Tạp chí toán tuổi thơ 2 kỳ số 41

VÊn ®Ò Ramsey ®­îc më réng theo nhiÒu h­íng kh¸c nhau vµ ®· thùc sù trë thµnh mét ®Ò tµi lín trong to¸n häc.. Xin giíi thiÖu víi c¸c b¹n lêi gi¶i dïng sè Ramsey.. Consider an arbitr[r]

1

l

KÕt qu¶ :

(TTT2 sè 39)(TTT2 sè 39)(TTT2 sè 39)(TTT2 sè 39)(TTT2 sè 39)(TTT2 sè 39)(TTT2 sè 39)(TTT2 sè 39)(TTT2 sè 39)(TTT2 sè 39)(TTT2 sè 39)(TTT2 sè 39)(TTT2 sè 39)

l

Kì :

lTheo hình vẽ trên, ta phải tính diện tích tam giác IGH Bằng trực quan ta thấy E, F trung điểm BH, CGcòn Ilà trung điểm EGvà HF Từ tính

(tức phần tám diện tích viên gạch hoa kích thước 20 cm 20 cm)

lCó nhiều cách để chứng minh kết Sau cách đơn giản

Ta có ABE GHE(g.c.g) ABHG AB// HG Suy Elà trung điểm BH Tương tự ta có Flà trung điểm CG, suy EHFG 10 (cm)

Mặt khác, EH // FG EH HG nên EHGF hình chữ nhật, suy Ilà trung điểm EG HF

Do IGHvà EHGcó chung chiều cao hạ từ H, có đáy IG EGdo Ilà trung điểm EG, suy

l Các bạn thưởng kì Khổng Quốc Hưng, 7A2, THCS Giấy Phong Châu, Phù Ninh, Phú Thọ ; Đoàn Xuân Trung, 7B, THCS Dư Hàng Kênh, Lê Chân, Hải Phòng; Nguyễn Quang Nhân, 6A4, THCS Trần Đăng Ninh, TP Nam Định, Nam Định; Đinh Hồ Thiện Tín, 7A1, THCS Thị Trấn Thốt Nốt, Thốt Nốt, Cần Thơ ; Phùng Ngọc Quý, 7A1, THCS Yên Lạc, Yên Lạc, Vĩnh Phúc

Anh Compa 

10 20 50 (cm ).



  



2 2

EHG

IGH S EH HG

S

20

8SBHGC 

1

2

IGH EHG EHGF

S  S  S

Hãy xác định số chữ số tận

A((3!)!)!biết n! 1 2  n(đọc ngiai thừa)

Nguyễn đình dũng

2

KHAI THÁC TỪ MỘT BÀI TỐN

Vẫn câu chuyện “xoay quanh toán” Giải xong tốn bạn hồn thành phần việc học tốt mơn tốn Một phần lớn cơng việc lí thú hiệu cịn đợi bạn phía trước : bạn tìm thêm nhiều lời giải cho tốn, từ nhìn nhận tốn kĩ hơn, để mở rộng tìm nhiều kết khác

lXin toán với cách giải khác

Bi toỏn.Cho Ml mt điểm nằm tam giác ABC (Mcó thể nằm cạnh không trùng với đỉnh tam giác) Chứng minh từ ba đoạn MA, MB, MCta dựng tam giác

Lêi gi¶i

C¸ch

Khơng tính tổng qt, giả sử MAcó độ dài lớn ba đoạn MA, MB,

MC Gọi giao điểm MA BC K, theo giả thiết ta có MAAK< ABBC;

Mặt khác, theo bất đẳng thức tam giác ta có BCMBMC

Suy MA< MBMC (1) Do ta chọn MA > MBvà MA > MCnên dễ thấy MA> |MBMC| (2) Từ (1) (2) suy MA, MB, MC độ dài ba cạnh tam giỏc (pcm)

Cách

Qua M kẻ đường thẳng song song với cạnh tam giác ABCnhư hình vẽ Ta chứng minh AEMF hình thang cân, suy MAEF

Tng t ta có MBFDvà MCED Như tam giác DEFcó độ dài ba cạnh tương ứng MA, MB, MC, suy đpcm

3

C¸ch

Dựng tam giác AMNnhư hình vẽ, ta có MAB NAC(c.g.c), suy MAMN MB  NC(khi M thuộc cạnh AB ta có MBNC) Như tam giác MNC có độ dài ba cạnh tương ứng MA, MB, MC, suy đpcm

lNhìn nhận kĩ kết toán Gọi tam giác có độ dài ba cạnh tương ứng MA, MB, MClà (T) Từ cách 3ở tam giác MNCchính (T) Bây ta thử khảo sát (T) theo v trớ ca im M

Đặt ta có

60o< x; y; z180ovà xyz360o Xét tam giác MNCta cã

suy

Như (T) có góc đối diện với cạnh có độ dài MA, MB, MC tương ứng x60o, y60o, z60o Vì :

+ (T) nhän 60o< x; y; z< 150o; + (T) vuông góc x; y; z b»ng 150o;

+ (T) tï mét c¸c gãc x; y; zlín h¬n 150o;

+ (T) cân  M thuộc đường trung tuyến tam giác ABC(tr cỏc nh)

Từ kết trên, cách vẽ cung chứa góc 150odựng cạnh tam

giác ABC (phần bên tam giác), xác định miền tương ứng điểm M để (T) nhọn, vng, tù lTừ ta có tốn

Chú ý, (T) có góc lớn khơng vượt q 120o, phụ thuộc vào góc x ; y; z

Ta cã c¸c toán sau :

Bi toỏn Tỡm hợp điểm M nằm tam giác ABCsao cho tam giác có độ dài cạnh MA, MB, MC có góc (60o<  120o)

Bài toán M điểm nằm tam giác ABC nhìn hai đỉnh tam giác góc 150o Chứng minh ba đoạn MA, MB, MC ln có bình phương độ dài đoạn tổng bình phương độ dài hai đoạn

Bài toán M điểm nằm tam giác ABC cho

Chøng minh r»ng :

MA2MB2MC2MAMB

Bài toán M điểm nằm tam giác ABCsao cho

Hãy tính góc tam giác có độ dài ba cạnh tương ứng MA, MB, MC

 123 o BMC 

 113 ;o AMB

2  105 o AMB

 60 o MCN x   60 ;o

CNM z 

4

l

Kết :

(TTT2 sè 39)

l

Kì :

(TTT2 sè 39) (TTT2 sè 39) (TTT2 sè 39) (TTT2 sè 39) (TTT2 sè 39) (TTT2 sè 39) (TTT2 sè 39) (TTT2 sè 39) (TTT2 sè 39) (TTT2 sè 39) (TTT2 sè 39) (TTT2 sè 39) (TTT2 sè 39) (TTT2 sè 39) (TTT2 sè 39) (TTT2 sè 39) KÕt luËn cña lêi giải rõ ràng vội

vng vỡ phng trình (3) có nghiệm trùng với nghiệm phương trình (2), phương trình (1) khơng thể có nghiệm

lLời giải đúng.Ta có

(x2x2)[x22(m1)xm22] 0 (1)

Phương trình (2) có hai nghiệm 2 nên phương trình (1) có nghiệm phân biệt  phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt, khác khác 2

Vậy phương trình (1) có nghiệm phân biệt 

l Các bạn có nhận xét tốt nhất, thưởng kì Nguyễn Đình Cương, số 6, Tống Duy Tân, phường Ngọc Châu, TP Hải Dương, Hải Dương; Vương Bằng Việt, 9/4, THCS Lê Văn Thiêm, TX Hà Tĩnh, Hà Tĩnh; Võ Xuân Minh, 8/1, THCS Nguyễn Văn Trỗi, Cam Nghĩa, Cam Ranh, Khánh Hòa ; Lê Văn Thảo, 9I1, THCS Phạm Văn Đồng, Tây Hịa, Phú n ; Hồng Phước Nhất Thi, 9/2, THCS Trần Cao Vân, Thừa Thiên - Huế

Anh kÝnh lóp  ; 1;   2

2

m m m

2

3

2

2

2 1

4 2 6.

m m

m m m

m m m

                           2 2

( 1) ( 2)

(1) 2( 1)

( 2) 4( 1)

m m

f m m

f m m

                       ’ 2

2 (2)

2( 1) (3)

x x

x m x m

     

     



Trong sách chuyên đề Hình Học có tốn lời giải sau :

Bài toán Trong ngũ giác lồi ABCDE, người ta nối trung điểm M cạnh AB với trung điểm P cạnh CD, nối trung điểm Ncủa cạnh BCvới trung điểm Rcủa cạnh DE Gọi Hvà Klần lượt trung điểm MPvà NR Chứng minh HKsong song với AE

Lời giải Gọi L giao điểm MR BE Vì tứ giác NPRLlà hình bình hành nên Klà trung điểm LP Suy HKlà đường trung bình tam giác PML, HK song song vi MLv

Mặt khác ML đường trung bình tam giác BAEnên MLsong song với AEvà Suy HKsong song với AEvà (đpcm)

Bn có ý kiến lời giải khơng ? vũ đĩnh (THCS Phú Thái, Kim Thành, Hải Dương)



HK AE

1

ML AE

 ;

HK ML



5

l

KÕt qu¶ :

(TTT2 sè 39)

v

Kỡ naứy :

Bài 1.

Bài giải bạn

Đinh Thị

Ngọc

, 8C, THCS Yên Tiến,

ý

Yªn,

Nam Định

(địa : xóm Tân Lập,

lng Cỏt ng) :

Nghe bốn bạn phát biểu

Bạn có lí

Nhưng nhìn lại thật kĩ

Ta thấy D trái rồi

A, B, C nhìn thấy

Đó tam giác vuông

Chỉ riêng bạn D

Cho tam giác nhọn.

Bài 2.

S khơng phải phương

B, C, D nói ba đường khác nhau

Nhưng mà lại trí mau

Chỉ có A nói mâu thuẫn nhiều.

(TTT có sửa đơi chút cho vần).

Ngồi bạn Ngọc, TTT thưởng thêm

cho bạn :

Nguyễn Tùng Minh

,

8A, THCS Vĩnh Tường,

Vĩnh Phúc

;

Trần Thị Hằng

, 9B, THCS Quang

Trung, TX Tam Điệp,

Ninh Bình

;

Nguyễn Ngọc Hà

, 8/3, THCS Lê Quý

Đôn, TP Hải Dương,

Hi Dng

.

Nguyễn Đăng Quang

Trờn bng ó viết bốn đơn thức :

x

4

y

2

z

5

;

x

2

y

3

z

6

;

xy

5

z

5

;

x

7

y

2

z

2

Bạn chọn bốn đơn thức sau để

bổ sung thêm cho hợp lôgic :

xyz

x

3

y

4

z

4

x

4

yz

2

xy

3

z

5

1 4

Ngoài cách gửi dự thi

tạp chí, bạn gọi đến số

19001548

và làm theo dẫn hoặc

nhắn tin đến số

8109

theo mẫu

6

ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC

TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

u u u u u u u u

ứng dụng bất đẳng thức giải phương trình hệ phương trình nhiều ứng dụng bất đẳng thức Bài viết chủ yếu sử dụng bất đẳng thức quen thuộc, bất đẳng thức Cơ-si Bu-nhi-a-cốp-ski

lứng dụng bất đẳng thức giải phương trình

Ví dụ 1.Giải phương trình Lời giải.Điều kiện : x1

áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski cho số ; x3 ; ; ta có :

Đẳng thức xảy

(loi nghim x2 < 3) Vậy phương trình có nghiệm x5

Ví dụ 2.Giải phương trình

2005x20062006x20051 0

Lêi gi¶i

Ta có 2005x20062006x20051 0 2005x20061 2006x2005 Ta nhận thấy phương trình có vế trái ln dương nên vế phải dương, suy xlà số dương áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2006 số dương gồm số 2005 số x2006, ta có : 2005x20061 

Đẳng thức xảy x20061 x > hay x  Vậy phương trình có nghiệm x1

Ví dụ 3.Giải phương trình Lời giải

§iỊu kiÖn : Ta cã

áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski cho số ; x; ; ta có :

     

42 x4 x 42 x4 x 

42 x4

     

    

4

2 4

4

2 4

2

( )

x x x x

x x x x

4     2 1

x x x x

 4  4

2 x x

4     2 1 3.

x x x x

     

    

2006 2006 2006

2005 sè h¹ng

2006 2005 2005 2006

2006 ( ) 2006

x x x

x x

 

  

  



5

7 10

x

x

x x



   

    

 

  

 

 

2

1 ( 3)

3

x x x x

x x

  

 

     

1

1

3

x x

x

 

         

        

   

2

2

1 (1 1) ( 1) ( 3)

1 3

2( 3) 2

x x x x

x x x x

x x

1 x

2

1 2( 3) 2

x   x x  x

7

áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski cho số ; x2; ; ta lại có :

Tõ (1) vµ (2) suy :

Đẳng thức xảy :

Vậy phương trình có nghiệm x1

Ví dụ 4.Giải phương trình Lời giải.Điều kiện : x  1

áp dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta có : 4 4 4 (x1) x13

Do x33x28x40 x13 x33x29x27 0

(x3)(x3)20

Tõ ®iỊu kiƯn x  1 suy x3 > (x3)20 x3 0 x3

Thử lại, ta thấy x3 nghiệm phương trình Vậy phương trình cú nghim nht l x3

(Kì sau đăng tiÕp)

4

8 4x  4 4 4 (    x 1)

     

3 3 8 40 44 4.

x x x x

  

  

  



  



  



4

4 2

2

2 1.

2

2

x

x x x

x x

x x

     

 

4 

2 2 2 1.

x x x x x

   

 

 

  

       

 

 

4 2

4

2

2 (1 1) 2 (2)

x x

x x

 x

2

4

4 (1 1)

2 ; (1)

x x

x x

  

      

 

 

 

    

 

Kết thi

THEÁ GIễÙI QUANH TA

Sau đáp án câu hỏi kì 3, chữ “một vị tướng tài” :

Như vị tướng tài khơng khác, Ngơ Tuấn Ngơ Tuấn (1019 - 1105) tự Thường Kiệt, sau có cơng, Vua sủng nên ban quốc tính (lấy theo họ Vua) Vì người đời sau gọi ơng Lí Thường Kiệt Ơng vị tướng lập nên chiến thắng hiển hách chống quân Tống xâm lược phịng tuyến sơng Như Nguyệt ; tác giả thơ “Nam quốc sơn hà” coi tuyên ngôn độc lập nước ta Trả lời câu hỏi phụ : Tài liệu “Những kiện tiến trình lịch sử Việt Nam” (Công ty Bản Đồ - Tranh ảnh Giáo khoa) Các cá nhân tập thể xuất sắc trao tặng phẩm kì nàylà Hồng Minh Tn, nhà 374/77 phố Hải Thượng Lãn Ơng, Đơng Vệ, TP Thanh Hóa ; Nguyễn Văn Thuận, 8A7, THCS Ngô Mây, Phù Cát, Bình Định ; Nguyễn Đỗ Thảo Khang, 7/1, THCS Trần Huỳnh, TX Bạc Liêu, Bạc Liêu ; Lê Minh Hoàng, 6A6, THCS Lương Khánh Thiện, Kiến An, Hải Phòng; Bùi Lan Chi, nhà ngõ 11, đường Thống Nhất, TP Nam Định ; Vũ Nhật Minh, nhà 28A, Phước Long, TP Nha Trang, Khánh Hòa ; Nguyễn Đăng Nguyên, mẹ Trịnh Thị Hoa, giáo viên trường THCS Tam Anh, Núi Thành, Quảng Nam; Vũ Văn Pho, 11 Văn, THPT chuyên Thái Bình ; Lê Thị Hồng Nhung, mẹ Đinh Thị Hiện, THCS Thụy Quỳnh, Thái Thụy, Thái Bình; Lương Hồng Sơn, 8A, THCS Lập Thạch, Lập Thạch ; Tập thể lớp 7B, THCS Thổ Tang, Vĩnh Tường, Vĩnh Phúc

8

ThS.NGUYÔN V¡N NHO (NXBGD) Hội Liên hiệp Toán học bang Vermont

ca nước Mĩ (The Vermont State Mathematics Coalition) thành lập năm 1990, nhằm hỗ trợ cho hoạt động dạy, học nghiên cứu Toán tiểu bang, thành viên bao gồm giáo sư, nhà doanh nghiệp số phụ huynh học sinh

Cuộc thi “Chương trình tìm kiếm tài Tốn học Hội Liên hiệp Toán học bang Vermont” (The VSMC Mathematics Talent Search Program) dành cho học sinh Trung học trường bang khởi xướng từ năm 1993

Hằng năm, thi gửi trường bốn lần, vào tháng 10, 11, 01, 02, riêng cho cấp học Junior Senior

Tổng kết sau năm học, em đạt giải trao phần thưởng xứng đáng Đặc biệt, số học sinh tài tham dự Trường hè Đại học Vermont, với ngày học tập miễn phí giáo sư danh tiếng

Sau số Junior phù hợp với trình độ THCS nước ta

Bài 1.(Problem 5, 14 - - 2004) Có bốn người đàn ơng đánh số từ đến 4, đứng trước tiểu đội hành

quyết Số số đội mũ đen số số đội mũ trắng Họ quay mặt hướng số 3, số có tường, số thấy số số 3, số thấy số 3, số thấy tường cịn số khơng thấy Họ biết có hai người đội mũ trắng hai người đội mũ đen khơng biết đội mũ khơng nói chuyện với

Chỉ huy đội hành thả bốn người bốn người nói màu mũ mang, sai bốn người bị xử bắn

Hỏi người biết chắn màu mũ đội ? Biết bốn người đạt đến trình độ cao xác suy luận

Bài (Problem 1, 14 - - 2006) George Washington sinh trước Thomas Jefferson 11 năm Vào năm 1770, tuổi Washington nhiều lần tuổi Jefferson năm 1748 tuổi Hỏi vào năm 1776 Jefferson tuổi ?

Bài 3.(Problem 3, 14 - - 2006) Cho bìa hình thang ABCDcó DACD, AD  24 cm, AB  32 cm, CD 64 cm Gấp bìa lại hai điểm C B trùng Tính độ dài nếp gấp

gIốI THIẻU

9

CUỘC THI TUYỂN SINH VAØO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUỐC GIA SIN-GA-PO

Bài 1.(câu 1, phần A, cải biên) Chọn : (B) Toàn tập số thực, trừ số Bài 2.(câu 13, phÇn A)

Chän : (C) [2 ; )

áp dụng định nghĩa hàm đơn điệu ta xét hai trường hợp : x < 2 x 

Chú ý : f(x) x24x2 (x2)22 Bài 3.(câu 17, phÇn A)

Chän : (C) [8 ; 11]

Ta cã |3 2x| 19  19 3 2x19  22  2x16  8 x11

Bµi (câu 18, phần A) Chọn : (C)

(thực phép chia đa thức) Bài (câu 19, phần A, cải biên) Chọn : (C)

(do a364 nờn a 4) Bài (câu 21, phần B) a) Với x6 ta có phương trình

x22(k 2)x2(k5) 0 36 12(k2) 2(k5) 0 k5

Vậy điều kiện để phương trình khơng có nghiệm : k5

b) Ta cã x2 2x 4 (x 1)2 > víi mäi xnªn

x22x4 3(x22x4) 2(x2)20, với x; Tương tự, ta có

đúng với mi x

Suy điều phải chứng minh Bài 7.(câu 33, phần C, cải biên)

Gi Dim i xứng Cqua AP Khi PDPC2BP, suy BA, PA phân giác điểm A có khoảng cách đến đường thẳng BD, PC, PDADlà phân giác , Dxlà tia đối tia DB Vậy :

Bài (câu 38, phần C, cải biên) a) Thử chọn từ nhỏ đến lớn, ta tìm tập hợp {3, 4, 5, 6} thỏa mãn điều kiện toán

b) Giả sử tìm tập hợp A {m, m1, m2}, với m> gồm số nguyên dương liên tiếp, mlà ước số BCNN(m1, m2) Vì (m1, m2) 1 nên bội chung nhỏ chúng (m 1)(m  2), suy (m1)(m2) m23m2 chia hết cho m2 chia hết cho m, mâu thuẫn với điều kin m >

Vậy không tìm tập hợp Anhư

180o 75 o

2

PDx BDP

ACB ADP

 PDx

 , 

DBP DPC

90o DBP

    60o APC APD DPB

  

 

2

2 22 34

x x

x x

 



 

2

1

3 xx 2xx 4 

2

1 0,0625 a

  



2 91

2 10 27

3

x x

x

10

Hướng dẫn giải đề kì trước :

(TTT2 sè 40)

Kì thi tuyển sinh vào lớp 10 Tốn,

THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm, tỉnh Vónh Long,

năm học 2005-2006

Bµi 1.a) Ta cã suy f(1) f(5) 3 b) f(x) 10

c)

Víi x > suy x 2 > Víi x < suy x 2 <

Bài 2.Các số nguyên dương x, y, z, tđều lớn số khơng lớn

Mặt khác, số x, y, z, tđều nhỏ số khơng nhỏ

VËy xyxt2

Bài 3.áp dụng bất đẳng thức Cơ-si cho hai số dương a, b ta có

Xét hiệu

suy

Đẳng thức x¶y

Bài x2mxm1 0 (1) a) Ta có  m24(m1) (m2)20 nên phương trình (1) ln có hai nghiệm x1, x2 phân biệt m2

b) Theo định lí Vi-ét ta có x1x2m1 x1x2m, suy

Vậy Ađạt giá trị lớn m 1 Bài a) Do AH// PB (cùng vng góc với BC) nên theo định lí Ta-lét áp dụng vào

   

    

  

2

2 2

2( 1) 1 ( 1) 1.

2 2

m m m

m m m

 

 

    

1 2

2 2

1 2

2 3

2(1 ) ( )

x x x x

A

x x x x x x

        a b a b

    

( ) .

2

a b a b a b b a

1

ab a b   a b b a

                        2

1 0,

2

ab a b

 

      

 

1

ab a b a b

     

 

 

1 ( )

2

ab a b a b b a

    

        

   

1 1

2 2

a b a b ab a b

 2  

( )

2

a b a b

       

2 2

1 1 1 1 1 1.

9 4

x y z t

   

2 2

1 1 1 1;

x y z t

    A x    ; A x       2 ( ) .

( 2)( 2) x f x A x x x                 

2 10 12

2 10

2 10

x x

x

x x

 2     

( ) 4 ( 2) ,

11

ĐỀ THI TUYỂN SINH VAØO LỚP 10,

THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI, TỈNH HẢI DƯƠNG

Năm học 2005-2006 ; Thời gian : 150 phút

Bµi 1.(2,5 điểm) Cho biểu thức

; x> x1

1) Rút gọn biểu thức P; 2) Tìm giá trị xđể P3 Bài 2.(1,5 điểm)

Giải h phng trỡnh :

Bài 3.(1,5 điểm)

Cho hai hµm sè vµ

y(4m21)x2

Tìm giá trị m để đồ thị hai hàm số qua điểm (1 ; 2) Với giá trị mtìm được, xác định tọa độ giao điểm thứ

hai hai đồ thị Bài (3,0 điểm)

Cho tam giác nhọn ABCnội tiếp đường tròn tâm O, hai đường phân giác BEvà CF cắt I(Etrên AC, Ftrên AB) cho tứ giác AEIFnội tiếp đường tròn Gọi H trực tâm tam giác ABC, đường thẳng OHcắt cạnh ABtại Mvà cắt cạnh ACtại N

1) Tính ;

2) Chứng minh năm ®iĨm B, H, I, O, C cïng n»m trªn mét đường tròn ;

3) Chứng minh BMCNMN Bài (1,5 ®iĨm)

Cho phương trình ax2  bx  c  (a  0) có hai nghiệm x1, x2thỏa mãn ax1bx2c0 Tính giá trị biểu thức M a2cac2b33abc



BAC

4 y mx m   ( 2) ( 2)( 4)

(x yx   3)(2y x7) (2yx 7)(y 3) 

     



1 1 :

1 1

x x x x

P x

x x x

     

       

 

   

tam gi¸c CPBta cã (1)

Mặt khác, PO// AC(cùng vng góc với AB) nên suy hai tam giác vuông ACH POB đồng dạng

Do (2)

Do CB  2OB, kết hợp với (1) (2) ta suy AH2EHEAEHhay Elà trung điểm AH

b) Xét tam giác vuông BAC, đường cao AH ta có AH2BHCH(2RCH)CH

Theo (1), víi chó ý AH2EHta cã

4PB2AH2(4RPBAH2R)AH2R PB2AHR2(2PBAH)

AH(PB2R2) 2R2PB

(thay PB2d2R2) Bài Gọi x, ylần lượt độ dài hai cạnh góc vng tam giác ABC, ta có :

x2y2BC22 ; 2SABCxy

Gii h phng trỡnh

ta x y Vậy ABC tam giác vuông cân (chó ý x> vµ y> 0)

 

  

 2

2 xy

x y

 

2

2 

    



2

2

2 2

2R PB 2R

AH d R

PB R d

2 2

2

AH CB AH CB

AH R

PB PB

 

  

 



AH CH PB OB

  ,

POB ACB

 ;

12

l

KÕt qu¶ :

THI GIẢI TOÁN QUA THƯ

Bài 1(39) Cho a, b, clà ba số khác 0, thỏa mãn 2005a 2006b 2007c Chứng minh ba biểu thức a22bc; 3b44ca; 5c66abcó biểu thức có giá trị dương

Lời giải Phần lớn bạn giải theo hướng xét dấu a, b, c , ví dụ :

+ NÕu a, bcïng dÊu th× ccịng cïng dÊu víi a, b(do 2005a2006b2007c), suy bc> ; ca> a22bc> ; 3b44ca> + NÕu a, b trái dấu ab < 0, suy 5c66ab>

Vậy ba biểu thức a22bc; 3b44ca; 5c66abln có biểu thức có giá trị dương

Nhận xét : 1) Theo lời giải trên, ta nhận thấy hệ số a, b, ctrong đẳng thức biểu thức đề có vai trị xác định dấu mà khơng liên quan đến việc tính tốn nên tốn thực chất trường hợp đặc biệt toán tổng quát (các bạn tự phát biểu) Đây ý tưởng tác giả tốn

2) Tuy nhiên đặc biệt hóa tốn “có vấn đề”như số bạn nhận Hãy theo dõi biến đổi sau :

Tõ 2005a2006b2007csuy Aa22bc

Do suy A lu«n

dương với a, b, ckhác

Cùng với lời giải trên, ta thấy ba biĨu thøc a22bc; 3b44ca; 5c66ab

khơng có biểu thức có giá trị dương mà có hai biểu thức có giá trị dương Có nhiều cách chứng minh khác cho kết mạnh

3) Sau bạn có nhiều cách chứng minh ; phát kết (mạnh hơn) nêu toán tổng quát : Huỳnh Văn Nhật Huy, 61, THCS Nguyễn Tri Phương, TP Huế, Thừa Thiên - Huế ; Nguyễn Mạnh Tuấn; Dương Hồng Hưng, 8B ; Nguyễn Đức Cơng, 9D, THCS Lí Nhật Quang, Đơ Lương, Nghệ An ; Nguyễn Hải Việt, 9E, THCS Lương Thế Vinh, TP Tuy Hòa, Phú Yên; Trần Ngọc Phi, 8A, THCS Trần Huy Liệu, Vụ Bản, Nam Định ; Nguyễn Xuân Kỳ, 9B, THCS Kiều Phú, Quốc Oai, Hà Tây ; Võ Xuân Minh, 81, THCS Nguyễn Văn Trỗi, Cam Nghĩa, Cam Ranh, Khánh Hòa ; Dương Hồng Quân, 7A, THCS Lập Thạch, Lập Thạch, Vĩnh Phúc ; Lê Thị Nguyệt, 9A3, THCS Chu Mạnh Trinh, Văn Giang, Hưng Yên ; Đặng Văn Tú, 6A2, THCS Võ Thị Sáu, TP Hải Dương, Hải Dương ; Tạ Đức Trung, 6A3, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ

nguyễn anh quân Bài 2(39) Tìm tất giá trị a cho với giá trị tồn số (x ; y ; z) thỏa mãn đẳng thức xyzx24y2; x2y3za

Lêi gi¶i Ta cã

(1) Chó ý : x2y3(x24y2xy) a 3x22x12y2ya

2

1 1

3 12

3 24 48

x y a

                   2 2

2 3( )

x y z x y

x y x y x y a

     

 

     



2 4

2

x y z x y

x y z a

     

  



  

2 2006 1 2005

2007 2007                      2 2 2 2005 2006

2

2007 2007

2005 2006 2005 .

2007 2007 2007

a a b b

a b b

  22 2005 2006

2007a b

a b

 2005 2006

13

(2) Ta thấy, với số thực b, phương trình s2  t2  b có nghiệm thực (s ; t) b  0, nghiệm thực (s; t) (0 ; 0) (vì (s; t) nghiệm cặp số sau nghiệm phương trình : (s ; t), (s; t), (s ; t)

Do phương trình (2) có nghiệm Khi hệ phương trình (1) có nghiệm (x; y; z) 

Nhận xét Đây tốn dạng bản, khơng có tính tốn phức tạp Các bạn lớp có lời giải tốt Nguyễn Thị Thúy Hoa, 7D, THCS Thị Trấn Cao Thượng, Bắc Giang; Dương Hồng Quân, 7A, THCS Lập Thạch, Lập Thạch, Vĩnh Phúc ; Nguyễn Minh Công, 7A11, THCS Giảng Võ, Hà Nội ; Nguyễn Sỹ Hoàng, 8C, THCS Hồ Xuân Hương, Quỳnh Lưu ; Nguyễn Mạnh Tuấn, 8B, THCS Lí Nhật Quang, Đơ Lương, Nghệ An; Võ Trần Tâm, 7E, THCS Thị Trấn Gio Linh, Quảng Trị; Võ Xuân Minh, 81, THCS Nguyễn Văn Trỗi, Cam Nghĩa, Cam Ranh, Khánh Hòa ; Nguyễn Thị Xuân Thảo, 8A1, THCS Nhơn Lộc, Bình Định ; Phạm Minh Quân, 82, THCS Nguyễn Du, Phan Thiết, Bình Thuận

Ngun Minh §øc Bài 3(39) Tìm giá trị nhỏ biểu

thức a,

b, c độ dài ba cạnh tam giác vuông (clà độ dài cạnh huyền)

Lời giải (theo bạn Nguyễn Xuân Thiện, 9A1, Phân hiệu học sinh giỏi Thanh Nê, Kiến Xương, Thỏi Bỡnh)

Do c2a2b2 2abnên

Mặt khác,

áp dụng bất đẳng thức Cô-si kết trờn, suy

Đẳng thức xảy , hay tam giác ABCvuông cân

Vy giá trị nhỏ Pbằng , đạt tam giác cho vng cân

Nhận xét Có nhiều gửi tòa soạn, nhiên nửa số cho lời giải sai Ngồi bạn Thiện, bạn sau có lời giải : Dương Hồng Quân, 7A ; Khổng Hoàng Thao ;Mạc Thế Trường, 9A, THCS Lập Thạch, Vĩnh Phúc ; Triệu Thị Ngân Hà, 8A1, THCS Lâm Thao, Lâm Thao ; Phan Kim Tuyết, 9A, THCS Thị Trấn Sông Thao, Cẩm Khê, Phú Thọ ; Vương Thị Mỵ, 9A, THCS Thuận Thành, Bắc Ninh; Trần Văn Độ, 8A1, THCS Vũ Hữu, Bình Giang, Hải Dương ; Trần Nhật Tân, 9A3, THCS Ngô Sĩ Liên, Chương Mỹ, Hà Tây; Nguyễn Đức Công, 9D ; Nguyễn Mạnh Tuấn, 8D, THCS Lý Nhật Quang, Đô Lương ; Phạm Việt Hùng, 8C, THCS Hồ Xuân Hương ; Vũ Văn Linh, 9D, THCS Quỳnh Hưng, Quỳnh Lưu, Nghệ An ; Đinh Văn Học, 9C, THCS Sơn Lộc, Can Lộc ; Trần Viết Cường, 7C, THCS Thị Trấn Kỳ Anh, Hà Tĩnh; Võ Ngọc Đức, 9A1, THCS Nhơn Hậu, An Nhơn ; Nguyễn Thị Xuân Thảo, 8A1, THCS Nhn Lc, Bỡnh nh

Nguyễn Văn Mạnh Bài 4(39) Tính cạnh tam giác

ABC, biết chu vi cđa

tam gi¸c b»ng 27 18 9 cm  105 ,o  45o

A B

2 2 c a b 

 

    



    

2 2 ( 1)

2 ( 1)

2 2

ab c ab c c

c ab c ab ab

ab c ab

c ab ab

 2 ab 2ab c  P

c ab

   

ab a b c a( ) ( b2)a b c

abc c ab

  

a b c b a c2( ) 2( ) P

abc

 ;

c ab

2( ) 2( ), a b c b a c P abc           

1 1; ; 37 .

3 24 144

17 48 a 

   

         

   

2

1 17

3 12

3 24 48

14

Lêi gi¶i

Vì nên

Gọi Hlà hình chiếu Atrên BC, ta cã :

Suy

AB  AC  BC  AB  AC  HB  HC  AH3 (cm) AB cm ;

AC6 cm ; BC cm

Nhận xét.Nhiều bạn tham gia giải toán giải Xin nêu tên số bạn có lời giải tốt : Đặng Văn Tú, 6A2, THCS Võ Thị Sáu, TP Hải Dương, Hải Dương; Trần Nhật Tân, 9A3, THCS Ngô Sĩ Liên, Chương Mỹ, Hà Tây ; Huỳnh Văn Nhật Huy, 61, THCS Nguyễn Tri Phương, Huế, Thừa Thiên - Huế; Trần Thị Mai Ly, 7A1, THCS Hai Bà Trưng, TX Phúc Yên, Vĩnh Phúc ; Nguyễn Thị Hồng Thơm, 9A, THCS Tôn Quang Phiệt, Thanh Chương, Nghệ An; Nguyễn Văn Cường, 8A, THCS Yên Phong, Yên Phong, Bắc Ninh

Nguyễn Minh Hà Bài 5(39).Cho hình thang cân ABCDcó đáy lớn CDa; DACBb Hỏi tìm hay khơng đáy lớn CDmột điểm E cho hai tam giác tách khỏi hình thang cho hai nhát cắt thẳng theo AE BE đồng dạng với không ?

Lời giải.Gọi PADBC, dễ thấy PABvà PDClà hai tam giác đồng dạng cân P Kí hiệu độ lớn góc bốn tam giác ABE, BEC, EADvà PABnhư hình vẽ

a) Giả sử có điểm E CD cho BEC EAD Khi :

+ Hoặc xy   , suy ABEcân EEHlà trung điểm đáy lớn CD  BEC AED, mâu thuẫn với giả thiết ; + Hoặc x   y , suy z   Khi ba tam giác ABE, BEC, EADđồng dạng Các đẳng thức góc chứng tỏ đường trịn tâm Ongoại tiếp ABEtiếp xúc với ADtại A, với BCtại B Do Olà giao điểm hai đường thẳng Au, Bvtương ứng vng góc với AD, BCtại A, B

b) Từ phân tích phần a) suy : Điểm E cần tìm (nếu tồn tại) hai giao điểm E1và E2của đoạn thẳng CD đường trịn (O ; R) tâm Oxác định trên, bán kính ROAOB

c) Dễ chứng minh ba tam giác ABE, BEC, EADđồng dạng

d) Biện luận : Điều kiện cần đủ để (O; R) xác định cắt CDở hai điểm phân biệt E1, E2là OHd< ROAOB (Hlà trung điểm CD)

OH2 OD2 HD2< OD2 DA2 OA2       .

BAP BEA ABP AEB

3( 1)

( 2 1   3)AH (3 3 2)AH

     

3(3 2) 27 18

 o 2 ;  o 

sin30 tg30

AH AH

AC AH HC AH

 o  ;  ;

sin45 AH

AB AH HB AH

 30 o C  105 ,o  45o

15

HD2> DA2HD> DAa> 2b

Vậy điều kiện cần đủ để thỏa mãn điều kiện tốn a> 2b Bài tốn có hai nghiệm hình

Nhận xét 1) Lời giải lời giải hình học tốn, sử dụng tính chất góc nội tiếp Từ suy cách dựng điểm E để BEC EAD (nhưng khác nhau) cách tự nhiên biện luận điều kiện cần đủ để tốn có nghiệm cách dễ dàng

2) Đa số bạn dừng lời giải đại số toán : Từ BEC EADsuy hệ thức ECEDADBCb2rồi đặt ECx, ED  y, suy điểm E xác định xyavà xyb2xvà ylà hai nghiệm phương trình x2axb20 (1) Bài tốn có nghiệm   a24b2>  a > 2b Đa số bạn dừng việc giải (1) để xác định hai nghiệm x1; x2 Chỉ có số bạn tiến xa chút, biết tìm cách dựng hình học đoạn thẳng có độ dài x1và x2 sở sử dụng hệ thức lượng tam giác vuông đường tròn (đưa cách dựng điểm Etrên CDbằng cách dựng hình hình học)

3) Nhiều bạn lập luận thiếu chặt chẽ loại trừ trường hợp hai tam giác nhau, vội vàng để a  2b, đặc biệt chưa hiểu thấu đáo nội dung toán Phải hiểu thực chất toán tốn dựng hình Vấn đề tìm điểm Etrên CD hay không, phụ thuộc vào việc biện luận chủ yếu phải thực đầy đủ bốn bước tốn dựng hình, có bước thứ hai bước dựng hình thỏa mãn điều kiện đặt toán Một số bạn vội tun bố tốn vơ nghiệm chưa phân tích xong tốn dựng hình !

4) Các bạn có lời giải tương đối tốt :

Hoàng Lan Phương, 9D, trường Hà Nội -Amsterdam, Hà Nội; Phan Văn Cảnh, 9D, THCS Hải Hậu, Hải Hậu, Nam Định; Trần Nhật Tân, 9A3, THCS Ngô Sĩ Liên, Chương Mỹ, Hà Tây; Vũ Văn Nam, 9A1, THCS Thị Trấn Diêm Điền, Thái Thụy ; Nguyễn Tiến Hưởng, 9B, THCS Quỳnh Hải, Quỳnh Phụ, Thái Bình ; Hồng Anh Tuấn, lô 14, khu I Mai Xuân Dương, P Đông Thọ, TP Thanh Hóa, Thanh Hóa ; Nguyễn Đức Cơng, 9D, THCS Lý Nhật Quang, Đơ Lương, Nghệ An; Hồng Gia Ân, 83, THCS Nguyễn Khuyến, TP Đà Nẵng, Đà Nng

Nguyễn Đăng Phất

Thi gii toỏn qua thư

Các bạn thưởng kì này

16

Một hôm, thám tử Sê-Lốc-Cốc ngồi làm việc Văn phòng chuông điện thoại reo vang Một giọng nói lo âu cất lên : - Xin chào thám tử ! Tôi Hen-ri Xin ngài vui lòng tới nhà tôi, nhanh tốt

- Chào ngài Hen-ri ! Có chuyện mà ngài lo lắng ?

- Tụi va b viên đá quý sưu tập Tôi cịn biết trơng cậy vào ngài thơi, thám tử Sê-Lốc-Cốc

- Được rồi, đến Ngài yên tâm !

Ông Hen-ri nhà triệu phú chuyên sưu tập đồ cổ đá q Trong dinh thự ơng có hẳn ngơi nhà riêng để trưng bày đồ quý : tượng cổ, số đồ gốm, tranh tiếng khơng kim cương đá quý Viên đá mà ông Hen-ri vừa bị viên đặc biệt quý giá Nó nặng chừng 100 ca-ra có màu xanh lục đẹp Trong bóng tối, viên đá phát tia sáng xanh lung linh, huyền ảo Người ta đồn trước có khơng người bỏ mạng hành động mạo hiểm để chiếm viên đá Chính thế, nhà triệu phú Hen-ri cất giữ viên đá cẩn thận Ông đặt viên đá vào tủ có khóa vững Chiếc tủ lại kê phịng có hệ thống báo động tối tân, cửa vào có lắp thiết bị theo

dõi đại Căn phòng nằm nhà dành để trưng bày sưu tập đắt giá Nó đội bảo vệ canh gác suốt ngày đêm Đội bảo vệ chia làm sáu nhóm, nhóm bốn người Bốn người lại chia làm đơi, hai người canh gác bên ngồi ngơi nhà lối vào, hai người bảo vệ bên Trước đổi ca trực, hai bên phải kiểm tra, bàn giao kĩ

Khi Sê-Lốc-Cốc đến nơi, hai ca bảo vệ có mặt

- Các anh phát viên đá bị vào lúc ?

- Khi giao ca Lúc nhận bàn giao, thấy viên đá màu xanh lục không tủ số

- Thế ca trực trước ca anh có phát dấu hiệu khơng ?

- Đây biên bàn giao ca trước Không có biểu khác thường đâu Suy nghĩ lát, thám tử Sê-Lốc-Cốc hỏi hai người vừa bảo vệ nhà :

- C¸c anh cã lóc rời khỏi nhà không ?

- Khơng, chúng tơi ngồi sau hết ca lúc người nhận ca mở cửa cho

17

l

KÕt qu¶ :

Bằng chứng qua vết bánh xe

(TTT2 sè 39)

MỈc dï c¸c th¸m tư “Tuỉi Hång” ch­a

biết chưa phép lái xe bạn tinh “quan sát” vết bánh xe hằn tuyết Một số ảnh cho thấy rõ xe rẽ bên trái, theo hướng cong đường Thế số khác lại cho thấy vết bánh xe sau đè lên vết bánh xe trước Như vậy, rõ ràng xe rẽ trái đột ngột quặt sang phải, vết bánh trước vết bánh sau tạo thành đường thẳng Điều chứng tỏ xe

thì va phải người bộ, gây tai nạn đuôi xe va phải cột mốc bên đường, bị móp

Phần thưởng kì trao cho bạn sau : Phạm Thị Thu Hà, bố Phạm Ngọc Đỉnh, số 98 tổ 8, p Trần Phú, TX Hà Giang, Hà Giang; Lương Trà My, 6A1, THCS Hai Bà Trưng, TX Phúc Yên, Vĩnh Phúc; Đỗ Hà Phương, khu tập thể phân hiệu 1, trường THKT - PK - KQ, Thanh Mai, Thanh Oai, Hà Tây

Th¸m tư Sê-Lốc-Cốc thay phiên không

cïng ®i

- Các anh mang đồ ăn từ nhà ? - Vâng, mang theo hộp đựng đồ ăn nhanh để ăn ca Tất đội bảo vệ làm

Thám tử Sê-Lốc-Cốc suy nghĩ lát quay người bước phía nhà vệ sinh Ơng vào bên quan sát kĩ lưỡng ởđây có đầy đủ tiện nghi cần thiết Ngay cạnh bồn nước rửa tay cửa sổ nhỏ có song sắt Cánh cửa sổ khép hờ Thám tử đến bên cạnh đưa mắt nhìn ngồi Đang ngắm nghía, ơng phát khung cửa có lơng chim bé xíu Thám tử liền nhặt lên xem xét cất vào hộp nhỏ Ông tiếp tục quan sát kĩ khắp phòng Đây rồi, nhà có bãi phân chim Suy nghĩ

mét lóc, thám tử Sê-Lốc-Cốc chỗ hai nhân viên bảo vệ Ông hỏi :

- Hỡnh nh hai anh có ni chim bồ câu ?

Một người trả lời :

- Thưa thám tử, tơi khơng có thú chơi Người chẳng nói gì, ngơ ngác nhìn thám tử Thám tử hi :

- Anh tên ? - Tôi Péc

- Th no, cú ỳng nhà anh có ni chim bồ câu khơng ?

18

Bất đẳng thức :

a3b3ab(a b) với a, bdương (*) “bảo bối” Trong số 10 ; 22 TTT2 có nhiều khai thác lí thú xung quanh bất đẳng thức (*) Trong viết này, xin giới thiệu thêm với bạn vài khai thác bổ sung

Tương tự cách chứng minh bất đẳng thức (*) ta có :

Bài tốn Chứng minh với a, b dương ta có a5b5a2b2(ab)

Lời giải áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho năm số a5, a5, a5, b5, b5ta có :

3a52b55a3b2; Tương tự ta có : 2a53b55a2b3 Cộng theo vế hai bất đẳng thức chiều trên, suy điều phải chứng minh

Các bạn tổng quát bất đẳng thức (*) theo hướng thử xem !

Bài toán Cho ba số dương a, b, c Chứng minh : 2(a3b3c3) 

ab(ab) bc(bc) ca(ca) Lời giải.áp dụng bất đẳng thức (*) cho cặp số dương avà b; bvà c; cvà ata có a3b3ab(ab) ; b3c3bc(bc) ; c3a3ca(ca)

Cộng theo vế ba bất đẳng thức chiều trên, suy điều phải chứng minh

Bài toán Cho ba số dương a, b, cthỏa mãn abc2 Chứng minh :

Lời giải áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski cho số ta có :

2 (a b c b c a c a b     ) 

3 3 .

a b c a b c b c a c a b    

Mặt khác, abc2 suy , tng t :

áp dụng toán ta cã 2(a3b3c3) ab(ab) bc(bc) ca(ca) 

, suy

Suy điều phải chứng minh Bài tập ¸p dông

Cho ba số dương a, b, cthỏa mãn abc1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau :

Tơi cịn tiếp tục quan tâm tới bất đẳng thức đặc biệt Còn bạn, bạn chịu dừng lại chưa ?

4 4

3 3

1) ;

1 1

2)

( ) ( ) ( )

a b c

A

b c c a a b B

a b c b c a c a b

  

  

  

  

2 (a b c b c a c a b)

     

3 3

(a b c ) b c c a a b

a b c

  

 

      

 

3 3 3

( )

a b b c c a

a b c

c a b

a b c

  

    

   

2(a b) 2(b c) 2(c a)

c a b

  

2( ) 2( )

( ) b c ; ( ) c a

bc b c ca c a

a b

   

2( )

( ) a b

ab a b

c

  

2 ab

c 

2

3 3

3 3

( ) ;

b c c a a b

a b c

a b c

b c c a a b

a b c

a b c

    

   

 

  

 

      

 

TRẬN ĐẤU THỨ BA MƯƠI MỐT

19

TRẬN ĐẤU

THỨ BA MƯƠI BA

lNgười thách đấu

Nguyễn Đăng Phất, Hà Nội lBài tốn thách đấu ABCDlà hình thang, hai đáy ABvà CD Có hai đường trịn (O1) (O2) nằm hình thang cho (O1) tiếp xúc với DA, AB, BC (O2) tiếp xúc với BC, CD, DA Qua Ckẻ tiếp tuyến thứ hai t1 với (O1) qua Akẻ tiếp tuyến thứ hai t2với (O2) Chứng minh t1// t2 lXuất xứ

Đề thi Olympic Toán Trung Quốc (China Team Selection Test 2006) lThời hạn nhận thách đấu

Trước ngày 15 - 08 - 2006

(TTT2 sè 39)

Lời giải.Đây toán bất đẳng thức khơng khó, có nhiều cách giải khác Hơn 40 võ sĩ nhận thách đấu Đăng quang trận đấu võ sĩ Nguyễn Đăng Hiếu, 7C, THCS Vĩnh Tường, Vĩnh Tường, Vĩnh Phúcvới lời giải đơn giản :

0 a2  1 a1 1 b2  1 b1 1

2 abab1 (a1)(b1) 0 4 ab2 (2 ab) cab

abc (1) Trường hợp abc0 E0 Trường hợp abc> 0, từ (1) suy Tương tự ta có :

Do

Cịng tõ (1) ta cã nÕu c> th×

Bởi E1 ba số a, b, ccó hai số số Nguyễn Minh đức

4

2, vµ

0,

c c ab a b c

ab a b c

a b

c

a b

     

  

 



   

 

1

4 a b c a b c

E

bc ca ab a b c 

    

    

;

4bca a b c  b 4abc a b c  a ;

20

Để giải số tốn đường trịn, cần vẽ thêm đường kính để làm xuất yếu tố (thường góc nội tiếp chắn nửa đường trịn, góc nội tiếp chắn cung, định lí Py-ta-go ) có quan hệ với yếu tố ó cho

lSau số toán minh häa

Bài toán Cho tam giác ABC không cân đỉnh B Trên tia BClấy điểm Dsao cho BA2BCBD Chứng minh BAlà tiếp tuyến đường trịn ngoại tiếp tam giác ACD

Lêi gi¶i

XÐt hai tam gi¸c BAD, BCA: cã chung gãc B; BA2BCBDsuy 

hai tam giác đồng dạng

Vẽ đường kính AEcủa đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD, ta có

(cùng chắn ), suy

 BA  AE VËy BA lµ tiÕp tuyÕn đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD

Bài toán 2.Cho tứ giác nội tiếp ABCD

có ACvuông gãc víi BD Chøng minh r»ng

AB2BC2CD2DA2khơng đổi

Lời giải.Vẽ đường kính AE, ta có :

Suy BD// CE(cùng vuông góc với AC)

BCEDlà hình thang c©n

BCDE; BECD Ta cã :

AD2DEDEDE22AEAEAE22suy AD2BC24R2;

AB2BEBEBE22AEAEAE22suy AB2CD24R2 Vậy AB2  BC2  CD2  DA2  8R2, khơng đổi

Bµi toán 3.Cho tam giác ABCnội tiếp đường tròn tâm O Tia phân giác cắt đường tròn D (khác A) Đường tròn tâm D bán kính DB cắt đường thẳng

ABtại Bvà Q, cắt đường thẳng ACtại Cvà

P Chứng minh AOvuông góc với PQ

Lêi gi¶i

 BAC     90 90 ooo

ACE ABE ADE  

ACE ABE ADE  

     90o

BAD DAE DCA DCE ACE

BAD DAE DCA DCE ACE     BAD DAE DCA DCE ACE    

 

BAE



(cïng ch¾n DE), suy (cïng ch¾n ), suy

  DAE DCE

DAE DCE   BAD ACB

BAD ACB

 

BA BD BC BA

Thái Nhật Phượng

21

+ NÕu AB AC AD đường kính (O) suy ABDB, ACCD, DBDC AB, AClµ tiÕp tun cđa (D, DB) QB, PCAOPQ

+ NÕu ABAC, vÏ ®­êng kÝnh AEcủa (O) cắt PQtại Ithì ta có :

AOPQ Vậy ta có AO PQ lBài tập áp dụng

Bài 1.Cho đường trịn đường kính AB, C trung điểm cung AB, Mlà điểm di động nửa đường trịn khơng chứa điểm C CMcắt ABtại N Chứng minh CMCNkhông đổi

Bài 2.Cho tam giác nhọn ABCnội tiếp đường trịn tâm Ocó đỉnh Acố định, hai đỉnh Bvà Cdi động đường tròn Vẽ hình bình hành ABDC Chứng minh trực tâm tam giác BCDlà điểm cố định

Bài 3.Cho tam giác ABC, không cân đỉnh Anội tiếp đường tròn tâm O Biết Bvà Ccố định, A di động đường tròn Gọi H chân đường cao tam giác kẻ từ A Gọi Ivà Klần lượt chân đường vng góc kẻ từ Bvà Cxuống OA

Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HIKlà điểm cố định

Bµi 4.Cho tam giác nhọn ABCnội tiếp đường tròn tâm O, b¸n kÝnh R Chøng minh

r»ng :

Bài 5.Cho tam giác ABCnội tiếp đường tròn tâm O, bán kính Rcó đường cao AH h, BC a, AC  b, AB  c Chøng minh

r»ng bc2Rhvà

Bài 6.Cho tam giác ABCnội tiếp đường tròn tâm O, bán kính Rcó phân giác CD phân giác CE Chứng minh :

AC2BC24R2

Bài 7.Cho tam giác nhọn ABCnội tiếp đường tròn tâm O, bán kính Rvà ngoại tiếp đường tròn tâm Ibán kính r Nối AIcắt (O) D(kh¸c A) Chøng minh r»ng :

IAID2Rrvà OI2R(R2r) Bài 8.Cho tam giác ABCcân A, nội tiếp đường tròn tâm O Một đường tròn tiếp xúc với đường tròn tiếp xúc với hai cạnh AB, AC P, Q Chứng minh trung điểm PQ tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Bài Cho hai đường tròn (O ; R) (O’; R’) cắt Avà B(Ovà O’khác phía AB) Một cát tuyến di động qua Bcắt (O) Cvà cắt (O’) Dsao cho B nằm Cvà D

Xác định vị trí cát tuyến CBDđể : a) Chu vi tam giác ACDlớn b) Diện tích tam giác ACDlớn Bài 10 Cho đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác ABC Kẻ đường kính AD Gọi Ilà tâm đường trịn nội tiếp tam giác ABC Các đường thẳng AI, DIcắt đường tròn tâm Olần lượt Hvà K(khác A) Kẻ IJvng góc với BCtại J Chứng minh H, K, J thẳng hàng

4 ABC abc S

R 

2 sinBCAsinACB  sinABC  R



AIQ90o

   

     

      o

;

90 BAE BCE BQP BCP

22

giải toán máy tính điện tử

TH TAỉI

Bài

Cách 1.Đưa a1và a2vào :

1

Khai báo c«ng thøc an23an12an:

3

2

(*) Liªn tiÕp bÊm

(hoặc liên tiếp bấm phím ) để a1532826932

C¸ch 2.TÝnh a3:

2 (a38)

Khai báo công thức an23an12an:

3

3

Liªn tiÕp bÊm

(hoặc liên tiếp bấm phím ) để a1532826932

Cách 3.Đưa a1và a2vào :

1

Khai báo biến đếm :

Khai báo công thức :

Khai bỏo bin đếm công thức :

3

Đưa dòng lệnh khai báo : Lặp lại phím a1532826932 Cách (chỉ trênCasio 570MS) Sau

có (*), bấm tiếp

bấm 14 lần a1532826932 Cách (chỉ trênCasio 570MS) Khai báo

1

3

3

BÊm 14 lần phím a1532826932 Cách 6.Tính a15theo công thức nghiƯm

Bài Vào chương trình giải hệ phương trình bậc ba ẩn Sharp EL-506W:

Trªn Casio fx-570MS :

Khai b¸o hƯ sè : 24.21 2.42 3.85 30.24 2.31 31.49 1.52 40.95 3.49 4.85 28.72 42.81

Bấm phím = để nghiệm : = (x 

= = = = = = = = = = = MODE MODE  MODE

7 17 17 17

68

7 17 17 17

68

n n

n a      

            = B ALPHA  A ALPHA = ALPHA B ALPHA : ALPHA A ALPHA  B ALPHA = ALPHA A ALPHA STO SHIFT A STO SHIFT = = COPY SHIFT  =  SHIFT    B STO SHIFT ALPHA  A ALPHA M STO SHIFT  M ALPHA A STO SHIFT A ALPHA  B ALPHA M STO SHIFT  M ALPHA M STO SHIFT B STO SHIFT A STO SHIFT B A =  B STO SHIFT  A STO SHIFT  B STO SHIFT  B ALPHA   A STO SHIFT  A ALPHA   B STO SHIFT    A STO SHIFT =  B STO SHIFT  A STO SHIFT  B STO SHIFT B ALPHA  A ALPHA A STO SHIFT  B ALPHA B STO SHIFT A STO SHIFT B A

23

lTrong thời gian qua, hưởng ứng chủ trương đưa máy tính điện tử vào nhà

trường Bộ Giáo dục Đào tạo, Tạp chí Toán Tuổi thơ mở chuyên mục

“Giải tốn máy tính điện tử”, cung cấp cho bạn đọc từ kiến thức mở đầu đến nhiều dạng tốn thơng qua viết đề thi có hướng dẫn lời giải Đến nay, nội dung giải tốn máy tính điện tử đăng Tạp chí tương đối đầy đủ để bạn tiếp tục tự nghiên cứu Vì kể từ số Tạp chí tạm dừng chuyên mục hẹn gặp lại bạn thời gian sớm

lThay vào đó, để phục vụ bạn đọc tốt hơn, tăng cường

viết hướng dẫn giải tập áp dụng viết đăng Tạp chí (đây yêu cầu nhiều bạn đọc)

lVì vậy, để nghị tác giả viết có lời giải đầy đủ cho phần tập áp

dụng Mong tác giả bạn đọc tiếp tục ủng hộ Tp

Ban biên tập tạp chí toán tuổi th¬

THÔNG BÁO

0.944433127) (y 1.174293966) (z  1.177527947)

Bấm tiếp phím Sharp EL-506W để định thức : (det 21189.17873)

Vậy : x 0,9444 ; y 1,1743 ; z 1,1775 Lời bình.Sau giải (tìm nghiệm), bấm thêm phím Sharp EL-506W máy báo định thức hệ phương trình bậc ba vừa giải Điều thuận tiện tính định thức bậc ba tay (đặc biệt với hệ số lẻ) phức tạp

Bµi Đáp số : Tỉ lệ bốn trăng khuyết viên gạch (25%) ;

Tỉ lệ diện tích hoa thị viên

gạch (14,27%)

Tỉ lệ diện tích phần lại viên gạch

0,607300918 (60,73%)

Nhn xét.Tuy đề thi HSG lớp 12, dạng quen thuộc Toán Tuổi thơ nên bạn giải tốt Các bạn có lời giải tốt : Võ Quang Dũng, 9B, THCS BC Xuân Diệu ; Đinh Văn Học, 9C, THCS Sơn Lộc, Can Lộc ; Trần Quốc Luật, 9B, THCS Sơn

Hồng, Hương Sơn ; Lê Thị Thanh Nhàn, 8G, THCS Bắc Hồng, Hồng Lĩnh ; Hoàng Thị Nhật Linh ; Nguyễn Thị Hạnh Thúy, 8B, THCS TT Kỳ Anh, Hà Tĩnh ; Nguyễn Xuân Hùng, 9B, THCS TT Cao Thượng, Tân Yên ; Hoàng Văn Tờ, 9D, THCS Thân Nhân Trung, Việt Yên, Bắc Giang ; Nguyễn Ngọc Tuấn, khu 10, Sai Nga, Cẩm Khê ; Nguyễn Xuân Hưng, 8A1 ; Tạ Đức Thành, 8A3, THCS Lâm Thao, Phú Thọ ; Nguyễn Thanh Tùng, 91, THCS Phong Hóa, Tuyên Hóa ; Phan Nữ My Li ; Đỗ Hà Phương, 9A, THCS Quách Xuân Kỳ, Bố Trạch, Quảng Bình ; Nguyễn Thị Hồng Nhung, 9B, THCS Nhữ Bá Sỹ, Hoằng Hóa ; La Văn Thiện, 8A, THCS Lê Hữu Lập, Hậu Lộc, Thanh Hóa ; Nguyễn Minh Cơng, 7A1, THCS Giảng Võ, Hà Nội ; Ngô Vũ Cường, 9A1, THCS Yên Lạc, Vĩnh Phúc ; Bùi Văn Do, 92, THCS Trần Cao Vân, TP Huế, Thừa Thiên - Huế ; Nguyễn Ngọc Long, 7A, THCS huyện Thuận Thành, Bắc Ninh ; Nguyễn Quang Nam, 7C, THCS TT Trới, Hoành Bồ, Quảng Ninh ; Nguyễn Ngọc Phiên, 8B, THCS Phổ Văn, Đức Phổ, Quảng Ngãi ; Trần Thị Phượng, 9A1, THCS Chu Văn An, Thanh Hà, Hải Dương ; Trần Văn Ngọc Tân, 11/1, THPT Hoàng Diệu, Điện Bàn, Quảng Nam ; Trần Mạnh Tuấn, 8A1, THCS Chu Văn An, TP Thái Nguyên ; Nguyễn Văn Việt, số 7, đường Nguyễn Phong Sắc, phường Hưng Dũng, TP Vinh, Nghệ An

Các bạn thưởng kì : Nguyễn Thị Hạnh Thúy, 8B, THCS Thị Trấn Kỳ Anh, Hà Tĩnh; La Văn Thiện, 8A, THCS Lê Hữu Lập, Hậu Lộc, Thanh Hóa; Nguyễn Ngọc Long, 7A, THCS huyện Thuận Thành, Bắc Ninh; Nguyễn Quang Nam, 7C, THCS Thị Trấn Trới, Hoành Bồ, Quảng Ninh ; Nguyễn Ngọc Phiên, 8B, THCS Phổ Văn, Đức Phổ, Quảng Ngãi

1

1

4  8 8 

 

  

 

2 0,142699081

  

1

= = =

24

BÀI TỐN RAmSEY VỀ TƠ MÀU CÁC CẠNH CỦA ĐỒ THỊ

Vấn đề Ramsey mở rộng theo nhiều hướng khác thực trở thành đề tài lớn toán học Một điều thú vị toán Ramsey có nhiều ứng dụng khác vấn đề tưởng chừng thuộc lĩnh vực khác tốn học

Chẳng hạn giải tốn hình học sau cách sử dụng toán Ramsey Trước hết giải toán sau :

Bài toán 4.Chọn sáu điểm tùy ý đường tròn cho khoảng cách chúng đôi khác Chứng minh tam giác có đỉnh ba điểm số sáu điểm tồn tam giác mà cạnh nhỏ cạnh lớn tam giác khác

Chứng minh.Trong trường hợp điểm A1, A2, , A6nằm đường tròn ta cần chọn điểm liên tiếp có số đo nhỏ nhất, chẳng hạn cung A1A2A3 Dễ thấy cạnh A1A3 cạnh lớn tam giác A1A2A3 cạnh nhỏ tam giác A1A3A5

Bài tốn cịn sáu điểm lấy khơng nằm đường trịn Trong trường hợp tốn trở nên khó cần phải có kiến thức số Ramsey

Bài toán 5.Sáu điểm mặt phẳng xếp cho ba điểm

no chúng thẳng hàng khoảng cách chúng đôi khác Chứng minh tam giác có đỉnh ba điểm số sáu điểm tồn tam giác mà cạnh nhỏ cạnh lớn tam giác khác

Chứng minh Tô màu đỏ đoạn thẳng cạnh lớn tam giác có đỉnh ba số điểm cho Các đoạn thẳng không tô màu đỏ tô màu xanh Khi theo định lí Ramsey, ta có tam giác có ba cạnh màu Màu cạnh nhỏ tam giác màu đỏ Như vừa cạnh nhỏ tam giác cạnh lớn tam giác khác có đỉnh số sáu điểm cho

Một số toán lĩnh vực số học tập hợp đưa giải toán Ramsey Chẳng hạn toán sau :

Bài toán 6.Chia số 1, 2, 3, vào hai tập hợp Chứng minh tồn tập hợp chứa hai số a b (cã thĨ b»ng nhau) cho a b cịng thc tập hợp

Chng minh Bi toỏn ny liờn quan tới vài số tự nhiên, nên bạn tìm thấy nhiều lời giải đơn giản Chẳng hạn, ta xét Alà tập hợp chứa số 1, tập hợp Bcòn lại chứa số 2, khơng chọn a1 b2 Tương tự, tập hợp PGS TSKH.Vũ Đình Hịa(Hà Nội)

25

A chứa số 4, không ta chọn a  2, b  Khi  B, không ta chọn a 1, b 4 Bây Ata chọn a1, b3 a2, b3 cho trường hợp B Bài toán chứng minh

Nhưng ta thay số số lớn hai tập hợp nhiều tập hợp, tốn trở nên khó Trong trường hợp đó, ta sử dụng lời giải mà Xin giới thiệu với bạn lời giải dùng số Ramsey Lời giải giúp giải tốn tổng qt

Lời giải sau

Chứng minh.Trước hết ta tô màu hai tập hợp cho màu đỏ màu xanh Ta xét đồ thị đầy đủ K6với đỉnh đánh số 0, 1, , Ta tô màu cạnh nối hai đỉnh ivà jbởi màu tập hợp chứa hiệu |ij| Khi theo định lí Ramsey, ta có đỉnh x> y> zmà cạnh nối chúng tô màu, chẳng hạn màu đỏ Đặt axy, byzvà cxzta có a, bvà ccùng thuộc tập hợp abc

Tác giả viết muốn nhường cho bạn niềm vui khám phá bí mật số Ramsey cách tổng qt hóa định lí Ramseyvới nhiều màu thử sức với tốn sau :

Bài tốn Chứng minh tơ màu cạnh đồ thị đầy đủ K17bởi ba màu ln có tam giác (một đồ thị đầy đủ K3) có cạnh tơ màu Bài tốn 8.(Kì thi tốn quốc tế lần thứ sáu, 1964) Có 17 nhà bác học viết thư cho nhau, người viết thư cho tất người khác Các thư trao đổi với ba đề tài, cặp hai nhà bác học viết thư cho đề tài Chứng minh khơng ba người viết thư cho đề tài

KÕt qu¶

(TTT2 sè 39)

- Giải đặc biệt :200.000 đồng Lê Thùy Linh, bố Lê Bá Quý, Bảo hiểm xã hội huyện Đức Thọ, Hà Tĩnh (số máy 0912344313) ;

- Giải khuyến khích :100.000 đồng Đỗ Thị Thu Hà, 103 An Dương Vương, phường Trưng Nhị, TX Phúc Yên, Vĩnh Phúc (số máy 0988683114) ;

2 Nguyễn Hồng Quân, bố Nguyễn Hồng Hải, khu 5, x· Phó Léc, Phï Ninh, Phó Thä (sè m¸y 0988930677) ; Mỵ Trung Tín, mẹ Nguyễn Thị Nam, Tiểu khu 1, thị trấn Nga Sơn, Cuộc chơi tin nhắn tạp chí Toán Tuổi thơ tiÕp tơc víi h×nh thøc míi :

lSố máy nhắn tin 8109 Mọi mạng di động nhắn tin đến số máy

lTrả lời trực tiếp cách gọi đến số 19001548và làm theo dẫn

l Nội dung dự thi qua 8109 19001548 hướng dẫn trực tiếp có phần thưởng riêng cho chuyên mục lThời hạn dự thi tròn tháng kể từ ngày tạp chí Kết thơng báo : tạp chí cách sau số gọi đến 19001548 ; gửi tin nhắn 3T DSTT2đến 8109

26

l

arbitrary :

tïy ý

(tÝnh tõ)

l

hypothesis :

giả thiết

(danh từ)

l

contradiction :

mâu thuẫn

(danh từ)

l

at most :

nhiều

(trạng từ)

l

in terms of :

theo

(cụm giới từ)

l

reach :

đạt tới

(động từ)

Solution E15

Consider an arbitrary student

A

.

Suppose that

A

is assigned on days.

By hypothesis, the number of students working

with

A

is



2



8 (students).

Since at most one student is assigned on two

distinct days, these students are different.

Then the least possible number of members in

group is



8



9, this leads to a contradiction as

there only students.

Therefore the largest possible number of days

in which a student is at work is 3.

Then the total number of students taking part in

the work reaches at most



3



24 (students).

Deduces the maximum number of days is

24 :



8.

Here is an example of assignment 1

st

day :

ABC

; 2

nd

day :

ADE

; 3

rd

day :

AFG

; 4

th

day :

BDF

; 5

th

day :

BEH

; 6

th

day :

CDH

; 7

th

day :

CEG

; 8

th

day :

FGH

.

Nhận xét.

Cơng mà nói đề

bài tiếng Anh kì có phần khó

hiểu, lí cần đặc biệt hoan

nghênh số bạn gửi Tuy

vậy dù muốn, tòa soạn vẫn

khơng tìm bạn để trao giải.

Các bạn chịu khó nghiên cứu lời giải

nhé Hi vọng lần sau nêu

tên nhiều bạn để trao thng.

ts ngô ánh tuyết

(NXBGD)

Problem E17.

(Proposed by Ngo Anh Tuyet, Hanoi

Education Publishing House)

Five pupils

A, B, C, D

and

E

stand in a row in a certain order They hold 30 flags

altogether.

The pupils on the right of

C

hold 23 flags

The pupils on the left of

B

hold 18 flags.

The pupils on the left of

D

hold 12 flags.

The pupils on the left of

E

hold 22 flags.

27

l

KÕt qu¶ :

(TTT2 sè 39)

Do không hiểu đặc điểm hoạt động loài vật nên sửa số bạn lộn xộn Bạn HQH (Hà Tĩnh) viết “Con cơng tắm nắng”và “Cà cuống múa bóng cây”là sai “Cồng cộc tắm nắng”cịn “Con cơng múa bóng cây” Lộn xộn hết

được xếp lại sau : Châu chấu nhai cắn lúa ngô Cà cưỡng tập nói líu lo suốt ngày

Cào cào phá hoại vườn Cà cuống có tinh dầu cay, thm nng

Cồng cộc tắm nắng rỉa lông

Con cò lượn trắng cánh đồng sớm mai Con cú quen thói ngủ ngày

Con cơng múa bóng tưng bừng Con cầy nhanh lẩn vào rừng

Con cuốc gọi hạ vang lừng bÃi hoang Còng có lớn, chân lông Chim cắt lơ lửng không rình gà

Cánh cam xanh biếc màu da

Cóc nhảy quanh quẩn bên nhà chẳng nhanh Con c¸o nỉi tiÕng tinh ranh

Cua khó bị dọc nên đành bò ngang Cun cút lủi trốn nhẹ nhàng Con cáy chăm đào hang bờ

Cá cấn ruộng lượn lờ

Cá cơm làm mắm, đậm đà thơm ngon Năm bạn thưởng kì : Nguyễn Kim Ngọc Khanh, 72, THCS Lê Văn Thiêm, TX Hà Tĩnh, Hà Tĩnh; Diệp Bảo Cường, 852, Quang Trung, An Khê, Gia Lai ; Đoàn Xuân Trung, 7B, THCS Dư Hàng Kênh, Lê Chân, Hải Phòng ; Nguyễn Thị Thu HươngA, 8A, THCS Lập Thanh, Lập Thạch, Vĩnh Phúc ; Nguyễn Việt Huy, bố Nguyễn Văn Dũng, chi nhánh điện Ba Vì, Hà Tây

Phó Bình Ngoài cách gửi dự thi tạp chí, c¸c

bạn tìm từ thích hợp để thay từ “Cà Mau” câu “Cà Mau có suối Lê-nin”, cách gọi đến số 19001548 làm theo dẫn nhắn tin đến số 8109 theo mẫu 3T V2 X Y, Xlà đáp án bạn (các chữ viết liền nhau, khơng có dấu) ; Ylà số người có đáp án

Sau chuyến du lịch “xuyên Việt”, bạn nhỏ làm thơ ghi lại ấn tượng số nơi đất nước ta Nhưng có lẽ du lịch vui nên bạn nhầm lẫn hết Các bạn sửa giúp !

Cà Mau có suối Lê-nin Có núi Các Mác tên in sử vàng

Phú Thọ có ải Chi Lăng

Quõn xõm lc ó bao ln b thây Điện Biên rừng núi mây Núi cao nước bạn

Lào Cai mảnh đất thật xa

Ba bề biển bạc mặn mà yêu thương Quảng Ninh sâu nặng quê hương Một miền đất tổ thiêng liêng bao đời

Cao Bằng - Tây Bắc xa vời Đồi A1 thời lừng vang

Lạng Sơn miền đất than

28

Chó Khoa ¬i !

Cháu đọc đọc lại thơ “Nhớ bà” chị Mít Ướt mà có nói đến tạp chí Tốn Tuổi thơ Hồn cảnh chị thật đáng thương Cháu mong đến lớp 7B trường THCS Quan Hóa, Thanh Hóa để tặng quà cho chị ấy, khơng ? Hồn cảnh cháu chẳng khác chị ấy, bà nội cháu lại bị lẫn Cháu thương bà Cháu có viết thơ hưởng ứng “Nhớ bà” chị Mít Ướt Cháu muốn chuyển cho chị tặng bạn khơng cịn bà

Đặng Thùy Dương

(6A3, THCS Trần Đăng Ninh, TP Nam Định, Nam Định)

Trần Đăng Khoa :

Chỳ cú qu cho Mớt Ướt chờ thơng tin thêm Mít Ướt, Mít Ướt biệt danh tác giả thơ “Nhớ bà” Chú nói với Mít Ướt trị chuyện với Khoa nên mang tên thật, đừng mang biệt danh Nghe kinh chết ! Chắc chắn Mít Ướt khơng phải tên thật tác giả thơ “Nhớ bà” Con gái xinh xắn, kháu khỉnh mà lại mít ướtthật hãi lắm, có nguy đâu bị ruồi bâu

Tác giả với đồ hóa trang Mít Ướt có thơ cảm động viết bà Chú nhớ thơ : “Bà bà vội đâu - Để cho miếng vỏ cơi trầu mồ côi - Cơi trầu khơ trầu - Cịn đâu dáng bà ngồi xiêu xiêu - Lời ru xế đổ bóng chiều - Nhà gianh phên nứa hắt hiu nhớ bà Cháu nhìn giếng nước gốc na -Rưng rưng lại thấy bóng bà lên ”

Đặng Thùy Dương nhờ chuyển đến Mít Ướt bạn khơng may mắn khơng cịn bà thơ sau :

Bà ! Bà già, tóc bạc

Tính tình nóng nảy lại hay nói nhiều Nhưng bạn đừng trách bà Bà già, lẩm cẩm Trách bà sau bạn hối chẳng kịp Bà thương bà nhiều Hãy khiến bà vui lời tâm Để bà thản lúc già

Hồn cảnh khơng có đành bó tay Xin đau buồn mà quên học tập Hóy hc tt lờn hi cỏc bn

Để nơi chín suối bà vui lòng

29

l

KÕt qu¶ :

(TTT2 sè 39)

Đặng Thị Tường Vi (8/3, THCS Phạm Hồng Thái, TP Pleiku, Gia Lai)

Nếu bạn thường xuyên tới thư viện - LIBRARY vào thăm Vườn Anh kì bạn gặp lại khái niệm thân quen : CATALOGUE - Thư mục ; DICTIONARY Từ điển ; BOOK -Sách ; LIBRARIAN - Thủ thư ; MAGAZINE - Tạp chí ; JOURNAL - Báo ; LIBRARY CARD - Thẻ thư viện

Hãy biết trân trọng, nâng niu ấn phẩm mà bạn mua để đọc, sách bạn bè, người thân tặng cho, bạn có thư viện nhỏ riêng

mình

Các bạn thưởng kì : Trần Văn Ngọc Hưng, thơn Phong Thử 1, Điện Thọ, Điện Bàn, Quảng Nam ; Bùi Thị Vân Khánh, 106 tổ 37, p Quang Trung, TP Thái Bình, Thái Bình ; Nguyễn Thành Huy, 7B, THCS Hoàng Xuân Hãn, Đức Thọ, Hà Tĩnh ; Nguyễn Thị Thùy, đội 5, Hoa Lộc, Hậu Lộc, Thanh Hóa ; Phạm Kiều Linh, 6A1, THCS Hai Bà Trưng, Phúc Yên, Vĩnh Phúc

Chủ Vườn

Ô chữ :

TAM GIÁC

l

Kì :

Ơ chữ : Th vin

Ngoài cách gi dự thi v tạp chÝ,

các bạn đoán từ hàng ngang thứ ba từ xuống, cách gọi đến số 19001548và làm theo dẫn nhắn tin đến số 8109 theo mẫu 3T VA2 X Y, Xlà đáp án bạn (các chữ viết liền nhau) ; Ylà số người có đáp án

- What you call a monkey with two bananas in his ears ?

- You can call him anything because he can’t hear you

Hång B¾c (st)

CƯỜI TRONG VƯỜN ANH

30

(TTT2 số 39)

Cầu trời mưa thuận gió hòa

Cầu chúc năm nhà an khang Cầu cạnh kẻ háo danh làm

Cầu Kiều giỏi bắc sang nhà thầy Cầu vồng bảy sắc trời mây

Cầu cảng tàu lớn chỗ vào Cầu tre lắt lẻo khó qua

Cầu hôn nam nữ tặng quà trao duyên Cầu dao ngắt điện liền

Cầu tiến ý chí niên dựng đời Cầu treo cáp giữ trời

Cầu phao thả cho người qua sông Cầu thủ phải biết hiệp đồng Cầu mơn sút bóng vào reo hị

Cầu Giấy tên quận thủ

Cầu Thê Húc bóng soi h Gm xanh

Cầu mây chân phải tập tành

Cầu cứu kêu gọi nhanh nhanh giúp Thảo dân giải thật tài tình

Trm õy ban thng, rinh quà ! Ban thưởng : Vũ Thị Thanh Hoa, 7D, THCS Nguyễn Hiền, Nam Trực, Nam Định ; Lê Thị Mỹ Hạnh, mẹ Trần Thị Lan, Chịm Hịa Trung, TT Hịa Bình, Tương Dương, Nghệ An; Nguyễn Thị Vân Anh, 6B, THCS Bình An, Can Lộc, Hà Tĩnh; Huỳnh Thị Cẩm Vân, mẹ Nguyễn Thị Cẩm Bình, Văn phịng Đồn Đại biểu Quốc hội tỉnh Quảng Ngãi, Quảng Ngãi; Nguyễn Văn Bình, tổ 8, khu phố 2, TT Hà Lam, Thăng Bình, Quảng Nam

Vua Tếu

l

Kết :

Thánh :

Chim nghiện ngập đáng chê ? Chim dao kéo tay nghề tinh thơng ?

Chim dễ lòng ? Chim cất giữ tiền không lo ?

Chim bị đuổi ? Chim bắt cá thả måi ?

Chim thăm viếng khắp nơi ? Chim mách mối lừa người kiếm ăn ?

Chim nặng hàng chục cân ?

Chim gỡ gây chuyện bất nhân hại người ? Chim cay đắng ngậm ngùi ?

Chim kêu gọi giúp người khó khăn ? Chim nhắn nhủ ân cần ?

Chim chẳng để nợ nần dây dưa ? Chim tấu nhạc say sưa ?

Chim ăn cám sớm trưa chuồng ? Phan Huy Hùng (7D, THCS Đặng Thai Mai, Vinh, Nghệ An)

Hỏi :Anh có đọc hết không ? Hay anh đọc theo kiểu “ bốc thăm” ?

Vũ Thị Thu Hà (8A, THCS Vĩnh Tường, Vĩnh Phúc) Đáp :

Ngµy ngµy anh ­íc, anh mong Bµi nhiỊu anh thÊy

trong lịng sướng vui Đọc nhiều, hiểu “em tui” Dại bỏ sót bùi ngùi

ruột gan Hỏi :Em học lớp 7, từ nhỏ bố mẹ em hi vọng em lớn lên trở thành bác sĩ giáo viên Nhưng em lại thấy thích nghề kinh doanh Anh bảo em phải làm để “thuận ụi ng ?

Nguyễn Thị Thơ (Đồng Mẫu, Hoằng Lộc, Hoằng Hóa, Thanh Hóa) Đáp :

Bố mẹ hi väng chøa chan Em cịng ®ang thÊy

rén ràng ước mơ Cần phải thuận

bây ? Đôi bên hi vọng,

ước mơ tưng bừng ! Hỏi :Bạn em yêu Văn Nhưng bố chuyên viên Vật lý lại không cho theo Văn mà phải theo Toán Nó bảo : Tớ yêu Văn

bng c trỏi tim nhng s học Tốn khơng phải trái tim định đúng” Huynh giúp muội ! Vì linh hồn muội !

Milky Way

(8B, THCS Thụy Lương, Thái Thụy, Thái Bình) Đáp :

Yêu Văn huynh Học Toán huynh cng

lẫy lừng Theo hai

chẳng thừa Như huynh : dạy Toán

lại vừa thích Văn Hỏi :Tại bạn lớp 6, lớp chưa học bất đẳng thức Cô-si mà dùng bất đẳng thức để giải toán khen TTT ? Như có ngược đời khụng ?

Đinh Quang Phú (7D, THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh, Nghệ An) Đáp :

Ngc i ngược “mần răng” ? Trên lớp “nỏ” học

nhưng : đọc thêm ! Say mê nhiều lúc

cũng quên Mình học lớp nên

thế ? Hỏi : Bài giải gửi tạp chí hạn hay

cµng nhanh cµng tốt ? Nguyễn Kim Ngọc Khánh

(72, THCS Lê Văn Thiêm, TX Hà Tĩnh, Hà Tĩnh) Đáp :

Em giải sớm hay Còn phải

bao ngày Nếu bạn nơi xa Cứ gửi hạn,

tốt khen Hỏi :Vụ án em phá án Sê-Lốc-Cốc Vậy em đủ tư cách làm thám tử chưa ?

Thá Con

(6A1, THCS Hai Bµ Trưng, Phúc Yên, Vĩnh Phúc) Đáp :

Trm nm cõi người ta Chữ “chơi”, chữ “thật”

khÐo mà khác Mong em khôn lớn

mau mau Học nhiều

và chau chuốt dần Trở thành thám tử xuất thần Phá nhiều vụ án

để dân nhờ

32

Bµi 2(41).Chøng minh r»ng 321224681 chia hÕt cho 1930

Tống Thành Vũ (Lớp Kĩ thuật Viễn thông B, K41, ĐHGTVT Hà Nội) Bài 3(41).Tìm nghiệm nguyên dương phương trình :

Ngun Anh Hoµng (THCS Ngun Du, Q.1, TP Hå ChÝ Minh)

2005 2004 2.

2004 4009 2005

   

 x y 

x y y x

Bài 4(41) Cho tam giác vuông ABC( ), BCa, ACb, ABc Gọi hclà độ dài đường cao tam giác kẻ từ C Chứng minh bất đẳng thức :

Đẳng thức xảy ?

Nguyễn Quang Đại (Hà Nội) 2(1 2) c

a b c h

   

 90o C

Bài 1(41) Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị nh nht ca xyz

Lê Xuân Đại (THPT chuyên VÜnh Phóc, VÜnh Phóc)

3

3

  

x xy xyz

English version translated by Pham Van Thuan

1(41).Let x, y, zbe positive real numbers

such that Find the

maximum value of the expression xyz 2(41).Prove that 321  224 68 is divisible by 1930

3(41) Find all the positive integer solutions of the equation

4(41).Let ABC be a right-angled triangle with angle C90o, BCa, ACb, ABc.

Let hcbe the altitude of the triangle from

C Prove that

Determine when equality holds ? 5(41).Given a triangle ABCwith angle A60o, the circle (O) inscribed in triangle ABC, touches the sides AB, AC, BC at points D,E,F The line DEintersects the lines BO,CO, respectively at N, M Find the area of triangle MNF in terms of the area of triangle ABC

2(1 2) c

a b c h

   

2005 2004 2.

2004 4009 2005

   

 x y 

x y y x

3

3

  

x xy xyz

Bài 5(41).Cho tam giác ABCcó Đường trịn tâm Onội tiếp tam giác ABC, tiếp xúc với cạnh AB, AC, BClần lượt điểm D, E, F Đường thẳng DEcắt đường thẳng BO, COlần lượt điểm N, M Tính diện tích tam giác MNF theo diện tích tam giác ABC

Bùi Văn Chi (THCS Lương Thế Vinh, TP Quy Nhơn, Bình Định)  60o