Chúng giao nhau tại điểm... point is given inside.[r]
(1)Một mở rộng của định lý Simsơn
Định lý Simsơn được phát biểu sau: chân các đường vuông góc hạ từ một điểm thuộc đường tròn ngoại tiếp một tam giác xuống cạnh của tam giác đó thuộc một đường thẳngĐã có một mở rộng khá quen thuộc của định lý này, đó là: các điểm đối xứng của một điểm thuộc đường tròn ngoại tiếp một tam giác qua cạnh của tam giác đó thuộc một đường thẳng và đường thẳng đó qua trực tâm của tam giác
Ký hiệu tam giác đó là ABC, M là điểm đường tròn ngoại tiếp là các điểm đối xứng của M qua cạnh BC, CA, AB của tam giác H là trực tâm tam giác Thế thi
thẳng hàng và H thuộc đường thẳng
(2)Sự khác biệt đó khiến ta đặt câu hỏi là tại lại nghĩ điểm trực tâm tam giác ở đó mà không phải là điểm khác? Trực tâm có quan hệ thế nào với điểm đường tròn ngoại tiếp và nữa là đối với điểm đối xứng thi có gi đặc biệt?
Ta thấy rằng sự mở rộng đó đã nói đến các điểm đối xứng của M qua cạnh tam giác, vậy thi tại không xét đến các điểm đối xứng của H? Gọi điểm đối xứng tương ứng là
Ta hãy xét đường nối điểm ; phạm vi kiến thức của chúng ta thi hãy xét đến đường tròn và đường thẳng Ta thấy rằng đường tròn chính là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, và dĩ nhiên nó qua M
Như vậy thi đường tròn qua M và đường thẳng lại qua H
Nếu ta gọi đường tròn qua điểm đối xứng của điểm qua cạnh tam giác là đường tròn Simsơn và coi đường thẳng Simsơn là trường hợp suy biến của đường tròn Simsơn thi ta có thể nói rằng đường tròn Simsơn của điểm H qua điểm M và đường tròn Simsơn của điểm M qua điểm H
(3)Bởi vi bài toán đặt với các vị trí bất kỳ của M, N mặt phẳng và vấn đề xét liên quan tới điểm thuộc đường tròn nên ở ta sử dụng góc định hướng để giải quyết Để đơn giản xin được thay dấu bằng dấu = và bỏ ký hiệu (mod ) sau các biến đổi
Gọi các điểm đối xứng của M, N lần lượt qua BC, CA, AB là và X, Y, Z là hinh chiếu của M cạnh đó tương ứng
Chú ý đến tính đối xứng trục của các đường thẳng qua AC và qua AB thi ta có:
suy ra: (*)
Biến đổi ta không sử dụng điều kiện gi đẳng thức (*) thu được đúng với mọi cặp điểm M, N
Bây giờ giả sử rằng đường tròn Simsơn của điểm M qua điểm N tức là
Ta thấy rằng
= (XY, XM) + (XM, XZ)
= (AC, MC) + (MB, AB) (vi các tứ giác XMYC và XMZB nội tiếp) =(AC, AB) + (AB, MC) + (MB, AB)
=(AC, AB) + (MB, MC)
Vậy nếu thi
Tương tự để cho thi
Thay vào biểu thức (*) ở ta sẽ thu được điều kiện sau: (MB, MC) + (NB, NC) =
Tức là (vi M và đối xứng qua BC)
Điều đó có nghĩa là
(4)Hãy gọi giao điểm của và là K Ta có:
= (ZY, ZX) + (BC, BM)
= (ZY, ZM) + (ZM, ZX) + (BC, BM) = (AC, AM) + (BM, BC) + (BC, BM) = (AC, AM)
Từ đó suy rằng Tương tự thi
Như vậy thi đường tròn đồng quy tại K
Trở lại với bài toán chính của chúng ta thi ta thấy điểm N K chính là điểm cần tim
Chú ý rằng vai trò của điểm M và N là điều kiện cũng phải binh đẳng đối với điểm, tức là M cũng là điểm chung của các đường tròn
(5)Vậy điều kiện cần sẽ là: M là điểm chung của đường tròn của N và N là điểm chung của đường tròn của M (thực cần điểm là điểm chung của đường tròn của điểm kia) Điều kiện đủ được suy bằng cách biến đổi ngược lại, dựa vào số kết quả trung gian (không phụ thuộc vào vị trí của M và N) thu được ở
Để ý là phát biểu nói rằng M (hay N) là điểm chung của đường tròn chứ không phải là điểm chung nhất, tức là có những trường hợp mà các đường tròn trùng nhau, đó sẽ có nhiều cặp điểm thỏa mãn yêu cầu đặt Trong trường hợp không suy biến thi đối với mỗi điểm M tồn tại nhất điểm N thỏa mãn
Bây giờ ta hãy xét trường hợp đặc biệt của kết quả thu được, đó chính là sự mở rộng được nói đến ban đầu của định lý Simsơn Trong trường hợp này M là trực tâm H của tam giác
Khi đó các đường tròn trùng với đường tròn ngoại tiếp
tam giác ABC Do đó với điểm N bất kỳ (ABC) thi đường thẳng (do đường tròn suy biến thành) sẽ luôn qua điểm M là trực tâm tam giác
Ta thấy rằng ở đã xét đến các điểm đối xứng của M, N qua các cạnh của tam giác ABC và các biến đổi của chúng ta đều liên hệ đến đối xứng trục Một cách tương tự ta sẽ nghĩ đến đối xứng tâm Và sự “tương tự” khiến ta nghĩ đến việc chọn tâm đối xứng là các trung điểm D, E, F của các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC
Gọi các điểm đối xứng của M, N qua D, E, F lần lượt là , và Ta hãy xét bài toán giống trên, tức là tim điều kiện để nếu thi
(6)Một cách tương tự ta sẽ dùng biến đổi góc định hướng, với chú ý là đối xứng tâm nên , đó biểu thức của chúng sẽ rất gọn sau
Lại chú ý thêm rằng các đoạn thẳng song song và bằng nhau; cũng tương tự
đối với các đoạn thẳng ;
Từ đó suy nếu tức là thi cũng có
hay M cũng thuộc
Kết luận ta thu được rộng so với bài toán trước rất nhiều, đó là đối với mỗi điểm M thi tập hợp các điểm N thỏa mãn điều kiện bài toán là toàn bộ đường tròn
Như đã nói ở trên, vai trò binh đẳng giữa điểm M, N từ kết luận này ta có thể suy bài toán hệ quả sau: chứng minh rằng các đường tròn qua điểm cố định N di chuyển đường tròn (điểm M)
Ta thấy kết luận đơn giản bài toán trước nhiều, ta sẽ cố tim cho nó chứng minh khác cũng đơn giản kết luận của nó vậy Hãy chú ý đến các trung điểm, nếu ta vị tự tâm M tỉ sớ ½ thi đường tròn sẽ trở thành đường tròn (DEF) tức đường tròn Ơle của tam giác ABC Do đó nếu thi trung điểm của MN sẽ thuộc đường tròn Ơle của tam giác ABC Kết quả này binh đẳng với M và N cũng có thể kết luận được M cũng
thuộc
(7)trên (ABC)
Ở bài toán ban đầu đặt ra, kết quả thu được nhờ vào sự đồng quy của đường tròn Vậy ở bài toán này điều đó có xảy không?
Gọi K’ là giao điểm của và Khi đó:
= (BC, AC) + (MC, BC) (do các đoạn thẳng song song) = (MC, AC)
Điều đó có nghĩa là Tương tự
(8)Đến hãy để ý là các điểm cùng nằm đường tròn (cũng tương tự cho bộ điểm còn lại) Cho nên đường tròn này thi có thêm đường tròn là mới Kết hợp với kết quả của bài toán trước thi ta có tất cả đường tròn đồng quy:
Bây giờ nhin lại cách tổng quát, ta thấy từ M có hạ các đường vuông góc, rồi lại có các trung điểm, điều đó khiến ta nghĩ đến đường tròn Ơle Nếu dùng phép vị tự tâm M tỉ sớ ½ thế thi các đường tròn sẽ trở thành các đường tròn Ơle của các tam giác MBC, MCA, MAB; còn đường tròn trở thành đường tròn Ơle của tam giác ABC Từ kết luận về tính đồng quy của các đường tròn suy là các đường tròn Ơle của các tam giác MBC, MCA, MAB, ABC đồng quy
(9)Nếu gọi G là trọng tâm tứ giác thi qua phép đối xứng tâm G thi đường tròn Ơle của tam giác BCD trở thành đường tròn qua trung điểm của AB, AC, AD Tương tự đối với tam giác còn lại thi từ sẽ có: các đường tròn qua trung điểm các đoạn nối từ đỉnh của tứ giác đến đỉnh còn lại đồng quy
Lại áp dụng ngược kết quả này vào bài toán ban đầu đối với điểm M thay cho điểm D Dùng phép vị tự ngược lại tâm M tỉ số thi sẽ suy các đường tròn
(10)Sự tương tự khiến ta nghĩ đến sự đồng quy của các đường tròn
Điều này có thể chứng minh sau: Gọi T là giao điểm của (ABC) và Khi đó:
= (YZ, AC) + (MA, AC) + (CA, CB) = (MZ, MA) + (MA, BC)
= (MZ, BC)
= (MZ, ZX) + (ZX, BC)
(11)Lại chú ý thêm rằng tam giác qua phép vị tự tâm M trở thành tam giác hinh chiều của M đối với tam giác ABC Và đường tròn ngoại tiếp tam giác hinh chiếu này cũng qua điểm đồng quy của đường tròn Ơle của các tam giác MBC, MCA, MAB, ABC Vi vai trò của các điểm M, A, B, C binh đẳng nên nếu đổi vai trò của điểm M cho bất cứ điểm nào điểm A, B, C ta cũng có kết quả vậy Do đó, ta phát biểu lại sau cho cân đối:
Cho tứ giác ABCD Gọi các đường tròn ngoại tiếp các tam giác hinh chiếu của điểm đối với tam giác tạo bởi điểm còn lại lần lượt là Gọi các đường tròn Ơle của các tam giác tạo bởi điểm lần lượt là Khi đó các đường tròn
(12)Kết quả có trường hợp đặc biệt Đó là tứ giác ABCD nội tiếp thi các đường tròn Ơle của các tam giác ABC, BCD, CDA, DAB đồng quy tại điểm E, điểm này được gọi là điểm Ơle của tứ giác ABCD Với kết quả mở rộng này chúng ta có thể gọi điểm đồng quy là điểm Ơle đối với tứ giác bất kỳ, không nhất thiết phải nội tiếp
(13)1)Cho tam giác với đường tròn nội tiếp , đường cao là trung điểm của , là trung điểm cắt ở Chứng minh rằng và tiếp xúc
2) Cho tam giác nội tiếp đường tròn và điểm thay đổi không trùng với các đỉnh Ký hiệu là đường thẳng Simpson của đối
với cac tam giác
Chứng minh rằng đồng quy tại một điểm
Tim quỹ tích thay đổi không trùng với các đỉnh
3) Cho nhọn Lấy đoạn các điểm mà và
Lấy đoạn các điểm mà và
Lấy đoạn các điểm mà và
Gọi:
(14)thứ hai
lần lượt là đường tròn ngoại tiếp Chúng giao tại điểm thứ hai
lần lượt là đường tròn ngoại tiếp Chúng giao tại điểm thứ hai
Chứng minh rằng: đường tròn ngoại tiếp qua một điểm cố định
4) Cho là một tam giác nhọn , là các đường cao, là trực tâm lần lượt là các phân giác và ngoài của góc Gọi lần lượt là trung điểm các đoạn
Chứng minh rằng
(a) vuông góc với
(b) Nếu cắt đoạn thằng tại các điểm thi :
5) Cho điểm phân biệt nằm đường thẳng theo thứ tự là đường tròn qua và không nhận là đường kính Gọi là giao điểm tiếp tuyến của tại và Đường tròn cắt tại
CMR: Giao điểm của đường phân giác và đường thẳng không phụ thuộc vào cách chọn
6) cân tại là tâm nội tiếp tam giác
là điểm nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác và nằm tam giác Đường thằng qua song song với và lần lượt cắt tại và
Đường thằng qua song song với lần lượt cắt và tại và
CMR: giao điểm của và nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác
7) Quadrilateral is inscribed in a circle with center point is given inside
Let be the circumcenters of triangles ,
(15)8) Cho tam giác với trọng tâm Lấy cho
đồng quy tại một điểm Gọi lần lượt là trung điểm và theo
thứ tự là trung điểm
1 Chứng minh rằng đồng quy tại một điểm mà thẳng hàng Chỉ rõ vị trí hinh học của
(i) là chân ba đường cao của
(ii) là chân ba đường phân giác của 9)
(16)Chứng minh rằng các điểm A',B',C',D' đồng viên (hoặc thẳng hàng) và các điểm đồng viên (hoặc thẳng hàng)
11) Cho tam giac ABC nội tiếp (O).Gọi (E) là đường tròn Euler tam giác ABC.MM' là đường kính của (O).Các đường đối cực của M,M; với (E) cắt ở S.Chứng tỏ S nằm
trên đường thẳng vuông góc với OH(H là trực tâm ABC)
12)cho tam giác ABC có Đường tròn nội tiếp tam giác có tâm và tiếp xúc với các cạnh lần lượt tại và Các đường thẳng lần lượt cắt đường thẳng tại và CMR:
13) Tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), D là một điểm bất ki BC của tam giác Các đường tròn cùng tiếp xúc với (O), cùng tiếp xúc với đoạn DA và thoe thứ tự tiếp xúc với các đoạn DB, DC Chứng minh qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC
14) Trong mặt phẳng P cho tam giác đều ABC Gọi A',B',C' theo thứ tự là các hinh chiếu các đường thẳng BC,CA,AB của điểm M bất ki mặt phẳng và G là trọng tâm của Chứng minh rằng ánh xạ từ là phép biến hinh
của mặt phẳng
15) Cho nội tiếp đường tròn Với mỗi , ký hiệu
để đường thẳng Simpson của điểm đối với tam giác Xét đường kính thay đổi của Tim quỹ tích giao điểm của và
16) Cho tam giác ABC Các đường cao AH, BK Các đường phân giác AE, BF Gọi O, I lần lượt là tâm đường tròn nội tiêp ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh rằng H,I,K thẳng hàng và E,O,F thẳng hàng
(17)17) Cho , , nội tiếp thuộc tia đối tia đường tròn tiếp xúc , tiếp xúc ngoài và tiếp xúc tại CMR:
18) Cho đường tròn tâm Dựng hai đường tròn tiếp xúc ngoài tại và tiếp xúc Tiếp tiếp chung ngoài của và cắt ở và Tiếp tuyến chung của chúng cắt tại ; và cùng phía đối với Chứng minh là tâm nội tiếp
19)Cho và tiếp xúc với tại
Trên đường tròn ta lấy một điểm bất kỳ và kẻ từ tới các tiếp tuyến.Gọi là giao điểm của các tiếp tuyến với
Tim quỹ tích tâm nội tiếp tam giác
20) Cho hai đường tròn không bằng và tiếp xúc tại Các điểm
tương ứng chạy cho Đường tròn nằm tam giác ,tiếp xúc ngoài với đường tròn và tiếp xúc với tại CMR:
chạy đường tròn cố định
21) Cho điểm ở tứ giác lồi Gọi theo thứ tự là hinh chiếu của
các đường thẳng Xác định các tứ giác cho
theo thú tự là hinh chiếu của các đường thẳng
với
1 Chứng minh rằng các tứ giác đồng dạng Trong tứ giác đầu tiên, những tứ giác nào dồngdangj với tứ giác
(18)tự đối xứng với qua đường phân giác (trong) của các góc Chứng minh rằng các đường thẳng đồng quy tại một điểm đường tròn
23) Cho tam giác nội tiếp đường tròn Gọi là tâm đường tròn Ơ-le, lấy điểm
thỏa mãn Giả sử rằng trung trực cắt tại , các
điểm được xác định tương tự Chứng minh rằng cùng nằm một đường thẳng vuông góc với
24) Cho tam giác đều nội tiếp đường tròn Một đường kính thay đổi của cắt các đường thẳng tại theo thứ tự đó Cmr đường thẳng Ơle của các tam giác giới hạn nên một tam giác đều
25) Cho đường tròn Chứng minh rằng tứ giác là điều hòa và tồn tại bốn hinh tròn thỏa mãn:
1) tiếp xúc
2) tiếp xúc tại 3) tiếp xúc
với
26) Đường tròn nội tiếp của tam giác tiếp xúc với tại là điểm bất kỳ mặt phẳng của tam giác Gọi là hinh chiếu của theo thứ tự các đường thẳng Chứng minh rằng đường tròn qua trọng tâm các tam
giác có đường kính bằng
27)
Cho điểm M ở ngoài đường tròn (O) Kẻ ba đường thẳng cho nằm giữa
và (A nằm giữa M
(19)29) Cho tứ giác nội tiếp đường tròn và là điểm bất kỳ mặt phẳng Gọi
theo thứ tự là tâm các đường tròn
CMR trung điểm của thẳng hàng
30) Cho tam giác và các đừong tròn cho tiếp xúc với ;
tiếp xúc với và tiếp xúc với ; tiếp xúc với và tiếp xúc với ;
tiếp xúc với và tiếp xúc với Chứng minh rằng
31) Trong mặt phẳng cho hai tam giác Lấy các điểm cho Gọi
Chứng minh rằng đồng quy
32) Cho tứ giác lồi Lấy đối xứng với qua đường thẳng , đối xứng với qua đường thẳng và đối xứng với qua đường thẳng Biết rằng Cmr tứ giác nội tiếp
33) Cho tam giác nhọn, trực tâm ngoại tiếp đường tròn có Gọi
theo thứ tự là trung điểm , Gọi là
tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Cmr thẳng hàng
34) Trong mặt phẳng, qua điểm O cho trước, kẻ 2005 đường thẳng phân biệt bất ki Trên mỗi đường thẳng lấy một điểm khác O Chứng minh rằng có thể chọn các điểm cho
(20)PDatK40SP: Bạn nối cạnh đối ví dụ và cắt tại đỉnh chẳng hạn thi gọi cát tuyến cắt tại thi và hoàn toàn xác định bạn ạ
2/Xác định tứ giác có cả đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp ?
36) Nếu là các điểm thuộc cạnh của cho thi
_
PDatK40SP: Bạn có thể lấy phân giác kẻ từ đỉnh của và từ việc và chung đường phân giác đó; bạn dùng công thức tính khoảng cách đường phân giác để có phương trinh bạn ạ
37) Cho và là tâm đường tròn ngoại tiếp và tâm đường tròn nội tiếp của không
đều tiếp xúc tại
và cắt tại , và cắt tại là trung điểm đoạn
CMR:
38) Cho
Gọi là tâm hinh vuông nội tiếp tam giác có đỉnh ,một đỉnh ,một đỉnh
xác định tương tự
Chứng minh: đồng quy
39) Cho nội tiếp và điểm nằm tam giác Các tia lần lượt cắt tại Tim tập hợp điểm để có:
+ Diện tích cho trước + Chu vi cho trước
Hệ quả: Tim các điểm để và các điểm để
40) cho tam giác ABC r là bán kính đường tròn nội tiếp Rlaf bán kính ngoại CMR : >2r
41) Cho tam giác
a) Chứng minh rằng các đường trung tuyến chia tam giác thành sáu tam giác có các tâm đường tròn ngoại tiếp của chúng nằm một đường tròn
(21)chia tam giác thành sáu tam giác con, cho tâm các đường tròn ngoại tiếp của chúng nằm một đường tròn
42) Cho tam giác có Gọi là trung điểm Giả sử
Tính độ lớn các góc của tam giác
43) điểm JEBAREK
Cho tam giác Gọi là trực tâm và tâm ngoại tiếp ABC.Gọi là chân đường cao hạ từ A,B,C xuống ba cạnh tương ứng
1) Các đường thẳng Euler của đồng qui tại điểm gọi là điểm Jebarek cua tam giác ABC.(Jebarek point)
Tim tọa độ cực của J đối với
2) nằm (Đường tròn Euler ) của
3)Các đường tròn Euler của các tam giác đồng qui ở J Nói cách khác đường tròn có điểm chung
4)Gọi là tâm ABC.Ba đường tròn có điểm chung
5)Với là trung điẻm
Hai đường thảng SimSon của J đối với tam giác và song song
44)tiep xuc
Cho tam giác nội tiếp Đường tròn ( ') tiếp xúc với tại , tiếp xúc với
(22)Nhận xét 1: cho tam giác là đường tròn bàng tiếp góc Ngoài đoạn lấy
sao cho , CMR: tứ giác và nội tiếp
Chứng minh: Gọi S,P,Q là các tiếp điểm của với BC,CA,AB Do
và là phân giác góc , từ đó là phân giác góc và theo tính chất đối xứng
thi suy và
suy ra:
Suy nội tiếp Tương tự nội tiếp
Nghịch đảo ngược lại với tâm phương tích bất ki ta có bài toán quen thuộc:
Hệ 1:
Cho tam giác nội tiếp Đường tròn tiếp xúc với tại Tiếp xúc với ở Khi đó tâm nội tiếp tam giác (điểm ) nằm
Gọi là phân giác ngoài với thuộc ta có vuông góc với suy :
mà suy đồng viên đó:
Hệ 2:
Phân giác của qua Trước hệ quả thường dùng để chứng minh hệ quả và phải dùng đến phương pháp trùng không đẹp và gọn Chứng minh rõ ràng tự nhiên và dễ hiểu nhiều
Gọi là trung điểm cung không chứa
Áp dụng hệ quả cho cắt ở cắt ở , ta có tam giác đồng
dạng với tam giác suy suy
mà dẫn đến vuông góc với suy thuộc đường tròn mà cũng thuộc từ đó trùng với (do tam giác ABC không cân)
Hệ 3:
cắt ở , đó Điều này dẫn đến bài toán sau:
Hệ 4:
Cho tam giác nội tiếp Đường tròn tiếp xúc với tại Tiếp xúc với Tương tự có Đường tròn nội tiếp tiếp xúc với ở
CMR:
(23)Hệ 5: cho tam giác nội tiếp là đường tròn bàng tiếp góc cắt ở (khác ) tiếp xúc với ở
CMR: và
Chọn điểm S là tâm nghịch đảo ta sẽ thu được hinh vẽ sau:
, cắt tại A và S PQ là tiếp tuyến chung ngoài, đường thẳng qua A song song với P,Q cắt ở B, ở C T là điểm đối xứng với A qua trung điểm L của PQ Trước hết dễ thấy = = =
Mặt khác, từ đó suy rằng tam giác PBT đồng dạng với QTC Từ đó ((STP),(STB))=((STQ),(STC))
Hệ 6:
Cho AS cắt PQ ở T CMR: Từ hệ quả ta thu được :
Hệ 7:
SI cắt BC ở W CMR: TW là phân giác Chứng minh:
= = suy ra:
= (*)
Ta lại có:
=1(**)
Từ (*) và (**) suy ra: = = suy (K,W,B,C)=-1 suy TW là phân giác
1) TW TK và TW//AI
2) AW,BQ<CP đồng qui 41)duong thang ole
Tính chất sau khá hay (Được chứng minh bởi EmelyYanova-Russia) Cho là tam giác.Gọi là đường tròn Euler của nó
(24)b)Gọi cắt ở Tuơng tự có Chứng minh F nằm (A'B'C');
c) tiếp xúc với ?
d)Nêu nhận xét về các đường tròn tương tự đường tròn câu b) ?
1/Tâm đường tròn Euler thuộc đt Euler và cùng với O,G,H tạo nên hàng điểm điều hòa
2/ v.v
3/1 đt bất kỳ qua tâm E đ/tròn Euler thi tống các khoảng cách đại số từ các đỉnh tam giác và trực tâm đến đt đó=0
4/1 đt bất kỳ thi tổng các khoảng cách đs từ các đỉnh và trực tâm đến nó= 4d(E, đường thẳng đó)
(Hãy mở rộng đ/lý 3,4 sang điểm bất kỳ tam giác và(mp nếu có thể)),
45)Tam giác nội tiếp trực tâm : qua , đối xứng d qua BC Tương tự có thi
1/ đồng quy tại điểm gọi là điểm Antisteiner(As) của
2/với mỗi điểm tồn tại nhất đường thẳng qua nhận là điểm As d gọi là đường thẳng Steiner của
Cmr chính là ảnh vị tự tâm tỷ só của đường thẳng simson ứng với của tam giác
3/ Cho cố định đường thẳng qua , gọi là đối xứng của qua
Cmr và đồng quy tại chính As của
4/Gọi là As của đường thẳng Euler là khoảng cách của đến đường thẳng
Cmr
(25)