Ước lượng và tính xác suất thiệt hại trong một số mô hình bảo hiểm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI *** PHÙNG DUY QUANG ƯỚC LƯỢNG VÀ TÍNH XÁC SUẤT THIỆT HẠI TRONG MỘT SỐ MƠ HÌNH BẢO HIỂM LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội – 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI - - PHÙNG DUY QUANG ƯỚC LƯỢNG VÀ TÍNH XÁC SUẤT THIỆT HẠI TRONG MỘT SỐ MƠ HÌNH BẢO HIỂM Chun ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 62460106 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS BÙI KHỞI ĐÀM TS NGUYỄN HỮU TIẾN HÀ NỘI – 2014 MỤC LỤC DANH MỤC CÁC BẢNG DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ VIẾT TẮT LỜI CẢM ƠN LỜI CAM ĐOAN MỞ ĐẦU CHƢƠNG MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUẢ CƠ BẢN 11 1.1 Một số nội dung toán thiệt hại bảo hiểm 11 1.1.1 Bài toán thiệt hại công ty bảo hiểm 11 1.1.2 Quá trình điểm 12 1.1.3 Phân loại bảo hiểm 14 1.2 Quá trình Markov 17 1.2.1 Định nghĩa 17 1.2.2 Xích Markov rời rạc 19 1.3 Quá trình Martingale với thời gian rời rạc 22 1.3.1 Khái niệm tƣơng thích dự báo đƣợc 22 1.3.2 Thời điểm Markov thời điểm dừng 23 1.3.3 Kỳ vọng có điều kiện 24 1.3.4 Martingale [6] 25 1.3.5 Định lý thời điểm dừng chọn Martingale 25 KẾT LUẬN CHƢƠNG 27 CHƢƠNG ƢỚC LƢỢNG XÁC SUẤT THIỆT HẠI TRONG MƠ HÌNH BẢO HIỂM VỚI DÃY BIẾN NGẪU NHIÊN 28 PHỤ THUỘC MARKOV 28 2.1 Ƣớc lƣợng xác suất thiệt hại mô hình bảo hiểm tổng qt có tác động lãi suất phƣơng pháp đệ quy 30 2.1.1 Xét mơ hình (2.1) với dãy tiền thu bảo hiểm, dãy tiền chi trả bảo hiểm xích Markov 30 2.1.2 Xét mơ hình (2.2) với dãy tiền thu bảo hiểm, dãy tiền chi trả bảo hiểm xích Markov 42 2.1.3 Kết ƣớc lƣợng số 55 2.2 Ƣớc lƣợng xác suất thiệt hại mơ hình bảo hiểm tổng quát có tác động lãi suất phƣơng pháp Martingale 59 2.2.1 Xét mơ hình (2.1) với dãy tiền thu bảo hiểm dãy tiền chi trả bảo hiểm xích Markov 59 2.2.2 Xét mơ hình (2.2) với dãy tiền thu bảo hiểm dãy tiền chi trả bảo hiểm xích Markov 64 KẾT LUẬN CHƢƠNG 70 CHƢƠNG TÍNH CHÍNH XÁC XÁC SUẤT THIỆT HẠI 71 TRONG MƠ HÌNH BẢO HIỂM 71 3.1 Tính xác xác suất thiệt hại mơ hình bảo hiểm tổng quát với dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc Markov 72 3.2 Tính xác xác suất thiệt hại mơ hình bảo hiểm tổng qt với dãy biến ngẫu nhiên độc lập không phân phối 87 3.3 Tính xác xác suất thiệt hại mơ hình bảo hiểm tổng quát với dãy biến ngẫu nhiên độc lập phân phối 90 3.4 Kết thực nghiệm số 93 KẾT LUẬN CHƢƠNG 95 KẾT LUẬN CHUNG 102 PHỤ LỤC 104 DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN 106 TÀI LIỆU THAM KHẢO 107 DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 2.1 Ƣớc lƣợng chặn xác suất thiệt hại  (1) (u, xi , yr ) Bảng 3.1 Xác suất thiệt hại  t(1) (u ) mơ hình (3.2) Bảng 3.2 Xác suất thiệt hại  t(2) (u ) mơ hình (3.3) DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ VIẾT TẮT hcc: hầu chắn A  B  P   A \ B    B \ A   hcc A  B(hcc)  P  A  B   LỜI CẢM ƠN Trƣớc hết, xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến tập thể cán hƣớng dẫn khoa học: PGS TS Bùi Khởi Đàm TS Nguyễn Hữu Tiến Đặc biệt PGS TS Bùi Khởi Đàm, giao đề tài, tận tình bảo, hƣớng dẫn tơi suốt q trình nghiên cứu hoàn thành luận án Tác giả luận án chân thành cảm ơn lãnh đạo, thầy, cô giáo cán Viện Toán ứng dụng Tin học, Viện Sau đại học – Trƣờng Đại học Bách khoa Hà nội làm trách nhiệm, nhiệt tình giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tơi suốt q trình nghiên cứu hoàn thành luận án Tác giả luận án chân thành cảm ơn đồng nghiệp Khoa Cơ – Trƣờng Đại học Ngoại thƣơng Nhà trƣờng tạo điều kiện giúp đỡ làm việc học tập Cuối cùng, tác giả luận án xin dành lời cảm ơn đặc biệt tới gia đình, ngƣời thân bạn bè, ngƣời thƣờng xuyên giúp đỡ, chia sẻ động viên chỗ dựa để tơi hoàn thành luận án này! Phùng Duy Quang LỜI CAM ĐOAN Tác giả luận án xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tác giả Các kết nêu luận án trung thực chƣa đƣợc tác giả khác công bố cơng trình Xác nhận Tập thể hƣớng dẫn Tác giả luận án Phùng Duy Quang MỞ ĐẦU Trong năm gần công ty bảo hiểm đƣợc mở nhiều nơi nhằm mục đích chịu trách nhiệm chia sẻ phần trách nhiệm cho chủ thể rủi ro, nhƣng hoạt động bảo hiểm hoạt động đầu tƣ tài nên thân chứa đựng rủi ro Việc đánh giá mức độ rủi ro thời điểm rủi ro nhu cầu cấp thiết đòi hỏi cần đƣợc nghiên cứu giải để hạn chế tối thiểu thiệt hại xảy Lý thuyết rủi ro (Risk Theory, [13], [29], [30], [55]) đƣợc nghiên cứu rộng rãi thời gian gần đây, đặc biệt nghiên cứu rủi ro bảo hiểm, tài Một vấn đề trọng tâm đƣợc nhiều nhà nghiên cứu quan tâm lý thuyết toán ƣớc lƣợng xác suất thiệt hại mơ hình bảo hiểm với thời gian liên tục rời rạc Trong cơng trình Lundberg (1903), với luận án tiến sỹ tiếng ông Đại học Uppsala (Thủy điển), công trình đƣa đến việc sáng lập lý thuyết rủi ro bảo hiểm Sau đó, Carmer, H trƣờng phái Stockholm phát triển ý tƣởng Lundberg đóng góp vào việc hình thành phát triển lý thuyết q trình ngẫu nhiên tốn học Với kết Cramer đóng góp cách đáng kể vào lý thuyết bảo hiểm, tài lẫn lý thuyết xác suất thống kê tốn học Mơ hình số đóng góp mơ hình Cramer – Lundberg Trong mơ hình rủi ro cổ điển, tốn thƣờng đƣợc nghiên cứu với giả thiết liên quan tới dãy biến ngẫu nhiên độc lập Chẳng hạn, nhƣ kết Cramer – Lundberg ƣớc lƣợng xác suất thiệt hại với thời gian liên tục, dãy số tiền chi trả bảo hiểm, nhƣ dãy thời gian hai lần đòi trả liên tiếp, giả thiết dãy biến ngẫu nhiên không âm, độc lập, phân phối Có nhiều cơng trình nghiên cứu nhà tốn học có tên tuổi vấn đề nhƣ: Asmussen, S [10], Buhlma, H [13], Embrechts, P [26], Kluppelberg, C [36], Grandell, J [30], Hipp, C [32], Schmidli, H [56], Musiela, M [42], Nyrhinen, H [44], Paulsel, J [46], Schmidt, K D [55], … Các cơng trình cho ƣớc lƣợng cận cho xác suất thiệt hại có dạng hàm mũ Bên cạnh loạt cơng trình sử dụng phƣơng pháp Martingale để chứng minh công thức ƣớc lƣợng xác suất thiệt hại cho mơ hình rủi ro mở rộng có tác động yếu tố lãi suất nhƣ: Cai, J [14], [15], Cai J and Dickson, D C M [17], Gaier, J [29], Kluppelberg, C and Stadtmuller [36], Konstantinide, D.G and Tang, Q H and Tsitsiashvili, G S [37], Sundt, B and Teugels, J L [58], [59], Tang, Q [60], [61], [62], Yang, H [65], Yang, H and Zhang, L H [66], [67]…Tuy nhiên, thực tế sản phẩm bảo hiểm tái bảo hiểm nhƣ đối tƣợng tham gia bảo hiểm ngày nhiều phức tạp nên đòi hỏi mơ hình có cấu trúc phụ thuộc Do đó, để phù hợp với thực tế hơn, hƣớng nghiên cứu đƣợc nhiều nhà toán học quan tâm, mơ hình với dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc Một loạt cơng trình có giá trị nhà tốn học, xét mơ hình bảo hiểm với giả thiết dãy tiền thu bảo hiểm, dãy tiền chi trả bảo hiểm dãy biến ngẫu nhiên độc lập, dãy lãi suất phụ thuộc theo nghĩa hồi quy xích Markov nhƣ Arbrecher, H [7], Cai, J [14], [15], Dickson, D C M [16], [17], Gerber, H U [29], Muller, A [41], Promisslow, S.D [51], Valdez, E A [63], Xu, L and Wang R [64], Yang, H [65], Yang, H and Zhang, L H [66], … Các cơng trình Bùi Khởi Đàm Nguyễn Huy Hoàng [1], [2], Nguyễn Huy Hoàng [3] xây dựng đƣợc ƣớc lƣợng cho xác suất thiệt hại mơ hình rủi ro với giả thiết dãy tiền thu bảo hiểm, dãy tiền chi trả bảo hiểm, dãy lãi suất dãy biến ngẫu nhiên m - phụ thuộc Bên cạnh toán ƣớc lƣợng xác suất thiệt hại tốn tính xác xác suất thiệt hại mơ hình bảo hiểm gắn liền với tình thực tế Một số cơng trình tiếp cận theo hƣớng với giả thiết dãy tiền chi trả bảo hiểm nhận giá trị nguyên dƣơng nhƣ Caude Lefèvre [18], Rullière, D and Loisel, St [54], De Vylder, F E [21], [22], De Vylder and Goovaerts, M J [23], [24], Ignatov, Z G and Kaishev, V K [34],[35], Pircard, Ph and Lefèvre,Cl [49] Công trình Hong, N.T.T [33] xây dựng đƣợc cơng thức tính xác t t i 1 i 1 xác suất thiệt hại (khơng thiệt hại) cho mơ hình bảo hiểm: U t  u   X i  Yi , với dãy tiền thu bảo hiểm  X i  , dãy tiền chi trả bảo hiểm Yi  , thời gian t nhận giá trị nguyên dƣơng Với lý trên, xác định đối tƣợng nghiên cứu luận án số mơ hình tốn học ứng dụng bảo hiểm, cụ thể mơ hình bảo hiểm rời rạc có tác động lãi suất Luận án tập trung vào toán: ƣớc lƣợng xác suất thiệt hại mơ hình bảo hiểm với dãy biến ngẫu nhiên xích Markov nhất, tính xác xác suất thiệt hại mơ hình bảo hiểm tổng qt có tác động lãi suất Các kết chủ yếu luận án đƣợc công bố công trình [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7] (xem danh mục cơng trình cơng bố luận án) Luận án thu đƣợc kết sau đây: a Trong mơ hình bảo hiểm tổng qt có tác động lãi suất, sử dụng phương pháp đệ quy phương pháp Martingale để xây dựng bất đẳng thức ước lượng dạng hàm mũ cho xác suất thiệt hại trường hợp: dãy tiền thu bảo hiểm dãy tiền chi trả bảo hiểm xích Markov cịn dãy lãi suất dãy biến ngẫu nhiên độc lập phân phối b Đối với mơ hình bảo hiểm tổng qt có tác động lãi suất, mở rộng kết Hong, N.T.T [33], luận án xây dựng công thức tính xác xác suất thiệt hại (khơng thiệt hại) cho mơ hình bảo hiểm tổng qt có tác động lãi suất với giả thiết dãy tiền thu dãy tiền chi trả bảo hiểm nhận giá trị dương tập hữu hạn, dãy lãi suất nhận giá trị khơng âm tập hữu hạn Cơng thức tính xác xác suất thiệt hại xây dựng trường hợp: dãy biến ngẫu nhiên độc lập phân phối, dãy biến ngẫu nhiên độc lập không phân phối, dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc Markov Qua việc hồn thành luận án, chúng tơi hy vọng đƣợc góp phần khiêm tốn vào việc nghiên cứu phát triển lý thuyết mơ hình tốn học ứng dụng tài bảo hiểm Nội dung luận án gồm chƣơng t t t   U t  u. (1  I k )    ( X k  Yk )  (1  I j )  k 1  k 1 j  k 1  Khi đó, xác suất khơng thiệt hại mơ hình (3.32) với dãy biến ngẫu nhiên xích Markov đƣợc cho công thức (3.9) định lý 3.1 chƣơng luận án Bây dùng cách đặt tổng nhƣ chứng minh Hong, N.T.T [33] để chứng minh xây dựng cơng thức tính xác suất khơng thiệt hại cho mơ hình (3.53) Để sử dụng đƣợc tổng, chẳng hạn ta viết t t k 1 k 1 U t  u. (1  I k )   X k t  (1  I j  k 1 t j )   Yk k 1 t  (1  I j  k 1 j )  Vt  St  Pt , (3.54) t t t  t  t U t   u  (1  I k )   X k  (1  I j )    Yk  (1  I j )  Vt  Pt k 1 j  k 1  k 1  k 1 j  k 1 (3.55) Với cách đặt (3.54), ta có A : t (U j  0)  U1    U     U t   j 1  (V1  S1  P1 )  (V2  S2  P2 )  Vt  St  Pt  Với cách đặt (3.55), ta có A : t (U j  0)  U1    U     U t   j 1  (V1  P1 )  (V2  P2 )  Vt  Pt  Xét cách đặt (3.54), ký hiệu K1  max Vii  1,2, t, K2  max Si : i  1,2, t, K3  max Pi : i  1,2, t Vì X i , Yi nhận giá trị dƣơng I i nhận giá trị không âm nên Vi nhận giá trị dƣơng tùy ý khoảng (0, K1 ] , S i nhận giá trị dƣơng tùy ý khoảng (0, K ] , Pi nhận giá trị dƣơng tùy ý khoảng (0, K ] nên sử dụng cách đặt tổng nhƣ chứng minh Hong, N.T.T [33] đƣợc Tƣơng tự với cách đặt (3.55) cách đặt tổng khác không sử dụng đƣợc nhƣ chứng minh Hong, N.T.T [33] 99 Chính vậy, luận án xây dựng cơng thức cách tách mơ hình (3.53) dƣới dạng sau t t t 1   U t  u. (1  I k )    ( X k  Yk )  (1  I j )   X t  Yt k 1  k 1 j  k 1  (3.56) Khi đó: A :   (U j  0)   Y1  u (1  I k )  X   k 1   j 1 t 2   Y  u (1  I )  ( X  Y )    k k k  (1  I j )  X   k 1 k 1 j  k 1   3    Y3  u  (1  I k )   ( X k  Yk )  (1  I j )  X   k 1 k 1 j  k 1   t t t      Yt  u  (1  I k )   ( X k  Yk )  (1  I j )  X t  k 1 k 1 j  k 1   (3.57) Sau sử dụng giả thiết I i nhận giá trị không âm tập GI  i1, i2 , , iR , gán I i nhận giá trị từ i1 , i2 , , iR Rồi giả thiết X i nhận giá trị dƣơng tập GX  x1, x2 , , xM  gán X i nhận giá trị từ x1 , x2 , , xM Cuối từ công thức (3.57) thu đƣợc điều kiện Yi sử dụng Yi nhận giá trị dƣơng tập GY   y1, y2 , , yN  Y1 nhận giá trị dƣơng từ đến g1 , Y2 nhận giá trị dƣơng từ đến g , …., Yt nhận giá trị dƣơng từ đến g t (với g i xác định định lý 3.1) Từ đó, xây dựng đƣợc cơng thức (3.9) định lý 3.1 Chi tiết chứng minh đƣợc trình bày định lý 3.1 mục 3.1 chƣơng luận án Vậy dùng phƣơng pháp chứng minh luận án xây dựng chứng minh đƣợc cơng thức tính xác suất thiệt hại (khơng thiệt hại) cho mơ hình tổng qt (3.1), (3.2), (3.3) Đồng thời suy đƣợc cơng thức tính xác suất thiệt hại (khơng thiệt hại) cho mơ hình (3.46) Cụ thể cho r = (trong [4](xem danh mục cơng trình công bố luận án)) In = (trong [1] ](xem danh mục cơng trình cơng bố luận án)) có cơng thức tính xác suất thiệt hại (khơng thiệt hại) cho mơ hình (3.46) Tuy nhiên dùng cách đặt tổng nhƣ chứng minh Hong, N.T.T [33] xây dựng đƣợc công thức tính xác suất thiệt hại (khơng thiệt hại) cho 100 mơ hình (3.46) mà khơng thể xây dựng đƣợc cơng thức tính xác suất thiệt hại (ko thiệt hại) cho mơ hình (3.1), (3.2) (3.3) 101 KẾT LUẬN CHUNG Trong luận án, thu đƣợc kết chủ yếu sau 1.Trong chƣơng luận án, chúng tơi nghiên cứu mơ hình bảo hiểm tổng quát với dãy biến ngẫu nhiên xích Markov Các cơng trình trƣớc dừng lại xây dựng bất đẳng thức Lundberg tổng quát cho mô hình với dãy tiền thu bảo hiểm dãy tiền chi trả bảo hiểm dãy biến ngẫu nhiên độc lập phân phối dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc hồi quy Sử dụng phƣơng pháp đệ quy phƣơng pháp Martingale, luận án lần xây dựng đƣợc bất đẳng thức ƣớc lƣợng xác suất thiệt hại dƣới dạng hàm mũ cho mơ hình bảo hiểm tổng quát có tác động lãi suất trƣờng hợp: dãy tiền thu bảo hiểm X   X n  , dãy tiền chi trả bảo hiểm Y  Yn  xích Markov khơng âm, cịn dãy lãi suất I  I n  dãy biến ngẫu nhiên liên tục nhận giá trị không âm, độc lập, phân phối, dãy X ,Y ,I độc lập với Kết số minh họa cho ƣớc lƣợng chặn cho xác suất thiệt hại mơ hình đƣợc giới thiệu chƣơng Kết chương định lý 2.1 đến định lý 2.6 2.Trong chƣơng luận án, mở rộng đƣợc kết Hong, N.T.T [33], luận án lần xây dựng đƣợc cơng thức tính xác xác suất thiệt hại (khơng thiệt hại) cho mơ hình tổng qt có tác động lãi suất với dãy tiền thu bảo hiểm X   X n  , dãy tiền chi trả bảo hiểm Y  Yn  nhận giá trị dƣơng tập hữu hạn, dãy lãi suất I  I n  nhận giá trị không âm tập hữu hạn, dãy X ,Y ,I độc lập Các cơng thức tính xác xác suất thiệt hại (không thiệt hại) đƣợc đƣa luận án xem xét trƣờng hợp: dãy biến ngẫu nhiên độc lập phân phối độc lập không phân phối, phụ thuộc Markov Các mô hình luận án xét gồm mơ hình (3.1), (3.2), (3.3) mơ hình bảo hiểm có tác động lãi suất tái đầu tƣ tín dụng Đây tình 102 thƣờng gặp thực tế Bên cạnh đó, cơng thức tính xác xác suất thiệt hại (khơng thiệt hại) mơ hình (3.2), (3.3) đƣợc mở rộng cho dãy biến ngẫu nhiên nhận giá trị dƣơng tùy ý Kết tạo sở lý thuyết để mở rộng cơng thức tính xác xác suất thiệt hại (khơng thiệt hại) mơ hình cho dãy biến ngẫu nhiên liên tục nhận giá trị dƣơng tập hữu hạn Các kết số minh họa cho cơng thức tính xác xác suất thiệt hại cho mơ hình đƣợc giới thiệu chƣơng Kết chương định lý 3.1 định lý 3.2, kết xây dựng cơng thức tính xác xác suất khơng thiệt hại (thiệt hại) mơ hình (3.2) (3.3) với dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc Markov Từ định lý 3.1 định lý 3.2 suy cơng thức tính xác xác suất khơng thiệt hại (thiệt hại) mơ hình (3.2) (3.3) với dãy biến ngẫu nhiên độc lập phân phối độc lập không phân phối Đó hệ 3.3 đến hệ 3.6 Các kết cuả luận án đƣợc cơng bố cơng trình [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7] (xem danh mục cơng trình cơng bố luận án) Luận án mở số vấn đề tiếp tục nghiên cứu sau a Mở rộng kết chƣơng cho dãy biến ngẫu nhiên liên tục nhận giá trị dƣơng b Trong toán ƣớc lƣợng xác suất thiệt hại bất đẳng thức: so sánh ƣớc lƣợng phƣơng pháp đệ quy phƣơng pháp Martingale Xây dựng ví dụ số cho ƣớc lƣợng bất đẳng thức phƣơng pháp Martingale c Ƣớc lƣợng xác suất cho số mơ hình bảo hiểm với dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc theo nghĩa mixing d Nghiên cứu ƣớc lƣợng xác suất thiệt hại cho toán tái bảo hiểm 103 PHỤ LỤC u   0,5  1   0,25 0.568153285 0.461248938 0.144692244 0.341122583 0.247850819 0.123274001 0.212329450 0.143943400 0.114193530 0.135562803 0.087637869 0.109188070 0.088199235 0.055077974 0.106020148 0.058226010 0.035414041 0.103835693 0.038886953 0.023165611 0.102238586 0.026217554 0.015358386 0.101020148 0.017815013 0.010292697 0.100060044 10 0.012185782 0.006959107 0.099284023 15 0.001960016 0.001077512 0.096912849 20 0.000340647 0.000183357 0.095702556 Bảng 2.1 Ƣớc lƣợng chặn cho xác suất thiệt hại  (1) (u, xi , yr ) u t t=3 t=4 t =5 1,5 0,136250 0,207778 0,274130 2,5 0,037408 0,065189 0,099821 3,5 0,010500 0,020001 0,033349 4,5 0,001619 0,004698 0,009572 5,5 0,000279 0,000911 0,002280 6,5 0,000058 0,000201 0,000531 7,5 0,000001 0,000029 0,000109 Bảng 3.1 Xác suất thiệt hại  t(1) (u ) mơ hình (3.2) 104 u t t=3 t=4 t=5 1,5 0,293167 0,327225 0,352079 2,5 0,155001 0,188188 0,213372 3,5 0,070132 0,097067 0,118840 4,5 0,032686 0,050891 0,067123 5,5 0,011821 0,023018 0,034128 6,5 0,003710 0,009619 0,016400 7,5 0,000996 0,003650 0,007374 Bảng 3.2 Xác suất thiệt hại  t(2) (u ) mơ hình (3.3) 105 DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH ĐÃ CƠNG BỐ CỦA LUẬN ÁN [1] Bui Khoi Dam, Phung Duy Quang (2014) Finite – Time Ruin Probability in a Generalized Risk Processes under Interest Force Mathematica Aeterna, Vol.4, no.4, 351-369 [2] Phung Duy Quang (2014) Upper Bounds for Ruin Probability in Generalized Risk Processes under rates of interest with homogenous Markov chain claims and homogenous Markov chain Interests American Journal of Mathematics and Statistics, Vol.4, No.1, 21-29 [3] Phung Duy Quang (2014) Upper Bounds for Ruin Probability in Generalized Risk Processes under rates of interest with homogenous Markov chain claims and homogenous Markov chain premiums Applied Mathematical Sciences, Vol.8, No.29, 1445-1454 [4] Quang Phung Duy (2013) Computing Ruin Probability in Generalized Risk Processes under constant interest force International Journal of Probability and Statistics (USA), Vol.2, No.2, 35-41 [5] Quang Phung Duy (2013) Ruin Probability in Generalized Risk Processes under rates of interest with homogenous Markov chain claims and homogenous Markov chain premiums American Journal of Mathematics and Statistics, Vol.3, No.6, 375-388 [6] Phung Duy Quang (2014) Ruin Probability in a Generalised Risk Process under Rates of Interest with Homogenous Markov Chains East Asian Journal on Applied Mathematics, Vol 4, No 3, 283-300 (tạp chí thuộc danh mục SCIE) [7] Bui Khoi Dam, Phung Duy Quang (2014) Ruin Probability in Generalized Risk Processes under rates of interest with homogenous Markov chain premiums and homogenous Markov chain Interests Applications, Vol.12, No.1, 43-62 106 Vietnam Journal of Mathematical TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Bùi Khởi Đàm, Nguyễn Huy Hoàng (2008) Đánh giá xác suất thiệt hại với trình rủi ro với gia số phụ thuộc Tạp chí ứng dụng Tốn học, Tập VI, số 1, tr.9394 [2] Bùi Khởi Đàm, Nguyễn Huy Hoàng (2008) Ước lượng xác suất thiệt hại số mơ hình rủi ro, thời gian rời rạc với dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc Tạp chí ứng dụng Tốn học, Tập IV, số 2, tr 49-64 [3] Nguyễn Huy Hoàng (2009) Một số mơ hình rủi ro bảo hiểm với dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc.Luận án Tiến sỹ Toán học, Viện Khoa học công nghệ quân (Bộ quốc phịng) [4] Nguyễn Văn Hữu, Vƣơng Qn Hồng (2007), Các phương pháp tốn học tài Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà nội [5] Nguyễn Duy Tiến (2001) Các mơ hình xác suất ứng dụng (Phần I, Phần III) Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà nội [6] Nguyễn Duy Tiến, Vũ Việt Yên (2004), Lý thuyết xác suất Nhà xuất Giáo dục Tiếng Anh [7] Albrecher, H (1998), Dependent risks and Ruin Probabilities in Insurance IIASA Interim Report, IR-98-072 [8]Albrecher, H Teugels, J L and Tichy, R F (2001), On gamma series expansion for the time-dependent probability of collective ruin Insurance: Mathematics and Economics 29, 345-355 107 [9] Albrecher, H and Boxma, O J (2004) A ruin model with dependence between claim sizes and claim intervals Insurance: Mathematics and Economics 35, 245254 [10] Asmussen, S (2000) Ruin probabilities Word Scientific, Singapore [11] Billingsley (1999) Convergence of Probability Measures (second Edition), W-I Publition [12] Borovkov, K A and Dickson, D C M (2007) On the ruin time distribution for a Sparre Andersen processes with exponential claim sizes, arXiv: 0709.0764v1(math.PR) sep 2007 [13] Buhlman, H (1970) Mathematical Methods in Risk Theory Berlin-HeidelbergNewYork Springer [14] Cai, J (2002) Discrete time risk models under rates of interest Probability in the Engineering and Informational Sciences.16, 309-324 [15] Cai, J (2002) Ruin Probabilities with Dependent Rates of Interest Journal of Applied Probability, 39, No.2, 312-323 [16] Cai, J and Dickson, D C M (2003) Upper bounds for Ultimate Ruin Probabilities in the Sparre Andersen Model with Interest Insurance: Mathematics and Economics 32, 61-71 [17] Cai, J and Dickson,D.C.M (2004) Ruin Probabilities with a Markov chain interest model Insurance: Mathematics and Economics 35, 513-525 [18] Claude Lefèvre, Stéphane Loisel (2008) On finite - time ruin probabilities for classical models Scandinavian Actuarial Journal, Volume 2008, Issue 1, 56-68 [19] Chow, Y S and Teicher, H (1978) Probability Theory Berlin-HeidelbergNew York Springer – Verlag 108 [20] Cramer, H (1930) On the Mathematical Theory of Risk Skandia Jubilee Volume, Stockholm [21 De Vylder, F E (1997) La formule de Picard et Lefèvre pour la probabilité de ruine en temps fini Bulletin Francais d’Actuariat, 1, 31-40 [22] De Vylder, F E (1999) Numerical finite – time ruin probabilities by the Picard – Lefèvre formula Scandinavian Actual Journal, 2, 97-105 [23] De Vylder, F E and Goovaerts, M J (1998) Recursive calculation of finite – time ruin probabilities Insurance: Mathematics and Economics, 7, 1-7 [24] De Vylder, F E an d Goovaerts, M.J (1999) Explicit finite – time and infinite – time ruin probabilities in the continuous case Insurance: Mathematics and Economics,24, 155-172 [25] Edgar, G A and Sucheston, L (1992) Stoping time and Directed Processes Cambridge University Press [26] Embrechts, P., Kluppelberg, C and Mikosch, T (1997) Modelling Extremal Events for Insurance and Finance Springer, Berlin [27] Feller, W (1971) An Introduction to Probability Theory and Its Application, Vol.II Wiley, New York [28] Gaier, J and Grandist, P (2004) Ruin Probabilities and investment under interest force in the presence of regularly varying tail North American Actualrial Journal, 11, 159-169 [29] Gerber, H.U (1979) An Introduction to Mathematical Risk Theory S S Huebner Foundation Monograph University of Philadelphia: Philadelphia Insurance: Mathematics and Economics,24,155-172 [30] Grandell, J (1992) Aspects of Risk Theory Springer, New York 109 [31] Geoffery R Grimment and David R Stirzaker (2001) Probability and Random Processes Oxford University Press [32] Hipp, C and Schmidli, H (2004) Asymptotics of ruin probabilities for controlled risk processes in the small claim case Scandinavian Actuarial Journal, 321-335 [33] Hong, N T T (2013) On finite-time ruin probabilities for general risk model East – West Journal of Mathematics: Vol 15, No 1, 86-101 [34] Ignatov, Z.G., Kaishev, V K and Krachunov, R S (2001) An improved finite – time ruin probability formula and its Mathematica implementation Insurance: Mathematics and Economics,29, 375-386 [35] Ignatov, Z.G., Kaishev, V K (2004) A finite – time ruin probability formula for continuous claim severities Journal of Applied Probability, 41, 570-578 [36] Kluppelberg, C and Stadtmuller, U (1998) Ruin Probabilities in the presence of heavy-tails and interest rates Scandinavian Actuarial Journal, 49-58 [37] Konstantinides, D G., Tang, Q H and Tsitsiashvili, G.S (2002) Two-sided bounds for ruin probability under constant interest force Journal of Mathematical Sciences, Vol.123, No.1, 3824-3833 [38] Lehmann, E., L (1966) Some concepts of dependence Ann Math Statist, 37, 1137-1153 [39] Luo, J H (2008) Survival probability and ruin probability of a risk model Appl Math J Chinese Uni.Vol.23, no.3, 256-264 [40] Ma, J and Sun, X (2003) Ruin probabilities for insurance models involving investments Scandinavian Actuarial Journal, 217-237 [41] Muller, A and Pfug, G (2001) Asymptotic ruin probabilities for risk processes with dependent increments Insurance: Mathematics and Economics,728, 1-12 110 [42] Musiela, M Rutkowski, M (1997) Martingale methods in Financial Modeling Springer [43] Neveu, J (1972) Matingales in discrete time Masson [44] Nyrhinen, H (2001) Finite and infinite ruin probabilities in a stochastic economic environment Stochastic Processes and their Applications, 92, 265-285 [45] Pavel Cizek, Wolfgang Hardle, Rafal Weron (2005) Statistical Tools for Finance and Insurance Springer [46] Paulsel, J (2002) On Cramer – like asymptotics for risk processes wwith stochastic return on investment The Annals of Applied Probability, Vol.12, no.4, 1247-1260 [47] Peligrad, M (2008) Convergence of Stopped sums of weakly dependent random variables Electrolic Journal of Probability, Vol.4, No.13, 1-13 [48] Peligrad, M (1999) Convergence of Stopped sums of weakly dependent random variables Electrolic Journal of Probability, Vol.4, No.13, 1-13 [49] Picard, Ph and Lefèvre, Cl (1997) The probability of ruin in finite time with discrete claim size distribution Scandinavian Actuarial, 58 – 69 [50] Prabhu, N U (1965) Stochastic Processes, The Macmillan Company, New York [51] Promislow, S.D (1991) The Probability of ruin in a process with dependent increments Insurance: Mathematics and Economics 10, 99-107 [52] Rolski, T Schmidli, H Schmidt, V and Teugels, J L (1999) Stochastic Processes for Insurance and Finance John Wiley, Chichester [53] Ross, S (2000) Introduction to Probability models (Seventh Edition) Academic Press 111 [54] Rullière, D and Loisel, St (2004) Another look at the Picard – Lefèvre formula for finite – time ruin probabilities Insurance: Mathematics and Economics,35,187-203 [55] Schmidt, K.D (1995) Lectures on Risk Theory Technische Universitat Dresden [56] Schmidli, H (2004) Asymptotics of ruin probabilities for risk processes under optimal reinsurance and investmen policies The large claim case, Queueing Systems 46, 149-157 [57] Sundt, B and Teugels, J L (1995) Ruin estimates under interest force Insurance: Mathematics and Economics, 19, 85-94 [58] Sundt, B and Teugels, J L (1997) The adjustment function in ruin estimates under interest force Insurance: Mathematics and Economics, 19, 85-94 [59] Tao, J and Yiqing, C (2005) Local asymptotic behavior of the survival probability of the equilibrium renewal model with heavy tails Science in China Ser Mathematics Vol 48, No.3, 300-306 [60] Tang Q (2004) The ruin probabilities of a discrete time risk model under constant interest rate with heavy tails Scandinavian Actuarial Journal 2, 229-240 [61] Tang Q (2005) Asymptotic ruin probabilities of therenewwal model with constant interest force and reguler variation Scandinavian Actuarial Journal 1, 1-5 [62] Tang Q (2005) The finite time ruin probability of the compound Poisson model with constant interest force Journal of Applied Probability, 42, 608-619 [63] Valdez, E A and Mo, K (2002) Ruin probabilities with Dependent Claims (working paper) The University of New South Wales [64] Xu, L and Wang, R (2006) Upper bounds for ruin probabilities in an autoregressive risk model with Markov chain interest rate Journal of Industrial and Management optimization, Vol.2 No.2,165- 175 112 [65] Yang, H (1999) Non – exponetial bounds for ruin probability with interest effect included Scandinavian Actuarial Journal, 2, 66-79 [66] Yang, H and Zhang, L H (2003) Martingangle method for ruin probability in an autoregressive model with constant interest rate Probability in the Engineering and Informational Sciences 17, 183-198 [67] Yang, H and Zhang, L H (2006) Ruin problems for a discrete time risk model with random interest rate Mathematical Method of Operarions Research 63, pp.287-299 113 ... XÁC XÁC SUẤT THIỆT HẠI 71 TRONG MÔ HÌNH BẢO HIỂM 71 3.1 Tính xác xác suất thiệt hại mơ hình bảo hiểm tổng qt với dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc Markov 72 3.2 Tính xác xác... Chƣơng Tính xác xác suất thiệt hại mơ hình bảo hiểm Trong chƣơng này, mở rộng kết Hong, N.T.T [33] cho mơ hình bảo hiểm có tác động lãi suất, luận án mở rộng công thức tính xác xác suất thiệt hại. .. DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI - - PHÙNG DUY QUANG ƯỚC LƯỢNG VÀ TÍNH XÁC SUẤT THIỆT HẠI TRONG MỘT SỐ MƠ HÌNH BẢO HIỂM Chun ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: