LUAN VAN TOAN

Bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học Vinh Nguyễn thu hồng Về Phơng trình vô định nghiệm nguyên không mẫu mực Luận văn thạc sĩ toán học Vinh-2008 Bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học Vinh Nguyễn thu hồng Về Phơng trình vô định nghiệm nguyên không mẫu mực Luận văn thạc sĩ toán học Chuyên ngành: đại số và Lý thuyết số Mã số: 60 46 05 Ngời hớng dẫn khoa học PGS.TS. Nguyễn Thành Quang Vinh - 2008 Mục lục Trang Mục lục 1 Mở đầu 2 Chơng I Phơng trình vô định bậc nhất 1.1 Phơng trình vô định bậc nhất hai ẩn 4 1.2 Nghiệm nguyên của phơng trình bậc nhất hai ẩn 5 1.3 Phơng pháp tìm nghiệm riêng của phơng trình bậc nhất 6 1.4. Phơng trình vô định bậc nhất nhiều ẩn 10 1.5 Hệ phơng trình vô định bậc nhất nhiều ẩn 14 Chơng II.Phơng trình vô định bậc hai 2.1 Phơng trình vô định bậc hai hai ẩn 17 2.2 Phép biến đổi dạng toàn phơng 18 2.3 Biểu diễn số nguyên theo dạng toàn phơng 20 2.4 Biểu diễn số nguyên theo dạng toàn phơng biến đổi 22 2.5 Phép biến đổi dạng toàn phơng và nghiệm phơng trình. 24 2.6 Phơng trình dạng toàn phơng có định thức bằng không. 27 2.7 Phơng trình dạng toàn phơng có định thức khác không. 28 Chơng IIISử dụng tính chất số nguyên tố vào giải ph- Ương trình nghiệm nguyên I. Một số tính chất của số nguyên tố 33 II.Một số phơng pháp giải phơng trình vô định nghiệm nguyên 42 không mẫu mực Kết luận 51 Tài liệu tham khảo 52 Mở đầu Ngày nay song song với các công trình nghiên cứu lí thuyết số bằng ngôn ngữ toán học hiện đại, những vấn đề cổ điển của lý thuyết số vẫn đã, đang và tiếp tục đợc nghiên cứu. Chẳng hạn: Việc dùng những máy tính hiện đại với những chơng trình đặc biệt để tìm các chữ số thập phân của số vẫn đang đợc tiếp tục, hay việc tìm công thức tổng quát cho các số nguyên tố cũng nh việc tìm những con số đặc biệt, nh số Fermat, các cặp số bạn bè (amicable,or friendly numbers) vẫn đang là đề tài hấp dẫn của biết bao ng ời yêu lý thuyết số. Diophantus of Alexandria( 200-284 trớc Công nguyên): Nhà toán học HyLạp đã hệ thống tất cả các bài toán phơng trình vô định vào bộ sách 13 tập có tên Số học. Cho đến ngày nay bộ sách này chỉ còn 6 tập với 189 bài toán. Ông là ngời có công nhiều nhất cho việc thiết lập cách giải phơng trình vô định.Và rất lâu sau khi ra đời cuốn sách Diophantus nhà toán học ngời Pháp P. Fermat đã khẳng định: Phơng trình vô định: x n + y n = z n với n 3 nguyên, không có nghiệm nguyên dơng. Khẳng định này mang tên định lý lớn Fermat. Ngay từ thời thợng cổ, các nhà toán học đã quan tâm giải các phơng trình vô định. Có rất nhiều vấn đề lý thú chung quanh giải phơng trình Diophantus, và có thể đề ra vô số các phơng trình Diophantus phức tạp Nhng phải chăng mọi phơng trình đều đáng nghiên cứu? Sê-b-sép đã trả lời câu hỏi đó : " Mọi phơng trình chứa nhiều ẩn đều là đối tợng nghiên cứu của lí thuyết số. Nhng không phải tất cả các phơng trình đó đều có thể nghiên cứu đợc nh nhau và không phải đều có tầm quan trọng nh nhau trong ứng dụng".Trong thực tế, chúng ta thờng gặp những phơng trình lạ, không bình thờng, những phơng trình nh vậy thờng đợc gọi là không mẫu mực (non- standard problems) . Trong luận văn này, chúng tôi căn cứ trên những đặc điểm lạ của từng phơng trình để lựa chọn, áp dụng một số phơng pháp riêng, phù hợp để giải phơng trình có đặc điểm lạ đó. Luận văn đợc chia làm ba chơng: Chơng I. Phơng trình vô định bậc nhất. Nội dung chơng này là các phơng pháp tìm nghiệm nguyên phơng trình vô định bậc nhất hai ẩn. Phơng pháp giải phơng trình vô định bậc nhất nhiều ẩn và hệ phơng trình vô định. Chơng II. Phơng trình vô định bậc hai. Bằng cách tiếp cận theo dạng toàn phơng của Gauss, chúng tôi giải phơng trình vô định bậc hai hai ẩn tổng quát. Dạng toàn phơng đợc trình bày để rút ra phơng pháp tìm nghiệm riêng và tổng quát của phơng trình vô định bậc hai. Chơng này ta đi giải phơng trình vô định hai ẩn bậc hai ở dạng toàn phơng. Chơng III.Sử dụng tính chất số nguyên tố để giải phơng trình vô định nghiệm nguyên không mẫu mực. Trong chơng này chúng tôi sử dụng một số tính chất của số nguyên tố và đa ra các phơng pháp giải phơng trình nghiệm nguyên cụ thể. Luận văn đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn tận tình của thầy giáo PGS.TS Nguyễn Thành Quang. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy, ngời đã trực tiếp hớng dẫn, dành cho tác giả sự giúp đỡ tận tình và tâm huyết trong suốt quá trình học tập cũng nh trong thời kỳ hình thành và hoàn thành luận văn. Tác giả cũng cảm ơn các thầy giáo trong tổ đại số đã giảng dạy và đóng góp những ý kiến quý báu trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Tác giả xin chân thành cảm ơn tới gia đình và bạn bè đã dành cho tác giả sự giúp đỡ vô cùng quý báu trong suốt quá trình học tập. Vinh, tháng 1 năm 2009 Tác giả CChơng I Phơng trình vô định bậc nhất 1.1. Phơng trình vô định bậc nhất hai ẩn Dạng tổng quát phơng trình vô định bậc nhất hai ẩn x và y là ax + by + c = 0 (1.1) ở đây a,b,c là những số nguyên gọi là hệ số của phơng trình. Mỗi cặp số (x 0 , y 0 ) thoả mãn đẳng thức (1.1), nghĩa là ax 0 + by 0 + c = 0, gọi là nghiệm của phơng trình (1.1). 1.1.1.Định lý. Điều kiện cần và đủ để phơng trình (1.1) có ít nhất một nghiệm nguyên là ớc số chung lớn nhất của các số a và b là ớc số của số c. Chứng minh. 1. Điều kiện cần: Kí hiệu d là ớc số chung lớn nhất của a và b. Ta có các đẳng thức a = da 1 , b = db 1, với a 1 và b 1 là những số nguyên. Nếu (x 0 , y 0 ) là một nghiệm nguyên của (1.1), ta có: ax 0 + by 0 + c = 0 hoặc là da 1 x 0 + db 1 y 0 + c = 0 Từ đẳng thức trên ta thấy c phải chia hết cho d. Nhng d là ớc số chung lớn nhất của a và b, suy ra nếu phơng trình (1.1) có ít nhất một nghiệm nguyên, thì cần thiết ớc số chung lớn nhất của a và b cũng là ớc số của c. 2. Điều kiện đủ: Cho (a,b) = d thì tồn tại những số nguyên A và B sao cho aA + bB = d (1.2) Nếu c chia hết cho d, ta có thể viết c = dc 1 , với c 1 là một số nguyên. Ta nhân hai vế của đẳng thức (1.2) với số - c 1 . Ta nhận đợc - c 1 aA - c 1 bB = - dc 1 hoặc là a(- c 1 A) + b(- c 1 B) + c = 0. Từ đẳng thức sau cùng ta thấy rằng (- c 1 A, - c 1 B) là một nghiệm nguyên của phơng trình (1.1). Nh vậy điều kiện ớc số chung lớn nhất của a và b là ớc số của số c là đủ để phơng trình (1.1) có ít nhất một nghiệm nguyên. Trong định lí trên hệ số a và b nguyên tố cùng nhau, thì phơng trình (1.1) luôn có ít nhất một nghiệm nguyên. 1.1.2. Định lí. Nếu trong phơng trình (1.1) những hệ số a và b nguyên tố cùng nhau và (x 0 , y 0 ) là một nghiệm nguyên, thì tất cả nghiệm nguyên của phơng trình nhận từ công thức 0 0 x x bt y y at = + = + (1.3) ở đây t là số nguyên bất kỳ. Chứng minh. Bằng cách thế (1.3) vào (1.1) dễ thấy đó chính là nghiệm của ph- ơng trình. Ta sẽ chứng minh rằng mọi nghiệm của (1.1) đều có dạng (1.3) Giả sử (x 0 , y 0 ) là một nghiệm đã cho, còn (x 1 , y 1 ) là một nghiệm nguyên bất kỳ. Khi đó ta luôn tìm đợc những số và sao cho x 1 = x 0 + , y 1 = y 0 + . Vì (x 1 , y 1 ) là nghiệm của (1.1), ta có a(x 0 + ) + b(y 0 + ) + c = 0, hoặc là ax 0 + by 0 + c +a + b = 0, Nhng ax 0 + by 0 + c = 0, do (x 0 , y 0 ) là nghiệm của (1.1). Ta nhận đợc đẳng thức a + b = 0 (1.4) Từ đẳng thức này ta thấy rằng b phải chia hết cho a và vì a và b là nguyên tố cùng nhau nên suy ra chia hết cho a. Ta có thể viết đẳng thức = at 1 với t 1 là nguyên. Thay những giá trị đã tìm của và vào (1.4) và đơn giản thừa số chung ta nhận đợc t + t 1 = 0 tức là t 1 = -t. Từ đó suy ra = bt, = -at. Từ đó lại suy ra x 1 = x 0 + bt, y 1 = y 0 - at. Từ phần trên ta thấy muốn tìm tất cả các nghiệm của phơng trình (1.1), cần thiết phải tìm một nghiệm nguyên cụ thể ta gọi là nghiệm riêng. 1.1.3. Phơng pháp tìm nghiệm riêng của phơng trình bậc nhất a) Phơng pháp biến số nguyên Phơng trình đã cho đợc thay thế bằng phơng trình khác dễ tìm nghiệm nguyên hơn, và sau đó tìm nghiệm nguyên tơng ứng của phơng trình đã cho. Ta xét một số ví dụ sau. Ví dụ. Tìm nghiệm nguyên của phơng trình 12x - 19y + 21 = 0 Lời giải: Ta có 19 21 7 9 1 12 12 y y x y = = + . Dễ thấy 7 9 12 y phải là số nguyên ta kí hiệu là z. Ta có 7y - 9 = 12z. Từ đó lại có 5 2 1 7 z y z + = + + Ta lại ký hiệu u là số nguyên 5 2 7 z + , nhận đợc 5z + 2 = 7u. Từ đó có 2 2 5 u z u = + . Ta lại đặt 2u - 2 = 5t và để thấy nghiệm nguyên t = -2, u = -4, suy ra z = -6 và y = -9 và suy ra x = -16. Do đó tất cả nghiệm của phơng trình là x = -16 - 19t,y = -6 - 12t với t = 0, 1, 2, Dùng tính chất đồng d, đặc biệt là hàm Euler 1 thông qua định lí sau: b) Phơng pháp hàm EULER. Cho a và b là những số dơng và nguyên tố cùng nhau trong phơng trình (1.1). Khi đó số x 0 = - ca (b) - 1 , y 0 = c ( ) 1 b a b là một nghiệm nguyên của phơng trình vô định (1.1) Chứng minh. Ta khẳng định rằng những số x 0 và y 0 là nguyên. Dễ thấy số x 0 là nguyên. Theo định lí Euler-Fermat ta có a (b) 1 (modb), nghĩa là a (b) - 1 chia hết cho b và suy ra y 0 cũng là số nguyên. Bằng cách kiểm tra trực tiếp x 0 và y 0 là nghiệm của (1.1): ax 0 + by 0 = aca (b) - 1 + bc ( ) 1 b a b = ca (b) + c(a (b) - 1) = -c Ví dụ.Tìm nghiệm nguyên của phơng trình 5x + 12y - 20 = 0 Lời giải. Theo công thức trên ra có x 0 = 20.5 (12) -1 , y 0 = 20. (12) 5 1 12 Những số dơng nhỏ hơn 12 và nguyên tố cùng nhau với 12 là 1, 5, 7, 11 và suy ra (12) = 4. Khi đó x 0 = 20.3 3 = 2500, y 0 = 20. 4 5 1 12 = -1040. Nh vậy tất cả các nghiệm nguyên của phơng trình trên là: x = 2500 + 12t,y = -1040 - 5t,t = 0, 1, 2, Chú ý. Khi hệ số a và b không phải là số dơng thì ta có thể biến đổi các ẩn để cho phơng trình chỉ có hệ số nguyên dơng. Ví dụ nếu a > 0 và b < 0 khi đó ph- ơng trình (1.1) ta xét thấy bằng ax + (-b) y' + c = 0 ở đây y đợc thay bằng y'. Khi tìm đợc x 0 , y' 0 sẽ tìm đợc x 0 , y 0 . c) Phơng pháp dùng liên phân số Cho liên phân số = ( q 1 , q 2 , q 3 , . q n , .) Hai dãy số P n , Q n ( n= 1,2,3, .) theo công thức sau: P n = q n P n-1 + P n-2 Q n = q n Q n-1 + Q n-2 (1.5) ở đây P 0 = 1, Q 0 = 0, P 1 = q 1 , Q 1 = 1 Với mọi số tự nhiên n, đẳng thức sau đúng: P n Q n- 1 - Q n P n - 1 = ( -1) n (1.6) Thật vậy, ta chứng minh bằng phơng pháp quy nạp. Với n = 1 đẳng thức hiển nhiên đúng. Giả sử nó đúng với n, ta sẽ chứng minh đẳng thức đúng với n + 1. áp dụng (1.5) ta có: P n + 2 Q n +1 - P n +1 Q n + 2 = (P n+1 q n+2 +P n )Q n+1 - P n+1 ( Q n+1 q n + 2 +Q n ) = - (P n+1 Q n - P n Q n+1 ) = -(- 1) n =(-1) n + 1 Nh vậy (1.6) đúng với mọi n. Nh nhận xét phần trớc ta có thể giả thiết rằng a và b là những số dơng. Cho ph- ơng trình (1.1) ít nhất có một nghiệm nguyên. Nh vậy nếu (a,b) = d, thì phải có đẳng thức c = dc 1 với c 1 nguyên. Ngoài ra a và b thoả mãn phơng trình a[(-1) n Q n -1 ] + b [-(-1) n P n-1 ] = d. Nhân hai vế với c 1 , ta nhận đợc a[(-1) n c 1 Q n -1 ] + b [(-1) n+1 c 1 P n-1 ] = c. Từ đẳng thức sau cùng ta có một nghiệm nguyên của (1.1) x 0 = (-1) n c 1 Q n-1 , y 0 = (-1) n+1 c 1 P n-1 Cho a và b là những số dơng và nguyên tố cùng nhau. Khai triển phân số a b = (q 1 , q 2 , ., q n ) và n n P Q = (q 1 , q 2 , ., q n ) phân số xấp xỉ a b . Khi đó phơng trình vô định (1.1) có một nghiệm nguyên biểu diễn bằng công thức x 0 = (-1) n c Q n-1 , y 0 = (-1) n+1 cP n-1 Ví dụ. Hãy tìm tất cả các nghiệm nguyên của phơng trình 76x - 23y = 5 Lời giải. Dễ thấy rằng phơng trình có ít nhất một nghiệm nguyên. Để thuận tiện tính toán ta xét thay phơng trình 76x + 23y' = 5, với cách đặt y' = -y nh vậy hệ số trớc x và y' đều dơng. Khai triển 76 23 thành liên phân số