Chứng minh rằng A không âm với mọi giá trị của x.b. Tìm tập xác định của M.[r]
(1) Ví dụ 8:
a Rút gọn Biếu thức B=4a
2
+12a+9
2a2−a −6 Với a − b Thực phép tính: 0,5a
2
+a+2
1+0,5a :
a3−8 a+2 +
2
a(2−a) (a ± 2.)
Giải: a B=4a
2
+12a+9
2a2−a −6 ¿
(2a+3)2 (2a+3)(a−2)=
2a+3
a −2 b 0,5a
2
+a+2
1+0,5a :
a3−8 a+2 +
2 a(2−a)=
a2+2a+4
a+2 ⋅
a+2
a3−8+ a(2− a)
¿ a
2
+2a+4 (a−2)(a2+2a+4)−
2 a(a −2)=
a −2 a(a −2)=
1 a Ví dụ 9: Thực phép tính: A=x
2
+y2−xy
x2− y2 : x3
+y3
x2+y2−2 xy ( Với x ± y)
Giải: A=x
2
+y2−xy
x2− y2 : x3
+y3
x2+y2−2 xy=
x2
+y2−xy (x − y) (x+y)⋅
(x − y)2 (x+y)(x2
+y2−xy)
x − y
(x+y)2
Ví dụ 10: Cho biểu thức : A= x
4
+x3+x+1
x4− x3
+2x2− x+1
a Rút gọn biểu thức A
b Chứng minh A không âm với giá trị x Giải:
A= x
4
+x3+x+1
x4− x3+2x2− x+1=
x4+x3+x+1
x4− x3+x2+x2− x+1
¿ x
3
(x+1)+(x+1)
x2(x2− x+1)+(x2− x+1)=
(x+1)(x3+1)
(x2− x+1)(x2+1)
(x+1)2(x2− x+1)
(x2− x
+1)(x2+1)
=(x+1)
2
(x2
+1)
b A=(x+1)
2
x2+1 ;(x+1)
2≥0; x2
+1>0⇒A ≥0
Ví dụ 11: Tính giá trị biếu thức : a
+a6+a7+a8
a−5
+a−6+a−7+a−8
với a = 2007
(2)B= a
5
+a6+a7+a8
a−5+a−6+a−7+a−8=
a5+a6+a7+a8
1 a5+
1 a6+
1 a7+
1 a8 a5
+a6+a7+a8
a3+a2+a1+1
a8
=a
8(
a5+a6+a7+a8)
a3+a2+a+1
a13
(1+a+a2+a3) a3
+a2+a+1 =a
13⇒B
=200713
Ví dụ 12: Tính giá trị biếu thức : x
−25 x3−10x2
+25x:
y −2 y2− y −2 Biết x2 + 9y2 - 4xy = 2xy - |x −3| .
Giải:
x2 + 9y2 - 4xy = 2xy - |x −3| ⇔
(x −3y)2+|x −3|=0
⇔ x=3y
x=3
⇔
¿x=3
y=1
¿{
C= x
2−25 x3−10x2
+25x:
y −2 y2− y −2=
(x −5) (x+5)
x(x −5)2 ⋅
(y −2)(y+1)
y −2
¿(x+5) (y+1)
x(x −5) =
8 (−2)=−
8
Bài tập: 11 Chứng minh Biếu thức
P = (x
+a)(1+a)+a2x2+1
(x2−a)(1− a)+a2x2+1
không phụ thuộc vào x
12 Cho biểu thức M = x 5−2x4
+2x3−4x2−3x+6
x2
+2x −8
a Tìm tập xác định M b Tính giá trị x để M = c Rút gọn M
15 Cho a,b,c số đôi khác Chứng minh : b −c
(a −b) (a − c)+
c −a
(b −a)(b − c)+
a −b
(c −a)(c −b)=
2 a − b+
2 b − c+
2 c − a 16 Cho biểu thức : B = |x+10|
x4+9x3−9x2+9x −10
a Rút gọn B
b Chứng minh : n8 + 4n7 + 6n6 + 4n5 + n4 ⋮ 16 với n Z
a Rút gọn biểu thức : A= 2x+3y
xy+2x −3y −6−
6−xy xy+2x+3y+6 −
x2
+9
x2−9 với x -3; x 3; y -2
b Cho Biếu thức : A = (22− x+x − 4x x2−4−
2− x 2+x):
x2−3x 2x2− x3 a Tìm điều kiện có nghĩa Rút gọn biểu thức A
b Tìm giá trị x để A >
(3)19 a.Thực phép tính: a.A = 1− x1 +
1+x+
2 1+x2+
4 1+x4+
8 1+x8+
16 1+x16
b Rút gọn C = a2−9−
1 a2+9
1 a2−9+
1 a2
+9
−a
+9
a2 20 Cho a,b,c số đơi
Tính S = ab
(b− c) (c − a)+
bc
(a− b) (c − a)+
ac
(b −c) (a −b)
21 Tính giá trị biểu thức : 32a − ba− b+5b − a
3a+b−3 biết:
10a2−3b2−5 ab
=0∧9a2−b2≠0
22 Cho a + b + c = a2
+b2+c2=1
a Nếu xa=y
b= z
c Chứng minh xy + yz + zx = b.Nếu a3 + b3 + c3 = Tính giá trị a,b,c
23 Bài 11: Cho Biếu thức : A=2a −1
3a −1+ 5−a 3a+1
a Tính giá trị A a = -0,5
b Tính giá trị A : 10a2 + 5a = 3.
24 Chứng minh xyz = thì: 1
+x+xy+
1 1+y+yz+
1
1+z+zx=1
25 Chứng minh đẳng thức sau: a
+3 ab
a2−9b2+
2a2−5 ab−3b2 ab− a2−9b2 =
a2−an+bn+ab
3 bn− a2−an+3 ab
26 Thực phép tính: (1− 22)(1−
1 32)(1−
1
42) (1− 20082) 27 Tính tổng : S(n) = 2 51 +
5 8+ +
1
(3n −1) (3n+2)
28 Rút gọn tính giá trị biểu thức :
A = 2a3−12a2+17a−2
a −2
Biết a nghiệm Phương trình : |a2−3a
+1|=1
29 Gọi a,b,c độ dài cạnh tam giác biết rằng: (1+b
a)(1+ c b)(1+
a c)=8 Chứng minh tam giác tam giác
30 Chứng minh a,b số dương thỏa điều kiện: a + b = : a
b3−1− b a3−1=
2(b− a)
a2b2+3
31 Thực phép tính: A = x
2−yz
(x+y) (x+z)+
y2−xz
(x+y) (y+z)+
z2−xy
(y+z)(x+z)
32 Rút gọn biểu thức : A = a3+b3+c3−3 abc a+b+c
33 Chứng minh biểu thức sau dương TXĐ: B = (1− x
2)2 1+x2 :[(
1− x3 1− x +x)(
1+x3
1+x − x)]
34 Rút gọn Tính giá trị biếu thức với x + y = 2007 A = x(xx+5)+y(y+5)+2(xy−3)
(4)35 Cho số a,b,c thỏa mãn đẳng thức: a+b − cc =a+c − b
b =
b+c −a
a
Tính giá trị biểu thức P = (a+b)(b+c)(c+a)
abc
36 Cho biểu thức : A=4 xy− z
2
xy+2z2
4 yz− x2 yz+2x2
4 zx− y2
xz+2y2 Chứng minh :
x + y + z = A =
HƯỚNG DẪN: 13 P = (x
2
+a)(1+a)+a2x2+1
(x2−a)(1− a)+a2x2+1=
1+a+a2
1− a+a2
14 M = x 5−2x4
+2x3−4x2−3x+6
x2+2x −8
¿(x
+3)2(x2−1 ) x+4
15 b −c
(a −b) (a − c)=
1 a − b+
1 c − a =
c − a
(b− a) (b − c)=
1 b − c+
1 a −b = (c − aa− b) (c − b)=
b −c+ c − a 16
a.Rút gọn B = |x+10|
x4+9x3−9x2+9x −10=
|x+10| (x −1) (x+10)(x2
+1)
(x −1)(x2+1)
;(x>−10 lx≠1)
¿
−(x+10)
(x −1) (x+10)(x2+1);(x<−10)
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
b n8 + 4n7 + 6n6 + 4n5 + n4
¿[n(n+1)]4 17 A= 2x+3y
xy+2x −3y −6−
6−xy xy+2x+3y+6−
x2+9
x2−9
¿ 2x+3y
xy+2x −3y −6 −
6−xy xy+2x+3y+6−
x2
+9
x2−9=
0
(x −3) (x+3)(y+2)
18
a.A = (22− x+x − 4x
x2−4− 2− x
2+x):
x2−3x 2x2− x3=
4x2 x −3 b.A > ⇔ 4x2
(5)c
|x −7|=4⇒
x=11
¿
x=3
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
x = 11 ⇒A=121
2
x = ⇒ A không xác định 19
a.A = 1− x1 +
1+x+
2 1+x2+
4 1+x4+
8 1+x8+
16 1+x16=
32 1− x32 b Rút gọn C =
1 a2−9−
1 a2+9
1 a2−9+
1 a2
+9
−a
+9
a2 =−1 20 S = ab
(b− c) (c − a)+
bc
(a− b) (c − a)+
ac
(b −c) (a −b)
¿ab(a − b)+bc(b −c)+ac(c − a)
(a− b) (b − c)(c −a) =
−(a −b)(b − c)(c −a) (a− b) (b − c) (c −a) =−1
21 Từ: 10a2−3b2−5 ab=0∧9a2−b2≠0⇒5 ab=3b2−10a2 (1)
Biến đổi A = 2a − b 3a− b+
5b − a 3a+b −3=
3a2−15 ab−6b2 9a2− b2 (2) Thế (1) vào (2) ; A = -
22 Từ a + b + c = a2
+b2+c2=1 suy ra:
ab + bc + ca = (1) a Nếu xa=y
b= z c
suy : xa=y
b= z c=
x+y+z
a+b+c=x+y+z
⇒(x+y+z)2=x2+y2+z2 Suy xy + yz + zx =
b Áp dụng (a+b+c)3−(a3
+b3+c3)=3(a+b) (b+c) (c+a)
Từ a3 + b3 + c3 = Suy ra: 3(a+b)(b+c)(c+a)=0 Từ tính a , b , c.
23 Xem 21
24 Từ xyz = Biến đổi
1+x+xy+
1 1+y+yz+
1 1+z+zx
¿
1+y+yz+
y 1+y+yz+
yz 1+y+yz
25 Chứng minh : a2+3 ab
a2−9b2+
2a2−5 ab−3b2 ab− a2−9b2 =
a2−an+bn+ab
3 bn− a2−an+3 ab=
a+b
3b − a 26 (1−
22)(1− 32)(1−
1
42) (1− 20082) ¿1 1997
2 .1998
3 1999 1998=
1 1998
1999 =
(6)1 5+
1
5 8+ +
1
(3n −1)(3n+2)
¿1
3( 2−
1 5+
1 5−
1 8+
1 3n −1−
1 3n+2)=
n 2(3n+2)
28 A=2a
3−12a2
+17a −2
a −2 =2a
−8a+1
|a2−3a+1|=1⇔
a=0;a=3⇒A=1; A=−5
¿
a=1;a=2⇒A=−5
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
29 (1+b
a)(1+ c b)(1+
a c)=8⇔
(a −b)2
ab +
(b −c)2
bc +
(c −a)2
ca =0 30 Rút gọn
a
b3−1− b a3−1=
2(b− a)
a2b2+3=
(a − b)(a2+b2−1)
ab(b2+b+1) (a2+a+1)
31 x2−yz
(x+y) (x+z)=
x x+z−
y x+y =
y2−xz
(x+y) (y+z)=
y x+y−
z y+z
z2−xy
(x+z) (y+z)=
z y+z−
x
x+z Cộng vế A =
32 A = a3+b3+c3−3 abc a+b+c
a3
+b3+c3−3 abc=(a+b+c)(a2
+b2+c2−ab−bc−ca)
33 TXĐ: x ≠ ±1 ;B = 1+x2
34 A = x(xx+5)+y(y+5)+2(xy−3)
(x+6)+y(y+6)+2 xy =
(x+y+6)(x+y −1) (x+y+6)(x+y)
35 Từ: a+b − cc =a+c − b
b =
b+c −a
a
Suy ra: a+b − cc +2=a+c − b
b +2=
b+c −a
a +2 Suy ra: a+bc+c=a+c+b
b =
b+c+a
a
Suy ra: a + b + c = a = b = c P = -1 P =
36 Từ: x + y + z = suy ra: x3+y3+z3=3 xyz
A=M
N M=63x2y2z2−16 xyz(x3+y3+z3)+4(x3y3+y3z3+z3x3) N=9x2y2z2+2 xyz(x3+y3+z3)+4(x3y3+y3z3+z3x3)