slide bài giảng đại số giải tích 12 tiết 47 nguyên hàm mục 1 mục 2

Bài tốn vật lý • Ta biết tốn chất điểm chuyển động thẳng có phương trình s=f(t) với f(t) hàm số có đạo hàm • Khi vận tốc thời điểm t v(t)=f’(t) • Trong thực tế có ta gặp tốn ngược biết vận tốc v(t) tìm phương trình chuyển động s=f(t) Từ ta có tốn : Cho hàm số f(x) xác định khoảng (a;b), tìm hàm số F(x) cho khoảng đó: F’(x)=f(x) &1 NGUYÊN HÀM I II Nguyên hàm tính chất : Nguyên hàm : a Định nghĩa: Hàm số y = f(x) xác định K Hàm số F(x) gọi nguyên hàm cđa f(x) trªn K nÕu F’(x) = f(x) víi mäi x thuéc K Hàm số f(x) = 2x có nguyên hàm hàm số a F(x) = x2 b F(x) = x2 + c F(x) = x2 - d Tất hàm số Hãy chọn phương án Nhận xét • Mọi hàm số dạng F(x)=x2+C (C số tùy ý) nguyên hàm hàm số f(x)=2x Trên R • Mọi hàm số G(x)=tgx+C (C số túy ý) l nguyờn hm ca hm s cỏc khong xác ®Þnh g(x) = cos x Tổng quát ta có định lý b.Định lý: • Nếu F(x) nguyên hàm hàm số f(x) khoảng K thì: *Với số C, F(x) +C nguyên hàm hàm số f(x) khoảng *Ngược lại, nguyên hàm hàm số f(x) khoảng (a;b) viết dạng F(x)+C với C số F(x) + C (C thuéc R) gọi họ nguyên hàm f(x) f ( x).dx = F ( x) + C kí hiệu : ∫ 2.Tính chất nguyên hàm Tính chất : ∫ Tính chất : kf ( x ) dx = k f ( x ) + C ( k ≠ 0) ∫ ∫ Tính chất : f ( x)dx = f ( x) + C / [ f ( x ) ± g ( x )] dx = f ( x ) dx ± g ( x ) dx ∫ ∫ ∫ 3.Sự tồn nguyên hàm Định lý : Mọi hàm số f(x) liên tục K có nguyên hàm K Nguyên hàm số hàm số thường gặp x dx = C a x ∫ +C 5.∫ a dx = ln a 2.∫ dx = X + C 6.∫ cos x.dx = Sinx + C α +1 α 3.∫ x dx = x + C sin x.dx = - Cosx + C ∫ α +1 4.∫ 1 dx = Tanx + C dx =ln x + C 8.∫ cos x x 5.∫ e dx = e + C x x 9.∫ dx =- cotx + C sin x VD:Tính nguyên hàm − 1.∫ (3 x + )dx = 3∫ x dx + ∫ x dx x = x + 2x + C 2, ∫ (2sin x −2 )dx = ∫ sin xdx − ∫ dx x +1 x x = −2 cos x − +C ln 3, ∫ 2sin x.cos xdx = 2( ∫ sin xdx + ∫ sin xdx) = − cos x − cos x + C Qua học ta biết - Định nghĩa nguyên hàm từ biết cách chứng minh hàm số nguyên hàm hàm số cho trước - Tìm họ nguyên hàm cách tìm nguyên hàm cộng thêm số C VD Chứng minh Rằng : ta n x − x + C tan xdx = ∫ Ta có : tan xdx = ∫ (1 + tan x − 1) dx ∫ = ∫ ( − 1)dx = tan x − x + C cos x π   Hàm số F (x) = cos − 2x÷là nguyên 3  hàm hàm số sau đây? a b π  f1 ( x) = sin 2x − ÷ 3  π  f2 ( x) = − sin − 2x÷ 3  c d π  f3 ( x) = sin − 2x÷ 3  π  f4 ( x) = sin − 2x÷ 3  ax + F ( x) = x1 Xác định a để hµm sè f ( x) = lµ ( x − 1) a  R \ { 1}  ữ nguyên hàm hàm số − a −   / Ta có F ( x) = = 2 ( x − 1) ( x − 1) trªn Suy : - a – = Vậy a = - Cho f ( x) = x+ 2x + vµ F ( x) = ( ax + b) 2x + Xác định a, b để F(x) nguyên ; + ữ GII: f(x) hàm / F ( x) = a x + + (ax + b) x + a(2 x + 1) + ax + b 3ax + a + b = =  2x +1 2x +1 a= Suy : 3a =  a + b =  ⇒ b =  Xác định a, b, c cho hàm số F(x)=(ax2+bx+c)e-x nguyên hàm hàm số f(x)=(2x2-5x+2)e-x R Hàm số F (x) = x nguyên hàm hàm số sau đây? a f1 ( x) = x b f2 ( x) = 2x x c d f3 ( x) = − f4 ( x) = 4x x 4x x Bµi tập F (x) = 2xdx Tìm F(x) biết F(1)=3 Híng dÉn: F(x)=x2+C Mµ F(1)=3 ⇒ 1+C=3⇒C=2 VËy F(x)=x2+2 II.PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM 1.Phương pháp đổi biến số: a Định lý : u = u(x) hàm số có đạo hàm liên tục : b.Phương pháp: B1: đặt u = u(x) B2: tính du = u’(x)dx B3: tính ∫ ∫ ∫ f (u )dx = F (u ) + C f (u )u ( x)dx = F (u ( x)) + C / f (u )u ( x)dx = F (u ( x)) + C / VD: tính nguyên hàm sau (2 x + 1) dx ∫ B1: đặt u = 2x+1 B2: du = 2dx B3: du (2 x + 1) dx = u ∫ ∫ 1 6 = ∫ u du = u + C = (2 x + 1) + C 12 12 5 VD: tính nguyên hàm sau x ∫ B1: đặt B2: B3: x + 5.dx u = x +5 du = 3x dx du ⇒ x dx = du x x + dx = u ∫ ∫ 3 3 2 2 = ∫ u du = u + C = ( x + 5) + C 9 Cách VD: tính nguyên hàm sau x ∫ B1: đặt B2: B3: x + 5.dx u = x +5 ⇒u = x +5 2u.du 2u.du = x dx ⇒ x dx = 2 2u.du ∫ x x + 5.dx = ∫ u 3 2 3 = ∫ u du = u + C = ( x + 5) + C 9 VD: tính nguyên hàm sau sin x cos x dx ∫ B1: đặt B2: u = sin x du = cos x.dx B3: ∫ sin x.(1 − sin x) cos x.dx = ∫ u (1 − u ).du = ∫ (u − u )du u u sin x sin x = − +C = − +C 5 ... / VD: tính nguyên hàm sau (2 x + 1) dx ∫ B1: đặt u = 2x +1 B2: du = 2dx B3: du (2 x + 1) dx = u ∫ ∫ 1 6 = ∫ u du = u + C = (2 x + 1) + C 12 12 5 VD: tính nguyên hàm sau x ∫ B1: đặt B2: B3: x +... Cho hàm số f(x) xác định khoảng (a;b), tìm hàm số F(x) cho khoảng đó: F’(x)=f(x) &1 NGUYÊN HÀM I II Nguyên hàm tính chất : Nguyên hàm : a Định nghĩa: Hàm số y = f(x) xác định K Hàm số F(x) gọi nguyên. .. nguyên hàm hàm số f(x) khoảng K thì: *Với số C, F(x) +C nguyên hàm hàm số f(x) khoảng *Ngược lại, nguyên hàm hàm số f(x) khoảng (a;b) viết dạng F(x)+C với C số F(x) + C (C thuéc R) gọi họ nguyên hàm