ung dung BDT Schwarz

S ách giáo khoa Toán ỏự Toán ịự NXắ Giáo d ụ cự ổợợỏọ. pdf Machine.[r]

ỨNG DỤNG BẤT ÐẲNG THỨC SCHWARZ ÐỂ GIẢI TỐN

Bài tốn xuất phát. Cho hai số aự b hai số xự y hai số

dýõngọ ẫhứng minh rằngủ

 

y x

b a y b x a

   

2

2

(1)

Chứng minh. Bất ðẳng thức cần chứng minh týõng ðýõng vớiủ

 

 

0

) ( ) (

2

2 2

2

2

2

  

 

 

   



bx ay

x b abxy y

a

xy b a y x x b y x y a

Bất đẳng thức cuối hiển nhiên đúngọ ẻấu ỔỉỖ xảy

y b x a bx

ay  

Sử dụng bất ðẳng thức ể1) hai lần ta cóủ

   

z y x

c b a z c y x

b a z c y b x a

 

        

2

2

2

(2) với ế số aự bự c ế số dýõng xự yự zọ

Dấu xảy

z c y b x a

 

Týõng tự nhý trên, phýõng pháp quy nạp toán họcự ta thu ðýợc

một bất ðẳng thức tổng quát hõn – bất ðẳng thức Schwarz nhý sauủ

Với n số a1, a2, …ự an n số dýõng x1, x2, …ự xn ta cóủ

 

n n n

n

x x

x

a a

a x a x

a x a

  

      

2

2

1

2 2

1 (*)

Ðẳng thức xảy

n n x a x

a x a

  

2 1

Sau ðâyự ta sử dụng bất ðẳng thức (*) ðể giải số toán

chứng minh bất ðẳng thức khácọ

Bài toán

Cho hai số aự b bất kìọ ẫhứng minh  

8

4

4 a b b

a   

Lời giải. Áp dụng bất ðẳng thức ểửả ta cóủ

 

2

1

2 2 4

4 a b a b b

Tiếp tụcủ

     

4

2

1

4

2 2

2 2

2 a b a b a b a b b

a         

Vậy ta có ðiều phải chứng minhọ

Ðẳng thức xảy a ỉ bọ

Bình luận Rõ ràng ðây lời giải thật gọn gàngự “trong sáng”ọ Cái

khéo léo ta sử dụng phép biến đổi

1 ;

1

4 4

4 b

b a

a   ðể biểu thức vế

trái có dạng phân sốọ

Bài toán

Chứng minh a b c

a c c b b a

    

2 2

với aự bự c số thực dýõngọ

Lời giải. Áp dụng bất ðẳng thức ểửả ta cóủ

  a b c

a c b

c b a a c c b b a

    

    

2

2

Ðẳng thức xảy a ỉ b ỉ cọ

Bài toán

Cho hai số dýõng xự y thỏa mãn x ụ y ỉ ờọ Tìm giá trị nhỏ biểu

thức

A =

y x

3



Lời giải. Áp dụng bất ðẳng thức ểửả ta cóủ

     

6 3

2 2 

 

  



y x y

x A

Ðẳng thức xảy khiủ

      

      

 

    



3

3

3

2

6

y x y

x

y x

Vậy giá trị nhỏ ĩ

6 5

ðạt ðýợc

3

3 ;

3

2

  

 y

x

Bình luận. Bắ gìữ Trả lờiủ Ta sử dụng phép biến đổi

 2 2;3  3

2  để làm cho tử số có dạng bình phýõngự từ áp dụng

ðýợc ểửảọ Yếu tố tử số có dạng bình phýõng quan trọng áp dụng bất

ðẳng thức Schwarz

Bài toán

Cho x, y, z số dýõng thỏa mãn 1 1 4 z y x

Chứng minh

1 2

1

1

       

 y z x y z x y z x

(Ðề thi tuyển sinh ÐH, CÐ khối A nãm 2005) Lời giải.

Áp dụng bất ðẳng thức ểửả ta cóủ

z x y x z x y x z x y x z y x

1 1 1

1 4

16

        

  

         

z y y x z y y x z y y x z y x

1 1 1

1 4

16

        

  

         

z y z x z y z x z y z x z y x

1 1 1

1 4

16

        

  

         

Cộng vế bất ðẳng thức ta ðýợcủ

1 16

4 1

16    

  

  

 

 VT

z y x VT

Ðẳng thức xảy x ỉ y ỉ z ỉ

4

Bình luận Một toán thi tuyển sinh đại học trở nên đõn giản với

kiến thức bậc THẫSố

Bài toán

Cho a, b, c số dýõngọ Chứng minh rằngủ

b a c a c b c b a a c c b b

a  

          



1

1

1

1

1

1

Ðẳng thức xảy nàoữ

      b a c b a c c b a a c c b a a c a c b a c b b a c c b b a c c b c b a c b a a c b b a a c b b a                                                 2 ) ( 1 2 ) ( 1 2 ) ( 1 2

Cộng vế bất ðẳng thức ta có ðiều phải chứng minhọ

Ðẳng thức xảy

                    c b a c b a a c b a c c b a c b b a 3

Bình luận. Sự sáng tạo lời giải ta cộng vào vế trái

lýợng phù hợpự từ làm cho toán trở nên đõn giản hõn nhiều

Bài toán

Chứng minh aự bự c số thực dýõng thỏa mãn abc = ab + bc

+ ca thìủ

16 3 3        

 b c a b c a b c a

Lời giải. Từ abc ỉ ab ụ bc ụ ca suy 1111 c b a

Ðặt x ỉ

a

1 , y =

b

1 , z =

c

1

x ụ y ụ z ỉ ộọ Áp dụng bất ðẳng thức (*), ta cóủ

a + 2b + 3c =

  z y x z z z y y x z z z y y x z y

x

36 1 1 1 1 1 1 2                       Suy 36 3

1 x y z

c b a     

Týõng tựự ta cóủ

36 3

2

1 x y z

c b a      36 3

1 x y z

c b a     

Cộng theo vế ba bất ðẳng thức ta ðýợcủ

Bình luận. Quan sát bất đẳng thức choự ta thấy khơng có dấu ỔỖ mà

thay vào dấu ỔặỖọ Điều chứng tỏ biểu thức vế trái có giá trị lớn

nhất số nhỏ hõn

16

Vậy sốđó số nàoữ Ta thấy vai trị aự bự c

nhý nên ta thay a ỉ b ỉ c ỉ ế vào vế trái ðýợc số

6

Vậy tốn có

thể làủ

“Chứng minh aự bự c số thực dýõng thỏa mãn abc ỉ ab ụ

bc + ca thìủ

6

1

2

2

       

 b c a b c a b c

a ”

Thực tế qua chứng minh cho ta thấy điều dự đoán chắnh xácọ Số

16

ở vế phải thực cách “tung hỏa mù” ngýời ðề mà thơiố

Bài tốn

Tìm giá trị nhỏ biểu thứcủ

3

6

3

3

b a

c a

c b c

b a B

     

trong aự bự c số thực dýõng thỏa mãn điều kiện a ụ b ụ c ỉ ộọ

Lời giải. Áp dụng bất ðẳng thức (*) ta cóủ

   

2 )

(

3 3 3

2 3 3 3 3

2 3 3

3

3

3

c b a c b a

c b a b a a c c b

c b a b

a c a

c b c

b a

B   

 

       

  

     

Lại áp dụng bất ðẳng thức ẫauchy-Schwarz (bất ðẳng thức ắunhiacovskiả

ta cóủ

     2 2  3 2 3 2 32  2 22

3 3

3 3

3

) )(

(

1) c b a (do ) )(

(

c b a c

b a

c b

a c

b a c b a

c b a c b a c b a

      

 

 

   



  

   



   

 

   

Lại cóủ

   

a-b b-c c-a

2 2 2

2

2

2 2 2

2

 

 

         

b c a b c a b c ab bc ca a

Vậyủ  

3

2

2

    

b c a b c a

Do ta cóủ

9

3 3

Tóm lạiủ

18

 B

Vậy giá trị nhỏ ắ

18

, ðạt ðýợc a ỉ b ỉ c ỉ

3

Bài toán

Cho a, b, c ế số dýõng thỏa mãn abc ỉ ộọ ẫhứng minh rằngủ

2 ) (

1 )

( )

(

3

3 

 

 

c b c a c a b b

a

Ðẳng thức xảy nàoữ

Lời giải. Biến ðổi vế trái bất ðẳng thức áp dụng bất ðẳng thức

(*) ta cóủ

   

 

  

   

 

 

   

 

  

             

 



c b a c

b a

c b a

a b

c c a

b b c

a cb ca

c ba bc

b ac ab

a b

a c a c b c b a

1 1 1 1

1 1

1

1 1

1 1

1

1

) (

1 )

( )

(

2

2

2

2

3

3

Theo bất ðẳng thức ĩM – GM (bất ðẳng thức ẫauchyả ta cóủ

1 1

3  

 

abc c

b a

Từ ta có bất đẳng thức cần chứng minh

Ðẳng thức xảy a ỉ b = c =

Bình luận. Một lần ta thấy vai trị yếu tố“tử số có dạng bình

phýõngỢự nhiên lời giải đýợc triển khai cách hoàn toàn

khácọ

Bài toán

Chứng minh rằngủ

4 4 6

1 1

2

z y x x z

z z

y y y

x x

       

với xự yự z số dýõngọ Ðẳng thức xảy nàoữ

Lời giải. Áp dụng bất ðẳng thức (*) ta cóủ

 

4 6

2

6 4

4

1

1

y x

x y

x x y x x y

x 

     

 (do x12 4x x)

Týõng tự ta cóủ

4 4

4

1

z y

y z

y 



 ; 14 14 64 4

x z

z x

z 

 

Cộng theo vế bất ðẳng thức ta ðýợc bất ðẳng thức cần chứng

minh

Ðẳng thức xảy x ỉ y ỉ z ỉ ộọ

Bài toán 10

Tìm giá trị nhỏ biểu thức

A =

     22

8

2

8

2

8

a c

c c

b b b

a a

    

trong aự bự c số thực dýõng thỏa mãn điều kiện ab ụ bc ụ ca ỉ ộọ

Lời giải. Áp dụng bất ðẳng thức (*) ta cóủ

 

     

 

 4 2 2 2

2 4

2 2 2 2

2 4

2a b c a b b c c a

c b a a

c c

b b

a

c b a A

 

  

  

    

  

Bây ta chứng minh bất ðẳng thức abbccaa2 b2 c2 (3)

Thật ta cóủ

     

0 2 2 2

2

2

2 2

2

      

           

a c c b b a

ca bc ab c

b a c

b a ca bc ab

Bất đẳng thức cuối hiển nhiên đúngọ Vậy bất đẳng thức ể3) đúngọ Đẳng

thức xảy a ỉ b ỉ cọ

Do ta cóủ a2b2 b2c2 c2a2 a4 b4 c4

Từ đóủ

4

4 4

c b a

A  

Lại cóủ    

3

1 1

1

2

2 2 4 4 4

 

  

       

b c a b c a b c ab bc ca a

Suy ra:

12

 A

Tóm lạiủ Giá trị nhỏ ĩ

12

a = b = c =

Bình luận. Nhiều kĩ thuật đýợc sử dụng lời giải nàyự có

kĩ thuật đýợc sử dụng toán ộ viết

1 ;

1 ;

1

4 4 4

4 c

c b b a

Bài toán 11 (Bất ðẳng thức Nesbitt)

Cho ba số dýõng aự bự cọ ẫhứng minh rằngủ

2

    

 a b

c a c

b c b

a

Lời giải

 

) (

2

2

2

ca bc ab

c b a bc

ac c ba bc

b ac ab

a b a

c a c

b c b

a

 

             

Do ta cần chứng minh đýợcủ abc2 3(abbcca) Thật vậyự ta cóủ

 

     

0 2 2 2

0 )

(

2

2

2 2

2 2

      

      

       

   

a c c b b a

ca bc ab c

b a

ca bc ab c b a ca bc ab c

b a

Bất đẳng thức cuối hiển nhiên đúngọ Vậy ta có điều phải chứng

minh

Ðẳng thức xảy a ỉ b ỉ cọ

Bình luận Trong tốn nàyự ta thấy tử số chýa có dạng bình phýõngọ

Lúc ðầu ta nghĩ ðến hýớng biến ðổi  

2 a

a nhiên triển khai theo

hýớng gặp bế tắcọ ẫho nên kĩ thuật khác đýợc sử dụng Ộ

nhân tử mẫu với tử số”ðể làm xuất bình phýõng tử sốọ

Trên ðây ộ1 toán minh họa cho ứng dụng bất ðẳng thức

Schwarz

Sau ðâyự xin ðýa ộ7 toán khác lời giải xin dành cho bạn

nhý cách chiêm nghiệm lại bất đẳng thức thú vị nàyọ Qua cho thấyự

từ một bất ðẳng thức ban ðầu týởng chừng ðõn giảnự nếu biết khai thác một cách khéo léoự sáng tạo ta giải ðýợc lớp phong phú toán khácọ

Bài toán 12

Cho số thực dýõng xự yự zự t thỏa mãn xyzt ỉ ộọ ẫhứng minh rằngủ

       

4

1

1

3

3

3 

  

  

  



zt ty y xz zt tx z xy yt tx t xy yz zx yz

x

Ðẳng thức xảy nàoữ

Cho số dýõng aự bự cự pự qọ ẫhứng minh rằngủ

q p qb pa

c qa

pc b qc

pb a

      

3

Bài toán 14

Cho ba số dýõng xự yự zọ ẫhứng minh rằngủ

z y x x z z y y

x  

     

9

2

Bài toán 15.

Cho số dýõng aự bự cọ ẫhứng minh rằngủ

c b a a c

a c c b

c b b a

b a

         

 2 2 2

Bài toán 16.

Cho số dýõng xự yự zọ ẫhứng minh rằngủ

a,

2 3

2

2   

    

 z x y

z x

z y

y z

y x

x

b,

        

3

2

2

       

 z x z y

z z

y x y

y z

x y x

x

Bài toán 17.

Cho số dýõng aự bự cự dự eọ ẫhứng minh rằngủ

2

        

 a b

e a e

d e d

c d c

b c b

a

Bài toán 18.

Cho số dýõng aự bự c thỏa mãn ếểab ụ bc ụ caả ỉ ộọ

Chứng minh rằngủ

c b a ab

c c ca

b b bc

a a

          

1

1

1 2

2

Bài toán 19.

Cho a, b > Tìm giá trị nhỏ nhất củaủ P =

1

2

   a

b b

Bài toán 20.

Cho a, b, c số thực dýõngọ ẫhứng minh rằngủ

1 2

2  

  

 c a

c c b

b b a

a

Bài toán 21.

Cho a, b, c số thực dýõng aổ ụ bổ ụ cổ ỉộọ

Tìm giá trị nhỏ biểu thứcủ

b a c

c a

c b

b c

b a

a A

3

2

2

3

3

        

Bài toán 22.

Chứng minh với số thực không âm aự bự c ta cóủ

c b a c b

a  

 

1

1

Bài toán 23.

Cho số dýõng aự bự c có tổng ếọ ẫhứng minh rằngủ

1 2

2

2

2

2

    

 c a

c c

b b b

a a

Bài toán 24.

Cho số thực dýõng aự bự c có tổng ộọ ẫhứng minh rằngủ

 2

2

2

1 4

4 a a a b b c c

c c

b b

a

  

    

Bài toán 25.

Chứng minh với số dýõng aự bự cự d ta cóủ

3 3

2

2

2   

       

 a b c

d b

a d

c a

d c

b d

c b

a

Bài toán 26.

Chứng minh với aự bự c dýõngủ

abc c b a abc ca

a c bc

c b ab

b a

   

   



) (

1

1

3 3

Bài toán 27

Cho số thực dýõng xộự xổự …ự xn có tổng ộọ Hãy tìm giá trị nhỏ

nhất biểu thứcủ

2

2 2

1

1

1

    

  

       

  

      

  

 

n n

x x x

x x

x A

Bài toán 28.

Xét số thực dýõng xự yự z thỏa mãn ðiều kiện x ụ y ụ z ỉ ộ

Tìm giá trị nhỏ biểu thứcủ

2 2

( ) ( ) ( )

x y z y z x z x y

P

yz zx xy

  

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Báo “Toán học Tuổi trẻ”ự NXắ Giáo dụcọ

[2] Website http://www.maths.vn

[3] Sáng tạo ắất ðẳng thứcự Phạm Kim Hùngự NXắ Tri thứcự ổợợờọ

[4] Phýõng pháp giải toán sõ cấpự Khoa Toán – Cõ – Tin họcự ÐH

KHTN, ÐHQG Hà Nộiự NXắ ÐHQG Hà Nộiự ổợợợọ

[5] Sách giáo khoa Toán ỏự Toán ịự NXắ Giáo dụcự ổợợỏọ

12 http://www.maths.vn