Cho hình chóp S.ABCD có độ dài tất cả các cạnh đều bằng a.[r]
(1)TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TRƯỜNG THPT CHUYÊN
ĐỀ THI HỌC KÌ I, NĂM HỌC 2013 - 2014 Mơn thi: Tốn 11; Thời gian làm bài: 120 phút
Câu (3,0 điểm) Giải phương trình a, sinx(sin 2x+sinx)=1+2 cosx b, tanx+cotx=2+cot22x
Câu (1,0 điểm) Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, viết ngẫu nhiên số tự nhiên có chữ số đơi khác Tính xác suất để chữ số có mặt số viết
Câu 3 (1,0 điểm) Tìm hệ số số hạng chứa x6 khai triển nhị thức Niutơn (1− n
14 x
)n , biết n số nguyên dương thoả mãn
An3−8Cn2+Cn1=49
Câu 4 (2,0 điểm) Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' có O trọng tâm tam giác
ABC Gọi I, J theo thứ tự tâm mặt bên ABB' A ' ACC' A ' a, Chứng minh IJ // (BCC' B ')
b, Xác định giao điểm K OJ mặt phẳng (A ' B ' C ') Tính tỉ số
OJ OK
Câu 5 (2,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có độ dài tất cạnh a Gọi G trọng tâm tam giác SAB E điểm chia đoạn thẳng AD theo tỉ số
−1
2 Đường thẳng qua E song song với AB cắt BC F a, Chứng minh (GEF) // (SCD)
b, Tính diện tích thiết diện hình chóp SABCD cắt mặt phẳng (GEF)
Câu 6 (1,0 điểm)
a, (Dành cho học sinh chuyên Toán, Lý, Hố, Tin) Cho tam giác ABC khơng tù Tìm giá trị lớn biểu thức P=cos 2A+2√2 cosB+2√2 cosC
b, (Dành cho học sinh chuyên Anh) Cho x∈[0;π
2] tìm giá trị lớn
(2)HẾT -Ghi chú: Cán coi thi khơng phải giải thích thêm!
ĐÁP ÁN Câu 1 (3 điểm)
a, (1,5 điểm) sinx(2 sinxcosx+sinx)=1+2 cosx
⇔2 sin2x(2 cosx
+1)−(2cosx+1)=0
⇔(2 cosx+1)(2sin2x −1)=0⇔
cosx=−1
2 ¿ cos 2x=0
¿
x=±2π
3 +k2π ¿
x=π
4+
kπ
2 ¿
, k∈Ζ ¿
⇔¿ ¿ ¿ ¿ b, (1,5 điểm) ĐK: sin 2x ≠0 Pt cho tương đương với sinx1cosx=1+
sin22x ⇔
2
sin 2x=1+
1
sin22x ⇔(sin 2x −1)
2
=0⇔sin 2x=1
⇔2x=π
2+k2π⇔x=
π
4+kπ
Đối chiếu với ĐK, ta nghiệm cần tìm x=π
4+kπ , k∈Ζ Câu 2 (1 điểm) Đặt E={0,1,2,3,4,5,6,7}
Gọi A biến cố viết số tự nhiên có chữ số đơi khác cho chữ số có mặt số viết
Khơng gian mẫu số số tự nhiên gồm chữ số khác lấy từ tập E.
Vì chữ số khác nên có cách chọn Các chữ số cịn lại có A7
4 cách chọn Khơng gian mẫu |Ω|=7 A74 ¿5880
Để tính số kết thuận lợi cho biến cố A ta tiến hành qua bước Đầu tiên từ chữ số tập E ta viết số số có chữ số đôi khác cho số ln có mặt chữ số 1, kể chữ số đứng vị trí
(3)P I S
D
A
B
C
E F
M G Q
H Ba chữ số lại có A63 cách chọn
Như có tất A5
.A6
=2400 số
Sau từ chữ số tập E ta viết số có chữ số đơi khác cho chữ số đứng vị trí số ln có mặt chữ số
Có cách đặt chữ số
Có A42 cách đặt chữ số Hai chữ số cịn lại có A52 cách chọn Như có tất 1.A42.A52=240 số
Suy số kết thuận lợi cho biến cố A |ΩA|=2400−240=2160
Xác suất cần tìm P(A)=2160
5880= 18 49 Câu 3 (1 điểm) ĐK n ≥3
Từ giả thiết ta có n(n −1) (n −2)−4n(n−1)+n=49⇔n3−7n2+7n−49=0 ⇔(n −7)(n2+7)=0⇔n=7
Ta có (1− n 14 x
2
)n=(1−1 2x
2 )7=∑
k=0
C7k(−1 2x
2 )k=∑
k=0
C7k(−1 2)
k
x2k Hệ số cần tìm −C7
3
8 =− 35
8 Câu 4 (2 điểm)
a (1 điểm), IJ đường trung bình ΔA 'BC nên IJ
// BC ⇒IJ // (BCC' B ')
b (1 điểm), Gọi M, M’ trung điểm AC, A’C’ ⇒
BM // B’M’, MM’ // BB’ // AA’, J trung điểm MM’. OJ cắt B’M’ K ⇒ OJ∩(A ' B ' C ')=K
ΔJMO=ΔJM' K(g −c − g)⇒JO=JK⇒OJ
OK=
Chú ý: Học sinh dựng điểm K cách khác
và tính tỉ số OJOK theo định lý Menelaus - không cần
phải chứng minh định lý.
Câu 5 (2 điểm)
a (1 điểm), Gọi M trung điểm AB, MC cắt EF I
EF // AB ⇒ EF // CD (1)
IM IC =
EA ED=
1 2⇒
IM IC =
GM GS =
1
2⇒IG // SC (2) Từ (1) (2) ⇒ (GEF) // (SCD)
b (1 điểm), Sử dụng tính chất giao tuyến ba mặt phẳng (GEF) // (SCD)
⇒ (GEF) cắt (SAB), (SBC), (SAD) theo giao tuyến PQ // AB, PF // SC, QE // SD
J I
B
A
C
A' B'
C' G M
(4)và EF = CD = a, QP=2
3AB= 2a
3 , PF= 3SC=
a
3 , QE= 3SD=
a
3⇒ Thiết diện hình thang cân QPEF
Kẻ đường cao QH⊥EF ⇒EH=EF−PQ
2 =
a
6 ⇒QH=√QE
2−EH2
=a√3
6 Vậy diện tích thiết diện cần tìm Std=1
2QH(QP+EF)= 5√3 36 a
2. Câu 6 (1 điểm)
a, (Dành cho học sinh chuyên Toán, Lý, Hoá, Tin) Ta có
P=2 cos2A −1+4√2(cosB+C cos
B −C
2 )=2 cos 2A
+4√2sin A cos
B −C
2 −1 Vì tam giác ABC không tù nên 0≤cosA<1 ⇒2 cos2A ≤2 cosA Suy P≤2 cosA+4√2sin A
2 cos
B −C
2 −1=−4 sin 2A
2+4√2 sin
A
2 cos
B −C
2 +1 ¿−4(sin A
2−√ 2 cos
B −C
2 )
−2 sin2B −C
2 +3≤3
Dấu xảy
¿ cosA=0
sin A 2=
√2 cos
B− C
2 sinB −C
2 =0
⇔
¿A=900
B=C=450
¿{ {
¿
Vậy GTLN P
¿
A=900
B=C=450
¿{
¿
b, (Dành cho học sinh chuyên Anh) Ta có
Vì √cosx ≥0,√sinx ≤1 nên y=√sinx −√cosx ≤√sinx ≤1,∀x∈[0;π
2] Dấu xảy x=π
2
Vậy giá trị lớn hàm số Lại có √sinx ≥0,√cosx ≤1 nên
y=√sinx −√cosx ≥ −√cosx ≥ −1,∀x∈[0;π
2] Dấu xảy x=0