Tai lieu tham khao on thi TNTHPT mon Toan chuyen de 2

phải xét dấu biểu thức nằm trong dấu GTTĐ. Tiếp theo phân đoạn cần tính tích phân thành những đoạn con sao cho trên mỗi đoạn con biểu thức nằm trong dấu GTTĐ không đổi dấu. Áp dụng định [r]

PHẦN : ĐẠO HÀM

A).TÓM TẮT LÝ THUYẾT : 1) Định nghĩa :

 

   

0

lim lim

x x

f x x f x

y f x

x x

   

   

  

 

 



2) Các quy tắc tính đạo hàm:

a). Đạo hàm tổng, hiệu: u u1 un u u1 2 un b).Đạo hàm tích: u v. u v u v.  . 

* Trường hợp đặc biệt: v k (klà số) ta được: k u. k u. 

c). Đạo hàm thương:  

0

.

u u v u v v

v v

     

 

   

* Trường hợp đặc biệt: u1 ta được:  

1

0

v v

v v

   

   

 

3) Các cơng thức tính đạo hàm:  un  nu u nn1  *

   cot  2  

sin u

gu u k

u 



  

   0

2

u

u u

u

 

   eu e uu 

sinucos u u  au aulnau0a1

cosu sin u u lnu u u 0

u

   

  cos2 2

u

tgu u k

u

          

     

0 1 0

log ;

ln a

u

u a u

u a



    

B) BÀI TẬP:



Ghi nhớ: Để làm toán giải phương trình, bất phương trình, chứng minh đẳng thức bất đẳng thức có chứa biểu thức F x y y y y , , , , ,     , với y f x  là hàm số cho trước, ta thực bước sau:

 Tìm tập xác định hàm số y f x  

 Tính y y y   , , , (có ta phải rút gọn hàm số y f x   trước, sau

mới tính đạo hàm)

 Thay y y y   , , , vừa tìm vào biểu thức F, thực

theo yêu cầu toán

Bài 1: Cho hàm số  

2 1 2

x

y x 

Giải phương trình y xy 0

Bài 2: Cho hàm số y x e x Chứng minh đẳng thức: xy x2y

Bài 3: Cho hàm số

2 2

cos x

y 

Chứng minh đẳng thức: cos sin

y x y  x y .

Bài 4: Cho hàm số y e xsinx Chứng minh rằng: 2y 2yy0 Bài 5: Cho hàm số  

2

1 cos

y  x x

Hãy tìm giá trị x cho: x 1 y y  y0 Bài 6: Cho hàm số y cos4x sin4x

a Chứng minh rằng: y2sin2x 0 b Giải phương trình 2y y 0

Bài 7: Cho hàm số y ln2 x Giải bất phương trình y xy x y  3 Bài 8: Cho hàm số  

2 1

x

y e x

 

Bài 9: Cho hàm số  

2 1

ln x

y  e x  

  .

a Giải phương trình  

2 1 0

y x  y

b Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ y Bài 10: Cho hàm số y xe x

Chứng minh bất đẳng thức sau: y y  y y 0,  x

Bài 11: Cho hai hàm số: f x  cos cos2x 2x;  

2

1 2

2sin sin

g x  x x

a Tính f x , g x 

b Chứng minh rằng: f x g x  0 Bài 12: Cho hàm số y f x   tg x tg x tgx3 . 2 .

PHẦN : NGUYÊN HÀM & TÍCH PHÂN

§1 NGUN HÀM: 1) Định nghĩa :

Hàm số F x gọi nguyên hàm hàm số f x  a b,     ,  , 

F x f x  x a b .



Ghi nhớ : Nếu F x là nguyên hàm f x  mọi hàm số có dạng  

F x C (Clà số) nguyên hàm f x  chỉ hàm số có dạng F x  Cmới nguyên hàm f x  Ta gọi F x Clà họ nguyên hàm hay tích phân bất định hàm số f x  ký hiệu làf x dx 

Như vậy: f x dx F x     C 2) Tính chất:

a.TC1: kf x dx k f x dx k      ;  0 b.TC2:  f x  g x dx  f x dx  g x dx 

c.TC3: Nếu f x dx F x     C

   

f u du F u C



3) Nguyên hàm hàm số cần nhớ a, b a 0 :

dx x C 

 dx 1lnax b C

ax b a   



 

1

1

1 ,

x

x dx  C

 



   



x x

e dx e C



sinxdx cosx C

 e dxax 1eax C

a

 

cosxdxsinx C

 sinaxdx 1cosax C

a

 



2 , 2

cos

dx tgx C x k

x

     

 cosaxdx1asinax C

2 cot ,

sin

dx gx C x k

x    



1

2

, cos

dx tgx C x k

ax a

     



 0 ln ,

dx x C x

x   



1cot ,

sin

dx gax C x k

ax  a   



4) Bài tập:



Ghi nhớ:

 Nguyên hàm tổng (hiệu) nhiều hàm số tổng (hiệu)

của nguyên hàm hàm số thành phần

 Nguyên hàm tích (thương) nhiều hàm số khơng

tích (thương) nguyên hàm hàm số thành phần

 Muốn tìm nguyên hàm hàm số ta phải biến đổi hàm số thành

một tổng hiệu hàm số tìm nguyên hàm

Bài 1: Cho hai hàm số  

1 1

2

2 4sin

F x  x x

; f x  cos2x a Chứng minh F x là nguyên hàm f x  b Tìm nguyên hàm G x biết

0 4

G    .

Bài 2: Cho hàm số   4

2 3

cos cos cos cos sin

x x x

f x

x x

  



Tìm nguyên hàm F x của hàm số f x  biết F  

Bài 3: Cho hàm số f x  2cos cos2x 4x Tìm hàm số G x  biết    

G x f x  

29 1

0

144; 12 32

G  G   

  .

b Tìm nguyên hàm F x  hàm số f x  biết đồ thị hàm số  

F x qua điểm M 8;0

  



   .

Bài 5: Biết hàm số   1 sin

cos x F x

x



 nguyên hàm f x  Hãy tìm

các giá trị x cho f x   f x  0 Bài 6: Cho hàm số y xe x

a Tính yvà y 2

b Tìm nguyên hàm hàm số    2007 x

f x  x e .

Bài 7: Cho hàm số f x  exsinx Chứng minh hàm số f x   f x  nguyên hàm hàm số 2f x 

Bài 8: Tìm nguyên hàm F x  hàm số  

3

2

3 3 1

2 1

x x x

f x

x x

   

  ,biết rằng

 1 1 3

F 

(Đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông năm 2003) §2 TÍCH PHÂN :

1) Định nghĩa :

       

b

b a a

f x dx F x F b  F a



2) Tính chất :

a TC1:

   

b a

a b

f x dx f x dx

 

b TC2:

    ( 0)

b b

a a

kf x dx k f x dx k 

 

c TC3:

       

b b b

a a a

f x g x dx f x dx g x dx

 

 

  

d TC4:

     

b c b

a a c

f x dx f x dx f x dx

e TC5: Nếu f x    0, x a b; 

  0

b

a

f x dx



f TC6: Nếu f x  g x , x a b; 

   

b b

a a

f x dx g x dx

 

g TC7: Nếu m f x M x a b   ,  ; 

     

b

a

m b a f x dx M b a 

3) Bài tập :



Ghi nhớ:

 Muốn tính tích phân định nghĩa ta phải biến đổi hàm số dấu

tích phân thành tổng hiệu hàm số biết nguyên hàm

 Nếu hàm số dấu tích phân hàm số hữu tỷ có bậc tử lớn hơn

hoặc bằng bậc mẫu ta phải thực phép chia tử cho mẫu

 Nếu hàm số dấu tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối (GTTĐ), ta

phải xét dấu biểu thức nằm dấu GTTĐ Tiếp theo phân đoạn cần tính tích phân thành đoạn cho đoạn biểu thức nằm dấu GTTĐ không đổi dấu Áp dụng định nghĩa GTTĐ để khử dấu GTTĐ

Bài 1: Tính tích phân sau đây:

a

4

0 2

cos cosx xdx





b

cosx sinx dx









c

2

1

2 3

2

x x

dx x



  



d

2

1

ln

x x

e dx

x





Bài 2: Cho hàm số   1 x f x

x



a Chứng minh F x là nguyên hàm f x 

b Áp dụng câu a tính

1

0 1

xdx

x 



Bài 3: Cho hàm số f x  xln2x  2x xln a Tính f x 

b Áp dụng câu a tính

2

ln e

xdx



Bài 4: Biết hàm số  

cos sin cos sin

x x

F x

x x

 

 nguyên hàm f x .

Hãy tính :

 

4

0

f x dx







§3 TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ:

1) Công thức tổng quát :

  .    

b

a

f x x dx f t dt





    

 

 

Cơng thức trên, tích phân cần tính tích phân vế trái Hàm số dấu tích phân có dạng tích f  x  (hàm số theo biến  x ) với đạo hàm của hàm  x Áp dụng công thức vào trường hợp thường gặp, ta có cách đặt cụ thể sau:

a). TH1:

sin cos

f x xdx





 Đặt tsinx

 t p sinx q p q,  

 tn psinx q biểu thức psinx q nằm n

b). TH2:

cos sin

f x xdx



 Đặt tcosx

 t p cosx q  p q,  

 tn pcosx q biểu thức pcosx q nằm n

c). TH3:

ln  1

f x dx

x





 Đặt tlnx

 t p x q ln   p q,  

 tn p x qln  biểu thức p x qln  nằm dấu n

d).TH4:

 

1

. cos

f tgx dx

x





 Đặt t tgx

 t ptgx q   p q,  

 tn ptgx q biểu thức ptgx q nằm dấu n

e). TH5:

 

1

. sin

f cotgx dx

x





 Đặt t cotgx

 t pcotgx q   p q,  

 tn pcotgx q biểu thức pcotgx q nằm n

2) Bài tập:

Bài 1: Tính tích phân sau đây:

a  

6

3

0 2 1

cos sin

xdx x





b

2

3

6cosx 1sinxdx 







c 3ln 2

e dx

x x



d

19

0 8

xdx

x 



Bài 2: Tính tích phân sau đây:

a

 

1

2

4 5

x dx

x x

  



b

2

2 cos

tgx e dx

x





c  

2

2

3cot 1 sin

dx

gx x



 



d

4

2

1 x

dx

e  x



Bài 3: Tính tích phân sau đây:

a

3 cos

tgxdx x





b

2

2

6

sin cosx xdx







c

6

4

0

2

sin cos sin

xdx

x x





d   2 cos sin cos xdx x x   

Bài 4: Tính tích phân sau đây:

a 3 sin cos xdx x   b 3 1

x  x dx

 c 2 2 1 sin sin xdx x    d dx tgx tg x



 



§4 TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN:

1) Công thức tổng quát :

 

b b

b a

a a

uv dx  uv  vu dx

  hay   b b b a a a

udv uv  vdu

 

(1) 2) Các bước thực hiện:

 Bước 1:

( ) ( ) ( )

Đặt

( ) ( ) (nguyên hàm)

u u x du u x dx Đạohàm

dv v x dx v v x

            

 Bước 2: Thế vào công thức (1)

 Bước 3: Tính  

b a uv

và suy nghĩ tìm cách tính tiếp b

a vdu



3) Các dạng tích phân tính phương pháp phần:

Tích phân phần thường áp dụng để tính tích phân có dạng sau:

a). Dạng 1:

   . b

a

p x q x dx



Trong p x là hàm số đa thức, q x là hàm sin ( ) x

cos ( ) x

 Trong trường hợp ta đặt:

    u p x dv q x dx

  

 

 Ghi nhớ : Trong trường hợp đặt ngược lại vào cơng thức ta

b

a vdu



phức tạp b

a udv



ban đầu

b).Dạng 2:

   . b

a

p x q x dx



Trong p x  hàm số đa thức, cịn q x là hàm logarit

 Trong trường hợp ta đặt:

    u q x dv p x dx

  

 



Ghi nhớ: Trong trường hợp đặt ngược lại ta gặp khó khăn suy v từ dv

4) Bài tập:

Bài 1: Tính tích phân sau đây:

a

 

0

2x 1 sinxdx 





b  

2

2 cos

x x xdx





c

4

2

cos

x xdx





d

4 cos

xdx x





e

 

1

2 2

1 x

x e dx



f

1

0

3 2

x

x dx

e





g

1

0

3 2

(x ) xdx





h  

1

2

x

x e dx



Bài 2: Tính tích phân sau đây:

a  

3

3x 1 lnxdx



b

 

1

0

1

ln

x x dx



c

2

ln e

xdx



d  

1

2

1

ln

x x  dx



§5 CÁC BÀI TỐN TỔNG HỢP VỀ TÍCH PHÂN: Tính tích phân sau đây:

a

 

2

2

1 cos

sin

x dx x







b

 

2

1

lnx x e dxx

x





c

 

2

2

2

cot sin sin

g x x dx

x









d

2

0

2

3cosx 1 x sinxdx 

 



 



 



e 1

sin cos cos

x xdx

x







f

1

1 1

2 x xdx

x e

 

   

 



g

2

2 2

2 3

cos cos

sin

x xdx

x



 



 



 



h

1

2

3 1

ln

x x  dx



§6 DIỆN TÍCH CỦA HÌNH PHẲNG:

1) Diện tích hình phẳng giới hạn :  C1 :y f x   ; C2:y g x x a x b  ;  ; 

(trong hai đường thẳng x a x b ;  thiếu hai)

a) Công thức:

    b

a

Sf x  g x dx

(2) b) Các bước thực hiện:

 Bước1: Nếu hai đường x a x b ,  đề cho thiếu hai

thì giải phương trình f x  g x  (PTHĐGĐ  C1 và C2 ) để tìm.

 Bước 2: Áp dụng cơng thức (2)

 Bước 4: Dùng phép phân đoạn tích phân áp dụng định nghĩa GTTĐ

để khử dấu GTTĐ c) Chú ý:

Nếu toán cho chung khảo sát hàm số ta dùng hình vẽ để khử dấu GTTĐ dễ dàng Có nghĩa là, đoạn tích phân mà hình vẽ,  C1 nằm C2 thì hiệu f x   g x  0,  C1 nằm

dưới C2thì hiệu f x  g x  0.

2) Diện tích hình phẳng giới hạn đường không rơi vào trường hợp 1:

 Bước 1: Vẽ hình (khơng cần phải khảo sát)

 Bước 2: Chia hình cần tính thành hình nhỏ cho hình nhỏ tính

được diện tích cơng thức (2)

 Bước 3: Dùng cơng thức (2) tính diện tích hình nhỏ sau tính tổng

diện tích tất hình nhỏ

3) Thể tích hình trịn xoay quay hình phẳng giới hạn đường sau quanh trục Ox:

 C y f x Ox x a x b:   ; ;  ; 

(trong hai đường thẳng x a x b ;  thiếu hai) a) Công thức:

  b

a

V  f x  dx (3) b) Các bước thực hiện:

 Bước 1: Nếu hai đường x a x b ,  đề cho thiếu hai

thì giải phương trình f x  0 (PTHĐGĐ  C trục Ox) để tìm

 Bước 2: Áp dụng công thức (3)

4) Bài tập:

Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong  

2 6 5

2 1

: x x

C y

x

  

 trục Ox.

Bài 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong  C y x: x2

  trục Ox.

Bài 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong

 C y x: 3x 1

   đường thẳng d y: 3.

Bài 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường:  

2 2 2

1

: x x

C y

x

  

 ; đường tiệm cận xiên  C ; Ox; x e  1.

Bài 6: Cho đường cong  

3 3 4

:

C y x  x  x Viết phương trình tiếp tuyến d  C gốc tọa độ O Từ tính diện tích hình phẳng giới hạn

 C và d.

Bài 7: Cho parabol  

2 6 5

:

P y x  x .

a Viết phương trình tiếp tuyến  P giao điểm  P với trục Ox

b Tính diện tích hình phẳng giới hạn  P tiếp tuyến nói câu a

Bài 8: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường:  C y:  x ;

:

d y   x trục Ox.

Bài 9: Tính diện tích hình phẳng giới hạn parabol  P y: 4x đường thẳng d y: 2x

Bài 10: Cho parabol  

2 4

:

P y  x.

a Viết phương trình tiếp tuyến  P điểm tung độ

Bài 11: Cho đường cong  

2 1

1

: x

C y x

 

 Gọi (H) hình phẳng giới hạn

bởi đường:  C Ox Oy; ; Tính thể tích hình trịn xoay sinh quay (H) xung quanh trục Ox