Phần riêng, nếu học sinh làm không đúng theo chương trình hoặc làm cả hai phần thì không chấm phần riêng đó. Học sinh có thể giải bằng các cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa tươ[r]
(1)ĐỀ SỐ KIỂM TRA HỌC KỲ I Mơn : TỐN - LỚP 12 CƠ BẢN
Thời gian làm : 90 phút Bài 1(3 điểm )
Cho hàm số y = x 3 + 3x 2 - (1 )
1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C ) hàm số (1 )
2/ Dựa vào đồ thị (C ) biện luận theo tham số m số nghiệm phương trình
x 3 + 3x 2 – - m =
3/ Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C ) điểm có hồnh độ Bài (0, điểm ) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số
2 4 3 , x 1 ; 3
y x x Bài ( 1, 75 điểm )
1/ Giải phương trình sau : a/ (251 )
x+1
=25x b/
2
2 32
log x 5log x 2 0
2/ Giải bất phương trình : log (23 x24 ) log (9 )x x Bài ( điểm )
1/ Tính vi phân hàm số sau : a/
3
(3 2)
y x b/ y = ln(3x + 1)
2/ Cho hàm số y e 2x ex 3x Tìm x để y ’ ≥ Bài ( điểm )
Cho hàm số
2
2
x y
x
(2)
1/ Tìm đường tiệm cận đồ thị hàm số cho
2/ Chứng minh với số thực k đường thẳng y =x –k cắt đồ thị hàm số (2 ) hai điểm phân biệt
Bài (2,75 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình chữ nhật , AB = a , AD = 2a , SA (ABCD) SA = 2a
1/ Tính thể tích khối chóp S.ABCD
2/ Chứng minh điểm S , A , B , C , D nằm mặt cầu Xác định tâm tính bán kính mặt cầu
3/ Quay đường gấp khúc BAS quanh cạnh AB ta hình nón Hãy tính diện tích xung quanh hình nón
4/ Tính bán kính mặt cầu có tâm điểm A tiếp xúc với mặt phẳng (SCD)
(2)-ĐÁP ÁN TOÁN LỚP 12 CƠ BẢN HỌC KỲ I
ĐỀ SỐ 5
Bài câu Hướng dẫn giải Điểm
1 3đ
1 2đ
Cho hàm số y = x 3 + 3x 2 - (1 )
1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C ) hàm số (1 ).
Giải : 1)TXĐ : R
2) Sự biến thiên :
a) Chiều biến thiên : y’ = 3x2 + 6x = 3x(x + 2) y’ = <=> x = x = -
b) Hàm số cho đồng biến khoảng
(-∞ ; - ), ( ; + ∞) nghịch biến khoảng ( -2 ; 0)
c) Cực trị
Hàm số đạt cực đại x = - yCĐ = đạt cực tiểu x = , yCT = -4
d ) Giới hạn : x →+∞lim y=+∞ ; x →− ∞lim y=− ∞ Đồ thị hàm số khơng có tiệm cận
e) Bảng biến thiên 3) Đồ thị
x y
-4 -2 O
Nhận xét
0,5 0,25
0,25
0,5
0,5
2 0,5
2/ Dựa vào đồ thị (C ) biện luận theo tham số m số nghiệm phương trình
x 3 + 3x 2 – - m =
Giải
x 3 + 3x2 – - m = 0 <= > x3 + 3x2 - = m
Số nghiệm phương trình cho số giao điểm đường thẳng y = m với đồ thị hàm số y = x3 + 3x2 – 4
(3)m số giao điểm số nghiệm
m > 1
m = 2
- < m < 3
m = -4 2
m < - 1
0,25
3 0,5
3/ Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C ) điểm có hồnh độ
Ta có : hồnh độ tiếp điểm x = ; tung độ tiếp điểm y =
Hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị (C ) điểm ( 1; ) : y’(1) =
Phương trình tiếp tuyến : y = 9(x – 1) + = 9x -
0,25 0,25
2 0,5đ
Bài (0, điểm )
Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số
2 4 3 , x 1 ; 3 y x x Trên đoạn [1 ; ] ta có
y '= −2x+4 2❑
√− x2+4x −3
= − x+2
❑
√− x2+4x −3 y’ = <=> x = thuộc đoạn [1 ; ] y(1) = ; y(3) =
y(2) = Max
[1 ;3]
y=1 ; Min
[1 ;3]
y=0
0,25
0,25
1,75 đ
1 0,5
đ
Giải phương trình sau :
(251 )x + 1=25x⇔5−2x−2=52x⇔−2x −2=2x⇔x=−1
0,5
0,7 b/
2
2 32
log x 5log x 0
ĐK : x >
2 32
log x 5log x 0
⇔log22x −5 log25x −2=0⇔log2
x −log2x −2=0
Đặt t=log2x , phương trình cho trở thành phương trình :
t2 – t - = <=> t = - t = 2 Với t = - ta có log2x=−1⇔x=1
2 Với t = ta có log2x=2⇔x=4
0,25
(4)0,25
2 0,5
2/ Giải bất phương trình :
3
log (2x 4 ) log (9 )x x
<=>
¿
⇔
2x2+4x>9−3x 9−3x>0
⇔
¿2x2+7x −9>0 x<3
¿
⇔
¿x∈(− ∞ ; -9
2;)∪(1 ; +∞) x<3
⇔x∈(1 ; 3)
¿{ ¿ 0,25 0,25 1đ
Bài ( điểm )
1/ Tính vi phân hàm số sau : a/
3
(3 2)
y x
TXĐ : x>2 3
2(3x −2¿ 2−1.
(3x −2)')dx=9
❑
√3x −2 dx dy=¿
0,25
b/ y = ln(3x + 1) TXĐ :
x
Ta có dy=
3x+1dx
0,25
2
2/ Cho hàm số y e 2x ex 3x Tìm x để y ’ ≥
Hàm số cho xác định với số thực x y’ = 2e2x + ex - 3
y’ ≥ <=> 2e2x + ex - ≥0 Đặt t = ex , t > ta có :
2t2 + t - ≥ <=> t ≤ -3/2 t ≥ 1 Kết hợp với điều kiện t > ta có t ≥ Do ex ≥ ,<=> x ≥ 0
0,25
0,25
5 Bài ( điểm ) Cho hàm số
2 x y x
(2) TXĐ : x ≠
(5)Đồ thị hàm số (2) có TCĐ đường thẳng có phương trình
x = TCN đường thẳng có phương trình y = 0,25
2
Phương trình hồnh độ giao điểm đường thẳng y = x – k với đồ thị hàm số
2
x y
x
:
¿
2x −1
x −2 =x −k⇔ 2x −1=(x −2)(x −k)
x ≠2
¿
⇔
x2−(k+4)x+2k+1=0 ( * ) x ≠2
¿ ¿{
¿
Chứng minh phương trình (*) ln có hai nghiệm phân biệt khác với số thực k
Kết luận : Đường thẳng y = x – k cắt đồ thị hàm số cho hai điểm phân biệt với số thực k
0,25
0,25
6
1
Bài ( điểm)
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình chữ nhật , AB = a , AD = 2a ,
SA (ABCD) SA = 2a
a
2a 2a
I
O
D A
B
C S
H
1/ Tính thể tích khối chóp S.ABCD V=1
3.SABCD.SA=
3.a 2a.2a= 4a3
3
0,25
0,5 2/ Chứng minh điểm S , A , B , C , D nằm
trên mặt cầu Xác định tâm tính bán kính mặt cầu
(6)Chứng minh : IS = IA = IB = IC = ID
5 điểm S, A, B, C, D nằm mặt cầu tâm I , bán kính r=SC
2 =
❑√AC2
+SA2=1
❑√5a2
+4a2=3a 0,25
3 3/ Quay đường gấp khúc BAS quanh cạnh AB ta hình nón Hãy tính diện tích xung quanh hình nón
Mặt nón tạo thành có độ dài đường sinh l = SB = a
❑
√5 bán kính đáy r’ = SA = 2a ; chiều cao h = AB = a
Suy : Diện tích xung quanh hình nón cho : Sxq = r’l = .2a.a ❑
√5 = 2a2 ❑
√5 (đvdt)
0,25 0,5
4 4/ Tính bán kính mặt cầu có tâm điểm A tiếp xúc với mặt phẳng (SCD)
Mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (SCD) nên mặt cầu có bán kính khoảng cách từ tâm A đến (SCD)
Trong mặt phẳng (SAD) , kẻ AH SD H
Khi
¿
SH⊥SD SH⊥CD ⇒SH⊥(SCD)
¿{
¿
H hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng (SCD) AH = d(A , (SCD)) , AH = SD2 =a❑√2 ,
Vậy bán kính mặt cầu cần tìm R = a ❑
√2
0,25
(7)Đề 6
ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ I
Mơn TỐN – LỚP 12
Thời gian: 90 phút, kể thời gian giao đề.
A PHẦN CHUNG: (7,0 điểm)
Phần dành cho tất học sinh học chương trình chuẩn chương trình nâng cao.
Câu I: (3,0 điểm)
Cho hàm số y = x - 3x - (1)
1) Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số (1) 2) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo tham số m số nghiệm phương trình:
3
- x + 3x +1+ m = 0.
3) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) tiếp điểm có hồnh độ x0 =
Câu II:(3,0 điểm)
1) Rút gọn biểu thức: A =
2+ 2+ 1+
14
2 2) Giải phương trình sau:
a) -10.3 + = 0x x b) 14
1 log (x - 3) = 1+ log
x
Câu III: (1,0 điểm)
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng C, cạnh SA vng góc với đáy, góc ABC bằng600, BC = a SA = a Tính thể tích khối chóp
B PHẦN RIÊNG: (3,0 điểm)
Học sinh học chương trình làm phần dành riêng cho chương trình đó.
I Dành cho học sinh học chương trình chuẩn: Câu IVa :(3,0 điểm)
1) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số 12
y = log (x +1)
(8)2) Cho hình nón có đỉnh S, mặt đáy hình trịn tâm O, đường kính AB = 2R tam giác SAB vng
a) Tính thể tích khối nón giới hạn hình nón
b) Giả sử M điểm thuộc đường tròn đáy cho BAM =300 Tính diện tích thiết diện hình nón tạo mặt phẳng (SAM)
II Dành cho học sinh học chương trình nâng cao: Câu IVb: (3,0 điểm)
1) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số
3
1 1
2 2
1
y = log x + log x - 3log x +1
3 đoạn
1 ;4
é ù
ê ú
ê ú
ë û.
2) Cho mặt cầu tâm O, bán kính R Xét hình nón nội tiếp mặt cầu có bán kính đáy r Tính diện tích xung quanh hình nón
ĐÁP ÁN & THANG ĐIỂM CHẤM ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ
Câu Ý Nội dung Điểm
I Cho hàm số y = x - 3x - 3
(1) (3.0 điểm)
1 Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số (1) 1.5 điểm
TXĐ: R 0.25
y’ = 3x2 – 3, y'=0 Û x = ±1
y' > 0Û x < - x > 1; y' < 0Û -1 < x < 0.25
HS đồng biến khoảng (- ¥ -; ; 1;) ( +¥ ) nghịch biến khoảng (-1; 1)
yCĐ = y(-1) = 1và yCT = y(1) = -3
0.25 Bảng biến thiên:
x -¥ -1 +¥
y’ + - +
y +¥
-¥ -3
(9)Đồ thị:
+y''=6x, y'' = 0Û x =
Đồ thị có tâm đối xứng điểm (0; -1)
+ Các điểm khác thuộc (C) (- 2; - 3), (2; 1)
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6 -4 -2 O
1
2 -2
-3
-1 0.50
2 Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo tham số m số nghiệm
phương trình:- x + 3x + 1+ m = 03 1.0 điểm
Ta có: - x3+3x+ + =1 m Û x3- 3x - = m(2) 0.25 (2) PT HĐGĐ (C) (d): y = m, (d) song song
trùng với Ox Số nghiệm PT (2) số giao điểm
của (C) (d) 0.25
Dựa vào đồ thị (C) ta có:
- Khi m < -3 m > 1: (d) cắt (C) điểm nên phương trình có nghiệm
- Khi m = -3 m = 1: (d) (C) có hai điểm chung phân biệt nên phương trình có hai nghiệm phân biệt
- Khi -3 < m < 1: (d) cắt (C) điểm phận biệt nên phương trình có nghiệm phân biệt
(đúng ý cho 0.25)
0.50
3 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) tiếp điểm có
hồnh độ x0 = 0.5 điểm
x0 = Þ y0 =
y’ = 3x2 – Þ y’(2) = 9 0.25
PT tiếp tuyến (C) điểm (2; 1) là:
y = 9(x – 2) + hay y = 9x – 17 0.25
(10)1
Rút gọn biểu thức: A =
2+ 2+ 1+
14
2 1.0 điểm
A =
2 7 7 7
14
2 7
+ + +
+ + = + + 0.50
2
2 7
7
7
7 +
+ -+
= = = 0.50
2.a Giải phương trình 9 - 10.3 + = 0x x
1.0 điểm
PTÛ ( ) ( )
2
3x - 10 x+ =9
0.25 Đặt t=3x> ta phương trình theo t: t2 – 10t + = 0
Û t = t = 9 0.25
Với t = ta 3x = Û x =
Với t = ta 3x = Û x = 0.25 Tập nghiệm phương trình là: S ={0; 2} 0.25
2.b
Giải phương trình 41 4
1 log (x - 3) = 1+ log
x 1.0 điểm
Điều kiện:
1
3 0
x x
x
- > Ù > Û > 0.25
Khi đó:
PT Û - log (4 x- 3) log= - 4x Û log4x- log (4 x- 3) = 0.25
Û log4
3 x
x- = Û
x
x- = 0.25
Û x = 4(x - 3) Û 3x = 12 Û x = (thõa mãn điều kiện)
Vậy phương trình có nghiệm x = 0.25
III Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông C,
cạnh SA vng góc với đáy, góc ABC bằng600, BC = a SA = a 3 Tính thể tích khối chóp
(1.0 điểm)
a
a
600
A
C
B S
(11)Ta có: AC = BC.tanB = a.tan600 = a 0.25
Diện tích tam giác ABC:
dt(ΔABC) = CA.CB
2
1
= a 3.a = a
2 0.25
Theo giả thiết SA = a chiều cao hình chóp Vậy thể tích khối chóp là:
1
V = dt(ΔABC).SA
2
1
3
3a a 2a
= =
0.25
IVa (3,0 điểm)
1 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số
1 2
y = log (x + 1)
đoạn [1 ; 3]
1.0 điểm
Đặt t = x +1 ,xỴ [1; 3] Û tỴ [2; 4] Khi hàm số cho trở thành 12
y = log t
0.25
Vì
1 < a = <
2 nên hàm số 12
y = log t
nghịch biến khoảng
(0;+¥ ) 0.25
Giá trị lớn hàm số đoạn [2; 4] 12
log 2=-
Giá trị nhỏ hàm số đoạn [2; 4] 12
log 4=- (đúng ý cho 0.25)
0.50
2 Cho hình nón có đỉnh S, mặt đáy hình trịn tâm O, đường
kính AB = 2R tam giác SAB vng.
2.a Tính thể tích khối nón giới hạn hình nón đó. 1.0 điểm
Ta có SA SB đường sinh hình nón nên SA = SB Theo giả thiết tam giác ASB vng S có SO trung tuyến nên chiều cao hình nón là: h = SO =
1
2AB = R
0.25
Thể tích khối nón V=
1
3dtđáy.SO =
3
1πR πR R =
(12)
30 R H
O S
A B
M
Nếu hình vẽ để phục vụ câu a) cho 0.25
0.50
2.b Giả sử M điểm thuộc đường tròn đáy cho góc BAM=
300 Tính diện tích thiết diện hình nón tạo mp(SAM). 1.0 điểm
Vì M thuộc đường trịn đường kính AB nên tam giác ABM vng M có góc A 300
Þ MA =AB.cosA = 2R.cos300 = R 3. 0.25
Vì tam giác SOM vng O nên OS = OM = R Þ SM = R
Gọi H trung điểm MA, ta có MH =
1
MA = R
2 .
0.25
SH^MA Þ SH = SM - MH =2
2 R
2R - R =
4 0.25
Mp(SAM) cắt hình nón theo thiết diện tam giác SAM cân đỉnh S có SH đường cao.:
2 ΔSAM
1 R R 15
S = SH.AM = 5.R =
2 2
0.25
IVb (3.0 điểm)
1 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số
3 2
1 1 1
2 2 2
1
y = log x + log x - 3log x + 1
3 đoạn
é ù
ê ú
ê ú
ë û
1 ;4
4 1.0 điểm
Đặt t = 12
log x
, ta thấy
;4 [-2; 2]
4
xỴ éê ùúÛ tỴ
ê ú
ë û
Bài tốn trở thành: Tìm GTLN, GTNN hàm số
3
1
y = t + t - 3t +1
3 đoạn [-2; 2].
0.25
2
(13)8 25
( 2)
3
y - =- + + + =
;
1
(1)
3
y = + - +
=-;
8
(2)
3
y = + - + = 0.25
Vậy GTLN hàm số
25
4 , GTNN hàm số
2
- 0.25
2 Cho mặt cầu tâm O, bán kính R Xét hình nón nội
tiếp mặt cầu có bán kính đáy r Tính DTXQ hình nón 2.0 điểm
r R
H O S
M
S'
Hình vẽ phục vụ tốt cho lời giải (có thể với cách giải khác)
0.25
Vì S đỉnh, H tâm hình trịn đáy hình nón nội tiếp mặt cầu tâm O nên H thuộc đường kính SS’ mặt cầu
Đặt SH = h chiều cao hình nón 0.25 Vì M thuộc đường trịn (H) nên tam giác MSS’ vng M
Þ r = MH = SH.S'H = h.(2R - h)2 Û h2 – 2Rh + r2 =
Û h = R + R - r2 h = R - R - r2
0.50
* Nếu SH = h = R + R - r2 độ dài đường sinh hình nón: l = SM = SH + HM = h + r2 2 = 2R + 2R R - r2 2 Diện tích chung quanh hình nón:
S =πrl = πr 2R + 2R R - rxq 2
0.50
* Nếu SH = h = R - R - r2 độ dài đường sinh hình nón: l = SM = SH + HM = h + r2 2 = 2R - 2R R - r2 2 Diện tích chung quanh hình nón:
S =πrl = πr 2R - 2R R - rxq 2
0.50
Nếu học sinh tìm hai kết (có thể với cách trình bày khác) cho nửa số điểm câu này.
(14)Phần riêng, học sinh làm không theo chương trình làm hai phần khơng chấm phần riêng đó.