slide bài giảng đại số10 tiết 26 bất đăng thức mục 1

TRƯỜNG THPT NGUYỄN DU MƠN TỐN LỚP 10 Giáo viên Đỗ Thị Bích Thủy Khái niệm tính chất bất đẳng thức a) Khái niệm bất đẳng thức Giả sử a, b hai số thực Các mệnh đề “a > b”; ”a < b”; “a ≥ b”; ”a ≤ b” gọi bất đẳng thức Chứng minh bất đẳng thức chứng b) Tính chất bất đẳng thức Tính chất bắc cầu: a > b b > c ⇒ a > c Cộng hai vế bất đẳng thức với số: a > b ⇔ a + c > b + c, ∀c Nhân hai vế bất đẳng thức với số: Cộng vế với vế hai bất đẳng thức chiều: a > b c > d ⇒ a + c > b + d Chuyển vế: a + c > b ⇔ a > b − c Nhân vế với vế hai bđt dương chiều: a > b ≥ c > d ≥ ⇒ ac > bd Lũy thừa bậc chẵn hai vế bất đẳng a>b ≥ ⇔ a > b thức: a>b ⇔ a > b ∀a ≥ 0, b ≥ n ∈ *, ta có a > b ⇔ Ví dụ 1: Chứng minh với x ta có: x2 > 2(x – 1) Ví dụ 2: Chứng minh a, b, c độ dài ba cạnh tam giác thì: (b + c – a)(c + a – b)(a + b – c) ≤ abc Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối Với a ∈ , ta có: –|a| ≤ a ≤ |a| Với a > 0, ta có: |x| < a ⇔ –a < x < a Với a > 0, ta có: |x| > a ⇔ x < – a ∨x > a Với a, b ∈ , ta có: |a| − |b| ≤ |a + b| ≤ |a| + |b| Ví dụ 3: Cho x, y ∈ , chứng minh |3 – x + y| + |y| + |8 – x| ≥ Giải |3 – x + y| + |y| + |8 – x| ≥ |3 – x + y| + | y + – x| ≥ |3 – x + y| + |x – – y| ≥ |3 – x + y + x – – y| ≥ | – 5| = Bất đẳng thức Cauchy Cho a ≥ b ≥ 0, ta có: a +b ≥ ab Đẳng thức xảy a = b Phát Hãy biểu chứng minh lời bất đẳng thức Ví dụ 4: Cho a, b, c ba số dương bất kỳ, chứng minh a+b + b+c + c +a ≥ c a b Giải a+b b+c c +a a b b c c a + + = + + + + + c a b c c a a b b  a b  b c   a c  =  + ÷+  + ÷+  + ÷  b a  c b   c a a b b c a c ≥ +2 +2 = b a c b c a Bất đẳng thức Cauchy Hệ quả: Nếu hai số dương thay đổi có tổng khơng đổi tích chúng lớn hai số Nếu hai số dương thay đổi có tích khơng đổi tổng chúng nhỏ Nếu hai số dương thay đổi có tổng khơng đổi tích chúng lớn hai số Chứng minh: Giả sử hai số dương x, y có tổng x + y = S khơng đổi Khi đó: S x+y S = ≥ xy nên xy ≤ 2 Đẳng thức xảy x = y S2 Do đó, tích xy đạt giá trị lớn x = y Nếu hai số dương thay đổi có tích khơng đổi tổng chúng nhỏ hai số Chứng minh: Giả sử hai số dương x, y có tích xy = P không đổi x+y ≥ xy = P nên x + y ≥ P Khi đó: Đẳng thức xảy x = y P Do đó, tổng x + y đạt giá trị nhỏ x = y Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ hàm số ( ) f x =x+ với x > x Giải 3 ( ) Do x > nên ta có f x = x + ≥ x = x x ( ) f x = ⇔ x = ⇔ x = x f ( 3) = Vậy giá trị nhỏ hàm số cho Bất đẳng thức Cauchy Mở rộng, cho ba số a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0, ta có: a +b + c ≥ abc Đẳng thức xảy a = b = c Ví dụ 6: Chứng minh a, b, c ba số dương  1 1 (thì ) a+b+c  + + ÷ ≥ Khi xảy đẳng thứ  a b c a+b+c ≥ abc Giải Vì a, b, c ba số dương nên: 1 1 + + ≥3 a b c abc  1 1 3 ( ) Do a+b +c  + + ÷ ≥ abc.3 =9 a b c abc a =b = c  Đẳng thức xảy khi 1 ⇔ a =b = c  a = b = c Làm tập sách Đại số 10 nâng cao trang 109 110 ... dương nên: 1 1 + + ≥3 a b c abc  1 1 3 ( ) Do a+b +c  + + ÷ ≥ abc.3 =9 a b c abc a =b = c  Đẳng thức xảy khi 1 ⇔ a =b = c  a = b = c Làm tập sách Đại số 10 nâng cao trang 10 9 11 0 .. .1 Khái niệm tính chất bất đẳng thức a) Khái niệm bất đẳng thức Giả sử a, b hai số thực Các mệnh đề “a > b”; ”a < b”; “a ≥ b”; ”a ≤ b” gọi bất đẳng thức Chứng minh bất đẳng thức chứng... Tính chất bất đẳng thức Tính chất bắc cầu: a > b b > c ⇒ a > c Cộng hai vế bất đẳng thức với số: a > b ⇔ a + c > b + c, ∀c Nhân hai vế bất đẳng thức với số: Cộng vế với vế hai bất đẳng thức chiều: