De va dap an Toan Dai hoc 472011

đồ thị (Hình dưới).[r]

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH Câu I:

1, Khảo sát y x 2x   

 TXĐ: R-\

2    

 ,

(2x 1) 2( x 1) y '

(2x 1)

    



 2

2x 2x

(2x 1) (2x 1)

    

 

 

y ' x   

 Hàm số nghich biến khoảng xác định * Các tiệm cận:

1

y

2 2(2x 1)   



x

1 lim y

2

    tiệm cận ngang

1 y

2  

1 x

2

lim y



     

 ,

1 x

2

lim y



     

   tiệm cận đứng :x 

* Bảng biến thiên:

* đồ thị (Hình dưới) x



2  y’  

y

2

 

2

PT hoành độ giao điểm x x m (1) 2x

 

  

Với điều kiện x 

  

 

2

2

(1) x 2x x m

x 2x 2mx x m

2x 2mx m *

1

' m m m m

2

     

      

    

 

         

 

do (1) ln có nghiệm phân biệt m Vậy y = x + m cắt (C) điểm phân biệt A; B

-Hoành độ A, B nghiệm (1),

 2 y '

2x  

  Hệ số góc tiếp tuyến (C) A;B

 

     

1 A 2 B

A B

1

k y ' , k = y'

2x 2x

 

  

 

Đặt 2x1 = t ; tA 2xA1; tB 2xB1; Từ (*) theo Viet ta có :

A B

A B

A B A B

m x x

2

x x m

t t 2(x x ) 2m 2(m 1)

  

 



   



          

 

 

 

 

A B A B A B

2

2

A B A B

A B

1 2 2 2

A B A B A B

t t 4x x x x

2 m 2m 1

t t 2t t

t t

1

k k

t t t t t t

   

      

  

 

 

     

 

 

2

2

4 m

4 m 2

1

  

      

1 ĐK : x k (kZ) Phương trình

 

2

sin x sin 2x cos2x sin x sin 2x

   

 

 

2

s inx cos x sin x cos x 2 sin xcosx

x k x k

cos x 2 2

k, m cos x s inx

sin x x 2m

4

  



     

  

 

 



   

 

 

   

     

 

   



Z

2 Tập xác đinh : R

   

   

2

2

2

5x y 4xy 3y x y

x,y R xy x y x y (2)

     



 

   

 

Xét (2) đặt x y u u2 4v x.y v

  

 

 

dấu “=” x=y     2   

2 v u 2v  2 u u v 1 2 v 1 *Với v

     

 

2

2 2 2

2 u v

x y 2xy x y

  

      

Thay vào (1)

 

 

   

  

2

2 2

5x y 4xy 3y 2x 2y

2x y 4xy 3y x y 2x 2y 2xy x 2y 6y 2x 2y

2x x 2y x 2y x 2y xy

x 2y xy

    

      

     

    

   

    



Với xy=1 (Loại so với trường hợp xét) x = 2y, thay vào (3):

 2   2

2 y

5

3y 2y 9y 4y 5y

2 y

5 

  

       

Từ (x ; y) = 2; ; 2;

5 5

   

 

   

   

   

* v = xy =1, từ (3) xy2 2 1  4 Dấu “=” x = y Từ

x ; x

y y

  

 

 

  

 

Vậy nghiệm hệ

2

x x

x x 5 5

; ; ;

y y 2 2

y y

5

 

  

 

  

   

   

  

   

  

 

 

Câu III

 

4 4

1

0 0

4

1

x sin x x cos x x cos x

I dx dx dx I I

x sin x cos x x sin x cos x

I x

4

  



 

    

 



 

  

Tính I , đặt 2 tx sin xcos x

2

4 2

1

4

2 1

1

dt sin x x cos x s inx x cos x x t=1

2

x= t=

4

dt

I ln t ln

t

    

      

   

 

  

   

 



 

     

 



Vậy I = ln

4

  

   

Câu IV

a) Vì (SAB)(ABC); (SAC)(SBC) nên SA(ABC)

Theo gt ABBCSBBC SBA góc (SBC) (ABC)

0 AB

SBA 60 SA 2a

2

   

Ta có MN // BC => N trung điểm AC

(BCNM) (ABC)

3

S S

4 

2

3 3a

.2a

4

 

S.BCNM (BCNM )

1

V S SA

3 

2

3

1 3a

.2a a

3

 

b) Gọi K trung điểm BC, ta có AB // NKAB // mp (SNK), khoảng cách h AB SN khoảng cách từ B đến mp(SNK)

Tính SNa 14, NKa, SK2a 17

2 2

SN NK SK 14

cos N sin N

2SN.NK 15 15

 

     

2 (SNK )

1 a 13

S SN.NK.sin N

2

  

S.BNK (BNK ) (ABC )

1 1

V S SA S SA

3

 

3

1 a

2a a

3

  Từ S.BNK

(SNK )

3V 2a 39

h

S 13

Câu V

Viết lại P dạng

1 1

p

z x

y

1

2

y z

x

  

 

 



 

 

Đặt y a,z b;x c

x  y  z  ta có abc=1 Vì x =max(x,y,z) nên bc 2  bc 1

Khi biểu thức P trở thành P 1 3a b c

  

  

Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức phụ 1 b 1 c 1 bc Bất đẳng thức tương đương với  bc 1  b c2 0 với bc1 Từ , đặt bc t a= 12; t

t

  

Bài toán đưa việc tìm giá trị nhỏ

2

t

f (t)

3 2t t

 

 

Xét f(t)  f(2)

 

 

 

   

 

   

  

    

2 2

2

2

t 2

3 2t 11 t

3 t 2 t 3 t 2 2

t

3 t t

11 2t 11 2t

2 t 35t 27t 48

0 t 1; 33 2t t

   

     

   

 

 

  

 

    

 

   

  

  

 

Vậy f(t) f (2) 34 33

  , suy Min f(t)=34

PHẦN RIÊNG

A Theo chương trình chuẩn Câu VI.a

1) Đường trịn (C) có tâm I (2;1),bán kính R =

Ta có SMIB 1SMAIB

 

do 1MB.IB MB MI

2     

Tọa độ M(x,y) nghiệm hệ x y 22 2 (x 2) (y 1) 25

   



   



Giải hệ tìm nghiệm (-3;1) (2;-4)

Vậy có hai điểm M thỏa mãn đk tốn là: M (-3;1) 1 M (2;-4) 2 2,

Mặt phẳng trung trực AB có phương trình (Q): x + y – z + = 0; nQ (1;1; 1)

Theo giả thiết,

(P): 2x – y – z + = 0, nP (2; 1; 1) 

Gọi d giao tuyến (P) (Q), u =[n , n ]d Q P    ( 2; 1; 3)

nên d có phương trình

x 2t y t z 3t

  

       M d M(2t;1 t;3 3t) 

Ta có MA2 MB2 9(2t2)2(1 t) 2(2 3t) 9

2

t

14t 6t 3

t   

   

   

Tìm điểm M (0;1;3) 1

6 12

M ; ;

7 7

 



 

 

Đặt z = a + bi với a,bR PT

     

   

 

2

2 2 2

2 2

2

a bi a b a bi

a b 2abi a b a bi 2b a b 2a

b 0; a 2b a

1

a ; b

b 2a

2

     

      

    

  

  

 

 

      



 

Vậy z1 ; z2 1i ; z3 1i

2 2

      

B Theo chương trình nâng cao Câu VI.b

1, Do (E) nhận Ox làm trục đối xứng ; A, B có hồnh độ dương OA= OB nên gọi A(a;b),B(a;-b), với a,b >

2

a b

1  

OAB

1

S AB.OH 2b.a ab

2

  

BĐT Côsi

2 2

max

a b a b

1 ab S

4

S

     



Tại 2 2

a b

a

2

2

a b b

1 2

4

 

 



 



 



   

 



Vậy A 2; ; b 2;

2

   



   

   

   

2 2

OA 4 0 4 Gọi B(x;y;z)

Ta có OB OA AB OA B (S)

  

    

 

2 2

2 2

2 2

x y z 32 (1)

(x 4) (y 4) z 32 (2)

x y z 4x 4y 4z

    

      

     



Trừ theo vế (2), (3) cho (1)

8x 8y 32

4x 4y 4z 32

   

  

    



x y

z

    

  Thay vào (1)

2 2

x y 16 (x y) 2xy 16

      

x

xy

y

    

  Từ B (0; 4; 4) 1 B (4; 0; 4) 2

*

1

1

OA (4; 4; 0) OB (0; 4; 4)

n OA, OB (16; 16;16) 



 

  

 

 

  

Cùng phương (1;-1;1) PT :(OAB ) : x1     4 y z 0x  y z OB2 (4; 0; 4)

n2OA,OB2 (16; 16; 16) 

 

  

phương (1;-1;-1)

PT(OAB ) : x2     4 y z 0x  y z Câu VII.b

Đặt z a bi(a,b R) z a bi

  

3a 3b 2 (a b)i a

3a 3b 3

a b

b

     

    

 

 

 

   

 

Vậy 2

z a b

3

Bachkhoa-Aptech & Bachkhoa-Npower