(1,0 điểm) Một kho hàng nhập gạo (trong kho chưa có gạo) trong 4 ngày liên tiếp và mỗi ngày (kể từ ngày thứ hai) đều nhập một lượng gạo bằng 120% lượng gạo đã nhập vào kho trong ngày [r]
(1)ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU Năm học 2020 -2021
HỘI ĐỒNG TUYỂN SINH LỚP 10 Mơn thi: TỐN (khơng chun) Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian phát đề
Câu (1,0 điểm) Cho ba biểu thức ( )
( ) ( )
( )( )
3
2
1
8 ,
4
3
x x
x x
M N
x x
x
+ -
-= =
- +
+ +
x P
x
= +
a) Tìm tất số thực x thỏa mãn M = -x
b) Trong trường hợp biểu thức M N, P xác định, rút gọn biểu thức Q=MN+P Câu (3,0 điểm)
a) Giải phương trình
( 4 5) 3 0.
1
x x
x x
x
ổ- + + ữử
ỗ ữ
+ - ỗỗ ữữ=
ữ
ỗ
-è ø
b) Cho hai số thực ,m n thỏa mãn hai đường thẳng ( )d y: =mx m+ ( )d1 :y= +x 3m+2n mn- cắt tại
điểm I(3;9 ) Tính giá trị mn m
n
c) Cho hình chữ nhật ABCD có chu 28 (cm) nội tiếp đường trịn ( )C có bán kính R=5 (cm) Tính diện tích hình chữ nhật ABCD
Câu (2,0 điểm) Gọi ( ) ( )P , d đồ thị hàm số y=x2 y=2mx+3
a) Chứng minh đường thẳng ( )d cắt parabol ( )P hai điểm phân biệt A x y( 1; 1), B x y( 2; 2) với mọi số thực m Tính y1+y2 theo m
b) Tìm tất số thực m cho y1- 4y2= -x1 4x2+3x x1
Câu (1,0 điểm) Một kho hàng nhập gạo (trong kho chưa có gạo) ngày liên tiếp ngày (kể từ ngày thứ hai) nhập lượng gạo 120% lượng gạo nhập vào kho ngày trước Sau đó, từ
ngày thứ năm kho ngừng nhập ngày kho lại xuất lượng gạo
10 lượng gạo kho ngày trước Hãy tính lượng gạo kho hàng nhập ngày thứ trường hợp sau:
a) Ngày thứ ba, sau nhập xong kho có 91 gạo
b) Tổng số gạo xuất ngày thứ năm thứ sau 50,996 gạo
Câu (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn ( )T có tâm ,O có AB=AC ·BAC>90 Gọi M trung ddiemr đoạn AC Tia MO cắt đường tròn ( )T điểm D Đường thẳng BC cắt đường thẳng AO AD điểm N P,
a) Chứng minh tứ giác OCMN nội tiếp BDC· =4ODC·
b) Tia phân giác BDP· cắt đường thẳng BC điểm E Đường thẳng ME cắt đường thẳng AB điểm
(2)c) Chứng minh tam giác MNE cân Tính tỉ số DE DF -Hết -LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1.
a) Điều kiện xác định M : x³ Với điều kiện này, ta có:
3 2 4
2
2 4
x x x x
M x
x x x x
Do phương trình M = -x tương đương:
( )( )
2 2
x- = -x Û -x x- = Û x- x+ = Û x = Û x=
thỏa x³ Vậy x=4 giá trị cần tìm
b) Điều kiện để ba biểu thức M N P, , xác định x³ x¹
Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 3
1 2 3 1 2 2
4 4 2 2
x x x
N
x x x x x x x
+ - - +
= = = =
- + - + - - +
Do đó, ta có:
( 2) ( )(2 )
2 2
2
x x
Q x
x x x
x x
= - × + = + =
+ + +
- +
Vậy Q=1 Câu 2.
a) Điều kiện: x³ x¹ Phương trình tương đương x4+4x2- =5 1( ) x+ = -3 x
Ta có: ( ) ( )( )
2
1 Û x - x + =5
Do x³ x¹ nên phương trình vơ nghiệm
Lại có
( )
( )2 ( ) ( )
3
2 3
1
3
x x
x x x
x x x x ì £ ì ï ï £ ï ï Û + = - Û íï Û íï - - = Û = + = -ï ïỵ
ỵ Nhưng x³ 0 x¹ 1 nên
phương trình vơ nghiệm
Tóm lại phương trình cho vơ nghiệm
b) Điều kiện để ( )d ( )d1 cắt m¹ 1. Ta lại có I thuộc ( )d ( )d1 ,nên ta có hệ:
4
3
3
m m
m n mn
(3)c) Độ dài đường chéo AC đường kính đường trịn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD nên 10 ( )
AC= cm Đặt AB=a cm( ) BC=b cm( ) với ,a b>0. Khi diện tích hình chữ nhật ABCD là
( 2).
ab cm
Theo giả thiết ta có: 2(a b+ =) 28Þ a b+ =14 Lại có a2+ =b2 AC2=100
Suy ra:
( )2 ( 2 2) 2
14 100 48
2
a b a b
ab= + - + = - =
Vậy diện tích hình chữ nhật ABCD ( ) 48 cm Câu 3.
a) Phương trình hồnh độ giao điểm ( )P ( )d là: x2- 2mx- =3
Ta thấy ac= ×-1( )3 =- <3 0nên phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt x x1; 2 trái dấu nhau. Do ( )P cắt ( )d hai điểm phân biệt A x y( 1; 1),B x y( 2; 2) với m
Áp dụng định lý Viete, ta có: x1+ =x2 2m x x1 2=3
Do y1+y2 =(2mx1+ +3) (2mx2+ =3) 2m x( 1+x2)+ =6 4m2+6 Vậy y1+y2=4m2+6
b) Ta có: y1=x12
2 2
y =x nên phương trình tương đương:
( )( ) ( )( )
2 2
1 2 1 2
1 2 2
1
1
4 3 4
4 4
1
x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x
x x
x x
- = - + Û - - =
-Û + - = - Û + - - =
é + = ê
Û ê =ë
Nếu x1=4x2
2 x x = x =- vô lý.
Nếu x1+ =x2 2m=1 hay
m=
Vậy m=
giá trị cần tìm Câu 4.
Gọi x (tấn) lượng gạo nhập vào ngày thứ với x>0 Khi lượng gạo nhập vào kho
ngày thứ hai, thứ ba, thứ tư
6 36
120% , 120%
5 25
x= x ổ ửỗỗ ữỗố ứxữữ= x v
36 216
120%
25x 125x
ổ ửữ
ỗ ữ=
ỗ ữ
ỗố ứ
a) Tng lng go nhập vào kho sau ngày thứ ba
6 36 91
5 25 25
x+ x+ x= x
(tấn)
Theo giả thiết ta có: 91
91 25
(4)Vậy ngày thứ kho hàng nhập 25 gạo
b) Sau ngày thứ tư, tổng lượng gạo nhập vào kho
6 36 216 671
5 25 125 125
x+ x+ x+ x= x
(tấn)
Do đó, lượng gạo kho xuất ngày thứ năm thứ sau
1 671 10 125x
æ ửữ
ỗ ữ
ỗ ữ
ỗố ứ và
1 671 671
10 10 125x 100 125 x
ộ ổỗ ửữự ổ ửỗ ữ ỗỗ ữữỳ= ỗỗ ữữ
ờ ố øú è ø
ë û Theo giả thiết ta có:
1 671 671
50,996 50
10 125x 100 125x x
ỉ ư÷ ổ ửữ
ỗ ữ+ ỗ ữ= =
ỗ ữ ỗ ữ
ỗ ỗ
ố ứ è ø
Vậy ngày thứ kho hàng nhập 50 gạo Câu 5.
a) Do M trung điểm AC nên OM ^ACÞ OMC· =90
Lại có AB=AC OB=OC nên AO trung trực BCÞ AO^BCÞ ONC· =90 Từ suy tứ giác OCMN nội tiếp
Ta có: AB=AC nên »AB=»AC suy DA tia phân giác ·BDC nên ·BDC=2·ADC ( )1 Mặt khác OM trung trực AC D OMỴ nên DM trung trực AC
Suy DM phân giác ·ADCÞ ·ADC=2ODC· ( )2 Từ ( )1 ( )2 suy BDC· =4ODC·
b) Ta có
· sd· sd· sd· sd¶ sd· · .
2 2
BD AC BD AB AD
APC= + = + = =ACD
Mà ·ACD=·DAC nên ·APC=PAC· Suy tam giác APC cân CA CP=
(5)Mà DE phân giác BDP· nên DE^BC
Tứ giác DEMC có DEC· =DMC· =900 nên tứ giác nội tiếp Suy ra: MEC· =MDC· =MDA· Từ DBE· +·BEF=DAC· +MDA· =90
Do EF ^BD hay ME^BD
c) Do tứ giác OCMN nội tiếp nên
· · 1· · 2· .
2
MNC=MOC= AOC=ADC= MDC
Mặt khác ta lại có MNC· =MEC· +NME· MEC· =MDC· (câu b) nên ·NME=MEC· Suy tam giác MNE cân N
Chú ý tứ giác ABDC EMCD nội tiếp nên ta có: FAD· =BCD· =EMD· =FMD· Do tứ giác FAMD nội tiếp Suy EFB· =MDA· =MDC· =MEN· =BEF·
Vậy tam giác BEF cân B Mà BD^EF nên BD trung trực EF