Gọi Ax và By là các tia vuông góc với AB ( Ax , By và nửa đường tròn cùng một nửa mặt phẳng bờ AB ).. Gọi M là một điểm bất kỳ thuộc Ax..[r]
(1)BÀI TẬP ÔN HỌC KỲ (09-10) TỐN HÌNH HỌC 9
Bài Cho nửa đường trịn đường kính AB = 2R Gọi Ax By tia vng góc với AB ( Ax , By nửa đường tròn nửa mặt phẳng bờ AB ) Gọi M điểm thuộc Ax Qua M Kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn , cắt By N a/ Tính số đo góc MON
b/ Chứng minh : MN=AM + BN c/ Chứng minh : AM BN =R2
Giải:
Vẽ hình
Gọi I tiếp tuyến MN với nửa đường tròn a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có M
¿
O❑^
¿
A = M
¿
O❑^
¿
I ( =
¿
A O
^ ❑I
2 ¿
)
N
¿ O
^ ❑
¿
I = N
¿ O
^ ❑
¿
B ( =
¿ B O
^ ❑I
2 ¿
) Mà A
¿
O
^ ❑
¿
I B
¿
O
^ ❑
¿
I kề bù Do M
¿ O
^ ❑
¿
I + I
¿ O
^ ❑
¿
N = 900 hay M ¿
O
^ ❑
¿
N = 900
b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có
AM=MI MI = BN Mà MI+IN = MN Nên MN=AM+BN c) Trong tam giác vng OMN
Ta có OI2= MI IN (hệ thức h2= b’ c’)
Mà AM=MI MI = BN
Suy R2= AM.BN
Bài : Cho ΔABC vng A có AB = cm , AC = cm Kẻ đường cao AH a)Tính BC , AH , HB , HC
b)Tính giá trị biểu thức Q = sinB + cosB Giải:
a)Vẽ hình Áp dụng định lý Pitago tam giác vng ABC Ta có :BC2= AB2+AC2 =102
BC = 10 (cm) AH = AB ACBC = 106 = 4,8 (cm) HB = AB2
BC = 62
10 = 3,6 (cm)
(2)b)Q = sinB + cosB
= 108 + 106 = 1410 = 75 Bài
Cho tam giác ABC vuông A Trên nửa mặt phẳng chứa điểm A bờ BC vẽ tia Bx vng góc với BC Gọi M trung điểm đoạn BC Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với AB , cắt Bx O
1)Chứng minh BC tiếp tuyến đường tròn (O;OA)
2) Chứng minh bốn điểm O,A,M,B nằm đường tròn Giải:
Vẽ hình 1)Chứng minh BC tiếp tuyến đường tròn (O;OA)
Gọi I giao điểm MO vá AB
Theo đề MI đường trung bình tam giác ABC nên IA=IB
Do tam giác OAB cân O (MI vừa đường cao vừa trung tuyến)
Suy : OA =OB
Mà OB vng góc với BC
Vì BC tiếp tuyến đường tròn (O;OA) 2)Chứng minh bốn điểm O,A,M,B nằm đường tròn
Tam giác BOM vuông B nên ba điểm B,O,M nằm đường trịn có tâm trung điểm cạnh huyền MO
Xét hai tam giác BOM AOM có OA=OB
¿ AOM❑^
¿
=
¿ BOM❑^
¿
(do tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) MO cạnh chung )
Vì ΔBOM=ΔAOM (c,g,c)
Do Tam giác AOM vuông A nên ba điểm A,O,M nằm đường trịn có tâm là trung điểm cạnh huyền MO
Vậy bốn điểm O,A,M,B nằm đường tròn Bài :
Một thang dài m , đặt dựa vào tường , góc thang mặt đất 600
Hãy vẽ hình minh họa tính khoảng cách từ chân thang đến tường Giải:
Vẽ hình Khoảng cách chân thang đến tường : cos 600
= 12 = (m) Bài 5:
Cho nửa đường trịn (O), đường kính AB =2R Kẻ tiếp tuyến Ax ; By phía với nửa đường tròn AB Vẽ bán kính OE Tiếp tuyến nửa đường tròn E cắt Ax , By theo thứ tự C D
(3)B/
¿ COD❑^
¿
=900
C/ Tích AC.BD = R2
Giải:
Vẽ hình Chứng minh
a/ CD=AC+BD
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt Thì AC= EC BD=ED mà DC = EC+ED Nên CD = AC+BD b/
¿ COD❑^
¿
=900
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có C
¿
O❑^
¿
A = C
¿
O❑^
¿
E ( =
¿
A O
^ ❑E
2 ¿
)
E
¿ O
^ ❑
¿
D = B
¿ O
^ ❑
¿
D ( =
¿ E O
^ ❑B
2 ¿
) Mà A
¿
O
^ ❑
¿
E E
¿
O
^ ❑
¿
B kề bù Do C
¿ O
^ ❑
¿
E + EB = 900 hay C ¿ O
^ ❑
¿
D = 900
c/ Tích AC.BD = R2
Trong tam giác vng OCD
Ta có OE2= EC ED (hệ thức h2= b’ c’) mà AC= EC BD=ED
Suy R2= AC.BD
Bài 6:
Cho tam giác ABC vng A , có BC= Cm , AB =2AC a/Tính AB
b/Kẻ đường cao AH Tính HB , AH c/Tính tg
¿ BAH
^ ❑
¿
, Suy giá trị gần số đo
¿ BAH
^ ❑
¿
d/Vẽ hai đường tròn (B;BA) (C;CA) Gọi E giao điểm thứ hai hai đường tròn Chứng minh CE tiếp tuyến đường trịn (B)
Giải:
Vẽ hình a)Tính AB
Áp dụng định lý Pitago tam giác vuông , ta có AB2+
(AB2 )
2
= BC2
AB2+ AB2
4 = BC
AB2
4 + AB2
(4)AB2
4 = BC 2
5AB2 = 4BC2
AB2 = BC2 =
4 52
5 = 20
AB= √20 = √5 (cm)
b)Kẻ đường cao AH Tính HB , AH Ta có AC= AB2 = 2√5
2 = √5 (cm)
AH.BC=AB.AC (hệ thức h.a=b.c ) AH= AB ACBC = √5 √5
5 = (cm)
AB2= BC.HB ( Hệ thức c2=a.c’)
Suy HB= AB2
BC =
2√5¿2 ¿ ¿ ¿
= (cm)
c)Tính tg
¿ BAH
^ ❑
¿
, Suy giá trị gần số đo
¿ BAH❑^
¿
Ta có tg
¿ BAH❑^
¿
= HBAH = 42 = Suy
¿ BAH❑^
¿
≈
c) Xét hai tam giác ABC EBC có BA=BE (là bán kính đường trịn (B;BA) ) CA =CE (là bán kính đường trịn (C;CA) ) BC cạnh chung
Suy ΔABC=ΔEBC (c,c,c) Mà
¿
A❑^
¿
=900 nên ¿
E^
❑
¿
= 900 Hay CE vuông góc với bán kính BE tiếp điểm E