14 câu Mũ - Logarit Vận dụng cao năm 2021 có lời giải chi tiết

Hỏi bác An cần gửi một lượng tiền tối thiểu T (đồng) bằng bao nhiêu vào ngân hàng HD Bank để sau 3 năm gửi tiết kiệm số tiền lãi đủ để mua được chiếc xe máy có trị giá 30 triệu đồng.. [r]

(1)

II MŨ – LOGARIT

Câu 1: Cho số thực a b, thỏa mãn

16  b a Tìm giá trị nhỏ biểu thức

2

16

log 16log

256



 a  b

a

b

P a

A 15 B 16 C 17 D 18

Câu 2:Tìm giá trị thực tham sốmđểphương trình

3

log x3log x2m 7 có hai nghiệm thực phân biệt x x1, 2 thỏa mãn x13x2372

A 61

m B m3 C Không tồn D

m

Câu 3: Để cấp tiền cho trai tên Lâm học đại học, ông Anh gửi vào ngân hàng 200 triệu đồng với lãi suất cố định 0,7%/tháng, số tiền lãi hàng tháng nhập vào vốn để tính lãi cho tháng (thể thức lãi kép) Cuối tháng, sau chốt lãi, ngân hàng chuyển vào tài khoản Lâm khoản tiền giống Tính số tiền mmỗi tháng Lâm nhận từ ngân hàng, biết sau bốn năm (48 tháng), Lâm nhận hết số tiền vốn lẫn lãi mà ông Anh gửi vào ngân hàng (kết làm tròn đến đồng)

A m5.008.376 (đồng) B m5.008.377 (đồng) C m4.920.224 (đồng) D m4.920.223 (đồng)

Câu 4: Cho phương trình 9x2x m 3x2x2m 1 0 Gọi T là tập hợp tất giá trị thực tham số m cho phương trình có nghiệm dương Mệnh đề đúng?

A T khoảng B T nửa khoảng

C T đoạn D T

Câu 5: Cho biểu thức Alog 2017 log 2016 log 2015 log log log             Biểu thức A có giá trị thuộc khoảng khoảng đây?

A log 2017;log 2018  B log2018;log2019  C log2019;log2020  D log2020;log2021  Câu 6: Xét số thực a b, thỏa mãn b1 a b a Biểu thức loga 2log b

b

a

P a

b

 

   

  đạt giá trị nhỏ

khi

A

a b B

a b C

a b D

a b

Câu 7: Hỏi có tất giá trị m nguyên thuộc đoạn 2017; 2017 để phương trình

  2     

1 log log

x  x  m x  x    m có hai nghiệm x x1, 2 thỏa mãn

1

1 x  x 3

A 4017 B 4028 C 4012 D 4003

Câu 8:Trong thời gian liên tục 25 năm, người lao động gửi 4.000.000 đồng vào ngày cốđịnh tháng ngân hàng M với lãi suất không thay đổi suốt thời gian gửi tiền 0,6% tháng Gọi A số tiền người có sau 25 năm Hỏi mệnh đềnào đúng?

A 3.500.000.000 A 3.550.000.000 B 3.400.000.000 A 3.450.000.000

C 3.350.000.000 A 3.400.000.000 D 3.450.000.000 A 3.500.000.000

(2)

hàng Y với lãi suất 0,73% tháng thời gian tháng Tổng tiền lãi đạt hai ngân hàng 27.507.768,13 đồng (chưa làm tròn) Hỏi số tiền cô Huyền gửi ngân hàng X Y bao nhiêu?

A 140 triệu 180 triệu B 120 triệu 200 triệu C 200 triệu 120 triệu D 180 triệu 140 triệu

Câu 10: Đầu tháng bác An gửi tiết kiệm vào ngân hàng HD Bank số tiền với lãi suất

0,45% /tháng Giả sử lãi suất hàng tháng không thay đổi năm liền kể từ bác An gửi tiết kiệm Hỏi bác An cần gửi lượng tiền tối thiểu T (đồng) vào ngân hàng HD Bank để sau năm gửi tiết kiệm số tiền lãi đủ để mua xe máy có trị giá 30 triệu đồng?

A T10050000 B T25523000 C T9 493000 D T9 492000

Câu 11: Một tỉnh A đưa nghị giảm biên chế cán công chức năm từ 2017 đến 2023 10,6% với số lượng có năm 2017 theo phương thức “ra vào 1” (tức giảm đối tượng hưởng lương từ ngân sách Nhà nước người tuyển người) Giả sử tỉ lệ giảm tuyển hàng năm so với năm trước Tính tỉ lệ tuyển dụng hàng năm (làm tròn đến 0,01%)

A 1,13% B 1,72% C 2,02% D 1,85%

Câu 12: Cho x y, số thực lớn thỏa mãn x29y26 xy Tính

 

12 12

12

1 log log

2.log

x y

M

x y

 





A M1 B 12

12

1 log log

y

M  C M2 D Mlog 6.12 Câu 13: Cho ,a b số thực hàm số:f x alog2021 x2 1 xbsin os 2020x c  x6 Biết f2020ln 202110 Tính P f2021ln 2020

A. P4 B. P2 C. P 2 D. P10

Câu 14: Cho hai số thực a, b thỏa mãn 1

4  b a Tìm giá trị nhỏ biểu thức

log log

4

a a

b

P b  b

 

A



P B

2



P C

2



P D.

2



(3)

II MŨ – LOGARIT

Câu 1: Cho số thực a b, thỏa mãn

16  b a Tìm giá trị nhỏ biểu thức log 16 16log2

256



 a  b

a

b

P a

A 15 B 16 C 17 D 18

Lời giải

Ta có 16 16 8 1 16 8 3 0

256

b

b b b b b



      

 2 2 

4b 16b 8b

     ;1

16

b 

 

Do

 2

16

4log

log

a

P b

b

 



Đặt tlogab (điều kiện t 1; )

 2      2

16 16

4 2

1

P t t t

t t

        

 

     

3 2

16

3 2 16

1

P t t

t

     



Dấu xảy

3

1

;

4

a b

Đáp án B Câu 2: Tìm giá trị thực tham số m để phương trình

2

3

log x3log x2m 7 có hai nghiệm thực phân biệt x x1, thỏa mãn

x13x2372

A 61

m B m3 C Không tồn D

m

Lời giải

Điều kiện: x0 Đặt tlog3x x 3t Phương trình cho trở thành:

3

t  t m   *

Đểphương trình cho có hai nghiệm phân biệt x x1, 2  Phương trình  * có hai nghiệm phân biệt 1, 2 2 7 37 37

8

t t     m    m  m Giả sử  * có hai nghiệm t1log3x1 t2log3x2

Khi 2

1 3 3 27

t t t t

x x     

Suy x13x2372x x1 23x1x263 x1 x212

1,

x x

 hai nghiệm phương trình 12 27 0

3

x

x x

x

 

    

 

* Với x  9 t log 93 2 thay vào  * ta được: 9

m   m (thỏa mãn)

Để giải tốn ta phải tìm số thỏa mãn

FOR REVIEW

Nếu bài toán xuất dữ kiện

thì ta nên đặt ẩn phụ và đưa giải phương trình bậc hai ẩn t:

(4)

200 toán VD – VDC facebook.com/huyenvu2405 * Với x  3 t log 13  thay vào  * ta được: 9

2

m   m (thỏa mãn) Vậy

2

m giá trị cần tìm

Đáp án D Câu 3: Để cấp tiền cho trai tên là Lâm học đại học, ông Anh gửi vào ngân hàng 200 triệu đồng với lãi suất cố định 0,7%/tháng, số tiền lãi hàng tháng nhập vào vốn để tính lãi cho tháng (thể thức lãi kép) Cuối tháng, sau chốt lãi, ngân hàng chuyển vào tài khoản Lâm khoản tiền giống Tính số tiền mmỗi tháng Lâm nhận từ ngân hàng, biết sau bốn năm (48 tháng), Lâm nhận hết số tiền vốn lẫn lãi mà ông Anh gửi vào ngân hàng (kết làm tròn đến đồng)

A m5.008.376 (đồng) B m5.008.377 (đồng) C m4.920.224 (đồng) D m4.920.223 (đồng)

Lời giải

Gọi M số tiền ban đầu; r lãi suất hàng tháng Số tiền lãi tháng M r

Số tiền vốn lẫn lãi tháng M1r

Số tiền lại sau chuyển cho Lâm m đồng M 1 r m Tương tự: Số tiền lại sau tháng thứ là:

     2  

1 1 1

M r m r m M r m r

            

   

Số tiền lại sau tháng thứ là:

   

    3   2 

1 1 1 1

M r m  r    r m M r m r   r 

 3 1 3  3 1 3

1

r r

M r m M r m

r r

   

     

 

…

Số tiền lại sau 48 tháng là:    

48

48 1

1 r

M r m

r

 

Vì sau 48 tháng hết tiền tài khoản nên ta có:

     

 

48 48

48

1

r M r r

M r m m

r r

  

    

 

Thay sốvào ta tìm m4.920.224(đồng)

Đáp án C.

Câu 4: Cho phương trình 9x2x m 3x2x2m 1

Gọi T là tập hợp tất giá trị thực tham số m cho phương trình có nghiệm dương Mệnh đề nào đúng?

A T là khoảng B T là nửa khoảng C T là đoạn D T

Lời giải

Ta có 9x2x m 3x2x2m 1 32x3x2x m 3x3x 1 0

STUDY TIPS

1

n

n n x

x x x

x



 

    

(5)

3x 3 x 2x 2m 1

      3x2x2m 1 3x2x2m1 (*)

Xét hàm số f x 3x2x có f x 3 ln 0x   với x Suy hàm sốluôn đồng biến

Để (*) có nghiệm dương ta phải có 2m 1 f 0   1 m Vậy T khoảng Ta chọn A

Lưu ý: Đặt t3x (t0), phương trình cho trở thành

 

2

2 2

t  x m t  x m  (1)

Dễ thấy phương trình (1) có a b c  0 nên có nghiệm t 1 nghiệm

2

t  x m Từđó ta có phân tích

 

9x2 x m 3x2x2m 1    3x 3x 2x 2m

     

Đáp án A.

Câu 5: Cho biểu thức

 

log 2017 log 2016 log 2015 log log log

A     

Biểu thức A có giá trị thuộc khoảng nào khoảng đây? A log 2017;log 2018  B log2018;log2019  C log2019;log2020 D log2020;log2021

Lời giải Dựa vào đáp án ta suy 3 A

 

2016 2015

3 log 2019 A log 2016 A log 2020

      

 

2017 2016

3 log 2020 A log 2017 A log 2021

      

Vậy A2017log 2020; log 2021 

Đáp án D.

Câu 6: Xét số thực a b, thỏa mãn b1 a b a Biểu thức loga 2log

b b

a

P a

b

 

   

  đạt giá trị nhỏ

A a b 2. B a2 b3. C a3 b2. D a2b. Lời giải

Ta có loga loga loga

b b b

b

b a a

a

 

   

 

Do

2

27 27

2 2log log log

log log

a a a

a a

b b b

b b

P a a a

a a

    

          

    

 

Đặt loga

b

t a Do 1 a b2 ab,

suy 1 log log log 1

loga a a a 2

b

a

b a t

t a b        

Khi P 2 t 27 f t  t

   

Khảo sát f t   2; , ta f t  đạt giá trị nhỏ 63

(6)

Với

2 loga

b

t  a  a b

Đáp án C.

Câu 7: Hỏi có tất giá trị m nguyên thuộc đoạn 2017; 2017 để phương trình   2     

1 log log

x  x  m x  x    m có

hai nghiệm x x1, 2 thỏa mãn 1 x1  x2 3

A 4017 B 4028 C 4012 D 4003

Lời giải

Điều kiện: 1 0 1.

1

x x

x

       



Phương trình cho tương đương với:

       

         

2 2 2

2

2 2

2 log 2 log

2 log log

x x m x x m

       

 

          

 

Đặt tx21, theo ta có 2

1 2

1 x  x   3 x x    9 t 1;  Xét hàm số f t  2 t1 log t1 đoạn 1;  

Ta có      

   2

log

0, 1; ln10

2

t t

f t t

t t

 

      



 Hàm số f t  đồng biến

trên đoạn 1;   Khi f     1  f t f hay 0 f t 4

Đặt u 2x21 log x2    1 u 0;  Khi phương trình   trở thành  

2 2 2 8 1

u  m u m 

Nhận thấy u1 khơng phải nghiệm phương trình  1 Với u1 phương trình  1 tương đương với    

2

2 8 2 1 2 2

1

u

u m u m

u



    



Xét hàm số  

2

8

u g u

u

 

 0; \   

Ta có  

 

2

;

u u

g u u

 

 

  

4

2

u g u

u

     

 

 Mà u 0; \ 1   nên u4

Mặt khác, có        

1

0 8; 8; lim ; lim

x x

g g g u g u

 

      

Bảng biến thiên:

x

y

0

– –

–8

(7)

Ngọc Huyền LB The Best or Nothing

Yêu cầu toán  Phương trình  2 có nghiệm 0; \    Suy

ra

2

m m

   

      

 

Mặt khác m ,m  2017; 2017 nên suy 2017

2017

m m

  

   



Vậy có tất 2017 1      2017 1  4028 giá trịm nguyên thỏa mãn toán

Đáp án B

Câu 8: Trong thời gian liên tục 25 năm, người lao động gửi 4.000.000 đồng vào ngày cốđịnh tháng ngân hàng M với lãi suất không thay đổi suốt thời gian gửi tiền 0,6% tháng Gọi A số tiền người có sau 25 năm Hỏi mệnh đềnào là đúng?

A 3.500.000.000 A 3.550.000.000 B 3.400.000.000 A 3.450.000.000

C 3.350.000.000 A 3.400.000.000 D 3.450.000.000 A 3.500.000.000 Lời giải

Sau tháng thứ1 người lao động có 0,6%   (triệu đồng) Sau tháng thứ2 người lao động có:

 

     2 

4 0,6% 4 0,6% 4 0,6%   1 0,6%  (triệu đồng) Sau tháng thứ3 người lao động có:

   

  

4 0,6%   1 0,6% 4 0,6%

  3  2 

4 0,6% 0,6% 0,6% 

       

  (triệu đồng)

Sau tháng thứ300 người lao động có:

 300  299    1 0,6% 300

4 0,6% 0,6% 0,6% 0,6%

1 0,6%

 

        

 

   

3364,866

 (triệu đồng) 3.364.866.000 (đồng)

Đáp án C.

Câu 9: Cô Huyền gửi tổng cộng 320 triệu đồng hai ngân hàng X Y theo phương thức lãi kép Số tiền thứ gửi ngân hàng X với lãi suất 2,1% quý thời gian 15 tháng Số tiền lại gửi ngân hàng Y với lãi suất 0,73% tháng thời gian tháng Tổng tiền lãi đạt hai ngân hàng 27.507.768,13 đồng (chưa làm trịn) Hỏi số tiền Huyền gửi ngân hàng X Y bao nhiêu?

A 140 triệu 180 triệu B 120 triệu 200 triệu C 200 triệu 120 triệu D 180 triệu 140 triệu

Lời giải

(8)

Tổng số tiền vốn lẫn lãi mà cô Huyền nhận ngân hàng X sau 15 tháng (5 quý) A x 1 2,1% 5x 1,021 5 (đồng) Suy số tiền lãi nhận sau 15 thàng rA   A x x1,0215 x x1,02151 (đồng)

Tổng số tiền vốn lẫn lãi mà cô Huyền nhận ngân hàng Y sau tháng B y 1 0,73% 9 y1,00739 (đồng) Suy số tiền lãi nhận ngân hàng Y sau tháng rB  B y y1,00739 y y1,007391 (đồng) Từ giả thiết, ta có:

 5  9

27507768,13 1,021 1  1,0073 1 27507768,13

        

   

A B

r r x y  2

Từ  1  2 có hệ:    

6

5

320.10

1,021 1,0073 27507768,13

   

      

   



x y

x y

6

140.10 180.10

    

 

x

y

Vậy cô Huyền gửi ngân hàng X 140 triệu đồng gửi ngân hàng Y 180 triệu đồng

Đáp án A.

Câu 10: Đầu tháng bác An gửi tiết kiệm vào ngân hàng HD Bank số tiền với lãi suất 0,45% /tháng Giả sử lãi suất hàng tháng không thay đổi năm liền kể từ bác An gửi tiết kiệm Hỏi bác An cần gửi lượng tiền tối thiểu T (đồng) vào ngân hàng HD Bank để sau năm gửi tiết kiệm số tiền lãiđủ để mua xe máy có trị giá 30 triệu đồng?

A T10050000 B T25523000

C T9 493000 D T9 492000

Lời giải

Giả sử bác An gửi số tiền tối thiểu hàng tháng là T (đồng) Đặt r0,45%

Hết tháng thứ bác An nhận số tiền gốc và lãi là

 

1   1

T T T r T r

Hết tháng thứ hai bác An nhận số tiền gốc và lãi là

      2 

2 1

 

         

 

T T r T r r T r r

Bằng phương pháp quy nạp toán học, ta chứng minh sau n tháng gửi tiết kiệm bác An nhận số tiền gốc và lãi là

     

1 

 

        

 

n n

n

T T r r r

Dễ dàng tính Tn T 1 r  1 rn1 

r

Suy số tiền lãi sau n tháng gửi tiết kiệm là    

1 1

       

 

n

n n

T

L T Tn r r Tn

r

(9)

Phân tích phương án nhiễu

Phương án A: Sai HS tính gửi 35 tháng

Phương án B: Sai HS sử dụng cơng thức bài tốn tính lãi kép và hiểu đề bài yêu cầu số tiền thu sau năm đủ để mua xe máy có trị giá 30 triệu đồng nên tìm T25523000

Phương án D: Sai HS giải lại làm tròn T9 492000

Đáp án C.

Câu 11: Một tỉnh A đưa nghị giảm biên chế cán công chức năm từ 2017 đến 2023 là 10,6% với số lượng có năm 2017 theo phương thức “ra vào 1” (tức là giảm đối tượng hưởng lương từ ngân sách Nhà nước người tuyển người) Giả sử tỉ lệ giảm và tuyển hàng năm so với năm trước là Tính tỉ lệ tuyển dụng hàng năm (làm tròn đến 0,01%) là

A 1,13% B 1,72% C 2,02% D 1,85%

Lời giải

Gọi x số cán công chức tỉnh A năm 2017 Gọi r tỉ lệ giảm hàng năm

Sốngười việc năm thứ x r

Sốngười lại sau năm thứ x x r x   1r Tương tự sốngười việc sau năm thứ hai x 1 r r Sốngười lại sau năm thứ hai x1r2

…

 Sốngười việc sau năm thứ x1r5.r Tổng sốngười việc là:

     

   

2

6

10,6%

1

0,106 0,0185 1

x r x r r x r r x r r x

r r

       

   

 

 

   

 

Vậy tỉ lệ tuyển dụng hàng năm là 1,85%

Đáp án D.

Câu 12: Cho x y, là số thực lớn thỏa mãn 2

9

x  y  xy Tính

 

12 12

12

1 log log

2.log

x y

M

x y

 





A M1 B 12 12

1 log log

y

M  C M2 D Mlog 6.12

Lời giải

Ta có x29y26xyx3y2   0 x 3y

2

12 12 12 12 12

2

12 12 12

1 log log log 12 log log 36

1

2.log log 36 log 36

y y y y

M

y y y

  

    

Đáp án A.

STUDY TIPS

Tổng n số hạng cấp số nhân: 11 

1

n n

u q

S

q

 



STUDY TIPS

    loga f x logag x

   

f x g x

g

 

  



(10)

Câu 13: Cho ,a b số thực hàm số:

  log2021 2 1  sin os 2020 6.

f x a x x b x c x

Biết f2020ln 202110 Tính P f2021ln 2020

A. P4 B. P2 C. P 2 D. P10

Lời giải

Xét hàm số g x    f x  6 alog2021 x2 1 xbsin cos 2020x  x

Do x2    1 x x x nên hàm số g x  có tập xác định D = Ta có:     x D x D

và                

 

2 2021

log sin cos 2020

g x a x x b x x

     

   

     

2021

2021 2021

log sin cos 2020

1

log sin cos 2020

1

log sin cos 2020

g x a x x b x x

g x a b x x

x x

g x a x x b x x

     

 

    

 

 

      

   

g x g x

   

Vậy hàm số g x  là hàm số lẻ

Lại có: 2020ln 20212021ln 2020g2020ln 2021  g 2021ln 2020

   

ln 2021 ln 2020

ln 2020 ln 2020

2020 2021

10 2021 2021

f f

 

      

        

Đáp án B.

Câu 14:Cho hai số thực a, b thỏa mãn 1

4  b a Tìm giá trị nhỏ biểu thức log log

4

a a

b

P b  b

 

A



P B

2



P C

2



P D.

2



P

Lời giải

Ta có:               

   

2

1 1

0 0 , ;1

2 4

b b b b b b

(đánh giá đểđưa   

 

1 log

4

a b

2 logab )

Mà 1

4  a nên

2

1

log log

4

  

 

 

a b ab

Do

 

2 1

log log 2log log

2 log log log log

       



a a a a

b b b

b b

b

P b b b b

a

a a a

b

Đặt logba t Do b a 1 nên logbblogbalog 1b   0 t

MEMORIZE

+ Cho hàm số xác định Dđược gọi hàm số

chẵn

+ Cho hàm số xác định Dđược gọi hàm số lẻ

nếu

STUDY TIP

Phương pháp: Đánh giá

với qua bất đẳng thức

STUDY TIP

Nếu

(11)

Suy    1

2

  



P P t

t t với 0 t

Xét  

 

2

  

P t

t t  0;1 ta có    

   

  

   

   

   

2 2

2 0;1

3

'

2 2 0;1

t

t t

P t

t t t

Bảng biến thiên:

Quan sát bảng biến thiên ta thấy  



P t suy    

0;1

9

2

 

t P t

2



t

Do  

2

  

P P t P Dấu ''='' xảy

2

1

2

2 1

log

3 2



  

 

 

 

 

     

 

 b   

b

b b

a a

Vậy giá trị nhỏ P là

Đáp án C.

0

t

_ +

P'(t)

P(t)

0