Câu 9: (2,0 điể m ) Trên mặt phẳ ng cho n đường thẳng trong đó bất kỳ hai đường thẳ ng nào cũng cắt nhau và không có ba đường thẳng nào cùng đi qua một điểm.. Hai bạ n l ần lượt thay n[r]
(1)
TÀI LIỆU SƯU TẦM
TUYỂN TẬP
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP
(2)ĐỀ SỐ1: ĐỀ THI CHỌN HSG TỐN HUYỆN HOẰNG HĨA NĂM 2018 - 2019 Câu (4,0 điểm):
Tính giá trị biểu thức:
a) A= − +37 54+ −( 70) (+ −163)+246 b) ( ) ( ) ( )3 *
125 61 n ( )
B= − − − n∈
c) C – – – 2014 – 2015 – 2016= + + + − + +2017+2018
d) 32 32 32 32 32 2.5 5.8 8.11 11.14 14.17
D= + + + + Câu (5,0 điểm):
1 Tìm x biết:a) :11 3 2
x
− + =
b)
1 2
6
x− + =
2 Tìm tất cảcác chữ số x y, cho 2019xy chia hết cho 2,
3 Tìm x y, nguyên biết:x+ +y xy=40 Tìm *
n∈ biết n< 30 đểcác số 3n+4 5n+1 có ước chung lớn Câu (4,0 điểm):
1 Tìm tất cảcác chữ số a b c, , thỏa mãn: abc cba− =6 3b
2 Tìm sốchính phương có ba chữ sốbiết chia hết cho 56 Chứng minh : ( 2018 2017 )
75 4 25
A= + + + + + chia hết cho 42019 Câu (5,0 điểm):
Cho góc AOBvà góc BOC hai góc kềbù Biết BOC=5.AOB Tính sốđo góc AOB góc BOC
2 Gọi OD tia phân giác góc BOC Tính sốđo góc AOD
3 Trên nửa mặt phẳng bờlà đường thẳng ACchứa tia OB vẽthêm 2019
tia phân biệt (không trùng với tia OA OB OC OD, , , cho) có tất góc
Câu (2,0 điểm):
1 Chứng minh 22 33 44 9999 100100
3 3 3 16
A= − + − + + − <
2 Tìm tất cảcác sốnguyên tố p q, cho 7p+q pq+11 sốnguyên tố
(3)LỜI GIẢI ĐỀ HỌC SINH GIỎI TOÁN HUYỆN HOẰNG HÓA NĂM 2018 - 2019 Câu 1:
a) A= − +37 54+ −( 70) (+ −163)+246=(54 246+ ) (+ − 37) (+ −163) (+ −70)
=300+(−200) (+ −70)=30 Vậy A=30
b) ( ) ( ) ( )3 * 125 61 n ( )
B= − − − n∈
=125.( ) ( )−8 −61 1=61000 Vậy 61000 B=
c) C – – – 2014 – 2015 – 2016= + + + − + +2017+2018
( ) ( ) ( )
1 – – – – 2014 – 2015 – 2016 2017 2018
= + + + + + + + +
1 2018 2019 = + = Vậy C=2019
d) 32 32 32 32 32 2.5 5.8 8.11 11.14 14.17 D= + + + +
= 1 1 1 1 5 14
7
− + − + + − = −
=
15 45 34
3 = Vậy
34 45
D= Câu 2:
1 Tìm xbiết:
a) :11 ( 2):11 3 2 3 3
x x x x
− + = ⇒ − = ⇒ − = ⇒ =
Vậy 2x=
b) 1
x− + = ⇒ 1 6
x− =
TH1: x−
6
=
6 x ⇒ = TH2:
6 x−
6
(4)Vậy 0;1
x∈
2 Tìm tất cảcác chữ số x y, cho 2019xy chia hết cho 2,
Ta có 2019xy chia hết cho ⇒ =y
Lại có 2019xy3 nên (2 9+ + + + +x 3) ⇒(12 3+ x) {0; 3; 6; 9}
x
⇒ ∈
Vậy ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x y; ∈{ 0; ; 3; ; 6; ; 9; }
3 Tìm x y, nguyên biết: x+ +y xy=40 (y+1)x+ + =y 41⇔(x+1)(y+ =1 41)
Mà x y, nguyên x+1 y+1 ước 41
Tính (x y, ) (∈{ 40; ; 0; 40 ;) ( ) (− −2; 42 ;) (−42; 2− )} Vậy (x y, ) (∈{ 40; ; 0; 40 ;) ( ) (− −2; 42 ;) (−42; 2− )}
4 Tìm *
n∈ biết n< 30 đểcác số 3n+4 5n+1 có ước chung lớn
Gọi d ước chung 3n+4và 5n+1 (d∈*)
Ta có 3n+4dvà 5n+1dnên 3( n+4 – 5) ( n+1)d ⇔17d⇒ ∈d { }1;17 Để 3n+4 5n+1 có ước chung lớn 1, ta phải có 3n+4 17
hay 3(n– 10 17) mà UCLN(3 ; 17)=1 nên (n– 10 17)
( )
– 10 17
n = k k∈ Vì n∈, 30n< ⇒ − ≤10 n– 10<20 nên k∈{0 ; 1} Với k= ⇒ =0 n 10, 3.10 17+ 5.10 17+ (thỏa mãn)
Với k= ⇒ =1 n 27 , 3.27+4 17 5.27 17+ (thỏa mãn) Vậy n∈{10 ; 27}
Câu 3:
Điều kiện : a b c, , ∈N, 0<a c, ≤ 9; ≤ ≤b
Vì abc cba− =6 3b ⇒100a+10b c+ −100c−10b a− =6 3b ⇒99(a c− =) 3b 99b b
⇒ ⇒ = ⇒ − =a c 693 : 99=7⇒ = +a c
(5)Với c= ⇒ =1 a
Với c= ⇒ =2 a
Vậy a=9, 9, 2b= c= a=8, 9, b= c=
2 Gọi sốchính phương : xyz với 1≤ ≤x 9; 0≤y z; ≤9
ta có: ( ; ) 56
xyz k
k l xyz l
=
∈ ∈
=
:
56 4.14 k = l= l
suy ra: 2( ) 14
l= h với h∈
mặt khác 100≤56l≤999⇒ ≤ ≤2 l 17 2( ), từ(1) (2) suy ra: h=1, l=14
nên sốchính phương phải tìm là: 784 Vậy số cần tìm 784
3 Chứng minh : ( 2018 2017 ) 75 4 25
A= + + + + + chia hết cho 42019 Đặt 2018 2017 2018 2017
4 4 4
M = + + + + = + + + + + ( 2018 2017 ) 2019 2018 4M =4 +4 + + + + =4 +4 + + +4 +4
( 2019 2018 ) ( 2018 2017 ) 4M –M = +4 + + +4 +4 – +4 + + + +4
( ) 2019 2019
3M =4 – 1⇒M = – : ( 2019 ) ( 2019 ) 75 – : 25 25 – 25
A= + = +
2019 2019
25 25 25 25.4
= − + =
chia hết cho 2019 Câu 4:
C
D
B O
A
(6)mà BOC=5.AOBnên
6.AOB=180 180 30 AOB °
⇒ = = °
5.30 150
BOC
⇒ = °= °
2 Vì OD tia phân giác góc BOC nên 1
2 75
BOD=DOC= BOC= ° Vì góc AODvà góc DOC hai góc kềbù nên AOD+DOC=1800 Do AOD =180° −DOC=180 – 75° °=105°
3 Tất có 2019+ =4 2023tia phân biệt
Cứ tia 2023 tia tạo với 2023 – 1=2022 tia lại thành 2022 góc
Có 2023 tia nên tạo thành 2023.2022 góc, góc tính hai lần Vậy có tất 2023.2022
2 =2045253 góc Câu
1 22 33 44 9999 100100
3 3 3 16
A= − + − + + − < ⇒ 32 43 9998 10099
3 3
3
3
A= − + − + + −
⇒ 12 13 198 199 100100 3
4
3 3
1
A= − + − + + − −
⇒ 12 13 198 199
3 3
4
3
A< − + − + + − (1)
Đặt 98 99
1 1 1
3 3 3
1
B= − + − + + −
⇒ 12 13 197 198
3 3
3
3
B= + − + + + −
⇒4 3 199
3
B= +B B= − < B
⇒ < (2) Từ (1) (2)
4
4⇒ A< <B 16 A
⇒ <
2 Tìm tất cảcác sốnguyên tố p q, cho 7p+q pq+11 sốnguyên tố Ta có: p q, sốnguyên tố nên pq+11là sốnguyên tố lớn 11
11 pq
(7)Do 7p+qlà sốnguyên tố lớn nên p q khơng thểcùng tính chẵn lẻ *) TH1:p=2 7p+ =q 14+q Ta thấy 14 chia dư
+) Nếu q chia hết cho 3, q sốnguyên tố nên q=3
7p+ =q 17; pq+ =11 17 (T/m)
+) Nếu q chia cho dư 1thì 14+qchia hết cho ⇒7p q+ hợp số
+) Nếu q chia cho dư 2q chia cho dư nên pq+ =11 2q+11 chia hết cho 11
pq
⇒ + hợp số
*) TH2: q=2thì 7p+ =q 7p+2
+) Nếu 7p chia hết cho p chia hết p = ⇒7p+ =q 23; pq+ =11 17 (Thỏa mãn)
+) Nếu 7p chia cho dư chia hết cho ⇒7p+2 hợp số
+) Nếu 7p chia cho dư p chia cho dư nên 2p chia cho dư 11 11
pq+ = p+
⇒ chia hết pq+11 hợp số Vậy: p=2, 3q= hoặcp=3, 2q=
ĐỀ SỐ2 : ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN TAM DƯƠNG - NĂM 2019 Câu 1: (2,0 điểm) Tính giá trị biểu thức sau:
a) S = 994 995 996 997 998+ − − + + − − + + + − − + + b) P =3 11 2111 9 511
3 +
Câu 2: (2,0 điểm) Tìm xbiết: 7010: 131313 131313 131313 131313 x 11 151515 353535 636363 999999
− + + + = −
Câu 3: (2,0 điểm) Tìm hai số tự nhiên biết tổng chúng 84 ƯCLN chúng
Câu 4: (2,0 điểm) Tìm chữ sốx; y để A = A=x183y chia cho 2; dư
Câu 5: (2,0 điểm) Tìm số nguyên nđểphân số 2
n n
+
+ có giá trị số nguyên
(8)hai quay vềbến sau 56 phút lại sau phút Xe thứba quay vềbến sau 48 phút sau phút lại Hỏi ba xe lại xuất phát từbến lần thứhai vào lúc giờ?
Câu 7: (2,0 điểm) Tìm sốnguyên tốp cho sốnguyên tố
Câu 8: (2,0 điểm) Trên đường thẳng xy lấy điểm O Trên nửa mặt phẳng bờxy
vẽhai tia Oa, Ob cho , Vẽtia Oclà tia phân giác Tính số đo
Câu 9: (2,0 điểm) Trên mặt phẳng cho n đường thẳng hai đường thẳng cắt khơng có ba đường thẳng qua điểm Biết tổng sốgiao điểm mà nđường thẳng cắt tạo 465 Tìm n
Câu 10: (2,0 điểm) Trong buổi giao lưu tốn học, ngoại trừBình, hai người bắt tay nhau, Bình chỉbắt tay với người quen Biết cặp hai người bắt tay khơng q lần có tổng cộng 420 lần bắt tay Hỏi Bình có người quen buổi giao lưu
LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN TAM DƯƠNG - NĂM 2019 Câu 1:
a) S=S = + − − + + − − + + +1 (2 5) (6 9) (994 995 996 997− − + )+998 0 998= + + + + +
= 999
b) 11 2111 9 511
P= + = ( )
11 11 21
3 +
11
9 32
3 32
= 32 = =
Câu 2: Ta có: 7010: 131313 131313 131313 131313 x 11 151515 353535 636363 999999
− + + + = −
2 780 13 13 13 13
:
3x 11 15 35 63 99
⇔ − + + + = −
2 780 13 2 2
:
3x 11 3.5 5.7 7.9 9.11
⇔ − + + + = −
2 780 13 1
:
3x 11 11
⇔ − − = −
2 780 13
:
3x 11 33
⇔ − = −
2
45 3x
⇔ − = −
2 40 3x ⇔ =
60 x ⇔ =
2
2p + p
40
xOa= xOb=1000 yOb
(9)Vậy x=60
Câu 3: Gọi hai sốtựnhiên phải tìm a b (giả sửa≤b ) Ta có: ( )a b, =6 nên a = 6a’; b=6 ’b đó(a b’, ’)=1 (a’, ’ b∈N)
Do a b+ =84 nên 6(a’+b’)=84 ⇒ +a’ b’ 14=
Chọn cặp số a’, ’b nguyên tốcùng có tổng 14 (a’ ’≤b ), ta có trường hợp: ’ 1; ’ 13
a = b = ⇒ =a 6; 78b=
’ 3; ’ 11 18; 66
a = b = ⇒ =a b =
’ 5; ’ 30;
a = b = ⇒ =a b=
Vậy cặp sốthỏa mãn là: (6; 78 ; 18; 66 ; 30;5) ( ) ( )
Câu 4: Do A=x183ychia cho dư nêny=1
Ta có A=x183y
Vì A=x183y chia cho dư ⇒ x183y−1 9 1830
x
⇒
⇔ x+ + + +1 9
⇔x+3 9 , mà x chữ số nên x=6 Vậy x=6; 1y=
Câu 5: Để 2
n n
+
+ có giá trị sốnguyên 2n+1n+2 (1) Vì n+2n+2 nên 2(n+2)n+2 (2)
Từ (1) (2) 2(n+2) (− 2n+1)n+2 n
⇒ +
Vì n+2 nguyên nên n+ ∈ − −2 { 1; 3;1;3} ⇒ ∈ − − −n { 3; 5; 1;1} Vậy với ⇒ ∈ − − −n { 3; 5; 1;1} phân số
2
n n
+
+ số nguyên
Câu 6: Giả sử sau a phút (kểtừlúc 6h) xe lại xuất phát bến lần thứ Lập luận đểsuy a BCNN 75, 60, 50( )
Tìm BCNN 75, 60, 50( )=300 (phút) =
Sau 5h xe lại xuất phát, lúc 11h ngày Câu 7: - Xétp=2 Khơng thỏa mãn
- Xétp=3 =17 sốnguyên tố Vậy p=3thỏa mãn
- Xétp>3: p2 chia dư
⇒
(10)Cịn p lẻ nên 2p =22k+1 =4 2k chia3 dư
nên
2p+p chia hết cho 3, mà 2p+ p2 >3 nên sẽ hợp số KL: Vậy p=3 sốnguyên tố thỏa mãn đềbài
Câu 8:
xOb yOB kềbù ⇒ xOb +yOb=180°
yOb 180 xOb
⇒ = ° −
180 100
= ° − ° = °80
Oc tia phân giác yOb nên 1
yOc= yOb
1 80
= ° = °40
xOa yOa kềbù nên xOa+yOa=180° yOa 180 40 140
⇒ = ° − ° = °
Trên nửa mặt phẳng bờlà đường thẳng xy có yOc< yOa(40° <140°) nên tia Oc nằm hai tia Oy Oa
yOc cOa yOa
⇒ + =
cOa yOa yOc
⇒ = − =140° − ° =40 100°
Câu 9: Có nđường thẳng hai đường thẳng cắt nhau, khơng có ba đường thẳng đồng quy, nên đường thẳng cắt n−1 đường thẳng lại tạo n−1 giao điểm phân biệt
Do nđường thẳng có n(n – 1) giao điểm giao điểm tính lần Vậy thực tế có giao điểm
Theo ta có:
( 1) 930 31.30 31
n n n
⇒ − = =
⇒ = Vậy n = 31
Câu 10: Giả sử buổi giao lưu, ngồi Bình cịn có n người nữa, Bình có k người quen (ĐK: k n, ∈ Ν ≤,k n)
Số lần bắt tay nngười khác (khơng kểBình) là: ( 1)
n n−
(lần) Số lần bắt tay Bình người quen Bình k (lần)
( 1)
n n−
( 1) 465
n n−
=
x a b
c
y
(11)Vì có tổng cộng 420 lần bắt tay nên : ( 1) 420
n n
k
−
+ = Hay: n n.( − +1) 2k =840 (*)
Vì k n, ∈ Ν ≤ ≤, k n nên n2− ≤n n n.( − +1) 2k ≤n2− +n 2n
Hay ( )
n − ≤n n n− + k ≤n +n Kết hợp với (*) suy 2
840
n − ≤n ≤n +n ⇔(n−1)n≤840≤n n( +1) Ta có: 28.29≤840≤29.30 nên n=29
Thay vào (*) tính k=14 Vậy Bình có 14 người quen
ĐỀ SỐ 3: ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN BA VÌ - NĂM 2019
Bài 1: (5 điểm). Tính hợp lí 1) 75.54 175.54
20.25.125 625.75 A= +
−
2) 51.125 51.42 17.150
3 99
B= − −
+ + + +
3) 1
1.2.3 2.3.4 98.99.100
C= + + +
Bài 2: (6 điểm)
1) Tìm x y, biết 124xy45
2) Tìm p nguyên tốđể p+10 p+26 sốnguyên tố
3) Tìm sốtựnhiên nhỏ lớn 10, biết sốđó chia cho 5; 6; có sốdư
lần lượt 3; 2;1
Bài 3: (3 điểm) Một người mang cam chợbán Người thứ mua
6 số cam Người thứ hai mua 20% sốcam lại thêm 12 Người thứ ba mua 25% số cam lại thêm Người thứtư mua
3 sốcam cịn lại 12 quảthì vừa hết Tính số cam người mang bán
Bài 4: (5 điểm) Trên đường thẳng xy lấy điểm A Trên hai mặt phẳng đối bờ
đường thẳng xy lấy M N, cho MAx =xAN =120° a) Tính sốđo MAN
b) Gọi AP tia đối tia AM Chứng minh AP tia phân giác xAN
(12)cùng người thắng Chứng minh có cách chơi để bạn bốc trước thắng ?
-HẾT -
LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN BA VÌ - NĂM 2019 Bài 1:
1) 75.54 175.54 3.5 52 2243 7.524 42 3.52 66 7.566 1066 10 20.25.125 625.75 5.5 5 3.5 3.5
A= + = + = + = =
− − −
2) 51.125 51.42 17.150
3 99
B= − −
+ + + +
Đặt: A=51.125 51.42 17.150− − ; C= + + + +3 99 51.125 51.42 17.150 51.125 51.42 17.3.50
A= − − = − −
( )
51.125 51.42 51.50 51 125 42 50 51.33
= − − = − − =
3 99 C= + + + +
Sốcác hạng tử C : (99 : 33− ) + = Do đó: 99 33 99 33.51
2
C= + + + + = + =
Vậy 51.125 51.42 17.150 51.33 99 33.51
A B
C
− −
= = = =
+ + + +
3) 1
1.2.3 2.3.4 98.99.100
C= + + +
2 2 1 1 1
2
1.2.3 2.3.4 98.99.100 1.2 2.3 2.3 3.4 98.99 99.100
C
⇒ = + + + = − + − + + −
1 50.99 4949 1.2 99.100 100.99 9900
−
= − = =
4949 19800
C
⇒ = Bài 2:
1) Đặt A=124xy
Để A45 A5 A9 Để A5 y=0 y=5
Với y=0, để A9 (1 4+ + + +x 9) ⇒ =x Với y=5, để A9 (1 4+ + + +x 9) ⇒ =x Vậy y=0, x=2hoặc y=5, x=6
2) Thử p=2 không thỏa mãn
Với p=3 p+10=13 p+26=29 sốnguyên tố Suy p=3 thỏa mãn
Với p>3 p sốnguyên tố nên p không chia hết cho Nếu p=3k+1 p+26 3 khơng thỏa mãn
(13)3) Gọi số phải tìm a (a∈,a>10) Theo đềbài, ta có:
a chia cho dư 3⇒(a−3 5) ⇒(a− −3) 5 hay a−8 5 a chia cho dư 2⇒ −a 6 ⇒(a− −2) 6 hay a−8 6 a chia cho dư 1⇒ −a 7 ⇒(a− −1) 7 hay a−8 7 Do a− ∈8 BC(5, 6, 7)
Để a nhỏ lớn 10 a− =8 BCNN(5, 6, 7)=210
8 210 218
a a
⇒ − = ⇒ =
Vậy sốtựnhiên cần tìm 218 Bài 3: Phân số chỉ12 cam 1
3
− = (sốcam lại sau người thứ mua) Sốcam lại sau người thứ mua là: 12 :2 18
3= Phân số 36 12+ =48 cam 25% 1
4
− = − = (sốcam lại sau người thứ mua)
Sốcam lại sau người thứ mua là: 27 :3 36 4= Phân số 18 9+ =27 cam 20% 1
5
− = − = (sốcam lại sau người thứ mua)
Sốcam lại sau người thứ mua là: 48 :4 60 = Phân số 60 5+ =65 cam 1
6
− = (sốcam mang bán) Sốcam người mang bán là: 60 :5 78
6= Bài 4:
a) Ta có: xAM +MAy=180° (hai góc kềbù)
y x
A
M
(14) 180 180 120 60 MAy xAM
⇒ = ° − = ° − ° = °
Tương tự,ta có: xAN+NAy=180° (hai góc kềbù)
180 180 120 60
NAy xAN
⇒ = ° − = ° − ° = °
Mà AM AN, nằm nửa mặt phẳng đối bờ Ay nên Ay nằm hai tia
,
AM AN
Do đó: MAN =MAy+NAy=120°
b) Vì AP tia đối tia AMnên Ax nằm AM AP, Do đó: xAP=180° −120° = °60
Trên nửa mặt phẳng, bờ chứa tia Ax có xAP <xAN(60° <120°)
Nên AP nằm Ax AN, Khi đó: xAP+PAN =xAN
60° +PAN =120° ⇒PAN =120° − ° = °60 60
Ta có AP nằm Ax AN, xAP =PAN(60° =60°)
Vậy AP tia phân giác xAN
Bài 5: Muốn thắng trước lần bốc cuối bạn thứ phải để lại hộp viên
Do bạn thứ phải điều chỉnh cho sau lần bốc để lại hộp bội
Vì 2019 chia cho dư nên bạn bốc trước lần đầu bốc viên bi, sau cứbạn thứhai bốc k viên (2≤ ≤k 7) bạn thứ lại bốc 9−k viên
Theo cách bạn bốc trước bao giờcũng thắng
ĐỀ SỐ - ĐỀ THI CHỌN HSG HUYỆN SÔNG LÔ NĂM HỌC 2018-2019 Câu 1: (2,0 điểm)
Tính: 13 ( )2 19 23 0, :1
15 15 60 24
⋅ ⋅ + −
Câu 2: (2,0 điểm)
Tìm x thỏa mãn: 1 22 1.2.3 2.3.4 8.9.10 45
+ + + =
x
Câu 3: (2,0 điểm)
Tìm sốtựnhiên nhỏ biết sốđó chia dư 5, chia dư 4, chia dư Câu 4: (3,0 điểm)
a Chứng minh với số nguyên dương n phân số
6
+ + n
n tối gian
b Cho hai số tự nhiên a b, cho: ab=20182018 Hỏi a+b có chia hết cho
(15)Câu 5: (2,0 điểm)
Tìm tất sốtự nhiên có ba chữ số abc cho p=abc+bca+cab số
chính phương Câu 6: (2,0 điểm)
Tìm sốngun dương chỏ có 15 ước nguyên dương Câu 7: (2,0 điểm)
Biết abcd nguyên tốcó bốn chữ sốthỏa mãn ab cd; sô snguyeen tố
và = + −
b cd b c Hãy tìm abcd
Câu 8: (1,5 điểm)
Cho góc nhọn xOy Trên nửa mặt phẳng chứa tia Oy bờlà đường thẳng chứa tia Ox vẽ tia Oz cho xOz=120 ° Gọi Om On, phan giác góc
;
xOy yOz Tính góc mOn
Câu 9: (1,5 điểm)
a Cho đoạn thẳng AB=1cm Gọi A A A1, 2, 3, ,A2019 trung điểm 2018
, , , ,
AB A B A B A B Tính dộdài đoạn thẳng AA2019 Câu 10: (2,0 điểm)
Một thi văn nghệ có 40 bạn học sinh tham gia, bạn quen với 27 bạn khác Chúng minh ln chọn nhóm bạn cho hai bạn nhóm quen
……….HẾT………
LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HUYỆN SÔNG LÔ NĂM HỌC 2018-2019 Câu 1: 13 ( )2 19 23
1 0, :1
15 15 60 24
⋅ ⋅ + −
28 79 24 15 15 60 47
= + −
7 5
= − =
Câu 2: 1 22
1.2.3 2.3.4 8.9.10 45
+ + + =
x
1 1 1 1 1 22
2 1.2 2.3 2.3 3.4 4.5 5.6 8.9 9.10 45
⇔ − + − + − + + − =
x
1 1 22 1.2 9.10 45
⇔ − =
x
1 22 22
2 45 45
⇔ x=
(16)Câu 3: Gọi sốtựnhiên nhỏ thỏa mãn yêu cầu đềbài a Vì a chia dư nên a+4 9 ⇒ + +a 153 9 ⇒ +a 157 9 Vì a chia dư nên a+3 7 ⇒ + +a 154 7 ⇒ +a 157 7 Vì a chia dư nên a+2 5 ⇒ + +a 155 5 ⇒ +a 157 5 Suy a+157∈BC (9, 5, 7)
(9, 5, 7)=315
BCNN
157 315
⇒ +a = k ví a nhỏ nên k =1 ⇒ =a 158
Vậy sốtựnhiên nhỏ thỏa mãn yêu cầu đềbài : 158 Câu 4: Giả sử d∈UCLN(2n+1, 6n+5)
6
+ ⇒ +
n d
n d ⇒6n+ −5 2( n+1)d { }
2 1;
⇒ d⇒ ∈d
Vì n sốnguyên dương nên 2n+1 2 ⇒ ≠d ⇒ d =1
Vậy với sốnguyên dương n phân số
6
+ + n
n tối giản
a Ta có 2018≡2 mod 3( ) 20182018 ≡22.1009(mod 3) ⇒20182018 ≡1 mod 3( ) ,
⇒a b có dạng
3
3
3
3 = +
= + +
⇒
= + + =
a l
b n a b chia du
a b chia du
a k
b m
Mà 2019 3 ⇒ +a b2019 Câu 5: Ta có :
100 10 100 10 100 10
= + + = + + + + + + + +
p abc bca cab a b c b c a c a b
( ) ( )
111 3.37
= a b c+ + = a b c+ +
Để p sốchính phương a b c+ + 37.3 mà 0< + + ≤a b c 27⇒ + +a b c37.3 Nên khơng có sốtựnhiên có ba chữ số abc thỏa mãn yêu cầu đềbài
Câu 6: Gọi sốnguyên dương cần tìm a
(17)1
1 144
324
1
1
+ = =
+ = = =
⇒ ⇒ ⇒
=
+ = =
+ = =
x x
y y a
a
x x
y y
Vì a nhỏ nên a=144
Câu 7: Vì ab cd; sốnguyên tố nên b d, lẻvà khác
Ta lại có 2 ( )
9
= + − ⇔ − = + ⇔ − = +
b cd b c b b c d b b c d Nếu b = (không thỏa mãn)
Nếu b=3 nên 9c d+ = ⇒ =6 c 0,d=6 (không thỏa mãn) Nếu b= ⇒7 9c d+ =42⇒ =d 42 9− c⇒ =c 4; d=6 (loại)
Nếu b= ⇒9 9c+ =d 72⇔ =d 72 9− c⇒ =c 7;d =9 (thỏa mãn) {1; 2; 7}
⇒ ∈a
Vậy abcd∈{1979; 2979; 7979} Câu 8:
4 3 2 1
z
y
x n
m
O
Vì góc xOy góc nhọn xOz góc tù nên xOy<xOz
Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox có xOy <xOz ⇒Oy nằm hai tia Ox Oz
+ =
xOy yOz xOz ( )1 mà Om On, phân giác góc xOy yOz;
(18)Vì Om phân giác góc xOy nên 1
= =
O O xOy ( )3 Vì On phân giác góc zOy nên 3
1
= =
O O yOz ( )4
Từ ( )1 ,( )2 ,( )3 ( )4 2 3 1( ) 1.120 60
2
⇒mOn=O +O = xOy+yOz = ° = ° Câu 9:
A3 A2
A1 A
B
Vì A1 trung điểm AB nên
1
1
2
= =
A B AB
2
1
2
= =
A B A B ……
2019 2019 2019 2019
1
1
2
= ⇒ = −
A B AA
Câu 10: Giá sửcó ba bạn A B C, ,
Bạn A quen 27 bạn nên có 12 bạn khơng quen A(mời bạn khỏi lớp) lại 28 bạn lớp Trong 28 bạn có B quen với A có nhiều 12 bạn không quen với B lớp (lại mời 12 bạn khỏi lớp)
Cịn lại 28 12 16− = bạn lớp quen với A B
Trong 16 bạn có C có nhiều 12 bạn khơng quen C lớp nên cịn lại
nhất 16 12 1 1− − − − = bạn quen với cảba bạn A B C, ,
Vậy ln chọn nhóm bạn cho hai bạn nhóm quen
ĐỀ SỐ 5: ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NGHI XUÂN - NĂM 2019 Câu 1: (4,0 điểm)
1 Thực phép tính sau
a) ( )
2 16
13 11
3.4.2
; 11.2 16 A=
− b)
1 1
2.5 5.8 8.11 2015.2018
B= + + + +
2 So sánh A B biết:
30 31
31 32
19 19
;
19 19
A= + B= +
+ +
(19)1 Tìm tất cảcác số nguyên n đểphân số n n
+
− có giá trị số nguyên
2 Cho n=7 4.a + b Biết a b− =6 n9 Tìm a b,
Câu 3: (4,0 điểm)
1 Tìm x∈ biết: a) 5( x− − =1) 70;
b) 1 22
1.2.3 2.3.4 3.4.5 8.9.10 x 45
+ + + + =
2 Tổng sốtrang loại một, loại hai loại ba 1980 Sốtrang loại hai
3 sốtrang loại Số trang loại số trang loại hai Tính sốtrang loại?
Câu 4: (6,0 điểm)
Cho xOy yOz hai góc kềbù Om tia phân giác xOy, On tia phân giác yOz
a) Tính mOn
b) Kẻ Om’ tia đối tia Om Nếu zOm'= °30 m Oy' có số đo độ
c) Vẽđường thẳng d không qua O. Trên đường thẳng d lấy 2019 điểm phân biêt Tính số góc có đỉnh O cạnh qua hai điểm đường thẳng
d Câu 5: (2,0 điểm)
Một sốchia cho dư 3, chia cho 17 dư 12, chia cho 23 dư Hỏi sốđó chia cho 2737 dư bao nhiêu?
- Hết -
LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NGHI XUÂN - NĂM 2019 Câu 1: a) Ta có ( )
( )
2
16 2 36 2 36 2 36
13 11 35 36 35 35
3.4.2 3 2 3 2 3 2
2 11.2 16 11.2 2 11 2
A= = = = =
− − −
(20)1 1 1 3 3
2.5 5.8 8.11 2015.2018 2.5 5.8 8.11 2015.2018
1 1 1 1 1 1 336
3 5 8 11 2015 2018 2018 2018
B= + + + + = + + + +
= − + − + − + + − = − =
Câu 2: Xét phân số 3
2 2
n n
n n n
+ = − + = +
− − −
Để n n
+
− số nguyên ⇔3n− ⇔ − ∈2 n Ư(3)= ± ±{ 1; 3}
Từđó ta có:
2
n− −3 −1 3
n −1 3 5
Vậy n∈Ư(3)= −{ 1;1;3;5}thì n n
+
− số nguyên
2 Do n9⇒7 9a + b ⇒700 10+ a+ +5 800 10+ b+4 9 ⇒1509 10+ a+10 9b
{ }
1503 9a 9b a b a b a b 3;12
⇒ + + + + + ⇒ + + ⇒ + ∈
+ Với a+ =b a b; khác tính chẵn lẻ a− =b a b; tính chẵn lẻ
Do khơng tồn a b;
+ Với a+ =b 12 a− =b suy a=9;b=3. Vậy a=9;b=3.
Câu 3: Tìm x∈ biết:
a) 5( x − − =1) 70⇒3 5( x − =1) 72⇒5x − =1 24⇒5x =25⇒ =x Vậy x =5.
b) 2 22
2 1.2.3 2.3.4 3.4.5 8.9.10 x 45
+ + + + =
1 1 1 1 1 22
2 1.2 2.3 2.3 3.4 3.4 4.5 8.9 9.10 x 45
− + − + − + + − =
1 1 22 22 22
2 1.2 9.10 x 45 45 x 45 2x x
− = ⇒ = ⇒ = ⇒ =
Vậy x=2.
2 Gọi số trang sách loại một, loại hai, loại ba theo thứ tự , ,
x y z trang
(21)Số trang loại hai chỉbằng
3 số trang loại
nên ( )2
3
y
x y
x = ⇒ =
Số trang loại số trang loại hai nên
( )
3
4 3
4
z= y⇒ =z y Thay (2); (3) vào (1) ta được:
3 99
8 1980 12 3, 75 1980 1980 80
2y+ y+ 4z= ⇒ y+ y+ y= ⇒ y= ⇒ =y Lần lượt tính x=120; z=60
Vậy theo thứtự sốtrang vởlà 120;80;60
Câu 4:
a) Do Om On, tia phân giác
1
1
; ;
2
xOz zOy⇒O =O = xOz O =O = zOy
Mặt khác: 180 2( 2 3) 180 180 90
xOz+zOy= ° ⇒ O +O = ° ⇒mOn= ° = ° b) Nếu zOm'= ° ⇒30 zOm=150°(hai góc kềbù)
Mặt khác 1 300 180
zOm= xOz⇒xOz = ° > ° (không xác định)
Vậy không tồn tia Om’ để zOm'= °30
c) Từ O vẽhai tia qua hai điểm đường thẳng dta xác định góc có đỉnh O. Mà đường thẳng d có 2019 điểm phân biệt Nếu chọn 2019 điểm điểm thứ nhất, 2018 cách chọn điểm thứ2 Do ta có 2019.2018 tia, mà
4
A2019
A3
A2
A1
d
O
y x
n z
(22)tia tính lần nên sốcác góc có đỉnh O cạnh qua hai điểm đường thẳng d
là 2019.2018 : 2=2037171 góc
Câu 5:
Gọi sốđã cho A. Theo ta có: A=7a+ =3 17b+12=23c+7 Mặt khác: A+39=7a+ +3 39=17b+12 39+ =23c+ +7 39
( ) ( ) ( )
7 a 17 b 23 c
= + = + = +
Như A+39 đồng thời chia hết cho 7,17 23
Nhưng ƯCLN(7,17, 23)= ⇒1 (A+39)7,17, 23⇒ +A 39 2737 ⇒ =A 2698 Do 2698<2737nên A: 2737 có sốdư 2698.
ĐỀ SỐ 6: ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TP BẮC NINH - NĂM 2019
Câu 1: 1) Từ chữ số 0; 1; 2; 3; viết tất cảcác sốcó ba chữ sốkhác chia hết cho
2) So sánh: a) 25 53
2525
5353; b) 2018 2019
20182019 20192019
3) Tính 5.4 9915199 4.3 82920 96 5.2 7.2 27 A= −
−
Câu 2: a) Chứng minh rằng: 817 – 279 – 913 45
b) 12 12 12 12 100
N = + + + + không sốtựnhiên
Câu 3: a) Trong hội nghị học sinh giỏi, số học sinh nữchiếm
5 , có
8 số nữ
là học sinh lớp Trong số học sinh nam dự hội nghị có
9 học sinh lớp Biết số học sinh dự hội nghị khoảng từ 100 đến 170 em Tính số học sinh nam học sinh nữ khối
b) Cho số p = bc + a, q= ab + c, r = ca + b sốnguyên tố
(a b c, , ∈*) Chứng minh ba số p, q, r có hai sốbằng
Câu 4: Cho tam giácABCcó BC=5cm Điểm M thuộc tia đối tia CB cho
CM = cm
a) Tính độdài BM
b) Cho biết BAM = °80 , BAC =60° Tính MAC
(23)d) Lấy K thuộc đoạn thẳng BM cho CK =1cm Tính độdài BK
Câu 5: Cho 2019 sốnguyên dương a1, a2, , a2019 thỏa mãn:
1 2019
1 1
1010
a + a + +a =
Chứng minh có số 2019 sốnguyên dương cho LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TP BẮC NINH - NĂM 2019 Câu 1:
1) Các sốchia hết cho 3, lập từcác sốtrên là: 120; 150; 210; 510; 105; 315; 135
Ta có 25 25.101 2525
53= 53.101=5353
2a) 2018 2018.10001 20182018
2019 =2019.10001=20192019 <
20182019 20192019 b) 5.4 9915199 4.3 82920 96 5.2 33028 1819 22 2920 1827
5.2 7.2 27 5.2 7.2
− = −
− −
( )
( )
29 18 29 18 28 18 28 18 10
2 15 14
−
= = =
− Câu 2:
a) Ta có:
( ) ( ) ( )7 13
7 13
81 −27 −9 = − − 28 27 26
3 3 = − −
( )
26 26 24
3 3 45 45
= − − = =
b)
Có 12 12 12 12 100
N = + + + + >
Mặt khác 12 1 <1.2= −1
12 1
3 <2.3= −2
12 1
4 <3.4= −3
(24)12 1
100 <99.100=99−100
Nên N < 1 1 1 1 2 3 99 100
− + − + − + − = 1 100 − < Do < N < Vậy N không sốtựnhiên Câu 3:
a) Số học sinh nữkhối là: 3
8 5=20 (tổng số học sinh)
Số học sinh nam dự hội nghị là: 5
− = (tổng số học sinh)
Số học sinh nam khối là:
9 5=15 (tổng số học sinh)
Số học sinh dự hội nghị phải sốchia hết cho 15 20
Mà BCNN(15, 20 ) = 60 => BC(15, 20 ) = 0; 60; 120; 180; { …} Mà số học sinh khoảng từ100 đến 170 học sinh
=> Số học sinh dự hội nghị 120 em => Học sinh nam khối là: 120 16 (hs)
15 =
Học sinh nữkhối là: 120 18 (hs) 20 =
b)
Trong số a b c, , có hai sốcùng tính chẵn lẻ Giả sửhai sốcùng tính chẵn lẻ a b
Suy p = bc+ a sốnguyên tố chẵn nên p =
Suy a = b = Khi q = c + r = c + nên q = r
(25)a) Vì M thuộc tia đối tia CB nên C nằm B M
BM BC CM
=> = + = + = (cm)
b) Trên nửa mặt phẳng bờ MB điểm C nằm B M => Tia AC nằm hai tia AB AM
=> BAC+MAC=BAM
=> MAC =BAM −BAC= ° − ° = °80 60 20 c) Có Ax tia phân giác BAC=> 30
2
BAC
xAC= = °
Có Ay tia phân giác MAC => 10
MAC
yAC= = °
- Vì tia AC nằm hai tia AB AM mà tia Ax Ay, tia phân giác BAC MAC
=> Tia AC nằm hai tia Ax Ay
=> xAy=xAC+yAC= ° + ° =30 10 40°
d) TH1 Nếu K nằm đoạn BC BK = BC – CK = − =5 (cm)
TH2 Nếu K nằm đoạn CM BK = BC + CK = + =5 (cm) Câu 5: Giả sử 2019 sốnguyên dương a1, a2, , a2019 khơng có hai sốnào
1 2019 1; 2; ; 2019 2019 a < a < … < a => a ≥ a ≥ … a ≥ Khi đó:
1 2019
1 1 1 1
1 2019 2
(26)Vậy có số 2019 sốnguyên dương cho
ĐỀ SỐ7: ĐỀ THI CHỌN HỌC HSG OLYMPIC THÁNG TP HCM - NĂM 2019 Câu (4 điểm) Nếu ta lấy tổng tất cảcác chữ số sốtựnhiên có hai chữ sốnhân với kếtquả nhận lớn sốđã cho 1đơn vị Tìm sốtựnhiên có hai chữ sốđó Câu (3 điểm)Trong tất cảcác học sinh khối trường, có 37 học sinh tham gia
cuộc thi Toán, 49 học sinh tham gia thi Khoa học, 18 học sinh tham gia cảhai thi 83 học sinh không tham gia thi Hỏi khối trường có
học sinh
Câu 3. (3 điểm)Trong lớp có 21 bạn nam sốbạn nữ Tất học sinh đoàn viên đội viên Biết sốđội viên nữnhiều sốđồn viên nam Hỏi
lớp có tất cảbao nhiêu đội viên
Câu 4. (6 điểm) Có ba bình đựng nước Nếu ta rót
3 lượng nước từbình thứ sang bình thứhai rót
4 lượng nước có từbình thứhai sang bình thứba cuối rót
10 lượng nước có từbình thứba sang bình thứ bình có lít nước Hỏi lúc đầu bình chứa lít nước?
Câu 5. (4 điểm) ABCD hình vng cạnh 10cm
=
AB cm, CG=6cm AJ =5cm, CL=7cm Tính diện tích phần tơ đậm
-HẾT-
LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TP HỒCHÍ MINH - NĂM 2019 Câu Gọi sốtựnhiên có hai chữ số ab với a b, ∈{0;1; 2; ;9}
Ta có: 5.(a b+ =) 10a b+ + ⇒1 4b=5a+1 Từđó ta có:
4 = =
a
b = =
a b Vậy có hai số 34 79
K L I
J
F E B
C A
(27)Câu Số học sinh khối tham gia thi là: 37+49 18− =68(hs) Số học sinh khối trường là: 68 83 151+ = (hs)
Câu 3. Gọi xlà sốđoàn viên nam
Suy sốđội viên nữ x+5và sốđội viên nam 21−x
Vậy sốđội viên lớp là: x+ +5 21− =x 26 Câu 4. Sau rót
10 lượng nước có từbình thứba sang bình thứ lượng nước rót sang bình thứ
9 lượng nước lại, tức bình thứ nhận thêm 1(lit)
Do
3lượng nước bình thứ 8− = (lit)
Vậy lượng nước bình thứ là: :2 12 3= (lit) Sau rót
4 lượng nước có từbình thứhai sang bình thứba lượng nước rót sang bình thứba
3lượng nước cịn lại, tức bình thứba nhận thêm 3(lit)
Vậy lượng nước bình thứba : 3+ − =7(lít) Lượng nước bình thứhai là: 9.3 12 7− − =8(lít) Câu 5.
Ta có EF = AE+CG−AB= + −7 10=3cm
Suy diện tích hình chữ nhật EFGH 3.10=30cm2 Ta có: IJ = AJ+CE−AD= + −5 10=2 cm
Suy diện tích hình chữ nhật IJKLlà 2.10=20cm2 Diện tích phần tô đậm là: 30 20 3.2+ − =44cm2
K L I
J
F E B
C A
(28)ĐỀ SỐ8: ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN BÌNH GIANG - NĂM 2019 Câu 1: (2,0 điểm)
1 Thực phép tính:
( )
10 9 3 25 49
125.7 14 −
=
+
A
3 1
0, 0, 0,
17 37
5 5 7
3,
6 17 37
− + − + −
= +
− + − + −
B
( ) ( ) ( )
1 1
1 3 50
3 50
= − + + − + + + −⋅⋅⋅ − + + + ⋅⋅⋅ +
C
2 So sánh M N biết:
30 31 19
; 19
+ =
+ M
31 32 19 19 + =
+
N
Câu 2: (2,0 điểm)
1 Tìm x biết: 74 2018 2.72019 2019
− = ⋅ o
x
2 Tìm số nguyên x y, biết: xy+4x=25 + y
3 Tìm số nguyên x biết: 2x+2x+1+2x+2+ ⋅⋅⋅+2x+2015 =22019−8 Câu 3: (2,0 điểm)
1 Cho phân số: ( )
3
+
= ∈
+
n
P n
n
a) Chứng tỏrằng phân số P phân sốtối giản
b) Với giá trị n phân số P có giá trị lớn nhất?
2 Một học sinh từ lớp đến lớp qua 31 kì thi, số sốkì thi ởnăm sau nhiều sốkì thi năm trước sốkì thi ởnăm cuối gấp ba lần sốkì thi năm đầu Hỏi học sinh thi kì thi ởnăm thứtư?
Câu 4: (2,0 điểm)
1 Cho ba tia tia chung gốc Ox Oy Oz, , biết xOy=120 ,° xOz= °50 Gọi Om tia
phân giác yOz Tính xOm
2 Cho 2019 điểm phân biệt có điểm thẳng hàng, ngồi khơng có ba điểm thẳng hàng Cứ qua hai điểm ta vẽ đường thẳng Hỏi từ 2019 điểm vẽđược tất cảbao nhiêu đường thẳng?
Câu 5: (2,0 điểm)
1 Giả sử p 2 +
p sốnguyên tố Chứng tỏ p3+ p2+1cũng số nguyên tố
(29)LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN BÌNH GIANG - NĂM 2019 Câu 1: Thực phép tính:
( ) (( )) ( )
10 10 10 10
3 9 3 3
5 7
5 25 49 7 10
5 7
125.7 14
− − − − − = = = = = ⋅ + + + A
3 1 3 1 1
0, 0, 0,
17 37 17 37
5 5 7 5 7 7
3,
6 17 37 17 37
− + − + − − + − + −
= + = +
− + − + − − + − + −
B
1 1 1 1 1 1
3 16 17 37 2 3 4 5
1 1 1 1 35
5
6 17 37 − + − + − = + = − = ⋅ − + − − + − ( ) ( ) ( )
1 1
1 3 50
3 50
= − + + − + + + −⋅⋅⋅ − + + + ⋅⋅⋅ + C
(1 3) (1 4) (1 50 50)
1 1
3 50
+ + +
= − ⋅ − ⋅ − ⋅
( )
48
1 1 50
1 50
2
chữ số
+ + ⋅⋅⋅ + + + + ⋅⋅⋅ + + + + + ⋅⋅⋅ + + = − = −
(3 50 48) 48
2 24 53.12 612.
+ +
= − = − + =
2 So sánh M N biết:
30 31 19 ; 19 + = + M 31 32 19 19 + = + N
Ta có: 193031 19 193131 95 3190
19 19 19
+ +
= ⇒ = = +
+ + +
M M
31 32
32 32 32
19 19 95 90
19
19 19 19
+ +
= ⇒ = = +
+ + +
N N
Vì 31 32
90 90
19 +5>19 +5 nên 19M >19N ⇔M >N Câu 2: Tìm x biết: 2018 2019
3 2.7
2019
x− = ⋅
° 2018 2019
3 2.7
2019
x− = ⋅
°
4 2018 2019
3 2.7 16 14
⇔ x− = ⇔ x− =
10 16 14 30
2 16 14
3 = − = = ⇔ ⇔ ⇔ − = − = = x x x
x x x
Vậy 10;
∈ ⋅
(30)2 Tìm số nguyên x y, biết: xy+4x=25 + y Ta có: xy+4x=25 5+ y⇔x y( +4)=25 5+ y (1) +) Nếu y= −4 pt (1) vơ nghiệm
+) Nếu y≠ −4 pt (1) trởthành:
( )
5
5 25
5
4 4
+ + +
= = = +
+ + +
y y
x
y y y
Để x y, nguyên y+ ∈ ± ±4 { 1; 5} Lập bảng
4 +
y −5 −1
y −9 −5 −3
x 10
Vậy ( ) (x y, = 4; −9 , 0;) ( −5 , 10;) ( −3 , 6; ) ( )
3 Tìm số nguyên x biết: 2x+2x+1+2x+2+ ⋅⋅⋅ +2x+2015 =22019−8 Ta có: 2015 2019
2x+2x+ +2x+ + ⋅⋅⋅+2x+ =2 −8 ( 2015) 2019 2 2 2 ⇔ x + + + ⋅⋅⋅ + = −
( 2016 ) 3( 2016 )
2 2 2
⇔ x − = − ⇔ x= ⇔ =
x
Câu 3:
1 Cho phân số: ( )
3
+
= ∈
+
n
P n
n
a) Chứng tỏrằng phân số P phân sốtối giản Gọi d =ƯC(6n+5, 3n+2) (với d∈*)
6n d
⇒ + 3n+2d
(6n 5) (3n 2) d d d
⇒ + − + ⇔ ⇒ =
Vậy phân số P phân sốtối giản
b) Với giá trị n phân số P có giá trị lớn nhất? Ta có: 3( 2)
3 3
n n
P
n n n
+ + +
= = = +
+ + +
Với n∈ 2 1 5
3 2 2
n P
n n
+ ≥ ⇒ ≤ ⇔ + ≤ ⇒ ≤
+ +
Dấu “=” xảy ⇔ =n
Vậy n=0 phân số P có giá trị lớn 2⋅ Gọi sốkì thi a b c d e, , , , với *
, , , , ∈
a b c d e a< < < <b c d e
Theo đềbài ta có: a+ + + + =b c d e 31 e=3a
(31){ }
7 31 1; 2;
⇔ a+ ≤ ⇔ ≤ ⇒ ∈a a +) TH1: a= ⇒ =1 e
Khi 1< < < <b c d (khơng tìm b c d, , ∈* thỏa mãn) +) TH2: a= ⇒ =2 e
Khi 2< < < <b c d 6⇒ =b 3;c=4; d =5 (không thỏa mãn a+ + + + =b c d e 31)
+) TH3: a= ⇒ =3 e
Khi 9
3 31 19
< < < < < < < <
⇔
+ + + + = + + =
b c d b c d
b c d b c d
Nếu b=4 ( ) (c d, = 5; 10 , 6; , 7; 8) ( ) ( )⇒ =c 7;d =8 (thỏa mãn) Nếu b=5 ( ) (c d, = 6; , 7; 8) ( )⇒ =c 7;d =8 (thỏa mãn)
Nếu b=6 ( ) (c d, = 7; 6) (khơng thỏa mãn) Vậy học sinh thi kì thi ởnăm thứtư
Câu 4: Cho ba tia tia chung gốc Ox Oy Oz, , biết xOy=120 ,° xOz= °50 Gọi Om tia
phân giác yOz Tính xOm
TH1: Tia Oz tia Oy nằm nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox
+) Vì tia Oz nằm hai tia Ox Oy nên xOz+yOz=xOy
50 yOz 120 yOz 120 50 70
⇒ ° + = ° ⇔ = ° − ° = °
+) Vì tia Om tia phân giác yOz nên 1 70 35
2
xOm= xOy⇒xOm= ⋅ ° = ° +) Vì tia Oz nằm hai tia Ox Om nên xOm=xOz+zOm
50 35 85
xOm
⇒ = ° + ° = °
TH2: Tia Oz tia Oy nằm hai nửa mặt phẳng đối bờ chứa tia Ox
m
z y
(32)+) Vì tia Ox nằm hai tia Oz Oy nên xOz+xOy= yOz
50 120 yOz yOz 170
⇒ ° + ° = ⇔ = °
+) Vì tia Om tia phân giác yOz nên 1 170 85
2
yOm= yOz⇒ yOm= ⋅ ° = ° +) Vì tia Om nằm hai tia Ox Oy nên xOm +mOy=xOy
85 120 120 85 35
xOm xOm
⇒ + ° = ° ⇔ = ° − ° = °
2 Cho 2019 điểm phân biệt có điểm thẳng hàng, ngồi khơng có ba điểm thẳng hàng Cứ qua hai điểm ta vẽ đường thẳng Hỏi từ 2019 điểm vẽđược tất cảbao nhiêu đường thẳng?
+) Qua 2019 điểm phân biệt mà khơng có ba điểm thẳng hàng, ta vẽđược 2019.2018
2 037171
2 = (đường thẳng)
+) Qua điểm thẳng hàng, ta vẽ đường thẳng Nếu điểm không thẳng hàng vẽđược 7.6 21
2 = (đường thẳng) Sốđường thẳng giảm 21 1− =20 (đường thẳng)
Vậy vẽđược tất 037171 20− =2 037151(đường thẳng)
Câu 5: Giả sử p p2+2 sốnguyên tố Chứng tỏ p3+ p2+1cũng số nguyên tố
+) Với p=2 p2+ =2 khơng sốngun tố
+) Với p=3 p2+ =2 11 p3+ p2+ =1 37 sốnguyên tố +) Với p> ⇒ =3 p 3k±1(k∈,k≥2)
( )2 ( )
2 2
2 3 3
p k k k k k
⇒ + = ± + = ± + = ± + nên
2
p + hợp số Vậy có p=3 p2+2 p3+p2+1đều sốnguyên tố
2 Chứng tỏrằng 27 sốtựnhiên tùy ý tồn hai sốsao cho tổng hiệu chúng chia hết cho 50
z m y
(33)TH1: Nếu 27 sốtự nhiên có sốcó sốdư chia cho 50 hiệu chúng chia hết cho 50
TH2: Nếu 27 sốtựnhiên khơng có hai sốnào có sốdư chia cho 50
Sốdư chia cho 50 gồm: 0; 1; 2; ; 49 chia làm 26 nhóm: ( ) (0 , 1; 49 , 2; 48 , 24; 26 , 25) ( ) ( ) ( )
Chia 27 sốdư khác vào 26 nhóm trên, tồn sốcùng nhóm Suy tổng chúng chia hết cho 50
Vậy 27 số tự nhiên tùy ý tồn hai số cho tổng hiệu chúng chia hết cho 50
ĐỀ SỐ 9: ĐỀ HỌC SINH GIỎI QUẬN HÀ ĐÔNG NĂM HỌC 2018-2019 Bài 1: (4 điểm )
Tính giá trị
1) 1.2.3 100 1.2.3 99 1.2.3.98.99
2)
2 16
13 11 18
3.4.2 11.2 4
Bài 2: (6 điểm )
1) Tìm số tự nhiên xbiết : 19x 22.3 : 142 11 6 2
2) Cho A2xy10x 3y
Tìm số nguyên x y, để A28
3) Cho số abc37 chứng minh cab37
Bài 3: ( 3 điểm) Một tổ sản xuất phải làm xong số sản phẩm theo kế hoạch
ngày Ngày thứ làm
3 số sản phẩm Ngày thứ hai làm
5 số sản phẩm
còn lại Ngày thứ ba làm 107sản phẩm , so với kế hoạch thiếu 13 sản
phẩm Hỏi số sản phẩm cần làm theo kế hoạch Bài 4:( 6 điểm )
1) Cho hai góc kề bù xOy yOt, xOy 40.Gọi Om tia phân giác
yOt
a) Tính mOx
b) Trên nửa mặt phẳng khơng chứa Oy có bờ đường thẳng chứa tia Oxvẽ tia On
(34)2) Cho 5điểm A B C D E, , , , khơng có 3điểm thẳng hàng
a) Có đoạn thẳng mà đoạn thẳng nối điểm cho Kể tên
các đoạn thẳng
b) Có thể dựng đường thẳng không qua điểm điểm
cho mà cắt đoạn thẳng đoạn thẳng nói khơng ? giải thích
vì ?
Bài 5: (1 điểm )Tìm tất cặp số nguyên x y; thỏa mãn x2 x 32020y 1 LỜI GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HÀ ĐÔNG 2018-2019 Bài 1:
1) 1.2.3 100 1.2.3 99 1.2.3.98.99 1.2.3 99 100 99 0
2)
2
16 2 36
13 11 18 35
3.4.2 3 2
2 11.2 4 11 2 Bài 2:
1) 19x 22.3 : 142 11 6 2
19x 198350
19x 152
x
2) A2xy10x 3y
2xy10x 3y 28
2x y5 3y1513
2x y5 3 y5 13
2x 3y5131.1313.1 1 13 13 1
Từ ta có cặp x y; 1;18 ; 5;6 ; 2; ; 8;4
3) Vì abc37 nên 100.abc3710000a1000b100 37c
100c 10a b 9990a 999 37b
cab37 270 a 27b37 37
cab
Bài 3: Phân số số sản phẩm làm ngày thứ : 1 5
Phân số số sản phẩm làm ngày thứ : 1 15
(35)Do làm 107 và thiếu 13 sản phẩm nên số sản phẩm theo kế hoạch :
107 13 : 450 15
Vậy theo kế hoạch phải làm 450 sản phẩm
Bài 4:
a) Số đo góc yOt :
180 140
yOt xOy ( kề bù ) Do Omlà tia phân giác nên :
70
2
yOt
yOm
Vậy xOm xOyyOm 40 70 110
b) Ta có : xOmxOn 70 110 180
nên Om On hai tia đối
1)
a) Có 10 đoạn thẳng : AB AC AD AE BC BD BE CD CE DE, , , , , , , , ,
b) Ta nhận xét qua điểm khơng thẳng hàng đường thẳng khơng
qua điểm cắt nhiều hai đoạn thẳng
Tương tự qua điểm khơng có điểm thẳng hàng cắt
nhiều đoạn thẳng
Vậy qua điểm cắt đoạn thẳng nên không dựng được1 đường thẳng cắt đoạn thẳng
Bài 5:
Xét trường hợp y 0Khi : x2 x 2x x 1 2 x 1;x 2 vậy cặp x y;
thỏa
D
E
A
B C
n
m
t y
(36) 1;0 ; 2;0
Xét trường hợp y 0khi
2020
3 y 1 chia 3 dư 1 cịn x x 1 là tích hai số ngun liên tiếp nên chia hết cho 3 chia dư nên không xảy
Vậy cặp x y; thỏa : 1;0 ; 2;0
ĐỀ SỐ10: ĐÊ THI CHỌN LỌC HỌC SINH GIỎI HUYỆN KÌ ANH NĂM 2019 Câu 1 Thực phép tính
a) ( )2 { ( 2 2) 0 } : 25 18 : :11 2018
− − + −
b) ( 7 7 15) ( 14)2 11.3 −9 : 2.3
Câu 2.
a) Tìm x biết: 33x+3−2.33x+1=567
b) Tìm cặp sốnguyên dương ( )x y; thỏa mãn:
4
x y − = Câu
a) Với a b, số nguyên, chứng tỏrằng: a+4 13b chỉkhi 10a b+ 13 b) Cho 1 1 1
2 2018 20219
A= − + − + − +
1 1
1010 1011 2019 B= + + + Tính tỉ số A
B
Câu 4.Cho đoạn thẳng AB=7cm Trên tia đối tia BAlấy điểm Csao choBC=3cm, đoạn thẳng AClấy điểm M cho MB=2cm
a) Tính độdài đoạn thẳng AM
b) Gọi I Kthứtựlà trung điểm AMvà BC Tính độdài IK
c) Lấy điểm Dnằm ngồi đường thẳng AB So sánh ADB ADC Câu 5. Cho 12 12 12 2
1 2019
P= + + + +
(37)LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN LỌC HỌC SINH GIỎI HUYỆN KÌ ANH 2019 Câu 1.
a) ( )2 { ( 2) } : 25 18 : :11 2018
− − + −
[ ]
{ }
64 : 25 18 : 33 :11
= − −
{ }
64 : 25 18 :
= −
64 :16 = =
b) ( 7 11 15) ( 14)2 11.3 −9 : 2.3 ( 22 30) ( 28)
11.3 3 :
= −
( 29 30) ( 28) 11.3 :
= −
( ) 29 28 :
=
( ) 29 28
3 : 3.2
= = =
Câu 2.
a) 3 3x+ −2.3 x+ =567
3
3 27 2.3 3x − x =567
( )
3
3 27 6x − =567
3 21 567x =
3 x =567 : 21 3
3 x =3 Vậy 3x=3
x=1
b) Ta có:
4
x y − =
20
4
xy y −
= 2xy−40 12= y
(38)y x.( −6)=20 TH1: y=1 ⇒ − =x 20
x=26
Vậy:y=1, x=26(thỏa mãn)
TH2:y=20⇒ − =x
x=7
Vậy:y=20, x=7(thỏa mãn)
TH3:y=2 ⇒ − =x 10
x=16
Vậy:y=2, x=16(thỏa mãn)
Th4:y=10⇒ − =x
x=
Vậy:y=10, x=8(thỏa mãn)
TH5: y=4 ⇒ − =x
x=11
Vậy:y=4, x=11(thỏa mãn) TH6:y=5⇒ − =x
10
x=
Vậy: y=5, x=10(thỏa mãn) Câu 3
a) Ta có: a+4 13b ⇒10.(a+4b)13 (1)
Lại có: 10(a+4b)=10a+40b=10a b+ +39a Mà 39 13a (2)
Từ (1) (2) ⇒10a b+ 13 b) Ta có:
1 1 1
1
2 2018 20219
A= − + − + − +
(39)1 1 1 1
1
3 2019 2018
A= + + + + − + + + +
1 1 1 1 1
1
2 2018 2019 2018
A= + + + + + + + − + + + +
1 1 1 1 1
1
2 2018 2019 1009
A= + + + + + + + − + + + + +
1 1
1010 1011 2018 2019 A= + + + +
1 1
1010 1011 2018 2019 1
1 1
1010 1011 2018 2019 A
B
+ + + +
= =
+ + + +
Câu 4.
a) TH1
Ta có: BA=7cm, BM =2cm
BA BM
⇒ > (7>2), nên M nằm hai điểm A B;
Vậy AB=MA MB+
7
AM AB MB
⇒ = − = − = (cm) TH2:
Có tia BAvà tia BMlà hai tia đối nên Bnằm hai điểm M A;
Vậy: MA=AB+BM = + =7 9(cm)
b) Vì Ilà trung điểm AM nên 1.5 2,
2
IM = AM = = (cm) Vì Klà trung điểm BCnên 1.3 1,
2
BK = BC= = (cm) Có MI MB; tia đối nên M nằm hai điểm I B; Vậy: IB=IM +MB=2, 2+ =4, 5(cm)
(40)Vậy: IK =IB+BK =4, 1, 5+ =6(cm)
c) Ta có BAvà BClà hai tia đối nên Bnằm hai điểm Avà Cnên tia BD
nằm hai tia ADvà DC Vậy ADB<ADC Câu 5.
Ta có:
1 =
2 1
<1
2 1
<2 ……
2
1 1
2019 < 2018 2019
1 1
1
1.2 2.3 3.4 2018.2019 P
⇒ < + + + + +
1 1 1 1
1
2 3 2018 2019
P
⇒ < + − + − + − + + −
2
2019 P
⇒ < −
Vậy Pkhông phải sốtựnhiên
ĐỀ SỐ 11: ĐÊ THI CHỌN LỌC HỌC SINH GIỎI HUYỆN LƯƠNG TÀINĂM 2019 Bài 1(3,0 điểm )
1)Tính cách hợp lý a)78.2337.7840.78
b) 155 2. 15 105
7 7
c) 5.79 211 7129 13.7
2)Cho 2002
1 2 2 2
A 2003
2
B So sánh A B; Bài 2( 2;0 điểm )
1)Tìm x biết
a) 3 5 2
(41)b) 1 1 1 16
12 20 30 42 56 72
x x x x x x
2)Có hai loại xe trọng tải 11 tấn.Nếu xe chởđúng trọng tải cần loại xe để chở hết 58 hàng
Bài 3(2,5 điểm )
1)Tìm x y; nguyên biết : x y xy40
2)Tìm sốtựnhiên có ba chữ sốbiết chia sốđó cho số 25; 28;35 số dư 4;7;14
3)Cho 22 sốnguyên dương x x x1; 2; 3, ;x22 biết
1 22
1 1
x x x x
Chứng minh tồn hai sốbằng Bài 4(2 điểm )
1)Trên đường thẳng x x' lấy điểm O tùy ý.Vẽhai tia Oy Oz nằm nửa mặt phẳng bờ x x' cho xOz40 x Oy' 3xOz
a)Trong ba tia Ox Oy Oz; ; tia nằm hai tia lại b)Gọi Oz' tia phân giác góc x Oy' Tính góc z Oz'
2)Cho n đường thẳng hai đường thẳng cắt ; khơng có ba đường thẳng đồng qui.Biết tổng sốgiao điểm 465 Tìm n
Bài 5(0,5 điểm )
Cho 10 sốtựnhiên a a a1; 2; 3; ;a10 Chứng minh tồn số tổng
sốcác sốliên tiếp dãy chia hết cho 10
HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1:
a) Ta có:
78 23 37 78 40 78 78 23 78 37 78 40 78 233740 78 100 7800
b) 155 2. 15 105
7 7
15 12 15 105 15 12 1 15 2 31
7 105 7
c)
11 12 11 11
2
9 9
5.7 7 (5 7) 12
7 49 13.7 13 12
2) Ta có
2 2003
2A 2 2 2 2 2
2002 2003 2002 2003
2A A 2 2 2 2
Hay 2003 2003
2 1 2
A B A B Bài 2:
1a) 3 5 2 3 3
7x11 2 200 7x11 32.25200100010
7x 11 10 7x 21 x 3
(42)1b)Ta ý :
1 1
1 1
n n
n N
n n n n n n
Ta xét tổng sau
1 1 1 1 1 1
12203042 56723.44.55.66.77.88.9
1 1 1 1 1 1 1
3 4 5 6 7 8 9
Phuong trình cho 1 1 1 1 16 16
12 20 30 42 56 72 9
x x
1 8 9
x x
2)Ta gọi x y; ( với x y; N*) sốxe trọng tải 11 cần tìm Ta có 4x11y5811y58 1 y
Mặt khác ta lại có
4x11y584 x3y 58 y 56 y y x3y14
Như y2 4 ta kết hợp với 1 y y Với y 2 4.x11.2584x36 x
Kết luận : Ta cần tổng cộng xe trọng tả4 xe trọng tải 11 để chở hết 58 hàng
Bài 3:
1)Ta có x y xy40 x y xy 1 41 1 1 41 1 1 41
x y y x y
Mà 41 chỉcó cách phân tích thành tích cặp sốnguyên sau
41 1 ( 41) 1.41
1 1; 41 41; 1
1 1; 41
1 41; 1
x y x y x y x y 0; 40 40; 2; 42 42; x y x y x y x y
b)Ta gọi xabc ( 0 a 9;0b c; 9; ; ;a b cN) sốtựnhiên có chữ số cần tìm
Theo giảthiết x chia cho 25; 28;35 ta sốdư 4;7;14
21 25 25
28 ( ; ; ) 21 28
35 14 21 35
x
x m
x n m n p N x
x p x
(43)3)Giả sử 22 sốnguyên dương x x x1; 2; 3; ;x22 22 sốnguyên dương phân biệt ( nhận giá trịkhác )
Như thếta có thểgiả sử thứtự 22 sốnày sau :
1 21 22 1; 2; 3; ; 21 21; 22 22
x x x x x x x x x x
Khi
1 22
1 1 1 1
2 22
x x x x
Ta có 1 2 3 ;
1 1
1
4 5 ;
1 1
8 9 15 8 ;
1 1
1617 2216
1 1 71
1 1 1
2 22 16 16
1 22
1 1
x x x x
mâu thuẫn với giảthiết
Vậy điều ta giả sửkhông thể xảy nên 22 sốnguyên dương x x x1; 2; 3; ;x22
phải có hai sốbằng Bài 4:
1)
a) Ta có x Oy' xOy180 ( tổng hai góc kềbù )
mà theo đề x Oy' 3.xOz3.40
120 xOy 60
Như xOz40 xOy 60 Mà hai tia Oz Oy; nằm nửa mặt phẳng bờ x x' nên tia Oz nằm hai tia Oy Ox;
b)Ta có x Oy' 120 mà Oz' tia phân giác
1
' ' ' ' ' 120 60
2
x Oy yOz x Oz x Oy Ta có zOyxOy xOz 60 40 20
Mặt khác dox Oz' 180xOz180 40 140 x Oy' 120 nên tia Oy nằm hai tia Ox Oz'; Oy nằm Oz Oz'; z Oz' z Oy ' yOz 60 20 80
2)Xét đường thẳng thứ ta có sốgiao điểm đường thẳng với đường thẳng lại : n1
Tương tựcac đường thẳng thứ 2;3; 4, n đường thẳng tạo : n1 ( giao điểm)
Như sốgiao điểm n đường thẳng : n n 1
Vì hai đường thẳng cắt lần tạo giao điểm nên ta có sốgiao điểm n đường thẳng thực : 1
2 n n
Theo giảthiết : 1 465 1 930
2 n n
n n
; cách thửtrực tiếp ta chọn n31
z' y
z
x x'
(44)Kết luận : n31 ( đường thẳng )
Bài 5:
Xét 10 tổng sau : S1a1 ; S2 a1 a2 ; S3 a1 a2a3 ;… :
10 10
S a a a a
Nếu 10 tổng tồn tổng chia hết cho 10 tốn chứng minh
Ta di xét trường hợp : 10 tổng S S1; 2; ;S10 không chia hết cho 10
Do sốdư phép chia S S S1; 2; 3; ;S10 cho 10 chỉcó thể thuộc tập hợp
1; 2;3; 4;5;6;7;89
A gồm 9 phần tử theo ngun lý Đi rich lê ln tồn tổng S S ii; j j;1 i j 10có sốdư chia cho 10
Sj Si10 ai1 ai2 aj10
ta có điều cần chứng minh
ĐỀ SỐ12: ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NGA SƠN - NĂM 2019 Câu 1. (3,0 điểm) Thực phép tính đểtính giá trị biểu thức sau:
a) 136 28 62 21
15 10 24
= − + ⋅
A
b) 70 131313 131313 131313 565656 727272 909090
= ⋅ + +
B
c) 13
2.1 1.11 11.2 2.15 15.4
= + + + +
C
Câu (4,0 điểm)
a) Tìm x, biết: a)
4x− − = ⋅2 b)
2 2 x− −2.5 =5 b) Tìm sốtự nhiên abcde, biết abcde2 3.2= abcde
c) Chứng tỏrằng phân số
5
+ + n
n tối giản với sốtựnhiên n Câu (4,0 điểm)
a) Cho 5 5
20 21 22 49
= + + + ⋅⋅⋅ + ⋅
S Chứng minh rằng: 3< <S
b)Trong thi có 22 câu hỏi, câu trả lời 15 điểm, câu trả lời sai bịtrừ10 điểm Một bạn học sinh tất cả155 điểm Hỏi bạn trả lời câu?
Câu 4. (3,0 điểm)
a) Cho 1998
1999 1999 1999 1999
= + + + ⋅⋅⋅+ ⋅
(45)b) Tìm sốtựnhiên n lớn có chữ sốthỏa mãn điều kiện: nchia cho dư 7, chia cho 31 dư 28
Câu 5. (5,0 điểm)
1) Cho ba đoạn thẳng ởtrên đường thẳng có đầu mút chung Đoạn thẳng thứ
25 đoạn thứ hai đoạn thứba
3đoạn thứ hai Tổng số độdài cảba đoạn thẳng 248cm
a) Tính độdài đoạn thẳng
b) Tính độdài đoạn thẳng có đầu mút trung điểm đoạn thẳng thứhai đoạn thẳng thứba
2) Bạn An vẽđược sốtia chung gốc A Bạn Bình vẽđược sốtia chung gốc B Biết bạn Bình vẽđược nhiều bạn An tia tổng sốgóc hai bạn vẽđược 100 Hỏi bạn vẽđược tia?
Câu 6. (1,0 điểm)
Tìm tất cảcác sốnguyên dương n biết n cộng với tổng chữ số 2013
-Hết -
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG TOÁN – NĂM HỌC 2018 - 2019 (HUYỆN NGA SƠN)
Câu 1.
a) Ta có: 136 28 62 21 136 28 31 136 136
15 10 24 15 5 15 15 15
= − + ⋅ = − + ⋅ = + ⋅ = + ⋅
A
29 203 24
= ⋅ =
b) 70 131313 131313 131313 70 13 13 13 70 13 70 13 70 13 565656 727272 909090 56 72 90 56 72 90
= ⋅ + + = ⋅ + + = ⋅ + ⋅ + ⋅
B
5.13 35.13 7.13 5.13.9 35.13 7.13.4 5.13.9 35.13 7.13.4
4 36 4.9 36 9.4 36
+ +
= + + = + + =
5.13.9 35.13 7.13.4 1404 39
36 36
+ +
(46)c) 13 13 13
2.1 1.11 11.2 2.15 15.4 11 22 30 60 30 60 11 22
= + + + + = + + + + = + + + +
C
5.30 1.2 13 4.2 150 13 165 11 11 13 2.30 30.2 60 11.2 22 60 22 60 22 4
+ + + = + + + + = + = + = + = Câu 1) a)
5 9
7
5 5 5 8
7 7
5 9
4 8
7
4 8
− = = + − − = ⇒ − = + ⇒ − = ⇒ ⇒ − − − = = + x x
x x x
x x
5 65 65 13 :
4 8
47 47 47
:
10
4 8
= = = ⇒ ⇒ ⇒ = = =
x x x
x
x x
Vậy 13; 47
2 10
= = ⋅
x x
b) 2 2 ( ) 3
5 x− −2.5 =5 3⇒5 x− =5 2.5+ ⇒5 x− =5 2+ ⇒5 x− = ⇒5 2x− =3
2 3
⇒ x = + ⇒ x = ⇒ =x Vậy x =
2) Ta có: ( )
2 3.2= ⇒ 10 2.10+ = +
abcde abcde abcde abcde
10 3.2.10
⇒abcde − abcde= −
600000 600000 85714
− ⇒ abcde = − ⇒abcde = = Vậy số cần tìm là: 85714
3) Gọi (3 2, 3) 15 10 1
5 15
+ + + + = ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ = + +
n d n d
n n d d d
n d n d
Vậy
5
+ + n
n tối giản với sốtựnhiên n Câu
a) Ta có: 5 5 1 1 30
20 21 22 49 50 50 50 50 50
= + + + ⋅⋅⋅ + > + + + ⋅⋅⋅ + = ⋅ ⋅ =
S
(47)Tương rự: 5 5 1 1 30 15 20 21 22 49 20 20 20 20 20
= + + + ⋅⋅⋅ + < + + + ⋅⋅⋅ + = ⋅ ⋅ =
S
15 ( )2 ⇒ <S
Từ (1) (2) ⇒ < <3 S (đpcm)
b) Giả sửbạn học sinh trả lời xcâu trả lời sai ycâu ( * ) , ∈; >
x y x y
Có: 15x−10y =155 ⇒3x−2y =31 1( ) Mà: x+ =y 22 ⇒2x+2y =44 2( )
Cộng vế với vế (1) với (2) ta được: 5x =75⇒ =x 15⇒ =y Vậy bạn học sinh trả lời 15 câu trả lời sai câu Câu 4.
a) Có: ( 2) ( 4) ( 1997 1998)
1999 1999 1999 1999 1999 1999
= + + + +⋅⋅⋅ + + ⋅⋅⋅ +
A
( ) 3( ) 1997( )
1999 1999 1999 1999 1999 1999
= + + + +⋅⋅⋅ + +
1997
1999.2000 1999 2000 1999 2000
= + +⋅⋅⋅ +
( 1997)
2000 1999 1999 1999
= + +⋅⋅⋅ +
2000
⇒ A (đpcm)
b) Ta có: ( *) 72 65
,
31 28 28 31 28 93 31 65 31
= + − − + +
⇒ ∈ ⇒ ⇒ ⇒
= + − − + +
n x n n n
x y
n y n n n
⇒ +n 65∈BCNN(8, 31) ={248; 496; 744;992} {183; 431; 679;927} 927
⇒ ∈n ⇒ =n (vì n lớn có chữ số) Vậy số cần tìm là: 927
Câu 5.
1) a) Độdài đoạn thẳng thứhai là: 248 : 1 25 + +
= 150 (cm) Độdài đoạn thẳng thứ là: 150 48 cm( )
(48)Độdài đoạn thẳng thứba là: 150 50 cm( )
⋅ =
b) Độdài đoạn thẳng nối trung điểm đoạn thư hai thứba là: (150 50) 100 cm( )
+ = 2) Nếu bạn An vẽđược xtia, bạn Bình vẽđược ytia ( *)
, ∈
x y
Sốgóc bạn An vẽđược là: ( 1)
− x x
(góc)
Sốgóc bạn Bình vẽđược là: ( 1) ( 1)( 1) ( 1)
2 2
− + + − +
= =
y y x x x x
(góc) (Vì:y= +x 1) Mà: ( 1) ( 1) 100
2
− +
+ =
x x x x
( 1) ( 1) 200
⇒x x− +x x+ = ⇒x(x− + +1) (x 1)=200 200
⇒x x= ⇒x x =100 ⇒ =x 10 (TM)
Vậy bạn An vẽđược 10 tia, bạn Bình vẽđược 11 tia Câu 6.
Ta có: ( ) 2013 =
+ = ⇒
= n
n abc S n
n abc
TH1: Nếu n=1abc⇒1abc+ + + + =1 a b c 2013⇒1000+abc =2012− + +(a b c) ⇒abc ≥1012 27 985− = ⇒ =a
9 985 ⇒ bc ≥ ⇒ ≥b
Nếu b= ⇒ =8 c {5; 6; 7;8;9} (KTM) Nếu b= ⇒9 2c=5(KTM)
TH2: Nếu n=2abc⇒2abc+ + + + =2 a b c 2013⇒2000+abc +(a b c+ + =) 2011
( ) 11
+ + + = ⇒ =
abc a b c a
( ) 11
⇒bc + + =b c
(49)ĐỀ SỐ 13: ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NGHĨA ĐÀN- NĂM 2019
Câu 1: (4,5 điểm)
1 Tính giá trị biểu thức:
a) 2019 2018
2019 2019
A= − − −
b) 1 1 1
5 100
B= − − −
2 Cho 11 152 3 2019504
3 3
A= + + + + Chứng minh A< Câu 2: (4,5 điểm)
a) Số học sinh trường khoảng 500 đến 700 học sinh Khi xếp hàng người, người, 10 người thừa người Tính số học sinh trường đó? b) Hãy so sánh M N với
2018 2019 10 10
M = +
+
2019 2020 10
10
N = +
+ c) Tìm hai sốnguyên tố x y, thỏa mãn x2−y2 =45
Câu 3: (3,0 điểm) Tìm x biết:
a) x− + =
3
) 27
4
b −x =
Câu 4: (3,0 điểm) Cho
2 n A
n + =
− (n≠2)
a) Tìm số nguyên n để A số nguyên
b) Tìm số nguyên n để A có giá trị lớn nhất, tìm giá trị nhỏ
Câu 5: (5,0 điểm) Trên tia Ax lấy hai điểm M, N cho AM =5cm, AN=3cm a) Tính độdài đoạn thẳng MN;
b) Lấy điểm O nằm đường thẳng AM, giả sử AON =35 ,° AOM = °50 Tính sốđo góc MON;
c) Vẽ tia OE OF, (E F, ∈Ax) tia phân giác góc AON
MON Tính sốđo góc AOM FOE= °30
(50)Câu 1: a) 2019 2018
2019 2019
A= − − −
1
2019 2018
2019 2019
= − − +
1
2019 2018
2019 2019
= − − + =
Vậy A=1
b) 1 1 1
5 100
B= − − −
5 99 100
5 99 100
− − − −
=
4 98 99
5 99 100 100 25
= = =
Vậy 25 B=
2 11 152 3 2019504
3 3
A= + + + +
Ta có: 11 152 2019503
3 3
A= + + + +
Suy 11 152 2019503 11 152 3 2019504
3 3 3 3
A− =A + + + + − + + + +
2 503 503 504 11 15 11 2019 2015 2019
2
3 3 3 3
A= + − + − + + − −
2 503 504
4 4 2019
2
3 3
A= + + + + −
2 503 504 1 1 2019
2
3 3 3
A= + + + + + −
Đặt 12 13 5031
3 3
B= + + + +
2 502
1 1
3
3 3
B= + + + +
2 502 503
1 1 1 1
3
3 3 3 3
B− = + +B + + − + + + +
2 502 502 503
1 1 1 1
2
3 3 3 3
B= + − + − + + − −
503
2
3 B= −
503 1
1
B= −
(51)Do 1 5031 2019504
2 3
A= + − −
503 504
2 2019
3
= + − − 5032 2019504
3
= − −
503 504
9 2019
2 2.3
A= − − < Do A<
Câu 2: a) Gọi số học sinh trường a (500< <a 700) (học sinh)
Theo đềbài: Xếp hàng người, người, 10 người thừa người nên (a−1) chia hết cho 7, 8, 10
Suy a−1 thuộc BC(7, 8, 10) (7, 8, 10) 280
BCNN =
{ }
1 280; 560; 840;
a− ∈
Vì 500< <a 700 nên a− =1 560 Do a=561
Vậy trường có 561 học sinh
b) ( )
2018 2019
2019 2019 2019
10 10 10 10 9
10
10 10 10
M = + = + = +
+ + +
( 2019 ) 2020
2020 2020 2020
10 10 10 10 9
10
10 10 10
N = + = + = +
+ + +
Ta thấy 20199 20209
10 +1>10 +1 nên 10M >10N Do M >N c) Ta có: 2
45 x = +y Ta thấy
45
x > x sốnguyên tố nên x phải sốnguyên tố lẻ Suy x2
số lẻ
Từđó suy
y số chẵn, mà y sốnguyên tố Suy y=2; x=7
Vậy x=7 y=2 thỏa mãn yêu cầu toán Câu 3: a)
4 x− + =
1
3
4 x− = −
11
3
4 x− =
(52)11
3
4 x = +
35
4 x=
35 12
x = (TM x≥2 ) *TH 2: 3x− < ⇒ <6 x 11
4 x
− = 11
3
4 x
− = −
13
4 x −
− =
13 12
x = (TM x<2) Vậy 35
12
x= ; 13 12
x=
b) x 27 − = −
1
4 x
− − =
1 x − − = −
7 12 x − − =
7 12 x= Vậy
12 x=
Câu 4: a) Ta có: n A
n + =
−
( )
2
n n
− + =
−
7
2 n = +
− Để A sốnguyên
2
n− phải số nguyên
Do (n− ∈2) ( )Ö mà Ö( ) {7 = ± ±1; 7}, nên ta có bảng sau:
2 −
n -7 -1
(53)TM n∈ TM n∈ TM n∈ TM n∈
Vậy n∈ −{ 5; 1; 3; 9} A số ngun b)
* Tìm A có giá trị lớn Ta có:
2 A
n = +
−
Để A đạt GTLN
n− có GTLN, n−2 sốnguyên dương nhỏ Với n− =2 suy n=3
Khi A= + =
Vậy A có giá trị lớn n=3
* Tìm A có giá trị nhỏ Ta có:
2 A
n = +
−
Để A đạt GTNN
n− có GTNN, n−2 sốnguyên âm lớn Với n− = −2 suy n=1
Khi A= − = −2
Vậy A có giá trị nhỏ −5 n=1
Câu 5:
a) Trên tia Ax có AM > AN(5>3) nên điểm N nằm hai điểm A M Suy MN =AM −AN
5 MN = − = Do MN =2cm
b) Vì điểm N nằm hai điểm A M x
E F
A O
(54)O điểm nằm đường thẳng AM
Suy ON nằm hai đường thẳng OA vàOM
Ta có: NOM = AOM−AON = ° − °50 35 Suy NOM = °15 c) Vì OE phân giác AON nên AOE=EON
OF phân giác MON nên NOF =FOM Suy EON +NOF = AOE+FOM
Mà EOF = °30 , suy EON +NOF =AOE+FOM = °30 Do EON +NOF+AOE+FOM = ° + ° = °30 30 60
ĐỀ SỐ 14: ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN NHƯ THANH 2018 - 2019 Câu 1. (4,5 điểm) Tính
a) ( )2
2 131 13 A= − − − b) 715 15216
5.2
B= −
c) 1 1 1
20 30 42 56 72 90
C= − +− +− +− +− +−
Câu (4 điểm)
1 Tìm x biết: a) 2
5 x+ −2.5 =5
b) ( 2) ( )2 2
19 x− +1 2.5 :14= 13 8− −4
c) 2019
4 2019
x
x
−
= −
2 Tìm số x, y nguyên tốđể x2+23= y3 Câu 3. (4 điểm)
1 Cho 2019
5 5 5 5
S= + + + + + + +
a) Chứng tỏ S chia hết cho 21
b) 4S+5 có phải sốchính phương hay không ?
2 Chứng minh hai số 2n+1 10n+7 hai sốnguyên tốcùng với sốtựnhiên n
Câu 4. (5.5 điểm)
1 Cho góc xOy có sốđo 1200 Trên tia Ox lấy hai điểm A B cho
OA= cm, OB=5cm
(55)Vẽtia Oz nằm góc xOy cho góc xOz có sốbằng hai lần góc zOy Gọi
Ot tia phân giác góc xOz Chứng tỏrằng Oz tia phân giác góc tOy
Cho 2018 điểm phân biệt, có 3 điểm thẳng hàng, cứqua 2 điểm ta vẽ đường thẳng Hỏi vẽđược tất cảbao nhiêu đường
Câu 5. (2 điểm)
1 Cho *
n∈ n+1 2n+1 sốchính phương Chứng minh nchia hết cho 12
2 Chứng minh 1 1
5+ + + +7 101 không sốtựnhiên
LỜI GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN NHƯ THANH 2018 – 1019 Câu
a) Ta có :
( )2 ( )
4
2 131 13 16.5 131 A= − − − = − −
( )
80 131 81 80 50 30
= − − = − =
b)
( )
15 15 16
15 15
2
2
1 5.2 5.2
B= − = − = =
c)
1 1 1 20 30 42 56 72 90
C= − +− +− +− +− +−
1 1 1 4.5 5.6 6.7 7.8 8.9 9.10
= − + + + + +
1 1 1 1 1 1 5 6 7 8 9 10
= − − + − + − + − + − + −
1 10 20 − = − + = Câu
1
a) Ta có: 2 x+ −2.5 =5
2 x+ =5 2.5+
( )
2 x+ =5 2+
(56)2x=0 x=
b) Ta có:
( 2) ( )2 19 x− +1 2.5 :14= 13 8− −4 (19 x− +1 2.25 :14) =25 16− 19 x− +1 50=9.14
19 x− =1 76 76 :19 x− = =
Vậy x− =1 x− = −1 Do x=5hoặcx= −3
c) Ta có:
2019 2019
x
x
− =
−
( )2
2019
x− =
( )2 2
2019
x− =
2019 x− =
2 2019 x= +
2021 x= .
- Nếu sốnguyên tố lẻthì y3 =x2 +23 số chẵn Vậy y3 =2 (loại) - Nếu x=2 y3 =22+23=27 Vậy y=3
Câu
1. Ta có:
( ) ( ) ( )
2 2019 2017 2018 2019 5 5 5 5 5 5 5 5
S= + + + + + + + = + + + + + + + + +
( 2) (4 2) 2017( 2) 5 5 5 5 = + + + + + + + + +
( 2)( 2017) 5 5 = + + + + +
( 2017) 31 5 31 = + + + 2. Ta có :
2020 4S=5S− =S −5 Suy 2020
4S+ =5 số phương 3. Đặt d =UCLN(2n+1,10n+7)
Suy 2n+1d Vì 2( n+1)d Mà 10n+7dnên 10n+ −7 2( n+1)d
(57)Do d =2hoặc d =1 Nếu d =2thì 2n+1 2 (vô lý)
1 d ⇒ =
( )
1=UCLN 2n+1,10n+7
Vậy 2n+1và 10n+7 hai sốnguyên tốcùng Câu (5.5 điểm)
1.
a) Vì M trung điểm OA nên
1, 2
OA
OM =MA= = = cm
Vì O ,A, B nằm tia Ox
OA<OBnên A nằm O B Do
5 AB=OB OA− = − = cm
Mà N trung điểm AB nên
1 2
AB
NA=NB= = = cm
Suy
1, 2,
MN=MA+AN = + = cm
b) Vì xOz=2zOy xOz+zOy=xOy
nên
2zOy+zOy=xOy=120 hay
3zOy=120 Vậy
40 zOy=
0
120 40 80 xOz
⇒ = − = Thiếu dấu góc Vì Ot tia phân giác góc xOZ nên
800
40 2
xOz
xOt=tOz= = =
Vì Oz nằm Oy, Ot yOz=zOtnên Oz tia phân giác yOt
2. Qua 2 điểm ta vẽđược đường thằng Vậy với 2018 điểm có:
2018.2017
2035153
2 = đường thẳng
Vì có 3 điểm thẳng hàng nên 3 đường thẳng tạo từ 3 điểm
trùng
Vậy có tất 2035153 2− =2035151đường thẳng
y
x z
t
M A N B
(58)Câu
1 Vì 2n+1là sốchính phương lẻ nên 2n+1 chia dư Do n4 (1) - Nếu n=3k+1,k∈ n+ =1 3k+2,k∈ khơng sốchính phương
- Nếu n=3k+2,k∈ 2n+ =1 6k+5,k∈ khơng sốchính phương số
này chia dư 2, mà số phương chia chỉdư
Vậy n3 (2) Từ(1) (2) suy n12
2
1 1 5+ + + +7 101
Quy đồng với mẫu số chung 5.7.9..101 Nhận thấy tử số phân số 1 1, , , ,
5 99 quy đồng chứa thừa số nguyên tố101 phân số
101 quy đồng khơng có thừa sốngun tố101
Vì thếsau cộng phân số lại tử sốkhông chia hết cho sốnguyên tố101
mẫu số chia hết cho 101 Suy tổng phân sốtrên không sốtựnhiên
ĐỀ SỐ 15: ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN NÔNG CỐNG 2018 - 2019 Câu 1.(4.5 điểm)
1) Tính hợp lí giá trị biểu thức sau: 15 20
9 19 29 5.4 4.3
) ;
5.2 7.2 27
2 2
)
60.63 63.66 66.69 117.120 a A
b B
− =
−
= + + + +
2) Cho biểu thức 100 2
C= + + + + Tìm 𝑥để
2 x− − =2 C
Câu (5,5 điểm)
1) Tìm cặp số nguyên (𝑥;𝑦)thỏa mãn : 1
5
x
y + =
−
2) Tìm sốnguyên tốab a( > >b 0), biết ab ba− sốchính phương
3) Tìm sốtựnhiên có ba chữ số, biết chia sốđó cho số25; 28; 35ta sốdư 5,8,15
Câu 3.( 3,0 điểm)
1) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: |x-2018|+(y+2019)2018+2020 2) Chứng tỏrằng : 2! 2! 2! 2!
3! 4! 5! !
S
n
= + + + + < (với n∈N n; ≥3) Câu 4.(5,0 điểm)
(59)2) Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia 𝑂𝑥 vẽhai tia 𝑂𝑦,𝑂𝑧 cho 𝑥𝑂𝑦� = 50° 𝑥𝑂𝑧� = 100° Vẽtia 𝑂𝑦′là tia đối tia 𝑂𝑦
a) Tính sốđo 𝑦�′𝑂𝑧
b) Trên mặt phẳng có bờlà đường thẳng xy chứa tia 𝑂𝑧, vẽthêm n tia phân biệt ( khơng trùng với tia 𝑂𝑦,𝑂𝑦′,𝑂𝑧) có tất cảbao nhiêu góc?
Câu 5.(2.0điểm)
1) Cho sốtựnhiên 𝑎,𝑏,𝑐,𝑑 ∈ 𝑁* thỏa mãn đẳng thức 2 2
a +b =c +d Chứng minh số𝑎+𝑏+𝑐+𝑑 hợp số
2) Cho 22 33 44 9999 100100 3 3 3
S= − + − + + − Chứng tỏrằng
16
S<
HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1) Ta có:
15 20 30 18 20 27 19 29 19 19 29 18 30 18 29 20
28 19 29 18 29 18 28 18
5.4 4.3 5.2 3 20
5.2 7.2 27 5.2 7.2 5.2 3
5.2 7.2 3 (5.2 )
2 (5.3 7.2)
A= − = −
− − − = − − = = −
2 2
)
60.63 63.66 66.69 117.120
2 3 3
3 60.63 63.66 66.69 117.120
2 1 1 1 1
3 60 63 63 66 66 69 117 120
2 1
3 60 120 180 b B B B B = + + + + = + + + + = − + − + − + + − = − =
2) Ta có:
2 100
2 101
101
2 101
2 2
2 2 2
– –
2
2 2
101
x x C
C
C C C
Mà C x x − − = + + + +…+
=> = + + + +…+
=> = =
− = => − = − => − =
=> =
Câu Ta có : 1
5
x x
y y
+
+ = => =
− −
=>(x+5)(y-1) =
(60)x+5 -5 -1
y-1 -1 -5
x -10 -6 -4
y -4
Vậy cặp số nguyên cần tìm : (x,y)={( 4; 6), (0; 2), ( 6; 4), ( 10, 0)− − − } 1) Ta có ab ba− =10a b+ −10b a−
=>ab ba− =9(a b− )
=> ( )
ab ba− = a b−
Để ab ba− sốchính phương 𝑎 − 𝑏 sốchính phương
Do 𝑎,𝑏là chữ số 0<a b, ≤ => ≤ − ≤9 a b =>(𝑎 − 𝑏) sốchính phương (a b− ∈) { }1,
+Nếu a b− = ⇒1 ab∈{21, 32, 43, 54, 65, 76,87, 98}mà ab sốnguyên tố số lẻ =>ab=43
+Nếu a b− = ⇒4 ab∈{51, 62, 73,84, 95}mà ab sốnguyên tố số lẻ =>ab=73
Vậy ab∈{43; 73}
2) Gọi số cần tìm a(a∈N;100≤ ≤a 999)
Vì chia a cho số25,28,35 có sốdư 5,8,15 nên𝑎+ 20chia hết cho
25,28,35
20 (15,18, 25)
a BC
⇒ + ∈
𝐵𝐶𝑁𝑁(25,28,35) = 700
{ }
{ }
20 (700) 700;1400; 680,1380;
a B
a
⇒ + ∈ =
⇒ ∈
Vì 𝑎 sốtựnhiên có ba chữ sốthỏa mãn điều kiện nên 𝑎 = 680
Câu 3. 1) Ta có : x−2018 ≥ ∀0, x dấu xảy chỉkhi 𝑥= 2018 Mà (y+2019)2020≥ ∀0; y dấu xảy chỉkhi 𝑦= −2019
2 2020
(| 2018 | 2) ( 2019) 2020 2020 2020
x y
P
⇒ − + + + + ≥
⇒ ≥
Dấu xảy x=2018 y=-2019 Vậy MinP=2020 2018 khi x= và y= −2019
(61)2! 2! 2! 2! 3! 4! 5! !
1 1 2!
3! 4! 5! !
1 1
2!
2.3 3.4 4.5 ( 1) 1 1 1
2!
2 3 1
2 2
1
S
n S
n
S
n n
S
n n
S
n
s n S
= + + + +
= + + + +
< + + + + −
< − + − + + − −
< −
< − < Câu
O
1) Vì hai điểm 𝐴,𝐵cùng nằm tia 𝑂𝑥 mà 𝑂𝐴<𝑂𝐵(6𝑐𝑚 < 10𝑐𝑚)nên điểm 𝐴
nằm điểm 𝑂 𝐵
6 10
4 OA AB OB
AB AB cm => + = => + = => =
Vì 𝐸là trung điểm 𝑂𝐴 nên 3( ) 2
OA
EA= = = cm
Vì 𝐹là trung điểm 𝐴𝐵 nên 2( ) 2
AB
AF= = = cm
Do 𝐴 nằm 𝑂 𝐵, mà 𝐸là trung điểm 𝑂𝐴, 𝐹là trung điểm 𝐴𝐵 nên điểm 𝐴 nằm hai điểm 𝐸 𝐹
( ) EF EA AF cm => = + = + = Vậy 𝐸𝐹= 5𝑐𝑚
E A F B x x
(62)2) a)Vì hai tia 𝑂𝑥,𝑂𝑦cùng nằm mặt phẳng bờ chứa tia , mà 𝑥𝑂𝑦� <𝑥𝑂𝑧�
nên tia 𝑂𝑦 nằm hai tia 𝑂𝑥 𝑂𝑧
=>𝑥𝑂𝑦� +𝑦𝑂𝑧� =𝑥𝑂𝑧� => 50o +𝑦𝑂𝑧� = 1000 =>𝑦𝑂𝑧�= 50°
Do tia 𝑂𝑦′là tia đối tia 𝑂𝑦
=>𝑦�′𝑂𝑧𝑣à 𝑦𝑂𝑧� 𝑙à ℎ𝑎𝑖𝑔ó𝑐𝑘ề𝑏ù
=> 𝑦�′𝑂𝑧+𝑦𝑂𝑧�= 180°=>𝑦′𝑂𝑧+ 50° = 180°� =>𝑦�′𝑂𝑧= 130°
Vậy 𝑦′𝑂𝑧�= 130°
a) Trên mặt phẳng có bờlà đường thẳng 𝑦𝑦′ chứa tia 𝑂𝑧 vẽthêm 𝑛tia phân biệt không trùng với tia 𝑂𝑦,𝑂𝑦′,𝑂𝑧ta có tất cả𝑛+ 3tia phân biệt.
Cứ1 tia 𝑛+ 4tia tạo với 𝑛+ 3−1 =𝑛+ 2tia cịn lại thành 𝑛+ góc có
𝑛+ 2tia tạo thành (𝑛+ 3)(𝑛+ 2)góc , góc tính hai lần Vậy có tất ( 3)( 2)
2
n+ n+ góc
Câu
1) Ta có
2 2 2 2 2
2( )
a +c =b +d ⇒a +b +c +d = b +d số chẵn
2 2 2 a b c d
⇒ + + +
+ Xét
2 2
( )
a(a 1) b(b 1) c(c 1) d(d 1) a b c d a b c d
⇒ + + + − + + +
= − + − + − + −
y'
x y
z
(63)-Vì 𝑎 số nguyên dương nên 𝑎,𝑎 −1 sốtựnhiên liên tiếp =>𝑎(𝑎 −1)⋮2
Tương tự𝑏(𝑏 −1);𝑐(𝑐 −1);𝑑(𝑑 −1)đều chia hết cho
2 2
a(a 1) b(b 1) c(c 1) d(d 1)
( )
a b c d a b c d
⇒ − + − + − + −
⇒ + + + − + + +
Mà 2 2
2 ( )
a +b +c +d ⇒ a+ + +b c d
=>𝑎+𝑏+𝑐+𝑑 số chẵn mà * 2( , , , )
a+ + + <b c d doa b c d∈N =>𝑎+𝑏+𝑐+𝑑 hợp số
2) 22 33 44 9999 100100 3 3 3
S = − + − + + −
2 98 99
2 99 100 98 99
99 100 99 100
3
1 3 3
2 1 1 100
4
3 3 3 1 1 100 12
3 3 3 101 100
16 12 3
3 3
16
S
S S S
S S
S S S
S
= − + − + + −
= + = + − + − − − = = + − + − + − − ⇒ = + = − − <
⇒ <
ĐỀ SỐ 16: ĐỀ THI CHỌN HSG TOÁN THÀNH PHỐ PHỦ LÝ - NĂM 2019 Câu 1: (5,0 điểm)
a) Tính 2018 2019 5 5 5 = + + + + + + +
M
b) Tính nhanh: 1.2.5 2.4.10 5.10.25 6.12.30 7.14.35 1.5.7 2.10.14 5.25.35 6.30.42 7.35.49
− + − +
− + − +
c) Chứng tỏ 12 12 2 +3 + + 2019 <
Câu 2: (4,0 điểm)
a) Khơng thực phép tính cho biết kết quảphép tốn 15.31.37 11.102+ sốngun tố hay hợp số? Vì sao?
b) Tìm sốnguyên tố p để p+10 p+14 sốnguyên tố Câu 3: (4,0 điểm) Tìm x, biết:
a) x− =1 b) 18
2 2x x+ x+.5 =10000 (18 chữ số 0)
Câu 4: (5,0 điểm) Cho hai góc kềbù xOy yOz Trên tia Oy lấy điểm A, tia Ox lấy điểm B, tia AB lấy điểm C cho AB< AC
a) Chứng tỏ Ox nằm hai tia OA OC
(64)c) Có cột, có 12 võng Hãy vẽ sơ đồ dựng cột đểcăng 12 võng mà võng không chồng chéo
Câu 5: (2,0 điểm) Tìm sốtựnhiên x y, cho 10x = y2−143
LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN THÀNH PHỐ PHỦ LÝ - NĂM 2019
Câu 1: a) 2018 2019 5 5 5 = + + + + + + +
M
1 2019 2020 5M = +5 + +5 + + +5
( )
( )
1 2019 2020 2018 2019
5 5 5 5
5 5 5 5 + + + + + + + + + + +
− =
− + +
M M
2020
2020
4
4 −
= − ⇒ =
M M
b) 1.2.5 2.4.10 5.10.25 6.12.30 7.14.35 1.5.7 2.10.14 5.25.35 6.30.42 7.35.49
− + − +
− + − +
( ) ( )
( ) ( )
1.2.5 5.10.25 7.14.35 2.4.10 6.12.30 1.5.7 5.25.35 7.35.49 2.10.14 6.30.42
+ + − +
=
+ + − +
( ) ( )
( ) ( )
1.2.5 5.1.2.5 7.1.2.5 2.4.10 3.2.4.10 1.5.7 5.1.5.7 7.1.5.7 2.10.14 3.2.10.14
+ + − +
=
+ + − +
( ) ( )
( ) ( )
1 1.2.5 2.4.10 13.1.2.5 4.2.4.10 38 1.5.7 2.10.14 13.1.5.7 3.2.10.14 77
+ + − + −
= = =
+ + − + −
c) 12 12 2 1
2 +3 + + 2019 <1.2+2.3+ + 2018.2019 1 1 1 2018
1
1 2 2018 2019 2019 2019 = − + − + + − = − = < Câu 2: a) Ta có 15 3 nên 15.31.37 3
102 3 nên 11.102 3
Do (15.31.37 11.102 3+ ) Vậy 15.31.37 11.102+ hợp số
b) Mọi sốtựnhiên viết dạng , 3k k+1, 3k+2 (k∈) Trường hợp p=3 ,k mà p sốnguyên tố nên
1 10 13, 14 17 = ⇒ = ⇒ + = + =
k p p p thỏa mãn
Trường hợp p=3k+ ⇒ +1 p 14=3k+ +1 14=3k+15=3(k+5 3) p+14 lớn nên p+14 hợp số
Trường hợp p=3k+ ⇒ +2 p 10=3k+ +2 10=3(k+4 3) p+10 lớn nên 10
+
p hợp số
(65)1
⇒ − =x x− = −1
⇒ =x x= −3 Vậy x=5;x= −3 b) 18
2 2x x+ x+.5 =10000
3 18 18 3 18 18 18 3 18
2 +.5 10 +.5 + 3 18
⇒ x = ⇒ x = ⇒ x = ⇒ + = ⇒ =
x x
Vậy x=5 Câu 4:
a) Trên tia AB, ta có AB<AC nên B nằm A C Ba tia Ox,OA OC, chung
gốc O
Tia Ox cắt AC B điểm nằm A C Vậy Ox nằm hai tia OA OC
b) Ta có xOC +zOC=180° (kềbù)
+150° =180° ⇒ = °30
xOC xOC
Ta có tia Ox nằm hai tia OA OC ⇒AOC =xOy+xOC=130° + ° =30 160 ° c)
Câu 5: 2
10x =y −143⇒10x+143= y Nếu x= ⇒ =0 y 12 thỏa mãn
z y
x
O B
A
(66)Nếu x> ⇒0 10x có chữ sốtận 0⇒10x+143 có chữ sốtận Mà
y sốchính phương nên khơng thểcó tận Do khơng tồn , ∈
x y thỏa mãn
Vậy x=0; y=12
ĐỀ SỐ 17: ĐỀ THI CHỌN HSG HUYỆN QUẢNG XƯƠNG - NĂM 2019 Câu 1: (4,0 điểm)
1 Tìm x biết:2 1: 3+3 x= −
2 Thực phép tính:183 764 317( + )−317 183 764( − ) Câu 2: (4,0 điểm)
1 Tính tổng:S= + − − + + − − + +1 101 102+
2 Có sốtựnhiên 93, nguyên tốcùng với 93
Câu 3: (4,0 điểm)
1 Tìm sốtựnhiên nđể 21n+3chia hết cho Cuối học kỳ I, số học sinh giỏi lớp 6A
7số học sinh lại Cuối nămdo có thêm học sinh giỏi nên số học sinh giỏi bằng1
4số học sinh lại
Tìm số học sinh lớp 6A Câu 4: (6,0 điểm)
1 Trên tiaOxcho điểmAvàBsao choOA=5cmvàOB=10cm a) TínhAB
b) Acó phải trung điểm củaOBkhơng? Vì sao?
c) Ở ngồi đường thẳngOxlấy điểmKsao choOKA=400vàOKB=900 Tính góc
AKB
2 Cho đoạn thẳngABcó đọ dài a GọiA1là trung điểm củaAB,A2là trung điểm
1
AA ,A3là trung điểm củaAA2,…,A100là trung điểm củaAA99.BiếtAA100 =2cm, tính a?
(67)ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN QUẢNG XƯƠNG - NĂM 2019 Câu 1:
1 1: 3+3 x= −
1
: x= − −3
1
: 3
− =
x
5 = − x
2 183 764 317( + )−317 183 764( − )
183.764 183.317 317.183 317.764
= + − +
764 (183 317)
= +
382000 =
Câu 2:
1 S = + − − + + − − + +1 101 102+
1 (2 5) (6 9) (98 99 100 101) 102 = + − − + + − − + + + − − + +
S
1 0 102
= + + + +
S 103 = S
2 Vì93 3 nên số sốtựnhiên số 93 chia hết cho là:(90 3) : 1− + =30
(số)
Số sốtựnhiên số số93 là:(92 2) :1 1− + =91(số)
Số sốtựnhiên 1và 93, nguyên tốcùng với 93 là:91 30− =31(số) Câu 3:
1 Ta có:21n+ =3 16n+5n+3 Để(21n+3) 4 thì(5n+3) 4
Ta thấy5ncó chữ sốtận Do đó(5n+3) 4 n∈{1;5;9;13; } Vậy(21n+3) 4 n∈{1;5;9;13; } Số học sinh giỏi kỳI bằng1
8số học sinh lớp Số học sinh giỏi cuối
5số học sinh lớp học sinh là1
5− =8 40số học sinh lớp
40số học sinh lớp nên số học sinh lớp 3 : 40
(68)1
a) Vì trênOxcó điểmAvàBsao choOA=5cm<OB=10cmnên điểmAnằm
OvàB
Do đó:AB=OB OA− 10 5 = − =
AB cm
b) ĐiểmAlà trung điểm củaOBvì : + ĐiểmAnằm giữaOvàB
+ AO=OB c)
Vì điểmAnằm giữaOvàBnên tiaKA nằm hai tiaKOvàKB
Do đóOKB =OKA+AKB
0 0 90 40 50
⇒ = −
= −
=
AKB OKB OKA
2
1
A trung điểm củaABnên ( ) 2 = AB= a
A A cm
A2là trung điểm củaA A1 nên
1
2 ( )
2 = A A= a
A A cm
Như vậy: 3, 4, 100 100, ,
2 2
= a = a = a
AA AA AA
MàAA100 =2(cm)
Do 100 101
100 2( ) 2
2 = ⇒ = =
a
cm a
x
O A B
A
O x
K
B
A2 A1 B
(69)Vậy 101 = AB Câu 5:
Gọi số đối diện với mặt chứa số làx; mặt lại số chấm là: ; z; m; n
y
(mặt y; zđối diện nhau; mặt m; nđối diện nhau); (chú ý x≠ ⇒ + ≠3 x 6)
Tổng tất mặt hình lập phương:1 6+ + + + + =21 18
⇒ + + + + =x y z m n
TH1: Nếu lần gieo số3 không nằm ởcác mặt xung quanh
3 21 12
⇒ + =x − = ⇒ =x m+ + + =n y z 12
Do lần gieo thứhai tổng số chấm bốn mặt xung quanh thay đổi so với lần gieo lúc số phải nằm ởcác mặt xung quanh:
3+ + + =x m n 15⇒ + =m n 6; y + z = 6(có nghiệm thỏa mãn chẳng hạn 1; 5; y = 2; z =
= =
m n )
TH2: Nếu lần gieo số mặt xung quanh:3+ + + =x y z 12
Lần gieo thứhai tổng số chấm mặt xung quanh 15 nên tổng mặt đáy đáy nên lần gieo thứ số3 không thểở mặt đáy mặt đáy (x+ ≠3 6)
Vậy lần gieo thứhai số ở1 mặt xung quanh tổng số chấm mặt xung quanh có sựthay đổi so với lần gieo nên:3+ + + =x m n 15 Còn lại:6+2x+ + + + =m n y z 27⇒ − +6 x 18=27⇒ =x 3(mâu thuẫn)
ĐỀ SỐ18: ĐỀ THI CHỌN HSG HUYỆN QUỐC OAI - NĂM 2019 Câu 1: (3 điểm)
Tìm x biết:
a) 17 2x 1− − =2 b) 2x−2x+2+2x+3 =80 Câu 2: (3 điểm)
a) Phép tính sau xác định: a b a b b a
⊕ = + , tính giá trị M = ⊕
⊕ b) Phép tính sau xác định: a⊗ =b a.b+ +a b
Tìm giá trị x trong: 4⊗ =x 49 Câu 3: (3 điểm)
a) Tìm tất cảcác cặp số nguyên ( ; )x y thỏa mãn: (2x+1) (2 y−2)2 =4 b) Giữa 2019 có sốlà bội 7?
(70)Mật Zalo tơi sốcó chữ sốbắt đầu chữ số Nếu tơi chuyển chữ số vịtrí hàng đơn vịthì sốcó chữ số gấp lần sốban đầu Hỏi mật tài khoản Zalo số nào?
Câu 5: (3 điểm)
Một xe máy niêm yết giá bán cao giá gốc 20% Trong đợt khuyến mại, người ta bán với giá 80% giá bán trước đó, bị lỗ84 đơla Hỏi giá gốc xe máy bao nhiêu?
Câu 6: (5 điểm)
Cho đoạn thẳng AB=6cm, O thuộc tia đối tia AB Trên nửa mặt phẳng bờOB vẽ
hai tia Ax Ay cho o
xAB=60 xAy=45o a) Tính sốđo OAy
b) Gọi M trung điểm OA, N trung điểm OB Tính độdài đoạn thẳng MN HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1: (3 điểm)
)17 2 a − x− = 2x− =1 15 2x− =1
2
2
x x x
x x x
− = = =
⇒ ⇒ ⇒
− = − = − = −
Vậy x =3 x = −2
2 ) 2x 2x 2x 80 b − + + + =
2 (1 2x − +2 )=80 5x =80
2x=16 2x=2 ⇒ =x
Vậy x=5
Câu 2: (3 điểm)
a) Ta có
2 13
2
3 6
⊕ = + = + = 25 36 61
6 30 30 30
⊕ = + = + =
2 13 61 13 30 65
:
5 6 30 61 61
M ⊕
⇒ = = = =
⊕ Vậy 65
61 M =
b) Ta có 4⊗ =x 4x+ + =4 x 5x+4 5x 49
⇒ + = 5x=45
x=9
Vậy x=9
Câu 3: (3 điểm)
a) Vì x y, nguyên nên 2x+1,y−2 nguyên 2 (2x 1) , (y 2)
⇒ + − nguyên
2
(2x 1) , (y 2)
⇒ + − ước Ư(4)={1; 1; 2; 2; 4; 4− − − }
Mà 2 2 { }
(71)2
2 1 0
2 1 2
(2 1)
2 6
( 2)
2 2
x x x
x x x
x
y y y
y
y y y
+ = = =
+ = − = − = −
+ =
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
− = = =
− =
− = − = − = −
Vậy cặp số nguyên ( ; )x y thỏa mãn đềbài (0; 6);(0; 2)− ;( 1; 6)− ;( 1; 2)− − b)
Tập hợp bội từ1 đến 2019 A={5;10;15; ; 2010; 2015} Tập hợp bội từ1 đến 2019 B={7;14;121; ; 2009; 2016}
Tập hợp bội chung từ1 đến 2019 C={35; 70;105; ;1960;1995} Số phần tử tập hợp A (2015 : 1− ) + =403
Số phần tử tập hợp B (2016 7) : 1− + =288 Số phần tử tập hợp C (1995 35) : 35 57− + =
Vậy 2019 có 403 288 57+ − =634 sốlà bội Câu 4: (3 điểm)
Ta viết số có chữ số cần tìm dạng 1A (với A số chứa chữ số cịn lại số ban đầu).Khi đó, số cần tìm viết 100000 + A
Khi di chuyển chữ số hàng đơn vị số A lên trước, ta số có dạng 10A+
Theo ta có 10.A+ =1 3.(100000+A) ⇒7A=299999
⇒ =A 42857
Vậy số có chữ số ban đầu 142857 Câu 5: (3 điểm)
Gọi giá gốc xe a( đôla, a>0) Giá niêm yết xe 20%
5 a+ a= a Giá xe sau khuyến mại 80%.6 24
5a= 25a
Vì sau khuyến mại lỗ 84 la nên ta có 24 84 2100 25
a− a= ⇒ =a (thỏa mãn) Vậy giá gốc xe 2100 đôla
Câu 6: (5 điểm)
a) Trường hợp 1: Tia Ay nằm hai tia AB Ax
BAy yAx BAx
⇒ + =
o o o
BAy 45 60 BAy 15
⇒ + = ⇒ =
Vì AB AO hai tia đối nên
BAy yAO hai góc kềbù
o
BAy yAO 180
⇒ + =
o o o
15 yAO 180 yAO 165
⇒ + = ⇒ =
Trường hợp 2: Tia Ax nằm hai tia AB Ay
BAx yAx BAy
⇒ + =
x
y B
A O
(72) o o o BAy 60 45 105
⇒ = + =
Vì AB AO hai tia đối nên
BAy yAO hai góc kềbù
o
BAy yAO 180
⇒ + =
o o o
105 yAO 180 yAO 75
⇒ + = ⇒ =
b) Vì M trung điểm OA nên OM OA = Vì N trung điểm OB nên ON OB
2 =
Ta có MN ON OM OB OA OB OA AB
2 2
−
= − = − = = = (cm)
ĐỀ SỐ 19: ĐỀ THI CHỌN HSG HUYỆN TÂN UYÊN NĂM HỌC 2018-2019 Câu 1: (4,0 điểm)
1.1 Tính giá trị biểu thức:
a) 1 4019 4020− + − + − + + − b) 13 13010 8
2 104 + =
A
1.2 Tìm x , biết : 2.3x =10.312+8.274
Câu 2: (4,0 điểm)
2.1 Tìm hai sốtựnhiên a b, biết : BCNN a b( ), =72 ,UCLN a b( ), =12 a+12=b 2.2 Tìm sốnguyên tố p cho p+4 p+20 sốnguyên tố
Câu 3: (5,0 điểm)
3.1 Tìm sốtựnhiên n cho 2n+7n+1 3.2 Tìm chữ sốtận 132019
3.3 Tìm số nguyên n để B n n
2 3
+ =
+ có giá trị nguyên Câu 4: (5,0 điểm)
Gọi M trung điểm đoạn thẳng AB Vẽ điểm N nằm M B Cho biết
MN a cm NB b cm= ( ) , = ( ) a) Tính AB
x y
B
A O
(73)b) Lấy điểm O nằm đường thẳng AB Giả sử
100 ; 60 ; 20
= = =
AOB AOM MON Hỏi tia ON có phải tia phân giác MOB khơng ? Vì ?
Câu 5: (2,0 điểm)
So sánh : C 5 522 98
1 5
+ + + +
=
+ + + + D
2
2
1 3 3
+ + + +
=
+ + + +
……….HẾT………
LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG HUYỆN TÂN UYÊN - NĂM HỌC 2018 - 2019 Câu 1:
1.1
a) 4019 4020− + − + − + + −
(( ) ( ) ( )) ( ) ( )( ) ( )
so hang
2010
1 4019 4020
1 1 2010
= − + − + − + + − = − + − + − + + − = −
10 10 10
8 10
10 10
2 13 130 13 13.5 )
2 104 13.2 13(1 5)
3 13.2
+ +
= =
+
= = =
b A
A
1.2 2.3x =10.312+8.274
( )
( )
x x x x x
x
12
4
12
12 12
12
12 14
3 5.3 4.27
3 5.3 3 5.3 4.3 3 3 3
4
= +
= +
= +
= +
= =
= Câu 2:
2.1 Từ dữliệu đềbài cho, ta có :
(74)+ Vì BCNN a b( ), =72 , nên theo trên, ta suy : ( )
( )
BCNN 12m; 12n 72 12.6 BCNN m; n (3)
⇒ = =
⇒ =
+ Vì a+12=b, nên ta có:
⇒12m 12+ =12n ⇒12 m 1( + =) 12n ⇒ + =m n (4)
Trong trường hợp thoả mãn điều kiện (2) (3), có trường hợp :
m=2, n=3
thoảmãn điều kiện (4)
Vậy với m=2, n=3, ta số phải tìm : a=12 2=24 ; b=12.3=36
2.2 Xét p= ⇒ + =2 p p+20 22= (không sốnguyên tố)
Xét p= ⇒ + =3 p (là sốnguyên tố) p+20 23= (là sốnguyên tố) Xét p>3 p sốnguyên tốnên p không chia hết cho ⇒ =p 3k+1 p=3k+2 (k N∈ *)
+ Khi p=3k+ ⇒ +1 p 20 3= k+21 3 ⇒ +p 20 hợp số + Khi p=3k+ ⇒ + =2 p 3k+6 3 ⇒ +p hợp số Vậy có p=3 thỏa mãn toán
Câu 3:
3.1 Ta có: 2n+7n+1
( ) ( )
( ) { } { }
n n
n
n U vi n N
n
2
5
1 1; , 0;
⇔ + + +
⇔ +
⇔ + ∈ = ∈
⇔ ∈
3.2 Nhận xét: chữ sốtận 132019 chữ sốtận của 32019
Ta có: 32019 =34.504 3+ =( )34 504.33 =81 27504 có chữ sốtận 7 Vậy 132019 có chữ sốtận 7
3.3 Để B n n
2 3
+ =
(75)⇔2n+3 3 n+2
⇒3 2( n+3 3) n+2 2 3( n+2 3) n+2
( ) ( ) ( )
( ) { }
{ }
n n n
n
n U
n vi n Z
3 3
3 1; 1; 5; 1;1 ,
⇒ + − + +
⇒ +
⇒ + ∈ ∈ − −
⇒ ∈ − ∈
Câu 4:
a) Vì N nằm M B nên ta có: MN NB MB hay MB a b cm+ = = + ( ) Vì M trung điểm đoạn thẳng AB Nên AB=2.MB=2(a b cm+ ) ( )
b) Vì tia OM nằm hai tia OA OB
0
0
60 100
40
⇒ + = + =
⇒ =
AOM MOB AOB hay MOB MOB
Vì tia ON nằm hai tia OM OB
0
0
20 40
20
⇒ + = + =
⇒ =
MON NOB MOB hay NOB NOB
Suy ra: 20
= =
MON NOB
(76)Ta có: C
C
2 9
2 8
9
1 5 1 1 1:1 5
1 5 5 5
1 1
1 1:
5
5 5
+ + + + + + + +
= = + = +
+ + + + + + + +
= + + + + +
D
D
2 9
2 8
9
1 3 1 1 1:1 3
1 3 3 3
1 1
1 1:
3
3 3
+ + + + + + + +
= = + = +
+ + + + + + + +
= + + + + +
Do 19 19 ; 18 18 ; 17 17 ; ; 1 5 <3 < <3 <
C D
9
9
9
1 1 1 1
5
5 5 3
1 1 1 1
1: 1:
5
5 5 3
1 1 1 1
1 1: 1:
5
5 5 3
⇒ + + + + < + + + +
⇒ + + + + > + + + +
⇒ + + + + + > + + + + +
⇒ >
ĐỀ SỐ20: ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN HUYỆN THÁI THỤY - NĂM 2019 Bài (4,0 điểm) Tính hợp lý giá trịbiểu thức:
a) 13: 13
5 13
A= − − +
b) 151515 17109 1500 176 161616 17 1600 187
B= + − −
c) 1 1 1 1
1.3 2.4 3.5 2018.2020
C= + + + +
Bài (3,0 điểm) Tìm sốtựnhiên x, biết:
a) 2x− ≤1
b) 2015 2019 2x+2x+ +2x+ + + 2x+ =2 −8 Bài (3,0 điểm)
a) Một đơn vịbộđội xếp hàng 20, 25, 30 dư 15; xếp hàng 41 vừa đủ Tính sốngười
(77)b) Tìm chữ số a sốtựnhiên x cho (12+3x)2 =1 96a Bài (4,0 điểm)
a) Tìm sốngun tốcó hai chữ sốkhác có dạng xy(x> >y 0) cho hiệu sốđó với sốviết theo thứtựngược lại sốđó sốchính phương
b) Cho số nguyên dương a; b; c; d; e thoả mãn a2+b2+c2 +d2+e2 chia hết cho Chứng tỏrằng: a+ + + +b c d e hợp số
c) Cho n∈, n>2 Chứng tỏrằng
2
3 15
16
n P
n −
= + + + + không số nguyên
Bài (5,0 điểm) Cho góc bẹt xOy, tia Ox lấy điểm A cho OA=2cm, tia Oy lấy hai điểm M B cho OM =1cm, OB=4cm
a) Chứng tỏ M trung điểm đoạn thẳng AB
b) Từ O kẻhai tia Ot Oz cho yOt=130, yOz=30 Tính sốđo zOt
c) Qua O kẻthêm n tia phân biệt khác tia Ox, Oy, Oz, Ot Biết hình có
190 góc phân biệt chung gốc O Tính n
Bài (1,0 điểm)
Cho 1( 20202018 20082007)
7
2
Q= − Chứng minh Q sốtựnhiên chia hết cho HẾT—
LỜI GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN HUYỆN THÁI THỤY - NĂM 2019 Bài
a) 13: 13
5 13
A= − − + 13 13 −
= − + 8
5 13 13 5
− −
= + + = + =
b) 151515 17109 1500 176 161616 17 1600 187
B= + − −
(78)c) 1 1 1 1
1.3 2.4 3.5 2018.2020
C= + + + +
2 2
2 2019
1.3 2.4 3.5 2018.2019
=
((2.3.4 2019 2.3.4 2019) () ( ))
2.3.4 2019 3.4.5 2018
= =2.2019=4038
Bài
a) Ta có: 2x− ≤1 ⇔ − ≤4 2x− ≤1 ⇔ − ≤3 2x≤5
2 x
−
⇔ ≤ ≤
Vì x sốtựnhiên nên x∈{0; 1; 2}
b) 2x+2x+1+2x+2+ + 2x+2015 =22019−8 ( 2015) 2019 2x 2
⇔ + + + + = −
( 2016 ) 3( 2016 ) 2x
⇔ − = −
2x x
⇔ = ⇔ = Bài
a) Gọi sốngười đơn vịbộđội a (người)
Vì đơn vịđó xếp hàng 20, 25, 30 dư 15 nên (a−15 20) ; (a−15 25) ; (a−15 30) Suy ra, (a−15)∈BC(20; 25; 30)
Ta tính được: BCNN(20; 25; 30)=300⇒BC(20; 25; 30)={0; 300; 600; 900; 1200; } {15; 315; 615; 915; 1215; }
a
⇒ ∈
Vì đơn vịđó xếp hàng 41 vừa đủ nên a41 sốngười đơn vịchưa đến 1000 người nên
chọn a=615
Vậy sốngười đơn vịđó 615 người b) Ta có: ( )2
12+3x =1 96a ⇔9 4( +x)2 =1096 100+ a ⇔9 4( +x)2 =1089+ +7 100a
Vì 1089 9 nên (7 100+ a)9⇒(7+a)9 ⇒ =a
Với a=2, 4( +x)2 =1296⇔(4+x)2 =144 12
4 12 16
x x
x x
+ = =
⇔ ⇔
+ = − = −
Vì x sốtựnhiên nên chọn x=8
(79)a) Theo đềta có: xy−yx sốchính phương
Khi đó: 10x+ −y (10y+x)=10.(x− y) (− x−y)=9(x−y) sốchính phương Suy ra: x−y sốchính phương
Vì x> >y 0 nên x y; ∈{1; 2; ; 9}, ta xét trường hợp sau: + TH1: x− =y xy sốnguyên tố nên xy =43
+ TH2: x− =y xy sốnguyên tố nên xy=73
+ TH3: x− =y xy sốngun tốnên khơng có sốnào thoả mãn Vậy xy∈{43; 73}
b) Ta xét:
2 2 2
( )
a +b +c +d +e − a+ + + +b c d e ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) a a b b c c d d e e
= − + − + − + − + −
Mà a a( −1 2) (hai sốnguyên liên tiếp)
Suy ra: a a( − +1) (b b− +1) (c c− +1) d d( − +1) (e e−1)2 Theo đề: 2 2
2
a b c d e
+ + + +
nên (a+ + + +b c d e)2 ( )1
Mà a; b; c; d; e sốnguyên dương nên a+ + + + >b c d e ( )2 Từ ( )1 ( )2 suy a+ + + +b c d e hợp số
c) Ta có: 2
3 15
16
n P
n −
= + + + + 16 21
4 16
n n
− − − −
= + + + +
12 12 12 12
2 n
= − + − + − + + − 12 12 12
2
n
n
= − − + + +
< −n ( )1 Lại có:
( )
2 2
1 1 1
2 +3 + +n <1.2+2.3+ + n−1 n
1 1 1 1
1
2 3 n n
= − + − + − + + −
−
(80)Suy ra: P n 1 n
n n
> − − − = − +
> −n ( )2 Vậy n− < < −2 P n nên P số nguyên
Bài
a) Trên tia Oy ta có OM <OB (1cm< 4cm) nên M nằm O B
Suy OM +MB=OB ⇒MB=OB−OM = − =4 3cm ( )1 Do A M nằm hai tia đối nên O nằm A M
Suy AM =AO+OM = + =2 3cm ( )2
Mặt khác A B nằm hai tia đối M nằm O B nên suy M nằm A B ( )3
Từ ( )1 , ( )2 ( )3 suy M trung điểm đoạn thẳng AB
b) TH1: Oz Ot nằm nửa mặt phẳng bờlà đường thẳng xy: Vì yOz< yOt nên tia Oz nằm hai tia Ot Oy nên yOz+zOt< yOt
130 30 100
zOt yOt yOz
⇒ = − = − =
TH2: Oz Ot nằm hai nửa mặt phẳng khác có bờlà đường thẳng xy, tia Oy nằm hai tia Ot Oz nên zOt = yOt+yOz=130+30 =160
c) Đặt m= +n Khi đó:
z t
B M
A O
y x
z t
y x
B M
(81)Tia thứ1 tạo m góc có gốc O
Tia thứ2 tạo m−1 góc có gốc O khác góc ởtrên
Tia thứ3 tạo m−2 góc có gốc O khác góc ởtrên
Tia thứ m tạo m−(m−1) góc có gốc O khác góc ởtrên
Như tổng số góc phân biệt chung gốc O là:
1 ( 1)
m+ − + − + + −m m m m− =m m − + + +1 (m− +1) m
[ ]
2
2
m m m m
m + −
= − =
Theo đềta có: 190
m −m
=
380 m m
⇔ − = ⇔(m−20 ) (m+19)=0 20 19 m m
=
⇔ = − Chọn m=20 Suy n=16
Bài
Vì 2020; 2008 bội nên 20202018 20082007 bội Đặt 2018
2020 =4m (m∈*) ; 20082007=4n(n∈*) Khi 20202018 20082007 4 4
7 −3 =7 m−3n ( ) ( )4
7 m n 2401m 81n
= − = −
Ta thấy 2401m 81n có tận nên 2401m −81n có tận Suy 1( 20202018 20082007)
7
2
Q= − có tận Vậy Q sốtựnhiên chia hết cho
ĐỀSÓ 21: ĐỀ THI CHỌN HSG HUYỆN THANH CHƯƠNG - NĂM 2019 Câu (2,0 điểm)
a Thực phép tính sau cách hợp lí: 0, 75 : 17
24 12
A=− + − −
−
b Rút gọn 11 13255 152571725919 21
5 5 5
B= + +
+ + + + +
Câu (2,5 điểm)
a Tìm x biết: 1− =x b Tìm x biết: 3 18
8x+ +2 x−2 =2
(82)Câu (2,0 điểm)
a Chứng minh rằng: 28
10 +8 72
b Chứng minh rằng: 1 1 1 2− + −4 16+32−64<3
Câu (3,0 điểm) Cho góc bẹt xOy Trên nửa mặt phẳng có bờ xy, vẽcác tia Oz Ot cho xOz= °70 , yOt= °55
a Chứng tỏtia Oz nằm hai tia Ox Ot b Chứng tỏtia Ot tia phân giác góc yOz
c Vẽtia phân giác On góc xOz Tính góc nOt Câu (0,5 điểm) Cho 1 1
2 2019
A= + + + + + Chứng minh A không sốtựnhiên
LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN THANH CHƯƠNG - NĂM 2019
Câu 1: a 0, 75 : 17 18 14 : 17 9 24 12 24 24 24 8 17 17
A=− + − − =− + + − = − = −
−
b
( ) ( ) ( ( )( ) ) 10
5 10 14 18
11 13 15 17 19 21 11 15 19 13 17 21 11 13
5 5
25 25 25 5
5 5 5 5 5 5 5 5
B= + + = + + = + +
+ + + + + + + + + + + + +
10 11 13
5 1
5 5 125 130
= = =
+ +
Câu 2: a 1− =x x ⇒ − =
1 x ⇒ − = ±
+) 1− = ⇒ = −x x
+) 1− = − ⇒ =x x
Vậy x∈ −{ 1;3} giá trị cần tìm b 3 18
8x+ +2 x−2 =2
3
8 8x 8x 8
⇒ + − − =
( ) (3 ) 8x 8
⇒ + − + =
( )( 3) 8x ⇒ + − =
3 8x ⇒ − = (vì
8 + >1 0)
(83)3
x
⇒ = Vậy x=3
c Gọi ( )a b, =d
Suy a=d m , b=d n m, n, d∈*, (m n, )=1 Khi [ ]a b, ab mnd
d
= =
Vì [ ]a b, =6( )a b, a+ =b 30 nên 30 mnd d dm dn
=
+ =
( )
6
30 mn
d m n =
⇒ + =
Vì (m n, )=1 m+ ∈n Ư(30), nên ta có bảng:
m n
d 6
a 18 12
b 12 18
Vậy hai số phải tìm 12 18 Câu 3: a Ta có 72=8.9
28
10 + =8 100 008 (27 chữ số 0) +) 28
10 + =8 100 008 có ba chữ sốtận 008 chia hết 1028+8 8 (1)
+) Tổng chữ số 100 008 (27 chữ số 0) là: 27.0 8+ + =9 9 28
10
⇒ + (2)
Mà ƯCLN( )8;9 =1 (3) Từ(1), (2), (3) suy 28
10 +8 72 (đpcm) b Ta có 1 1 1
2 16 32 A= − + − + −
1 1 1 1 1 1
2
2 16 32 16 32 64
A A
⇒ + = − + − + − + − + − + −
1
3
64 A
⇒ = −
63
3
64 A
⇒ = <
3 A
(84)a Trên nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng xy, ta có tia Ot nằm
hai tia Ox Oy ⇒xOt +yOt=xOy
180 55 125
xOt xOy yOt
⇒ = − = ° − ° = °
Trên nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng xy, ta có xOz<xOt (70° <125°)
⇒ Tia Oz nằm hai tia Ox Ot
b Trên nửa mặt phẳng có bờlà đường thẳng xy, ta có tia Oz nằm
hai tia Ox Oy ⇒xOz +yOz=xOy=180°
180 70 110
yOz
⇒ = ° − ° = °
Trên nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng xy, ta có yOt< yOz (55° <110°)
⇒ Tia Ot nằm hai tia Oy Oz
Ta lại có 55 110 2
yOz yOt= ° = ° =
⇒ tia Ot tia phân giác góc yOz
c Vì On tia phân giác góc xOz nên 70 35 2
xOz
xOn= = °= °
Ta có xOn+nOt+yOt=xOy=180°
180 35 55 90
nOt
⇒ = ° − ° − ° = ° Câu 5: Xét tổng 1 1
2 2019
+ + + + + Chọn mẫu chung 10
2 3.5.7.9 2017 Thừa số phụ phân số
1024 số lẻ (3.5.7.9 2017), lại thừa số phụ khác chẵn Do sau quy đồng mẫu cộng tử lại tử số lẻ, cịn mẫu chung số chẵn
(85)ĐỀ SỐ22: ĐỀ THI CHỌN HSG HUYỆN THANH OAI - NĂM 2019 Câu 1: (4,0 điểm)
1 Tìm x biết:
2 1
0
x
− − =
2 Tìm số nguyên n đểphân số
n M
n
− =
− có giá trị số nguyên Câu 2: (5,0 điểm)
1 Tìm sốnguyên tố x y, cho x2+165= y2
2 Chứng minh với n số tự nhiên n n( + +1) 2019 không chia hết cho 2020
3 So sánh 50
71 3775 Câu (3,0 điểm)
1 Chứng minh hai số lẻliên tiếp hai sốnguyên tốcùng Chứng minh rằng:
2 99 100 99 100 3−3 +3 −3 + + −3 <16 Câu 4: (7,0 điểm) Cho góc vng xOy Vẽtia Oz cho 1
4
xOz= yOz
1 Tính xOz
2 Gọi Om On hai tia phân giác hai góc xOz yOz Tính góc
mOn? Câu 5: (1,0 điểm)
Tìm tất cảcác cặp số nguyên ( )x y, thỏa mãn: 2019 y
x + =x +
LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN THANH OAI - NĂM 2019 Câu 1:
2 1
0
x
− − = 1
x
− =
1 2
x
⇒ − = 1
2
x− = −
+) TH1: 1
2
x− =
(86)+) TH2: 1
2
x− = −
0 x= Vậy x∈{ }1;
2 Ta có 10 2( 5) 3
5 5
n
n n
M
n n n n
− +
− − +
= = = = +
− − − −
Vì 2∈ nên để M∈
5
n− ∈ ⇒ −n ước
Lập bảng:
n− −1 −5
n (tm) (tm) 10 (tm) (tm)
Vậy với n∈{0; 4; 6;10} M có giá trị số nguyên
Câu 2: Vì 2 165
x + =y nên y2 >165 ⇒ >y 12
Vì y sốnguyên tố, y>12 nên y số lẻ ⇒ y2 số lẻ Ta có 2
165
x + =y y2 số lẻ nên
x số chẵn ⇒x số chẵn
Vì x sốnguyên tố nên x=2 Khi đó: 2
2 +165= y
169 y =
13
y
⇒ = (thỏa mãn) Vậy x=2,y=13
2 Vì n số tự nhiên nên n n( +1 2) ⇒n n( +1) số chẵn ⇒n n( + +1) 2019 số lẻ
Do n n( + +1) 2019 khơng chia hết cho 2020 Ta có 50 50 ( 3 2)50 150 100
71 <72 = =2 ( )75
75 75 2 150 150 37 >36 = =2
Vì 50 150 100 150 150 75
71 <2 <2 <37 nên 7150 <3775 Câu 3: Gọi hai số lẻliên tiếp 2n+1 2n+3 (n∈)
Gọi ước chung lớn 2n+1 2n+3 d ⇒2n+1d 2n+3d (2n 3) (2n 1) d
⇒ + − + ⇒2d ⇒ ∈d { }1; Vì 2n+1 2n+3 số lẻ nên d=1
Vậy hai số lẻliên tiếp hai sốnguyên tốcùng Đặt 22 33 44 9999 100100
3 3 3
(87)2 100 101 1 99 100 3VT 3 3 3 ⇒ = − + − + + −
2 99 100 101 1 1 1 100 3VT 3 3 3 ⇒ = − + − + + − −
2 100 101 102 1 1 1 100 9VT 3 3 3 ⇒ = − + − + + − −
101 102 16 101 100
9 VT 3 3 ⇒ = − − <
3 16
VT
⇒ <
Vậy 22 33 44 9999 100100
3−3 +3 −3 + + −3 <16 Câu 4:
a) Vì xOz yOz hai góc kề nên xOz+yOz=xOy ⇒xOz +yOz= °90
Mà 4
4
xOz= yOz⇒ yOz= xOz Do xOz+4.xOz= °90
5.xOz 90
⇔ = °
18 72
xOz yOz
⇔ = ° ⇒ = °
Vậy xOz= °18 , yOz= °72
2 Vì Om tia phân giác xOz nên 1 1.18
2
xOm=mOz= xOz= ° = °
Vì On tia phân giác yOz nên 1 1.72 36
2
yOn=nOz= yOz= ° = °
Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Oy có yOn< yOx (36° < °90 ) ⇒ tia On nằm hai tia Ox Oy,
xOn nOy xOy
⇒ + =
36 90 54
xOn xOn
⇒ + ° = ° ⇒ = °
Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox có xOm <xOn (9° < °54 ) n
m z
O y
(88)⇒ tia Om nằm hai tia Ox On,
xOm mOn xOn
⇒ + =
mOn 54
⇒ ° + = °
45
mOn
⇒ = °
Vậy mOn=45°
Câu 5: +) TH1: Với y<0 , ta có: 2019
3 y
VP= + không số nguyên
2
VT =x +x số nguyên
⇒ Trường hợp loại
+) Với y=0, ta có x2+ =x 32019.0+ ⇒1 x2+ =x ( 1) 1.2 ( ) ( )2
x x
⇒ + = = − −
1 x
⇒ = x= −2
+) Với y≥1, ta có: VP=32019y+1chia cho dư
Vì x ngun nên x có dạng ; 3k k+1; 3k+2
Với x=3k x=3k+2 VT =x x( +1 3) Với x=3k+1thì VT =x x( +1) chia cho dư Do trường hợp loại
Vậy cặp số nguyên ( )x y; cần tìm là: ( )1; , (−2; 0)
ĐỀ SỐ23: ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN CỬA LÒ - NĂM 2019 Câu (4,0 điểm) Thực phép tính (tính hợp lý có):
a) ( )
105 2
A= − −
b) 1 1 1
20 30 42 56 72 90 B=− +− +− +− +− +− Câu (6,0 điểm)
a) Tìm x biết:
x− +x
=
b) Tìm x, y nguyên biết: 3x+xy+2y=17 c) Chứng minh:
2a 2a 2a
M = + + + + + (a∈) chia hết cho 42 Câu (2,0 điểm) Cho
3
n A
n
− =
+
a) Tìm điều kiện n để: A phân số
(89)a) So sánh không qua quy đồng: 20187 132019
10 10
A= − + − ; 132018 20197
10 10
B= − + −
b) Cho sốnguyên tố p>3 Hỏi p2+2018 sốnguyên tố hay hợp số
c) Cho sốtự nhiên A gồm 100 chữ số 1, sốtựnhiên B gồm 50 chữ số Chứng minh A B− sốchính phương
Câu (5,0 điểm) Cho góc xOy góc yOz hai góc kềbù Biết góc xOy lần
góc yOz
a) Tính sốđo góc
b) Gọi Ot tia phân giác góc yOz Tính sốđo góc xOt
c) Trên nửa mặt phẳng bờ đường thẳng xz chứa tia Ot, vẽthêm n tia phân biệt (không trùng với tia Ox; Oy; Oz; Ot cho) có tất cảbao nhiêu
góc?
LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN CỬA LÒ - NĂM 2019 Câu 1: a) ( )
105 2
A= − − =105 5− ( 2−2 33 )=105 25 24− ( − )=105 103− =
b) 1 1 1
20 30 42 56 72 90 B=− +− +− +− +− +−
1 1 1 4.5 5.6 6.7 7.8 8.9 9.10
− − − − − −
= + + + + +
1 1 1 1 1 1 10
= − + − + − + − + − + −
1 10 20
− −
= + = Câu 2: a)
4
x− +x
=
( ) ( )
3 x x
⇔ − = +
3x 20 4x
⇔ − = +
26
x
⇔ = − Vậy x= −26 b) 3x+xy+2y=17
(3 ) (2 ) 23
x y y
⇔ + + + =
(x 3)( y) 23
⇔ + + =
Ta có bảng:
2
x+ −1 −23 23
(90)x −3 −1 −25 21
y −26 20 −4 −2 Vậy (x y; ) (∈ − −{ 3; 26 ;) (−1; 20 ;) (−25;−4 ; 21;) ( −2)}
c)
2a 2a 2a
M = + + + + + 2( 5) 2a+ 2
= + + ( )
2a+ 32 2a+.42
= + + =
Ta có:
2a+.42 42 nên M42 (đpcm) Câu 3: a) Để A phân sốthì
3
n n n n ∈ ∈ ⇔ + ≠ ≠ −
b) Ta có: n A n − = + n = − +
Để A sốnguyên (n+ ∈3) Ư( )5 = ± ±{ 1; 5} Ta có bảng:
3
n+ −5 −1 n −8 −4 −2
Vậy để A sốnguyên n∈ − − −{ 8; 4; 2; 2} Câu 4: a) Ta có: 20187 201913 132018 20197
10 10 10 10
A B− = − + − − − + −
2018 2019 2018 2019
7 13 13 6 10 10 10 10 − + − +
= + = −
Mà 2018 2019
2018 2018
1 6
10 10
10 2019 10 2019 < ⇒ > ⇒ >
0
A B A B ⇒ − > ⇒ >
b) Vì p sốnguyên tố lớn nên
p chia cho dư
3
p k ⇒ = + Ta có:
2018 2018 2019 p + = k+ + = k+
Vì 3k3 2019 3 ⇒(3k+2019 3) ( ) 2018
p
⇒ + Vậy
2018
p + hợp số
c) Ta có: − = −
100 ch÷ sè 50 ch÷ sè
11 11 2.11 11 A B = −
50 chữ số chữ số 49 ch÷ sè
11 11 100 001
=
50 ch÷ sè 50 ch÷ sè
11 11.99 99
=
50 ch÷ sè 50 ch÷ sè
11 11.11 11.9 = 2 50 ch÷ sè
(91) =
2
50 ch÷ sè
11 11.3
Vậy A−B sốchính phương
Câu 5:
a) Vì xOy yOz hai góc kềbù nên xOy+yOz=180°
Mà 1 5
5
xOy= yOz⇒ yOz= xOy
6xOy 180 xOy 30
⇒ = ° ⇒ = °
5.30 150
yOz
⇒ = ° = °
Vậy xOy= °30 ; yOz=150°
b) Ot tia phân giác góc yOz 150 75 zOt yOt °
⇒ = = = °
Ta có 180
xOt+tOy= (2 góc kềbù)
0
0
75 180
105 tOx tOx
+ =
=
Vậy xOt=105°
c) Tất có n+4 tia phân biệt Cứ tia n+4 tia tạo với
n+ − = +n tia cịn lại thành n+3 góc Có n tia tạo thành (n+4)(n+3) góc, góc tính hai lần Vậy có tất ( 4)( 3)
2 n+ n+
góc ĐỀ SỐ24: ĐỀGIAO LƯU MƠN TỐN – THÀNH PHỐ CHÍ LINH NĂM 2019 Câu (2 điểm) Thực phép tính:
a) 2.3.5 4.9.25 6.9.35 10.21.40 2.3.7 4.9.35 6.9.49 10.21.56 A= + + +
+ + +
b) 1 1 1 1 16 400
B= − − − −
c)
2010 2009 2008
1 2010
1 1
2 2011
C
+ + + +
=
+ + + + Câu (3 điểm)
t
z
y
(92)1) Tìm sốtựnhiên x, biết:
a) 7+ + + + +9 +(2x− =1) 225
b) 2015 2019
2x+2x+ +2x+ +2x+ + + 2x+ =2 −8
2) Tìm sốcó ba chữ sốchia hết cho tổng chữ số chia hết cho
Câu (2 điểm)
a) Tìm sốnguyên tốpsao cho sốsau sốnguyên tố: p+14; p+40 b) Chứng minh : 1 1 1
2− + −4 16+32−64<3 Câu (2 điểm)
Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa hai tia đối OA OB
a) Vẽ tia OC tạo với tia OA góc 50°, vẽ tia ODsao cho tia OCnằm hai tia OA OD, COD= °60 Tính BOD
b) Vẽhai tia Ox Oy, cho AOx=22 ,° BOy=48° Tính xOy
c) Cần vẽ thêm tia phân biệt gốc Ođể tạo thành 190 góc đỉnh O hình
Câu (1 điểm)
Tìm sốtựnhiên n sao cho
2
n + n sốchính phương ……….HẾT………
LỜI GIẢI ĐỀGIAO LƯU MƠN TỐN – THÀNH PHỐ CHÍ LINH NĂM 2019 Câu 1:
a) 2.3.5 4.9.25 6.9.35 10.21.40 2.3.7 4.9.35 6.9.49 10.21.56 A= + + +
+ + +
2.3.5 2.3.5.2.3.5 2.3.5.3.3.7 2.3.5.5.7.8 2.3.7 2.3.7.2.3.5 2.3.7.3.3.7 2.3.7.5.7.8
+ + +
=
+ + +
( )
( )
2.3.5 2.3.5 3.3.7 5.7.8 2.3.7 2.3.5 3.3.7 5.7.8
+ + +
= =
+ + +
b) 1 1
1 1 16 400
B= − − − −
3 15 399
4 16 400
− − − −
=
2 2 3.8.15 399 20 = −
1.3.2.4.3.5 19.21 2.2.3.3.4.4 20.20 = −
1.2.3 19 3.4.5 21
(93)1 21 21
20 40
= − = −
c) Ta có 2010 2009 2008 1 + + + +2010
2009 2008 2007
1 1 1
2 2010
= + + + + + + + +
2011 2011 2011 2011 2011
2 2010 2011
= + + + + +
1 1 1
2011
2 2010 2011
= + + + + +
Do
2010 2009 2008
1 2010
1 1
2 2011
C
+ + + +
=
+ + + + 1 1 2011
2 2010 2011
2011 1 1
2 2011
+ + + + + = = + + + + Câu 2: 1)
a) 7+ + + + +9 +(2x− =1) 225 (2 1) : ( )
2 1 225
2 x x − − + − + =
(2 : 1)
.2 225 x x − + = 225 x x= 225 x = 15 x=
b) 2015 2019
2x+2x+ +2x+ +2x+ + + 2x+ =2 −8 ( 2015) 2019
2 2x + + +2 + + =2 −2 ( 2016 ) 3( 2016 )
2x − =1 2 −1
2x =2 x=
c) Gọi sốtựnhiên cần tìm abc (a b c, , ∈,1≤ ≤a 9, 0≤b c, ≤9)
Ta có abc=100a+10b+ =c 98a+7b+2a+3b+ =c 98a+7b+(a+ + +b c) (a+2b)
Vì
7
98 7
7 abc
a b a b a b c
(94)Mà a b, ∈,1≤ ≤a 9, 0≤ ≤ ⇒ ≤ +b a 2b≤27 Suy a+2b∈{7;14; 21}
Trường hợp : a+2b=7
Ta có 2blà số chẵn suy a lẻ a<7⇒ =a {1;3;5}và tương ứng {3; 2;1}
b=
với 1, 3
7 a b
c a b c
= =
⇒ = + +
(thỏa mãn) ⇒abc=133
với 3, 2
7 a b
c c
a b c
= =
⇒ = =
+ +
(thỏa mãn)⇒abc=322 abc=329
với 5, 1
7 a b
c c
a b c
= =
⇒ = =
+ +
(thỏa mãn)⇒abc=511 abc=518
Trường hợp : a+2b=14
Ta có 2blà số chẵn suy a chẵn a<8⇒ =a {2; 4; 6;8}và tương ứng b={6;5; 4;3}
với 2, 6
7 a b
c a b c
= =
⇒ = + +
(thỏa mãn)⇒abc=266
với 4, 5
7 a b
c a b c
= =
⇒ = + +
(thỏa mãn)⇒abc=455
với 6, 4
7 a b
c a b c
= =
⇒ = + +
(thỏa mãn)⇒abc=644
với 8, 3
7 a b
c a b c
= =
⇒ = + +
(thỏa mãn)⇒abc=833 Trường hợp : a+2b=21
Ta có 2blà số chẵn suy a lẻ a≤9⇒ =a {3;5; 7;9}và tương ứng {9;8; 7; 6}
b=
với 3, 9
7 a b
c c
a b c
= =
⇒ = =
+ +
(thỏa mãn)⇒abc=392 abc=399
với 5, 8
7 a b
c c
a b c
= =
⇒ = =
+ +
(thỏa mãn)⇒abc=581 abc=588
với 7, 7
7 a b
c c
a b c
= =
⇒ = =
+ +
(thỏa mãn)⇒abc=770 abc=777
với 9, 6
7 a b
c a b c
= =
⇒ = + +
(thỏa mãn)⇒abc=966 Vậy sốtựnhiên cần tìm là:
(95)a)
+ Nếu p=2 p+14 16= p+40=42 sốnguyên tố + Nếu p=3 p+14 17= p+40=43 sốnguyên tốsuy p=3 giá trị cần tìm
+ Nếu p≠3 suy p có dạng 3k+1 dạng 3k−1
Với p=3k+1 p+14=3k+ +1 14=3k+15=3(k+5 5) Với p=3k−1thì p+40=3k− +1 40=3k+39=3(k+13 3)
Vậy p≠3 p+14 p+40là hợp sốsuy không thỏa mãn Do đó: giá trị cần tìm p=3
b) Đặt 1 1 1 16 32 64 A= − + − + −
1 1 1 1 1 1
2
2 16 32 64 16 32
A
⇒ = − + − + − = − + − + −
1 1 1 1 1 1 63
3 1
2 16 32 64 16 32 64 64
A
⇒ = − + − + − + − + − + − = − =
21 21 64 63 A
⇒ = < =
Vậy 1 1 1 2− + −4 16+32−64<3 Câu 4: (2 điểm)
a) Tia ODsao cho tia OCnằm hai tia OA OD nên AOC+COD= AOD
AOD= ° + ° =50 60 110°
Ta có AOD DOB hai góc kềbù nên AOD+DOB=180° 110° +DOB=180° DOB= °70 b) Ta có BOy yOA hai góc kềbù nên AOy+yOB=180°
480 220
y x
600
A B
C D
(96)AOy+ ° =48 180° AOy=132°
Ta có AOx<AOy(22° <132°) nên tia Ox nằm hai tia OA Oy Suy AOx+xOy=AOy
22° +xOy=132° xOy=110°
c) Vì tia với 1tia cịn lại tạo thành 1góc Xét 1tia, tia với n1tia cịn lại tạo thành n1góc Làm với n tia ta n n 1 góc Nhưng góc tính lần với với n tia phân biệt sẽtạo thành 1
2
n n
góc
Theo đềbài 1 190
n n
1 380 n n
1 20.19 n n n20 Câu 5:
Đặt 2
2
n + n=a (a∈)
( )
2 1
n + n+ −a = ( )2 2
1
n+ −a =
(n+ −1 a)(n+ +1 a)=1
Với n a, ∈ ta suy n+ − =1 a n+ + =1 a Suy n a− =0và n a+ =0
Suy n=0
ĐỀ SỐ25: ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN THANH TRÌ - NĂM 2019 Câu (4,0 điểm)
1 Tìm x biết
2 2
3 7 17 37 16
1
5 5
5
7 17 37 x
+ +
+ =
+ +
2 Tính 1 1 1 1 1 2018 2019
A= − − − − −
(97)Câu (3,0 điểm)
1 Cho a b, sốtựnhiên Chứng minh: ƯCLN( )a b, = ƯCLN(5a+2 , 7b a+3b) Cho p p+4 sốnguyên tố (p>3) Chứng minh p+14 hợp số Câu (4,0 điểm)
Trong đợt phát động “Tết trồng đời đời nhớơn Bác Hồ” – Xuân Kỷ Hợi, tổng số trồng cảhai lớp 6A 6B 175 Biết số trồng lớp 6A
1
3 sốcây trồng lớp 6B sốcây trồng lớp 6B
2 sốcây trồng
của lớp 6A Tính sốcây trồng lớp Cây (5,0 điểm) Đềbài
Cho góc BAC o
110 Lấy điểm D nằm B C cho góc BAD 40o Trên
nửa mặt phẳng chứa điểm B có bờ AC, vẽtia AE cho góc CAE 30o (
E thuộc
đoạn BC)
a) Chứng tỏ E nằm hai điểm D C
b) Tia AD có phân giác góc BAE khơng? Vì sao?
c) Lấy 2015 điểm phân biệt đoạn BC khác điểm B D E C, , , Hỏi có góc có đỉnh A tạo thành
Câu (3,0 điểm)
1 Tìm sốtựnhiên n có chữ số cho n sốchính phương bội 147
2 Tìm sốtựnhiên n có chữ sốsao cho chia n cho 131 dư 112, chia n cho 132 dư 98
Câu (1,0 điểm) Chứng minh
16
A< với 12 23 34 99100 5 5
A= + + + +
LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN THANH TRÌ - NĂM 2019 Câu
1
2 2
3 7 17 37 16
1
5 5
5
7 17 37 x
+ +
+ =
+ +
(98)1 1
8 7 17 37 16
1 1
5 5
7 17 37
2
5
4
x
x
x
+ +
⇒ + =
+ +
⇒ =
⇒ = Vậy x=4
2 1 1 1 1 1 2018 2019
A= − − − − −
1 2017 2018
2 2018 2019 2019
A
⇒ = =
Vậy
2019
A=
Câu
1 Gọi d m, ước chung lớn (5a+2 ; 7b a+3b) ( )a b,
7
a b d a b d
+ ⇒ +
5
7
a b d a b d
+ +
( ) ( )
5 7a 3b 5a 2b d
⇒ + − +
35a 15b 35a 14b d
⇒ + − −
b d ⇒ (1)
5
7
a b d a b d
+ +
( ) ( )
3 5a 2b 7a 3b d
⇒ + − +
15a 6b 14a 6b d
⇒ + − −
a d ⇒ (2)
Từ (1) (2) ⇒d ước chung a b, Do d≤m
Mặt khác hiển nhiên m ước d nên m≤d , suy m=d Vậy ƯCLN( )a b, = ƯCLN(5a+2 , 7b a+3b)
2
(99)Suy p có dạng 3k+1
( )
14 15
p k k
⇒ + = + = + ⇒ +p 14 hợp số
Câu Gọi a sốcây lớp 6A trồng được, b sốcây lớp 6B trồng (a b, >0) Do tổng sốcâytrồng cảhai lớp 6A 6B 175 ⇒ + =a b 175⇒ =a 175−b Theo đềbài ta có:
1
a+ b= a b+
( )
1
175 175
3
75
175 75 100
b b b b
b a
⇒ − + = − +
⇒ =
⇒ = − =
Vậy lớp 6A trồng 100 cây, lớp 6B trồng 75 Câu
a) Ta có: ( o o) 40 110
BAD<BAC < ⇒ tia AD nằm tia AB AC
o o o
110 40 70 ABD DAC BAC
DAC BAC ABD
⇒ + =
⇒ = − = − =
Ta có: ( o o) 30 70
CAE<CAD < ⇒ tia AE nằm tia AD AC, mà D E C, , thuộc BC
E
⇒ nằm D C
b) Ta có: tia AE nằm tia AD AC
o o o
70 30 40 DAE EAC DAC
DAE DAC EAC
⇒ + =
⇒ = − = − =
( o)
40 DAE BAD
⇒ = = (1)
(100)⇒ D nằm B E (2)
Từ (1) (2) ⇒ AD có phân giác góc BAE
c) Góc có đỉnh A tạo thành từ2 điểm 2019 điểm thuộc BC đỉnh A
⇒ có 2019.2018 2037171
2 = góc
Câu Đặt n=147k =3.49 3k (k∈)
Vì n sốchính phương chia hết phải chia hết cho
k
⇒ ⇒ =k 3k1
2
1
9.49 21
n k k k
⇒ = = =
Do n có chữ số ⇒1000≤212k1≤9999⇒ ≤ ≤3 k1 22 Ta có:
2
2
1 21 21
k k
k = =
⇒k1 sốchính phương
{ }
1 4, 9,16 k
⇒ =
{ }
1
441 1764, 3969, 7056 n k
⇒ = ∈
2 Gọi số cần tìm x
x chia cho 131 dư 112 ( * ) 131 112 , 77
x k k k
⇒ = + ∈ <
( )
131 112 132 112
x k k k x k k
⇒ = + + − ⇒ = + −
x chia cho 132 dư 98 ⇒98 112= − ⇒ =k k 14 131.14 112 1946
x
⇒ = + =
Vậy số cần tìm 1946 Câu 6.
Chứng minh
16
A< với 12 23 34 99100 5 5
A= + + + +
2 100 99
5 5
A= + + + +
2 99 99
5
5 5
A
(101)2 99 100 98 99
98 99 99 100
99 100
1 1 99
4
5 5 5
1 1
20
5 5
1 1 1 99
20
5 5 5 5
2 99
16 1
5
A
A
A A
A
⇒ = + + + + −
⇒ = + + + −
⇒ − = + + + − − + + + −
⇒ = − + <
1 16
A
⇒ <
ĐỀ SỐ26: ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN THUẬN THÀNH - NĂM 2019 Bài (6 điểm)
1. Tính so sánh: 15 20 9 19 29 5.4 4.3 5.2 7.2 27 A= −
−
2019 2018 2017 2016 2015
2 2 2
B= − − − − − − −
2. Tìm xbiết: 13 17 + + + + + + =x 501501 3. Tìm số nguyên x ybiết: 2xy−6y+ =x
Bài (4 điểm)
1. Cho A= − + − + − + +1 19−20 a. Acó chia hết cho 2, cho 3, cho khơng? b. Tìm tất cảcác ước A
2. Cho n sốnguyên tố lớn Hỏi
2018
n + sốnguyên tố hợp số?
Bài 3.(4 điểm) Tìm tất cảcác số nguyên nđể: Phân số
2
n n
+
− có giá trị số nguyên Phân số 12
30
n n
+
+ phân sốtối giản Bài 4.(4 điểm)
1. Cho A Blà hai điểm tia Ox cho OA=a cm( ) với a>0; AB=3cm Tính
OB
2. Cho điểm O nằm hai điểm A B nửa mặt phẳng bờlà đường thẳng AB, kẻba tia OC, OD, OE cho BOC =42 ,° AOD =97 ,° AOE =56° Chứng tỏtia ODchia góc COE thành hai phần
(102)Cần số hạng tổng S = + + +1 đểđược sốcó ba chữ sốgiống
Hết -
LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN THUẬN THÀNH - NĂM 2019 Bài
1.Tính so sánh:
( )
( )
29 18 15 20 30 18 20 27
9 19 29 19 19 29 18 28 18
2 5.2
5.4 4.3 5.2 3 2.1.1
2 1.1.1 5.2 7.2 27 5.2 7.2 3 5.3 7.2
A= − = − = − = =
− − −
2019 2018 2017 2016 2015
2 2 2
B= − − − − − − −
Đặt 2018 2017 2016
2 2
C= + + + + +
( 2018 2017 2016 ) 2C =2 +2 +2 + + +
( ) 2019 2018 2019 2019 2019
2C=2 +2 + + ⇒ = C − ⇒ =1 B − − =1
Vậy A=2B
2 Tìm xbiết: 13 17 + + + + + + =x 501501 Ta có 5= +2 3; 9= +4 5; 13= +6 7; 17= +8
Do x= +a (a+1) (a∈)
Nên 5+ + +9 13 17+ + + = + + + + + + + + + x a (a+ =1) 501501 Hay (a+1)(a+ +1 : 2) =501501
(a+1)(a+2)=1003002=1001.1002⇒ =a 1000 Do x=1000+(1000 1+ =) 2001
3 Tìm số nguyên x ybiết: 2xy−6y+ =x 2xy−6y+ =x
( ) ( )
2y x− +3 x−3 =6 (x−3 2)( y+ =1)
Vì x, ylà số nguyên nên (x−3) (2y+1) ước (2y+1) số lẻ nên:
•
2 1
x x
y y
− = =
⇒
+ = =
•
2 1
x x
y y
− = − = −
⇒
+ = − = −
(103)•
2
x x
y y
− = =
⇒
+ = =
•
2
x x
y y
− = − =
⇒
+ = − = −
Bài
1. Cho A= − + − + − + +1 19−20 a. Acó chia hết cho 2, cho 3, cho không?
(1 2) (3 4) (5 6) (19 20)
A= − + − + − + + − (có 10 nhóm) ( ) ( ) ( )1 1 ( )1
= − + − + − + + − (có 10 số hạng)
( ) 10 10
= − = −
Vậy A2, A3, A5
b. Tìm tất cảcác ước A Ư(A) = ± ±{ 1; 2;± ±5; 10}
2 Cho n sốnguyên tố lớn Hỏi
2018
n + sốnguyên tố hợp số
n sốnguyên tố lớn nên n Vậy
n chia cho dư ⇒n2 =3m+1
Do ( )
2018 2018 2019 673
n + = m+ + = m+ = m+ Vậy
2018
n +
Bài 3.
1.
n n
+
− sốnguyên (n+1) ( n−2) Ta có n+ =1 (n−2)+3
Vậy (n+1) ( n−2) ( n−2)
(n− ∈2) Ư(3) = − −{ 3; 1; 1; 3}⇒ ∈ −n { 1; 1; 3; 5} 2 Gọi dlà ƯC của12n+1 30n+2 (d∈*)
( ) ( )
12n d; 30n d 12n 30n d d
⇒ + + ⇒ + − + ⇒ mà d∈*⇒ =d Vậy phân sốđã cho tối giản với n nguyên
Bài 4.
1 Cho A Blà hai điểm tia Ox sao cho OA=a cm( ) với a>0; AB=3cm
Tính OB
*) Trường hợp điểm B nằm tia đối tia AOkhi điểm A nằm O B
3 ( )
OB OA AB a cm
⇒ = + = +
*) Trường hợp điểm B nằm tia AO
- Nếu a>3thì điểm B nằm A Osuy OB=OA−AB= −a (cm)
(104)- Nếu a<3 O nằm A Bkhơng xảy tia Ox 2.
- Lập luận tia OE nằm tia OA OD - Tính DOE =41°
Mặt khác BOD AOD hai góc kềbù nên BOD =180° −AOD= °83 - Lập luận tia OC nằm hai tia OB OD
Tính COD =41° ⇒COD =DOE, chỉra tia OD nằm tia OE, OC Vậy tia ODchia góc COE thành hai phần
Bài
Giả sử số có chữ số aaa=111.a (alà chữ sốkhác 0)
Gọi số số hạng tổng n, ta có: ( 1) 111 3.37 ( 1) 2.3.37
n n
a a n n a
+
= = ⇒ + =
Vậy n n( +1) chia hết cho 37, mà 37 sốnguyên tố n+ <1 74 (n=74 khơng thỏa mãn)
Do n=37 n+ =1 37
Nếu n=37⇒ + =n 38 lúc ( 1) 703
n n+
= không thỏa mãn
Nếu n+ =1 37⇒ =n 36 lúc ( 1) 666
n n+
= thỏa mãn Vậy số số hạng tổng 36
ĐỀ SỐ27: ĐỀ THI KSCL HSG HUYỆN THƯỜNG TÍN - NĂM 2019 Câu 11: (5,0 điểm) Tính giá trịcác biểu thức sau:
a) : 3 18
A
b) B 3 5 2 : 113 162022
c) 1 1 1 1 1.3 2.4 3.5 2018.2020
C
Câu 12: (4,0 điểm) Tìm x biết:
a) 121115x3x 25 5 x8
b) 4 3 1 1 2016 2017 2018
2 12 2017 2018 2019
x x
(105)c)
100 96 104
4
2019 2019 2019 2019 1
2019 2019
x
Câu 13: (3,0 điểm) Cho
4
n A
n
a) Tìm n nguyên để A phân số b) Tìm n nguyên để A số nguyên
Câu 14: (6,0 điểm) Trên nửa mặt phẳng có bờlà đường thẳng xy, lấy điểm O VẽOz cho: 1
5
xOz xOy
a) Tính góc xOz, yOz?
b) Vẽtia Om cho xOm 18 Vẽtia On cho yOn 72 Tính góc
?
mOn
c) Lấy điểm A Oz ;B Oy ;C Ox. Nối AB,AC; Ở hai tia Ox Oz. Vẽ
thêm n tia gốc O không trùng với tia Ox Oz (đường thẳng AC cắt tất cảcác tia góc xOz; đường thẳng ABcắt tia On I ) người ta đếm tất 214 tam giác Tìm n?
Câu 15: (2,0 điểm)
Cho 1 1 1 1 1.3 2.4 3.5 2017.2019
A
Chứng minh A2 ?
LỜI GIẢI ĐỀ THI KSCL HSG THƯỜNG TÍN-NĂM 2019 Câu 1:
a) Ta có 5: 3 18
A :
3 18
1
3
6
3
Vậy
3
A
b)B 3 5 2 : 113 162022
3 25 8 : 11 162022
3 33 : 11 16 2022
3 5.3 16 2022
3 15 16 2022
3 2022
(106)c) Ta có 1 1 1 1 1.3 2.4 3.5 2018.2020
C
4 . 16. 4076361 1.3 2.4 3.5 2018.2020
2.2 3.3 4.4. . 2019.2019 1.3 2.4 3.5 2018.2020
2.3.4 2019 2.3.4 2019
1.2.3 2018 3.4.5 2020
2 2019
2020
2019 1010
Vậy 2019
1010
C Câu 2:
a) 121115x3x 25 5 x8
121 115 x 3x 16 5x
6 x 3x 16 5x
6 x 8x 24
9x 30
10
x
Vậy x =10
3
b) 4 3 1 1 2016 2017 2018
2 12 2017 2018 2019
x x
4 3 2016 2017 2018
2 12 12 12 2017 2018 2019
x x
4 3 0. 2016 2017 2018
2 2017 2018 2019
x x
4 3 0
2
x x
2 4 0
x
(107)Với x2 4 0 x2 4x2 22 22 x 2 hoặc x 2
Với
x
2
x
6
x Vậy 2; 2;
6
x
c)
100 96
104
2019 2019 2019 2019 - 1 2019 - - 2019
x
(*) ĐK: x 2019
Đặt A2019100 201996 20194 1
2019 4A2019104 2019100 20198 20194
(20194 1).A2019104 1
20191044
2019
A
(*) 20191044 20191044 2019 2019 - 2019
x
1
- 2019
x
x - 2019 1
x - 20191 x - 2019 1
x 2020 (thỏa đk) x 2018 (thỏa đk) Vậy x 2020 x 2018
Câu 3:
a) Để A phân sốthì
n n
phân sốkhi n 4 0hay n 4 Vậy số nguyên n 4 A phân số
b) Ta có
n A
n
4
n n
5
4
n
Để A sốnguyên
4
n sốnguyên ( n 4) hay n 4 Ư
5 (n4)5; 5;1; 1
4
n 5 1
(108)Vậy n 1; 9; 3; 5 Câu 4:
a) Vì điểm O nằm đường thẳng xy nên tia Ox tia Oy hai tia đối
hay góc xOy góc bẹt, suy xOy 180 Ta có:
5
xOz xOy 1.180
36
Trên nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng xy , xOz xOy (vì
36 180 ) nên tia Oz nằm hai tiaOx Oy
Suy ra: xOzzOy xOy
36 zOy 180 zOy180 36
zOy 144 Vậy xOz 36, zOy 144
b) Trên nửa mặt phẳng có bờlà đường thẳng xy, xOm xOy (vì
18 180 ) nên tia Om nằm hai tiaOx Oy
Suy ra: xOm mOy xOy 18 mOy 180 mOy 180 18 mOy 162
Trên nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng xy , yOn yOm (vì
72 162 nên tia On nằm hai tia Om Oy
m z
n
y x
I O A
(109)Suy ra: yOnnOm yOm
72 mOn 162
162 72
mOn
90
mOn
Vậy mOn 90
c) Vì có n tia chung gốc O nằm hai tia Ox Oz nên đoạn thẳng AC
có n2 điểm, suy n 2 đoạn thẳng nối từO đến điểm
Mỗi đoạn thẳng có thểkết hợp với n 1 đoạn thẳng đoạn thẳng tương ứng AC đểtạo thành n1 tam giác
Do n2 đoạn thẳng sẽtạo thành n2n 1 tam giác
Vì sốtam giác tính hai lần nên sốtam giác tạo thành 2 1
n n
tam giác
Theo đềđếm tất cả214 tam giác gồm tam giác: ABC,AIO,ABO,
OBI
210 tam giác tạo hai n2 đoạn thẳng nối từO đến
2
n điểm đoạn thẳng AC đoạn thẳng tương ứng AC
Do đó: 2 1 210
n n
n2n1210.2
n2n121.20
Vì n 2 n1 hai sốtựnhiên liên tiếp nên n 19 Vậy n 19
Câu 5:
Ta có 1 1 1 1
1.3 2.4 3.5 2017.2019
A
4 16 4072324
1.3 2.4 3.5 2017.2019
2.2 3.3 4.4. . 2018.2018 1.3 2.4 3.5 2017.2019
2.3.4 2018 2.3.4 2018 1.2.3 2017 3.4.5 2019
2 2018
2019
2019 2019
2
(110)ĐỀ SỐ28: ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN TIÊN HẢI - NĂM 2019 Câu (5,0 điểm)
1 Tính: A 1 1
3 3
5 36 15 − = − −− + − + + Cho 2018 2019
7 7 7
B= + + + + +
Tính B Hỏi B có số phương khơng?
3 Tìm x biết (x+ + + + +2) (x 7) (x 12)+ + + (x 42) (+ +x 47)=655 Câu (4,0 điểm)
1 Tìm sốtự nhiên có chữ số, biết chia cho 23 dư 14 chia cho 25 dư 16
2 Cho 201920182019
2019
C= + +
2019 2020 2019 2019 D= +
+ So sánh C D Câu (4,0 điểm)
1 Tìm sốtựnhiên ab biết: ab a b bbb =
2 Cho N=155* 710 * *16 số tự nhiên có 12 chữ số Chứng tỏ thay dấu * chữ sốkhác ba chữ số 1; 2; cách tùy ý N ln chia hết cho 396
Câu (5,0 điểm)
Cho đoạn thảng AB=7cm, lấy điểm P thuộc đoạn thẳng AB Trên tia đối tia AB lấy điểm Q cho AQ=AP
1 Biết BP=3cm, tính đoạn PQ
2 Trên nửa mặt phẳng bờ đường thẳng AB, vẽtia Ax, Ay cho
60
BAx= °, BAy=150° Tính QAy , yAx
3 Cho O không thuộc đường thẳng AB thêm 2016 điểm phân biệt khác thuộc đoạn thẳng AB không trùng với điểm A B P Q, , , , Hỏi vẽ đoạn thẳng có hai đầu mút hai điểm sốcác điểm cho?
Câu (2,0 điểm)
Cho 8065 8069
2 2018 2019
M= + + + + + Tìm chữ sốtận M
(111)1 Ta có 1 1
3 3
5 36 15
A= − −− + − + +−
3
1 1
3 15 36 73
A= − + + − − +− +
−
27
5 1
15 73
8 36
A= + + +− − − +
( )1 1 73 73
A= + − + =
Vậy
73
A=
2 Ta có 2018 2019 7 7
B= + + + + + 7B= + + + +72 73 74 72019+72020 Khi 2020
7B B− = −7 suy
2020
7
6 B= −
Một sốchính phương chia hết cho p chia hết cho
p (p∈Ν,p≠0) B chia hết cho không chia hết cho 72 khơng chia hết cho 72 Vậy B khơng sốchính phương
3 Ta có (x+ + + + +2) (x 7) (x 12)+ + + (x 42) (+ +x 47)=655
( )
47 47
1 47 :2 655
5 x
− −
⇔ + + + + =
10x 245 655 x 41
⇔ + = ⇔ =
Vậy x=41
Câu 2.
1 Gọi sốtựnhiên có ba chữ số a Ta có 23 14 23
25 16 25
a p a m
a q a n
= + + =
⇒
= + + =
(m, n, p, q∈Ν) sai de Khi a+ ∈9 BC(23, 25) {= 0;575;1150; }
Vì a sốcó ba chữ số nên a=566
2 ( )
2018
2018 2019
2019 2019 2019 2019
2019 2019
2019 2019 2018 2018
2019
2019 2019 2019 2019
C= + ⇒ C= + = + + = +
+ + + +
( 2019 )
2019 2020
2020 2020 2020 2020
2019 2019
2019 2019 2018 2018
2019
2019 2019 2019 2019
D= + ⇒ D= + = + + = +
+ + + +
Vì 20182019 20182020
(112)1 Ta có bbb b= 111 37.3.= b=37.3.7=ab a b ⇒ab=37 Ta có 396 = 4.9.11
+ N có hai chữ sốtận 16 chia hết cho suy N chia hết cho + Tổng chữ số N bằng
1 5 * * * 30 * * * 30 36+ + + + + + + + + + + = + + + = + = chia hết cho suy N chia hết cho
+ Tổng chữ số hàng chẵn N – Tổng chữ số hàng lẽ N = 18 – 18 = chia hết cho 11 suy N chia hết cho 11
Vậy N chia hết cho 4, 9, 11 suy N chia hết cho 396 Câu
1
Ta có BP=3cm suy AP=4cm
Mà AQ=AP⇒QB=AQ+AB= + =4 11cm
2
Ta có BAy QAy + =180°⇒QAy=30°
150 90
BAx+yAx= °⇒yAx= °
3 Ta có 2016 + = 2020 điểm thuộc AB (khơng có điểm trùng nhau) điểm không thuộc AB Vậy qua 2021 điểm sẽcó đoạn thẳng 2021(2021-1):2=2041210
Câu
Tất số hạng tổng có dạng 4
n n
a + =a a Nếu a tận 0, 1, 5, 4n
a + tận giống tận a
Nếu a tận 7, suy
a có tận suy a4n tận suy
4 n
a a có tận giống a Nếu a tận suy
a tận suy suy a4n tận 1suy
4 n
a a có tận giống a
Q A P B
y
x
(113)Nếu a tận suy 4n
a tận suy a4n.a tận giống 6.2 => tận => giống a
Chứng minh tương tựta có sốtận 4, n
a a có tận giống a Vậy 4n
a + có chữ sốtận giống a với a
Chữ sốtận M giống chữ sốtận N với N tổng
2019.2020
2 2019 2019.1010
N= + + + + = − = −
Do 2019.1010 có tận => N tận => M tận
ĐỀ SỐ29: ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN TIÊN HẢI - NĂM 2019 Câu (5,0 điểm)
1 Tính: A 1 1
3 3
5 36 15 − = − −− + − + + Cho 2018 2019
7 7 7
B= + + + + +
Tính B Hỏi B có sốchính phương khơng?
3 Tìm x biết (x+ + + + +2) (x 7) (x 12)+ + + (x 42) (+ +x 47)=655 Câu (4,0 điểm)
1 Tìm sốtự nhiên có chữ số, biết chia cho 23 dư 14 chia cho 25 dư 16
2 Cho 201920182019
2019
C= + +
2019 2020 2019 2019 D= +
+ So sánh C D Câu (4,0 điểm)
1 Tìm sốtựnhiên ab biết: ab a b bbb =
2 Cho N=155* 710 * *16 số tự nhiên có 12 chữ số Chứng tỏ thay dấu * chữ sốkhác ba chữ số 1; 2; cách tùy ýthì N chia hết cho 396
Câu (5,0 điểm)
Cho đoạn thảng AB=7cm, lấy điểm P thuộc đoạn thẳng AB Trên tia đối tia AB lấy điểm Q cho AQ=AP
1 Biết BP=3cm, tính đoạn PQ
2 Trên nửa mặt phẳng bờ đường thẳng AB, vẽtia Ax, Ay cho
60
(114)3 Cho O không thuộc đường thẳng AB thêm 2016 điểm phân biệt khác thuộc đoạn thẳng AB không trùng với điểm A B P Q, , , , Hỏi vẽ đoạn thẳng có hai đầu mút hai điểm sốcác điểm cho?
Câu (2,0 điểm)
Cho 8065 8069
2 2018 2019
M= + + + + + Tìm chữ sốtận M
LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN TIÊN HẢI - NĂM 2019 Câu
1 Ta có 1 1
3 3
5 36 15
A= − −− + − + +−
3
1 1
3 15 36 73
A= − + + − − +− +
−
27
5 1
15 73
8 36
A= + + +− − − +
( )1 1 73 73
A= + − + =
Vậy
73
A=
2 Ta có 2018 2019 7 7
B= + + + + + 7B= + + + +72 73 74 72019+72020 Khi 2020
7B B− = −7 suy
2020
7
6 B= −
Một sốchính phương chia hết cho p chia hết cho
p (p∈Ν,p≠0) B chia hết cho không chia hết cho
7 khơng chia hết cho 72 Vậy B khơng sốchính phương
3 Ta có (x+ + + + +2) (x 7) (x 12)+ + + (x 42) (+ +x 47)=655
( )
47 47
1 47 :2 655
5 x
− −
⇔ + + + + =
10x 245 655 x 41
⇔ + = ⇔ =
Vậy x=41
Câu
1 Gọi sốtựnhiên có ba chữ số a Ta có 23 14 23
25 16 25
a p a m
a q a n
= + + =
⇒
= + + =
(m, n, p, q∈Ν) sai de Khi a+ ∈9 BC(23, 25) {= 0;575;1150; }
(115)2 ( ) 2018
2018 2019
2019 2019 2019 2019
2019 2019
2019 2019 2018 2018
2019
2019 2019 2019 2019
C= + ⇒ C= + = + + = +
+ + + +
( 2019 )
2019 2020
2020 2020 2020 2020
2019 2019
2019 2019 2018 2018
2019
2019 2019 2019 2019
D= + ⇒ D= + = + + = +
+ + + +
Vì 20182019 20182020
2019 +1 2019> +1nên 2019C>2019D⇒ >C D Câu
1 Ta có bbb b= 111 37.3.= b=37.3.7=ab a b ⇒ab=37 Ta có 396 = 4.9.11
+ N có hai chữ sốtận 16 chia hết cho suy N chia hết cho + Tổng chữ số N bằng
1 5 * * * 30 * * * 30 36+ + + + + + + + + + + = + + + = + = chia hết cho suy N chia hết cho
+ Tổng chữ số hàng chẵn N – Tổng chữ số hàng lẽ N = 18 – 18 = chia hết cho 11 suy N chia hết cho 11
Vậy N chia hết cho 4, 9, 11 suy N chia hết cho 396 Câu
1
Ta có BP=3cm suy AP=4cm
Mà AQ=AP⇒QB=AQ+AB= + =4 11cm
2
Ta có BAy QAy + =180°⇒QAy=30°
150 90
BAx+yAx= °⇒yAx= °
3 Ta có 2016 + = 2020 điểm thuộc AB (khơng có điểm trùng nhau) điểm khơng thuộc AB Vậy qua 2021 điểm sẽcó đoạn thẳng 2021(2021-1):2=2041210 Câu
Tất số hạng tổng có dạng 4
n n
a + =a a
Q A P B
y
x
(116)Nếu a tận 0, 1, 5, 4n
a + tận giống tận a
Nếu a tận 7, suy
a có tận suy 4n
a tận suy
4 n
a a có tận giống a Nếu a tận suy
a tận suy suy a4n tận 1suy
4 n
a a có tận giống a Nếu a tận suy 4n
a tận suy a4n.a tận giống 6.2 => tận => giống a
Chứng minh tương tựta có sốtận 4, n
a a có tận giống a Vậy 4n
a + có chữ sốtận giống a với a
Chữ sốtận M giống chữ sốtận N với N tổng
2019.2020
2 2019 2019.1010
N= + + + + = − = −
Do 2019.1010 có tận => N tận => M tận
ĐỀ SỐ30: ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN TĨNH GIA- NĂM 2019 Câu (4,0 điểm)
1) Thực phép tính sau cách hợp lí: a)123 456456−456 123123
b) 13
2.1+1.11+11.2+ 2.15+15.4 2) Rút gọn biểu thức sau:
( ) 22 15
2 14 11.3
2.3
M = +
Câu (6,0 điểm)
1) Cho x tổng tất số nguyên có hai chữ số, y số nguyên âm lớn Hãy tính
giá trị biểu thức : 2018 2017 2020 2019 A= x − y 2) Tìm số nguyên x ybiết : xy− +x 2y=3
3) Tìm x, biết : 10 22 36 8352 x 10 + + + + = −
Câu (4,0 điểm)
1)Tìm phân sốtối giản a
b lớn ( ) * , ∈
a b cho chia phân số 14; 16 75 165 cho a
(117)2) Cho 1.2.3 2018 1 1 2017 2018
A= + + + + +
, chứng tỏ A số tựnhiên chia hết cho 2019
Câu (4,0 điểm) Cho góc bẹt xOy, tia Ox lấy điểm A cho OA = cm Trên tia Oy
lấy hai điểm M B cho OM = cm, OB = cm 1) Chứng tỏđiểm Mlà trung điểm đoạn thẳng AB
2) TừOhai tia Oz Ot nằm hai nửa mặt phẳng đối bờ đường thẳng
xy cho yOz=40 ,° yOz=110° Tính sốđo zOt
3) Qua O kẻthêm n tia phân biệt khác tia Ox, Oy, Ot, Oz Biết hình có
120góc phân biệt chung gốc O Tính n
Câu (2,0 điểm) Cho a, blà bình phương hai số nguyên lẻliên tiếp Chứng minh :
1
A=ab− − +a b chia hết cho 48
LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN TĨNH GIA - NĂM 2019 Câu 1.1) a) Ta có : 123 456456−456 123123 123.456.1001 456.123.1001= − =0
b) 13 4.2 2.1 13 1
2.1 1.11 11.2 2.15 15.4 11.2 15.4 2
+ +
+ + + + = + + = + +
1 13
4
= + =
2) Ta có :
( )
22 15 29 30 29
2 28 28
14
11.3 11.3 3 (11 3) 3.14 3.7 21 4.3 2 2.3
M = + = + = + = = =
Câu
1) Vì xlà tổng tất cảcác sốngun có hai chữ số nên :
( 10) ( 11) ( 99) 10 11 99
x= − + − + + − + + + +
= −( 10)+10 + −( 11)+11+ + − ( 99)+99= + + + =0 0
y sốnguyên âm lớn nên: y= −1 Do đó:
( )2017 ( )
2018 2017 2018
2020 2019 2020.0 2019 2019 2019
A= x − y = − − = − − =
2) Ta có: xy− +x 2y= ⇒3 xy− +x 2y− = ⇒2 (xy−x) (+ 2y−2)=5 ⇒x y( − +1) (2 y− = ⇒1) (y−1)(x+2)=5
(118)y -1 -5 -1
y -4
x + -1 -5
x -3 -7 -1
Vậy cặp số nguyên x, ythỏa mãn là: ( ) (x y; ∈ − −{ 3; ,) (−7;0 , 3; ,) ( ) (−1;6)} 3) Ta có:
8 8
1
10 22 36 8352 + + + +
=
18.30.44 8360 10.22.36 8352 =
2.9.3.10.4.11 88.95 1.10.2.11.3.12 87.96 =((2.3.4 88 9.10.11 95) () ( )) 88.9 33
1.2.3 87 10.11.12 96 = 96 = Do đó:
8 8 8
1 10 22 36 8352 x 10 + + + + = −
33
x
⇒ = 33:
5 165
x x
⇒ = ⇒ =
Vậy 165 x= Câu
1) Theo đềbài ta có : 14: 14 14 75 75 75 a a b b b a = ∈ ⇔
(Vì (14,75) =1, (a, b) =1
16 : 16 16
165 165 165 a a b b b a = ∈ ⇔
( Vì (16,165) = 1, (a, b) =1 Đểphân sốtối giản a
b lớn a= ƯCLN(14; 16)=2,b= BCNN(75; 165) = 825 Vậy phân số cần tìm :
825 2) Ta có : 1 1 1
2 2017 2018
+ + + + + = 1 1 1
2018 2017 1009 1010 + + + + +
= 2019 1 1.2018 2.2017 1009.1010
+ + +
= 2019.2.3 2016.2017 1.3.4 2016.2018 1.2 1008.1011 2017.2018 1.2.3 2017.2018
+ + +
Do : 1.2.3 2018 1 1
2 2017 2018
A= + + + + +
=
2.3 2016.2017 1.3.4 2016.2018 1.2 1008.1011 2017.2018 1.2.3 2018.2019
1.2.3 2017.2018
+ + +
=
( )
2019 2.3 2016.2017 1.3.4 2016.2018 1.2 1008.1011 2017.2018 2019
(119)Vậy A sốtựnhiên chia hết cho 2019 Câu
1)
( hình vẽ)
Trên tia Oyta có OM < OB (2 < 8) nên điểm M nằm hai điểm O và B Do :
OM +MB=OB⇒MB=OB−OM = − = cm
Vì M nằm tia Oy, A nằm tia Ox Hai tia Ox, Oy là hai tia đối , OM OA
là hai tia đối suy : O nằm giữa M và A Ta có: MA=OA+OM = + =4
cm
Vì O nằm A M; M nằm O B ⇒ M nằm A B Lại có MA = MB (=6cm)
⇒ Mlà trung điểm AB
2) Kẻtia Oz'là tia đối tia Oz, Tia Oy nằm hai tia Oz, Oz' nên :
yOz+yOz'=zOz' ( hình vẽ)
' ' 180 40 140
yOz zOz yOz
⇒ = − = ° − ° = °
Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Oy có yOt< yOz' 110( ° <140°) nên tia Ot nằm hai tia Oy, Oz' Do đó:
yOt+tOz'= yOz'⇒tOz '= yOz'−yOt=140° −110° = °30
Vì tia Oy nằm hai tia Oz, Oz'; tia Ot nằm hai tia Oy, Oz' ⇒ tia Ot nằm hai tia Oz, Oz' nên : zOt +tOz'=zOz'⇒zOt =zOz'−tOz' 180= ° − ° =30 150°
Vậy zOt=150°
3) Tất cảcác tia chung gốc O n+4 ⇒ Số góc n+4 tia tạo : ( 4)( 1) ( 3)( 4)
2
n+ n+ − n+ n+
= Theo đềbài ta có : z'
t
z
110° 40°
(120)( 3)( 4) ( )( )
120 240 15.16
n n
n n
+ +
= ⇒ + + = = n+3 n+4 hai số tự nhiên liên tiếp nên : n+ =3 15⇒ =n 12
Câu
Vì a,blà bình phương hai số nguyên lẻliên tiếp nên :
( )2 ( ) (2 )
2 ;
a= n− b= n+ n∈
Ta có :ab a b− − + =1 (ab a− ) (− − =b 1) a b( − − − =1) (b 1) (a−1)(b−1) Do đó:
( ) ( )2 ( )2 ( ) ( ) 2( )( )
(a 1) 1 1 4 16 1
A= − b− = n− − n+ − = n n− n n+ = n n− n+ mà n n( −1)(n+1 3) ( tích sốnguyên liên tiếp)⇒A(16.3)⇒ A48 (dpcm) ĐỀ SỐ 31: ĐỀ THI CHỌN HSG TOÁN HUYỆN TRIỆU SƠN- NĂM 2018 – 2019 Bài ( 5,0 điểm) Tính giá trịcác biểu thức sau:
a) ( )
3
1, 1, 25 1, 08 :
2
5 25
0, 50% :
1 5
0, 64 2 25 17
A
−
= + + −
−
− −
b) 11.9 3112 714 275
B= −
c) 1 1 1 1 1 1, 08
1.3 2.4 3.5 2016.2018 2017.2019 25
C= + + + … + + −
Bài (4,0 điểm)
a) Tìm số tự nhiên lớn có chữ số tổng a+ = + = +b c d e f với số a b c d e, , , , thỏa mãn 35; 130; 14
49 143 26
a c e
b = d = f = b) Tìm sốtựnhiên x y, thỏa mãn
2 3
x y x+y + =
+ c) Cho 522 533 520192018
1 5 5
M = + + + +…+
+ + + +…+
2 2019 2018
1 3 3
1 3 3
N = + + + +…+
+ + + +…+ Hãy so sánh M N
Bài (3,0 điểm)
a) Tìm sốnguyên tố x y để P=xy+5x−2y−10 sốnguyên tố b) Chứng minh rằng:
1) Q=n5−n chia hết cho 10 với
(121)2) Cho 5 5
1 2019
A= + + +…+ B= + + + …+1 2019
Chứng minh A B có sốtận giống Bài (6,0 điểm)
Cho điểm O nằm đường thẳng xy Trên nửa mặt phẳng bờ xy vẽ tia Om tạo với Ox góc a0 Vẽtia On tạo với Om góc (a+10)0 tạo với Oy góc (a+20)0
a) Tính a
b) Trên nửa mặt phẳng chứa Om On vẽcác tia Oz Ot cho góc tOx
0
22 góc yOz 400 Tính góc tOz
c) Vẽthêm 2019 tia gốc O khác tia Ox Oy Oz Ot Om On, , , , , Hỏi có tất cảbao nhiêu góc tạo thành
Bài (2,0 điểm)
Có 2021 sốnguyên khác thỏa mãn cứghép 10 sốbất kì thành nhóm tổng thu sốdương Chứng minh sốđó cóít
203 sốnguyên dương
HẾT
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN HUYỆN TRIỆU SƠN- NĂM 2018 - 2019 Bài
a) ( )
3
1, 1, 25 1, 08 :
2
5 25
0, 50% :
1 5
0, 64 2 25 17
A
−
= + + −
−
− −
8 27 1, :
3 25 25
: 16 50 36 5
25 25 17
−
= + + −
−
− −
7
3, 4 117 36 5 2
36 17
= + +
16 16 19
3 3
= + + = + =
(122)( ) 27
29 27
2 28 28 11
11.3
2 3
− −
= = =
c)Với * n∈N ta có
( ) ( ) (( ))
2
1
1
1
2 2
n n n
n n n n n n +
+ +
+ = =
+ + +
Từđó
2 2 2
2 2018 27
1.3 2.4 3.5 4.6 2017.2019 25 25 C= … −
2 2 2 2 2
2 2018 1.2.3 2017 2018.2019
… = … 2019 =
Bài (4,0 điểm)
a) Tìm số tự nhiên lớn có chữ số tổng a+ = + = +b c d e f với số a b c d e, , , , thỏa mãn 35; 130; 14
49 143 26
a c e
b = d = f = b) Tìm sốtựnhiên x y, thỏa mãn
2 3
x y x+y + =
+ c) Cho 522 533 520192018
1 5 5
M = + + + +…+
+ + + +…+
2 2019 2018
1 3 3
1 3 3
N = + + + +…+
+ + + +…+ Hãy so sánh M N
Lời giải a) Gọi T = +a b
Ta có 35
49
a a
b = ⇒ =b Vậy a
b có phân sốtối giản
7 a 5, 7b
Từđó 12
5 12 12
a b a b T T +
= = = ⇒
Tương tựthì 130 10 21
143 11 10 11 21
c c d T
T d = = ⇒ = = ⇒
Và 14 20
26 13 13 20
e e f T
T f = = ⇒ = = ⇒
Mà BCNN(12; 21; 20)=420⇒T420⇒maxT =840
b) 15 10 6( ) *( )
2 3
x y x y
x y x y x y +
+ = ⇒ + = + ⇒ = −
+
(123)c)Ta có
( 2018) 2019
2 2018 2018 2018
1 5 5
1 5 5
5
1 5 5 5 5 5 5
M = + + + +…+ = + + + + +…+ = +
+ + + +…+ + + + +…+ + + + +…+
( 2018) 2019
2 2018 2018
1 3 3
1 3 3
1 3 3 3 3
N = + + + +…+ = + + + + +…+
+ + + +…+ + + + +…+
2 2018
3
1 3 3
= +
+ + + +…+
Vậy 2 13 2018 2 13 2018
1 5 5 3 3
M −N = + + −
+ + + +…+ + + + +…+
Rõ ràng 2 13 2018 1
1 3+ + + +…+3 1= ⇒M −N ⇒M >N Bài
a) Ta có P=xy+5x−2y−10=x y( + −5) (2 y+5) (= x−2)(y+5)
Bới đểP sốnguyên tốthì hai giá trị x−2 y+5 phải mà
y+ ≥ nên x− = ⇔ =2 x từđó P= +y Nếu y lẻthì P chẵn, điều vơ
lí ⇒ y phải chẵn mà y sốnguyên tố ⇒ =y Vậy x=3;y=2
b)
1) Ta có ( )
Q=n − =n n n −
(*) Nhận thấy n lẻthì n4−1 chẵn ( )
n n
⇒ − số chẵn ⇒Q2
(*) Nếu n không chia hết cho sử dụng định lí Phecma ta có n4 ≡1(mod5) tức
1
n − sẽchia hết cho Vậy n n( 4−1) chia hết cho với n
Từđó Q chia hết cho bội chung tức 10 Bài
(124)Ta có 0 0
180 10 20 180 50
xOm+mOn+nOy= ⇒ + +a a + +a = ⇔ =a b)
Ta có 0 0
180 180 40 22 118
tOz= −tOx−zOy= − − = c)
Như ta có tất cảlà 2025 tia
Với tia đó, kết hợp với 2024 tia cịn lại sẽtạo 2024 góc góc sẽbịtính lần, sốgóc tạo 2024.2025 2049300
2 =
Bài
Nếu chỉcó tối 202 sốngun dương dễ dàng lấy 10 sốkhông dương số1819 sốcịn lại, xét tổng 10 số sốkhơng âm, điều vơ lí Vậy phải có 203 sốngun dương
Chú ý: Đềbài không rõ ràng
ĐỀ SỐ32: ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP HUYỆN CHƯƠNG MỸ2019 Câu (4,0 điểm)
1 Cho biểu thức:
5
6
2
3, , 08 :
25
1 A
5
9
−
−
= ( )
4 0,8 : 1, 25
5
1, 2.0, : 0,8
0, 64 25 B
= +
− Tính A+3B?
2 Cho 1
3.7 7.11 11.15 2019.2023
S = + + + + So sánh Svới 504
6068 Câu (4,0 điểm) Tìm số nguyên x y, thỏa mãn:
a) ( )2
2x−1 : 9=49 b) 3x+3x+2 =810 c) 2
3
x y
(125)1 Cho 2019 5
A= + + + + Chứng tỏrằng 4A+5là sốchính phương
2 Chứng tỏ với số tự nhiên n 3n+2và 5n+3là hai số nguyên tố
Câu (2,0 điểm)
1 Cho phân số 2019 2020 P
x =
− Tìm số nguyên x để P có giá trị lớn Tìm giá trị lớn
2 Hãy chia số36 thành ba số a b c, , cho a
b = b c = Câu (6,0 điểm)
1 Cho điểm O nằm đường thẳng xy Trên tia Oxlấy điểm M cho
OM = cm Trên tia Oylấy hai điểm Nvà Psao cho ON =1cm, OP=3cm
a) Chứng tỏrằng Nlà trung điểm đoạn thẳng MP
b) Trên tia đối tia Mylấy điểm Q cho MQ=2cm Tìm trung điểm đoạn thẳng PQ MN NQ, , ? Giải thích sao?
2 Cho hai tia Ox Oy đối Trên nửa mặt phẳng bờ đường thẳng xy vẽ tia OA OB OC, , cho xOA=45 ;° xOB= °80 ;yOC= °65
a) Tia OAcó tia phân giác xOB khơng? Vì sao?
b) Vẽtiếp 2016 tia chung gốc O khơng có hai tia trùng kể
cảcác tia cho Hỏi có tất cảbao nhiêu góc tạo thành?
Câu ( điểm) Lớp 6A có 45 học sinh làm kiểm tra mơn Tốn khơng có bịđiểm có bạn điểm 10 Chứng tỏrằng tìm học sinh có điểm kiểm tra Biết điểm kiểm tra sốtựnhiên từ0 đến 10?
LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN CHƯƠNG MỸ - NĂM 2019 Câu
1 Ta có:
2
5
.2 3, 25
17
2 4 7
1, 08 : 1:
1
25 7 4
A
11 7 4
36 17
−
= = =
−
=
( )
4 0,8 : 1, 25
4 3 25
1, 2.0, : 0,8 :
1 5 5 4 12
0, 64 25 B
= + = + =
(126)1 25 25 13
3
4 12 4
A+ B= + = + =
2 1
3.7 7.11 11.15 2019.2023 S = + + + +
4 4
4
3.7 7.11 11.15 2019.2023
1 1 1 1
4
3 7 11 11 15 2019 2023
1 2020
4
3 2023 6069 505
6069 S
S
S
S
= + + + +
= − + − + − + + −
= − =
= Ta có:
504 5564 505 5564
1 ;
6068= −6068 6069 = −6069 Mà 5564 5564 504 505
6068>6069⇒6068<6069 Vậy S> 504
6068 Câu
1) ( )2 ( )2
2x−1 : 9=49⇒ 2x−1 =411⇒2x− =1 21 2x− = −1 21
+) 2x− =1 21⇒ =x 11
+) 2x− = − ⇒ = −1 21 x 10
Vậy x∈ −{ 10;11}
2)
3x+3x+ =810
4 10.3 810
3 81
3
4 x x x
x = = = ⇒ = Vậy x=4
3) 2
3
x y − =
( )
2
2
x
y
x y
− =
⇒ − =
(127)Nê ta có bảng:
2x−1 -1 -3
y -6 -2
x -1
Vậy ( ) ( ) (x y; ={1; , 0; ,− ) (− −1, 2)} 4) 80x;56 x ⇒ ∈x ƯC(80,56)
Ta có ƯCLN(80,56)=8
Nên ƯC(80,56)= Ư(8)={± ± ± ±1; 2; 4; 8} Vì x∈ƯC(80,56) x≥3 nên x∈{ }4;8 Câu 3:
1) Ta có:
( ) 2020
2020
2 2020 1010 5 5
5 5
4 5
A
A A
A
= + + + − = − + = =
Vậy 4A+5là sốchính phương
2) Đặt: ƯCLN(3n+2,5n+3) =d
( ) ( )
( ) ( )
3 ;
5 3
1
n d n d
n n d
d d
⇒ + +
⇒ + − + ⇒ =
Vậy với sốtựnhiên n 3n+2và 5n+3là hai sốnguyên tốcùng Câu 4:
1 ĐK: x≠2020
*Nếu x<2020thì x−2020< ⇒ <0 P
*Nếu x>2020thì x−2020> ⇒ >0 P
Vì x số nguyên nên x−2020 1≥
Do 2019 2019 2020
P x
= ≤
−
Xảy P=2019 x−2020= ⇒ =1 x 2021
Vậy với x=2021 giá trị lớn P=2019
2 Vì chia số36 thành ba số a b c, , nên a+ + =b c 36 (1)
Ta có:
3
4
a
a b b = ⇒ =
4
5
b
(128)Thay vào (1) ta có 36 36 12 4b b+ +4b= ⇒ b= ⇒ =b 9; 15
a c
⇒ = =
Vậy a=9; b 12;= c=15 Câu 5:
1 Ta có hình vẽ:
a) Do ON =1cm, OP=3cm nên ON <OPsuy N nằm hai điểm O
và P Ta có:
1
ON NP OP
NP NP
+ =
+ = ⇒ =
Do OM ON, hai tia đối nên O nằm hai điểm M N
Ta có: MN =ON+OM = + =1
Vì MN =NP=MP: nên Nlà trung điểm đoạn thẳng MP
b) Do Q thuộc tia Mx nên Q thuộc tia Ox, mà P thuộc tia Oy nên điểm O
nằm hai điểm P Q
Do tia MQ tia MOlà tia đối nên điểm M nằm hai điểm O
và Q Ta có:
1
OQ=OM +MQ= + = (cm)
OP OQ
⇒ = = cm
Lại có điểm Onằm hai điểm P Q Vậy điểmO trung điểm đoạn thẳng PQ Tương tự:
+ Điểm O nằm hai điểm M N; OM =ON =1cm, nên điểmO
trung điểm đoạn thẳng MN
+ Điểm M nằm hai điểm Q N; MN =NQ=2cm, nên điểmM trung điểm đoạn thẳng QN
(129)a) Do xOA=45 ;° xOB= ° ⇒80 xOA<xOB
⇒Tia OA nằm hai tia Ox OB Ta có:
45 80 35
BOA AOx BOx
BOA BOA
+ =
+ ° = ° ⇒ = °
Mà xOA= °45
Suy xOA ≠ AOB Vậy tia OA không tia phân giác xOB b) Do xOC yOC hai góc kềbù nên xOC + yOC=180°
180 180 65 115
xOC yOC
⇒ = ° − = ° − ° = °
Ta có: xOA=45 ;° xOB= °80 ;xOC=115°
⇒Tia OB nằm hai tia Ox OC Ta có:
80 115
115o 80o 35o BOC BOx COx
BOC BOC
+ =
+ ° = °
⇒ ∠ = − =
Do tia OB nằm hai tia OA OCmà BOA =BOC= °35 nên tia
OB tia phân giác AOC
c) Có tất 2021 tia phân biệt chung gốc O
Từ1 tia ban đầu tạo với 2020 tia lại tất 2020 góc
Mà có tất 2020tia nên có 2020.2021góc Tuy nhiên góc tính lần nên sốgóc tạo thành là: 2020.2021: 2=2041210(góc) Câu 6:
Số học sinh lớp 6A đạt điểm kiểm tra từ2 đến là: 45 2− =43( học sinh)
Ta có: 43=8.5 3+
Khi phân chia 43 học sinh vào loại điểm kiểm tra từ2 đến theo Ngun lý Dirichlet ln tồn 1+ =6học sinh có điểm kiểm tra giống
ĐỀ SỐ 33: ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP HUYỆN VĨNH YÊN2019 Câu 1: (2,0 điểm)
1 Thực phép tính: 100 99 99
2 2 2 2 2 1
A= − − − − − −
2 Cho 34 51 85 68 7.13 13.22 22.37 37.49
A= + + + 39 65 52 26
7.16 16.31 31.43 43.49
B= + + +
Tính A
B
(130)1 Tìm x∈ biết: 1 101 2.5 5.8 8.11+ + + +x x( +3)=618
Tìm cặp sốnguyên dương ( ; )x y biết : 3xy x y+ + =13. Tìm số nguyên tố a b c, , biết:2a+3b+6c=78
Câu 3: (1,5 điểm)
Tìm hai sốtựnhiên a b thõa mãn điều kiện:a+2b=51 và[ ]a b; +( )a b; =93 Khi phân tích thừa sốnguyên tố, 1000! chứa thừa sốnguyên tố 7 với sốmũ
bằng bao nhiêu? Câu 4: (1,0 điểm)
Chứng minh rằng: tích sốtựnhiên liên tiếp cộng sốchính phương Câu 5: (2,0 điểm)
Cho xOy=60 ° Trên tia Ox; Oy lấy điểmA B, (điểm A B, khác điểm O).Trên đoạn thẳng AB lấy điểm Csao cho AOC= °30
a) Tính sốđo BOC
b) Từ O vẽtia Oz cho COz = °90 Tính sốđo AOz Câu 6: (1,0 điểm)
Cho 12 12 12 12 2
5 2004
A
n
= + + + + + + Chứng minh rằng: 1 65 < <A LỜI GIẢI ĐỀGIAO LƯU HSG HUYỆN VĨNH YÊN
NĂM HỌC 2018-2019 Câu 1: Ta có A=2100 −(299+298+ 2+ + +2 2 1)
99 98 100 99
2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2
B= + + + + + ⇒ B= + + + + +
( 100 99 ) ( 99 98 )
2B B 2 2 2 2
⇒ − = + + + + + − + + + + +
⇒ 100
2
B= −
Vậy 100 100 ( 100 ) 100 100
2 2 2 1
A= − =B − − = − + =
2 Ta có 34 51 85 68
7.13 13.22 22.37 37.49 A= + + +
17.2 17.3 17.5 17.4 17 3.2 3.3 3.5 3.4 7.13 13.22 22.37 37.49 7.13 13.22 22.37 37.49
A
⇒ = + + + = + + +
17 13 22 37 22 49 37 7.13 13.22 22.37 37.49
− − − −
= + + +
(131)17 1 1 1 1 13 13 22 22 37 37 49
= − + − + − + −
17 1
3 49
= −
Lại có: 13.3 13.5 13.4 13.2 13 3.3 3.5 3.4 3.2 7.16 16.31 31.43 43.49 7.16 16.31 31.43 43.49
B= + + + = + + +
13 1 1 1 1 13 1 16 16 31 31 43 43 49 49
= − + − + − + − = −
Từđó suy A B
17 1
17 49
13 1 13
3 49
− = = −
Vậy 17 13 A
B =
Câu
1 Ta có: 1 101 2.5+5.8+8.11+ + x x( +3) = 618
1 3 3 101
3 2.5 5.8 8.11 x x( 3) 618
⇒ + + + + =
+
1 1 1 1 1 101
3 5 8 11 x x 618
⇒ − + − + − + + − = +
1 101 : x 618
⇒ − = +
1 101 1 101 1 101
:
2 x 618 x 206 x 206
⇒ − = ⇒ − = ⇒ = −
+ + +
1 103 101 1
3 103 100
3 206 103 x x
x x
−
⇒ = ⇒ = ⇒ + = ⇒ =
+ +
Vậy x=100
2 Từ 3xy+ + =x y 13
1 1
(3 1) .(3 1) 13.
3 3
x y y
⇒ + + + − =
1
(3 1).( ) 13
3
y x
⇒ + + = +
( )
(3y 1).(3x 1) 40 *
⇒ + + =
x (loại)
(132)Vì x y; nguyên dương 3y+1và 3x+1cũng hai số nguyên dương nên từ (*)suy ra3y+1;3x+1là ước 40 Mặt khác 3x+1 số chia dư nên ta có bảng sau:
3x+1
3y+1 40 10
Vậy cặp sốnguyên dương ( ; )x y thõa mãn tốn ( ; )x y =(1;3) 3.Tìm số nguyên tố a b c, , biết:2a+3b+6c=78 *( )
Vì 2a2;6 2;78 2c nên từ( )* suy 2b Mà b sốnguyên tốsuy b=2 Lại có 3;6 3;78 3b c nên từ( )* suy 2a2 Mà a là sốnguyên tốsuy a=3 Thay a=3 ;b=2 vào (*) ta có c=11
Vậy sốnguyên tố ( ; ; )a b c thõa mãn toán ( ; ; )a b c =(3; 2;11) Câu 1.Gọi ( ; )a b =d ⇒ =a md b; =ndvới ( ;m n∈N*); ( ; )m n =1 Khi [ ]a b; =d m n Từ a+2b=51 ⇒md+2nd =51⇒(m+2 )n d =51 (1)
Từ [ ]a b; +( )a b; =93⇒dmn+ =d 93⇒d mn( + =1) 93 (2)
Từ (1)và (2)suy d∈UC(51;93) mà ƯCLN (51;93)=3 ⇒ ∈d {1;3} +) Với d =1Thay vào (1)và (2)ta có: 51
92 m n nm
+ =
=
Vì m n; ∈N* nên từ m+2n=51suy m lẻ m<51
Kết hợp với nm=92suy m=23khi n=4( khơng thõa mãn (1))
+)Với d =3Thay vào (1)và (2)ta có: ( ).3 51 17
3 93 31
m n m n
nm mn
+ = + =
⇔
= =
Vì m n; ∈N* nên từ m+2n=51suy m lẻ m<17
Kết hợp với nm=31suy m=1khi n=31( khơng thõa mãn m+2n=17) Vậy không tồn hai sốtựnhiên a b thõa mãn điều kiện:a+2b=51
[ ]a b; +( )a b; =93
2.Ta có : 1000! 1.2.3.4.5 999.1000.=
Trong dãy số1; 2;3; 4;5; ;1000 :
- Các bội 7 7;14; 21;35; ;994; gồm :994 142
− + = (số)
- Các bội
7 49;98; ;980.; gồm : 980 49 20 49
−
(133)- Các bội
7 343;686;; gồm : số.Khơng có sốlà bội 74 (vì
7 =2401 1000> ) Do phân tích thừa sốngun tố, 1000! chứa thừa số
nguyên tố 7 với sốmũ :142.1 20.2 2.3 188+ + =
Câu
Gọi số tự nhiên, liên tiêp n n, 1,n2,n3n Theo đề ta có:
1 2 3 ( 3 1 2
An n n n n n n n
n2 3n n 3n 2 1
(*)
Đặt n2 3n t t thì * t t2 1 t2 2t 1 t12
2
2 3n 1
A n
Vì n nên suy ra: n2 3n 1
Vậy n n 1n2n 31 số phương
Câu a) Vì điểm Cthuộc đoạn thẳng ABnên tia OC nằm hai tia OAvà OB
AOC+BOC = AOB
hay30° +BOC =60° ⇒BOC= °30
b) Từ O vẽ tia Oz cho COz = °90 Tính sốđo AOz
Có hai trường hợp xảy ra:
TH1:tiaOzvà tiaOAnằm nửa mặt phẳng bờ chứa tiaOC
Khi nửa mặt phẳng bờ chứa tiaOC có
(30 90 )
COA<COz ° < ° nên tia OA nằm hai tia OCvà Oz,do đó:
COA+AOz =COz
90 30 60
AOz COz COA
⇒ = − = ° − ° = °
TH1:tiaOzvà tiaOAnằm hai nửa mặt phẳngđối bờ chứa tiaOC
Khi đó,tia OC nằm hai tia OA Oznên ta có: AOz =COA COz+ = ° + ° =90 30 120 °
B
30)0
z C
A y
(134)Câu
Ta có : 12 12 12 12 2 1
5 2004 4.5 5.6 6.7 2003.2004
A
n
= + + + + + + < + + + +
1 1 1 1
4 5 6 2003 2004
A
⇒ < − + − + − + −
1 501 500 500 2004 2004 2004 2000
A −
⇒ < − = = < = (1)
Mặt khác , 1 1 1 1 1 5.6 6.7 7.8 2004.2005 6 7 2004 2005
A> + + + + = − + − + − + −
1 400 80 7 2005 2005 401 401 455 65
A
⇒ > − = = > > = (2)
Từ (1)và (2) suy 1 65< <A 4;
ĐỀ SỐ 34: ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN VŨ THƯ - NĂM 2019 Câu (6,0 điểm)
Tính giá trị biểu thức sau cách hợp lý: A2019 174 2018 2019(2018 174) 40 171717 1717171 1717171
303030 424242 565656
B
3 1 1
1.2.3 2.3.4 3.4.5 4.5.6 98.99.100
C
Câu (4,0 điểm)
1 Chứng minh ab 2cd với a, b, c, d chữ số khác abcd chia hết
cho 67
B
30)0
z
C
A y
(135)2 Tìm sốtựnhiên x biết:
chữ số
1 15
15
2 2x x x 100 00 :
Câu (4,0 điểm)
1 Chứng minh phân số 36
n n
tối giản với sốtựnhiên n
Tìm sốchính phương có chữ số mà lập phương sốtự nhiên Câu (5,0 điểm)
1 Cho đường thẳng xy điểm O thuộc đường thẳng tìm nửa mặt phẳng bở xy kẻ tia Oz Ot Om; ; cho xOt 60 ;xOz 120 ;tOm 90 Chứng minh Omlà tia phân giác zOy
2 Cho đoạn thẳng AB 6cm, C điểm đoạn thẳng AB cho
2
AC AB Gọi D E; trung điểm CAvà CB, F trung điểm
AD Tính EF
3 Cho đường thẳng xy, O điểm đường thẳng đó.Trên nửa mặt
phẳng bờ xy, vẽ10 tia chung gốc O đôi phân biệt, không tia trùng với
;
Ox Oy Hỏi có góc có số đo nhỏ 180 tạo thành từ 10 tia
;
Ox Oy?
Câu 5. (1,0 điểm)
Chứng minh từ 52 sốnguyên ln tồn sốmà tổng hiệu chúng chia hết cho 100
LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN VŨ THƯ- NĂM 2019 Bài
1 2019 174 2018 2019(2018 174) 2019.2018 174.2018 2019.2018 2019.174 2019.174 174.2018
174.(2019 2018) 174.1
174
A
(136)
171717 1717171 1717171 40
303030 424242 565656 17.10101 17.10101 17.10101 40
30.10101 42.10101 56.10101 17 17 17
40
30 42 56 1 40.17
30 42 56 1 40.17 5.6 B B B B B
7 7.8
1 1 1 40.17
5 6 7 1 40.17 40.17 40 51 B B B B
1 1 1
1.2.3 2.3.4 3.4.5 4.5.6 98.99.100
C
2 2 2
2
1.2.3 2.3.4 3.4.5 4.5.6 98.99.100
1 1 1 1 1
2
1.2 2.3 2.3 3.4 3.4 4.5 4.5 5.6 98.99 99.100 1 2 99.100 4899 19800 C C C C Bài 2.
1.Ta có ab 2cd
và abcd ab.100cd 2 100cd cd cd.201cd.67.3
Vậy abcd chia hết cho 67
2 Ta có
chữ số
1 15
15
2 2x x x 100 00 :
(137)2 15 15
3 15 15 15
3 15
3 12
2 2.2 10 : 2 : 2 :
2
3 12 12 :
x x x x x x
x x x
Bài
1 Gọi d (36n 4;8n 1).Ta có 8n1 ;36d n 4d
Vì 8n1d 9 8 n 1d 72n 9d
Vì 36n 4d 2 36 n4d 72n8d
72n 9 72n 8 d
72n 72n d
1d d
2 Gọi sốchính phương có chữ số abcd
Vì abcdlà số có chữ số nên1000abc 9999
Vì abcdlà sốchính phương nên ta có abcd x2,(x N )
Vì abcdlà lập phương sốtựnhiên nên ta cóabcd y3(y N)
Và 1000abcd 9999
3
1000 9999
10 21
y y
Lại có y3 x2 nên y số chính phương
y=16
y3 163 4096
Vậy số phải tìm 4096
Bài 4.(5điểm)
1)Trên nửa mặt phẳng bở xy có
xOt xOz (do 60 120)
=>Tia Om nằm hai tia Ox Oz
=>
60 120
60
xOt tOz xOz
tOz tOz
(138)
zOt tOm (vì60 120)
=> Tia Oz nằm hai tia Ot Om
=>
60 90 30
zOt mOz tOm mOz
mOz
+Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ot có :mOt tOy (vì 90 120) => Tia Om nằm hai tia Ot Oy
90 120
30
mOt mOy tOy
mOy mOy
Do ta cómOy mOz 30
Lại có tia Om nằm tia Oz Oy
Nên tia Om tia phân giác góc zOy
Vì C AB
3
AC AB nên 2.6
AC cm AC+CB=AB=> CB=AB-AC=6-4=2cm
Vì D trung điểm CA => AD=DC= 2
AC
(cm) Vì E trung điểm CB => CE=BE=
2
BC (cm)
Vì F trung điểm AD => AF=DF= 2
AD
(cm) Do ta có EF=FD+DC+CE=1+2+1=4(cm)
3)
Vì O điểm trên đường thẳng xy.Vẽ10 tia chung gốc O đôi phân biệt, không tia trùng với Ox, Oy nên ta có 12 tia phân biệt
Cứ1 tia tạo với 11 tia cịn lại tạo thành 11 góc chung gốc O Sốgóc tạo thành từ12 tia là: 12.11 (góc)
Do góc tính lần nên sốgóc phân biệt 12.11:2=66 (góc) Vậy có 66 góc tạo thành có sốđo nhỏhơn 180từ10 tia Ox, Oy
E D
F
(139)Bài
Chia 52 số nguyên tùy ý cho 100,ta có số dư từ 0,1,2,3,…,99.Ta phân sốdư thành nhóm sau: 0 ; 1,99 ; ; 49,51 , 50 Ta có tất cả51 nhóm chia 52 số cho 100 ta có 52 số dư Theo ngun lí Dirichlet có số dư thuộc nhóm Ta có trường hợp:
Trường hợp 1: Hai số dư giống nhau, suy hiệu hai số có sốdư tương ứng chia hết cho 100
Trường hợp 2: Hai số dư khác nhau,suy tổng hai sốdư có hai sốdư tương ứng sẽchia hết cho 100
Ta suy điều phải chứng minh
ĐỀ SỐ 35: ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LẬP THẠCH - NĂM 2019 Câu Thực phép tính:
a)
2
84 35 13 13 +
b) 10101 5 111111 222222 3.7.11.13.37
+ −
Câu Tìm sốnguyên x, biết rằng:
a) ( )
720 : 41 − 2x−5 =2 b) x− + =2 12
Câu Tìm sốtựnhiên nhỏ chia cho 5, cho 7, cho có sốdư theo thứtự 3, 4, Câu Người ta muốn chia 200 bút bi, 240 bút chì, 320 tẩy thành số phần thưởng Hỏi có thểchia nhiều thành phần thưởng, phần thưởng có bút bi, bút chì, tẩy?
Câu Cho 1
101 102 103 200
A= + + + + Chứng minh rằng:
12 A>
Câu Cho điểm C thuộc đường thẳng AB không thuộc đoạn thẳng AB Biết ,
CA=a CB=b Gọi I trung điểm AB Tính độdài ICtheo a b
Câu Chứng minh rằng: n∈Nvà ÖCLN n( , 6) 1= (n−1)(n+1) 24
(140)LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN BÌNH GIANG - NĂM 2019 Câu 1: a)
2
84 35 7056 1225 7056 1225 49
13 13 169 169 169
+
+ = + = =
b) 10101 5 111111 222222 3.7.11.13.37
+ −
5.10101 5.10101 4.10101 111111 222222 3.7.11.13.37
= + −
5 5
11 22 11 11 22 22 22 22
= + − = + = + =
Câu 2: a) ( ) ( )
720 : 41 − 2x−5 =2 5⇒720 : 36 2− x =40 36 2x 18 2x 18 x
⇒ − = ⇒ = ⇒ = Vậy x=9
b) x− + =2 12⇒ − =x 12 7− ⇒ − =x 5
x− = x− = −2
x
⇒ = x= −3
Vậy x=7 x= −3
Câu 3: Gọi a sốtựnhiên cần tìm
5 ( ) 10
a= m+ m∈N ⇒ a= m+ chia dư
7 ( ) 14
a= n+ n∈N ⇒ a= n+ chia dư
9 ( ) 18 10
a= p+ p∈N ⇒ a= p+ chia dư
Do đó: 2a− ∈1 BC(5, 7, 9).Để a nhỏ 2a−1là BCNN(5, 7, 9)=315 2a 315 2a 316 a 158
⇒ − = ⇔ = ⇔ =
Vậy sốtựnhiên nhỏ chia cho dư 3, cho dư 4, cho dư 158 Câu 4: Goi x số phần thưởng nhiều có thểchia *
(x∈ ) Theo đề: 200 , 240 , 320x x x x nhiều
(200, 240, 320) 40 x ÖCLN= ⇒ =x
Vậy có thểchia nhiều thành 40 phần thưởng Mỗi phần thưởng có sốbút bi là: 200 : 40=5(cây)
Mỗi phần thưởng có sốbút chì là: 240 : 40=6(cây)
(141)Câu 5: 1
101 102 103 200
A= + + + +
1 1 1 1
150 150 150 150 200 200 200 200
> + + + + + + + + +
(có 50 số hạng
1 150
1 200)
50 50 1
150 200 12
= + = + =
Vậy 12 A> Câu
TH1: Cthuộc tia đối tia AB
Do C thuộc tia đối tia AB nên tia AB AC đối Nên A nằm C B
CA CB+ =CB
AB=BC−AC = −b a
I trung điểm AB
2
AB b a AI = = −
Do tia AC tia AB đối I trung điểm AB
A nằm C I
2
b a a b IC=CA+AI = +a − = + TH2:
Cthuộc tia đối tia BA
Do C thuộc tia đối tia BA nên tia BA BC đối B nằm giữa A C
CB+BA=CA
AB= AC−BC = −a b
I trung điểm AB
2
(142)Ta có tia BA tia BC đối
I trung điểm AB suy tia BI BA trùng Suy BI tia BC đối
Suy B nằm C I
2
a b a b IC=BI+BC= − + =b + Vậy
2 a b IC = + Câu
Vì (n−1), (n+ ⇒ =1) n 6k+1 n=6k+5 k∈
*Với n=6k+ ⇒ −1 (n 1)(n+ =1) (6k k+ =2) 12 (3k k+1) Nếu kchẵn ⇒12k24
Nếu klẻ ⇒(3k+1) 2 ⇒12 (3k k+1) 24
*Với n=6k+ ⇒5 (n−1)(n+ =1) (6k+4)(6k+ =6) 2(3k+2).6(k+ =1) 12(3k+2)(k+1) Nếu kchẵn ⇒(3k+2) 2 ⇒12(k+1)(3k+2) : 24
Nếu klẻ ⇒(k+1) 2 ⇒12 (k k+1)(3k+2) 24 Vậy (n−1)(n+1) 24
Câu
Gọi abclà sốtựnhiên có ba chữ số cần tìm
Theo đềta có: abc cba− =100a+10b c+ −100c−10b a−
99a 99c 9.11(a c) 11(a c)
= − = − = −
Để abc cba− sốchính phương a c− =11 (khơng tồn tại)
a− = ⇒ =c a b
Vậy số cần tìm có dạng abc với a= ∈c {1; 2;3; 4;5; 6; 7;8;9}và {0;1; 2;3; 4;5; 6; 7;8;9}
b∈
ĐỀ SỐ 36: ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NGỌC LẶC - NĂM 2019 Câu 1: (4,0 điểm)
a) Tính giá trị biểu thức 1 12 13 14 1199 1200
3 3 3
A= + − + − + + −
(143)Biết 7.31 7.11 10.41 10.57
A= + + + 11 19.31 19.43 23.43 23.57 B= + + + Câu 2: (4,0 điểm)
a) Tìm số nguyên x biết: ( 4) 2018 2019
3 2.7
2019 x − =
b) Tìm sốtựnhiên x, y biết: 2xy−5x+2y=148 Câu 3: (4,0 điểm)
a) Chứng minh bình phương sốnguyên tốkhác chia cho 12 dư b) Chứng minh 1 1
101 102 103 130
S = + + + + > Câu4 :(6,0 điểm)
Cho góc bẹt xOy Trên tia Ox lấy điểm A cho OA = 2cm, tia Oy lấy điểm M B cho OM=1cm, OB = 4cm
a) Chứng tỏđiểm M nằm hai điểm O B; điểm M trung điểm AB b) TừO kẻtia Ot Oz cho tOy =130 ;° zOy = °30 Tính sốđo tOz?
c) Cần vẽthêm tia phân biệt chung gốc O không trùng với tia vẽ hình đểtạo thành tất 105 góc
Câu 5: (2,0 điểm)
Cho a, b, c, d ∈N Biết tích ab liền sau tích cd a+ = +b c d Chứng minh a=b
HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1:
a) Tính giá trị biểu thức 199 200
1 1 1
1
3 3 3
A= + − + − + −
Ta có 198 199
1 1 1
3
3 3 3
A= + − + − + −
2 198 199 199 200 200
200 200
1 1 1 1 1 1
3
3 3 3 3 3 3
1
4 5 :
3
A A
A A
+ = + − + − + − + + − + − + − = −
⇒ = − ⇒ = −
b) Tính tỉ số A B
Biết
7.31 7.11 10.41 10.57
A= + + + 10 11 19.31 19.43 23.43 10.41 23.57
(144)4 1 1 1 1 1 35.31 35.41 50.41 50.57 31 35 35 41 41 50 50 57 31 57 A= + + + = − + − + − + − = −
7 11 1 1 1 1 1
2 38.31 38.43 46.43 46.57 31 38 38 43 43 46 46 57 31 57 B = + + + = − + − + − + − = −
5
5 2
A B A B
⇒ = ⇒ =
Câu 2: Tìm số nguyên x biết :
a) ( 4) 2018 2019 ( 4) 2018 2019 2019 2018
1
3 2.7 2.7 2.7 :
2019
x − = ⇒ x − = ⇒ x − =
3x 16 14 x 14 16 3x 30 x 10 x 10
⇒ − = ⇒ = + ⇒ = ⇒ = ⇒ = ± ( thỏa mãn)
b) Tìm sốtựnhiên x, y biết
( ) ( ) ( )
( )( )
2 148 2 5 148 5 143
1 143
xy x y xy y x y x x
x y
− + = ⇒ + − − = − ⇒ + − + =
⇒ + − =
Do x, y sốtựnhiên nên x+1 2y−5 ước 143 Do 143= 1.143=11.13 nên ta có bảng sau
x+1 143 11 13
2y-5 143 13 11
x 142 10 12
y 74
Câu 3:
a) Chứng minh bình phương sốnguyên tốkhác chia cho 12 dư Gọi p sốnguyên tốkhác ta chứng minh p có dạng 6k+1hoặc 6k+5 (k∈N*) Vì p sốnguyên tốkhác chia p cho sốdư 1;2;3;4
* Nếu p=6k+ =2 2(3k+1) ( hợp số) * Nếu p=6k+ =4 2(3k+2) ( hợp số) * Nếu p=6k+ =3 3(2k+1) ( hợp số) Vậy p=6k+1hoặc p=6k+5
TH1: p=6k+1
( ) (2 )( ) 2 ( )
6 6 36 6 36 12 12
p= k+ = k+ k+ = k + +k k+ = k + k+ = k +k + chia 12 dư TH2: p=6k+5
( ) (2 )( ) 2 ( )
6 6 36 30 30 25 36 60 25 12
(145)b) Chứng minh 1 1
101 102 103 130
S = + + + + >
1 1 1 1 1 1 1
101 102 103 130 101 102 110 111 112 120 121 122 130
S = + + + + = + + + + + + + + + + +
Ta có 1 1 10 101 102+ + +110>110+110+ +110=110=11 1 1 10
111 112+ + +120>120+120+ +120=120=12 1 1 10
121 122+ + +130>130+130+ +130=130 =13 1 431 429
11 12 13 1716 1716 S> + + = > = Câu 4:
a)
Trên tia Oy ta có OM<OB.( 1cm<3cm.) nên điểm M nằm hai điểm nằm hai điểm O B
Ta có M nằm hai điểm O B nên tia MO tia MB hai tia đối (1)
TiaOx tia Oy hai tia đối mà A thuộc tia Ox, M thuộc tia Oy nên O nằm hai điểm A M nên tia MO Tia MA hai tia trùng (2)
Từ (1) (2) ⇒Tia MA tia MB đối (3)
M nằm hai điểm O, B nên OM MB+ =OB⇒ +1 MB= ⇒4 MB= − =4 3(cm) Do O nằm hai điểm A, M nên MO OA+ =MA⇒ + =1 MA⇒MA=3(cm) Ta có MA=MB=3(cm) (4)
Từ (3) (4) ⇒M trung điểm đoạn thẳng AB
b) TH1: Tia Oz tia Ot nằm nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Oy
B M
A O y
x
130° t
30°
z
B M
A O y
(146)Trên nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Oy ta có zOy<tOy(vì 300 <130 )0 nên tia Oz nằm hai tia Oy Ot ta có : 0
30 130 130 30 100
zOy tOz+ =tOy⇒ +tOz= ⇒tOz= − = TH2: Tia Oz Ot nằm hai nửa mặt phẳng đối có bờ chứa tia Oy
Do tia Oz tia Ot nằm hai nửa mặt phẳng đối có bờ chứa tia Oy nên tia Oy nằm hai tia Oz Ot nên ta có 0
30 130 160
zOy tOy+ =tOz⇒ + =tOz⇒tOz=
c) Giả sửta cần vẽthêm n tia phân biệt gốc O ( không trùng với tia vẽ) tổng số tia gốc O : n+4 tia
Trong n+4 tia ta tách tia, tia tạo với n+3 tia cịn lại n+3góc Ta làm với n+4 tia tổng sốgóc tạo thành (n+4)(n+3) (góc)
Tuy nhiên góc tính hai lần nên tổng sốgóc thực tế (n+4)(n+3 : 2) (góc) Theo tổng sốgóc tạo thành 105 góc ta có
(n+4)(n+3 : 105) = ⇒(n+4)(n+ =3) 210⇒(n+4)(n+ =3) 15.14⇒ + =n 15⇒ =n 11( thỏa mãn)
Vậy cần vẽthêm 11 tia
Câu 5: Cho a, b, c, d N Biết tích ab liền sau tích cd a+ = +b c d Chứng minh
a=b
Theo ab cd 1;a b c d a c d b a d c b − = −
= + + = + ⇒
− = −
t
130° 30°
z
B M
A O y
(147)Ta có
( ) ( )
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
2 2
2
2 2
2 2
a b c d a b c d a ab b c cd d a b c d
a b c d a c a c b d b d
a c a c d b b d a c a c a c b d a c a c b d
a c a d a c a d
+ = + ⇒ + = + ⇒ + + = + + ⇒ + = + − ⇒ + − − = − ⇒ − + + − + = − ⇒ − + − − + = − ⇒ − + − − + = − ⇒ − + − − = − ⇒ − − = − ⇒ − − = − a c d c a d − = ⇒ − = − ⇒ − =
1 a c d c a d − = − ⇒ − = − − = TH1: d− =c
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
2 2
2
2 2 2
2 4
2 2 1 2 1
4 0
a b c a b c c a b c c
ab c c ab c c ab c c
a b ab a ab b a b a b
+ = + + = + + + = + + ⇒ ⇒ ⇒ = + + = + + = + + ⇒ + = ⇒ − + = ⇒ − = ⇒ =
TH2: d− = −c làm tương tự a=b
ĐỀ SỐ 37: ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN PHÚ XUYÊN - NĂM 2019 Câu (5,5 điểm)
1 Tính: a)
6 25 , 37 12 01 , : 415 , 200 112 + − + = A b) 2019 2018 2016 2017 2018 + + + + + + + + = B
2 Tìm x, biết:x+(x+1)+(x+2)+ +(x+30)=1240 Câu (4,5 điểm)
a) Tìm số có chữ số, biết chia số cho dư chia cho 31 dư 28
b) Chứng tỏrằng
3 + + n n
, (n∈) phân sốtối giản
c) Tìm số nguyên x, y biết
12 6 = = y x
Câu (4,0 điểm) Hai vòi nước chảy vào bể Vịi chảy 10 giờthì đầy bể, vịi chảy giờthì đầy bể
a) Hỏi cả2 vịi chảy sẽđầy bể?
b) Nếu có vịi thứ tháo nước vòng 15 cạn hết bểđầy nước, mở cả3 vịi
(148)Câu (4,0 điểm) Cho góc bẹt xOy Trên nửa mặt phẳng có bờ xy, vẽcác tia Oz Ot cho xOz= °70 ; yOt= °55
a, Chứng tỏtia Oz nằm hai tia Ox Ot? b, Chứng tỏtia Ot tia phân giác yOz? c, Vẽtia phân giác On góc
^
xOz Tính nOt ? Câu 5. (2,0 điểm) Chứng tỏ:
a) 32
1+ + + + + > b) 27 63 28
5 < <
LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN PHÚ XUYÊN - NĂM 2019 Câu
1 a) Ta có:
11 121 83 204 100 0, 415 : 0, 01 : .
200 200 200 100 200 1 102 102 1 149 19 447 38 408
37, 25
12 12 12 12 12 12
A + + = = = = = = − − − − + − + − +
Vậy A=−3
b) 2019 1 2018 2016 2017 2019 2018 2016 2017 2018 + + + + + + + + + + + = + + + + + + + + = B = 2019 2018 2019 2019 2019 2019 2019 2019 2018 2019 2019 2019 + + + + + + + + = + + + + + + + + =
1 1
2019
2 2019
2019
1 1
2 2019
+ + + +
=
+ + + + Vậy B = 2019
2 Ta có: x+(x+1)+(x+2)+ +(x+30)=1240
1240 30 ) 30 (
30 + + = + x
x
(149)Vậy x=25 Câu
a) Gọi sốtựnhiên có chữ số cần tìm abc (1≤a≤9;0≤b,c≤9)
Theo ta có: abc:8 dư ⇒(abc+1)8⇒(abc+1)+648⇒abc+658 (1) 31
:
abc dư 28 ⇒(abc+3)31⇒(abc+3)+6231⇒abc+6531 (2)
Từ (1) (2) ⇒(abc+65)∈BC(8,31) ƯCLN(8, 31)=1 nên ⇒(abc+65)248 *
(abc 65 248 (k k )
⇒ + = ∈
+ Với k = 1⇒abc=183 + Với k = 2⇒abc=431 + Với k = 3⇒abc=679 + Với k = 4⇒abc=927
+ Với k = 5⇒abc=1175 (loại abc<1000)
Vậy số cần tìm là: 183; 431; 679; 927
b) Gọi ước chung lớn (2n+5, 3)n+ d: d
n 5 + (1)
d n d n d
n+3 ⇒2.( +3) ⇒2 +6 (2)
Từ(1) ( 2) ta có: (2n+ −6) (2n+5)d⇒1d⇒ ∈d ¦ (1)⇒ =d
⇒ ¦ CLN(2n+5,n+ =3)
Vậy ( )
5
N n n
n
∈ +
+ là phân sốtối giản
c) Theo ta có: 2.12 12
6
= ⇒ = ⇒
= x x
x
3
12 12
6
6 = ⇒ y = ⇒ y =
y
Vậy (x, y) cần tìm (4, 3) Câu
a) Trong giờ, vòi chảy
10
phần bể
Trong giờ, vòi chảy
6
phần bể
Trong chảy cả2 vòi chảy số phần bể là:
15 10
1 =
(150)4 3 15 15
4 :
1 = = (h) = giờ45 phút
Vậy cả2 vịi chảy sau giờ45 phút sẽđầy bể b) Trong giờ, vòi chảy
15
1 phần của bể Trong cả3 vòi chảy số phần bể là:
3 15
1 10
1 + + = (phần của bể)
Thời gian để cả3 vòi chảy đầy bể là:
) ( 3 :
1 = h
Vậy cả3 vịi chảy sau sẽđầy bể Câu
a) Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Oy có yOt yOx < (55° <180 )° nên tia Ot
nằm tia Oyvà Ox Ta có:
+ =
° + = °
= °
55 180 125
yOt tOx yOx tOx
tOx
Lại có, Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Oxcó góc xOz xOt< (70° <125 )° nên tia Oznằm tia Oxvà Ot
b) Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Oxcó xOz <xOt<xOy ° < ° < °
(70 125 180 )nên tia Ot nằm tia Ozvà Oy
- Vì tia Oznằm tia Oxvà Otnên:
70 125
55
+ =
° + = °
= ° xOz zOt xOt
(151)Vậy Otnằm Ozvà Oymà zOt tOy = = °55 nên Otlà tia phân giác góc
zOy
c) VìOnlà tia phân giác xOz nên: = =70° = °35
xOn nOz
Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Oxcó xOn <xOz<xOt ° < ° < °
(35 70 125 )nên tia Oznằm tia Onvà Ot, ta có:
nOz +zOt=nOt
35° + ° =55 nOt
90° =nOt
Vậy 90° =nOt
Câu
a) Theo ta có
= + + + + + = + + + + + + + + + + + +
1 1 1 1 1 1 1
1
2 32 16 17 32
S
Vì
3
1lớn 1 , ,
1 lớn 1. 15 ,
1 lớn 16 31 , 17
lớn 32
1
Do
> + + + + + + + + + + + + +
1 1 1 1 1 1
1
2 4 8 8 16 16 32 32
S ⇒ 2 2
1+ + + + + >
S ⇒S >3
Vậy
32
1+ + + + + > (đpcm) b) Ta có: 27 9
125 )
5 (
5 = = ; 263 =(27)9 =1289 9 27 63 128
125 < ⇒ < (1)
Lại có: 63 7 512 )
2 (
2 = = ; 528 =(54)7 =6257 7 63 28 625
512 < ⇒ < (2)
Từ(1) (2) ta có: 27 63 28 5 < <
ĐỀ SỐ38: ĐỀ KHẢO SÁT HSG HUYỆN THẠCH THÀNH – NĂM HỌC 2019 Câu 1. (3,0 điểm)
(152)1 (3.4) 4132 1116 11.2
A=
2 Cho 4 6 9 7
7.31 7.41 10.41 10.57
A= + + + 7 5 3 11
19.31 19.43 23.43 23.57
B= + + + Tính A
B
3 239 118 92 1 1 7
2004 1981 1986 3 4 12
= + + + −
C
Câu 2.(2,0 điểm)
1 Tìm x biết: 5.(− x−2)= +3 2.(4−x) So sánh: 25
13 257
137 (không quy đồng)
Câu 3. (3,0 điểm)
1 Tìm sốtựnhiên nhỏ có chữ số cho sốđó chia dư chia 11 dư
2 Cho a, b ∈ * thỏa mãn ( ; )a b =1 Chứng minh rằng: (a2+b ab2; )=1 Câu (3,5 điểm)
1 Cho 3 13 1
n A
n
− =
− (n∈)
a) Tìm n nguyên để A nguyên
b) Tìm n nguyên để A phân sốtối giản
2 Cho a b, ∈ Chứng minh rằng: (4a+b) 5 ⇔ (a+4 ) 5b Câu (5,5 điểm)
1 Trên mặt phẳng cho xOy= °30 xOz= °80 a) Tính yOz
b) Gọi Om; On tia phân giác xOy yOz Tính mOn
2 Trên mặt phẳng cho 2019 điểm phân biệt cho điểm 2019 điểm ta ln tìm điểm có khoảng cách nhỏhơn cm Chứng minh rằng: Sẽtồn 1010 điểm nằm đường trịn có bán kính cm
Câu (3,0 điểm)
1 Cho 1 7 .631 2 8 632
(153)2 Cho x, y số nguyên thỏa mãn: x+2019x2 =2020y2+ y Chứng minh rằng: x−y sốchính phương
LỜI GIẢI ĐỀ KHẢO SÁT HSG HUYỆN THẠCH THÀNH – NĂM HỌC 2019 Câu
1 Ta có (3.4) 4132 1116 11.2 A=
2
13
3 4 11.2
= 9.4713
11.2
= 9.(2 )2 713
11.2
= 9.21413
11.2
= 9
22 = Vậy 9
22
A=
2 Ta có 4 6 9 7
7.31 7.41 10.41 10.57
A= + + +
⇒
5
A
= 4 6 9 7
35.31+35.41+50.41+50.57 5
A= 35 31 41 35 50 41 57 50 35.31 35.41 50.41 50.57
− + − + − + −
5
A
= 1 1 1 1 1 1 1 1
31−35+35−41+41−50+50−57
1 1
31 57
= −
⇒ A 5. 1 1 31 57
= −
Lại có: 7 5 3 11
19.31 19.43 23.43 23.57
B= + + + ⇒
2
B 7 5 3 11 38.31 38.43 46.43 46.57
= + + +
38 31 43 38 46 43 57 46 38.31 38.43 46.43 46.57
− − − −
= + + +
1 1 1 1 1 1 1 1
31 38 38 43 43 46 46 57
= − + − + − + − 1 1
31 57
= −
⇒ B 2. 1 1 31 57
= −
Từđó suy A B
1
5
31 57
1
2
31 57
−
=
−
(154)Vậy 5 2
A B = Ta có:
239 118 92 1 1 7
2004 1981 1986 3 4 12
= + + + −
C
C = 239 118 92 . 7 7
2004 1981 1986 12 12
+ + −
C = 239 118 92 .0 2004 1981 1986
+ +
=0
Vậy C=0
Câu 2: Ta có: 5.(− x−2)= +3 2.(4−x) 5.2 5.( 2)− − − = 2.4+ +2.(−x)
7−5x+10= 8+ −2x 5x 2x
− + = + − −3 10 3x
− = −
2 x=
Vậy x=2
2 Ta có: 25 12 120 13 = +13 = +130
257 120
1 137 = +137 Vì 120 120
130 >137 nên
25 13 >
257 137
Câu 3: Gọi A số cần tìm (A∈ 100< <A 999)
A chia dư nên A=7m+3 ⇔ A+ =4 7m+7 (m∈) chia hết cho
A chia 11 dư nên A=11n+ ⇔5 A+ =6 11n+11 (n∈) chia hết cho 11 Ta thấy:
35 7 suy A+ +4 35= +A 39 chia hết cho (1) 33 11 suy A+ +6 33= +A 39 chia hết cho 11 (2) Từ(1) (2) suy A+39 chia hết cho BCNN (7;11) =77
⇒ A=77.k−39 (k∈*)
(155)2 Gọi UCLN (a2+b ab2; ) d Suy 2
a +b chia hết cho d ab chia hết cho d
Do ab chia hết cho dnên a d b d
Với a d mà a2+b2 chia hết cho dsuy b d
Với b d mà a2+b2 chia hết cho dsuy a d
Từđó suy a d b d hay d∈UC a b( ; ) Mà UCLN a b( ; )=1 nên UC a b( ; ) =U(1)=1 Suy d =1
Vậy 2
(a +b ab; )=1
Câu 4: a) Ta có: 3 13 3 3 10 3( 1) 10 3 10
1 1 1 1
n n n A
n n n n
− − − − −
= = = = −
− − − −
Để A nguyên 10 chia hết cho n−1 hay n− =1 Ư (10)= ± ± ± ±{ 1; 2; 5; 10}
n− −10 −5 −2 −1 10
n −9 −4 −1 11
⇒n∈ − − −{ 9; 4; 1;0; 2;3;6;11}
Vậy nới n∈ − − −{ 9; 4; 1;0; 2;3;6;11} A nguyên b) Gọi d UCLN(3n−13,n−1) Nên suy ra:
3 13
n d
n d
− −
⇒
3 13 3.( 1)
n d
n d
−
−
⇒ 3n− −13 3(n−1)d 3n−13 3− n+ = −3 10d
⇒d∈ ± ± ± ±{ 1; 2; 5; 10}
Nếu d =2 n−1 2 ⇒ − =n 2k⇒n=2k+1 (k∈*) (1)
⇒3n−13=3(2k+ −1) 13=2.3k+ −3 13=2.3k−10=2(3k−5) 2 (2) Nếu d =5 n−1 5 ⇒ − =n 5k⇒ =n 5k+1 (k∈*) (3)
3n 13 3(5k 1) 13 15k 10 5(3k 2)
⇒ − = + − = − = − (4)
Từ(1), (2), (3), (4) suy ra: n−1 10 3n−13 10 Đểphân số 3 13
1
n n
−
− phân sốtối giản n≠{2k+1; 5k+1; 10k+1}
(156)a) Trên nửa mặt phẳng có bờlà tia Oxta có xOy < xOz (do 30° < °80 ), nên tia Oy nằm tia Ox Oz Ta có:
xOy+ yOz= xOz
30° +yOz= °80
80 30 50
yOz
⇒ = ° − ° = °
Vậy yOz= °50
b) Do Om; On tia phân giác xOy yOz nên ta có: 1
25 2
nOy = zOy = °; 1
15 2
mOy= xOy = °
mOn mOy nOy
⇒ = + =25° + ° =15 40° Vậy mOn= °40
2
Nếu khoảng cách hai điểm bé ta cần chọn điểm Abất kì số2019 điểm cho, vẽ đường tròn ( ,1)A , đường tròn chứa 2018 điểm cịn lại, ta có điều phải chứng minh
Giả sử có hai điểm A B 2019 điểm cho mà có khoảng cách lớn Vẽ đường trịn tâm A, B bán kính Ta cịn lại 2017 điểm Mỗi điểm Cbất kì số2017 điểm
Theo AB, AC, BC phải có đoạn thẳng có độdài bé
Vì AB>1 nên BC<1 AC<1 Do C nằm đường tròn ( ,1)A B nằm đường tròn ( ,1)B
Do có 2017 điểm C nên theo nguyên lí Dirichlet, tồn 2017
1 1009
+ =
điểm nằm đường tròn
Giả sử đường trịn ( ,1)A Cùng với điểm A ta có 1010 điểm nằm đường tròn ( ,1)A (đpcm)
Câu 6: Đặt 2 8 .632 3 9 633
N =
1 7 631 2 8 632 . . . .
2 8 632 3 9 633
⇒ =
M N 1
633 =
m n
x z
(157)Mà 1 2 2< 3;
3 4 4 < 5; …;
631 633 632 < 632 nên
2
M <M N ⇒M <0,39 Vậy M <0, 04 (đpcm)
2 Ta có: 2
2019 2020
x+ x = y + ⇒y 2020x2−2020y2+ − =x y x2
2 2
2020(x −y ) (+ −x y)=x
2
2020(x−y x)( +y) (+ −x y)=x
2
(x−y)(2020x+2020y+ =1) x (1)
Gọi dlà ước chung lớn x−y 2020x+2020y+1
thì (2020x+2020y+1)+2020(x−y) chia hết cho d ⇒4040x+1 chia hết cho d
Mặt khác, từ(1) ta có:
x chia hết cho d2 suy x chia hết cho d
Từ 4040x+1 chia hết cho d mà x chia hết cho d ta có chia hết cho d
d
⇒ = hay UCLN x( −y, 2020x+2020y+ =1)
Từ suy x− y 2020x+2020y+1 số nguyên tố nhau, thỏa mãn (1) nên chúng sốchính phương
Vậy x−y sốchính phương (đpcm)
ĐỀ SỐ39: ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUẬN HOÀNG MAI - NĂM 2019 Câu (3,0 điểm)
Tính giá trị biểu thức sau cách hợp lý:
1 1 1
2 12 30 9120 9506 9900 A
50 51 52 97 98 99 50
51 52 53 98 99 100
+ + + + + +
=
− − − − − − −
Câu (5,0 điểm)
1) Tìm sốnguyên tố psao cho 2p−1;p2 +2 sốnguyên tố 2) Cho biểu thức: = + + +
+ + + + + + + +
a b c d
B
b a c a b d b c d c d a
Tìm sốnguyên dương a b c d, , , cho biểu thức B có giá trị số nguyên Câu (5,0 điểm)
1) Tìm sốnguyên dương n (với n≠4) cho + =
− n M
n phân sốtối giản 2) Cho biểu thức 2018! 2018! 2018! 2018! 2018!
2 2017 2018
= + + + + +
(158)Chứng minh rằng: E2019 Câu (5,0 điểm)
Trên nửa mặt phẳng có bờ chứa tia OA vẽ tia OB, OC cho
AOB=x (độ), AOC=(3x+10) (độ) Vẽ AOD cho AOD, AOC là hai góc kề AOD=(x+10) (độ) với 0< ≤x 55
1) Nếu 30
x= tia OB có phải tia phân giác COD khơng? Tại sao? 2) Tìm tất cảcác giá trịnguyên x đểtia OB không nằm giữahai tia OC OD
Câu (2,0 điểm)
Viết sốtự nhiên bất kỳvào mặt súc sắc Chứng minh ta gieo súc sắc xuống mặt bàn năm mặt có thểnhìn thấy súc sắc (khi súc sắc đứng yên) bao giờcũng tìm thấy hay nhiều mặt có tổng sốtrên chia hết cho
LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUẬN HOÀNG MAI- NĂM 2019 Câu
Xét tử:
1 1 1
T
2 12 30 9120 9506 9900
1 1 1
T
1.2 3.4 5.6 95.96 97.98 99.100 1 1 1
1
2 97 98 99 100
1 1 1 1 1 1
1
2 97 98 99 100 98 100 1 1
1 99
T
T
T
= + + + + + +
= + + + + + +
= − + − + + − + −
= + + + + + + + + − + + + +
= + + + + +
1 1 1
1
100 49 50
1 1 1
(1) 51 52 53 99 100
T
+ − + + + + +
= + + + + +
Xét mẫu:
50 51 52 97 98 99 50
51 52 53 98 99 100
50 51 98 99
1 1
51 52 99 100
1 1
(2) 51 52 99 100
M
M
M
= − − − − − − −
= − + − + + − + −
= + + + +
(159)Câu
1) Xét p=2,2p− =1 2.2 3− = (là sốnguyên tố) p2+ =2 22+ =2 (là hợp số) Vậy p=2khơng thỏa mãn
Xét p=3, khi 2p− =1 2.3 5− = (là số nguyên tố) p2+ =2 32+ =2 11 (là sốnguyên tố)
Vậy p=3là giá trị cần tìm
Xét p sốnguyên tố lớn ⇒p có hai dạng
3 1; ( , 1)
p= k+ p= k+ k∈ k ≥
Nếup=3k+1thì ( )2 ( )( )
2 3 3
p + = k+ + = k+ k+ + = k + k+ k+ +
( )
9k 6k 3 = + +
Do
3
p> ⇒ p + > mà p2+2 3 ⇒ p2+2là hợp số (loại) Nếu p=3k+2 2p− =1 3( k+ − =2) 6k+ − =4 6k+3 3 Do p> ⇒3 2p− >1 mà 2p−1 3 ⇒ 2p−1là hợp số (loại) Vậy p=3là giá trị cần tìm
2) Do a b c d, , , số nguyên dương nên a b c d, , , >0 Ta có:
(1)
(2)
(3)
(4)
a a a a b c d b a c a b b b b a b c d a b d a b c c c a b c d b c d c d d d d a b c d a d c c d < < + + + + + + < < + + + + + + < < + + + + + + < < + + + + + + Từ (1), (2), (3) (4) suy 1< <B Do B khơng phải số ngun Vậy, khơng có sốnguyên dương a b c d, , , đểB có giá trị số nguyên Câu 1) Giả sử n+2d n−4d Đểphân số
4 + =
− n M
n phân sốtối giản d= ±1
(160)(Nếu tử mẫu không chia hết cho khơng chia hết cho 6)
+) Nếu d ≠2thì n+2khơng chia hết cho 2, n không chia hết cho *
1
2 ( )
n k k
⇒ ≠ ∈
+) Nếu d≠3thì n+2khơng chia hết cho 3, (n− +1) không chia hết cho 2
3 1( )
n k k
⇒ ≠ + ∈
Vậy với * 1
2 ( )
n≠ k k ∈ n≠3k2+1(k2∈) hay n sốnguyên dương lẻ, chia hết cho hoặc chia cho dư
4 + =
− n M
n phân sốtối giản 2) Vì 2019=3.673
mà 673 hai sốnguyên tố
Để Chứng minh E2019 ta chứng minh E3 E673 Ta xét số hạng E
2018! 1.2.3 2018= có chứa thừa số 673 Do 2018! 3.673 2018!
2 có chứa thừa số3 673 Do 2018!
3.673
2
2018!
3 có chứa thừa số6 673 Do 2018!
3.673
2
Lần lượt ta thấy tất cảcác số hạng lại (trừ 2018!673 ) chứa thừa số 673 nên số hạng chia hết cho 673
Số 2018!673 có chứa thừa số3 thừa số1346 chia hết cho 673 Nên 2018! 3.673 673 Vậy tất cảcác số hạng E chia hết cho 3.673 Do đó: E2019 Câu
1) Nếu x = 300thì AOB =300, AOC = 1000, AOD = 400
+) Trên nửa mặt phẳng bờ OA có AOB< AOC , (300 < 1000) nên tia OB
nằm hai tia OA OC Ta có:
0
100 30 70 AOC=BOC+AOB⇒BOC= AOC−AOB= − =
O
B A
(161)+) Do AOC AOD hai góc kềnhau nên tia hai tia OD OC nằm hai
nửa mặt phẳng đối có bờ chứa tia OA Mặt khác OB OC thuộc
một nửa mặt phảng có bờ chứa tia OA nên hai tia OB OD nằm hai nửa
mặt phẳng đối bờ chứa tia OA mà
0
70 180
AOD+AOB= < Nên tia OA nằm hai tia OB OD
Khi ta có: 70 BOD=AOD+AOB=
+) Do AOC AOD hai góc kề mà AOC+AOD=1400 <1800 nên tia OA
nằm hai tia OD OCSuy ra: DOC=DOA+AOC=1400 Vậy ta có:
70
BOD=BOC= mà DOC=1400
2 DOC BOD BOC
⇒ = =
Suy ra: Tia OB tia phân giác COD
2) Theo phần 1) ta thấy, BOC BOD hai góc kề có chung cạnh OB Để
tia OB khơng nằm hai tia OD OC BOC+BOD>1800 Ta có: BOC= AOC−AOB=(3x+10)− =x 2x+10 (độ)
( 10)
BOD= AOD+AOB= +x x+ (độ)
4 20
BOC BOD x
⇒ + = + (độ)
4x 20 180 x 40 ⇒ + > ⇒ >
Mà theo đềbài: x≤55⇒40≤ <x 55
Vậy x∈ 40< ≤x 55 tia OB không nằm hai tia OD OC
Câu
Gọi sốtrên mặt a1; a2; a3; a4; a5 Xét tổng:
1 2 3 4 5 S a
S a a S a a a S a a a a S a a a a a
= = + = + + = + + + = + + + +
- Nếu có tổng chia hết cho tốn giải xong
- Nếu khơng có tổng chia hết cho tồn hai tổng có sốdư chia cho (vì tổng mà có sốdư khác 1; 2; 3; 4) Hiệu hai tổng chia hết cho Gọi hai tổng Smvà Sn (1≤ < ≤n m 5),
(162)ĐỀ SỐ40: ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA PHỐ BẮC GIANG 2018-2019 Câu (6 điểm)
1 Tìm số nguyênn để 4n+5chia hết cho2n+1
2 Tính 12 13 20191 : 20191
2 2 2
A= + + + + −
Câu (6 điểm)
1 Tìm sốtựnhiên a nhỏhơn 1000, biết achia cho 15 dư 5, chia cho 32 dư 22, chia
cho 40 dư 30
2 Cho biểu thức: 1
1 3 5 7 101
B= + + + +
+ + + + + + + + + + +
Chứng minh B<
3 Tìm sốnguyên tố x y, biết 19x4+57= y2 Câu 3.(4 điểm)
1 So sánh: 7420182019
74
C= + +
2019 2020
74 2021
74 2021
D= − −
2 Lớp 6A có 29 học sinh, lớp 6B có 35 học sinh Trong buổi lao động cảhai lớp trồng tất cả285 Tính sốcây học sinh lớp 6A, 6B trồng Câu 4.(3 điểm)
1 Cho xOy yOz hai góc kềbù Biết xOy =5yOz Tính xOy
2 Cho điểm Bthuộc đường thẳng AC(Bkhông trùng với A C) Hai điểm D E, trung điểm đoạn thẳngAB AC, Chứng tỏđộdài đoạn thẳng BCgấp
đôi độdài đoạn thẳng DE
Câu 5.(1điểm)
Tìm sốnguyên tố p q, cho 7p+qvà pq+17đều sốnguyên tố
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ BẮC GIANG NĂM 2018-2019
Câu 1, Ta có: 4n+ =5 2( n+ +1) 3 Vì 2( n+1 2) n+1 với ∀ ∈n
Nên để 4n+5 2 n+1 2 n+1 2n
(163)Ta có bảng giá trị sau:
2n+1 -3 -1
n -2 -1
Vậy n∈ − −{ 2; 1; 0;1} 4n+5 2 n+1
2 Ta có 12 13 20191 : 20191
2 2 2
A= + + + + −
⇒2 12 13 20191 : 20191
2 2 2
A= + + + + −
1 12 20181 : 20191
2 2
A= + + + + −
Xét hiệu:
2 2018 2019 2019 2019
1 1 1 1 1
2 : :
2 2 2 2 2
A− = + +A + + − − + + + + −
2 2018 2019 2019
1 1 1 1
1 :
2 2 2 2
A= + + + + − − − − − −
2019 2019
1
1 : 1
2
A= − − =
Vậy A=1
Câu Ta có
15 10 15
32 22 10 32
40 30 10 40
a m a
a n a
a q a
= + => + = + => + = + => +
=> a+ ∈10 BC(15;32; 40)
Mà
15=3.5; 32=2 ; 40=2
( )
15, 32, 40 3.5 480 BCNN
⇒ = =
⇒a+ ∈10 B(480)={0; 480;960;1440 }
Vì a sốtựnhiên nhỏhơn 1000 nên a∈{470;950 }
2 Ta có 1
1 3 5 7 101
B= + + + +
+ + + + + + + + + + +
Nhận xét: Vì :
2
1 3.2 16 4.3
+ = =
+ + = = > + + + = = > …
2
(164)Suy ra:
2
1 1
4 16 51
1 1
4 2.3 3.4 50.51
1 1 1 1
4 3 50 51
3 51 B B B B B = + + + +
< + + + +
< + − + − + + − < −
<
3 TH1: x sốnguyên tố chẵn ⇒ x=2
Thay x=2.vào (1) ta có:
19.2 +572= y ⇒ 2 361 19 y = =
⇒ y=19 (thỏa mãn sốnguyên tố)
TH2: xlà sốnguyên tố lẻ => 19x4 lẻ ⇒ 19x4+57chẵn ⇒
y số chẵn ⇒ ychẵn ⇒ mà ylà sốngun tố ⇒ y=2(vơ lí 19x4+57>2 )
Vậy x=2; 19y= giá trị cần tìm Câu 3.
1 Ta có: 2018 2019 2019 2019 2019 2019 2019 74 74
74 74 74 73
74
74 74
73
74 (1)
74 C C C + = + + + + = = + + = + + 2019 2020 2020 2020 2020 2020 2020 2020 2020 74 2021 74 2021
74 2021.74 74 2021.(1 73) 74
74 2021 74 2021
74 2021 2021.73 74
74 2021
2021.73
74 (2)
74 2021 D D D D − = − − − + = = − − − − = − = − −
Từ(1) (2) suy 74C>74 D ⇒ C>D
2 Gọi sốcây học sinh lớp 6A, 6B trồng x y; (cây);
ĐK ( *
,
(165)Ta có 29x+35y=285⇒29x=285 35− y Vì 285 35− y5 mà (29;5)=1 nên x5
29x+35y=285⇒ <x 10 Do x=5
Thay x=5 ⇒ y=4 (thỏa mãn điều kiện) Vậy học sinh lớp 6A trồng Mỗi học sinh lớp 6B trồng Câu 4.
1 Ta có hình vẽ
Vì xOy yOz hai gó kềbù nên: Suy xOy+yOz =180°
mà xOy=5yOz
nên 6yOz=180°
=>yOz= °30 xOy=5.30° =150° Ta có hình vẽ:
Ta có Bthuộc đoạn AC nên AB<AC
Mà Dlà trung điểm AB nên
2 AB
AD=DB= =>AB=2AD (1)
Elà trung điểm AC nên
2 AC
AE=EC= =>AC=2AE (2)
nên AD<AEhay D nằm A E
Suy AD+DE=AE=>DE=AE−AD(3)
AB+BC= AC => BC =AC−AB (4)
Từ(1); (2) ; (3)và (4) suy : BC=2AE−2AD=2(AE−AD)=2DE Câu 5.
Vì pq+17 sốnguyên tố nên pq số chẵn ⇒ p 2= q=2 TH1: Nếu p= ⇒2 7p+ =q 14+q
Ta thấy 14 chia dư
Nếu qchia hết cho 3, q sốnguyên tố ⇒q=3
(166)Và pq+17=2.3 17+ =23(thỏa mãn sốnguyên tố)
+) Nếu qchia dư ⇒ 14+qchia hết cho mà 14+ >q 3⇒14+q hợp số (loại) +) Nếu qchia dư 2q chia dư 1=>pq+17>3 chia hết cho (loại hợp số) TH2: Nếu q= ⇒2 7p+ = +q 7p
Ta thấy chia dư
+) Nếu 7pchia hết cho ⇒ p sốnguyên tố ⇒ p=3 Khi đó: 7p+ =q 7.3 2+ =23 (thỏa mãn sốnguyên tố) Và pq+17=3.2 17+ =23(thỏa mãn sốnguyên tố)
+) Nếu 7pchia cho dư 7p+2chia hết cho (loại hợp số)
+) Nếu 7pchia cho dư pchia dư 2pchia dư ⇒ pq+17=2p+17 chia hết cho (loại hợp số)
Vậy giá trị p, qthỏa mãn p=2; 3q= p=3; 2q=
(167)