Đang tải... (xem toàn văn)
Trong mét líp häc nÕu bè trÝ 4 em ngåi mét ghÕ th× cßn thiÕu mét ghÕ. TÝnh c¸c kÝch thíc cña s©n..[r]
(1)Là ngời thầy giáo
nờn đa học sinh tìm chân lý đa chân lý đến cho học sinh
-LuyÖn Thi vµo líp 10
Tµi liƯu lu hµnh néi bé
(2)Chuyên đề 1:
Biến đổi đẳng thức - Phân tích đa thức thành nhân tử A biến đổi đẳng thức
I Các đẳng thức mở rộng (a b)2 = a2 2ab + b2
a2 - b2 = (a + b)(a - b)
(a b)3 = a3 3a2b + 3ab2 b3 a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2) a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab +b2)
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc (a - b - c)2 = a2 + b2 + c2 - 2ab - 2ac + 2bc
an - bn = (a - b)(an-1 + an-2b + + abn-2 + bn-1), mäi n số tự nhiên an + bn = (a + b)(an-1 - an-2b + - abn-2 + bn-1), n lẻ
II Bài tập Bài 1
So sánh hai số A B biết: A = 2004.2006 B = 20052 Giải
Ta có A = (2005 - 1)(2005 + 1) = 20052 - < 20052 =B VËy A < B. Bµi 2
So sánh hai số A B biết: A = (2 + 1)(22 +1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1) B = 232 Giải
Ta có A = (2 - 1)(2 + 1)(22 +1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1) = 232 -1 < 232 = B Vậy A < B. Bài 3
So sánh hai sè A vµ B biÕt: A =(3 + 1)(32 +1)(34 + 1)(38 + 1)(316 +1) vµ B =332 -1 Gi¶i
Ta cã 2A = (3 - 1)(3 + 1)(32 +1)(34 + 1)(38 + 1)(316 +1) = 332 - = B VËy A < B. Bµi 4
Chøng minh r»ng: (m2 + m - 1)2 + 4m2 + 4m = (m2 + m + 1)2, víi mäi m. Gi¶i
VT: (m2 + m - 1)2 + 4m2 + 4m = m4 + m2 + + 2m3 - 2m2 - 2m + 4m2 + 4m = m4 + 2m3 + 3m2 + 4m +
VP: (m2 + m + 1)2 = m4 + m2 + +2m3 + 2m2 + 2m = m4 + 2m3 + 3m2 + 2m +1. Bµi 5
Chøng minh r»ng: a3 + b3 + c3 -3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab -ac -bc). Gi¶i
Ta cã a3 + b3 = (a + b)3 - 3ab(a + b) thay vµo VT
VT = (a + b)3 - 3ab(a + b) + c3 -3abc = [(a + b)3 + c3] - 3ab(a + b +c) = (a + b +c)[(a + b)2 + c2 -c(a + b) -3ab] = (a + b +c)(a2 + b2 + c2 + 2ab - ac - bc - 3ab) = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 ab ac -bc) = VP
Bµi 6
(3)Gi¶i
(a3 + b3)(a2 + b2) - (a + b) = a5 + a3b2 + a2b3 + b5 - (a - b)= a5 + b5 +a2b2(a + b) - (a - b) = a5 + b5 Bµi 7
Cho a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc = Chøng minh r»ng: a = b = c Hìng dÉn
Tõ: a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc = 2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2ac - 2bc = (a - b)2 +(a - c)2 + (b - c)2 = a = b = c.(đpcm)
Bài 8
Cho a, b, c đôi khác nhau, thoả mãn: ab + bc + ca = CMR
2 2
2 2
(a b) (b c) (c a) (1 a )(1 b )(1 c )
Hìng dÉn
Ta cã: + a2 = ab + bc + ca +a2 = b(a + c) + a(a + c) = (a + c)(a + b). T¬ng tù: + b2 = (b + a)(b + c)
+ c2 = (c +a)(c + b) Thay vào suy (đpcm). Bài 9
Cho a > b > 0, tho¶ m·n: 3a2 + 3b2 =10ab Chøng minh r»ng:
a b a b 2.
Giải
Đặt P = a b
a+b P > nên P =
2 P .
Ta cã P2 =
2 2
2 2
a b 2ab 3a 3b 6ab 10ab 6ab
a b 2ab 3a 3b 6ab 10ab 6ab 4 VËy P = 1/2.
Bµi 10
Cho a + b + c = vµ
1 1
a b c Chøng minh r»ng: a2 + b2 + c2 =1. Gi¶i
Tõ: a + b + c = a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc) = a2 + b2 + c2 = 1- 2(ab + ac + bc)
Mặt khác:
1 1 ab ac bc
0 ab ac bc
a b c abc VËy: a2 + b2 + c2 =1.
Bµi 11
Cho
1 1
a b c (1) vµ a + b + c = abc Chøng minh r»ng:
2 2
1 1
2
a b c
Gi¶i
(1)
2 2 2
1 1 1 1 1 a b c
2( ) 2( )
a b c ab ac bc a b c abc .
Thay a + b + c = abc vµo ta cã
2 2 2
1 1 1
2
a b c a b c .
(4)Cho
x y z a b c (1), vµ
a b c
x y z (2) CMR:
2 2
2 2
x y z
A
a b c
Gi¶i
2 2
2 2
x y z xy xz yz xy xz yz cxy bxz ayz
2( ) A 2( ) 2( )
a b c ab ac bc ab ac bc abc
(2):
cxy bxz ayz
0
xyz VËy A = 1.
Bµi 13
Cho
1 1
a b c .(1) Chøng minh r»ng:
3 3
1 1
a b c abc.
Gi¶i
(1)
3 3 3
1 1 1 1 1 1 1
( ) ( ( ) [ ( )]
a b c a b c bc b c a b c bc a
VËy
3 3
1 1
a b c abc.
Bµi 14
Cho a + b + c = vµ a2 + b2 + c2 =14 Chøng minh r»ng: a4 + b4 + c4 = 98. Gi¶i
Tõ: a + b + c = a = -(b + c) a2 = (b + c)2 a2 = b2 + c2 +2bc
a2 - b2 - c2 = 2bc (a2 - b2 - c2)2 = 4b2c2 a4 + b4 + c4 - 2a2b2 - 2a2c2 + 2b2c2 = 4b2c2 a4 + b4 + c4 = 2a2b2 + 2b2c2 + 2a2c2 2(a4 + b4 + c4) = a4 + b4 + c4 + 2a2b2 - 2b2c2 + 2a2c22(a4 + b4 + c4 ) = (a2 + b2 + c2 )2 = 142 =196.
VËy a4 + b4 + c4 = 98. Bµi 15
Cho xyz = 1, Chøng minh r»ng:
1 1
1 x xy y yz z zx
Gi¶i
Ta cã:
1 1 z x
1 x xy y yz z zx z xz xyz x yx xyz z zx
=
z x z x z xz
z xz x yx 1 z zx x xz x xy 1 x xz xz xyz z
z xz z xz
1 x xz xz z x xz
B Phân tích đa thức thành nhân tử Bài 1
(5)Gi¶i
Cách 1: Tách hạng tử khơng đổi thành hai hạng tử đa đa thức dạng hiệu hai bình ph-ơng
x2 - 6x + =(x - 3)2 - = (x - - 1)(x - + 1) = (x - 4)(x - 2).
Cách 2: Tách hạng tử bậc thành hai hạng tử dùng phơng pháp nhóm hạng tử đặt nhân tử chung
x2 - 6x + = x2 - 2x - 4x + = x(x - 2) - 4(x - 2) = (x - 2)(x - 4). Bài 2
Phân tích đa thức x3 + 3x2 - thành nhân tử. Giải
Nhẩm thấy x = nghiệm đa thức chứa nhân tử x - ta tách hạng tử đa thức làm xuất hiƯn nh©n tư x -
C1: x3+ 3x2- =x3-x2+4x2- 4=x2(x - 1)+4(x2-1)=(x-1)(x2 + 4x + 4)=(x-1)(x+2)2. C2: x3+3x2- =x3-1+3x2- = (x-1)(x2+x+1)+ 3(x-1)(x+1) = (x-1)(x2+ 4x + 4). Bài 3
Phân tích đa thức (x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+15 thành nhân tử Giải
(x +1)(x +3)(x +5)(x +7) +15 = [(x +1)(x +7)][(x +3)(x +5)] +15 = (x2 +8x+7)(x2+8x +15) +15 Đặt: t = x2+8x+7 x2+8x+15 = t + ta cã: t(t + 8) +15 = t2 + 8t +15 =(t + 4)2 - = (t + + 1)(t + - 1) = (t + 5)(t + 3)
VËy: (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 = (x2 + 8x + 12)(x2 + 8x + 10) = (x2 + 6x + 2x + 12)(x2 + 8x +10) = (x + 6)(x + 2)(x2 + 8x + 10).
BTVN. Bµi 1
Cho x > y > vµ 2x2 + 2y2 = 5xy, TÝnh:
x y P
x y
(tơng tự 9)
Bµi 2
Cho x + y + z = 0, Chøng minh r»ng: x3 + y3 + z3 = 3xyz (tơng tự 13) Bài 3
Cho a + b + c = 0, Chøng minh r»ng: a4 + b4 + c4 =
2 (a2 + b2 + c2 )2 (tơng tự 14)
Bài 4
Cho a, b, c khác không a + b + c =
Chøng minh r»ng:
2 2 2 2 2
1 1
0
a b c b c a a c b
Tõ: a + b + c = a = - (b + c) a2 = (b + c)2 a2=b2 + c2 + 2bc b2 + c2 - a2 = - 2bc Bài 5
Phân tích đa thức sau thành nhân tử a/ 4x2 - 3x - 1
(6)c/ (x-y)3 + (y-z)3 + (z-x)3
(7)Chuyên đề 2:
Bất đẳng thức - Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất A Bất đẳng thức
I Một số tính chất bất đẳng thức 1/ a > b b > c a > c (t/c bắc cầu)
2/ a > b a + c > b + c (t/c céng vµo hai vÕ cïng mét sè)
3/ a > b
ac bc nÕu c ac bc nÕu c
(t/c nhân hai bđt với số âm, dơng) 4/ a > b c > d a + c > b + d (t/c cộng hai bất đẳng thức chiều)
5/
a b
ac bd c d
(t/c nhân hai bất đẳng thức dơng chiều)
6/ a > b >
n n
n n
a b
a b (n nguyên dơng)
7/
a a
a, b, c R a b a b c
8/
a c a a c c
a, b, c, d R
b d b b d d
9/ Nếu a, b, c cạnh tam giác th× ta cã: */ a > 0, b > 0, c >
*/ b - c < a < b + c; a - c < b < a + c; a - b < c < a + b */ NÕu a > b > c A > B > C
II Bài tËp Bµi 1
Cho sè a, b, c, d, e bÊt kú CMR: a2 + b2 + c2 + d2 + e2 a( b + c + d + e)(1). Gi¶i
(1) 4a2 + 4b2 + 4c2 + 4d2 + 4e2 - 4ab - 4ac - 4ad - 4ae 0
(a - 2b)2 + (a - 2c)2 + (a - 2d)2 + (a - 2e)2 (đpcm) Bài 2
Cho a + b = 1,Chøng minh r»ng: a/ a2 + b2 1/2, b/ a3 + b3 1/4, c/ a4 + b4 1/8 Gi¶i
a/ Tõ (a - b)2 a2 + b2 2ab 2(a2 + b2) a2 + b2 + 2ab = (a + b)2 = 1. VËy a2 + b2 1/2.
b/ Ta cã a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2) = a2 - ab + b2
2(a3 + b3) = 2a2 - 2ab + 2b2 = (a - b)2 + a2 + b2 a2 + b2 mµ a2 + b2 1/2 2(a3 + b3) 1/2 a3 + b3 1/4 (®pcm)
c/ Tõ (a2 - b2)2 a4 + b4 2a2b2 2(a4 + b4) a4 + b4 + 2a2b2 = (a2 + b2)2
a4 + b4
1
(8)Mặt khác: (a - b)2 a2+ b2 2ab 2(a2 + b2) a2 + b2 + 2ab = (a + b)2 = 1
a2 + b2 1/2 (a2 + b2)2 1/4 thay vµo (1) ta cã a4 + b4
1 8.
Bµi 3
Cho a,b > 0, vµ a + b = Chøng minh r»ng:
a/
1 1 (1 )(1 )
a b ; b/
1
a b
Gi¶i
a/
1 1 a b ab a b 1
(1 )(1 ) ( )( ) 9
a b a b ab ab
1 4ab (a + b)2 4ab (đpcm).
b/
1
a b 3(a + + b +1) 4(a + 1)(b + 1) 4(ab + a + b + 1)
4ab + 4ab (a + b)2 4ab (đpcm) Bài 4
Cho a, b, c R+ Chøng minh r»ng:
a b c
1
a b b c c a
Gi¶i
a a
a b a b c
b b
b c a b c
c c
c a a b c
a b c
1 a b b c c a .
Mặt khác:
a c a a c
a b c a b a b c
b a b b a
b c a b c a b c
c b c b c
c a b c a a b c
a b c
2 a b b c c a .
VËy:
a b c
1
a b b c c a
Bµi 5
Cho a, b, c, d R+ CMR:
a b c d
1
a b c b c d c d a d a b
(9)
a a a
a b c d a b c a c
c c c
1 a b c d c d a c a
b b b
a b c d b c d b d
d d d
a b c d d a b d b
a b c d
1
a b c b c d c d a d a b
Bài 6
Cho a,b,c cạnh tam gi¸c, CMR: ab + bc + ca a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) Gi¶i
*/ CM: ab + bc + ca a2 + b2 + c2 , nhân hai vế víi ta cã:
2ab + 2bc + 2ca 2a2 + 2b2 + 2c2 (a-b)2 + (a-c)2 + (b-c)2 0, (đpcm) */ CM: a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca), Do a, b, c ba cạnh tam giác nên ta có: a < b + c a2 < ab + ac
b < a + c b2 < ab + bc c < a + b c2 < ac + bc
a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca).
VËy: ab + bc + ca a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca). Bµi 7
Chøng minh r»ng:
4 ab
ab
a b víi a > 0, b > 0.
Gi¶i
2
4 4
4
2 ab
a b a b ab ab
a b ab a b .
III/ Bất đẳng thức Cơsi(trung bình cộng lớn trung bình nhân) */ Với số thực a, b khơng âm ta có:
a b
ab
2 , dÊu b»ng x¶y a = b.
*/ Víi sè thùc a, b, c không âm ta có:
3
a b c
abc
3 , dÊu b»ng x¶y a = b = c.
*/ Víi n sè thùc a1, a2, an không âm ta có:
1 n n
1 n
a a a
a a a
n , dÊu b»ng x¶y a1 = a2 = = an
(10)(ab + cd)2 (a2 + c2)(b2 + d2), dÊu b»ng x¶y
a c b d .
*/ Víi sè thùc a, b, c, d, e, f ta cã:
(ab + cd + ef)2 (a2 + c2 + e2)(b2 + d2 + f2), dÊu b»ng x¶y
a c e
b d f .
*/ víi n cỈp sè thùc a1, a2, an, b1, b2, bn ta cã:
(a1b1 +a2b2 + + anbn)2 (a12 + a22 + + ann)(b12 + b22 + + bnn).
DÊu b»ng x¶y
1 n
1 n
a a a
b b b .
Bµi 8
Cho x, y, z lµ số dơng, Chứng minh rằng: a/ (x + y)(y + z)(z + x) 8xyz
b/
1
x y x y.
c/
1 1
x y z x y z .
Gi¶i
a/
x y xy
y z yz
z x xz
(x + y)(y + z)(z + x) 8xyz
b/
1 1
(x y)( )
x y x y x y mµ
x y xy
1
x y xy
1
(x y)( )
x y .
c/
1 1 1
(x y z)( )
x y z x y z x y z (lµm tơng tự)
B/ Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất Bài 1
Tìm giá trị lớn của: P =
2
2x 4x
x 2x
Gi¶i Ta cã:
P =
2
2 2
2x 4x 2(x 2x 2) 1
2
(11)P lín nhÊt
2
1
(x 1) 1 lớn nhất, muốn (x- 1)2 + phải nhỏ nhất mà (x- 1)2 + (x- 1)2 + nhỏ x = Khi P = 3 Vậy Pmax = x =
Bµi 2
Cho x2 + y2 = 1, tìm giá trị lớn giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc: p = x + y Gi¶i
Tõ (x - y)2 x2 + y2 2xy 2(x2 + y2) x2 + 2xy + y2 = (x + y)2
VËy (x + y)2 x y
Pmax= x = y =
2
2 ; Pmin= - 2 x = y = - 2
Bµi 3
Cho x, y > vµ x + y = 1, Tìm giá trị nhỏ của: P =
12 12
(1 )(1 )
x y
Gi¶i
P =
2
2 2 2 2
1 (x 1)(y 1) (x 1)(x 1)(y 1)(y 1) xy(x 1)(y 1)
(1 )(1 )
x y x y x y x y
=
2
xy(x 1)(y 1) (x 1)(y 1) x y xy
1
x y xy xy xy (thay x - = - y, y - = - x) ta
cã P nhá nhÊt
xy nhá nhÊt xy lín nhÊt
Mµ xy = x(1 - x) = - x2 + x = -(x - 1/2)2 + 1/4 1/4 xy lín nhÊt = 1/4 x = 1/2 y = 1/2
VËy Pmin =
1
1
2 khi x = y = 1/2.
Bµi 4
Tìm giá trị lớn giá trị nhá nhÊt cña: P =
2
4
(x 1)
x
Gi¶i
P =
2 2
4 4
(x 1) x 2x 2x
1
x x x
Do (x2 - 1)2 x4 + 2x2
2 2x
1
x P Pmax= x = 1.
Do 2x2 0, x4 +
2 2x
0
x P Pmin =
2 2x
0
(12)Bµi 5
Cho a, b > Tìm giá trị nhỏ của; P =
(x a)(x b)
x , víi x > 0.
Gi¶i Ta cã:
P =
2
(x a)(x b) x ax bx ab ab
a b x P a b ab
x x x .
VËy Pmin = a b ab , dÊu b»n x¶y
ab
x x ab
x .
Bµi 6
Tìm giá trị nhỏ của: P = 4x 4x2 4x2 12x9 Gi¶i
Ta cã:
P =
2
2
1 4x 4x 4x 12x 2x 2x 2x 2x
(1 + 2x) + (3 - 2x) =
¸p dơng a + b = a + b ab VËy Pmin = (1 + 2x)(3 - 2x) -1/2 x 3/2
BTVN Bài 1
a/ Tìm giá trị lớn của: P = - 8x - x2. b/ Tìm giá tị nhỏ của: P = 4x2 - 4x + 11. c/ Tìm giá trị nhá nhÊt cña: P = x - 5 + x- 10 Hìng dÉn
Ta cã: P = x - 5 + x - 10 = x - 5 + 10 - x(x - 5) + (10 - x) = ¸p dơng a + b = a + b ab VËy Pmin = (x - 5)(10 - x) x 10
Bµi 2
Cho x, y R, Chøng minh r»ng: x2 + y2 + xy + x + y. Bµi 3
Cho a, b, c, d R+.
Ch÷ng minh r»ng :
a b b c c d d a
2
(13)Chuyên đề 3:
Biến đổi thức A/ Biến đổi thức
I/ Kiến thức bản
*/
2 A nÕu A
A A
A nÕu A
*/ ab a b (a0, b0) / a a a1 n a1 a a2 n
*/
a a
(a 0, b 0)
b b
*/
2
a b a b (b 0)
Trục thức mẫu
*/
a a b
b
b , (b > 0).
*/
m m( a b ) m m( a b )
,
a b a b
a b a b
II/ Bµi tËp Bµi 1
TÝnh giá trị biểu thức sau:
a/ A = 48 27 75 b/ B =
48 75 108 147
7
Gi¶i
a/ Ta cã: A = 48 27 75 6 16.3 9.3 25.3 24 20 3 2
b/ Ta cã: B =
48 75 108 147 2.5 3
7
Bài 2
Trục thức mẫu:
a/ A =
1
5 b/ B =
4
3 2 c/ C = 3
2 2
Gi¶i
a/ A =
1 5 2
3 3
5
b/ B =
4 4(3 2 ) 2
(3 5) (2 5)
(14)
2
(3 5)(3 2 ) (3 5) (2 5)
4
c/ Đặt 32 a C =
3
3
4 2
3
2 a a a(a 1) a a
4
a a a a a a
2 2
Bµi 3
Rút gọn biểu thức chứa căn: a/ A = 15 6 33 12 6
b/ B = 15 15
c/ C = 4 4
d/ D = 4 102 4 102
e/ E = 4920 449 20
f/ F =
1 1
1 5 9 13 2001 2005
Gi¶i
a/ A = 15 6 33 12 6 9 66 12 6 24
(3 )2 (3 ) 3 62 6 33
b/ B = 15 15 5 15 3 52 153
( 3) ( 3) ( 3)
c/ C =
7 1 7
4 7
2 2
2
( 1) ( 1) 7
2
2 2
d/ Do D > nªn D = D2
D2 =
2
4 10 10 (4 10 )(4 10 )
8 5 8 5 1 8 ( 1) 8 5 2 6
(15)e/ Ta cã: 4920 2520 624(52 )2 [( 3 ) ]2 ( 3 )4
2 2
49 20 25 20 24 (5 ) [( ) ] ( )
VËy E = 3 2 3 22
f/ F =
5 13 2005 2001 2005
4 4 4 .
Bài 4
Rút gọn biểu thức sau:
a/ A = x4 x x x
b/ B = x22 x2 1 x2 x2
c/ C = 2x x 2 x 2x x 2 x Gi¶i
a/ A = x x 4 x x 4 x 4 x 4 4 x 4 x 4 4
( x 4 2) ( x 4 2) x 4 2 x 4 2
NÕu x 4 2 x 4 4 x8 th× A = x 42+ x 4 22 x
NÕu 0 x 4 2 0 x 4 4 0 x th× A = x 4 2- x 4
VËy: A =
2 x nÕu x
4 nÕu x
b/ B = x2 2 x2 1 x2 x2 1 x2 x 2 1
- x2 1 x2 1 -
2 2 2
( x 1) ( x 1) x 1 x 1
NÕu x2 1 0 x2 2 x 2 x th× B =
NÕu x2 1 0 x2 2 x th× B =
2
x 1.
VËy: B =
2 nÕu x x
2 x nÕu x
c/ C = 2x x 2 x 2x x x = x x xx x x xx
=
2
( x x ) ( x x ) x x x x x
(16)Tìm điều kiện để biểu thức sau có nghĩa rút gọn: a/
x x x x 1
(1 )
x
x 4(x 1)
b/
3
1 x x
x x x x 1 x
c/
2
1 x
:
x x x x x x
d/
2 x x x
( ) :
x x x x x
e/
x x x
( ) :
2
x x x x 1 x
Giải a/ ĐK:
x x x
x
x 4x (x 2)
A = 2 2
x x x x 1 ( x 1) ( x 1) x
(1 )
x x
x 4(x 1) (x 2)
2 x
x
(x 2) .
NÕu x > A =
x
NÕu 1< x < A =
2 x
VËy: A =
nÕu x
x
nÕu x
1 x b/ §K: x x
x .
B =
3
1 x x x x x x x( x 1)
1
x x x x 1 x x
(17)c/ x
x x x
x
x x x x
x .
Đặt x a xa2
C =
3 2
4
2
1 x 1 a a a a(a a 1)
:
a a a a(a 1)(a 1)
x x x x x x
= 2
a a 1
(a 1)(a a 1)(a 1) a x 1.
d/ §K: x x
x
x
x x
Đặt x a xa2
D =
2
2 x x x 2a a a a
( ) : ( )( )
a a a
x x x x x
= 2
a(a 2) (a a 1) a a a 1
(a 1)(a a 1) a (a 1)(a 2) a x .
e/ §K: x x
x x
x
1 x
Đặt x a xa2
E =
x x x a a
( ) : ( )
2 a a a a a
x x x x 1 x
=
2 2
2 2
a a(a 1) (a a 1) a 2a 2
(a 1)(a a 1) a (a 1)(a a 1) a a a x x 1.
Bµi 6
Chøng minh r»ng biểu thức sau số nguyên
a/ A = 4 35 48 10 7 4
(18)c/ C =
2 13 48
6
Gi¶i
a/ Ta cã:
2
7 (2 3) 10 10(2 3) 20 10
2
48 10 48 20 10 28 10 (5 3)
5 48 10 5(5 3) 25
VËy A = 45 3
b/ Ta cã:
2
18 128 18 (4 )
2 12 18 128 2 12 4 2 4 ( 1)
2 ( 1) 3 2( 1) 3 1
VËy: B = ( 31)( 1) 3 12
c/ Ta cã:
2
13 48 13 12 (2 1) 13 3
2
5 13 48 ( 1) 13 48
3 5 13 48 3 1 2 3 3 5 13 48
2 ( 2) C
BTVN Bµi 1
Rút gọn biểu thức chứa
a/ A = 4 15 4 15 3 b/ B = 5 3 29 12 5
c/ C =
(5 )(49 20 )
9 11 d/ D =
1 1
2 3 1998 1999
Bài 2
Trục thức mẫu
a/ A = 3
6
2 2 b/ B = 3
(19)Chuyên đề 4
Phơng trình bậc - Đồ thị hàm số bậc - Hệ phơng trình bậc nhất
I/ Phơng trình bậc
N: L phng trỡnh có dạng: ax + b = 0, a, b số thực, x ẩn Cách giải:
Phơng trình ax = -b Nếu a x = -b/a NÕu a = 0x = -b
NÕu b = PT v« sè nghiƯm NÕu b PT v« nghiệm II/ Bài tập
Bài 1
Giải biện luận phơng trình sau:
a/ mx + 2(x - m) = (m + 1)2 + (1) b/ 3(m + 1)x + = 2x + 5(m + 1) (2)
c/ m2(x + 1) = x + m (3) d/
x m x
x x (4)
Gi¶i
a/ (1) (m + 2)x = m2 + 4m + (m + 2)x = (m + 2)2
NÕu m + m -2 phơng trình có nghiệm: x = m +
NÕu m + = m = -2 0x = phơng trình có vô số nghiệm x R b/ (2) (3m + 1)x = 5m +
NÕu 3m + m -1/3 phơng trình có nghiệm:
5m x
3m
NÕu 3m + = m = -1/3 ph¬ng trình có dạng: 0x = -2/3 PTVN c/ (3) (m2 - 1)x = m - m2 (m2 - 1)x = m(1 - m).
NÕu m2 - phơng trình có nghiệm:
m x
m
NÕu m2 - = m = 1.
NÕu m = PT cã d¹ng: 0x = PT cã VSN NÕu m = -1 PT có dạng: 0x = -2 PTVN d/ ĐK: x vµ x
(4) x(x - m) + (x - 2)(x - 3) = 2x(x - 2) (m + 1)x = NÕu m + = m = -1 (4) cã d¹ng: 0x = PTVN
NÕu m + m -1 (4)
x
m (Do §K m
2 m
m )
KÕt luËn: NÕu m -1 m phơng trình có nghiệm:
x
m
(20)Bài 2
Cho phơng trình: (m + 1)2x + - m = (7m - 5)x (1)
a/ Tìm m để phơng trình vơ nghiệm b/ Tìm m để phơng trình có nghiệm Giải
(1) ( m2 - 5m + 6)x = m - (m - 2)(m + 3)x = m - 1.
a/ Phơng trình vô nghiệm
(m 2)(m 3)
m m m
b/ phơng trình có nghiệm (m - 2)(m + 3) m m -3 III/ Hệ phơng trình bậc nhất
Bài 3
Cho hệ phơng rình:
2x my (1) mx 2y (2)
a/ Gi¶i hệ m =
b/ Giải biện luận hệ phơng trình
c/ Tỡm cỏc s nguyờn m để hệ có nghiệm (x ; y) với x, y số nguyên d/ Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm (x ; y) với x, y số nguyên dơng Giải
a/ m = ta cã hÖ
2x y 4x 2y 3x x
x 2y x 2y x 2y y
b/ Tõ (1) vµ (2) 2x + my = mx + 2y (m - 2)(x - y) = NÕu m = hƯ v« sè nghiƯm
NÕu m x = y thay vµo phơng trình (1) ta có: (m + 2)x = NÕu m = -2 hƯ v« nghiƯm
NÕu m -2 hÖ cã nghiÖm nhÊt: x = y = 1/(m + 2)
c/ m m -2 hệ có nghiệm nhÊt: x = y = 1/(m + 2) NghiÖm số
nguyên 1/(m + 2) sè nguyªn
m m
m m 3.
d/ / m m -2 hệ có nghiệm nhÊt: x = y = 1/(m + 2) NghiƯm nµy số nguyên dơng 1/(m + 2) số nguyên dơng m + ớc số nguyên d¬ng cđa m + = m = -1
Bài 4
Cho hệ phơng r×nh:
(m 1)x my 3m (1)
2x y m (2)
a/ Tìm m để hệ có nghiệm (x ; y) mà S = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất. b/ Tìm m để hệ có nghiệm (x ; y) mà P = xy đạt giá trị lớn Giải
(21)(m + 1)x = m2 + 2m + (m + 1)x = (m + 1)2.
Hệ có nghiệm m -1, đó: x = m + 1, y = m -
a/ S = x2 + y2 = (m+1)2 + (m-3)2 = 2m2 - 4m + 10 = 2(m - 1)2 + Smin = m = 1. b/ P = xy = (m + 1)(m - 3) = m2 -2m -3 = (m - 1)2 - 4. Pmin = -4 m = 1.
Bµi 5
Giải hệ phơng trình:
x y 2x y
7 (1)
7 17
4x y y
15 (2)
5 19
Gi¶i
(1) 17(x - y) + 7(2x + y) = 7.7.17 31x - 10y =833 (2) 19(4x + y) + 5(y - 7) = 19.5.15 19x + 6y = 365
VËy hƯ ph¬ng tr×nh
31x 10y 833 93x 30y 2499 x 23 19x 6y 365 95x 30y 1825 y 12
Bµi 6
Giải hệ phơng trình:
x y z (1) x 2y 4z (2) x 3y 9z 27 (3)
Gi¶i
HƯ:
x y z x y z x y z x
x 2y 4z y 3z y 3z y 11
x 3y 9z 27 y 5z 19 2z 12 z
IV/ Đồ thị hàm số bậc nhất
Đồ thị hàm số y = ax + b (a 0) đờng thẳng qua hai điểm A(0;b) B(-b/a; 0) Bài 7
Vẽ đồ thị hàm số sau:
a/ y = 2x - b/ y = x 1 c/ y =2 x2 2x 1 d/ y = x 1 x 2 e/ x y 1 BTVN
Bài Giải biện luận phơng trình sau:
a/ m2x = 9x + m2 - 4m + b/
x m x 2
x x
Bài Cho hệ phơng trình:
x my mx 2y 1.
a/ Gi¶i hƯ m =
b/ Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm (x ; y) với x, y số nguyên c/ Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm (x ; y) mà x > y <
(22)Bài Giải hệ phơng trình:
x 2y 3z 11 2x 3y z 3x y 2z
Hỡng dẫn Cộng phơng trình ta cã: x + y + z = x = -2, y = -1, z =
Bài Giải hệ phơng trình:
3
z (1) 2x y
2y 3z (2)
2
y (3)
2x y
Hỡng dẫn Đặt t =
1
2x y thay vµo (1) vµ (3) ta cã:
3t z 2t y
2 2z + 3y = -1/2 (4).
(23)Chuyên đề 5
Phơng trình bậc 2, định lý viét - Phơng trình bậc cao I/ Phơng trình bậc 2
ĐN: Phơng trình bậc phơng rình có dạng: ax2 + bx + c = (a 0) Trong đó: a, b, c số thực, x l n
Cách giải:
Tính biệt thức = b2 - 4ac
NÕu < phơng trình vô nghiệm
Nếu = phơng trình có nghiệm kép: x = -b/2a
Nếu > phơng trình có nghiệm ph©n biƯt:
1
b b
x ; x
4a 4a
Chó ý: NÕu b = 2b' th× cã thĨ tÝnh ' = b'2 - ac
Nếu ' < phơng trình vô nghiệm.
Nếu ' = phơng trình cã nghiÖm kÐp: x = -b'/a.
NÕu ' > phơng trình có nghiệm phân biệt:
' ' ' '
1
b b
x ; x
2a 2a
II/ Định lý Viét
Nếu phơng trình bậc có hai nghiệm phân biệt không ta có: S = x1 + x2 = -b/a; P = x1x2 = c/a
Chú ý:
Nếu phơng trình bậc cã a + b + c = th× x1 = 1; x2 = c/a Nếu phơng trình bậc cã a - b + c = th× x1 =-1; x2 = -c/a III/ Bµi tËp
Bµi 1
Cho phơng trình: x2 - 4x + m + = 0. a/ Giải phng trình m =
b/ Tìm m để phơng trình có nghiệm
c/ Tìm m để phơng trình có nghiệm x1, x2 thoả mãn: x12 + x22 = 10 d/ Tìm m để phơng trình có nghiệm x1, x2 thoả mãn: x13 + x23 = 34 Giải
a/ Khi m = PT x2 - 4x + = a + b + c = x1 = 1, x2 = 3. b/ ' = - m - = - m, phơng trình có nghiệm - m m 3. c/ Để phơng trình có nghiệm phải có m
Khi đó: x12 + x22 = 10 (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 10 16 - 2(m + 1) = 10 m = 2 d/ Để phơng trình có nghiệm phải có m
x13 + x23 = 34 (x1 + x2)[(x1 + x2)2 -3x1x2] =34 4[16 -3(m + 1)] =34 m +1 =10 m = 9 Bài 2
Cho phơng trình: x2 - 2(m - 1)x - - m = 0.
(24)c/ Tìm m để phơng trình có nghiệm x1 , x2 thoả mãn x12 + x22 10
d/ Tìm m để phơng trình có nghiệm x1 , x2 cho P = x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất Giải
a/ ' = m2 - 2m + + m + = m2 - m + = (m- 1/2)2 + 15/4 > với m phơng trình có nghiệm
b/ x = thay vào phơng trình ta có: 5m = m = Khi phơng trình có dạng: x2 - = 0
x = x = -2
c/ x12 + x22 10 (x1 + x2)2 - 2x1x2 10 [2(m - 1)]2 + 2(m + 3) 10
4m2 -8m + + 2m + 10 4m2 - 6m m(2m - 3) m 3/2 m 0. d/ P = x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = [2(m - 1)]2 + 2(m + 3) = 4m2 - 6m + 10 =
(2m - 3/2)2 + 31/4 Pmin = 31/4 m = 3/4. Bài 3
Cho phơng trình: x2 - 2mx + 2m -1 = 0.
a/ Chøng minh r»ng ph¬ng trình có nghiệm với m
b/ Tỡm m để phơng trình có nghiệm x1 , x2 thoả mãn 2x12 + 2x22 - 5x1x2 = 27. c/ Tìm m cho phơng trình có nghiệm hai nghiệm
d/ Tìm m để phơng trình có nghiệm x1 , x2 thoả mãn: x1 = x22 Giải
a/ ' = m2 - 2m + = (m + 1)2 víi m phơng trình có nghiệm.
b/ 2x12 + 2x22 - 5x1x2 = 27 2[(x1 + x2)2 - 2x1x2] - 5x1x2 = 27 2(x1 + x2)2 - 9x1x2 = 27 8m2 - 9(2m + 1) = 27 8m2 - 18m - 18 = 4m2 - 9m - = 0
m = m = -3/4
c/ Gi¶ sử phơng trình có nghiệm: x1 = 2x2 ta cã:
x1 + x2 = 3x2 =2m x2 =2m/3 (1) vµ x1x2 = 2x22 = 2m - 1x22 = (2m - 1)/2 (2). Tõ (1) vµ (2) 4m2/9 = (2m - 1)/2 8m2 - 18m + = m = 3/4 m = 3/2 d/ Ta cã: x = m + m + = 2m + x = m - m - = -1
NÕu x1 = 2m + 1, x2 = -1 th× ta cã: 2m + = m =
NÕu x1 = -1, x2 = 2m + th× ta cã: -1 = (2m + 1)2 v« lý. VËy m = 0. Bài 4
Cho phơng trình: (m - 1)x2 + 2(m - 1)x - m = 0.
a/ Tìm m để phơng trình có nghiệm kép, tìm nghiệm kép b/ Tìm m để phơng trình có nghiệm phân biệt trái dấu c/ Tìm m để phơng trình có nghiệm phân biệt âm d/ Tìm m để phơng trình có nghiệm phân biệt u dng Gii
a/ Phơng rình có nghiệm kÐp m vµ ' = m2 - 2m + + m2 - m = 0
2m2 - 3m + = (m - 1)(2m - 1) = m = m = 1/2 VËy m = 1/2 phơng trình có nghiệm kép: x =
(25) ' m
m m
m / m 0 (m 1)(2m 1)
m m
x x m
0 m 1
m .
c/ Phơng trình có nghiệm phân biệt âm
' 2 m
m (m 1)(2m 1) 0
m
0 m
0 m / m /
0
x x m 1
0 m 2(m 1)
x x
0
m .
d/ Phơng trình có nghiệm phân biệt dơng
' 2
m m 1
m (m 1)(2m 1) 0
m /
0 m
0 m
x x m 1
2 2(m 1)
x x
0
m Lo¹i
Vậy khơng tồn m để phơng trình có nghiệm phân biệt dơng Bi 5
Cho phơng trình: x2 - (2m - 3)x + m2 - 3m = 0.
a/ Chứng minh phơng trình ln có nghiệm m thay đổi b/ Tìm m để phơng trình có nghiệm x1, x2 thoả mãn: < x1 < x2 < Giải
a/ = 4m2 - 12m + - 4m2 + 12m = > phơng trình có nghiệm.
b/ x1 =
2m 3
m
2 ; x2 =
2m 3
m
Víi mäi m ta lu«n cã: m - < m < m - < m < < m < Bµi 6
Cho phơng trình: 3x2 - mx + = Tìm m để pt có nghiệm thoả mãn: 3x1x2 = 2x2 - 2. Giải ĐK:
1 2 2
1 2
1 2
m 24 m m m m 3x x 2x 2 2x x
x x / x x / x / x x m / x x m / m
(26)Gäi a, b nghiệm phơng trình: x2 + px + = 0 c, d nghiệm phơgn trình: x2 + qx + = 0 a/ Chøng minh r»ng: (a - c)(a - d)(b - c)(b - d) = (p - q)2 b/ Chøng minh r»ng: (a - c)(b - c)(a + d)(b + d) = q2 - p2 Gi¶i
Theo định lý Viét ta có:
a b p c d q
ab cd .
a/ VT = (a - c)(a - d)(b - c)(b - d) = (a2 - ad - ac + cd)(b2 - bc - bd + cd) = [a2 - a(c + d) + cd][b2 - b(c + d) + cd] = (a2 + aq + 1)(b2 + bq + 1) = a2b2 + a2bq + a2 +ab2q + abq2 + aq + b2 + bq + =
1 + aq + bq + q(a + b) + [(a + b)2 - 2ab] + q2 + =
2 + q(a + b) - pq + p2 - + q2 + = p2 - 2pq + q2 = (p - q)2 = VP.
b/ VT = (a - c)(b - c)(a + d)(b + d) = [ab - c(a + b) + c2][ab + d(a + b) + d2] = (1 + cp + c2 )(1-dp + d2) = 1- dp + d2 + cp - cdp2 + cd2p + c2 - c2dp + c2d2 =
= 1- dp + d2 + cp - p2 + dp + c2 - cp + = (c + d)2 - 2cd - p2 + = q2 - p2 = VP. IV/ Ph¬ng trình bậc cao
Bài 8
Giải phơng tr×nh sau: a/ x3 - 2x2 - x + = 0
b/ x4 - 3x3 + 6x2 + 3x + = 0 c/ x4 + 2x3 - 6x2 + 2x + = 0 d/ (x2 - 3x + 1)(x2 - 3x + 2) = 2 e/ (x + 9)(x + 10) (x + 11) - 8x = f/ (x + 2)2 + (x + 3)3 + (x + 4)4 = 2 Gi¶i
a/ Nhẩm thấy x = nghiệm phân tích VT lµm xt hiƯn x -
x3- 2x2 - x + = x2(x- 2)- (x- 2) = (x- 2)(x2 - 1) = x = x = 1. C¸ch kh¸c:
x3 - 2x2 - x + = x3 - - (2x2 - 8) - (x - 2) = (x - 2)(x2 + 2x + - 2x - - 1) (x - 2) (x2- 1) = x = x = 1.
b/ Do x = nghiệm chia hai vế cho x2 ta cã:
2
2
3 1
x 3x x x
x x x x
Đặt:
2 12 2
x t x t
x x , thay vào phơng trình ta cã:
(27)Víi : t = -1
1
2
1
x
1 2
x x x
x 1 5
x
2 .
Víi : t =
1
2
x
1
x x 4x
x x 2 5
c/ Do x = nghiệm chia hai vế cho x2 ta cã:
2
2
2 1
x 2x x x
x x x x
Đặt:
2 12 2
x t x t
x x , thay vào phơng trình ta cã:
t2 - 2t - = t 1 5 t 5 (khơng tìm đợc x) Cách khác:
x4 + 2x3 - 6x2 + 2x + = (x4 - 2x2 + 1) + (2x3- 4x2 + 2x) =
(x2 - 1)2 + 2x(x - 1)2 = (x - 1)2[(x + 1)2 + 2x] =
x
x 4x
e/ Đặt t = x2 - 3x + phơng trình có dạng: t(t + 1) = t2 + t - = t = t = -2. Víi: t = x2 - 3x = x = x = 3.
Víi: t = -2 x2 - 3x + = 0, VN
f/ Đặt: x+ 10 = t (t - 1) t (t + 1) - 8(t - 10) = t3 - 9t + 80 =
(t + 5)(t2 - 5t + 16) = t = -5 x = -15. g/ Đặt: x + = t (t - 2)2 + (t - 1)3 + t4 =
(t2 - 4t + 4) + (t3 - 3t2 + 3t - 1) + t4 = (t2 -1)(t2 + t - =
t2−1=0
¿
t2+t −1=0
¿ ¿ ¿ ¿
Bµi 9
Cho phơng trình: x3 - 2x2 + (m + 1)x - m = 0.
a/ Chứng minh rằng: phơng trình ln có nghiệm x = với m b/ Tìm m để phơng trình có nghim
c/ Giải biện luận phơng trình theo m Gi¶i
a/ Thay x = vào phơng trình ta thấy ln x = nghiệm với m b/ Pt (x - 1)( x2 - x + m) = 0
(28)TH1: f(x) = cã nghiÖm kÐp x
¿
Δ=0 f(1)≠0
⇔
¿1−4m=0
m ≠0
⇔m=1
¿{
¿
TH2: f(x) = có nghiệm phân biệt nghiệm phải
0 4m m /
m
f(1) m m VËy: m = m = 1/4.
c/ XÐt PT x2 - x + m ta cã: =1 - 4m.
NÕu < 1- 4m < m > 1/4 PT cã mét nghiÖm x =
NÕu
0 4m
m
f(1) m PT cã hai nghiÖm x = 1 x = 1/2.
NÕu
0 4m m /
m
f(1) m m PT cã hai nghiÖm x= x = 0.
NÕu
0 4m m /
f(1) m m
PT cã nghiÖm x = 1
1 4m x
2 .
BTVN
Bµi Cho phơng trình: 3x2 - 5x + m = 0.
a/ Tìm m để phơng trình có nghiệm x1 , x2 thoả mãn: x12 - x22 = 5/9 b/ Tìm m để phơng trình có nghiệm x1 , x2 thoả mãn: x13 + x23 = 72 Bài Cho phơng trình: x2 - 2mx + m + = 0.
Xác định m để phơng trình có nghiệm khơng âm Khi tính giá trị biểu thức: P =
1
x x
theo m
Bµi Giải phơng trình:
a/ x3 - 2x2 -11x +12 b/ (x + 1)(x + 3) (x + 5)(x + 7) + 15 = 0
c/ x4 + 5x3 - 12x2 + 5x + = d/ x4 + 6x3 + 7x2 - 6x + = e/ 2x4 - x3 - 5x2 + x + = 0 Hìng dÉn
Do x = nghiệm chia hai vÕ cho x2 ta cã:
2
2
1 1
2x x x x
x x x x
Đặt:
2 2
1
x t x t
x x , thay vào phơng trình ta có:
(29)Víi : t =
1
2
1
x
1 2
x x x
x 1 5
x
2 .
Víi : t = -1/2
1
2
1 17 x
1
x 2x x
x 1 17
x
(30)Chuyên 6
Giải phơng trình, bất phơng trình chứa gttđ thức I/ Giải phơng trình chứa GTTĐ
*/ Dạng
A= B
2
B B
A B
A B
A= B A2 = B2 A = B */ Dạng không
- Dựng nh ngha: A=
A nÕu A
A nÕu A
- Dùng tính chất giá trị tuyệt đối:
a = a a
a = -a a
a + b = a + b a.b
a + b = a + b a b Bài 1
Giải phơng trình sau: a/ x + 1= x(x + 1)
b/ 7 - 2x= 5 - 3x+ x + 2
c/ x2 - 1+ x2 - 4=3
d/ x2 - 5x + 5= -2x2 + 10x -11
Gi¶i
a/ x + 1 = x(x + 1) x + 1 = x x + 1 x + 1( x - 1) =
x x
x
x
x
C¸ch kh¸c:
x+1= x(x+ 1)x + 1= x2 + x
2
2
x
x x x
x
x x x x
b/ 7 - 2x= 5 - 3x+ x + 275 - 3x+ x + 2= - 2x
5 - 3x+ x + 2= (5 - 3x) + (x + 2) , ¸p dơng: a + b = a + b ab
(5 - 3x)(x + 2) -2 x 5/3 c/ Đặt: t = x2 - x2 - = t - 3
x2 - 1+ x2 - = t + t - =3 (*)
NÕu: t (*) 2t = t = x2 = x = 2
(31) x2 <
x
1 x
x
2 x
2 x
NÕu: < t (*) 2t = t = lo¹i
Vậy phơng trình có nghiệm:
1 x
2 x
d/ x2 - 5x + 5= -2x2 + 10x -11 / x2 - 5x + 5= -2(x2 - 5x + 5) -1
Đặt: t = x2 - 5x + ta cã: t = -2t -1
2t t /
t t 2t t /
t 2t t
-1 = x2 - 5x + x2 - 5x + =0 x = x = 3. II/ Giải phơng trình chứa thức
*/ Dạng
B
A B
A B
B
A B
A B
*/ Dạng không
- N©ng luü thõa hai vÕ (hai vÕ cïng dÊu, tốt không âm)
- a v hng đẳng thức đa ngồi dùng tính chất GTTĐ - Đặt ẩn phụ đánh giá giỏ tr ca hai v
Bài 2
Giải phơng trình sau: a/ x x
b/ x 4x 3
c/ x 2x 1
d/ x2 2x 1 x24x4 3
e/ x x 1 x x 1 5
f/
x
x x x x
(32)a/
2
x
x x
x x x x
x (x 1) x 3x
x
b/ §K:
1 x x
4 x
4 x x
1 x x (1 x)(4 x) (1 x)(4 x)
2
x 3x x x
c/ §K:
1 x x
2 x
2 x x
1 x x 1 x x x x 2 x
x (x 1)
2
x
1
x x x 1 5
x
2
2 x x 2x x x
1
x
2
d/
2 2
x 2x x 4x (x 1) (x 2) x x
x x 2 3 x x 2 (1 x) (x 2)
¸p dơng: a b a b a.b0 ta cã: (1 - x)(x + 2) -2 x
e/ x x 1 x x 1 5 §K: x
x x x x x x x x
( x 2) ( x 3) x x
x x x x ( x 2) (3 x 1)
¸p dông: a b a b a.b0 ta cã:
( x 2)(3 x 1) x x 10.
f/
x
x x x x
(33) x 3 x x x x x x x 1 x x 1
2
x 3 x
( x 1) ( x 1) x 1 x 1
2 (*)
NÕu:
x 3 2
x 1 x (*) x 16x 16 x 6x
2
x2 10x 25 0 (x 5) 0 x5
NÕu:
x 3
x 1 x (*) x
2
g/ x 2x 5 x 2 2x 5 2 §K: x 5/2
x 2x x 2x 2
2x 4 2x 5 2x 2x 5 4
2x 2x 2x 2x
( 2x 3) ( 2x 1)
2x 5 3 2x 1 4 2x 5 3 1 2x 5 4
2x 5 3 1 2x 5 ( 2x 5 3) (1 2x 5)
¸p dơng: a b a b a.b0 ta cã:
( 2x 3)(1 2x 5) 2x 2x x 3
VËy: 5/2 x Bµi 3
Giải phơng trình sau: a/ 3x2 2x2 x2x 1 x
b/
x x
(5 ) (5 ) 10
Gi¶i
a/ 3x2 2x2 x2x 1 x §K: x2 + x x x -1
PT 3x2 3x 1 2 x2 x 3(x2 x) 1 2 x2x
(34)t =
2
x x x x x
2
b/ Do: (5 6)(5 6) 1 đặt:
x
(5 ) t (t 0) PT
t 10
t
2 t
t 10t
t
Víi
x
t (5 6) x
Víi
x x
t (5 6) (5 6) (5 6) x
VËy ph¬ng trình có hai nghiệm: x = Bài 4
Giải phơng trình:
a/ 3x22x2 x2x x b/ x24x 5 2 2x 3
c/ x210x 21 3 x 3 2 x 7
d/
2
3x 12x 16 y 4y 13
e/ 3x26x 7 5x210x 14 4 2x x
f/
2 2
x 3x x 2x x 4x
2
g/ 2x 3 2x 3x2 12x 14 Gi¶i
a/ §K: x2 + x x x -1
2 2
3x 2x x x x 3(x x) x x
Đặt
2
x x t (t 0) PT 3t2 - 2t - = t = 1 t = -1/3 (lo¹i)
2 2
t x x x x x
2
(35)
2
x 4x 2x (x 2x 1) (2x 3) 2x
2
2
2
(x 1)
(x 1) ( 2x 1) x
( 2x 1) .
c/ §K:
x
x
x
2
x 10x 21 x x (x 3)(x 7) x x
x 3 x 3 x 7 0 x 7 x 3 0
x x
x x
x
d/ Do: 3x2 -12x + 16 = 3(x - 2)2 + 3x212x 16 2 y2 - 4y + 13 =(y - 2)2 +
2
3x 12x 16 y 4y 13
PT
2
3(x 2) x y (y 2)
e/ 3x26x 7 5x210x 14 4 2x x
x 1 2 4 x 1 29 5 x 1
Mµ:
2
3 x x 9
cßn - (x+1)2 5 nªn ta cã: (x+1)2 = x = -1.
f/ Ta cã:
x2 - 2x + = (x- 1)2 + > 0 x2 - 4x + = (x- 2)2 + > 0
2
2 x 2x x 4x 2
x 3x x 2x x 4x
2
PT x2- 2x + = x2 - 4x + x = 3/2. g/ §K: 3/2 x 5/2
VP = x2 - 12x + 14 = 3(x - 2)2 + 2, dÊu b»ng x¶y x = 2.
VT2 = ( 2x 3 2x ) 2(2x 2x)(1 21 )2 ( 2x 3 2x) 4 2x 3 2x 2, dÊu b»ng x¶y 2x - = - 2x x = 2.
(36)Giải bất phơng trình sau: a/ x - < x2 + x + 1
b/ x2 2x 1 Gi¶i
a/ NÕu: x PT x - < x2 + x + x2 > - BPT cã v« sè nghiƯm x 4(1)
NÕu: x < PT - x < x2 + x + x2 + 2x - > x > 1 x < -3 x < -3 < x < (2)
Tõ (1) vµ (2) x < -3 x > 1.
b/
2 x 1 x
x 2x 1 (x 1) x 1
x 1 x 0.
BTVN
Bµi Giải phơng trình: a/ x2 + 2x - x + 1= b/ x - 1 - x - = 1 Bài 2Giải phơng trình sau:
a/ x 3x b/ 2x x
c/ x 3 x 2x 8 (x = 5, x = 6) d/ x x 1 x x 1 1
e/ 3 x x 1 2 x x 1 f/
x x
(7 48) (7 48) 14
g/ x 94 96 x x2190x 9027 h/ x x2x2 6x 13 Hìng dÉn §K: -2 x
VP = x2 - 6x + 13 = (x - 3)2 + dÊu b»ng x¶y x = 3.
VT2 = ( x x ) (6 x x 2)(1 21 )2 ( x x ) 16
( x x ) 4 DÊu b»ng x¶y x x 2 x4.
(37)Chuyên đề 7
Giải toán cách lập phơng trình, hệ phơng trình I/ Các bớc để giải toán cách lập phơng trỡnh, H phng trỡnh
B1: Lập phơng trình
- Chọn ẩn xác định điều kiện cho ẩn - Biểu thị số liệu cha biết qua ẩn
- Tìm mối liên hệ số liệu để lập phơng trình hệ phơng trình B2: Giải phơng trình giải hệ phơng trình
B3: Chän kết thích hợp trả lời
Chú ý:
- Quảng đờng = vận tốc x thời gian (toán chuyển động) - Sản lợng = suất x thời gian (tốn suất)
- Ngồi cách chọn ẩn trực tiếp ta cần chọn ẩn gián tiếp để đợc phơng trình đơn giản
II/ Bµi tËp.
*/ Tốn chuyển động Bài 1
Một ca nơ xi dịng từ A đến B với vận tốc trung bình 30 km/h, sau lại ngợc từ B đến A thời gian xi thời gian ngợc 40 phút Tính độ dài khúc sơng AB biết vận tốc dịng nớc km/h vận tốc ca nơ khơng đổi
Gi¶i
Gọi độ dài khúc sông AB s (km)
thời gian ca nô xuôi dòng là: s/30 (giờ) thời gian ca nô ngợc dòng là: s/(30 - 6) (giờ) Theo ta có phơng trình:
s s s s s s
2 2s 160 s 80 (km)
30 30 24 30 10
Bµi 2
Một ca nơ dự định từ A đến B thời gian định Nếu vận tốc ca nơ tăng km/h đến nơi sớm Nếu vận tốc ca nô giảm km/h đến nơi chậm Tính chiều dài khúc sơng
Gi¶i
Gọi vận tốc dự định ca nô v (km/h) (v > 3), thời gian dự định t (giờ) (t > 2), chiều dài khúc sơng AB v.t (km)
Nếu vận tốc ca nơ tăng km/h đến nơi sớm ta có: (v + 3)(y - 2) = v.t Nếu vận tốc ca nô giảm km/h đến nơi chậm ta có: (v-3)(y+3) = v.t Vậy ta có hệ phơng trình:
(v 3)(t 2) vt vt 2v 3t vt 2v 3t v 15 (v 3)(t 3) vt vt 3v 3t vt 3v 3t t 12
(38)Mét ca n« xu«i khúc sông dài 40 km ngợc khúc sông hÕt giê rìi BiÕt thêi gian ca n« xu«i km thời gian ca nô ngợc km Tính vận tốc dòng nớc
Giải
Gọi vận tốc dòng nớc x (km.h) vận tố ca nô y (km/h),(x >y >0)
Do ca nô xuôi khúc sông dài 40 km ngợc khúc sông hết rỡi ta cã:
40 40
(1) x y x y
Do thêi gian ca n« xu«i km b»ng thêi gian ca nô ngợc km ta có:
5 x+y=
4 x − y(2)
Tõ (1) vµ (2) ta cã hƯ ph¬ng trinh:
40 40 40 40 90
x y x y x y x y x y
5 50 40
0 0
x y x y x y x y x y x y
x y 20 x 18
x y 16 y
Vậy: vận tốc dòng nớc y = km/h Bài 4
Một ca nô xuôi dòng 45 km ngợc dòng 18 km Biết thời gian xuôi lâu thời gian ngợc vận tốc xuôi lớn vận tốc ngợc km/h tính vận tốc ca nô lúc ngợc dòng
Giải
Gọi v (km/h) vận tốc ca nô lúc ngợc dòng (v > 0) thời gian xuôi dòng 45 km 45/ (v+6) thời gian ngợc dòng 18 km 18/v Theo ta có phơng trình:
2 v 12
45 18
1 45v 18v 108 v 6v v 21v 108
v v v
Vậy vận tốc ca nô lúc ngợc dòng là: v = 12 v =
Bµi 5*
Một bè nứa trơi tự ca nơ rời bến A để xi dịng sơng Ca nơ xi dịng đợc 96 km trở A, lẫn 14 đờng cịn cách A 24 km ca nơ gặp bè nứa trơi Tìm vận tốc riêng ca nơ vận tốc dịng nớc
Gi¶i
Gọi vận tốc ca nô x (km/h) vận tốc dòng nớc y (km/h) (x>y>0)
Do Ca nơ xi dịng đợc 96 km trở A, lẫn 14 nên ta có:
96 96
14 (1) x y x y
(39)
96 72 24
(2)
x y x y y
Từ (1) (2) ta có hệ phơng tr×nh:
96 96
14 (1) x y x y
96 72 24
(2)
x y x y y
Tõ (2)
96 72 24
x y x y y x y x y y
4xy 4y 23y23xyx2 y2 x7y (2 )'
Tõ (1)
2 '
96 96 48 48
14 96x 7(x y ) (1 )
x y x y x y x y
Thay (2') vào (1') ta đợc: 96y = 48y2 y = x = 14
Vậy vân tốc riêng ca nô x = 14 vận tốc dòng nớc y = Bµi 6*
Một tàu thuỷ xuôi từ bến A đến bến B hết ngợc từ bến B bến A hết Hỏi bè đợc thả trơi theo dịng nớc từ bến A đến bến B hết bao lâu? Biết lợt nh lợt về, tàu thuỷ không dừng lại chỗ giữ nguyên vận tốc riêng (vận tốc riêng vận tốc nớc yên lặng)
Giải
Gọi khoảng cách AB s
Vận tốc tàu thuỷ xuôi dòng là: vx = s/5 Vận tốc tàu thuỷ ngợc dòng lµ: = s/7 Ta cã:
vx= vtàu + vnớc, = vtàu - vnớc vx- = 2vnớc s/5 - s/7 = 2vnớc vnớc = s/35 Vậy: Một bè trôi từ A đến B hết 35
Bµi 7
Quảng đờng AB gồm đoạn lên dốc dài km đoạn xuống dốc dài km Một ngời xe đạp từ A đến B hết 40 phút từ B A hết 41 phút (vận tốc lên dốc lúc nh nhau, vận tốc xuống dốc lúc nh nhau) Tính vận tốc lúc lên dốc lúc xuống dốc Giải
Gọi vận tốc lúc lên dốc x (km/h), vận tèc lóc xng dèc lµ y (km/h) Theo bµi ta có hệ phơng trình:
4 40 20 25 200 36
x y 60 x y 60 y 60 y 15
5 41 20 16 164 41 x 12
x y 60 x y 60 x y 60
(40)
Bµi 8
Một ngời xe đạp từ A đến B gồm đoạn lên dốc AC đoạn xuống dốc CB Thời gian AB giờ, thời gian BA 45 phút Tính chiều dài quảng đờng AB? Biết lên dốc ngời với vận tốc 10 km/h xuống dốc ngời với vận tốc 15 km/h
Gi¶i
Gọi quảng đờng AB s (km) ta có:
AC CB
AC BC CB CA 15 s s 15
10 15
BC CA 10 15 10 15
10 15
6s 4s 225s22, km
Bµi 9
Một ngời xe đạp từ A đến B đờng dài 78 km Sau ngời thứ hai từ B đến A hai ngời gặp C cách B 36 km Tính thời gian ngời từ lúc khởi hành đến lúc gặp biết vận tốc ngời thứ hai lớn vận tốc ngời thứ km/h
Gi¶i
Gäi vËn tèc ngêi thø nhÊt lµ v (km/h), (v > 0) vận tốc ngời thứ hai v + Thời gian ngời thứ là: 42/ v
Thời gian ngời thứ hai là: 36/(v+4) Theo ta có phơng trình:
2
42 36
1 6v 168 v 4v v 2v 168 v 14 v v
VËy: Thêi gian ngêi thø là: 42/ 14 = Thời gian ngời thứ hai là: 36/ 18 = giê Bµi 10
Hai đơn vị đội hai địa điểm A B cách 39,5 km Lúc đơnvị A phía B với vận tốc km/h Sau đơn vị B phía A với vận tốc km/h Hỏi hai đơn vị gặp lúc
Gi¶i
Gọi quảng đờng đơn vị thứ đợc gặp s1 Gọi quảng đờng đơn vị thứ hai đợc gặp s2 Thời gian đơn vị thứ đợc gặp s1/6 Thời gian đơn vị thứ hai đợc gặp s2/5 Theo ta có phơng trình:
1
1 1
1 2
1
s s
5s 6s 60 11s 297 s 27
2
6s 6s 237 6s 6s 237 s 12, s s 39,5
(41)
Bµi 11*
Một ô tô tải từ A đến B với vận tốc 30 km/h Sau thời gian, xe xuất phát từ A với vận tốc 40km/h khơng có thay đổi đuổi kịp ôtô tải B Nh ng sau đợc nửa quảng đờng AB xe tăng vận tốc lên thành 45 km/h nên sau đuổi kịp tơ tải Tính quảng đờng AB
Gi¶i
Gọi quảng đờng AB s (km)
Thời gian ôtô tải bình thờng s/30 thời gian xe bình thờng s/40
Xe xuất phát sau ô tô tải thêi gian lµ:
s s s
30 40 120.
Quảng đờng mà xe sau kể từ lúc tăng tốc gặp xe tải 45 km
Nh thời gian mà ôtô tải từ A gặp xe là:
s 45 2.30 30
Thời gian thời gian xe là:
s s
1 2.40 120 .
VËy ta cã ph¬ng tr×nh:
s s s 45 3s 2s 4s 120
1 s 120
2.40 120 2.30 30 240 240 240 240
Vậy: Quảng đờng AB = 120 km Bài 12*
Hai đơn vị đội lúc từ hai địa điểm A B để gặp Đơn vị từ A đợc km Đơn vị từ B đợc km Một ngời liên lạc xe đạp với vân tốc 12 km/h lên đờng lúc với đơn vị đội, A để gặp đơn vị từ B Khi gặp đơn vị rồi, ngời liên lạc quay găpkj đơn vị từ A gặp đơn vị lại lập tứcquay để gặp đơn vị từ B cứnh hai đơn vị gặp Biết rầngB dài 27 km Tính quảng đờng ngời liên lạc
Gi¶i
Ta có thời gian mà ngời liên lạc chạy chạy lại thời gian mà hai đơn vị đội gặp Gọi thời gian t (giờ)
Quảng đờng mà đơnvị từ A đợc là: 4t Quảng đờng mà đơnvị từ B đợc là: 5t Theo ta có: 4t + 5t = 27 t =
Vậy: Quảng đờng mà ngời liên lạc là: 12.3 = 36 km */ Toán vịi nớc, tốn suất
Bµi 13
Ngời ta mở đồng thời hai vòi nớc chảy vào bể cạn Sau bể đầy nớc Hỏi chảy mình, để đầy bể vịi cần thời gian? Biết lợng nớc chảy vòi thứ 20 phút lợng nớc chảy vòi thứ hai 45 phút
Gi¶i
(42)Gọi t2 thời gian vịi hai chảy đầy bể 1giờ vòiâhi chảy đợc 1/t2 bể
ta có: 4/t1 + 4/t2 = (1) Mặt khác:
Trong 20 phút = 7/3 vòi chảy đợc 7/3t1 bể Trong 45 phút = 7/4 vòi hai chảy đợc 7/4t2 bể
ta cã: 7/3t1 = 7/4t2 (2)
Tõ (1) (2) ta có hệ phơng trình:
1 2 1
2 2
1
4
t t 4t 4t t t 7t t t t 28 /
7 4t 3t 4t 3t t
3t 4t
Vậy: Vòi chảy đầy bể phải 28/3 Vòi hai chảy đầy bể phải Bài 14*
Ngời ta đặt vòi nớc chảy vào bể nớc vòi nớc chảy lng chừng bể Khi bể cạn, mở hai vịi sau 42 phút bể đầy nớc Cịn đóng vịi chảy ra, mở vịi chảy vào sau 1giờ 30 phút đầy bể Biết vòi chảy vào mạnh gấp lần vịi chảy
a/ Tính thời gian nớc chảy vào từ lúc bể cạn đến lúc nớc ngang chỗ đặt vòi chảy b/ Nếu chiều cao bể 2m khoảng cách từ chỗ đặt vịi chảy đến đáy bể Giải
a/ Gọi t (giờ) thời gian vòi nớc chảy vào từ bể cạn mức nớc ngang chỗ đặt vòi chảy
Trong vòi chảy vào chảy đợc 1/1,5 = 2/3 bể Trong vòi chảy chảy đợc 2/3 : = 1/3 b
Nếu mở hai vòi lợng nớc chảy vào bể là: 2/3 - 1/3 = 1/3
Nhng t giê đầu có vòi chảy vào làm việc nên lợng nớc chảy vào bể 2t/3 bể
Thời gian hai vòi làm việc 42 phút - t giê = (27/10 - t) giê lỵng níc chảy vào bể (27/10 - t)/3 bể
ta có phơng trình:
27 t
2t 10 20t 27 10t 30
1 t
3 30 30 30 10.
Vậy: thời gian nớc chảy vào từ lúc bể cạn đến lúc nớc ngang chỗ đặt vòi chảy 0,3 b/ Nếu chiều cao bể 2m riêng vịi chảy vào làm việc 1,5 mực nớc cao m
riêng vòi chảy vào làm việc 0,3 mực nớc cao 2.0,3/1,5 = 0,4 m Vậy: khoảng cách từ chỗ đặt vòichảy đến đáy bể 0,4 m
Bµi 15
Mét phßng häp cã mét sè d·y ghÕ, tỉng céng 40 chỗ Do phải xếp 55 chỗ nên ngời ta kê thêm dÃy ghế dÃy xếp thêm chỗ Hỏi lúc đầu có dÃy ghế phòng?
Giải
(43)Lúc sau có x + 1dÃy dÃy có 40/x + ghế ta có phơng trình:
40 2
(x 1)( 1) 55 x 14x 40 x x 10 x
vậy lúc đầu phòng có dÃy, dÃy 10 chỗ có 10 dÃy dÃy chỗ Bài 16
Mt xớ nghip d định điều số xe để chuyển 120 tạ hàng Nếu xe chở thêm tạ so với dự định số xe giảm Tính số xe dự định điều động
Gi¶i
Gọi số xe dự định điều động x ( x nguyên dơng) xe chở 120/x tạ Theo ta có phơng trình:
2
120 120
1 x 4x 480 x 24
x x
Vậy số xe dự định điều động 24 xe Bài 17
Có hai đội công nhân, đội phải sửa 10 km đờng Thời gian đôi làm nhiều đội ngày Trong ngày, đội làm đợc km biết hai đội làm đợc 4,5 km ngày
Gi¶i
Gọi quảng đờng đội làm ngày x (km), (0<x<4,5) quảng đờng đội làm ngày 4,5 - x
Theo ta có phơng tr×nh:
2
10 10
1 x 24, 5x 45 x x 22,5
x 4, x (lo¹i)
Vậy: Trong ngày đội làmđợc km, đội làm đợc 2,5 km Bài 18
Hai máy cày làm việc cánh đồng Nếu hai máy 10 ngày xong công việc Nhng thực tế hai máy làm việc ngày đầu, sau máy thứ cày nơi khác, máy thứ hai làm tiếp ngày xong Hỏi máy làm việc cày xong cánh đồng
Gi¶i
Gọi x số ngày máy cày xong cánh đồng y số ngày máy cày xong c cỏnh ng
Do hai máy cày 10 ngày xong việc nên ta có: 10/x + 10/y = (1)
Nhng thực tế hai máy làm việc ngày đầu, sau máy thứ hai làm tiếp ngày xong nên ta có: 7/x + 7/y + 9/y = (2)
Tõ (1) vµ (2) ta cã: x = 15, y = 30. Bµi 19
(44)Cứ bán nh hết số trứng ngày bán nh Hỏi số trứng có tát bao nhiêu?
Gi¶i
Gi¶ sư sè trứng có tất x ( x > 0)
Ngày thứ bán:
1 150 (x 150)
9 (1)
Ngày thứ hai bán:
1
200 x 200 150 (x 150)
9 (2)
Do số trứng bán ngày nh nên ta có:
1 1
150 (x 150) 200 x 200 150 (x 150)
9 9
x 150 450 x 200 150 (x 150) x 150 250.9 x 2400
Vây: Số trứngcó tất 2400 ngày bán đợc 400 BTVN
Bµi 1
Một ngời xe máy từ A đến B vận tốc 40 km/h Đi đợc 15 phút ngời gặp ơtơ từ B đến với vận tốc 50 km/h Ơtơ đến A nghỉ 15 phút trở B gặp ngời xe máy cách B 20 km Tính quảng đờng AB
Hìng dÉn
Gọi C, D nơi mà ôtô gặp ngời xe máy thứ lần thứ Quảng đờng CD s (km)
ta có quảng đờng AC dài 40.1/4 = 10 (km) thời gian ngời xe máy từ C đến D s/40 Trong thời gian ơtơ từ C đến A nghỉ 15 phút đoạn AD với tổng thời gian (10+10+s)/50 + 1/4
VËy ta có phơng trình:
s 10 10 s 5s 80 4s 50
s 130
40 50 200 200 200
Vậy: Quảng đờng AB dài: 10 + 130 + 20 = 160 Bài 2
Hai vịi nớc chảy vào bể bể sễ đầy 20 phút Ngời ta cho vòi thứ chảy giờ, vòithứ hai chảy hai vịi chảy đợc 4/5 bể Tính thời gian vịi chảy đầy bể
Hìng dÉn
Gọi t1 thời gian vịi chảy đầy bể 1giờ vịi chảy đợc 1/t1 bể Gọi t2 thời gian vòi hai chảy đầy bể 1giờ vịiâhi chảy đợc 1/t2 bể
ta cã: 10/3t1 + 10/3t2 = (1) Mặt khác:
Trong gi vũi chảy đợc 3/t1 bể Trong vòi hai chảy đợc 2/t2 bể
(45)Tõ (1) vµ (2) t1 = giê, t2 = 10 giê. Bµi 3
Trong mét líp häc nÕu bè trí em ngồi ghế thiếu ghÕ NÕu bè trÝ em ngåi mét ghÕ th× thừa ghế Tính sỉ số lớp số ghÕ ®ang cã líp
Hìng dÉn
Gäi sØ sè líp lµ s s/4 + s/3 - s/3 - s/4 = s = 36 sè ghÕ = 10 Bµi 4
Một vờn hình chữ nhật có chu vi 450 m Nếu giảm chiều dài 1/5 chiều dài cũ, tăng chiều rộng thêm 1/4 chiều rộng cũ chu vi hình chữ nhật khơng đổi Tính chiều dài chiều rộng vờng
Bµi 5
(46)Chuyờn 8
Hệ thức lợng tam giác I/ Lý thuyết
1/ Định lý Talét tam gi¸c: DE BC
AD AE DE
AB AC BC
Định lý Talét tỉng qu¸t: AA1 BB1 CC1
1 1 1
AB BC AC
A B B C A C
2/ Tính chất đờng phân giác tam giác:
ABC có AD đờng phân giác
DB AB
DC AC
3/ Tam giác đồng giạng:
ABC A1B1C1
1 A A B B C C hc
1 1 1
AB AC BC
A B A C B C hc
1 1
A A
AB AC
A B A C
NÕu: ABC A1B1C1 mà
1 AB k A B 1 AH k A H vµ
1 1
2 ABC A B C
S
k S
4/ HÖ thøc lợng tam giác vuông: -/ a2 = b2 + c2
-/ c2 = ac,, b2 = ab, -/ h2 = b,c,
-/ ah = bc
-/
2 2
1 1
h b c
II/ Bµi tËp Bµi 1
Cho tam giác ABC, đờng thẳng d// BC cắt AB M, cắt AC N Gọi I, J lần lợt trung điểm MN BC
a/ Chứng minh rằng: A, I, J thẳng hàng
b/ Gọi P, Q, H lần lợt hình chiÕu cđa M, N, A lªn BC, O = MP NQ, R trung điểm AH Chứng minh rằng: J, O, R thẳng hàng
Giải
a/ áp dụng định lý Talét cho tam giác ABC ta có:
MN AN MN / AN IN AN
BC AC BC / AC JC AC
A B D C A B C C1 B1 A1 A C H B c b a c, b, h A B E
B J C
N
I
M
P H Q
O R
S
(47)A, I, J thẳng hàng
b/ Gọi S trung điểm PQ I, O, S thẳng hàng
và O trung điểm IS, AH // IS theo câu a ta có J, O, R thẳng hàng Bài 2
Cho tam giác ABC vuông A, phân giác AD, phân giác AE Cho biÕt AB < AC Chøng minh c¸c hƯ thøc sau:
a/
1
AB AC AD b/
1
AB AC AE
Gi¶i
VÏ DH AB, DK AC DH = DK =
AD
a/ áp dụng định lý Talét cho ABC ta có:
DK CD AD 1
AB CB 2AB AB 2AD
HD CD AD 1
AC CB 2AC AC 2AD
1 2
AB AC 2AD AD.
C¸ch kh¸c: Chó ý: SABC =
2 AB.ADsin(AB;AC)
a/ Ta cã: SABC =
1
2 AB.AC = SABD + SACD = 1
2AB.ADsin450 +
1
2 AC.ADsin450
2
AB.AC = (AB+AC)AD
2
AB.AC 2AD AB AC
AB AC AB.AC AD
1
AB AC AD
b/ Ta cã: SABC =
1
2 AB.AC = SAEC - SABE = 1
2AE.ACsin1350 -
1
2AB.AEsin450 AB.AC =
AE
2 (AC - AB)
AB.AC AE AC AB
AC AB AB.AC AE
AB AC AE.
Bµi 3
Cho tam giác ABC vuông A, đờngcao AH, trung tuyến AM Chứng minh hệ thức sau:
a/
2
MH BM
2
BH AB b/
2
2 2 BC
AB AC 2AM
2
Giải
a/ Do tam giác ABC vuông A nên ta có:
A B
A
C E
(48)
2
AB AB
BH
BC 2BM
2 2
AB 2BM AB
MH MB BH BM
2BM 2BM
2
2 2
2
MH 2BM AB 2BM 2BM AB BM
BH 2BM AB AB AB .
b/ Ta cã: AB2 = AH2 + HB2, AC2 = AH2 + HC2
AB2+ AC2 = 2AH2+ HB2+ HC2 = 2AH2+ (BM - HM)2+ (MC + HM)2 = 2AH2 + BM2+ MC2+2HM2- 2BM.HM + 2MC.HM = 2(AH2+ HM2) + (BC/2)2+ (BC/2)2 = 2AM2 + BC2/2. Bµi 4
Cho tam giác ABC, O trung điểm BC, góc xOy = 600 có cạnh Ox, Oy cắt AB, AC M N
a/ Chøng minh r»ng OB2 = BM.CN
b/ Chứng minh tia MO, NO phân giác cđa gãc BMN vµ CMN
c/ Chứng minh đờng thẳng MN ln tiếp xúc với đờng trịn cố định góc xOy quay quanh O nhng hai cạnh Ox, Oy cắt hai cạnh AB AC tam giác ABC
Gi¶i
a/ Ta cã: B = C = 600
O1 + O2 = 1200; O1 + M1 = 1200
M1= O2 N1 = O1 BOM CNO
BO/CN = BM/CO BO.CO = BM.CN BO2 = BM.CN
b/ Tõ (a) ta cã:
OM BM OM ON OM ON
NO CO BM CO BM OB
Mặt khác: MBO = MON = 600 BOM ONM M1 = M2 OM tia phân giác BMN
c/ Do O giao điểm hai tia phân giác BMN MNC O cách AB, MN v AC
Gọi H hình chiếu O lªn AB OH = OB.sinB =
a a
2 MN lu«n tiÕp xóc víi
đ-ờng trịn cố định có tâm O bán kính
a .
Bµi 5
Cho tam giác ABC, cạnh BC, AB, AC lấy ba điểm O, M, N cho O khác B, C MON = 600.
Chøng minh r»ng: BM.CN BC2/4 Dấu xảy nào? Giải
Ta cã: BOM =1800 - B - BMO = 1200 - BMO Mµ: BOM = 1800 - MON - CON = 1200 - CON
B H M C
A
B C
N
M
O H
A
M
(49)BMO = CON BOM CNO
BM/CO = BO/CN BM.CN = BO.CO
2 2
BO CO BC
2
Bµi 6
Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän Gọi H trực tâm tam giác ABC, K chân đ ờng cao
vẽ từ A ABC Chøng minh r»ng:
2
BC KH.KA
4 .
Giải
Xét AKB CKH cã: AKB = CKH = 900
BAK = HCK (hai góc nhọn cạnh tơng ứng vuông góc)
AKB CKH
KA KC
KB KH
2 2
KB KC BC
KA.KH KB.KC
2
2
BC KH.KA
4
Bài 7
Cho tam giác ABC vuông A Chøng minh r»ng:
ABC AC
tg
2 AB BC
Gi¶i
a/ XÐt ABD cã A = 900
AD ABC AD
tg ABD tg
AB AB
Vẽ đờng phân giác BD ta có:
DA BA DA DC DA DC AC
DC BC BA BC AB BC AB BC
ABC AC
tg
2 AB BC .
Bµi 8
Cho hình thoi ABCD Gọi R1, R2 lần lợt bán kính đờng trịn ngoại tiếp ABD ABC Gọi a độ dài cạnh hình thoi
a/ Chøng minh r»ng:
2 2
1
1
R R a .
b/ TÝnh diƯn tÝch h×nh thoi theo R1 R2 Giải
a/ Gi s trung trc cạnh AB cắt AC O1 cắt BD O2 O1 O2 tâm đờng tròn ngoại tiếp ABD ABC O1A = R1 O2B = R2
B A
C O
D E
A
B C
K H
B C
(50)O1AK ABO
1
O A AK R a
AB AO a 2AO (1)
O2BK ABO
2
O A BK R a
AB BO a 2BO (2)
Tõ (1) vµ (2)
4 2 2 a a
4AO , 4BO
R R
2 4
2 2 2 2
1 2
1 1 1
4 AO BO a 4a a
R R R R R R a
b/ Ta cã: SABCD = 2OA.OB
AOB AKO2
2
2
OA AB AB
OA
AK AO 2R
AOB O1KB
2
1
OB AB AB
OB
KB O B 2R
AB OA.OB 4R R
XÐt AOB ta cã: AB2 = OA2 + OB2
4
2
2 2
2 1
AB AB 1
AB AB
4R 4R 4R 4R
2 2
2 2
2 2
1 2
(R R ) 4R R
1 AB AB
4R R R R
VËy:
4 3
1 2
ABCD
2 2 2
1 2
16R R 8R R
1
OA.OB S
4R R (R R ) (R R )
Bµi 9
Chøng minh r»ng mét tam gi¸c bÊt kú ta cã:
a
b c a b c
m
2
Gi¶i
XÐt ABC cã: AM > AB - BM XÐt ACM cã: AM > AC - MC
Céng tõng vÕ ta cã: 2AM > AB + AC - BC
a
b c a
m
2 .
Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho MA = MD AB = CD
XÐt ACD cã: AD < AC + CD = AC + AB 2AM < AC + AB
a b c m 2 Bµi 10
CMR tứ giác lồi ABCD ta có bất đẳng thức: AB + CD < AC + BD Giải
Gọi O giao điểm hai đờng chéo ta có:
(51)AC + BD = (AO + OC) + (BO + OD) =
= (OA + OB) + (OC + OD) AC + BD > AB + CD BTVN
Bµi 1
Cho tam giác ABC, kẻ đờng cao AH, gọi C1 điểm đối xứng H qua AB, B1 điểm đối xứng H qua AC Gọi giao điểm B1C1 với AC AB I K Chứng minh đờng BI, CK đờng cao tam giác ABC
Bµi 2
Cho tam giác ABC cân A H trung điểm cạnh BC Gọi I hình chiếu vng góc H lên cạnh AC O trung điểm HI Chứng minh hai tam giác BIC AOH đồng dạng với AO vng góc với BI
D
C
(52)Chuyên đề 9
Hệ thức lợng đờng tròn I/ Lý Thuyết
1/ Định nghĩa xác định đờng tròn
*/ ĐN Tập hợp điểm cách điểm O cho trớc khoảng không đổi R > gọi đờng rịn tâm O bán kính R, ký hiệu: (O; R)
*/ Cho (O; R) điểm M §Ỉt d = OM ta cã: d < R M ë bªn (O; R)
d = R M thuéc (O; R) d > R M bên (O; R)
*/ Hỡnh trũn tạp hợp điểm bên đờng trịn điểmcủa đờng trịn
M yhuộc hình tròn (O; R) d R
*/ Cung tròn phần đờng tròn đợc giới hạn hai điểm gọi mút cung - Đoạn thẳng nối hai mút cung gọi dây trơng cung
- Dây qua tâm gọi đờng kính
- Đờng kính dây cung lớn đờng trịn
*/ Quỹ tích điểm M nhìn đoạn AB cho trớc dới góc vng đờng trịn tâm I bán kính AB/2, ký hiệu (I; AB/2)
2/ Vị trí tơng đối đờng thẳng đờng tròn.
Cho đờng tròn (O; R) đờng thẳng , gọi H hình chiếu O lên đờng thẳng ta có: OH > R khơng cắt đờng trịn (O; R)
OH = R cắt đờng tròn (O; R) điểm H, gọi tiếp tuyến, H gọi tiếp điểm OH < R cắt đờng tròn (O; R) điểm
3/ Vị trí tơng đối hai đờng tròn. Cho hai đờng tròn (O; R) (O'; R') OO' > R + R' Hai đờng trịn ngồi OO' = R + R' Hai đờng trịn tiếp xúc ngồi
R - R'< OO' < R + R' Hai đờng tròn cắt
R - R'= OO' Hai đờng tròn tiếp xúc
R - R'> OO' Hai đờng tròn đựng
4/ Tiếp tuyến đờng tròn, dây cung đờng tròn
*/ Qua điểm nằm đờng trịn có tiếp tuyến với đờng trịn đờng thẳng vng góc với đờng thẳng nói tâm với tiếp điểm
*/ Qua điểm nằm ngồi đờng trịn có hai tiếp tuyến với đờng trịn đó, khoảng cách từ điểm tới tiếp điểm
*/ Trong đờng tròn hai dây cung cách tâm
*/ Trong đờng trịn hai dây cung khác nhau, dây lớn gần tâm II/ Bài tập
Bµi 1
(53)và CE lần lợt lấy điểm I, K cho D trung điểm BI, E trung điểm CK a/ Chứng minh bốn điểm A, D, M, E thuộc đờng trịn
b/ Với vị trí M đáy BC điểm B, I, K ,C thuộc đờng trịn Giải
a/ Ta có D E nhìnđoạn AM dới góc vng nên bốn điểm A, D, M, E thuộc đờng tròn đờng kính AM
b/ MD trung trực BI nên MB = MI ME trung trực CK nên MC = MK Để điểm B, I, K ,C cựng thuc mt ng
tròn phải cã MB = MI = MK = MC M trung điểm BC Bài 2
Cho hỡnh vuông ABCD, gọi O giao điểm hai đờng chéo AC BD, M trung điểm đoạ OA, N trung điểm cạnh BC Chứng minh bốn điểm C, M, N, D thuộc đ -ờng trịn DN > MC
Gi¶i
Gäi H trung điểm OC ta có NH OC
NH đờng trung bình OBC NH = 2OB
vµ NH = OM =
2OA (v× OA = OB)
VËy OMD = HNM (v× MH = OD = 2AC
O = H = 900, NH = OM) HMN = ODM DMN = 900 C, M nhìn DN dới một góc vng bốn điểm C, M, N, D thuộc đờng trịn đờng kính DN
DN > MC DN đờng kính cịn MC dây cung đờng tròn qua bốn điểm C, M, N, D
Bµi 3
Cho đờng trịn tâm O đờng kính AB, điểm P di động đờng trịn cho PA < PB Dựng hình vng APQR phía đờng trịn, tia PR cắt đờng tròn C
a/ Chøng minh r»ng cung AC = cung CB
b/ Chứng minh C tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác AQB
c/ Gọi O' tâm đờng tròn nội tiếp tam giác APB Chứng minh O' thuộc đờng tròn qua A, Q, B
Gi¶i
a/ Ta cã: ABC = APC = 450 ( cïng ch¾n cung AC )
ACB vuông C có B = 450ACB cân t¹i C
CA = CB cung AC = cung CB
b/ Ta có: PC đờng trung trực AQ CA = CQ kết hợp với câu (a) CA = CQ = CB C tâm đờng tròn ngoại tiếp AQB
A
B C
M
E K
I D
A
D C
N B
M
H O
A P
R
C
B Q
(54)c/ O' tâm đờng tròn nội tiếp APB O' thuộc đờng phân giác PC, vẽ đờng phân giác BO'
ta có: BO'C = O'BP + O'PB (góc ngồi tổng hai góc khơng kề với nó) mà O'BP = O'BA, O'PB = ABC = 450 BO'C = O'BA + ABC = O'BC O'CB tam giác cân CB = CO' O' thuộc đờng trịn qua A, Q, B
Bµi 4
Cho nửa đờng trịn đờng kính AB Trên nửa mặt phẳng có bờ đờng thẳng AB chứa nửa đờng tròn ngời ta kẻ tiếp tuyến Ax dây AC bất kỳ, tia phân giác góc CAx cắt nửa đờng tròn D Các tia AD BC cắt E
a/ Chøng minh r»ng ABE c©n B
b/ Các dây AC BD cắt t¹i K Chøng minh r»ng EK AB c/ Tia BD cắt tia Ax F Chứng minh tứ giác AKEF hình thoi d/ Cho BAC = 300 Chøng minh r»ng AK = 2KC
Gi¶i
a/ Ta có: ABE cân B từ A1 =A2
cung AD = cung DC B1 = B2
ABE cân E
b/ ABC cú hai đờng cao AC BD cắt K K trực tâm EK AB c/ Ta có:
FK AE, AFK cân A AF = AC FB đờng trung trực AE
AK = KE, EF = FA AKEF hình thoi
d/ BAC = 300ABC = 600ABE K trọng tâm AK = 2KC.
C2: ABC có BK đờng phân giác
KC BC
sin BAC AK 2KC
KA BA
Bµi 5
Từ điểm ngồi đờng tròn (O; R) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC cát tuyến AMN đờng trịn đó, gọi I trung điểm MN
a/ Chứng minh điểm A, B, I, O, C thuộc đờng tròn b/ Nếu AB = OB tứ giác ABOC hình gì? Tính cạnh BC
c/ Tính diện tích hình trịn độ dài đờng trịn ngoại tiếp tứ giác ABOC theo R Giải
a/ ta có: B, I, C nhìn AO dới góc vng điểm A, B, I, O,C thuộc đờng tròn b/ Nếu AB = OB AB = AC = OB = OC tứ giác ABOC hình thoi
Mặt khác: ABO = 900 ABOC hình
vu«ng BC = OB 2=R 2
c/
2
2 2
1 R
S BC R
2 2
;
2
1
C BC R
2 .
Bµi 6
E
F
A B
C K D
1
2
1
A
B
O
N C
I
(55)Cho tam giác ABC vuông A, gọi I trung điểm BC Vẽ hai đờng tròn (O) (O1) qua A cho chúng tiếp xúc BC B C
a/ Chứng minh IA tiếp tuyến chung hai đờng tròn hai đờng tròn tiếp xúc với
b/ CMR: OIO1 = 900 đờng tròn ngoại tiếp OIO1 tiếp xúc với cạnh BC. Giải
a/ IAO = ICO (v× OA = OC, IO chung, IA = IC = BC/2) Do: IA = IC = BC/2 mµ IC lµ tiÕp tun
IA cịng lµ tiÕp tun cđa (O) Tơng tự: IA tiếp tuyến (O1)
IA tiếp tuyến chung hai đờng tròn hai đờng tròn tiếp xúc với
b/ Ta có: OA = OC, IA = IC O thuộc đờng trung trực AC IO AC O1A = O1B, IA = IB O1 thuộc đờng trung trực AB IO1 AB mà BAC = 900OIO1 = 900
Bµi 7
Cho nửa đờng trịn (O) đờng kính CD = 2R Dựng Cx Dy vng góc với CD từ điểm E nửa đờng tròn dựng tiếp tuyến với đờng tròn cắt Cx P cắt Dy Q
a/ Chøng minh r»ng POQ vu«ng, POQ CED, tÝnh tÝch CP.PQ theo R b/ Khi PC = R/2 h·y chøng minh tØ sè diƯn tÝch cđa POQ/CED = 25/16 Gi¶i
a/ Ta có: QE = QD, OE = OD QO đờng trung trực DE QO DE PE = PC, OE = OC PO đờng trung trực CE PO CE mà CED = 900 POQ = 900 POQ vuông
Ta cã: ODE = OED = EQO ECD = OPQ POQ CED
CP.DQ = PE.QE = OE2 = R2.
b/ Khi
2
R R
PC DQ 2R
2 R /
POR QOR 5 PQ5R
2 Do POQ CED tØ sè diÖn tÝch b»ng b×nh
ph-ơng tỉ số đồng dạng
2
POQ CED
S PQ 5R / 25
S CD 2R 16.
Bµi 8
Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) có A = 450, BC = a Vẽ đờng cao BB1 CC1, gọi O1 điểm đối xứng với O qua đờng thẳng B1C1
a/ Chứng minh tứ giác AB1O1C1 nội tiếp đờng tròn b/ Tính B1C1 theo a
A
B I C
O O1
Q
P
C O D
E
y
x
(56)Gi¶i
a/ Ta cã: BOC = 2BAC = 900 BC1C = BOC = BB1C = 900 ®iĨm B, C1, O, B1, C
đờng trịn
C1OB1 = 1800 - C1CB1 = 1800 - 450 = 1350
C1O1B1 = C1OB1 = 135
Tø gi¸c AB1O1C1 cã C1O1B1 + B1AC1 = 1800
Tứ giác AB1O1C1 nội tiếp đờng tròn
b/ ABB1 vuông cân B1 B1A = B1B mà OB = OA OB1 đờng trung trực AB OB1
AB OB1 // CC1 tứ giác CC1OB1 hình thang mà nội tiếp đợc đờng trịn tứ giác CC1OB1 hình thang cõn B1C1 = OC
Xét BOC vuông cân t¹i O BC 2 = OB2 + OC 2 OC =
1 1
a a
B C
2 2 .
Bµi 9
Cho tam giác ABC vng A có đờng cao AH Gọi I, J, K lần lợt tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABC, AHB, AHC
a/ Chøng minh r»ng AI JK
b/ Chứng minh tứ giác BJKC nội tiếp đờng trịn Giải
a/ XÐt AEC, gãc ngoµi AEB = EAC + ACB
Ta cã: BAE = BAH + EAH Mµ EAC = EAH, ACB = BAH AEB = BAE ABE cân B có BJ tia phân giác BJ AE
Tơng tự ta cã: CI AD
XÐt AJK ta cã I trực tâm AI JK
b/ Cộng góc IKJ = CBI CBJ + JKC = 1800 tø gi¸c BJKC néi tiÕp. Bµi 10
Cho đờng trịn (O1; R1) đờng trịn (O2; R2) tiếp xúc ngồi D, từ điểm A thuộc (O1; R1) kẻ tiếp tuyến với (O1; R1) cắt đờng tròn (O2; R2) B C Chứng minh A cách đờng thẳng BD CD
Gi¶i
Giả sử tiếp tuyến D hai đờng tròn cắt AB F
BCD = BDF (cïng ch¾n cung BD) Mặt khác: FA = FD FDA = FAD
BDA = BDF + FDA = BDF + + BAD = BCD + BAD = ADE
DA tia phân giác BDE A cách BD CD
A
B
C B1 C1
O
O1
A
B D H E C
K I J
D
E
C
O2
O1 A
F B
(57)