Vậy ta có điều phải chứng minh.[r]
(1)ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2020
MƠN THI: TỐN (cho tất thí sinh) Thời gian làm bài: 120 (không kể thời gian phát đề) Câu 1.
a) Giải hệ phương trình: ( )
2
3
7
9 70
x y xy
x xy x y
ìï + + = ïí
ï = +
-ïỵ
b) Giải phương trình: 11 5- x+8 2x- =1 24 5+ ( - x) (2x- ) Câu 2.
a) Tìm ,x y nguyên dương thỏa mãn: x y2 2- 16xy+99=9x2+36y2+13x+26 y b) Với ,a b số thực dương thỏa mãn:
2£ 2a+3b£ 5 2
8a+12b£ 2a +3b +5ab+10 Chứng minh rằng: 3a2+8b2+10ab£ 21
Câu
Cho tam giác ABC có BAC· góc nhỏ ba góc tam giác nội tiếp đường trịn ( )O Điểm D thuộc cạnh BC cho AD phân giác BAC· Lấy điểm M N, thuoocj ( )O cho đường thẳng
CM BN song song với đường thẳng AD a) Chứng minh AM =AN
b) Gọi giao điểm đường thẳng MN với đường thẳng AC AB, , E F Chứng minh bốn điểm , , ,B C E F thuộc đường tròn
c) Gọi ,P Q theo thứ tự trung điểm đoạn thẳng AM AN, Chứng minh đường thẳng ,
EQ FP AD dồng quy.
Câu 4.
Với , ,a b c số thực dương thỏa mãn a b c+ + =3 Chứng minh rằng: ( )
( ) (( ) ) (( ) )
2 2
2 2
2 2
a a bc b b ca c c ab
b ab c c bc a a ca b
+ + +
+ + ³
+ + +
(2)LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu
a) Phương trình thứ hai hệ tương đương:
( )
( ) ( )( )
( )( )
3
3 2
3
2
9 70
7 70
10
2
2
x xy x y
x xy x y x xy y
x xy y
x y x xy y
x y x y - = -Û - = - + + Û + - = Û - + + = é = ê Û ê = = ë
Ta có: x= =y khơng thỏa hệ
Với x=2 ,y ta có:
2
7
1 y y y é = ê = Û ê =-ë
Với y=1, ta có: x=2 Với y=- 1, ta có: x=-
Vậy hệ cho có hai nghiệm (x y; ) (= - 2; , 2;1 - ) ( )
b) Điều kiện:
5
2£ £x Đặt a= 5- x b, = 2x- 1 với ,a b³ 0 2 2a + =b Khi phương trình cho trở thành:
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
11 24
3 15
3 15
2
2
3
a b ab
a b a b a b ab
a b a b a b a b
a b a b
a b a b + = + Û + + + = + + = Û + + + = + + + Û + - + - = é + = ê Û ê + = ë
Trường hợp 2a b+ =5 kết hợp với 2a2+b2=9, ta có: ( ) ( )( )
2
2a + -5 2a = Û9 a- 3a- =0
Với a=2, ta có: x=1 Với , a= ta có: x=
Trường hợp a b+ =3 kết hợp với 2a2+b2=9, ta có: ( ) ( )
2
(3)Với a=2, ta có: x=1 Với a=0, ta có: x=5
Vậy phương trình cho có ba nghiệm
, 1,
9
x= x= x=
Câu 2.
a) Phương trình tương đương:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
2
20 100 13
10 13
x y xy x xy y x y
xy x y x y
+ + = + + + + +
Û + = + + + +
Đặt x+2y=a, ta có: 9a2+13a+1 số phương với a>0
Mà ( ) ( )
2 2
3a+1 <9a +13a+ <1 3a+3 , 2 ( )2
9a +13a+ =1 3a+2 Û a=3
Với a=3, ta có
2
1
x y
x y
xy
ì + =
ïï Û = =
íï = ïỵ
Vậy hệ cho có nghiệm (x y; ) ( )= 1;1
b) Ta có: ( ) ( ) ( ) ( )
2
8a+12b£ 2a +3b +5ab+10Û 2a+3b £ 2a+3b a b+ +10
Đặt x=2a+3 ,b y= +a b với 2£ £x Ta có: ( )1 trở thành:
5
4 10
2
y
x xy
x
£ + Û + ³
Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành: x2- y2£ 21Û x2+ £4 y2+25 Ta có:
2
2
2 2
25 4
25 25 25 25
4
y y
y
x x x x x
ỉ ư÷ ỉ ỉ ỉ ổ
ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ç ÷ ç ÷
+ = ççç + ÷÷+ ỗốỗ- ữứữ ốỗỗ + ữứữ+ ốỗỗ- ữứữ + ỗỗố- ữữứ
è ø
Ta cần chứng minh:
2
8 25 x
x
ổ ửữ
ỗ
+ ỗỗố- ữữứ +
Thật bất đẳng thức cần chứng minh tương đương: ( ) ( ) ( )( )
4
29 100 2 5
x - x + £ Û x- x+ x- x+ £ Bất đẳng thức cuối 2£ £x
Đẳng thức xảy x=5, y=2 hay a= =b Vậy ta có điều phải chứng minh
(4)a) Do BN CM song song với AD kết hợp với AD phân giác BAC· , ta có:
· · · · .
NBC=DAB=DAC=ACM
Suy ra: NBCÃ =ÃACM hay ằAN=ẳAM ị AN=AM
b) Ta cú:
· sd¼ sd» sd» sd» sd» · .
2 2
AM BN AN BN AB
AFE= + = + = =ACB
Do BCEF tứ giác nội tiếp
c) Gọi S giao điểm EQ AD, K giao điểm AD EF Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ANK có cát tuyến ESQ, ta có:
1
QA EN SK
QN EK SA× × = hay
EN SK
EK SA× = Q trung điểm AN
Suy ra:
EN SA
EK =SK
Gọi S¢ giao điểm FP AD
Tương tự áp dụng định lý Menelaus cho tam giác AMK có cát tuyến PS F¢, ta được:
S A FM
S K FK
¢ = ¢
Ta cần chứng minh
EN FM
EK = FK hay
FM FK
EN =EK Thật vậy, theo định lý Tales, ta có:
KM DC AC AF FK
(5)Suy ra:
FK KM FK KM FM
EK KN EK KN EN
+
= = =
+
Do ,
FM FK
EN =EK hay
FM EN
FK =EK
Từ ta có:
SA S A
SK S K
¢ =
¢
Suy Sº S¢ hay EQ FP, AD đồng quy Câu 4.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwars, ta có: ( )
( ) ( ( ) ) ( ( ) )
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
3 3
2 2
a abc a b c abc
a a bc a b c abc
ab bc ca
b ab c ab ab c ab ab c
æ ö
+ + + +
+ = ³ ỗ + + + ữữ
=ỗỗỗ ữữ
+ +
+ + + è ø
å å å
Ta cần chứng minh:
2 2
3
2
a b c abc
ab bc ca
+ + + ³
+ +
Thật áp dụng dụng bất đẳng thức Schur kết hợp với a b c+ + =3, ta có:
( )
2 2 3 2 9abc 2 .
a b c abc a b c ab bc ca
a b c
+ + + = + + + ³ + +
+ +