Đang tải... (xem toàn văn)
[r]
(1)PHƯƠNG TRÌNH MŨ Phương pháp 1: Đưa số:Giải phương trình
1):
2
1 2
4.9 3.2
x x
+ −
=
Hdẫn: (1) ( 3 )2 1 3 2 2
x
x
−
⇔ = ⇔ =
2) 7.3x+1−5x+2 =3x+4 −5x+3
Hdẫn: (2) 3 5 ( )3 1 1 5
x x x
x
+ + +
⇔ = ⇔ = ⇔ = −
3) 5 .8 500
1 =
−
x x x
Hdẫn:
3( 1)
3 3
1
3 3
1
5
(3) 5 2 5 2 5 2 5 (2 )
3 0 3
1
5 ( ) (5.2 ) 1
log 2 5.2 1
2
x x
x x x x x x x
x x x x
x x
x x
x
− −
−
− − −
− − −
⇔ = ⇔ = ⇔ =
− =
=
⇔ = ⇔ = ⇔ ⇔
= −
=
4) [(5 27)4 3]4 437
x x x x
− +
= ĐS: x=10 Phưong pháp 2: Đặt ẩn phụ:
1)
2 2
2x −x −2 + −x x =3.
Hdẫn: Đặt
2
2x −x =t t( >0) Phương trình trở thành:
4 1
4 3
1( ) 2
t x
t
t l x
t
= = −
− = ⇔ ⇒
= − =
2) 32x+5 −36.3x+1+9=0 ĐS: x=-1; x=-2 3)
2
2
3 x + x+ −28.3x +x +9=0 ĐS: x=-2; x=1 4) 9x +6x =2.4x
Hdẫn: Chia vế cho 4x ta phương trình ( )3 ( )3 2 0
2 2
x x
+ − = ĐS: x=0
5) 4x− x2−5 −12.2x− −1 x2−5 + =8 0 Hdẫn: Đặt
2
2
3
2 5 1
2 ( 0) 9
4 5 2
4
x x
x
t x x
t t
t x x x
− −
=
= − − =
= > ⇒ ⇒ ⇔
= =
− − =
6) 4 4 42 1
2
2
+ =
+ + + + +
+
− x x x x x
x
HVQHQT - D - 99 7) ( 7+4 3)sinx +( 7−4 3)sinx = 4 ĐHL - 98
8)
( ) 1
2 12 2
1 2
. 6 2
1 3
= + −
−
− x
x x
x
ĐHY HN - 2000
9) 6.(0,7) 7 100
72
+
= x
x x
(2)10)
1
3 1 3 3
1 +
+
x x
= 12 HVCTQG TPHCM - 2000
11) 9 9 10
2
cos sin
=
+ x
x
ĐHAN - D - 99 12) 4x+1+2x+1=2x+2+12 ĐHTCKT - 99 13)22x2+1−9.2x2+x+22x+2 =0 ĐHTL - 2000 14) (2+ 3)x +(7+4 3)(2− 3)x =4(2+ 3) ĐHNN - 98
15) 5.32x-1-7.3x-1 + 1-6.3x +9x+1 =0 (§Hhång§øc-2001- khèiA)
16) 6.4x -13.6x +6.9x =0
17)12.3x +3.15x -5x+1 = 20 (§HhuÕ -2001- khèiD)
18) 32x-1 =2+3x-1 (ĐHdanlậpĐôngĐô-2001-BD)
19) ( 6- 35) ( 6 35) 12
x x
= +
+ (ĐHDL kỹthuật côngnghệ-2001)
20) 4x -6.2x+1 +32= 0 (ĐHdanlậpvănhiến-2001- khốiD)
21) .3 17 0
3 26
9 + =
− x
x
22) 22x+1−2x+3−64 =0
23) ( 2− 3) (+ 2+ 3) =4
x x
Đặt ( 2 3)
x
− =t (t>0) phương trình trở thành : 1 4 2 3 2 2
2 3
t x
t
x
t t
= − =
+ = ⇔ ⇒
= −
= +
24) (7+4 3)x −3(2− 3)x +2 =0
25) 1
2
2
9 6
4 .
2 x + + x + = x +
26) 2 21 2.26 1
2
+ =
+ − −
+
− x x x
x
27) 16 16 10
2
cos sin
=
+ x
x
28) (7+5 2)x +( 2 −5) 3( +2 2)x +3(1+ 2)x + −1 2 =0 Hdẫn: Đặt
3
2
(1 2) ; 0
( 2 5) 3 1 2 0
( 1)( ( 2 4) 2 1) 0
1 0
3 2 2
1
1 2
x
t t
pt t t t
t t t
t x
t x
x t
= + >
⇔ + − + + − =
⇔ − + − + − =
=
=
⇔ = − ⇒ = −
=
= +
29) 32x+1 =3x+2 + 1 6.3− x +32(x+1) ĐS: log (23 11) 3
x= +
(3)Đặt
Giải phương trình ta Phương pháp 3: lơgarit hố:
1) 5 xx+18x =100 ĐK: x nguyên dương
2
( 1) 2( 1) 2( 1) 2
2
5
(1) 5 .2 5 .2 5 2
log 5.( 2) 2
2
1 log 2( )
x x x x x x x x
x x x
x
x l
+ + + − − −
⇔ = ⇔ =
⇔ − − = −
=
⇔
= − −
2) 2x+3−3x2+2x−6 =3x2+2x−5 −2x Hdẫn:
2 ( 2)( 4)
2
3
(2) 2 2 2 ( 2)( 4) log 3
2
log 2 4
x x x
x x x
x x
− − +
⇔ = ⇔ − = − +
=
⇔
= −
Phương pháp 4: Sử dụng tính đơn điệu hàm số 1) 3x +4x =5x
3 4
(1) ( ) ( ) 1
5 5
x x
⇔ + =
+) Ta thấy x=2 nghiệm pt + Nếu x>2 : VT<1
+) Nếu x<2 : Vt>1 2) 8 (3x x+1)=4 Pt có nghiệm x=1/3
3) ( 3− 2)x +( 3+ 2)x =( 5)x
Hdẫn :
3 2 3 2
(3) ( ) ( ) 1
5 5
3 2 3 2
;0 1; ; 1
5 5
x x
u u v v
− +
⇔ + =
− +
= < < = >
+Nếu x≥0 :ux >0;vx ≥1⇒VT >1
+Nếu x<0 :ux ≥1;vx >0⇒VT >1
Vậy pt vô nghiệm
4) Cho a, b, c số dương, a<c, b<c CMR : phương trình ax+bx=cx có nghiệm Hdẫn : ( )a x ( )b x 1 0
c c
⇔ + − =
(4)0
lim ( ) 1; lim ( ) ! : ( ) 0
x→+∞ f x x→−∞ f x x f x
= − = +∞⇒∃ ∈ = hay pt có nghiệm 5) 2x+1−4x =x−1
Hdẫn : ⇔2 (2x −2 )x =x−1
+x=1 nghiệm +x>1 : VT<0 ; VP>0 +x<1 : VT>0 ; VP<0
6) 2 32 1
x x
= +
Hdẫn : ( 3) ( )1 1
2 2
x x
⇔ + = ĐS : x=2 7) 3.16x−2 +(3x−10)4x−2 + −3 x
Hdẫn :
Đặt 4x−2 =t t( >0). Pt trở thành :
2
4
2 1 1
4 2 log 3
3 (3 10) 3 0 3 3
2
3 4 3
x
x
x t
t x t x
x
t x x
−
−
= = −
=
+ − + − = ⇔ ⇒ ⇔
=
= − = −
8) Giải phương trình: Phương trình tương đương với:
Rõ ràng phương trình có nghiệm Ta có
với ;
Suy hàm liên tục,đồng biến nhận giá trị âm,cả giá trị dương R nên phương trình có nghiệm
Từ bảng biến thiên hàm có khơng q hai nghiệm Vậy phương trình có hai nghiệm :
Chú ý : * Có thể chứng minh phương trình có nghiệm sau : Ta có :
Suy phương trình có nghiệm
9) Giải hệ phương trình:
Hệ phương trình
(5)CÁC BÀI TỐN CĨ CHỨA THAM SỐ
Bài : Tìm m để pt m.2x +2−x − =5 0 có nghiệm Giải :
Đặt t=2x , t>o Pt trở thành : mt 1 5 0 f t( ) mt2 5t 1 0 t
+ − = ⇔ = − + =
+Nếu m=0 : t=1/5 (t.m) + Nếu m≠0 :
Pt cho có nghiệm pt (2) có nghiệm dương Xét TH :
1
1
1
0
0 0
0 25
0 0 4
0 m
t t m
t t m
m
t t m
< < <
<
= < ⇔ ∃ ⇔
=
< = ≠
∆ =
Bài : Cho pt : m.16x +2.81x =5.36x a) Giải pt m=3
b) Tìm m để pt có nghiệm Hdẫn : Đặt ( ) ;9 0
4
x
t = t> Pt trở thành 2t2 −5t+m=0.(2) a) x=0 ; x=1/2
b) (2)⇔m= −2t2 +5t
Pt cho có nghiệm pt (2) có nghiệm dương Khảo sát hàm số y=-2t2+5t (0 :+∞) ta 25; 0
8
m= m≤
Bài : Tìm a để pt sau có nghiệm :
( 5 1+ )x +a( 5 1− )x =2x Hdẫn :
5 1 5 1
1
2 2
x x
+ −
⇔ + =
Đặt t= 5 1 2
x
+
(t>0) ph
ương trình trở thành : t a 1 t2 t a 0 t
+ = ⇔ − + =
ĐS : 0 1 4 a≤ ∨a=
Bài : Biện luận theo a, số nghiệm phương trình 7 3 5 7 3 5 8
2 2
x x
a
+ −
+ =
Đặt t= 7 3 5 2
x
+
(t>0), ph
ương trình trở thành t a 8 t2 8t a 0 a t2 8t t
+ = ⇔ − + = ⇔ = − +
(6)+a=16 a≤0 : pt có nghiệm +0<a<16 : pt có nghiệm phân biệt
Bài 5: Tìm m để phương trình sau có nghiệm
2
sin os 81 x +81c x =m Hdẫn:
Đặt t =81sin2x ⇒t∈[1;81] Phương trình trở thành: t 81 m t
+ =
Khảo sát hàm số ta kết 18≤m≤82 Bài 6: Cho phương trình
2
4 2
3 − x −2.3 −x +2m− =3 0 a) Giải phương trình m=0
b) Xác định m để phương trình có nghiệm Giải: Đặt ( ]
2
2
3 −x =t⇒t∈ 0;9 a) x=±1
b) Khảo sát hàm số ( ]
3
( ) ; 0;9
2 2
t
f t = − + +t t∈ -30≤m≤2
Bài 7: Tìm a để phương trình sau có nghiệm 91+ 1−t2 −(a+2).31+ 1−t2 +2a+ =1 0 Hdẫn: Đặt t= [ ]
2
1
3+ −t ⇒t∈ 3;9 Khảo sát hs 4 64 7
a
≤ ≤
Bài 8: Cho phương trình ( ) ( )
2 1
2 1 x 2 1 x m 0
−
+ + − + = Tìm m để phương trình có nghiệm
Hdẫn: Đặt( ) [ )
2
2 1+ x =t⇒t∈ 1;+∞ Phương trình trở thành: m t 2 1 t
+ − = +
Khảo sát hàm số f t( ) t 2 1;t [1; )
t
+
= + ∈ +∞ −m≥2 2 1+ ⇒m≤ −2 2 1+
Bài 9: Cho phương trình
2
2 2 2
5x + mx+ −5 x + mx+ +m =x +2mx+m Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc (0;2)
Hdẫn: Đặt
2
2
2 2
2
2 4 2
u x mx
v u x mx m
v x mx m
= + +
⇒ − = + +
= + + +
Phương trình trở thành 5u −5v = −v u⇔5u +u=5v +v⇔ f u( )= f v( ) với f(t)=5t+t Ta có f(t) HSĐB R nên pt tương đương u=v⇔ g x( )=x2 +2mx+m=0(*)
Pt cho có nghiệm thuộc (0 ;2) pt (*) có nghiệm thuộc (0 ;2) Khảo sát hàm số ta kết không tồn m tho
(7)Bài tập tổng hợp phơng trình mũ
Bài 1: Giải phơng trình:
a)
8
8
2x3− = x− b) 2 3 5
5x+ x+ + x+ = x+ x+ + x+
c) ( )
2 2 2 + − = +
− x − x x
x x d) ( ) cos
1 cos
2
2 x x x x
x x + = + +
e) 2
3
2x+ x+ = x− x+
Bµi 2: Giải phong trình:
a) (3 5) (x + 3+ 5)x −7.2x =0 b) x x x
27 18 + =
c) 20
3 = − + + x x
x d) 1
2 12 2
23x − x− 3.(x−1) + x =
e) 53x+9.5x+27.(125−x +5−x)=64
Bµi 3: Giải phơng trình:
a) x x x
9
3
4 − +1 = − b)5.32x−1 −7.3x−1 + 1−6.3x +9x+1 =0
d) lg lg5
50
5 x = −x f) 2 2 2
4 x − x = x+ + x+
Bài 4: Giải phơng trình: a) 2log22 2.log2 48
=
+ x
x
x b) log22 log26
9
2 x x
x
− =
d) 4.3 9.2 5.62
x x
x
=
− e) ( )( ) ( )
3 3
2
2 − = − +
+ x− x − x−
Bài 5: Giải phơng trình:
a) 32 (2 9).3 9.2
= + +
− x x x
x b) ( ) ( )
0 = − + −
− x x
x x
c) 9x +2.(x−2).3x+2x−5=0 d) ( )
0 10 25
3 2
= − + − + x x x x
Bài 6: Giải phơng trình:
a) 4x23x+2 +4x2+6x+5 =42.x2+3x+7 +1 b) 4x2+x +21−x2 =2(x+1)2 +1
c) x x x
6 24 3
8 + = + d) 12.3x +3.15x −5x+1 =20
e) x x x
6
2 + = + Bài 7: Giải phơng trình:
a) x+xlog23 = xlog27 −2 b) 2 1 32
x x
+ =
c) 32x +22x +2x =3x+1+2x+1 +x+1 d) x+xlog23 = xlog25
Bài 8: Giải phơng trình:
a) 3x2 =cos2x b) x ( ) x
x
x 1.2
4 = − + +
c) ( 7+ 5) (x + 3+ 2)x =2.( )5 x d) x ( ) x
x +
+
=
cos 2
e) x x
6
9 + =
Bài 9: Giải phơng trình:
a) 1 ( )2
1
4x− − x2− = x− b)
x x x x x 2
2 2
2 1 − = − − −