x27x f) a2 5a 14 g) 2m210m8 h) 4p2 36p56 i) 2x25x2 Bài 3. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (tách hạng tử thành nhiều hạng tử)
a) x24xy 21y2 b) 5x26xy y c) x22xy15y2 d) (x y )24(x y ) 12 e) x2 7xy10y2 f) x yz2 5xyz14yz Bài 4. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (tách hạng tử thành nhiều hạng tử)
a) a4a21 b) a4a2 c) x44x2 d) x3 19x 30 e) x3 7x f) x3 5x2 14x Bài 5. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (thêm bớt hạng tử)
a) x44 b) x464 c) x8x71
d) x8x41 e) x5 x f) x3x24 g) x42x2 24 h) x3 2x i) a44b4 HD: Số hạng cần thêm bớt:
(6)g) 4x2 h) 2x22x i) 4a b2
Bài 6. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (đặt biến phụ)
a) (x2x) 14(2 x2x) 24 b) (x2x)24x24x 12 c) x42x35x24x12 d) (x1)(x2)(x3)(x4) 1 e) (x1)(x3)(x5)(x7) 15 f) (x1)(x2)(x3)(x4) 24 Bài 7. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (đặt biến phụ)
a) (x24x8)23 (x x24x8) 2 x2 b) (x2 x 1)(x2 x 2) 12 c) (x28x7)(x28x15) 15 d) (x2)(x3)(x4)(x5) 24
VẤN ĐỀ V Tổng hợp Bài 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a) x24x3 b) 16x 5x2 c) 2x2 7x5 d) 2x23x e) x3 3x2 1 3x f) x2 4x g) (a21)2 4a2 h) x3 – 4x2 x12 i) x4x3 x k) x4–x3–x21 l) (2x1) –( –1)2 x m) x44 –5x2 Bài 2. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a) x y 2x2 y b) x x y( ) 5 x 5y c) x2 5x5y y d) 5x3 5x y2 10x210xy e) 27x3 8y3 f) x2–y2– –x y g) x2 y2 2xy y 2 h) x2 y2 4 4x i) x6 y6
k) x33x23x1–27z3 l) 4x24 –9x y21 m) x2–3x xy –3y Bài 3. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a) 5x2 10xy5y2 20z2 b) x2 z2y2 2xy c) a3 ay a x xy d) x2 2xy 4z2y2 e) 3x2 6xy3y2 12z2 f) x2 6xy 25z29y2 g) x2 y22yz z h) x2–2xy y 2–xz yz i) x2–2xy tx –2ty
(7)a) x3x z y z xyz y2 b) bc b c ca c a ab a b( ) ( ) ( ) c) a b c2( )b c a c a b2( ) 2( ) d) a6 a42a32a2
e) x9 x7 x6 x5x4x3x2 f) (x y z )3 x3 y3 z3 g) (a b c )3 (a b c )3 (b c a )3 (c a b )3h) x3y3z3 3xyz Bài 5. Giải phương trình sau:
a) (x 2) –( –3)(2 x x3) 6 b) (x3)2(4x)(4 – ) 10x c) (x4)2(1– )(1x x) 7 d) ( – 4) –( –2)(x x x2) 6 e) 4( –3) –(2 –1)(2x x x1) 10 f) 25(x3)2(1–5 )(1 ) 8x x g) 9(x1) –(3 –2)(32 x x2) 10 h) 4( –1)x 2(2 –1)(2x x1)3 Bài 6. Chứng minh rằng:
a) a a2( 1) ( a a1)chia hết cho với a Z . b) a a(2 3) ( a a1) chia hết cho với a Z . c) x22x 2 0 với x Z .
d) x24x 0 với x Z .
IV CHIA ĐA THỨC
VẤN ĐỀ I Chia đa thức cho đơn thức Bài 1. Thực phép tính:
a) ( 2) : ( 2) b) ( ) : ( )y y c) x12: ( x10) d) (2 ) : (2 )x6 x e) ( ) : ( ) x x f) (xy2 4) : (xy2 2) Bài 2. Thực phép tính:
a) (x2) : (9 x2)6 b) (x y ) : (4 x 2)3 c) (x22x4) : (5 x22x4)
d) x x
2 2( 1) : ( 1)
3
e) x y x y
5
5( ) : ( )
Bài 3. Thực phép tính:
a) 6xy2: 3y b) 6x y xy2 3: 2 c) 8x y xy2 : d) 5x y xy2 5: e) ( 4 x y4 3) : 2x y2 f) xy z3 4: ( 2 xz3) g)
x y3 x y2
3 :
4
(8)k)
a b ab a b 3
2 (3 ) ( )
( ) l)
xy x y x y 2
3 2 (2 ) (3 )
(2 ) Bài 4. Thực phép tính:
a) (2x3 x25 ) :x x b) (3x4 2x3x2) : ( ) x c) ( 2 x53 – ) : 2x2 x3 x2 d)
x3 x y2 xy2 1x ( –2 ) :
2
e) 3(x y )5 2(x y )43(x y ) : 5(2 x y )2 Bài 5. Thực phép tính:
a) (3x y5 24x y3 3 5x y2 4) : 2x y2 b) a x a x ax ax
6 3
3 :3
5 10
c) (9x y2 315x y4 4) : 3x y2 (2 3 x y y2 ) d) (6x2 xy x) : (2x y3 3xy2) :xy (2x1)x
e) x xy x x y x y x y x y
2 4 3
( ) : (6 15 ) :
2
VẤN ĐỀ II Chia đa thức cho đa thức Bài 1. Thực phép tính:
a) ( –3 ) : ( –3)x3 x2 x b) (2x22x 4) : (x2) c) ( – –14) : ( –2)x4 x x d) (x3 3x2 x 3) : (x 3)
e) (x3x2–12) : ( –2)x f) (2x3 5x26 –15) : (2 –5)x x g) ( 3 x35x2 9x15) : (5 ) x h) ( x26x3 26x21) : (2x 3) Bài 2. Thực phép tính:
a) (2x4 5x2x3 3 ) : ( x x2 3) b) (x5x3x21) : (x31)
c) (2x35 –2x2 x3) : (2 –x2 x1) d) (8x 8x3 10x23x4 5) : (3x2 2x1) e) (x32x4 4 x27 ) : (x x2 x 1)
(9)a) (5x29xy ) : (y2 x2 )y b) (x4 x y x y3 2 xy3) : (x2y2) c) (4x53xy4 y52x y4 6x y3 2) : (2x3y3 2xy2) d) (2a37ab2 7a b2 ) : (2b3 a b ) Bài 4. Thực phép tính:
a) (2x4 ) : (y x2 ) (9y x312x2 ) : ( ) 3(x x x23) b) (13x y2 2 5x46y413x y3 13xy3) : (2y2 x2 )xy Bài 5. Tìm a b, để đa thức f x( ) chia hết cho đa thức g x( ), với:
a) f x( )x4 9x321x2ax b , g x( )x2 x b) f x( )x4 x36x2 x a , g x( )x2 x5 c) f x( ) 3 x310x2 5a, g x( ) 3 x1 d) f x( )x3–3x a , g x( ) ( –1) x ĐS: a) a1,b30
Bài 6. Thực phép chia f x( ) cho g x( ) để tìm thương dư: a) f x( ) 4 x3 3x21, g x( )x22x1
b) f x( ) 4 x3x47x2 5x3, g x( ) 1 x2 x c) f x( ) 19 x211x3 9 20x2x4, g x( ) 1 x2 4x
d) f x( ) 3 x y x4 5 3x y3 2x y2 3 x y2 22xy3 y4, g x( )x3 x y y2
VẤN ĐỀ III Tìm đa thức phương pháp hệ số bất định Bài 1. Cho biết đa thức f x( ) chia hết cho đa thức g x( ) Tìm đa thức thương:
a) f x( )x3 5x211x10, g x( ) x ĐS: q x( )x2 3x5 b) f x( ) 3 x3 7x24x 4, g x( ) x ĐS: q x( ) 3 x2 x2 Bài 2. Phân tích đa thức P x( )x4 x3 2x thành nhân tử, biết nhân tử có dạng:
(10)Bài 3. Với giá trị a b đa thức x3ax22x b chia hết cho đa thức x2 x 1. ĐS: a2,b1.
Bài 4. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a) x3 x2 14x24 b) x34x24x3 c) x3 7x d) x3 19x 30 e) a3 6a211a
Bài 5. Tìm giá trị a, b, k để đa thức f x( ) chia hết cho đa thức g x( ):
a) f x( )x4 9x321x2 x k, g x( )x2 x ĐS: k30. b) f x( )x4 3x33x2ax b , g x( )x2 3x4 ĐS: a3,b4.
Bài 6. Tìm tất số tự nhiên k đa thức f k( )k32k215 chia hết cho nhị thức
g k( ) k 3. ĐS: k0,k 3.
BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG I Bài 1. Thực phép tính:
a) (3x3 2x2 x 2).(5 )x2 b) (a x2 3 5x3 ).( 2a a x3 )
c) (3x25x 2)(2x2 4x3) d) (a4a b a b3 2 ab3b a b4)( ) Bài 2. Rút gọn biểu thức sau:
(11)c) (2 ) y 2 (2x ) 12y 2 xy d) (x1)3 (x1)3 (x3 1) ( x1)(x2 x 1) Bài 3. Trong biểu thức sau, biểu thức không phụ thuộc vào x:
a) (x 1)3 (x1)36(x1)(x 1) b) (x1)(x2 x1) ( x1)(x2 x 1) c) (x 2)2 (x 3)(x1) d) (x1)(x2 x1) ( x1)(x2 x 1) e) (x 1)3 (x1)36(x1)(x 1) f) (x3)2 (x 3) 122 x
Bài 4. Tính giá trị biểu thức sau:
a) A a 3 3a23a4 với a11 b) B2(x3y3) 3( x2y2) với x y 1 Bài 5. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a) 2 xy x 2 y2 b) a2b2 c2 d2 2ab2cd c) a b3 31 d) x y z2( )y z x2( )z x y2( ) e) x2 15x36 f) x12 3x y6 62y12
g) x8 64x2 h) (x2 8)2 784 Bài 6. Thực phép chia đa thức sau: (đặt phép chia vào bài)
a) (35x341x213x 5) : (5x 2) b) (x4 6x316x2 22x15) : (x2 2x3) c) (x4 x y x y3 2 xy3) : (x2y2) d) (4x414x y3 24x y2 2 54 ) : (y4 x2 3xy )y2 Bài 7. Thực phép chia đa thức sau:
a) (3x4 8x3 10x28x 5) : (3x2 2x1) b) (2x3 9x219x 15) : (x2 3x5) c) (15x4 x3 x241x 70) : (3x2 2x7)
d) (6x5 3x y4 2x y3 24x y2 3 5xy42 ) : (3y5 x3 2xy2y3) Bài 8. Giải phương trình sau:
a) x316x 0 b) 2x3 50x0 c) x3 4x2 9x36 0 d) 5x2 4(x2 2x1) 0 e) (x2 9)2 (x 3)20 f) x3 3x 2
g) (2x 3)(x1) (4 x3 6x2 ) : ( ) 18x x Bài 9. Chứng minh rằng:
a) a22a b 2 1 0 với giá trị a b. b) x2y22xy 4 với giá trị x y c) (x 3)(x 5) 0 với giá trị x
Bài 10.Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức sau:
a) x2 x b) 2 x x2 c) x2 4x1
d) 4x24x11 e) 3x2 6x1 f) x2 2x y 2 4y6 g) h h( 1)(h2)(h3)
I PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
(12)VẤN ĐỀ I Tìm điều kiện để phân thức có nghĩa Bài 1. Tìm điều kiện xác định phân thức:
a) x
−4
9x2−16 b)
2x −1
x2−4x+4 c)
x2−4
x2−1
d)
5x −3 2x2− x
e) x x x 2
f) x x
2 ( 1)( 3)
g) x x2 x
2
5
Bài 2. Tìm điều kiện xác định phân thức: a) x2 y2
1
b)
x y x
x x 2 2
c)
x y x2 x
5 10 d) x y
x y
( 3) ( 2)
VẤN ĐỀ II Tìm điều kiện để phân thức 0 Bài 1. Tìm giá trị biến số x để phân thức sau không:
a) x x 10 b) x x x 2 c) x x d) x x
x2 x
( 1)( 2)
4
e)
x x
x2 x
( 1)( 2)
4
f)
x x x 2 Bài 2. Tìm giá trị biến số x để phân thức sau không:
a) x x x 2 10
b)
x x
x x x
3
3
16
3
c)
x x x
x x 3
VẤN ĐỀ III Chứng minh phân thức ln có nghĩa Bài 1. Chứng minh phân thức sau ln có nghĩa:
a) x2
3 b) x x ( 1)
c)
x x2 x
5 d) x x x 2 4
e)
x x2 x
5
Bài 2. Chứng minh phân thức sau ln có nghĩa:
a)
x y x2 2y2
b) x2 y2 x
4
2
(13)VẤN ĐỀ I Phân thức nhau Bài 1. Chứng minh đẳng thức sau:
a)
y xy x x
3 ( 0)
4 b)
x x y
y y
2
3 ( 0)
2
c)
x y x y
y x
2( ) 2 ( )
3( )
d) xy xy a y a ay
2 ( 0, 0)
3 12 e)
x x y
y y
1 1 ( 2)
2
f)
a a b
b b
2 2 ( 0)
5
Bài 2. Chứng minh đẳng thức sau:
a)
x x x
x x x x
3
2 ( 0)
( 4)
b)
x x(x y x y
x y y2 x2
3 3 ) ( )
c)
x y a x y a x y
a a x y
2
3 ( ) ( 0, )
3 9 ( )
Bài 3. Với giá trị x hai phân thức sau nhau: a)
x x2 x
2
5
x
3
Bài 4. Cho hai phân thức A B Hãy xét chúng trường hợp sau:
i) x N ii) x Z iii) x Q
a)
x x
A
x
(2 1)( 2)
3(2 1) , x B
Bài 5. Cho ba phân thức A, B C Hãy xét chúng trường hợp sau:
i) x N ii) x Z iii) x Q
a) x A , x x B x
( 1)( 2)
5( 2) , x x C x
( 1)(3 2)
5(3 2)
VẤN ĐỀ II Rút gọn phân thức Bài 1. Rút gọn phân thức sau:
a) x
10 b) xy yy
4 ( 0)
2 c) x y xyxy
2
21 ( 0)
6 d) x y 2 e)
x y x y x y
5 5 ( )
3
f) x x y x yy x
15 ( ) ( )
3( )
Bài 2. Rút gọn phân thức sau: a)
x x x
x x
2
16 ( 0, 4)
b)
x x x
x 4
3 ( 3)
c)
x x y y x y y x y
3
15 ( ) ( ( ) 0) ( )
d)
x y y x x y
x y
5( ) 3( ) ( )
10( )
e)
x y x y x y
x y x y
2 5 ( )
2 5
f)
x xy x y y xy y
2
2 ( , 0)
3
(14)g)
ax ax a b x
b bx
2
2 2 ( 0, 1)
5
h)
x xy x x y
x x y
3
4 ( 0, )
5
i)
x y z x y z
x y z 2
( ) ( 0)
k)
x x y y x x y
x xy 3
7
2 ( 0, )
Bài 3. Rút gọn, tính giá trị phân thức sau:
a)
x x x
A
x x x
2
3
(2 )( 2) ( )( 1)
với x
1
b)
x x y xy B
x y
3 2
3
với x5,y10 Bài 4. Rút gọn phân thức sau:
a)
a b c
a b c 2 ( )
b)
a b c ab
a b c ac
2 2 2
2
c)
x x x
x x x
3
3
2 12 45
3 19 33
Bài 5. Rút gọn phân thức sau: a)
a b c abc
a b c ab bc ca 3
2 2
3
b)
x y z xyz
x y y z z x
3 3
2 2
3
( ) ( ) ( )
c)
x y z xyz
x y y z z x
3 3
2 2
3
( ) ( ) ( )
d)
a b c b c a c a b
a b c b c a c a b
2 2
4 2 2 2
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
e)
a b c b c a c a b ab ac b bc
2 2
2
( ) ( ) ( )
f)
x x x x
x x x x
24 20 16
26 24 22
Bài 6. Tìm giá trị biến x để: a)
P
x2 x
1
2
đạt giá trị lớn nhất ĐS: P khi x
1 max b) x x Q x x 2
đạt giá trị nhỏ nhất ĐS: Q khi x
3
min
4
Bài 7. Chứng minh phân thức sau không phụ thuộc vào x y: a)
x a a a x
x a a a x
2 2
2 2
( )(1 )
( )(1 )
b)
xy x y x x y
y x
2
3 2 1 , 1
1 3
c)
ax a axy ax ay a x y
x y
2
( 1, 1)
1
d)
x a x
x a 2 ( ) e) x y x y ay ax
2
( )( )
f)
ax x y ay
ax x y ay
2 3
4
(15)III CÁC PHÉP TOÁN VỀ PHÂN THỨC VẤN ĐỀ I Qui đồng mẫu thức nhiều phân thức
Bài 1. Tìm điều kiện để phân thức sau có nghĩa tìm mẫu thức chung chúng: a)
x xy,
16 20 b) x y
1 ,
4 c) xy y8 15,
d)
x y y, x
2 e) xy yz xz8 12 24, , f)
xy yz zx z, x, y
2
Bài 2. Tìm điều kiện để phân thức sau có nghĩa tìm mẫu thức chung chúng: a) x
5
2 4, x
3 , x
50 25 b) x
a 2 ,
y a 2 ,
z a2
4 c)
a b2 , x a b
2 2 , y a2 b2
d) x 6,
x x2 x
2
6
e) x2 x
1
2
, x2 x
2 f) x x 1
, x21 Bài 3. Qui đồng mẫu thức phân thức sau:
a)
x x2 x
2 7 15,
x x2 x
2
3 10
, x
5
b) x2 x
1
3
, x2 x
1
5
, x2 x
1
4
c) x3
3
, x x2 x
2
, x
x1 d)
x
x2 2xy y 2 z2 ,
y
x22yz y 2 z2 ,
z
x2 2xz y 2z2
VẤN ĐỀ II Thực phép toán phân thức Bài 1. Thực phép tính:
a)
x x
5
b)
x y 2y
8
c)
x x x
xy xy
2 1 4
d)
xy x y xy x y
xy xy
2 2
5
3
e)
x x x
a b a b a b
1
f) 3
5 4
2
xy y xy y
x y x y
g)
x xy xy y y x
x y y x x y
2 2
2
(16)a)
x x
2
10 15
b)
x x x
3 2
10 15 20
c) x x x x 2
2 2 2
d)
1−2x
2x +
2x
2x −1+
2x −4x2 e)
x x y
xy y2 xy x2
f)
x x x x x 2
6
4
g)
x xy y x x y
xy y x
2
2 10
2
h)
x x y x y x2 y2
2 3
i) x y x y x y 2
Bài 3. Thực phép tính:
a) 2 2
2
2
x y
x xy xy y x y b)
xy x y
x y y x3 x2 xy y2
1
c)
x y x x y
x2 xy y2 x2 x2 xy
2 16
2
d) x x x2 x4 x8 x16
1 16
1 1 1 1 1 1 Bài 4. Thực phép tính:
a)
x x
1 3
2
b)
x y x y y
x x
2 2( )( ) 2
c)
x x
x y x y
3 1
d)
xy x
x y y x
2 1
2
e) 2
4
3
x x
x y x y
Bài 5. Thực phép tính:
a)
x x
4
2
b)
x x
x x x2 x
3
3 3
c)
x
x2 x2 x
3 1 d) x
x x x2
1 10
3 9 4
e)
x
x x2 x x2
3 2
2
f)
x x
x y x y
3
5 5 10 10
g)
a a a
a
a a a
2
3
4
1
1
h)
x y x y
xy y
2
5
i)
x y y
x2 y2 x2 xy
9 k)
3x+2 x2−2x+1−
6
x2−1−
3x −2
x2+2x+1 l)
3
2 6
x
x x x
m)
x x x 2 1
n) a a a2 a3
5 10 15
1 ( 1) 1
Bài 6. Thực phép tính: a)
x x y
1 6.
(17)d)
x y
x y x
3
2 .
5
e)
5 10
4
x x
x x
f)
2 36 3
10
x
x x
g)
x y xy
x y x y
2
2 .
2
h)
x y x y
xy y x
2 2
3 . 15
5 2
i)
a b a b
a b a ab b
3
2
2 . 6
3 2
Bài 7. Thực phép tính: a)
x x2
2 :
3 b)
x y x y2 18
16 :
5
c)
x y3 xy2 25 :15
3
d)
x y x y
xy x y
2 2 : 3
e)
a ab a b
b a a b
2
2
:
2
f)
x y x xy
y x x y
2 2 : 3 g) 2
1 4 :
x x
x x x
h)
5x −15 4x+4 :
x −9
x2
+2x+1 i)
6x+48
7x −7 :
x2−64
x2−2x +1
k) 4x −24
5x+5 :
x2−36
x2+2x+1 l)
3x+21
5x+5 :
x2−49
x2+2x+1 m)
1+x¿2 ¿ ¿
3−3x
¿ Bài 8. Thực phép tính:
a)
1
: x x
x x x x b) (1−3x3x+ 2x
3x+1):
6x2+10x
1−6x+9x2
c) (
9
x3−9x+
1
x+3):( x −3
x2 +3x−
x
3x+9) d)
1
: :
2
x x x
x x x
Bài 9. Rút gọn biểu thức sau:
a) x y x y 1 1 b) x x x x x x x x 1 1 c) x x x 1 d) x x x 2 1 1 e) x y y x x y x y x y x y
f)
a x x
a a x
a x x
a a x
Bài 10.Tìm giá trị nguyên biến số x để biểu thức cho có giá trị nguyên: a)
x x x 2
1
b)
x x
x
3 2 4
c)
x x x
x
2 2
2
d)
x x x
x
3
3 11
3
e)
x
x x x x
4
4
16
4 16 16
Bài 11 * Phân tích phân thức sau thành tổng phân thức mà mẫu thức nhị thức bậc nhất:
a) x x2 x
2
5
b)
x x
x x x
2 2 6
( 1)( 2)( 4)
c)
x x
x x x
2
3 12
( 1)( 2)
(18)Bài 12 * Tìm số A, B, C để có: a)
x x A B C
x
x x x
2
3
2
1 ( 1) ( 1) ( 1)
b)
x x A Bx C
x
x x x
2
2
2
1
( 1)( 1)
Bài 13 * Tính tổng: a)
a b c
A
a b a c b a b c c a c b
( )( ) ( )( ) ( )( )
b)
a b c
B
a b a c b a b c c a c b
2 2
( )( ) ( )( ) ( )( )
Bài 14 * Tính tổng: a)
A
n n
1 1
1.2 2.3 3.4 ( 1)
HD: k k k k
1 1
( 1) 1
b) B
n n n
1 1
1.2.3 2.3.4 3.4.5 ( 1)( 2)
HD: k k k k k k
1 1 1
( 1)( 2) 2
Bài 15 * Chứng minh với m N , ta có:
a) m m m m
4 1
4 2 1 ( 1)(2 1)
b) m m m m m m
4 1
4 3 2 ( 1)( 2) ( 1)(4 3)
c) m m m m m m
4 1
8 5 2( 1) 2( 1)(3 2) 2(3 2)(8 5)
d) m m m m m
4 1
3 2 1 3 2 ( 1)(3 2)
BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG II Bài 1. Thực phép tính:
a) x2 x2 x2 x
8
1 ( 3)( 1) 3
b)
x y x y y
x y x y x y
2 2
2 2( ) 2( )
c)
x x
x3 x3 x2 x3 x2 x
1
2
d)
xy x a y a x b y b
ab a a b b a b
( )( ) ( )( )
( ) ( )
e)
x x
x x x x
3 1 1
1 1 1
f)
x x x
x x
x
2
2 20
2
4
(19)g)
x y x y x y xy
x y x y xy x y
2
2
2
h) a b b c b c c a c a a b
1 1
( )( ) ( )( ) ( )( )
i)
a b c a b c
a b c a c ac b
2
2 2
( ) ( )
( )( )
k)
x y x y x y
xy x y y x x
2 1 2
:
Bài 2. Rút gọn phân thức: a)
x x
x
2
25 20
25
b)
x xy y
x y
2
3
5 10
3
c)
x
x x x
2 1 d)
x x x
x 4 16 e)
x x x x
x
4
2
4 20 13 30
(4 1)
Bài 3. Rút gọn tính giá trị biểu thức:
a)
a b c ab
a b c ac
2 2 2
2
với a4,b5,c6 b)
x xy x xy 2 16 40 24
với
x y 10 c)
x xy y x xy y
x y x y
x x y
x y
2 2
2
với x9,y10
Bài 4. Biểu diễn phân thức sau dạng tổng đa thức phân thức với bậc tử thức nhỏ bậc chủa mẫu thức:
a) x x 2 b) x x 2 1 c)
x x x x
x
4
2
4
1
d)
x x x
x
5 2 3
Bài 5. Tìm giá trị nguyên x để biểu thức sau có giá trị nguyên:
a) x
2
b) x
1 c) x x x 2
1
d)
x x
x
3 2 4
Bài 6. Cho biểu thức:
x x
P
x x
2
3
( 1)(2 6)
.
a) Tìm điều kiện xác định P b) Tìm giá trị x để P1. Bài 7. Cho biểu thức:
x P
x x2 x x
2
3 6
a) Tìm điều kiện xác định P b) Rút gọn biểu thức P
c) Tìm x để P
d) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức P có giá trị nguyên e) Tính giá trị biểu thức P x2– 0 .
Bài 8. Cho biểu thức:
a a
P
a a a
2
2
( 3) 1 18
2
.
a) Tìm điều kiện xác định P b) Rút gọn biểu thức P
(20)Bài 9. Cho biểu thức:
x x
P
x x
2
1
2 2 2
.
a) Tìm điều kiện xác định P b) Rút gọn biểu thức P
c) Tìm giá trị x để P
Bài 10.Cho biểu thức:
x x x x
P
x x x x
2 2 5 50 5
2 10 ( 5)
.
a) Tìm điều kiện xác định P b) Tìm giá trị x để P = 1; P = –3 Bài 11.Cho biểu thức:
x P
x x x x
2
2 (2 3)(2 3)
.
a) Tìm điều kiện xác định P b) Rút gọn biểu thức P
c) Tìm giá trị x để P = –1 Bài 12.Cho biểu thức:
x P
x x x x
1 2 10
5 ( 5)( 5)
.
a) Tìm điều kiện xác định P b) Rút gọn biểu thức P
c) Cho P = –3 Tính giá trị biểu thức Q9 – 42x2 x49 Bài 13.Cho biểu thức:
P
x x x2
3 18
3 3 9
.
a) Tìm điều kiện xác định P b) Rút gọn biểu thức P
c) Tìm giá trị x để P = Bài 14.Cho biểu thức:
x x x
P
x x x x
2
2
2 10 50
5 25 5
.
a) Tìm điều kiện xác định P b) Rút gọn biểu thức P
c) Tìm giá trị x để P = –4 Bài 15.Cho biểu thức:
x x
P
x
3
3 12
8
a) Tìm điều kiện xác định P
b) Rút gọn biểu thức P c) Tính giá trị P với x
4001 2000
Bài 16.Cho biểu thức:
x x x x
P
x x x x x
2
3
1 . :
1 1 2 1
.
a) Tìm điều kiện xác định P b) Rút gọn biểu thức P
c) Tính giá trị P x
Bài 17.Cho biểu thức:
x x x x
P
x x x x
2 2 5 50 5
2 10 ( 5)
(21)a) Tìm điều kiện xác định P b) Rút gọn biểu thức P
c) Tìm giá trị x để P = 0; P = 4. d) Tìm giá trị x để P > 0; P < Bài 18.Cho biểu thức:
x x x
P
x x x
2
1 3 4.
2 1 2
.
a) Tìm điều kiện xác định P
b) CMR: giá trị biểu thức xác định khơng phụ thuộc vào giá trị biến x? Bài 19.Cho biểu thức:
x x x
P
x x x
2
2 2
5 . 100
10 10
.
a) Tìm điều kiện xác định P b) Rút gọn biểu thức P
c) Tính giá trị P x = 20040 Bài 20.Cho biểu thức:
x x
P
x x
2
10 25
5
.
a) Tìm điều kiện xác định P b) Tìm giá trị x để P = 0; P
5
c) Tìm giá trị nguyên x để P có giá trị nguyên
I MỞ ĐẦU VỀ PHƯƠNG TRÌNH
VẤN ĐỀ I Chứng minh số nghiệm phương trình Phương pháp: Dùng mệnh đề sau:
x0 nghiệm phương trình A x( )B x( ) A x( )0 B x( )0
x0 không nghiệm phương trình A x( )B x( ) A x( )0 B x( )0 Bài 3. Xét xem x0 có nghiệm phương trình hay khơng?
a) 3(2 x) 2 x; x02 b) 5x 3 x1; x0 c) 3x 5 x 1; x02 d) 2(x4) 3 x; x02 e) 3 x x 5; x04 f) 2(x1) 3 x8; x02 g) 5x (x 1) 7 ; x01 h) 3x 2 x1; x03
Bài 4. Xét xem x0 có nghiệm phương trình hay không?
a) x2 3x 7 2x; x02 b) x2 3x 10 0 ; x02
c) x2 3x4 2( x1); x0 2 d) (x1)(x 2)(x 5) 0 ; x0 1 e) 2x23x 1 0; x01 f) 4x2 3x2x1; x05
(22)Bài 5. Tìm giá trị k cho phương trình có nghiệm x0 ra:
a) 2x k x –1; x02 b) (2x1)(9x2 ) –5(k x2) 40 ; x0 2 c) 2(2x1) 18 3( x2)(2x k ); x0 1 d) 5(k3 )(x x1) – 4(1 ) 80 x ; x0 2
VẤN ĐỀ II Số nghiệm phương trình Phương pháp: Dùng mệnh đề sau:
Phương trình A x( )B x( ) vô nghiệm A x( )B x( ),x
Phương trình A x( )B x( ) có vơ số nghiệm A x( )B x( ),x Bài 1. Chứng tỏ phương trình sau vơ nghiệm:
a) 2x 5 4(x 1) 2( x 3) b) 2x 2( x 3)
c) x 1 d) x2 4x 6
Bài 2. Chứng tỏ phương trình sau có vơ số nghiệm:
a) 4(x 2) 3 x x b) 4(x 3) 16 4(1 ) x
c) 2(x1) 2 x d) x x
e) (x2)2 x24x4 f) (3 x)2x2 6x9 Bài 3. Chứng tỏ phương trình sau có nhiều nghiệm:
a) x2 0 b) (x 1)(x 2) 0
c) (x 1)(2 x x)( 3) 0 d) x2 3x0
e) x1 3 f) 2x 1
VẤN ĐỀ III Chứng minh hai phương trình tương đương
Để chứng minh hai phương trình tương đương, ta sử dụng cách sau: Chứng minh hai phương trình có tập nghiệm.
Sử dụng phép biến đổi tương đương để biến đổi phương trình thành phương trình kia. Hai qui tắc biến đổi phương trình:
– Qui tắc chuyển vế: Trong phương trình, ta chuyển hạng tử từ vế sang vế kia đổi dấu hạng tử đó.
– Qui tắc nhân: Trong phương trình, ta nhân hai vế với số khác 0. Bài 1. Xét xem phương trình sau có tương đương hay khơng?
a) 3x3 x 0 b) x 3 0 3x 9 c) x 0 (x 2)(x3) 0 d) 2x 0 x x( 3) 0 Bài 2. Xét xem phương trình sau có tương đương hay khơng?
a) x22 0 x x( 22) 0 b) x 1 x x2 1 c) x 2 0
x
x2 0 d) x x x x
21 1
(23)II PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
VẤN ĐỀ I Phương trình đưa dạng phương trình bậc nhất Bài 1. Giải phương trình sau:
a) –10 0x b) 7 –3x 9 x c) 2 –(3 – ) 4(x x x3) d) (6 x) 4(3 ) x e) 4(x3)7x17 f)
x x
5( 3) 2( 1) 7
g) 5(x 3) 2( x1) 7 h) 4(3x 2) 3( x 4) 7 x20 ĐS: a) x
5
b) x1 c) x5 d) x 13
9
e)x 11
f)x8 g)x8 h) x8
Bài 2. Giải phương trình sau:
a) (3x 1)(x3) (2 x)(5 ) x b) (x5)(2x 1) (2 x 3)(x1) c) (x1)(x9) ( x3)(x5) d) (3x5)(2x1) (6 x 2)(x 3) e) (x2)22(x 4) ( x 4)(x 2) f) (x1)(2x 3) 3( x 2) 2( x1)2 ĐS: a)x
13 19
b)x
c)x3 d)x 33
e)x1 f) vô
nghiệm
(24)a) (3x2)2 (3x 2)25x38 b) 3(x 2)29(x 1) 3( x2 x 3)
c) (x3)2 (x 3)2 6x18 d) ( –1) – (x x x1)25 (2 – ) –11(x x x2) e) (x1)(x2 x1) 2 x x x ( 1)(x1) f) ( –2)x 3(3 –1)(3x x1) ( x1)3 ĐS: a) x2 b) x2 c) x3 d)x7 e) x1 f) x
10 Bài 4. Giải phương trình sau:
a)
x 5x 15x x 5
3 12 4 b)
x x x x
8 3 2
4 2
c)
x x 2x 13 0
2 15
d)
x x x
3(3 ) 2(5 ) 2
8
e)
x x x
3(5 2) 2 5( 7)
4
f)
x 2x x x
2
g)
x x x 7 1
11
h)
x x x
3 0,4 1,5 0,5
2
ĐS: a) x 30
7
b) x0 c) x16 d) x 11 e) x6 f) x 53 10
g) x
28 31
h) x 19 Bài 5. Giải phương trình sau:
a)
x x x
2
5 15
b)
x x x 5 1
2
c)
x x x x
2( 5) 12 5( 2) 11
3
d)
x 3x x 2x 7x
5 10
e)
x x x
2( 3) 13
7 21
f)
x x x
3 1
2
ĐS: a) x tuỳ ý b) x tuỳ ý c) x tuỳ ý d) vô nghiệm e) vô nghiệm f) vô nghiệm Bài 6. Giải phương trình sau:
a)
x x x x x x
( 2)( 10) ( 4)( 10) ( 2)( 4)
3 12
b)
x x x
( 2) 2(2 1) 25 ( 2)
8
c)
x x x x
(2 3)(2 3) ( 4) ( 2)
8
d)
x2 x x x
7 14 (2 1) ( 1)
15
e)
x x x x x
(7 1)( 2) ( 2) ( 1)( 3)
10 5
ĐS: a) x8 b) x9 c) x 123
64
d) x 12
e) x 19 15 Bài 7. Giải phương trình sau: (Biến đổi đặc biệt)
a)
x x x x
35 33 31 29
(HD: Cộng thêm vào hạng tử) b)
x 10 x x x x 1994 1996 1998 2000 2002
(25)x 2002 x 2000 x 1998 x 1996 x 1994
2 10
c)
x 1991 x 1993 x 1995 x 1997 x 1999
9
x x x x x 1991 1993 1995 1997 1999
(HD: Trừ vào hạng tử) d)
x 85 x 74 x 67 x 64 10
15 13 11
(Chú ý: 10 4 ) e)
x 2x 13 3x 15 4x 27
13 15 27 29
(HD: Thêm bớt vào hạng tử) ĐS: a) x36 b) x2004 c) x2000 d) x100 e) x14
Bài 8. Giải phương trình sau: (Biến đổi đặc biệt) a)
x x x x
65 63 61 59
b)
x 29 x 27 x 17 x 15
31 33 43 45
c)
x x x 10 x 12 1999 1997 1995 1993
d)
x x x x
1909 1907 1905 1903 4 0
91 93 95 91
e)
x 29 x 27 x 25 x 23 x 21 x 19 1970 1972 1974 1976 1978 1980
x 1970 x 1972 x 1974 x 1976 x 1978 x 1980
29 27 25 23 21 19
ĐS: a) x66 b) x60 c) x2005 d) x 2000 e) x1999
VẤN ĐỀ II Phương trình tích Để giải phương trình tích, ta áp dụng cơng thức:
A x B x( ) ( ) A x( ) 0 B x( ) 0 A x B x( ) 0( )
Ta giải hai phương trình A x( ) 0 B x( ) 0 , lấy tất nghiệm chúng. Bài 1. Giải phương trình sau:
a) (5x 4)(4x6) 0 b) (3,5x 7)(2,1x 6,3) 0 c) (4x 10)(24 ) 0 x d) (x 3)(2x1) 0
e) (5x 10)(8 ) 0 x f) (9 )(15 ) 0 x x ĐS: a)x x
4;
5
b) x2;x3 c) x x 5;
2 24
d) x x 3;
2
(26)e) x2;x4 f) x3;x5 Bài 2. Giải phương trình sau:
a) (2x1)(x22) 0 b) (x24)(7x 3) 0 c) (x2 x 1)(6 ) 0 x d) (8x 4)(x22x2) 0 ĐS: a)x
1
b) x
c) x3 d) x Bài 3. Giải phương trình sau:
a) (x 5)(3 )(3 x x4) 0 b) (2x1)(3x2)(5 x) 0 c) (2x1)(x 3)(x7) 0 d) (3 )(6 x x4)(5 ) 0 x e) (x1)(x3)(x5)(x 6) 0 f) (2x1)(3x 2)(5x 8)(2x1) 0 ĐS: a) S
3
5; ;
2
b) S
1; 2; 5
2
c) S ;3; 72
d) S
3; 5;
2
e) S 1; 3; 5;6 f) S
1 1; ; ;
Bài 4. Giải phương trình sau:
a) (x 2)(3x5) (2 x 4)(x1) b) (2x5)(x 4) ( x 5)(4 x) c) 9x2 (3 x1)(2x 3) d) 2(9x26x1) (3 x1)(x 2) e) 27 (x x2 3) 12( x23 ) 0x f) 16x2 8x 1 4(x3)(4x 1) ĐS: a) x2;x3 b) x0;x4c)x 1;3 x2 d)x x
1;
3
e) x x x 0; 3;
9
f) x Bài 5. Giải phương trình sau:
a) (2x1)249 b) (5x 3)2 (4x 7)2 0 c) (2x7)2 9(x2)2 d) (x2)29(x2 4x4)
e) 4(2x7)2 9(x3)2 0 f) (5x2 2x10)2 (3x210x 8)2 ĐS: a) x4;x3 b) x x
10 4;
9
c) x x 13 1;
5
d) x1;x4 e) x x
23 5;
7
f) x x 3;
2
Bài 6. Giải phương trình sau:
a) (9x2 4)(x1) (3 x2)(x2 1) b) (x 1) 12 x2 (1 x x)( 3) c) (x2 1)(x2)(x 3) ( x 1)(x2 4)(x5) d) x4x3x 1
e) x3 7x6 0 f) x4 4x312x 0 g) x5 5x34x0 h) x4 4x33x24x 0 ĐS: a)x x x
2; 1;
3
b) x1;x1 c) x x x 1; 2;
5
(27)Bài 7. Giải phương trình sau: (Đặt ẩn phụ)
a) (x2x)24(x2x) 12 0 b) x2 x x2 x
( 2 3) 9( 2 3) 18 0
c) (x 2)(x2)(x2 10) 72 d) x x( 1)(x2 x 1) 42 e) (x 1)(x 3)(x5)(x7) 297 0 f) x4 2x2 144x 1295 0
ĐS: a)x1;x2 b) x0;x1;x2;x 3 c) x4;x4 d) x2;x3 e) x4;x8 f) x5;x 7
VẤN ĐỀ III Phương trình chứa ẩn mẫu Các bước giải phương trình chứa ẩn mẫu:
Bước 1: Tìm điều kiện xác định phương trình.
Bước 2: Qui đồng mẫu hai vế phương trình, khử mẫu.
Bước 3: Giải phương trình vừa nhân được.
Bước 4: (Kết luận) Trong giá trị ẩn tìm bước 3, các giá trị thoả mãn điều kiện xác định nghiệm phương trình cho.
Bài 1. Giải phương trình sau: a)
x x
4 29 b) x x 1 2 c) x x x x
4 5 2
1
d) x x
7
2
e)
x x
x x
2 0
2
f)
x x x
x
12 10 20 17
11 18
ĐS: a) x
136 17
b) x 11
8
c) x3 d) x 41
4
e) x
f) x2 Bài 2. Giải phương trình sau:
a) x x x
11
1
b)
x
x x x
14
3 12
c) x x x x x2
12 3
1 3
1
d)
x x x
x2 x x2 x2 x
5 25
5 50 10
e)
x x
x x x2
1 16
1 1
f)
x x x x
x x x
1 1
1 ( 2)
1 1
ĐS: a)x44 b) x5 c)x1 d) vô nghiệm e)x4 f) x3
Bài 3. Giải phương trình sau: a)
x
x x
x2 x
6
2
7 10
b)
x x
x x x x
x2
2 0
( 2) ( 2)
4
(28)c)
x x
x x x x x
2
1 ( 1)
3 2 3
d) x x x2 x
1
2 3 6
e)
x
x x x x
2
3
2 16
2 8 2 4
f)
x x x
x x x x x
2
2
1 2( 2)
1 1
ĐS: a)x
b) vô nghiệm c) x
d) x4 e) vô nghiệm f) x
5 Bài 4. Giải phương trình sau:
a) x x x x
8 11 10
8 11 9 10
b)
x x x x
x 3 x 5x 4 x
c) x2 x x2 x
4 1 0
3 2 1
d) x x x x
1
1 2 3
ĐS: a) x x 19 0;
2
b) x x 0;
2
c) x0;x 3 d) x 6;x 12
5
Bài 5. Giải phương trình sau:
a) b)
(29)III GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH Các bước giải tốn cách lập phương trình:
Bước 1:Lập phương trình
– Chọn ẩn số đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số.
– Biểu diễn đại lượng chưa biết khác theo ẩn đại lượng biết. – Lập phương trình biểu thị mối quan hệ đại lượng.
Bước 2: Giải phương trình Bước 3: Trả lời
Kiểm tra xem nghiệm phương trình, nghiệm thoả mãn điều kiện ẩn, nghiệm không, kết luận.
VẤN ĐỀ I Loại so sánh Trong đầu thường có từ:
– nhiều hơn, thêm, đắt hơn, chậm hơn, : tương ứng với phép tốn cộng. – hơn, bớt, rẻ hơn, nhanh hơn, : tương ứng với phép toán trừ.
– gấp nhiều lần: tương ứng với phép toán nhân. – nhiều lần: tương ứng với phép tốn chia.
Bài 1. Tìm hai số ngun liên tiếp, biết lần số nhỏ cộng lần số lớn –87 ĐS: 18; 17 .
Bài 2. Một phân số có tử số nhỏ mẫu số Nếu thêm đơn vị vào tử số bớt mẫu số đơn vị ta phân số
3
4 Tìm phân số cho. ĐS:
7 15
Bài 3. Tổng số 45 Nếu lấy số thứ cộng thêm 2, số thứ hai trừ 2, số thứ ba nhân với 2, số thứ tư chi cho bốn kết Tìm số ban đầu
ĐS: 8; 12; 5; 20
Bài 4. Thương hai số Nếu tăng số bị chia lên 10 giảm số chia nửa hiệu hai số 30 Tìm hai số
ĐS: 24;
Bài 5. Một đội công nhân sửa đoạn đường ngày Ngày thứ đội sửa 3 đoạn đường, ngày thứ hai đội sửa đoạn đường
4
3 đoạn làm ngày thứ nhất, ngày thứ ba đội sửa 80m cịn lại Tính chiều dài đoạn đường mà đội phải sửa
ĐS: 360m
Bài 6. Hai phân xưởng có tổng cộng 220 công nhân Sau chuyển 10 công nhân phân xưởng sang phân xưởng
2
3 số công nhân phân xưởng
5 số cơng nhân phân xưởng 2. Tính số công nhân phân xưởng lúc đầu
ĐS: Phân xưởng có 120 cơng nhân, phân xưởng có 90 cơng nhân
Bài 7. Hai bể nước chứa 800 lít nước 1300 lít nước Người ta tháo lúc bể thứ 15 lít/phút, bể thứ hai 25 lít/phút Hỏi sau số nước bể thứ
2
3 số nước bể thứ hai?
ĐS: 40 phút
(30)hiện ĐS: 14 tuổi
Bài 9. Tìm số có chữ số hàng đơn vị 2, biết xố chữ số số giảm 200 ĐS: 222
Bài 10 Gia đình Đào có người: bố, mẹ, bé Mai Đào Tuổi trung bình nhà 23 Nếu viết thêm chữ số vào bên phải tuổi bé Mai tuổi bố, tuổi mẹ
9 10 tuổi bố gấp lần tuổi Đào Tìm tuổi người gia đình Đào
ĐS: Tuổi bố, mẹ, bé Mai Đào là: 40, 36, 4, 12
Bài 11 Nhân ngày tháng 6, phân đội thiếu niên tặng số kẹo số kẹo chia hết chia cho đội viên phân đội Để đảm bảo nguyên tắc chia ấy, đội trưởng đề xuất cách chia sau:
– Bạn thứ nhận viên kẹo lấy thêm
11 số kẹo lại.
– Sau bạn thứ lấy phần mình, bạn thứ hai nhận viên kẹo lấy thêm 11 số kẹo lại
Cứ đến bạn cuối cùng, thứ n, nhận n viên kẹo lấy thêm
11 số kẹo lại. Hỏi phân đội có đội viên đội viên nhận viên kẹo
ĐS: 10 đội viên, mỗi đội viện nhận 10 viên kẹo.
Bài 12 Một người bán số sầu riêng thu hoạch sau: – Lần thứ bán trái
1
6 số sầu riêng lại. – Lần thứ hai bán 18 trái
1
6 số sầu riêng lại mới. – Lần thứ ba bá 27 trái
1
6 số sầu riêng lại mới, v.v
Với cách bán lần sau vừa hết số sầu riêng bán lần Hỏi người bán lần số sầu riêng thu hoạch trái? ĐS: 225 trái,bán 5 lần.
Bài 13 Ba lớp A, B, C góp sách tặng bạn học sinh vùng khó khăn, tất 358 Tỉ số số sách lớp A so với lớp B
6
11 Tỉ số số sách lớp A so với lớp C 10. Hỏi lớp góp sách?
ĐS: Lớp A: 84 cuốn; lớp B: 154 cuốn; lớp C: 120 cuốn.
Bài 14 Dân số tỉnh A 612060 người Hàng năm dân số tỉnh tăng 1% Hỏi hai năm trước dân số tỉnh A bao nhiêu?
ĐS: 600000 người.
(31)VẤN ĐỀ II Loại tìm số gồm hai, ba chữ số
Số có hai chữ số có dạng: xy10x y Điều kiện: x y N, ,0x9,0 y 9.
Số có ba chữ số có dạng: xyz100x10y z Điều kiện: x y z N, , ,0x9,0y z, 9. Bài 1. Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng:
– Tổng hai chữ số 12
– Nếu đổi chỗ hai chữ số số lớn số 36 ĐS: 48
Bài 2. Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng: – Tổng hai chữ số 10
– Nếu viết số theo thứ tự ngược lại số nhỏ số 36 ĐS: 73
Bài 3. Một số tự nhiên có chữ số Nếu thêm chữ số vào bên phải hay bên trái số ta số có chữ số Biết viết thêm vào bên phải số số lớn gấp ba lần số nhận ta viết thêm vào bên trái số Tìm số
ĐS: 42857
Bài 4. Một số có hai chữ số, chữ số hàng chục gấp lần chữ số hàng đơn vị Nếu đổi chỗ hai chữ số ta số có hai chữ số nhỏ số ban đầu 18 đơn vị Tìm số
ĐS: 31
Bài 5. Một số tự nhiên có hai chữ số có tổng chữ số Nếu thêm chữ số vào hai chữ số ta số có chữ số lớn số cho 180 Tìm số
ĐS: 25 Bài 6.
ĐS:
VẤN ĐỀ III Loại làm chung - làm riêng việc
Khi công việc không đo số lượng cụ thể, ta coi tồn cơng việc đơn vị công việc, biểu thị số 1.
Năng suất làm việc phần việc làm đơn vị thời gian.
Gọi A khối lượng công việc, n suất, t thời gian làm việc Ta có: A nt . Tổng suất riêng suất chung làm.
Bài 1. Hai người làm công việc 24 xong Năng suất người thứ
2 suất ngwòi thứ hai Hỏi người làm cơng việc phải mất thời gian bao lâu?
ĐS: 40 giờ; 60 giờ.
Bài 2. Một bồn chứa có đặt hai vịi nước chảy vào vịi tháo nước – Bồn trống không, mở riêng vịi thứ sau bồn đầy nước – Bồn trống khơng, mở riêng vịi thứ hai sau bồn đầy nước
– Bồn trống khơng, đồng thời mở ba vịi sau 12 phút bồn đầy nước Hỏi bồn chứa đầy nước, mở riêng vịi tháo nước sau tháo ra? ĐS: 36 phút.
(32)phẩm nên sau 16 ngày anh làm xong làm thêm 20 sản phẩm ngồi kế hoạch Tính xem ngày anh làm sản phẩm
ĐS: 75 sản phẩm.
VẤN ĐỀ IV Loại chuyển động đều
Gọi d quãng đường động tử đi, v vận tốc, t thời gian đi, ta có: d vt . Vận tốc xi dịng nước = Vận tốc lúc nước yên lặng + Vận tốc dòng nước Vận tốc ngược dòng nước = Vận tốc lúc nước yên lặng – Vận tốc dòng nước
Bài 1. Một xe vận tải từ địa điểm A đến địa điểm B với vận tốc 50 km/h, từ B quay A với vận tốc 40 km/h Cả thời gian 24 phút Tìm chiều dài quãng đường từ A đến B
ĐS: 120km.
Bài 2. Một xe đạp khởi hành từ điểm A, chạy với vận tốc 20 km/h Sau giờ, xe đuổi theo với vận tốc 50 km/h Hỏi xe chạy đuổi kịp xe đạp?
ĐS: 2 giờ.
Bài 3. Một người xe gắn máy, từ địa điểm A đến địa điểm B quãng đường dài 35km Lúc trở người theo đường khác dài 42km với vận tốc vận tốc lượt km/h Thời gian lượt
3
2 thời gian lượt Tìm vận tốc lượt lượt về. ĐS: Vận tốc lượt 30 km/h; vận tốc lượt 24 km/h.
Bài 4. Một xe tải từ A đến B với vận tốc 50 km/h Đi 24 phút gặp đường xấu nên vận tốc quãng đường cịn lại giảm cịn 40 km/h Vì đến nơi chậm 18 phút Tìm chiều dài quãng đường từ A đến B
ĐS: 80km.
Bài 5. Lúc 15 phút, ô tô từ A để đên B với vận tốc 70 km/h Khi đến B, ô tô nghỉ rưỡi, quay A với vận tốc 60 km/h đến A lúc 11 ngày Tính quãng đường AB
ĐS: 105 km.
Bài 6. Hàng ngày Tuấn xe đạp đến trường với vận tốc 12 km/h Sáng dậy muộn, Tuấn xuất phát chậm phút Tuấn nhẩm tính, để đến trường hơm trước Tuấn phải với vận tốc 15 km/h Tính quãng đường từ nhà Tuấn đến trường
ĐS: 2 km.
Bài 7. Một người xe máy từ thành phố Thanh Hoá thành phố Vinh Nếu chạy với vận tốc 25 km/h muộn so với dự định Nếu chạy với vận tốc 30 km/h đường nghỉ muộn Hỏi để đến nơi mà dọc đường khơng nghỉ xe phải chạy kilômet?
ĐS: 37,5 km.
Bài 8. Hai ô tô khởi hành lúc để từ Huế Đà Nẵng Vận tốc xe thứ 40 km/h, vận tốc xe thứ hai 60 km/h Xe thứ hai đến Đà Nẵng nghỉ nửa quay lại Huế gặp xe thứ cách Đà Nẵng 10 km Tính quãng đường Huế - Đà Nẵng
ĐS: 110 km.
Bài 9. Quãng đường AD dài km, gồm đoạn AB lên dốc, đoạn BC nằm ngang, đoạn CD xuống dốc Một người từ A đến D quay trở A hết tất 41 phút Tính quãng đường BC, biết vận tốc lúc lên dốc người km/h, lúc xuống dốc km/h lúc đường nằm ngang km/h
ĐS: 4 km.
(33)ĐS: 450 km.
Bài 11 Một đò máy xi dịng từ bến A đến bến B ngược dòng từ B A giờ. Vận tốc dịng nước km/h Tìm chiều dài quãng đường từ A đến B
ĐS: 80km.
Bài 12 Một ca nơ xi dịng từ A đến B ngược dòng từ B đến A Tính khoảng cách AB, biết vận tốc dòng nước km/h
ĐS: 120 km.
Bài 13 Hai bến sông A B cách 40 km Cùng lúc với ca nơ xi dịng từ bến A, có một bè trôi từ bến A với vận tốc km/h Sau đến B, ca nô trở bêbs A gặp bè bè trôi km Tính vận tốc ca nơ
ĐS: 27 km/h.
Bài 14 Một thuyền từ bến A đến bến B hết giờ, từ bến B đến bến A hết Hỏi một đám béo trôi theo dịng sơng từ A đến B hết bao lâu?
ĐS: 35 giờ. Bài 15
ĐS:
VẤN ĐỀ V Loại có nội dung hình học
Hình chữ nhật có hai kích thước a, b Diện tích: S ab ; Chu vi: P2(a b ) Tam giác vng có hai cạnh góc vng a, b Diện tích:
S 1ab
Bài 1. Chu vi khu vườn hình chữ nhật 60m, hiệu độ dài chiều dài chiều rộng m
20 Tìm độ dài cạnh hình chữ nhật. ĐS: 5 ;25m m
Bài 2. Một đất hình chữ nhật có chu vi 56m Nếu giảm chiều rộng 2m tăng chiều dài m
4 diện tích tăng thêm 8m2 Tìm chiều rộng chiều dài đất. ĐS: 12 ;16m m
Bài 3. Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài lần chiều rộng Nếu tăng cạnh thêm m
5 diện tích khu vườn tăng thêm 385m2 Tính độ dài cạnh khu vườn. ĐS: 18 ;54m m
Bài 4. Hiệu số đo chu vi hai hình vng 32m hiệu số đo diện tích chúng 464m2 Tìm số đo cạnh hình vng
ĐS: cạnh hình vng nhỏ 25m; cạnh hình vng lớn 33m.
Bài 5. Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 450m Nếu giàm chiều dài
5 chiều dài cũ và tăng chiều rộng thêm
1
4 chiều rộng cũ chu vi hình chữ nhật khơng đổi Tính chiều dài và chiều rộng khu vườn
ĐS: 100 ;125m m
Bài 6. Một khu đất hình chữ nhật có chiều dài chiều rộng 10m Nếu chiều dài tăng thêm 6m, chiều rộng giảm 3m diện tích tăng diện tích cũ 12m2 Tính kích thước khu đất
(34)Bài 7. ĐS:
BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG III Bài 1. Giải phương trình sau:
a) 6x2 5x 3 2x (3 )x x b)
x x x x
2( 4)
4 10
c)
x x x
2 3(2 1)
3
d)
x x x x
6 10 2
2
e) (x 4)(x4) 2(3 x 2) ( x 4)2 f) (x1)3 (x 1)36(x2 x 1) ĐS: a) x
3
b) x5 c) x 17 19
d) x
e) x14 f) x Bài 2. Giải phương trình sau:
a) (4x 3)(2x1) ( x 3)(4x 3) b) 25x2 (5 x3)(2x1) c) (3x 4)2 4(x1)20 d) x42x3 3x2 8x 0 e) (x 2)(x2)(x2 10) 72 f) 2x37x27x 2 ĐS: a) S ; 24
b) S
3 4;
c) S ;65
d) S 1; 2;2 e) S 4;4 f) S
1 2; 1;
2
Bài 3. Giải phương trình sau: a)
x x x x
98 96 94 92
b)
x 2x 45 3x 4x 69
13 15 37
ĐS: a) x100 b) x15 Bài 4. Giải phương trình sau:
a) x x x2
2
2 1 2 1 4 1 b)
x x
x x2 x x
2 18
1 2 3
c)
x
x x x x
2
3
1
1 1 1
ĐS: a) x
b) x1 c) x0
Bài 5. Thương hai số Nếu tăng số bị chia 10 đơn vị giảm số chia nửa số thứ thu lớn số thứ hai thu 30 Tìm hai số ban đầu
ĐS: 24 và
Bài 6. Chu vi hình chữ nhật 140 m, hiệu số đo chiều dài chiều rộng 10 m Tìm số đo cạnh hình chữ nhật
ĐS: 30 m và 40 m
(35)thứ gấp đơi lượng dầu cịn lại thùng thứ hai Hỏi lấy lít dầu? ĐS: 26 lít 78 lít.
Bài 8. Chu vi bánh xe lớn đầu máy xe lửa 5,6 m bánh xe nhỏ 2,4 m Khi xe chạy từ ga A đến ga B bánh nhỏ lăn nhiều bánh lớn 4000 vòng Tính quãng đường AB
ĐS: 16800 m
Bài 9. Hai vòi nước chảy 12 đầy hồ nước Cho hai vịi chảy khố vịi thứ lại cho vòi thứ hai chảy tiếp với lưu lượng mạnh gấp đơi phải 30 phút đầy hồ Hỏi vịi chảy với lưu lượng ban đầu phải đầy hồ
ĐS: Vòi thứ chảy 28 giờ, vòi thứ hai chảy 21 giờ.
Bài 10 Một ô tô quãng đường dài 60 km thời gian định Ơ tơ nửa quãng đường đầu với vận tốc dự định 10 km/h nửa quãng đường lại với vận tốc thấp dự định km/h ô tô đến thời gian định Tính thời gian ô tô dự định quãng đường
ĐS: giờ
Bài 11 Một xe tơ từ Hà Nội Thanh Hố Sau 43 km dừng lại 40 phút Để về đến Thanh Hoá định phải với vận tốc 1,2 lần vận tốc trước Tính vận tốc lúc đầu, biết quãng đường Hà Nội - Thanh Hoá dài 163 km
ĐS: 30 km.
Bài 12 Hai người khởi hành từ A để đến B Người thứ nửa thời gian đầu với vận tốc km/h, nửa thời gian sau với vận tốc km/h Người thứ hai nửa quãng đường đầu với vận tốc km/h nửa quãng đường sau với vận tốc km/h Hỏi người đến B trước? ĐS: Người thứ đến trước.
Bài 13. ĐS:
I BẤT ĐẲNG THỨC 1 Bất đẳng thức
Ta gọi hệ thức dạng a < b (hay a > b, a ≤ b, a ≥ b) bất đẳng thức gọi a vế trái, b vế phải bất đẳng thức.
2 Tính chất
3 Một số bất đẳng thức thơng dụng
CHƯƠNG IV: BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
Điều kiện Nội dung
a < b a + c < b + c (1) c > 0 a < b ac < bc (2a) c < 0 a < b ac > bc (2b) a < b c < d a + c < b + d (3) a > 0, c > 0 a < b c < d ac < bd (4) n nguyên dương 0 < a < b a < b a2n+1 < b2n+1 (5a)
a2n < b2n (5b) ab > 0
a > b a b
1
(6a)
ab < 0
a > b a b
1
(36)a) a20,a Dấu "=" xảy a = 0 a2b22ab Dấu "=" xảy a = b.
b) Bất đẳng thức Cô–si:
Với a, b 0, ta có:
a b ab
Dấu
"=" xảy a = b
Hệ quả: – Nếu x, y > có S = x + y khơng đổi P = xy lớn x = y.
– Nếu x, y > có P = x y khơng đổi S = x + y nhỏ nhất x = y.
c) Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối
d) Bất đẳng thức cạnh tam giác
Với a, b, c là độ dài cạnh tam giác, ta có:
+ a, b, c > 0. + a b c a b ; b c a b c ; c a b c a
4 Chứng minh bất đẳng thức
Chứng minh BĐT lập luận để khẳng định tính đắn BĐT đó. Để chứng minh BĐT ta thường sử dụng:
– Tính chất quan hệ thứ tự số. – Tính chất bất đẳng thức.
– Một số BĐT thông dụng.
VẤN ĐỀ 1: Chứng minh BĐT dựa vào định nghia tính chất bản Để chứng minh BĐT ta sử dụng cách sau:
– Biến đổi BĐT cần chứng minh tương đương với BĐT biết. – Sử dụng BĐT biết, biến đổi để dẫn đến BĐT cần chứng minh. Một số BĐT thường dùng:
+ A2 0 + A2B20 + A B 0 với A, B 0. + A2B2 2AB
Chú ý:
– Trong trình biến đổi, ta thường ý đến đẳng thức.
– Khi chứng minh BĐT ta thường tìm điều kiện để dấu đẳng thức xảy Khi ta tìm GTLN, GTNN biểu thức.
Bài 1. Cho a, b, c, d, e R Chứng minh bất đẳng thức sau:
a) a2b2c2 ab bc ca b) a2b2 1 ab a b c) a2b2c2 3 2(a b c ) d) a2b2c2 2(ab bc ca ) e) a4b4c2 1 (a ab2 a c 1) f)
a2 b2 c2 ab ac 2bc
4
Điều kiện Nội dung
x 0, x x x , x
a > 0
x a a x a
x a
x a x a
(37)g) a2(1b2)b2(1c2)c2(1a2) 6 abc h) a2b2c2d2e2a b c d e( ) HD: a) (a b )2(b c )2(c a )20 b) (a b )2(a1)2(b1)20
c) (a1)2(b1)2( 1)c 20 d) (a b c )2 0
e) (a2 b2 2) (a c )2(a1)2 0 f)
a (b c) 0
g) (a bc )2(b ca )2(c ab )2 0
h)
a b a c a d a e 0
2 2
Bài 2. Cho a, b, c R Chứng minh bất đẳng thức sau:
a)
a b a b
ab
2 2 2
2
b)
a3 b3 a b
2
; với a, b 0 c) a4b4a b ab3 d) a4 3 4a
e) a3b3c33abc, với a, b, c > 0 f)
a b
a b
b a
6 4
2
; với a, b 0
g) a2 b2 ab
1
1
1 1 ; với ab 1 h) (a5b a b5)( ) ( a4b a4)( 2b2); với ab > 0.
HD: a)
a b ab (a b)2 0
2
;
a2 b2 a b (a b)2 0
2
b)
a b a b ( )( )
8 c) (a3 b a b3)( ) 0 d) (a1) (2 a22a3) 0 e) Chú ý: a3b3 (a b )3 3a b2 3ab2
BĐT a b c a b c ab bc ca 2
( ) ( ) 0
. f) (a2 b2 2) (a4a b2 2b4) 0 g)
b a ab
ab a b
2
2
( ) ( 1) 0
(1 )(1 )(1 )
h) ab a b a( )( 3 b3) 0 .
Bài 3. Cho a, b, c, d R Chứng minh a2b22ab (1) Áp dụng chứng minh bất đẳng thức sau:
a) a4b4c4d44abcd b) (a21)(b21)(c21) 8 abc c) (a24)(b24)(c24)(d24) 256 abcd
HD: a) a4b42a b c2 2; 2d2 2c d2 2; a b2 2c d2 2abcd b) a2 1 ;a b2 1 ;b c2 1 2c
c) a2 4 ;a b2 4 ;b c2 4 ;c d2 4 4d
Bài 4. Cho a, b, c, d > Chứng minh a
b 1
a a c b b c
(38)a)
a b c
a b b c c a
1 2
b)
a b c d
a b c b c d c d a d a b
1 2
c)
a b b c c d d a
a b c b c d c d a d a b
2 3
HD: BĐT (1) (a – b)c < 0. a) Sử dụng (1), ta được:
a a a c
a b c a b a b c
;
b b b a
a b c b c a b c
;
c c c b
a b c c a a b c
.
Cộng BĐT vế theo vế, ta đpcm. b) Sử dụng tính chất phân số, ta có:
a a a
a b c d a b c a c
Tương tự:
b b b
a b c d b c d b d ;
c c c
a b c d c d a a c ;
d d d
a b c d d a b d b Cộng BĐT vế theo vế ta đpcm. c) Chứng minh tương tự câu b) Ta có:
a b a b a b d
a b c d a b c a b c d
Cùng với BĐT tương tự, ta suy đpcm
Bài 5. Cho a, b, c R Chứng minh bất đẳng thức: a2b2c2 ab bc ca (1) Áp dụng chứng minh bất đẳng thức sau:
a) (a b c )2 3(a2b2c2) b)
a2 b2 c2 a b c
3
c) (a b c )2 3(ab bc ca ) d) a4b4c4 abc a b c( ) HD: (a b )2(b c )2(c a )20.
a) Khai triển, rút gọn, đưa (1) b, c) Vận dụng a) d) Sử dụng (1) hai lần
Bài 6. Cho a, b Chứng minh bất đẳng thức: a3b3 a b b a ab a b2 ( ) (1) Áp dụng chứng minh bất đẳng thức sau:
a) a3 b3 abc b3 c3 abc c3 a3 abc abc
1 1
; với a, b, c > 0.
b) a3 b3 b3 c3 c3 a3
1 1 1
1 1 1
; với a, b, c > 0 abc = 1.
c) a b b c c a
1 1 1
1 1 1
; với a, b, c > 0 abc = 1. HD: (1) (a2 b a b2)( ) 0 .
a) Từ (1) a3b3abc ab a b c ( ) a3 b3 abc ab a b c
1
( )
.
Cùng với BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta suy đpcm. b, c) Sử dụng a).
(39)a) ab bc ca a b 2+ 2c2<2(ab bc ca ) b) abc(a b c b c a a c b )( )( ) c) 2a b2 22b c2 22c a2 2 a4 b4 c4 0 d) a b c( )2b c a( )2c a b( )2a3b3c3
HD: a) Sử dụng BĐT tam giác, ta có: a b c a2 b2 2bc c 2. Cùng với BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta suy đpcm.
b) Ta có: a2 a2 (b c )2 a2 (a b c a b c )( ). Cùng với BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta suy đpcm. c) (a b c a b c b c a c a b )( )( )( ) 0 .
d) (a b c b c a c a b )( )( ) 0 .
Bài 8. Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác Chứng minh: a) a b b c c a
1 ; ;
độ dài cạnh tam giác khác. b) a b c b c a c a b a b c
1 1 1
.
HD: a) Sử dụng tính chất phân số BĐT cạnh tam giác Ta có: a b b c a b c a b c
1 1
> c a c a c a
2
Tương tự, chứng minh BĐT lại.
b) Sử dụng BĐT: Với x > 0, y > ta có: x y x y
1
.
Ta có: a b c b c a a b c b c a b
1
( ) ( )
.
Cùng với BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta suy đpcm.
VẤN ĐỀ 2: Phương pháp làm trội
Dùng tính chất bất đẳng thức để đưa vế bất đẳng thức dạng tổng hữu hạn hoặc tích hữu hạn.
Phương pháp chung để tính tổng hữu hạn: S = u1u2 un
Ta biến đổi số hạng tổng quát uk hiệu hai số hạng liên tiếp nhau: uk ak ak1 Khi đó: S = a1 a2 a2 a3 an an1a1 an1
(40)Ta biến đổi số hạng uk thương hai số hạng liên tiếp nhau:
k k
k
a u
a 1
Khi đó: P =
1
1
2
2
1.
n n
n
a a a
a a a a a
Bài 1. Chứng minh với số tự nhiên n1, ta có:
a)
3 1
n n n
n b) 2 1
1
1 n n
c) 2 n2
1 1
1
2
d)
1 2+
1 3+
1
3 4+ .+
(n −1).n<1
HD: a) Ta có: n k n n 2n
1 1
, với k = 1, 2, 3, …, n –1.
b) Ta có:
k k
k k k
k 12 1
2
2
, với k = 1, 2, 3, …, n. c) Ta có: k kk k k
1 1 1
2
, với k = 2, 3, …, n. d) Ta có: k n k k
1 1
( 1) 1 , với k = 2, 3, …, n.
VẤN ĐỀ 3: Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Cô–si
1 Bất đẳng thức Cô–si:
+ Với a, b 0, ta có:
a b ab
. Dấu "=" xảy a = b.
2 Ứng dụng tìm GTLN, GTNN:
+ Nếu x, y > có S = x + y khơng đổi P = xy lớn nhất x = y.
+ Nếu x, y > có P = x y khơng đổi S = x + y nhỏ nhất x = y.
Bài 1. Cho a, b, c 0 Chứng minh bất đẳng thức sau: a) (a b b c c a )( )( ) 8 abc
b) bc ca ab a b ca b c ; với a, b, c > 0. c)
ab bc ca a b c
a b b c c a
; với a, b, c > 0.
d)
a b c
b c c a a b
; với a, b, c > 0.
(41)b)
bc ca abc c
a b ab
2
2
,
ca ab a bc a
b c bc
2
2
,
ab bc ab c b
c a ac
2
2
đpcm
c) Vì a b 2 ab nên
ab ab ab
a b 2 ab Tương tự:
bc bc ca ca
b c ; c a .
ab bc ca ab bc ca a b c
a b b c c a 2
(vì ab bc ca a b c )
d) VT =
a b c
b c c a a b
= a b b c c a b c c a a b
1 ( ) ( ) ( ) 1 3
2
9 3 2 2. Cách khác: Đặt x =b + c, y = c + a, z = a + b.
Khi đó, VT =
x y z x z y
y x x z y z
1 3
2
1(2 2 3) 2.
Bài 2. Cho a, b, c > 0 Chứng minh bất đẳng thức sau: a) a b c a b c a b c
3 3 1
( ) ( )
b) 3(a3b3c3) (a b c a )( 2b2c2) c) 9(a3b3c3) ( a b c )3 HD: a) VT =
a b b c c a
a b c
b a c b a c
3 3 3
2 2
.
Chú ý:
a b a b ab
b a
3
2
2
Cùng với BĐT tương tự ta suy đpcm. b) 2(a3b3c3)a b b a2 b c bc2 2 c a ca2 2.
Chú ý: a3b3ab a b( ) Cùng với BĐT tương tự ta suy đpcm. c) Áp dụng b) ta có: 9(a3b3c3) 3( a b c a )( 2b2c2). Dễ chứng minh được: 3(a2b2c2) ( a b c )2 đpcm.
Bài 3. Cho a, b > 0 Chứng minh a b a b
1
(1) Áp dụng chứng minh BĐT sau: a) a b c a b b c c a
1 1 2 1
; với a, b, c > 0. b) a b b c c a a b c a b c a b c
1 1 2 1
2 2
; với a, b, c > 0.
c) Cho a, b, c > 0 thoả a b c1 1 4 Chứng minh: a b c a b c a b c
1 1 1
2 2 2
d)
ab bc ca a b c
a b b c c a
; với a, b, c > 0.
e) Cho x, y, z > 0 thoả x2y4z12 Chứng minh:
xy yz xz
x y y z z x
2 6
2 2 4
.
(42)p a p b p c a b c 1 21 1
.
HD: (1) a b
a b 1 ( ) 4
Hiển nhiển suy từ BĐT Cô–si.
a) Áp dụng (1) ba lần ta được: a b a b b c b c c a c a 1 ; 1 ; 1
.
Cộng BĐT vế theo vế ta đpcm. b) Tương tự câu a).
c) Áp dụng a) b) ta được: a b c a b c a b c a b c
1 1 4 1
2 2
.
d) Theo (1): a b a b 1 1
4
ab a b
a b 1 (4 ).
Cùng với BĐT tương tự, cộng vế theo vế ta đpcm.
e) Áp dụng câu d) với a = x, b = 2y, c = 4z a b c 12 đpcm. f) Nhận xét: (p –a) + (p – b) = 2p – (a + b) = c.
Áp dụng (1) ta được: p a p b p a p b c
1 4
( ) ( )
.
Cùng với BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta đpcm.
Bài 4. Cho a, b, c > 0 Chứng minh a b c a b c
1 1
(1) Áp dụng chứng minh BĐT sau:
a) a b c a b b c c a a b c
2 2 1
( ) ( )
2
.
b) Cho x, y, z > 0 thoả x y z 1 Tìm GTLN biểu thức: P =
x y z
x1y1z1. c) Cho a, b, c > 0 thoả a b c 1 Tìm GTNN biểu thức:
P = a2 bc b2 ac c2 ab
1 1
2
.
d) Cho a, b, c > 0 thoả a b c 1 Chứng minh: a2 b2 c2 ab bc ca
1 1 1 30
.
HD: Ta có: (1)
a b c
a b c 1 ( ) 9
Dễ dàng suy từ BĐT Cô–si.
a) Áp dụng (1) ta được: a b b c c a a b c
1 1
2( )
.
VT
a b c a b c a b c
a b c a b c
2 2 2
9( ) 3(. ) 3( )
2( ) 2
Chú ý: (a b c )2 3(a2b2c2). b) Để áp dụng (1), ta biến đổi P sau:
P =
x y z
x y z
1 1 1
1 1
= x y z
1 1
3
1 1
Ta có: x y z x y z
1 1 9
1 1 1 4
Suy ra:P
9 3
4
(43)Chú ý: Bài toán tổng quát sau:
Cho x, y, z > thoả x y z 1 k số dương cho trước Tìm GTLN của biểu thức: P =
x y z
kx1ky1kz1.
c) Ta có: P a2 bc b2 ca c2 ab a b c
9 9
2 2 ( )
.
d) VT a2 b2 c2 ab bc ca
1
= a2 b2 c2 ab bc ca ab bc ca ab bc ca
1 1
ab bc ca a b c
9 9 30
1 ( )
Chú ý: ab bc ca a b c
1( )
3
.
Bài 5. Áp dụng BĐT Cô–si để tìm GTNN biểu thức sau: a) x y x x 18;
b)
x
y x
x2 ;
2 c) x y x x
3 1 ; 1
2
d)
x
y x
x
5 ;
3 2
e)
x
y x
x x5 ; 1 f) x y x x
21; g) x x y x x 4
4 ;
h)
y x x
x
3
2 ;
HD: a) Miny = x = 6 b) Miny =
2 x = 3
c) Miny =
3
2
x = 36 1 d) Miny =
30
x =
30
e) Miny = 2 5 x
5
f) Miny = 3
4 x = 32
g) Miny = x = 2 h) Miny = 5
27 x = 53
Bài 6. Áp dụng BĐT Cơ–si để tìm GTLN biểu thức sau: a) y(x3)(5 x); 3 x b) y x (6 x); 0 x
c) y x x x
5 ( 3)(5 );
2
d) y x x x
5
(2 5)(5 );
2
e) y x x x
1
(6 3)(5 );
2
f)
x
y x
x2 2;
(44)c) Maxy = 121
8 x =
d) Maxy = 625
8 x =
e) Maxy = x = 1 f) Maxy =
2 2 x = 2 (2x2 2 2x)
II BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN 1 Định nghĩa
Bất phương trình dạng ax b 0 (hoặc ax b 0,ax b 0,ax b 0), a, b hai số cho, a 0, đgl bất phương trình bậc ẩn.
2 Hai qui tắc biến đổi bất phương trình
Qui tắc chuyển vế: Khi chuyển hạng tử bất phương trình từ vế sang vế ta phải đổi dấu hạng tử đó.
Qui tắc nhân: Khi nhân hai vế bất phương trình với số khác 0, ta phải: – Giữ nguyên chiều bất phương trình số đódương.
– Đổi chiều bất phương trình số âm.
Bài 1. Giải bất phương trình sau:
a) 3(2x 3) 4(2 x) 13 b) 6x1 (3 9) 8 x+ x (2 x1) c) 8x17 3(2 x3) 10( x2) d) 17(x5) 41 x15(x4) 1 e) 4(2 ) (5 x x) 11 x f) 2(3 x) 1,5( x 4) 3 x
ĐS: a) x3 b) x
c) x
d) x
83 73
e) x
f) x 18
5
Bài 2. Giải bất phương trình sau: a)
x x
2
3
b)
x x
5( 1) 1 2( 1)
6
c)
x x
3( 1)
2
8
d)
x x x
3 1
2
e)
x x x
1 2 1
4 3
3
f)
x x x x x
2 22 5
6 4
ĐS: a) x20 b) x15 c) x
d) x5 e) x 14 19
f) x
Bài 3. Giải bất phương trình sau:
a) (2x3)(2x 1) ( x x2) b) 5(x1) x(7 x)x2 c) (x1)2(x 3)2 x2(x1)2 d)
x x
(2 1) (3 )
8
e)
x x x2
( 2) 3( 1)
5 10
f)
x(1,5x 1) (2 x)2 5x 2
6
ĐS: a) x
b) x
c) x 10
d) x
e) x
f) x2
(45)a)
x
x
8
5
b)
x
x x
2
2
c)
x x x 3 1
6
d)
x x x
x
6
e)
x 2x x 15 15
ĐS: a) x tuỳ ý b) x tuỳ ý c) x tuỳ ý d) vô nghiệm e) vô nghiệm
Bài 5. Với giá trị x thì:
a) Giá trị biểu thức 3( x1) không nhỏ giá trị biểu thức 2(x 3) 4 b) Giá trị biểu thức
x x 1
lớn giá trị biểu thức x3.
c) Giá trị biểu thức (x1)2 không lớn giá trị biểu thức (x 3)2
d) Giá trị biểu thức
x x
3
2
nhỏ giá trị biểu thức
x
4 2
3
ĐS: a) x
14
b) x 2 c) x
d) x2.
Bài 6. Giải bất phương trình sau: (Biến đổi đặc biệt) a)
x 1987 x 1988 x 1989 x 1990 2002 2003 2004 2005
b)
x x x x x x
99 97 95 98 96 94
c)
x-1987 x 1988 x 1989 x 1990 2002 2003 2004 2005
d)
x x x x x x
99 97 95 98 96 94
ĐS: a) x15 b) x100
Bài 7.
a) Một số có hai chữ số có chữ số hàng chục lớn chữ số hàng đơn vị Tìm số biết lớn 21 nhỏ 36
b) Tìm số nguyên nằm khoảng từ 300 đến 400, biết số chia cho 3, 4, có số dư
c) Tìm số nguyên nằm khoảng từ 500 đến 600, biết số chia cho 5, 8, 10 có số dư 2, 5,
ĐS: a) 31 b) 301 (x 1 chia hết cho 3, 4, 5) c) 557 (x3 chia hết cho 5, 8, 10)
(46)III PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 1 Định nghĩa giá trị tuyệt đối
a a a a a00
2 Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
Dạng A B
C
A hay A
A B A B
1 0 0
C
B hay B
A B A B
2 0 0
Dạng A B A B hay A B
Dạng phương trình có chứa nhiều dấu giá trị tuyệt đối – Xét dấu biểu thức chứa ẩn nằm dấu GTTĐ.
– Chia trục số thành nhiều khoảng cho khoảng, biểu thức nói có dấu xác định.
– Xét khoảng, khử dấu GTTĐ, giải PT tương ứng trường hợp đó. – Kết hợp trường hợp xét, suy số nghiệm PT cho.
Bài 1. Giải phương trình sau:
a) 4x x 2 b) 2 x 2 3x c) 2x 5 x d) 2x 6x x8 e)
x x
1 6 5
f)
x x 1 x
2
ĐS: a) S
2 2;
b) S 0 c) S
d)S e)S 19 20
f) S
Bài 2. Giải phương trình sau:
a) x2 2x x b) 2x2 5x3 2x22 c) x24x x21 d) 3x2 7x2 x25x
ĐS: a) S0;1;3 b) S
1 1;
4
c) S 3;1 d) S 2
Bài 3. Giải phương trình sau: a)
x x
x
3 2
1
b)
x x
x
x 6 8
3
c)
x x2
6 2 36
d)
x x x
x x
2
4 3
5
e)
x x x
x
2 4 4
2
f)
x x x
x x
2
5 4
3
ĐS: a) S 2 b) S ;43
c) S
13
d) S 3;35
(47)Bài 4. Giải phương trình sau:
a) 2x 1 x b) 5 x 3x1 c) 4 x 7x 0 d) 2x25x 10 2 x21 e) x 6 f) x2 3x x 21 ĐS: a) S 2;0 b)S
1 3;
c)S 111 ;1
d)S
9 9;1;
e)S1;5 f) S 1;
Bài 5. Giải phương trình sau:
a) 2x 1 5x 3 b) x x3 0 c) x x 1 d) x 1 2x x e) 2x3 x x 0 f) x1 x 1 ĐS: a) S b) S 4 c)2 x d) S
1 3; 2
e) S
1
f)S BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG IV
Bài 1. Giải bất phương trình sau:
a) 3x 12 x+ b) 4x15 24 7 x c) x 1 2x d)
x x 1 x
2
e)
x x x
2 1 2 (2 1)
f)
x x x x
2
ĐS: a) x10 b) x3 c) x2 d) x 11
7
e) x
f) x1
Bài 2.
a) Tìm tất nghiệm nguyên dương bất phương trình:11x 8 x2 b) Tìm tất nghiệm nguyên âm bất phương trình:
x2 2x x2 x x2 x x
2
c) Tìm nghiệm nguyên lớn bất phương trình: 4(2 ) (5 x x) 11 x d) Tìm nghiệm nguyên nhỏ bất phương trình: 2(3 x) 1,5( x 4) 3 x ĐS: a) 1;2 b) 3; 2; 1
Bài 3. Giải bất phương trình sau: a)
x x 15 x 2005 x 1995
2005 1995 15
b)
x x x x
1987 1988 27 28 4
15 16 1999 2000
c) x
1 1
1.101 2.102 10.110 1.11 2.12 100.110
ĐS: a) x2010 Trừ vế cho 2 b) x1972 Trừ vế cho 4 c) x10 Biến đổi k k k k
1 1
(100 ) 100 100
, k k k k
1 1
( 10) 10 10
Bài 4. Giải phương trình sau:
a) x 5 x7 b) x 2 x c) 2x 11 x 8 d)
x x
x
4
4
e)
x x x
x
7 2 7
5
f)
x x x
x x
2
8 15 9
2
ĐS: a) S
b) S
14 4;
3
c) S1;19 d) S
3 15; 4
e) S
1 2;
(48)
S