Chuyên đề các bài toán quỹ tích - tập hợp điểm ôn thi vào lớp 10

- Việc tìm ra mối liên hệ giữa các yếu tố cố định, không đổi với yếu tố chuyển động là khâu chủ yếu giúp ta giải quyết bài toán tập hợp điểm. - Nếu bài toán chỉ hỏi “ Điểm M chuyển động[r]



CHUYÊN ĐỀ CÁC BÀI TOÁN

QUỸ TÍCH – TẬP HỢP ĐIỂM ƠN THI VÀO LỚP 10

www.thuvientoan.net

CHUN ĐỀ CÁC BÀI TỐN QUỸ TÍCH –TẬP HỢP ĐIỂM

LỜI NÓI ĐẦU

 Hệ thông kiến thức cần nhớ  Các thí dụ minh họa

 Bài tập tự luyện

 Hướng dẫn giải

Các vị phụ huynh thầy dạy tốn dùng dùng chuyên đề để giúp con em học tập Hy vọng chuyên đề bất đẳng thức cực trị hình học giúp ích nhiều cho học sinh phát huy nội lực giải tốn nói riêng học tốn nói chung

Mặc dù có đầu tư lớn thời gian, trí tuệ song tránh khỏi hạn chế, sai sót Mong góp ý thầy, cô giáo em học!

BÀI TỐN VỀ QUỸ TÍCH – TẬP HỢP ĐIỂM

I MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1 Định nghĩa tập hợp điểm (quỹ tích)

Một hình H gọi tập hợp điểm điểm M thoả mãn tính chất T chứa và chứa tính chất T

2 Phương pháp chủ yếu giải tốn tập hợp điểm

Để tìm tập hợp c{c điểm M thoả mãn tính chất T ta l|m sau:

Bước 1: Tìm cách giải

- Xác định yếu tố cố định không đổi - Xác định điều kiện điểm M - Dự đoán tập hợp điểm

Bước 2: Trình bày lời giải

 Phần thuận: Chứng minh điểm M có tính chất T thuộc hình H

 Giới hạn:Căn vào vị trí đặc biệt điểm M, chứng tỏ điểm M thuộc vào hình H, phần B hình H(nếu được)

 Phần đảo: Chứng minh điểm thuộc hình H (quỹ tích giới hạn) có tính chất T Thường làm sau:

+ Lấy điểm M thuộc hình H (quỹ tích giới hạn), giả sử tính chất T gồm n điều kiện

+ Dựng hình để chứng minh M có tính chất T cho M thoả mãn n 1 điều kiện trong tính chất T chứng minh M có thoả mãn điều kiện lại

 Kết luận:Tập hợp điểm M hình H Nêu rõ hình dạng cách xác định hình H

Chú ý:

- Việc tìm mối liên hệ yếu tố cố định, không đổi với yếu tố chuyển động khâu chủ yếu giúp ta giải toán tập hợp điểm

- Nếu toán hỏi “ Điểm M chuyển động đường nào? ” ta trình bày phần thuận, phàn giới hạn phàn kết luận mà không cần không chứng minh phần đảo

- Để khỏi vẽ hình lại chứng minh phần đảo tên điểm phần đảo nên giữ nguyên như phần thuận

3 Một số tập hợp điểm

a) Tập hợp điểm l| đường trung trực phần đường trung trực

Định lí: Tập hợp điểm M cách hai điểm phân biệt A, B cố định đường trung trực d đoạn thẳng AB

b) Tập hợp điểm l| tia ph}n gi{c

Định lí: Tập hợp điểm nằm góc xOy(khác góc bẹt) cách hai cạnhcủa góc tia phân giác góc

Hệ quả: Tập hợp điểm M cách hai đường thẳngcắt xOx’ yOy’ bốn tia phân giác của bốn góc tạo thành, bốn tia tạo thành hai đường thẳng vng góc với giao điểm O của hai đường thẳng

c) Tập hợp điểm l| đường thẳng song song

Định lý 1: Tập hợp điểm M cách đường thẳng h cho trước khoảng a không đổi hai đường thẳng song song với đường thắng cho cách đường thẳng a

Định lí 2:Tập hợp điểm cách hai đường thẳng song song cho trước đường thẳng song song nằm cách hai đường thẳng cho

d) Tập hợp điểm l| đường trịn, phần đường trịn, cung chứa góc

+ Tập hợp điểm M cách điểm O cho trước khoảng khơng đổi r đường trịn tâm O bán kính r

+ Tập hợp điểm nhìn đoạn thẳng cố định AB góc 900 đường trịn đường kính AB

+ Tập hợp điểm M tạo thành với hai mút đoạn thẳng AB cho trước góc AMBcó số đo không đổi    0

II CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ Cho hình vng ABCD Tìm tập hợp điểm M mặt phẳng cho

  

MA MB MC MD

Lời giải

 Phần thuận: Dựng đường thẳng d qua t}m O hình vng v| d song song với AB, DC Khi d l| đường trung trực AD v| BC Ta thấy với điểm M khơng thuộc đường thẳng d ta có MA MB MC MD   

+ MA MB MC MD điểm M nằm kh{c    phía với điểm A so với đường thẳng d ;

+ MA MB MC MD điểm M nằm    phía với điểm A so với đường thẳng d

Vậy để MA MB MC MD M thuộc đường trung trực d AD v| BC   

 Giới hạn: Mọi điểm M thuộc d có MA MD  MB MC nên 

  

MA MB MC MD Vậy M thuộc đường thẳng d

 Phần đảo: Lấy M thuộc đường thẳng d ta có MA MD  MB MC  Khi ta có MA MB MC MD   

 Kết luận: Tập hợp điểm M cần tìm l| đường trung trực AD v| BC

Ví dụ 2. Cho góc vng xOy, tia Ox lấy điểm A cố định, B l| điểm chuyển động tia Oy Tìm tập hợp c{c điểm C cho  ABC vuông c}n C

Lời giải

M

D C

 Phần thuận: Vẽ CH vng góc với Ox (H thuộc Ox) v| CK vng góc với Oy (K thuộc Oy) Xét hai tam giác vuông CAH CBK có CA CB  CAH CBK CAH CBK

Từ ta CH CK Mà góc  xOy cố định nên C thuộc tia ph}n gi{c Oz góc vng xOy

 Giới hạn: Khi B trùng với O C trùng với C’, điểm C’ thuộc tia ph}n gi{c Oz v| tam gi{c C’OA vuông c}n C’ Khi B chạy xa O vơ tận tia Oy C chạy xa O vô tận tia Oz Vậy C chuyển động tia C’z tia ph}n gi{c Oz góc vng xOy

 Phần đảo: Lấy điểm C thuộc tia C’z Vẽ đường thẳng vuông góc CA C cắt tia Oy B Vẽ CH vng góc với Ox (H thuộc Ox) v| CK vng góc với Oy (K thuộc Oy) Ta có CH CK  

KHC 90

Xét hai tam giác vng CAH CBK có CH CK  CAH CBK nên CAH CBK Từ ta CA CB tam gi{c ABC vng c}n C 

 Kết luận: Tập hợp c{c điểm C l| tia C’z tia ph}n gi{c Oz góc xOy

Ví dụ 3. Cho tam gi{c ABC v| điểm M di chuyển cạnh BC Tìm quỹ tích c{c trung điểm I đoạn thẳng AM

Lời giải

 Phần thuận: Kẻ đường cao AH tam gi{c ABC với H thuộc BC Từ I kẻ IK vng góc với BC (K thuộc BC) Từ IK//AH

Xét tam giác MAH có IM IA IK//AH nên IK  đường trung bình tam gi{c AMH Do ta

1

IK AH

2

M| tam gi{c ABC cố định nên AH cố định, suy 1

IK AH

2 không đổi

y

x C'

O H

K C

B

A

I H'

H M

Q P

C B

Vậy điểm I c{ch BC đoạn IK1AH

2 không đổi nên I nằm đường thẳng song song với BC v| c{ch BC khoảng l| 1AH

2

 Giới hạn: Vì A, I nằm mặt phẳng bờ l| đường thẳng BC nên I nằm đường thẳng xy // BC v| c{ch BC khoảng 1AH

2 phía đường thẳng BC + Khi M B thì I P với P l| trung điểm AB

+ Khi M C thì I Q với Q l| trung điểm AC 

Vậy M chạy cạnh BC điểm I chạy đoạn thẳng PQ (thuộc đường thẳng xy) v| PQ l| đường trung bình tam giác ABCP AB , Q AC  

 Phần đảo: Lấy điểm I thuộc đường trung bình PQ tam gi{c ABC, tia AI cắt BC M Vì I PQ nên tia AI nằm tia AB, AC v| M thuộc đoạn 

Từ I kẻ IK vng góc với BC Vì I thuộc đoạn PQ nên ta IK1AH

Mặt kh{c ta có IK vng góc với BC v| AH vng góc với BC nên ta IK//AH Gọi H’ l| giao điểm AH v| PQ

Xét hai tam gi{c AIH’ v| IMK có IKAH' 1AH

2 ,  

0

H' K 90 MIK IAH'  Do ta AIH' IMK nên suy IA IM hay I l| trung điểm AM 

 Kết luận: Vậy quỹ tích trung điểm I đoạn AM l| đường trung bình PQ tam gi{c ABC với P thuộc cạnh AB, Q thuộc cạnh AC

Ví dụ 4. Cho góc vng xOy cố định, điểm A cố định Oy, điểm B di động Ox Tìm tập hợp c{c trung điểm M AB

Lời giải

 Phần thuận: Ta có OMAB

2 (trung tuyến ứng với cạnh huyền tam gi{c vuông AOB)

Mà ta có MA AB

Điểm M c{ch điểm O v| A cố định nên M thuộc đường trung trực OA

 Giới hạn: Vì AB thuộc miền góc xOy nên điểm M nằm tia Nm thuộc đường trung trực OA v| thuộc miền góc xOy (N l| trung điểm OA)

 Phần đảo: Lấy điểm M thuộc tia Mn, nối AM cắt Ox B, ta cần phải chứng minh M l| trung điểm AB Thật ta có M’A M’O nên tam gi{c MOA c}n  M Do ta MAO MOA

Mà ta có MOA MOB 90  MAO MBO 90 

Từ suy MOB MBO nên tam gi{c MOB c}n M Do ta MO MB nên 



MA MB

Từ suy M l| trung điểm AB

 Kết luận: Khi B chuyển động Ox tập hợp c{c trung điểm M AB l| tia Nm thuộc đường trung trực OA v| thuộc miền góc xOy với N l| trung điểm OA

Ví dụ 5. Cho góc vuông xOy v| điểm A cố định nằm Ox(A kh{c O) Một điểm C di động cạnh Oy Vẽ tam gi{c AMC nằm góc xOy Tìm quỹ tích điểm B l| đỉnh tam gi{c ABC

Lời giải

 Phần thuận: Vẽ tam gi{c AOD nằm góc xOy, điểm A, O cố định nên D cố định Xét hai tam giác DAB OAC có OA DA,AC AB  



OAC DAB

Suy DAB OAC nên ta  

ADB AOC 90 hay BD vng góc với AD D Vậy điểm B nằm đường thẳng d vuông góc với AD D

 Giới hạn: Vì điểm C di động Oy nên C tùng với O B trùng với điểm D, điểm C chạy Oy điểm B chạy tia Oz thuộc đường thẳng d

Vậy điểm B thuộc tia Oz đường thẳng d vng góc với AD D

y

O B

N M

A

y x

z

O d

D

C

 Phần đảo: Lấy điểm B thuộc tia Oz đường thẳng d vng góc với AD D Qua A vẽ AC(C thuộc tia Oy) cho BAC 60

Khi ta chứng minh DAB OAC , nên suy AC AB  Từ ta tam gi{c ABC

 Kết luận: Vậy quỹ tích điểm B l| Oz đường thẳng d vng góc với AD D

Ví dụ 6. Cho hình bình h|nh ABCD có cạnh AB cố định v| cạnh CD chuyển động đường thẳng d song song với AB Gọi I l| trung điểm CD Tia AI cắt BC N Tìm quỹ tích điểm N CD thă đổi đường thẳng d

Lời giải

 Phần thuận: Gọi khoảng c{nh giưac đường thẳng AB v| đường thẳng d l| h không đổi Xét hai tam giác IAD INC có AID CIN ,  ID IC  IDA ICN 

Do ta IAD INC nên suy

 

CN AD BC

Kẻ NH vng góc với AB, NH cắt đường thẳng d K

Tam giác NBH có CB CN CK//BH nên suy 



KH KN

Từ ta HN 2KH 2h khơng đổi  

Khi CD chuyển động đường thẳng d với vị trí CD, điểm N luôc c{ch đường thẳng AB khoảng 2h không đổi

Vậy điểm N thuộc đường thẳng d’ song song với đường thẳng AB v| c{ch đường thẳng AB khoảng 2h không đổi

 Giới hạn: Khi CD di động đường thẳng d điểm N di động đường thẳng d’ song song với đường thẳng AB v| c{ch đường thẳng AB khoảng 2h không đổi

 Phần đảo: Lấy điểm N đường thẳng d’ Đường thẳng AN cắt đường thẳng d I, đường thẳng NB cắt đường thẳng d C

Lấy điểm D đối xứng với C qua điểm I Ta cần chứng minh tứ gi{c ABCD l| hình bình h|nh v| I l| trung điểm CD

Thật vậy, kẻ NH vng góc với AB NH cắt đường thẳng d K Ta có K l| trung điểm HN Do tam gi{c HNB C l| trung điểm NB

d' d

N K

H

I C B

Trong tam gi{c NAB có C l| trung điểm BN v| IC//AB nên IC l| đường trung bình, từ ta IC1AB

2 Vì D đối xứng với C qua I nên ta   AB ID IC

2

Do ta đường AB CD , m| lại có AB//CD nên tứ gi{c ABCD l| hình bình h|nh v| I l|  trung điểm CD

 Kết luận: Vậy quỹ tích điểm N l| đường thẳng d’ song song với đường thẳng AB v| c{ch đường thẳng AB khoảng 2h khơng đổi

Ví dụ 7. Cho tam gi{c ABC c}n A v| điểm M di động cạnh AB Lấy điểm N tia đối tia CA cho NC MB Vẽ hình bình h|nh BMN Tìm tập hợp điểm P  M di động AB

Lời giải

 Phần thuận: Tứ gi{c BMNP l| hình bình h|nh nên ta NP MB  NC MB Từ suy 



NP NC nên tam gi{c NCP c}n N Trên tia đối tia BA lấy điểm E cho EB BM , từ ta  AE AN 

Do   

0

180 A AEN ABC

2 , nên suy NE//BC Từ ta ENP ENC , nên suy NECP , ta có CPBC

Vậy điểm P nằm đường thẳng d vng góc với BC C

 Giới hạn: Trên tia đối tia CA lấy điểm N1 cho N C CA Vẽ hình bình h|nh 1  ABP N 1 1

Tương tự ta suy điểm P1 thuộc đường thẳng d

Vì M di động đoạn thẳng AB nên M trùng với A N trùng với N1, P trùng với P1 Khi M trùng với B N trùng với C, P trùng với C

Vậy điểm P thuộc đoạn thẳng P C1 đường thẳng d vng góc với BC C

 Phần đảo: Lấy điểm P đoạn thẳng P C đường thẳng d vuông góc với BC 1 C

Vẽ hình bình h|nh BMNP có M thuộc đoạn AB v| N thuộc đoạn CN1 Ta có NP MB v| NP songsong với  N P1 1 nên ta NPC N P C 1 1

d

N1

P1 P M

N E

C B

Lại có N P C N CP1 1  1 1 nên suy NPC NCP hay tam gi{c NPC c}n N Từ ta NC NP BM  

 Kết luận: Vậy quỹ tích điểm P l| đoạn thẳng P C1 đường thẳng d vng góc với BC C

Ví dụ 8. Cho hai đường thẳng xx’ v| yy’ vuông góc với A Trên yy’ lấy điểm B(kh{c A) cố định Với điểm N xx’ lấy M yy’ cho BM AN Tìm quỹ tích  trung điểm I MN N di động xx’

Lời giải

Ta xét b|i to{n tổng qu{t

 

 

  

xAy 180

Khơng tính tổng qu{t ta giả sử B thuộc tia Ay Khi N trùng với A M trùng với B v| điểm I trùng với trung điểm E đoạn thẳng AB Do ta cần xét N kh{c A l|

+ Trường hợp 1: Khi điểm N thuộc tia Ax v| điểm M thuộc tia By

 Phần thuận: Dựng hình bình h|nh AMPN, ta BM AN PB  

Từ suy PBMBPM1PMy

2

Vì EI l| đường trung bình tam gi{c ABP nên ta IEB PBM  Vậy điểm I nằm tia Et với gốc E v| tEy

2

 Phần đảo: Lấy điểm I kh{c E tia Et Lấy điểm P đối xứng với A qua điểm I Dựng hình bình h|nh AMPN cho N thuộc tia Ax v| M thuộc tia Ay Khi I l| trung điểm MN

Hơn EI l| đường trung bình tam gi{c ABP nên ta PBy tEy  mà 



PMy nên M phải thuộc tia By v| BM PM AN  

 Kết luận: Quỹ tích trung điểm I đoạn MN thỏa mãn N thuộc tia Ax v| M thuộc tia By cho AN MB l| tia Et có gốc E l| trung điểm AB v|  tEy 1xAy

2

v'

t'

v t

y

x' x

I' I

E

P N

N'

P'

B M

+ Trường hợp 2: Khi điểm N thuộc tia Ax’ v| M thuộc tia By Lập luận tương tự ta quỹ tích I đoạn MN thỏa mãn N thuộc tia Ax’ v| M thuộc tia By cho AN MB  tia Ev có gốc E l| trung điểm AB v| vEy 1xAy

2

+ Lập luận tương tự cho N chạy xx’ v| M chạy yy’ với BM AN quỹ tích  điểm I trung điểm MN l| hai đường thẳng tt’ v| vv’ cắt trung điểm E AB tEy vEy 

2

Với trường hợp  90 thì quỹ tích điểm I trung điểm MN l| hai đường thẳng tt’ v| vv’ vng góc với trung điểm E AB

Ví dụ 9. Lấy điểm M nằm hình nh}t ABCD cho trước Kẻ CE vng góc với BM E, kẻ DF vng góc với AM F Gọi N l| giao điếm CE v| DF Tìm quỹ tích trung điểm đoạn thẳng MN M di chuyển hình chữ nhật

Lời giải

 Phần thuận: Gọi H l| trung điểm MN Gọi X l| hình chiếu M BC Lấy điểm M’ bên hình chữ ABCD cho

CM' D AMB

Ta có M'CD MAB ADF  nên ta



CM' ND

Ho|n to|n tương tự ta DM'CD , từ suy M’ l| trực t}m tam gi{c NCD Từ ta



NM' CD Y

Do suy BMX M' DY nên ta



MX DY hay khoảng c{ch từ M đến BC khoảng c{ch từ N đến AD

Vậy H di chuyển đường trung trực đoạn thẳng DC

 Giới hạn: Gọi trung điểm DC l| Z, gọi N’ l| giao điểm c{c đường vuông hạ từ C v| D theo thứ tự xuống BZ, AZ Trung điểm ZN’ l| H’ Khi H thuộc tia H’N’

 Phần đảo: Lấy điểm H tia H’N’ Gọi E’ v| F l| thuộc nửa đường trịn đường kính AD v| nằm hình chữ nhật ABCD cho HE' HF

Lấy điểm E đối xứng với E’ qua H’N’ Gọi M l| giao điểm AF v| BE Gọi N l| giao điểm DF v| CE

F

M'

H

Y

N' H'

Z

E X

N

M

D C

Gọi O l| trung điểm MN Khi ta OE OF với O thuộc H’N’ v|  HE HF với H thuộc H’N’

Nếu EFH' N' hai điểm E’ v| F trùng nhau, điều n|y hông xẩy Do H v| O trùng hay H l| trung điểm MN

 Kết luận: Vậy quỹ tích trung điểm H MN l| tia H’N’ thuộc đường trung trực CD

Ví dụ 10. Cho hình vng ABCD có t}m O Một đường thẳng xy quanh O cắt hai cạnh AD v| BC M v| N Trên CD lấy điểm K cho DK DM Gọi H l| hình chiếu  K xy Tìm quĩ tích điểm H

Lời giải

 Phần thuận: Ta có CN AM Vì  DK DM nên  C{c tứ gi{c MHKD, NHKC nội tiếp đường tròn nên

     

DHK DMK 45 ; KHC KNC 45 DHC 90

Vậy điểm H nằm đường trịn đường kính CD

 Giới hạn: Điểm H nằm nửa đường trịn đường kính CD nằm hình vng

 Phần đảo: Lấy điểm H nửa đường trịn đường kính CD Vẽ đường thẳng HO cắt cạnh AB, BC M v| N Lấy K CD cho DK = DM, ta phải chứng minh H l| hình chiếu K MN

Thực vậy,  

HDC 90 ; DOC 90 nên tứ gi{c HOCD nội tiếp DHM DCO 45 

Mặt kh{c DKM 45 DHM DKM  Tứ gi{c HKDM nội tiếp

  0  

KHM 90 KH MN H l| hình chiếu K MN

 Kết luận: Vậy quĩ tích điểm H l| nửa đường trịn đường kính CD, nửa đường trịn n|y nằm hình vng

Ví dụ 11. Cho đường tròn O; R cố định Lấy B, C l| hai điểm cố định đường tròn v| A l| điểm tuỳ ý đường tròn Gọi M l| điểm đối xứng điểm C qua trung điểm I AB Tìm quỹ tích c{c điểm M

Lời giải

O

N

M

K H

I

D C

 Phần thuận: Kẻ OO’// BC v| OO’ BC (O’ v|  B nửa mặt phẳng bờ AC) Do ta O’ cố định (vì O, B, C cố định v| BC không đổi)

Tứ gi{c AMBC l| hình bình h|nh (vì I l| trung điểm hai đường chéo AB v| MC) Suy MA // BC MA BC , m| ta lại có OO’// BC  OO’ BC 

Do ta MA // OO’ v| MA OO’ 

Từ ta tứ gi{c AMO’O l| hình bình hành (dhnb)

Nên suy O’M OA R không đổi v| O’ cố   định

Vậy A di động M di động theo M c{ch O’ cố định khoảng không đổi l| O’M OA R Nên M thuộc đường tròn t}m O’ b{n kính   OA R 

 Giới hạn: A di động M di động đường trịn t}m O’ b{n kính OA R 

 Phần đảo: Trên đường tròn O’, R lấy điểm M Nối MB Qua C kẻ đường thẳng song song với BM cắt đường tròn (O) điểm thứ hai A Ta dễ d|ng chứng minh M đối xứng với C qua trung điểm I AB

 Kết luận: Vậy A di động M di động theo M c{ch O’ cố định khoảng không đổi l| O’M OA R Nên quỹ tích điểm M l| đường trịn t}m O’ b{n kính   OA = R

Ví dụ 12. Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB Gọi C, D l| hai điểm nửa đường tròn cho OCOD (C thuộc cung AD) C{c tia AC v| BD cắt P Tìm tập hợp điểm P C v| D chuyển động nửa đường tròn

Lời giải

I

M O'

O

C B

 Phần thuận: Ta có ACB 90 0 nên suy



BCP 90 Do tam gi{c BCP vng M|



CBP COD

2 (góc nội tiếp nửa góc t}m chắn CD) 

COD 90 (vìOCOD)

Nên ta CBP 45 Tam gi{c BCP vuông c}n 

C, ta có BPC 45 hay BPA 45

Điểm P tạo với hai mút A, B đoạn thẳng AB cố định góc BPA 45 0 nên P thuộc cung chứa góc 45 0

dựng đoạn AB

 Giới hạn: Qua A v| B vẽ c{c tia tiếp tuyến Ax v| By với nửa đường trịn (O) cắt cung chứa góc nói P , P1 2 Kẻ b{n kính OK vng góc với AB

+ Khi C trùng với A D trùng với K, AC trùng với tia tiếp tuyến Ax nên P trùng với P 1 + Khi C trùng với K D trùng với B, BD trùng với tia tiếp tuyến By nên P trùng với P2 Vậy P chạy cung P P1 2 thuộc cung chứa góc 45 dựng đoạn AB (hình vẽ)

 Phần đảo: Trên cung P P1 2 nói trên, lấy điểm P Nối PA, PB cắt nửa đường tròn (O) C v| D Nối A với D ta có ADB 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn (O))

Do ta ADP 90 nên suy  

ADPvng D Ta có APB 45 nên ta ADPvng c}n D’

Từ suy PAD 45 0, nên ta COD 2PAD 2.45  900 Do OC vng góc với OD

 Kết luận: Vậy quỹ tích điểm P l| cung P P1 2 thuộc cung chứa góc 45 dựng đoạn AB 0

(hình vẽ)

Ví dụ 13. Cho nửa đường trịn (O) có đường kính BC Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa nửa đường tròn (O) vẽ tam gi{c BAC, AB cắt nửa đường tròn (O) E Gọi M l| điểm chuyển động nửa đường tròn Vẽ tam gi{c MCN cho đỉnh N nằm kh{c phía với điểm B qua MC Tìm quỹ tích điểm N

Lời giải

y x

P P2 P1

C

D K

O B

 Phần thuận: Ta có BEC 90 CEAB CE

đường cao tam gi{c ABC nên CE l| ph}n gi{c góc BCABCE 30 0 Do ta

 

EMB ECB 30 (hai góc nội tiếp chắn cung) Ta có BMC 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) v| NMC 60 0 (tam gi{c NMC đều)

Nên ta

    0 

EMB BMC CMN 30 90 60 180

Suy ba điểm E, M, N thẳng h|ng Từ ta ENC 60 0 BCE 30 0 nên



sdBE 60 , điểm B cố định v| đường trịn (O) cố định Do điểm E cố định v| C cố định nên CE cố định

Điểm N tạo với hai mút C, E đoạn thẳng CE cố định góc ENC 60 0 nên N thuộc cung

chứa góc 600 vẽ đoạn CE

 Giới hạn: Vì M chuyển động nửa đường tròn (O) nên M trùng với B N trùng với A v| M trùng với C N trùng với C Vậy M chuyển động cung AC thuộc cung chứa góc 60 dựng đoạn CE (hình vẽ)

Phần đảo: Trên cung AC nói trên, lấy điểm N Nối NE cắt nửa đường tròn (O) M

Nối C với M v| C với N ta có ENC 60 MNC 60

Ta chứng minh NMC EBC 60  0 (góc ngo|i tứ gi{c nội tiếp BEM’C góc

trong đỉnh đối diện) Do ta tam gi{c CMN

 Kết luận: Vậy quỹ tích điểm N l| cung AC thuộc cung chứa góc 60 dựng đoạn CE (hình vẽ)

Ví dụ 14. Cho đường tròn (O) d}y cung AB cố định Gọi N l| điểm chuyển động đường tròn, I l| trung điểm AN, M l| hình chiếu điểm I BN Tìm tập hợp c{c điểm M

Lời giải

N M

E

O C

B

 Phần thuận: Gọi giao điểm BO với đường tròn (O) l| P điểm P cố định, nên AP cố định Gọi MI cắt AP Q

Ta có NP // MQ (vì vng góc với NB)

Ta chứng minh IQ l| đường trung bình tam gi{c ANP nên Q l| trung điểm AP suy Q cố định nên BQ cố định

Vậy điểm M tạo th|nh với hai mút đoạn thẳng BQ cố định góc 

QMB 90 , M thuộc đường trịn

đường kính BQ

 Gới hạn: Khi điểm N l| điểm chuyển động đường tròn (O) điểm M chuyển động đường trịn đường kính BQ

 Phần đảo: Lấy M thuộc đường trịn đường kính BQ Tia BM cắt đường trịn (O) N Gọi I l| giao điểm AN v| MQ Khi dễ d|ng chứng minh I l| trung điểm AN v| M l| hình chiếu I BN

 Kết luận: Vậy tập hợp c{c điểm M l| đường trịn đường kính BQ

Ví dụ 15. Cho đường trịn trịn (O; R) v| d}y cung BC cố định Điểm A di động đoạn thẳng BC Gọi D l| t}m đường tròn qua hai điểm A, B v| tiếp xúc với đường tròn (O; R) B, E l| t}m đường tròn qua A, C | tiếp xúc với đường tròn (O; R) C Gọi M l| giao điểm thứ hai hai đường tròn t}m D v| t}m E Tìm quỹ tích điểm M A di động đoạn thẳng BC

Lời giải

 Phần thuận: Do đường tròn (O) v| đường tròn t}m D tiếp xúc với D nên ba điểm O, B, D thẳng h|ng Đường tròn (O) v| đường tròn t}m E tiếp xúc C nên ba điểm O, E, C thẳng h|ng

Khi ta có DBA DAB,  DBA ECA  

EAC ECA nên ta DBA EAC, DAB ECA 

Từ dẫn đến OB//AE v| DA//OE Suy tứ gi{c ADOE l| hình bình h|nh Gọi K l| t}m hình bình h|nh ADOE nên K l| trung điểm AO v| DE Hai đường tròn t}m E v| t}m D cắt M v| A nên

O I

M

Q P

N

B A

O

E D K I

N M

C

MA l| đường trung trực đoạn thẳng DE Gọi I l| giao điểm DE v| AM, IK l| đường trung bình tam gi{c AMO, KI//MO Từ ta tứ gi{c DOME l| hình thang M| ta có DM OE nên  hình thang DOME cân

Do tứ gi{c DOME nội tiếp đường trịn

Xét hai tam giác MBC ADE có MBC ADE 1ADM

2  

1

MCB AED AEM

2 Do ta MBC∽ADE nên suy BMC DAE BOC  không đổi Do BC cố định nên M thuộc cung chứa góc BOC không đổi

 Giới hạn: Khi A trùng với B M trùng với B Khi A trùng với C M trùng với C Như M chuyển động cung chứa góc BOC

 Phần đảo: Lấy điểm M bất lì cung chứa góc BOC

Dựng đường tròn t}m D qua M v| tiếp xúc với đường tròn (O) Đường t}m D cắt BC A

Dựng đường tròn t}m E qua ba điểm M, A, C

Ta cần chứng minh hai đường tròn t}m O v| t}m E tiếp xúc với C Thật vậy, từ B, C kẻ c{c tiếp tuyến Bx, Cy với đường trịn (O)

Khi ta có BMA ABx ABx ACy nên ta BMA ACy Từ suy Bx, Cy v| AM đồng quy tai điểm N

Do ta ABC ACy , suy CN l| tiếp tuyến đường tròn t}m E qua ba điểm A, M, C

Từ suy CN l| tiếp tuyến chung C hai đường tròn (O) v| (E) Vậy hai đưởng tròn t}m O v| t}m E tiếp xúc với tai C

 Kết luận: Vậy quỹ tích điểm M l| cung chứa góc BOC dựng đoạn BC

Ví dụ 16. Cho đường trịn (O; R) có hai đường kính AB, CD vng góc với Điểm M di động cung CAD Gọi H l| hình chiếu M AB Gọi I l| t}m đường nội tiếp tam gi{c HMO Tìm quỹ tích điểm I M di động cung CAD

 Ph}n thuận: Tam gi{c HMO có MHO 90 0 nên

ta HMO HOM 90 

Do ta IMO IOM 1HOM 45

2 Trong tam giác IMO có

 

 0  

OIM 180 IMO IOM 135

Xét hai tam giác IMO IAO có OI chung, 

IOM IOA OM OA R nên   IMO IAO

Do ta MIO AIO 135  0, lại có OA cố định nên I thuộc cung chứa góc 135 dựng 0

đoạn AO

 Giới hạn: Khi M di động đến trùng với điểm A điểm I di động đến trùng với điểm A Khi M di động đến trùng với điểm C điểm I di động đến trùng với điểm O Khi M di động đến trùng với điểm D điểm I di động đến trùng với điểm O Vậy điểm I di động hai cung chứa góc 135 dựng đoạn thẳng AO 0

 Ph}n đảo: Lấy điểm I cung chứa góc 135 dựng đoạn thẳng AO Khi



OIA 135

Vẽ tia OM với M thuộc đường tròn (O) cho O l| tia ph}n gi{c góc AOM Xét hai tam giác IMO IAO có OM OA R ,   IOM IOA v| OI chung nên

IMO IAO

Từ MIO AIO 135 Trong tam giác IMO có  

    0 

IMO IOM 180 MIO 180 135 45

Do ta HOM 2IOM 90  0, mà ta có HOM HMO 90  nên ta 

HMO 2IMO hay MI l| tia ph}n gi{c góc HMO Do I l| t}m đường trịn nội tiếp

tam giác HOM

 Kết luận: Vậy quỹ tích điểm I l| hai cung chứa góc 135 dựng đoạn thẳng AO trừ hai điểm O v| A

Ví dụ 17. Cho đường trịn (O; R) v| đường kính AB Vẽ đường thẳng d vng góc với AB I(I thuộc đoạn AB) Gọi M l| điểm chuyển độn đường tròn (O; R).AM BM cắt đường thẳng d C v| D Tìm tập hợp c{c điểm J l| t}m đường tròn ngoại tiếp tam gi{c ACD

Lời giải

I M

H O

D C

 Phần thuận: Gọi E l| điểm đối xứng với B qua đường thẳng d, điểm E cố định

Ta có EDC BDC AMB 90

Lại có CAIBDC nên ta EDC CAI , tứ gi{c EDCA nội tiếp đường trịn

Do đường trịn qua ba điểm A, C, D qua hai điểm cố định A v| E

Do t}m I đường tròn ngoại tiếp tam gi{c ADC thuộc đường thẳng xy cố định l| đường trung trực đoạn thẳng AE

 Giới hạn: Khi điểm M trùng với M1 l| điểm cung AB điểm J trùng với điểm J1và



1 1

M J OM với J1d

Khi M trùng với M2 l| điểm cung AB cịn lại J trùng với J2 M J2 2 OM2 với J2d

Như điểm J di động hai tia J x 1 J y đường trung trực đoạn thẳng AE 2

 Phần đảo: Lấy điểm J kì tia J x1 (trường hợp tia J y2 chứng minh tương tự) Vẽ đường tròn J; JA cắt đường thẳng d C, D AC cắt BD M

Ta có JE JA nên E thuộc đường trịn  J; JA

Ta có ACIDEA DBE DEA nên ta  ACIDBE nên tứ gi{c ICMB nôi tiếp đường trịn

Mà ta có CIB 90 0 nên BMC 90 0 nên M thuộc đường tròn (O)

 Kết luận: Vậy quỹ tích t}m J đường tròn ngoại tiếp tam gi{c ACD l| hai tia J x1

2

J y đường trung trực đoạn thẳng AE

Ví dụ 18. Cho ba điểm ABC cố định v| thẳng h|ng theo thứ tự Trên đường thẳng d vng góc với AB B lấy điểm D Gọi H l| trực t}m tam gi{c DAC Tìm quỹ tích điểm O l| t}m đường tròn ngoại tiếp tam gi{c ADH

Lời giải

O E

d y x

M2 M1

J2 J1 J

I

M D

C

 Phần thuận: Gọi giao điểm thứ hai đường tròn (O) với AC l| E

Xét hai tam giác BAH BDC có

 

ABH DBC 90 BAH BDC Do ta

được BAH∽BDC, suy

  

AB BH

BD.BH AB.BC

BD BC không đổi

Xét hai tam giác BAD BHE có BAD BHE  ABD chung Do ta BAD∽BHE Suy BA  BDBH.BD BA.BE

BH BE

Từ suy BA.BE BA.BC BE BC không  đổi

M| E thuộc đường thẳng cố định v| B cố định nên E l| điểm cố định

Ta có OA OE nên O thuộc đường thẳng cố định l| đường trung trực đoạn thẳng AE 

 Giới hạn: Khi D di động đường thẳng d O di động đường trung trực đoạn thẳng AE, trừ trung điểm M đoạn thẳng AE

 Phần đảo: Lấy điểm O đường trung trực đoạn thẳng AE(khơng trùng với trung điểm AE) Vẽ đường trịn t}m O b{n kính OA cắt đường thẳng d c{c điểm H, D

Do OA OE nên E nằm đường tròn (O) 

Xét hai tam giác BAD BHE có ABD chung BAD BHE nên  BAD∽BHE Do ta BA  BDBA.BE BD.BH

BH BE

Mà ta có BE BC nên ta  BD.BH AB.BC AB  BH

BD BC

Xét hai tam giác BAH BDC có ABH DBC  AB  BH

BD BC

Do BAH∽BDC nên ta BAH BDC

M| ta lại có DBC BCD 90  0 nên ta BAH BCD 90 

Từ suy AA'C 90 hay AH vng góc với CD

Tam giác ADC có BDAC AHDC nên H l| trực t}m tam gi{c ADC

 Kết luận: Vậy quỹ tích t}m O đường tròn ngoại tiếp tam gi{c ADH l| đường trung trực đoạn thẳng AE(không lấy trung điểm AE) E l| điểm đối xứng với C qua B

H A'

d O

D

E B C

Ví dụ 19. Cho đường tròn (O; R) v| điểm A cố định bên ngo|i đường tròn Đường tròn t}m I thay đổi ln qua điểm A cắt đường trịn (O) hai điểm B, C Gọi M l| giao điểm BC v| tiếp tuyến A đường tròn (I) Tìm quỹ tích điểm M đường trịn t}m I thay đổi

Lời giải

 Phần thuận: Vẽ tiếp tuyến MD đường tròn (O) với D l| tiếp điểm Gọi H l| hình chiếu M AO

Xét hai tam giác MAC MBA có AMC chung MAC MBA nên ta

MAC∽MBA

Từ suy MA  MCMA2 MB.MC

MB MA

Ho|n to|n tương tự ta MD2 MB.MC

Từ suy MA MD 

Trong tam gi{c MOD vng D có

   

2 2 2

MD MO OD MO R

Do ta MA2 MO2R hay MO2MA2 R Trong tam gi{c HMA vng H có MA2 MH2AH Trong tam gi{c HMO vng H có MO2 MH2HO 2

Do ta MH2 HO2  MH2AH2R2 OH2 AH2 R2

Hay ta     

OH AH OH AH R

Từ suy

                    2 R R R HO AH OH OA

OH AH OA

2 OA OH AH OA

không đổi

Do O cố định, AO cố định v| OH không đổi nên suy điểm H cố định

Lại có MH vng góc với AO nên đường thẳng MH cố định hai M di động đường thẳng d vng góc với AO H

 Giới hạn: Khi điểm I thay đổi điểm M di động đường thẳng d

 Phần đảo: Lấy điểm M đường thẳng d

Vẽ c{t tuyến MBC với đường tròn (O) với B, C thuộc đường tròn (O)

Khi ta có MCD∽MDB nên ta MC MD 

MD MB.MC

MD MB

Trong tam gi{c MDO vng D có MD2 MO2OD2 MO2R Từ suy MB.MC MO R hay OH2AH2 R

Do ta  2 2 2  2 2  2 

MB.MC MO HO AH MO HO AH MH AH MA

Xét hai tam giác MAC MBA có AMC MA  MC

MB MA nên MAC∽MBA Do ta MAC MBA

Vẽ IK vng góc với AC K, ta có AIK ABC nên ta MAC AIK Mặt kh{c tam gi{c AKI có AIK IAK 90 nên ta   MAC IAK 90   Từ suy IAM 90 0, suy MA l| tiếp tuyến với đường tròn (I)

 Kết luận: Vậy quỹ tích điểm I l| đường thẳng d vng góc với OA H với

 

   

 

2

1 R

OH OA

2 OA

Ví dụ 20. Cho tam gi{c ABC c}n A cố định nội tiếp đường tròn (O; R) Điểm M di động cạnh BC Gọi D l| t}m đường tròn qua M v| tiếp xúc với AB B, gọi E l| t}m đường tròn qua M v| tiếp xúc với AC C Tìm quỹ tích điểm I l| trung điểm DE

Lời giải

 Phần thuận: Vẽ đường kính AF đường trịn (O; R)

Khi ta ABF ABD 90  0, ba điểm B, D, F thẳng h|ng Ho|n to|n tương tự ta ba điểm C, E, F thẳng h|ng

Tam gi{c ABC c}n A nên ta AFBC , suy

ra BF CF nên ta CBF BCF

Mà ta có BD DM nên ta  MBD BMD



EM EC nên ta MEC CME 

Từ suy MBD BMD MEC CME   nên ta BF//ME v| MD//CF Khi tứ gi{c DMEF l| hình bình hành

M| I l| trung điểm DE nên I l| trung điểm MF

O

H

I2 I1

K

I E

D M

F

C B

Vẽ IK vng góc với BC K Trong tam gi{c FMK có IK//FH v| I l| trung điểm MF nên IK l| đường trung bình tam gi{c FMH Do ta IKFH

2 khơng đổi Từ suy I thuộc đường thẳng d song song với BC v| c{ch BC đoạn không đổi

FH

IK

 Giới hạn: Khi M trùng với B I trùng với I1 l| trung điểm BF, M trùng với C I trùng với I2 l| trung điểm CF Vậy I di động đoạn I I1 2 với

 Phần đảo: Lấy điểm I thuộc đoạn I I với 1 2 I l| trung điểm BF, 1 I trung 2 điểm CF

FI cắt BC M, vẽ MD song song với CF với D thuộc BF v| ME song song với BE với E thuộc CF Khi tứ gi{c DMEF l| hình bình h|nh M| I l| trung điểm MF nên ta I l| trung điểm DE

Khi ta BD DM  EM EC 

Từ suy AB tiếp xúc với đường tròn (D) v| AC tiếp xúc với đường trịn (E)

 Kết luận: Vậy quỹ tích trung điểm I đoạn DE l| đoạn I I1 2 với I1 l| trung điểm BF, I l| trung điểm CF 2

Ví dụ 21. Cho đường trịn (O; R) có đường kính AB cố định v| đường kính CD di động Tiếp tuyến a với đường tròn cắt AC v| AD M, N Tìm quỹ tích điểm I l| t}m đường trịn ngoại tiếp tam gi{c CMN đường kính CD thay đổi

Lời giải

 Phần thuận: Ta có ACD 1sdAD

2

   

    1

DNM sdAB sdBD 180 sdBD sdAD

2 2

Do ta ACD DNM nên tứ gi{c DCMN nội tiếp đường tròn (I) 

Ta có DAC 90 0 Trong tam gi{c AMN vng tịa A có AE l| đường trung tuyến

Từ suy EA EM nên ta  EAM AME

Từ ta ACF FAC ANM AMN   , mà ta có ANM AMN 90  0 nên

 

ACF FAC 90

Do suy AE vng góc với DC

Do tứ gi{c AEIO l| hình bình h|nh Nên ta

 

EI OA R

Do đường thẳng a cố định nên điểm I thuộc đường thẳng d song song với đường thẳng a v| c{ch đường thẳng a khoảng R

 Giới hạn: Khi CD quay quanh O điểm E điểm E di động đường thẳng a, điểm I di động đường thẳng d song song với đường thẳng a v| c{ch a khoảng R Đường thẳng d nằm nửa mặt phẳng bờ a không chứa điểm A

 Phần đảo: Lấy điểm I đường thẳng d, vẽ IE vng góc với đường thẳng a E, vẽ DC vng góc với OI O Gọi giao điểm AC, AD với đường thẳng a l| M, N

Ta có OA vng góc với a B, EI vng góc với a E nên OA//EI

Mà ta có OA IE R Do tứ gi{c AOIE l| hình   bình hành

Suy AE//OI, m| ta có OI//DC nên ta AE vng góc với DC Chứng minh tương tự ta suy tứ gi{c DCMN nội tiếp đường trịn

Từ suy tam gi{c EAM c}n E nên EA EM , tam gi{c EAN c}n E nên  EA EN  Do EM EN Nên ta  IM IN, suy I l| t}m đường tròn ngoại tiếp tam gi{c  CMN

 Kết luận: Vậy quỹ tích t}m I đường tròn ngoại tiếp tam gi{c CMN l| đường thẳng d song song với đường thẳng a v| c{ch a khoảng R Đường thẳng d nằm nửa mặt phẳng bờ a không chứa điểm A

Ví dụ 22. Cho góc xAy khơng đổi v| điểm B cố định nằm góc xAy Đường trịn (O) di động qua A v| B cắt Ax v| Ay C v| D Chứng minh trọng t}m G tam gi{c ABC thuộc đường cố định

Lời giải

Ta có xAB CDB , AByBCD DAC DBC 180 

N M

d a

O

I F

E D

C

Do góc xAB; BAy; DAC khơng đổi nên c{c

góc CDB; BCD; DBC khơng đổi Gọi M l|

trung điểm BC Ta có c{c góc BMC; BMD khơng đổi Vẽ đường trịn ngoại tiếp tam gi{c MBC, đường tròn n|y cắt tia Ax E Vẽ đường tròn ngoại tiếp tam gi{c MBD, đường tròn n|y cắt tia Ay F Ta có tứ gi{c BMCE nội tiếp nên

    

BEC BMC 180 AEB 180 BMC

không đổi, điểm E cố định Ta có BMEBCE 1sdBE

2 , BDF BCE  

0

BDF BMF 180

Do ta BME BMF 180 , suy ba điểm E, M, F thẳng h|ng  

Vẽ AH vng góc với EF(H thuộc EF), GK vng góc với EF(K thuộc EF), ta có AH khơng đổi v| AH song song với GK Đặt AH h

Trong tam gi{c AHM có GK//AH nên theo định lí Talets ta có GM  GK

AM AH

G l| trọng t}m v| AM l| đường trung tuyến tam gi{c ACD nên ta GM 1

AM

Do ta GK  1 GK 1h

AH không đổi v| EF cố định

Vậy điểm G thuộc đường thẳng song song với EF v| c{ch EF khoảng 1h

Ví dụ 23. Cho tam gi{c ABC c}n A Điểm M di động cạnh BC Vẽ đường thẳng MD song song với AC(D thuộc AB), vẽ đường thẳng ME song song với AB(E thuộc AC) Gọi K l| t}m đường tròn ngoại tiếp tam gi{c ADE Tìm quỹ tích điểm K M di động

Lời giải

 Phần thuận: Gọi O l| giao điểm đường tròn ngoại tiếp tam gi{c ADE với đường cao AH tam giác ABC

Tứ gi{c MDAE l| hình bình h|nh MD//AE v| AD//ME

Từ ta MD AE 

Do MD//AC nên ta DMB ACB , lại có

M K H

G

E y x

D

C B

A

K2

K1

H K

O E

D

C B



DBM ACB nên ta DMB DBM

Từ suy tam gi{c DBM c}n nên DM DB  Do ta AE DB nen

    

DAO AOE OD OE OD OE

Xét hai tam giác OAE OBD có OD OE ,  AEO ODB AE BD

Do OAE OBD nên ta OA OB Từ suy O thuộc đường trung trực  đoạn thẳng AB M| O thuộc đường cao AH nên O thuộc đường trung trực BC

Do O l| t}m đường tròn ngoại tiếp tam gi{c ABC, nên O l| điểm cố định Ta có KO KA v| AO cố định nên K thuộc đường trung trực đoạn thẳng AO 

 Giới hạn: Khi điểm M trùng với điểm B K trùng với K l| giao điểm đường 1 trung trực OA với đường trung trực AB Khi M trùng với C K trùng với K2 giao điểm đường trung trực OA với đường trung trực AC Vậy K thuộc đoạn thẳng K K1 2 đường trung trực đoạn thẳng OA

 Phần đảo: Lấy điểm K thuộc đoạn thẳng K K1 2 đường trung trực đoạn thẳng OA

Vẽ đường trịn t}m K b{n kính KA, cắt AB, AC D v| E Vẽ DM//AC(M thuộc AB) Ta cần chứng minh ME//AB

Thật vậy, Ta có KA KO nên O thuộc đường tròn (K) 

Xét hai tam giác OAE OBD có OAE OBD OAD  OEA ODB Do ta OAE∽OBD nên suy AE OAAEBD

BD OB

Ta có DBM ACB BMD ACB nên ta DBM DMB Do tam gi{c DBM c}n D nên DM DB 

Từ ta AE DM , m| lại có AE//DM nên tứ gi{c MDAE l| hình bình h|nh  Do suy ME song song với AB

 Kết luận: Vậy quỹ tích điểm K l| đoạn thẳng K K1 2 đường trung trực đoạn thẳng OA

Ví dụ 24. Cho tam gi{c ABC có H l| trực t}m Hai đường thẳng song song d v| d’ qua A v| H C{c điểm M, N l| hình chiếu B, C đường thẳng d, c{c điểm P, Q l| hình chiếu B, C đường thẳng d’ Giao điểm MP v| NQ l| I Tìm quỹ tích điểm I hai đường thẳng d v| d’ di động

 Phần thuận: Do BM v| CN vuông góc với đường thẳng d nên ta BM//CN

Do BP v| CQ vng góc với đường thẳng d’ nên ta BP//CQ

Do hai đường thẳng d v| d’ song song với nên MN//PQ Lại có 

QMN 90 Từ ta tứ gi{c MNPQ l| hình chữ nhật Suy I l| trung điểm c{c đoạn thẳng MP v| NQ

Gọi D v| E l| trung điểm AH v| BC, c{c điểm D, E cố định

Tứ gi{c ANHQ l| hình thang có DI nối trung điểm hai đường chéo nên DI//MN Tứ gi{c MPCB l| hình thang có IE l| đường trung bình nên IE//NC

Ta có DI//MN, IE//NC MNC 90 0 nên DIE 90

Ta có DIE 90 0 v| DE cố định nên I thuộc đường trịn đường kính DE

 Giới hạn: Khi đường thẳng d quay quanh A I chạy đường trịn đường kính DE

 Phần đảo: Lấy điểm I đường trịn đường kính DE

Qua A v| H kẻ c{c đường thẳng d v| d’ song song với DI Gọi M, Q l| hình chiếu B đường thẳng d v| d’ MI cắt d’ P v| QI cắt d N, PQ cắt IE K

Khi ta có MN//DI//QP DA DH nên ta IM IP,IN IQ  

Từ suy tứ gi{c MNPQ l| hình bình h|nh Lại có QMN 90 nên tứ gi{c MNPQ l| hình chữ nhật

Trong tam giác PMB có IM IP v| IK//MB nên ta  KB KP Trong tam giác BPC có KB KP EB EC nên EK//CP 

Ta có DIE 90 0 DI//MN nên EIMN,PNMN Từ suy ba điểm C, P, N thẳng

hàng

Kết luận: Vậy quỹ tích điểm I l| đường trịn đường kính DE

Ví dụ 25. Từ điểm M bên ngo|i đường tròn (O; R) vẽ c{t tuyến MAB với đường tròn (O) Trung trực đoạn MB cắt đường tròn P v| Q Khi c{t tuyến MAB quay quang M, tìm tập hợp trung điểm H PQ

Lời giải

I

K Q

P N M

H

E D

C B

 Phần thuận: Giả sử điểm A nằm B v| M Gọi I, J, K l| trung điểm MB, MA, AB

Khi rõ r|ng tứ gi{c OHIK l| hình chữ nhật, nên ta có OH IK IB KB   MBABMA

2 2

Gọi C l| trung điểm MO, ba điểm J, C, H thẳng h|ng Ta có hai tam gi{c HOC v| AMO đồng dạng với nên CH  OH 1

OA MA

hay CH R

Giả sử đường thẳng qua J vng góc với AB cắt đường trịn (O) P’, Q’ Gọi H’ l| trung điểm P’Q’

Khi lập luận tương tự ta CH'R

2 , suy H v| H’ thuộc đường trịn tâm C bán kính R

2

 Giới hạn: Vì H l| trung điểm d}y PQ đường tròn (O) nên H nằm cung

0

H H đường tròn  

 

R C;

2 v| nằm đường tròn (O) với H ; H0 l| giao điểm hai đường tròn (O) v|  

 

R C;

2

 Phần đảo: Lấy điểm H thuộc cung H H0 1 đường tròn  

 

R C;

2 Qua H kẻ đường thẳng vng góc với OH cắt đường tròn (O) P v| Q Ke b{n kính OA đường trịn (O) thỏa mãn c{c điều kiện OH v| CH nằm hai nửa mặt phẳng c{ch MO đồng thời AOM HCO Đường thẳng MA cắt PQ I cắt đường tròn (O) điểm thứ hai l| B

Khi hiển nhiên H l| trung điểm PQ v| HCO∽AOM Từ ta OH 1MA

2 AMO HOC nên ta MA//HO, suy AMPQ I

Từ O hạ OK vng góc với AB tứ gi{c OHIK l| hình chữ nhật nên ta có

  MA AB

IK OH ; KB

2

+ Nếu A nằm M v| B IB IK KB  MAAB MB

2 2

P

Q

H O

J C

I K

H1 H0

B M

+ Nếu B nằm M v| A IB IK KB  MAABMB

2 2

Do I l| trung điểm MB Vậy PQ l| đường trung trực MB

 Kết luận: Quỹ tích điểm H l| trung điểm PQ c{t tuyến MAB quay quanh M l| cung H H0 1 đường tròn  

 

R C;

2 Quỹ tích n|y tồn M khơng nằm ngo|i đường trịn (O) b{n kính 3R Đặc biệt M nằm đường trịn (O) n|y quỹ tích biến th|nh điểm

Ví dụ 26. Cho đường tròn (O; R) v| d}y cung AB c{ch t}m O khoảng d

0 d R   Hai đường tròn (I) v| (K) tiếp xúc với C, tiếp xúc với AB v| tiếp xúc với đường tròn (O)(I v| K nằm nửa mặt phẳng bờ AB) Khi hai đường trịn (I) v| (K) thay đổi, tìm quỹ tích điểm C

Lời giải

Ta xét c{c trường hợp sau:

+ Trường hợp 1: Ba điểm I, K, O nằm nửa mặt phẳng bờ AB

 Phần thuận: Gọi tiếp điểm (I) với AB l| D, ta có IDAB Gọi tiếp điểm (I) v| (O) l| E Khi ta có ba điểm O, I, E thẳng h|ng Gọi F l| điểm cung AB khơng chứa E, ta có OFAB Lại có EI  DI

EO FO nên ba điểm E, D, F thẳng h|ng Tương tự (K) tiếp xúc với AB v| (O) M, N ta ba điểm M, N, F thẳng h|ng Ta có

  

  

1

FDB DIE FOE FNE

2

1

FMA MKN FON FEN

2

Do ta FDM∽FNE nên ta suy FD.FE FM.FN (1) 

Giả sử FC cắt đường (I) v| (K) giao điểm thứ hai theo thứ tự l| C , C1 2 Khi dễ d|ng chứng minh FD.FE FC.FC ; FM.FN FC.FC 1  2 (2)

Từ (1) v| (2) ta FC1 FC2 nên suy C C 1 C2 hay FC l| tiếp tuyến chung (I) (K)

Hơn ta lại có FD.FE FM.FN FC (3)  

Mặt kh{c F l| điểm cung AB nên ta có FAD FEA  Từ ta FAD∽FEAsuy FD.FE FA (4) 

O S

K I

M

N F

E D

B

Từ (3) v| (4) ta FA FC , m| ta lại thấy  FA 2R R d  

Vậy C thuộc cung tròn AB đường tròn F; FA 2R R d   nằm đường trịn (O) v| khơng lấy hai điểm A, B

 Phần đảo: Gọi điểm C cung AB nằm đường trịn (O)

 

F; FA 2R R d  v| trừ hai điểm A, B Qua C kẻ đường thẳng d vng góc với FC

Gọi S l| giao điểm FC v| AB Đường ph}n gi{c c{c góc CSA, CSB cắt d I v| K Khi hai đường trịn (I, IC) v| (K, KC) tiếp xúc với C v| tiếp xúc với AB D v| M

Gọi E l| giao điểm thứ hai FD với (I) Dễ d|ng chứng minh FA2 FC2 FD.FE Suy ta FA  FE

FD FA nên ta FAD∽FEAFAD FEA Mặt kh{c ta lại có FAD1sdFB1sdFA

2 nên E thuộc (O) Vì DI//OF v| lại có ID  IE

OF OE nên ta ba điểm O, I, E thẳng h|ng, (I) tiếp xúc với (O) tai E

Vậy quỹ tích điểm C hai đường trịn (I) v| (K) thay đổi l| cung tròn AB đường tròn F; FA 2R R d   nằm đường trịn (O) v| khơng lấy hai điểm A, B + Trường hợp 2: Ba điểm I, K nằm kh{c phía với O so với AB Khi ta quỹ tích điểm C hai đường trịn (I) v| (K) thay đổi l| cung tròn AB đường tròn

 