Chương 4:BIẾN NGẪU NHIÊN NHIỀU CHIỀUBài 1.Đối với biến ngẫu nhiên hai chiều X(X,Y), hãy phác họa miền trong mặt phẳng tương ứng với các biến cố sau và xác định xem đâu là các biến cố tíchGiải-bài-tập-chương-4-Xác-suất-thống-kê-của-Alberto-Leon
Chương 04 – Xác suất thống kê 1 Xác suất thống kê Chương 4: BIẾN NGẪU NHIÊN NHIỀU CHIỀU Bài 1. Đối với biến ngẫu nhiên hai chiều X(X,Y), hãy phác họa miền trong mặt phẳng tương ứng với các biến cố sau và xác định xem đâu là các biến cố tích a. { YX }2 b. }6{ e X 6 log e X c. }6),{max( YX Chương 04 – Xác suất thống kê 2 d. }2|{| YX 2 2 yX YX 0 0 YX YX e. |}||{| YX YX YX YX YX 0 0 0 0 X X Y Y f. }1/{ YX 0YX c Chương 04 – Xác suất thống kê 3 g. }{ 2 Y X i. }3|)||,{max(| YX Bài 2. X = I 1 + I 2 + I 3 + I 4 Y = min(I 1 , I 2 , I 3 , I 4 ) Z = max( 1 2 3 4 , , ,I I I I ) Ta có giá trị của x nhận các giá trị X = {0 , 1, 2 , 3, 4} , Y = {0 , 1} , Z = {0 , 1} Mặt khác ta có X 1 (4, ) 4 Vậy ta có 04 0 4 13 1 4 22 2 4 31 3 4 40 4 4 13 0 0.316 44 13 [X=1] =C 0.421 44 13 [X=2] =C 0.21 44 13 [X=3] =C 0.046 44 13 [X=4] =C 0.0039 44 P X C P P P P Chương 04 – Xác suất thống kê 4 Vậy ta có P[X = 0 , Y = 0 , Z = 0 ] = P[X = 0]P[Y=0/X=0] P[Z = 0/X=0 , Y = 0] = P[X=0] = 0.316 P[X=0 , Y = 1 , Z = 0] = P[X = 0 , Z = 1 , Y = 0] = P[X = 0, Y = 1 , Z = 1] = 0 Tương tự ta cũng có các giá trị P [X = 1 , Y = 0 , Z = 1] = P[X = 1] = 0.421 Các trường hợp khác = 0 X = 2 P[X =2 , Y = 0 , Z = 1] = P[X = 2] = 0.21 X = 3 P[X = 3, Y = 0 , Z = 1] = P[X = 3] = 0.046 X = 4 P[X = 4 , Y = 0 , Z = 1] = P[X = 4] = 0.0039 Câu b , khi rút các quả bóng ra nhưng không trả lại vào hộp ta có Các giá trị của X = {0 ,1 , 2, 3, 4} , Y = {0 , 1} , Z = {0 , 1} Bài 3 a, P[|X|< 5, Y<2, Z 2 2] = A Do X, Y , Z là biến ngẫu nhiên độc lập A = P[|X|< 5]. P[Y.2].P[Z 2 2] = [F x (5 - ) – F x (-5)] .[F y (2 - )].P([- ,- 2 ] [ 2 ,+ ) = [F x (5) - F x (-5)].[F y (2)].[F z ( 2 ) + (1-F z ( 2 )] b, Tương tự ta có P[X<5, Y<0, Z=1] = P[X<5].P[Y<0].P[Z=1] = F x (5 - ). F y (0 - ).[F z (1 - )- F z (1)] C,P[min(X,Y,Z)>2] = P[X<2, Y>2, Z>2] = [1-F x (2 + )].[1-F y (2 + )].[1-F z (2 + )] d, P[Max(X, Y, Z)<6]=P[X<6, Y<6, Z<6] =F x (6 - ). F y (6 - ). F z (6 - ) Bài 4: a. hàm xác suất đồng thời cho (X 1 ,X 2 ) Vì các lần tung là độc lập và các kết cục của mỗi lần tung là đồng khả năng, ta có X 1 X 2 1 2 3 4 5 6 1 a a a a a a 2 a a a a a a 3 a a a a a a 4 a a a a a a 5 a a a a a a 6 a a a a a a Ta có: 36 1 136 a a Vậy ta có: X 1 1 2 3 4 5 6 Chương 04 – Xác suất thống kê 5 X 2 1 36 1 36 1 36 1 36 1 36 1 36 1 2 36 1 36 1 36 1 36 1 36 1 36 1 3 36 1 36 1 36 1 36 1 36 1 36 1 4 36 1 36 1 36 1 36 1 36 1 36 1 5 36 1 36 1 36 1 36 1 36 1 36 1 6 36 1 36 1 36 1 36 1 36 1 36 1 b. với 21 21 ,max ,min XXY XXX Bài 5 Tìm các hàm xác suất biên của các cặp biến ngẫu nhiên với các hàm xác suất được cho trước. i. 0 1 0 1 11 01 66 1 0 0 0 3 11 10 66 P[X=1] = 0 – 1 + 0 + 1 = 0 P[X=2] = -1/6 + 0 + 1/6 + 1 = 0 P[X=3] = 0 + 0 + 1/3 + 0 = 1/3 P[X=4] = 1 + 1/6 + 0 + 1/6 = 4/3 P[y=1] = 0 + -1/6 + 0 + 1 = 5/6 P[y=2] = -1 + 0 + 0 + 1/6 = -5/6 P[y=3] = 0 +1/6 +1/3 + 0 = 2/3 P[y=4] = 1 + 1 + 0 + 1/6 = 13/6 ii. 1 1 0 1 9 11 11 99 111 0 999 111 1 999 P[X=1] = -1 + 0 + 1 -1/9 = -1/9 P[X=2] = 1/9 + 1/9 - 1 + 1 = 2/9 Chương 04 – Xác suất thống kê 6 P[X=3] = 0 + 1/9 + 1/9 + 1/9 = 1/3 P[X=4] = 1 + 1/9 + 1/9 + 1/9 = 4/3 P[Y=1] = -1 + 1/9 + 0 + 1 = 1/9 P[Y=2] = 0 + 1/9 + 1/9 + 1/9 = 1/3 P[Y=3] = -1 + 1/9 + 1/9 + 1 = 2/9 P[Y=4] = 1 - 1/9 + 1/9 + 1/9 = 10/9 iii. 1 0 1 0 3 1 1 0 0 3 1 0 0 0 3 1 1 0 0 3 P[X=1] = 0 + -1 + 1 = 0 P[X=2] = -1 + 0 + 0 + 1/3 = -2/3 P[X=3] = 0 + 0 + 1/3 + 0 = 1/3 P[X=4] = 1 + 0 + 1/3 + 0 = 4/3 P[Y=1] = 0 + -1 + 0 + 1 = 0 P[Y=2] = -1 + 0 + 0 + 1/3 = -2/3 P[Y=3] = 0 + 0 + 1/3 + 0 = 1/3 P[Y=4] = 1 + 1/3 + 0 + 0 = 4/3 Bài 8 a, Tìm hàm phân phối đồng thời Theo ví dụ 4.11 ta có hàm mật độ xác suất xy ee f yx YX 0 0 , Hàm mật độ xác suất khác 0 trong miền được đánh dấu trong hình vẽ trên vì vậy mà ngoài miền được tô đậm thì hàm mật độ xác suất bằng 0 Nên ta chỉ xét trong miền được đánh dấu xy0 Ta có '' 0 , ' ' 2),( ' ' dydx y x yx ee F x y YX Chương 04 – Xác suất thống kê 7 '2)(2) ' (2),( 0 ' ' 0 ' ' 0 ' , dydydy x yx x yy x yy x y y YX eeeeee F )1(2),( , ee F xy YX yx b,các hàm phân phối biên của hàm phân phối đồng thời Các hàm phân phối biên nhận được bằng cách cho một biến tiến tới vô cùng 0)),(()( , lim yxx FF YX y X )),(()( , lim yxx FF YX x X -2.e -y ( xét trong miền được tô đậm như hình vẽ,những miền ngoài hình tô đậm thì hàm phân phối biên là bằng 0 ) Bài 9: 2 2 22 ( , ) by ax f x y axe bye x > 0, y > 0, a > 0, b > 0 a) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 00 ( ) ( ) 1 2 x xx ax ax ax ax X ax F x axe dx e d e e Tương tự: 22 22 0 ( ) 1 y by by X F y bye dy e Suy ra 2 2 22 1 1 x > 0, y > 0 ( , ) 0 u by ax X ee F x y ne b) Tìm P[X > Y] 2 2 0 ( ) 1 ax P X axe dx 22 2 2 2 2 () by by bx x x P Y bye dy e e 2 2 () bx P X Y e c) Tìm các hàm mật độ biên 22 22 22 22 22 2 2 2 2 00 2 2 2 2 2 0 0 22 () 11 () 2 (1 0) by by ax ax X by by ax ax ax ax f x axe bye dy abxe ye dy by abxe e d abxe e bb axe axe 22 2 2 2 2 0 () by by ax X f y axe bye dx bye Bài 10. Chương 04 – Xác suất thống kê 8 a. b. Nếu hoặc thì hàm mật độ Nếu Nếu Nếu Nếu c. Hàm mật độ biên của X Hàm mật độ biên của Y Bài 11. Miền giới hạn bởi : 1 22 yx Đặt cosrx sinry Định thức Jacobi r r r d dy dr dy d dx dr dx J cossin sincos 2 0 1 1 o drrkd Chương 04 – Xác suất thống kê 9 1 11 2 2 0 kkd k Hàm mật độ biên : 11 )( 1 0 dyxf X 11 )( 1 0 dxyf Y Miền giới hạn bởi : (1) y = x +1 (2) y = -x + 1 (3) y = x – 1 (4) y = -x - 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 x x x x kdydxkdydxkdydxkdydx k dxxdxxdxxdxx 1 )1()1()1()1( 0 1 1 0 1 0 0 1 2 11 2 k k Miền giới hạn bởi : y = -x + 1 1 1 0 1 0 x kdydx 2 1 2 11 )1( 1 0 k kk dxx Bài 12: Vecto ngẫu nhiên (X,Y) có hàm mật độ xác suất đồng thời 2 , ( , ) 2 xy XY f x y e e 0, 0xy Hãy tìm xác suất của các sự kiện sau: a. { 8}XY Ta có : P[ { 8}XY ] = 8 8 8 22 0 0 0 8 2 ( ) 0 x x y x y x e dx e dy e dx e 8 8 8 2( 8) 2 16 0 0 0 2 ( 1) 2 . 2 x x x x x e e dx e e dx e dx 88 16 00 22 xx e dx e dx 16 8 16 8 16 8 88 2 2 2 2 2 2 2( 2 1) 00 xx e e e e e e e .{ }b X Y Chương 04 – Xác suất thống kê 10 Ta có: P[ {}XY ] 2 2 2 0 0 0 0 2 2 ( ) 2 ( 1) 0 y y x y x y y y e dy e dx e dy e e e dy 3 2 3 2 00 2 2 2 ( ) ( ) 00 3 y y y y e dy e dy e e 21 (0 1) (0 1) 33 .{ 10}c X Y P[ { 10}XY ] 10 2 2 2 10 0 0 0 0 10 2 2 ( ) 2 ( 1) 0 y y x y x y y y e dy e dx e dy e e e dy 3 10 2 3 10 2 00 2 2 2 ( ) ( ) 00 3 y y y y e dy e dy e e 10 10 22 (0 ) (0 1) 1 33 ee Bài 13: Cho X, Y có hàm mật độ xác suất đồng thời: f X,Y (x,y) = xe -x(1+y) x > 0, y > 0 Hàm mật độ biên của X và củaY: Bài 14 : Lúc 0 ta có : 22 2 , . 1 , 2 xy XY f x y e Lúc này 2 2 2 p X Y R bằng 4 lần tích phân của hàm , , XY f x y Trên miền 1 D 22 1 2 4 2 xy D P e dxdy Chuyển sang tạo độ cực ta được. 0 2 , 0 rR 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 2 2 2 .1 R R r r R P d r e dr e d e d