Thông tin tài liệu
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC VŨ SỸ DŨNG MA TRẬN ĐƠN MÔĐULA VÀ CÁC ĐA DIỆN NGUYÊN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC VŨ SỸ DŨNG MA TRẬN ĐƠN MÔĐULA VÀ CÁC ĐA DIỆN NGUYÊN Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TS TRẦN VŨ THIỆU Thái Nguyên - 2015 i Mục lục Mở đầu 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 TẬP LỒI VÀ TẬP LỒI ĐA DIỆN 1.1.1 Tập afin 1.1.2 Tập lồi QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 1.2.1 1.2.2 Thuật tốn đơn hình (gốc đối ngẫu) 1.2 1.3 QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH NGUYÊN 11 1.3.1 Qui hoạch tuyến tính ngun tốn tìm cực tiểu (cực đại) hàm tuyến tính tập điểm rời rạc, thường tập điểm nguyên: 11 1.3.2 Sau hai ví dụ toán nguyên phi tuyến (mở rộng ILP) 13 MA TRẬN ĐƠN MÔĐULA VÀ ĐƠN MÔĐULA TUYỆT ĐỐI Chương 2: MA TRẬN ĐƠN MÔĐULA VÀ ĐƠN MÔĐULA TUYỆT ĐỐI 16 16 2.1 MA TRẬN ĐƠN MÔĐULA 16 2.2 MA TRẬN ĐƠN MÔĐULA TUYỆT ĐỐI 22 ĐA DIỆN NGUYÊN VÀ GẦN NGUYÊN 28 ii Chương 3: ĐA DIỆN NGUYÊN VÀ GẦN NGUYÊN 3.1 3.2 28 ĐIỀU KIỆN NGUYÊN 28 3.1.1 Cơ sở đơn môđula ma trận đơn môđula tuyệt đối 29 3.1.2 Ví dụ tập đa diện nguyên 31 3.1.3 Ma trận cân đối, ma trận hoàn hảo ma trận lý tưởng 32 ĐA DIỆN GẦN NGUYÊN 35 Kết luận 41 Tài liệu tham khảo 42 Mở đầu Trong lĩnh vực tối ưu hóa, ma trận giữ vai trị quan trọng thường có liên quan tới lớp toán tối ưu khác Chẳng hạn, ma trận (nửa) xác định dương (âm) gắn với toán tối ưu lồi hay lõm, ma trận không xác định gắn với tốn tối ưu tồn cục (tối ưu phi tuyến không lồi) Trong ma trận thực, ma trận đơn môđula (vuông cấp n, nguyên, định thức ±1) ma trận đơn môđula tuyệt đối (cấp m × n, định thức hay ±1) có tính chất đặc biệt, ý tối ưu nguyên Các ma trận đơn môđula tuyêt đối mở rộng (ma trận cân đối, hoàn hảo lý tưởng) liên quan chặt chẽ với tập đa diện nguyên (mọi đỉnh có tọa độ nguyên) gần nguyên (các điểm nguyên đỉnh) Chẳng hạn, đa diện toán vận tải, toán ghép cặp, toán phủ cạnh đồ thị hai phần, tốn phân hoạch tập, có đỉnh ngun Nhiều vấn đề thực tế diễn đạt dạng tốn qui hoạch tuyến tính ngun tập đa diện ngun hay gần ngun Vì sử dụng thuật tốn đơn hình quen thuộc để tìm nghiệm ngun tốn Các tác giả sách tham khảo [2] - [6] đề cập tới ma trận đơn môđula, đơn môđula tuyệt đối tập đa diện nguyên (gần nguyên), nhiều toán tối ưu tuyến tính ngun có liên quan Các tài liệu [2] - [6] bao gồm nhiều kết hay có ý nghĩa khoa học, nhiều người quan tâm học tập, nghiên cứu Sau học chun đề giải tích lồi, tối ưu hóa kiến thức có liên quan, với mong muốn tìm hiểu sâu kiến thức học, kiến thức mở rộng ứng dụng kiến thức này, chọn đề tài luận văn "Ma trận đơn môđula đa diện nguyên" Mục đích đề tài: Tìm hiểu trình bày kết có đa diện nguyên gần nguyên, dựa ma trận đơn môđula tuyệt đối đề cập tới số toán tối ưu nguyên, thường gặp lý thuyết ứng dụng Luận văn viết dựa chủ yếu tài liệu tham khảo [1] - [6] Đối tượng phạm vi nghiên cứu: Ma trận đơn môđula, phép biến đổi đơn môđula ma trận đơn môđula tuyệt đối, đa diện nguyên gần nguyên, số toán tối ưu nguyên hay gặp lý thuyết ứng dụng Phương pháp nghiên cứu: Tổng hợp kiến thức thu nhận từ tài liệu tham khảo liên quan đến đề tài luận văn, vận dụng phương pháp nghiên cứu giải tích, giải tích lồi tối ưu hóa Dự kiến đóng góp luận văn: Tổng hợp giới thiệu có chọn lọc kết ma trận đơn môđula, đơn môđula tuyệt đối, tập đa diện nguyên gần nguyên, số toán tối ưu nguyên hay gặp Nội dung luận văn gồm ba chương: Chương "Kiến thức chuẩn bị" nhắc lại vắn tắt khái niệm, định nghĩa kết tập lồi tập lồi đa diện (đỉnh, cạnh, diện), tốn qui hoạch tuyến tính toán đối ngẫu (điều kiện tối ưu, thuật toán đơn hình gốc đối ngẫu), tốn qui hoạch tuyến tính nguyên phi tuyến nguyên Chương "Ma trận đơn mơđula đơn mơđula tuyệt đối" trình bày khái niệm ma trận đơn môđula, phép biến đổi đơn mơđula số kết liên quan đến tìm nghiệm ngun hệ phương trình tuyến tính Tiếp theo trình bày khái niệm ma trận đơn mơđula tuyệt đối: tính chất, ví dụ số tiêu chuẩn nhận biết ma trận đơn môđula tuyệt đối Chương "Tập đa diện nguyên gần nguyên" đề cập tới tập đa diện nguyên gần nguyên, mô tả điều kiện để có tập đa diện nguyên xét số toán tối ưu tập đa diện nguyên, gần nguyên (bài toán vận tải, toán xếp tập, phủ tập phân hoạch tập) Đa diện nguyên gần nguyên liên quan chặt chẽ với ma trận đơn môđula tuyệt đối mở rộng (ma trận cân đối, ma trận hoàn hảo ma trận lý tưởng) Do thời gian có hạn nên luận văn chủ yếu dừng lại việc tìm hiểu, tập hợp tài liệu, xếp trình bày kết nghiên cứu có theo chủ đề đặt Trong trình viết luận văn xử lý văn chắn khơng tránh khỏi có sai sót định Tác giả luận văn mong nhận góp ý thầy cô bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy hướng dẫn GS.TS Trần Vũ Thiệu tận tình giúp đỡ suốt trình làm luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn GS, PGS, TS Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Khoa học Thái Nguyên Viện Toán học giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi trình tác giả học tập nghiên cứu Thái Nguyên, ngày 01 tháng 11 năm 2015 Tác giả luận văn Vũ Sỹ Dũng Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương giới thiệu vắn tắt số kiến thức cần thiết giải tích lồi (tập lồi tập lồi đa diện), tốn qui hoạch tuyến tính (nghiệm sở, điều kiện tối ưu, phương pháp đơn hình ) tốn qui hoạch tuyến tính nguyên Nội dung trình bày chương chủ yếu dựa tài liệu [1], [3] 1.1 TẬP LỒI VÀ TẬP LỒI ĐA DIỆN 1.1.1 Tập afin Trước hết khái niệm liên quan tới tập afin Định nghĩa 1.1 Một tập M ⊂ Rn gọi tập afin ∀a, b ∈ M, λ ∈ R ⇒ λb + (1 − λ)a ∈ M , tức M chứa hai điểm M chứa đường thẳng qua hai điểm Một số tính chất tập afin: Nếu M tập afin a + M = {a + x : x ∈ M } tập afin ∀a ∈ Rn M tập afin chứa gốc M không gian Rn Giao họ tập afin tập afin Nếu x1 , , xk thuộc tập afin M tổ hợp afin chúng thuộc M , tức xi ∈ M (i = 1, , k), λ1 + + λk = ⇒ λ1 x1 + + λk xk ∈ M Một tập afin có dạng M = {x : Ax = b} với A ∈ Rm×n , b ∈ Rm Ngược lại, tập có dạng tập afin (Đó nghiệm hệ phương trình tuyến tính) Bao afin tập M giao tất tập afin chứa E, ký hiệu af f (E) Đó tập afin nhỏ chứa E Từ tính chất tập afin suy ra: k x ∈ af f (E) ⇐⇒ x = k λi xi , xi ∈ E, i=1 λi = i=1 Có thể thấy: Một tập M = φ afin M = x0 + L với x0 ∈ M L không gian L xác định cách coi không gian song song với M (M nhận cách tịnh tiến L tới x0 ) Định nghĩa 1.2 Thứ nguyên (số chiều) tập afin M số chiều không gian song song với Định nghĩa 1.3 Một tập afin Rn có thứ nguyên n − gọi siêu phẳng Có thể thấy siêu phẳng tập có dạng H = {x : aT x = α} với a ∈ Rn (a = 0), α ∈ R (Đó tập nghiệm phương trình tuyến tính Rn ) Một tập có dạng H = {x : aT x ( )α} (hay H = {x : aT x < (>)α}) gọi nửa khơng gian đóng (hay mở) (tập nghiệm hệ bất phương trình) Định nghĩa 1.4 Một tập k điểm x1 , x2 , , xk gọi độc lập afin k − véctơ x2 − x1 , , xk − x1 độc lập tuyến tính Tồn siêu phẳng qua n điểm độc lập afin cho Rn 1.1.2 Tập lồi Sau số khái niệm liên quan đến tập lồi Định nghĩa 1.5 Tập hợp C ⊂ Rn gọi lồi ∀a, b ∈ C, ≤ λ ⇒ λb + (1 − λ)a ∈ C, tức C chứa hai điểm chứa đoạn thẳng nối hai điểm Có thể thấy tập hợp rỗng, tập hợp gồm điểm, tồn khơng gian Rn , tập afin, siêu phẳng, nửa không gian (đóng, mở), hình cầu, tập lồi Trong R2 , hình tam giác, hình vng, hình trịn, hình elip tập hợp lồi Tuy nhiên, đường trịn hay hình vành khăn khơng phải tập hợp lồi Thứ nguyên hay số chiều tập lồi C thứ nguyên bao afin C Trong Rn tập lồi thứ nguyên n gọi tập lồi thứ nguyên đầy đủ Sau số tính chất tập lồi: Giao họ tập lồi tập lồi Nếu C, D tập lồi C + D = {x + y : x ∈ C, y ∈ D}, αC = {αx : x ∈ C} C − D = C + (−1)D tập lồi Nếu C ⊂ Rn , D ⊂ Rm tập lồi tích C × D = {(x + y) : x ∈ C, y ∈ D} ⊂ Rn × Rm tập lồi Nếu x1 , , xk thuộc tập lồi C tổ hợp lồi chúng thuộc C, tức xi ∈ C, λi ≥ (i = 1, , k), λ1 + + λk = ⇒ λ1 x1 + + λk xk ∈ C Nếu tập lồi C ⊂ Rn khơng giới nội có véctơ d ∈ Rn (d = 0) cho với x ∈ C tia x + λd, λ nằm trọn C Một véctơ d gọi phương vô hạn tập lồi C Cho tập E ⊂ Rn Giao tất tập lồi chứa E gọi bao lồi E, ký hiệu conv(E) Đó tập lồi nhỏ chứa E Có thể thấy: conv(E) trùng với tập tất tổ hợp lồi phần tử thuộc E Bao đóng phần tập lồi tập lồi Cho C ⊂ Rn tập lồi Điểm x ∈ C gọi điểm cực biên C x biểu diễn dạng tổ hợp lồi hai điểm phân biệt khác thuộc C, nghĩa không tồn hai điểm y, z ∈ C, y = z cho x = λy + (1 − λ)z với < λ < 28 Chương ĐA DIỆN NGUYÊN VÀ GẦN NGUYÊN Chương đề cập tới đa diện nguyên gần ngun: mơ tả điều kiện để có đa diện nguyên, xét số lớp đa diện nguyên gần nguyên thường gặp Nội dung chương chủ yếu dựa tài liệu [2], [4] - [6] 3.1 ĐIỀU KIỆN NGUYÊN Theo lý thuyết qui hoạch tuyến tính, cực trị (cực tiểu hay cực đại) hàm tuyến tính tập lồi đa diện (nếu có) đạt đỉnh (nghiệm sở) tập (giả thiết tập đa diện có đỉnh) Vì thế, đỉnh tập lồi đa diện có tọa độ ngun sau giải tốn qui hoạch tuyến tính thuật tốn đơn hình, ta nhận nghiệm tối ưu Nghiệm nghiệm tối ưu tốn qui hoạch tuyến tính ngun tương ứng Trong trường hợp toán qui hoạch tuyến tính ngun (ILP) giải tốn qui hoạch tuyến tính (LP) Định nghĩa 3.1 Một tập lồi đa diện (hay đa diện lồi) gọi tập đa diện nguyên (integral polyhedron) tập rỗng đỉnh có tọa độ nguyên Vấn đề đặt tìm điều kiện đặt lên ma trận A = [aij ]m×n véctơ m− chiều b M (A, b) ≡ {Ax = b, x ≥ 0} tập đa diện nguyên Với cách đặt tốn tính nguyên tập đa diện chưa giải Tuy nhiên, toán miêu tả số lớp ma trận nguyên A cho M (A, b) tập đa diện nguyên véctơ nguyên b đơn giản, dễ giải 29 3.1.1 Cơ sở đơn môđula ma trận đơn môđula tuyệt đối Định nghĩa 3.2 Giả sử ma trận A có hạng m B ma trận cấp m × m A Khi đó, ta gọi B sở (basic) A B có hạng m gọi B sở đơn môđula (unimodular basic) detB = ±1 Định lý sau cho tiêu chuẩn nhận biết đa diện nguyên Định lí 3.1 ([6], tr 58) M (A, b) tập đa diện nguyên với véctơ nguyên b sở ma trận nguyên A đơn môđula Chứng minh Đủ Mỗi đỉnh (nghiệm sở) x = (x1 , , xn )T M (A, b) xác định tập số biến sở j1 , , jm Cơ sở B gồm cột j1 , , jm sở chấp nhận Khi đó, thành phần xB = (xj1 , , xjm )T nghiệm sở chấp nhận x liên hệ với sở B hệ thức BxB = b Theo giả thiết định lý detB = ±1 véctơ nguyên Vì theo qui tắc Cramer (tìm nghiệm hệ phương trình tuyến tính) ta nhận xB véctơ nguyên Do thành phần lại x nên đỉnh (véctơ) x nguyên Cần Ta chứng minh B sở xB véctơ nguyên detB = ±1 Giả sử y véctơ nguyên m− chiều tùy ý cho y + B −1 ei ≥ 0, ei = (0, 0, 1, , 0)T (3.1) i Xét hệ phương trình Ax = b, (3.2) ¯b = By+ei Do B sở ma trận A nên hệ (3.2) tương thích Nghiệm sở z hệ (3.2) với thành phần khác không zB = B −1 (By +ei ) = y +B −1 ei ≥ theo (3.1) đó, đỉnh tập lồi đa diện M (A, b) Theo giả thiết tập đa diện M (A, b) nguyên với b nguyên, nói riêng với b = ¯b Do zB véctơ nguyên Do vế phải đẳng thức zB − y = B −1 ei véctơ nguyên nên véctơ B −1 ei - cột thứ i ma trận B −1 - véctơ nguyên Vậy ma trận B −1 nguyên Vì B B −1 ma trận nguyên nên định thức chúng số nguyên 30 Theo giả thiết B sở nên định thức khác không Từ hệ thức quen thuộc detB × detB −1 = suy detB = detB −1 = ±1 Ta có kết tương tập đa diện M ∗ (A, b) = {x |Ax ≤ b, x ≥ 0} Ta nhắc lại (xem Định nghĩa 2.3), ma trận A gọi đơn môđula tuyệt đối định thức ma trận vng hay ±1 (nói riêng aij = 1, ±1 ∀i, j) Định lí 3.2 ([6], tr 59) M ∗ (A, b) tập đa diện nguyên với véc tơ nguyên b ma trận A đơn môđula tuyệt đối Chứng minh Thêm vào bên phải A ma trận đơn vị E cỡ m × m áp dụng định lý 3.1 vào tập đa diện M (A∗ , b), A∗ = [A, E] Theo định lý 3.1, tính nguyên M (A∗ , b) M (A∗ , b) với b nguyên tương đương với sở B ma trận A∗ đơn môđula, nhiên (sau hốn vị hàng) biểu diễn sở dạng B= C O D Ek Ek ma trận đơn vị cấp k × k (0 ≤ k ≤ m) Rõ ràng, detB = detC detB = ±1 detC = ±1 Định lý chứng minh • Bằng cách áp dụng Định lý 3.1, chứng minh tính đơn mơđula tuyệt đối ma trận A điều kiện càn đủ cho tính nguyên tập đa diện M (A, b, b , d, d ) = { x| b ≤ Ax ≤ b, d ≤ x ≤ d} với véctơ nguyên b, b , d, d có số chiều thích hợp (b, b ∈ Rm , d, d ∈ Rn ) Thật vậy, đặt y = x − d d ≤ x ≤ d ⇔ ≤ y ≤ d − d Vì thế, { x| b ≤ Ax ≤ b, d ≤ x ≤ d} = {Ax ≤ b, −Ay ≤ −b , y ≤ d − d , y ≥ 0}, Với A∗ = (A, −A, E)T (E ma trận đơn vị cấp n) b∗ = (b, −b , d − d )T M (A, b, b , d, d ) = M ∗ (A∗ , b∗ ) = { x| A∗ x ≤ b∗ , x ≥ 0} 31 thấy sở A∗ đơn môđula A đơn môđula tuyệt đối Định lý sau thể rõ tương đương tính ngun tập đa diện với tính đơn mơđula tuyệt đối ma trận Định lí 3.3 (Hoffman Kruskal, 1956 [2], tr 335) Giả sử A = (A1 , A2 , A3 )T ma trận gồm phần tử 0, ±1 b = (b1 , b2 , b3 )T véc tơ với số chiều thích hợp Khi đó, A đơn mơđula tuyệt đối P (A, b) = {x :A1 x ≤ b1 ; A2 x ≥ b2 ; A3 x ≥ b3 ; x ≥ 0} tập đa diện nguyên với véctơ nguyên b1 , b2 , b3 Định lí 3.4 (Edmonds Giles, 1977, [2], tr 336) Nếu P (A) = {x : Ax ≤ b} nguyên đối ngẫu tuyệt đối b nguyên P (A) tập đa diện nguyên Thực ra, Hoffman Kruskal (1956) tập đa diện P (A, b) xác định Định lý 3.3 nguyên đối ngẫu tuyệt đối (TDI) Cho nên Định lý 3.4 suy từ Định lý 3.3 từ kiện: A đơn môđula tuyệt dối AT đơn mơđula tuyệt đối 3.1.2 Ví dụ tập đa diện nguyên Ví dụ 3.1 Ở Chương ta thấy ma trận A toán vận tải đơn mơđula tuyệt đối Do theo Định lý 3.3, n M (A, b) = {(x11 , x12 , , xmn )| m xij =ai , j=1 xij =bj , i=1 xij ≥ 0, i = 1, 2, , m; j = 1, 2, , n} tập đa diện nguyên Ví dụ 3.2 Cho tập đa diện M (A, e) = { x ∈ Rn | Ax = em , x ≥ 0}, 32 Với A ma trận phần tử 0, cấp m × n, em - véc tơ m− chiều với phần tử Ta tìm hai véctơ nguyên x y ∈ M (A, e) cho xj + yj = với j = 1, 2, , n (3.3) M (A, e) tập đa diện nguyên Thật vậy, rõ ràng z = (x + y)/2 ∈ M (A, e) Do n 1= aij zj = j=1 n aij (xj + yj ) = j=1 n n aij nên j=1 aij = 2, i = 1, , m, j=1 nghĩa hàng A có hai phần tử Ta đưa vào R1 cột j ma trận A có xj = đưa vào R2 cột j có xj = Vì ma trận A thỏa mãn (sai khác phép chuyển vị) điều kiện Định lý 2.6, nghĩa A ma trận đơn môđula tuyệt đối Vậy, đa diện M (A, e) chứa hai véctơ nguyên x, y thỏa mãn điều kiện (3.3) đa diện nguyên 3.1.3 Ma trận cân đối, ma trận hoàn hảo ma trận lý tưởng Sau ta đề cập tới số mở rộng lớp ma trận đơn môđula tuyệt đối Định nghĩa 3.3 Ma trận gồm phần tử 0, gọi cân đối (balanced matrix) khơng chứa ma trận vuông bậc lẻ với hai phần tử hàng cột Định nghĩa cho thấy ma trận cân đối khơng chứa ma trận × dạng 1 1 1 Khái niệm ma trận cân đối Berge nêu lần lần [1962] có gợi ý quan trọng cho toán xếp tập phủ tập Định lí 3.5 (Berge 1972 Fulkerson et al 1974, [2], tr 336) Cho A ma trận gồm phần tử 0, cân đối Khi đó, đa diện tốn xếp tập, phủ tập phân 33 hoạch tập tương ứng với ma trận A đa diện nguyên, tức đa diện sau nguyên P (A) = {x : x ≥ 0, Ax ≤ 1}, Q(A) = {x : ≤ x ≤ 1, Ax ≥ 1}, R(A) = {x : x ≥ 0, Ax = 1} Giả sử A = (A1 , A2 , A3 )T ma trận phần tử 0, cân đối Fulkerson et al (1974) chứng minh đa diện P (A) = {x : A1 x ≤ 1, A2 x ≥ 1, A3 x = 1, x ≥ 0} nguyên đối ngẫu tuyệt đối (TDI) từ Định lý 3.4 (Edmonds & Giles, 1977) suy P (A) đa diện nguyên ♣ Truemper (1992) mở rộng định nghĩa ma trận cân đối cho ma trận bao gồm phần tử 0, ±1 Định nghĩa 3.4 Ma trận 0, ±1 cân đối với ma trận vng có phần tử khác hàng cột tổng phần tử ma trận bội Định lí 3.6 (Conforti & Cornuejols, 1992, [2], tr 336) Giả sử A ma trận 0, ±1 cân đối Ký hiệu n(A) véctơ cột mà thành phần thứ i số phần tử −1 hàng i A Khi đa diện sau nguyên P (A) = {x : Ax ≤ − n(A), ≤ x ≤ 1}, Q(A) = {x : Ax ≥ − n(A), ≤ x ≤ 1}, R(A) = {x : Ax = − n(A), ≤ x ≤ 1} Các ma trận đơn môđula tuyệt đối tạo thành lớp ma trận cân đối, tức ma trận 0, ±1 đơn môđula tuyệt đối ma trận cân đối Điều suy từ định lý Camion (1965) nói ma trận 0, ±1 đơn môđula tuyệt đối với ma trận vng có số chẵn (nói riêng có 2) phần tử khác hàng cột tổng phần tử ma trận bội 34 1 1 A= 1 0 1 0 1 0 A= 1 1 1 1 Hình 3.1 Ma trận cân đối ma trận hồn hảo Ma trận × Hình 3.1 cho thấy ma trận cân đối không thiết ma trận đơn mơđula tuyệt đối (vì định thức cấp = 2!) Nhận xét 3.1.1 Ma trận A phần tử 0, ±1 cân đối AT cân đối Hơn nữa, A cân đối (hay đơn môđula tuyệt đối) ma trận A cân đối (hay đơn môđula tuyệt đối) Vì A cân đối (đơn mơđula tuyệt đối) Định lý 3.6 (Định lý 3.3) ma trận A Các ma trận 0, ±1 cân đối cho gợi ý cách giải toán đáp ứng hay toán làm thỏa mãn (satisfiability problem) toán MAX-SAT Định nghĩa 3.5 Ma trận A phần tử 0, gọi hoàn hảo (perfect) P (A) = {x : Ax ≤ 1, x ≥ 0} đa diện nguyên Ta biết sắc số (chromatic number) đồ thị số màu nhỏ cần dùng để tô đỉnh đồ thị cho hai đỉnh kề có màu khác (gọi tơ đúng) Đồ thị G gọi hoàn hảo (perfect graph) đồ thị H cảm sinh số đỉnh G có sắc số số đỉnh clique (đồ thị khơng có đỉnh kề nhau) cực đại H Liên hệ tính nguyên đa diện P (A) khái niệm đồ thị hoàn hảo Berge nêu cho định lý sau Định lí 3.7 (Fulkerson 1970, Lovasz 1972, Chvátal 1975 [2], tr 337) Giả sử A ma trận phần tử 0, có cột tương ứng với đỉnh đồ thị G hàng véctơ liên thuộc clique (đồ thị đỉnh kề nhau) cực đại G Khi đó, đồ thị G hồn hảo ma trận A hoàn hảo 35 Ma trận cân phần tử 0, tạo thành lớp ma trận hoàn hảo với phần tử 0, 1, tức ma trận A phần tử 0, ma trận cân đối A ma trận hồn hảo Ma trận × Hình 3.1 ví dụ ma trận hồn hảo khơng cân đối Định nghĩa 3.6 Ma trận A phần tử 0, gọi lý tưởng (ideal) đa diện toán phủ tập Q = {x : Ax ≥ 1, ≤ x ≤ 1} nguyên Các tính chất ma trận lý tưởng miêu tả Lehman (1979), Padberg (1993) Cornuejols & Novick (1994) Khái niệm ma trận phần tử 0, hoàn hảo (hay lý tưởng) mở rộng tự nhiên cho ma trận 0, ±1 hoàn hảo (hay lý tưởng) Một số kết liên quan đến ma trận 0, ±1 lý tưởng nêu Hooker (1992) số kết liên quan đến ma trận 0, ±1 hoàn hảo nêu Conforti et al (1993) 3.2 ĐA DIỆN GẦN NGUYÊN Định nghĩa 3.7 Đa diện M gọi gần nguyên 1) Tất điểm nguyên đa diện M đỉnh M 2) Nếu gọi S tập đỉnh nguyên M cạnh đa diện M = { x| x = λy = 1, λy ≥ 0} λy y, y∈S y∈S (bao lồi tập S đỉnh nguyên M ) cạnh đa diện M Để giải qui hoạch tuyến tính nguyên tập điểm nguyên đa diện gần nguyên M , ta dùng phương pháp đơn hình, với đơi chút sửa đổi Thật thế, M đa diện nguyên nên ta xuất phát từ đỉnh nguyên tuỳ ý Để đạt tới đỉnh tối ưu ta di chuyển từ đỉnh tới đỉnh theo cạnh M Theo điều kiện 1) 2) đường tồn đa diện M Vì vậy, bước ta cần kiểm tra xem đỉnh kề với trị mục tiêu tốt có đỉnh ngun khơng Nếu có di chuyển, khơng tìm đỉnh kề khác, 36 Nhận xét 3.2.1 Nếu đa diện M suy biến hai sở kề tương ứng với đỉnh hai đỉnh kề có hai sở khơng kề Vì vậy, để kiểm tra tính nguyên đỉnh kề với đỉnh xét phải kiểm tra nhiều sở Xét đại diện lớp đa diện gần nguyên Giả sử M (A, e) = { x| Ax = em , x ≥ 0}, A = [aij ]m×n ma trận phần tử 0, cho trước không chứa cột không; em véctơ m− chiều phần tử Tập điểm nguyên đa diện M (A, e) miền nghiệm chấp nhận toán phân hoạch tập phủ tập hay gặp lý thuyết thực tiễn Trước rõ M (A, b) đa diện gần nguyên, ta nhắc lại toán phân hoạch tập, phủ tập số tốn thực tế có liên quan • Bài tốn phân hoạch tập Xét tập hợp I = {1, 2, , m} Giả sử chia tách thành n tập I1 , I2 , , In Tập Ij (j = 1, , n) đặc trưng véctơ aj = (a1j , a2j , , amj )T với aij = i ∈ Ij aij = i ∈ / Ij Định nghĩa 3.8 Tập J ∗ ⊆ J = {1, 2, , n} gọi phân hoạch (partition) tập I Ij , Ij ∩ Ik = ∅, j, k ∈ J ∗ , j = k j∈J ∗ Giả sử tập Ij (j = 1, , n) gắn với trọng số cj Cần tìm phân hoạch J ∗ có tổng trọng số nhỏ nhất, nghĩa ta có tốn tối ưu: n cj xj → min, (3.4) aij xj = 1, i = 1, 2, , m, (3.5) xj = hay , j = 1, 2, , n, (3.6) j=1 n j=1 37 xj = có nghĩa số j có mặt phân hoạch J ∗ , trái lại xj = Bài tốn phân hoạch tập liên quan chặt chẽ với tốn phủ tập mà khác toán (3.4) – (3.6) chỗ điều kiện (3.5) thay bất đẳng thức: n (3.5’) aij xj ≤ 1, i = 1, 2, , m, j=1 Ví dụ 3.3 Cho tập I = {1, 2, 3, 4, 5} 10 tập I: I1 = {1, 2, 3} c1 = 0, I2 = {2, 5} c2 = 0, c3 = 0, I4 = {1, 2, 5} c4 = 0, I5 = {2, 4, 5} c5 = 0, I6 = {2, 3, 5} c6 = 0, I7 = {3, 4, 5} c7 = 0, I8 = {1, 2, 3, 4} c8 = 0, I3 = {3, 4} I9 = {4, 5} c9 = 0, I10 = {2, 3, 4, 5} c10 = 0, Bài toán phân hoạch có dạng: min{cT x Ax = 2.xj ∈ {0, 1}, j = → 10} với c = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 7)T , x = (x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 )T 0 1 A= 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 e = 1 1 1 1 1 • Tìm số ổn định đồ thị Cho đồ thị G (n đỉnh, m cạnh), tìm tập đỉnh J ∗ G cho hai đỉnh J ∗ không kề J ∗ có nhiều đỉnh Khi đó, A = [aij ]m×n ma trận liên thuộc cạnh - đỉnh đồ thị G đặt đỉnh j ∈ J ∗ , xj = trái lại phát biểu tốn tìm số ổn định đồ thị toán phủ tập: n max n aij xj ≤ 1, i = 1, , m, xj = 0, hay 1, j = 1, , n xj j=1 j=1 38 • Bài tốn tơ màu đồ Mỗi phép gán màu cho miền đồ phẳng G cho hai miền kề có màu khác gọi cách tô màu (colouring) G Giả sử I tập hợp miền Tập Ij ⊂ I xếp vào phân hoạch J ∗ khơng chứa phần tử tương ứng với miền kề Nếu cj = phân hoạch tối ưu cho số màu tối thiểu cần tơ Như vậy, tìm đồ mà giá trị tối ưu toán phân hoạch lớn bác bỏ “giả thuyết bốn màu” tiếng lý thuyết đồ thị • Tìm kiếm thơng tin máy tính Nảy sinh vấn đề sau liệu thuộc m nhóm đặc trưng khác Mọi thơng tin cần thiết ghi n mảng Biết số liệu cần thiết ghi nhiều mảng khác Đặt aij = liệu mang đặc trưng i ghi mảng j aij = trái lại Nếu cj thời gian tìm máy tính thơng tin cần ghi mảng j tốn tìm kiếm tất liệu thời gian ngắn qui toán phủ tập (3.4), (3.5’), (3.6) Định lí 3.8 ([6], tr 64) M (A, e) = {x|Ax = em , x ≥ 0} đa diện gần nguyên Chứng minh Do ≤ xj ≤ 1(j = 1, , n) x = (x1 , , xn ) ∈ M (A, e) nên x nguyên xj = hay ∀j tất điểm nguyên M (A, e) đỉnh Giả sử x, y (x = y) hai đỉnh nguyên M (A, e) nối với cạnh l thuộc bao lồi tập đỉnh nguyên M (A, e) Xét diện F M (A, e) số chiều nhỏ chứa x y (nhớ tập F đa diện M gọi diện q - chiều M nếu: a) số chiều củaF q; b) từ điều kiện (1 − l)u + lv ∈ F, < l < u, v ∈ M suy u, v ∈ F ) Giả sử xj = yj với j ∈ J0 ⊂ J = {1, , n} Khi thấy zj = xj = yj ∀j ∈ J0 z thuộc diện F xét Để xác định F ta thay giá trị biến xj với j ∈ J0 vào phương trình Ax = e, loại khỏi A cột j ∈ J0 ¯ x = e¯ mà nghiệm chấp hàng trở thành đồng thức, ta nhận hệ A.¯ nhận sau bổ sung trở lại thành phần xj , j ∈ J0 , tạo nên diện F Do xj = yj xj , yj = hay với j ∈ J \ J0 nên xj + yj = ∀j ∈ J \ J0 Để ý J \ J0 = ∅ x = y Do đó, tập đỉnh diện F xét nguyên 39 (xem Ví dụ 3.2) Vì vậy, cạnh l thuộc diện F cạnh đa diện M (A, e) Trước áp dụng cách tiếp cận mô tả đầu mục để giải toán phân hoạch tập, ta làm giảm số chiều tốn nhờ vận dụng qui tắc rõ ràng sau Các ký hiệu hi cj hàng i cột j ma trận A Quy tắc 3.2.1 Nếu hi véctơ không i khơng tồn nghiệm chấp nhận ( hiển nhiên, i ∈ / Ij ∀j) Quy tắc 3.2.2 Nếu hi véctơ đơn vị với phần tử đơn vị cột k xk = nghiệm bất kỳ; đồng thời cột ck hàng hq cho aqk = bị xoá; ta xoá cột cp , p = k, mà aqk = aqp = (xp = 0) Quy tắc 3.2.3 Nếu hi ≥ hp với số i, p xoá hàng hi xoá cột ck cho aik = apk = (xk = 0) Quy tắc 3.2.4 Nếu với tập S ⊂ {1, 2, , n} mà ck ≥ j∈S cj tốn tìm cực tiểu cT x xố cột ck (xk = 0) Ví dụ 3.4 Cho I = {1, 2, 3, 4} tập I : I1 = {1}, I2 = {1, 3, 4}, I3 = {2, 3}, I4 = {2} Theo qui tắc 2, ta thấy h4 véctơ đơn vị với phần tử đơn vị cột nên x2 = Xóa cột hàng 1, 3, hàng có phần tử cột Ta xóa cột 1, cột có phần tử hàng 1, bị xóa (x1 = x3 = 0) Cũng vận dụng qui tắc sau Ta thấy h1 ≥ h4 nên hàng bị xóa cột bị xóa cột có phần tử hàng 1(bị xóa) phần tử hàng (khơng bị xóa) Tương tự, h3 ≥ h4 nên hàng bị xóa cột bị xóa 40 Cuối cùng, cịn lại hàng cột (khơng bị xóa) Từ x4 = Kết tốn phân hoạch có nghiệm (do nghiệm tối ưu) x∗ = (0, 1, 0, 1) Tóm lại, chương đề cập tới đa diện nguyên đa diện gần nguyên Nhiều vấn đề thực tế diễn đạt dạng tốn tối ưu đa diện nguyên (gần nguyên) giải thuật tốn đơn hình Ví dụ điển hình tốn phân hoạch tập Đa diện nguyên gần nguyên liên quan chặt chẽ với ma trận đơn môđula tuyệt đối mở rộng nó: ma trận cân đối, ma trận hồn hảo ma trận lý tưởng (ma trận mở rộng lớp đa diện nguyên tương ứng bị thu hẹp) 41 KẾT LUẬN Trong tối ưu hóa, ma trận giữ vai trò quan trọng, đặc biệt ma trận đơn môđula đơn môđula tuyệt đối Các ma trận có tính chất đặc biệt, ý nghiên cứu ứng dụng Các ma trận đơn mơđula tuyệt đối mở rộng có liên quan chặt chẽ với tập đa diện (gần nguyên) với nhiều toán tối ưu nguyên Luận văn trình bày số nội dung sau Các kiến thức tập lồi, tập lồi đa diện, toán qui hoạch tuyến tính thuật tốn đơn hình (dạng gốc đối ngẫu), tốn qui hoạch ngun (tuyến tính phi tuyến) Ma trận đơn môđula, phép biến đổi đơn môđula ma trận đơn môđula tuyệt đối Nêu tính chất đáng ý chúng số tiêu chuẩn nhận biết ma trận đơn môđula tuyệt đối Khái niệm đa diện nguyên đa diện gần nguyên, liên quan chặt chẽ với ma trận đơn mơđula tuyệt đối Nêu điều kiện để có đa diện nguyên xét số toán tối ưu đa diện nguyên hay gần nguyên: toán xếp tập, phủ tập phân hoạch tập Trong luận văn tác giả cố gắng xếp trình bày vấn đề theo cách hiểu rõ ràng có thể, tìm đưa số ví dụ cụ thể để minh hoạ cho kiện đề cập tới luận văn Tác giả luận văn mong muốn có dịp tìm hiểu sâu chủ đề hấp dẫn đa diện nguyên gần nguyên 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO • Tiếng việt [1] Trần Vũ Thiệu (2004), Giáo trình tối ưu tuyến tính, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội • Tiếng Anh [2] Chandru V and Rao M R (1997), Combinatorial Optimization, Ch 13 (pp 316 - 354) in The Computer Science & Engineerring Handbook ed by Allen B and Tucker Jr by CRC Press, Inc [3] Jongen H T., Meer K and Triesch E (2004), Optimization Theory, Kluwer Academic Publishers New York, Boston, Dordrecht, London, Moscow [4] Korte B and Vygen J (2006), Combinatorial Optimization: Theory and Algorithms, Third Edition, Springer - Verlag Berlin [5] Schrijver A (1986), Theory of Linear and Integer Programming, John Wiley & Sons ã Ting Nga [6] ợõởồõ ùũốỡốỗửố ỗọớốồ õũợợồ ỗọ ọốũợốở ểéẹẹ ợủờõ ... đơn môđula tuyệt đối đa diện nguyên, đa diện gần nguyên 16 Chương MA TRẬN ĐƠN MÔĐULA VÀ ĐƠN MÔĐULA TUYỆT ĐỐI Chương đề cập tới khái niệm ma trận đơn môdula, phép biến đổi đơn môdula ma trận đơn. .. MÔĐULA VÀ ĐƠN MÔĐULA TUYỆT ĐỐI 16 16 2.1 MA TRẬN ĐƠN MÔĐULA 16 2.2 MA TRẬN ĐƠN MÔĐULA TUYỆT ĐỐI 22 ĐA DIỆN NGUYÊN VÀ GẦN NGUYÊN 28 ii Chương 3: ĐA DIỆN NGUYÊN VÀ... từ ma trận đơn vị dãy phép biến đổi đơn môđula (hay tương đương, tích ma trận thuộc ba dạng kể trên) Định lí 2.1 ([4], tr 96) Nghịch đảo ma trận đơn môđula ma trận đơn môđula Với ma trận đơn môđula
Ngày đăng: 24/02/2021, 16:59
Xem thêm:
