Bài tập max – min của hàm trị tuyệt đối có chứa tham số ôn thi THPT môn Toán

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số y =.. 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1..[r]

42 MAX, MIN CỦA HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI CÓ CHỨA THAMPHÁT SỐ TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN DẠNG 42 MAX, MIN CỦA HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI CÓ CHỨA THAM SỐ KIẾN THỨC CẦN NHỚ Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số trên đoạn [a; b] Tìm nghiệm xi (i = 1, 2, ) y = thuộc [a; b] Tính các giá trị f (xi ); f (a); f (b) so sánh các giá trị, suy giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ BÀI TẬP MẪU Lời giải Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TOÁN: Đây là Dạng toán max, hàm trị tuyệt đối có chứa tham số KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số trên đoạn [a; b] Tìm nghiệm xi (i = 1, 2, ) y = thuộc [a; b] Tính các giá trị f (xi ); f (a); f (b) so sánh các giá trị, suy giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ HƯỚNG GIẢI: Tìm giá trị lớn hàm số y = |f (x)|, ta xét hàm số y = f (x) B1: Tìm giá trị lớn và nhỏ hàm số y = f (x) B2: Giá trị lớn hàm số y = |f (x)| max f (x) f (x) LỜI GIẢI CHI TIẾT Đặt g(x) = x3 − 3x + m ñ g (x) = 3x2 − 3; g (x) = ⇒ x = −1 ∈ / [0; 3] x = ∈ [0; 3] g(0) = m; g(1) = −2 + m; g(3) = 18 + m Suy max g(x) = 18 + m; g(x) = −2 + m [0;3] [0;3] 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Ví dụ Gọi S là tập tất các giá trị thực tham số m cho giá trị lớn hàm số f (x) = x3 − 3x + m trên đoạn [0; 3] 16 Tổng tất các phần tử S A −16 B 16 C −12 D −2 42 MAX, MIN CỦA HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI CÓ CHỨA THAMPHÁT SỐ TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN ® 18 + m = 16 ® m = −2    m > −14  − + m > −16 ® ⇔ Để giá trị lớn hàm số y = f (x) là 16 ⇔  ®   − + m = −16  m = −14  18 + m < 16 m < −2 Vậy S = {−2; −14} nên tổng là −2 − 14 = −16 Chọn phương án A Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN Câu Gọi tập S là tập hợp tất các giá trị thực tham số m cho giá trị lớn hàm số y = x3 − 3x + m trên đoạn [0; 2] Số phần tử S là A B C D Lời giải Xét u = x3 − 3x + m Ta có: u0 = 3x2 − 3; u0 = ⇔ x = ∈ [0; 2] Khi đó: A = max u = max {u(0), u(1), u(2)} = max{m, m−2, m+2} = m+2 a = u = {u(0), u(1), u(2)} = [0;2] [0;2] min{m, m − 2, m + 2} = m − ® |m + 2| = ñ   |m + 2| ≥ |m − 2| m=1 Ta có: max y = max{|A|, |a|} = max {|m + 2|, |m − 2|} = ⇔  ⇔ ®  [0;2] m = −1  |m − 2| = |m − 2| ≥ |m + 2| Vậy S = {±1} Chọn phương án B Câu Gọi S là tập hợp tất các giá trị tham số m để hàm số y = x2 + x + m thỏa mãn y = Tổng tất các phần tử S [−2;2] A− 31 B −8 C − 23 D Lời giải Xét hàm số u = x2 + x + m trên đoạn [−2; 2], có: u0 = ⇔ 2x + = ⇔ x = − n  1 o n  1 o max u = max u(−2), u − , u(2) = m + 6; u = u(−2), u − , u(2) = m − 2 [−3;2] 1 Nếu m − ≥ hay m ≥ thì y = m − = ⇔ m = (thỏa mãn) 4 4 [−2;2] Nếu m + ≤ hay m ≤ −6 thì y = −m − = ⇔ m = −8 (thỏa mãn) [−2;2] [−2;2] Nếu −6 < m < thì y = (không thỏa mãn) n o [−2;2] 23 Ta có: S = −8; Vậy tổng các phần tử S − Chọn phương án C 42 MAX, MIN CỦA HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI CÓ CHỨA THAMPHÁT SỐ TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Câu Gọi M là giá trị lớn hàm số f (x) = 3x4 − 4x3 − 12x2 + m trên đoạn [−1; 3] Có 59 ? B bao nhiêu số thực m để M = A Lời giải Xét hàm số: u = 3x4 − 4x3 − 12x2 + m. C D x=0  Có u0 = 12x3 − 12x2 − 24x ⇒ u0 = ⇔ x = −1 Khi đó: x =   u = {u(−1), u(0), u(2), u(3)} = u(2) = m − 32  [−1;3] Vậy có số thực m để M = 59 Chọn phương án C Câu Gọi S là tập hợp tất các giá trị tham số m để hàm số y = x − m2 − m thỏa x+2 max y = Tích các phần tử S [1;2] A −16 Lời giải B −4 C 16 D + m2 + m x − m2 − m , ta có: u0 = > 0, ∀x ∈ [1; 2], ∀m ∈ R x+2 (x + 2)2 m2 + m − m2 + m − Do đó A = max u = u(2) = − ; a = u = u(1) = − [1;2] [1;2] √ ß ™ m +m−2 m2 + m − −1 ± 17 max y = max , =1⇔m= [1;2] √ ß ™ −1 ± 17 Ta có: S = Vậy tích các phần tử S −4 Xét u = Chọn phương án B Câu Gọi S là tập hợp tất các giá trị thực tham số m cho giá trị lớn hàm x2 + mx + m số y = trên [1; 2] Số phần tử S là x+1 A Lời giải Xét hàm số: u = B x2 + mx + m x+1 C D 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN   max u = max {u(−1), u(0), u(2), u(3)} = u(3) = m + 27 [−1;3]  |m − 32| = 59    |m − 32| ≥ |m + 27| 59  Do đó: M = max {|m − 32|, |m + 27|} = ⇔ ⇔m=  59 2  |m + 27| =  |m + 27| ≥ |m − 32| 42 MAX, MIN CỦA HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI CÓ CHỨA THAMPHÁT SỐ TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN ñ x=0∈ / [1; 2] x2 + 2x x2 + 2x + 2x = ⇔ u0 = ; u = ⇔ = ⇔ x (x + 1)2 (x + 1)2 x = −2 ∈ / [1; 2] ™ ß Ta có: u0 > 0∀x ∈ [1; 2] nên max y = m + , m [1;2]  n 10 o m=  max y = ⇔ Vậy S = ;− 10 3 [1;2] m=− Chọn phương án A Câu Xét hàm số f (x) = x2 + ax + b , với a, b là tham số Gọi M là giá trị lớn hàm số trên [−1; 3] Khi M nhận giá trị nhỏ tính T = a + 2b A T = B T = C T = −4 D T = Lời giải |A + B| (1) Dấu = xảy A = B |A − B| Ta có: max{|A|, |B|} ≥ (2) Dấu = xảy A = −B a Xét hàm số g(x) = x2 + ax + b, có g (x) = ⇔ x = − a Trường hợp 1: − ∈ / [−1; 3] ⇔ a ∈ / [−6; 2] Khi đó M = max {|1 − a + b|, |9 + 3a + b|} Áp dụng bất đẳng thức (1) ta có M ≥ |4 + 2a| > ß ™ a2 a Trường hợp 2: − ∈ [−1; 3] ⇔ a ∈ [−6; 2] Khi đó M = max |1 − a + b|, |9 + 3a + b|, b − ß ™ a2 Áp dụng bất đẳng thức (1) và (2) ta có M ≥ max |5 + a + b|, b − 20 + 4a + a2 ⇔ ⇔M ≥ M ≥ 16 + (a + 2)2 Suy M ≥   a = −2  ®   a = −2 −a2 Ta có: M nhận giá trị nhỏ có thể là M = + a + b = −b ⇔  b = −1   1 − a + b = + 3a + b Vậy a + 2b = −4 Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA Ta có: max{|A|, |B|} ≥ Chọn phương án C Câu Cho hàm số y = x3 − 3x2 + m (với m là tham số thực) Hỏi max y có giá trị nhỏ [1;2] A B Lời giải Xét hàm số: t = x3 − 3x2 với ñ x ∈ [1; 2] Ta có t0 = 3x2 − 6x = ⇔ x=0∈ / (1; 2) C D ; t(1) = −2, t(2) = −4 Nên max t = −2 và t = −4 [1;2] [1;2] x=2∈ / (1; 2) Do đó max y = max |m + t| = max {|m − 4|; |m − 2|} [1;2] [1;2] 42 MAX, MIN CỦA HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI CÓ CHỨA THAMPHÁT SỐ TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN |m − 4| + |2 − m| |(m − 4) + (2 − m)| ≥ = 2 Dấu đạt m − = − m ⇔ m = = max {|m − 4|; |2 − m|} ≥ Chọn phương án C Câu Cho hàm số f (x) = 8x4 + ax2 + b , đó a, b là tham số thực Tìm mối liên hệ a và b để giá trị lớn hàm số f (x) trên đoạn [−1; 1] A b − 8a = B b − 4a = C b + 4a = D b + 8a = Lời giải Đặt t = x2 , vì x ∈ [−1; 1] nên t ∈ [0; 1] Å ã a a2 Ta có: g(t) = 8t + at + b, đây là parabol có bề lõm quay lên và có tọa độ đỉnh là I − ; − + b a Trường hợp 1: − ∈ [0; 1]   − ≤ g(0) ≤    − ≤ g(1) ≤ ⇔     − ≤ −a + b ≤ 32   −1≤b≤1 −1≤8+a+b≤1   − 32 ≤ 32b − a2 ≤ 32 ⇔ 32   −1≤b≤1 −1≤8+a+b≤1   ⇔ −1≤b≤1 − ≤ g(1) ≤ −1≤8+a+b≤1 ⇒ −2 ≤ a + ≤ ⇔ −10 ≤ a ≤ −6 (loại) Vậy a = −8 và b = ⇔ −1≤b≤1 −1≤8+a+b≤1 Chọn phương án D Câu Cho hàm số f (x) = x4 − 4x3 + 4x2 + a Gọi M , m là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số đã cho trên đoạn [0; 2] Có bao nhiêu số nguyên a thuộc đoạn [−3; 3] cho M ≤ 2m? A B C D Lời giải Xét hàm số g(x) = x4 − 4x3 + 4x2 + a  x=0  g (x) = 4x3 − 12x2 + 8x; g (x) = ⇔ 4x3 − 12x2 + 8x = ⇔ x = x = Bảng biến thiên ( ( − 32 ≤ a2 − 32b ≤ 32 (3 Lấy (1) + 32(3) ta có: −64 ≤ a2 ≤ 64 đó −8 ≤ a ≤ Lấy (3) + 32(2) ta có: −64 ≤ a2 + 32a + 256 ≤ 64 Suy ra: a2 + 32a + 192 ≤ ⇔ −24 ≤ a ≤ −8 Khi đó ta có: a = −8 và b = Thử lại: g(t) = 8t2 − 8t + = 2(2t − 1)2 − Vì ≤ t ≤ nên −1 ≤ 2t − ≤ ⇒ ≤ (2t − 1)2 ≤ ⇒ −1 ≤ g(t) = 2(2t − 1)2 − ≤ Ta có: max |g(t)| = t = ⇒ x = ±1 Nên a = −8 và b = (thỏa mãn) a / [0; 1] Theo yêu cầu bài toán ta có: Trường hợp 2: − ∈ ® ® ® − ≤ g(0) ≤ 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Theo yêu cầu bài toán ta có: 42 MAX, MIN CỦA HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI CÓ CHỨA THAMPHÁT SỐ TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN x g (x) + − a+1 g(x) a a TH1: a ≤ −1 ⇒ m = −(a + 1); M = −a ⇒ −2(a + 1) ≥ −a ⇔ a ≤ −2 ⇒ a ∈ {−3; −2} TH2: −1 < a < ⇒ m = 0; M > ⇒ M > 2m (loại) TH3: a ≥ ⇒ m = a; M = a + ⇒ 2a ≥ a + ⇔ a ≥ ⇒ a ∈ {1; 2; 3} Vậy có giá trị a thỏa mãn đề bài Chọn phương án A x4 + ax + a Gọi M , m là giá trị lớn và giá trị nhỏ x+1 hàm số trên đoạn [1; 2] Có bao nhiêu số nguyên a cho M ≥ 2m? A 15 B 14 C 16 D 13 Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA Câu 10 Cho hàm số y = Lời giải 3x4 + 4x3 x4 + ax + a trên đoạn [1; 2], ta có u0 = > 0, ∀x ∈ [1; 2] x+1 (x + 1)2 16 Do đó, max u = u(2) = a + , u = u(1) = a + [1;2]  [1;2]  16   M = a + a + ≥ 13 1 TH1: a + ≥ ⇒ ⇒   ⇔− ≤a≤ 16 1 2   m = a + a + ≥2 a+   2  16     M = − a + ≤0 a + 16 16 61 TH2: a + ≤0⇒     ⇔− ≤a≤−  ⇒ 16 16   m = − a + − a+ ≥ −2 a + 3 ß ™     16 16 TH3: a + ⇒ M > 2m (thỏa mãn) · a+ ≤ ⇒ m = 0, M = max a + , a + 3 61 13 Ta có: − ≤ a ≤ a ∈ {−10; ·; 4} Vậy có 15 số nguyên thỏa mãn Xét u = Chọn phương án C Câu 11 Cho hàm số f (x) = cos4 x + a cos2 x + b , đó a, b là tham số thực Gọi M là giá trị lớn hàm số Tính tổng a + b M nhận giá trị nhỏ A a + b = −8 B a + b = −9 C a + b = D a + b = −7 Lời giải Đặt t = cos2 x, t ∈ [0; 1], ta có hàm số g(t) = 8t2 + at + b Khi đó M = max g(t) [0;1] Do đó: M ≥ g(0) = |b|; M ≥ g(1) = |8 + a + b|; 1 = + a + b ⇒ 2M ≥ |4 + a + 2b|; M ≥g 2 42 MAX, MIN CỦA HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI CÓ CHỨA THAMPHÁT SỐ TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Từ đó ta có 4M ≥ |b| + |8 + a + b| + | − − a − 2b| ≥ |b + (8 + a + b) + (−4 − a − 2b)| = Hay M ≥ | − − a − 2b| Dấu đẳng thức xảy và |b| = |8 + a + b| = = và b, (8 + a + b), (−4 − a − 2b) ® a = −8 cùng dấu ⇔ b = Vậy a + b = −7 Chọn phương án D Câu 12 Cho hàm số y = 2x − x2 − p (x + 1)(3 − x) + m Có tất bao nhiêu giá trị thực 13 Với u = t2 − t − + m ta có: max u = m − 1; u = m − [0;2] [0;2] ß ™ 13 Do đó max y = max |m − 1|; m − = ⇔ m = 4; m = 4 Chọn phương án B Câu 13 Cho hàm số y = 2x − x2 − p (x + 1)(3 − x) + m Khi giá trị lớn hàm số đạt giá trị nhỏ Mệnh đề nào sau đây đúng? 17 A B C D 15 Lời giải Hàm số xác định khi: (x + 1)(3 − x) ≥ ⇔ −1 ≤ x ≤ p √ Đặt t = (x + 1)(3 − x) = + 2x − x2 (t ∈ [0; 2]) và 2x − x2 = t2 − Khi đó ta cần tìm giái trị lớn hàm số y = t2 − t − + m trên đoạn [0; 2] Với u = t2 − t − + m ta có: max u = m − 1; u = m − [0;2] ß Do đó max y = max |m − 1|; m − [0;2] 13 |m − 1| + ™ ≥ 13 17 Dấu xảy |m − 1| = −m = ⇔m= 8 13 13 −m m−1+ ≥ 13 −m = Chọn phương án B 19 x − x + 30x + m có giá trị lớn trên đoạn [0; 2] không vượt quá 20 Tổng các phần tử S A −195 B 210 C 195 D −210 Câu 14 Gọi S là tập hợp tất các số nguyên m để hàm số y = Lời giải 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN tham số m để max y = 3? A B C D Lời giải Hàm số xác định khi: (x + 1)(3 − x) ≥ ⇔ −1 ≤ x ≤ p √ Đặt t = (x + 1)(3 − x) = + 2x − x2 (t ∈ [0; 2]) và 2x − x2 = t2 − Khi đó ta cần tìm giái trị lớn hàm số y = t2 − t − + m trên đoạn [0; 2] 42 MAX, MIN CỦA HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI CÓ CHỨA THAMPHÁT SỐ TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN  x = −5 19  Xét u = x − x + 30x + m trên đoạn [0; 2] có u0 = x3 − 19x + 30; u0 = ⇔ x = x = Do đó: max u = max{u(0); u(2)} = max{m; m + 6} = m + 6; u = m [0;2] [0;2] ñ Do đó: max y = max{|m|; |m+6|} ≤ 20 ⇔ [0;2] |m| ≤ |m + 6| ≤ 20 |m + 6| ≤ |m| ≤ 20 Mà m ∈ Z nên m ∈ {−20; −19; , −6} Vậy S = − 20 P ñ ⇔ − 13 ≤ m ≤ −6 − 20 ≤ m ≤ −13 ⇔ −20 ≤ m ≤ −6 k = −195 Chọn phương án A Câu 15 Cho hàm số y = 2x3 − 3x2 + m Có bao nhiêu số nguyên m để f (x) ≤ 3? [−1;3] Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA A Lời giải B C 31 D 39 ñ x=0 Xét u = 2x3 − 3x2 + m, ta có: u0 = 6x2 − 6x; u0 = ⇔ x =   u = {u(−1), u(3), u(0), u(1)} = {m − 5, m + 27, m, m − 1} = m −  [−1;3] Do đó:   max u = max {u(−1), u(3), u(0), u(1)} = max {m − 5, m + 27, m, m − 1} = m + 27 [−1;3] TH1: m − ≥ ⇔ m ≥ ⇒ f (x) = m − ≤ ⇔ m ≤ ⇒ m ∈ {5; 6; 7; 8} [−1;3] TH2: m + 27 ≤ ⇔ m ≤ −27 ⇒ f (x) = −(m + 27) ≤ ⇔ m ≥ −30 ⇒ m ∈ {−30; −29; −28; −27} [−1;3] TH3: (m − 5)(m + 27) < ⇔ −27 < m < ⇒ min[−1;3] f (x) = (thỏa mãn) Vậy m ∈ {−30; −29; −28; ; 7; 8} Chọn phương án D Câu 16 Cho hàm số f (x) = ax2 + bx + c, |f (x)| ≤ 1, ∀x ∈ [0; 1] Tìm giá trị lớn f (0) A B C D Lời giải f (x) = 2ax + b ⇒ f (0) = b Bài toán lớn b với điều kiện |f (x)| ≤ 1, ∀x ∈ [0; 1]  trở thành tìm giá trị   a + b = f (1) − f (0) f (0) = c       1 1 f (1) = a + b + c Ta có ⇔ a + 2b = 4f − f (1) − 3f (0) − 4f (0) ⇒ b = 4f 1 a b       f c = f (0) = + +c 2 − ≤ f (0) ≤    1 |f (x)| ≤ 1, ∀x ∈ [0; 1] ⇒ − ≤ f (1) ≤ ⇒ b = 4f + (−f (1)) + 3(−f (0)) ≤ + + = 1   −1≤f ≤1 42 MAX, MIN CỦA HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI CÓ CHỨA THAMPHÁT SỐ TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Đẳng thức xảy ⇔  1   f = f (1) = −1    ⇔  c = −1,      a = −8   a + b + c =   a + b + c = −1, ⇔ f (0) = −1 Vậy giá trị lớn f (0) b=8 ⇒ f (x) = −8x2 + 8x − c = −1 Chọn phương án A Câu 17 Cho hàm số y = x4 − 2x3 + x2 + a Có bao nhiêu số thực a để y + max y = 10? [−1;2] A Lời giải B C [−1;2] D  x=0  x=1 Xét u = x4 − 2x3 + x2 + a trên đoạn [−1; 2], ta có: u0 = 4x3 − 6x2 + 2x; u0 = ⇔   TH1: m ≥ ⇔ a ≥ Khi đó: y = m; max y = M [−1;2] [−1;2] ® [−1;2] a≥0 ⇔ a = a + a + = 10 TH2: M ≤ ⇔ a ≤ −4 Khi đó: y = −M ; max y = −m Ta có điều kiện: [−1;2] ® [−1;2] a ≤ −4 ⇔ a = −7 − (a + 4) − a = 10 TH3: m < < M ⇔ −4 < a < Khi đó: y = 0; max y = max{|a + 4|, |a|} = max{a + 4, −a} < 10 Ta có điều kiện: [−1;2] [−1;2] Suy y + max y < + 10 = 10 (loại) [−1;2] [−1;2] Vậy a ∈ {3; −7} Chọn phương án A p √ Câu 18 Cho hai số thực x; y thỏa mãn x2 + y − 4x + 6y + + y + 6y + 10 = + 4x − x2 Gọi p M , m là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức T = x2 + y − a Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn [−10; 10] tham số a để M ≥ 2m? A 17 B 16 C 15 D 18 Lời giải p √ Biến đổi giả thiếtpcó: x2 + y − 4x + 6y + + y + 6y + 10 = + 4x − x2 √ ⇔ y + 6y + 10 + y + 6y + 10 = + 4x − x2 + + 4x − x2 (*) √ Đặt f (t) = t + t, t ∈ Ä[0;p+∞) Ta có fä(t) đồng biến trên [0; +∞) √
Do đó ta có: (*) ⇔ f y + 6y + 10 = f + 4x − x2 ⇔ y + 6y + 10 = + 4x − x2 p 2 2 ⇔ x + y − 4x + 6y + = ⇒ x + y + = 4x − 6y ≤ (42 + 62 ) (x2 + y ) 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN  o n 1   , u(1) = u(−1) = u(2) = a + max u = max u(−1), u(0), u M = [−1;2] Suy ra: n 1 o   , u(1) = u(0) = u(1) = a m = u = u(−1), u(0), u x= 42 MAX, MIN CỦA HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI CÓ CHỨA THAMPHÁT SỐ TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN p p √  √ √ √ 13 − ≤ x2 + y ≤ + 13 ⇒ x2 + y − a ∈ 13 − − a; + 13 − a (√ √ ® 13 − − a ≥ √ √ m = 13 − − a Ä√ ä ⇔ 13 − ≤ TH1: 13 − − a ≥ ⇒ ⇒ ycbt ⇔ √ √ + 13 − a ≥ 13 − − a M = + 13 − a √ a ≤ + 13  Ä√ ä ( √ m = − 13 + − a − 13 − a ≤ √ Ä√ ä Ä√ ä⇔ Ä ä ⇒ ycbt ⇔ TH2: 13−3−a ≤ ⇒ √ M = − −3 + 13 − a − 13 − − a ≥ −2 13 + − a √ √ + 13 ≤ a ≤ + 13 ®

√ √ √ √ m=0 TH3: 13 − − a + 13 − a < ⇔ 13 − < a < 13 + ⇒ (M ≥ 2m) M >0 √ √  Vậy a ∈ 13 − 9; + 13 Đối chiếu với a ∈ [−10; 10] ⇒ a ∈ {−5; ; 10} ⇔ Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA Chọn phương án B Câu 19 Cho hàm số f (x) = 2x3 − 9x2 + 12x + m Có bao nhiêu số nguyên m ∈ (−20; 20) để với ba số thực a, b, c ∈ [1; 3] thì f (a), f (b), f (c) là độ dài ba cạnh tam giác? A 10 B C 25 D 23 Lời giải ñ x=0 Xét u = 2x3 − 9x2 + 12x + m trên [1; 3], ta có: u0 = 6x2 − 18x + 12; u0 = ⇔ x = u = {u(0), u(1), u(2), u(3)} = m + [1;3] max u = max {u(0), u(1), u(2), u(3)} = m + [1;3] Để f (a), f (b), f (c) là độ dài ba cạnh tam giác thì ta phải có f (a) + f (b) > f (c) Chọn f (a) = f (b) = f (x), f (c) = max f (x) ta có điều kiện f (x) > max f (x) [−2;1] [−2;1] [−2;1] [−2;1] Ngược lại: với f (x) > max f (x), ta có: f (a) + f (b) − f (c) ≥ f (x) > max f (x) > [−2;1] [−2;1] [−2;1] [−2;1] Vậy điều kiện cần và đủ để f (a), f (b), f (c) là độ dài ba cạnh tam giác là f (x) > max f (x) [−2;1] [−2;1] ® TH1: m + ≥ ⇒ f (x) = m + 4; max f (x) = m + ⇒ [1;3] [1;3] m+4≥0 2(m + 4) > m + ® TH2: m + ≤ ⇒ f (x) = −m − 9; max f (x) = −m − ⇒ ⇔ m > m+9≤0 2(−m − 9) > −m − TH3: (m + 4)(m + 9) < ⇒ f (x) = ⇒ · > max f (x) = m + (loại) [1;3] ⇔ m < −14 [1;3] [1;3] [1;3] Vậy m ∈ {−19; −15; · · · · · · ; 18; 19} Có 23 số nguyên thỏa mãn Chọn phương án D Câu 20 Cho hàm số f (x) = x3 − 3x + m Có bao nhiêu số nguyên m ∈ (−20; 20) để với ba số thực a, b, c ∈ [−2; 1] thì f (a), f (b), f (c) là độ dài ba cạnh tam giác nhọn A 18 B 16 C 14 D 12 Lời giải Xét u = x3 − 3x + m trên đoạn, ta có: u0 = ⇔ 3x2 − = ⇔ x = ±1 42 MAX, MIN CỦA HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI CÓ CHỨA THAMPHÁT SỐ TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Khi đó:   max u = max {u(−2), u(1), u(−1)} = max {m − 2, m − 2, m + 2} = m +  [−2;1]   u = {u(−2), u(1), u(−1)} = {m − 2, m − 2, m + 2} = m − [−2;1] Để f (a), f (b), f (c) là độ dài ba cạnh tam giác nhọn ta phải có f (a) + f (b) > f (c) Å ã2 Å ã2 Chọn f (a) = f (b) = f (x); f (c) = max f (x) ta có điều kiện f (x) > max f (x) [−2;1] [−2;1] [−2;1] [−2;1] Å ã2 Å ã2 Å ã2 Å ã2 2 Ngược lại với f (x) > max f (x) , ta có f (a)+f (b)−f (c) ≥ f (x) − max f (x) > [−2;1] [−2;1] [−2;1] [−2;1] Å ã2 > [−2;1] [−2;1] TH2: m − ≥ ® ⇒ f (x) = m − 2; max f (x) = m + ⇒ [−2;1] [−2;1] m−2≥0 2(m − 2)2 > (m + 2)2 √ ⇔ m > + TH3: m + ≤ ® ⇒ f (x) = −(m + 2); max f (x) = −(m − 2) ⇒ m+2≤0 2 √ ⇔ m < −6 − 2(m + 2) > (m − 2) Suy m ∈ {−19, −18, , −12, 12, 13, , 19} Vậy có 16 số nguyên m thỏa mãn [−2;1] [−2;1] Chọn phương án B Câu 21 Gọi tập S là tập hợp giá trị thực tham số m cho giá trị lớn hàm số y = x3 − 3x + m trên đoạn [0; 2] Số phần tử S là A B C D Lời giải Xét u = x3 − 3x + m có: u0 = 3x2 − 3; u0 = ⇔ x = ∈ [0; 2] Khi đó: A = max u = max {u(0), u(1), u(2)} = max{m, m−2, m+2} = m+2 a = u = {u(0), u(1), u(2)} = [0;2] [0;2] min{m, m − 2, m + 2} = m − ® |m + 2| = ñ   |m + 2| ≥ |m − 2| m=1 Vậy max y = max{|A|, |a|} = max {|m + 2|, |m − 2|} = ⇔  ⇔ ®  [0;2] m = −1  |m − 2| = |m − 2| ≥ |m + 2| Chọn phương án B Câu 22 Gọi S là tập hợp tất các giá trị thực tham số m cho giá trị lớn hàm số f (x) = x4 − 8x2 + m trên đoạn [−1; 1] Tổng tất các phần tử S A −7 B C D −5 Lời giải 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Vậy điều kiện cần và đủ để f (a), f (b), f (c) là độ dài ba cạnh tam giác là f (x) [−2;1] Å ã2 max f (x) [−2;1] Å ã2 TH1: (m − 2)(m + 2) < ⇒ f (x) = ⇒ · 02 > max f (x) (loại) 42 MAX, MIN CỦA HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI CÓ CHỨA THAMPHÁT SỐ TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN ñ Xét hàm số g(x) = x4 − 8x2 + m, x ∈ [−1; 1], ta có g (x) = 4x3 − 16x; g (x) = ⇔ x=0 x = ±2 g(−1) = g(1) = −7 + m, g(0) = m ® | − + m| = ñ   | − + m| ≥ |m| m=2 ⇔ Do đó: max f (x) = max{| − + m|, |m|} = ⇔  ®  [−1;1] m =  |m| = |m| ≥ | − + m| Vậy S = {2; 5} Vậy tổng các giá trị S Chọn phương án B Câu 23 Gọi S là tập hợp tất các giá trị thực tham số m cho giá trị lớn hàm Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA số f (x) = −4x + m trên đoạn [−2; 2] Tổng tất các phần tử S x−3 A −16 B 16 C Lời giải 12 − m −4x + m , x ∈ [−2; 2], ta có g (x) = Xét hàm số g(x) = x−3 8+m g(−2) = − , g(2) = − m D 14 (x − 3)  8+m   =6 −     + m ñ  ß ™ ≥ |8 − m|  − m=2 8+m Do đó: max f (x) = max − , |8 − m| = ⇔  ⇔  [−2;2] m = 14  |8 − m| =    8+m  |8 − m| ≥ − Vậy S = {2; 14} Vậy tổng các giá trị S 16 Chọn phương án B Câu 24 Có bao nhiêu giá trị thực tham số m để giá trị lớn hàm số y = x2 + 2x + m − trên đoạn [−2; 1] 4? A B C D Lời giải f (x) = x2 + 2x + m − có f (x) = 2x + 2, f (x) = ⇔ x = −1 Do đó max x2 + 2x + m − = max {|m − 1|; |m − 4|; |m − 5|} [−2;1] Ta thấy m − < m − < m − với m ∈ R, suy max y có thể là |m − 5| |m − 1| [−2;1] ® |m − 5| = Nếu max y = |m − 5| thì |m − 5| ≥ |m − 1| [−2;1] ® Nếu max y = |m − 1| thì [−2;1] Vậy m ∈ {1; 5} |m − 1| = |m − 1| ≥ |m − 5| ⇔ m = ⇔ m = 42 MAX, MIN CỦA HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI CÓ CHỨA THAMPHÁT SỐ TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Chọn phương án B Câu 25 Cho hàm số y = 2x − m với m là tham số, m 6= −4 Biết f (x) + max f (x) = −8 Giá x+2 x∈[0;2] x∈[0;2] trị tham số m A 10 B Lời giải Xét hàm số xác định trên tập D = [0; 2] C D 12 4+m Nhận xét ∀m 6= −4 hàm số luôn đồng biến nghịch biến trên [0; 2] nên giá (x + 2)2 trị lớn và giá trị nhỏ hàm số trên [0; 2] luôn đạt x = 0, x = −m − m Theo bài ta có f (0) + f (2) = −8 ⇔ + = −8 ⇔ m = 12 Ta có y = Chọn phương án D [−1;3] A Lời giải B C 31 ñ D 39 x=0 Xét u = 2x3 − 3x2 + m có u0 = 6x2 − 6x; u0 = ⇔ x =   u = {u(−1), u(3), u(0), u(1)} = {m − 5, m + 27, m, m − 1} = m −  [−1;3] Do đó   max u = max {u(−1), u(3), u(0), u(1)} = max {m − 5, m + 27, m, m − 1} = m + 27 [−1;3] + Nếu m − ≥ ⇔ m ≥ thì f (x) = m − ≤ ⇔ m ≤ ⇒ m ∈ {5; 6; 7; 8} [−1;3] + Nếu m + 27 ≤ ⇔ m ≤ −27 thì f (x) = −(m + 27) ≤ ⇔ m ≥ −30 [−1;3] ⇒ m ∈ {−30; −29; −28; −27} Nếu (m − 5)(m + 27) < ⇔ −27 < m < thì f (x) = (thỏa mãn) [−1;3] Vậy m ∈ {−30; ; 8} có tất 39 số nguyên thỏa mãn Chọn phương án D Câu 27 Cho hàm số y = x3 − 3x2 + m Có bao nhiêu số nguyên m để f (x) ≤ 3? [1;3] A Lời giải B 10 C D 11 ñ x=0 Với u = x3 = 3x2 + m có u0 = 3x2 − 6x; u0 = ⇔ x =   u = {u(1), u(3), u(0), u(2)} = min{m − 2, m, m − 4} = m −  [1;3] Do đó   max u = max {u(1), u(3), u(0), u(2)} = max{m − 2, m, m − 4} = m [1;3] + Nếu m − ≥ ⇔ m ≥ thì f (x) = m − ≤ ⇔ m ≤ ⇒ m ∈ {4; 5; 6; 7} [1;3] + Nếu m ≤ thì f (x) = −m ≤ ⇔ m ≥ −3 ⇒ m ∈ {−3; −2; 1; 0} [1;3] 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Câu 26 Cho hàm số f (x) = 2x3 − 3x2 + m Có bao nhiêu số nguyên m để f (x) ≤ 3? 42 MAX, MIN CỦA HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI CÓ CHỨA THAMPHÁT SỐ TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN + Nếu < m < thì u < 0; max u > ⇒ f (x) = (thỏa mãn) [1;3] [1;3] [1;3] Vậy m ∈ {−3; ; 7} có tất 11 số nguyên thỏa mãn Chọn phương án D Câu 28 Cho hàm số y = x2 + x + m Tổng tất giá trị thực tham số m để y = [−2;2] 31 A− B −8 C − 23 D Lời giải Xét hàm số u = x2 + x + m trên đoạn [−2; 2], có: u0 = ⇔ 2x + = ⇔ x = −  n  1 o   max u = max u(−2), u − , u(2) = m +  [−2;2] Khi đó: o n  1    u = u(−2), u − , u(2) = m − 1 + Nếu m − ≥ hay m ≥ thì y = m − = ⇔ m = (thỏa mãn) 4 4 [−2;2] + Nếu m + ≤ hay m ≤ −6 thì y = −m − = ⇔ m = −8 (thỏa mãn) Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA [−2;2] [−2;2] + Nếu −6 < m < thì y = (không thỏa mãn) [−2;2] Vậy có hai số thực m = và m = −8 thỏa mãn yêu cầu bài toán 23 Tổng các giá trị đó − Chọn phương án C Câu 29 Gọi α, β là giá trị lớn và giá trị nhỏ hàm số y = f (x) = 3x4 − 4x3 − 12x2 + m trên đoạn [−3; 2] Có bao nhiêu giá trị nguyên m ∈ (−2019; 2019) để 2β ≥ α A 3209 B 3215 C 3211 D 3213 Lời giải Xét hàm số y = g(x) = 3x4 − 4x3 − 12x2 + m ⇒ y = g (x) = 12x3 − 12x2 − 24x  x=0 g (x) =0⇔ 12x3 − 12x2  − 24x = ⇔ x = −1 x = g(0) = m; g(−1) = m − 5; g(2) = m − 32; g(−3) = 243 + m max g = m + 243; g = m − 32 [−3;2] [−3;2] +Nếu m − 32 ≥ ⇔ m ≥ 32 thì α = m + 243, β = m − 32 Khi đó: 2β ≥ α ⇔ m ≥ 307 +Nếu m + 243 ≤ ⇔ m ≤ −243 thì α = −(m − 32); β = −(m + 243) Khi đó: 2β ≥ α ⇔ m ≤ −518 +Nếu −243 < m < 32 ⇔ (m − 32)(m + 243) < thì max {|m + 243|, |m − 32|} = max{m + 243, 32 − m} > 0; β = Khi đó, không thỏa điều kiện 2β ≥ α 42 MAX, MIN CỦA HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI CÓ CHỨA THAMPHÁT SỐ TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Do đó: −2019 < m ≤ −518 307 ≤ m < 2019 Vậy 3213 số Chọn phương án D Câu 30 Cho hàm số f (x) = x4 − 4x3 + 4x2 + a Gọi M , m là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số đã cho trên đoạn [0; 2] Có bao nhiêu số nguyên a thuộc đoạn [−3; 3] cho M ≤ 2m? A B C D Lời giải Xét hàm số g(x) = x4 − 4x3 + 4x2 + a  x=0 g (x) = 4x3 − 12x2 + 8x; g (x) = ⇔ 4x3 − 12x2 + 8x = ⇔ x =  Bảng biến thiên x g (x) + − a+1 g(x) a a Do 2m ≥ ñ M > nên m ñ > suy g(x) 6= 0∀x ∈ [0; 2] Suy a+1<0 ⇔ a < −1 a>0 a > Nếu a < −1 thì M = −a, m = −a − ⇒ 2(−a − 1) ≥ −a ⇔ a ≤ −2 Nếu a > thì M = a + 1, m = a ⇒ 2a ≥ a + ⇔ a ≥ Do đó a ≤ −2 a ≥ 1, a nguyên và thuộc đoạn [−3; 3] nên a ∈ {−3; −2; 1; 2; 3} Vậy có giá trị a thỏa mãn đề bài Chọn phương án D Câu 31 Xét hàm số f (x) = x2 + ax + b , với a, b là tham số Gọi M là giá trị lớn hàm số trên [−1; 3] Khi M nhận giá trị nhỏ có thể được, tính a + 2b A B C −4 D Lời giải |A + B| (1) Dấu = xảy A = B |A − B| Ta có max{|A|, |B|} ≥ (2) Dấu = xảy A = −B −a Xét hàm số g(x) = x2 + ax + b, có g(x) = ⇔ x = −a Trường hợp 1: ∈ / [−1; 3] ⇔ a ∈ / [−6; 2] Khi đó M = max {|1 − a + b|, |9 + 3a + b|} Áp dụng bất đẳng thức (1) ta có M ≥ |4 + 2a| > Ta có max{|A|, |B|} ≥ 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN x = 42 MAX, MIN CỦA HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI CÓ CHỨA THAMPHÁT SỐ TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN a2 −a ∈ [−1; 3] ⇔ a ∈ [−6; 2] Khi đó M = max |1 − a + b|, |9 + 3a + b|, b − Trường hợp 2: ß ™ a2 Áp dụng bất đẳng thức (1) và (2) ta có M ≥ max |5 + a + b|, b − ⇔M ≥ 20 + 4a + a2 ⇔ M ≥ 16 + (a + 2)2 Suy M ≥   a = −2  ®   a = −2 Vậy M nhận giá trị nhỏ có thể là M = + a + b = −a − b ⇔  b = −1   1 − a + b = + 3a + b Do đó a + 2b = −4 ™ ß Chọn phương án C Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA Câu 32 Có bao nhiêu số thực m để hàm số y = 3x4 − 4x3 − 12x2 + m có giá trị lớn trên đoạn [−3; 2] 275 ? A Lời giải B C D  275  3x4 − 4x3 − 12x2 + m ≤ ; ∀x ∈ [−3; 2] 275 ; ∀x ∈ [−3; 2] ⇔   275 ; ∀x ∈ [−3; 2] 3x − 4x − 12x + m ≥ −   275 275   m − m − ≤ −3x4 + 4x3 + 12x2 ; ∀x ∈ [−3; 2] ≤ g(x); ∀x ∈ [−3; 2] 2 ⇔ ⇔   m + 275 ≥ max g(x); ∀x ∈ [−3; 2] m + 275 ≥ −3x4 + 4x3 + 12x2 ; ∀x ∈ [−3; 2] 2 Xét g(x) = −3x4 + 4x3 + 12x2 ; ∀x ∈ [−3; 2] Khảo  sát hàm số trên đoạn  [−3; 2] ta = −243; max = 32 275 211   m − m ≤ − ≤ −243 2 ⇔ m = − 211 ⇔ ⇔ 275 211   m + m ≥ − ≥ 32 2 211 275 ⇔ y = 3x − 4x3 − 12x2 + m ≤ ; ∀x ∈ [−3; 2] Như m = − 2 211 Dấu = xảy và m = − nên có giá trị cần tìm y = 3x4 − 4x3 − 12x2 + m ≤ Chọn phương án D Câu 33 Cho hàm số y = x2 + 2x + m − (với m là tham số thực) Hỏi max y có giá trị nhỏ [−2;1] là A B C Lời giải Đặt t = x2 + 2x − 4, ta có t0 = 2x + t0 = ⇔ x = −1 ∈ (−2; 1) t(−2) = −4, t(−1) = −5, t(1) = −1 Suy ra: max (t + m) = m − 1, (t + m) = m − 5, đó [−2;1] [−2;1] D 42 MAX, MIN CỦA HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI CÓ CHỨA THAMPHÁT SỐ TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN max y = max |t+m| = max {|m − 5|, |m − 1|} = max {|m − 5|, |1 − m|} ≥ [−2;1] [−2;1] |m − 5| + |1 − m| |(m − 5) + (1 − ≥ 2 dấu đặt m − = − m ⇔ m = Chọn phương án B Câu 34 Cho hàm số y = x3 − 3x2 + m (với m là tham số thực) Hỏi max y có giá trị nhỏ là [1;2] bao nhiêu? A B Lời giải Xét hàm số: t = x3 − 3x2 với ñx ∈ [1; 2] C D x=0∈ / (1; 2) Ta có t0 = 3x2 − 6x; t0 = ⇔ [1;2] [1;2] |m − 4| + |2 − m| |(m − 4) + (2 − m)| ≥ = 2 Dấu đạt m − = − m ⇔ m = = max {|m − 4|; |2 − m|} ≥ Chọn phương án D Câu 35 Cho hàm số y = nhỏ là bao nhiêu? A x2 − (m + 1)x + 2m + (với m là tham số thực) Hỏi max y có giá trị x−2 [−1;1] B C D Lời giải x2 − x + x2 − x + − m = |t − m|, đó t = ∈ [−2; −1], ∀x ∈ [−1; 1] x−2 x−2 ñ − 4x x = ∈ (−1; 1) x =0⇔ t0 = ⇒ t (x − 2)2 x=4∈ / (−1; 1) t(−1) = − , t(0) = −1, t(1) = −2 Do đó max y = max |t − m| = max {|m + 2|, |m + 1|} = max {|m + 2|, | − m − 1|} Ta có y = [−1;1] [−1;1] |m + 2| + | − m − 1| |(m + 2) + (−m − 1)| ≥ = 2 Dấu đạt m + = −m − ⇔ m = − ≥ Chọn phương án B Câu 36 Gọi S là tập hợp tất các giá trị thực tham số m cho giá trị lớn hàm số y = x2 + mx + m trên [1; 2] Số phần tử S là x+1 A B Lời giải Tập xác định: D = R \ {−1} Xét hàm số: f (x) = x2 + mx + m x+1 C D 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN ; t(1) = −2, t(2) = −4 Nên max t = −2 và t = −4 [1;2] [1;2] x=2∈ / (1; 2) Do đó max y = max |m + t| = max {|m − 4|; |m − 2|} 42 MAX, MIN CỦA HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI CÓ CHỨA THAMPHÁT SỐ TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN ñ x=0∈ / [1; 2] x2 + 2x x2 + 2x + 2x = ⇔ f (x) = ; f (x) = ⇔ = ⇔ x (x + 1)2 (x + 1)2 x = −2 ∈ / [1; 2] ™ ß f (x) > 0, ∀x ∈ [1; 2] nên max y = max m + , m + [1;2]    m+ =2        m + > m + m=  max y = ⇔   ⇔  [1;2] m = −  m + = 2      m+ > m+ Vậy có hai giá trị m thỏa mãn Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA Chọn phương án C
Câu 37 Cho hàm số y = x3 + x2 + m2 + x + 27 Giá trị lớn hàm số trên đoạn [−3; −1] có giá trị nhỏ A 26 B 18 C 28 D 16 Lời giải
Xét u = x3 + x2 + m2 + x + 27 trên đoạn [−3; −1] ta có: u0 = 3x2 + 2x + m2 + > 0, ∀x Do đó A = max u = u(−1) = 26 − m2 ; a = u = u(−3) = − 3m2 [−3;−1] [−3;−1]  2 và 4M ≥ 26 − m2 + − 3m2 ≥ 72 Do M = max y = max 26 − m , − 3m [−3;−1] Vậy M ≥ 18 √ Dấu xảy 26 − m2 = − 3m2 = 18 ⇔ m = ±2 Chọn phương án B Câu 38 Xét các số thực dương x, y thoả mãn 20182(x biểu thức P = 2y − 3x A Pmin = B Pmin = Lời giải Ta có: 20182(x −y+1) = −y+1) = 2x + y Giá trị nhỏ Pmin (x + 1)2 C Pmin = D Pmin = 2x + y (x + 1)2 ⇒ 2(x2 − y + 1) = log2018 (2x + y) − log2018 x2 + 2x +
⇔ log2018 x2 + 2x + + x2 + 2x + = log2018 (2x + y) + 2(2x + y)(∗) Xét hàm: f (t) = log2018 t + 2t, t > Suy f (t) = + > 0, ∀t > t ln 2018 Do đó hàm f (t) đồng biến trên khoảng (0; +∞)
Mà (∗) ⇔ f x2 + 2x + = f (2x + y) ⇔ x2 + 2x + = 2x + y ⇔ y = x2 +   7 Khi đó: P = 2y − 3x = 2x − 3x + = x − + ≥ 8

42 MAX, MIN CỦA HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI CÓ CHỨA THAMPHÁT SỐ TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Kết luận: Pmin = x = Chọn phương án C Câu 39 Cho hàm số f (x) = 8x4 + ax2 + b , đó a, b là tham số thực Biết giá trị lớn hàm số f (x) trên đoạn [−1; 1] Hãy chọn khẳng định đúng? A a < 0, b < B a > 0, b > C a < 0, b > D a > 0, b < Lời giải " x=0 Cách Xét g(x) = 8x4 + ax2 + b, g (x) = 32x3 + 2ax = ⇔ x2 = − a 16 Ta có max f (x) = ⇒ g(0) = b ∈ [−1; 1] [−1;1] TH1 a > Ta có g(1) = g(−1) = + a + b > Suy max f (x) > không thỏa YCBT [−1;1] 16 [−1;1] YCBT a Nếu − < ⇔ a > −16 16 Ta có BBT √ x −1 − −1 g (x) − + √ −1 8+a+b − + b g(x) b− a2 32 8+a+b b− a2 32  ® 1 − a ≥ −1 a ≤ 64 32 ⇔ a = −8 (thỏa a > −16) max f (x) = b = Khi đó YCBT ⇔ ⇔  [−1;1] a ≤ −8 8+a+b≤1  b ≤ max f (x) = + a + b = Khi đó, YCBT ⇔ b − a ≥ −1 [−1;1] 32  ® a ≥ −8 a ≥ −8 ⇒ a2 ⇔ ⇔ a = −8 ⇒ b =  +a+6≤0 − 24 ≤ a ≤ −8 32   a2  a   −1 b=   ® b− = −1   32   32 a = −8 a a = Khi đó, YCBT ⇔ + a + b ≤ ⇔ ⇔ max f (x) = b − 6+a+ ≤0 32   [−1;1] b =   32   b ≤   a ≥ −8 Vậy a = −8, b = thỏa YCBT Cách Đặt t = x2 đó ta có g(t) = 8t2 + at + b 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN TH2 a < a Nếu − > ⇔ a < −16 Ta có g(1) = g(−1) = + a + b < −1 Suy max f (x) > không thỏa 42 MAX, MIN CỦA HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI CÓ CHỨA THAMPHÁT SỐ TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Vì x ∈ [−1; 1] nên t ∈ [0; 1] Theo yêu cầu bài toán thì ta có: ≤ g(t) ≤ với t ∈ [0; 1] và có dấu xảy Đồ thị hàm số g(t) là parabol có bề lõm quay lên trên đó điều kiện trên dẫn đến hệ điều kiện  sau xảy ra:   − ≤ g(0) ≤  − ≤ b ≤      − ≤ b ≤ 1(1)  − ≤ g(1) ≤ ⇔ Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA    − ≤ −∆ ≤ −1≤8+a+b≤1 ⇔ − ≤ + a + b ≤ 1(2)     − 32 ≤ a2 − 32b ≤ 32(3) − 32 ≤ 32b − a2 ≤ 32 32 Lấy (1) + 32(3) ta có: −64 ≤ a2 ≤ 64 đó −8 ≤ a ≤ Lấy (3) + 32(2) ta có: −64 ≤ a2 + 32a + 256 ≤ 64 Suy ra: a2 + 32a + 192 ≤ ⇔ −24 ≤ a ≤ −8 Khi đó ta có a = −8 và b = Kiểm tra: g(t) = 8t2 − 8t + = 2(2t − 1)2 − Vì ≤ t ≤ nên −1 ≤ 2t − ≤ ⇒ ≤ (2t − 1)2 ≤ ⇒ −1 ≤ g(t) = 2(2t − 1)2 − ≤ Vậy max |g(t)| = t = ⇒ x = ±1 (t/m) Chọn phương án C Câu 40 Gọi S là tập hợp tất các giá trị thực tham số m cho giá trị lớn hàm số y = sin2 x − sin x + m Số phần tử S là A B C D Lời giải Đặt sin x = t (t ∈ [−1; 1]) ⇒ y = t2 − 2t + m Xét hàm số f (t) = t2 − 2t + m có f (t) =  2t − ⇒ f (t) = ⇔ t = ∈ [−1; 1]  max f (x) = max{m + 3; m − 1} = m +  [−1;1] Có f (−1) = m + 3, f (1) = m − Khi đó   f (x) = min{m + 3; m − 1} = m − [−1;1] TH1: |m + 3| ≥ |m − 1| ⇔ m ñ ≥ −1 ⇒ max f (x) = |m + 3| = ⇔ m = −2(l) m = −4(l) TH1: |m + 3| < |m − 1| ⇔ m ñ < −1 ⇒ max f (x) = |m − 1| = ⇔ m = 2(l) m = 0(l) ⇒ Không tồn m thỏa mãn Chọn phương án A 42 MAX, MIN CỦA HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI CÓ CHỨA THAMPHÁT SỐ TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN  BẢNG ĐÁP ÁN  11 21 31 B D B C 12 22 32 C B B D 13 23 33 C B B B 14 24 34 B A B D 15 25 35 A D D B 16 26 36 C A D C 17 27 37 C A D B 18 28 38 D B C C 19 29 39 A D D C 10 20 30 40 C B D A 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN