Ước lượng moment đối với nghiệm của phương trình vi phân Itô

ộ ụ t rờ ọ ị ò ợ t ố ệ ủ trì t t sĩ t ọ ệ ộ ụ t rờ ọ ợ t ố ệ ủ trì t ý tết st ố t ọ số t sĩ t ọ ễ ệ ệ ụ ụ ụ ụ ột số ế tứ ị í í ột ề tr tứ t t tứ t ợ t ố ệ ủ trì t P trì t tứ ợ t ết P trì ễ q trì r ợ ự t r P ó ợ ứ r ứ trì ễ rt ì tí ế ó trì ợ q t ứ P Prttr ề t ọ ý tết trì ó ề ứ ụ tr ề ĩ ự ỏ ệ s t tị trờ t í ó rt ề tí t ệ ủ trì tí ổ tí r tí r ợ ứ tì ể ề tí t ệ ủ trì tr ú t tì ể ề ợ t ủ ệ ủ trì ụ í ó ú t ọ ề t ứ ủ trì t ợ t ố ệ ợ ột số ế tứ ị r ú t trì ệ tí t ề q trì tí tứ t sở s ợ t ố ệ ủ trì t r ú t trì ị ĩ ệ t ể ứ ị ý ề tồ t t ệ ủ trì r tứ ợ t ột số ế tứ ị í í ột ề tr (, F, P) t tờ st ọ B = {Bt }t {Ft } b < a f = {f (t)}t q trì tỏ ề ệ q trì ể ộ r ị tr st ù ợ ọ ị ĩ {Ft } ý ệ M2 ([a, b]; R) trị tự (Ft )ù ợ s b f a,b |f (t)|2 dt < =E a ú t t f f tr ợ ú t ó r õ r ã f M ([a, b]; R) ế f f f = r trờ t ú t ết a,b ị ột tr tr tr tr ủ ỗ q trì ợ ũ tế a,b M2 ([a, b]; R) f = f f M2 ([a, b]; R) tồ t ột f M2 ([a, b]; R) s ủ f t f (t) = lim sup h h0 t f (s)ds th ó f q trì tổ qt ú t ó tể tết f = f ó t tí f M2 ([a, b]; R) q trì ị ĩ ột q trì g = {g(t)}a t b ợ ọ q trì ế tồ t ột ủ [a, b] a = t0 < t1 < < tk = b k1 ế ị i , i s i Fti ợ k1 g(t) = I[t0 ,t1 ] (t) + i I(ti ,ti+1 ] (t) i=1 ý ệ t q trì M0 ([a, b]; R) õ r M0 ([a, b]; R) M2 ([a, b]; R) ị ĩ tr g sử ột q trì ị M0 ([a, b]; R) ó tí ủ g ể ộ r {Bt } ợ ị s k1 b i (Bti+1 Bti ) g(t)dBt = a b õ r a ế i=0 g(t)dBt Fb ợ ú t ỉ r r tí ế tộ ổ ề ố q trì L2 (, R) g M0 ([a, b]; R) tì b g(t)dBt = E a b g(t)dBt E b a ổ ề sử |g(t)|2 dt =E a g1 , g2 M0 ([a, b]; R) c1 , c2 số tự ó c1 g1 + c2 g2 M0 ([a, b]; R) b b (c1 g1 (t) + c2 g2 (t)) dBt = c1 a b g1 (t)dBt + c2 a g2 (t)dBt a ổ ề sử f M2 ([a, b]; R) ó tồ t q trì {gn } s b |f (t) gn (t)|2 dt = lim E n+ ỗ a f M2 ([a, b]; R) t ổ ề tồ t q trì {gn } s b |f (t) gn (t)|2 dt = lim E n a t t ổ ề ổ ề t ó b gn (t)dBt E b a [gn (t) gm (t)]dBt =E gm (t)dBt b a a b =E |gn (t) gm (t)|2 dt m, n a ó b a gn (t)dBt tr L2 (; R) ó tồ t ủ ó ú t ó tí t ú t ó ị ĩ s ị ĩ f sử f M2 ([a, b]; R) tí ủ q trì t q trì ể ộ r {Bt } tr [a, b] ý ệ b a f (t)dBt ợ ị b b f (t)dBt = L2 lim n a tr ó gn (t)dBt , a {gn } q trì tộ M0 ([a, b]; R) s b |f (t) gn (t)|2 dt = lim E n ị ĩ tr ộ ọ trì ộ tụ ề f {gn } ế {hn } q t ĩ b |f (t) hn (t)|2 dt = lim E n a a tì {n } 2n1 = gn 2n = hn ũ ộ tụ ế f t ĩ b a n (t)dBt } ộ tụ tr L (, R) ó s r ủ b b g (t)dB } { n t a a hn (t)dBt } tr ó { { T > M2 ([a, b]; R) f M2 ([0, T ]; R) a < b tì T, {f (t)}a t b b a f (t)dBt t ị ú t ễ ứ ó r b c f (t)dBt + a ọ f (t)dBt , b a sử tồ t số V C 2,1 (Rd ì[0; ); R+ ) , s ệ f (x, t), g(x, t) ủ trì tỏ |x|p V (x, t); LV (x, t) V (x, t) ó ọ t t ó E|X(t)|p tr ó K = EV (x0 , 0) ứ ỗ số tự n > ét tờ ể n = inf{t ó K t e , : |X(t)| n} limn n = ụ tứ t t ó e2 tn V (X(t n ), t n ) = V (x0 , 0) tn + [2 V (X(s), s) + LV (X(s), s)]e2 s ds tn + e2 s Vx (X(s), s)g(X(s), s)dB(s) tn V (x0 , 0) + es Vx (X(s), s)g(X(s), s)dB(s) n ỳ ọ ế ụ ổ ề t t ó E(et V (X(t), t) EV (x0 , 0) = K r Ke2 t EV (X(t), t) ết ợ ề tết tứ t ủ ị ý t s r E|X(t)|p K t e t ó ề ứ ệ q s ọ x0 Lp (; R) sử r tồ t số > p (x, t) Rd ì [t0 , T ], xT f (x, t) + p1 |g(x, t)|2 (1 + |x|2 ) ó E|x(t)|p p2 (1 + E|x0 |p )ep(tt0 ) ọ t [t0 , T ] ệ q ợ s r trự tế từ ị ý ọ p V (x, t) = (1 + |x|2 ) ó t ó LV (x, t) pV (x, t) tr ú t ể tr ệ q ụ ộ tứ t ể tr ị ý tr trờ ợ ụ tể ứ ệ q ụ tứ t ề ệ ọ t [t0 , T ], t ó p 2 t p [1 + |x(s)|2 ] [1 + |x(t)| ] = [1 + |x0 | ] + p p2 xT (s)f (x(s), s)ds t0 t p2 p [1 + |x(s)|2 ] |g(x(s), s)|2 ds t0 p4 p(p 2) t [1 + |x(s)|2 ] |xT (s)g(x(s), s)|2 ds + t0 + t [1 + |x(s)|2 ] +p p2 xT (s)g(x(s), s)dBs t0 p2 t p [1 + |x(s)|2 ] (1 + |x0 | ) + p p2 t0 p1 |g(x(s), s)|2 ds ì xT (s)f (x(s), s) + t [1 + |x(s)|2 ] +p p2 xT (s)g(x(s), s)dBs t0 p2 t (1 + |x0 |p ) + p p [1 + |x(s)|2 ] ds t0 t [1 + |x(s)|2 ] +p p2 xT (s)g(x(s), s)dBs t0 ọ số n 1, ị tờ ể n = T inf{t [t0 , T ] : |x(t)| õ r n T n} r từ tứ tí t ủ tí t t ó p E [1 + |x(t n )|2 ] 2 p2 p2 tn p (1 + E|x0 | ) + pE t0 t (1 + E|x0 |p ) + p p [1 + |x(s)|2 ] ds p [1 + E|x(s n )|2 ] ds t0 ụ t tứ r t ó p E [1 + |x(t n )|2 ] 2 p2 (1 + E|x0 |p )ep(tt0 ) n t ó p E [1 + |x(t)|2 ] 2 p2 (1 + E|x0 |p )ep(tt0 ) t ó ề ứ ú t ỉ r r ề ệ t tế tí tỏ tì tỏ tứ = 2ab K + K(p1) t sử ụ ề ệ t a2 + b2 , t ó ọ > 0, |f (x, t)| ) 2|x||f (x, t)| = 2( |x|)( K |x|2 + |f (x, t)|2 |x|2 + (1 + |x|2 ) 2xT f (x, t) = K t ó T x f (x, t) K(1 + |x|2 ) ó s r xT f (x, t) + p1 |g(x, t)|2 K+ K(p 1) + |x|2 ó ú t ó ệ q s x0 Lp (; Rd ) sử r ề ệ t tế tí ú ì t tứ ú = K + K(p1) ệ q p ú t ụ tí t q trọ ể ỉ r tí t q trọ ủ ệ ị ý p x0 Lp (; Rd ) sử r ề ệ t tế tí ú ó E|x(t) x(s)|p p C(t s) ọ t0 s