Bai toan cuc tri ve dong dien xoay chieu

Nhận thấy trong số bài toán ñiện xoay chiều, có không ít những bài tìm cực trị của công suất tiêu thụ trên mạch, tìm số chỉ lớn nhất của volt kế mắc giữa hai ñầu tụ ñiện v.v… Nay thử ñư[r]

THỬ VẬN DỤNG HẰNG-BẤT ðẲNG THỨC CAUCHY, CÔNG CỤ ðẠO HÀM, HOẶC LƯỢNG GIÁC HỌC ðỂ GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ VỀ ðIỆN XOAY CHIỀU

A ðẶT VẤN ðỀ

Nhận thấy số toán điện xoay chiều, có khơng tìm cực trị cơng suất tiêu thụ mạch, tìm số lớn volt kế mắc hai ñầu tụ điện v.v… Nay thử đưa loại nói đồng thời dùng cơng cụ tốn học như: hằng-bất đẳng thức Cauchy, đạo hàm lượng giác học ñể làm rõ việc khảo sát hàm cơng suất, hàm hiệu điện hiệu dụng hai ñầu cuộn cảm, tụ ñiện… mạch xoay chiều nối tiếp

B VÀI ðIỀU CẦN NẮM

⇒

R r, L C R r L C

I Khảo sát hàm công suất tiêu thụ: P = f(R + r,L, C, ω)

Trong mạch xoay chiều gồm phần tử nối tiếp: ñiện trở thuần, cuộn cảm, tụ điện cơng suất tiêu thụ mạch hàm nhiều biến Tạm phân trường hợp sau:

1.L, C, ω khơng đổi → P = f(R + r)

Hàm công suất lúc theo biến (R + r) Có:

2 2

2

2

2 2

L

( ) onst

( ) ( )

( ) (Z )

( ) ( )

( ) (R+r)+

( ) ( )

L C C

L C

U R r U U c

P R r I R r

Z Z Z

Z R r Z Z

R r

R r R r

+

= + = + = = =

− −

+ + − + +

+ +

Áp dụng hằng-bất ñẳng thức Cauchy cho số không âm: R + r

2

(ZL ZC)

R r

− + Có:

2

min

( ) ( )

2

L C L C

L C L C

Z Z Z Z

R r Z Z R r Z Z

R r R r

 

− −

+ + ≥ − ⇒ + +  = −

+  + 

Mặt khác, ñẳng thức Cauchy xảy khi:

2

( L C)

L C

Z Z

R r R r Z Z

R r

−

+ = ⇒ + = −

+ Vậy:

2 2

ax 2

min

2 2( )

( )

m

L C L C

U U U

P

Z Z R r

Z Z

R r

R r

= = =

− +

 − 

+ +

 + 

 

Tóm lại:

2 ax

2( )

m L C

U

P R r Z Z

R r

= ⇔ + = −

+

O

R + r P

Pmax

L C

Z −Z

2.(R + r) khơng đổi → P = f(L, C, ω)

Hàm công suất lúc phụ thuộc vào ba biến L, C, ω Có: P = (R + r)I2

Muốn Pmax → Imax → Mạch cộng hưởng (φ = 0)

Trong trường hợp này, ba biến nói liên hệ qua ñiều kiện cộng hưởng: LCω2 = Khi ñó:

2

ax ( )( )2

m

U U

P R r

R r R r

= + =

+ +

Tóm lại:

2

ax

m

U

P LC

R r ω

= ⇔ =

+ Khảo sát hàm công suất theo biến sau:

a) C, ω không ñổi → P = f(L)

R r

L C

2

2

( ) ( ) C

R r U R r Z

+

+ +

L O

P

P = f(L)

U R+r

2

1

Cω

b) L, ω khơng đổi → P = f(C)

R r

L C

P

C O

P = f(C)

U R+r

2

1 Lω

2

( ) ( ) L

R r U R r Z

+

+ +

O P

ω

1 LC

( ) P= f ω

2

U R+r

♣ Chú ý:

Ở mục I 1/ Hàm P = f(R + r) ñã khảo sát để tìm giá trị Pmax lúc mạch khơng phải cộng hưởng, tức ñộ lệch pha u, i φ ≠ Hãy xác ñịnh φ trạng thái này:

Có:

4

L C L C

L C

Z Z Z Z

tg

R r Z Z

π ϕ= − = − = ± ⇒ = ±ϕ

+ −

Vậy: π

ϕ = ZL > ZC (mạch mang tính cảm kháng)

π

ϕ = − ZL < ZC (mạch mang tính dung kháng)

II Khảo sát hàm hiệu ñiện hiệu dụng: UR + r = f(R + r), UL = f(L), UC = f(C)

1 UR + r = f(R + r)

R r

L C

V

R r

U +

Có:

2 2

L

2

( ) onst

( ) ( )

( ) ( ) ( ) (Z )

1 1+

( ) ( )

R r

L C L C C

U R r U U c

U R r I R r

Z R r Z Z Z Z Z

R r R r

+

+

= + = + = = =

+ + − + − −

+ +

Thấy: ax ax

2

( ) ( )

( ) ( )

R r m L C R r m

L C

U Z Z U U

Z R r Z Z R r

+ ⇔ − = ⇒ + =

⇒ = + + − = +

Tóm lại:

ax

(UR r m+ ) =U ⇔ + =R r Z

2 ( )

L

Z L

U = f Z

R r

L C

V

L

Thử chọn cách dùng công cụ ñạo hàm ñể tìm cực trị trường hợp Có:

2

( ) ( )

L

L

Z L L

L C

Z U

U Z I Z U

Z R r Z Z

= = =

+ + −

Lấy ñạo hàm bậc theo biến ZL:

2

2

2

2

2 2

.1

( ) ( ) 2( )

2 ( ) ( )

( ) '

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

L

L

L C L C

L C Z

L C

L C L L C

L C L C

Z

R r Z Z Z Z

R r Z Z

U U

R r Z Z

R r Z Z Z Z Z

U

R r Z Z R r Z Z

 + + − − − 

 + + − 

 

=  

+ + −

 

 

 

 + + − − − 

 

=

 + + −  + + − 

 

Cho

2

2

2

( ) ' ( ) ( ) ( )

( )

( )

L

Z L C L L C

L C

C

U R r Z Z Z Z Z

R r

Z Z L C R r

Z Cω

= ⇒ + + − − − =

+

⇔ = + ⇒ = + +

Thấy nhị thức theo ZL ( )2

C L C

Z Z R r Z

− + + + chuyển dấu từ + sang – Nên

2 ax

( ) ( )

L

Z m L C

C

R r

U Z Z

Z

+

⇔ = +

Thay trị ZL vào hàm ta ñược giá trị cực ñại hàm:

2

ax

( ) ( )

L

Z m C

U

U R r Z

R r

= + +

+ Tóm lại:

2

2

ax

( )

( ) ( )

L

Z m C L C

C

U R r

U R r Z Z Z

R r Z

+

= + + ⇔ = +

+ hay

2

1 ( )

L C R r

Cω

= + +

( )

C

Z C

U = f Z

R r

L C

V

C

U

Thử dùng giản ñồ Fresnel (phương pháp vector quay) thơng qua lượng giác học để khảo sát cực trị:

∆

L

U

C

U

U

R r L

U + +U

I

R r

U +

L C

U +U

O

α

Giả sử UL > UC R r L C

U =U + +U +U

Xét tam giác có chứa hai góc α β, dựa vào ñịnh luật hàm sin: sin

sin sin sin

C

C

U

U U

U α

β = α ⇒ = β Có:

2 2

sin onst

( ) R r

R r L L

U R r

c

U U R r Z

β +

+

+

= = =

+ + +

Vậy: ( ) ax (sin ) ax

2

C m m

U ⇔ α = ⇒ =α π

2

ax

(UC m) U (R r) ZL

R r

⇒ = + +

+

Mặt khác, hệ thức lượng tam giác trên:

2 2 2 2 os

C L R r L R r

U =U +U +U + − U U +U + c α (cosα = 0) Do đó:

2 2

2 2 2

2

2

( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

C L

C L C L

C L

L

Z Z Z R r

Z R r Z Z Z R r

R r L

Z Z C

Z R r Lω

= + + +

= + + − + + +

+

⇒ = + ⇒ =

+ + Tóm lại:

2

2

ax

( )

( ) ( )

C

Z m L C L

L

U R r

U R r Z Z Z

R r Z

+

= + + ⇔ = +

+ hay ( )2 ( )2

L C

R r Lω =

+ +

♣ Chú ý:

Nếu cuộn cảm cảm xem r = biểu thức có ảnh hưởng đến r toàn viết

C PHẦN TRƯNG DẪN

Trong phần này, chúng tơi đưa vài tốn xoay chiều có liên quan đến vấn ñề nêu trên, tức giải tốn điện cực trị Xin vào mục B ñã dẫn giải cách tóm lược

I Bài tốn 1:

Mạch điện gồm biến trở R, cuộn cảm có độ tự cảm L =

π (H) tụ điện có điện dung C =

3

1 10 4π

−

(F) mắc nối tiếp ñưa vào nguồn xoay chiều u=120 sin100πt (V) a) ðịnh giá trị R ñể công suất tiêu thụ mạch lớn

b) Tính giá trị lớn cơng suất c) Vẽ dạng đồ thị hàm cơng suất theo R Giải:

a) Có: ZL Lω 1100π 100 π

= = = (Ω)

31 40 10

100 C

Z

Cω π

π

−

= = = (Ω)

ax 60

m L C

P ⇔ + =R r Z −Z = (Ω) Vậy: R = 60 (Ω)

b) Có:

2

ax

120 120 2( ) 2.60 m

U P

R r

= = =

+ (W)

II Bài toán 2:

a) ðịnh giá trị L để cơng suất tiêu thụ mạch lớn b) Tính giá trị lớn cơng suất

c) Vẽ dạng đồ thị hàm cơng suất theo L Giải:

a) Có: C 0, 318.10 1104 π

− −

= = (F)

200 100 2

2

U

U = = = (V) ðể Pmax → Mạch phải cộng hưởng:

2

4

2

1 1

1

10

(100 )

LC L

C

ω

ω π π

π

−

= ⇒ = = = (H)

b)

2

ax

(100 2) 200 100

m

U P

R r

= = =

+ (W)

III Bài tốn 3: Cho mạch hình:

R L C

V

C

U

u i

R = 100 (Ω), L =

π (H), u=120 sin100πt (V) khơng đổi suốt tốn Tụ điện có điện dung thay ñổi ñược từ ñến ∞

Hãy cho biết số lớn volt kế giá trị ñiện dung tương ứng Giải:

Trong này, ta khảo sát hàm UC = f(C)

100 100 L

Z Lω π

π

= = = (Ω)

Có: ( ) ax ( )2 120 1002 (100 3)2 240 100

C m L

U

U R r Z

R+r + + = + = (V)

Lúc đó:

2 2 2

3

3

10 ( ) ( ) 100 (100 3) 4.100

L C

R r L

π

ω π π

−

= = = =

+ + + (F)

D TỔNG LUẬN

Trong chuyên ựề ỘThử vận dụng hằng-bất ựẳng thức Cauchy, công cụ ựạo hàm lượng giác học ựể giải toán cực trị ựiện xoay chiềuỢ, làm công việc xếp, phân ựịnh, thống kê lại cho có hệ thống, ựể ựộc giả nhìn vào có kiến thức ựiện xoay chiều qua vấn ựề cực trị tương ựối dễ dàng Hệ kiến thức ựã tập hợp ựây, vận dụng vào tốn cụ thể, ựộc giả khơng thiết phải theo phương pháp cố ựịnh, ngược lại ựây sở ựể người ựọc dựa vào ựó mà giải tuỳ theo sáng tạo người chắnh mục tiêu ý nguyện khởi viết chuyên ựề