MỘT SỐ ỨNG DỤNG BĐT CÔ-SI

1Bất đẳng thức Cô-si. *Bất đẳng thức Cô-si : Với n số không âm a 1 , a 2 , . . . , a n ( n 2), ta có: n n a 2 a 1 a n n a 2 a 1 a +++ (1) Có đẳng thức khi và chỉ khi a 1 = a 2 = . . . = a n ( Trung bình cộng của n số không âm không nhỏ hơn trung bình nhân của chúng) Chứng minh : Đặt T = n n a 2 a 1 a +++ . Khi đó (1) T n a 1 a 2 . . . a n (1*) *) Nếu a 1 = a 2 = . . . = a n thì (1*) trở thành đẳng thức T n = T.T. . . .T = a 1 a 2 . . . a n *) Nếu a 1 , a 2 , . . . , a n là n số không bằng nhau tất cả thì có bất đẳng thức T n > a 1 a 2 . . . a n (1**) Ta chứng minh (1**) bằng qui nạp ( dành cho học sinh chuyên) Với n = 2 : dễ thấy (1**) đúng , tức là : 2 a 1 a 2 2 2 a 1 a 2 T 2 a 1 a > + = Giả sử (1**) đúng với n - 1 số không bằng nhau tất cả có trung bình cộng bằng T. Ta phải chứng minh (1**) đúng với n. Thật vậy, trong n số a 1 , a 2 , . . . , a n không bằng nhau tất cả phải có 1 số bé hơn T và một số lớn hơn T, giả sử a 1 và a 2 : a 1 < T < a 2 . Do đó ta có (T - a 1 )(a 2 - T ) > 0 Hay : 0 T 2 a 1 a T 2 a 1 a >+ . Ta xét n - 1 số không âm a 3 , a 4 , . . . a n , (a 1 + a 2 - T), hiển nhiên n - 1 số không bằng nhau tất cả, và theo giả thiết qui nạp ta có: T n-1 > a 3 a 4 . . . a n (a 1 + a 2 - T) > a 3 a 4 . . . a n T 2 a 1 a Vậy T n > a 1 a 2 . . . a n . 2.1. Chứng minh một số bất đẳng thức. 2.1.a, Chứng minh các bất đẳng thức đại số và giải tích: Ví dụ 1: Với mọi n thuộc N*, chứng minh rằng n 2 1n n! + (1) áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho n số tự nhiên khác 0 đầu tiên 1, 2, . . . , n ta có: minh. chứngượcd (1n! nn n ). n 2 1n n ! 2 1n n ! n2 )1n(n n ! n n3.2.1 n n21 + + + = +++ Dấu = xảy ra khi nào? ( trong bất đẳng thức Cô-si ) Dấu = trong (1) xảy ra khi và chỉ khi n = 1 Ví dụ 2: Cho a > -1 , n N . Chứng minh rằng : (1 + a ) n 1 + na (2) Hớng dẫn: - Bất đẳng thức (2) đựôc gọi là bất đẳng thức Béc-nu-li - Với a > -1, ta có 1 + a > 0 +) Nếu 0na1 + , thì (2) hiển nhiên đúng ++) Nếu 1 + na > 0 , ta có (2) 1 + a n na1 + (2*) So sánh (2*) với bất đẳng thức Cô-si , ta đợc điều gì ? (2*) có gần gũi với 1 Bất đẳng thức Cô-si không ? từ n na1 + n na1 + = n )na1(1 .1.1 + ( gồm n-1 số 1 và 1 + na) ta có lời giải tóm tắt sau: áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho n số gồm n-1 số 1 và số 1 + na ta có n na1 n )na1(111 + +++++ 1 số 1-n 1 + na n na1 + , hay (1 + a ) n 1 + na. (2) đợc chứng minh . Dấu = xảy ra khi và chỉ khi hoặc a = 0 hoặc n = 0 hoặc n = 1. Ví dụ 3: Cho dãy số (u n ), đợc xác định nh sau: n n n n 1 n n n n 1 n u ++= . Chứng minh u n < 2, n . Hớng dẫn: Theo bất đẳng thức Cô-si , ta có: n n n n 1 n n n n 1 1n 1 .11 +> ++ +++ 1số hay n n n n 1 2 n n n 1 +>+ (5*) Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có n n n n 1 n n n n 1 1n 1 .11 > + +++ 1số hay n n n n 1 2 n n n 1 > (5**) Cộng từng vế (5*) và (5**) có điều phải chứng minh . Ví dụ 4: Chứng minh rằng : dãy số u n = ( ) n 1 1 n + ,( n = 1, 2, 3, . . .) là một dãy số tăng Nhận xét: - Đây là dãy số quen thuộc với học sinh 11. Nh đã biết trong SGK Đại số và Giải tích 11 : .7182818284,2 n n 1 1 n lime = + + = và kết quả nầy chỉ đợc công nhận, không chứng minh . Đây là một phát minh quan trọng của Toán học ở cuối thế kỷ 16 - đầu thế kỷ 17. H ớng dẫn : - Ta có u n = ( ) n 1 1 n + và u n + 1 = + + + 1n 1 1 1n . - Dãy số (u n ) tăng khi u n < u n + 1 , n = 1, 2, . . . . - Chỉ cần chứng minh ( ) n 1 1 n + < + + + 1n 1 1 1n . áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho n + 1 số không đồng thời bằng nhau nhau bằng sốn n 1 1, ., n 1 1, n 1 1,1 +++ ta đợc 1n n n 1 1 n 1 1n1 1n 1 + +> ++ + 2 hay n n 1 1 1n 1n 1 1 1n n n 1 1 1n 1 1 +> + + + + +> + + Bài toán đợc chứng minh. L u ý : Nếu chứng minh u n = ( ) n 1 1 n + ,( n = 1, 2, 3, . . .) là dãy số bị chặn trên (u n < 3, với n = 1, 2, .) thì u n có giới hạn. Ví dụ 5: Cho a > 0, b > 0, c> 0. Chứng minh rằng : c a log2c 2 ab log1.b a log1 ++ (7) Giải : Ta có ab a logb a loga a logb a log1 =+=+ Mặt khác theo bất đẳng thức Cô-si : c ab log2c 2 ab log1 + Do vậy: c a log2c a log2c ab log.ab a log2c 2 ab log1.b a log1 = ++ Suy ra (7) đợc chứng minh . Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a 2 = b 2 = c 2.1b) Chứng minh bất đẳng thức l ợng giác : Ví dụ 6: Chứng minh rằng 2 1 1 2 xcos 2 xsin 2 + - áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dơng trên, ta đợc : xcosxsin 22 xcos 2 xsin 2 + + vì 2xcosxsin2 + nên : 2 1 1 2 2 22 xcosxsin 22 xcos 2 xsin 2 = + + - Suy ra điều phải chứng minh. - Dấu = xảy ra khi và chỉ khi .Zk,2k 4 5 x + = Ví dụ 7 : Chứng minh rằng: 8 33 a 4 cos.a2cos 8 33 2 (9), với mọi a. H ớng dẫn : - Ta có : 3 2222 )asina)(cosasina(cos 2 1 )asina)(cosasina(cos 2 1 a 4 cos.a2cos += += - Đặt cosa - sina = x và cosa + sina = y x 2 + y 2 = 2 - Khi đó (9) 8 33 3 xy 2 1 (9*) - áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: 2 1 3 y 3 1 3 y 3 1 3 y 3 1 2 x 4 1 3 y 2 x 27 1 = +++ có đợc (9*) và từ đây suy ra dấu = xảy ra khi nào ? (9) hoàn toàn đợc chứng minh. Ví dụ 8: Chứng minh rằng trong moi ABC ta có: ++ ++ 2 A cos. 2 C cos 2 C cos. 2 B cos 2 B cos. 2 A cos. 2 C sin. 2 B sin. 2 A sin8 C 2 sinB 2 sinA 2 sin (10) H ớng dẫn : 3 - Đánh giá các giá trị của cos 2 A cos 2 B , cos 2 B cos 2 C , cos 2 C cos 2 A làm xuất hiện các giá trị nầy! - Vì A, B, C là 3 góc của ABC nên ta có sinAcotg 2 B > 0, sinBcotg 2 A > 0 - áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta đợc: 2 B gcotBsin 2 A gcotAsin 2 2 A gcotBsin 2 B gcotAsin + hay *)10( 2 A gcotBsin 2 B gcotAsin 2 1 2 B cos 2 A cos2 + Dấu = trong (10*) xảy ra A = B - Lập luận tơng tự ta có : *)*10( 2 B gcotCsin 2 C gcotBsin 2 1 2 C cos 2 B cos2 + Dấu = trong (10**) xảy ra B = C **)*10( 2 C gcotAsin 2 A gcotCsin 2 1 2 A cos 2 C cos2 + Dấu = trong (10***) xảy ra C = A - Từ (10*), (10**),(10***) suy ra: ++ ++ + ++ + 2 A cos 2 C cos 2 C cos 2 B cos 2 B cos 2 A cos4 2 B gcot 2 A gcotCsin 2 A gcot 2 C gcotBsin 2 C gcot 2 B gcotAsin ++ ++ ++ + + + + + 2 A cos 2 C cos 2 C cos 2 B cos 2 B cos 2 A cos8 2 C sin 2 B sin 2 A sin 2 C sin 2 C cos2 Csin 2 C sin 2 B sin 2 A sin 2 B sin 2 B cos2 Bsin 2 C sin 2 B sin 2 A sin 2 A sin 2 A cos2 Asin 2 A cos 2 C cos 2 C cos 2 B cos 2 B cos 2 A cos4 2 B sin 2 A sin 2 BA sin Csin 2 A sin 2 C sin 2 AC sin Bsin 2 C sin 2 B sin 2 CB sin Asin - Suy ra (10) đợc chứng minh . - Dấu = xảy ra khi nào? Khi đồng thời (10*), (10**), (10***) có dấu bằng. Ví dụ 9: Chứng minh rằng trong mọi ABC ta luôn có: )11( 8 3 )AsinCsinCsinBsinBsinA(sin 6 1 2 A sin 2 A sin 2 A sin 2 A sin 2 A sin 2 A sin +++ ++ H ớng dẫn : - Trong mọi ABC, ta có sinA, sinB, sinC, 2 A sin , 2 B sin , 2 C sin , 2 A tg , 2 B tg , 2 C tg đều là những số dơng. 4 - Đánh giá các giá trị 2 B sin 2 A sin , 2 C sin 2 B sin , 2 A sin 2 C sin , áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta đợc: )1.11( 2 B sin. 2 A sin 2 B tg 2 A tg 8 3 Bsin.Asin 6 1 + )2.11( 2 C sin. 2 B sin 2 C tg 2 B tg 8 3 Csin.Bsin 6 1 + )3.11( 2 A sin. 2 C sin 2 A tg 2 C tg 8 3 Asin.Csin 6 1 + - Cộng từng vế (11.1), (11.2), (11.3) và chú ý đến 1 2 A tg 2 C tg 2 C tg 2 B tg 2 B tg 2 A tg =++ (11) đợc chứng minh - Dấu = xảy ra khi và chỉ khi trong (11.1), (11.2), (11.3) đồng thời có dấu bằng. 2.1c) Chứng minh bất đẳng thức hình học: Để giải quyết tốt một bài toán về bất đẳng thức trong hình học, học sinh cần nắm vững kiến thức về hình học, về độ dài đoạn thẳng . . . Còn bất đẳng thức Cô-si chỉ là công cụ hổ trợ để ta giải quyết bài toán này tốt hơn, không phải khi gặp một bài toán về bất đẳng thức hình học là nghĩ ngay đến bất đẳng thức Cô-si . Ví dụ 10: Cho ABC nội tiếp đờng tròn (O). Gọi AA, BB, CC là ba trung tuyến. AA, BB, CC lần lợt cắt (O) tại A 1 , B 1 , C 1 . Chứng minh rằng: 4 9 CC 'CC BB 'BB AA 'AA 111 ++ (12) H ớng dẫn : - Trớc tiên, ta phải xác định các tỉ số 111 CC 'CC , BB 'BB , AA 'AA ? ( thờng theo độ dài các cạnh của ABC) - lu ý AA, BB, CC là ba trung tuyến. - Ta có: 2 2 c 2 b 4 2 a 2 a m 4 2 a C'A'.BA 1 AA'.AA + =+== . Suy ra 2 c 2 b 2 a 2 c2 2 b2 . 2 1 1 AA'.AA 2 'AA 1 AA 'AA + + == - Lập luận tơng tự, ta đợc: + + + + + =++ 2 b 2 a 2 c 2 a 2 c 2 b 2 c 2 b 2 a . 2 1 3 1 CC 'CC 1 BB 'BB 1 AA 'AA (*) áp dụng bất đẳng thức Cô-si , thì 2 3 2 b 2 a 2 c 2 a 2 c 2 b 2 c 2 b 2 a + + + + + - Do đó từ (*) (12) đợc chứng minh . - Dấu = xảy ra ABC đều Ví dụ 11: Cho 3 đờng tròn có chu vi C 1 , C 2 , C 3 từng đôi một tiếp xúc ngoài tại A, B, C. Đờng tròn ngoại tiếp ABC có chu vi C. Chứng minh rằng: 3 321 3 CCCC (13) 5 H ớng dẫn : * Trớc tiên, hớng dẫn học sinh biết và xác định đợc các vấn đề sau: Gọi O 1 , O 2 , O 3 là tâm, còn R 1 , R 2 , R 3 là bán kính của 3 đờng tròn có chu vi C 1 , C 2 , C 3 . đờng tròn ngoại tiếp ABC là đờng tròn nội tiếp O 1 O 2 O 3 . Gọi bán kính đờng tròn thứ t nầy là r r = S/p, S là diện tích O 1 O 2 O 3 và p là nữa chu vi của nó và p = R 1 + R 2 + R 3 . r = 321 321 RRR RRR ++ (13*) * Nhận xét (13) và (13*), so sánh chúng với bất đẳng thức Cô- si ? áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta đợc: R 1 + R 2 + R 3 3 R 2 R 1 R3 (13**) Từ (13*) và (13**) 6 3 R 2 R 1 R.3 3 R 2 R 1 R r 3 3 R 2 R 1 R3r 3 3 R 2 R 1 R 3 83r2 3 321 3 CCCC (đpcm) Dấu = xảy ra khi và chỉ khi R 1 = R 2 = R 3 . Ví dụ 12: Cho tứ diện ABCD, một điểm M bất kỳ ở trong tứ diện. Các đờng thẳng AM, BM, CM, DM, cắt các mặt đối diện với các đỉnh A, B, C, D của hình chóp tại A, B, C, D. Chứng minh rằng: 81 'MD MD . 'MC MC . 'MB MB . 'MA MA (14) H ớng dẫn : * Xác định các tỉ số 'MD MD , 'MC MC , 'MB MB , 'MA MA - Gọi H, I lần lợt là hình chiếu của A, M lên mp(BCD) . H, I, A thẳng hàng. Gọi V, V 1 , V 2 , V 3, , V 4 lần lợt là thể của tứ diện ABCD, và các hình chóp có đỉnh M với các đáy là các tam giác BCD, ACD, ABD, ABC. V 1 V BCD S.MI 3 1 BCD S.AH 3 1 MI AH 'HA 'AA === 1 V 4 V 3 V 2 V 1 V 1 VV 'MA MA ++ = = Tơng tự, ta có 2 V 4 V 3 V 1 V 2 V 2 VV 'MB MB ++ = = * áp dụng bất đẳng thức Cô-si , ta có: 6 3 V 4 V 2 V 1 V 3 V 3 VV 'MC MC ++ = = 4 V 3 V 2 V 1 V 4 V 4 VV 'MD MD ++ = = 2 3 431 1 3 432 V VVV3 'MB MB , V VVV3 'MA MA 4 3 231 3 3 412 V VVV3 'MD MD , V VVV3 'MC MC Từ đó suy ra điều phải chứng minh . Ví dụ 13: Cho tứ diện OABC, có OA = a, BC = b, và là góc tạo bởi OA và BC. Một điểm M tuỳ ý trên OB. Mặt phẳng qua M song song với OA và BC, cắt tứ diện OABC theo thiết diện có diện tích S. Chứng minh rằng: 4 sin.ab S (15) H ớng dẫn : - Xác định thiết diện MNPQ, hình tính của thiết diện? - Xác định góc ? ( sin = - Xác định diện S = S MNPQ ? (MN.NP.sin ) (15*) - Từ (15*) ta nghĩ đến bất đẳng thức Cô-si làm xuất hiện tổng MN + NP. - Theo định lý Talet, ta sẽ có ngay 1 b NP a MN hay,1 BC NP OA MN =+=+ Đến đây, sử dụng bất đẳng thức Cô-si ta đợc 4 ab NP.MN ab NP.MN 2 b NP a MN 1 += (15**) - Khi đó từ (15*) và (15**) 4 sin.ab S , (15) đợc chứng minh . - Dấu = xảy ra khi và chỉ khi 2 1 BC NP OA MN == M là trung điểm OB. Ví dụ 14: Trong mọi ABC, Chứng minh rằng: ab + ba + ca S.34 (16) H ớng dẫn : - Để ý rằng ab + bc + ca = ++ Csin 1 Bsin 1 Asin 1 S2 - Khi đó (16) 32 Csin 1 Bsin 1 Asin 1 ++ - Từ Csin 1 , Bsin 1 , Asin 1 và sinA, sinB, sinC là những số dơng. áp dụng bất đẳng thức Cô-si , ta đợc: 9)CsinBsinA(sin Csin 1 Bsin 1 Asin 1 ++ ++ (16*) Do 0 < sinA + sinB + sinC 2 33 , nên từ (16*) suy ra 32 Csin 1 Bsin 1 Asin 1 ++ điều phải chứng minh . Dấu = xảy ra ABC đều. Ví dụ 16: Cho ABC có ba góc đều nhọn, sao cho tgA, tgB, tgC là 3 nghiệm của phơng trình x 3 + px 2 + qx + r = 0 (*). 7 sinMNP) Chứng minh rằng : 9q,33p . (17) H ớng dẫn : - Vì tgA, tgB, tgC là 3 nghiệm của (*), theo định lý Vi-ét đối với phơng trình bậc 3 xác định : + tgA + tgB + tgC = ? ( = -p ) (1*) + tgA. tgB + tgB tgC + tgCtgA = ? ( = q) (2*) + tgA. tgB .tgC = ? ( = -r ) (3*) và tgA, tgB, tgC là 3 số dơng, áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta đợc: ,tgC.tgB.tgA3tgCtgBtgA 3 ++ hay .p27pp.3p 3 3 Do p < 0 ( từ (1*)) p 2 27 3.3p . - Theo bất đẳng thức Cô-si , ta có: 3 222 Ctg.Btg.Atg3tgA.tgCtgC.tgBtgB.tgA ++ Suy ra 9q27pdo,p3q 2 3 2 (17) đợc chứng minh . 2.2). áp dụng bất đẳng thức Cô-si để giải một số bài toán khác: 2.2a) áp dụng bất đẳng thức Cô-si để giải ph ơng trình : Khi một phơng trình ở dạng không thờng gặp, không mẫu mực, ta thờng sử dụng phơng pháp đặc biệt, nh phơng pháp nghiệm duy nhất, độc lập nghiệm, tính chất liên tục, đơn điệu, tập giá trị của hàm số, bất đẳng thức . Ví dụ 16: Giải phơng trình ( ) 2002198610 2002 1 1986 16 += + yx yx (18) H ớng dẫn : *) Ta có thể giải phơng trình (18) bằng cách biến đổi tơng đơng , đa phơng trình về dạng tổng hai bình phơng bằng 0: 0 2 4 2002y 1 4 2002y 2 4 1986x 4 4 1986x = + (*) đối với cách giải nầy việc biến đổi (18) (*), đòi hỏi học sinh phải có phơng pháp t duy tổng hợp cao ( đối với học sinh chuyên), trong khi đó nếu sử dụng bất đẳng thức để giải thì không phải tốn thời gian hơn. *) Xác định điều kiện cho ẩn số ( tập xác định của phơng trình ): (x > 1986 và y > 2003). Từ điều kiện nầy ta đợc .0 2002y 1 ,02002y,0 1986x 16 ,01986x > >> > + Biến đổi (1*) dạng: 10 2002y 1 2002y 1986x 16 1986x = ++ + (18*) áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: .2 2002y 1 2002y`va8 1986x 16 1986x + + (18**) Từ (18*) và (18**) (18**) có dấu = Và (18*) có dấu = khi và chỉ khi = = 2002y 1 2002y 1986x 16 1986x Từ đó suy ra nghiệm của phơng trình (18). 8 Ví dụ 17 Cho n là số tự nhiên chẵn và số thực a > 3.Chứng minh rằng phơng trình (n + 1)x n + 2 + 3(n + 2)x n + 1 + a n + 2 = 0 (19) vô nghiệm. * Nhận xét: n N, n là số chẵn, x n + 2 0 x, a n + 2 > 0 (n + 1)x n + 2 + 3(n + 2)x n + 1 + a n + 2 > 0 , x hay không? H ớng dẫn : + Vì n là số tự nhiên chẵn và a > 3 nên x R và a > 3 ta luôn có: x n + 2 0 và a n + 2 > 0 + áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho n + 2 số gồm n + 1 số bằng x n + 2 và một số bằng a n + 2 , ta đợc: a. 1n x)2n( 2n 2n a. 1n ) 2n x().2n( 2n a 2n x)1n( + += + +++ + + + + + + lu ý đến a > 3 nên: |x n+1 .a | > 3| x| n + 1 -3x n + 1 (n + 1)x n + 2 + 3(n + 2)x n + 1 + a n + 2 > 3(n + 2)x n + 1 - 3(n + 2)x n + 1 > 0 Suy ra phơng trình (19) vô nghiệm. Ví dụ 18: Giải phơng trình 3 4 x1 4 x1 4 2 x1 =+++ (20) H ớng dẫn : + Xác định điều kiện của ẩn số ( tập xác định của phơng trình ) 1x1 với điều kiện nầy, ta có 1 + x, 1- x, 1 - x 2 đều là những số không âm. + Khi đó theo bất đẳng thức Cô-si ta có : 2 x1x1 4 )x1)(x1( 4 2 x1 ++ += (*) 2 x11 4 )x1.(1 4 x1 ++ +=+ (**) 2 x11 4 )x1.(1 4 x1 + = (***) + Từ (*), (**), (***) suy ra : 3 2 x11 2 x11 1 x1x11 4 x1 4 x1 4 2 x1 = + + ++ + ++++++ Dấu = xảy ra khi và chỉ khi 0x 1x1 1x1 x1x1 = = =+ =+ + Kiểm tra x = 0 là nghiệm của (20) 2.2b) áp dụng bất đẳng thức Cô-si để tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN): Ví dụ 19: Cho 4 số không âm x, y, z, t thoả mãn 2x + xy + z + yzt = 1. Tìm GTLN của M = x 2 y 2 z 2 t. H ớng dẫn : - Vì x, y, z, t không âm 2x, xy, z, yzt không âm. - Ta có tổng 2x + xy + z + yzt = 1 không đổi áp dung bất đẳng thức Cô-si cho 4 số không âm 2x, xy, z, yzt, ta đợc. 4 1 4 yztzxyx2 4 )yzt(z)xy)(x2( 4 t 2 z 2 y 2 x2 = +++ = Từ đó 512 1 4 4.2 1 M = 9 Suy ra M có GTLN bằng 512 1 2x = xy = z = yzt = 4 1 x = 8 1 , y = 2, z = 4 1 , t = 2 1 . Ví dụ 20: Cho n số dơng a 1 , a 2 , . . . , a n có tổng a 1 + a 2 + . . . + a n = a không đổi. Tìm GTNN của tổng . aa a . aa a aa a S n n 2 2 1 1 ++ + = H ớng dẫn : - Vì a 1 , a 2 , . . . , a n là những số dơng và a 1 + a 2 + . . . + a n = a nên a - a 1 , a - a 2 , . . . , a - a n là những số dơng và (a - a 1 ) + (a - a 2 ) + . . . + (a - a n ) = (n - 1)a (*) - Suy ra n aa a . aa a aa a aS n n 2 2 1 1 ++ + = (**) - Ta tìm GTNN của tổng . aa a . aa a aa a aT n n 2 2 1 1 ++ + = - Từ (*) suy ra [ ] . aa a . aa a aa a )aa( .)aa()aa( 1n 1 T n n 2 2 1 1 n21 ++ + +++ = - áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta đợc n n aa n a . 2 aa 2 a . 1 aa 1 a nn ) n aa() 2 aa)( 1 aa(n 1n 1 T ììì Hay 1n 2 n T (***) - Từ (**) & (***) 1n n n 1n 2 n S = Suy ra S có GTNN bằng 1n n khi và chỉ khi n a . 2 a 1 a n aa 1 . 2 aa 1 1 aa 1 n aa . 2 aa 1 aa === == = === Ví dụ 20: Tìm GTNN của hàm số )(0; ng khoảntrê ++= 3 2 x 2 x)x(f Giải: Với x > 0, áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 5 số dơng 3 x 1 , 3 x 1 , 2 x 3 1 , 2 x 3 1 , 2 x 3 1 , ta có: 5 27 5 5 6 x 1 . 3 2 x 3 1 .5 3 x 1 3 x 1 2 x 3 1 2 x 3 1 2 x 3 1 )x(f = ++++= Dấu = xảy ra khi và chỉ khi 5 3x 3 x 1 2 x 3 1 == Vậy 5 27 5 ) 5 3(f)x(f );0(x min == + Chú ý: Học sinh cần học tập thủ thuật trên để vân dụng đợc bất đẳng thức Cô-si . 10 [...]... 11 1) Chứng minh rằng: a2 + 2 2 với mọi a thuộc R a2 + 1 2) Chứng minh với 3 số dơng bất kỳ a, b, c ta luôn có: 2 2 2 9 + + a +b b +c c +a a + b +c 3) Chứng minh với 3 số dơng bất kỳ a, b, c ta luôn có: a b c 3 + + b +c c +a a +b 2 4) Gọi a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác diện tích S Chứng minh rằng: 1 1 1 34 3 + + a +b c b +c a c + a b 2 S 5) Gọi a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam... rằng: xi 1 với mọi i = 1,2, , n và n x 2 +x 2 + +x 2 = 1 1 2 n 9)Tìm GTNN của biểu thức P =a 3 + 3 với a là số thực dơng a5 10) Với GTLN nào của k thì với bất kỳ ba số dơng a, b, c có tổng bằng 1, ta có bất đẳng thức (a + b)(b + c)(c + a ) kabc 11) Cho tứ diện SABC có thể tích V Một điểm M thuộc mặt ABC củ tứ diện Qua M kẻ các đờng thẳng song song với SA, SB, SC các đờng thẳng đó lần lợt cắt... ta có thể viết f ( x , y ) = 4 x x y.( 4 x y), và do đó theo bất đẳng thức Cô-si , ta có: 2 2 4 x x x y + +y +4 2 =4 f ( x , y) 4 2 4 Dấu = trong (*) xảy ra x = 2 và y = 4 (*) (1*) x x Ta có f ( x , y) =4 ( x +y 4) 2 2 Nếu 4 x + y thì f(x, y) 0 Nếu 6 x + y > 4 thì x + y - 4 > 0 và do đó theo bất đẳng thức Cô-si , ta có: 4 x x + + y + 4 x y 2 =4 f ( x , y) 4 2 4 4 2( x...5 5 Sau khi đã có f ( x ) 5 , để chứng tỏ 5 là GTNN của f(x) trên 27 27 khoảng (0; +), cần chỉ ra dấu = xảy ra với một giá trị nào đó của biến x (0; +) ( ở đây x x =5 3 Học sinh có dùng công cụ đạo hàm để giải bài toán này Ví dụ 22: Tìm GTLN của biểu thức sau: f ( x , y, z... +b c b +c a c + a b 2 S 5) Gọi a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác và 1 t 0 Chứng minh rằng: a + b +c ta b + c +a tb c a +b tc 2 1+ t 6)Giải các phơng trình sau : a/ x 4 + 6 x = x 10 x + 27 b/ x2 + 4x - 16 x + 20 = 0 7) Giải các hệ phơng trình sau: a/ x2 - y = y2 - z = z2 - x = 1 và x, y, z là những số dơng b/ 2 2x 2 1 + x 2 = y 2y 2 = z 1 + y2 2 2z 1 + z 2 = x 8) Tìm GTLN của tích... xy z +xz 1 y 2 + yz xyz x 3 Hớng dẫn: - Tìm tập xác định của f(x, y, z) ? ( D = {x, y, z R/ x 1, y 2, z 3} - Lu ý f ( x , y, z ) = z 1 y 2 + + z y x 3 z và f(x, y, z) là tổng của 3 số không âm - Theo bất đẳng thức Cô-si ta có: ( z 1).1 z 2 ( y 1).1 y 2 z 1 1 z 2 y 2 1 y 2 2 ( x 1).1 x 2 x 3 1 x 2 3 1 1 1 + 1 + (*) 2 2 3 - Tìm x, y, z D để trong (*) xảy ra dấu = ( x = 6; y = 4 và z = . . . a n . 2.1. Chứng minh một số bất đẳng thức. 2.1.a, Chứng minh các bất đẳng thức đại số và giải tích: Ví dụ 1: Với mọi n thuộc N*, chứng minh rằng n. có lời giải tóm tắt sau: áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho n số gồm n-1 số 1 và số 1 + na ta có n na1 n )na1(111 + +++++ 1 số 1-n 1 + na n na1 + , hay