a, K là trung điểm của AC. Các đường phân giác và phân giác ngoài của tam giác kẻ từ B cắt đường thẳng MN lần lượt tại D và E các tia AD và AE cắt đường thẳng BC theo thứ tự tại P và Q.[r]
(1)Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7
Đề số 1
Thời gian làm bài: 120 phút Câu1: (2 điểm)
Cho dãy tỉ số nhau:
2a b c d a 2b c d a b 2c d a b c 2d
a b c d
Tìm giá trị biểu thức: M=
a b b c c d d a
c d d a a b b c
Câu2: (1 điểm)
Cho S = abc bca cab
Chứng minh S số phương Câu3: (2 điểm)
Một ô tô chạy từ A đến B với vận tốc 65 km/h, lúc xe máy chạy từ B đến A với vận tốc 40 km/h Biết khoảng cách AB 540 km M trung điểm AB Hỏi sau khởi hành ơtơ cách M khoảng 1/2 khoảng cách từ xe máy đến M
Câu4: (2 điểm)
Cho tam giác ABC, O điểm nằm tam giác a Chứng minh rằng: BOC A ABO ACO
b Biết
900
2
A
ABO ACO
tia BO tia phân giác góc B Chứng minh rằng: Tia CO tia phân giác góc C
Câu 5: (1,5điểm)
Cho đường thẳng khơng có đường thẳng song song CMR có đường thẳng mà góc nhọn chúng không nhỏ 200.
Câu 6: (1,5điểm)
Khi chơi cá ngựa, thay gieo súc sắc, ta gieo hai súc sắc lúc điểm thấp 2, cao 12 điểm khác 3; 4; ;6… 11 Hãy lập bảng tần số khả xuất loại điểm nói trên? Tính tần xuất loại điểm
- Hết
-Đề số 2.
Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1: Tìm số a,b,c biết rằng: ab =c ;bc= 4a; ac=9b Câu 2: Tìm số nguyên x thoả mãn:
(2)Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi tốn 7 Câu3: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A =x +8 -x
Câu 4: Biết :12+22+33+ +102= 385 Tính tổng : S= 22+ 42+ +202 Câu :
Cho tam giác ABC ,trung tuyến AM Gọi I trung điểm đoạn thẳng AM, BI cắt cạnh AC D
a Chứng minh AC=3 AD b Chứng minh ID =1/4BD
- Hết
-Đề số 3
Thời gian làm bài: 120 phút
Câu ( 2đ) Cho: a b =
b c =
c
d Chứng minh: (
a+b+c
b+c+d)
3
= a
d .
Câu (1đ) Tìm A biết rằng: A = a b+c =
c a+b =
b c+a . Câu (2đ) Tìm x∈Z để A Z tìm giá trị đó.
a) A = x+3
x−2 b) A = 1−2x
x+3 . Câu (2đ) Tìm x, biết:
a) |x−3| = b) ( x+ 2) 2 = 81 c) 5 x + 5 x+ 2 = 650
Câu (3đ) Cho ABC vuông cân A, trung tuyến AM E BC, BH AE, CK AE, (H,K AE) Chứng minh MHK vuông cân
- Hết
-Đề số 4
Thời gian làm : 120 phút Câu : ( điểm)
1 Ba đường cao tam giác ABC có độ dài 4,12 ,a Biết a số tự nhiên Tìm a ?
2 Chứng minh từ tỉ lệ thức a b=
c
d ( a,b,c ,d 0, ab, cd) ta suy tỉ lệ thức:
a)
a a−b=
c
c−d . b)
a+b b =
c+d d .
(3)Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7 Câu 3: (2 điểm)
Tìm giá trị nhỏ của: A = | x-a| + | x-b| + |x-c| + | x-d| với a<b<c<d Câu 4: ( điểm) Cho hình vẽ
a, Biết Ax // Cy so sánh góc ABC với góc A+ góc C b, góc ABC = góc A + góc C Chứng minh Ax // Cy
Câu 5: (2 điểm)
Từ điểm O tùy ý tam giác ABC, kẻ OM, ON , OP vng góc với cạnh BC, CA, Ab Chứng minh rằng:
AN2 + BP2 + CM2 = AP2 + BM2 + CN2
Hết
-Đề số 5
Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1(2đ):
a) Tính: A = + 100
3 100
2 2 2 b) Tìm n Z cho : 2n - n + Câu (2đ):
a) Tìm x biết: 3x - 2x1 =
b) Tìm x, y, z biết: 3(x-1) = 2(y-2), 4(y-2) = 3(z-3) 2x+3y-z = 50 Câu 3(2đ): Ba phân số có tổng
213
70 , tử chúng tỉ lệ với 3; 4; 5, mẫu chúng tỉ lệ với 5; 1; Tìm ba phân số
Câu 4(3đ): Cho tam giác ABC cân đỉnh A Trên cạnh AB lấy điểm D, tia đối tia CA lấy điểm E cho BD = CE Gọi I trung điểm DE Chứng minh ba điểm B, I, C thẳng hàng
Câu 5(1đ): Tìm x, y thuộc Z biết: 2x + 7 =
1
y
-Hết -Đề số 6
x A
B y
(4)Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7 Thời gian làm bài: 120’
Câu 1: Tính : a) A =
1 1.2+
1 2.3+
1
3.4+ + 99.100 . b) B = 1+
1
2(1+2)+
3(1+2+3)+
4(1+2+3+4)+ +
20(1+2+3+ +20) Câu 2:
a) So sánh: √17+√26+1 √99 b) Chứng minh rằng:
1 √1+
1 √2+
1
√3+ +
√100 >10 .
Câu 3:
Tìm số có chữ số biết số bội 18 chữ số tỉ lệ theo 1:2:3 Câu
Cho tam giác ABC có góc B góc C nhỏ 900 Vẽ phía ngồi tam giác tam giác vuông cân ABD ACE ( góc ABD góc ACE 900 ), vẽ DI EK vng góc với đường thẳng BC Chứng minh rằng:
a BI=CK; EK = HC; b BC = DI + EK
Câu 5: Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A = |x−2001|+ |x−1|
- hết
-Đề số 7
Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1: (1,5 đ) Tìm x biết:
a, x+2
327 +
x+3
326 +
x+4
325 +
x+5
324 +
x+349
5 =0
b, |5x−3| ¿7
Câu2:(3 điểm)
a, Tính tổng: S=(− 7)
0
+(−1
7)
+(−1
7)
+ +(−1
7) 2007
b, CMR: 2!+
2 3!+
3
4!+ +
99 100!<1
(5)Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7
Câu 4: (2,5điểm) Cho tam giác ABC có góc B=600 hai đường phân giác AP CQ tam giác cắt I
a, Tính góc AIC b, CM : IP = IQ
Câu5: (1 điểm) Cho B=
2(n−1)2+3 Tìm số nguyên n để B có giá trị lớn nhất. - hết
-Đề số 8
Thời gian : 120’ Câu : (3đ) Tìm số hữu tỉ x, biết :
a) (x−1)5 = - 243 b)
x+2
11 +
x+2
12 +
x+2
13 =
x+2 14 +
x+2
15 c) x - √x = (x ¿0 )
Câu : (3đ)
a, Tìm số nguyên x y biết :
5
x+ y
4=
b, Tìm số ngun x để A có giá trị số nguyên biết : A =
√x+1
√x−3 (x ¿0 )
Câu : (1đ) Tìm x biết : |5x−3| - 2x = 14 Câu : (3đ)
a, Cho Δ ABC có góc A, B , C tỉ lệ với 7; 5; Các góc ngồi tương ứng tỉ lệ với số
b, Cho Δ ABC cân A Â < 900 Kẻ BD vng góc với AC Trên cạnh AB lấy điểm E cho : AE = AD Chứng minh :
1) DE // BC
2) CE vng góc với AB
-Hết -Đề số 9
(6)Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi tốn 7
a, Tính: A =
101 3(26
1 3−
176 )−
12 11(
10
3 −1,75)
(
91−0,25).60 11−1
b, Tính nhanh: (18.123 + 9.436.2 + 3.5310.6) : (1 + +7 +……+ 100 – 410) Bài 2: ( 2điểm) Tìm số nguyên dương cho tổng nghịch đảo chúng
Bài 3: (2 điểm) Cần chữ số để đánh số trang sách dày 234 trang Bài 4: ( điểm) Cho Δ ABC vng B, đường cao BE Tìm số đo góc nhọn tam giác , biết EC – EA = AB
- hết
-Đề số 10
Thời gian làm 120 phút
Bài 1(2 điểm). Cho A x 2 x
a.Viết biểu thức A dạng dấu giá trị tuyệt đối b.Tìm giá trị nhỏ A
Bài ( điểm)
a.Chứng minh : 2 2
1 1 1
65 6 7 100 4 . b.Tìm số nguyên a để :
2 17
3 3
a a a
a a a
số nguyên.
Bài 3(2,5 điểm) Tìm n số tự nhiên để : An5 n6 n
Bài 4(2 điểm) Cho góc xOy cố định Trên tia Ox lấy M, Oy lấy N cho OM + ON = m không đổi Chứng minh : Đường trung trực MN qua điểm cố định
Bài 5(1,5 điểm). Tìm đa thức bậc hai cho : f x f x 1 x Áp dụng tính tổng : S = + + + … + n
Hết
-Đề số 11
Thời gian làm bài: 120 phút
Câu 1: (2đ) Rút gọn A= 2 20
x x
x x
(7)Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi tốn 7
được cây, Hỏi lớp có học sinh Biết số lớp trồng
Câu 3: (1,5đ) Chứng minh 2006
10 53
9
là số tự nhiên
Câu 4 : (3đ) Cho góc xAy = 600 vẽ tia phân giác Az góc Từ điểm B Ax vẽ đường thẳng song song với với Ay cắt Az C vẽ Bh Ay,CM Ay, BK AC Chứng minh rằng:
a, K trung điểm AC b, BH =
AC
c, ΔKMC đều
Câu 5 (1,5 đ) Trong kỳ thi học sinh giỏi cấp Huyện, bốn bạn Nam, Bắc, Tây, Đông đoạt giải 1,2,3,4 Biết câu câu nửa sai nửa:
a, Tây đạt giải 1, Bắc đạt giải b, Tây đạt giải 2, Đông đạt giải c, Nam đạt giải 2, Đông đạt giải
Em xác định thứ tự giải cho bạn
- Hết
-Đề số 12
Thời gian làm 120 phút
Câu 1: (2đ) Tìm x, biết:
a) |3x−2|−x=7 b) |2x−3|>5 c) |3x−1|≤7 d)
7
3x x
Câu 2: (2đ)
a) Tính tổng S = 1+52+ 54+ + 5200 b) So sánh 230 + 330 + 430 3.2410
Câu 3: (2đ) Cho tam giác ABC có góc B 600 Hai tia phân giác AM CN tam giác ABC cắt I
a) Tính góc AIC
b) Chứng minh IM = IN
(8)Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7 a) BD ¿AP ; BE⊥AQ ;
b) B trung điểm PQ c) AB = DE
Câu 5: (1đ)
Với giá trị nguyên x biểu thức A= 14−x
4−x Có giá trị lớn nhất? Tìm giá trị
- Hết
-Đề số 13
Thời gian : 120’ Câu 1: ( 1,5 điểm) Tìm x, biết:
a 4x3 - x = 15 b 3x - x > c 2x3 Câu2: ( điểm)
a Tính tổng: A= (- 7) + (-7)2 + … + (- 7)2006 + (- 7)2007 Chứng minh rằng: A chia hết cho 43
b Chứng minh điều kiện cần đủđể m2 + m.n + n2 chia hết cho là: m, n chia hết cho
Câu 3: ( 23,5 điểm) Độ dài cạnh tam giác tỉ lệ với
nào,biết cộng độ dài hai đường cao tam giác tổng tỷ lệ theo 3:4:5
Câu 4: ( điểm ) Cho tam giác ABC cân A D điểm nằm tam giác, biết
ADB> ADC Chứng minh rằng: DB < DC.
Câu 5: ( điểm ) Tìm GTLN biểu thức: A = x1004 - x1003 - Hết
-Đề số 14
Thời gian : 120’
Câu (2 điểm): Tìm x, biết :
a 3x 2 +5x = 4x-10 b 3+ 2x > 13 Câu 2: (3 điểm )
a Tìm số có chữ số biết số chia hết cho 18 chữ số tỷ lệ với 1, 2,
(9)Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7
A α x
C β γ
B y
Câu (3 điểm ) Cho tam giác cân ABC, có ABC=1000 Kẻ phân giác góc CAB cắt AB D Chứng minh rằng: AD + DC =AB
Câu (1 điểm )
Tính tổng S = (-3)0 + (-3)1+ (-3)2 + + (-3)2004
Hết
-Đề số 15
Thời gian làm bài: 120 phú
Bài 1: (2,5đ) Thực phép tính sau cách hợp lí:
1 1 1 1 1
90 72 56 42 30 20 12
Bài 2: (2,5đ) Tính giá trị nhỏ biểu thức: A = |x−2|+|5−x|
Bài 3: (4đ) Cho tam giác ABC Gọi H, G,O trực tâm , trọng tâm giao điểm đường trung trực tam giác Chứng minh rằng:
a AH lần khoảng cách từ O đến BC b Ba điểm H,G,O thẳng hàng GH = GO
Bài 4: (1 đ) Tìm tổng hệ số đa thức nhận sau bỏ dấu ngoặc biểu thức (3-4x+x2)2006.(3+ 4x + x2)2007
- Hết
-Đề 16
Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1(3đ): Chứng minh
A = 22011969 + 11969220 + 69220119 chia hết cho 102 Câu 2(3đ): Tìm x, biết:
a x x 3 ; b 3x x 2
Câu 3(3đ): Cho tam giác ABC Gọi M, N, P theo thứ tự trung điểm BC, CA, AB Các đường trung trực tam giác gặp tai Các đường cao AD, BE, CF gặp H Gọi I, K, R theo thứ tự trung điểm HA, HB, HC
(10)Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7 b) C/m QI = QM = QD = 0A/2
c) Hãy suy kết tương tự kết câu b
Câu 4(1đ): Tìm giá trị x để biểu thức A = 10 - 3|x-5| đạt giá trị lớn Hết
-Đề 17
Thời gian: 120 phút
Bài 1: (2đ) Cho biểu thức A =
√x−5
√x+3 a) Tính giá trị A x =
1 b) Tìm giá trị x để A = -
c) Tìm giá trị nguyên x để A nhận giá trị nguyên Bài (3đ)
a) Tìm x biết: √7−x=x−1
b) Tính tổng M = + (- 2) + (- 2)2 + …+(- 2)2006
c) Cho đa thức: f(x) = 5x3 + 2x4 – x2 + 3x2 – x3 – x4 + – 4x3 Chứng tỏ đa thức khơng có nghiệm
Bài 3.(1đ) Hỏi tam giác ABC tam giác biết góc tam giác tỉ lệ với 1, 2,
Bài 4.(3đ) Cho tam giác ABC có góc B 600 Hai tia phân giác AM CN tam giác ABC cắt I
a) Tính góc AIC
b) Chứng minh IM = IN
Bài (1đ) Cho biểu thức A =
2006−x
6−x Tìm giá trị nguyên x để A đạt giá trị lớn Tìm giá trị lớn
Hết
-Đề 18
Thời gian: 120 phút Câu 1:
1.Tính: a (
1 2)
15 (
4 ) 20
b ( 9)
25 :(1
(11)Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7 Rút gọn: A =
45 94−2.69 210.38+68.20
3 Biểu diễn số thập phân dạng phân số ngược lại: a
7
33 b
7
22 c 0, (21) d 0,5(16)
Câu 2: Trong đợt lao động, ba khối 7, 8, chuyên chở 912 m3 đất Trung bình học sinh khối 7, 8, theo thứ tự làm 1,2 ; 1,4 ; 1,6 m3 đất Số học sinh khối 7, tỉ lệ với Khối tỉ lệ với Tính số học sinh khối
Câu 3:
a.Tìm giá trị lớn biểu thức: A =
3
(x+2)2+4
b.Tìm giá trị nhỏ biểu thức: B = (x+1)2 + (y + 3)2 + 1
Câu 4: Cho tam giác ABC cân (CA = CB) C = 800 Trong tam giác cho
MBA 30 và MAB 100 Tính MAC .
Câu 5: Chứng minh : (a,b) = (a2,a+b) = 1.
- Hết
-Đề19
Thời gian: 120 phút Câu I: (2đ)
1) Cho a−1
2 =
b+3
4 =
c−5
6 5a - 3b - c = 46 Xác định a, b, c 2) Cho tỉ lệ thức :
a b=
c
d Chứng minh :
2a2−3ab+5b2 2b2+3ab =
2c2−3cd+5d2 2d2+3cd
Với điều kiện mẫu thức xác định
Câu II : Tính : (2đ) 1) A =
1 3.5+
1
5.7+ + 97 99 2) B = −
1 3+
1 32−
1
33+ + 350−
1 351
Câu III : (1,5 đ) Đổi thành phân số số thập phân sau : a 0,2(3) ; b 1,12(32)
Câu IV : (1.5đ) Xác định đa thức bậc biết : P(0) = 10; P(1) = 12; P(2) = ; p(3) =
(12)Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7 a Chứng minh : BE = CD BE với CD
b Chứng minh tam giác MNP vuông cân
- Hết
-Đề 20
Thời gian làm bài: 120 phút Bài (1,5đ): Thực phép tính:
a) A =
3
0, 375 0,3
1, 0, 75
11 12
5 5
0, 265 0, 2, 1, 25
11 12
b) B = + 22 + 24 + + 2100 Bài (1,5đ):
a) So sánh: 230 + 330 + 430 3.2410 b) So sánh: + 33 29+ 14
Bài (2đ): Ba máy xay xay 359 thóc Số ngày làm việc máy tỉ lệ với 3:4:5, số làm việc máy tỉ lệ với 6, 7, 8, công suất máy tỉ lệ nghịc với 5,4,3 Hỏi máy xay thóc
Bài (1đ): Tìm x, y biết:
a) 3x b)
1 1
1.2 2.3 99.100 x
Bài ( 3đ): Cho ABC có góc nhỏ 1200 Vẽ phía ngồi tam giác ABC tam giác ABD, ACE Gọi M giao điểm DC BE Chứng minh rằng:
a)
120
BMC
b)
120 AMB
Bài (1đ): Cho hàm số f(x) xác định với x thuộc R Biết với x ta có:
2
1
( ) ( )
f x f x
x
Tính f(2)
- Hết
-Đề 21
Thời gian làm bài: 120 phút Câu (2đ) Tìm x, y, z ¿ Z, biết
(13)Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7 b
x
6−
y=
1
c 2x = 3y; 5x = 7z 3x - 7y + 5z = 30 Câu (2đ)
a Cho A = ( 22−1).(
1 32−1).(
1
42−1) (
1002−1) Hãy so sánh A với − b Cho B =
√x+1
√x−3 Tìm x ¿ Z để B có giá trị số nguyên dương
Câu (2đ)
Một người từ A đến B với vận tốc 4km/h dự định đến B lúc 11 45 phút Sau
1
5 quãng đường người với vận tốc 3km/h nên đến B lúc 12 trưa
Tính quãng đườngAB người khởi hành lúc giờ?
Câu (3đ) Cho Δ ABC có ˆA > 900 Gọi I trung điểm cạnh AC Trên tia đối tia IB lấy điểm D cho IB = ID Nối c với D
a Chứng minh Δ AIB=ΔCID
b Gọi M trung điểm BC; N trung điểm CD Chứng minh I trung điểm MN
c Chứng minh AIB AIB BIC
d Tìm điều kiện Δ ABC để ACCD
Câu (1đ) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P =
14−x
4−x ;⟨x∈Z⟩ Khi x nhận giá trị nguyên nào?
- Hết
-Đề 22
Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1: (2,5đ)
a Tìm x biết : |2x−6| +5x =
b Thực phép tính : (1 +2 +3 + + 90) ( 12.34 – 6.68) : ( 3+
1 4+
1 5+
1 6) ; c So sánh A = 20 +21 +22 +23+ 24 + +2100 B = 2101
(14)Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7 Bài :(2đ) Cho biểu thức A =
√x+1
√x−1 . a Tính giá trị A x =
16
9 x = 25
9 . b Tìm giá trị x để A =5
Bài :(3đ) Cho tam giác ABC vuông C Từ A, B kẻ hai phân giác cắt AC E, cắt BC D Từ D, E hạ đường vuông góc xuống AB cắt AB M N Tính góc MCN ?
Bài : (1đ) Với giá trị x biểu thức : P = -x2 – 8x +5 Có giá trị lớn Tìm giá trị lớn ?
- Hết
-Đề 23
Thời gian: 120 phút
Câu 1: (3đ)
a Tính A =
2
1
0, 25
4
b Tìm số nguyên n, biết: 2-1.2n + 4.2n = 9.25
c Chứng minh với n nguyên dương thì: 3n+3-2n+2+3n-2n chia hết cho 10 Câu 2: ((3đ)
a 130 học sinh thuộc lớp 7A, 7B, 7C trường tham gia trồng Mỗi học sinh lớp 7A, 7B, 7C theo thứ tự trồng 2cây, cây, Hỏi lớp có học sinh tham gia trồng cây? Biết số trồng lớp
b Chứng minh rằng: - 0,7 ( 4343 - 1717 ) số nguyên
Câu 3: (4đ ) Cho tam giác cân ABC, AB=AC Trên cạnh BC lấy điểm D Trên Tia tia BC lấy điểm E cho BD=BE Các đường thẳng vng góc với BC kẻ từ D E cắt AB AC M N Chứng minh:
a DM= ED
b Đường thẳng BC cắt MN điểm I trung điểm MN
c Đường thẳng vuông góc với MN I ln ln qua điểm cố định D thay đổi BC
- Hết
-Đề 24
(15)Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7 a a a
b a a
c 3x1 x Câu 2: Tìm x biết: a 5x - x = b 2x3 - 4x <
Câu 3: (2đ) Tìm số có chữ số biết số chia hết cho 18 chữ số tỷ lệ với số 1; 2;
Câu 4: (3,5đ) Cho ABC, cạnh AB lấy điểm D E Sao cho AD = BE Qua D E vẽ đường song song với BC, chúng cắt AC theo thứ tự M N Chứng minh DM + EN = BC
- Hết
-Đề 25
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1:(1điểm) Hãy so sánh A B, biết: A=
2006 2007
2007 2008
10 10
; B =
10 10
Bài 2:(2điểm) Thực phép tính: A=
1 1
1
1 2 3 2006
Bài 3:(2điểm) Tìm số x, y nguyên biết rằng:
x 1 y 4
Bài 4:(2 điểm) Cho a, b, c ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: 2(ab + bc + ca) > a2 + b2 + c2.
Bài 5:(3 điểm) Cho tam giác ABC cóB = C = 50 Gọi K điểm tam giác cho KBC = 10 KCB = 30
a Chứng minh BA = BK b Tính số đo góc BAK
- Hết
-Đề thi 26
(16)Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7 Câu Với số tự nhiên n ¿ so sánh:
a A= 22+
1 32+
1
42+ +
n2 với b B =
1 22+
1 42+
1 62+ +
1
(2n)2 với 1/2
Câu 2: Tìm phần nguyên α , với α=√2+
3
√32+
4
√43+ +
n+1
√n+1
n
Câu 3: Tìm tỉ lệ cạnh tam giác, biết cộng độ dài hai đường cao tam giác tỉ lệ kết 5: :
Câu 4: Cho góc xoy , hai cạnh ox oy lấy điểm A B AB có độ dài nhỏ
Câu 5: Chứng minh a, b, c √a+√b+√c số hữu tỉ.
-PHẦN 2: HƯỚNG DẪN GIẢI
Hướng dẫn giải đề số Câu 1:
Mỗi tỉ số cho bớt ta được:
2
1
a b c d a b c d
a b
=
2
1
a b c d a b c d
c d
a b c d a b c d a b c d a b c d
a b c d
+, Nếu a+b+c+d 0 a = b = c = d lúc M = 1+1+1+1=4
+, Nếu a+b+c+d = a+b = - (c+d); b+c = - (d+a); c+d = - (a+b); d+a = -(b+c), lúc M = (-1) + (-1) + (-1) + (-1) = -4
Câu 2: S = (100a+10b+c)+(100b+10c+a)+ (100c+10a+b) = 111(a+b+c) = 37.3(a+b+c) Vì < a+b+c27 nên a+b+c 37 Mặt khác( 3; 37) =1 nên 3(a+b+c) 37 => S khơng thể số phương
(17)A M B Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7
Quãng đường AB dài 540 Km; nửa
quảng dường AB dài 270 Km Gọi quãng đường ô tô xe máy S1, S2
Trong thời gian quãng đường tỉ
lệ thuận với vận tốc
1 2
S S
t
V V (t thời gian cần tìm).
t=
270 270 540 270 (540 ) (270 ) 270
;
65 40 130 40 130 40 90
a a a a a a
t
Vậy sau khởi hành tơ cách M khoảng 1/2 khoảng cách từ xe máy đến M
Câu 4:
a, Tia CO cắt AB D
+, Xét BOD có BOC góc ngồi nên BOC = B1D 1
+, Xét ADC có góc D1 góc ngồi nên
1
D A C
Vậy BOC =A C1+B1 b, Nếu
900
2
A
ABO ACO
BOC =
0
90 90
2
A A
A
Xét BOC có:
0 0
2
0
0
2
180 180 90
2 180
90 90
2 2
A B
C O B
A B C C
C
tia CO tia phân giác góc C Câu 5:
Lấy điểm O tuỳ ý.Qua O vẽ đường thẳng song song với đường thẳng cho đường thẳng qua O tạo thành 18 góc khơng có điểm chung, góc tương ứng góc hai đường thẳng số đương thẳng cho Tổng số đo 18 góc đỉnh O 3600 có góc khơng nhỏ 3600 : 18 = 200, từ suy có hai đường thẳng mà góc nhọn chúng khơng nhỏ 200.
Câu 6:
Tổng số điểm ghi hai mặt hai súc sắc là: = 1+1
3 = 1+2 = 2+1
4 = 1+3 =2 +2 = 3+1
A
B
C
D
(18)Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7 = 1+4 =2+3=3+2=4+1
6=1+5=2+4=3+3=4+2=5+1
7=1+6=2+5=3+4= 4+3=5+2=-6+1 8= 2+6=3+5=4+4=5+3=6+2
9=3+6=4+5=5+4=6+3 10=4+6=5+5=6+4 11=5+6=6+5 12=6+6
Như tổng số điểm có khả xảy tới 16,7%
-Đáp án đề số 2
Câu1: Nhân vế bất đẳng thức ta : (abc)2=36abc
+, Nếu số a,b,c số cịn lại +,Nếu 3số a,b,c khác chia vế cho abc ta abc=36 +, Từ abc =36 ab=c ta c2=36 nên c=6;c=-6
+, Từ abc =36 bc=4a ta 4a2=36 nên a=3; a=-3 +, Từ abc =36 ab=9b ta 9b2=36 nên b=2; b=-2
-, Nếu c = avà b dấu nên a=3, b=2 a=-3 , b=-2 -, Nếu c = -6 avà b trái dấu nên a=3 b=-2 a=-3 b=2 Tóm lại có số (a,b,c) thỗ mãn tốn
(0,0,0); (3,2,6);(-3,-2,6);(3,-2,-6);(-3,2.-6) Câu (3đ)
a.(1đ) 5x-3<2=> -2<5x-3<2 (0,5đ)
… 1/5<x<1 (0,5đ)
b.(1đ) 3x+1>4=> 3x+1>4hoặc 3x+1<-4 (0,5đ) *Nếu 3x+1>4=> x>1
*Nếu 3x+1<-4 => x<-5/3
Vậy x>1 x<-5/3 (0,5đ) c (1đ) 4-x+2x=3 (1)
* 4-x0 => x4 (0,25đ)
(19)Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7 *4-x<0 => x>4 (0,25đ)
(1)<=> x-4+2x=3 <=> x=7/3 (loại) (0,25đ) Câu3 (1đ) Áp dụng a+b a+bTa có
A=x+8-xx+8-x=8 MinA =8 <=> x(8-x) 0 (0,25đ) *
x≥0
8−x≥0 ¿
{¿ ¿ ¿
¿ =>0x8 (0,25đ)
*
x≤0
8−x≤0
¿
{¿ ¿ ¿
¿ =>
x≤0
x≥8
¿
{¿ ¿ ¿
¿ không thoã mãn(0,25đ)
Vậy minA=8 0x8(0,25đ)
Câu4 Ta có S=(2.1)2+(2.2)2+ + (2.10)2(0,5đ) =22.12+22.22+ +22.102 =22(12+22+ +102) =22.385=1540(0,5đ)
Câu5.(3đ)
Chứng minh: a (1,5đ)
Gọi E trung điểm CD tam giác BCD có ME đường trung bình => ME//BD(0,25đ)
Trong tam giác MAE có I trung điểm cạnh AM (gt) mà ID//ME(gt) Nên D trung điểm AE => AD=DE (1)(0,5đ)
Vì E trung điểm DC => DE=EC (2) (0,5đ)
So sánh (1)và (2) => AD=DE=EC=> AC= 3AD(0,25đ) b.(1đ)
Trong tam giác MAE ,ID đường trung bình (theo a) => ID=1/2ME (1) (0,25đ) Trong tam giác BCD; ME Đường trung bình => ME=1/2BD (2)(0,5đ)
So sánh (1) (2) => ID =1/4 BD (0,25đ)
-Đáp án đề số 3
Câu Ta có a b
b c
c d =
a
d (1) Ta lại có
a b=
b c =
c d =
a+b+c
b+c+a (2)
Từ (1) và(2) => (
a+b+c
b+c+d)
3
= a
d .
A
B M
C D
(20)Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7 Câu A =
a b+c =
c a+b =
b c+a .=
a+b+c
2(a+b+c) . Nếu a+b+c => A =
1 . Nếu a+b+c = => A = -1 Câu a) A = +
5
x−2 để A Z x- ước 5. => x – = ( 1; 5)
* x = => A = * x = => A = * x = => A = - * x = -3 => A = b) A =
7
x+3 - để A Z x+ ước 7. => x + = ( 1; 7)
* x = -2 => A = * x = => A = -1 * x = -4 => A = - * x = -10 => A = -3 Câu a) x = -
b) x = - 11 c) x =
Câu ( Tự vẽ hình) MHK cân M
Thật vậy: ACK = BAH (gcg) => AK = BH AMK = BMH (g.c.g) => MK = MH
Vậy: MHK cân M
-Đáp án đề số 4
Câu 1: Gọi x, y, z độ dài cạnh tương ứng với đường cao 4, 12, a Ta có: 4x = 12y = az = 2S
x= S/2 ; y = S/6; z = 2S/a (0,5 điẻm) Do x-y < z< x+y nên
S
2−
S
6< 2S
a < S
2+
S
6 ⇒ 6<
2
a<
2
3 (0,5 điểm) 3, a , Do a N nên a=4 a= (0,5 điểm) a Từ
a b=
c d
a c=
b d=
a−b c−d⇒
a c=
a−b c−d⇔
a a−b=
c
(21)Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7 b
a b=
c
d a c=
b d=
a+b c+d ⇒
b d=
a+b c+d⇔
a+b b =
c+d
d (0,75 điểm)
Câu 2: Vì tích số : x2 – ; x2 – 4; x2 – 7; x2 – 10 số âm nên phải có số âm số âm
Ta có : x2 – 10< x2 – 7< x2 – 4< x2 – Xét trường hợp: + Có số âm: x2 – 10 < x2 – x2 – 10 < < x2 – 7 7< x2 < 10 x2 =9 ( x Z ) x = ( 0,5 điểm) + có số âm; số dương
x2 – 4< 0< x2 – < x2 < 4 x Z nên không tồn x Vậy x = (0,5 điểm)
Câu 3: Trước tiên tìm GTNN B = |x-a| + | x-b| với a<b Ta có Min B = b – a ( 0,5 điểm)
Với A = | x-a| + | x-b| + |x-c| + | x-d| = [| x-a| + | x-d|] + [|x-c| + | x-b|]
Ta có : Min [| x-a| + | x-d|] =d-a axd
Min [|x-c| + | x-b|] = c – b b x c ( 0,5 điểm) Vậy A = d-a + c – b b x c ( 0, điểm) Câu 4: ( điểm)
A, Vẽ Bm // Ax cho Bm nằm góc ABC Bm // Cy (0, điểm) Do góc ABm = góc A; Góc CBm = gócC
ABm + CBm = A + C tức ABC = A + C ( 0, điểm)
b Vẽ tia Bm cho ABm A góc so le ABM = A Ax// Bm (1) CBm = C Cy // Bm(2)
Từ (1) (2) Ax // By
Câu 5: áp dụng định lí Pi ta go vào tam giác vng NOA NOC ta có:
AN2 =OA2 – ON2; CN2 = OC2 – ON2 CN2 – AN2 = OC2 – OA2 (1) ( 0, điểm) Tương tự ta có: AP2 - BP2 = OA2 – OB2 (2); MB2 – CM2 = OB2 – OC2 (3) ( 0, điểm)
Từ (1); (2) (3) ta có: AN2 + BP2 + CM2 = AP2 + BM2 + CN2 ( 0, điểm).
-Hướng dẫn chấm đề số 5:
Câu 1(2đ):
a) A = - 99 100 100
1 100 102
2
(22)Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7 b) 2n 3n 1 5n1 (0,5đ )
n + -1 -5
n -2 -6
6; 2;0; 4
n
(0,5đ )
Câu 2(2đ): a) Nếu x
1
: 3x - 2x - = => x = ( thảo mãn ) (0,5đ) Nếu x <
1
: 3x + 2x + = => x = 1/5 ( loại ) (0,5đ) Vậy: x =
b) =>
1
2
x y z
2x + 3y - z = 50 (0,5đ) => x = 11, y = 17, z = 23.(0,5đ)
Câu 3(2đ): Các phân số phải tìm là: a, b, c ta có : a + b + c = 213
70
và a : b : c =
3
: : : 40 : 25
5 (1đ) =>
9 12 15
, ,
35 14
a b c
(1đ) Câu 4(3đ):
Kẻ DF // AC ( F thuộc BC ) (0,5đ )
=> DF = BD = CE (0,5đ ) => IDF = IFC ( c.g.c ) (1đ )
=> góc DIF = góc EIC => F, I, C thẳng hàng => B, I, C thẳng hàng (1đ)
Câu 5(1đ): =>
7.2 1
(14 1) 7 x y x y
=> (x ; y ) cần tìm ( ; )
-Đáp án đề số 6:
Câu 1: a) Ta có: 1.2= 1− ; 2.3= 2− ;
1 3.4=
1 3−
1
4 ; …; 99.100 = 99 − 100 Vậy A = 1+ (
−1
2 + 2)+(
−1
3 +
3)+ +(
−1
99 + 99)−
1
100 =1− 100 =
(23)Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7 b) A = 1+
1 2(
2 )+
1 3(
3 )+
1 4(
4
2 )+ + 20(
20.21 ) = = 1+
3 +
4 2+ +
21 =
1
2(2+3+4+ .+21)= =
1 2(
21 22
2 −1) = 115.
Câu 2: a) Ta có: √17>4 ; √26>5 nên √17+√26+1>4+5+1 hay
√17+√26+1>10
Còn √99 < 10 Do đó: √17+√26+1>√99 b)
1 √1 >
1 10;
1 √2 >
1 10 ;
1 √3 >
1
10 ; … ; √100=
1 10 .
Vậy:
1 √1+
1 √2+
1
√3+ +
√100 >100 10 =10
Câu 3: Gọi a,b,của chữ số số có ba chữ số cần tìm Vì chữ số a,b,của không vượt ba chữ số a,b,của đồng thời , ta khơng số có ba chữ số nên: a+b+c 27
Mặt khác số phải tìm bội 18 nên a+b+c =9 a+b+c = 18 a+b+c=17 Theo giả thiết, ta có:
a 1= b 2= c 3= a+b+c
6 Do đó: ( a+b+c) chia hết cho 6 Nên : a+b+c =18
a 1= b 2= c 3= 18
6 =3 a=3; b=6 ; =9
Vì số phải tìm chia hết cho 18 nênchữ số hàng đơn vị phải số chẵn Vậy số phải tìm là: 396; 936
Câu 4:
a) Vẽ AH BC; ( H BC) ABC + hai tam giác vng AHB BID có: BD= AB (gt)
Góc A1= góc B1( phụ với góc B2) AHB= BID ( cạnh huyền, góc nhọn) AH BI (1) DI= BH
+ Xét hai tam giác vng AHC CKE có: Góc
A2= góc C1( phụ với góc C2) AC=CE(gt)
(24)Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7 b) Ta có: DI=BH ( Chứng minh trên)
tương tự: EK = HC
Từ BC= BH +Hc= DI + EK Câu 5: Ta có:
A = |x−2001|+ |x−1| = |x−2001|+ |1−x|≥|x−2001+1−x|=2000
Vậy biểu thức cho đạt giá trị nhỏ 2000 x-2001 1-x dấu, tức : x 2001
biểu điểm :
Câu 1: điểm a điểm b điểm Câu 2: điểm : a điểm b điểm Câu : 1,5 điểm
Câu 4: điểm : a điểm ; b điểm Câu : 1,5 điểm
-Đáp án đề số 7
Câu1:
a, (1) ⇔ x+2 327 +1+
x+3
326 +1+
x+4
325 +1+
x+5
324 +1+
x+349
5 −4=0 (0,5 đ ) ⇔(x+329)(
1 327+ 326+ 325+ 324+ 5)=0 ⇔x+329=0⇔x=−329 (0,5đ )
b, a.Tìm x, biết: 5x - 3 - x = 5x x 7 (1) (0,25 đ) ĐK: x -7 (0,25 đ)
5
1
5
x x x x
… (0,25 đ)
Vậy có hai giá trị x thỏa mãn điều kiện đầu x1 = 5/2 ; x2= - 2/3 (0,25đ) Câu 2:
a, S=1− 7+
1 72−
1 73+
1
74+ −
72007 ; 7S=7−1+ 7−
1 72+
1
73− −
72006 (0.5đ)
8S=7−
72007
1 7 2007
S
(0,5đ) b,
1 2!+
2 3!+
3
4!+ +
99 100!=
2−1
2! +
3−1
3! + +
100−1
(25)Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7 =1−
1
100!<1 (0,5đ) c, Ta có 3n+2
− 2n+2+3n−2n=3n+2+3n−(2n+2−2n) (0,5đ) 3n.10−2n.5=3n 10−2n−2.10=10(3n−2n−2)10 (0,5đ)
Câu 3: Gọi độ dài cạnh a , b, c, chiều cao tương ứng x, y, z, diện tích S ( 0,5đ ) a=2S
x b=
2S
y c= 2S
z (0,5đ) ⇒ a
2=
b
3=
c
4⇒ 2S
2x=
2S
3y=
2S
4z (0,5đ)
⇒2x=3y=4z⇒ x
6=
y
4=
z
3 x, y, z tỉ lệ với ; ; (0,5đ) Câu4: GT; KL; Hình vẽ (0,5đ)
a, Góc AIC = 1200 (1 đ )
b, Lấy H∈AC : AH = AQ ⇒IQ=IH=IP (1 đ ) Câu5: B ; LN B ; LN⇔2(n−1)2+3 NN
Vì (n−1)2≥0⇒2(n−1)2+3≥3 đạt NN (0,5đ) Dấu xảy n−1=0⇔n=1
vậy B ; LN ⇔B=
3 n=1 (0,5đ)
-Đáp án đề số 8
Câu : điểm Mỗi câu điểm
a) (x-1) = (-3) ⇒ x-1 = -3 ⇔ x = -3+1 ⇔ x = -2
b) (x+2)( 11+
1 12+
1 13−
1 14−
1
15 ) = 0
11+ 12+
1 13−
1 14−
1
15 ¿ ⇒ x+2 = ⇔ x =
c) x - √x = ⇔ ( √x ) - √x = ⇔ √x ( √x - 2) = ⇒ √x = ⇒ x =
hoặc √x - = ⇔ √x = ⇔ x =
Câu : điểm Mỗi câu 1,5 điểm a)
5
x+ y
4= ,
5
x+
2y
8 = ,
5
x=
1−2y
8
x(1 - 2y) = 40 ⇒ 1-2y ớc lẻ 40 Ước lẻ 40 : ± ; ±
(26)Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7 x = -40 ; y =
x = ; y = -2 x = -8 ; y =
b) Tìm x ¿ z để A ¿ Z A=
√x+1
√x−3=1+
4
√x−3 A nguyên
4
√x−3 nguyên ⇒ √x−3 Ư(4) = -4 ; -2 ;-1; 1; 2; 4 Các giá trị x : ; 4; 16 ; 25 ; 49
Câu : điểm
2 |5x−3| - 2x = 14 ⇔ |5x−3| = x + (1)
ĐK: x -7 (0,25 đ)
5
1
5
x x
x x
… (0,25 đ)
Vậy có hai giá trị x thỏa mãn điều kiện đầu x1 = 5/2 ; x2= - 2/3 (0,25đ) Câu4 (1.5 điểm)
Các góc A, B , C tỉ lệ với 7, 5, A
7 =
B
5=
C
3=
A+B+C
15 =
1800 15 =12
⇒ A= 840 ⇒ góc ngồi đỉnh A 960
B = 600 ⇒ góc ngồi đỉnh B 1200 C = 360 ⇒ góc ngồi đỉnh C 1440
⇒ Các góc ngồi tơng ứng tỉ lệ với ; ;
b)
1) AE = AD ⇒ Δ ADE cân ⇒ E D E 1 EDA
1
E =
0
180
A
(1) Δ ABC cân ⇒ B C
1
AB C=
0
180
A
(2)
Từ (1) (2) ⇒ E1 ABC
⇒ ED // BC
a) Xét Δ EBC Δ DCB có BC chung (3)
(27)Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7 Từ (3), (4), (5) ⇒ Δ EBC = Δ DCB (c.g.c)
⇒ BEC CDB = 900 ⇒ CE AB
………
Đáp án đề số 9
Bài 1: điểm
a, Tính: A =
31 ( 183 − 176 )− 12 11 ( 10 − 175 100 ( 91− 4)
60 11−1
=
31 1−
12 11 475 300 −71 364 60 11−1
= 31 − 19 11 1056 1001− 1001 1001 =
341−57
33 55 1001 =284 33 1001 55 = 284284 1815 b, 1,5 điểm Ta có:
+) + +7 +……+ 100 = ( 1+100) + ( + 97) +…….+ ( 49+ 52) = 101 34 = 1434 34 cặp
+) 1434 – 410 = 1024
+) ( 18 123 + 436 + 5310 ) = 18 ( 123 + 436 + 5310 ) = 18 5869 = 105642
Vậy A = 105642 : 1024 ¿ 103,17
Bài 2: Điểm
Giọi số cần tìm x, y, z Số nhỏ x , số lớn z Ta có: x ¿ y ¿ z (1)
Theo giả thiết:
1
x+
1
y+
1
z=2 (2). Do (1) nên z =
1 x+ y+ z≤ x Vậy: x = Thay vào (2) , được:
1
y+
1
z=1≤
2
y Vậy y = Từ z = Ba số cần tìm 1; 2; Bài 3: Điểm
Có trang có chữ số Số trang có chữ số từ 10 đến 99 nên có tất 90 trang Trang có chữ số sách từ 100 đến 234, có tất 135 trang Suy số chữ số tất trang là:
9 + 90 + 135 = + 180 + 405 = 594 Bài : Điểm
Trên tia EC lấy điểm D cho ED = EA
(28)Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7 Theo giả thiết: EC – EA = A B
Vậy EC – ED = AB Hay CD = AB (2)
Từ (1) (2) Suy ra: DC = BD
Vẽ tia ID phân giác góc CBD ( I ¿ BC )
Hai tam giác: Δ CID Δ BID có : ID cạnh chung,
CD = BD ( Chứng minh trên)
CID = IDB ( DI phân giác góc CDB )
Vậy Δ CID = Δ BID ( c g c) ⇒ C = IBD Gọi C α ⇒
BDA = C + IBD = ⇒ C = α ( góc ngồi Δ BCD)
mà A = D ( Chứng minh trên) nên A = α ⇒2α+α = 900 ⇒ α = 300 Do ; C = 300 A = 600
-Hướng dẫn giải đề số 9
Bài 1.a Xét trường hợp : * x5 ta : A=7. *x5 ta : A = -2x-3.
b Xét x5 2x10 2x 10 3 hay A > Vậy : Amin = x5.
Bài 2. a Đặt : A = 2 2
1 1
6 7 100 Ta có :
* A <
1 1
4.5 5.6 6.7 99.100 =
1 1 1
4 5 6 99 100 =
1 1
4 100 4 * A >
1 1 1 1
5.6 6.7 99.100 100.101 101 6 . b Ta có :
2 17
3 3
a a a
a a a
=
4 26
a a
= =
4 12 14 4( 3) 14 14
4
3 3
a a
a a a
số nguyên
Khi (a + 3) ước 14 mà Ư(14) = 1; 2; 7; 14. Ta có : a = -2;- 4;- 1; - 5; ; - 10; 11 ; -17
Bài 3. Biến đổi :
12 30
(29)Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7 *n n 1n 30n n Ư(30) hay n {1, , 3, , , 10 , 15 , 30} *30 6 n n 1 6 n n 3
+n3 n3,6,15,30 +n1 3 n1,10
n {1 , , , 10 , 15 , 30}
-Thử trường hợp ta : n = 1, 3, 10, 30 thỗ mãn tốn
Bài 4.
-Trên Oy lấy M’ cho OM’ = m Ta có : N nằm O, M’ M’N = OM
-Dựng d trung trực OM’ Oz phân giác góc xOy chúng cắt D -ODM M DN c g c' ( ) MD ND
D thuộc trung trực MN.
-Rõ ràng : D cố định Vậy đường trung trực MN qua D cố định
Bài 5. -Dạng tổng quát đa thức bậc hai : f x ax2bx c (a0) - Ta có : f x 1 a x 12 b x 1c
- f x f x 1 2ax a b x
2
0
a b a
1
2
a b
Vậy đa thức cần tìm :
2
1
2
f x x x c
(c số) áp dụng :
+ Với x = ta có : 1f 1 f 0 + Với x = ta có : 1f 2 f 1 ……… + Với x = n ta có : nf n f n 1 S = 1+2+3+…+n = f n f 0 =
2 1
2 2
n n
n n
c c
Lưu ý : Học sinh giải cách khác cho điểm tối đa Bài hình khơng vẽ hình không chấm điểm.
-Đáp án đề số 11
x
z
d D M
N I M' y
(30)Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7
Câu1 (làm điểm) Ta có:
2 20
x x
x x
=
2 10 20
x x
x x x
=
2 ( 2)( 10)
x x
x x
(0,25đ) Điều kiện (x-2)(x+10) x 2; x -10 (0,5đ) Mặt khác x = x-2 x>2
-x + x< (0,25đ) * Nếu x>
2 ( 2)( 10)
x x
x x
=
( 2) ( 2)( 10)
x x
x x
= 10
x
x (0,5đ) * Nếu x <2
2 ( 2)( 10)
x x
x x
=
( 2) ( 2)( 10)
x x
x x
= 10
x x
(điều kiện x -10) (0,5đ)
Câu 2 (làm 2đ)
Gọi số học sinh trồng Lớp 7A,7B, 7C theo thứ tự x, y, z (x> 0; y >0 ; z >0)
Theo đề ta có
94(1)
3 (2)
x y z
x y z
(0,5đ) BCNN (3,4,5) = 60 Từ (2)
3 60 x = 60 y = 60 z
hay 20
x =15 y =12 z (0,5đ) áp dụng tính chất dãy tỷ số ta có :
20 x =15 y =12 z
= 20 15 12
x y z =
94
47=2 (0,5đ) x= 40, y=30 z =24 (0,5đ) Số học sinh trồng lớp 7A, 7B, 7C 40, 30, 24
Câu (làm cho 1,5đ) Để
2006
10 53
9
số tự nhiên 102006 + 53 (0,5đ) Để 102006 + 53
102006 + 53 có tổng chữ số chia hết cho mà 102006 + 53 = 1+ +0 + + + 5+3 = 9 9
102006 + 53 hay 2006
10 53
9
số tự nhiên (1đ)
Câu 4 (3đ)
(31)Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toỏn 7 a, ABC cú àA1 ảA2 (Az l tia phõn giỏc caảA )
à 1
A C (Ay // BC, so le trong)
ảA2 Cà1VABC cõn ti B
m BK AC BK đường cao cân ABC BK trung tuyến cân ABC (0,75đ) hay K trung điểm AC
b, Xét cân ABH vng BAK Có AB l cng huyn (cnh chung)
ả 1( 30 )
A B Vì ả
ả
2
0 0
1
30 90 60 30
A A B
vuông ABH = vuông BAK BH = AK mà AK = 2
AC AC
BH
(1đ)
c, AMC vng M có AK = KC = AC/2 (1) MK trung tuyến thuộc cạnh huyền KM = AC/2 (2)
Từ (10 (2) KM = KC KMC cân
Mặt khác AMC cú Mả 90 A=300 MKCÃ 900 300 600
AMC (1đ)
Câu 5 Làm câu 1,5đ Xây dựng sơ đồ giải toán
Đáp án : Tây đạt giải nhất, Nam giải nhì, Đơng giải 3, Bắc giải
-Đáp án đề số 12
Câu 1: (2đ)
a) Xét khoảng x≥
3 được x = 4,5 phù hợp 0,25 đ Xét khoảng x<
2
3 được x = -5
4 phù hợp 0,25 đ b) Xét khoảng x≥
3
2 Được x > 0,2đ Xét khoảng x<
3
2 Được x < -1 0,2đ Vậy x > x < -1 0,1đ c) Xét khoảng x≥
1
3 Ta có 3x - ¿
8
x
Ta 3≤x≤
(32)Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7 Xét khoảng x<
1
3 Ta có -3x + 1 ¿ ⇒x≥−2 Ta −2≤x≤
1
Vậy giá trị x thoã mãn đề −2≤x≤
Câu 2:
a) S = 1+25 + 252 + + 25100 0,3đ ⇒25S=25+252+ .+25101
⇒24S=25S−S=25101−1 0,3đ Vậy S =
25101−1
24 0,1đ b) 430= 230.230 = (23)10.(22)15 >810.315> (810.310)3 = 2410.3 0,8đ Vậy 230+330+430> 3.224 0,2đ
Câu 3: a) Hình a
AB//EF có hai góc phía bù EF//CD có hai góc phía bù Vậy AB//CD
b) Hình b
AB//EF Vì có cặp góc so le 0,4đ CD//EF có cặp góc phía bù 0,4đ Vậy AB//CD 0,2đ
Câu 4: (3đ)
a) MN//BC ⇒ MD//BD ⇒ D trung điểm AP 0,3 đ
BP vừa phân giác vừa trung tuyến nên đường cao BD ¿ AP 0,2đ
Tương tự ta chứng minh BE ¿ AQ 0,5 đ
b) AD = DP
Δ DBP=Δ BDE (g.c.g) ⇒ DP = BE ⇒ BE = AD
0,5 đ
⇒ Δ MBE=Δ MAD(c.g.c)⇒ME=MD 0,3đ
BP = 2MD = 2ME = BQ
Vậy B trung điểm PQ 0,2đ c) Δ BDE vuông B, BM trung tuyến nên BM = ME 0,4đ
(33)Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7
Câu 5: 1đ A = 1+
10
4−x A lớn 10
4−x lớn 0,3đ Xét x >
10
4−x < 0 Xét < x
10
4−x > a lớn 4 - x nhỏ ⇒ x =
0,6đ
-Đáp án đề số 12
Câu 1: ( ý 0,5 điểm )
a/ 4x3- x = 15 b/ 3x - x >
4x3 = x + 15 3x > x + 1
* Trường hợp 1: x -3
4 , ta có: * Trường hợp 1: x
2
3, ta có:
4x + = x + 15 3x - > x +
x = ( TMĐK). x >
3
2 ( TMĐK). * Trường hợp 2: x <
-3
4 , ta có: * Trường hợp 2: x <
3, ta có: 4x + = - ( x + 15) 3x – < - ( x + 1)
x = - 18
5 ( TMĐK). x <
1
4 ( TMĐK) Vậy: x = x = -
18
5 . Vậy: x >
3
2 x < 4. c/ 2x3 5 2x 3 4 x
Câu 2:
a/.Ta có: A= (- 7) + (-7)2 + … + (- 7)2006 + (- 7)2007 ( ) (- 7)A = (-7)2 + (- 7)3 + … + (- 7)2007 + (- 7)2008 ( 2)
8A = (- 7) – (-7)2008 Suy ra: A =
1
8.[(- 7) – (-7)2008 ] = -
1
8( 72008 + ) * Chứng minh: A 43
(34)Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7 A=[(- 7) + (-7)2 + (- 7)3] + … + [(- 7)2005 + (- 7)2006 + (- 7)2007]
= (- 7)[1 + (- 7) + (- 7)2] + … + (- 7)2005 [1 + (- 7) + (- 7)2] = (- 7) 43 + … + (- 7)2005 43
= 43.[(- 7) + … + (- 7)2005] 43 Vậy : A 43
b/ * Điều kiện đủ:
Nếu m n m2 3, mn n2 3, đó: m2+ mn + n2 * Điều kiện cần:
Ta có: m2+ mn + n2 = ( m - n)2 + 3mn (*)
Nếu m2+ mn + n2 m2+ mn + n2 3, từ (*),suy ra: ( m - n)2 ,do ( m - n) ( m - n)2 3mn nên mn ,do hai số m n chia hết cho mà ( m - n) nên số m,n chia hết cho
Câu 3:
Gọi độ dài cạnh tam giác a, b, c ; đường cao tương ứng với cạnh , hb , hc
Ta có: (ha +hb) : ( hb + hc ) : ( + hc ) = : : Hay:
1
3(ha +hb) =
4( hb + hc ) =
5( ha + hc ) = k ,( với k 0) Suy ra: (ha +hb) = 3k ; ( hb + hc ) = 4k ; ( + hc ) = 5k Cộng biểu thức trên, ta có: + hb + hc = 6k
Từ ta có: = 2k ; hb =k ; hc = 3k Mặt khác, gọi S diện tích ABC , ta có:
a.ha = b.hb =c.hc
a.2k = b.k = c.3k
a
=
b
=
c
Câu 4:
(35)A
B C
D Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7
* Nếu DC = DB BDC cân D nên DBC = BCD
.Suy ra:ABD = ACD.Khi ta có: ADB = ADC (c_g_c) Do đó: ADB = ADC ( trái với giả thiết)
* Nếu DC < DB BDC, ta có DBC < BCD mà ABC = ACB suy ra:
ABD >ACD ( )
Xét ADB ACD có: AB = AC ; AD chung ; DC < DB. Suy ra: DAC < DAB ( ).
Từ (1) (2) ADB ACD ta lại có ADB < ADC , điều trái với giả thiết.
Vậy: DC > DB Câu 5: ( điểm)
áp dụng bất đẳng thức: x y x - y , ta có:
A = x1004 - x1003 (x1004) ( x1003) = 2007 Vậy GTLN A là: 2007
Dấu “ = ” xảy khi: x -1003
-Hướng dẫn chấm đề 13
Câu 1-a (1 điểm ) Xét trường hợp 3x-2 ¿ 3x -2 <0
=> kết luận : Khơng có giá trị x thoả mãn b-(1 điểm ) Xét trường hợp 2x +5 ¿ 2x+5<0
Giải bất phương trình => kết luận Câu 2-a(2 điểm ) Gọi số cần tìm abc
abc 18=> abc Vậy (a+b+c) (1)
Ta có : ¿ a+b+c ¿ 27 (2)
Từ (1) (2) suy a+b+c =9 18 27 (3) Theo
a
1 =
b
2 =
c
3 =
a+b+c
(36)Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7 từ (4) => a, b, c mà abc 2 => số cần tìm : 396, 936.
b-(1 điểm )
A=(7 +72+73+74) + (75+76+77+78) + + (74n-3+ 74n-2+74n-1+74n). = (7 +72+73+74) (1+74+78+ +74n-4).
Trong : +72+73+74=7.400 chia hết cho 400 Nên A 400 Câu 3-a (1 điểm ) Từ C kẻ Cz//By có :
2
C + CBy = 2v (góc phía) (1)
1
C + CAx = 2v
Vì theo giả thiết C
1+C2 + α + γ = 4v =3600 Vậy Cz//Ax (2)
Từ (1) (2) => Ax//By
Câu 4-(3 điểm) Δ ABC cân, ACB =1000=> CAB = CBA =400. Trên AB lấy AE =AD Cần chứng minh AE+DC=AB (hoặc EB=DC) Δ AED cân, DAE = 400: 2=200.
=> ADE =AED = 800 =400+EDB (góc Δ EDB) => EDB =400 => EB=ED (1)
Trên AB lấy C’ cho AC’ = AC C
Δ CAD = Δ C’AD ( c.g.c) D
AC’D = 1000 DC’E = 800. Vậy Δ DC’E cân => DC’ =ED (2)
Từ (1) (2) có EB=DC’ A C E B Mà DC’ =DC Vậy AD +DC =AB
Câu (1 điểm)
S=(-3)0+(-3)1 + (-3)2+(-3)3+ + (-3)2004. -3S= (-3).[(-3)0+(-3)1+(-3)2 + +(-3)2004] = (-3)1+ (-3)2+ +(-3)2005]
-3S-S=[(-3)1 + (-3)2+ +(-3)2005]-(3)0-(-3)1- -(-3)2005.
-4S = (-3)2005 -1 S =
(−3)2005−1
−4 =
32005+1
4
-Đáp án đề 13
Bài 1: Ta có : - 90−
1 72−
1 56−
1 42−
1 30−
1 20−
1 12−
1 6−
1 = - (
1 2+
1 .3+
1 4+
1 .5+
1 5.6+
1 6.7+
1 7.8+
1 9+
1
(37)Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7 = - (
1 1−
1 2+
1 2−
1 3+
1 3−
1
4+ + 8−
1 9+
1 9−
1
10 ) 1đ = - (
1 1−
1
10 ) =
−9
10 0,5đ
Bài 2: A = |x−2|+|5−x|
Với x<2 A = - x+ 2+ – x = -2x + >3 0,5đ
Với ¿ x ¿ A = x-2 –x+5 = 0,5đ
Với x>5 A = x-2 +x –5 = 2x –7 >3 0,5đ
So sánh giá trị A khoảng ta thấy giá trị nhỏ A =
<=> ¿ x ¿ 1đ
Bài 3: a Trên tia đối tia OC lấy điểm N cho ON = OC Gọi M trung điểm BC nên OM đường trung bình tam giác BNC Do OM //BN, OM =
1 BN
Do OM vng góc BC => NB vng góc BC Mà AH vng góc với BC NB // AH (1đ) Tương tự AN//BH
Do NB = AH Suy AH = 2OM (1đ)
b Gọi I, K theo thứ tự trung điểm AG HG IK đường trung bình tam giác AGH nên IK// AH
IK =
2 AH => IK // OM IK = OM ;
∠ KIG = ∠ OMG (so le trong)
Δ IGK = Δ MGO nên GK = OG ∠ IGK = ∠ MGO
Ba điểm H, G, O thẳng hàng 1đ
Do GK = OG mà GK =
2 HG nên HG = 2GO
Đường thẳng qua điểm H, G, O gọi đường thẳng le 1đ
Bài 4: Tổng hệ số đa thức P(x) giá trị đa thức x=1
Vậy tổng hệ số đa thức: 0,5đ
P(x) = (3-4x+x2)2006 (3+4x + x2)2007
Bằng P(1) = (3-4+1)2006 (3+4+1)2007 = 0 0,5đ
-Đáp án đề 14
A
C B
(38)Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7 Câu 1: Ta có:
220 (mod2) nên 22011969 (mod2) 119 1(mod2) nên 11969220 1(mod2) 69 -1 (mod2) nên 69220119 -1 (mod2) Vậy A (mod2) hay A (1đ) Tương tự: A (1đ) A 17 (1đ)
Vì 2, 3, 17 số nguyên tố A 2.3.17 = 102
Câu 2: Tìm x
a) (1,5đ) Với x < -2 x = -5/2 (0,5đ)
Với -2 ≤ x ≤ khơng có giá trị x thoả mãn (0,5đ) Với x > x = ẵ (0,5đ)
b) (1,5đ) Với x < -2 Khơng có giá trị x thoả mãn (0,5đ) Với -2 ≤ x ≤ 5/3 Khơng có giá trị x thoả mãn (0,5đ)
Với x > 5/3 x = 3,5 (0,5đ) Bài 3:
a) Dễ dàng chứng minh IH = 0M A
IH // 0M 0MN = HIK (g.c.g) I E Do đó: IHQ = M0Q (g.c.g)
QH = Q0 F H N
QI = QM P
b) DIM vng có DQ đường trung K Q O
tuyến ứng với cạnh huyền nên R
QD = QI = QM B D M C Nhưng QI đường trung bình 0HA nên
c) Tương tự: QK = QN = QE = OB/2 QR = QP = QF = OC/2
Bài 4(1đ): Vì 3|x-5| x R Do A = 10 - 3|x-5| ≤ 10
Vậy A có giá trị lớn 10 |x-5| = x =
-Đáp án đề 15.
Bài
(39)Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7 a) A = -
9
7 (0,5đ)
b) √x+3 > A = -1 √x−5=−√x−3 x = (0,5đ)
c) Ta có: A = -
8
√x+3 (0,25đ)
Để A Z √x+3 ước
x = {1; 25} A = {- 1; 0} (0,5đ) Bài
a) Ta có: √7−x=x−1
x−1≥0
7−x =( x−1 )2
⇔
¿
x≥1
x=3 ; x=−2
⇔ x =3
¿
{¿ ¿ ¿
¿ (1đ)
b) Ta có: 2M = – 22 + 23 – 24 + …- 22006 + 22007 (0,25đ)
3M = + 22007 (0,25đ) M =
22007+1
3 (0,5đ)
c) Ta có: A = x4 + 2x2 +1
với x ĐPCM (1đ) Bài Ta có:
0
ˆ ˆ ˆ 180 30
1
A B C
Aˆ 30 ;0 Bˆ 60 ;0 Cˆ 900
(0,5đ)
Vậy tam giác ABC tam giác vuông C (0,5đ) Bài GT, KL (0,5đ)
a) Góc AIC = 1200 (1đ) b) Lấy H AC cho AH = AN (0,5đ) Từ chứng minh IH = IN = IM (1đ) Bài
A = + 2000
6−x (0,5đ) AMax – x > nhỏ nhất
– x = x = Vậy x = thỗ mãn điều kiện tốn A Max= 2001 (0,5đ)
-Đáp án đề 15
Câu 1: (2.5đ) a a1 (
1 2)
15 (1
4) 20
=(1
2) 15
.(1 2)
40
=(1
2) 55
(0.5đ) a2 (
1 9)
25 :(1
3 ) 30
= ( 3)
50 :(1
3 ) 30
= (3) 20
(40)Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7
b A =
45.94−2.69
210.38+68.20=
210.38.(1−3)
210.38(1+5)=
3 (0.5đ)
c c1
33 = 0.(21) c2
7
22 = 0,3(18) (0.5đ) c3 0,(21) =
21 99=
7
33 ; c4 5,1(6) = 5
1
6 (0.5đ)
Câu 2: (2đ)
Gọi khối lượng khối 7, 8, a, b, c (m3)
⇒ a + b + c = 912 m3 (0.5đ)
⇒ Số học sinh khối : a
1,2 ;
b
1,4 ;
c
1,6
Theo đề ta có: b
3.4,1=
a
1,2
b
4.1,4=
c
5.1,6 (0.5đ)
⇒
a
4.1,2=
b
12.1,4=
c
15.1,6=20 (0.5đ)
Vậy a = 96 m3 ; b = 336 m3 ; c = 480 m3.
Nên số HS khối 7, 8, là: 80 hs, 240 hs, 300 hs (0.5đ) Câu 3: ( 1.5đ):
a.Tìm max A
Ta có: (x + 2)2 ¿ ⇒ (x = 2)2 + ¿ ⇒ A max=
3
4 x = -2 (0.75đ) b.Tìm B
Do (x – 1)2 ¿ ; (y + 3)2 ¿ 0 ⇒ B ¿ 1
Vậy Bmin= x = y = -3 (0.75đ)
Câu 4: (2.5đ) Kẻ CH cắt MB E Ta có EAB cân E ⇒ EAB =300
⇒ EAM = 200 ⇒ CEA = MAE = 200
(0.5đ)
Do ACB = 800 ⇒ ACE = 400 ⇒ AEC =
1200 ( ) (0.5đ)
Mặt khác: EBC = 200 EBC = 400 ⇒ CEB =
1200 ( ) (0.5đ)
Từ ( ) ( ) ⇒ AEM = 1200
Do EAC = EAM (g.c.g) ⇒ AC = AM ⇒ MAC cân A (0.5đ)
Và CAM = 400 ⇒ AMC = 700 (0.5đ)
Câu 5: (1.5đ)
E
300 100
M C
B
(41)Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7 Giả sử a2 a + b không nguyên tố ⇒ a2 a + b
Cùng chia hết cho số nguyên tố d: ⇒ a2 chia hết cho d ⇒ a chia hết
cho d a + b chia hết cho d ⇒ b chia hếta cho d (0.5đ) ⇒ (a,b) = d ⇒ trái với giả thiết
Vậy (a2,a + b) =1. (0.5đ)
-Đáp án (toán 7)
Câu I :
1) Xác định a, b ,c
a−1 =
b+3
4 =
c−5
6 =
5(a−1)
10 =
−3(b+3) −12 =
−4(c−5) −24 =
5a−3b−4c−5−9+20 10−12−24 =−2 => a = -3 ; b = -11; c = -7
Cách : a−1
2 =
b+3
4 =
c−5
6 = t ; sau rút a, b ,c thay vào tìm t =- tìm a,b,c.
2) Chứng minh
Đặt a b=
c
d = k => a= kb ; c = kd Thay vào biểu thức :
2a2−3ab+5b2 2b2+3ab −
2c2−3cd+5d2 2d2+3cd =
k2−3k+5 2+3k −
k2−3k+5
2+3k =0 => đpcm. Câu II: Tính:
1) Ta có :2A= 2( 3.5+
1
5.7+ +
97 99 ) = 3− 5+ 5−
7+ + 97− 99= 3− 99= 32 99 =>A = 16 99
2) B = = − 3+
1 32−
1
33+ + 350−
1 351 =
1
(−3)+
1
(−32)+
1
(−33)+ +
1
(−350)+
1
(−351)
1
(−32)+
1
(−33)+
1
(−3)4 +
1
(−351)+
1
(−352) =>
1
−3B=
1
−3−
1
(−352) =
−351−1
352 => B = (−351−1)
4 351 Câu III
Ta có : 0.2(3) = 0.2 + 0.0(3) = 10+
1
10 0,(1).3 = 10+
3 10
1 =
(42)Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7 0,120(32) = 0,12 + 0,000(32) =0,12+
1
1000 .0,(32)= 0,12+
1000 .0,(01).32 = 12
100+ 32 1000
1 99 =
1489 12375 Câu IV :
Gọi đa thức bậc hai : P(x) = ax(x-1)(x-2) + bx(x-1)+c(x-3) + d P(0) = 10 => -3c+d =10 (1)
P(1) = 12 => -2c+d =12 =>d =12+2c thay vào (1) ta có -3c+12+2c =10 =>c=2 , d =16 P(2)= => 2b -2+16 = > b= -5
P(3) = => 6a-30 +16 =1 => a = Vậy đa thức cần tìm : P(x) =
5
2x(x−1)(x−2)−5x(x−1)+2(x−3)+16 => P(x) =
5 2x
3
-25
2 x
2
+12x+10 Câu V:
a) Dễ thấy Δ ADC = Δ ABE ( c-g-c) => DC =BE Vì AE AC; AD AB
mặt khác góc ADC = góc ABE => DC Với BE
b) Ta có MN // DC MP // BE => MN MP MN =
1
2 DC =
2 BE =MP; Vậy Δ MNP vuông cân M.
-Đáp án đề 20
Bài 1:
a) A =
3 3 3 3
8 10 11 12
5 5 5 5
8 10 11 12
(43)Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7
A =
1 1 1 1
3
8 10 11 12
1 1 1 1
5
8 10 11 12
(0,25đ)
A =
3
+
3
5 = 0 (0,25đ)
b) 4B = 22 + 24 + + 2102 (0,25đ) 3B = 2102 – 1; B =
102
2
3
(0,25đ) Bài 2:
a) Ta có 430 = 230.415 (0,25đ) 3.2410 = 230.311 (0,25đ)
mà 415 > 311 430 > 311 230 + 330 + 430 > 3.2410 (0,25đ) b) = 36 > 29
33 > 14 (0,25đ)
36 + 33 > 29 + 14 (0,25đ) Bài 3:
Gọi x1, x2 x3 số ngày làm việc máy
1
3
x x x
(1) (0,25đ)
Gọi y1, y2, y3 số làm việc máy
1
6
y y y
(2) (0,25đ)
Gọi z1, z2, z3 công suất máy
5z1 = 4z2 = 3z3
1
1 1
5
z z z
(3) (0,25đ)
Mà x1y1z1 + x2y2z2 + x3y3z3 = 359 (3) (0,25đ)
Từ (1) (2) (3)
1 1 2 3 395 15
18 40 395
5 15
x y z x y z x y z
(0,5đ) x1y1z1 = 54; x2y2z2 = 105; x3y3z3 = 200 (0,25đ) Vậy số thóc đội 54, 105, 200 (0,25đ)
Bài 4:
(44)Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7 Ta có BMC MBD BDM (góc ngồi tam giác) (0,25đ)
BMCMBA600 BDM ADM BDM 600 1200 (0,25đ)
b) Trên DM lấy F cho MF = MB (0,5đ) FBM đều (0,25đ)
DFB AMB (c.g.c) (0,25đ) DFB AMB 1200 (0,5đ)
Bài 6: Ta có
1
2 (2) ( )
2
x f f
(0,25đ)
1 1
( ) (2)
2
x f f
(0,25đ) 47 (2) 32 f (0,5đ)
-Đáp án đề 21
Câu
a.Nếu x 0 suy x = (thoã mãn) Nếu < suy x = -3 (thoã mãn) b y = x 6− 2=
x−3 ⇒
y=1
x−3=6
¿
¿{¿ ¿ ¿ ;
y=−1
x−3=−6
¿
{¿ ¿ ¿
¿ ;hoặc
2 3 y x 3 y x
;hoặc
6 y x
; hoặc
6 y x 3 y x
; hoặc 3 y x
Từ ta có cặp số (x,y) (9,1); (-3, -1) ; (6, 2) ; (0,- 2) ; (5, 3) ; (1, -3) ; (4, 6); (2, -6)
c Từ 2x = 3y 5x = 7z biến đổi
3 7 30
2 21 14 10 61 89 50 63 89 50 15
x y z x y z x y z
x = 42; y = 28; z = 20 Câu
a A tích 99 số âm
(45)Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7
2 2 2
1 1 1.3 2.4 5.3 99.101
1 1
4 16 100 100
1.2.3.2 98.99 3.4.5 99.100.101 101 1 2.3.4 99.100 2.3.4 99.100 200 2
A
A
b B =
1 4
1
3 3
x x
x x x
B nguyên 4
4
ˆ
3nguen x
x
4;25;16;1; 49
x
Câu
Thời gian thực tế nhiều thời gian dự định Gọi vận tốc dự định từ C đến B v1 == 4km/h Vận tốc thực tế từ C đến B V2 = 3km/h
Ta có:
1 1
2 2
4
3
V t V
va
V t V
(t1 thời gian AB với V1; t2 thời gian CB với V2)
từ
1 2
2
3 15
15
4 4
t t t t t
t
t
2 = 15 = 60 phút = Vậy quãng đường CB 3km, AB = 15km
Người xuất phát từ 11 45 phút – (15:4) = Câu
a Tam giác AIB = tam giác CID có (IB = ID; góc I1 = góc I2; IA = IC) b Tam giác AID = tam giác CIB (c.g.c)
góc B1 = góc D1 BC = AD hay MB =ND tam giác BMI = tam giác DNI (c.g.c) Góc I3 = góc I4 M, I, N thẳng hàng IM = IN
Do vậy: I trung điểm MN
c Tam giác AIB có góc BAI > 900 góc AIB < 900 góc BIC > 900
d Nếu AC vng góc với DC AB vng góc với AC tam giác ABC vuông A
Câu P =
4 10 10
1
4
x
x x
P lớn
10
4 x lớn nhất
Xét x > 10 4 x < 0
Xét x< 10 4 x > 0
10
(46)Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7 – x = x =
khi 10
4 x = 10 Plớn nhất = 11.
-Hướng dẫn chấm đề 22
Bài : a) Tìm x Ta có |2x−6| + 5x =9
|2x−6| = 9-5x
* 2x –6 ⇔ x 2x –6 = 9-5x ⇒ x =
15
7 khơng thỗ mãn (0,5)
* 2x – < ⇔ x< – 2x = 9-5x ⇒ x= thoã mãn (0,5)
Vậy x =
b) Tính (1+2+3+ +90).( 12.34 – 6.68) : ( 3+
1 4+
1 5+
1
6) = (0,5) ( 12.34 – 6.68 = 0)
c) Ta có : 2A = 21 + 22 +23 + 24 + 25 + + 2101 ⇒ 2A – A = 2101 –1 (0,5) Như 2101 –1 < 2101 Vậy A<B (0,5) Bài : Gọi cạnh tam giác ABC a, b, c đường cao tương ứng ha, hb, hc Theo đề ta có (ha+ hb): (hb + hc) : (hc + ) = :7 :8 hay + hb =5k ; hb + hc=7k hc + = 8k ; + hb +hc =10k (k hệ số tỉ lệ ) (0,5) Suy hc =( + hb +hc) – (ha + hb) = 10k –5k =5k
Tương tự : =3k , hb= 2k A Diện tích tam giác :
1
2 a ha = b.hb
Suy a b=
hb ha=
2k
3k=
2
3 Tương tự : ac=53;bc=52; (0,5)
a.ha = b.hb =c.hc ⇒
a
1
ha = b
1
hb = c
1
hc B C
⇒ a:b:c =
1
ha:
1
hb:
1
hc=
1 3:
1 :
1
(47)Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7
Bài : a) Tại x = 16
9 ta có : A =
√16 +1
√169 −1
=7
; x = 25
9 ta có : A =
√25 +1
√259 −1
=4 ; (1)
b) Với x >1 Để A = tức
√x+1
√x−1=5⇔√x=
3
2⇔x=
4 (1) Bài : E thuộc phân giác ABC nên EN = EC ( tính chất phân giác) suy :
tam giác NEC cân ENC = ECN (1) D thuộc phân giác góc CAB nên DC = DM (tính chất phân giác ) suy tam giác MDC cân
và DMC =DCM ,(2) Ta lại có MDB = DCM +DMC (góc ngồi CDM ) = 2DCM
Tương tự ta lại có AEN = 2ECN Mà AEN = ABC (góc có cạnh tương ứng vng góc nhọn)
MDB = CAB (góc có cạnh tương ứng vng góc nhọn ) Tam giác vng ABC có ACB = 900 , CAB + CBA = 900 , suy CAB = ABC = AEN + MDB = ( ECN + MCD )
suy ECN + MCD = 450 Vậy MCN = 900 –450 =450 (1,5) Bài :
Ta có P = -x2 –8x + = - x2 –8x –16 +21 = -( x2 +8x + 16) + 21 = -( x+ 4)2 + 21; (0,75) Do –( x+ 4)2 ¿ 0 với x nên –( x +4)2 +21 ¿ 21 với x Dấu (=) xảy x = -4
Khi P có giá trị lớn 21
-hướng dẫn đề 23
Câu 1: (3đ)
b/ 2-1.2n + 4.2n = 9.25
suy 2n-1 + 2n+2 = 9.25 0,5đ suy 2n (1/2 +4) = 25
(48)Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7 c/ 3n+2-2n+2+3n-2n=3n(32+1)-2n(22+1) = 3n.10-2n.5 0,5đ 3n.10 10 2n.5 = 2n-1.10 10 suy 3n.10-2n.5 10 0,5đ Bài 2:
a/ Gọi x, y, z số học sinh 7A, 7B, 7C tham gia trồng cây(x, y, z∈z+) ta có: 2x=3y = 4z x+y+z =130 0,5đ
hay x/12 = y/8 = z/6 mà x+y+z =130 0,5đ suy ra: x=60; y = 40; z=30
-7(4343-1717)
b/ -0,7(4343-1717) = 0,5đ10
Ta có: 4343 = 4340.433= (434)10.433 434 tận 433 tận suy 4343 tận
1717 = 1716.17 =(174)4.17 174 có tận suy (174)4 có tận suy 1717 = 1716.17 tận 0,5đ
suy 4343 1717 có tận nên 4343-1717 có tận suy 4343-1717 chia hết cho 10 0,5đ
suy -0,7(4343-1717) số nguyên. Bài 3: 4đ( Học sinh tự vẽ hình)
a/∆ MDB=∆ NEC suy DN=EN 0,5đ
b/∆ MDI=∆ NEI suy IM=IN suy BC cắt MN điểm I trung điểm MN 0,5đ
c/ Gọi H chân đường cao vng góc kẻ từ A xuống BC ta có ∆ AHB=∆ AHC suy HAB=HAC 0,5đ
gọi O giao AH với đường thẳng vng góc với MN kẻ từ I ∆ OAB=∆ OAC (c.g.c) nên OBA = OCA(1) 0,5đ
∆ OIM=∆ OIN suy OM=ON 0,5đ suy ∆ OBN=∆ OCN (c.c.c) OBM=OCM(2) 0,5đ
Từ (1) (2) suy OCA=OCN=900 suy OC ┴ AC 0,5đ Vậy điểm O cố định
-Đáp án đề 24
Câu 1: (2đ)
a a + a = 2a với a (0,25đ) Với a < a + a = (0,25đ) b a - a
(49)Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi tốn 7 -Với a< a - a = - a - a = - 2a
c.3(x – 1) - 2x + 3 -Với x + x -
Ta có: 3(x – 1) – x + 3 = 3(x – 1) – 2(x + 3) = 3x – – 2x –
= x – (0,5đ) -Với x + < x< -
Tacó: 3(x – 1) - 2x + 3 = 3(x – 1) + 2(x + 3) = 3x – + 2x +
= 5x + (0,5đ) Câu 2: Tìm x (2đ)
a.Tìm x, biết: 5x - 3 - x = 5x x (1) (0,25 đ) ĐK: x -7 (0,25 đ)
5
1
5
x x
x x
… (0,25 đ)
Vậy có hai giá trị x thỏa mãn điều kiện đầu x1 = 5/2 ; x2= - 2/3 (0,25đ) b 2x + 3 - 4x < (1,5đ) 2x + 3 < + 4x (1)
ĐK: 4x +9 x
(1) 4x9 2x 4 x9 2 x 3 (t/mĐK) (0,5đ).
Câu 3:
Gọi chữ số số cần tìm a, b, c Vì số càn tìm chia hết 18 số phải chia hết cho
Vậy (a + b + c ) chia hết cho (1) (0,5đ) Tacó: a + b + c 27 (2) Vì a ; b ; c
Từ (1) (2) ta có (a + b + c) nhận giá trị 9, 18, 27 (3) Suy ra: a = ; b = ; c = (0,5đ)
Vì số càn tìm chia hết 18 nên vừa chia hết cho vừa chia hết cho chữ số hàng đơn vị phải số chẵn
Vậy ssố càn tìm là: 396 ; 963 (0,5đ)
-Vẽ hình viết giả thiết, kết luận (0,5đ) -Qua N kẻ NK // AB ta có
(50)Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi tốn 7 Lại có: AD = BE (gt)
AD = NK (1)
-Học sinh chứng minh ADM = NKC (gcg) (1đ) DM = KC (1đ)
-Đáp án đề 25
Bài 1: Ta có: 10A = 2007
2007 2007
10 10
= +
10 10
(1)
Tương tự: 10B = 2008
2008 2008
10 10
= +
10 10
(2)
Từ (1) (2) ta thấy : 2007 2008
9
10 1 10 1 10A > 10B A > B Bài 2:(2điểm) Thực phép tính:
A =
1 1
1
(1 2).2 (1 3).3 (1 2006)2006
2 2
=
2 2007.2006 10 18 2007.2006
3 10 2006.2007 12 20 2006.2007
(1) Mà: 2007.2006 - = 2006(2008 - 1) + 2006 - 2008
= 2006(2008 - 1+ 1) - 2008 = 2008(2006 -1) = 2008.2005 (2) Từ (1) (2) ta có:
A =
4.1 5.2 6.3 2008.2005 (4.5.6 2008)(1.2.3 2005) 2008 1004
2.3 3.4 4.5 2006.2007 (2.3.4 2006)(3.4.5 2007) 2006.3 3009
Bài 3:(2điểm) Từ:
x 1 x
8 y 4 y 8
Quy đồng mẫu vế phải ta có :
1 x -
y Do : y(x-2) =8.
Để x, y nguyên y x-2 phải ước Ta có số nguyên tương ứng cần tìm bảng sau:
Y -1 -2 -4 -8
x-2 -8 -4 -2 -1
X 10 -6 -2
(51)Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7 Trong tam giác tổng độ dài hai cạnh lớn cạnh thứ Vậy có:
b + c > a
Nhân vế với a >0 ta có: a.b + a.c > a2. (1) Tương tự ta có : b.c + b.a > b2 (2)
a.c + c.b > c2 (3).
Cộng vế với vế (1), (2), (3) ta được: 2(ab + bc + ca) > a2 + b2 + c2.
Bài 5:(3 điểm) Vẽ tia phân giác ABK cắt đường thẳng CK I Ta có: IBC cân nên IB = IC
BIA
= CIA (ccc) nên BIA CIA 120 Do đó:
BIA
=BIK (gcg) BA=BK
b) Từ chứng minh ta có:
BAK 70
-Đáp án đề 26
Câu 1: ( điểm ) a Do
1
n2<
n2−1
với n ¿2 nên ( 0,2 điểm )
A< C = 22−1+
1 32−1+
1
42−1+ +
n2−1 ( 0,2 điểm ) Mặt khác: C = 1.3+ 2.4+
3 5+ +
1
(n−1).(n+1) ( 0,2 điểm) = 2( 1− 3+ 2− 4+ 3−
5+ +
n−1−
n+1) ( 0,2 điểm) = (1+
1 2−
1
n−
1
n+1)<
3 2=
3
4<1 (0,2 điểm )
Vậy A <
b ( điểm ) B = 22+
1 42+
1 62+ +
1
(2n)2 ( 0,25 điểm ) =
1 22(1+
1 22+
1 32+
1
42+ .+
n2)
( 0,25 điểm )
C K
A I
(52)Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7 =
1
22(1+A) ( 0,25 điểm )
Suy P <
22(1+1)=
2 ;Hay P <
2 (0,25 điểm )
Câu 2: ( điểm ) Ta có
k+1 √k+1
k >1 với k = 1,2……… n ( 0,25 điểm ) áp dụng bất đẳng thức Cô Si cho k +1 số ta có:
k+1
√k+k1= k+1
√1 .1 k k+1
k <
1+1+ .+1+k+1 k k+1 =
k k+1+
1
k=1+
1
k(k+1) (0,5 điểm ) Suy <
k+1
√k+1
k <1+(
1
k−
1
k+1) ( 0,5 điểm )
Lần lượt cho k = 1,2, 3,……… n cộng lại ta n < √2+
3
√3
2+ +
n+1 √n+1
n <n+1−
1
n<n+1 ( 0,5 điểm) => [α]=n
Câu (2 điểm )
Gọi , hb ,hc độ dài đường cao tam giác Theo đề ta có:
ha+hb
5 =
hb+hc
7 =
hc+ha
8 =
2(ha+hb+hc)
20 =
ha+hb+hc
10 ( 0,4 điểm )
=> hc = hb = ha
3 => ha : hb : hc = : 2: ( 0,4 điểm )
Mặt khác S =
2a.ha= 2bhb=
1 2chc
( 0,4 điểm )
=> a ha = b hb = c
hc (0 , điểm )
=> a :b : c =
ha:
1
hb:
1
hc=
1 3:
1 2:
1
5=10 :15 :6 (0 ,4 điểm ) Vậy a: b: c = 10 : 10 :
Câu 4: ( điểm ) Trên tia Ox lấy A'
, tia Oy lấy B'
cho O A'
= O B'
= a ( 0,25 điểm ) Ta có: O A'
+ O B'
= OA + OB = 2a => A A'
= B B'
( 0,25 điểm
(53)Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7 Gọi H K hình chiếu
Của A B đường thẳng A' B'
Tam giác HA A' = tam giác KB B'
( cạnh huyền, góc nhọn ) ( 0,5 điểm )
=> H A'=K B', HK = A'B' (0,25
điểm)
Ta chứng minh
HK ¿AB (Dấu “ = “ A trùng A' B
trùng B'
(0,25 điểm) A'B'
≤AB ( 0,2 điểm )
Vậy AB nhỏ OA = OB = a (0,25điểm )
Câu ( điểm )
Giả sử √a+√b+√c=d∈Q ( 0,2 điểm ) => √a+√b=d−√a
=> b +b +2 √bc=d2+a+2d√a ( 0,2 điểm) => √bc=(d2+a−b−c)−2d√a ( ) ( 0,2 điểm)
=> 4bc = (d2+a−b−c) 2 + d2a – 4b (d2+a−b−c) √a ( 0,2 điểm)
=> d (d2+a−b−c) √a = (d2+a−b−c) + 4d 2a – bc ( 0,2 điểm) * Nếu d (d2+a−b−c) # thì:
√a=(d
2
+a−b−c)2+4d2a−4ab
4d(d2+a−b−c) là số hữu tỉ (0,2 5điểm ) ** Nếu d (d2+a−b−c) = thì: d =0 d 2+ a-b – c = ( 0,25 điểm ) + d = ta có : √a+√b+√c=0
=> √a=√b=√c=0∈Q (0,25 điểm ) + d 2+ a-b – c = từ (1 ) => √bc=−d√a
Vì a, b, c, d ¿0 nên √a=0∈Q ( 0,25 điểm )
Vậy √a số hữu tỉ
Do a,b,c có vai trị nên √a,√b ,√c số hữu tỉ
(54)Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7
Đề
Bài 1. (4 điểm)
a) Chứng minh 76 + 75 – 74 chia hết cho 55 b) Tính A = + + 52 + 53 + + 549 + 55
Bài (4 điểm)
a) Tìm số a, b, c biết :
a b c
a + 2b – 3c = -20
b) Có 16 tờ giấy bạc loại 20 000đ, 50 000đ, 100 000đ Trị giá loại tiền Hỏi loại có tờ?
Bài 3. (4 điểm)
a) Cho hai đa thức f(x) = x5 – 3x2 + 7x4 – 9x3 + x2 - 4x g(x) = 5x4 – x5 + x2 – 2x3 + 3x2 -
(55)Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi tốn 7 b) Tính giá trị đa thức sau:
A = x2 + x4 + x6 + x8 + …+ x100 x = -1.
Bài 4. (4 điểm)
Cho tam giác ABC có góc A 900, cạnh BC lấy điểm E cho BE = BA Tia phân giác góc B cắt AC D
a) So sánh độ dài DA DE b) Tính số đo góc BED
Bài 5. (4 điểm)
Cho tam giác ABC, đờng trung tuyến AD Kẻ đờng trung tuyến BE cắt AD G Gọi I, K theo thứ tự trung điểm GA, GB Chứng minh rằng:
a) IK// DE, IK = DE b) AG =
2 3AD.
Đề 2: Mơn: Tốn 7
Bài 1: (3 điểm): Tính
1 2
18 (0, 06 : 0,38) : 19
6
Bài 2: (4 điểm): Cho
a c
c b chứng minh rằng:
a)
2 2
a c a
b c b
b)
2 2
b a b a
a c a
Bài 3:(4 điểm) Tỡm x biết:
a)
1
4
5
x
b)
15
12x 5x
(56)Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7
vận tốc 3m/s Hỏi độ dài cạnh hỡnh vuụng biết tổng thời gian vật chuyển động bốn cạnh 59 giây
Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân A có A 20 0, vẽ tam giác DBC (D nằm tam giác ABC) Tia phân giác góc ABD cắt AC M Chứng minh:
a) Tia AD phân giác góc BAC b) AM = BC
Bài 6: (2 điểm): Tỡm x y, biết: 25 y2 8(x 2009)2
Đề 3
Bài 1:(4 điểm)
a) Thực phép tính:
12 10
6 9 3
2
2 25 49 A
125.7 14
b) Chứng minh : Với số nguyên dương n thỡ :
2
3n 2n 3n 2n
chia hết cho 10
Bài 2:(4 điểm)
Tỡm x biết:
a
1
3,
3 5
x
b
1 11
7 x x
x x
Bài 3: (4 điểm)
a) Số A chia thành số tỉ lệ theo
2 : :
5 6 Biết tổng cỏc bỡnh phương của
ba số 24309 Tỡm số A b) Cho
a c
c b Chứng minh rằng:
2 2
a c a
b c b
Bài 4: (4 điểm)
Cho tam giác ABC, M trung điểm BC Trên tia đối của tia MA lấy điểm E cho ME = MA Chứng minh rằng:
a) AC = EB AC // BE
(57)Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7 c) Từ E kẻ EH BC H BC Biết HBE = 50o ; MEB =25o Tính HEM BME
Bài 5: (4 điểm)
Cho tam giác ABC cân A có A 20 0, vẽ tam giác DBC (D nằm tam giác ABC) Tia phân giác góc ABD cắt AC M Chứng minh:
(58)Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7
Đề
Bài 1: (2 điểm)
Cho A = 2-5+8-11+14-17+…+98-101 a, Viết dạng tổng quát dạng thứ n A b, Tính A
Bài 2: ( điểm)
Tìm x,y,z trờng hợp sau: a, 2x = 3y =5z x 2y =5 b, 5x = 2y, 2x = 3z xy = 90 c,
1
y z x z x y
x y z x y z
Bài 3: ( điểm)
1 Cho
3
1
2
a a a
a a
a a a a a (a
1+a2+…+a9 ≠0) Chứng minh: a1 = a2 = a3=…= a9
Cho tỉ lệ thức:
a b c a b c a b c a b c
b ≠ 0 Chứng minh c =
Bài 4: ( điểm)
Cho số nguyên a1, a2, a3, a4, a5 Gọi b1, b2, b3, b4, b5 hoán vị số cho Chứng minh tích (a1-b1).(a2-b2).(a3-b3).(a4-b4).(a5-b5)
Bài 5: ( điểm)
Cho đoạn thẳng AB O trung điểm đoạn thẳng Trên hai nửa mặt phẳng đối qua AB, kẻ hai tia Ax By song song với Trên tia Ax lấy hai điểm D F cho AC = BD AE = BF
Chứng minh : ED = CF
(59)Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7 Đề
Bài 1: (3 điểm)
1 Thực phép tính:
1
4,5 : 47,375 26 18.0,75 2, : 0,88
2 17,81:1,37 23 :1
3
2 Tìm giá trị x y thoả mãn: 2007 2008 2x 27 3y10 0 Tìm số a, b cho 2007ab bình phơng số tự nhiên.
Bài 2: ( điểm)
1 Tìm x,y,z biết:
1
2
x y z
x-2y+3z = -10
2 Cho bốn số a,b,c,d khác thoả mãn: b2 = ac; c2 = bd; b3 + c3 + d3 ≠ 0
Chứng minh rằng:
3 3 3
a b c a
b c d d
Bài 3: ( điểm)
1 Chứng minh rằng:
1 1
10
1 3 100
2 Tìm x,y để C = -18- 2x 3y9 đạt giá trị lớn
Bài 4: ( điểm)
Cho tam giác ABC vng cân A có trung tuyến AM E điểm thuộc cạnh BC
Kẻ BH, CK vng góc với AE (H, K thuộc AE) 1, Chứng minh: BH = AK
(60)Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7
Đề số 6
Câu 1: Tìm số a,b,c biết rằng: ab =c ;bc= 4a; ac=9b Câu 2: Tìm số nguyên x thoả mãn:
a,5x-3 < b,3x+1 >4 c, 4- x +2x =3 Câu3: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A =x +8 -x
Câu 4: Biết :12+22+33+ +102= 385 Tính tổng : S= 22+ 42+ +202 Câu :
Cho tam giác ABC ,trung tuyến AM Gọi I trung điểm đoạn thẳng AM, BI cắt cạnh AC D
a Chứng minh AC=3 AD b Chứng minh ID =1/4BD
- Hết
-Đề số 7
Thời gian làm bài: 120 phút
Câu ( 2đ) Cho: a b =
b c =
c
d Chứng minh: (
a+b+c
b+c+d)
3
= a
d .
Câu (1đ) Tìm A biết rằng: A = a b+c =
c a+b =
b c+a . Câu (2đ) Tìm x∈Z để A Z tìm giá trị
a) A = x+3
x−2 b) A = 1−2x
x+3 . Câu (2đ) Tìm x, biết:
a) |x−3| = b) ( x+ 2) 2 = 81 c) 5 x + 5 x+ 2 = 650
Câu (3đ) Cho ABC vuông cân A, trung tuyến AM E BC, BH AE, CK AE, (H,K AE) Chứng minh MHK vuông cân
(61)-Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7
Đề số 8
Thời gian làm : 120 phút Câu : ( điểm)
1 Ba đường cao tam giác ABC có độ dài 4,12 ,a Biết a số tự nhiên Tìm a ?
2 Chứng minh từ tỉ lệ thức a b=
c
d ( a,b,c ,d 0, ab, cd) ta suy tỉ lệ thức:
a)
a a−b=
c
c−d . b)
a+b b =
c+d d .
Câu 2: ( điểm) Tìm số nguyên x cho: ( x2 –1)( x2 –4)( x2 –7)(x2 –10) < 0. Câu 3: (2 điểm)
Tìm giá trị nhỏ của: A = | x-a| + | x-b| + |x-c| + | x-d| với a<b<c<d Câu 4: ( điểm) Cho hình vẽ
a, Biết Ax // Cy so sánh góc ABC với góc A+ góc C b, góc ABC = góc A + góc C Chứng minh Ax // Cy
Câu 5: (2 điểm)
Từ điểm O tùy ý tam giác ABC, kẻ OM, ON , OP vuông góc với cạnh BC, CA, Ab Chứng minh rằng:
AN2 + BP2 + CM2 = AP2 + BM2 + CN2
Hết
-x A
B y
(62)Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7
Đề số 9
Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1(2đ):
a) Tính: A = + 100
3 100
2 2 2 b) Tìm n Z cho : 2n - n + Câu (2đ):
a) Tìm x biết: 3x - 2x1 =
b) Tìm x, y, z biết: 3(x-1) = 2(y-2), 4(y-2) = 3(z-3) 2x+3y-z = 50 Câu 3(2đ): Ba phân số có tổng
213
70 , tử chúng tỉ lệ với 3; 4; 5, mẫu chúng tỉ lệ với 5; 1; Tìm ba phân số
Câu 4(3đ): Cho tam giác ABC cân đỉnh A Trên cạnh AB lấy điểm D, tia đối tia CA lấy điểm E cho BD = CE Gọi I trung điểm DE Chứng minh ba điểm B, I, C thẳng hàng
Câu 5(1đ): Tìm x, y thuộc Z biết: 2x + 7 =
1
y
-Hết -Đề số 10
Thời gian làm bài: 120’ Câu 1: Tính :
a) A = 1.2+
1 2.3+
1
3.4+ + 99.100 . b) B = 1+
1
2(1+2)+
3(1+2+3)+
4(1+2+3+4)+ +
20(1+2+3+ +20) Câu 2:
a) So sánh: √17+√26+1 √99 .
b) Chứng minh rằng:
1 √1+
1 √2+
1
√3+ +
√100 >10 .
Câu 3:
Tìm số có chữ số biết số bội 18 chữ số tỉ lệ theo 1:2:3 Câu
Cho tam giác ABC có góc B góc C nhỏ 900 Vẽ phía ngồi tam giác tam giác vng cân ABD ACE ( góc ABD góc ACE 900 ), vẽ DI EK vng góc với đường thẳng BC Chứng minh rằng:
a BI=CK; EK = HC; b BC = DI + EK
Câu 5: Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A = |x−2001|+ |x−1|
(63)-Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7
Đề số 11
Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1: (1,5 đ) Tìm x biết:
a, x+2
327 +
x+3
326 +
x+4
325 +
x+5
324 +
x+349
5 =0
b, |5x−3| ¿7
Câu2:(3 điểm)
a, Tính tổng: S=(−
1 7)
0
+(−1 7)
1
+(−1 7)
2
+ +(−1 7)
2007
b, CMR: 2!+
2 3!+
3
4!+ +
99 100!<1
c, Chứng minh số nguyên dương n thì: 3n+2 – 2n+2 +3n – 2n chia hết cho 10 Câu3: (2 điểm) Độ dài ba cạnh tam giác tỉ lệ với 2;3;4 Hỏi ba chiều cao tương ứng ba cạnh tỉ lệ với số nào?
Câu 4: (2,5điểm) Cho tam giác ABC có góc B=600 hai đường phân giác AP CQ tam giác cắt I
a, Tính góc AIC b, CM : IP = IQ
Câu5: (1 điểm) Cho B=
(64)-Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7
Đề số 12
Thời gian : 120’ Câu : (3đ) Tìm số hữu tỉ x, biết :
a) (x−1)5 = - 243 b)
x+2
11 +
x+2
12 +
x+2
13 =
x+2 14 +
x+2
15 c) x - √x = (x ¿0 )
Câu : (3đ)
a, Tìm số nguyên x y biết :
5
x+ y
4=
b, Tìm số ngun x để A có giá trị số nguyên biết : A =
√x+1
√x−3 (x ¿0 )
Câu : (1đ) Tìm x biết : |5x−3| - 2x = 14 Câu : (3đ)
a, Cho Δ ABC có góc A, B , C tỉ lệ với 7; 5; Các góc ngồi tương ứng tỉ lệ với số
b, Cho Δ ABC cân A Â < 900 Kẻ BD vng góc với AC Trên cạnh AB lấy điểm E cho : AE = AD Chứng minh :
1) DE // BC
2) CE vng góc với AB
-Hết -Đề số 13
Thời gian làm bài: 120 phút Bài1( điểm)
a, Tính: A =
101 3(26
1 3−
176 )−
12 11(
10
3 −1,75)
(
91−0,25).60 11−1
(65)Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7
Bài 2: ( 2điểm) Tìm số nguyên dương cho tổng nghịch đảo chúng
Bài 3: (2 điểm) Cần chữ số để đánh số trang sách dày 234 trang Bài 4: ( điểm) Cho Δ ABC vuông B, đường cao BE Tìm số đo góc nhọn tam giác , biết EC – EA = AB
- hết
-Đề số 14
Thời gian làm 120 phút
Bài 1(2 điểm). Cho A x x
a.Viết biểu thức A dạng khơng có dấu giá trị tuyệt đối b.Tìm giá trị nhỏ A
Bài ( điểm)
a.Chứng minh : 2 2
1 1 1
65 6 7 100 4 . b.Tìm số nguyên a để :
2 17
3 3
a a a
a a a
số nguyên.
Bài 3(2,5 điểm) Tìm n số tự nhiên để : An5 n6 n
Bài 4(2 điểm) Cho góc xOy cố định Trên tia Ox lấy M, Oy lấy N cho OM + ON = m không đổi Chứng minh : Đường trung trực MN qua điểm cố định
Bài 5(1,5 điểm). Tìm đa thức bậc hai cho : f x f x 1 x Áp dụng tính tổng : S = + + + … + n
Hết
-Đề số 15
Thời gian làm bài: 120 phút
Câu 1: (2đ) Rút gọn A=
2 20
x x
x x
Câu 2 (2đ) Ba lớp 7A,7B,7C có 94 học sinh tham gia trồng Mỗi học sinh lớp 7A trồng cây, Mỗi học sinh lớp 7B trồng cây, Mỗi học sinh lớp 7C trồng cây, Hỏi lớp có học sinh Biết số lớp trồng
Câu 3: (1,5đ) Chứng minh 2006
10 53
9
(66)Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7
Câu 4 : (3đ) Cho góc xAy = 600 vẽ tia phân giác Az góc Từ điểm B Ax vẽ đường thẳng song song với với Ay cắt Az C vẽ Bh Ay,CM Ay, BK AC Chứng minh rằng:
a, K trung điểm AC b, BH =
AC
c, ΔKMC đều
Câu 5 (1,5 đ) Trong kỳ thi học sinh giỏi cấp Huyện, bốn bạn Nam, Bắc, Tây, Đông đoạt giải 1,2,3,4 Biết câu câu nửa sai nửa:
a, Tây đạt giải 1, Bắc đạt giải b, Tây đạt giải 2, Đông đạt giải c, Nam đạt giải 2, Đông đạt giải
Em xác định thứ tự giải cho bạn
- Hết
Đề số 16: Thời gian làm 120 phút
Câu 1: (2đ) Tìm x, biết:
a) |3x−2|−x=7 b) |2x−3|>5 c) |3x−1|≤7 d)
3
3x x
Câu 2: (2đ)
a) Tính tổng S = 1+52+ 54+ + 5200 b) So sánh 230 + 330 + 430 3.2410
Câu 3: (2đ) Cho tam giác ABC có góc B 600 Hai tia phân giác AM CN tam giác ABC cắt I
a) Tính góc AIC
b) Chứng minh IM = IN
Câu 4: (3đ) Cho M,N trung điểm cạnh AB Ac tam giác ABC Các đường phân giác phân giác tam giác kẻ từ B cắt đường thẳng MN D E tia AD AE cắt đường thẳng BC theo thứ tự P Q Chứng minh:
(67)Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7
Câu 5: (1đ) Với giá trị nguyên x biểu thức A=
14−x
4−x Có giá trị lớn nhất? Tìm giá trị
- Hết
Đề số 17:
Câu 1: ( 1,5 điểm) Tìm x, biết:
a 4x3 - x = 15 b 3x - x > c 2x3 Câu2: ( điểm)
a Tính tổng: A= (- 7) + (-7)2 + … + (- 7)2006 + (- 7)2007 Chứng minh rằng: A chia hết cho 43
b Chứng minh điều kiện cần đủđể m2 + m.n + n2 chia hết cho là: m, n chia hết cho
Câu 3: ( 23,5 điểm) Độ dài cạnh tam giác tỉ lệ với
nào,biết cộng độ dài hai đường cao tam giác tổng tỷ lệ theo 3:4:5
Câu 4: ( điểm ) Cho tam giác ABC cân A D điểm nằm tam giác, biết
ADB> ADC Chứng minh rằng: DB < DC.
Câu 5: ( điểm ) Tìm GTLN biểu thức: A = x1004 - x1003 - Hết
-Đề số 18
Câu (2 điểm): Tìm x, biết :
a 3x 2 +5x = 4x-10 b 3+ 2x > 13 Câu 2: (3 điểm )
a Tìm số có chữ số biết số chia hết cho 18 chữ số tỷ lệ với 1, 2,
b Chứng minh rằng: Tổng A=7 +72+73+74+ +74n chia hết cho 400 (n ¿ N) Câu : (1điểm )cho hình vẽ , biết α + β + γ = 1800 chứng minh Ax// By.
A α x
C β γ
(68)Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7
Câu (3 điểm ) Cho tam giác cân ABC, có ABC=1000 Kẻ phân giác góc CAB cắt AB D Chứng minh rằng: AD + DC =AB
Câu (1 điểm )
Tính tổng S = (-3)0 + (-3)1+ (-3)2 + + (-3)2004
Hết
-Đề số 19
Thời gian làm bài: 120 phú
Bài 1: (2,5đ) Thực phép tính sau cách hợp lí:
1 1 1 1 1
90 72 56 42 30 20 12
Bài 2: (2,5đ) Tính giá trị nhỏ biểu thức: A = |x−2|+|5−x|
Bài 3: (4đ) Cho tam giác ABC Gọi H, G,O trực tâm , trọng tâm giao điểm đường trung trực tam giác Chứng minh rằng:
a AH lần khoảng cách từ O đến BC b Ba điểm H,G,O thẳng hàng GH = GO
Bài 4: (1 đ) Tìm tổng hệ số đa thức nhận sau bỏ dấu ngoặc biểu thức (3-4x+x2)2006.(3+ 4x + x2)2007
- Hết
-Đề 20
Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1(3đ): Chứng minh
A = 22011969 + 11969220 + 69220119 chia hết cho 102 Câu 2(3đ): Tìm x, biết:
a x x 3 ; b 3x x 2
Câu 3(3đ): Cho tam giác ABC Gọi M, N, P theo thứ tự trung điểm BC, CA, AB Các đường trung trực tam giác gặp tai Các đường cao AD, BE, CF gặp H Gọi I, K, R theo thứ tự trung điểm HA, HB, HC
a) C/m H0 IM cắt Q trung điểm đoạn b) C/m QI = QM = QD = 0A/2
c) Hãy suy kết tương tự kết câu b
(69)Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7
Hết
Đề 21:
Bài 1: (2đ) Cho biểu thức A =
√x−5
√x+3 a) Tính giá trị A x =
1 b) Tìm giá trị x để A = -
c) Tìm giá trị nguyên x để A nhận giá trị nguyên Bài (3đ)
a) Tìm x biết: √7−x=x−1
b) Tính tổng M = + (- 2) + (- 2)2 + …+(- 2)2006
c) Cho đa thức: f(x) = 5x3 + 2x4 – x2 + 3x2 – x3 – x4 + – 4x3 Chứng tỏ đa thức khơng có nghiệm
Bài 3.(1đHỏi tam giác ABC tam giác biết góc tam giác tỉ lệ với 1, 2,
Bài 4.(3đ) Cho tam giác ABC có góc B 600 Hai tia phân giác AM CN tam giác ABC cắt I
a) Tính góc AIC
b) Chứng minh IM = IN
Bài (1đ) Cho biểu thức A =
2006−x
6−x Tìm giá trị nguyên x để A đạt giá trị lớn Tìm giá trị lớn
Hết
-Đề 22
Câu 1:
1.Tính: a (
1 2)
15
.(1 )
20
b ( 9)
25
:(1 )
(70)Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7 Rút gọn: A =
45 94−2.69 210.38+68.20
3 Biểu diễn số thập phân dạng phân số ngược lại: a
7
33 b
7
22 c 0, (21) d 0,5(16)
Câu 2: Trong đợt lao động, ba khối 7, 8, chuyên chở 912 m3 đất Trung bình học sinh khối 7, 8, theo thứ tự làm 1,2 ; 1,4 ; 1,6 m3 đất Số học sinh khối 7, tỉ lệ với Khối tỉ lệ với Tính số học sinh khối
Câu 3:
a.Tìm giá trị lớn biểu thức: A =
3
(x+2)2+4
b.Tìm giá trị nhỏ biểu thức: B = (x+1)2 + (y + 3)2 + 1
Câu 4: Cho tam giác ABC cân (CA = CB) C = 800 Trong tam giác cho
MBA 30 và MAB 100 Tính MAC .
Câu 5: Chứng minh : (a,b) = (a2,a+b) = 1.
Hết
-Đề23
Thời gian: 120 phút Câu I: (2đ)
1) Cho a−1
2 =
b+3
4 =
c−5
6 5a - 3b - c = 46 Xác định a, b, c 2) Cho tỉ lệ thức :
a b=
c
d Chứng minh :
2a2−3ab+5b2 2b2+3ab =
2c2−3cd+5d2
2d2+3cd Với điều kiện mẫu thức xác định
Câu II : Tính : (2đ) 1) A =
1 3.5+
1
5.7+ + 97 99 2) B = −
1 3+
1 32−
1
33+ + 350−
1 351
Câu III : (1,5 đ) Đổi thành phân số số thập phân sau : a 0,2(3) ; b 1,12(32)
Câu IV : (1.5đ) Xác định đa thức bậc biết : P(0) = 10; P(1) = 12; P(2) = ; p(3) =
(71)Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7 a Chứng minh : BE = CD BE với CD
b Chứng minh tam giác MNP vuông cân
- Hết
Đề 24
Thời gian làm bài: 120 phút Bài (1,5đ): Thực phép tính:
a) A =
3
0,375 0,3
1,5 0, 75
11 12
5 5
0, 265 0, 2, 1, 25
11 12
b) B = + 22 + 24 + + 2100 Bài (1,5đ):
a) So sánh: 230 + 330 + 430 3.2410 b) So sánh: + 33 29+ 14
Bài (2đ): Ba máy xay xay 359 thóc Số ngày làm việc máy tỉ lệ với 3:4:5, số làm việc máy tỉ lệ với 6, 7, 8, công suất máy tỉ lệ nghịc với 5,4,3 Hỏi máy xay thóc
Bài (1đ): Tìm x, y biết:
a) 3x b)
1 1
1.2 2.3 99.100 x
Bài ( 3đ): Cho ABC có góc nhỏ 1200 Vẽ phía tam giác ABC tam giác ABD, ACE Gọi M giao điểm DC BE Chứng minh rằng:
a)
120
BMC
b) AMB1200
Bài (1đ): Cho hàm số f(x) xác định với x thuộc R Biết với x ta có:
2
1 ( ) ( )
f x f x
x
Tính f(2)
(72)-Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7
Đề 25
Thời gian làm bài: 120 phút Câu (2đ) Tìm x, y, z ¿ Z, biết
a x x = - x b
x
6−
y=
1
c 2x = 3y; 5x = 7z 3x - 7y + 5z = 30 Câu (2đ)
a Cho A = ( 22−1).(
1 32−1).(
1
42−1) (
1002−1) Hãy so sánh A với − b Cho B =
√x+1
√x−3 Tìm x ¿ Z để B có giá trị số nguyên dương
Câu (2đ)
Một người từ A đến B với vận tốc 4km/h dự định đến B lúc 11 45 phút Sau
1
5 quãng đường người với vận tốc 3km/h nên đến B lúc 12 trưa
Tính quãng đườngAB người khởi hành lúc giờ?
Câu (3đ) Cho Δ ABC có ˆA > 900 Gọi I trung điểm cạnh AC Trên tia đối tia IB lấy điểm D cho IB = ID Nối c với D
a Chứng minh Δ AIB=ΔCID
b Gọi M trung điểm BC; N trung điểm CD Chứng minh I trung điểm MN
c Chứng minh AIB AIB BIC
d Tìm điều kiện Δ ABC để ACCD
Câu (1đ) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P =
14−x
(73)Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7 - Hết
Đề 26
Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1: (2,5đ)
a Tìm x biết : |2x−6| +5x =
b Thực phép tính : (1 +2 +3 + + 90) ( 12.34 – 6.68) : ( 3+
1 4+
1 5+
1 6) ; c So sánh A = 20 +21 +22 +23+ 24 + +2100 B = 2101
Bài :(1,5đ) Tìm tỉ lệ ba cạnh tam giác biết cộng độ dài hai đường cao tam giác tỉ lệ kết :5 : :
Bài :(2đ) Cho biểu thức A =
√x+1
√x−1 . a Tính giá trị A x =
16
9 x = 25
9 . b Tìm giá trị x để A =5
Bài :(3đ) Cho tam giác ABC vuông C Từ A, B kẻ hai phân giác cắt AC E, cắt BC D Từ D, E hạ đường vng góc xuống AB cắt AB M N Tính góc MCN ?
Bài : (1đ) Với giá trị x biểu thức : P = -x2 – 8x +5 Có giá trị lớn Tìm giá trị lớn ?
(74)-Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7
Đề 27
Thời gian: 120 phút
Câu 1: (3đ)
a Tính A =
2
1
0, 25
4
b Tìm số nguyên n, biết: 2-1.2n + 4.2n = 9.25
c Chứng minh với n nguyên dương thì: 3n+3-2n+2+3n-2n chia hết cho 10 Câu 2: ((3đ)
a 130 học sinh thuộc lớp 7A, 7B, 7C trường tham gia trồng Mỗi học sinh lớp 7A, 7B, 7C theo thứ tự trồng 2cây, cây, Hỏi lớp có học sinh tham gia trồng cây? Biết số trồng lớp
b Chứng minh rằng: - 0,7 ( 4343 - 1717 ) số nguyên
Câu 3: (4đ ) Cho tam giác cân ABC, AB=AC Trên cạnh BC lấy điểm D Trên Tia tia BC lấy điểm E cho BD=BE Các đường thẳng vng góc với BC kẻ từ D E cắt AB AC M N Chứng minh:
a DM= ED
b Đường thẳng BC cắt MN điểm I trung điểm MN
c Đường thẳng vng góc với MN I luôn qua điểm cố định D thay đổi BC
(75)-Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7
Đề 28
Thời gian: 120 phút Câu 1: (2 điểm) Rút gọn biểu thức
a a a b a a
c 3x1 x Câu 2: Tìm x biết: a 5x - x = b 2x3 - 4x <
Câu 3: (2đ) Tìm số có chữ số biết số chia hết cho 18 chữ số tỷ lệ với số 1; 2;
Câu 4: (3,5đ) Cho ABC, cạnh AB lấy điểm D E Sao cho AD = BE Qua D E vẽ đường song song với BC, chúng cắt AC theo thứ tự M N Chứng minh DM + EN = BC
(76)-Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7
Đề 29
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1:(1điểm) Hãy so sánh A B, biết: A=
2006 2007
2007 2008
10 10
; B =
10 10
Bài 2:(2điểm) Thực phép tính: A=
1 1
1
1 2 3 2006
Bài 3:(2điểm) Tìm số x, y nguyên biết rằng:
x 1 y 4
Bài 4:(2 điểm) Cho a, b, c ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: 2(ab + bc + ca) > a2 + b2 + c2.
Bài 5:(3 điểm) Cho tam giác ABC cóB = C = 50 Gọi K điểm tam giác cho KBC = 10 KCB = 30
a Chứng minh BA = BK b Tính số đo góc BAK
(77)-Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7
Đề thi 30
Thời gian làm bài: 120 phút Câu Với số tự nhiên n ¿ so sánh:
a A= 22+
1 32+
1
42+ +
n2 với b B =
1 22+
1 42+
1 62+ +
1
(2n)2 với 1/2
Câu 2: Tìm phần nguyên α , với α=√2+
√3 2+
4
√4
3+ +
n+1 √n+1
n
Câu 3: Tìm tỉ lệ cạnh tam giác, biết cộng độ dài hai đường cao tam giác tỉ lệ kết 5: :
Câu 4: Cho góc xoy , hai cạnh ox oy lấy điểm A B AB có độ dài nhỏ
Câu 5: Chứng minh a, b, c √a+√b+√c số hữu tỉ
(78)Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7 Bài 4đ
a) 74( 72 + – 1) = 74 55 55 (đpcm) 2đ
b) Tính A = + + 52 + 53 + + 549 + 55 (1) 5.A = + 52 + 53 + + 549 + 55 0 + 551 (2) 1đ
Trừ vế theo vế (2) cho (1) ta có : 4A = 551 – => A = 51
1
5 1đ
Bài 4đ
a)
a b c
2 3 20
5
2 12 12
a b c a b c
=> a = 10, b = 15, c =20 2đ
b) Gọi số tờ giấy bạc 20 000đ, 50 000đ, 100 000đ theo thứ tự x, y, z ( x, y, z
N-*) 0,5đ
Theo ta có: x + y + z = 16 20 000x = 50 000y = 100 000z 0,5đ
Biến đổi: 20 000x = 50 000y = 100 000z =>
20 000 50000 100000 16
2 100 000 100000 100000 5
x y z x y z x y z
0,5đ
Suy x = 10, y = 4, z =
Vậy số tờ giấy bạc loại 20 000đ, 50 000đ, 100 000đ theo thứ tự 10; 4; 0,5đ
Bài 4đ
a) f(x) + g(x) = 12x4 – 11x3 +2x2 - 4x -
1
4
1đ
f(x) - g(x) = 2x5 +2x4 – 7x3 – 6x2 - 4x +
1
4
1đ
b) A = x2 + x4 + x6 + x8 + …+ x100 x = - 1
A = (-1)2 + (-1)4 + (-1)6 +…+ (-1)100 = + + +…+ = 50 (có 50 số hạng) 2đ
Bài 4đ: Vẽ hình (0,5đ) – phần a) 1,5đ - phần b) 2đ
a) ABD =EBD (c.g.c) => DA = DE
b) Vì ABD =EBD nên góc A góc BED
Do góc A 900 nên góc BED 900 e
d
c a
b
(79)Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7
a) Tam giác ABC tam giác ABG có: DE//AB, DE =
1
2AB, IK//AB, IK= 2AB
Do DE // IK DE = IK
b)GDE = GIK (g c g) có: DE = IK (câu a)
Góc GDE = góc GIK (so le trong, DE//IK) Góc GED = góc GKI (so le trong, DE//IK) ⇒ GD = GI Ta có GD = GI = IA nên AG =
2 3AD G k i e d c b a
- Vẽ hình: 0,5đ - Phần a) đúng: 2đ - Phần b) đúng: 1,5đ
Đề 2:
Bài 1: điểm
1 2
18 (0, 06 : 0,38) : 19
6
=
=
109 15 17 38 19
( : ) : 19
6 100 100
0.5đ
=
109 17 19 38
: 19
6 50 15 50
1đ
=
109 323 19
:
6 250 250
0.5
=
109 13 10 19
= 0.5đ
=
506 253
30 19 95 0.5đ
Bài 2:
a) Từ
a c
c b suy c2 a b.
0.5đ
2 2
2 2
a c a a b
b c b a b
0.5đ =
( )
( )
a a b a
b a b b
0.5đ
b) Theo câu a) ta có:
2 2
2 2
a c a b c b
b c b a c a
0.5đ
từ
2 2
2 2 1
b c b b c b
a c a a c a
(80)Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7
hay
2 2
2
b c a c b a
a c a
0.5đ
vậy 2 2
b a b a
a c a
0.5đ
Bài 3:
a)
4
5
x
1
2
x
0.5đ
1
2
5
x x
hoặc
2
x
1đ Với
1
2
5
x x
hay x 0.25đ Với 1 2 5
x x
hay 11 x 0.25đ b)
15
12x 5x
6
5x4x 7 0.5đ
6 13
( )
5 4 x14 0.5đ 49 13
20x14 0.5đ 130
343
x
0.5đ
Bài 4:
Cùng đoạn đường, cận tốc thời gian hai đại lượng tỉ lệ nghịch 0.5đ Gọi x, y, z thời gian chuyển động với vận tốc 5m/s ; 4m/s ; 3m/s
Ta có: 5.x4.y3.z x x y z 59 1đ hay:
59 60
1 1 1 1 59
5 5 60
x y z x x y z
0.5đ Do đó: 60 12
x
;
1 60 15
4
x
;
1 60 20
3
x
0.5đ Vậy cạnh hỡnh vuụng là: 5.12 = 60 (m) 0.5đ
200
M A
B C
(81)Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7
Bài 5:
-Vẽ hỡnh, ghi GT, KL 0.5đ a) Chứng minh ADB = ADC (c.c.c) 1đ suy DAB DAC
Do DAB 20 : 100
b) ABC cân A, mà A200(gt) nên ABC (1800 20 ) : 800 ABC nên DBC 600
Tia BD nằm hai tia BA BC suy ABD800 600 200 Tia BM phân giác của góc ABD
nên ABM 100
Xét tam giác ABM BAD có:
AB cạnh chung ; BAM ABD20 ;0 ABM DAB 100
Vậy: ABM = BAD (g.c.g) suy AM = BD, mà BD = BC (gt) nên AM = BC
Bài 6:
2
25 y 8(x 2009) Ta có 8(x-2009)2 = 25- y2
8(x-2009)2 + y2 =25 (*) 0.5đ Vỡ y2 ¿ 0 nên (x-2009)2
25
, suy (x-2009)2 = (x-2009)2 =1 0.5đ
Với (x -2009)2 =1 thay vào (*) ta có y2 = 17 (loại)
Với (x- 2009)2 = thay vào (*) ta có y2 =25 suy y = (do y ) 0.5đ
Từ tỡm (x=2009; y=5) 0.5đ
(82)
Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7
Đề 3
Bài 1:(4 điểm):
Đáp án Thangđiểm
a) (2 điểm)
10
12 10 12 12 10
6 12 12 9 3
2
12 10
12 3
10 12
12
2 25 49 3 7 3 7 125.7 14
2
2
5
2
1 10
6
A
b) (2 điểm)
3 n + 2 - Với số nguyên dương n ta có:
3n2 2n23n 2n= 3n23n 2n2 2n =3 (3n 21) (2 n 21)
=3 10 10 2n n n n110 = 10( 3n -2n)
Vậy 3n2 2n23n 2n 10 với n số nguyên dương.
0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm
0,5 điểm điểm 0,5 điểm
Bài 2:(4 điểm)
Đáp án Thangđiểm
a) (2 điểm)
0,5 điểm 0,5 điểm
0,5 điểm
(83)Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7 2 3 3
1 4 16
3,
3 5 5
1 14
3 5
1 x x x x x x x
x
b) (2 điểm)
1 11
1 10
7
7
x x x x x x x
1 10
10
7
1 ( 7)
7
( 7)
7
10 x x x x x x x x
x x
0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm
Bài 3: (4 điểm)
Đáp án Thang điểm
a) (2,5 điểm)
Gọi a, b, c ba số chia từ số A Theo đề ta có: a : b : c =
2 : :
5 6 (1)
và a2 +b2 +c2 = 24309 (2)
Từ (1)
2
5
a b c
= k
2
; ;
5
k a k b k c
Do (2)
2( ) 24309
25 16 36
k
k = 180 k =180
0,5 điểm 0,5 điểm
(84)Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7 + Với k =180, ta được: a = 72; b = 135; c = 30
Khi ta có số A = a + b + c = 237
+ Với k =180, ta được: a = 72; b =135; c =30 Khi ta có só A =72+( 135) + (30) = 237 b) (1,5 điểm)
Từ
a c
c b suy c2 a b.
2 2
2 2
a c a a b
b c b a b
=
( )
( )
a a b a
b a b b
0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm
Bài 4: (4 điểm)
Đáp án Thang
điểm
Vẽ hỡnh 0,5 điểm
a/ (1điểm) Xét AMC EMB có :
AM = EM (gt )
AMC = EMB (đối đỉnh ) BM = MC (gt )
Nên : AMC = EMB (c.g.c ) 0,5 điểm
AC = EB
Vỡ AMC = EMB MAC = MEB
(2 góc có vị trí so le tạo đường thẳng AC EB cắt đường thẳng AE )
Suy AC // BE 0,5 điểm
b/ (1 điểm )
Xét AMI EMK có :
K
H
E M
B
A
(85)Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7 AM = EM (gt )
MAI = MEK ( vỡ AMCEMB ) AI = EK (gt )
Nên AMI EMK ( c.g.c ) 0,5 điểm Suy
AMI = EMK
Mà AMI + IME = 180o ( tính chất hai góc kề bù )
EMK + IME = 180o
Ba điểm I;M;K thẳng hàng 0,5 điểm
c/ (1,5 điểm )
Trong tam giác vuông BHE ( H = 90o ) có HBE = 50o
HBE
= 90o - HBE = 90o - 50o =40o 0,5
điểm
HEM
= HEB - MEB = 40o - 25o = 15o 0,5
điểm
BME góc ngồi đỉnh M HEM
Nên BME = HEM + MHE = 15o + 90o = 105o
( định lý góc ngồi tam giác ) 0,5 điểm
Bài 5: (4 điểm)
2 00
M A
B C
D
-Vẽ hỡnh
a) Chứng minh ADB = ADC (c.c.c) 1điểm
suy DAB DAC 0,5 điểm
Do DAB 20 : 100 0,5 điểm
b) ABC cân A, mà A200(gt) nên ABC (1800 20 ) : 800
(86)Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7 Tia BD nằm hai tia BA BC suy ABD800 600200.
Tia BM phân giác góc ABD
nên ABM 100 0,5 điểm
Xét tam giác ABM BAD có:
AB cạnh chung ; BAM ABD20 ;0 ABM DAB 100 Vậy: ABM = BAD (g.c.g)
suy AM = BD, mà BD = BC (gt) nên AM = BC 0,5 điểm
Đề
Bài Nội dung cần đạt Điểm
1.1
Số hạng thứ (-1)1+1(3.1-1)
1 Số hạng thứ hai (-1)2+1(3.2-1) …
Dạng tổng quát số hạng thứ n là: (-1)n+1(3n-1)
1.2 A = (-3).17 = -51
2.1
2
x y
, 3y = 5z Nếu x-2y = x= -15, y = -10, z = -6
0,5
Nếu x-2y = -5 x= 15, y = 10, z = 0,5
2.2
x y 10 x xy
=9 x = ±6
0,5
Ta có 2x = 3z nên x1 = 6; y1 = 15; z1 = 0,25
x1 = -6; y1 = -15; z1 = -4 0,25
2.3 y z x = x z y = x y z =
x y z =2 0,5
x+y+z = 0,5
0,5 x 0,5 y 0,5 z
x y z
=
0,5
x =
1 2; y =
5 6; z = -
5
6 0,5
3.1
3 9
1
2 1
a a a a a a
a a
a a a a a a a a
(vì a
1+a2+…+a9 ≠0)
0,25
a1 = a2; a2 = a3; … ;a9 = a1 0,25
a1 = a2 = a3=…= a9
3.2
( ) ( )
( ) ( )
a b c a b c a b c a b c
a b c a b c a b c a b c
= 2 b
b (vì b≠0) 0,25
a+b+c = a+b-c 2c = c = 0,25
4.1
Đặt c1 = a1-b1; c2 = a2-b2;…; c5 = a5-b5 0,25
Xét tổng c1 + c2 + c3 +…+ c5 = (a1-b1)+( a2-b2)+…+( a5-b5) = 0,25
c1; c2; c3; c4; c5 phải có số chẵn 0,25
c1 c2 c3 c4 c5 0,25
4.2 AOE = BOF (c.g.c) O,E,F thẳng hàng OE = OF 0,5
(87)Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7
EOD = FOC (c.g.c) ED = CF
Đề 5
Bài Nội dung cần đạt Điểm
1.1 Số bị chia = 4/11 0,5
Số chia = 1/11 0,25
Kết = 0,25
1.2 Vì |2x-27|2007 ≥ x (3y+10)2008 ≥ y 0,25
|2x-27|2007 = (3y+10)2008 = 0,25
x = 27/2 y = -10/3 0,5
1.3
Vì 00≤ab≤99 a,b N 0,25
200700 ≤ 2007ab ≤ 200799 0,25
4472 < 2007ab < 4492 0,25
2007ab = 4482 a = 0; b= 0,25
2.1
Đặt
1
2
x y z
k
0,25
áp dụng tính chất dãy tỉ số … k = -2 0,5
X = -3; y = -4; z = - 0,25
2.2
Từ giả thiết suy b2 = ac; c2 = bd;
a b c b c d
0,25
Ta có
3 3 3
3 3 3
a b c a b c
b c d b c d
(1)
0,25
Lại có
3
3
a a a a a b c a
b b b b b c d d (2)
0,25
Từ (1) (2) suy ra:
3 3 3
a b c a
b c d d
0,25 3.1 Ta có: 1> 10; > 10; > 10 … 9> 10; 10 =
1 10
0,5
1 1
10
1 2 3 100
0,5 3.2
Ta có C = -18 - (2x 3y9 ) -18
0,5 Vì 2x 60; 3y9 0
0,25
Max C = -18
2
3
x y
x = y = -3
0,25
4.1 ABH = CAK (g.c.g) BH = AK
4.2 MAH = MCK (c.g.c) MH = MK (1) góc AMH = góc CMK góc HMK = 900 (2)
Từ (1) (2) MHK vuông cân M
(88)Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7 Câu1: Nhân vế bất đẳng thức ta : (abc)2=36abc
+, Nếu số a,b,c số lại +,Nếu 3số a,b,c khác chia vế cho abc ta abc=36 +, Từ abc =36 ab=c ta c2=36 nên c=6;c=-6
+, Từ abc =36 bc=4a ta 4a2=36 nên a=3; a=-3 +, Từ abc =36 ab=9b ta 9b2=36 nên b=2; b=-2
-, Nếu c = avà b dấu nên a=3, b=2 a=-3 , b=-2 -, Nếu c = -6 avà b trái dấu nên a=3 b=-2 a=-3 b=2 Tóm lại có số (a,b,c) thỗ mãn toán
(0,0,0); (3,2,6);(-3,-2,6);(3,-2,-6);(-3,2.-6) Câu (3đ)
a.(1đ) 5x-3<2=> -2<5x-3<2 (0,5đ)
… 1/5<x<1 (0,5đ)
b.(1đ) 3x+1>4=> 3x+1>4hoặc 3x+1<-4 (0,5đ) *Nếu 3x+1>4=> x>1
*Nếu 3x+1<-4 => x<-5/3
Vậy x>1 x<-5/3 (0,5đ) c (1đ) 4-x+2x=3 (1)
* 4-x0 => x4 (0,25đ)
(1)<=>4-x+2x=3 => x=-1( thoả mãn đk) (0,25đ) *4-x<0 => x>4 (0,25đ)
(1)<=> x-4+2x=3 <=> x=7/3 (loại) (0,25đ) Câu3 (1đ) Áp dụng a+b a+bTa có
A=x+8-xx+8-x=8 MinA =8 <=> x(8-x) 0 (0,25đ) *
x≥0
8−x≥0
¿
{¿ ¿ ¿
¿ =>0x8 (0,25đ)
*
x≤0
8−x≤0
¿
{¿ ¿ ¿
¿ =>
x≤0
x≥8
¿
{¿ ¿ ¿
¿ khơng thỗ mãn(0,25đ)
Vậy minA=8 0x8(0,25đ)
Câu4 Ta có S=(2.1)2+(2.2)2+ + (2.10)2(0,5đ) =22.12+22.22+ +22.102 =22(12+22+ +102) =22.385=1540(0,5đ)
Câu5.(3đ) A
B M
C D
(89)Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7 Chứng minh: a (1,5đ)
Gọi E trung điểm CD tam giác BCD có ME đường trung bình => ME//BD(0,25đ)
Trong tam giác MAE có I trung điểm cạnh AM (gt) mà ID//ME(gt) Nên D trung điểm AE => AD=DE (1)(0,5đ)
Vì E trung điểm DC => DE=EC (2) (0,5đ)
So sánh (1)và (2) => AD=DE=EC=> AC= 3AD(0,25đ) b.(1đ)
Trong tam giác MAE ,ID đường trung bình (theo a) => ID=1/2ME (1) (0,25đ) Trong tam giác BCD; ME Đường trung bình => ME=1/2BD (2)(0,5đ)
So sánh (1) (2) => ID =1/4 BD (0,25đ)
-Đáp án đề số 7
Câu Ta có a b
b c
c d =
a
d (1) Ta lại có
a b=
b c =
c d =
a+b+c
b+c+a (2)
Từ (1) và(2) => (
a+b+c
b+c+d)
3
= a
d . Câu A =
a b+c =
c a+b =
b c+a .=
a+b+c
2(a+b+c) . Nếu a+b+c => A =
1 . Nếu a+b+c = => A = -1 Câu a) A = +
5
x−2 để A Z x- ước 5. => x – = ( 1; 5)
* x = => A = * x = => A = * x = => A = - * x = -3 => A = b) A =
7
x+3 - để A Z x+ ước 7. => x + = ( 1; 7)
* x = -2 => A = * x = => A = -1 * x = -4 => A = - * x = -10 => A = -3 Câu a) x = -
(90)Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7 b) x = - 11
c) x = Câu ( Tự vẽ hình) MHK cân M
Thật vậy: ACK = BAH (gcg) => AK = BH AMK = BMH (g.c.g) => MK = MH
Vậy: MHK cân M
-Đáp án đề số 8
Câu 1: Gọi x, y, z độ dài cạnh tương ứng với đường cao 4, 12, a Ta có: 4x = 12y = az = 2S
x= S/2 ; y = S/6; z = 2S/a (0,5 điẻm) Do x-y < z< x+y nên
S
2−
S
6< 2S
a < S
2+
S
6 ⇒ 6<
2
a<
2
3 (0,5 điểm) 3, a , Do a N nên a=4 a= (0,5 điểm) a Từ
a b=
c d
a c=
b d=
a−b c−d⇒
a c=
a−b c−d⇔
a a−b=
c
c−d (0,75 điểm) b
a b=
c
d a c=
b d=
a+b c+d⇒
b d=
a+b c+d ⇔
a+b b =
c+d
d (0,75 điểm)
Câu 2: Vì tích số : x2 – ; x2 – 4; x2 – 7; x2 – 10 số âm nên phải có số âm số âm
Ta có : x2 – 10< x2 – 7< x2 – 4< x2 – Xét trường hợp: + Có số âm: x2 – 10 < x2 – x2 – 10 < < x2 – 7 7< x2 < 10 x2 =9 ( x Z ) x = ( 0,5 điểm) + có số âm; số dương
x2 – 4< 0< x2 – < x2 < 4 x Z nên không tồn x Vậy x = (0,5 điểm)
Câu 3: Trước tiên tìm GTNN B = |x-a| + | x-b| với a<b Ta có Min B = b – a ( 0,5 điểm)
Với A = | x-a| + | x-b| + |x-c| + | x-d| = [| x-a| + | x-d|] + [|x-c| + | x-b|]
Ta có : Min [| x-a| + | x-d|] =d-a axd
(91)Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7 Vậy A = d-a + c – b b x c ( 0, điểm)
Câu 4: ( điểm)
A, Vẽ Bm // Ax cho Bm nằm góc ABC Bm // Cy (0, điểm) Do góc ABm = góc A; Góc CBm = gócC
ABm + CBm = A + C tức ABC = A + C ( 0, điểm)
b Vẽ tia Bm cho ABm A góc so le ABM = A Ax// Bm (1) CBm = C Cy // Bm(2)
Từ (1) (2) Ax // By
Câu 5: áp dụng định lí Pi ta go vào tam giác vng NOA NOC ta có:
AN2 =OA2 – ON2; CN2 = OC2 – ON2 CN2 – AN2 = OC2 – OA2 (1) ( 0, điểm) Tương tự ta có: AP2 - BP2 = OA2 – OB2 (2); MB2 – CM2 = OB2 – OC2 (3) ( 0, điểm)
Từ (1); (2) (3) ta có: AN2 + BP2 + CM2 = AP2 + BM2 + CN2 ( 0, điểm).
-Hướng dẫn chấm đề số 9
Câu 1(2đ):
a) A = - 99 100 100
1 100 102
2
2 (1đ )
b) 2n 3n 1 5n1 (0,5đ )
n + -1 -5
n -2 -6
6; 2;0;4
n
(0,5đ )
Câu 2(2đ): a) Nếu x
1
: 3x - 2x - = => x = ( thảo mãn ) (0,5đ) Nếu x <
1
: 3x + 2x + = => x = 1/5 ( loại ) (0,5đ) Vậy: x =
b) =>
1
2
x y z
2x + 3y - z = 50 (0,5đ) => x = 11, y = 17, z = 23.(0,5đ)
Câu 3(2đ): Các phân số phải tìm là: a, b, c ta có : a + b + c = 213
(92)Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7 a : b : c =
3
: : : 40 : 25
5 (1đ) =>
9 12 15
, ,
35 14
a b c
(1đ) Câu 4(3đ):
Kẻ DF // AC ( F thuộc BC ) (0,5đ )
=> DF = BD = CE (0,5đ ) => IDF = IFC ( c.g.c ) (1đ )
=> góc DIF = góc EIC => F, I, C thẳng hàng => B, I, C thẳng hàng (1đ)
Câu 5(1đ): =>
7.2 1
(14 1) 7 x y x y
=> (x ; y ) cần tìm ( ; )
-Đáp án đề số 10
Câu 1: a) Ta có: 1.2= 1− ; 2.3= 2− ;
1 3.4=
1 3−
1
4 ; …; 99.100 = 99 − 100 Vậy A = 1+ (
−1
2 + 2)+(
−1
3 +
3)+ +(
−1
99 + 99)−
1
100 =1− 100 =
99 100 b) A = 1+
1 2(
2.3 )+
1 3(
3 )+
1 4(
4
2 )+ + 20(
20 21 ) = = 1+
3 +
4 2+ +
21 =
1
2(2+3+4+ .+21)= =
1 2(
21 22
2 −1) = 115.
Câu 2: a) Ta có: √17>4 ; √26>5 nên √17+√26+1>4+5+1 hay √17+√26+1>10
Cịn √99 < 10 Do đó: √17+√26+1>√99 b)
1 √1 >
1 10 ;
1 √2>
1 10 ;
1 √3 >
1
10 ; … ; √100=
1 10 .
Vậy:
1 √1+
1 √2+
1
√3+ +
(93)Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7
Câu 3: Gọi a,b,của chữ số số có ba chữ số cần tìm Vì chữ số a,b,của không vượt ba chữ số a,b,của đồng thời , ta khơng số có ba chữ số nên: a+b+c 27
Mặt khác số phải tìm bội 18 nên a+b+c =9 a+b+c = 18 a+b+c=17 Theo giả thiết, ta có:
a
1=
b
2=
c
3=
a+b+c
6 Do đó: ( a+b+c) chia hết cho 6 Nên : a+b+c =18
a
1=
b
2=
c
3= 18
6 =3 a=3; b=6 ; =9
Vì số phải tìm chia hết cho 18 nênchữ số hàng đơn vị phải số chẵn Vậy số phải tìm là: 396; 936
Câu 4:
a) Vẽ AH BC; ( H BC) ABC + hai tam giác vuông AHB BID có: BD= AB (gt)
Góc A1= góc B1( phụ với góc B2) AHB= BID ( cạnh huyền, góc nhọn) AH BI (1) DI= BH
+ Xét hai tam giác vuông AHC CKE có: Góc
A2= góc C1( phụ với góc C2) AC=CE(gt)
AHC= CKB ( cạnh huyền, góc nhọn) AH= CK (2) từ (1) (2) BI= CK EK = HC
b) Ta có: DI=BH ( Chứng minh trên) tương tự: EK = HC
Từ BC= BH +Hc= DI + EK Câu 5: Ta có:
A = |x−2001|+ |x−1| = |x−2001|+ |1−x|≥|x−2001+1−x|=2000
Vậy biểu thức cho đạt giá trị nhỏ 2000 x-2001 1-x dấu, tức : x 2001
biểu điểm :
Câu 1: điểm a điểm b điểm Câu 2: điểm : a điểm b điểm Câu : 1,5 điểm
Câu 4: điểm : a điểm ; b điểm Câu : 1,5 điểm
(94)-Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7
Đáp án đề số11
Câu1:
a, (1) ⇔ x+2 327 +1+
x+3
326 +1+
x+4
325 +1+
x+5
324 +1+
x+349
5 −4=0 (0,5 đ ) ⇔(x+329)(
1 327+ 326+ 325+ 324+ 5)=0
⇔x+329=0⇔x=−329 (0,5đ )
b, a.Tìm x, biết: 5x - 3 - x = 5x x 7 (1) (0,25 đ) ĐK: x -7 (0,25 đ)
5
1
5
x x x x
… (0,25 đ)
Vậy có hai giá trị x thỏa mãn điều kiện đầu x1 = 5/2 ; x2= - 2/3 (0,25đ) Câu 2:
a, S=1− 7+
1 72−
1 73+
1
74+ −
72007 ; 7S=7−1+ 7−
1 72+
1
73− −
72006 (0.5đ)
8S=7− 72007
7 7 2007
S
(0,5đ) b,
1 2!+
2 3!+
3
4!+ +
99 100!=
2−1
2! +
3−1
3! + +
100−1
100! (0,5đ) =1−
1
100!<1 (0,5đ) c, Ta có 3n+2
− 2n+2+3n−2n=3n+2+3n−(2n+2−2n) (0,5đ) 3n.10−2n.5=3n 10−2n−2.10=10(3n−2n−2)10 (0,5đ)
Câu 3: Gọi độ dài cạnh a , b, c, chiều cao tương ứng x, y, z, diện tích S ( 0,5đ ) a=2S
x b=
2S
y c= 2S
z (0,5đ) ⇒ a 2= b 3= c 4⇒ 2S
2x=
2S
3y=
2S
4z (0,5đ)
⇒2x=3y=4z⇒x
6=
y
4=
z
3 x, y, z tỉ lệ với ; ; (0,5đ) Câu4: GT; KL; Hình vẽ (0,5đ)
a, Góc AIC = 1200 (1 đ )
(95)Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7 Câu5: B ; LN B ; LN⇔2(n−1)2+3 NN
Vì (n−1)2≥0⇒2(n−1)2+3≥3 đạt NN (0,5đ) Dấu xảy n−1=0⇔n=1
vậy B ; LN ⇔B=
3 n=1 (0,5đ)
-Đáp án đề số 12
Câu : điểm Mỗi câu điểm
d) (x-1) = (-3) ⇒ x-1 = -3 ⇔ x = -3+1 ⇔ x = -2
e) (x+2)( 11+
1 12+
1 13−
1 14−
1
15 ) = 0
11+ 12+
1 13−
1 14−
1
15 ¿ ⇒ x+2 = ⇔ x =
f) x - √x = ⇔ ( √x ) - √x = ⇔ √x ( √x - 2) = ⇒ √x = ⇒ x =
hoặc √x - = ⇔ √x = ⇔ x =
Câu : điểm Mỗi câu 1,5 điểm a)
5
x+ y
4= ,
5
x+
2y
8 = ,
5
x=
1−2y
8
x(1 - 2y) = 40 ⇒ 1-2y ớc lẻ 40 Ước lẻ 40 : ± ; ±
Đáp số : x = 40 ; y = x = -40 ; y = x = ; y = -2 x = -8 ; y =
b) Tìm x ¿ z để A ¿ Z A=
√x+1
√x−3=1+
4
√x−3 A nguyên
4
√x−3 nguyên ⇒ √x−3 Ư(4) = -4 ; -2 ;-1; 1; 2; 4 Các giá trị x : ; 4; 16 ; 25 ; 49
Câu : điểm
2 |5x−3| - 2x = 14 ⇔ |5x−3| = x + (1)
ĐK: x -7 (0,25 đ)
5
1
5
x x
x x
(96)Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7
Vậy có hai giá trị x thỏa mãn điều kiện đầu x1 = 5/2 ; x2= - 2/3 (0,25đ) Câu4 (1.5 điểm)
Các góc A, B , C tỉ lệ với 7, 5, A
7 =
B
5=
C
3=
A+B+C
15 =
1800 15 =12
⇒ A= 840 ⇒ góc ngồi đỉnh A 960
B = 600 ⇒ góc ngồi đỉnh B 1200 C = 360 ⇒ góc ngồi đỉnh C 1440
⇒ Các góc ngồi tơng ứng tỉ lệ với ; ;
b)
1) AE = AD ⇒ Δ ADE cân ⇒ E D E 1EDA
1
E =
0 180
2
A
(1) Δ ABC cân ⇒ B C
1
AB C=
0 180
2
A
(2)
Từ (1) (2) ⇒ E1 ABC
⇒ ED // BC
b) Xét Δ EBC Δ DCB có BC chung (3)
EBC DCB (4) BE = CD (5)
Từ (3), (4), (5) ⇒ Δ EBC = Δ DCB (c.g.c)
⇒ BEC CDB = 900 ⇒ CE
AB
………
Đáp án đề số 13
(97)Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7
a, Tính: A =
31 ( 183 − 176 )− 12 11 ( 10 − 175 100 ( 91− 4)
60 11−1
=
31 1−
12 11 475 300 −71 364 60 11−1
= 31 − 19 11 1056 1001− 1001 1001 =
341−57
33 55 1001 =284 33 1001 55 = 284284 1815 b, 1,5 điểm Ta có:
+) + +7 +……+ 100 = ( 1+100) + ( + 97) +…….+ ( 49+ 52) = 101 34 = 1434 34 cặp
+) 1434 – 410 = 1024
+) ( 18 123 + 436 + 5310 ) = 18 ( 123 + 436 + 5310 ) = 18 5869 = 105642
Vậy A = 105642 : 1024 ¿ 103,17
Bài 2: Điểm
Giọi số cần tìm x, y, z Số nhỏ x , số lớn z Ta có: x ¿ y ¿ z (1)
Theo giả thiết:
1
x+
1
y+
1
z=2 (2). Do (1) nên z =
1 x+ y+ z≤ x Vậy: x = Thay vào (2) , được:
1
y+
1
z=1≤
2
y Vậy y = Từ z = Ba số cần tìm 1; 2; Bài 3: Điểm
Có trang có chữ số Số trang có chữ số từ 10 đến 99 nên có tất 90 trang Trang có chữ số sách từ 100 đến 234, có tất 135 trang Suy số chữ số tất trang là:
9 + 90 + 135 = + 180 + 405 = 594 Bài : Điểm
Trên tia EC lấy điểm D cho ED = EA
Hai tam giác vuông Δ ABE = Δ DBE ( EA = ED, BE chung) Suy BD = BA ; BAD BDA
Theo giả thiết: EC – EA = A B
Vậy EC – ED = AB Hay CD = AB (2)
Từ (1) (2) Suy ra: DC = BD
Vẽ tia ID phân giác góc CBD ( I ¿ BC )
(98)Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7 CD = BD ( Chứng minh trên)
CID = IDB ( DI phân giác góc CDB )
Vậy Δ CID = Δ BID ( c g c) ⇒ C = IBD Gọi C α ⇒
BDA = C + IBD = ⇒ C = α ( góc ngồi Δ BCD)
mà A = D ( Chứng minh trên) nên A = α ⇒2α+α = 900 ⇒ α = 300 Do ; C = 300 A = 600
-Hướng dẫn giải đề số 14
Bài 1.a Xét trường hợp : * x5 ta : A=7. *x5 ta : A = -2x-3.
b Xét x5 2x10 2x 10 3 hay A > Vậy : Amin = x5.
Bài 2. a Đặt : A = 2 2
1 1
6 7 100 Ta có :
* A <
1 1
4.5 5.6 6.7 99.100 =
1 1 1
4 5 6 99 100 =
1 1
4 100 4 * A >
1 1 1 1
5.6 6.7 99.100 100.101 101 6 . b Ta có :
2 17
3 3
a a a
a a a
=
4 26
a a
= =
4 12 14 4( 3) 14 14
3 3
a a
a a a
số nguyên
Khi (a + 3) ước 14 mà Ư(14) = 1; 2; 7; 14. Ta có : a = -2;- 4;- 1; - 5; ; - 10; 11 ; -17
Bài 3. Biến đổi :
12 30
A n n n Để A n6 n n 130 6n
*n n 1n 30n n Ư(30) hay n {1, , 3, , , 10 , 15 , 30} *30 6 n n 1 6 n n 1 3
+n3 n3,6,15,30 +n1 3 n1,10
(99)Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7
n {1 , , , 10 , 15 , 30}
-Thử trường hợp ta : n = 1, 3, 10, 30 thỗ mãn tốn
Bài 4.
-Trên Oy lấy M’ cho OM’ = m Ta có : N nằm O, M’ M’N = OM
-Dựng d trung trực OM’ Oz phân giác góc xOy chúng cắt D -ODM M DN c g c' ( ) MD ND
D thuộc trung trực MN.
-Rõ ràng : D cố định Vậy đường trung trực MN qua D cố định
Bài 5. -Dạng tổng quát đa thức bậc hai : f x ax2bx c (a0)
- Ta có :
2
1 1
f x a x b x c.
- f x f x 1 2ax a b x
2
0
a b a
1
2
a b
Vậy đa thức cần tìm :
2
1
2
f x x x c
(c số) áp dụng :
+ Với x = ta có : 1f 1 f 0 + Với x = ta có : 1f 2 f 1 ……… + Với x = n ta có : nf n f n 1 S = 1+2+3+…+n = f n f 0 =
2 1
2 2
n n
n n
c c
Lưu ý : Học sinh giải cách khác cho điểm tối đa Bài hình khơng vẽ hình khơng chấm điểm.
-Đáp án đề số 15
z
d D M
N I M' y
(100)Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7
Câu1 (làm điểm) Ta có:
2 20
x x
x x
=
2 10 20
x x
x x x
=
2 ( 2)( 10)
x x
x x
(0,25đ) Điều kiện (x-2)(x+10) x 2; x -10 (0,5đ) Mặt khác x = x-2 x>2
-x + x< (0,25đ) * Nếu x>
2 ( 2)( 10)
x x
x x
=
( 2) ( 2)( 10)
x x
x x
= 10
x
x (0,5đ) * Nếu x <2
2 ( 2)( 10)
x x
x x
=
( 2) ( 2)( 10)
x x
x x
= 10
x x
(điều kiện x -10) (0,5đ)
Câu 2 (làm 2đ)
Gọi số học sinh trồng Lớp 7A,7B, 7C theo thứ tự x, y, z (x> 0; y >0 ; z >0)
Theo đề ta có
94(1)
3 (2)
x y z
x y z
(0,5đ) BCNN (3,4,5) = 60 Từ (2)
3 60 x = 60 y = 60 z
hay 20
x =15 y =12 z (0,5đ) áp dụng tính chất dãy tỷ số ta có :
20 x =15 y =12 z
= 20 15 12
x y z =
94
47=2 (0,5đ) x= 40, y=30 z =24 (0,5đ) Số học sinh trồng lớp 7A, 7B, 7C 40, 30, 24
Câu (làm cho 1,5đ) Để
2006
10 53
9
số tự nhiên 102006 + 53 (0,5đ)
Để 102006 + 53 102006 + 53 có tổng chữ số chia hết cho 9 mà 102006 + 53 = 1+ +0 + + + 5+3 = 9 9
102006 + 53 hay 2006
10 53
9
số tự nhiên (1đ)
(101)Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7 - Vẽ hình, ghi GT, KL 0,25đ
a, ABC cú àA1 ảA2 (Az l tia phõn giỏc caảA ) µ µ
1
A C (Ay // BC, so le trong)
ảA2 Cà1VABC cõn B
mà BK AC BK đường cao cân ABC BK trung tuyến cân ABC (0,75đ) hay K trung điểm AC
b, Xét cân ABH vng BAK Có AB cạng huyền (cnh chung)
ả 1( 30 )
A B Vì ¶
¶ µ
2
0 0
1
30 90 60 30
A A B
vuông ABH = vuông BAK BH = AK mà AK = 2
AC AC
BH
(1đ)
c, AMC vuông M có AK = KC = AC/2 (1) MK trung tuyến thuộc cạnh huyền KM = AC/2 (2)
Từ (10 (2) KM = KC KMC cân
Mặt khác AMC có M¶ 90 A=300 µ MKC· 900 300 600
AMC (1đ)
Câu 5 Làm câu 1,5đ Xây dựng sơ đồ giải toán
Đáp án : Tây đạt giải nhất, Nam giải nhì, Đơng giải 3, Bắc giải
-Đáp án đề số 16
Câu 1: (2đ)
a) Xét khoảng x≥
3 được x = 4,5 phù hợp 0,25 đ Xét khoảng x<
2
3 được x = -5
4 phù hợp 0,25 đ b) Xét khoảng x≥
3
2 Được x > 0,2đ Xét khoảng x<
3
(102)Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7 c) Xét khoảng x≥
1
3 Ta có 3x - ¿
8
x
Ta 3≤x≤
8 Xét khoảng x<
1
3 Ta có -3x + 1 ¿ ⇒x≥−2
Ta −2≤x≤
Vậy giá trị x thoã mãn đề −2≤x≤
Câu 2:
a) S = 1+25 + 252 + + 25100 0,3đ ⇒25S=25+252+ .+25101
⇒24S=25S−S=25101−1 0,3đ Vậy S =
25101−1
24 0,1đ b) 430= 230.230 = (23)10.(22)15 >810.315> (810.310)3 = 2410.3 0,8đ Vậy 230+330+430> 3.224 0,2đ
Câu 3: a) Hình a
AB//EF có hai góc phía bù EF//CD có hai góc phía bù Vậy AB//CD
b) Hình b
AB//EF Vì có cặp góc so le 0,4đ CD//EF có cặp góc phía bù 0,4đ Vậy AB//CD 0,2đ
Câu 4: (3đ)
a) MN//BC ⇒ MD//BD ⇒ D trung điểm AP 0,3 đ
BP vừa phân giác vừa trung tuyến nên đường cao BD ¿ AP 0,2đ
Tương tự ta chứng minh BE ¿ AQ 0,5 đ
b) AD = DP
Δ DBP=Δ BDE (g.c.g) ⇒ DP = BE ⇒ BE = AD
0,5 đ
⇒ Δ MBE=Δ MAD(c.g.c)⇒ME=MD 0,3đ
BP = 2MD = 2ME = BQ
(103)Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi tốn 7
Δ ADB vng D có DM trung tuyến nên DM = MA 0,4đ DE = DM + ME = MA + MB 0,2đ
Câu 5: 1đ A = 1+
10
4−x A lớn 10
4−x lớn 0,3đ Xét x >
10
4−x < 0 Xét < x
10
4−x > a lớn 4 - x nhỏ ⇒ x =
0,6đ
-Đáp án đề số 17
Câu 1: ( ý 0,5 điểm )
a/ 4x3- x = 15 b/ 3x - x >
4x3 = x + 15 3x > x + 1
* Trường hợp 1: x -3
4 , ta có: * Trường hợp 1: x
2
3, ta có:
4x + = x + 15 3x - > x +
x = ( TMĐK). x >
3
2 ( TMĐK). * Trường hợp 2: x <
-3
4 , ta có: * Trường hợp 2: x <
3, ta có: 4x + = - ( x + 15) 3x – < - ( x + 1)
x = - 18
5 ( TMĐK). x <
1
4 ( TMĐK) Vậy: x = x = -
18
5 . Vậy: x >
3
2 x < 4. c/ 2x3 5 2x 3 4 x
Câu 2:
a/.Ta có: A= (- 7) + (-7)2 + … + (- 7)2006 + (- 7)2007 ( ) (- 7)A = (-7)2 + (- 7)3 + … + (- 7)2007 + (- 7)2008 ( 2)
8A = (- 7) – (-7)2008 Suy ra: A =
1
8.[(- 7) – (-7)2008 ] = -
(104)Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7 * Chứng minh: A 43
Ta có: A= (- 7) + (-7)2 + … + (- 7)2006 + (- 7)2007 , có 2007 số hạng Nhóm số liên tiếp thành nhóm (được 669 nhóm), ta được:
A=[(- 7) + (-7)2 + (- 7)3] + … + [(- 7)2005 + (- 7)2006 + (- 7)2007] = (- 7)[1 + (- 7) + (- 7)2] + … + (- 7)2005 [1 + (- 7) + (- 7)2] = (- 7) 43 + … + (- 7)2005 43
= 43.[(- 7) + … + (- 7)2005] 43 Vậy : A 43
b/ * Điều kiện đủ:
Nếu m n m2 3, mn n2 3, đó: m2+ mn + n2 * Điều kiện cần:
Ta có: m2+ mn + n2 = ( m - n)2 + 3mn (*)
Nếu m2+ mn + n2 m2+ mn + n2 3, từ (*),suy ra: ( m - n)2 ,do ( m - n) ( m - n)2 3mn nên mn ,do hai số m n chia hết cho mà ( m - n) nên số m,n chia hết cho
Câu 3:
Gọi độ dài cạnh tam giác a, b, c ; đường cao tương ứng với cạnh , hb , hc
Ta có: (ha +hb) : ( hb + hc ) : ( + hc ) = : : Hay:
1
3(ha +hb) =
4( hb + hc ) =
5( ha + hc ) = k ,( với k 0) Suy ra: (ha +hb) = 3k ; ( hb + hc ) = 4k ; ( + hc ) = 5k Cộng biểu thức trên, ta có: + hb + hc = 6k
Từ ta có: = 2k ; hb =k ; hc = 3k Mặt khác, gọi S diện tích ABC , ta có:
a.ha = b.hb =c.hc
a.2k = b.k = c.3k
a
=
b
=
c
Câu 4:
(105)A
B C
D Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7
* Nếu DC = DB BDC cân D nên DBC = BCD
.Suy ra:ABD = ACD.Khi ta có: ADB = ADC (c_g_c) Do đó: ADB = ADC ( trái với giả thiết)
* Nếu DC < DB BDC, ta có DBC < BCD mà ABC = ACB suy ra:
ABD >ACD ( )
Xét ADB ACD có: AB = AC ; AD chung ; DC < DB. Suy ra: DAC < DAB ( ).
Từ (1) (2) ADB ACD ta lại có ADB < ADC , điều trái với giả thiết.
Vậy: DC > DB Câu 5: ( điểm)
áp dụng bất đẳng thức: x y x - y , ta có:
A = x1004 - x1003 (x1004) ( x1003) = 2007 Vậy GTLN A là: 2007
Dấu “ = ” xảy khi: x -1003
-Hướng dẫn chấm đề 18
Câu 1-a (1 điểm ) Xét trường hợp 3x-2 ¿ 3x -2 <0
=> kết luận : Khơng có giá trị x thoả mãn b-(1 điểm ) Xét trường hợp 2x +5 ¿ 2x+5<0
Giải bất phương trình => kết luận Câu 2-a(2 điểm ) Gọi số cần tìm abc
abc 18=> abc Vậy (a+b+c) (1)
Ta có : ¿ a+b+c ¿ 27 (2)
Từ (1) (2) suy a+b+c =9 18 27 (3) Theo
a
1 =
b
2 =
c
3 =
a+b+c
(106)Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7 từ (4) => a, b, c mà abc 2 => số cần tìm : 396, 936.
b-(1 điểm )
A=(7 +72+73+74) + (75+76+77+78) + + (74n-3+ 74n-2+74n-1+74n). = (7 +72+73+74) (1+74+78+ +74n-4).
Trong : +72+73+74=7.400 chia hết cho 400 Nên A 400 Câu 3-a (1 điểm ) Từ C kẻ Cz//By có :
2
C + CBy = 2v (góc phía) (1)
1
C + CAx = 2v
Vì theo giả thiết C
1+C2 + α + γ = 4v =3600 Vậy Cz//Ax (2)
Từ (1) (2) => Ax//By
Câu 4-(3 điểm) Δ ABC cân, ACB =1000=> CAB = CBA =400. Trên AB lấy AE =AD Cần chứng minh AE+DC=AB (hoặc EB=DC) Δ AED cân, DAE = 400: 2=200.
=> ADE =AED = 800 =400+EDB (góc ngồi Δ EDB) => EDB =400 => EB=ED (1)
Trên AB lấy C’ cho AC’ = AC C
Δ CAD = Δ C’AD ( c.g.c) D
AC’D = 1000 DC’E = 800. Vậy Δ DC’E cân => DC’ =ED (2)
Từ (1) (2) có EB=DC’ A C E B Mà DC’ =DC Vậy AD +DC =AB
Câu (1 điểm)
S=(-3)0+(-3)1 + (-3)2+(-3)3+ + (-3)2004. -3S= (-3).[(-3)0+(-3)1+(-3)2 + +(-3)2004] = (-3)1+ (-3)2+ +(-3)2005]
-3S-S=[(-3)1 + (-3)2+ +(-3)2005]-(3)0-(-3)1- -(-3)2005.
-4S = (-3)2005 -1 S =
(−3)2005−1
−4 =
32005+1
4
-Đáp án đề 19
Bài 1: Ta có : - 90−
1 72−
1 56−
1 42−
1 30−
1 20−
1 12−
1 6−
(107)Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7 = - (
1 2+
1 .3+
1 3.4+
1 .5+
1 5.6+
1 6.7+
1 7.8+
1 9+
1
9.10 ) 1đ
= - ( 1−
1 2+
1 2−
1 3+
1 3−
1
4+ + 8−
1 9+
1 9−
1
10 ) 1đ = - (
1 1−
1
10 ) =
−9
10 0,5đ
Bài 2: A = |x−2|+|5−x|
Với x<2 A = - x+ 2+ – x = -2x + >3 0,5đ
Với ¿ x ¿ A = x-2 –x+5 = 0,5đ
Với x>5 A = x-2 +x –5 = 2x –7 >3 0,5đ
So sánh giá trị A khoảng ta thấy giá trị nhỏ A =
<=> ¿ x ¿ 1đ
Bài 3: a Trên tia đối tia OC lấy điểm N cho ON = OC Gọi M trung điểm BC nên OM đường trung bình tam giác BNC Do OM //BN, OM =
1 BN
Do OM vng góc BC => NB vng góc BC Mà AH vng góc với BC NB // AH (1đ) Tương tự AN//BH
Do NB = AH Suy AH = 2OM (1đ)
b Gọi I, K theo thứ tự trung điểm AG HG IK đường trung bình tam giác AGH nên IK// AH
IK =
2 AH => IK // OM IK = OM ;
∠ KIG = ∠ OMG (so le trong)
Δ IGK = Δ MGO nên GK = OG ∠ IGK = ∠ MGO
Ba điểm H, G, O thẳng hàng 1đ
Do GK = OG mà GK =
2 HG nên HG = 2GO
Đường thẳng qua điểm H, G, O gọi đường thẳng le 1đ
Bài 4: Tổng hệ số đa thức P(x) giá trị đa thức x=1
Vậy tổng hệ số đa thức: 0,5đ
P(x) = (3-4x+x2)2006 (3+4x + x2)2007
Bằng P(1) = (3-4+1)2006 (3+4+1)2007 = 0 0,5đ
A
C B
(108)Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7
-Đáp án đề 20
Câu 1: Ta có:
220 (mod2) nên 22011969 (mod2) 119 1(mod2) nên 11969220 1(mod2) 69 -1 (mod2) nên 69220119 -1 (mod2) Vậy A (mod2) hay A (1đ) Tương tự: A (1đ) A 17 (1đ)
Vì 2, 3, 17 số nguyên tố A 2.3.17 = 102
Câu 2: Tìm x
a) (1,5đ) Với x < -2 x = -5/2 (0,5đ)
Với -2 ≤ x ≤ giá trị x thoả mãn (0,5đ) Với x > x = ẵ (0,5đ)
b) (1,5đ) Với x < -2 Khơng có giá trị x thoả mãn (0,5đ) Với -2 ≤ x ≤ 5/3 Khơng có giá trị x thoả mãn (0,5đ)
Với x > 5/3 x = 3,5 (0,5đ) Bài 3:
a) Dễ dàng chứng minh IH = 0M A
IH // 0M 0MN = HIK (g.c.g) I E Do đó: IHQ = M0Q (g.c.g)
QH = Q0 F H N
QI = QM P
b) DIM vuông có DQ đường trung K Q O
tuyến ứng với cạnh huyền nên R
QD = QI = QM B D M C Nhưng QI đường trung bình 0HA nên
c) Tương tự: QK = QN = QE = OB/2 QR = QP = QF = OC/2
Bài 4(1đ): Vì 3|x-5| x R Do A = 10 - 3|x-5| ≤ 10
Vậy A có giá trị lớn 10 |x-5| = x =
(109)-Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7
Đáp án đề 21
Bài
Điều kiện x (0,25đ) a) A = -
9
7 (0,5đ)
b) √x+3 > A = -1 √x−5=−√x−3 x = (0,5đ)
c) Ta có: A = -
8
√x+3 (0,25đ)
Để A Z √x+3 ước
x = {1; 25} A = {- 1; 0} (0,5đ) Bài
a) Ta có: √7−x=x−1
x−1≥0
7−x =( x−1 )2
⇔
¿
x≥1
x=3 ; x=−2
⇔ x =3
¿
{¿ ¿ ¿
¿ (1đ)
b) Ta có: 2M = – 22 + 23 – 24 + …- 22006 + 22007 (0,25đ)
3M = + 22007 (0,25đ) M =
22007+1
3 (0,5đ)
c) Ta có: A = x4 + 2x2 +1 với x ĐPCM (1đ) Bài Ta có:
0 ˆ ˆ ˆ 180
30
1
A B C
Aˆ 30 ;0 Bˆ 60 ;0 Cˆ 900
(0,5đ)
Vậy tam giác ABC tam giác vuông C (0,5đ) Bài GT, KL (0,5đ)
a) Góc AIC = 1200 (1đ) b) Lấy H AC cho AH = AN (0,5đ) Từ chứng minh IH = IN = IM (1đ) Bài
A = + 2000
6−x (0,5đ) AMax – x > nhỏ nhất
– x = x = Vậy x = thoã mãn điều kiện tốn A Max= 2001 (0,5đ)
-Đáp án đề 22
(110)Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7 a a1 (
1 2)
15
.(1 4)
20
=(1
2)
15
.(1 2)
40
=(1
2) 55 (0.5đ) a2 ( 9) 25
:(1 )
30
= (
1 3)
50
:(1 )
30
= (3)
20
(0.5đ)
b A =
45.94−2.69
210.38+68.20=
210.38.(1−3)
210.38(1+5)=
3 (0.5đ)
c c1
33 = 0.(21) c2
7
22 = 0,3(18) (0.5đ) c3 0,(21) =
21 99=
7
33 ; c4 5,1(6) = 5
1
6 (0.5đ)
Câu 2: (2đ)
Gọi khối lượng khối 7, 8, a, b, c (m3)
⇒ a + b + c = 912 m3 (0.5đ)
⇒ Số học sinh khối : a
1,2 ;
b
1,4 ;
c
1,6
Theo đề ta có: b
3.4,1=
a
1,2
b 4.1,4= c 5.1,6 (0.5đ) ⇒ a 4.1,2= b 12.1,4= c
15.1,6=20 (0.5đ)
Vậy a = 96 m3 ; b = 336 m3 ; c = 480 m3.
Nên số HS khối 7, 8, là: 80 hs, 240 hs, 300 hs (0.5đ) Câu 3: ( 1.5đ):
a.Tìm max A
Ta có: (x + 2)2 ¿ ⇒ (x = 2)2 + ¿ ⇒ A max=
3
4 x = -2 (0.75đ) b.Tìm B
Do (x – 1)2 ¿ ; (y + 3)2 ¿ 0 ⇒ B ¿ 1
Vậy Bmin= x = y = -3 (0.75đ)
Câu 4: (2.5đ) Kẻ CH cắt MB E Ta có EAB cân E ⇒ EAB =300
⇒ EAM = 200 ⇒ CEA = MAE = 200
(0.5đ)
Do ACB = 800 ⇒ ACE = 400 ⇒ AEC =
1200 ( ) (0.5đ)
Mặt khác: EBC = 200 EBC = 400 ⇒ CEB =
1200 ( ) (0.5đ)
(111)Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7 Từ ( ) ( ) ⇒ AEM = 1200
Do EAC = EAM (g.c.g) ⇒ AC = AM ⇒ MAC cân A (0.5đ)
Và CAM = 400 ⇒ AMC = 700 (0.5đ)
Câu 5: (1.5đ)
Giả sử a2 a + b không nguyên tố ⇒ a2 a + b
Cùng chia hết cho số nguyên tố d: ⇒ a2 chia hết cho d ⇒ a chia hết
cho d a + b chia hết cho d ⇒ b chia hếta cho d (0.5đ) ⇒ (a,b) = d ⇒ trái với giả thiết
Vậy (a2,a + b) =1. (0.5đ)
Đề 23
Câu I :
1) Xác định a, b ,c
a−1 =
b+3
4 =
c−5
6 =
5(a−1)
10 =
−3(b+3) −12 =
−4(c−5) −24 =
5a−3b−4c−5−9+20 10−12−24 =−2 => a = -3 ; b = -11; c = -7
Cách : a−1
2 =
b+3 =
c−5
6 = t ; sau rút a, b ,c thay vào tìm t =- tìm a,b,c.
2) Chứng minh
Đặt a b=
c
d = k => a= kb ; c = kd Thay vào biểu thức :
2a2−3ab+5b2 2b2+3ab −
2c2−3cd+5d2 2d2+3cd =
k2−3k+5 2+3k −
k2−3k+5
2+3k =0 => đpcm. Câu II: Tính:
1) Ta có :2A= 2( 3.5+
1
5.7+ +
97 99 ) = 3− 5+ 5−
7+ + 97− 99= 3− 99= 32 99 =>A = 16 99
2) B = = − 3+
1 32−
1
33+ + 350−
1 351 =
1
(−3)+
1
(−32)+
1
(−33)+ +
1
(−350)+
1
(112)Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7
(−32)+
1
(−33)+
1
(−3)4 +
1
(−351)+
1
(−352) =>
1
−3B=
1
−3−
1
(−352) =
−351−1
352 => B = (−351−1)
4.351 Câu III
Ta có : 0.2(3) = 0.2 + 0.0(3) = 10+
1
10 0,(1).3 = 10+
3 10
1 =
7 30 0,120(32) = 0,12 + 0,000(32) =0,12+
1
1000 .0,(32)= 0,12+
1000 .0,(01).32 = 12
100+ 32 1000
1 99 =
1489 12375 Câu IV :
Gọi đa thức bậc hai : P(x) = ax(x-1)(x-2) + bx(x-1)+c(x-3) + d P(0) = 10 => -3c+d =10 (1)
P(1) = 12 => -2c+d =12 =>d =12+2c thay vào (1) ta có -3c+12+2c =10 =>c=2 , d =16 P(2)= => 2b -2+16 = > b= -5
P(3) = => 6a-30 +16 =1 => a = Vậy đa thức cần tìm : P(x) =
5
2x(x−1)(x−2)−5x(x−1)+2(x−3)+16 => P(x) =
5 2x
3
-25
2 x
2
+12x+10 Câu V:
a) Dễ thấy Δ ADC = Δ ABE ( c-g-c) => DC =BE Vì AE AC; AD AB
mặt khác góc ADC = góc ABE => DC Với BE
b) Ta có MN // DC MP // BE => MN MP MN =
1
2 DC =
2 BE =MP; Vậy Δ MNP vuông cân M.
(113)
Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7 Bài 1:
a) A =
3 3 3 3
8 10 11 12
5 5 5 5
8 10 11 12
(0,25đ)
A =
1 1 1 1
3
8 10 11 12
1 1 1 1
5
8 10 11 12
(0,25đ)
A =
3
+
3
5 = (0,25đ)
b) 4B = 22 + 24 + + 2102 (0,25đ) 3B = 2102 – 1; B =
102
2
3
(0,25đ) Bài 2:
a) Ta có 430 = 230.415 (0,25đ) 3.2410 = 230.311 (0,25đ)
mà 415 > 311 430 > 311 230 + 330 + 430 > 3.2410 (0,25đ) b) = 36 > 29
33 > 14 (0,25đ)
36 + 33 > 29 + 14 (0,25đ) Bài 3:
Gọi x1, x2 x3 số ngày làm việc máy
1
3
x x x
(1) (0,25đ)
Gọi y1, y2, y3 số làm việc máy
1
6
y y y
(2) (0,25đ)
Gọi z1, z2, z3 công suất máy
5z1 = 4z2 = 3z3
1
1 1
5
z z z
(3) (0,25đ)
Mà x1y1z1 + x2y2z2 + x3y3z3 = 359 (3) (0,25đ)
Từ (1) (2) (3)
1 1 2 3 395 15
18 40 395
5 15
x y z x y z x y z
(114)Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi tốn 7 Vậy số thóc đội 54, 105, 200 (0,25đ)
Bài 4:
a) EAB = CAD (c.g.c) (0,5đ) ABM ADM (1) (0,25đ)
Ta có BMC MBD BDM (góc ngồi tam giác) (0,25đ)
BMCMBA600 BDM ADM BDM 600 1200 (0,25đ)
b) Trên DM lấy F cho MF = MB (0,5đ) FBM đều (0,25đ)
DFB AMB (c.g.c) (0,25đ) DFB AMB 1200 (0,5đ)
Bài 6: Ta có
1 (2) ( )
2
x f f
(0,25đ)
1 1
( ) (2)
2
x f f
(0,25đ) 47 (2) 32 f (0,5đ)
-Đáp án đề 25
Câu
a.Nếu x 0 suy x = (thoã mãn) Nếu < suy x = -3 (thoã mãn) b y = x 6− 2=
x−3 ⇒
y=1
x−3=6
¿
¿{¿ ¿ ¿ ;
y=−1
x−3=−6
¿
{¿ ¿ ¿
¿ ;hoặc
2 3 y x 3 y x
;hoặc
6 y x
; hoặc
6 y x 3 y x
; hoặc 3 y x
Từ ta có cặp số (x,y) (9,1); (-3, -1) ; (6, 2) ; (0,- 2) ; (5, 3) ; (1, -3) ; (4, 6); (2, -6)
c Từ 2x = 3y 5x = 7z biến đổi
3 7 30
2 21 14 10 61 89 50 63 89 50 15
x y z x y z x y z
(115)Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7 x = 42; y = 28; z = 20
Câu
c A tích 99 số âm
2 2 2
1 1 1.3 2.4 5.3 99.101
1 1
4 16 100 100
1.2.3.2 98.99 3.4.5 99.100.101 101 1 2.3.4 99.100 2.3.4 99.100 200 2
A
A
d B =
1 4
1
3 3
x x
x x x
B nguyên 4
4 ˆ
3
3nguen x
x
4; 25;16;1; 49
x
Câu
Thời gian thực tế nhiều thời gian dự định Gọi vận tốc dự định từ C đến B v1 == 4km/h Vận tốc thực tế từ C đến B V2 = 3km/h
Ta có:
1 1
2 2
4
3
V t V
va
V t V
(t1 thời gian AB với V1; t2 thời gian CB với V2)
từ
1 2
2
3 15
15
4 4
t t t t t
t
t
2 = 15 = 60 phút = Vậy quãng đường CB 3km, AB = 15km
Người xuất phát từ 11 45 phút – (15:4) = Câu
e Tam giác AIB = tam giác CID có (IB = ID; góc I1 = góc I2; IA = IC) f Tam giác AID = tam giác CIB (c.g.c)
góc B1 = góc D1 BC = AD hay MB =ND tam giác BMI = tam giác DNI (c.g.c) Góc I3 = góc I4 M, I, N thẳng hàng IM = IN
Do vậy: I trung điểm MN g Tam giác AIB có góc BAI > 900
góc AIB < 900 góc BIC > 900
h Nếu AC vng góc với DC AB vng góc với AC tam giác ABC vuông A
Câu P =
4 10 10
1
4
x
x x
P lớn
10
4 x lớn nhất
(116)Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7 Xét x<
10 4 x > 0
10
4 x lớn – x số nguyên dương nhỏ
– x = x =
10
4 x = 10 Plớn nhất = 11.
-Hướng dẫn chấm đề 26
Bài : a) Tìm x Ta có |2x−6| + 5x =9
|2x−6| = 9-5x
* 2x –6 ⇔ x 2x –6 = 9-5x ⇒ x =
15
7 khơng thỗ mãn (0,5)
* 2x – < ⇔ x< – 2x = 9-5x ⇒ x= thoã mãn (0,5)
Vậy x =
b) Tính (1+2+3+ +90).( 12.34 – 6.68) : ( 3+
1 4+
1 5+
1
6) = (0,5) ( 12.34 – 6.68 = 0)
c) Ta có : 2A = 21 + 22 +23 + 24 + 25 + + 2101 ⇒ 2A – A = 2101 –1 (0,5) Như 2101 –1 < 2101 Vậy A<B (0,5) Bài : Gọi cạnh tam giác ABC a, b, c đường cao tương ứng ha, hb, hc Theo đề ta có (ha+ hb): (hb + hc) : (hc + ) = :7 :8 hay + hb =5k ; hb + hc=7k hc + = 8k ; + hb +hc =10k (k hệ số tỉ lệ ) (0,5) Suy hc =( + hb +hc) – (ha + hb) = 10k –5k =5k
Tương tự : =3k , hb= 2k A Diện tích tam giác :
1
2 a ha = b.hb
Suy a b=
hb ha=
2k
3k=
2
3 Tương tự : ac=53;bc=52; (0,5)
a.ha = b.hb =c.hc ⇒
a
1
ha = b
1
hb = c
1
(117)Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7
⇒ a:b:c =
1
ha:
1
hb:
1
hc=
1 3:
1 2:
1
5 Hay a:b:c = 10: 15 :6 (0,5)
Bài : a) Tại x = 16
9 ta có : A =
√16 +1
√169 −1
=7
; x = 25
9 ta có : A =
√25 +1
√259 −1
=4 ; (1)
b) Với x >1 Để A = tức
√x+1
√x−1=5⇔√x=
3
2⇔x=
4 (1) Bài : E thuộc phân giác ABC nên EN = EC ( tính chất phân giác) suy :
tam giác NEC cân ENC = ECN (1) D thuộc phân giác góc CAB nên DC = DM (tính chất phân giác ) suy tam giác MDC cân
và DMC =DCM ,(2) Ta lại có MDB = DCM +DMC (góc ngồi CDM ) = 2DCM
Tương tự ta lại có AEN = 2ECN Mà AEN = ABC (góc có cạnh tương ứng vng góc nhọn)
MDB = CAB (góc có cạnh tương ứng vng góc nhọn ) Tam giác vng ABC có ACB = 900 , CAB + CBA = 900 , suy CAB = ABC = AEN + MDB = ( ECN + MCD )
suy ECN + MCD = 450 Vậy MCN = 900 –450 =450 (1,5) Bài :
Ta có P = -x2 –8x + = - x2 –8x –16 +21 = -( x2 +8x + 16) + 21 = -( x+ 4)2 + 21; (0,75) Do –( x+ 4)2 ¿ 0 với x nên –( x +4)2 +21 ¿ 21 với x Dấu (=) xảy x = -4
Khi P có giá trị lớn 21
-hướng dẫn đề 27
(118)Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7 b/ 2-1.2n + 4.2n = 9.25
suy 2n-1 + 2n+2 = 9.25 0,5đ suy 2n (1/2 +4) = 25
suy 2n-1 .9 =9 25 suy n-1 = suy n=6 0,5đ c/ 3n+2-2n+2+3n-2n=3n(32+1)-2n(22+1) = 3n.10-2n.5 0,5đ 3n.10 10 2n.5 = 2n-1.10 10 suy 3n.10-2n.5 10 0,5đ Bài 2:
a/ Gọi x, y, z số học sinh 7A, 7B, 7C tham gia trồng cây(x, y, z∈z+) ta có: 2x=3y = 4z x+y+z =130 0,5đ
hay x/12 = y/8 = z/6 mà x+y+z =130 0,5đ suy ra: x=60; y = 40; z=30
-7(4343-1717)
b/ -0,7(4343-1717) = 0,5đ10
Ta có: 4343 = 4340.433= (434)10.433 434 tận cịn 433 tận suy 4343 tận
1717 = 1716.17 =(174)4.17 174 có tận suy (174)4 có tận suy 1717 = 1716.17 tận 0,5đ
suy 4343 1717 có tận nên 4343-1717 có tận suy 4343-1717 chia hết cho 10 0,5đ
suy -0,7(4343-1717) số nguyên. Bài 3: 4đ( Học sinh tự vẽ hình)
a/∆ MDB=∆ NEC suy DN=EN 0,5đ
b/∆ MDI=∆ NEI suy IM=IN suy BC cắt MN điểm I trung điểm MN 0,5đ
c/ Gọi H chân đường cao vng góc kẻ từ A xuống BC ta có ∆ AHB=∆ AHC suy HAB=HAC 0,5đ
gọi O giao AH với đường thẳng vuông góc với MN kẻ từ I ∆ OAB=∆ OAC (c.g.c) nên OBA = OCA(1) 0,5đ
∆ OIM=∆ OIN suy OM=ON 0,5đ suy ∆ OBN=∆ OCN (c.c.c) OBM=OCM(2) 0,5đ
Từ (1) (2) suy OCA=OCN=900 suy OC ┴ AC 0,5đ Vậy điểm O cố định
-Đáp án đề 28
(119)Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7 a a + a = 2a với a (0,25đ)
Với a < a + a = (0,25đ) b a - a
-Với a a - a = a – a = -Với a< a - a = - a - a = - 2a c.3(x – 1) - 2x + 3
-Với x + x -
Ta có: 3(x – 1) – x + 3 = 3(x – 1) – 2(x + 3) = 3x – – 2x –
= x – (0,5đ) -Với x + < x< -
Tacó: 3(x – 1) - 2x + 3 = 3(x – 1) + 2(x + 3) = 3x – + 2x +
= 5x + (0,5đ) Câu 2: Tìm x (2đ)
a.Tìm x, biết: 5x - 3 - x = 5x x (1) (0,25 đ) ĐK: x -7 (0,25 đ)
5
1
5
x x
x x
… (0,25 đ)
Vậy có hai giá trị x thỏa mãn điều kiện đầu x1 = 5/2 ; x2= - 2/3 (0,25đ) b 2x + 3 - 4x < (1,5đ) 2x + 3 < + 4x (1)
ĐK: 4x +9 x
(1) 4x9 2x 4 x9 2 x 3 (t/mĐK) (0,5đ).
Câu 3:
Gọi chữ số số cần tìm a, b, c Vì số càn tìm chia hết 18 số phải chia hết cho
Vậy (a + b + c ) chia hết cho (1) (0,5đ) Tacó: a + b + c 27 (2) Vì a ; b ; c
Từ (1) (2) ta có (a + b + c) nhận giá trị 9, 18, 27 (3) Suy ra: a = ; b = ; c = (0,5đ)
(120)Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7
Vậy ssố càn tìm là: 396 ; 963 (0,5đ)
-Vẽ hình viết giả thiết, kết luận (0,5đ) -Qua N kẻ NK // AB ta có
EN // BK NK = EB EB // NK EN = BK Lại có: AD = BE (gt) AD = NK (1)
-Học sinh chứng minh ADM = NKC (gcg) (1đ) DM = KC (1đ)
-Đáp án đề 29
Bài 1: Ta có: 10A = 2007
2007 2007
10 10
= +
10 10
(1)
Tương tự: 10B = 2008
2008 2008
10 10
= +
10 10
(2)
Từ (1) (2) ta thấy : 2007 2008
9
10 1 10 1 10A > 10B A > B Bài 2:(2điểm) Thực phép tính:
A =
1 1
1
(1 2).2 (1 3).3 (1 2006)2006
2 2
=
2 2007.2006 10 18 2007.2006
3 10 2006.2007 12 20 2006.2007
(1) Mà: 2007.2006 - = 2006(2008 - 1) + 2006 - 2008
= 2006(2008 - 1+ 1) - 2008 = 2008(2006 -1) = 2008.2005 (2) Từ (1) (2) ta có:
A =
4.1 5.2 6.3 2008.2005 (4.5.6 2008)(1.2.3 2005) 2008 1004
2.3 3.4 4.5 2006.2007 (2.3.4 2006)(3.4.5 2007) 2006.3 3009
Bài 3:(2điểm) Từ:
x 1 x
8 y 4 y 8
Quy đồng mẫu vế phải ta có :
1 x -
y Do : y(x-2) =8.
(121)Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7
Y -1 -2 -4 -8
x-2 -8 -4 -2 -1
X 10 -6 -2
Bài 4:(2 điểm)
Trong tam giác tổng độ dài hai cạnh lớn cạnh thứ Vậy có: b + c > a
Nhân vế với a >0 ta có: a.b + a.c > a2. (1) Tương tự ta có : b.c + b.a > b2 (2)
a.c + c.b > c2 (3).
Cộng vế với vế (1), (2), (3) ta được: 2(ab + bc + ca) > a2 + b2 + c2.
Bài 5:(3 điểm) Vẽ tia phân giác ABK cắt đường thẳng CK I Ta có: IBC cân nên IB = IC
BIA
= CIA (ccc) nên BIA CIA 120 Do đó:
BIA
=BIK (gcg) BA=BK
b) Từ chứng minh ta có:
BAK 70
-Đáp án đề 30
Câu 1: ( điểm ) a Do
1
n2<
1
n2−1 với n ¿2 nên ( 0,2 điểm )
A< C = 22−1+
1 32−1+
1
42−1+ +
n2−1 ( 0,2 điểm ) Mặt khác:
C = 1.3+
1 2.4+
1
3 5+ +
1
(n−1).(n+1) ( 0,2 điểm)
C K
A I
(122)Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7 = 2( 1− 3+ 2− 4+ 3−
5+ +
n−1−
n+1) ( 0,2 điểm) = (1+
1 2−
1
n−
1
n+1)<
3 2=
3
4<1 (0,2 điểm )
Vậy A <
b ( điểm ) B = 22+
1 42+
1 62+ +
1
(2n)2 ( 0,25 điểm ) =
1 22(1+
1 22+
1 32+
1
42+ .+
n2) ( 0,25 điểm ) =
1
22(1+A) ( 0,25 điểm )
Suy P <
22(1+1)=
2 ;Hay P <
2 (0,25 điểm )
Câu 2: ( điểm ) Ta có
k+1 √k+1
k >1 với k = 1,2……… n ( 0,25 điểm ) áp dụng bất đẳng thức Cô Si cho k +1 số ta có:
k+1
√k+k1= k+1
√1 .1 k k+1
k <
1+1+ .+1+k+1 k k+1 =
k k+1+
1
k=1+
1
k(k+1) (0,5 điểm ) Suy <
k+1 √k+1
k <1+(
1
k−
1
k+1) ( 0,5 điểm )
Lần lượt cho k = 1,2, 3,……… n cộng lại ta n < √2+
3
√3
2+ +
n+1 √n+1
n <n+1−
1
n<n+1 ( 0,5 điểm) => [α]=n
Câu (2 điểm )
Gọi , hb ,hc độ dài đường cao tam giác Theo đề ta có:
ha+hb
5 =
hb+hc
7 =
hc+ha
8 =
2(ha+hb+hc)
20 =
ha+hb+hc
10 ( 0,4 điểm )
=> hc = hb = ha
3 => ha : hb : hc = : 2: ( 0,4 điểm )
Mặt khác S =
2a.ha= 2bhb=
1 2chc
(123)Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7
=> a
1
ha = b
1
hb = c
1
hc (0 , điểm )
=> a :b : c =
ha:
1
hb:
1
hc=
1 3:
1 2:
1
5=10 :15 :6 (0 ,4 điểm ) Vậy a: b: c = 10 : 10 :
Câu 4: ( điểm ) Trên tia Ox lấy A'
, tia Oy lấy B'
cho O A'
= O B'
= a ( 0,25 điểm ) Ta có: O A'
+ O B'
= OA + OB = 2a => A A'
= B B'
( 0,25 điểm
)
Gọi H K hình chiếu Của A B đường thẳng A' B'
Tam giác HA A' = tam giác KB B'
( cạnh huyền, góc nhọn ) ( 0,5 điểm )
=> H A'=K B', HK = A'B' (0,25
điểm)
Ta chứng minh
HK ¿AB (Dấu “ = “ A trùng A' B
trùng B'
(0,25 điểm) A'B'
≤AB ( 0,2 điểm )
Vậy AB nhỏ OA = OB = a (0,25điểm )
Câu ( điểm )
Giả sử √a+√b+√c=d∈Q ( 0,2 điểm ) => √a+√b=d−√a
=> b +b +2 √bc=d2+a+2d√a ( 0,2 điểm) => √bc=(d2+a−b−c)−2d√a ( ) ( 0,2 điểm)
=> 4bc = (d2+a−b−c) 2 + d2a – 4b (d2+a−b−c) √a ( 0,2 điểm)
=> d (d2+a−b−c) √a = (d2+a−b−c) + 4d 2a – bc ( 0,2 điểm) * Nếu d (d2+a−b−c) # thì:
√a=(d
2
+a−b−c)2+4d2a−4ab
4d(d2+a−b−c) là số hữu tỉ (0,2 5điểm ) ** Nếu d (d2+a−b−c) = thì: d =0 d 2+ a-b – c = ( 0,25 điểm ) + d = ta có : √a+√b+√c=0
(124)Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7 => √a=√b=√c=0∈Q (0,25 điểm )
+ d 2+ a-b – c = từ (1 ) => √bc=−d√a
Vì a, b, c, d ¿0 nên √a=0∈Q ( 0,25 điểm )
Vậy √a số hữu tỉ