Điều kiện về nghiệm của phương trình bậc hai

+ Quá trình áp dụng từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp. + Chú trọng rèn luyện kỹ năng giải phương trình, phân loại từng dạng toán chia hết để học sinh áp dụng đúng theo các bước gi[r]

Phần 1: ĐẶT VẤN ĐỀ

I/ Lý chọn đề tài:

1 Cơ sở lý luận:

Giải tốn hình thức chủ yếu học tốn, thơng qua việc giải tốn giúp HS nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ phát triển tư sáng tạo

Việc tìm điều kiện nghiệm phương trình phạm vi sách nâng cao; phạm vi bồi dưỡng HS khá, giỏi – HS tham gia đội tuyển vòng Huyện,Tỉnh chuyên đề hay khó địi hỏi cần cù chịu khó sáng tạo người học đáp ứng yêu cầu

Một nhà toán học nói: Nếu anh biết giải tốn anh ong thợ chăm ; biết xem xét ; tư phát triển tốn sáng tạo nhiều tốn “HAY” “KHĨ”, yếu tố cần thiết HSG –

HS tham gia đội tuyển tốn

Mọi sơng bắt nguồn từ sóng nhỏ, tốn dù khó đến bắt nguồn từ tốn đơn giản, nhiều toán SGK ; biết khai thác phát triển, khái quát hóa, đặc biệt hóa nhiều ta đưa tốn “HAY” “KHĨ”

Việc giảng dạy bồi dưỡng HSG nhiệm vụ thường xuyên GV đặc biệt giáo viên tham gia bồi dưỡng HSG vòng tỉnh việc giải tốn điều kiện nghiệm phương trình bậc thiếu kỳ thi vào THPT, HSG ,GVG Do thân cán nghiệp vụ trực tiếp đạo công tác chuyên môn, chọn chuyên đề để viết đề tài sáng kiến kinh nghiệm trực tiếp tham gia bồi dưỡng đội tuyển HSG huyện

2 Cơ sơ thực tiễn:

- Trong kỳ thi HSG việc giải phương trình, tìm điều kiện nghiệm phương trình bậc thuộc chương trình THCS nên phần thiếu kỳ thi HSG

- Đối với GV tham gia kỳ thi GVG thân tơi viết đề tài để nâng cao trình độ chuyên môn đồng thời phục vụ việc bồi dưỡng HSG

II/ Phạm vi đề tài:

Đề tài giới hạn phạm vi tìm điều kiện nghiệm phương trình bậc cách sử dụng định lý Vi-ét để: So sánh nghiệm phương trình bậc với số 0; So sánh nghiệm phương trình bậc với số ; Điều kiện nghiệm phương trình quy phương trình bậc

III/ Đối tượng nghiên cứu:

Đối tượng mà đề tài nghiên cứu sử dụng định lý Vi-ét để tìm điều kiện nghiệm phương trình bậc nguyên thơng qua ví dụ cụ thể thuộc chương trình tốn ;sách nâng cao thuộc chương trình tốn ; báo toán học tuổi trẻ, tuổi thơ có đề cập đến vấn đề

IV/ Mục đích nghiên cứu:

Nghiên cứu đề tài nhằm mục đích nâng cao trình độ chun mơn nghiệp vụ, bồi dưỡng trình tự học tự nghiên cứu thân đồng thời giúp cho HS tiếp cận phương pháp học chuyên đề phù hợp với yêu cầu đổi phương pháp dạy học

Phần 2: NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI

A NỘI DUNG I.cơ sở lý luận:

phương trình với số nội dung hay khó mà GV HSG cần nghiên cứu

Giải phương trình; tìm điều kiện nghiệm phương trình có nhiều phương pháp giải nhiều có lời giải độc đáo; có ứng dụng thực tế áp dụng thực tiễn lao động sản xuất; giúp người học tư sáng tạo, linh hoạt q trình giải tốn u thích tốn học

II.Đối tượng phục vụ:

Đối tượng mà đề tài phục vụ HSG – HS tham gia đội tuyển GV tham gia bồi dưỡng HSG; GV tham gia bồi dưỡng đội tuyển HSG

III.Nội dung phương pháp nghiên cứu

a) Nội dung nghiên cứu: Các phương pháp tìm điều kiện nghiệm phương trình :” Phương pháp so sánh nghiệm phương trình bậc với số 0” ;” Phương pháp so sánh nghiệm phương trình bậc với số ”; “so sánh nghiệm phương trình quy phương trình bậc ”

b) Phương pháp nghiên cứu:

- Đọc nghiên cứu tài liệu có liên quan: SGK, SNC, báo toán học tuổi trẻ, tuổi thơ 2…

-Tìm hiểu phương pháp giải trên, từ khai thác phát triển đưa cách giải hợp lý sáng tạo

- Đưa cách giải cho tốn (nếu ) trọng phương pháp phát triển thành toán

IV.Kết nghiên cứu:

a) Dấu nghiệm phương trình bậc hai:

Theo hệ thức Vi-ét phương trình bậc hai :

0( 0)

ax bx c a có nghiệm x x1,

thì ;

b c

S x x P x x

a a



    

- Có nghiệm âm là:  0;P0;S0

- Có nghiệm trái dấu là: P0 (Khi hiển nhiên  0)

b)So sánh nghiệm phương trình bậc với số: I/ So sánh nghiệm phương trình bậc với số 0:

Trong nhiều trường hợp ta cần so sánh nghiệm phương trình bậc với số cho trước, có nhiều tốn địi hỏi tìm điều kiện để phương trình bậc 2:

0( 0)

ax bx c a có nghiệm khơng âm

VD1: Tìm giá trị m để phương trình sau có nghiệm khơng âm:

2

2

x mx m  (1)

Cách 1: 2

4(2 4) ( 4)

m m m m

        phương trình có nghiệm x x1, 2thoả

mãn: P2m4;S  m

Trước hết ta tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm âm Điều kiện là:

0

2

0 0

P m m

m

S m m

   

  

   

     

  

Vậy điều kiện để phương trình (1) có nghiệm không âm m2

Cách 2: 2

4(2 4) ( 4)

m m m m

        ; P2m4;S  m

-Nếu P0  m 2, phương trình (1) tồn nghiệm khơng âm

- Nếu P0thì phương trình có nghiệm dấu Để thoả mãn đề ta

phải có S0 Giải điều kiện P>0; S>0 m>2 m<0 không xảy

KL: m2

Cách 3: Giải phương trình (1) : 2

4(2 4) ( 4)

m m m m

       

Ta có:

( 4) ( 4)

2 ;

2

m m m m

x     m x      Do x2   2 0nên ta phải có

1 2

x      m m

VD2: Cho phương trình:

2( 3)

x  m x m  (2) Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm dương

Phương trình (2) có nghiệm dương

2

2 ( 1)

0 ( 3) (4 1)

1

0

4

0 2( 3)

3

m m

m m

P m m m

S m m                                     

II/ So sánh nghiệm phương trình bậc với số bất kỳ:

Trong nhiều trường hợp để so sánh nghiệm phương trình bậc với số ta quy trường hợp so sánh nghiệm phương trình bậc với số 0:

VD1: Tìm giá trị m để phương trình sau có nghiệm lớn 2:

1

x mx  (1)

Cách 1: Đặt y=x-2  x y thay vào phương trình (1) ta được:

2

(y2) m y(    2) y  (4 m y)  3 2m0 (2)

Ta cần tìm m để phương trình (2) có nghiệm không âm

2

(m 4) 4(2m 3) m m P; 2m 3;S (m 4)

              Điều kiện để phương trình

(2) có nghiệm âm là:

0 3

2 3

0

( 4)

4 m m P m m m S                            

Vậy với

2

m phương trình (2) có nghiệm khơng âm tức (1) có nghiệm lớn

Cách 2: Giải phương trình (1) ta được: 1 4; 2

2

m m m m

x     x    Ta thấy x1 x2nên cần tìm m để x12 Ta có

2

2

4

2 4 (3)

2

m m

m m

       

-Nếu m 4 (3) có vế phải âm , vế trái dương nên (3)

-Nếu m 4 (3) 2

4 16

2

m m m m 

       Ta

2

m 

  

Gộp m 4

m 

  

2

m 

VD2:Tìm giá trị m để phương trình sau có nghiệm phân biệt nhỏ 2:

2

3x 4x2(m 1) (1)

Giải:

Cách 1: Đặt y    x x y thay vào (1) ta :

2

3(y2) 4(y 2) 2(m 1) 3y28y2m 2 (2)

Cần tìm m để phương trình (2) có nghiệm âm phân biệt Ta giải điều kiện:

' 10

0

2

0

3 m m P m S                         

KL: Với

m

   phương trình (2) có nghiệm âm phân biệt, tức phương trình (1) có nghiệm phân biệt nhỏ

Cách 2: Xét phương trình (1) Giải điều kiện:

' '

1

2

0 (2)

2 ( 2)( 2) (3) ( 2) ( 2) (4)

x x x

x x x

   

      

 

       

 

Giải (2) được:

3

m Giải (3): 2

2( 1)

2( ) 4

3

m

x x  x x          m

Giải (4) : x1x2-4<0 4

  

Vậy ta -1<

3

m Cách3: Giải phương trình (1) : '

4 6(m 1) 10 6m

     

Nếu '

0

3

m

1

2 10

m x    ;

2 10

m

x    Do x1x2 nên điều kiện để phương trình (1) có

2 nghiệm phân biệt nhỏ là:

x2   2 10 6 m  6 10 6 m 4 10 6 m16  m

Vậy ta -1<

3

m

III/ Điều kiện nghiệm phương trình quy phương trình bậc 2: VD1: Tìm giá trị m để phương trình sau có nghiệm

4

2

x mx  n  (1) Giải: Đặt

0

x  y Điều kiện để phương trình (1) có nghiệm phương trình:

2

2

y my m  có nghiệm không âm ,

Theo kết VD1 mục I , giá trị m cần tìm là: m2

VD2: Tìm giá trị m để tập nghiệm phương trình :

2

1

x x m (1) có phần tử

Giải: (1)

2

1

( )

x m

x m x

x m x

 

     

  

 (*) 2

2 0(2)

x m

x mx m

   

   



Do tập nghiệm phương trình (1) có phần tử có nghiệm phương trình (2) thoả mãn điều kiện xm Đặt

x-m=y Khi phương trình (2) trở thành 2

2

y  mym   (3)

Cần tìm m để có nghiệm phương trình (3) thoả mãn y0 Có trường hợp xảy :

a) Phương trình (3) có nghiệm kép không âm:

'

0

2 0 m m S m                

b) Phương trình (3) có nghiệm trái dấu:

2

1

0 1

2

m

P       m

1 1 0 m P m m S m                

KL: m  -1 m

VD3: Tìm giá trị m để phương trình sau có nghiệm phân biệt:

( 2)( 2)( 4)

x x x x m (1) Giải: (1) 2

(x )(x x 2x 8) m

     Đặt

2 0,

x  x  y (1) trở thành

2

(y1)(y  9) m y 10y (9 m)0 (2)

Với cách đặt ẩn phụ , ứng với giá trị dương y có hai giá trị x Do :

(1) có nghiệm phân biệt (2) có nghiệm dương phân biệt Do (2) ta phải có:

'

0 25 (9 )

0 16

0 10

m

P m m

S                       

KL:   16 m

Bài tập đề nghị

Bài 1: Tìm giá trị m để tồn nghiệm khơng âm phương trình :

2

2 ( 2)

x  x m 

Bài 2: Tìm giá trị m để phương trình sau có nghiệm:

2

2

x  m x  x m  

Bài 3: Tìm giá trị m để phương trình:

2

(m1)x (m5)x(m 1) có nghiệm phân biệt lớn -1

Bài 4: Tìm giá trị m để phương trình:

1

x mx   có nghiệm lớn -2

Bài 5: Tìm giá trị m để tập nghiệm phương trình:

4

2( 1) ( 3)

a) Có phần tử b) Có phần tử c) Có phần tử d) Có phần tử

V Giải pháp mới:

Qua năm đạo bồi dưỡng HS giỏi, với HS giỏi lớp 9, thấy để giúp HS hiểu sâu sắc vấn đề ngồi việc nghiên cứu kỹ dạng tập, chuẩn bị cách chu đáo, giáo viên cịn cần có “nghệ thuật giảng dạy” – Phương pháp giảng dạy hợp lý Kinh nghiệm cho thấy, với tập nâng cao điều kiện nghiệm phương trình bậc 2, cần phải hướng dẫn em cách dần dần, từ vấn đề đơn giản, bản, sau thay đổi vài chi tiết để nâng dần đến tập phức tạp Sau giáo viên cần củng cố phương pháp giải khai thác thành toán cách thay đổi kiện để HS tự vân dụng

Việc bồi dưỡng chuyên đề giúp HS có thêm kiến thức kỹ giải tập kỳ thi HS giỏi, góp phần nâng cao chất lượng mũi nhọn nhà trường

Để hướng dẫn HS lớp giải số dạng tập nâng cao so sánh nghiệm phương trình bậc hai với số, nên thực số điều kiện sau đây:

1/ Đối với học sinh: Các em cần phải nắm kiến thức công thức nghiệm PT bậc 2, Định lý Vi-ét kiến thức có liên quan, em cần có say mê, hứng thú với loại có điều kiện tiếp cận với nhiều dạng tập điển hình

2/ Đối với giáo viên: Người thầy giáo phải có trách nhiệm đem lại niềm say mê hứng thú với môn học, hướng dẫn em cách khai thác, vận dụng vấn đề mảng kiến thức mà em có Để đạt hiệu cao áp dụng chuyên đề giáo viên nên dành thời gian bồi dưỡng từ – buổi /tuần cho HS giỏi Còn HS đại trà tuỳ theo đối tượng (có thể giới thiệu dạng bản, lấy ví dụ minh hoạ đơn giản )

- Phát huy lực trí tuệ HS việc cho hs tư tìm nhiều cách giải khác tốn (nếu có thể) muốn GV cần làm tốt việc sau:

+ Nắm vững nội dung chương trình SGK

+ Quá trình áp dụng từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp

+ Chú trọng rèn luyện kỹ giải phương trình, phân loại dạng tốn chia hết để học sinh áp dụng theo bước giải

+ Tìm dạng phương trình

+ Khảo sát đánh giá mức độ nhận thức HS

+ Điều chỉnh phương pháp dạy cho phù hợp với đối tượng HS

+ Thường xuyên trao đổi thầy với trị, trị với trị đồng thời có giao tập nhà để học sinh luyện tập rèn kỹ lực tư

Trên vấn đề toán nâng cao “ Điều kiện nghiệm PT bậc 2’, mảng kiến thức mà HS giỏi lớp cần nắm Kinh nghiệm đưa đề cập đến đối tượng HS giỏi, chưa đề cập nhiều đến đối tượng khác, nội dung chuyên đề chưa đề cập đến mảng kiến thức phương trình bậc 3, bậc 4… Đó định hướng cho việc tiếp tục nghiên cứu sau

B ỨNG DỤNG VÀO THỰC TIỄN CÔNG TÁC GIẢNG DẠY

I Quá trình áp dụng:

Trong q trình đạo cơng tác chun mơn, thân áp dụng đề tài vào bồi dưỡng đội tuyển HSG thời gian buổi dạy :

+) Trước tiên HS nắm vững việc giải phương trình bậc 2, phương trình quy phương trình bậc Định lý Vi-ét nghiệm phương trình bậc

+) GV lấy ví dụ gợi ý-hướng dẫn để HS giải

+) Cuối GV đưa số dạng tập tổng hợp để HS phán đốn nhận xét ,đưa phương pháp thích hợp giải

II.Hiệu quả:

- 10 học sinh đội tuyển: em hiểu nắm tương đối vững chất vấn đề :

Số : Giỏi: 04 Khá: 04 TBình: 02

-Các em say mê hứng thú học chuyên đề, biết cách tư suy luận đưa phương pháp giải hợp lý

III Bài học kinh nghiệm:

một số bất kỳ; so sánh nghiệm phương trình quy phương trình bậc đúc rút cho học kinh nghiệm, cách thức nghiên cứu, nâng cao trình độ chun mơn cho thân

IV.Kiến nghị:

- Chúng mong muốn phịng GD-Sở GD-ĐT có chun đề hay để đưa trao đổi, bàn bạc, học hỏi kinh nghiệm

- Sở GD-ĐT nên thường xuyên có đợt tập huấn cho GV dạy bồi dưỡng HSG toàn tỉnh để GV, cán quản lý, chuyên viên có dịp gặp gỡ trao đổi kinh nghiệm lẫn

Phần 3: Kết luận

nó có tác dụng lớn việc giúp HS khả tư duy, suy luận đồng thời giúp cho việc học chuyên đề khác tốt hơn; giúp ta có nhiều HSG toán đáp ứng yêu cầu nhà trường, huyện Đó hình thức đào tạo nhân tài cho quê hương đất nước đáp ứng yêu cầu CNH-HĐH đất nước