slide bài giảng đại số giải tích 12 tiết 49 nguyên hàm mục 3 mục 4

CHƯƠNG III NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Bài 1: NGUYÊN HÀM 02/27/21 Bài 1: NGUYÊN HÀM 1./ Khái niệm nguyên hàm 2./ Nguyên hàm số hàm thường gặp 3./ Một số tính chất nguyên hàm 02/27/21 1./ Khái niệm nguyên hàm VD: Tìm hàm số F(x) cho F’(x) = f(x) a) f(x) = 2x b) f(x) = cosx Giải : ' a)Ta có ( x ) 2 x nên F(x) = x ' b) Ta thấy (sin x) cos x nên F(x) = sinx ta nói F(x) nguyên hàm f(x) 02/27/21 1./ Khái niệm nguyên hàm Định nghĩa: Kí hiệu K khoảng hay đoạn hay nửa khoảng Cho hàm số f(x) xác định K Hàm số F(x) gọi nguyên hàm f(x) K F’(x) = f(x) với x thuộc K Câu hỏi : Hàm số y = tanx nguyên hàm hàm số ? Hàm số y = logx nguyên hàm hàm số ? Trả lời : Hàm số y = tanx nguyên hàm hàm số y= cos x Hàm số y = logx nguyên hàm hàm số y = x ln 10 02/27/21 1./ Khái niệm nguyên hàm Chú ý: • Trong trường hợp K = [a;b], đẳng thức F’(a) = f(a), F’(b) = f(b) hiểu F ( x)  F (a)  f (a) lim x a x a  hay F ( x)  F (b)  f (b) lim x b x b • Cho hai hàm số f F liên tục đoạn [a;b] Nếu F ngun hàm f (a;b) chứng minh F’(a) = f(a) F’(b) = f(b) Do F nguyên hàm f đoạn [a;b] 02/27/21 1./ Khái niệm nguyên hàm ĐỊNH LÝ Nếu F(x) nguyên hàm hàm số f(x) K với số C, hàm số G(x)=F(x)+C nguyên hàm f(x) K Ngược lại, với nguyên hàm G(x) hàm số f tồn số C cho G(x) = F(x) + C với x thuộc K 02/27/21 1./ Khái niệm nguyên hàm Nếu F(x) nguyên hàm hàm số f(x) họ nguyên hàm f(x) F(x) + C kí hiệu �f ( x )dx  F ( x )  C ,C �� f(x)dx vi phân F(x) Ký hiệu dùng nguyên hàm hàm số f (� f ( x )dx )'  f ( x ) Mọi hàm số f(x) liên tục K có nguyên hàm K 02/27/21 2./ Nguyên hàm số hàm thường gặp 0dx C dx 1dx x C  1 x x dx  1  C (  1)  x dx ln x  C 02/27/21 2./ Nguyên hàm số hàm thường gặp cos( kx  b ) sin( kx  b )dx    C ,k �0 � k sin( kx  b ) cos( kx  b )dx  C � k x kx a e x kx a dx   C(   �1 ) e dx   C � � ln a k dx  tan x  C � cos x 02/27/21 dx   cot x  C � sin x 3./ Một số tính chất nguyên hàm Định lý 2: Nếu f,g hai hàm số liên tục K , với a số thực khác thì: [f ( x )  g( x )]dx  � f ( x )dx  � g( x )dx � af ( x )dx  a � f ( x )dx � Chú ý: 02/27/21 [� f ( x )dx ] '  f ( x ) �f ( t )dt  F ( t )  C �� f [u( x )]u'( x )dx  F [u( x )]  C �f ( u )du  F ( u )  C 10 3./ Một số tính chất nguyên hàm Chú ý: Nêu � f ( x )dx  F ( x )  C �f ( ax  b )dx  a �f ( ax  b )d( ax  b )  F ( ax  b )  C a u ' ( x) u ( x) dx ln u ( x)  C dx  x 2 x  C 02/27/21 n n n 1  xdx  n 1 x  C dx n n n n x  n  x  C n dx 1 x n  (n  1)11x n  C Hỏi nhanh: mệnh đề sau sai: x x A e dx  e  C  B dx  x  C  C sin xdx  cos x  C  x D xdx   C 02/27/21 12 Ví dụ 1: tìm ngun hàm hàm số: f( x) Giải x  3x  5x f ( x)  x  3x  x  x  (3x)  (5 x) f ( x)dx [ x 2 3  (3 x)  (5 x) ]dx 3 2x 3  3  x 5  x C 4 3 3  x   x  3  x  C 4 02/27/21 13 Ví dụ 2: tìm nguyên hàm hàm số: f( x)(3 2 ) x Giải x x x x x x x f ( x) (3  ) (3 )  2.3  (2 ) x x x 9  2.6  x x x   C Vậy f ( x ) dx  ln ln ln 02/27/21 14 Ví dụ 3: tìm ngun hàm hàm số: sin x  f( x) sin x Giải sin x  sin x   f ( x)      sin x 3  sin x  Vậy   sin x   sin x dx  cos x  cot x  C 02/27/21 15 Ví dụ 3: tìm ngun hàm hàm số: x x f ( x )  sin  sin 3 Giải x x f ( x) 8 sin  sin 3 Vậy x x  2(3 sin  sin )  sin x 3 f ( x ) dx  (  sin x ) dx    2( cos x)  C 2 cos x  C 02/27/21 16 Bảng nguyên hàm mở rộng a �0 sin(ax  b)dx  a cos(ax  b)  C dx ax  b  a ln ax  b  C cos(ax  b)dx  a sin(ax  b)  C 1 cos2 (ax  b) dx  a tan(ax  b)  C e ax b ax b dx  e C a  1 ( ax  b )  ( ax  b ) dx    C (  1)  a  1 1 sin (ax  b) dx  a cot(ax  b)  C 02/27/21 17 Ví dụ 4: tìm ngun hàm hàm số: Giải f( x) x2  x  1 f ( x)    x  x  ( x  1)( x  ) 2 [( x  )  ( x  1)] 1    (  ) 3 x  ( x  1)( x  ) x 2 1 dx   dx] Vậy f ( x)dx  [  x x  [ln x   ln x  /  C ] x  ln C 02/27/21 18 x 3/ Ví dụ 5: tìm nguyên hàm hàm số: f( x) Giải f ( x)    sin x  cos x 2  sin x  cos x  cos( x  ) 1     x 2[1  cos( x  )] 2 sin (  ) Vậy dx 1 x  f ( x)dx  2  x   cot(  )  C sin (  ) 02/27/21 19 Ví dụ 6: tìm nguyên hàm hàm số: f( x) e e x Giải x x  2dx x 2 x f ( x)  e x  e  x  (e  e ) | e  e x x Xét e �۳۳ e x x f ( x) e  e  Xét x e e x f ( x)  e  e 02/27/21 x x x x x x x f ( x)dx (e x | x x  e )dx 2(e  e )  C 0� x0  f ( x)dx (e x x x x  e )dx  2(e  e )  C 20 Ví dụ 7: tìm nguyên hàm hàm số: Giải x3  x  f( x) x( x 2 x  ) x  3x  2 f ( x)  1   2 x( x 2 x  1) x x( x  1) Ta có a b c    x( x  1) x x  ( x  1)  a( x  1)  bx( x  1)  cx Cho x=0 a=1 , x=-1 c=-1 , x=1 b=-1 Do x  3x  2 1 1   1   4   2  x( x 2 x  1) x  x x  ( x  1)  x  f ( x)dx  x  ln | x | 4 ln  C x  121 x  02/27/21 ... khoảng Cho hàm số f(x) xác định K Hàm số F(x) gọi nguyên hàm f(x) K F’(x) = f(x) với x thuộc K Câu hỏi : Hàm số y = tanx nguyên hàm hàm số ? Hàm số y = logx nguyên hàm hàm số ? Trả lời : Hàm số y... 02/27/21 12 Ví dụ 1: tìm nguyên hàm hàm số: f( x) Giải x  3x  5x f ( x)  x  3x  x  x  (3x)  (5 x) f ( x)dx [ x 2 3  (3 x)  (5 x) ]dx 3 2x 3  ? ?3  x 5  x C 4 3 3  x   x  3? ?? .. .Bài 1: NGUYÊN HÀM 1./ Khái niệm nguyên hàm 2./ Nguyên hàm số hàm thường gặp 3. / Một số tính chất nguyên hàm 02/27/21 1./ Khái niệm nguyên hàm VD: Tìm hàm số F(x) cho F’(x) =