CHU DE TU CHON TOAN 9

Tiết 4, 5: XÁC ĐỊNH THAM SỐ( HỆ SỐ CỦA PHƯƠNG TRÌNH) BIẾT HỆ THỨC GIỮA CÁC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH.. I )Mục tiêu :[r]

1)Chủ đề:HỆ THỨC VIET VỚI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Loại: nâng cao lớp 9

2) Thời lượng: tiết 3) Các nội dung bản:

- Vận dụng hệ thức Viet để tính nhẩm nghiệm phương trình bậc hai ( tiết ) - Dạng tốn quy tìm số biết tổng tích (1tiết )

- Khơng giải phương trình mà tính giá trị biểu thức liên hệ nghiệm phương trình (2 tiết)

- Tìm hệ thức liên hệ nghiệm, độc lập m (1 tiết ) 4) Nội dung cụ thể:

Tiết 1+2: Tính nhẩm nghiệm phương trình bậc hai I )Mục tiêu cần đạt:

-Kiến thức :Củng cố kiến thức định lý Viet thuận , đảo

-Kỹ năng: nhận dạng phương trình có dạng đặc biệt a + b + c = o a – b + c = o,thành thạo với tốn tính nhanh, lập phương trình bậc biết hai nghiệm

- Thái độ: cẩn thận, xác việc xác định hệ số phương trình bậc hai thực phép tính

II) Nội dung:

1 Kiến thức cần ghi nhớ: a Định lý viet:

Nếu x1, x2 hai nghiệm phương trình

ax2 + bx + c = (a≠0) thì:

S = x1 + x2 = -

b a P = x1.x2 =

c a

b/ Tính nhẫm nghiệm phương trình ax2 + bx + c = (a≠0) có:

a + b + c = phương trình có nghiệm x1 = 1; x2 =

c a a - b + c = phương trình có nghiệm x1 = - 1; x2 =

-c a

c/ Tìm hai số biết tổng tích chúng:

Nếu hai số có tổng S tích P hai số nghiệm phương trình: x2 - Sx + P = 0

( Nói cách khác, hệ phương trình: u v S u v P

  

 

 giải được

2/Phương pháp giải tốn:

Dạng1 : Khơng giải phương trình, tính tổng tích nghiệm phương trình

- : Tính  chứng tỏ  để phương trình có nghiệm

- Áp dụng hệ thức Viét tính: S = x1 + x2 = -

b

Bài toán 1: Khơng giải phương trình, tính tổng tích nghiệm của phương trình sau:

a/ x2 – 6x + = 0 b)x2 + 13x + 42 = 0

c/ 3x2 + 5x + 61 = 0 d)x2 - x 3- -

Giải:

a/x2 – 6x + = 0

có  =(- 6)2 – 4.8 = 36 – 32 = >

=> Phương trình có nghiệm

- Tổng nghiệm phương trình là: S = x1 + x2 =

-b a=

-6 

= - Tích nghiệm phương trình là: P = x1 x2 =

c a=

8 1= 8

b/ 3x2 + 5x + 61 = 0

 = 52 – 4.3.61 < => Phương trình vơ nghiệm

c) Xét phương trình: x2 + 13x + 42 = 0

 = 132 – 4.42 = 169 – 168 = > => Phương trình có hai nghiệm

Ta có: S = x1 + x2 =

-b a= 13 P = x1 x2 =

c a = 42

d) x2 - x 3- - 6=0

 = ( 3)2 + 4(2 + 6) >

Ta có: S = x1 + x2 =

-b a=

P = x1 x2 =

c

a = - -

Dạng 2: Giải phương trình cách tính nhẫm nhanh

 Áp dụng hệ thức Vi ét tính tổng tích nghiệm số

x1 + x2 =

-b

a; x1 x2 = c a

Nhẫm tìm hai số m,n thoả mãn: x1 + x2 =m + n ; x1 x2 =

c

a = m.n

 Nếu a + b + c = x1 = 1; x2 = -

c a

 Nếua - b + c = phương trình có nghiệm x1 = - 1; x2 =

-c a

a/ x2 – 6x + = 0 b/ x2 + 13x + 42 = 0 c/ 11x2 + 13x - 24 = 0 d/ 11x2 – 13x – 24 = 0

Giải

a/ Xét phương trình x2 – 6x + = 0

- Tổng nghiệm phương trình là: S = x1 + x2 =

-b a=

-6 

= - Tích nghiệm phương trình là: P = x1 x2 =

c a=

8 1= 8

Vì = = + nên hai nghiệm phương trình là: x1 = 2; x2 =

b/ Phương trình: x2 + 13x + 42 = 0

Ta có: S = x1 + x2 =

-b a= 13 P = x1 x2 =

c a = 42

Vì 42 = (- 6) (- 7) – 13 = (- 6) + (- 7) Nên phương trình có hai nhgiệm x1 = - 6; x2 = -

c/ Phương trình: 11x2 + 13x - 24 = có dạng a + b + c = nên phương trình có

hai nghiệm c a=

24 11 

d/ Phương trình: 11x2 - 13x - 24 = có dạng a - b + c = nên phương trình có

hai nghiệm -c a=

24 11

Bài tốn 2b: Tính nhẫm nghiệm phương trình a/ 2005x2 + 2006x + = 0

b/ (m2+ 1)x2 – (m2 + 2)x + 2 - = 0

Giải a/ Ta có a - b + c = = 2005 – 2006 + = Vậy phương trình có nghiệm là: x1 = - 1; x2 = -

1 2005

b/ Ta có a + b + c = (m2+ 1) – (m2 + 2) + 2 - = m2 + ≠ nên

phương trình có nghiệm là: x1 = 1; x2 = -

2

1 m

 

Dạng 3:: Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm phương trình Bước 1: Lập tổng S= x1 + x2 và tích P= x1 x2

Bước 1: Lập phương trình có dạng x2 - Sx + P = 0

Bài toán3a: Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm phương trình là:

a/ 1 b/ – 3

c/ 2 d/ 2 -

a/ S = x1 + x2 = + =

P = x1 x2 = =

Phương trình bậc hai phải lập là: x2 - 3x + = 0

b/ S = x1 + x2 = (- 3) + =

P = x1 x2 = (- 3) = - 15

Phương trình bậc hai phải lập là: x2 - 2x - 15 = 0

c/ S = x1 + x2 = + = 2( - 1)

P = x1 x2 = =

Phương trình bậc hai phải lập là: x2 – 2(( 3 - 1)x + 4 3 = 0

d/ c/ S = x1 + x2 = + - 2=

P = x1 x2 = 2(1 - 2)= -

Phương trình bậc hai phải lập là: x2 - x + 2 - = 0

Bài tốn 3b:

a/Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là:

1

10 72 10 2

b/ Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm x1, x2 x1.x2 = 4

1 1

x x  +

2

x x  =

2

7 a a

 

c/ Lập phương trình bậc hai có hai hệ số nguyên có nghiệm là:

3 5

 

Giải: a/ Ta có: x1 + x2 =

1

10 72 +

10 2 = - 20 28

x1 x2 =

1 10 72

1 10 2 =

1 28

Phương trình cần tìm là: x2 +

20 28x +

1

28 = hay 28x2 + 20x + = 0

b/ Từ x1 x2 =

1 1

x x  +

2

x x  =

2

7 a a

  => x1 + x2 = a2 +

Phương trình cần tìm là: x2 - (a2 + 1)x + = 0

c/ Ta có x1 =

3 5



 =

2 ( 5)

2 

 =

8 15 

 = 15 - 4

Ta tìm nghiệm thứ hai x2 cho x1 + x2 x1 x2 số nguyên:

Chọn x2 = 15 -

Khi đớ: x1 + x2 = -

x1 x2 = - ( 15 + 4)( 15 - 4) = - (- 1) =

Tiết 3: Tìm hai số biết tổng tích chúng I )Mục tiêu cần đạt được:

- Nắm vững định lý Viet đảo, lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm x1, x2

- Biến đổi thành thạo hệ thức liên hệ nghiệm x1, x2 thành tổng

tích

- Cẩn thận, xác tính tốn ,vận dụng tốt việc giải dạng tốn tính giá trị biểu thúc nghiệm phương trình

II) Nội dung:

Dạng 4: Tìm hai só biết tổng tích chúng

- Từ hệ thức cho trước x, y,tìm tổng S = x + y tích P = x.y - Hai số x, y nghiệm phương trình x2 – Sx + P = 0.

Bài tốn 4a:

Tìm số x, y trường hợp sau:

a/ x + y = 27; x.y = 180 b/ x + y = 25; x.y = 160 c/ x2 + y2 =650; x +y =30

Giải:

a/ Với x + y = 27; x.y = 180 x y hai nghiệm phương trình bậc hai dạng x2 – Sx + P = => x2 – 27 + 180 = 0

 = b2 – 4a.c = 729 – 720 = =>  =

Phương trình có hai nghiệm phân biệt là: x1 =

b a   

= 27

2 

= 15; x2 =

b a   

= 27

2 

= 12 Do ta có:

15 12 x y

  



 hoặc

12 15 x y

  

 

b/ x y hai nghiệm phương trình: x2 – 25x + 160 = 0

 = b2 – 4a.c = 625 – 640 = -15 <0

=> Phương trình vơ nghiệm R Do khơng tồn x y thoả đề c/ Ta có: 2

30 650 x y

x y

 

 

 

 <=>

30

( ) 650

x y

x y xy

 

 

  

 30

900 650 x y

xy

 

 

 

 <=>

30 125 x y xy

 

 

 

x2– 30x + 125 = 0

 = b’2 – a.c = 225 – 125 = 100 =>  = 10

Phương trình có hai nghiệm phân biệt là: x1 =

' ' b

a

  

=

15 10 

= 25; x2 =

' ' b

a

  

=

15 10 

= Do ta có:

25 x y

  



 v

5 25 x y

  

 

Bài toán 4b: Tìm hai số biết:

a/ a + b = và a2 + b2 = 13 b/ a – b = và a.b = 80 c/ a2 + b2 = 29 và a.b = 10

Giải:

a/ Tìm tích a.b

- Ta có: (a + b)2 = a2 + b2 + 2a.b

=> 2a.b = 25 – 13 = 12 a.b =

có a + b =

- a; b nghiệm phương trình x2 – 5x + = 0

=> x1 = 3; x2 =

Vậy a = b = a = b =

b/ Tìm tổng a + b.

Đặt c=-b Ta có a +c =2; a.c =-80

a; c nghiệm phương trình x2 – 2x -80 = 0  x1 = 10; x2 = -8

Vậy a = 10 c = -8 hay b=8 a = -8 c = 10 hay b=-10

c/ Tìm tổng a + b.

a2 + b2 = 29 (a + b)2 – 2ab = 29

<=>

a b = 10 a b = 10 (a + b)2 = 49 a + b = a b = 10

<=> <=>

a b = 10 a + b = -7 a b = 10 a + b =

1/ a b = 10

=> a b hai nghiệm phương trình: x2 – 7x + 10 = 0

=>x1 = 5; x2 =

Nếu a = b = 2; Nếu a = b =

2/ a + b = - a b = 10; a; b hai nghiệm phương trình x2 + 7x + 10 = 0

=> x1 = - 5; x2 = -

Vậy a = 2; b = a = 5; b = a = - 2; b = - a = - 5; b = -

Bài toán 4c: (Bài tập nhà ) Tính hai số x y biết:

x2 + y2 = 13 x – y = 5 x2 - y2 = 55 x y = 24

Tiết 4, 5: XÁC ĐỊNH THAM SỐ( HỆ SỐ CỦA PHƯƠNG TRÌNH) BIẾT HỆ THỨC GIỮA CÁC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH

I )Mục tiêu:

- Nắm vững điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm, cách để kiểm tra phương trình bậc hai có nghiệm?

- Biến đổi hệ thức cho dạng hệ thức tổng tích Giải thành thạo phương trình bậc hai, phương trình tích

- Cẩn thận, xác tính tốn Vận dụng tốt việc giải dạng tốn : Tìm giá trị tham số m phương trình bậc hai thoả mản hệ thức cho trước

II ) Nội dung:

Các biểu thức đối xứng hai nghiệm phương trình bậc hai

Biểu thức x1 x2 gọi đối xứng ta thay x1 x2 x2 x1thì biểu

thức không đổi

Biểu diễn biểu thức đối xứng qua S P:

x1+x2¿2−2x1.x2=S2−2P ¿

x1+x2¿3−3x1.x2(x1+x2)=S3−3P ¿

1 x1

+ x2

=x1+x2 x1.x2

=S P; ¿

x12+x22=¿

Từ hệ thức Viét tính S P thay vào biểu thúc đối xứng.

Dạng 5:Không giải phương trình mà tính giá trị biểu thức liên hệ nghiệm phương trình

* Phương pháp:

Bước 1: Xét biệt thức  = b2 – 4ac  phương trình có nghiệm (hoặc

nhẫm nghiệm).

Bước 2: Tính tổng S tích P thay vào biểu thức

Bài tốn 5a: Cho phương trình bậc hai: x2 – 6x + = 0 Khơng giải phương trình tính:

b/ 1 x x

c/ x12  x22

Giải:

’ = (- 3)2 – = >

Phương trình có nghiệm phân biệt x1; x2

Theo Viét x1 + x2 =

x1.x2 =

a/ Do B = x12x22 (x1x2)2  x x1 = 62 – 2.8 = 20

b/ B = 1 x x =

1 2

x x

x x 

= 8=

3 c/ B=x12  x22= (x1 + x2) (x1 - x2) mà: (x1 + x2)2 = (x1 - x2)2 – 4x1x2

= 62 – 4.8

= 36 – 32 = x1 – x2 = 

vậy B =  12

Bài toán 5b:Giả sử x1 ,x2 hai nghiệm phương trình : 3x2 -5x - =0 khơng

giải phương trình tính : x13.x2 + x1.x2

Giải

Ta có a.c = -12<0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt Theo Vi-et :

x1 + x2 =

5

3 ; x1x2 =

−4

Ta có :x13.x2 + x1.x2 3 =x1.x2 ( x12+ x2 2) =x1.x2

[

(x1+x2)

−2x1.x2

]

=- 19627 Câu hỏi : Để kiểm tra phương trình bậc hai có nghiệm ta cần thực điều gì?

Để kiểm tra phương trình bậc hai có nghiệm ta cần kiểm tra các điều kiện sau :

+ a c trái dấu

+ Phương trình có dạng a + b + c = 0; a – b + c = 0 + Lập  so sánh  với 0.

Dạng :Xác định tham số ( hệ số phương trình ) biết hệ thứcgiữa nghiệm phương trình

* Phương pháp:

- Bước 1Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm:  0

- Bước 2: Từ hệ thức cho hệ thức Vi ét, giải hệ nghiệm x1, x2

rồi thay vào phương trình thứ ba hệ để tìm tham số m.

- Bước 3:Kiểm tra lại m để thoả điều kiện có nghiệm khơng kết luận. Bài tập6a: Cho phương trình: x2 – 2mx – 6m – = 0

a/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm âm

Câu hỏi 1: Giải sử x1; x2 hai nghiệm phương trình , Với điều kiện

tổng tích để x1; x2 âm

Trả lời:

x1; x2 âm <=>

1 2 x x x x       Giải:

’ = m2 + 6m + = (m +3)2 

Theo Vi ét:

x1 + x2 = 2m

x1 x2 = -6m –

Phương trình có hai nghiệm âm:

<=> ' 0 S P          <=> ( 3)

2

6 m m m           <=> 3 m m m            b/ x12x22 = 13 <=> (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 13 <=> (2m)2 – 2(-6m – 9) = 13

<=> 4m2 + 12m +5 = 0

<=> m1 = -

1

2; m2 = -

Vậy m = -

2 m = -

2thì phương trình có nghiệm thoả mãn x12 x22 = 13

Bài toán 6b:

Cho phương trình: x2 – (m + 3)x – 2(m + 2) = (1) Tìm giá trị tham số m để phương trình (1) có nghiệm x1 = 2x2.

Giải:

Để (1) có nghiệm cần phải có:

 = x2 – (m + 3)x – 8(m + 2) = m2 + 6m + 90 – 8m – 16

= m2 – 2m – =(m – 1)2 – (2 2)2

= (m – - 2)(m – + 2 2) 

Vậy m  - 2 + m  2 + (*)

Theo định lý Vi ét kết hợp với giả thiết, ta có:

1

1

3(2) 2(2 2)(3)

2 (4) x x m

x x m

x x            

Thay (4) vào (2) ta :3x2 =m+3 ⇒ x2 = m

+3

3 ;x1 =2 m

m+3

m+3

3 =2(m+2) ⇒ m2 -3m -9 =0

Giải phương trình ta :m1= 3−23√5 ;m2= 3+32√5

cả hai giá trị thoả mãn

Bài toán 6c

Với giá trị m nghiệm x1; x2 phương trình x2 – (m – 1)x + 5m – = thoả mãn điều kiện 4x1 + 3x2 =1

Giải:

 =(m – 1)2 – 4(5m – 6)

= m2 – 22m + 25

 m2 <=> m2 – 22m + 25 

Giải sử  theo Viét ta có:

x1 + x2 = – m (1)

x1 x2 = 5m - (2)

Theo đề 4x1 + 3x2 = 1(3)

Từ (1) (3) =>

1

1

x x m

x x

  

 



 =>

1

2

2

x m

x m

  



  

Thay giá trị x1; x2 tìm vào (2)

(3 - 4m)(-2+3m) = 5m – <=> m(1 – m) =

<=> m = m =

Các giá trị thoả mãn điều kiện (*) Vậy m = 0; m =

Lưu ý: Sau tìm m, cần phải kiểm tra lại điều kiện để   Vì

điều kiện để phơng trình bậc hai có nghiệm, ta sử dụng Viét

Bài tập 6d :Cho phương trình bậc hai mx2 – 6(m – 1)x + 9(m – 3) = 0 Tìm giá trị tham số m để

x1 +x2 = x1 x2

Giải:

*Nêu bước giải toán này:

Bước 1: -Tìm điều kiện a ≠ 0;m ≠ (vì a = m)(Nếu m = phương trình trở thành phương trình bậc nhất)

- Lập  ’ (cho   0) để suy điều kiện tham số m cho phương

trình có nghiệm

’ = 9(m – 1)2 – 9m(m – 3) = 9m +

’  9m +  => m -

Bước 2: Tìm m hệ thức cho trước sau cho chọn giá trị m thích hợp với điều kiện trả lời

Khi m  - theo Viét ta có

S = x1 + x2 =

6(m 1) m



; P = x1 x2 =

9(m 3) m

S = P <=>

6(m 1) m

 =

9(m 3) m



=> 6m – = 9m – 27 => m = (Thoả mãn) Vậy m = x1 +x2 = x1 x2

Tiết 6: TÌM HỆ THỨC LIÊN HỆ GIỮA CÁC NGHIỆM ĐỘC LẬP ĐỐI VỚI THAM SỐ m

I )Mục tiêu :

- Nắm vững hệ thức Viet

- Rèn kỹ khử tham số m hệ thức chứa hai nghiệm x1, x2

- Cẩn thận, xác, linh hoạt tính tốn

II ) Nội dung:

Dạng :Tìm hệ thức liên hệ x1 x2 độc lập với tham số m

* Tìm hệ thức liên hệ x1 x2 độc lập với tham số m.

* Lưu ý: Khi phương trình bậc hai có chứa tham số nghiệm x1;x2

cũng phụ thuộc tham số m Sử dụng hệ thức Viét ta tìm hệ thức giữa x1 x2 độc lập với tham số m.

Bài tập7: Trong phương trình bậc hai sau, giả sử chúng có nghiệm x1, x2 Hãy tìm hệ thức liên hệ nghiệm mà không phụ thuộc vào tham số m.

a/ x2 – 3(m+4)x – 76 = 0

b/ 3x2 – 7x + 2m – = 0

c/ (m – 1)x2 – 2mx + m – = (m ≠ 1)

d/ (m + 3)x2 – 3(m + 4)x – m + = (m ≠ - 3)

Giải:

a/ x2 – 3(m+4)x – 76 = 0

Theo hệ thức Viét ta có x1.x2 = - Đây hệ thức phải tìm

b/3x2 – 7x + 2m – = 0

Theo hệ thức Viét ta có x1 + x2 =

7

3 Đây hệ thức phải tìm

c/ (m – 1)x2 – 2mx + m – = (m ≠ 1)

1

1

2

2

1

4

1

m S x x

m m

m P x x

m m



    



  





    

  

 Do đó:

6

3

1 3 2 8

6

2

1 S

m S P

P

m 

  

 

  



  

 



Hay 3(x1+x2)+2x1x2 =

Đây hệ thức cần tìm

d/ (m + 3)x2 – 3(m + 4)x – m + = (m ≠ - 3)