45 SKKN toán 8 phân tích đa thức thành nhân tử

PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO DUY TIÊN TRƢỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ MỘC NAM ĐỀ TÀI “ MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ” ÁP DỤNG ĐỐI VỚI HỌC SINH ĐẠI TRÀ LỚP NĂM HỌC : 2018 -2019 Cấp học: Trung học sở Lĩnh vực: Chun mơn Mơn: Tốn Ngƣời thực hiện: Bùi Thi Thu Hà Chức vụ: Giáo viên Có đính kèm sản phẩm in  Mơ hình  Đĩa CD (DVD)  Phim ảnh  Hiện vật khác Mộc Nam,Ngày tháng 10 năm 2018 A, LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI 1.1 Lý chọn đề tài Đổi phƣơng pháp Toán tích cực hóa hoạt động học sinh, khơi dậy khả tự học tự sáng tạo nhằm hình thành cho học sinh tƣ tích cực, đọc lập , sáng tạo, nâng cao lực phát giải vấn đề, rèn luyện kỹ vào thực tiễn, tác động vào tình cảm đem lại hứng thú vào học tập học sinh Mơn Tốn mơn khơ khan khó học địi hỏi ngƣời học phải tƣ duy, trừu tƣợng, cẩn thận, chăm mà hứng thú học tập thực hành Tốn Tuy có nhiều em ham mê, học hỏi, tìm tịi lớp, tiết học Tuy nhiên qua nhiều năm giảng dạy lớp mơn Tốn tơi nhận thấy em thƣờng hay gặp nhiều khó khăn việc phân tích đa thức thành nhân tử Do tơi tiến hành tìm hiểu ngun nhân q trình giảng dạy tơi nhận thấy làm tốn phân tích đa thức thành nhân tử học sinh tơi cịn sai nhiều do: chƣa thật nắm vững dạng toán, chƣa nắm vững phƣơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử nên dẫn đến em lúng túng làm Do xuất phát từ nguyên nhân kể để giúp học sinh làm tốt toán “ Phân tích đa thức thành nhân tử” tơi tìm số biện pháp nhằm giúp học sinh yếu thực Đây kinh nghiệm trình giảng dạy để đúc kết thành đề tài: “MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ” Tơi nghĩ đề tài có nhiều đồng nghiệp nghiên cứu hay tập san giáo dục THCS, giới ta có đề cập đến Nhƣng trƣờng, khối lớp, lớp có thực tế khác nên tơi trọng nghiên cứu áp dụng lớp nhiều năm học tiếp tục năm học 2018 – 2019 1.2 Mục đích nghiên cứu: Nhằm góp phần vào việc đổi phƣơng pháp dạy học nói chung, phƣơng pháp dạy học mơn Tốn nói riêng, tơi chọn đề tài “ Một số phƣơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử” Với việc nghiên cứu đề tài tơi mong muốn có dạy tốt hơn, hiệu hơn, gây hứng thú Thơng qua học sinh khơng cịn “sợ, ngại” gặp tốn phân tích đa thức thành nhân tử Thơng qua đề tài này, mong muốn chia sẻ số kinh nghiệm nhỏ tích lũy đƣợc q trình dạy học, đồng thời có hội tìm hiểu sâu vấn đề dạy học phân tích đa thức thành nhân tử, để tìm đƣợc biện pháp áp dụng thực tế giảng dạy trƣờng nhằm giúp học sinh nâng cao kĩ giải tốn “phân tích đa thức thành nhân tử”, từ góp phần nâng cao chất lƣợng đại trà 1.3 Đối tƣợng nghiên cứu Học sinh đại trà trƣờng THCS Mộc Nam( Khối 8) 1.4 Phƣơng pháp nghiên cứu Sử dụng phƣơng pháp điều tra, phân tích tổng hợp, đàm thoại, trò chuyện, thống kê 1.5 Giới hạn phạm vi nghiên cứu Học sinh lớp trƣờng THCS Mộc Nam B NỘI DUNG I Cơ sở lí luận : Trong mơn học trƣờng, mơn Tốn THCS có vị trí quan trọng Các kiến thức, kỹ mơn Tốn THCS đƣợc ứng dụng nhiều sống tảng cho lớp Chƣơng trình mơn Tốn lớp phận chƣơng trình mơn Tốn cấp THCS Thơng qua hoạt động dạy học Toán giúp học sinh tự nêu nhận xét qui tắc dạng khái quát định Đây hội phát triển lực trừu tƣợng hoá, khái quát hoá học Toán giai đoạn lớp ; đồng thời tiếp tục phát triển khả diễn đạt học sinh theo mục tiêu mơn Tốn THCS Chƣơng trình tiếp tục thực đổi giáo dục Toán cấp THCS Đến lớp lớp mà nội dung kiến thức có nhiều điều mẻ nâng cao đƣợc đƣa vào chƣơng trình: Phân tích đa thức thành nhân tử, nhân chia đa thức, phép tính phân thức Vì muốn có đƣợc sở để em học tốt toán lớp khác đƣợc tốt hơn, kiến thức thu đƣợc sâu hơn, bắt buộc em phải cố gắng học Tốn Mơn Tốn mơn khơ khan khó học địi hỏi ngƣời học phải tƣ duy, trừu tƣợng, cẩn thận, chăm mà hứng thú học tập thực hành Tốn Tuy có nhiều em ham mê, học hỏi, tìm tịi lớp, tiết học II Cơ sở thực tiễn : Thực tế qua giảng dạy trƣờng THCS nhận thấy bên cạnh số đông học sinh học tốt toán, em vững kiến thức giải thành thạo tốn sách giáo khoa, cịn giải đƣợc tốn dạng nâng cao Nhƣng cịn số em học tốn cịn chậm, tiếp thu kiến thức cịn hạn chế, thực hành tính tốn cịn nhầm lẫn, khơng xác Khi thực phân tích đa thức thành nhân tử lúng túng, chậm chạp ,…Cụ thể năm học (2013 – 2014): Năm học Lớp 2012- 2013 8A Sĩ số Giỏi Khá 37 11/3= 29,7% 8/37= 16/37= 21,6% 43,3% T Bình Yếu Kém 2/37= 5,4% 0= 0% Cho thấy số học sinh chƣa thực đƣợc phép phân tích đa thức thành nhân tử HĐT cao so với sĩ số học sinh lớp Ở lớp em không nắm vững cách phân tích đa thức thành nhân tử , khơng thực hành thành thạo phân tích đa thức thành nhân tử HĐT em gặp khó khăn học chƣơng phân thức đại số giải phƣơng trình sau Mà qua khó mà quay lại để lấp lại kiến thức bị hỏng Qua tìm hiểu ngun nhân tơi nhận thấy học sinh lớp có đặc tính tâm lý nhanh nhớ nhƣng chóng quên Có lớp em nhớ hết bảy đẳng thức nhƣng sau vài ngày kiểm tra lại em quên gần hết (nếu em không đƣợc ôn luyện thƣờng xuyên) Điều thấy rõ học sinh yếu lớp Một số khác lại qn kiến thức cũ có cơng thứ lũy thừa học lớp nên dẫn đến việc xác định yếu tố đẳng thức cịn nhiều hạn chế, khơng nhớ đƣợc tên gọi thành phần lũy thừa Tiếp thu kiến thức chậm nên chƣa nắm đƣợc bƣớc thực phân tích đa thức thành nhân tử HĐT , vận dụng đƣợc công thức lũy thừa vào thực phép phân tích đa thức thành nhân tử HĐT ; không nắm đƣợc cách lựa chọn HĐT phù hợp nhƣ xác định đƣợc A B công thức nên dẫn đến việc thực phép phân tích đa thức thành nhân tử HĐT cịn sai nhiều Do phải có hỗ trợ đặc biệt giáo viên Từ thực trạng có giải pháp cụ thể để giúp em học sinh yếu Toán lớp thực đƣợc phép phân tích đa thức thành nhân tử HĐT Trong năm học nghiên cứu đƣa vào đề tài giải pháp giảng dạy sát với thực tế Mong với giải pháp thiết thực giúp học sinh yếu học tốt mơn tốn lên lớp Vì chọn đề tài “MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ” Là giáo viên nhiều năm giảng dạy mơn Tốn 8, năm học 2018-2019 năm thứ 13 trực tiếp đứng lớp giảng dạy Tơi có năm giảng dạy mơn Tốn 6, năm giảng dạy mơn Tốn 6,7 năm học 2018-2019 năm thứ đƣợc giảng dạy mơn Tốn nên có nhiều thuận lợi khó khăn a Thuận lợi : - Thuận lợi: + Đƣợc quan tam đạo ban giám hiêu trƣờng THCS Mộc Nam, chi đạo , giúp đỡ tổ chun mơn đồng chí giao viên tổ + Đƣợc giảng dạy theo chuyên ngành đƣợc đào tạo + Đảng ủy, UBND, bậc phụ huynh quan tâm + Phong giáo dục thƣờng xuyên mở lớp đào tạo chuyên môn nghiệp vụ, buổi sinh hoạt chuyên môn theo cụm + Học sinh u thích mơn học, gia đình quan tâm b Khó khăn: + Tƣ liệu tham khảo thƣ viện trƣờng hạn chế + Là giáo viên hợp đồng nên cịn gặp nhiều khó khăn cơng việc nhƣ sống thời gian tâm huyết dành cho ngành + Một số em khơng có kiến thức toán học + Khả nắm kiến thức em chậm + Kỹ vận dụng lý thuyết vào tập em cịn hạn chế + Một số học sinh chƣa tích cực chủ động lĩnh hội, chƣa tích cực tìm tịi suy nghĩ + Mơ hình trƣờng học em chƣa quen, ngại trao đổi thảo luận, chủ yếu làm việc độc lập III Các biện pháp tiến hành để giải vấn đề Từ khó khăn học sinh nhƣ yếu tố khách quan khác, tơi cố gắng tìm giải pháp khắc phục nhằm đạt đƣợc hiệu cao cơng tác Nắm bắt đƣợc tình hình học sinh ngại khó phân tích đa thức thành nhân tử nên đƣa dạng tập khác để phân loại cho phù hợp với khả nhận thức đối tƣợng Các tập dạng từ thấp đến cao để em nhận thức chậm làm tốt tốn mức độ trung bình, đồng thời kích thích tìm tòi sáng tạo học sinh Bên cạnh tơi thƣờng xun hƣớng dẫn, sửa chữa chỗ sai cho học sinh, lắng nghe ý kiến em Cho học sinh ngồi làm việc cá nhân cịn phải tham gia trao đổi nhóm thực xong hoạt động cá nhân Tôi yêu cầu học sinh phải tự giác, tích cực, chủ động hợp tác, có trách nhiệm với thân tập thể Mặc dù khả nhận thức suy luận học sinh lớp chƣa đồng nhƣng phân tích đa thức thành nhân tử tất cần phải nắm vững đẳng thức phƣơng pháp phân tích bản: * Những đẳng thức đáng nhớ Thứ Cơng thức Chiều xi Chiều ngƣợc -Tínhbìnhphƣơng -Viết tổng dƣới tổng dạng bình phƣơng tự (A+B)2=A2+2AB+B2 tổng (A-B)2=A2-2AB+B2 -Tínhbìnhphƣơng -Viết tổng dƣới hiệu dạng bình phƣơng hiệu (A+B)(A-B)= A2-B2 -Viết tích dƣới -Viết hiệu hai dạng hiệu hai bình phƣơng dƣới bình phƣơng dạng tích (A+B)3=A3+3A2B+3AB2+B3 -Tính lập phƣơng -Viết tổng dƣới tổng dạng lập phƣơng tổng (A-B)3=A3-3A2B+3AB2-B3 -Tính lập phƣơng -Viết tổng dƣới hiệu dạng lập phƣơng hiệu (A+B)(A2-AB+B2)=A3+B3 -Viết tích dƣới -Viết tổng hai dạng tổng hai lập lập phƣơng (A-B)(A2+AB+B2)=A3-B3 phƣơng dƣới dạng tích -Viết tích dƣới -Viết hiệu hai dạng hiệu hai lập lập phƣơng phƣơng dƣới dạng tích * Một số phƣơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử: - Phƣơng pháp đặt nhân tử chung - Phƣơng pháp dùng đẳng thức - Phƣơng pháp nhóm nhiều hạng tử - Phối hợp nhiều phƣơng pháp - Phƣơng pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử - Phƣơng pháp thêm bớt hạng tử - Phƣơng pháp đổi biến - Phƣơng pháp hệ số bất định I CÁC PHƢƠNG PHÁP CƠ BẢN Phƣơng pháp đặt nhân tử chung - Tìm nhân tử chung đơn, đa thức có mặt tất hạng tử - Phân tích hạng tử thành tích nhân tử chung nhân tử khác - Viết nhân tử chung dấu ngoặc, viết nhân tử lại hạng tử vào dấu ngoặc (kể dấu chúng) Ví dụ 2 2 28a b 21ab + 14a b = 7ab(4ab 3b + 2a) 2x(y – z) + 5y(z –y ) = 2(y z) – 5y(y z) = (y – z)(2 5y) xm + xm + = xm (x3 + 1) = xm( x+ 1)(x2 – x + 1) Phƣơng pháp dùng đẳng thức Dùng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử Ví dụ u thành nhân tử 2 9x – = (3x) – = ( 3x– 2)(3x + 2) – 27a3b6 = 23 – (3ab2)3 = (2 – 3ab2)( + 6ab2 + 9a2b4) 25x4 – 10x2y + y2 = (5x2 – y)2 Phƣơng pháp nhóm nhiều hạng tử - Kết hợp hạng tử thích hợp thành nhóm - Áp dụng liên tiếp phương pháp đặt nhân tử chung dùng đẳng thức Ví dụ 2x3 – 3x2 + 2x – = ( 2x3 + 2x) – (3x2 + 3) = 2x(x2 + 1) – 3( x2 + 1) = ( x2 + 1)( 2x – 3) x2 – 2xy + y2 – 16 = (x – y)2 42 = ( x – y – 4)( x –y + 4) Phối hợp nhiều phƣơng pháp Chọn phương pháp theo thứ tự ưu tiên Đặt nhân tử chung Dùng đẳng thức Nhóm nhiều hạng tử Ví dụ VD1: 3xy2 – 12xy + 12x = 3x(y2 – 4y + 4) = 3x(y – 2)2 VD2 : 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6axy2 – 3a2xy + 3xy = 3xy(x2 – 2y – y2 – 2ay – a2 + 1) = 3xy[( x2 – 2x + 1) – (y2 + 2ay + a2)] = 3xy[(x – 1)2 – (y + a)2] = 3xy[(x – 1) – (y + a)][(x – 1) + (y + a)] = 3xy( x –1 – y – a)(x – + y + a) CH MỘT HẠNG TỬ THÀNH NHIỀU HẠNG TỬ Đối với đa thức bậc hai (f(x) = ax2 + bx + c) a) Cách (tách hạng tử bậc bx): Bước 1: Tìm tích ac, phân tích ac tích hai thừa số nguyên cách a.c = a1.c1 = a2.c2 = a3.c3 = … = ai.ci = … Bước 2: Chọn hai thừa số có tổng b, chẳng hạn chọn tích a.c = ai.ci với b = + ci Bước 3: Tách bx = aix + cix Từ nhóm hai số hạng thích hợp để phân tích tiếp Ví dụ Phân tích đa thức f(x) = 3x2 + 8x + thành nhân tử Hướng dẫn Phân tích ac = 12 = 3.4 = (–3).(–4) = 2.6 = (–2).(–6) = 1.12 = (–1).(–12) Tích hai thừa số có tổng b = tích a.c = 2.6 (a.c = ai.ci) Tách 8x = 2x + 6x (bx = aix + cix) Lời giải 2 3x + 8x + = 3x + 2x + 6x + = (3x2 + 2x) + (6x + = x(3x + 2) + 2(3x + 2) = (x + 2)(3x +2) b) Cách (tách hạng tử bậc hai ax2) Làm xuất hiệu hai bình phương : f(x) = (4x2 + 8x + 4) – x2 = (2x + 2)2 – x2 = (2x + – x)(2x + + x) = (x + 2)(3x + 2) Tách thành số hạng nhóm : f(x) = 4x2 – x2 + 8x + = (4x2 + 8x) – ( x2 – 4) = 4x(x + 2) – (x – 2)(x + 2) = (x + 2)(3x + 2) f(x) = (12x2 + 8x) – (9x2 – 4) = … = (x + 2)(3x + 2) c) Cách (tách hạng tử tự c) Tách thành số hạng nhóm thành hai nhóm: f(x) = 3x2 + 8x + 16 – 12 = (3x2 – 12) + (8x + 16) = … = (x + 2)(3x + 2) d) Cách (tách số hạng, số hạng) f(x) = (3x2 + 12x + 12) – (4x + 8) = 3(x + 2)2 – 4(x + 2) = (x + 2)(3x – 2) f(x) = (x2 + 4x + 4) + (2x2 + 4x) = … = (x + 2)(3x + 2) e) Cách (nhẩm nghiệm): Xem phần Chú ý : Nếu f(x) = ax2 + bx + c có dạng A2 ± 2AB + c ta tách sau : f(x) = A2 ± 2AB + B2 – B2 + c = (A ± B)2 – (B2 – c) Ví dụ Phân tích đa thức f(x) = 4x2 4x thành nhân tử Hướng dẫn 2 Ta thấy 4x 4x = (2x) 2.2x Từ ta cần thêm bớt 12 = để xuất đẳng thức Lời giải f(x) = (4x – 4x + 1) – = (2x – 1)2 – 22 = (2x – 3)(2x + 1) Ví dụ Phân tích đa thức f(x) = 9x2 + 12x – thành nhân tử Lời giải Cách : f(x) = 9x – 3x + 15x – = (9x2 – 3x) + (15x – 5) = 3x(3x –1) + 5(3x – 1) = (3x – 1)(3x + 5) Cách : f(x) = (9x2 + 12x + 4) – = (3x + 2)2 – 32 = (3x – 1)(3x + 5) Đối với đa thức bậc từ trở lên Trƣớc hết, ta ý đến định lí quan trọng sau : Định lí : Nếu f(x) có nghiệm x = a f(a) = Khi đó, f(x) có nhân tử x – a f(x) viết dạng f(x) = (x – a).q(x) Lúc tách số hạng f(x) thành nhóm, nhóm chứa nhân tử x – a Cũng cần lƣu ý rằng, nghiệm nguyên đa thức, có, phải ƣớc hệ số tự Thật vậy, giả sử đa thức n n n an x an 1x an x a x a v í i a n , a n , , a , a nguyên, có nghiệm ngun x = a Thế an x n an x n an x n a1 x a0 (x a )( bn x n bn x n b1 x b0 ) , b n , b n , , b , b số nguyên Hạng tử bậc thấp vế phải – ab0, hạng tử bậc thấp vế trái a0 Do – ab0 = a0, suy a ước a0 Ví dụ Phân tích đa thức f(x) = x3 + x2 + thành nhân tử Lời giải Lần lƣợt kiểm tra với x = ± 1, ± 2, 4, ta thấy f(–2) = (–2)3 + (–2)2 + = Đa thức f(x) có nghiệm x = –2, chứa nhân tử x + Từ đó, ta tách nhƣ sau Cách : f(x) = x3 + 2x2 – x2 + = (x3 + 2x2) – (x2 – 4) = x2(x + 2) – (x – 2)(x + 2) = (x + 2)(x2 – x + 2) Cách : f(x) = (x3 + 8) + (x2 – 4) = (x + 2)(x2 – 2x + 4) + (x – 2)(x + 2) = (x + 2)(x2 – x + 2) Cách : f(x) = (x3 + 4x2 + 4x) – (3x2 + 6x) + (2x + 4) = x(x + 2)2 – 3x(x + 2) + 2(x + 2) = (x + 2)(x2 – x + 2) Cách : f(x) = (x3 – x2 + 2x) + (2x2 – 2x + 4) = x(x2 – x + 2) + 2(x2 – x + 2) = (x + 2)(x2 – x + 2) Từ định lí trên, ta có hệ sau : Hệ Nếu f(x) có tổng hệ số f(x) có nghiệm x = Từ f(x) có nhân tử x – Chẳng hạn, đa thức x3 – 5x2 + 8x – có + (–5) + + (–4) = nên x = nghiệm đa thức Đa thức có nhân tử x – Ta phân tích nhƣ sau : f(x) = (x3 – x2) – (4x2 – 4x) + (4x – 4) = x2(x – 1) – 4x(x – 1) + 4(x – 1) = (x – 1)( x – 2)2 Hệ Nếu f(x) có tổng hệ số luỹ thừa bậc chẵn tổng hệ số luỹ thừa bậc lẻ f(x) có nghiệm x = –1 Từ f(x) có nhân tử x + Chẳng hạn, đa thức x3 – 5x2 + 3x + có + = –5 + nên x = –1 nghiệm đa thức Đa thức có nhân tử x + Ta phân tích nhƣ sau : f(x) = (x3 + x2) – (6x2 + 6x) + (9x + 9) = x2(x + 1) – 6x(x + 1) + 9(x + 1) = (x + 1)( x – 3)2 Hệ Nếu f(x) có nghiệm nguyên x = a f(1) f(–1) khác f (1) a f ( 1) a số nguyên Chứng minh Đa thức f(x) có nghiệm x = a nên f(x) có nhân tử x – a Do f(x) có dạng :f(x) = (x – a).q(x) (1) Thay x = vào (1), ta có : f(1) = (1 – a).q(1).Do f(1) ≠ nên a ≠ 1, suy q(1) = f (1) a Vì hệ số f(x) nguyên nên hệ số q(x) nguyên Do đó, q(1) số nguyên Vậy f (1) a số nguyên Thay x = –1 vào (1) chứng minh tƣơng tự ta có f ( 1) a số nguyên Ví dụ Phân tích đa thức f(x) = 4x3 13x2 + 9x 18 thành nhân tử Hướng dẫn Các ƣớc 18 ± 1, ± 2, ± 3, ± 6, ± 9, ± 18 f(1) = –18, f(–1) = –44, nên ± nghiệm f(x) 18 Dễ thấy 18 , 18 , , 18 18 không số nguyên nên –3, ± 6, ± 9, ± 18 không nghiệm f(x) Chỉ –2 Kiểm tra ta thấy nghiệm f(x) Do đó, ta tách hạng tử nhƣ sau : 10 f (x ) 4x 12x x 3x 6x 18 x (x 3) x(x 3) 6(x 3) = (x – 3)(4x – x + 6) Hệ Nếu f(x) = a n x n (víi an,an , , a , a an x n an x n a1x số nguyên) có nghiệm hữu tỉ x = a0 p , p, q q Z (p , q)=1, p ước a0, q ước dương an Chứng minh f(x) có nghiệm x = p nên có nhân tử (qx – p) Vì hệ q số f(x) nguyên nên f(x) có dạng: f(x) = (qx – p) ( b n x n b n x n b x b ) Đồng hai vế ta đƣợc qbn–1 = an , –pb0 = ao Từ suy p ƣớc a0, cịn q ƣớc dƣơng an (đpcm) Ví dụ 10 Phân tích đa thức f(x) = 3x3 7x2 + 17x thành nhân tử Hướng dẫn Các ƣớc –5 1, Thử trực tiếp ta thấy số không nghiệm f(x) Nhƣ f(x) khơng có nghiệm nghun Xét số thấy , , ta nghiệm đa thức, đa thức có nhân tử 3x – Ta phân tích nhƣ sau : f(x) = (3x3 – x2) – (6x2 – 2x) + (15x – 5) = (3x – 1)(x2 – 2x + 5) Ví dụ 11 a) 2x2 5xy + 2y2 ; b) x2(y z) + y2(z x) + z2(x y) Hướng dẫn (x) = ax2 + bx + c a) 2x 2: 5xy + 2y = (2x2 4xy) (xy 2y2) = 2x(x 2y) y(x 2y) = (x 2y)(2x y) a) x = (y z) (x : x (y z) + y2(z x) + z2(x y) = x2(y z) y2(y z) y2(x y) + z2(x y) = (y z)(x2 y2) (x y)(y2 z2) = (y z)(x y)(x + y) (x y)(y z)(y + z) = (x y)(y z)(x z) : 11 z= z x= (y z) (x (x y) (z y) ) III PHƢƠNG Thêm bớt hạng tử làm xuất hiệu hai bình phƣơng Ví dụ 12 Phân tích đa thức x4 + x2 + thành nhân tử Lời giải 4 Cách : x + x + = (x + 2x + 1) – x2 = (x2 + 1)2 – x2 = (x2 – x + 1)(x2 + x + 1) Cách : x4 + x2 + = (x4 – x3 + x2) + (x3 + 1) = x2(x2 – x + 1) + (x + 1)(x2 – x + 1) = (x2 – x + 1)(x2 + x + 1) Cách : x4 + x2 + = (x4 + x3 + x2) – (x3 – 1) = x2(x2 + x + 1) + (x – 1)(x2 + x + 1) = (x2 – x + 1)(x2 + x + 1) Ví dụ 13 Phân tích đa thức x4 + 16 thành nhân tử Lời giải Cách : x4 + = (x4 + 4x2 + 4) – 4x2 = (x2 + 2)2 – (2x)2 = (x2 – 2x + 2)(x2 + 2x + 2) Cách : x4 + = (x4 + 2x3 + 2x2) – (2x3 + 4x2 + 4x) + (2x2 + 4x + 4) = (x2 – 2x + 2)(x2 + 2x + 2) Thêm bớt hạng tử làm xuất nhân tử chung Ví dụ 14 +x x + x = x5 x4 + x3 + x4 x3 + x2 x2 + x = x3(x2 x + 1) x2(x2 x + 1) (x2 x + 1) = (x2 x + 1)(x3 x2 1) 2 : 5 2 x +x 1=x +x x +x = x2(x3 + 1) (x2 x + 1) = (x2 x + 1)[x2(x + 1) 1] = (x2 x + 1)(x3 x2 1) Ví dụ 15 x7 + x2 + = x7 – x + x2 + x + = x(x6 – 1) + (x2 + x + 1) = x(x3 – 1)(x3 + 1) + (x2+ x + 1) = x(x3 + 1)(x 1)(x2 + x + 1) + ( x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x5 x4 – x2 x + 1) 12 3m + : + x3n + + nhƣ x7 + x2 + 1, x4 + x5 + x + Ví dụ 16 : x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = (x2 + 10x)(x2 + 10x + 24) + 128 (y : 12)(y + 12) + 128 = y2 16 = (y + 4)(y 4) = (x2 + 10x + 16)(x2 + 10x + 8) = (x + 2)(x + 8)(x2 + 10x + 8) Nhận xét: Nhờ phƣơng pháp đổi biến ta đƣa đa thức bậc x thành đa thức bậc y Ví dụ 17 : A = x + 6x + 7x 6x + A = x4 + 6x3 2x2 + 9x2 6x + = x4 + (6x3 2x2) + (9x2 6x + 1) = x4 + 2x2(3x 1) + (3x 1)2 = (x2 + 3x 1)2 Ví dụ 18 : x4 6x3 + 12x2 14x = 1; kh (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 +(a + c)x3 + (ac+b+d)x2 + (ad+bc)x + bd = x4 6x3 + 12x2 14x + : ïì ï ï ï ï í ï ï ï ï ïỵ a + c = - ac + b + d = 12 ad + bc = - 14 bd = 13 ,d Z, b ïì a + c = - ï ïï í ac = ï ï ïïỵ a + c = - Vậy x4 { 1, 2c = 14 6x3 + 12x2 14x + ( 6) = = (x2 = 4, a = 2x + 3)(x2 4x + 1) Ví dụ 19 : P = x (y – z) + y (z – x) + z(x – y) L 2 Thay x y P = y (y – z) + y ( z – y) = Nhƣ P chứa thừa số (x – y) Ta thấy thay x y, thay y z, thay z x p khơng đổi (đa thức P hốn vị vịng quanh) Do P chứa thừa số (x – y) chứa thừa số (y – z), (z – x) Vậy P có dạng k(x – y)(y – z)(z – x) Ta thấy k phải số P có bậc tập hợp biến x, y, z, tích (x – y)(y – z)(z – x) có bậc tập hợp biến x, y, z Vì đẳng thức x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y) = k(x – y)(y – z)(z – x) với x, y, z nên ta gán cho biến x ,y, z giá trị riêng, chẳng hạn x = 2, y = 1, z = ta đƣợc: 4.1 + 1.(–2) + = k.1.1.(–2) suy k =1 Vậy P = –(x – y)(y – z)(z – x) = (x – y)(y – z)(x – z) 2 : a3 + b3 + c3 3abc 20 : a) a3 + b3 + c3 b) (x 3abc y)3 + (y z)3 + (z x)3 a) a3 + b3 + c3 3abc = (a + b)3 3a2b 3ab2 + c3 3abc = [(a + b)3 + c3] 3ab(a + b + c) = (a + b + c)[(a + b)2 (a + b)c + c2] 3ab(a + b + c) = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 ab bc ca) b) c) y = a, y z = b, z + b + c : a3 + b3 + c3 3abc = a3 + b3 + c3 = 3abc (x y)3 + (y z)3 + (z x)3 = 3(x y)(y z)(z : (a + b + c)3 a3 b3 x) c3 14 21 : a) (a + b + c)3 a3 b) 8(x + y + z)3 b3 c3 (x + y)3 (y + z)3 (z + x)3 a) (a + b + c)3 a3 b3 c3 = [(a + b) + c]3 a3 b3 c3 = (a + b)3 + c3 + 3c(a + b)(a + b + c) a3 b3 c3 = (a + b)3 + 3c(a + b)(a + b + c) (a + b)(a2 ab + b2) = (a + b)[(a + b)2 + 3c(a + b + c) (a2 ab + b2)] = 3(a + b)(ab + bc + ca + c2) = 3(a + b)[b(a + c) + c(a + c)] = 3(a + b)(b + c)(c + a) b) + y = a, y + z = b + b + c = 2(a + b + c) : (a + b + c)3 a3 b3 c3 : (a + b + c)3 a3 b3 c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a) Hay 8(x + y + z)3 (x + y)3 (y + z)3 (z + x)3 = 3(x + 2y + z)(y + 2z + x)(z + 2x + y) BÀI TẬP : 1)2 + (a + b)2 ; a) (ab c) x3 4x2 + 12x b) x3 + 2x2 + 2x + 1; 27 ; d) x4 + 2x3 + 2x2 + 2x + ; e) x4 2x3 + 2x : a) x2 4y2 2x c) x2(1 x2) e) x2 + y2 b) x4 + 2x3 4y ; 4x2 ; x2y2 + xy d) (1 + 2x)(1 x 4x 2x) 4; x(x + 2)(x 2) ; y : a) a(b2 + c2 + bc) + b(c2 + a2 + ca) + c(a2 + b2 + ab) ; b) (a + b + c)(ab + bc + ca) c) c(a + 2b)3 abc ; b(2a + b)3 : a) xy(x + y) yz(y + z) + xz(x z) ; b) x(y2 + z2) + y(z2 + x2) + z(x2 + y2) + 2abc ; c) (x + y)(x2 d) x3(y y2) + (y + z)(y2 z) + y3(z x) + z3(x z2) + (z + x)(z2 x2) ; y) ; 15 e) x3(z y2) + y3(x z2) + z3(y z2) + xyz(xyz 1) : a) a(b + c)2(b b) a(b c) + b(c + a)2(c c)3 + b(c c) a2b2(a a)3 + c(a b) + b2c2(b a) + c(a + b)2(a b)2 ; c) + c2a2(c a) ; d) a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) e) a4(b c) + b4(c b) a) + c4(a 2abc a3 b3 c3 ; b) : a) (a + b + c)3 b) abc (a + b c)3 a)3 (b + c (ab + bc + ca) + a + b + c (c + a b)3 ; 16) : 2 a) 6x – 11x + ; c)49x2 + 28x – ; b) 2x + 3x – 27 ; d) 2x2 – 5xy – 3y2 a) x3 – 2x + ; c)x3 – 5x + 8x – ; e)x3 + 9x2 + 6x – 16 ; h) x3 + 6x2 – x – 30 ; cách) b) x3 + 7x – ; d) x3 – 9x2 + 6x + 16 ; g) x3 – x2 + x – ; i) x3 – 7x – (giải nhiều a) 27x3 + 27x +18x + ; b) 2x3 + x2 +5x + ; c) (x2 – 3)2 + 16 10 a) (x2 + x)2 2(x2 + x) 15 ; b) x2 + 2xy + y2 x y 12 ; c) (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) 12 ; 11 a) (x + a)(x + 2a)(x + 3a)(x + 4a) + a4 ; b) (x2 + y2 + z2)(x + y + z)2 + (xy + yz + zx)2 ; c) 2(x4 + y4 + z4) (x2 + y2 + z2)2 2(x2 + y2 + z2)(x + y + z)2 +(x+ y + z)4 12 (a + b + c)3 a b = n 4(a3 + b3 + c3) 13 a) 4x4 32x2 + ; c) 3(x4 + x+2+ + 1) b) x6 + 27 ; (x2 + x + 1)2 ; d) (2x2 4)2 + 14 a) 4x4 + ; 15 a) x5 + x4 + ; b) 4x4 + y4 ; b) x5 + x + ; c) x4 + 324 c) x8 + x7 + ; 16 d) x5 x4 e) x7 + x5 + ; 1; 16 a) a6 + a4 + a2b2 + b4 g) x8 + x4 + b6 ; b) x3 + 3xy + y3 17 : a) 4x4 + 4x3 + 5x2 + 2x + ; b) x4 c) x4 d) (x + 1)4 + (x2 + x + 1)2 8x + 63 ; 7x3 + 14x2 18 a) x8 + 14x4 + ; 19 M = a(b + c 7x + ; b) x8 + 98x4 + : a) + b(c + a b) + c(a + b c)2+(a + b c)(b + c a)(c + a 20 b) : 2 a (b – c) + b (c – a) + c (a – b) 21 + b3 + c3 a = b = c + b + c4 + d = b = c = d 22 23 : (am + bc)(bm + ac)(cm + ab) = (a + b)2(b + c)2(c + a)2 24 Cho a2 + b2 = 1, c2 + d2 + cd = (y + z) + y2(z + x) + z2 : 3 3 x + y + z = (x + y + z) Trên số phƣơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử mơn tốn Mỗi phƣơng pháp có đặc điểm khác cịn chia thành dạng nhỏ dạng Tuy nhiên, phƣơng phápg lấy ví dụ điển hình để giới thiệu, hƣớng dẫn cụ thể cách giải, giúp học sinh có kỹ làm toán IV Hiệu áp dụng sáng kiến vào thực tiễn - Tơi tự tìm phƣơng pháp thực nghiên cứu học sinh lớp 8A năm học 2012 – 2013 học sinh lớp 8A, 8B năm học 2013- 2014, 2015 -2016, lớp 8A năm học 2016 -2017 - Kết cụ thể kiểm tra phần phân tích đa thức thành nhân tử, tơi thực khảo sát học sinh lớp qua năm dạy kết đạt đƣợc nhƣ sau: 25 Năm học Lớp 2012- 2013 8A 2013- 2014 8A Sĩ số Giỏi Khá T Bình Yếu Kém 37 11/3= 29,7% 9/29=31% 8/37= 21,6% 7/29= 24,1% 16/37= 43,3% 13/29= 44,9% 2/37= 5,4% 0% 0= 0% 29 0% 17 8B 30 2015- 2016 8B 20 8A 21 2016- 2017 8A 28 11/30= 36,7% 7/20=35% 7/21= 33,3% 7/28=25% 8/30= 26,6% 5/20= 25% 6/21= 28,6% 10/28 =35,7 % 10/30= 33,4% 8/20= 40% 7/21= 33,3% 11/28= 39,3% 1/30= 3,3% 0% 1/21= 4,8% 0% 0% 0% 0% Qua kết khảo sát tơi cố gắng giảng dạy cho em, thấy đƣợc tiến học sinh qua việc giải tập phân tích đa thức đa thức thành nhân tử qua năm giảng dạy Tơi nhận thấy hầu hết em biết trình bày toán dạng Phần lớn học sinh có hứng thú giải tốn phân tích đa thức đa thức thành nhân tử Các em không cịn lúng túng làm tốn Tuy bên cạnh kết đạt đƣợc cịn số học sinh học yếu , lƣời học, chƣa có khả tự giải đƣợc tốn cách lập phƣơng trình Đối với em yếu, việc thực khó khăn Một phần khả học toán em cịn hạn chế, mặt khác dạng tốn lại khó, địi hỏi tƣ nhiều em Kết bất ngờ thân Tôi không dám chắn biện pháp mà đƣa tối ƣu nhất, hiệt nhất, nhƣng kết mà học sinh đạt đƣợc qua q trình tơi giảng dạy thật niềm vui, niềm hứng thú công tác Năm học 2018-2019 đƣợc phân công giảng dạy mơn Tốn 8, tơi tiếp tục áp dụng sáng kiến vào giảng dạy cho học sinh phần phân tích đa thức đa thức thành nhân tử C KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ: Kết luận - Từ thực tế nghiên cứu giảng dạy, nhận thấy việc giảng dạy giải tốn phân tích đa thức đa thức thành nhân tử có ý nghĩa thực tế cao Nó rèn luyện cho học sinh tƣ logic, khả sáng tạo, khả diễn đạt xác nhiều quan hệ tốn học, … Do giải dạng toán lớp 8, giáo viên vần lƣu ý học sinh đọc kỹ đề bài, nắm đƣợc mối quan hệ biết chƣa biết phần tử để sử dụng phƣơng pháp phu hợp - Phân tích đa thức thành nhân tử dạng toán áp dụng nhiều chƣơng trình tốn phổ thơng, nhƣng lại dạng tốn khó học sinh Học sinh dễ rơi vào trạng thái làm dần chán học với bọ mơn tốn Vì mà ngƣời giáo viên cần phải khéo léo chọn nội dung, dạng vừa sức đối tƣợng học sinh Kiến nghị - Lĩnh vực áp dụng sáng kiến kinh nghiệm ngành giáo dục Cụ áp dụng vào giảng dạy học sinh lớp bậc trung học sở 18 - Sáng kiến đƣợc áp dụng vào giảng dạy học sinh khối lớp mơn Tốn phần phân tích đa thức đa thức thành nhân tử trƣờng THCS Mộc Nam Tôi mong đƣợc đồng nghiệp ngành giáo dục tham gia góp ý để sáng kiến đƣợc mở rộng ngành giáo dục Trên số kinh nghiệm thân tơi việc giảng dạy phân tích đa thức đa thức thành nhân tử chƣơng trình tốn lớp Cùng với giúp đỡ tận tình BGH nhà trƣờng, tổ chuyên môn, đồng nghiệp học sinh tơi hồn thành đề tài “ Một số phƣơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử” Tuy tơi có nhiều cố gắng nhƣng chắn cịn nhiều thiếu sót Tơi xin trân trọng tất ý kiến phê bình, đóng góp cấp đồng nghiệp để đề tài tơi ngày hồn thiện áp dụng rộng rãi ngành Tôi xin chân thành cảm ơn! Mộc Nam, ngày tháng 10 năm 2018 Xác nhận quan Ngƣời viết Bùi Thị Thu Hà 19 ... phép phân tích đa thức thành nhân tử HĐT cao so với sĩ số học sinh lớp Ở lớp em không nắm vững cách phân tích đa thức thành nhân tử , khơng thực hành thành thạo phân tích đa thức thành nhân tử. .. tập phân tích đa thức đa thức thành nhân tử qua năm giảng dạy Tôi nhận thấy hầu hết em biết trình bày tốn dạng Phần lớn học sinh có hứng thú giải tốn phân tích đa thức đa thức thành nhân tử ... nguyên Ví dụ Phân tích đa thức f(x) = 4x3 13x2 + 9x 18 thành nhân tử Hướng dẫn Các ƣớc 18 ± 1, ± 2, ± 3, ± 6, ± 9, ± 18 f(1) = – 18, f(–1) = –44, nên ± nghiệm f(x) 18 Dễ thấy 18 , 18 , , 18 18 không