Tạp chí toán tuổi thơ 2 kỳ số 24

"Toaùn Tuoåi thô khoâng nhöõng ñeán vôùi hoïc sinh vaø giaùo vieân Tieåu hoïc Baéc Ninh maø coøn ñeán vôùi phuï huynh hoïc sinh, ñeán vôùi caû caùc Hoäi Ngöôøi cao tuoåi.".. NGÖ[r]

24

1

Ơ chữ TỐN HỌC CHÀO

l KÕt qu¶ :

l Kì :

(TTT2 số 22) O T - CHIA RUNG

lLời giải sau đa số bạn :

Vì AM = MN = NB, DE = EK = KC, dÔ thÊy :

Suy :

lBài toán “thử tí tốn” ! Nhiều

bạn tham gia giải bi nhng cú

những bạn giải sai, chí tính nhầm kết cuối

Các bạn chứng minh tương tự cho tốn mở rộng : Tứ giác lồi ABCD có cạnh AB, CD chia thành 2n  đoạn Gọi MN đoạn nằm AB EK đoạn nằm DC (đoạn thứ n 1 tính từ A từ D) Chứng minh :

Với bốn cạnh tứ giác ABCD chia thành 2n + đoạn nhau, từ ta chia ABCD thành lưới (2n + 1)2 tứ giác nhỏ Các bạn thử so sánh diện tích tứ giác ABCD với diện tích tứ giác nhỏ nằm

l Các bạn thưởng kì : Võ Văn Phong, 9A, THCS Quán Hành, Nghi Lộc, Nghệ An ; Phạm Bảo Trang, 8/3, THCS Lê Quý Đôn, TP Hải Dương ; Nguyễn Thị Thúy, 9A1, THCS Lê Thanh Nghị, Gia Lộc, Hải Dương ; Nguyễn Thái Bảo Lâm, 8C, THCS Mê Linh, Đơng Hưng, Thái Bình; Trần Mạnh Đức, 8A8, THCS Trần Đăng Ninh, TP Nam Định, Nam Định ; Lê Quang Dũng, 9A3, THCS Giấy Phong Châu, Phù Ninh, Phú Thọ

Anh Compa

 

MNKE ABCD

S S

2n

2 2 ABCD

1S 2004m 668m

3

  

MNKE ANCE ABCD

S S S

2

 

MNKE MNE KNE ANE CNE ANE CNE ANCE

1

S S S S S

2

1(S S ) 1S .

2

   

  

ACD ACB ABCD 2(S S ) 2S ;

3

  

ANCE ACE ACN ACD ACB

S S S S S

3

  

Mời bạn giải ô chữ Toán học chào xuân Biết hàng khái niệm, thuật ngữ Toán học

m huy ụng (i IV, Hịa Bình hạ,

2

HỌC TỐN

CẦN PHẢI BIẾT THẮC MẮC

ĐặNG VĂN BIểU (Giáo viên trường THCS Đông Dư, Gia Lâm, Hà Nội) Ln tự đặt câu hỏi tìm cách giải

đáp trước vấn đề học toán phẩm chất đáng khích lệ Nó khơng giúp bạn hiểu kĩ vấn đề mà tạo cho bạn phong cách học tập chủ động thói quen suy nghĩ sâu sắc, đầy đủ

Tơi thực kinh nghiệm học toán từ cịn ngồi ghế nhà trường, hơm xin chia sẻ với bạn thông qua ví dụ

Khi học “Đường trung bình tam giác - áp dụng vào tam giác vuông”, SGK Hình Học cũ (trang 51) có nêu hai định lớ sau õy :

Định lí : Trong tam giác vuông, trung tuyến ứng với cạnh huyền mét nưa c¹nh hun

Định lí :Trong tam giác trung tuyến ứng với cạnh nửa cạnh tam giác tam giác vng

lViệc chứng minh hai định lí khơng

khó (dựa vào tính chất đường trung bình tam giác) vấn đề nảy sinh định lí phát biểu cách khác : “Trong tam giác, trung tuyến xuất phát từ đỉnh góc vng nửa cạnh đối diện với đỉnh đó”

Câu hỏi tơi đặt : Trong tam giác, trung tuyến xuất phát từ đỉnh góc nhọn (hay đỉnh góc tù) so với cạnh đối diện với đỉnh ? Khơng khó khăn để có trả lời cho câu hỏi Trường hợp 1(trung tuyến xuất phát từ đỉnh góc nhn):

Cho tam giác ABC có M

trung điểm BC Ta so sánh AM với

Không tính tổng quát, giả sử (hình 1) Gọi H hình chiếu vuông góc C AB H phải thuộc đoạn thẳng AB (H khác A H khác B) Suy : góc lín nhÊt tam gi¸c AHM AM > HM

Mặt khác, theo định lí nên :

Trường hợp 2(trung tuyến xuất phát từ đỉnh góc tù):

Cho tam giác ABC có M trung điểm BC Ta so sánh AM với

Dựng hình bình hành ABDC (hình 2) Dễ thấy M trung ®iĨm cđa AD vµ

theo định lí 1thì AD CM 

 o

ACD 90 ,

BC :

 o

A 90 , BC

AM

2 

BC HM

2  

H

    o

AHM AHC CHM AHC 90    o

B 90

BC :

 o

A 90 ,

3 Suy

Như ta có thêm hai định lí sau : Định lí 1.1 : Trong tam giác, trung tuyến xuất phát từ đỉnh góc nhọn lớn nửa cạnh đối diện với đỉnh

Định lí 1.2 : Trong tam giác, trung tuyến xuất phát từ đỉnh góc tù nhỏ nửa cạnh đối diện với đỉnh

Bằng phương pháp phản chứng ta dễ dàng chứng minh hai định lí khác :

Định lí 2.1 : Trong tam giác trung tuyến ứng với cạnh lớn nửa cạnh góc đối diện với cạnh nhọn Định lí 2.2 : Trong tam giác trung tuyến ứng với cạnh nhỏ nửa cạnh góc đối diện với cạnh tù

l Tôi vui sướng đem kết

khoe với người anh họ Anh khen đặt thêm cho câu hỏi : Với tam giác vuông ABC vuông A, trung tuyến AM Đặt BC = a, AM = makhi định lí 1được viết dạng hệ thức : , có hệ thức tổng qt tính độ dài đường trung tuyến ABC tam giác khơng ?

Phải đợi đến học định lí Py-ta-go lớp trả lời câu hỏi này, định lí sau (trong SGK mới, định lí Py-ta-go giới thiệu từ

líp 7)

Định lí : Một tam giác có độ dài ba cạnh a, b, c độ dài ba đường trung tuyến tương ứng ma, mb, mcthì :

Chứng minh (**):Dựng đường cao AH (hình 3), khơng tổng qt, giả sử H thuộc tia MB Theo định lí Py-ta-go ta có :

AB2AH2HB2AH2|MB MH|2 AH2MH2MB22.MB.MH

AC2AH2HC2AH2(MC + MH)2 AH2MH2MC22.MC.MH

lTôi tiếp tục dự đốn chứng minh định lí 3bao trùm định lí ; 1.1;1.2

(Xem tiÕp trang 25)

2 2

a

2b 2c a

hay m

4

 



2 2

2 2

BC AB AC 2AM

2 2AB 2AC BC AM

4

   

 

 

2 BC

AM 2.MB.MH

  

2 BC

AM 2.MB.MH ;

  

2 2 2

2

b c

2 2

a

2c 2a b 2a 2b c

m , m ,

4

2b 2c a

m (**)

4

   

 

 



a a

m (*)

2  BC

AM

2 

H×nh

4

l KÕt qu¶ :

l Kì :

(TTT2 số 22)

Phép chứng minh thuyết phục ?

THẬT LÀ ẹễN GIAN !

Bài toán :Tính giá trị biểu thøc

Lêi gi¶i : Ta cã : VËy : A  1

Lời giải toán thật đơn giản ! Các bạn có ý kiến không ?

thái nhật phượng (Giáo viên trường THPT Ngơ Gia Tự, Cam Nghĩa, Cam Ranh, Khánh Hịa)

2 x 2 x

A

x x

  

 

    x 2 x

A (x ; x 4)

x

  

  

 

Tất bạn : phép chứng minh chưa xét hết khả điểm H Ngay H nằm đoạn BC thiếu việc chứng minh M nằm đoạn HC Như theo hướng chứng minh ta cần xét trường hợp H nằm ngồi BC trùng B, tam giác góc vng góc tù nên hiển nhiên

Một số bạn đưa hướng chứng minh khác, không cần phải phân chia trường hợp Xin giới thiệu cách chứng minh :

Trên AC lấy D cho AD = AB Vì AB < AC nên D nằm đoạn AC tia BD nằm hai tia BA BC Do :

Tam giác ABD cân đỉnh A nên Vì góc ngồi tam giác DBC nên

Từ (1), (2), (3) ta có (đ.p.c.m) Nhận xét :Xin trao tặng phẩm cho bạn tìm chỗ sai đưa nhiều cách chứng minh khác : Nguyễn Tuấn Thành, 9A, THCS Võ Thị Sáu, TP Hải Dương, Hải Dương ; Nguyễn Thị Quỳnh Trang, 72, THCS Nguyễn Khuyến, TP Đà Nẵng, Đà Nẵng; Nguyễn Ngọc ánh, 7C, THCS Vĩnh Tường, Vĩnh Tường, Vĩnh Phúc ; Võ Quốc Đạt, 9B, THCS Nguyễn Nghiêm, Đức Phổ, Quảng Ngãi

Anh KÝnh Lóp

 

ABC ACB  

ADB ACB (3) 

ADB

 

ABD ADB (2)   ABD ABC (1)

5

l K× :

l Kết : (TTT2 số 22)

Bạn Phạm Tuyết Anh có đáp án như sau :

“Hoa mắt tưởng mộng hay sao

Chuông vàngxinh xắn ! Tuyệt vời !

Cây thônglấp lánh sáng ngời Cài lên thiệp chúc muôn lời yêu thương

Chúc “báo Toán” nhân tết dương Tràn trề hạnh phúc thơm hương xa gần

Bao năm báo ân cần

Tận tâm bảo Thơ vần, Toán, Anh Thắp sáng giấc mơ xanh Giấc mơ học giỏi đâm nhành trổ hoa

Báo ông San-ta

Tng qu tri thc, mún qu p !

TTT2 cảm ơn lời chóc cđa b¹n.

Nhân dịp đón năm mới, TTT2 xin được trao thưởng cho bạn xứng đáng :

Phạm Tuyết Anh, mẹ Lê Thùy Linh, phân xưởng Viên, công ty Cổ phần dược VTYT Thái Bình, km 4, đường Hùng Vương, phường Phúc Khánh, TP Thái Bình, Thái Bình; Phí Thị Hồng Yến, 7A, THCS Hương Ngải, Thạch Thất, Hà Tây;

Nguyễn Thị Thu Hằng, mẹ Nguyễn Thị Thắng, đội 16, Vĩnh Lai, Lâm Thao,

Phó Thä ; Vị Kim Tun, 8C, THCS thị trấn Hà Trung ; Mai Thị Cúc, thôn Phong VËn, Hµ Phong, Hµ Trung, Thanh Hãa ;

Nguyễn Thị Nhung, 8C, THCS Nghi Lâm, Nghi Lộc, Nghệ An.

Nguyễn Đăng Quang

Bi 2. Liu vi lần bắn tên vào bia bạn đạt được tổng điểm 38 không ?

6

MỘT HẰNG ĐẲNG THỨC

phan thị mùi (Giáo viên trường THCS Trần Quốc Toản, TX Tuy Hòa, Phú Yên) Với số thực a, b, c, ta có :

(a + b)(a + c) = a2+ (ab + bc + ca) = a(a + b + c) + bc (*) Với tôi, (*) đẳng thức thú vị Trước hết, từ (*) ta có :

HƯ qu¶ : NÕu ab + bc + ca = th× a2+ = (a + b)(a + c) HƯ qu¶ : NÕu a + b + c = th×

a + bc = (a + b)(a + c) Bây giờ, đến với vài ứng dụng (*) hai hệ

Bài toán : Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = Hãy tính giá trị biểu thức :

Lêi gi¶i :Theo hƯ qu¶ ta cã

a2+ = a2+ (ab + bc + ca) = (a + b)(a + c) ; b2+ = b2+ (ab + bc + ca) = (b + a)(b + c) ; c2+ = c2+ (ab + bc + ca) = (c + a)(c + b)

Suy

V× vËy A = a(b + c) + b(c + a) + c(a + b) = 2(ab + bc + ca) =

Vấn đề khó ta hướng tới việc đánh giá biểu thức

Bài toán : Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn (a +b)(a +c) = Chứng minh :

Lời giải :a) Sử dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương a(a + b + c) ; bc :

1 = (a + b)( a + c) = a(a + b + c) + bc 

b) Sử dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương

1 = (a + b)( a + c) = a2+ (ab + bc + ca) =

2

2

ab bc ca ab bc ca a

2

a (ab bc ca)

4 a (ab bc ca)

4 27

4

a(ab bc ca)

27

   

   

  

 

 

    

2 ab bc ca ab bc ca

a ; ; :

2

   

1

abc(a b c) abc(a b c)

2

       

2 a(a b c)bc abc(a b c)

     

1 a) abc(a b c) ;

4 b) a(ab bc ca)

9   

  

2 2 (a 1)(b 1)

c c(a b)

c

   

 2

2 (c 1)(a 1)

b b(c a) ;

b

   

 (b a)(b c)(c a)(c b)

a a(b c) ;

(a b)(a c)

   

  

 

2 2 (b 1)(c 1) a

a

  



2 2

2

(c 1)(a 1) (a 1)(b 1)

b c

b c

   

 

 

2 2 (b 1)(c 1) A a

a

 

 

7 Bài toán :Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = Chứng minh :

Lêi gi¶i :Theo hƯ qu¶ ta cã

Sử dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương a2+ ab ; a2+ ac :

Tng t ta cú

Từ kết trªn ta suy :

Bài tốn sau nguyên đề thi Châu

á - Thái Bình Dương năm 2002 viết lại cho đơn giản (thay

bëi (a ; b ; c))

Bài toán : Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = Chứng minh :

Lời giải : Theo hệ bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski ta có

Tng t ta cú

Từ kết ta suy :

Để kết thúc, xin bạn làm thêm số tập :

Bi tập :Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = Hãy tính giá trị biểu thức :

Bài tập :Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = Chứng minh :

Bài tập :Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = Chứng minh :

2 64

(a bc)(b ca)(c ab) (ab bc ca) 81

     

   

4 4

2 2

a a b b c c

1 a b c ab bc ca

     

     

(b ca)(c ab) (c ab)(a bc).

a bc b ca

   

 

 

(a bc)(b ca) B

c ab

 

 



a bc b ca c ab a bc b ca c ab (a b c) ab bc ca ab bc ca

    

     

     

   

   c ab c ab

   b ca b ca ;

2 a bc (a b)(a c) (a bc)

a bc a bc

     

   

a bc b ca c ab

1 ab bc ca

    

   

1 1; ; x y z

 

 

 

4 4

2 2 2

a a b b c c

(ab bc ca) a b c a b c

    

     

   

4 2c ca cb

c c

2    

2

4 2b ba bc

b b ;

2     2 2

2a ab ac (a ab)(a ac)

2 2a ab ac

a a

2           2 (a ab)(a ac)

  

4 2 2

a a  a (a 1)  a (a b)(a c)  4

2 2

a a b b c c

1 a b c

     

8

gIèI THIỴU

ThS Nguyễn Văn Nho(NXBGD)

Cuc thi Olympic Toỏn hc Ban-cng

(Tiếp theo kì trước)

Kì trước chúng tơi giới thiệu toán dành cho THCS thi Olympic Toán học Ban-căng năm 1997, 1998 Sau xin tiếp tục giới thiệu tốn nữa, năm 1999 2001.

Bµi (1999) : Cho c¸c sè thùc a, b, c khác hai số thực x, y thỏa mÃn a3 + ax + y = 0, b3 + bx + y = 0, c3+ cx + y = Chøng minh r»ng : a + b + c = 0.

Bài (1999) : Đặt an = 23n + 36n + + 56n + 2 T×m

¦CLN(a0, a1, a2, , a1999).

Bài (2001) :Tìm tất số nguyên dương a, b, c thỏa mãn a3+ b3 + c3= 2001.

Bµi (2001) :Cho tam giác ABC có

đường cao CH đường phân giác CL Chứng minh : Với điểm X nằm đường thẳng CL (X khác C) ta có và với điểm Y nằm đường thẳng CH (X khác C) ta có

Bài (2001) :Cho A = 44 (2n chữ số 4) B = 88 (n chữ số 8) Chứng minh A + 2B + số chính phương.

 

YAC YBC.

 

XAC XBC

 o 

Cuéc thi olympic to¸n häc Ban-căng

9 Bài :

Ta có : nªn

Tương tự, ta tính

Bài :áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương ta cú Mt khỏc,

Nhưng đường tròn, đường kính dây cung lớn nên ta cã a 2R

Suy a = 2R lúc b = c Vậy tam giác ABC vng cân A Bài :- Nếu số n1, n2, , n1997 có số chẵn lại số chẵn số lẻ (1996 số)

Vì nên n1998

phi l s chn, suy có số chẵn - Nếu số n1, n2, , n1997khơng có số chẵn nào, bình phương số lẻ chia cho ln có số dư 1, mà 1997 chia cho dư nên vế trái chia dư Mặt khác, n1998là số lẻ nên vế phải chia dư Mâu thuẫn chứng tỏ khả

năng không xảy

Chng t số có hai số chẵn Bài : Ta chứng minh kết tổng quát : số 11 122 25 có n chữ số n 1 chữ số số phương (bài toán Thụy Sĩ, năm 1981)

Thật vậy, đặt N = 33 35 (có n chữ số 3) Khi suy :

víi n ch÷ số n chữ số

Bài :Tõ mn= nm n, hiĨn nhiªn ta cã m n m n n m 2n

Đặt d = ƯCLN(m, n), m = dM, n = dN, M, N nguyên tố M 2N

Ta cã (dM)dN= (dN)dM dN ddN.MdN= ddM dNNdM dN MdN= ddM 2dNNdM dN

Do M, N nguyªn tè cïng nªn N chØ cã thĨ b»ng Md= ddM 2dM = dM 2 NÕu M = d = (m ; n) = (9 ; 3) ; NÕu M = d = (m ; n) = (8 ; 2) ; NÕu M > d > dM 22M 2> M, m©u thn víi M = dM 2

VËy : (m ; n) chØ cã thĨ lµ (9 ; 3) vµ (8 ; 2)

n

2n n n 2n n

10

N

3

10 2.10 4(10 1) 4

9

10 10 1 11 122 25

9                             n 10 N    

2 2 2 1997 1998 n n n  n

a b c a

R(b c) a bc

R bc R

a 2R 

     

  b c

bc   8 8

8 8

3

x y x y k 4k

vµ

4k

x y x y k

k 24k 16 4k 16k              8 8

x y k

4k x y        4 4 x y k

2 x y

2 2 4

2 2 4

x y x y x y

k

x y x y x y

  

  

  

10

mơn tốn lớp 7

(Thêi gian : 120 phút)

Bài :(4 điểm)

Gii phng trỡnh

Bài :(4 điểm)

Cho cỏc s nguyờn dương x, y, z Chứng minh :

Bµi :(4 ®iĨm)

Tìm nghiệm ngun phương trình : (2a + 5b + 1)(2|a| +a2+ a + b) = 105.

Bài :(3 điểm)

Ba bạn A, B, C chơi cỗ gồm quân Trên quân bài có viết số tự nhiên (các số khác lớn 0). Mỗi người phát quân nhận số kẹo bằng đúng số viết quân Sau quân được thu lại, xáo trộn phát lại Sau hai lần chơi, A nhận được 20 kẹo, B nhận 10 kẹo, C nhận kẹo. Hỏi số ghi quân ? Biết số lớn được viết quân lớn 9.

Bài :(5 điểm)

Cho tam giỏc ABC cõn A, Từ B C kẻ các đường thẳng cắt cạnh đối diện tương ứng D E sao cho CBD 60 o và BCE 50   o Tính BDE.

   o

A C 80

   

  

x y z

1 2.

x y y z z x

        

11

mơn tốn lớp 8

(Thêi gian : 120 phút)

Bài : (4 điểm)

Giải phương trình

Bµi : (4 ®iĨm)

Tìm x để hàm số có giá tr ln nht.

Bài : (4 điểm)

Cho phương trình

Với giá trị a phương trình có nghiệm khơng nhỏ hơn ?

Bài : (4 điểm)

T im O thuộc miền hình thang cân ABCD (AB = CD) nối với đỉnh hình thang đoạn thẳng OA, OB, OC, OD Chứng minh từ đoạn thẳng nhận được, dựng tứ giác nội tiếp hình thang này (mỗi đỉnh tứ giác nằm cạnh hình thang cõn).

Bài : (4 điểm)

Cho tam giác ABC có AB = c, BC = a, CA = b Gọi Ib, Ictheo thứ tự độ dài đường phân giác góc B góc C. Chứng minh b > c Ib< Ic.

       2 

a 3a ax x 1 x 2 x x 2





x y

(x 2004)

        

 

 

12 Bài 1(22) : Giả sử (a1; a2; ; a37) ; (b1 ; b2 ; ; b37) ; (c1 ; c2 ; ; c37) số nguyên Chứng minh tồn số k, l, n thuộc tập hợp số {1 ; ; ; 37} để số

đồng thời số nguyên

Lêi gi¶i :

Trước hết ta chứng minh khẳng định :

“Trong số ngun ln có số mà tổng số chia hết cho 3” (1)

Thật :Có hai trường hợp xảy Trường hợp : số có số dư khác phép chia cho (là 0, 1, 2) Vì + + = chia hết tổng số chia hết cho

Trường hợp : Cả số nguyên chia cho có nhiều hai số dư khác Vì = x + 1, theo ngun lí Đi-rich-lê số có số có số dư phép chia cho 3, tổng số phải chia hết cho

Trở lại toán :

Vỡ 37 = 12 x + nên theo nguyên lí Đi-rich-lê, 37 số a1; a2; ; a37có 13 số có số dư phép chia cho Giả sử 13 số ai1; ai2; ; ai13  Vì 13 = x + nên theo nguyên lí Đi-rich-lê, 13 số bi1 ; bi2 ; ; bi13có số có số dư phép chia cho Giả sử số bj1; bj2; ; bj5

Theo khẳng định (1), số cj1; cj2; ; cj5 ln có số mà tổng số chia hết cho Giả sử số ck, cl, cn, suy số nguyên

 C¸c sè bk, bl, bn thuéc tËp hợp số

{bj1; bj2; ; bj5} nên có cïng sè d­ phÐp chia cho bk+ bl+ bnchia hết cho

số nguyên

 Tương tự, số nguyên Bài toán c chng minh

Nhận xét : Đây toán tổ hợp hay Các bạn sau có lời giải tốt : Khuất Văn Phiến, 9D, THCS Thạch Thất, Thạch Thất, Hà Tây ; Nhóm Toán 7, THCS Hữu Bằng, Kiến Thụy ; Nguyễn Văn Hùng, 8C5, THCS Chu Văn An, Ngô Quyền, Hải Phòng ; Nguyễn Minh Trang, 6E, THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh, Nghệ An ; Võ Văn Tuấn, 8A5, THCS Nguyễn Du, KRông Buk, Đắk Lắk ; Võ Thái Thông, 9/4, THCS Ngô Gia Tự, Cam Ranh, Khánh Hòa

nguyn minh c

Bi 2(22) : Tìm a để phương trình ẩn x sau có nghiệm :

Lời giải :x = 1 x = nghiệm với a nên phương trình tương đương với (1)

Với a = phương trình vơ nghiệm Nếu a = a0mà phương trình có nghiệm x = x0 với a = a0 phương trình có nghiệm x = x0 Do ta cần xác định a > để phương trình có nghiệm từ suy trường hợp a <

Với a > x > để có nghĩa x > Khi :

2

x x a

x 1 

  2 x (a x) x

k l n

a (a a a )

  

k l n

b (b b b )

  

 k  l n c (c c c )

3

 k l n c (c c c )

3  k l n

b (b b b ) ;

 k l n a (a a a ) ;

3

2 2 2 2

4 2 2

x 2x

(1) x a

x x 1

x 2x a

x x 1

   

 

  

13 Đặt phương trình

trë thµnh : (2)

Phương trình (1) có nghiệm  phương trình (2) có nghiệm t > Ta có (do a > 0) P = > nên (1) có nghiệm (2) có nghiệm   0

(do a > 0)

Từ với a < (1) có nghiệm

Tóm lại :Phương trình cho có nghiệm

hc

NhËn xÐt :

1) Bài bạn giải Thậm chí có bạn cho kết a biểu thức x (?) cách giải tìm a qua x Nhóm Tốn 7, trường THCS Hữu Bằng, Kiến Thụy, Hải Phòngdùng bất đẳng thức để suy điều kiện a :

Nhưng dừng lại kết luận điều kiện cần

Có bạn cịn “tìm ra” a = (bạn thử thay a = giải phương trình xem ?) Một số bạn có kết lời giải lại sai (may mắn ?)

2) Rất cố gắng tìm tịi tạm khen hai bạn : Nguyễn Văn Mạnh, 8A,THCS Tân Lợi, TP Buôn Ma Thuột, Đắk Lắk Ngô Văn Tuấn Anh, 9A3, THCS Nguyễn Đăng Đạo, TX Bắc Ninh, Bắc Ninh Thế biết phương trình vơ tỉ đáng ngại !

LTN

Bài 3(22) : Tìm m để phương trình sau có nghiệm nguyên :

m2|x + m| + m3+ |m2x + 1| = (1) Lời giải :Trước hết cần lưu ý :

|a| + |b| |a + b| a + b víi mäi a, b vµ |a| + |b| = a + b

Ta cã :

(1) |m2x + m3| + |m2x + 1| = m3 |m2x m3| + |m2x + 1| =

= (m2x m3) + (m2x + 1)

lVới m = (2) với x nên (1)

có vô số nghiệm nguyên

lVới m 0th× :

Suy : (1) cã nghiƯm vµ chØ

Khi (1) x 

Do với m 1vàm 0, (1) có nghiệm nguyên  phải chứa số ngun :

+ Víi m = 1th× chØ chøa số nguyên (loại)

+ Với < m < 1th× : m

1 1. m           ; m m

  

 

 

2 ; m m

  

 

 

2

1 ; m m       

1 m m 1 m 1.

m

      

2

2 x m x m

(2) x

m x

m                 

2

2

m x m m (x m) (2). m x m x

                 

a.b a a b b

            2 2 2 2 x x

a x x

x x

x

2 x

x x

1

2 x 2 x                 a 2    a 2

  a 2   

a 2  

2

2

a 1 a 1

 

         

S a 1 0   2

t  a 1 t 0    

t x  1 2 2 2

2 2

x 1 a 1

x

x 1 a 1

x

x a x

14 Do : chứa số nguyên 

+ Víi 1 < m < 0th× :

Do : chứa số ngun

+ Víi m = 1th× : chứa số nguyên 1, 0, (loại)

+ Víi m < 1th× :

Do : chứa số nguyên  m 3 m  3

lKết luận :Để phương trình (1) cú ớt nht

4 nghiệm nguyên :

Nhận xét : Hầu hết bạn tham gia giải giải Sau bạn có lời giải tốt : Võ Thái Thơng, 9/4, THCS Ngơ Gia Tự, Cam Nghĩa, Cam Ranh, Khánh Hịa; Tạ Hồng Sơn, 9A3, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ; Trần Cao Nguyên, 9C, THCS Hoàng Xuân Hãn, Đức Thọ, Hà Tĩnh ; Nguyễn Thị Quỳnh Anh, bố Nguyễn Mạnh Cường, GV trường THCS Hưng Dũng, TP Vinh, Nghệ An; Nhóm Tốn 7, THCS Hữu Bằng, Kiến Thụy, Hải Phòng ; Nguyễn Văn Mạnh, 8A, THCS Tân Lợi, TP Bn Ma Thuột, Đắk Lắk

ngun anh qu©n

Bài 4(22) :Cho tam giác ABC H điểm cạnh BC AD đường phân giác Dựng AL đối xứng với AH

qua AD (L thuéc BC) Chøng minh r»ng :

Lời giải : Giả sử đường thẳng AH, AL cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC E F

Tõ gi¶ thiÕt

BE = CF ; BF = CE DƠ dµng nhËn : ABL CFL nên BHE AHC nên

Từ (1) (2) suy

Theo tính chất đường phân giác, tam giác AHL có

Từ (3) (4) suy

Tương tự, BLF ALC CEH ABH dn n

Nhân theo vế hệ thức (5) vµ (6) ta cã :

Nhận xét : Một số bạn quan niệm AH, AL đối xứng qua AD H L đối xứng

2

2

LC.HD BL 1 BH.CH HD . BL.CL

BH.LD CH   LD HD.BL AB (6). LD.CH AC

LC.HD AC (5). BH.LD AB

HD AH (4).

LD AL

LC.AH AC (3). AL.BH AB

AH AC (2). BH BE

CL CF BE (1) ; AL AB AB      BAE CAF ; BAF CAE

  

    BAD CAD ; HAD LAD

  

 22 BH.CH HD

BL.CL LD

 BAC

3

m hc m

3

    

2 ; m m        m 1 m          ; m m

  

 

 

2

1 3 m 3 m 0.

3 3

m

           

1 ; m m

  

 

 

2 m

1 1. m         

 12         4 m m

2 2

m

2 ; m m

  

 

15 qua D nên đưa lời giải thiếu xác ! Một số bạn khác sử dụng cơng thức tính diện tích tam giác chứng minh hệ thức cho

Sau bạn giải ngắn gọn : Nguyễn Hoàng Duy, 9D, trường Hà Nội - Amsterdam, Hà Nội ; Nguyễn Trung Kiên, 9C, THCS Vĩnh Yên ; Ngơ Thị Bích Phượng, 9A, THCS n Lạc, Vĩnh Phúc; Vũ Hoàng Chi, 9A, THCS Hàn Thuyên, Lương Tài ; Đỗ Thị Lan, 9B, THCS huyện Từ Sơn, Bắc Ninh ; Tạ Hồng Sơn, 9A3, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ; Vũ Hồng Chiến, 9A1, THCS Vũ Hữu, Bình Giang, Hải Dương; Hoàng Minh Thắng, 9C ; Mai Văn Minh, 9G, THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh, Nghệ An ; Hồ Hào Quang ; Bùi Quốc Thái, 9C, THCS Hoàng Xuân Hãn, Đức Thọ, Hà Tĩnh ; Nguyễn Như Quốc Trung (A) ; Nguyễn Như Đức Trung, 9/1, THCS Lý Thường Kiệt, quận Hải Châu, TP Đà Nẵng ; Võ Văn Tuấn, 8A5, THCS Nguyễn Du, KRông Buk, Đắk Lắk; Võ Thái Thông, 9/4 THCS Ngô Gia Tự, Cam Ngha, Cam Ranh, Khỏnh Hũa

nguyễn văn mạnh

Bài 5(22) : Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn tâm O có bán kính Một đường thẳng qua O cắt hai cạnh AB AC M N Kí hiệu S(AMN) diện tích tam giác AMN

Chøng minh r»ng :

Lời giải : Trước hết xin phát biểu (không chứng minh) nhận xét quen thuộc : “Nếu ABC A’B’C’ có

khi ”

Trở lại việc giải toán Gọi H giao cđa BO vµ AC ; K lµ giao cđa CO AB Qua O kẻ đường thẳng song song với BC, đường thẳng theo thứ tự cắt AB, AC t¹i E, F

Có hai trường hợp xảy

Trường hợp :M thuộc đoạn BE ; N thuc

đoạn FH

+ Nếu M trùng E th× N trïng F, ta cã : S(AMN) = S(AEF) =

(tính tốn cụ thể xin dành cho bạn đọc)

+ NÕu M trïng B th× N trïng H, ta cã : S(AMN) = S(ABH) =

(tính toán cụ thể xin dành cho bạn đọc) + Nếu M khác E M khác B :

MO > EO = FO > NO Do đó, theo nhận xét ta có :

VËy :

(Xem tiÕp trang 26)

 

3 S(AMN) 3.

3

S(OBM) OB.OM OM

b) 2.1

S(OHN) OH.ON ON S(OBM) S(OHN)

S(OBM) S(AMOH) S(OHN) S(AMOH) 3 S(ABH) S(AMN) S(AMN)

8

   

 

   

   

S(OEM) OE.OM OM

a)

S(OFN) OF.ON ON S(OEM) S(OFN)

S(OEM) S(AEON) S(OFN) S(AEON) S(AMN) S(AEF) S(AMN)

3

  

 

   

   

 o  o

(v× MEO 90 ; FNO 90 ).  3

8 3

S(ABC) AB.AC S(A'B'C') A 'B'.A'C'

 

BAC B'A'C',

 

3 S(AMN) 3.

3

ABC

S AB.BC.sinA

16 Dịp ấy, thám tử Sê-Lốc-Cốc dành nửa tháng để nghỉ ngơi bên bờ biển Ông nghỉ khách sạn Hoa Sen sáng dậy sớm, bộ, ngắm bình minh biển Nhưng sáng hơm trời mưa, khơng dạo nên thám tử ngồi xem vô tuyến phòng Mãi đến 30 trời tạnh hẳn Thám tử bước ban cơng hướng phía biển Ơng thấy người bắt đầu lúc đông em nhỏ lại xuất với trò chơi thả diều quen thuộc

Đang ngắm cánh diều mn màu bay gió, thám tử thấy xe cảnh sát chạy đến đỗ cửa khách sạn Hoa Hồng Bạch “Có chuyện xảy rồi, sang xem !” - Thám tử thầm nghĩ Quả thực, sang đến nơi, thám tử biết vụ cướp vừa xảy khách sạn Vụ cướp xảy lúc sáng Khi cô hầu Sa-ra mang bữa sáng vào phịng 23 cho ơng A-lếch bị kẻ cơng từ phía sau Hắn đánh mạnh vào gáy làm bất tỉnh Lúc đó, ơng A-lếch nhà tắm nên khơng biết Tắm xong, quay thấy cô Sa-ra bất tỉnh, cặp tài liệu ông để giường khơng cánh mà bay Ơng vội kêu “Cướp ! Cướp !”

Thám tử bước vào phòng 23 quan sát Căn phòng sẽ, giường trải ga trắng tinh Trên giường, chăn gối xếp ngắn Chiếc vô tuyến nhỏ đặt

bàn, bên cạnh lọ hoa tươi Chiếc bàn ăn kê gần cửa, bàn cịn ngun bữa sáng ơng A-lếch đặt khay nhơm Góc phịng có tủ lạnh nhỏ Phía cuối phịng có cửa bước ban cơng

Hoa Hồng Bạch khách sạn nhỏ, có phòng : tầng hai tầng ba Tầng gồm nhà ăn chung, phòng bà chủ Lây-si (một phụ nữ góa chồng), phòng ba cô hầu (Sa-ra, Pet-ty, Lu-xi) nhà bếp

Bà chđ L©y-si kĨ :

- Tất người khách sạn có mặt Dạo khách sạn vắng khách, có phịng có khách thơi Đây ơng Tơ-ni phịng 21, ơng A-lếch phịng 23, ơng Giơn - phịng 24 hai vợ chồng ơng Lê-nơ phịng 31 Các phịng 22, 32, 33, 34 trống Riêng phòng 22 hai người đàn ông thuê hôm trước không hiểu sáng sớm họ trả vội vã Lúc xảy vụ án, hai cô hầu Pet-ty Lu-xi nấu ăn bếp Có lẽ, kẻ đột nhập vào khách sạn chng ?

Một cảnh sát nói :

- Đề nghị người cho biết làm lúc xảy vụ án ? Nào, mời ơng A-lếch nói !

- Tơi đến vụ làm ăn tài liệu bị hết Chỉ hay tắm lâu Tối qua, dặn cô

17

l KÕt qu¶ :

(TTT2 sè 22)

VỤ MẤT TRỘM Ở

Sa-ra mang bữa sáng vào phịng mở cửa chìa khóa dự phịng khách sạn, đề phịng tơi tắm, khơng mở cửa Khơng ngờ

C« Sa-ra kĨ víi giäng nãi u :

- Đúng vậy, gõ cửa lúc không tự mở chìa khóa dự phòng Nào ngờ, vừa mở Đây, ngài xem, chìa khóa cßn ë ỉ

- Được rồi, cịn ơng Tơ-ni ? - Thám tử hỏi - Tơi ? Lúc tơi xem TV Khi nghe tiếng ông A-lếch kêu, chạy sang

- Cịn tơi - Ơng Giơn nói ln - sáng xem bọn trẻ thả diều Hôm vậy, từ sáng sớm tơi đứng ngồi ban cơng ngắm bọn trẻ thả diều, đến tận nghe tiếng kêu bước vào để chạy sang

- Lúc chồng ngủ - Cô Ma-ri, vợ ông Lê-nô nói - dậy sớm xem phim TV Xem hết phim, ban công ngắm bọn trẻ thả diều, chúng làm nhớ lại thời thơ ấu

- D tha cũn chi tiết - Cô Sa-ra xen ngang - Sau trả phòng lúc, hai vị khách phòng 22 quay lại, nói qn đồ Vì bận nên tơi đưa chìa khóa phịng 22 cho họ Lát sau, thấy chìa khóa phịng 22 bàn lễ tân nên nghĩ họ khơng nghi ngờ

- Đủ ! - Thám tử nói - Qua lời khai người, biết thủ phạm Chúng tưởng đặt hồn hảo thực cịn sơ hở - Ngài nói “chúng”, thủ phạm người ? - Một cảnh sát hỏi

Thám tử đáp :

- Đúng thế, bọn chúng gồm hai người, Đố thám tử “Tuổi Hồng” : thủ phạm gây vụ cướp khách sạn Hoa Hồng Bạch ?

Tên Đê-vít đinh ninh tạo trường giả thật hồn hảo Hắn vơ bất ngờ bị thám tử Sê-Lốc-Cốc vạch sơ hở mà không nghĩ tới…Và hẳn bất ngờ biết tất thám tử “Tuổi Hồng ” nhanh chóng lỗi nghiêm trọng :

lĐÃ tuần trời nắng ráo,

sẽ…Vậy, trường lại có vết giày dính bùn đất bê bết ?

lKÝnh cưa sỉ bị đập vỡ

nền nhà lại mảnh kính vụn, chứng tỏ kính bị đập từ phía nhà, từ bên

lNu trộm đột nhập

ch¾c ch¾n chóng phải phá két sắt, tủ phòng, có chuyện phá ngăn kéo bàn

Phần thưởng kì trao cho năm bạn có làm : Nguyễn Hải Vân, 7A, THCS Nguyễn Trường Tộ, Đống Đa, Hà Nội ; Hoàng Thị Minh Thúy, 7C11, THCS Trần Phú, Lê Chân, Hải Phòng ; Trần Thị Phước Hiền, 8/2, THCS Thành Cổ, TX Quảng Trị, Quảng Trị ; Võ Thị Ngọc Ly, 9/5, THCS Trần Phú, Tam Đàn, TX Tam Kì, Quảng Nam; Đoàn Nhật Long, 6/4, THCS Nguyễn Tri Phương, TP Huế, Thừa Thiên - Huế

18 Chỉ với tập so sánh phân số, em học sinh lớp 6A trường tơi có học thật hiệu Thầy tổng hợp cho trị nhiều phương pháp so sánh phân số ; trị chủ động đưa nhiều cách giải hay, sáng tạo Sau tơi xin trình bày vắn tắtcác cách giải hc sinh

Đề :HÃy so sánh hai phân số

Lời giải :

Cách (của bạn Ngun Ngäc Huy): XÐt hiƯu

(do n > 1) VËy B A > hay B > A C¸ch (của bạn Trần Việt ánh): Ta có

n ta thấy A B có tử số số dương (nn+ 1)(nn 1+ 1), xét hiệu hai mẫu số : (nn + 1+ 1)(nn 1+ 1) (nn+ 1)(nn+ 1)

= nn + 12nn+ nn 1= nn 1(n 1)2> DƠ dµng suy B > A

Cách (của bạn Đặng Huy Nghĩa): Ta có

V× n > nn> nn 1nn+ > nn 1+ Cách (của bạn Ngô Ngọc ánh): Ta cã

Tương tự cách 3, ta chứng minh nB > nA B > A

Cách (của bạn Nguyễn Mai Linh): Sử dụng kết “với b, d dương,

” Ta cã : Vì n > nên suy

Cỏc bn biết phương pháp so sánh hai phân số ? Còn cách giải khác cho tập không ? Xin chờ bạn đọc !

n

n n

n n n n n n

n n

n n

A ; n ; n

n

n

n n n n n A

n n n n n n 1 B.

n                                     a a c

b b d 

a c b d n

n n n

n n n(n 1) n

n.A ;

n n

n(n 1) n

n.B

n n

                

n n

1 n n n n 1 B A. A n 1 n  1 B

                               

n n

n n n

n

n n

1 n n(n 1) (n 1) n n ;

A n n n

1 n n

tương tự, n

B n n

n n n n n n n (n 1)(n 1)

B

n (n 1)(n 1)     

 

  

n n n n n n n (n 1)(n 1)

A ;

n (n 1)(n 1)    

 

  

n n n n n n n n

n 2n n n (n 1) 0

(n 1)(n 1) (n 1)(n 1)

  

 

  

  

   

n n n n

n n

B A

n n

                 

n n

n n

n n

A vµ B (n 1)

n n

u u u u u u u u u u u u u u u

Nguyễn Anh thuấn (Giáo viên trường THCS Trần Văn Ơn, Hồng Bàng,

19

(TTT2 số 22) Có 22 võ sĩ nhận lời thách đấu, võ sĩ

giải sai, 19 võ sĩ cho lời giải khơng hồn chỉnh (chỉ xem xét lời giải dành cho THCS) Xin giới thiệu lời giải hoàn chỉnh kèm theo bình luận cần thiết để khẳng định tính xác kết luận Lời giải :Ta nhận thấy, cho trước tam giác MAB thỏa iu kin

thì tồn điểm C cho M n»m tam gi¸c ABC

vµ NhËn xÐt nµy

cho phép ta khẳng định : Chỉ có (sai khác phép đồng dạng) tam giác ABC thỏa mãn điều kiện đầu Nói cách khác, có hai tam giác thỏa mãn điều kiện đề hai tam giác đồng dạng với

Ta bắt đầu giải tốn với hình vẽ tam giác ABC (duy thỏa mãn điều kiện đề bài)

Xác định điểm N nằm tam giác MBC cho Gọi E giao điểm BN MC

Dễ thấy : NMB tam giác cân suy NB = NM ;

MNBA hình thang c©n MA = NB

VËy MA = NM (1); EBC cân E (2) Do

nên

Vậy (3)

Từ (1) (3) suy AME = NME (c.g.c)

Tõ (2), víi ta có tam giác ABC cân A

(Xem tiÕp trang 21)

  o

BEA CEA ( 120 ) 

  

 

o o o o AEM NEM 60 BEA 120 CEA 120 (do BEC 120 )

    

  

  AME NME



  

o o o

o o

Mặt khác AMN 180 20 160 AME 360 NME AMN 100

  

    

 o o o o

NME 180 60 20 100

 o  o  o

BEM 180 BEC 60 ; MNE 20 

 o

BEC 120 

   o  

EBC MBC NBM 30   EBC ECB

   o

MNE ABN MAB 20  

  o

NBM NMB 10  

 o  o

MCB 30 ; MBC 40  

 o

MAB 20

 o

MBA 10 ;

l Người thách đấu : Lương Thế

Vinh, 10A1, Khèi phổ thông Chuyên Toán-Tin, ĐHSP Hà Nội

l Bi tốn thách đấu : Cho tam

gi¸c ABC C¸c điểm M, N, P theo thứ tự thuộc đoạn BC, CA, AB Các điểm X, Y, Z theo thứ tự thuộc đoạn NP,

PM, MN Biết YZ, ZX, XY theo thø tù song song víi BC, CA, AB

Chøng minh r»ng

lXuÊt xø :S¸ng t¸c

lThời hạn nhận thách đấu :

20

KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

NHỮNG SAI LẦM THƯỜNG GĂÏP

Khi giải phương trình mà ẩn nằm dấu thức (phương trình vơ tỉ), số học sinh chưa nắm vững kiến thức thức phép biến đổi tương đương phương trình nên thường mắc phải số sai lầm Bài viết nhằm giúp bạn học sinh lớp tránh sai lầm !

VÝ dơ :

Giải phương trình Lời giải sai :Ta có

Nhận xét :Rõ ràng x = 3 khơng phải nghiệm phương trình

Ghi nhí r»ng :

Ví dụ :Giải phương trình Lời giải sai :

Nhận xét : Rõ ràng x = 3 nghiệm phương trình

Ghi nhí r»ng :

Ví dụ :Giải phương trình Lời giải sai :

Vậy phương trình cho vơ nghiệm Nhận xét : Các bạn nghĩ phương trình cho thực có nghiệm x = 7 ?

Ghi nhí r»ng :

Như lời giải bỏ sót trường hợp A  ; B < nên nghiệm x = 7

Ví dụ :Giải phương trình Lời giải sai :Ta có

2 x x 2x 4x 16 x x 2x 4(x 4)

x x 2x

x 2x

                           

2 x 4  x 1  2x 3  4x 16.

          

A A ; B <

A B

B A A ; B > 0 B x x      

x 2x x

2x x 2  

        



2x 1 2x 1

x x

    

 

2x x 2 

2 B A B

A B        2

x x

x (x 2) x x 4x x

x x 0 x

x(x 3) x

x                                          

x x 2  

x x 2.   B

A A B

B           

x x

(x 3) x

x x

 

   

     

  



(x 3) x 0.  

21 Vậy phương trình cho có nghiệm x = Nhận xét : Ta thấy x = không nghiệm phương trình cho

Ghi nhí r»ng :

Ví dụ :Giải phương trình Lời giải sai :

Phương trình tương đương với :

Căn thức có nghĩa x 3 Khi ta có :

Do phương trình vơ nghiệm

Nhận xét :Có thể thấy x = nghiệm Việc chia hai vế cho làm nghiệm Mặt khác cần ghi nhớ :

Do lời giải phải bổ sung trường hợp 0 trường hợp x < Khi x < phương trình viết v dng :

Vì > nên chia hai vÕ cho ta cã : Víi x < th× :

Do x < khơng thỏa mãn phương trình Cuối phương trình có nghiệm x =

Mong bạn trao đổi thêm vấn đề x x 1 x 2 x x. x x

   

      



   

1 x  x x.  

x  x



x x x x x x

       

x

A B A ; B A.B

A B A ; B

  

  

   



x

x x x x

x x 2 x

   

 

  



     

x x x x 2 x x x x 2 x

    

     

x(x 1)  x(x 2) x(x 3).   A

A B A C

B C  

     

 x x 2. 

   (TiÕp theo trang 19)

Lời bình : 1) Lời giải khơng coi hồn chỉnh khơng có đoạn phân tích ban đầu nhằm khẳng định : Chỉ có (sai khác phép đồng dạng) tam giác ABC thỏa mãn điều kiện đầu 2) Nhiều võ sĩ nhận xét rằng, toán Đề thi Vơ địch Tốn tồn nước Mĩ (USAMO) 1996 lời giải đáp án dùng phương pháp lượng giác (xem “Tuyển tập toán từ thi Mĩ Ca-na-đa” tác giả Vũ Dương Thụy - Nguyễn Văn Nho, toán 246)

3) Lời giải đáp án dùng phương pháp lượng giác nói lời giải khơng phụ thuộc hình vẽ Chính vậy, lời giải đương nhiên không xảy vấn đề tam giác ABC thỏa mãn điều kiện đề có “duy nhất” hay “khơng nhất” phân tích

4) Chính lí mà tơi khơng thể tìm võ sĩ đăng quang trận đấu

22

giải toán máy tính điện tử casio năm 2005

Thể lệ thi

Đối tượng dự thi : Tất học sinh bậc THCS THPT

Hình thức dự thi : 12 đề thi đăng số tạp chí Toán Tuổi thơ từ tháng đến tháng 12 năm 2005 Mỗi đề thi gồm bài, có trung bình (ngang với thi học sinh giỏi cấp tỉnh, thành phố khu vực) tương đối khó (mang đậm chất tốn hơn) Thời hạn : 30 ngày kể từ ngày 15 (thỏng cụng b thi)

Địa gửi :

Tạp chí Toán Tuổi thơ, 187B, Giảng Võ, Hà Nội

Bài dự thi hợp lệ : Ngoài phong bì phải dán phiếu dự thi (cắt từ tạp chí)

Các không thuộc phạm vi thi không bỏ chung phong bì

Gii thng

Giải thưởng cho kì : Mỗi kì 10 giải, trị giá giải 50.000 đồng

Giải thưởng cho năm 2005(trên sở tổng điểm dự thi 12 kì năm) : lBa giải Nhất :mỗi giải trị giá 1.000.000 đồng lSáu giải Nhì :mỗi giải trị giá 600.000 đồng lChín giải Ba :mỗi giải trị giá 300.000 đồng lMười hai giải khuyến khích :mỗi giải trị

giá 100.000 đồng

Các bạn giải nhận Bằng chứng nhận Ban Tổ chức Huy hiệu Tốn Tuổi thơ

Ngồi ra, Ban Tổ chức trao Giải Đồng đội cho nhà trường, Phòng Giáo dục, Sở Giáo dục Đào tạo có nhiều học sinh tham gia thi

§Ị thi

Các thầy giáo, bạn học sinh bạn u Tốn Tuổi thơcó thể gửi đề thi (phải kèm theo đáp án) Đề sử dụng ghi tên tác giả hưởng chế độ nhuận bút Đề thi nên tập trung vào vấn đề sau : lSử dụng thành thạo máy tính điện tử b tỳi (MTTBT)

lPhát huy vai trò tích cực MTĐTBT học toán môn học khác (bËc Trung häc C¬ së)

l Sử dụng sáng tạo MTĐTBT (sử dụng sáng tạo phím bấm để giải toán nhanh, giải nhiều dạng toán mà nhà thiết kế khơng lập trình trước)

lVai trß cđa MTĐTBT nâng cao tìm hiểu sâu kiến thức toán học bậc Trung học Cơ sở

lMTĐTBT toán thực tế

phiặu dỳ thi

Cuộc thi giải toán máy tính CASIO

Họ tên :

23

(Bài giải gửi trước ngày 16-03-2005)

Bµi 1.Cho

1.1.Tính máy giá trị A 1.2.Tính xác giá trị A Bài Một người mua nhà trị giá hai trăm triệu đồng theo phương thức trả góp Mỗi tháng trả ba triệu đồng

2.1.Sau trả hết số tiền 2.2.Nếu phải chịu lãi suất số tiền chưa trả 0,04% / tháng tháng kể từ tháng thứ hai trả ba triệu sau trả hết số tiền Bài Điểm kiểm tra mơn tốn lớp 9A 9B thống kê sau (n điểm số, bảng số học sinh đạt điểm n) :

3.1.Tính điểm trung bình mơn học hai lớp Tính phương sai độ lệch chuẩn

3.2.Gọi 3, điểm yếu ; 5, điểm trung bình ; 7, điểm 9, 10 điểm giỏi Tính tỉ lệ phần trăm số học sinh đạt điểm yếu, trung bình, khá, giỏi hai lớp Kết luận

Bµi

4.1.Tìm chín số lẻ dương khác n1, n2, , n9thỏa mãn :

4.2 Tồn hay khơng sáu, bảy, tám số lẻ dương có tính chất ?

Bµi

5.1.Chứng minh phương trình Pell x22y2= có nghiệm ngun dạng : xn= 3xn1+ 4yn1; yn= 2xn1+ 3yn1, với n = 1, 2, x0= ; y0=

5.2.LËp quy trình tính (xn; yn) tính với n = 1, 2, tràn hình

Bài 6.Cho ngũ giác có cạnh độ dài a1 Kéo dài cạnh ngũ giác để ngơi năm cánh có mười cạnh có độ dài cạnh b1 Các đỉnh lại tạo thành ngũ giác Tiếp tục trình ta dãy ngũ giác lồng

XÐt d·y :

S = {a1, b1, a2, b2, } = {c1, c2, c3, c4, } 6.1 Chứng minh phần tử dãy S tổng hai phần tử đứng trước 6.2.Chứng minh cn= un2a1+ un1b1, với un số hạng dãy Phi-bô-na-xi, tức dãy F = {1, 1, 2, 3, 5, , un+1= un+ un1}

6.3 BiÕt a1= LËp mét quy trình máy Casiotính anvà bn Tính anvà bncho tới tràn hình

1 1 1. n n  n  847 847

A 6

27 27

   

24

Thêm ví dụ về SỰ PHÁT TRIỂN KT QU

nguyễn minh hà(ĐHSP Hà Nội)

& Nguyễn Đễ(Hải Phịng) (Tiếp theo kì trước)

Bài tốn :Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Các đường phân giác xuất phát từ đỉnh A, B, C tam giác cắt (O) A1, B1, C1 Gọi S diện tích tam giác ABC S0 là diện tích phần giao hai tam giác ABC, A1B1C1

Chøng minh r»ng : S0 S

Lời giải : Dễ thấy phần giao hai tam giác ABC A1B1C1là hình lục giác, kí hiƯu lµ MNPQRU

Gọi I giao điểm AA1, BB1, CC1ta có UP, NR, QM đồng quy I theo thứ tự song song với BC, CA, AB (kết quen thuộc)

Đặt Sa, Sb, Sc diện tích tam giác IMN, IPQ, IRU ; S’a, S’b, S’c diện tích hình bình hành IQAR, IUBM, INCP Ta có :

Sa+ Sb+ Sc+ S’a+ S’b+ S’c= S (1)

Theo BT7 ta l¹i cã : Sa+ Sb+ Sc S (2) Tõ (1) vµ (2) suy :

2(Sa+ Sb+ Sc) + (S’a+ S’b+ S’c)  S Sa+ Sb+ Sc+ (S’a+ S’b+ S’c)  S S0 S Đẳng thức xảy I trọng tâm tam giác ABC Tam giác ABC có trọng tâm trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp Tam giác ABC tam giác

lTrước kết thúc viết, xin giới

thiệu thêm với bạn toán nằm mạch phát triển kết trên, coi tập rèn luyện khả phát triển kết Bài toán 10 :Cho tam giác ABC, điểm M nằm tam giác A’, B’, C’ điểm đối xứng A, B, C qua M Gọi S diện tích tam giác ABC S0 diện tích phần giao hai tam giác ABC, A’B’C’

Chøng minh r»ng : S0 S

Bài tốn 11 : Cho hình thang ABCD (AB // CD) Các điểm M, N chạy đáy AB, CD ; MC cắt NB P ; MD cắt NA Q Tìm vị trí M N cho S(MPNQ) lớn

Bài toán 12 : Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Các đường phân giác xuất phát từ đỉnh A, B, C cắt (O) theo thứ tự A1, B1, C1 Gọi S1là diện tích tam giác A1B1C1; S2là diện tích phần giao hai tam giác ABC, A1B1C1

Chøng minh r»ng : S2 23S1

3

2

2

4 3

25

(TiÕp theo trang 3) Ta cã : (**)

NÕu a2b2c2(Py-ta-go) NÕu ta chứng minh :

a2< b2c2 (1) Nếu ta chứng minh :

a2> b2c2 (2)

Việc dự đốn chứng minh dẫn tơi đến kết (1), (2), mở rộng định lí Py-ta-go Đảo lại định lí Py-ta-go kết (1), (2) Chứng minh (1) : Tam giác ABC có

Kh«ng mÊt tính tổng quát, giả sử (hình 4)

Gọi H hình chiếu vuông góc C AB H phải thuộc đoạn thẳng AB (H khác A H kh¸c B) Suy :

BC2BH2CH2(BA AH)2AC2AH2 AB2AC22.AB.AH < AB2AC2

a2< b2c2

Chøng minh (2) : Tam giác ABC có (hình 5)

Gọi H hình chiếu vuông góc C AB A phải nằm B H Suy : BC2BH2CH2(BA AH)2AC2AH2 AB2AC22.AB.AH > AB2AC2 a2> b2c2

Liệu lại có cơng thức bao trùm định lí Py-ta-go mở rộng khơng, bạn thử tìm xem ? Và bạn quan tâm nhiều câu hỏi, thắc mắc chờ giải đáp

Các bạn thấy đấy, với cách học phát mối quan hệ khăng khít khái niệm, kiến thức Tốn học ; chủ động phát chứng minh kiến thức mà không thiết phải chờ thầy dy

Chúc bạn thành công

o

A 90

o B 90

 o

A 90 

2 2 2

a a

b c a 0 m a 0 m a.

2

 

      

 o

A 90 ,

2 2 2

a a

b c a 0 m a 0 m a.

2

 

      

 o

A 90 ,

2 2 2

a a

b c a 0 m a 0 m a.

2

 

      

 o

A 90

2 2 2

a

a b c a

m

4  

  

H×nh

26

(TiÕp theo trang 15)

M trùng E N trùng F ; M trùng B N trùng H Trường hợp :M thuộc đoạn EK ; N thuộc đoạn CF Tương tự trường hợp 1, ta có :

M trùng E N trùng F ; M trùng K N trùng C Kết hợp hai trường hợp ta có :

M trïng E vµ N trïng F ;

Nhận xét : 1) Bài có 22 bạn tham gia giải, tất giải Tuy nhiên số bạn có lời giải sơ sài dài dòng 2) Bài dễ để có lời giải hồn chỉnh, gọn gàng lại chuyện dễ

3) Ngồi phương pháp hình học trên, số bạn cịn có lời giải phương pháp đại số thông qua đẳng thức :

4) Các bạn sau có lời giải tương đối tốt : Nguyễn Trung Kiên, 9C, THCS Vĩnh Yên, TX Vĩnh Yên, Vĩnh Phúc ; Võ Thái Thông, 9/4, THCS Ngô Gia Tự, Cam Nghĩa, Cam Ranh, Khánh Hòa ; Trần Cao Nguyên, 9C, THCS Hoàng Xuân Hãn, Đức Thọ, Hà Tĩnh; Bùi Hữu Hải, 9B, THCS Lý Nhật Quang ; Nguyễn Quốc Linh, xóm 12, Đà Sơn, Đơ Lương, Nghệ An

ngun minh hµ

AB AC AM AN 3 



  



M trïng B vµ N trïng H 3

S(AMN)

M trïng K vµ N trïng C

  S(AMN)

3

 

3 S(AMN) 3

3

3  S(AMN)

8   S(AMN)

3

 

3 S(AMN) 3

3

3  S(AMN)

8   S(AMN)

3

Thi giải toán qua thư

l Kì :

27

l Kết : Lch sứ thặ hổi (TTT2 số 22)

Chiền chiện mò cá mệt nhoài Mời cò chén, đem tài khoe

Se sẻ cất tiếng gọi hè Đẻ trứng nhờ vả bạn bÌ Êp thay

ChÌo bỴo thi giäng hãt hay

Được vào chung kết đoạt giải đầu Cun cút khoác cánh nâu

Ch nc ln gọi vang lừng Dồng dộc lặn ngụp bưng Bắt cá lớn vui mừng chia

Cồng cộc treo tổ cao Có đàn ong hỏi cho kt thõn

Bìm bịp cắm cúi sân

Nhặt đậu lượm thóc nhà gần bay quanh Tu hỳ nhy nhút tht nhanh

Tìm mồi bÃi, chuyền cành chẳng quen Le le mỏ sắc, lông đen

Trời chưa sáng tỏ kêu lên rộn ràng Choi choi đuôi cộc gọn gàng Gặp nguy, bụi rậm lẹ làng lủi vô

Trng Hi (33A, quc l 60, khu phố 1, TP Mỹ Tho, Cần Thơ) Nhà điểu học người chuyên

nghiên cứu loài chim, am hiểu đời sống, tập tính chúng Trong thơ đây, nhiều lồi chim có mặt, chúng bị đặt sai chỗ Các bạn sửa lại cho thật để xem trở thành nhà điểu học khơng ?

Lịch sử vận hội có nhiều “chi tiết chưa ổn” :

- ñy ban Olympic quốc tế tên viết tắt ISO (mµ lµ IOC)

- Nguồn gốc Đại hội thể thao Olympic người La Mã cổ đại (mà người Hy Lạp cổ đại)

- Người coi “cha đẻ Olympic đại” Robetto Baggio (mà Pierre de Coubertin)

- Ngọn lửa thiêng nghi thức khai mạc không lấy cách đốt 99 thứ dầu thơm lấy từ đỉnh Olimpia ấn Độ chuyển qua đường bưu điện (mà lấy cách hội tụ ánh sáng mặt trời từ đỉnh Olimpia Hy Lạp, rước qua nhiều quốc gia đến thắp sáng đài lửa nơi tổ chức Lễ khai mạc)

- Lá cờ Thế vận hội khơng gồm năm vịng trịn đỏ, da cam, lục, lam, tím, tượng trưng cho ngày thi đấu (mà màu : đỏ, vàng, xanh nước biển, xanh cây, đen ; tượng trưng cho châu lục giới)

- Thế vận hội đại không tổ chức từ 1886 (mà từ 1896 tổ chức 24 lần ; Thế vận hội có số vận động viên tham gia nhiều Atlanta - 1996 với 10744 người) ; Thế vận hội Sydney - 2000 có 26 mơn thi

- ViƯt Nam không tham gia Thế vận hội lần đầu năm 1916 (mà năm 1956)

- Trong kỡ i hi đó, Việt Nam khơng thi đấu cờ tướng, không giành Huy chương vàng (mà đến năm 2000 giành Huy chương bạc môn Tê-cơn-đơ)

Năm bạn giải kì : Phạm Thanh Đông, 9B1, THCS Vạn Sơn, Đồ Sơn, Hải Phịng; Ngơ Tấn Kha, 7C, THCS Hùng Vương, TX Tuy Hòa, Phú Yên ; Kiều Thùy Dương, 7C, THCS Phùng Hưng, TX Sơn Tây, Hà Tây; Nguyễn Thị Hà Lan, 8A, THCS Đặng Thai Mai, Vinh, Nghệ An ; Bùi Ngọc Sơn, 8B, THCS Từ Sơn, Bắc Ninh

28

Trần Đăng Khoa :

Anh chẳng tin đời lại có Thánh thần hay Ma quỷ Nhưng hồn cảnh đặc biệt đó, người cảm thấy yếu đuối, bất lực, lại mù quáng tin vào lực siêu nhiên Anh trải qua khoảnh khắc buồn cười Chuyện anh kể phần Đảo chìm mà em đọc Đó chuyện thật mà anh khơng bịa đặt, hư cấu Bây anh xin kể tiếp phần mà sách không đề cập đến Bắt đầu từ Thiêm, cậu lính trẻ đảo mang chăn biển giặt Thế bất ngờ, sóng đến, chăn xa Thiêm nhào xuống vớt chăn Túm mảnh chăn Thiêm khơng cịn sức bơi vào đảo Nghe tiếng kêu cứu Thiêm, Trung đội trưởng xuống ứng cứu Rồi Chính trị viên, Đảo trưởng Lần lượt bảy người Cả bảy cá kình bị sóng Đảo báo động khẩn cấp Tàu trực chiến quần lượn suốt ngày trời vớt sáu người lính trơi dạt Cịn Thiêm chẳng thấy đâu Sang đến ngày thứ tám, bọn anh đinh ninh Thiêm chết Theo kinh nghiệm người biển lâu năm, người chết đuối, xác thường dạt vào bãi Bọn anh lần đến bãi Rồi điện cho đảo lân cận, báo cho đồng đội tham gia tìm kiếm Con tàu tiếp tục Đi xa Và cuối cùng, bọn anh dạt lên hịn đảo đá khơng có người Một vách đá sừng sững trường thành Nép bên vách đá miếu thờ thủy thần Trời nắng Nhưng miếu lạnh toát lúc

cũng âm âm tối Trên bệ thờ, xấp tiền giấy xếp chồng lên nhau, dày đến hàng gang tay Không phải tiền âm phủ Mà tiền thứ thiệt Thơi đủ loại Lớp tiền phía mủn ra, hóa mùn Có lẽ người dân chài, hay cánh di tản qua đây, cúng thủy thần, cầu mong ngài phù hộ thuận buồm xi gió ? Đại tá Nguyễn Văn Định, Trưởng phịng Tun huấn Hải qn kêu lên : “Phí q cậu ! Cả gia tài tự tiêu hủy” Anh bảo Trưởng phòng Tuyên huấn : “Hay ta mang số tiền cho trại trẻ mồ cơi Một đống tiền mà bỏ uổng Dân nhiều người cịn đói” Anh Định nghĩ làm phải Nhưng rồi, anh anh Định, chẳng nghĩ đến việc lựa chọn đồng tiền tiêu được, nghe tiếng gió u ú rú lên hốc đá sau miếu Ngoài kia, biển mù mịt sóng Con tàu lấp liếng trao lắc, trơng mỏng manh vỏ đỗ “Cậu có mang theo tiền khơng ?” Anh Định nhiên hỏi anh Anh thực lúng túng Đi biển có tiêu đâu mà mang theo tiền Anh chẳng có đồng Anh Định Anh lặng lẽ lục khắp túi Rồi đột ngột, anh rút bao thuốc hút dở, đặt lên bệ thờ Anh rùng Mồ túa lạnh ngắt Bắt chước anh Định, anh trịnh trọng đặt bút, sổ tay đồng hồ lên bệ thờ Lúc 13 17 phút chiều ngày 17 tháng năm 1981 Anh kẻ mê tín Anh Định anh Bọn anh không tin, không tin đời lại có ma quỷ hay thánh thần

Anh Khoa ¬i !

Anh có tin có thánh thần hay ma quỷ không ? Em thấy nhiều người bói

Hà An (Trường THPT Bán cơng n Khánh, Ninh Bình) Em đọc tập truyện “Đảo chìm” anh Truyện cảm động Đấy chuyện thật hay hư cấu ? Thực đời, số phận anh Thiêm ?

Lễ Giáng sinh - bao điều thú vị chờ đón : SOCK - Chiếc tất (chứa nhiều quà mà Ông già Noel mang tặng bạn nhỏ) ; CHURCH -Nhà thờ (nơi tổ chức buổi lễ thiêng liêng vào đêm Noel) ; PARTY -Buổi tiệc vui vẻ với người thân bạn bè ; PINE Cây thông ; PRESENT -Quà tặng ; SANTA CLAUS - Tên gọi khác Ông già Noel ; HYMN - Bài thánh ca ; VACATION - Kì nghỉ ; SNOW - Tuyết

Chủ Vườn mong muốn dịp Giáng sinh bạn nhận thật nhiều quà tặng người thân yêu q thật ý nghĩa - quà ý nghĩa kết học tập tốt với thật nhiều niềm tin yêu người

Chủ Vườn hi vọng tặng quà cho tất bạn Toán Tuổi thơ Lần này, năm đại diện nhận quà : Nguyễn Văn Mạnh, 6C, THCS Vĩnh Tường, Vĩnh Phúc; Nguyễn Thị Thảo, 8A3, THCS Lương Khánh Thiện, Kiến An, Hải Phòng; Trần Thu Thủy, 9E, THPT Hà Nội - Amsterdam, Hà Nội; Nhóm M&E, 8G, THCS Đặng Thai Mai, Vinh, Nghệ An; Nguyễn Thị Hà Cẩm, 72, THCS Lê Văn Thiêm, TX Hà Tĩnh, Hà Tĩnh Chúc mừng cảm ơn bạn

Chủ Vườn 29

l K× nµy : nÜI C„U GƯ ?

á chù GiŸng sinh

l KÕt qu¶ : (TTT2 sè 22)

An từ tiếng Anh nào, Bình hỏi nghĩa câu tiếng Anh An lại trả lời Hỏi Bình hỏi An nghĩa câu tiếng Anh ?

30

l Kết :

l Kì : (TTT2 sè 22)

Cười ? Cần ?

Th¸nh chØ :

Khi vui ta mở miệng cười Cười ta chúm chím mơi để cười ?

Cười muốn đứt ? Cười mà lại hồi giịn tan ?

Cười nghe thấy tràng ? Cười đợt làm bàn rung rinh ?

Cười khối trá ? Cười lớn tiếng liếc nhìn trêu ?

Cười căng thẳng xua mau ? Cười thích câu pha trị ?

Cười chẳng dám cười to ? Cười miệng “tỉnh tị” đưa dun ?

Cười cách hồn nhiên ? Cười kín đáo nét riêng nàng ?

Cười nén nỗi thù hằn ?

Cười nhếch mép để tăng coi thường ? Cười giận cịn vương ? Cười tiếng khẽ dường khơng vui ?

Cười để lấy lịng thơi ? Cười giả dối người đời khinh chê ?

Cười với bạn thỏa thuê ? Cười để tránh người hỏi ?

Lê Thị Hải Yến (8A, THCS Hồ Xuân Hương, Quỳnh Lưu, Nghệ An)

Cần Vươnglừng lẫy phong trào Cần cẩunhấc bổng thứ xong

Cần sagây nghiện nên phịng Cần thiếtkhơng thể thiếu đời

Cần kiệmBác dạy người Cần câucâu c cỏ ti, reo mng

Cần tâyxào nấu thơm lừng Cần cùbù tài học hành

Cần kípphải thật nhanh

Cần mẫnmải miết tập tành không ngưng Cần Thơthành phố tưng bừng Cần Giờmột huyện Sài Gòn

Nm thn dõn gii rt ngon Cần nhận quà gấp để khao !

Ban thưởng : Vũ Thùy Linh, 8A, THCS Ngô Gia Tự, TP Hải Dương, Hải Dương ; Lê Thanh Huyền, 8C, THCS Yên Phong, Yên Phong, Bắc Ninh ; Nguyễn Thị Hà Cẩm, lớp 7/2, THCS Lê Văn Thiêm, TX Hà Tĩnh, Hà Tĩnh ; Nguyễn Anh Phúc, 40 Bùi Thị Xuân, An Khê, Gia Lai ; Nguyễn Trung Nguyên, 8A1, THCS Độc Lập, TP Thái Nguyên, Thái Nguyên

Hỏi :Ban Giám hiệu vừa có định : “Không học sinh nhận thư từ người khác gửi về, dù thư !” Ban Giám hiệu giải thích : Bọn em học lớp nên viết thư tỏ tình nhiều ảnh hưởng tới học tập Điều Nhưng bố mẹ cơng tác gửi thư bị cấm nhận nốt Chúng em xơn xao thấy định khơng ổn Anh thấy ?

Mét häc sinh

(THCS Yên Lư, Yên Dũng, Bắc Giang)

Đáp :

Thư từ có loại thư Chưa nơi cấm nhận

thế Nhờ Phòng Giáo dục phanh

Kẻo bên hành pháp tay phiền Tỏ tình phải khéo

mà khuyên Lẽ thư nhận chuyên

thư tình ?

Hỏi :“Hắn” khác giới với em Thế mà “hắn” nói : “Mình thích cậu” tun bố với lớp : Ai động vào em đừng trách “hắn” ác Anh thấy ?

TiÓu muéi cầu cứu

(THCS Đông Giang, Thái Bình)

Đáp :

Cho vào viện thần kinh Để xem đầu óc rối tinh kiểu ? Nói “thích” chẳng tội chi Nhưng địi “độc chiếm” tức bị điên (!)

Hỏi :Sau lần em rủ bạn net, bạn mê net từ ngơi chói lọi tốn lớp trở thành học sinh học yếu Bây bạn tí lại “love”, “love” Thậm chí bạn quen nhiều người lạ net Như em người có lỗi phải khơng anh ?

N.M.H (8B1, THCS Trương Cơng Định, Hải Phịng)

Đáp :

Net ! Ơi Net ? Mà lại hóa phép thật tài

th ? Lỗi lỗi ? Tại người : Vào

kh«ng Ra !

Hái : Ta rÌn lun th× IQ tăng, ta không rèn luyện liệu IQ cã tơt xng kh«ng ?

P.T.N (THCS Ngun Trọng Bình, Kỳ Anh, Hà Tĩnh)

Đáp :

Không giữ tụt Cái thÕ em t«i nhí rÌn

Hái : Ti Gà liệu chữ viết có gà bới không ? Em gái mê tín

(Hoàng Cầu, Hà Nội)

Đáp :

Nếu mà suy luận em Tuổi chó biết đem giữ nhà Tuổi rắn chuyên cắn

ngi ta (?) Tui h cng tránh xa,

chø g× ?

Hỏi : Anh Phó ! Tên thật anh đẹp ? Anh cho em biết tên thật anh khơng ?

Tt

(THCS YP, Yªn Phong, Bắc Ninh)

Đáp :

Tờn tht b m đặt cho Dù đẹp hay xấu lo làm ?

Tên đẹp, người chẳng chi Thà tên xấu vinh quy để đời Muốn khoe lắm, em ! Chủ báo lệnh : “Tạm thời

lỈng im !” anh phã

32

Bài 1(24) : Tìm giá trị nhỏ biểu thức a, b, c số thực thỏa mãn điều kiện a b c

Trần Tuấn Anh (Khoa Toán-Tin, ĐHKHTN, ĐHQG TP Hå ChÝ Minh)

a b c

P ,

a b b c c a

  

  

Bµi 2(24) :Tån hay không số nguyên n thỏa mÃn n3+ 2003n = 20052005+ ?

lê võ việt khang(Hà Nội)

Bài 3(24) :Đặt

Chứng minh số nguyên

tống thành vũ(lớp KTVT-B, K41, ĐHGTVT Hà Nội)

A B

1 1

B

1004 x2006 1005x2005 2006 x1004

   

1 1

A ;

1x2 x4 2004 x2005 2005 x2006

    

Bài 4(24) :Cho tam giác ABC có điểm M thuộc BC Gọi E F hình chiếu vng góc M AB AC ; O trung điểm EF ; Q hình chiếu vng góc A đường thẳng OM Chứng minh M chuyển động BC Q ln thuộc đường thng c nh

Vi quốc dũng (ĐHSP Thái Nguyên)

Bài 5(24) :Cho lục giác nội tiếp đường tròn ABCDEF cã AB = AF ; DC = DE Chøng minh :

TS Nguyễn Minh Hà(ĐHSP1 Hà Nội)

1

AD (BC EF)

No more cham - pagne and the Some - times I see how the Seems to me now that the

fire-works off through Here we are me and you feel-ing lost and feel - ing blue It's the brave new world ar-rives And I see how it thrives in the ash-es of our lives Oh dreams we had be-fore are all dead, no-thing more than - fet - ti on the floor It's the

end of the par - ty, and the mor-ning seems so grey So un-like yes-ter-day Now's the time yes, man is a fool And he thinks he'll be o - kay, drag-ging on feet of clay, ne - ver know-end of the de-cade In a - no - ther ten years time, who can say what we'll find, what lies

wait-for us to say Hap - py New Year ! Hap - py New Year ! May we all

have a vi - sion now and then of a world where every neigh-bour is a

friend Hap-py New Year ! Hap-py New Year ! May we all have our hopes, our will to try

If we don't, we might as well lay down and die You and

-ing he's as-tray keeps on go - ing a - ny way Hap-py New -ing down the line, in the end of eigh - ty nine Hap-py New

I You and I

1

2.,3

"Tốn Tuổi thơ khơng đến với học sinh giáo viên Tiểu học Bắc Ninh mà đến với phụ huynh học sinh, đến với Hội Người cao tuổi."

NGƯT Vũ Huy Từ

"Tốn Tuổi thơ thực có tác dụng trường Tiểu học Tạp chí kích thích lịng ham mê học hỏi thày trò Tạp chí đứng tổ chức thi OLYMPIC tinh thần chơi mà học, học mà chơi gây hứng thú cho học sinh để sớm phát bồi dưỡng học sinh có khả năng."

ThS Lê Tiến Thành

"Tốn Tuổi thơ sách giáo khoa thứ hai học sinh Bộ sách giáo khoa thứ dạng tĩnh, sách giáo khoa thứ hai trạng thái động Đứa bé bình thường bốn năm tuổi bi bơ nói, đứa bé có tên Tốn Tuổi thơ có tiếng nói chững chạc Toán Tuổi thơ tờ báo hay báo chí Việt Nam Các anh, chị làm giỏi !"

Nhà thơ Trần Đăng Khoa

NĂM 2004

HỘI NGHỊ CỘNG TÁC VIÊN HỘI NGHỊ CỘNG TÁC VIÊN HỘI NGHỊ CỘNG TÁC VIÊN Chiều 13 tháng năm 2005, tạp chí Tốn Tuổi thơ tổ chức Hội nghị Cộng tác viên tổng kết năm 2004 Gần 150 cộng tác viên xuất sắc dự Hội nghị Hơn năm qua, với ủng hộ cấp lãnh đạo nhiệt tình xây dựng cộng tác viên, bạn đọc nước, Toán Tuổi thơ nhanh chóng trưởng thành làng báo chí Việt Nam Hội nghị nghe báo cáo tổng kết năm 2004 PGS.TS Vũ Dương Thụy, Phó Tổng Giám đốc kiêm Tổng biên tập Nhà xuất Giáo dục đồng thời Tổng biên tập tạp chí ; phát biểu TS Văn Đình Ưng, Phó Chánh Văn phịng Bộ GD-ĐT ; ThS Lê Tiến Thành, Phó Vụ trưởng Vụ Tiểu học, Bộ GD-ĐT ; NGƯT Vũ Huy Từ, Trưởng Phòng Giáo dục Tiểu học, Sở GD-ĐT Bắc Ninh ; NGƯT Võ Ngọc Phan, trường THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh, Nghệ An ; Nhà thơ Trần Đăng Khoa Nhân dịp này, Tổng Giám đốc Nhà xuất Giáo dục tặng Giấy khen phần thưởng cho 17 đơn vị xuất sắc năm 2004 Tạp chí trao Cờ Đơn vị xuất sắc phần thưởng cho đơn vị