Đề thi học sinh giỏi tỉnh toán 12 sở GD&ĐT Lạng Sơn năm 2020-2021

Hiện tại mỗi phòng cho thuê với giá 400 nghìn đồng một ngày thì toàn bộ phòng được thuê hết. Biết rằng cứ mỗi lần tăng giá lên them 20 nghìn đồng thì có thêm 2 phòng trống. Hỏi giám đố[r]

1 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

LẠNG SƠN

TOANMATH.com

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MƠN TỐN – LỚP 12

NĂM HỌC 2020 - 2021

Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề) Đề thi gồm 01 trang + 05 toán tự luận

Câu (4 điểm)

a) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y  x3 3x23m21x3m21 có hai điểm cực trị trái dấu

b) Cho hàm số bậc ba   3

y f x ax bx  x c đường thẳng y g x   có đồ thị hình vẽ bên AB5 Giải phương trình f x g x x22

Câu (6 điểm)

Giải hệ phương trình tập số thực

3 6 13 10

2

x x x y y

x y x y y

     

 

      



a) Giải phương trình 1 sin 2xcosx 1 cos2xsinx 1 sin 2x b) Giải phương trình 1 sin 2xcosx 1 cos2xsinx 1 sin 2x

Câu (2,0 điểm) Gọi S tập hợp số có chữ số đôi khác abcde với

 

, , , , 1, 2,3, ,9

a b c d e Chọn ngẫu nhiên số từ S, tính xác suất để số chọn số chẵn thỏa mãn a b c d e   

Câu (2 điểm) Một khách sạn có 50 phịng Hiện phịng cho th với giá 400 nghìn đồng ngày tồn phịng th hết Biết lần tăng giá lên them 20 nghìn đồng có thêm phịng trống Hỏi giám đốc phải chọn giá phòng để số tiền thu khách sạn ngày lớn

Câu (6 điểm) Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C ' ' ',ABC A B C ' ' ', M trung điểm AA', G trọng tâm tam giác ' ' 'A B C

a) Gọi IMB'A B J MC' ;  'A C' Tính thể tích VA B C IJ' ' ' b) Tính khỏng cách hai đường thẳng BC MG,

c) Gọi mặt phẳng qua song song với Tính tan góc tạo mặt phẳng  P A B C' ' '

2 HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu (4 điểm)

a) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y  x3 3x23m21x3m21 có hai điểm cực trị trái dấu

b) Cho hàm số bậc ba   3

y f x ax bx  x c đường thẳng y g x   có đồ thị hình vẽ bên AB5 Giải phương trình f x g x x22

Lời giải a) Ta có y  3x26x3m2   1 3 x2 2x m 21

Gọi x x1, 2 hai nghiệm phương trình y  0 x x1, 2 hai điểm cực trị Theo định lý Vi-ét, ta có 2

1 2

1 x x x x m

 



  



Hàm số có hai điểm cực trị trái dấu  phương trình y 0 có hai nghiệm trái dấu, nghĩa

1

1

0

1 m

x x m

m         

 



b) Đặt g x mx n (với m0)

Ta có A  1; m n, B2;2m n  Suy AB3;3m

Ta lại có 5 9 9 25 16

9

AB   m  m   m (vì m0) Do  

3 g x  x n

Dựa vào đồ thị, ta thấy f x   g x a x 21x2a x 32x2 x 2 Mặt khác, ta lại có f x g x ax3bx2  x c n

Đồng hệ số, ta    

2

1 2

2

b a

a f x g x x x x

a c n   

        



   

3

   

   

2

2

3 2

3

2

2 2

0

3 3 13

2 f x g x x

f x g x x

x x x x

x x x x

x

  

    

      

  

     

   Câu (6 điểm)

a) Giải hệ phương trình tập số thực

3 6 13 10

2

x x x y y

x y x y y

     

 

      



b) Giải phương trình 1 sin 2xcosx 1 cos2xsinx 1 sin 2x Lời giải

a)

3 6 13 10

2

x x x y y

x y x y y

     

 

      



Ta có x36x213xx a  3 x a 10

3 6 13 3 3 10 2

x x x x x a xa a x a a

           

Nên x36x213xy3 y 10x2 3 x2 y3y, dễ thấy hàm số

    32 1 0

f t   t t f t  t   nên hàm số đồng biến  Suy ta x 2 y

Thay vào phương trình thứ hai ta 3x 2 x  5 xđiều kiện

2 x  

Khi phương trình cho viết lại  3x 3  2 x  1 x

   

3

3

3

x x

x

x x

  

    

  

 

3

3

1 VN

3

x

x x

  

    

   



Vậy nghiệm hệ    x y;  3;1

b) Giải phương trình 1 sin 2xcosx 1 cos2xsinx 1 sin 2x

     2

sinx cosx sin cosx x sinx cosx sinx cosx

4

1 sin cos sin cos

x k

x x x x

 

    



   



4

sin

2

cos 2

x k

x k

x x k

x x k



  

 



   

    

 

 

    

   

 

 

Câu (2,0 điểm) Gọi S tập hợp số có chữ số đôi khác abcde với

 

, , , , 1, 2,3, ,9

a b c d e Chọn ngẫu nhiên số từ S, tính xác suất để số chọn số chẵn thỏa mãn a b c d e   

Lời giải

Lập số tự nhiên có chữ số đơi khác từ số 1, 2,3, ,9 chỉnh hợp chập  phần tử nên

9

( ) 9.8.7.6.5 15120 n S  A   Chọn ngẫu nhiên số từ S có  

15120 15120 n  C 

Gọi A biến cố: “Số chọn số chẵn thỏa mãn a b c d e    ” TH1: e6: có

5

C  cách lập số thỏa mãn biến cố A TH2: e8: có

7 35

C  cách lập số thỏa mãn biến cố A Do đó: ( ) 35 40n A    Vậy ( ) 40

15120 378 P A  

Câu (2 điểm) Một khách sạn có 50 phịng Hiện phịng cho th với giá 400 nghìn đồng ngày tồn phịng th hết Biết lần tăng giá lên them 20 nghìn đồng có thêm phịng trống Hỏi giám đốc phải chọn giá phòng để số tiền thu khách sạn ngày lớn

Lời giải

Gọi x (ngàn đồng) giá phòng khác sạn cần đặt x400 Giá chênh lệch sau tăng 400

x Số phòng cho thuê giảm giá tăng 2. 400 400

20 10

x  x Số phòng cho thuê với giá x 50 400 90

10 10

x x

   Tổng doanh thu ngày là:

  90 90

10 10

x x

f x x   x

  \

Bài tốn trở thành tìm giá trị lớn hàm số f x  với x400 Ta có: '  90 , '  450

5 x

f x   f x   x Mặc khác:

400;    450 20250

xmax f x  f 

Vậy cho th với giá 450 ngàn có doanh thu cao ngày 2.025.000 (đồng) Câu (6 điểm) Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C ' ' ',ABC A B C ' ' ', M trung điểm AA',

5 a) Gọi IMB'A B J MC' ;  'A C' Tính thể tích VA B C IJ' ' '

b) Tính khỏng cách hai đường thẳng BC MG,

c) Gọi mặt phẳng qua song song với Tính tan góc tạo mặt phẳng  P A B C' ' '

Lời giải

a) Ta có

' '

MI MJ

MB  MC 

Đặt V V MA B C' ' '

 2

' ' ' '

8 16

.2

9 9

A B C IJ MA IJ

V  V V  V  

b) Lấy HA B K' ', A C' ' cho HK/ /BC G HK

 ,   ,   ,   , 

2

d BC MG d BC MHK d B MHK  d A MHK

Có HK MA G' , kẻ A O' MGA O' MHK

Ta có 2 2 2 '

' ' ' A O

A O  A M  A G  

 , 

2

d BC MG

 

c) Góc tạo mặt phẳng  P A B C' ' ' MGA', ta có tan' ' '

MA MGA

GA