Hướng dẫn giải một số bài toán số phức mức độ vận dụng - Phạm Minh Tuấn

Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z... Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P lần lượt là:.[r]

Bài 1: Cho số phức z thỏa mãn z 1 Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức

1 1

P  z z  z Tính giá trị M.n A. 13 3

4 B

39

4 C. 3 3 D

13 4

 Cách 1:

Re( )z phần thực số phức z, Im(z) phần ảo số phức z, z  1 z z. 1  Đặt t z 1, ta có: 0 z   1 z 1 z    1 2 t 0; 2

 1  1 1 . 2 2Re( ) Re( ) 2

2 t t  z z  z z z z    z  z    z2  z 1 z2 z z z.  z z  1 z t23

 Xét hàm số:  

3 , 0; 2

f t  t t  t   Xét TH:

   13

4

Maxf t  ; Minf t  3 . 13 3 4 M n

 

 Cách 2:

 zrcosxisinx a bi  Do

2

2

. 1

1

1 z z z

z

r a b

   

  

    

 P 22cosx 2cosx1, đặt tcosx  1;1  f t  22t2t1  TH1: 1;1

2 t  

 

     

 

1 3 1

' 2 0 1

3 2 2

2 maxf t f f t

minf t f t

  



      

 

   

  

 TH1: 1;1 2       t

  1 7   7 13

' 2 0

8 8 4

2 2

f t t maxf t f

t

           

  

   13

4

Maxf t  ; Minf t  3 . 13 3 4 M n

Bài 2: Cho số phức z thỏa mãn z 3 4i  5 Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P z 22 z i2 Tính module số phức wMmi

A. w 2 314 B w  1258 C w 3 137 D w 2 309

 Cách 1:

 4 2 3 4 3

2 P x P x y  y  

        

2

2 2 4 3

3 4 5 3 4 5 3 4 5

2 P x

z  i   x  y   x        f x

 

 f'  x 8 x 3 8 P4x11  0 x 0, 2P1,6 y 0,1P1,7

 Thay vào f x  ta được: 0, 2 1,6 3 2 0,1 1,7 42 5 0 33 13 P

P P

P           

 

 Cách 2:

   2 2  

3 4 5 3 4 5 :

z  i   x  y  C

 ( ) : 4 x2y  3 P 0

 Tìm P cho đường thẳng  đường trịn  C có điểm chung  ;  23 10 13 33

d I R P P

          Vậy MaxP33 ; MinP13

 w33 13 i w  1258

Bài 3: Cho số phức z thỏa mãn z 1 Tìm giá trị lớn biểu thức P  z 1 2z1

A. Pmax2 5 B Pmax2 10 C Pmax3 5 D Pmax3 2

 Giải: Theo BĐT Bunhiacopxki:

  2 2 2  2

1 2 1 1 2 1 1 10 1 2 5

P  z z   z  z  z  

Bài 4: Cho số phức z x yi x y, R thỏa mãn z 2 4i  z 2i mmin z Tính

module số phức w m xy i

 Cách 1:

 z 2 4i  z 2i   x y 4

  

2 2

2 4 2 2

2 2

x y

z  x y    

 min z 2 2, Dấu “=” xảy 4 2 w 2 2 4 w 2 6 2

x y x

i

x y y

  

 

     

   

 

Chú ý: Với x, y số thực ta có:  

2

2

2 x y x y   Dấu “=” xảy xy

 Cách 2:

 z 2 4i  z 2i   y 4 x

 2 2 2  2  2

4 2 2 8 2 2

z  x y  x  x  x  

 min z 2 2 Dấu “=” xảy 4 2 w 2 2 4 w 2 6

2 2

x y x

i

x y

  

 

     

   

 

Bài 5: Cho số phức z x yi x y, Rthỏa mãn z   i 1 z 2i Tìm mơđun nhỏ

của z

A. min z  2 B. min z 1 C. min z 0 D 1

2

min z 

 Cách 1:

 z   i 1 z 2i   x y 1

  

2

2 1

2 2

x y x y   

 2 1 1

2 2

z  x y  

Chú ý: Với x, y số thực ta có:  

2

2

 z   i 1 z 2i   y x 1

  

2

2 2 1 1 1 1

1 2

2 2 2 2

z  x y  x  x  x      

 Vậy 1

2

min z 

Bài 6: Cho số phức z thỏa mãn z 1 Gọi M m giá trị lớn nhỏ

biểu thức

3

P z  z z  z z Tính M m A. 7

4 B

13

4 C

3

4 D

15 4 Sáng tác: Phạm Minh Tuấn

 Cách 1:

 Ta có z2 1 z z. 1

 Đặt      2 2

0;2 2 2

            

t z z t z z z z z z z z z z

 z33z z z z2 3 z2  t2  1 t2 1 

2

2 1 3 3

1

2 4 4

         

 

P t t t

 Vậy 3

4 

minP ; maxP3 t2

 15

4   M n

 Cách 2: Cách bạn Trịnh Văn Thoại

  

3

2

3 3

3 3 1

 

      z z z            

P z z z z z z z z z z z z z z z

z

 1 3

4      

P z z z z Đến bạn tự tìm max nhé

Bài 7: Cho số phức a b c z, , , thỏa az2bz c 0  

0

a Gọi z1 z2 lần lượt hai nghiệm phương trình bậc hai cho Tính giá trị biểu thức

 2

2

1 2 2 1

A. P 2 c a

 C. P 4 c

a 

B. P c a

 D 1.

2 c P

a 

 Giải:

 Ta có : z1z22 z1z22z1z2z1z2z1z2z1z22z122z22  Khi đó P4z z1

 Ta lại có: 2  4 4

c c

z z P z z

a a

Bài 8: Cho số phức z z z1, 2, thỏa mãn z1z2z30 và z1  z2  z3 1 Mệnh đề

dưới đúng?

A. z1z22 z2z32 z3z12 số ảo B. z1z22 z2z32 z3z12 số nguyên tố C. z1z22 z2z32 z3z12 số thực âm D. z1z22 z2z32 z3z12 số

 Chứng minh công thức:

 2 2 2

1  2  3     1 2

z z z z z z z z z z z z

 Ta có: z2 z z. và z1  z2 zn    z1 z2 zn Áp dụng tính chất ta có vế trái:

        

     

  

1 2 3 3

1 2 3 1 2 3 2 3 1

2 2

1 1 2 3

2 2

1 3

2 2

1 3

z z z z z z z z z z z z

z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z

z z z z z z z z z z z z z z z

z z z z z z z z z

z z z z z z

        

           

           

       

     

Bài 9: Có số phức z thỏa mãn hai điều kiện z 1 và z z 1 z z  ?

A B 6 C 7 D 8

 Giải:

 Ta có: z2 1 z z.

 Đặt  

cos sin , 0;2 cos 2 sin 2

     

z x i x x z x i x

 2 1 cos 2 2

1 1 2 cos 2 1

1 . cos 2 2                 x

z z z z

x z

z z z

x

 Giải phương trình lượng giác với x0;2nên ta chọn giá trị

5 7 11 2 4 5

; ; ; ; ; ; ; 6 6 6 6 3 3 3 3        

 

  

 

x

 Vậy có số phức thỏa điều kiện đề cho

Bài 10: Cho số phức z z z1, ,2 3 thỏa mãn đồng thời hai điều kiện z1  z2  z3 1999 và

1 0

z  z z  Tính 2 3

1

z z z z z z P

z z z   

 

A. P1999 P999,5

B. P19992 P5997

 Giải

 2 3 1 2 3

1 3

. . .

z z z z z z z z z z z z P

z z z z z z

 

     

  

   

  

 Mặc khác:

2

1 2

1 1 2 3

2 3 1999 1999 1999 1999 1999 z z

z z z z z z z z z z

 Suy

2 2 2

2 2 3 1 2 3

2 2

1

1

1999 1999 1999 1999 1999 1999

. . .

1999 1999 1999 1999

z z z z z z z z z z z z

P

z z z

z z z

 

 

 

    

  

 

    

 

 P1999

 Tổng quát: z1  z2  z3  k z z1 2z z2 3z z3 1 k z1 z2 z3

Bài 11: Cho số phức z thỏa mãn 3 2 1 2 3

1 2 i

z i

i

   

 Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P  z 3 3i Tính M m.

A) M n. 25 B) M n. 20 C) M n. 24 D) M n. 30

 Dạng tổng quát: Cho số phức z thỏa mãn z z z1  2 r Tính Min, Max

3

z z Ta có 2

3

1 1

;

z r r z

Max z Min z

z z z z

     

 Áp dụng Công thức với 1 3 2 ; 2 1 2 , 3 3 ; 3 1 2

i

z z i z i r

i 

     

 ta được

6; 4

Max Min

Bài tập áp dụng:

1) Cho số phức z thỏa mãn z 2 2i 1 Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ z Tính M m.

A) M n. 7 B) M n. 5 C) M n. 2 D) M n. 4

2) Cho số phức z thỏa mãn 1 2 2 1 1

i z i

  

 Gọi M m giá trị lớn và giá trị nhỏ z i Tính M m.

A) . 1

5

M n B) . 1

3

M n C) . 1

10

M n D) . 1

3) Cho số phức z thỏa mãn 4 2

n n

z

i i

i



 

 với n Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ z 3 i Tính M m.

A) M n. 20 B) M n. 15 C) M n. 24 D) M n. 30

Bài 12: Cho số phức z thỏa mãn z   1 z 1 4 Gọi m z Mmax z ,

đó M n. bằng:

A. 2 B. 2 3 C 2 3

3 3

 Giải:

 Dạng Tổng quát: z z z1  2  z z z1  2 k với z1 a bi z; 2  c di z;  x yi

 Ta có:

2

2

4 2

k z

Min z

z 



1 2

k Max z

z 

 Chứng minh cơng thức:

 Ta có: 1 2 1 2 1 2 1 2 1

1 2

2 k k z z z z z z z z z z z z z z z

z

           Suy

1 2

k Max z

z   Mặc khác:

 z z z1  2  z z z1  2  k ax by c   2 ay bx d  2  ax by c   2 ay bx d  2 k  Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:

  2 2   2 2

1. 1.

k ax by c   ay bx d   ax by c   ay bx d 

         

    

2 2

2

2 2 2

1 1

4 4

ax by c ay bx d ax by c ay bx d

a b x y c d

 

              

 

 Suy ra  

 

2

2 2

2

2

2

1

4 4

2 4

k c d k z

z x y

z

a b

  

   



 ADCT ta có:

2

1

4 4

3 2

1; 1; 4

4 2 2 m

z z k

M

 

 



    

   

Bài 13: Cho số phức z thỏa mãn 2 2 4

1 1

iz iz

i i

   

  Gọi m z Mmax z , M n. bằng:

A. 2 B. 2 2 C. 2 3 D 1

 ADCT Câu 12 ta có: 1 ; 2 2 ; 4 2

1 2

m

z i z k

i M

  

    

  

Bài 14: Cho số phức z z z1, 2, 3 thỏa mãn 1 3 1 3

2 2

z z z   i Tính giá trị nhỏ biểu thức P z12 z2 2 z32

A. Pmin 1 C Pmin3

B. min 1 3

P  D Pmin2

 Giải:

 Áp dụng BĐT AM-GM ta có: 2

1

3 . .

P z z z

 Mặc Khác: 1 3 1 3 1 3 1 1 2 3 1

2 2

Bài 15: Cho số phức z x yi với x, y số thực không âm thỏa mãn    

3 1 1 2 z

z i

và biểu thức P z2z2 i z 2z2  z   1 i z 1i  Giá trị lớn giá trị nhỏ nhất P là:

A 1 C 0

B 1 D 0

 Giải:

 3 1 3 1 2 1

1 2 z

z z i x y

z i

           

 P16x y2 8xy

, Đặt txy

2

1 0

2 4

x y t        

 

 16 8 , 0;1 0; 1

4

P t  t t MaxP MinP   

Bài 16: Cho số phức z thỏa mãn z 1 Tính giá trị nhỏ biểu thức

2

1 1 1

P   z z  z

A. Pmin 1 C Pmin3

B. Pmin 4 D Pmin2

 Giải:

 Ta có: z    1 z 1

 P   1 z 1 z2  1 z3    1 z z 1z2  1 z3   1 z z1z2 1 z3 2

Bài 17: Cho số phức z thỏa mãn 6 1

2 3 z i

iz  

 Tìm giá trị lớn z

A. 1

2

max z  C 1

3

B. 3 4

max z  D max z 1

 Giải:

           

2

2

6

1 6 2 3 6 2 3

2 3

6 6 2 3 2 3 6 6 2 3 2 3

1 1 1

.

9 9 3

z i

z i iz z i iz

iz

z i z i iz iz z i z i iz iz

z z z z

         



          

     

Bài 18: Cho z a bi a b  , ,   thỏa z2 4 2 z P8b2a212 Mệnh đề sau

đây đúng?

A.  

2

2

P z  C Pz 22

B.  

2

4

P z  D Pz 42

 Giải:

  2 2  2  2

4 2 4 2 4 0

z   z  a  b  ab  a b 

 Chuẩn hóa b 0 a44a2 16 0    a 1 i 3   z 1 i 3 P 4  Thử đáp án: - ĐÁP ÁN A:

2

1 3 2 4

P   i    

  Nhận

Bài 19: Cho số phức z thỏa mãn z 2 3i 1 Gọi Mmax z 1 i , m z  1 i

Tính giá trị biểu thức  2

M n

A. M2m2 28 C M2m2 26

B. M2m2 24 D M2m2 20

 Giải:

 Đặt P   z 1 i x1 2 y12 P2 (2) với P0  Lấy (1)-(2) ta được:

2

10 6 4

P x

y   Thay vào (1) :

      

2

2 10 6 2 2 4 2

2 3 1 52 40 12 4 52 0

4

P x

x        x   P x P  P  

  (*)

 Để PT (*) có nghiệm thì:

 22  4 2 

40 12P 4.52. P 4P 52 0 14 13 P 14 13

           

 Vậy M 14 13 , m 14 13 M2m2 28

Bài 20: Cho số thức z * thỏa mãn

3

1 2 z

z

  và M max z 1 z

  Khẳng định sau đây đúng?

A.  1 M2 C 2 7

2

M

 

B. 1 5

2

M

  D M3M2M3

 Giải:



3

3

3

1 1 1 1 1 1

3 3

z z z z z z

z z z z z z

                

       

       

3

3

1 1 1 1 1

3 3 2

z z z z z

z z z z

z

       

                  

       

 Mặt khác:

3

1 1 1 1

3 3

z z z z

z z z z

          

   

   

 Suy ra:

3

1 1

3 2

z z

z z

    , đặt t z 1 0 z

   , ta được:  t3 3t 2 0 t 2 t 1 0 t 2 z 1 2 M 2

z

Bài 21: Cho số phức z thỏa mãn z 3 i   1  i 1 i 2017 Khi số thức w  z 1 i có phần ảo bằng:

A. 1008

( ) 2z 1

   C 1008

( ) 2z

 

B. 1008

( ) 2z 3

   D 1008

( ) 2z 2

  

 Giải:

 z 3 i   1  i 1 i 2017   z 3 i    1i 1  i 1 i 2018

  

  

1009

2 1009

1008

1 2

3 3 2 3

2

1 1

i i

z i i i i

i i   

 

 

   

         

 

 1008  1008  1008

2 3 1 4 2 2 ( ) 2 2

w i     i i  i z  

Bài 22: Cho số phức z thỏa mãn 1 5i z 2 42 3i 15

z

    Mệnh đề

đúng:

A. 1 2

2 z C

5

4 2 z

B. 3 3

2 z D 3 z 5

 Giải:



 

   

  

 

2 2

2 42

1 5 3 15

2 42

1 5 3 1 5

2 42 2 42

1 5 3 1 5 3

2 42

6. 3 6 3 4.42 0 2

i z i

z

i z i i

z

i z i i z i

z z

z z z z

z

   

    

       

        

Bài 23: Cho ba số phức z z z, ,1 2 thỏa mãn 2z i  2 iz z1z2 1 Tính giá trị

A. 3 2

P C. P 2

B. P 3 D 2

2 P

 Giải:

 Đặt z x yi  , 2

2z i  2 iz x y 1  Gọi A, B hai điểm biểu diễn z z1, 2  Ta có z1z2  OA OB  AB 1

 Suy AB OA OB  hay tam giác OAB đều.

 1 2 2 2. 3 3

2 P z z OA OB  OM  

Bài 24: Cho ba số phức z z z1, ,2 3 thỏa mãn z1  z2  z3 1 và z1  z2 z3 0 Tính giá trị

của biểu thức 2

1

P z z z

A. P1 C. P 1

B. P0 D. P 1 i

 Giải: Chuẩn hóa 1 1 3 , 2 1 3 , 3 1

2 2 2 2

z   i z   i z   Suy P0

Bài 25: Cho hai số phức z z1, 2 thỏa mãn z1z2  8 6i và z1z2 2 Tính giá trị lớn của biểu thức P z1  z2

A. Pmax  5 5 C Pmax4 6

B. Pmax 2 26 D Pmax 34 2

 Giải:

 Ta có: z1z2   8 6i z1z2 10

    

2

2 2 2 2

1 2 2 52 2 2.52 2 26

2 z z

Bài 26. Cho z z z1, ,2 3 số phức thỏa mãn z1  z2  z3 1 và z1  z2 z3 0 Khẳng định sai

A.z3 z3 z3  z3  z3  z3

1 3 B z  z z  z  z  z

3 3 3

1 3

C z13 z23 z33  z13  z23  z33 D z13 z23 z33  z13  z32  z33

 Giải: Chuẩn hóa 1 1 3 , 2 1 3 , 3 1

2 2 2 2

z   i z   i z   Suy đáp áp D

Bài 27: Choz ,z ,z1 2 3 số phức thoả mãn z1  z2  z3 1 Khẳng định sau đây

là đúng?

A z1 z2 z3  z z1 2z z2 3z z3 1 B z1 z2 z3  z z1 2z z2 3z z3 1

C z1 z2 z3  z z1 2z z2 3z z3 1 D z1 z2 z3  z z1 2z z2 3z z3 1

 Giải: Chuẩn hóa 1 1 3 , 2 1 3 , 3 1

2 2 2 2

z   i z   i z   Suy đáp áp A

Bài 28: Cho z ,z ,z1 2 3 số phức thoả mãn z1  z2  z3 1 và z1  z2 z3 1 Biểu thức

2 2

1

n n n

P z  z  z  , n  nhận giá trị đây?

A 1 B 2

C 4 D 3

 Giải: Chuẩn hóa n1,z11,z2 i z, 3  i Suy đáp áp A

Bài 29: Cho ba số phức z z z1, 2, 3 thỏa mãn z1  z2  z3 1 Tính giá trị nhỏ

biểu thức

1 2 3

1 1 1

P

z z z z z z z z z z z z

  

     

A. min 3 4

P  C min 1

2

P 

B. Pmin 1 D min 5

2

P 

 Giải:

 3 3

1

9 9

z z z z z z

z z z

     

     Theo BĐT Cauchy- Schwarz:

2 2

1 2 2 1 2 2 3 3 1 1 2 3

9 9 9

9 P

z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z

  

               

 Do đó: 9 1

9

P  (do z1z2z320)

Bài 30: Cho ba số phức z thỏa mãn z 1 Tìm giá trị lớn biểu thức 2

2 z i P

iz  

 :

A. Pmax 1 C 3

4 max

P 

B. 1

2 max

P  D. Pmax 2

 Giải: Chuẩn hóa 1 1

0 z z

z      



 1 2 1

2 i

z P

i     

 do loại B, C

 0 1

2 2 i

z  P   do loại D, chọn đáp án A

Bài 31: Cho số phức z z z1, 2, thỏa mãn z1z2z30 và

2 2 3

  

z z z Mệnh đề nào

dưới đúng?

A. 22 32 12 2 2

3      

z z z z z z

B. 22 32 12 8 3

     

z z z z z z

 Giải: 22 32 12 12 22 32 32 8 3

           

z z z z z z z z z z z z

Bài 32: Gọi S tập hợp số phức z thỏa mãn z i 3 z 2 2i 5 Kí hiệu z z1, là

hai số phức thuộc S số phức có mơđun nhỏ lớn Tính giá trị biểu thức P z22z1

A. P2 6 C. P 33

B. P3 2 D. P8

 Giải:

 3     z i z 1 z 2

o Dấu “=” xảy khi:  

2

1

2

1 9

2 4

x y

z i

x y

   

   



  

 z2 2  z 2 2i    5 z 5 2

o Dấu “=” xảy khi:    

2

2

2

2 2 25 4 2 4 2

2 2

33 20 2

x y

z i

x y

        

     

  

  

  



 4 2 4 2 4 33

2 2

P    i i 

 

Bài 33: Gọi z số phức có phần thực lớn thỏa mãn z  1 i 2z z  5 3i

cho biểu thức P  z 2 2i đạt giá trị nhỏ Tìm phần thực số phức z A. ( ) 8 7

2 

 z  C ( ) 4 6

2   z  B. ( ) 8 2

2 

 z  D ( ) 12 2

2   z 

 Giải:

 z  1 i 2z z  5 3i  y x22

      

2

2 2 3 7 7

2 2 2

2 4 4

 Dấu “=” xảy khi:

 2

3

4 6 3 2

2 2

2 y

z i

y x  



   



   

Bài 34: Cho số phức z thỏa mãn z 1 Tìm giá trị lớn biểu thức P z3 z 2

A. max 11 2 

P B Pmax2 3 C max 13 2 

P D Pmax3 5

 Giải:

Câu 35: Cho phương trình: z3az2  bz c 0, a b c, ,   Nếu z1 1 i z, 22 là hai

nghiệm phương trình a b c  bằng:

A. 2 B. 1 C 0 D 1

Bài 36: Cho số phức z thỏa mãn 11z1010iz910iz11 0 .Tính z

A. 1

2



z B 3

4



z C Pmax 1 D Pmax 2

Bài 37: Cho phương trình: z4az3bz2  cz d 0, a b c d, , ,   có bốn nghiệm phức

1, 2, ,3

z z z z Biết z z1 213i z, 3z4  3 4i, khẳng định sau đúng?

A. b53 B. b50 C. b55 D. b51

Bài 38: Cho số phức z thỏa mãn z1  z2  z3 1và z1z z z2 3; 2z z z3 1; z z1 là số

thực Tính z z z1 32017

A 1 C. 1

B. 22017 D 22017

Bài 39: Cho số phức z thỏa mãn đồng thời z z 2 z3z2i 3z Khẳng định

nào đúng?

A. 1 2

2 z C

5

B. 3 3

2 z D 3 z 5

Bài 40: Cho z z z z1, 2, ,3 4 là nghiệm phức phương trình:

4

1 1 2

z z i       

  Tính giá trị biểu thức Pz121z221z321z421:

A. P1 C 18

5

P

B. P 1 D 17

9

P

Bài 41: Cho số phức z thỏa mãn z 1 Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ

của biểu thức P z3 1 z2 z 1 Tính Mm

A 2 B.7 C.6 D 5

Bài 42: Cho hai số phức z z1, 2 thỏa mãn

1

1 2 z z z z 



 Tìm giá trị lớn biểu thức

1

1

z z P

z z  

A 2 B.0,75 C.0,5 D 1

Bài 43: Trong mặt phẳng phức với gốc tọa độ O, cho hai điểm A, B (khác O) biểu diễn

hai số phức z z1, 2 thỏa mãn z12z22 z z1 2 Khẳng định sau đúng? A. OAB vuông cân A

B. OAB đều

C. OAB cân, không D. OAB cân A

Bài 44: Cho ba số phức z z z1, 2, 3 thỏa mãn 1 2 3 2

2

A. max 7 2 3

P  C max 3 6

2 P  B. max 4 5

5

P  D max 10 2

3 P 

 Giải:

 1 2 2 3 3 12 1 2 3 1 2 32 3

2

z z  z z  z z  z  z  z  z  z z 

 Theo BĐT Bunhiacôpxki ta có:

 2 2 2 2

1 2 3 1 2 3

3 6

2 2 1 2 2

2 P z z  z z  z z    z z  z z  z z 

Bài 45: Cho số phức z thỏa mãn z 1 Gọi M m giá trị lớn giá trị

nhỏ biểu thức P z2  1 1 z Tính P M 2n2

A 12 C 15

B 20 D 18

Bài 46: Cho bốn số phức , , ,a b c z thỏa mãn az2bz c 0 a   b c 0 Gọi

,

M max z m z  Tính mơđun số phức w M mi 

A. w  2 C w  3

B. w 2 D w 1

Bài 47: Cho số phức z thỏa mãn z 1 2 Gọi M m giá trị lớn

giá trị nhỏ biểu thứcP    z i z 2 i Tính mơđun số phức w M mi 

A. w 2 6 C w 3 5

B. w 4 2 D w 4

 Giải:

  2

1 2 1 2

  2   2 2   2 2

1 2 1 2 1 1 2 2

vecto

P x  y  x  y  x x  y  y 

  2   2 2  2

1 2 1 2.2 1 2 4

bunhiacopxki

P x  y  x  y   x y  

 w  4 2i 2 6

Bài 48: Cho hai số phức z z1, 2 thỏa mãn 1 2 3 4

5 5

z z   i, z1z2  3 và biểu thức

3

1 2

4 4 3 3 5

P z  z  z  z  đạt giá trị nhỏ Tính z1  z2

A. 1 C. 2

B. 3

4 D. 3

 Giải:

 Ta có: z1z2 1; 3  z1z2  z1  z2

    

2

2 2 2 2

1 2 2 2 3 2

2 z z

z z  z z  z  z   z  z     z  z   P4z13 z2 33z1  z2  5 z1  z2  33 z1  z2 5

 Xét hàm số:   3 5, 3; ; '  3 3 0 1

1 t

f t t t t f t t

t  

 

         

    Do minf t 3  minP3

 Dấu “=” xảy khi z1  z2 1

Bài 49: Cho số phức z thỏa mãn z 3 3 2

z

  Gọi M max z 2 m z 2, tính mơđun số phức w M mi 

A. w 4 22 C w 5 10

 Giải:

   4  2 2

2 2 2

2

2 2

4

2

3 3 3 6 9

3 3

3 2 18 18 18

6 9

18 12 15 12 15

z z z z z z

z z

z z z z

z z

z z

     



       

 

      

Do đó: w 3 62

Bài 50: Cho số phức z thỏa mãn z22z 5 z 1 2i z  3i 1 Tìm giá trị nhỏ

của biểu thức P  z 2 2i A. min 1

2

P  C Pmin2

B. Pmin 1 D min 3

2

P 

Bài 51: Cho số phức z thỏa mãn z 2 Gọi M m giá trị lớn giá trị

nhỏ của biểu thức P z i z 

 Tính giá trị biểu thức M.n :

A. 1

4 C 1

B 2 D 3

4

Bài 52: Cho số phức z thỏa mãn z2 4 2 z Gọi Mmax z m z , tính mơđun

của số phức w M mi 

A. w 2 3 C w  14

B. 6

3

w  D 2

3

Bài 53: Cho số phức z x yi, x y,   số phức thỏa mãn hai điều kiện

2

2 2 26

z  z  và biểu thức 3 3

2 2

P z  i đạt giá trị lớn Tính giá trị biểu thức (x.y)

A. 9

4

xy C 9

2

xy

B. 16

9

xy D 17

2

xy

Bài 54: Cho ba số phức z z z1, 2, 3 thỏa mãn 1 3 1 15

4 4

z z z   i Tìm giá trị nhỏ biểu thức

1 3

1 1 1 6

P

z z z z z z

   

 

A. Pmin 6 C Pmin5

B. Pmin 4 D Pmin3

Bài 55: Cho hai số phức z z1, 2 thỏa mãn z1  z2 1 Gọi m giá trị nhỏ biểu

thứcP z1 1 z2 1 z z1 21 Khẳng định sau sai?

A. 7 3

4 m C

7 3

2  m

B. 1 11

5

m

  D 1 5

4 m 2

Bài 56: Cho số phức z a bi  0 cho z số thực 3

1

z w

z



 số thực Tính

2

2

1

z z



A. 1

3a1 C

B. 2 2

a D

1 2a1

 Giải:

 Theo đề: 3 3   2 

0( )

0 1 0 1

1 1

2

b Loai

z z

z z z z z

z z z

a

  

 

        

 

  

 

2

2

1

1 2

2 1 2 1

1

2

z a

a a

z

a

 

 



Bài 57: Cho hai số phức ,z w khác thỏa mãn z w 2z  w Gọi a, b

phần thực phần ảo số phức u z w

 Tính a2 b2 ?

A. 1

2 C

1 8 B. 7

2 D

1 4

 Giải:

 Chuẩn hóa: w1 Theo đề ta có:

   

 

2 2 2 2

2

2 2

1 4

1 2 1 15 1 15 1

8 8 8 8 4

1 1 1 1

x y x y

z z

z i u i a b

z x y



      

          

 

 

    

 

Bài 58: Cho hai số phức ,z w khác thỏa mãn z w 5z  w Gọi a, b

A. 1 50 C 1 100 C. 1 25 D 1 10  Giải:

 Chuẩn hóa: w1 Theo đề ta có:

   

 

2 2 2 2

2

2 2

1 25

1 5 1 3 11 1 3 11 1

50 50 50 50 25

1 1 1 1

x y x y

z z

z i u i a b

z x y

                             

Bài 59: Cho số phức w hai số thực a, b Biết w i 2w1 hai nghiệm

phương trình z2  az b 0 Tính a b ? A. 5 9 C 5 9  B. 1 9

 D 1

9

 Giải:

 Theo định lý Viet ta có: 3 1 

2 1

w i a

w i w b

     

   



1 2 2 2

1

3 3

i a i a

i b

      

    

  

2

2 2 1 2

2 1 2 4 9 9 3 5

13

9 9 3 9 9 2 4 9

0 9

9 9

a a a

b a a

a i b a b

b a                                      

Bài 60: Cho hai số phức z z1, 2 thỏa mãn điều kiện z1  z2 2017 Tìm giá trị nhỏ

của biểu thức

2

1 2

2

1 2

2017 2017

z z z z

P

z z z z

     

   

 

   

A. 1

2017 C

2 2017

Đặt z1 2017 cos 2 x i sin 2x và z2 2017 cos 2 y i sin 2y

Ta có:

     

1

2

cos cos 2 sin 2 cos 2 sin 2

2017 cos

2017 2017 cos(2 2 ) sin(2 2 )

x y

z z x i x y i y

x y

z z x y i x y



     



 

      

Tương tự:  

 

1

2

sin 2017 sin 2017

y x z z

y x z z

 



 

Suy  

     

2

2 2

cos sin

2017 cos 2017 sin

x y x y

P

x y y x

 

 

 

Vì  

 

2

cos 1

sin 1

x y x y

  

 

 

 nên    

2

2

1 1

cos sin

2017 2017

P  x y  x y 

Bài 61: Cho ba số phức z z z1, 2, 3 thỏa mãn điều kiện z1  z2  z3 1 và

2

2

3

1

2 3 1

1 0 z

z z

z z z z z z   Khẳng đinh sau đúng?

A. z1 z2 z3 3 C z1 z2 z3 2

B. 1 2 3 1

3

z z z  D z1z2z3 4

Bài 62: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức

2 2016 2017

1008 1 1 1 1

P   z z   z  z

A. 2017 C. 2018

B. 1008 D. 2016

Bài 63: Cho ba số phức z z z1, 2, 3 thỏa mãn điều kiện z1  z2  z3 1, z1 z2 z3 0 và

2 2

1 0

z  z z  Khẳng đinh sau sai?

B. z12017z22017 z12017 3 D 2017 2017 2017

1 4

z z z 

\ z

Bài 64: Cho số phức và

2

1 1

z z w

z z

  

  số thực Khẳng đinh sau đúng?

A 0 z 2 C 1 z 3

B. 2 z 4 D. 3 z 5

Bài 65: Cho ba số phức z z z1, 2, 3 thỏa mãn điều kiện z1 z2 z3 0 và z z1 2z z2 3z z3 1 0 Tính giá trị biểu thức 2 3

2

z z z z z z P

z

 



A 3 C 2

B. 1

2 D