Đang tải... (xem toàn văn)
Chứng minh rằng DE là tiếp tuyến của đường tròn ( ) O. M là điểm di động trên nửa đường tròn. Qua M vẽ tiếp tuyến với nửa đường tròn. Tìm vị trí của C sao cho khoảng cách MN dà[r]
(1) Tài liệu sưu tầm
CÁC CHỦ ĐỀ HÌNH HỌC
BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP
(2)H C B
A
H C
B
A CHƯƠNG I: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG 1 MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG Bài 1: Cho tam giác ABC vuông A, AH đường cao, biết AB 6cm AC, 8cm Tính
, BH AH
Bài 2: Cho tam giác ABC có AB 12cm AC, 5cm BC, 13cm, đường cao AH Tính AH Bài 3: Cho tam giác nhọn ABC AH đường cao, D E, hình chiếu H AB AC, Chứng minh rằng:
a) AD AB AE AC b) ADE ABC
Bài 4: Cho tam giác nhọn ABC , BD CE hai đường cao Các điểm N M, đường thẳng
,
BD CE cho AMB ANC 900 Chứng minh tam giác AMN cân
Bài 5: Cho hình vng ABCD, điểm E thuộc cạnh AB Gọi F giao điểm DE BC Chứng minh rằng: 12 2 12
DA DE DF
Bài 6:Cho đoạn thẳng AB 4cm C điểm di động cho BC 3cm Vẽ tam giác AMN vuông
A có AC đường cao Xác định vị trí điểm C để 2 2
AM AN đạt giá trị lớn
Bài 7: Cho hình thoi ABCD với A 1200 Tia Ax tạo với tia BAx 150 cắt cạnh BC M, cắt đường CD N
Chứng minh rằng: 2 2 2
3 AM AN AB
Bài 8: Cho tam giác ABC vuông A, AH đường cao Cho biết BH x HC, y
Chứng minh rằng:
2 x y xy
Hướng dẫn giải Bài 1:
Tam giác ABC vuông A (gt), theo định lý Py-ta-go ta có:
2 2
BC AB AC
2 62 82
BC
2 36 64
BC
2 102
BC
10 BC cm
Tam giác ABC vuông A, AH đường cao theo hệ thức liên hệ cạnh góc vng hình
chiếu cạnh huyền Ta có: BH BC AB2
2
.10
BH
3,
BH cm
Theo hệ thức liên quan đến đường cao Ta có: AH BC AB AC
.10 6.8
AH
4,
AH cm
Bài 2:
Ta có: AB2 AC2 122 52 169 132 169
BC
ABC
(3)E D
H C
B
A
N M D E
C B
A
P F
E
D C
B A
Py-ta-go ta có tam giác ABC vng A Mà AH đường cao tam giác ABC (gt) Do theo hệ thức liên quan đến đường cao, Ta có: AH BC AB AC
.13 12.5
AH
60( ) 13
AH cm
Bài 3:
a) Ta có: AHB AHB( 90 )0
HD đường cao, theo hệ thức liên quan đến đường cao, ta có:
2
AD AB AH
Tương tự có: AE AC. AH2 Do đó: AD AB AE AC
b) Xét AED ABC có: EAD (chung)
AE AD
AB AC (vì AD AB AE AC )
Do đó: AED∽ABC
AED ABC
Bài 4:
Xét ABD ACE có:
BAD (chung); ADB AEC( 90 ) Do ABD ∽ACE
AB AD
AC AE
AE AB AD AC
(1)
AMB
vuông M (gt), ME đường cao (gt), theo hệ thức liên quan tới đường cao có:
2 .
AM AE AB (2)
Tương tự có: AN2 AD AC.
(3) Từ (1), (2) (3) có AM2 AN2
AM AN
AMN
cân A Bài 5:
• Qua D dựng đường thẳng vng góc với
DE, cắt BC P Trong tam giác vng
DPF, có đường cao nên
2 2
1 1
CD DP DF
Trong CD DA (cạnh hình vuông)
DCE DCP
(g.c.g) DPDE Vậy: 12 12 12
DA DE DF Nhận xét:
• Khi E di động cạnh AB, ta ln ln có:
2 2
1 1
DE DF DA
Kết toán phát biểu cách khác Chứng minh rằng: 2 12
DE DF không đổi
(4)M
N C B A
H
15°
x N M
E
D C
B A
Xét AMN vuông A AC, đường cao (gt)
Theo hệ thức liên quan đường cao tam giác vng, ta có:
2 2
1 1
AM AN AC
Xét ba điểm A B C, , ta có:
AC ABBC 1( ) AC cm
Do vậy: 1 2
AC AC
Dấu “=” xảy C nằm A B
Vậy C nằm A B cho BC 3cm 2 2
AM AN lớn
Bài 7:
Vẽ AE AN E, DC AH DC H, DC Ta có: DAE DAB(EANBAx)150 Xét ABM ADE có:
ABM ADE
AB AD (vì ABCD hình thoi)
( 15 )0
BAM DAE
Do đó: ABM ADE (c.g.c) AM AE
ADH
vuông H có:
1800 600
ADH BAD nên nửa tam giác
Suy ra: 1
2
DH AD AB ADH
có H 900, theo Định lí Py-ta-go ta có:
2 2 2
2
AH DH AD AH AB AB AB
2 2
3
AH AB
AEN
có A 90 ,0 AH DN , theo hệ thức cạnh đường cao tam giác vng, ta có:
2 2
1 1
AE AN AH
2 2
1
3
AM AN AB
Bài 8:
Vẽ đường trung tuyến AM tam giác ABC
Tam giác vuông A, AH đường cao, theo hệ thức cạnh đường cao tam giác vng, Ta có: AH2 BH HC BH ; a (gt); HC b (gt)
(5)C B
A
α C
B A
M
H C
B
A Nên AH2 ab AH ab
ABC
vng A có AM đường trung tuyến Nên
2
BC a b
AM
Ta có: AH HM nên AH AM Do đó:
2 a b ab
2 TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN BÀI TẬP
Bài 9: Cho tam giác ABC vuông A Chứng minh rằng: Sin
Sin
AB C
AC B
Bài 10: Với góc nhọn tùy ý Chứng minh rằng:
a) sin1, cos <1 b) tg sin
cos
c) tg cotg 1 d) sin2cos21 Bài 11: Cho biết sin
5
Tìm cos , tg Bài 12: Tính:
a)
0
0
sin 46
cos 44 b)
0
cotg28 tg62
Bài 13: Tính sin 102 0sin 202 0 sin 702 0sin 802
Bài 14: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, BC a AC, b AB, c Chứng minh rằng:
sin sin sin
a b c
A B C
Bài 15: Chứng minh diện tích tam giác nửa tích hai cạnh nhân với sin góc nhọn tạo đường thẳng chứa hai cạnh
Bài 16: Cho tam giác ABC nhọn, có BC a AC, b AB, c Chứng minh rằng: a2 b2c22 cosbc A
Bài 17: Cho hai góc , cho 900 Chứng minh ()sin cos sin cos
Bài 18: Cho góc nhon xAy Các điểm B C, di động tia AB AC, cho:
6
ABAC cm Xác định vị trí B C, để diện tích tam giác ABC lớn Hướng dẫn giải
Bài 9:
sinC AB, sinB AC
BC BC
Do đó: Sin :
Sin
C AB AC AB
B BC BC AC
Bài 10:
Xét ABC vuông A C, a) Ta có AB BC AC, BC
Do đó: sin sinC AB BC
;
cos = cosc AC BC
(6)b) tg =tgC=AB; cotg cotgC AC
AC AB
Do đó: tg cotg =AB AC AC AB
c) sin AB, cos AC
BC BC
Do đó: sin : tg
cos
AB AC AB
BC BC AC
d) ABC vuông A theo định lí Py-ta-go có: AB2AC2 BC2 Do đó:
2
2
sin cos AB AC
BC BC
2 2
2 2
AB AC AB AC
BC BC BC
Bài 11:
Ta có: sin2cos21 sin
5
(gt)
2 16
cos
25 25
3 cos
5
4
sin 5
tg
cos 3
5
Bài 12:
a) 460 440 900 nên sin46 =cos440 Do đó: sin 4600
cos44
b) 280620 900 nên cotg280 tg620 Do đó: cotg280tg620 0
Bài 13:
Ta có sin10 cos 80 (hai góc phụ sin góc cơsin góc kia)
2
sin 10 cos 80
Do đó:
2 2
sin 10 sin 20 sin 30 sin 40
2 2
sin 50 sin 60 sin 70 sin 80
sin 102 sin 202 sin 302 sin 402
2 2
cos 40 cos 30 cos 20 cos 10
(sin 102 cos 10 ) (sin 202 cos 20 )2
2 2
(sin 30 cos 30 ) (sin 40 cos 40 )
1 1
Bài 14:
Vẽ AH BC H, BC
Xét HAB có H 900, nên sinB AH
AB
(7)α
c b
a H A
B C
C B
A
H
α c
b
a H
A
B C
H
C B
A
Xét HAC có H 900, nên sinC AH
AC
Do đó: sin
sin sin sin
B AC b b c
C AB c B C
Chứng minh tương tự, ta có:
sin sin
a b
A B
Vậy
sin sin sin
a b c
A B C
Bài 15:
Giả sử có tam giác ABC cos AB c BC, a Góc nhọn tạo hai đường thẳng AB BC, Vẽ đường cao AH tam giác ABC
HAB
có H 900 nên sinB AH AH ABsinB
AB
Do đó: sin sin
2 2
ABC
S AH BC AB B BC c a
Bài 16:
Vẽ đường cao CH tam giác ABC
HAC
vuông H, nên cosA AH AH ACcosA
AC
HAC
vuông H theo định lý Py-ta-go, ta có: AH2HC2 AC2
HBC
vng H theo định lý Py-ta-go, ta có:
2 2
BC HB HC
(ABAH)2 HC2
AB22AB AH AH2HC2 AB22AB AC cosAAC2 AC2AB22AC AB cosA Vậy a2 b2 c22 cosbc A
Bài 17:
Xét ABC có B,C , 900 nên BAC góc tù Vẽ đường cao AH BK, ABC
Ta có: BAK B1C BAK( góc ngồi ABC)
ABK
có K 900 nên BK ABsinBAK
Do đó: sin( )
2
ABC
S BK AC AB AC
Mặt khác: HAB có H 900
Nên sin sinABH AH, cos cosABH BH
AB AB
(8)K
H C
B
A
y
x
A B
C
H
Và HAC có H 900
Nên sin sinACH AH, cos cosACH HC
AC AC
Do đó: sin cos sin cos AH HC AH BH
AB AC AC AB
( )
AH HC BH
AB AC
2
ABC
S AH BC
AB AC AB AC
sin( )
sin( )
AB AC AB AC
Vậy sin()sin cos sin cos Bài 18:
Vẽ CH đường cao tam giác ABC
Xét AHC vuông H, theo tỉ lệ số lượng giác góc nhọn, ta có:
sinHAC CH
AC
sin
CH AC BAC
Mặt khác, ta có: . 1( )2 1( )2 9( 2)
4
AB AC ABAC ABAC cm
Do đó: sin 9sin
2 2
ABC
S CH AB AB AC BAC BAC
sin
2 BAC không đổi
Dấu “=” xảy AB AC 3cm
Vậy B C, tia AB AC, cho AB AC 3cm diện tích ABC lớn
3 BẢNG LƯỢNG GIÁC
4 MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GĨC TRONG TAM GIÁC VNG BÀI TẬP
Bài 19: Hãy đơn giản biểu thức: a) sin6cos63 sin2cos2
b) sin4cos4(sincos )(sin cos ) c) cos2tg2cos2
Bài 20: Hãy xếp tỉ số lượng giác sau theo thứ tự từ bé đến lớn (khơng dùng bảng số máy tính bỏ túi)
a) sin 40 , cos 28 , sin 65 , cos 880 0 b) tg65 , cotg42 , tg76 , cotg270 0
Bài 21: Cho tam giác nhọn ABC b c 2a Chứng minh rằng:
a) sinBsinC 2 sinA b) 1
a b c
h h h
Bài 22: Cho tam giác ABC , vuông A Chứng minh rằng: a) tg
2
B b
a c
b)
2 2
2
2
( )
a
b c l
b c
(9)Bài 23: Cho tam giác ABC có BC a AC; b AB; c Chứng minh rằng: sin
2
A a
b c
Bài 24: Cho tam giác ABC có đường trung tuyến BM CN vng góc với Chứng minh: cotg cotg
3 B C Bài 25: Chứng minh rằng:
a) cos 2cos2sin2 b) sin 22 sin cos Bài 26: Khơng dùng bảng số máy tính bỏ túi Tính sin 30 , cos 30 , sin 15 , cos150 0
Hướng dẫn giải Bài 19:
Ta có: sin2 cos2 1, tg sin
cos
a) sin6cos63 sin2cos2
2 2 2 2
(sin cos ) sin cos (sin cos ) sin cos
2 2
1 sin cos sin cos
b) sin4cos4(sincos )(sin cos )
2 2 2
(sin cos )(sin cos ) (sin cos )
2 2
(sin cos ) (sin cos )
c) cos2tg2cos2cos (12 tg )2
2
2
sin cos
cos
2
2
2
cos sin
cos
cos
Bài 20:
a) cos 280 sin(90028 )0 sin 620,
0 0
cos 88 sin(90 28 )sin
Ta có: 20 400 620650
0 0
sin sin 40 sin 62 sin 65
(góc tăng, sin tăng)
b) cotg420 tg(90042 )0 tg480
0 0
cotg27 tg(90 27 )tg63
Ta có: 480 630 650 760
0 0
tg48 tg63 tg65 tg76
(góc tăng, tang tăng)
0 0
cotg42 cotg27 tg65 tg76
Bài 21:
a) Theo kết tốn 14, ta có:
sin sin sin
a b c
A B C
Do đó:
sin sin sin sin sin sin sin
a b c b c a
A B C B C B C
sin sin sin sin sin sin
a a
B C A
A B C
b) Ta có: sinA hb ; sinB hc ; sinC hb
c a a
(10)E D
A B
C
I D A
B C
Ta lại có:
2
a
a c
c
ah
S c h c h c
h
Do đẳng thức cuối viết:
2 b c b b c c b 1
a a a b c
c
h h h h h h h
ah a ah a h h h
h
Bài 22:
a) Trong tam giác vng ABE, ta có:
tg
B AE
AB
(1) (BE đường phân giác) Theo tính chất đường phân giác, ta cịn có:
AE AB
EC BC
AE AB
AE EC AB BC
Hay AE AB
AC ABBC hay
bc AE
c a
(2)
Từ (1), (2) ta có: tg
B bc
c a
b) Ta có: 2SABC b c 2SABC (SABD SACD)
0
sin 45 sin 45
AD AB AD AC
0
sin 45 ( ) a sin 45 ( )
AD AB AC l b c
Do đó: 2 2sin 45 (2 )2
a
b c l bc
Ta thấy: cos 452 sin 452
Và sin 452 cos 452 sin 452
2
Vậy 2
2
2
( )
a
b c l
b c
Bài 23:
Vẽ đường phân giác AD tam giác ABC Theo tính chát đường phân giác tam giác ta có:
BD AD
AB AC
BD BD BC BD
AB AB AB AC AB
Vậy BD a
AB bc
Vẽ BI AD I( AD), suy ra: BI BD
IAB
có AIB 900, sinBAI BI
AB
Do đó: sin
A BI BD a
AB AB b c
Bài 24:
BM cắt CN G AG, cắt BC P, nên G trọng tâm ABC,
1;
GP PB PC
(11)M N
G
P E
D C
B A
K
H C
B
A Vẽ AD BC GE, BC D E( , BC),
Suy ra: AD GE
Áp dụng hệ định lí Ta-lét ta có:
1
GE GP
AD AP GBC
có BGC 900 (gt); GP đường trung tuyến, từ có:
1
2
GP BC BC GP GE GP (vì GE EP)
DAB
có ADB 900 nên cotgB BD
AD
DAC
có ADC 900 nên cotgC DC
AD
Ta có: cotg cotg 2
3 3
BD DC BC GP GE
B C
AD AD AD GE GE
Do đó: cotg cotg B C Bài 25:
Xét ABC cân đỉnh A có AB AC 1,A2 Vẽ AH BK, hai đường cao ABC
a) Xét HAC H( 90 )0 KBC K( 90 )0 có C (chung) Do đó: HAC ∽KBC
1
AH HC AC
BK KC BC BC
(1)
.1
BK AH BC BK AH HC
(*)
KAB
có K 900 nên sinBAK BK
AB
HAC
có H 900 nên sinHAC HC, cosHAC AH
AC AC
Từ (*) ta có: HC BC KC.1
2
2HC (AC AK).1
2
2 HC AK
AC AB
Do đó: 2 sin2 1 cos 2
cos 2 sin
Bài 26:
Xét tam giác ABC vng A có AC 1,BC 2 Trên tia đối tia BA lấy D cho BDBC
ABC
vng A có
2 AC
BC nên nửa tam giác
300
ABC
BDC
cân B BD( BC)
Do có: BDC DCB30 ;20 150
ABC
vng A, theo định lí Py-ta-go ta có:
2 2 2 4 1 3
(12)2
1 D
A B
C
C B
A AB
Do đó: ADABBC 32 ADC
vng A, theo định lí Py-ta-go ta có:
2 2 ( 3 2)2 12
DC AD AC
3 3 4
8 ( 2)
DC
ABC
vng A, đó:
0
sin 30 sin
2 AC ABC
BC
,
0
cos 30 cos
2 AB BAC
BC
DAC
vng A, đó:
0 6
sin 15 sin
6
6
AC ADC
DC
0
cos15 cos
6
AD ADC
DC
( 2)( 2) 6 2
6 4
5 ỨNG DỤNG THỰC TẾ CÁC TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN, THỰC HÀNH NGỒI TRỜI
ƠN TẬP CHƯƠNG I
Bài 27: Cho tam giác ABC vuông A có AB 5cm AC, 12cm Tính sin , cos , tg , cotgB B B B Bài 28: Cho tam giác DEF có DE 9cm DF, 15cm EF, 12cm Tính sinEDF, tgEDF Bài 29: Cho tam giác ABC vng A có AB 24cm AC, 5cm Tính sinB
Bài 30: Không dùng bảng số máy tính, xếp tỉ số lượng giác sau theo thứ tự từ nhỏ đến lớn a) sin 63 , cos 24 , cos 70 , sin 68 , sin 500 0 0
b) cotg28 , tg35 , tg47 , cotg65 , cotg210 0 0 Bài 31: Tính:
a) (sin 340cos 56 )0 24 sin 34 cos 560
b) (cos 360sin 36 ).(cos 370 0sin 38 ).(cos 420 0sin 48 )0 c) (tg520 cotg43 ).(tg290 0cotg61 ).(tg130 0tg24 )0
Bài 32: Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM cạnh AC Chứng minh tg 1tg
3 B C
Bài 33: Cho tam giác ABC có ABc AC, b BC, a Chứng minh rằng: a) sin
2 2
A a
bc
b) sin sin sin
2 2
A B C
Bài 34: Cho tam giác ABC , đường cao AD BE CF, , Chứng minh rằng: DEF 1 cos2 cos2 cos2
ABC
S
A B C
S
Hướng dẫn giải Bài 27:
(13)F E
D
5cm 24
C B
A
2 2
BC AB AC
2 52 122
BC
2 169
BC
13 BC cm
12 sin
13 AC B
BC
cos
13 AB B
BC
12 tg
5 AC B
AB
cotg
12 AB B
AC
Bài 28:
2 92 122 225
DE EF
2 152 225
DF
DEF
có DE2EF2 DF2( 225)
Theo định lí Py-ta-go đảo có tam giác DEF vuông E
12 sin
15 EF
EDF DF
12
9
EF tgEDF
DE
Bài 29:
Tam giác ABC vng A, theo định lí Py-ta-go có:
2 2 24 25 49
BC AB AC
7
BC cm
Ta có: sin
7 AC B
BC
Bài 30:
a) cos 240 cos(90066 )0
0 0 0
sin 66 ; cos 70 sin(90 70 ) sin 20
Ta có: 200 500 630 660 680
0 0 0
cos 70 sin 50 sin 63 cos 21 sin 68
(góc tăng, sin tăng)
b) cotg280 cotg(90062 )0
0 0
tg62 ; cotg65 cotg(90 25 )
0 0 0
tg25 , cotg21 tg(90 21 ) tg69
Ta có: 250 350 470620 690
0 0 0
cotg65 tg35 tg47 cotg28 tg21
(góc tăng, tang tăng)
Bài 31:
a) Ta có: 340 560 900 nên sin 340 cos 560 Và có sin2cos21
Do đó: (sin 340cos 56 )0 24 sin 34 cos 560
0 0
(sin 34 cos 56 ) (sin 34 sin 34 )
b) 420 480 900 nên cos 420 sin 480
0
cos 42 sin 48
Do đó: (cos 360sin 36 )(cos 370 0sin 38 )(cos 420 0sin 48 )0 0 c) 290610 900 nên tg290 cotg610
0
tg29 cotg61
(14)M H C B
A
I E D
C B
A
F
E
D C
B A
Do đó: (tg520cotg43 )(tg290 0cotg61 )(tg130 0tg24 )0 0 Bài 32:
Vẽ đường cao AH ABC
Do AMC cân đỉnh A (vì AM AC) có AH đường cao, nên AH đường trung tuyến
Suy ra:
2 MH HC MC
MC 2MH 2HC Mà BM MC (gt) Nên BH 3HC
HAB
có AHB 900, ta có: tgB AH
BH
HAC
có AHC 900, ta có: tgC AH
HC
Suy ra: tg 1tg
3
B C
Bài 33:
a) AI đường phân giác tam giác ABC Vẽ BD AI D( AI)
CE AI E( AI) Ta có: BDBI CE, IC
Do đó: BDCE BC a (1)
BDA
vuông D
Nên BDABsinBAD
Nên sin
2 A BDc
Tương tự sin
2 A CE b
Do đó: ( )sin
2 A
BDCE bc (2) Từ (1) (2) ta có: ( )sin sin
2
A A a
b c a
b c
Mà b c bc (bất đẳng thức Cosi cho hai số dương) Ta có: sin
2 2
A a
ab
b) sin
2 2
A a
bc
Tương tự: sin ; sin
2 2 2
B b C c
ac ab
Do đó: sin sin sin
2 2 2 2 2
A B C a b c
bc ac ab
1 sin sin sin
2 2
A B C
Bài 34:
Xét AEB AEC có EAB (chung)
( 90 )0
AEB AFC
Do AEB ∽AEC
AE AB
AF AC
(15)Xét AEF ABC có: EAF (chung)
AE AF AE AB
AB AC AF AC
Do AEF ∽ABC
2
cos ; cos
BDF CDE
ABC ABC
S S
B C
S S
Do đó: DEF ABC AEF BDF CDE
ABC ABC
S S S S S
S S
ABC AEF BDF CDE
ABC ABC ABC ABC
S S S S
S S S S
2 2
1 cos A cos B cos C
Chương II: ĐƯỜNG TRỊN
§1 SỰ XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TRỊN, TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG CỦA ĐƯỜNG TRỊN BÀI TẬP
Bài 35: Cho ABC nội tiếp đường trịn đường kính BC a) Chứng minh tam giác ABC tam giác vuông
b) Chứng minh
4
ABC
S BC
Bài 36: Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC BD vng góc với Gọi M N R, , S trung điểm cạnh AB BC CD, , DA Chứng minh bốn điểm M N R, , S nằm đường tròn
Bài 37: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn ( ; )O R Các đường cao BD CE tam giác
ABC cắt H Vẽ đường kính AF đường trịn ( )O a) Chứng minh BH FC
b) Chứng minh tứ giác BHCF hình bình hành
c) Vẽ OM BC M Chứng minh H M F, , thẳng hàng d) Gọi G trọng tâm tam giácABC
Chứng minh SAHG 2SAGO
Bài 38: Cho điểm A cố định nằm ngồi đường trịn ( ; )O R B điểm di động đường tròn ( )O Gọi M I, trung điểm AB OA,
a) Chứng minh
2
IM R Suy M thuộc đường cố định b) Chứng minh OA R ABOAR
Bài 39: Cho nửa đường trịn ( )O đường kính AB Hai dây cung AC BD cắt H Chứng minh rằng: AH AC. BH BD. AB2
Bài 40: Cho hình thoi ABCD cạnh a Gọi R r bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác
, ABD ABC
Chứng minh rằng: 12 12 42
R r a
Bài 41: Cho điểm A cố định nằm đường tròn ( ; )O R (A0) B điểm di động đường tròn
( )O
Xác định vị trí điểm B để độ dài AB lớn nhất, nhỏ
Bài 42: Cho đường tròn ( ; )O R hai điểm A B, nằm đường trịn cho OA2R Tìm điểm M đường trịn để MA2MB đạt giá trị nhỏ
(16)H O C B
A
R S
N M
D O
C B
A
G O
M E
H
F D
C B
A
Bài 43: Cho đường tròn ( ; )O R dây cung AB cố định, M điểm thay đổi đường trịn Vẽ hình bình hành MABC Tìm tập hợp điểm C
Bài 44: Trong mặt phẳng cho 2005 điểm ba điểm tìm hai điểm có khoẳng cách chúng bé
Chứng minh tồn hình trịn có bán kính chứa khơng 1003 điểm Hướng dẫn giải
Bài 35:
a) OA OB OC(R)
BC OA
Tam giác ABC có OA đường trung tuyến Và
2 BC
AO nên tam giác ABC vuông A
b) Vẽ AH đường cao tam giác ABC có AH AO
Do đó:
2
ABC
S AH BC AO BC
Mà
2 BC
AO nên
4
ABC
S BC Bài 36:
Xét tam giác ABC có M N, trung điểm AB BC, (gt)
MN
đường trung bình ABC nên MN AC (1) Tương tự: RS đường trung bình ACD nên RS AC (2)
(1) (2) cho ta: MN RS AC (3)
Tương tự: MS RN BD (4)
Từ (3) (4) ta có tứ giác MNRS hình bình hành Mặt khác theo giả thiết có:
AC BD
MS AC
MS SR
Do hình bình hành MNRS hình chữ nhật
Gọi O giao điểm hai đường chéo hình chữ nhật MNRS, theo tính chất hình chữ nhật ta có: OM ON OROS Vậy bốn điểm M N R S, , , nằm đường tròn tâm O Bài 37:
a) ACF nội tiếp đường trịn đường kính AF
ACF
vng C
Ta có: BH AC FC, AC BH FC
b) BH FC (câu a)
Chứng minh tương tự câu a) Có: CH FB
Tứ giác BHCF có BH FC Và CH FB nên hình bình hành c) OM BC (gt)
M
trung điểm BC (Định lý đường trịn vng góc dây cung)
Tứ giác BHCF hình bình hành, M trung điểm BC nên M trung điểm HF
, , H M F
thẳng hàng
d) Tứ giác ABC có AM đường trung tuyến, G trọng tâm (gt)
G
thuộc đoạn thẳng AM,
(17)M
I B
A O
K H D
C
B A
M
K D
C B
A
B
A O
Tam giác AHF có AM đường trung tuyến, G thuộc đoạn thẳng AM,
3 AG AM G
trọng tâm tam giác AHF HO đường trung tuyến tam giác AHF
HO
qua G, HG 2GO
Hai tam giác AHG AGO, có chung đường cao vẽ từ A đến HG HG, 2GO Do SAHG 2SAGO
Bài 38:
a) Xét OAB có I M, trung điểm OA AB, (gt)
IM
đường trung bình tam giác OAB
1
2
IM OB R
Ta có: I trung điểm đoạn thẳng cố định OA
I
cố định
1
IM R, khơng đổi
Do M thuộc đường trịn cố định tâm I, bán kính
2R
b) Xét ba điểm O A B, , có: OA OB ABOA OB Mà OBR
Do đó: OA R AB OAR Bài 39:
Vẽ HK AB K, AB
Vì D C, thuộc đường trịn đường kính AB nên:
900
ADB ACB
Xét BKH DBA có: KBH: chung
( 90 )0
HKBADB
Do đó: BKH ∽DBA
BH BK
AH AC AB AK
AB BD
Chứng minh tương tự ta có: AKH ACB
Do đó: AH AC. BH BD. AB AK. AB BK. AB AK( BK)AB2 Bài 40:
Gọi M I K, , giao điểm đường trung trực đoạn thẳng AB với AB AC BD, ,
O giao điểm AC BD Ta có: OAOC
OB OD
AC BD (ABCD hình thoi)
Nên AC trung trực BD, BD trung trực AC
Do đó: I K, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD ABC,
,
IA R KB r
Xét OAB MKB có ABO (chung), AOB KMB( 90 ) Do OAB∽MKB
2
2
2
2
2
2
OB AB OB a OB a a
MB KB a r r r
(18)M
C B
A O
C' M'
M C
B A
O' O
Tương tự ta có
4 a OA
R
Tam giác OAB vuông O, theo định lí Py-ta-go có:
2 2
OA OB AB
4
2
2 2 2
1
4
a a a
R r R r a
Bài 41:
Xét ba điểm O A B, , có:
OB OA AB OBOA R OA AB R OA
Ta có: R OA R OA không đổi
AB R OA
O
nằm A B
Vậy B giao điểm tia AO đường tròn ( ; )O R độ dài AB lớn
AB R OA A nằm O B
Vậy B giao điểm tia AO đường trịn ( ; )O R độ dài AB nhỏ Bài 42:
Gọi C điểm đoạn thẳng OA cho:
2 R
OC , ta có C cố định
Xét OCM OMA có: COM (chung)
1
OC OM
OM OA
Do đó: OCM ∽OMA
1 2
2
MC OC MC MA
MA OM
Xét ba điểm M B C, , có MC MBBC
Do đó: MA2MB 2(MC MB)2BC BC, khơng đổi Dấu “=” xảy M nằm B C
Vậy M giao điểm đoạn thẳng BC đường tròn ( )O , (C điểm đoạn OA cho
2 R
OC ) OMA đạt giá trị nhỏ Bài 43:
a) Phần thuận:
Kẻ đoạn thẳng OO song song đoạn thẳng AB (theo chiều từ A đến B hình vẽ) Vì tứ giác MABC hình bình hành nên ta có:
,
OOMC OO MC
Suy tứ giác OMCO hình bình hành ta có:
O C OM R
Điểm C cách điểm O cố định đoạn không đổi R nên C đường tròn ( ; )O R b) Phần đảo:
Lấy điểm C đường tròn ( ; )O R
(19)Thật vậy, OOAB
Nên OOM C OOM C
Suy tứ giác OO C M hình bình hành ta có:
OMOCR
Điều chứng tỏ M thuộc đường tròn ( ; )O R
Vậy tập hợp (quĩ tích) điểm C thuộc đường trịn tâm O, bán kính R với OOAB
OO AB Bài 44:
Gọi A điểm cho Vẽ đường tròn ( ;1)A Nếu điểm cịn lại nằm hình trịn
( ;1)A
thì tốn giải xóng Xét điểm B nằm ngồi hình trịn ( ;1)A tức AB 1 Vẽ hình trịn ( ;1)B Các
điểm cịn lại nằm hai đường tròn
Thậy vậy, giả sử có C khơng thuộc hai hình có ABC mà AB1,AC 1,BC 1 Mâu thuẫn gt
Hai hình trịn chứa 2005 điển nên có hình trịn chứa khơng 1003 điểm ĐƯỜNG KÍNH VÀ DÂY CỦA ĐƯỜNG TRÒN
Bài 45: Cho tam giác ABC , đường cao BD CE cắt H a) Chứng minh B E D C, , , thuộc đường tròn b) Chứng minh A D H E, , , thuộc đường tròn c) Chứng minh BC DE AH; DE
Bài 46: Cho đường tròn ( ; )O R , A B thuộc đường tròn ( )O cho AOB 900 Gọi M trung điểm
AB
a) Chứng minh OM AB b) Tính độ dài AB OM, theo R
Bài 47: Cho đường tròn ( ; )O R , A B di động đường tròn ( )O thỏa mãn AOB 1200 Vẽ
OH AB H
a) Chứng minh H trung điểm AB b) Tính OH AB, Diện tích OAB theo R
c) Tia OH cắt đường tròn ( ; )O R C Tứ giác OABC hình gì? Vì sao?
Bài 48: Cho nửa đường tròn ( )O có đường kính AB dây cung CD Vẽ AP BS vng góc với CD P CD S( , CD) Chứng minh:
a) P S ngồi đường trịn ( )O b) PC DS
c) SAPSB SACB SADB
Bài 49: Cho đường tròn ( ; )O R dây cung AB Gọi I trung điểm AB Tia OI cắt cung AB M
a) Cho R5cm AB; 6cm Tính độ dài dây cung MA
b) Gọi N điểm đối xứng M qua O, giả sử MA5cm AB; 6cm Tính bán kính R Bài 50: Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB Trên đoạn thẳng OA lấy điểm C đoạn thẳng
OB lấy điểm D cho OC OD Từ C D kẻ hai tia song song cắt nửa đường tròn E F Gọi
I trung điểm EF Chứng minh rằng: SCEF SDEF EF OI
Bài 51: Cho đoạn thẳng AB6cm Các đường tròn qua A B, đường trịn có độ dài bán kính nhỏ
(20)H
M E
D
C B
A
M
B A
O
H C
B A
O
Bài 53: Cho tam giác nhọn ABC D điểm di động cạnh BC Gọi R R1, 2 bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABD ACD, Xác định vị trí D để tổng R1R2 nhỏ
Bài 54: Cho đường tròn ( ; )O R A điểm nằm ngồi đường trịn ( )O Đường thẳng d qua A cắt đường tròn ( )O B C, Xác định vị trí d để ABAC lớn
Bài 55: Cho đường trịn tâm O, đường kính AB Vẽ dây CD khơng qua tâm khơng vng góc với AB Qua A B vẽ đường vng góc với CD E F Chứng minh CF DE
Bài 56: Cho nửa đường tròn ( ; )O R đường kính AB C D, hai điểm nửa đường tròn ( )O cho
45 ,0 300
CAB DAB AC cắt BD M AD, cắt BC N a) Chứng minh MN AB
b) Tính diện tích ABM theo R
Bài 57: Cho đường tròn ( ; )O R l O( l )R
a) Tìm quỹ tích trung điểm M tất dây cung AB1 đường tròn ( )O
b) Gọi C D, hai điểm tùy ý cho CD 1 Hãy dựng hình bình hành CDEF cho E F, nằm đường tròn ( ; )O R (Chỉ trình bày cách dựng chứn minh)
Hướng dẫn giải Bài 45:
a) BEC90 (0CE AB BDC), 90 (0 BD AC) Gọi M trung điểm BC , EBC vuông E có EM đường trung tuyến
2 BC
ME MB MC
Tương tự:
2 BC MDMB MC
Ta có: MB ME MD MC
, , , B E D C
thc đường trịn tâm M
b) Chứng minh tương tự có A D H E, , , thuộc đường tròn
c) BED 90 ,0 DE dây cung khác đường kính đường trịn đường kính BC
BC DE
Chứng minh tương tự có: AH DE Bài 46:
a) AOB 900 1800 AB
khơng đường kính đường trịn ( )O M trung điểm dây cung AB
Nên OM AB
b) OAB vng O có:
( )
OAOB R nên tam giác vuông cân
2
AB OA R
OAB
vuông O, OM đường trung tuyến nên:
1
2
OM AB R
Bài 47:
a) AB dây cung đường tròn ( )O
OH AB (gt)
H
trung điểm đoạn thẳng AB b) OAB cân O (vì OAOB R) có:
OH đường trung tuyến nên đường phân giác
1 600
2
AOH HOB AOB
(21)F S
P I
K
H E
D C
B
A O
Tam giác HAO vng H có AOH 600 nên nửa tam giác
1 ; 3 ; 2 3
2 2
OH OA R AH OA R AB AH R
2
1 1
2 2
OAB
S OH AB R R R (đvdt)
c) 1
2
HC OC OH R R R
Tứ giác OACB có , ( )
2 HAHB HOHC R
Nên hình bình hành Mà OAOB(R) Do OACB hình thoi Bài 48:
a) Gọi I trung điểm PS
AP PS (gt), BS PS (gt)
AP BS
APSB
hình thang
Nên OI đường trung bình hình thang APSB
OI AP
mà AP PS OI PS Ta có OI đường trung trực PS
OP OS
180 (0 )
PABABS AP BS
900
PAB
ABS 900 Giả sử PAB 900
APO
có PAD900 OP OAR
P
nằm đường trịn ( ; )O R
Ta có OS OPRS nằm ngồi đường trịn ( ; )O R b) OI CD IC ID
Do đó: IPIC ISIDPC DS
c) Hạ CH IE, DK vng góc với AB Ta có tứ giác HCDK hình thang IE đường trung bình nên:
2
CH DK
IE Ta có:
1 . .
2
ACB ADB
S S CH AB DK AB
1( )
2 CH DK AB
IE AB (1) (Vì 1( )
2
OI CH DK ) Giả sử APBS, hạ AF BS, ta có:
1
( )
2
APSB
S APBS AF (2) (Vì 1( )
2
OI APBS ) Mặt khác: OEI ∽BFA
Vì IOEFBA (Vì OI BS ) E F( 90 ) Cho ta: EI OI
(22)N
E
M I
B A
O
F I
E
D B C
A O
K H I
D C
B A
O Từ (1), (2) (3) cho ta: SAPSB SACB SADB
Bài 49:
a) Vì I trung điểm dây AB nên:
6
2
AB
IAIB (cm)
Và OI AB
• OIA I(90 )0
2 2 52 32 16
OI OA IA
4
OI cm IM cm
• AIM cho ta:
2 2 32 12 10
AM AI IM
10 AM
b) Gọi E trung điểm dây NA Ta có OE NA NE EA2, 5cm
• IAN cho ta: IN2 NA2AI2 5232 16IN 4(cm)
• NEO NIA cho ta: NE ON
NI NA
2, 5.5
3,125
NE NA
ON cm
NI
Bài 50:
Vì I trung điểm EF Nên OI EF
Ta có: CE DF
Và O trung điểm CD nên tứ giác CEFD hình thang Và OI đường trung bình
Suy ra: OI CE DF mà OI EF
nên CE EF DF, EF
Do đó: 1( )
2
OI CE DF
Và
2
CEF
S CE EF
1 .
2
DEF
S DE EF
1 ( ) .
2
CEF DEF
S S EF CE DF EF OI
Bài 51:
Gọi R bán kính đường trịn qua A B Ta có: 2RAB
2R6cm
R cm, không đổi
Dấu “=” xảy AB đường kính đường trịn đường kính AB có đọi dài bán kính nhỏ Bài 52:
Vẽ AH BD H( BD CK), BD K( BD)
Gọi I giao điểm AC BD, AH HI nên AH AI
(23)D C B
A
d C
H
B
A
O
I
E
F
D
C
B A
O
2 ,
AC R BD R
(AC BD, dây cung đường tròn ( ; )O R )
Ta có:
2
ABCD ABD BCD
S S S BD AH BD CK
( )
2BC AH CK 2BD AC
Do vậy: 12 2 2
2
ABCD
S R R R
Dấu “=” xảy
2
BD R
AC R
H I K
AC BD, hai đường kính vng góc Vậy giá trị lớn diện tích tứ giác ABCD 2R2 Bài 53:
1
R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABD (gt) Nên 2R1AB
Và R2 bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD Nên 2R2 AC
Do đó: 2R12R2 ABAC
1
1
( )
2
R R ABAC , không đổi
Dấu “=” xảy AB AC, đường kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABD, ACD
900
ADB ADC
D
chân đường cao vẽ từ A tam giác ABC
Vậy D chân đường cao vẽ từ A tam giác ABC
1
R R đạt giá trị nhỏ Bài 54:
Vẽ OH d H( d) H
trung điểm BC (Định lí đường kính vng góc dây cung) Ta có: ABAC AHHBAH HC
(AHAH) ( HC HB)2AH Mà OH AH nên AH OA
Do đó: ABAC 2OA 2OA khơng đổi Dâu “=” xảy OH
Vậy đường thẳng d qua O tổng ABAC lớn Bài 55:
Vẽ OI CD I, CD IC ID
(Định lí đường kính vng góc với dây cung)
, ,
AE DC BF DC OI CD
Các đường thẳng AE BF OI, , song song với Hình thẳng EAFB có:
OI AE OAOB Do đó: IF IF
Ta có: IC IF IDIE
CF DE
(24)N M
H D
O C
B A
J
I
F
E
D
H O
B M
A
Bài 56:
a) C D, thuộc đường trịn đường kính AB (gt)
900
ACB ADB
Xét MAB có AD BC, hai đường cao cắt N
N
trực tâm tam giác MAB
MN AB
b) Gọi H giao điểm MN AB
HAM
vuông H có MAH450 (gt)
HAM
vng cân H
AH MH
DAB
vng D có DAB 300 nên:
900 600
DBADAB DBA
MHB
vng H có MBH600 nên nửa tam giác
3 MH HB
3 MH
MH AH HB
3 2
3 MH R
2x3
3
MH R
(3 3)R
1 . (3 3)
2
MAB
S MB AB R (đvdt) Bài 57:
a) 1) Phần thuận:
Vì M trung điểm dây cung AB 1
Nên:
2
MAMB OM AB
OMA
cho:
2
2 2
4
OM OA AM OM R khơng đổi
Do M đường tròn ( ; 12)
4
O R
2) Phần đảo:
Trên đường tròn ( ; 12)
4
O R ta lấy điểm M
Vẽ dây cung A B vng góc với OM M Ta phải chứng minh M trung điểm dây cung A B 1 Thật vậy:
- Vì dây cung A B vng góc với OM M Nên M trung điểm A B - Ta có:
2
4 OM R
Nên
2
2
4 OM R
Tam giác vuông OM A cho ta:
2 2
(25)Hình a
H
F
E K G
D
C B
A
O
Hình b
M
D
C B
A O
2
2 1
4
R R
Suy ra:
2
A M A B 1
Vậy quỹ tích điểm M đường tròn ( ; 12)
4 O R b) 1) Cách dựng:
- Dựng OH CD, đường thẳng OH cắt đường tròn ( ; 12)
4
O R I J
- Dựng dây cung EF đường trịn ( ; )O R vng góc với OI I (hoặc OJ J) Tứ giác
EFCD hình bình hành phải dựng 2) Chứng minh:
Vì OI OM nên EF AB EF CD
Theo cách dựng, ta cịn có: EF CD (vì OH) Vậy tứ giác EFCD hình bình hành
3) Biện luận:
Vì đường thẳng OH ln cắt đường tròn ( ; 12)
4
O R hai điểm nên tốn ln dựng có hai nghiệm hình
3 LIÊN HỆ GIỮA DÂY VÀ KHOẢNG CÁCH ĐẾN TÂM BÀI TẬP
Bài 58: Cho đường tròn ( ; 3O cm), dây AB 4cm a) Tính khoảng cách từ tâm O đến dây AB
b) M điểm cho OM 2cm Vẽ dây CD vng góc OM M So sánh AB CD
Bài 59: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( ; )O R , có A 80 ,0C 500 Gọi khoảng cách từ O đến cạnh AB AC BC, , OH OK OD, , So sánh độ dài OH OK OD, ,
Bài 60: Cho hình sau (Hình a), hai đường trịn có tâm O, biết AB BG So sánh độ dài
a) OH OK b) CD EF
Bài 61: Cho hình vẽ sau (Hình b), biết AB CD Chứng minh MAMC
Bài 62: Cho điểm A cố định bên đường tròn ( ; )O R (A0) BC dây cung quay quanh A Xác định vị trí dây cung BC lúc dây cung BC ngắn
Bài 63: Cho điểm BC cố định bên đường tròn ( ; )O R (A0) BC điểm chuyển động đường trịn ( )O Xác định vị trí điểm B cho góc ABO lớn
(26)M D
C
H B A
O
K H
D
C B
A
O
M
K H
O
D
C B
A
H C
B A
O a) Vẽ OH AB H
H
trung điểm dây cung AB
(Định lý đường kính vng góc với dây cung)
Ta có:
2 AB
AH HB cm
Tam giác OHA vng H, theo định lý Py-ta-go ta có:
2 2
OH AH OA
2 22 32
OH
2 5
OH
5 OH cm
b) 5 2 nên OH OM
AB CD
(Định lý liên hệ dây khoảng cách từ tâm đến dây) Bài 59:
ABC
có:
1800
BAC ABC ACB
Mà BAC 80 ,0 ACB 500 (gt) Do đó: ABC 1800800500 500
ABC
có: ABC ACB BAC (vì 500 500 800
AC AB BC
OK OH OD
(Định lí liên hệ dây khoảng cách từ tâm đến dây) Bài 60:
a) Xét đường trịn ( ;O OA) có:
, ,
OH AB OK BG ABBG (gt)
OH OK
(Định lí liên hệ dây khoảng cách từ tâm đến dây) b) Xét đường tròn ( ;O OC) có OH CD OK, EF OH, OK (câu a)
CD EF
(Định lí liên hệ dây khoảng cách từ tâm đến dây) Bài 61:
Vẽ OH AB H( AB)
OK CD K( CD) Ta có: ABCD (gt)
Nên OH OK (Định lí liên hệ dây khoảng cách từ tâm đến dây)
Và H K, trung điểm AB CD, (Định lý đường kính vng góc dây cung( Nên AH CK
Xét OHM OHM( 90 )0 OKM OKM( 90 )0 Có OM (cạnh chung) OH OK
Do đó: OHM OKM (cạnh huyền – cạnh góc vng)
MH MK
Ta có: MH AH MKCK MAMC Bài 62:
Vẽ OH BC H( BC)
Ta có: OH OA OA, không đổi Do vậy: BC ngắn
OH
lớn H A
(27)H
B A
O
H
C B
A
Bài 63:
Vẽ OH AB H, ta có góc OBH nhọn, OH OA, khơng đổi Tam giác OBH vuông H
Nên OH OBsinOBH
sin OH R ABO
Do đó: ABO lớn
sinABO
lớn
OH
lớn
OH OA
H A
Vậy AB vng góc OA A góc ABO lớn
4 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN BÀI TẬP
Bài 64: Cho tam giác ABC vng A có AB 3cm AC, 4cm Vẽ đường trịn tâm A bán kính
2, 8cm
Xác định vị trí tương đối đường thẳng BC đường tròn tâm A bán kính 2, 8cm Bài 65: Cho tam giác ABC vng A có BD đường phân giác
Xác định vị trí tương đối đường thẳng BC đường trịn tâm D bán kính DA
Bài 66: Cho đường thẳng m Tâm A tất đường trịn có bán kính 3cm đường thẳng m tiếp xúc nằm đường nào?
Bài 67: Cho hình thang vng ABCD có A B 90 ,0 AD2cm BC, 6cm CD, 8cm Chứng minh AB tiếp xúc với đường trịn đường kính CD
Bài 68: Cho đường trịn ( ; )O R đường kính AB tiếp tuyến xAy Trên xy lấy điểm M, kẻ dây cung
BN song song với OM Chứng minh MN tiếp tuyến đường tròn ( )O Bài 69: Chứng minh rằng:
a) Nếu đường thẳng xy không cắt ( ; )O R điểm xy nằm bên ngồi đường trịn b) Nếu đường thẳng xy qua điểm bên ( ; )O R phải cắt đường trịn hai điểm phân
biệt
c) Nếu đường thẳng xy cắt ( ; )O R A B (A khác B) điểm nằm A B nằm bên đường tròn, điểm cịn lại (trừ A, B) nằm bên ngồi đường trịn
Bài 70: Cho đường thẳng d đường trịn ( ; )O R khơng giao A điểm ( )O Xác định vị trí điểm A để khoảng cách từ A đến đường thẳng d lớn
Bài 71: Cho điểm A nằm ngồi đường trịn ( ; )O R Đường thẳng d qua A, gọi B C giao điểm đường thẳng d đường tròn ( )O
Xác định vị trí đường thẳng d để tổng ABAC lớn Hướng dẫn giải Bài 64:
Vẽ AH đường cao tam giác vng ABC
Ta có: 2 12 2
AH AB AC
2 2
1 1
3
AH
2
2 2
1
3
AH
2, 2, 8( ) AH cm d R
(28)D
E C
B A
B
A
d' m d
I K
D
C B
A
O N
B A
M y
x
d O
M
H y
x
O
N
d
y
x A M H B
Vẽ DE BC E( BC) D thuộc tia phân giác góc ABC
,
DAAB DE BC
Nên DE DA
Do đó: đường thẳng BC đường tròn tâm D
bán kính DA tiếp xúc Bài 66:
Vẽ AB m B( m)
Có AB 3cm khơng đổi, đường thẳng m cố định Do đó: A thuộc đường thẳng song song với m cách
m khoảng cách 3cm
Bài 67:
Gọi I K, trung điểm CD AB Ta có: IK đường trung bình hình thang ABCD
Nên 4( )
2
AD BC
IK cm
,
AD IK AD AB
Nên IK AB
( ),
CD
IK cm IK AB
Do đó: AB tiếp xúc với đường trịn tâm I đường kính CD Bài 68:
Vì BN OM
Nên AOMABN ; MONONB Mà OBN cân O Nên: OBM ONB Do đó: MON AOM
Ta có: OAM ONM
(vì OAON R AOM; MON OM; cạnh chung) Suy ra: ONM OAM
Ta lại có: OAM 900
(vì xy tiếp tuyến A) Nên ta có: ONM 900, hay MN ON
Vậy MN tiếp tuyến đường tròn ( )O Bài 69:
a) Nếu đường thẳng xy không cắt ( )O d R Kẻ OH xy OH d
(29)d O
H B
A
D'
D C
H
B
d A O
Nên OM RM ( ; )O R
b) Gọi M điểm bên ( ; )O R OM R Giả sử đường thẳng xy qua M kẻ OH xy OH d Ta có: OH OM
Do d R suy đường thẳng xy cắt ( ; )O R hai điểm phân biệt
c) Giả sử M điểm nằm A B xảy ta ba trường hợp:
• Nếu M H OM OH RM bên đường trịn ( ; )O R
• Nếu M nằm A H MH AH OM OA (OM OA hai đường xiên kẻ từ O tới xy, có hai hình chiếu xy MH AH)
Do OM RM bên đường tròn ( ; )O R
• M nằm B H , chứng minh tương tự ta M bên đường tròn
( ; )O R
Giả sử M điểm nằm xy ngồi đường thẳng AB, ta ln ln có
HN HA (hoặc HB)
ON OA
(hoặc OB) ON R Vậy N nằm ngồi đường trịn ( ; )O R Bài 70:
Gọi H B, hình chiếu A O, đường thẳng d, ta có B cố định
AH HB nên AH AB
Xét ba điểm O A B, , có AB OA OB Do đó: AH R OB R OB , không đổi Dấu “=” xảy OnamgiauAvaBH B
Vậy A giao điểm tia đối tia OB đường trịn ( )O (B hình chiếu O d) khoảng
cách từ A đến d lớn bài 71:
Vẽ đường thẳng qua A tiếp xúc với đường tròn D D, ta có D D cố định
• Nếu d trùng với AD AD
Ta có điểm B C D, , trùng nên
2
ABAC AD AD
• Nếu d không trùng với AD AD Vẽ OH d H( d)
Ta có: H trung điểm BC
(Định lí đường kính vng góc dây cung) Và có OH R
Nên ABAC AH HBAH HC 2AH Xét OAH vuông H nên theo định lý Py-ta-go, Ta có: OH2 AH2 OA2
Xét OAD vng D nên theo định lý Py-ta-go, Ta có: OD2AD2 OA2
Do đó: OH2AH2 OD2 AD2 Mà OH OD R nên AH AD Nên ABAC 2AD
(30)C B
A
D E
M
A
C B
O
5 DẤU HIỆU NHẬN BIẾT TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN BÀI TẬP
Bài 72: Cho tam giác ABC có AB6,AC 6,BC 10 Vẽ đường tròn ( ;B BA), đường tròn ( ;C CA) Chứng minh rằng:
AB tiếp tuyến đường tròn ( ;C CA) CA tiếp tuyến đường tròn ( ;B BA)
Bài 73: Từ điểm A ngồi đường trịn ( ; )O R vẽ tiếp tuyến AB (B tiếp điểm), C điểm đường tròn ( )O cho AC AB
a) Chứng minh AC tiếp điểm đường tròn ( )O
b) D điểm AC Đường thẳng qua C vng góc với OD M cắt đường tròn ( )O E (E khác C) Chứng minh DE tiếp tuyến đường tròn ( )O
Bài 74: Cho đường trịn ( ; )O R , đường kính AB, M điểm ( )O , AM cắt tiếp tuyến đường tròn
( )O B C
a) Tính AM AC theo R
b) Xác định vị trí M để 2AM AC đạt giá trị nhỏ
Bài 75: Cho nửa đường tròn ( ; )O R đường kính AB M điểm di động nửa đường tròn Qua M vẽ tiếp tuyến với nửa đường tròn Gọi D C, hình chiếu A B, tiếp tuyến
a) Chứng minh ADBC không đổi
b) Xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác ABCD lớn
Bài 76: Cho đường tròn ( ; )O R có AB dây cung cố định không qua tâm O, C điểm di động cung lớn AB (C không trùng với A B)
Gọi ( )d tiếp tuyến C đường tròn ( ; )O R M N, chân đường vng góc vẽ từ A B đến ( )d Tìm vị trí C cho khoảng cách MN dài nhất, ngắn
Bài 77: Cho nửa đường tròn ( ; )O R đường kính AB Điểm M đường trịn ( )O H hình chiếu
M AB
Xác định vị trí M để AH HM lớn
Hướng dẫn giải Bài 72:
2 82 62 100
AB AC
2
10 100
BC
ABC
có: AB2AC2 BC2, theo định lí Py-ta-go đảo ta có tam giác ABC vuông A
AB CA
Do AB tiếp tuyến đường trịn ( ;C CA), CA tiếp tuyến đường tròn ( ;B BA) Bài 73:
a) Xét OAC OAB Có OC OB(R)
OA (cạnh chung)
AC AB (gt)
Do đó: OAC OAB (c.c.c)
900
OCA OBA
AC
tiếp tuyến đường tròn ( )O
b) OD EC (gt)
M
trung điểm EC
(Định lí đường kính vng góc dây cung)
OD đường trung trực đoạn thẳng EC
DE DC
(31)C M
B
A O
E M
D
C
B
A O
K N
M C
B A
O
Bài 74:
a) MAB nội tiếp đường trịn đường kính AB
MAB
vuông M
CB tiếp tuyến đường tròn ( )O
900
ABC
ABC
vuông B BM, đường cao
Nên: AM AC AB2 4R2
b) Theo bất đẳng thức Cô si cho hai số dương có:
2AM AC 2 2AM AC 2AM AC 4 2R, không đổi Dấu “=” xảy 2AM AC
M
trung điểm AC ABC
vuông cân B M
( )O cho MAB 450 Vậy M đường tròn ( )O cho
450
MAB 2AM AC đạt giá trị nhỏ Bài 75:
a) AD CD (gt), BC CD (gt)
OM CD (CD tiếp tuyến đường tròn ( )O ) Suy AD BC OM
Hình thang ABCD (AD BC ) có:
OM AD BC
O trung điểm AB M
trung điểm CD
Ta có OM đường trung bình hình thang ABCD
2
AD BC
OM
2
AD BC R
, không đổi
b) Vẽ AE BC E
Tứ giác ADCE có ADCDCE CEA 900 nên hình chữ nhật
CD AE
2 AE BC AE AB R
Do đó:
2
ABCD
AD BC
S CD RCDR R
2
2
ABCD
S R , không đổi Dấu “=” xảy E B
DC AB
M
giao điểm đường thẳng vng góc AB vẽ từ O đường tròn ( )O Vậy M giao điểm đường thẳng vng góc với AB vẽ từ O đường trịn ( )O diện tích vẽ từ O đường tròn ABCD lớn
Bài 76:
• Vẽ AK BN K, BN
Tứ giác AMNK có: M N K 900 Nên hình chữ nhật
MN AK
(32)K H
M N
C B
A O
Dấu “=” xảy K B
MN AB
C giao điểm đường trung trực AB với cung lớn AB
Vậy khoảng cách MN dài C điểm đường trung trực AB với cung lớn AB
• Ta có: MN 0
Dấu “=” xảy M N
M N A B, , , thẳng hàng
d AB
C đầu mút đường kính song song AB
Vậy khoảng cách ngắn C đầu mút đường kính đường trịn ( )O song song với
AB Bài 77:
Vẽ N đường tròn ( ; )O R cho
450
BON Tiếp tuyến nửa đường
tròn ( )O N cắt AB C Ta có N C, cố định:
• NOC vng cân N
• Xét M N
Ta có: M N nên H K
Do đó: AHHM AK KN AK KC AC
• Xét M N
Tia CM nằm hai tia CA CN, Do đó: ACM ACN450
MHC
có MHC 900 Nên HMCHCM 900
Mà HCM 450 nên HMC450 HCM HMC
HMC
có HCM HMC HM HC Do đó: AHHM AHHC AC
Vậy M đường tròn ( ; )O R cho BOM450 tổng AH HM lớn 6 TÍNH CHẤT CỦA HAI TIẾP TUYẾN CẮT NHAU
BÀI TẬP
Bài 78: Từ điểm A nằm bên ngồi đường trịn ( )O , kẻ tiếp tuyến AB AC, với đường tròn (B C, tiếp điểm) Qua điểm M thuộc cung nhỏ BC vẽ tiếp tuyến với đường tròn ( )O , cắt tiếp tuyến AB AC,
lần lượt D E Chứng minh rằng:
a) Chu vi ADE 2AB b) BOC 2DOE
Bài 79: Cho nửa đường trịn ( ; )O R đường kính AB Gọi Ax By, tia tiếp tuyến nửa đường tròn thuộc nửa mặt phẳng có chứa nửa đường tròn Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác
,
A B) vẽ tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt Ax By, C D, a) Chứng minh CD AC BD COD; 900
b) Chứng minh AC BD R2
c) Chứng minh AB tiếp tuyến đường tròn đường kính CD Bài 80: Chọn câu trả lời đúng:
Cho tam giác ABC vuông A Gọi R r, bán kính đường trịn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác ABC Có được:
A) ABAC Rr B) ABAC 2(Rr)
C) 1( )
2
(33)D
M E C B
A
O
I M
y x
D
C
N
K B
A O
Bài 81: Cho tam giác ABC vng A (ABAC) Đường trịn ( )I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC D Chứng minh rằng:
a)
2
BC AB AC
BD b) SABC BD DC
Bài 82: M điểm tùy ý thuộc đường thẳng cố định d nằm ngồi đường trịn ( ; )O R Từ M kẻ hai tiếp tuyến MP MQ với đường tròn ( )O (P Q, tiếp điểm) Hạ OH vng góc với đường thẳng d Dây cung PQ cắt OH I, cắt OM K Chứng minh rằng:
a) OI OH OK OM R2
b) Khi M thay đổi đường thẳng d vị trí điểm I ln ln cố định
Bài 83: Từ điểm P nằm đường tròn ( ; )O R vẽ hai tiếp tuyến PA PB với A B tiếp điểm Gọi H chân đường vng góc vẽ từ A đến đường kính BC
Chứng minh PC cắt AH trung điểm I AH
Bài 84: Cho đường tròn ( ; )O r nội tiếp tam giác ABC với BC D Vẽ đường kính DE, AE cắt BC M
Chứng minh BD CM
Bài 85: Cho tam giác nhọn ABC có AD BE CF, , ba đường cao cắt H M N, , hình chiếu B C, đường thẳng EF
Chứng minh rằng:
a) Tam giác AEF ABC
b) H tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF
c) A B C, , tâm đường tròn bàng tiếp tam giác DEF
d) DEDF MN
Hướng dẫn giải Bài 78:
a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau: Ta có: DB DM
ME CE AB AC
Do đó: CV ADE( )ADDEAE
ADDM ME AE ADDBCE AE ABAC
ABAB 2AB
b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta cịn có:
,
OD OE tia phân giác góc BOM MOC,
Ta có: ,
2
DOM BOM MOE MOC
Nên 1( ) 1
2
DOC DOM MOE BOM MOC BOC
2
BOC DOE
Bài 79:
a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:
,
CM AC MD BD ,
OC OD tia phân giác hai góc kề bù AOM MOB ,
Do đó: CD CM MD
AC BD
COD 900
(34)F E
D C
B
A
I
OCD
vuông O, OI đường trung tuyến IO IC ID Mặt khác: AC AB DB, ABAC DB
Hình thang ABDC AC BD( ) có:
,
O I trung điểm AB CD, OI
đường trung bình hình thang ABDC IO AC
mà AC AB Nên IO AB
Vậy AB tiếp tuyến đường tròn ( ,I IO) hay đường trịn đường kính CD d) Xét CAN có CA DB , theo hệ Định lí Ta-lét có:
AC AN CM AN
DB DN MD DN (vì CM AC MD, DB) ACD
có CM AN
MD DN theo định lí Ta-lét đảo có: MN AC
Ta có: MN AC DB AC , MN DB
ACD
có MN AC , theo hệ định lí Ta-lét có:
MN DM
AC DC (1) ABC
có NK AC , theo hệ định lí Ta-lét có:
NK BN
AC BC (2) BCD
có MN DB , theo hệ định lí Ta-lét có:
DM BN
DC BC (3)
Từ (1), (2) (3) có MN NK Bài 80:
Chọn C Bài 81:
Gọi E F, tiếp điểm đường tròn ( )I
với cạnh AB AC,
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, Ta có: AE AF
BE BD CD CF
Do đó: 2BD BDBE BC CDABAE
( )
BC AB CD AE
( )
BC AB CF AF BC AB AC
2
BC AB AC
BD
b) Tương tự a) có
2
BC AC AB
DC
Mà AB2 AC2 BC2 (ABC vuông A)
Do đó: ( )( )
4
BC AB AC BC AC AB
BD DC
2 ( )2
4 BC ABAC
2 2 2 . .
4 ABC
BC AB AC AB AC AB AC S
(35)M H
Q P I K O
C I
A D
P
B H O
D N H E K
M C B
A
O
a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:
MP MQ
MO tia phân giác PMQ
Nên: OM PQ K
Ta có: OKI OHM (vì có KOIchung)
90 OK OI
OKI OHM
OH OM
OI OH OK OM
Vì MP MQ, tiếp tuyến ( )O Nên: OP MP OQ, MQ
OPM
có PK đường cao nên: OK OM OP2 R2 Vậy OI OH. OK OM. R2
b) Vì đường thẳng d cố định, đường tròn ( )O cố định nên OH cố định có độ dàu khơng đổi, mà
OI OH R không đổi Suy ra:
2
R OI
OH
không đổi
I tia OH cố định có OI không đổi nên I cố định Bài 83:
CA cắt PB D
900
BAC (A thuộc đường trịn đường kính BC )
PAPB (tính chất tiếp tuyến)
PBA PAB
ABD
có: ABDADB 900
BAPPAD BAD 900 Do đó: PADADB
ADP cân đỉnh P
PAPD
Từ có: PBPD (1)
DB BC AH, BC DB AH
PBC
có IH PB nên IH IC
PB PC (2) PDC
có AI PD nên IA IC
PD PC (3)
Từ (1), (2) (3) ta có: IH IA Bài 84:
Vẽ tiếp tuyến HEK đường tròn ( )(O H AB K, CD)
EDHK ED, BC HK BC
Gọi N tiếp điểm đường tròn ( )O tiếp xúc với AC ,
OK OC hai tia phân giác hai góc kề bù EON NOD, (tính chất tiếp tuyến)
900
KOC
Xét OEK CDO có: OEC CDO( 90 )
OKE COD (cùng phụ với EOK)
Do OEK ∽CDO EK OE
OD CD
(36)D H x
M F
N E
C B
A
Vậy EK r
r CD
Tương tự có: HE r
r BD
Do vậy: EK BD EK BD
HE CD EK HE BDCD
Hay EK BD
HK BC (1)
ABM
có HE BM , áp dụng định lí Ta-lét tam giác có:
HE AE
BM AM
Tương tự có: EK AE
CM AM
Do đó: HE EK EK EK HE
BM CN CM CM BM
Hay EK HK EK CM
CM BC HK BC (2)
Từ (1) (2) cho ta: BD CM Bài 85:
a) Xét ABE ACF có: BAE (chung); AEB AFC( 90 ) Do đó: ABE ∽ACF
AB AE
AC AF
Xét AEF ABC có: EAF (chung); AE AF
AB AC
AB AE
AC AF
Do đó: AEF ∽ABC
b) Từ AEF ∽ABC AEF ABC
Chứng minh tương tự có: DEC ABC
Suy ra: AEF DEC
Ta có: DECHED AEFHEF( 90 ) Nên HED HEF
EH
đường phân giác DEF
Chứng minh tương tự có DH đường phân giác tam giác DEF Vậy H tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF
c) Gọi Fx tia đối tia FD Ta có: xFADFC
( 90 )0
AFE EFC
Mà DFC EFC Do đó: xFAAFE
A giao điểm đường phân giác góc D đường phân giác góc ngồi đỉnh F nên A tâm đường trịn bàng tiếp góc D tam giác DEF
Chứng minh tương tự có C tâm đường trịn bàng tiếp góc E tam giác DEF, C tâm đường tròn bàng tiếp góc F tam giác DEF
d) Theo tốn, ta có:
( )
(37)( ) CV DEF NF
Do đó: DEDF EF EM NF
DE DF EF MN EN NF DE DF EF MN EF DE DF MN
7 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRỊN Bài 86: Cho hai đường tròn ( ;12O cm) ( ; 5O cm ), OO 13cm
a) Chứng tỏ hai đường tròn ( )O ( )O cắt hai điểm phân biệt
b) Gọi A B, giao điểm hai đường tròn ( )O ( )O Chứng minh OA tiếp tuyến đường tròn ( )O , OA tiếp tuyến đường trịn ( )O Tính độ dài AB
Bài 87: Cho hai đường tròn ( ;13O cm) ( ;15O cm) cắt A B, biết AB24cm Tính độ dài đoạn OO
Bài 88: Cho hai đường tròn ( )O ( )O tiếp xúc A Đường thẳng qua A cắt ( )O B, cắt ( )O C (B C, khác A)
a) Chứng minh OB O C
b) Gọi d tiếp tuyến B đường tròn ( )O , d tiếp tuyến C đường tròn ( )O Chứng minh d d
Bài 89: Cho đường tròn ( ; )O R ( ; )O R tiếp xúc A BC tiếp tuyến chung ngồi hai đường trịn (B( ),O C ( ))O Chứng minh BAC 90 ,0 BC 2 RR
Bài 90: Cho đường tròn ( )O điểm A cố định đường tròn Qua A vẽ dây BC đường tròn a) Nếu cách dụng đường tròn ( )O1 qua A tiếp xúc với đường tròn ( )O B, đường tròn ( )O2 qua
A tiếp xúc với đường tròn ( )O C
b) Chứng minh tứ giác OO AO1 2 hình bình hành Dây BC phải có điều kiện để tứ giác OO AO1 2 hình thoi
c) Gọi M giao điểm thứ hai đường tròn ( )O1 ( )O2 Khi cắt tuyến BAC quay quanh A
M chạy đường nào?
Bài 91: Cho hai đường tròn ( ; )O R ( ; )O R tiếp xúc A BC tiếp tuyến chung ngồi hai đường trịn (B C, tiếp tuyến; B( ),O C ( )O )
a) Chứng minh đường trịn đường kính BC tiếp xúc với đường thẳng OO b) Chứng minh đường tròn đường kinh OO tiếp xúc với đường thẳng BC c) Giả sử BOO 600 Hãy viết hệ thức R R
d) Đường tròn ( ; )K x tiếp xúc với hai đường tròn ( ),( )O O tiếp xúc với BC M Tính x theo R R,
Bài 92: Cho đường tròn ( ; )O R đường kính AB, C điểm nằm A B Vẽ đường trịn tâm I, đường kính CA; đường trịn tâm K, đường kính CB
a) Hai đường trịn ( )I ( )K có vị trí
b) Đường vng góc với AB C cắt đường trịn ( )O D E DAcắt đường tròn ( )I M,
DB cắt đường tròn ( )K N
c) Xác định vị trí điểm C đường kính AB cho MN có độ dài lớn
d) Xác định vị trí điểm C đường kính AB cho tứ giác DMCN có diện tích lớn Bài 93: Cho hai đường trịn ( )O ( )O tiếp xúc ngồi S Kẻ tiếp tuyến chung AB CD, với A C, thuộc ( ), ,O B D thuộc ( )O
(38)B A
H O' O
B A
H
O' O
H
B A
O' O
Bài 94: Cho hai đường tròn ( )O ( )O cắt A B, Vẽ hình bình hành OCO B Chứng minh AC OO
Bài 95: Cho ba đường trịn có bán kính R R R, ,1 2 tiếp xúc ngồi lẫn đơi tiếp xúc với đường thẳng, R bán kính có độ dài nhỏ Tìm giá trị nhỏ R R1, 2 theo độ dài R cho trước Bài 96: Cho hai đường tròn ( ),( )O O cắt A B, Đường thẳng d di động qua A cắt ( )O D (
,
C D khác A)
Xác định vị trí đường thẳng d để đoạn thẳng CD có độ dài lớn Hướng dẫn giải
Bài 86:
a) 12 5 13125
(R R d R R)
Nên hai đường tròn ( )O ( )O cắt hai điểm phân biệt b) OA2O A 12252 169
2 132 169
OO
OAO
có OA2O A OO2 Theo định lí Py-ta-go đảo có tam giác
OAO vng A
OAO A
Do đó: OA tiếp tuyến đường tròn ( )O
O A tiếp tuyến đường tròn ( )O OO đường trung trực đoạn AB
Gọi H giao điểm OO AB
OAO
vuông A AH, đường cao Nên AH OO OAO A
12.5 60( )
13 13
OAO A
AH cm
OO
Vậy 120( )
13 AB AH cm Bài 87:
a) Gọi H giao điểm OO AB
Hai đường tròn ( )O , ( )O cắt A B, (gt) Nên OO đường trung trực dây chung AB
Ta có: , 12( )
2 AB
AH OO AH cm OHA
vuông H, theo định lý Py-ta-go có:
2 2
OH AH OA
2 122 132
OH
2 132 122 25
OH
5( ) OH cm O HA
vng H , theo định lý Py-ta-go có:
2 2
O H AH O A
2 122 152
O H
2 152 122 81
O H
9( ) O H cm
(39)C
B
A
O' O
d'
d
C B
D
A O' O
E M d'
d C
B
A 2
1
O O2
O1 H nằm O O, có OO
14 OH O H cm
b) O nằm O H, có OOO H OH 4cm (Khơng xảy O nằm O H, O H OH ) Vậy OO 14cm OO 4cm
Bài 88:
a) OAOB(R)
OAB
cân O
OBA OAB
Tương tự có O AC O CA
Mà OAB O CA (đối đỉnh) Do đó: OBA O CA OB O C
b) d OB (d tiếp tuyến B đường tròn ( )O );
OB O C (câu a)
Do đó: d O C (d tiếp tuyến C đường tròn ( )O )
d d
Bài 89:
Vẽ tiếp tuyến chung A hai đường trịn cắt
BC D Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt có:
DADB DC DA
,
DO DO tia phân giác hai góc kề bù ADB ADC ,
Do đó: DADB DC
900
ODO
ABC
có AD đường trung tuyến
2 BC
DA nên
ABC
vuông A BAC 900
ODO
vuông tai D DA, đường cao nên
2 .
DA OAO A
2 .
DA R R
DA RR
Do đó: BC 2DA2 RR
Bài 90:
a) – Vì đường tròn ( )O1 qua A B nên O1 đường trung trực d AB
- Vì đường trịn ( )O1 tiếp xúc với đường tròn ( )O B nên O1 đoạn OB
Do đó, ta có cách dựng đường trịn ( )O1 sau:
• Dựng đường trung trực d AB, d cắt OB O1
• Dựng đường trịn ( )O1 bán kính O A1 Đây đường tròn qua A tiếp xúc với đường tròn
( )O B
(40)H
x K
M I
C B
E A O' O
b) Theo câu a) ta có: O O B, ,1 thẳng hàng O O C, ,2 thẳng hàng
Do ba tam giác cân OBC O AB O AC; 1 ; 2 cho ta:
1 2
; ;
BC B A C A BC A A
Suy ra: O A OC1 O A OB2 Vậy tứ giác OO AO1 2 hình bình hành
Hình bình hành OO AO1 2 hình thoi AO1AO2
Mà AO1AO2 O AB1 O AB2 O CA2 AB AC
Vậy dây BC nhận A làm trung điểm (hay BC vng góc với OA) tứ giác OO AO1 2 hình thoi
c) Gọi I E giao điểm O O1 2 với OA AM Vì tứ giác OO AO1 2 hình bình hành nên I trung điểm OA, suy I điểm cố định
Mặt khác O O1 2 đường nối tâm, AM dây chung hai đường tròn nên O O1 2 AM trung điểm E AM
Do IE đường trung bình tam giác OAM mà IE AM nên tam giác OMA vuông
M Vậy cát tuyến BAC quay quanh A M chạy đường trịn đường kính OA cố định Bài 91:
a) Tiếp tuyến chung A cắt BC I
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt IAIB IC
Vì O A O, , thẳng hàng nên IAOO Vậy đường tròn ( ; )
2 BC
I tiếp xúc với OO
b) Gọi E trung điểm OO, ta có IE đường trung bình hình thang OBCO (OB O C vng góc với BC )
Nên IE OB O C , suy IE BC I
Mà 1( ) 1( )
2 2
IE OBO C RR OO
Nghĩa là: EI EOEO
Vậy đường tròn ( ;1 )
E OO tiếp xúc với BC I
(41)N M
E D
A B
K C
I O
OH OR R
600
BOO nên HOO nửa tam giác
Do đó: OO 2OH, suy RR2(R R ) hay R3R
d) Ta có BM tiếp tuyến chung ngồi hai đường tròn ( )O ( )K MC tiếp tuyến chung ngồi hai đường trịn ( )O ( )K , BC tiếp tuyến chung hai đường tròn ( )O
( )O
Theo tốn 89 có: MC 2 R x MB ; 2 Rx BC; 2 RR Vì BC MBMC
Nên ta có: RR 2 Rx 2 R x Hay RR x( R R)
RR x
R R
RR x
R R RR
Bài 92:
a) Đường tròn ( )I đường trịn ( )K tiếp xúc ngồi C (vì IK IC CK)
b) Vì AC đường kính ( )I nên AMC vng M Tương tự BNC vuông N
DAB vuông D
Suy tứ giác DMCN hình chữ nhật Gọi E la giao điểm MN DC Ta có EMC IMC cân
Nên EMC ECM IMC ICM Mà ICMECM ACD 900 Do đó: IMN900
hay MN IM Tương tự, ta có MN NK
Vậy MN tiếp tuyến chung ngồi hai đường trịn ( )I ( )K c) Vì DMCN hình chữ nhật nên MN CD
Suy ra: MN có độ dài lớn CD có độ dài lớn
CD OD R (không đổi) Dấu “=” xảy C O
Vậy C trùng O MN có độ dài lớn R d) SDMCN DM CN
CAD
có
2
0
90 ; ; DC
ACD CM AD DC DM DA DM
DA
DCB
có: DN DC2
DB
Do đó: 2
DMCN
DC DC DC
S
DA DB DA DB
Ta lại có: DA DB DC AB ( 2 SADB)
Nên:
4 3
2
DMCN
DC DC R R
S
DC DB R R
(vì CDR)
Vậy diện tích tứ giác DMCN lớn điểm C trùng với điểm O Bài 93:
(42)S
N M
D B
C A
O' O
C
H I
R A
O' O
B A C
M
O1
O2 O
Theo tính chất tiếp tuyến ta có AM SM BM CN, SN DN
Do ABCD 2MN (1)
Mặt khác: OO trục đối xúng hình nên:
C đối xứng với A qua OO, D đối xứng với B qua OO Nên AC OO BD, OO
Do đó: AC BD ABCD
hình thang
,
M N trung điểm AB CD, nên
MN đường trung bình hình thang ABDC
AC BD MN
(2) Từ (1) (2) có:
ABCD AC BD Bài 94:
Gọi I trung điểm BC OO, tứ giác
OCO B hình bình hành (gt)
I
trung điểm đoạn thẳng BC ( )O cắt ( )O A B,
OO
trung trực đoạn thẳng AB
Gọi H trung điểm OO AB Có H trung điểm AB
ABC
có I H, trung điểm BC AB, nên IH đường trung bình tam giác
ABC
AC IH
Vậy AC OO Bài 95:
1 2
( ; ),( ;O R O R);( ; )O R tiếp xúc với
AB A B C, ,
Theo 89, ta có:
2 AB R R
1
2 AC R R
2
2 CB R R
Ta có: AB AC CB
1 2
R R R R R R
2
1 ( )
R R R R R R
2
1 2
( R R R R) R RR R
1
R R R R
2 16
R R R
(không đổi)
Dấu “=” xảy R1 R2 4R
Vậy giá trị nhỏ R R1 2 16R2 Bài 96:
Vẽ OH d H O K; d K; O M OH M; OH CA
H
trung điểm dây cung CA (Định lí đường kính vng góc dây cung)
2 CA HA
(43)C
D M
O' O
K A H d
Tương tự có:
2 AD AK
Ta có: HK HAAK
2
CAAD CD
Tứ giác MHKO hình chữ nhật (vì
900
MHK HKOO MH )
; ;
O M HK O M HK O M OM
Nên O M OO
Ta có: CD 2OO, khơng đổi
Dấu “=” xảy M Od OO
Vậy đường thẳng d song song với OO độ dài đoạn thẳng CD lớn ƠN TẬP CHƯƠNG II
Bài 97: Cho tam giác ABC , đường cao AD BE CF, , cắt H M N P , , trung điểm cạnh AB BC CA, , K L J, , trung điểm đoạn thẳng HA HB HC, ,
Chứng minh rằng:
a) Tứ giác LKPN hình chữ nhật
b) Chín điểm D E F M N P K L J, , , , , , , , thuộc đường tròn
Bài 98: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn ( ; )O R Đường cao AH tam giác
ABC cắt đường tròn ( )O D (khác A) Từ D vẽ đường thẳng song song với BC cắt đường tròn ( )O điểm E (khác D)
a) Chứng minh A O E, , thẳng hàng
b) Chứng minh tư giác BCED hình thang cân c) Tính AB2BD2CD2AC2 theo R
Bài 99: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn ( ; )O R H trực tâm tam giác
ABC Vẽ đường kính AD đường trịn ( )O ; vẽ OM BC M a) Chứng minh
2 OM AH
b) Gọi g trọng tâm tam giác ABC Chứng minh H G O, , thẳng hàng HG 2GO c) Gọi B C , trung điểm cạn CA AB, Đường thẳng d1 qua M song song với OA,
đường thẳng d2 qua B song song với OB, đường thẳng d3 qua C song song với OC Chứng minh đường thẳng d d d1, ,2 đồng qui
Bài 100: Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn O Gọi D trung điểm AB, E trọng tâm tam giác ACD
Chứng minh OE vng góc với CD
Bài 101: Cho điểm I cố định nằm đường tròn ( ; )O R (I O) Hai dây cung di động qua I
,
AC BD AC BD Gọi M N, hình chiếu O AC BD, a) Chứng minh OM2ON2 không đổi
b) Chứng minh AC2BD2 không đổi c) Xác định vị trí dây AC BD, để:
1) AC BD lớn nhất, nhỏ 2) Diện tích ABCD lớn nhất, nhỏ
Bài 102: Cho góc vng xOy đường trịn ( ; )I R tiếp xúc với hai cạnh góc vng A B Từ điểm C cung AB, người ta vẽ tiếp tuyến với đường tròn cắt OA OB, P Q
a) Tính chu vi OPQ theo R
b) Chứng minh: 1( ) 1( )
3 OA OB PQ2 OA OB
(44)J P M
L
K F
E
N D H
O
C B
A
Bài 103: Cho đường tròn ( ; )O R điểm A nằm ngồi đường trịn ( )O , kẻ tiếp tuyến AM AN, ; đường thẳng chứa đường kính song song MN cắt AM AN, B C
Chứng minh:
a) Tứ giác MNCB hình thang cân b) MA MB R2
c) K thuộc cung nhỏ MN Kẻ tiếp tuyến đường tròn ( )O K cắt AM AN, P
Q
Chứng minh: 1
2 POQ MON
Bài 104: Cho đường trịn tâm O đường kính AB Kẻ tiếp tuyến ( )d B đường tròn ( )O , gọi N điểm di động ( )d , kẻ tiếp tuyến MN (M thuộc ( )O )
a) Tìm quỹ tích tâm P đường trịn ngoại tiếp tam giác MNB
b) Tìm quỹ tích tâm Q đường trịn nội tiếp tam giác MNB
Bài 105: Cho điểm B thuộc đường tròn ( ; )O R Vẽ Bx tia tiếp tuyến đường tròn ( )O Trên tia Bx lấy điểm A cho AB R Cát tuyến di động ACD đường tròn ( )O Gọi M trung điểm đoạn thẳng CD
Chứng minh đường thẳng vng góc với BM M ln qua điểm cố định
Bài 106: Cho nửa đường trịn tâm O, đường kính AB 2R M điểm thuộc nửa đường tròn (khác A B) Tiếp tuyến ( )O M cắt tiếp tuyến A B đường tròn ( )O điểm C D
Tìm giá trị nhỏ tổng diện tích hai tam giác ACM BDM Hướng dẫn giải
Bài 97:
a) K L, trung điểm HA HB, (gt)
KL
đường trung bình tam giác ABH ,
2 AB KL AB KL
Tương tự có:
,
PN KP đường trung bình tam giác ABC ACH,
Có ,
2 AB PN AB PN
,
2 CH KP CH KP
Ta có: ( )
2 AB KL PN
Do tứ giác LKPN hình bình hành Ta có: CH AB (gt), KL AB CH KL mà KP CH Nên KLKP LKP 900
Hình bình hành LKPN có LKP 900 nên hình chữ nhật
b) Gọi O giao điểm KN LP tứ giác LKPN hình chữ nhật Nên có: OL OK OP ON
Tam giác DKN vuông D, DO đường trung tuyến Nên OD ON OK
Do đó: OL OK OP ON OD Chứng minh tương tự có:
OL OK OP ON OD OM OE OF OJ , , , , , , , ,
L K P N D M E F J
(45)d1
N G O H
M D
C B
A
A' O M
E N D
C B
A Bài 98:
a) BC DE (gt), AD BC (gt)
AD DE
900
ADE
AE
đường kính đường trịn ( )O , ,
A O E
thẳng hàng
b) Vẽ OM BC M( BC) OM cắt DE N
DE BC (gt) có ON DE, tứ giác BCDE hình thang
OM BC M trung điểm BC ON DE N trung điểm DE
MN trục đối xứng hình thang cân c) BE CD (BCED hình thang cân)
AE đường kính nên ABE 900
ABE
vng E, theo định lí Py-ta-go có:
2 2
AB BE OE
2 (2 )2
AB CD R
2 4
AB CD R
Chứng minh tương tự có: AC2 BD2 4R2 Ta có: AB2BD2CD2AC2 8R2 Bài 99:
a) HB AC (H trực tâm ABC)
AD đường kính nên ACD 900
,
BH AC DC AC BH DC
Chứng minh tương tự có: CH DB
Do tứ giác BHCD hình bình hành Ta có: O A BC
M
trung điểm HD
OM đường trung bình AHD
nên
2
OM AH
b) ABC có AM đường trung tuyến, G thuộc đoạn thẳng AM
3
AG AM nên G trọng tâm tam giác AHD HO đường trung tuyến nên HO qua G HG 2GO
Gọi N giao điểm d1 với AH HAD
có MN AD , M trung điểm HD
N
trung điểm AH
Ta có: ( ),
2
NH OM AH NH OM
Do HNOM hình bình hành
d
qua trung điểm I OH
Chứng minh tương tự có d d2, 3 qua I
Vậy đường thẳng d d d1, ,2 3 đồng quy Bài 100:
Gọi M giao điểm CE AD, N giao điểm DE AC
(46)M
E N
D
C B
A
G O
O
I M
N
D
C B
A trung điểm AD AC, có
3 CE CM
Do DN đường trung bình tam giác ABC
Gọi G giao điểm OA CD
Ta có: OB OC(R) AB AC (gt) O A, thuộc đường trung trực BC AO đường trung trực BC
AO đường tròn đường trung tuyến tam giác ABC Nên G trọng tâm tam giác ABC
3 CG CD
CDM
có ( 2)
3
CG CE
CD CM Theo định lí Ta-lét đảo có: GE DM
Mà OD AB nên GE OD
Ta có OABC DN BC, (DN đường trung bình tam giác ABC)
OA DN
Xét tam giác ODE có EG OG, hai đường cao cắt G nên G trực tâm tam giác
ODE DG OE
Vậy OE CD Bài 101:
a) OM2 ON2 OI2 d2
b)
2 AM AC ;
2 2
OM AM OA
Nên
2
4 AC
R OM
Tương tự: 2
4
BD R ON
2 8 4
AC BD R d
c) (AC BD)2(AC BD)2 2(AC2BD2) Khơng tính tổng qt, giả sử AC BD
• AC BD lớn (ACBD)2 nhỏ AC BD0
AC BD OM ON
• AC BD nhỏ AC BD lớn AC 2 ,R BDOI I
d)
2
ABCD
S AC BD
2 2
(AC BD) AC BD 2AC BD
2 2
(AC BD) (8R 4 )d 4SABCD
• SABCD lớn (AC BD)2 lớn
AC BD
lớn
,
OM ON AC BD
hợp với IO góc 450
• SABCD nhỏ (AC BD)2 nhỏ
AC BD
nhỏ
AC
(47)K Q P
N M
C B
A O
(d)
Q' Q P
N M
B A
O a) PC PA QC; QB
PQ PA QB
Chu vi OPQ2MA2R (Tứ giác OAIB hình vng) b) PQ PA QB 2PQ (OA OB)
PQ OP OQ
3 ( )
PQ PA QB
PQ OP PQ OA OB
PQ OQ
Bài 103:
a) AM AN, tiếp tuyến ( )O
AM AN
AMN
cân A
AMN ANM
NMB MNC
Tứ giác MNCB hình thang (vì
MN BC ), có NMB MNC, tứ giác MNCB hình thang cân
b) ABC ACB (tứ giác MNCB hình thang cân)
ABC
cân A
Mà AO tia phân giác BAC (tính chất tiếp tuyến) Do AO đường cao ABC
OAB
vuông O có OM đường cao Nên: MA MB OM2 R2
c) PK PM, tiếp tuyến ( )O
OP
tia phân giác góc KOM
1
2
POK NOK
Tương tự 1
2 QOK NOK
Do đó: 1( )
2
POK QOK MOKNOK MON
Do
2 POQ MON
Bài 104:
a) MN NB, tiếp tuyến đường tròn ( )O
90 ,0 900
NMO NBO
Ta có M B, thuộc đường trịn đường kính NO
Đường trịn ( )P ngoại tiếp tam giác MNB qua O
PO PB
, mà OB cố định
Do P thuộc đường trung trực đoạn thẳng OB b) ON cắt cung MB Q
MN , tiếp tuyến ( )O
NO
tia phân giác góc MNB NM, NB NMB
cân N có NO phân giác
NO
đường cao MNB
ON MB
MQ BQ
(48)D M
E C
B A
O
y x
E M
C
D
B A H O
NMQ Q MB
MQ
tia phân giác góc NMB
MNB
có NO MQ hai tia phân giác cắt Q
Q
tâm đường tròn nội tiếp MNB Q Q
Vậy Q thuộc đường tròn ( )O đường kính AB Bài 105:
, , B M E
thuộc đường tròn tâm I đường kính OA , , , ,
O A B M E
thuộc đường tròn ( )I
Ta có: AE AB (Tính chất tiếp tuyến) Tứ giác OBAE có:
OB AB AE OE R nên hình thoi Mà ABO 900
Do OBAE hình vng
900
BOE
BE
đường kính đường tròn ( )I
900
BME
Đường thẳng vng góc với BM M qua điểm cố định E Bài 106:
,
CA CM tiếp tuyến đường tròn ( ; )O R
CA CM
Tương tự BD MD
Do đó: CABDCMMD
CABDCD
Vẽ MH AB H( AB)
Có MH MO R vẽ
( )
AE CD E BD
Tứ giác ACDE hình bình hành (AC BD CD AE , )
CD AE
AB BE AE AB 2R
( )
2
ACDB
CA BD AB
S
2
2
CD AB AB AB R
2
2
MAD
MH AB MO AB
S R
Nên SACM SBDM R2
Dấu “=” xảy E B H O
M giao điểm đường thẳng vng góc với AB vẽ từ O nửa đường tròn ( )O
Vậy M giao điểm đường thẳng vng góc với AB vẽ từ Ovà nửa đường trịn ( )O
ACM BDM
(49)E D
I C
B
A
C B
A O
Chương III: GÓC VỚI ĐƯỜNG TRỊN §1 GĨC Ở TÂM, SỐ ĐO CUNG BÀI TẬP
Bài 107: Cho tam giác ABC Vẽ đường trịn tâm ( )I đường kính BC cắt cạnh AB, AC
D, E
a) Tính số đo cung BD (cung lớn cung nhỏ) b) Chứng tỏ BD DE EC
Bài 108: Cho điểm A đường tròn ( ; )O R , OA2R Vẽ AB, AC tiếp tuyến đường tròn
( )O (B C, tiếp điểm )
a) Tính số đo góc AOCBOC
b) Tính số đo cung BC (cung lớn cung nhỏ)
Bài 109: Cho đường tròn ( ; )O R dây AB, CD, EF có độ dài sau AB R, CDR 2,
3
EF R Tính số đo cung AB, CD, EF
Bài 110:Cho đường tròn ( ; )O R , đường tròn lấy điểm A B C D, , , cho: cung
AB; BC ; CDcó số đo 600, 900 1200
a) Tính số đo góc tâm chắn cung số đo cung sau: ABC, BCD, ACD
b) Tính độ dài dây cung AB; BC ; CD theo R
Bài 111: Cho AB dây cung đường tròn ( ; )O R AB R C điểm di động cung lớn
AB Xác định số đo cung BC lúc độ dài AC lớn
Bài 112: Cho tam giác ABC Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A vẽ đường trịn đường kính BC , D điểm nửa đường tròn cho sđCD 600 Gọi M giao điểm AD
BC
Chứng minh BM 2MC
Hướng dẫn giải
Bài 107:
a) Ta có: IB ID(R)
IBD
cân I
Mà DBI 600 (ABC đều)
Do BID
600 s 600
BID BD
đ
Nên sđBD lớn 3600600 3000 b) sđBD 600
Tương tự có sđEC 600 Suy ra: sđDE 600
Ta có: sđBD sđDE sđEC
BD DE EC
Bài 108:
a) AC tiếp tuyến đường tròn ( )O (gt)
OC AC
OAC
vng C có:
1 ( )
2
OC OAR
Nên nửa tam giác
600
AOC
(50)H F
E D C
B
A
O
I
D C
B
A O
Ta có AB, AC tiếp tuyến đường tròn ( )O (gt)
OA
tia phân giác BOC
1
2
AOC BOC
b) sđBCsđBOC 1200
sđBC lớn 3600sđBC 2400 Bài 109:
( )
OAOB AB R OAB
600
AOB
s AB 60
đ
Ta có: OC2 OD2 R2R2 2R2
CD2 (R 2)2 2R2
OCD
có OC2 OD2 CD2
Theo định lý Py-ta-go đảo có: OCD vng O
s CD s COD 90
đ đ
Vẽ OH EF H Suy
2
EF R
EH
Xét OHE vuông H có 3
2
OE R
EH
OHE
nửa tam giác EOH 600
OEF
cân O (vì OE OF ) có OH đường cao nên đường phân giác
Do đó: 2.600 1200
2
EOH EOF EOF
sđEF sđEOF 120 Bài 110:
a) Ta có: AOB 60 ;0 BOC 90 ;0 COD 1200
0
sđABC sđABsđBC 60 90 150
0
sđBCD sđBC sđCD90 120 210
0 0
sđACDsđABsđBC sđCD 60 90 120 270
b) Ta có AOB cân lại có AOB 600
AOB
ABOAR
Theo định lí Py-ta-go:
2 2 2 2
CB DB OC R CB R
3600 2700 900 2
AOD ADBC R
Vậy OI CD Tam giác vuông CIO có COI 600 nên nửa tam giác
1
2 2
R R
OI OC CI
Do đó: CD 2CI R Bài 111:
(51)C
B A
O
AC lớn AC đường kính đường trịn ( ; )O R
Khi ABC 900
(B thuộc đường trịn đường kính AC )
Xét BAC vng B có: 3
2 AC
AB R
Nên nửa tam giác
2 AC
BC R
OBC
có: OB OC BC(R)
OBC
BOC 600
Vậy AC lớn s BCđ 600 Bài 112:
Gọi O trung điểm BC
Ta có O tâm nửa đường trịn đường kính BC OC ODR Mà sđCOD sđCD 600
Nên OCD OC CD OCD 600 AB BC
Vậy AB BC
CD OC
Ta có: ABC BCD 600 AB CD
Xét MAB có AB CD theo hệ định lí Ta-lét Ta có: BM AB
MC CD
Do đó: BM 2MC
§2 LIÊN HỆ GIỮA CUNG VÀ DÂY BÀI TẬP
Bài 113: Cho tam giác ABC Trên tia đối tia AB lấy điểm D cho AD AC Vẽ đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác DBC Từ O hạ đường vng góc với OH OK, với
( , )
BC H BC K BD
a) Chứng minh OH OK b) So sánh hai cung nhỏ BD BC
Bài 114: Cho đường tròn ( )O Trên dây cung AB có hai điểm C D chia dây thành ba đoạn thẳng AC CD DB Các bán kính qua C D cắt cung nhỏ AB E F Hãy so sánh ba cung nhỏ AE EF, FB
Bài 115: Vẽ nửa đường trịn đường kính BC tam giác ABC phía ngồi tam giác Trên nửa đường trịn lấy hai điểm D E cho BDDE EC Các tia AD AE, cắt cạnh BC M
N Chứng minh rằng: BM MN NC
Bài 116: Cho đường tròn ( ; )O R , dây cung AB không qua O Từ C điểm cung nhỏ
AB vẽ đường kính vng góc với AB; cắt AB I Từ M cung nhỏ AB vẽ dây MN qua I So sánh cung ACB MCN
Bài 117:Cho hai đường tròn tâm ( ; )O R ( ; )O R (RR) Từ điểm A đường tròn ( ; )O R vẽ hai tia
,
Ax Ay không qua O cắt ( ; )O R , ( ; )O R B C D, , (A B C D, , , theo thứ tự đó) E F G, , (
, , ,
A E F G theo thứ tự đó), cho biết BC EF
Chứng minh rằng: AG AD
Bài 118: Cho đường tròn ( )O Dựng dây AB cho hai cung mà dây chắn gấp đôi Bài 119: Chứng minh hai cung bị chắn hai dây song song
(52)H K
D
C B
A
O
C'
F E
D C
B A
O
N
M
E D
C B
A
O
I H
N M
D C
B A
O
Bài 121: Cho M trung điểm đoạn thẳng BC Vẽ tia Mx cho BMx 900 Trên tia Mx lấy điểm A Nối AB, AC Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABM tiếp xúc với BM D, đường tròn tâm K nội tiếp tam giác ACM tiếp xúc với MC E
Chứng minh MDME
Hướng dẫn giải
Bài 113:
a) Xét ABC có:
BC ABAC AB AD (gt)
ABAC ABADBD Suy ra: BC BD
OH OK
(định lí liên hệ dây cung khoảng cách đến tâm) b) BC BDBC BD (định lí liên hệ cung dây) Bài 114:
AOB
cân (OAOB)OAB OBA
OABO (giả thiết)
AC DB (giả thiết)
AOC BOD
(c.g.c)
AOC BOD
AE FB
OC OD
Ta có D nằm đường tròn AODO Gọi C trung điểm OA
Ta có CC đường trung bình AOD
;
2
OD AO
CC C O
C CO COD (so le trong) Xét OCC có: CCC O AOC C CO
Hay AOC COD AE EF Vậy AE FB EF
Bài 115:
Xét OBD có OB OD
Và BOD 600 (vì sđBD600 ) Vậy OBD BOD 600
Xét hai tam giác BMD AMC có:
1
M M (đối đỉnh), MBD MCA( 60 ) Do đó: BMD∽CMA
BM BD
CM CA
Mà
2
BC AC
BD OB (vì OBD đều, ABC đều)
1 1
2
BM BM
CM BM CM
Mà
3 BC BM MC BC BM
Chứng minh tương tự:
3 BC
CN BM MN NC Bài 116:
(53)y x
G F
K E D C H B A
O
m
B O
A
F E
D C
B A
O
O
A B
C D
E F
H I
B A
O
Có OH OI
MN AB
(định lí liên hệ dây khoảng cách đến tâm)
MCN ACB
(định lí liên hệ cung dây) Bài 117:
Vẽ OH Ax H, OK Ay K Trong đường tròn ( ; )O R
Ta có: BC EF
OH OK
(Định lí liên hệ dây
khoảng cách đến tâm)
Trong đường trịn ( ; )O R có: ADAG ADAG (Định lí liên hệ cung dây)
Bài 118:
Giả sử dựng dây AB cho AnB 2AmB
2
s s s s
2
AnB AmB AnB AmB
đ đ đ đ
0
0
360
120
1200
AOB
Do để dựng dây AB thỏa mãn tính chất ta dựng góc tâm AOB 1200 Bài 119:
Trường hợp O nằm hai dây song song
,
AB CD Vẽ đường kính song song với AB CD,
Ta có: OAB AOE (1)
OBABOF (2) Mà OAOB(R)
OAB
cân O
OAB OBA
(3)
Từ (1), (2), (3) suy AOEBOF BF BF
Chứng minh tương tự ta có: CE DF
Do đó: AE CE BFDF
Hay AC BD
* Trường hợp tâm O nằm hai đường thẳng song song Vẽ đường kính EF song song với AB CD,
Chứng minh tương tự có: AE BF CE , DF
Do đó: AECE BF DF hay AC BD Bài 120:
Xét đường trịn ( )O có đường kính IK qua điểm cung AB
Ta có: IA IB (gt)
IA IB
Mà OAOB(R)
, I O
(54)HA HB
Mệnh đề đảo OAB
cân O (OAOB) có OH đường trung tuyến
(HAHB) nên đường phân giác
AOI BOI
AI BI
Điều kiện hạn chế: dây AB không qua O Bài 121:
Gọi F N tiếp điểm đường tròn ( )I với cạnh AB, AM tam giác ABM Theo tính chất tiếp tuyến ta có MD MN BD, BF AF, AN
Do đó: MAMBAB MN AN MDBDBF AF
(MN MD) ( ANAF) ( BDBF) 2MD
2
MA MB AB
MD
(1)
Tương tự:
2
MA MC AC
ME (2)
Ta có: AMBAMC 1800 (hai góc kề bù) Mà AMB 900 AMC900
Nên AMB AMC
Xét ABM ACM có AM (cạnh chung)
;
BM MC AMB AMC
Do đó: ABAC
Từ (1), (2), (3) ta có: MDME
§3 GĨC NỘI TIẾP BÀI TẬP
Bài 122: Cho hai đường tròn ( )O ( )O cắt A B Vẽ đường kính AC AD a) Chứng minh B C D, , thẳng hàng
b) Đường thẳng d di động qua A cắt ( ),( )O O E F, (E F, khác A, A nằm E F, ) 1) Chứng minh BEF ∽ACD
2) Xác định vị trí d để chu vi tam giác BEF lớn nhất, diện tích tam giác BEF lớn Bài 123: AB BC CA, , ba dây cung đường tròn ( )O Từ trung điểm M cung AB ta vẽ dây
MN BC Gọi S giao điểm MN AC Chứng minh SM SC SN SA
Bài 124: Cho đường tròn ( )O , hai đường kính AB, CD vng góc M điểm cung AC, tiếp tuyến M cắt CD E
Chứng minh MED 2MBA
Bài 125: Cho điểm A ngồi đường trịn ( ; )O R Vẽ cát tuyến ABC ADE, đến đường tròn
( , , ,B C D E ( ))O
Chứng minh AB AC. AD AE. OA2R2
Bài 126: Cho điểm A nằm đường tròn ( ; )O R (A khác O) BC DE, hai dây cung qua A Chứng minh rằng: AB AC. AD AE. R2OA2
Bài 127: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn ( ; )O R có đường cao AH đường phân giác AD cắt đường tròn ( )O E Vẽ đường kính AF I tâm đường trịn nội tiếp tam giác ABC
(55)d
F E
D C
B A
O' O
a) HAB ∽CAF c)
sin sin sin
AB BC AC
C A B
b)
4
ABC
AB AC BC S
R
d) EBEI EC
e) AB AC DB DC AD2
Bài 128: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( ; )O R M điểm nằm cung nhỏ BC Trên đoạn thẳng MA lấy điểm D cho MD MB
a) Chứng minh MBD b) Chứng minh MAMBMC
c) Xác định vị trí điểm M để MAMBMC lớn nhất, nhỏ
Bài 129: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( ; )O R D E F, , cung
, ,
AB BC CA DE EF cắt AB AC M N, Chứng minh rẳng:
a) MN BC
b) MN qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC
Bài 130: Từ điểm A ngồi đường trịn ( )O kẻ tiếp tuyến AB AC, tới đường tròn ( )O Qua điểm
X thuộc dây BC , kẻ đường thẳng KL vng góc XO (K L lần lượt) nằm AB AC ) Chứng minh KX LX
Bài 131: Trên cạnh CD hình vng ABCD, lấy điểm M, vẽ đường tròn tâm O đường kính AM Gọi E giao điểm đường trịn tâm ( )O đường kính CD Hai đường trịn cắt điểm thứ hai N Tia DN cắt BC P Chứng minh rằng:
a) Ba điểm E N C, , thẳng hàng b) CAMP
Bài 132: Cho đường tròn ( )O , M điểm ( )O , hai tiếp tuyến MA MB (A,B hai tiếp tuyến), C điểm đường trịn tâm M bán kính MA nằm đường tròn ( )O Các tia AC
BC cắt đường tròn ( )O E D Chứng minh ba điểm D O E, , thẳng hàng
Bài 133: Cho tam giác ABC , đường cao AH Trên cạnh BC lấy điểm M hạ MP AB
MQ AC Gọi O trung điểm AM
a) Chứng minh năm điểm A P M H Q, , , , thuộc đường tròn b) Tứ giác OPHQ hình gì? Chứng minh
c) Xác định vị trí điểm M BC để PQ nhỏ
Bài 134: Cho đường tròn ( )O điểm P cố định bên đường tròn (khác O) Hai dây AD CD thay đổi qua P vuông góc với M N trung điểm AD BC
Chứng minh rằng: MN qua điểm cố định
Bài 135: Trên cạnh AB BC, tam giác ABC dựng phía ngồi tam giác hình vng ACA A1 2 BCB B1 2 Chứng minh đường thẳng AB A B A B1, 1 , 2 2 đồng quy
Bài 136: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AC, dây AB cố định, M điểm thuộc cung
AB Gọi K trung điểm đoạn MB Từ K hạ KB AM
a) Chứng minh rằng: M di động AB đường thẳng KP ln qua điểm cố định b) Tìm quỹ tích điểm K M di động cung AB
Hướng dẫn giải
Bài 122:
a) ABC 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)
AB BC
Tương tự có AB BD
Suy B C D, , thẳng hàng b) 1) Xét BEF ACD có:
(56)S M
C B
N A
O
M
E D
C
B A
O đường tròn ( )O )
BEF ACD (hai góc nội tiếp chắn cung AB
của đường tròn ( )O ) Do BEF ∽ACD
2) *BEF ∽ACD
( )
( )
CV BEF BE
CV ACD AC
( )
( ) CV ACD
CV BEF BE
AC
, CV ACD( )
AC khơng đổi
Do đó: CV BEF( ) lớn
BE
lớn
BE
đường kính đường trịn ( )O
900
BAE d AB
A
Vậy d vng góc với AB A chu vi tam giác BEF lớn * BEF ∽ACD
2
BEF ACD
S BE
S AC
SBEF SACD2.BE2
AC
, SACD2
AC không đổi
BEF
S lớn BE2 lớn
BE
lớn
BE
đường kính đường trịn ( )O
900
BAE d AB
A
Vậy d vuông góc với AB A diện tích tam giác BEF lớn Bài 123:
Ta có: MN BC (gt)
MB NC
Mà AM MB (gt)
Do đó: AM NC
Suy ra: ACM NMC (hai góc nội tiếp chắn hai cung nhau)
Do SMC cân S SM SC
Chứng minh tương tự có SN SA Bài 124:
MBA góc nội tiếp; MBA 900
1
2
MBA MOA
2
MOA MBA
Mà MOA MED (hai góc phụ với góc EOM ) Do đó: MED 2MBA
Bài 125:
Xét ACD ABE có
CAD chung
(57)M N
E
D
C B
A O
N M
E
D C
B A
O
F E
H D C
B A
O
AC AD
AE AB
AB AC AD AE
OA cắt đường tròn ( )O M N, (M nằm O A) Chứng minh tương tự có: AB AC AM AN
Mà AM AN (OA MA OA ON ).( )
(OA R OA )( R)OA2R2 Bài 126:
Xét ACD AEB có:
ACDAEB (Hai góc nội tiếp chắn cung BD)
ACDEAB (đối đỉnh) Do ACD∽AEB
AC AD
AE AB
AB AC AD AE
AO cắt đường tròn ( )O M N, (A nằm O M ) Chứng minh tương tự có: AB AC AM AN
Mà AM AN (OM OA ON).( OA)
(R OA R OA )( )R2OA2 Bài 127:
a) ACF 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) Xét HAB CAF có:
( 90 )0
AHB ACF
HBACFA (Hai góc nội tiếp chắn cung AC)
Do HAB ∽CAF b) HAB ∽CAF
AB AH
AF AC
E
2 AB AC AB AC AH
AF R
1
2
ABC
AB AC BC
S AH BC
R
c) ACF vuông C , ta có: AC AFsinAFC
AC 2 sinR B (vì AFC B)
sin
AC R
B
Chứng minh tương tự có:
sin sin
AC BC
R
C A
Do đó:
sin sin sin
AC BC AC
C A B
d) BAE EAC BEB EC EBEC
Mặt khác: BIEBAI BAI (BIE góc ngồi tam giác ABI)
IBE EBC CBI
,
IBE EBC ABI CBI
Do đó: BIE IBE EIB cân E EBEI
(58)D
M
C B
A
O
N M
F
E D
I O
C B
A e) Xét ABD AEC có:
,
BAD EAC ABDAEC (Hai góc nội tiếp chắn cung AC) Do ABD ∽AEC
AB AD AB AC AD AE
AE AC
Xét DAB DCE có:
ABD CDE (đối đỉnh)
DAB DCE (Hai góc nội tiếp chắn cung BE) Do DAB ∽DCE
AD DB DB DC AD DE
DC DE
Do AB AC DB DC AD AE AD DE
AD AE( DE)AD2 Bài 128:
a) BMDBCA 600
(Hai góc nội tiếp chắn cung AB)
MBD
cân M (vì MB MD) (gt) Có BMD 600 MBD
b) MND MB BDMD MBD, 600 Xét MBC DBA có:
MB BD,
BC BA (ABC đều)
( 600 )
MBC DBA ABC
Do đó: MBC DBA (c.g.c) MC DA Ta có: MA MC MDDAMA
c) MAMBMC
Do MA MB MC 2MA MAMBMC lớn
MA
lớn
MA
đường kính đường tròn ( )O M
trung điểm BC
Vậy M trung điểm BC thì:
MAMBMC lớn
Mặt khác, xét ba điểm M B C, , có: MBMC BC
Do đó: MAMB MC 2(MBMC)2BC , khơng đổi Dấu “=” xảy raM B M C
Vậy M trùng B M C MAMBMC nhỏ Bài 129:
a) ADDB(gt) AED BED
Xét EAB có EM đường phân giác nên:
MA AE
MB BE (1)
Tương tự: NA AE
NC CE (2)
Mà BE CE (vì BE CE) (3) Từ (1), (2) (3) có: MA NA
(59)L X K
C B
A
O
M
N P
D C
E B
A
O' O
c D
E B A
M
O
Xét ABC có MA NA
MB NC , theo định luật Ta-lét đảo có MN BC
b) Gọi I giao điểm BF CD ta có I tâm đường trịn nội tiếp tam giác ABC
EBI
cân E có ED đường phân giác nên đường trung trực BI
MI MB MBI
cân M MIB MBI
Mà MBI IBC
Nên MIB IBC MI BC
Ta có MI BC MN BC , M I N, , thẳng hàng Vậy MN qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Bài 130:
Ta có: ABO 900 (AB tiếp tuyến ( )O ) KXO 900 (gt)
X
B nằm đường trịn đường kính OK
OBX OKX
(góc nội tiếp chắn cung) Chứng minh tương tự:
OLX OCX lại có OBC cân (OB OC)
OBX OCX
Vậy: OKX OLX OKL
cân có OX đường cao đường trung tuyến Vậy KX LX
Bài 131:
a) Ta có D giao điểm thứ ( )O ( )O
Dễ thấy AEMD hình chữ nhật ED đường kính ( )O
Nên END 900 (góc nội tiếp chắn nửa cung đường trịn) Mặt khác CD đường kính ( )O
nên DNC900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)
1800
END DNC
hay ba điểm
, ,
E N C thẳng hàng Ta có AEMD hình chữ nhật
AECM
hình chữ nhật
EB CM
(1) Xét CBE CDP có
BCE CDP (hai góc phụ với góc DPC )
; 90
CB DC BC (gt) Do đó: CBE DCP (g.c.g)
EB CP
(2)
Từ (1) (2)
CM CP
hay PCM cân có CA đường phân giác
CA
đồng thời đường cao Vậy CAMP
Bài 132:
Trong đường tròn ( )O ta có: 1
2 ABD AOD
Mặt khác đường trịn ( )M có:
2
(60)K Q P
H
M C
B
A
O
chắn cung)
AMC AOD
(1)
Tương tự ta có: BMC BOE (2) Do MA MB tiếp tuyến ( )O nên:
900
MAOMBO
Hay MAO MBO 1800
1800
AMB AOB
Hay AMCBMC AOB 1800 (3)
Từ (1), (2) (3) ta có: AODBOE AOB1800 Vậy ba điểm D O E, , thẳng hàng
Bài 133:
a) Ta có: APM AHMAQM 900
Ba điểm P H Q, , nằm đường trịn đường kính AM hay năm điểm A P M H P, , , , thuộc đường trịn
b) APM vng có PO đường trung tuyến
PO AO MO
AQM
có QO đường trung tuyến
QO AO MO PO QO
Trong AHM vng có: HO đường trung tuyến
HO AO MO
Từ đó: HO PO
Do A P M H, , , thuộc đường tròn tâm O
Nên POH 2PAH (góc nội tiếp nửa góc tâm)
Mà PAH 300 (ABC đều, AH đường cao nên vừa đường phân giác) Do đó: POH 2.300 600
POH
có POHO POH 600 Nên POH PO PH
Chứng minh tương tự ta có: QOH QOQH
Tứ giác OPQH có cạnh liên tiếp
OP PH HQQO nên hình thoi c) Nối P Q ta có:
PQ OH K
2 PQ KP KQ
2 OH
KO KH (Do tính chất đường chéo hình thoi)
PKO
vng theo định lí Py-ta-go ta có:
2
2 2
2
AM AM
PK PO KO
2
4AM 16AM 16AM
3 3
4 2
PK AM PQ AM AH
không đổi
Dấu “=” xảy M H
Vậy PQ nhỏ M H Bài 134:
(61)P N
M
D C
B A
O
3
2
B C
A
B1
B2 A2
A2
I C
K
P
M B
A
O
Ta có: BCDBDA (góc nội tiếp chắn BD)
1
PAM P (AMP cân MP MAMD) Do đó: BCD P1
Ta cịn có: P2 P3 (đối đỉnh)
Mà P1P2 1vC P3 900 hay MP CB
Mặt khác: ON CB (đường kính qua trung điểm dây cung) Vậy MP ON
Tương tự: NP OM
Do tứ giác PMON hình bình hành
OP
MN cắt trung điểm I PO hay MN qua I cố định Bài 135:
• Trường hợp 1: C 900
Rõ ràng AB A B A B1, 1 , 2 2 đồng quy C
• Trường hợp 2:C 900
Các đường trịn ngoại tiếp hình vng ACA A1 2 BCB B1 2 Có điểm chung c cắt M (khác C )
Ta có: AMA2 450
(góc nội tiếp chắn cung phần tư đường tròn)
2 90
A MC A AC (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)
Tương tự:
1 45
CMB
Vì tia MA2 nằm hai tia MA MC, tia MC nằm hai tia MB MA2
nên AMA2 A MC2 CMB1450 900450 1800 hay A M B, , thẳng hàng
Chứng minh tương tự A M B1, , A M B2, , 2 thẳng hàng Vậy AB A B1, A B2 qua M
Hay AB A B1, 1 A B2 2 đồng quy Bài 136:
a) CM AM (MAC900 góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
KP AM (gt) KP CM
Gọi I giao điểm PK BC Ta có: PI CM mà KB KM Vậy KI đường trung bình MBC
IB IC
,
B C cố định
I
cố định
Vậy PK qua điểm I cố định b) Ta có: OKB 90 , ,0O B cố định
M di động cung AB K
(62)F E
C B
A O
C D
B
A O
§4 GĨC TẠO BỞI TIA TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG BÀI TẬP
Bài 137: Cho hình bên, DC tiếp tuyến đường tròn ( )O
Chứng minh rằng: BCDEAF
Bài 138: Cho điểm A ngồi đường trịn ( )O Vẽ tiếp tuyến AB, cát tuyến ACD đường tròn ( )O
( , ,B C D( ))O
Chứng minh AB2 AC AD. OA2R2
Bài 139: Cho ( )O ( )O cắt A B C, , điểm tia đối tia AB Vẽ CM tiếp tuyến đường tròn ( )O (M ( ))O , CN tiếp tuyến đường tròn ( )O (N ( ))O Chứng minh rằng:
a) MC2 CACB b) MC NC
Bài 140: Cho hai đường tròn ( )O ( )O cắt A B Từ A vẽ hai tiếp tuyến với hai đường tròn Hai tiếp tuyến gặp ( )O C gặp ( )O D Chứng minh CBA DBA
Bài 141: Tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( )O Vẽ đường tròn ( )O tiếp xúc với đường tròn ( )O điểm T cung nhỏ AB cắt dây TA TB TC, , D E F, ,
Chứng minh rằng:
a) EF BC DF AC ; DE AB b) TC TA TB
Bài 142: Cho hai đường tròn ( )O ( )O tiếp xúc điểm P Từ điểm A đường tròn
( )O kẻ đường tiếp tuyến AB với đường tròn ( )O cắt ( )O điểm C Tia AP cắt ( )O D Chứng minh rằng: CPB BPD
Bài 143: Các đường tròn ( )O ( )O cắt điểm A Qua A vẽ cát tuyến CAD cắt ( )O C
( )O D, điểm C D vẽ cát tiếp tuyến với hai đường tròn chúng cắt S Khi cát tuyến CAD quay quanh A Chứng minh góc CSD có số đo khơng đổi
Bài 144: Cho ABC có BC D điểm cạnh BC cho ABD C Chứng minh rằng: BAlà tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD
Bài 145: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( ; )O R (ABAC) Đường tròn ( ; )O R qua B C, tiếp xúc với AB B cắt đường AC D M điểm di động đoạn thẳng BD Đường thẳng qua M song song với OA cắt cung lớn BC đường tròn ( )O N
Xác định vị trí M để độ dài đoạn thẳng MN lớn
Hướng dẫn giải
Bài 137:
BAC BCD (hệ qua góc tạo tia tiếp tuyến dây cung)
BAC AEF (đối đỉnh) Do đó: BCD AEF
Bài 138:
Xét ABC ADB có:
BAC chung
ABC ABD (hệ góc tạo tia tiếp tuyến với dây cung)
Do ABC ∽ADB
AB AC
AD AB
2 .
AB AC AD
(63)B A
N M
C
O' O
D C
B A
O' O
t T
M
P G
F E
D
C B
A
O
t
D P
C B A
O' O
Mặt khác ABO vng B, theo định lý Py-ta-go có:
2 2
OB AB OA
2 2
AB OA R
(2)
Từ (1) (2) có: AB2 AC AD. OA2R2 Bài 139:
a) Xét CMA CBM có
CMACBM (hệ góc tạo tia tiếp tuyến dây cung)
MCA (chung) Do CMA∽CBM
MC CA
CB MC
DBA
2 .
MC CACB
b) MC2 CACB (1)
Chứng minh tương tự câu a) có:
2 .
NC CACB (2)
Từ (1) (2) có: MC2 NC2
MC NC
Bài 140:
Xét ABC DBA có:
ACBDAB (hệ góc tạo tia tiếp tuyến dây cung)
BAC BDA (hệ góc tạo tia tiếp tuyến dây cung) Do ABC ∽DBA
CBA DBA
Bài 141:
a) Qua T vẽ tiếp tuyến chung tTt với hai đường tròn,
ta có: BTt EFT (hệ góc tạo tia tiếp tuyến dây cung) Tương tự: BTtBCT
Vì EFTBCT
EF BC
Chứng minh tương tự ta được:
DF AC DE AB
b) Lấy G thuộc tia TC cho TGTB
TBG
cân (TGTB) có BTG 600 Vậy TBG BGT 600
Xét hai tam giác ATB CGB có:
TAB TCB (góc nội tiếp chắn cung TB )
AB BC (giả thiết)
TBAGBC (vì TAB CBG 1200) Do đó: ATB CGB (g.c.g) TAGC Mà TGGC TC TA TB
Bài 142:
Vẽ tiếp tuyến chung Pt hai đường tròn ( )O ( )O
(64)S
D C
B A
O' O
x
D
C B
A
x
N
M H
D
C B
A
O O'
Ta lại có: CBP BPt (cùng chắn PB
của đường tròn ( )O )
CPt BPt CAP CBP
Hay CPBCAPCBP
Mặt khác: ABP có BPD góc ngồi: BPD CAPCBP Vậy CPBBPD
Bài 143:
Gọi giao điểm thứ hai hai đường trịn B
Ta có: 1
2
ACB AOB (góc nội tiếp góc tâm chắn cung AB)
Tương tự: 1
2 ADB AO B
Trong BCD có: CBD 1800(ACBADB) Mà ACB ADB chắn cung khơng đổi nên khơng đổi
Do đó: CBD không đổi hay ABC ABD không đổi Lại có: CBA SCA
Tương tự: ACB ADS
Từ đó: SCA SDA ABCABD khơng đổi Trong CSD có: CSD 1800(SCA SDA ) Mà SDA SDA không đổi
Vậy CSD khơng đổi hay góc CSD có số đo không đổi cát tuyến di chuyển quanh A Bài 144:
Vẽ tia Bx tia tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp Tam giác ACD (tia Bx nằm nửa mặt phẳng bờ
BD có chứa tia BA
Có xBD ADC Mà ABD ACD Suy ra: xBD ABD
Hai tia BA Bx, trùng Do BA tiếp tuyến ACD Bài 145:
Vẽ tiếp tuyến Ax đường tròn
,
xAB ACB góc tạo tia tiếp tuyến cung, góc nội tiếp chắn cung AB đường
tròn ( )O ,
ta có: (1 )
2 xAB ACB sđAB
Tương tự: (1 )
2 ABD ACB sđAB
Do đó: aBD ABD Ax BD Mà OAAD nên OABD Ta có: OABD MN OA, (gt)
MN BD
(65)y x
E D
F C
B
A
O' O
Vẽ O H BD H( BD) có H cố định
( )
MN NH MN MH
NH O N O H (xét ba điểm O H N, , ) Do MN RO H R ; O H không đổi Dấu “=” xảy M H O, nằm H N
Vậy M hình chiếu O BD độ dài đoạn thẳng MN lớn §5 GĨC CĨ ĐỈNH Ở BÊN TRONG ĐƯỜNG TRỊN
GĨC CĨ ĐỈNH Ở BÊN NGỒI ĐƯỜNG TRỊN
BÀI TẬP
Bài 146: Cho hình vẽ sau có BD CF Chứng minh rằng: AC DF
Bài 147: Từ điểm A bên ngồi đường trịn ( )O , dựng hai cát tuyến ABC AMN Hai đường thẳng BN CM cắt S
Chứng minh rằng: ABSM 2CMN
Bài 148: Cho AB AC hai dây cung đường tròn ( )O Gọi M trung điểm cung AB
N trung điểm cung AC Đường thẳng MN cắt dây AB D cắt dây AC E Chứng minh ADAE
Bài 149: Cho đường tròn ( )O , điểm A B C D, , , theo thứ tự đường trịn Điểm M cung
AB MAMB Giao điểm MC MD với dây AB E K Chứng minh: KECKDC 1800
Bài 150: Trên đường tròn ( )O , lấy ba điểm A B C, , Gọi M N P, , theo thứ tự điểm cung AB BC, AC Gọi I giao điểm AB MN, K giao điểm An BP Chứng minh rằng:
a) Tam giác BNK cân b) AI BN IB AN c) IK BC
Bài 151: Cho đường tròn ( )O Trên đường tròn lấy điểm A C B A C B, , , , ,1 1 1 theo thứ tự
a) Chứng minh rằng: đường thẳng AA BB CC1, 1, 1 đường phân giác tam giác ABC chúng đường cao tam giác A B C1 1
b) Chứng minh rằng: đường thẳng AA BB CC1, 1, 1 đường cao tam giác ABC chúng đường phân giác A B C1 1
Bài 152: Cho đường tròn ( )O Một dây AB, lấy C thuộc tia đối BA từ C kẻ tiếp tuyến CM
CN với đường tròn (M thuộc cung nhỏ AB, N thuộc cung lớn AB) lấy D điểm cung lớn AB DM cắt AB E
a) Chứng minh CM CE
b) Chứng minh EA NB NA EB
c) Gọi I trung điểm dây AB Chứng minh năm điểm M C N O I, , , , thuộc đường tròn
(66)S
M N
C
B
A O
E D
N M
C B
A
O
E K M
D
C B
A O
Bài 154: Cho tam giác ABC Gỉa sử đường phân giác phân giác ngồi góc A tam giác
ABC cắt BC D E, có ADAE
Chứng minh AB2 AC2 4R2 với R là bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC
Bài 155: Cho đường tròn ( ; )O R , đường kính BC A điểm cung BC D điểm di động cung AC AD cắt BC E
Xác định vị trí điểm D để 2ADAE nhỏ
Hướng dẫn giải
Bài 146:
s
2 s CE
CAE đ đBD (góc có đỉnh bên ngồi đường trịn)
s
2
DE E
F đF (góc nội tiếp)
BD CF (gt) sđCEsđBD sđCEsđCF sđEF Do đó: CAE FDEAC DF
Bài 147:
s s
s
2
CN BM
A đ đ
đ
(góc có đỉnh bên ngồi đường tròn)
s s
s
2
CN BM
BSM đ đ
đ
(góc có đỉnh bên ngồi đường trịn)
Do đó: 2
2 s
ABSM đCN CMD Bài 148:
AM MB (gt), AN NC (gt)
s
2 s AN
ADE đ đMB
(góc có đỉnh bên đường trịn)
s
2 s NC
AED đ đAM
(góc có đỉnh bên đường trịn) Do đó: ADE AED ADE cân A
AD AE
Bài 149:
AM MB (gt)
AM MB
(định lý liên hệ cung dây)
s
2 s MB
KEC đ đAC
(góc có đỉnh bên đường tròn)
s
2
DC c
K đM (góc nội tiếp)
Do đó: s
2
s s
MB
(67)N K
I M
P
C B
A
M N I
B C
A
A1
B1 C1
0
360 18
s 0
s s
2
MA AC MC
đ đ đ Bài 150:
a) Ta có:
s (s s )
2
PBN PC CN
đ đ đ
(góc nội tiếp chắn cung PN )
s (s s )
2
BCN AP BN
đ đ đ
(góc có đỉnh bên đường tròn) Mà PC AP CN BN (giả thiết) Suy ra: PBN BCN
Do đó: BNK cân N
b) Dễ thấy ANMBNM (góc nội tiếp chắn hai cung AM BM ) nên NI tia phân giác ANB
Ta có: AI AN AI BN IB AN
IB BN
c) Theo chứng minh (câu a,b) BNK cân có NI đường phân giác Do IN đồng thời đường trung trực cạnh BK
IB IK
hay BIK cân IBK IKB Hay ABP IKB (1)
Mà APB CBP (2) (góc nội tiếp chắn hai cung AP CP) Từ (1), (2) CBP IKB Do IK BC
Bài 151:
a) Gọi I giao điểm AA1 B C1 1 ta có:
1 1
1
s (s s s )
2
AIB AB A B BC
đ đ đ đ
1 1
ABB A AB ACC
(góc nội tiếp cung bị chắn)
1
( ) 90
2 ABC CAB BCA
Vậy AA1 B C1 1
Chứng minh tương tự ta có: BB1 AC CC1 1; 1 A B1 1
b) Gọi giao điểm đoạn thẳng AA1 BC M, BB1 AC N ta có:
1(s s 1 )
2
s AMBđ đAB đAC
1
ACB AC C
(góc có đỉnh bên đường trịn)
Mà s 1(s s 1 ) 1 1
2
ANB AB B C ACBAC C
đ đ đ
Do AMB ANB 900 nên AC C1 1 hay CC1 tia phân giác góc AC B1 1 Chứng minh tương tự ta có:
1
BB tia phân giác góc AC B1 1
(68)E M N
C D
I
B A
O
D
C B
A
O
x
F
G E
D
C B
A
O
a) s 1(s s )
2
MEC AD BM
đ đ đ
(góc có đỉnh bên đường trịn)
s (s s )
2
DMC BD BM
đ đ đ
(góc tạo tia tiếp tuyến dây cung) Mà DADB (giả thiết)
Suy ra: MEC EMC MEC cân C CM CE b) Ta có: CM CN (tính chất hai tiếp tuyến cắt điểm)
Theo chứng minh CM CE CE CN Do ECN cân CEN CNE (1)
Mà CEN BANANE (2) (góc ngồi tam giác) Lại có: CEN BAN BNE (3)
Mà BAN CNB (hệ góc tạo tia tiếp tuyến dây cung) Từ 1), (2) (3) ta có:
ANE BNE hay NE tia phân giác góc ANB
EA NA
EB NB
(tính chất đường phân giác ANB)
EA NB NA EB
c) Ta có: M N, thuộc đường trịn đường kính OC
(OMCONC 900 theo tính chất tiếp tuyến) Mặt khác I trung điểm dây AB
Nên IOB 900 hay OIC 900
Vậy điểm I thuộc đường trịn đường kính OC
Vậy năm điểm M C N O I, , , , thuộc đường trịn đường kính OC Bài 153:
Vẽ đường trịn ( )O đường kính DB
Vì DAB DCB , tù nên A C, nằm đường tròn ( )O
BD đường kính nên dây cung lớn ( )O AC nhỏ dây cung chứa
Do đó: AC BD Bài 154:
Gọi F giao điểm AD đường tròn ( )O (F khác A),
Ax tia đối tia AC
Vẽ đường kính AG đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Ta có: ABG 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)
sđGC sđFC sđAEsđBF
s ACG 180
đ (1)
BAF FAC (AD đường phân giác) sđBF sđFC (2)
,
AD AE hai tia phân giác hai góc kề bù BAC Bax nên DAE 900
DAE
vuông có AD AE (gt) nên tam giác vng cân
450
ADE
(69)E D
C B
A
O
0
s s
s s s 90
2
AB CF
AB CF
đ đ
đ đ đ (3)
Từ (1), (2) (3) có: GC AB GC AE CAG
vng C nên:
2 2
AC GC AG (Áp dụng đinh lí Py-ta-go) Do đó: AB2AC2 (2 )R
Vậy AB2AC2 4R2 Bài 155:
s s
s
2
AB CD
AEC đ đ
đ
(góc có đỉnh bên ngồi đường trịn)
s s s
s
2
AD AC CD
ACD đ đ đ
đ
Mà AB AC (gt) Do đó: AEC ACD
Xét ACD AEC có: CAD chung; ACD AEC
Do ACD∽AEC AD AC AD AE. AC2
AC AE
Mà 2
2 BC
AB AC R (ABC vuông cân A) Nên AD AE 2R2
Vận dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương, Ta có: 2ADAE 2 2AD AE
2ADAE 4R
Dấu “=” xảy 2ADAE 2R
Vậy D cung AC cho ADR 2ADAE nhỏ §6 CUNG CHỨA GĨC
BÀI TẬP
Bài 156: Cho ba điểm cố định M N P, , khơng thẳng hàng Tìm quỹ tích đỉnh tam giác có cạnh theo thứ tự qua M N P, ,
Bài 157: Cho nửa đường tròn ( )O đường kính AB C điểm chuyển động nửa đường tròn Trên tia AC lấy D cho ADBC Tìm tập hợp điểm D
Bài 158: Cho đường tròn ( ; )O R ; BC dây cung cố định (BC 2 )R A điểm chuyển động cung lớn BC Xác định vị trí A để chu vi tam giác ABC lớn
Bài 159: Cho đường tròn ( ; )O R ; BC dây cung cố định A điểm chuyển động cung lớn BC
I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Xác định vị trí A để chu vi tam giác IBC lớn Bài 160: Dựng tam giác ABC biết bán kính đường trịn ngoại tiếp R, bán kính đường trịn nội tiếp r
C
Bài 161: Dựng hình thang ABCD biết bán kính đường trịn ngoại tiếp R Độ dài đáy CD 1 góc tạo hai đường chéo
Hướng dẫn giải
Bài 156:
a) Phần thuận:
Gọi A B C, , đỉnh tam giác có cạnh qua ba điểm M N P, ,
Rõ ràng A B C 600 hay PAM MBNNCP 600 Ta thấy điểm A nhìn đoạn thẳng cố định
(70)P
N M
C' B'
A'
C
B A
60°
x
E
D C
O B
A Do A thuộc cung chứa góc 600 dựng
trên đoạn thẳng MP Chứng minh tương tự ta có B thuộc cung chứa góc
0
60 dựng đoạn thẳng MN C thuộc cung chứa góc 600 nhận NP
làm dây cung b) Phần ảo:
Lấy điểm A thuộc cung MAP
Nối AM cắt cung MBN B Các đường A P B N cắt C Ta thấy: A thuộc cung
MAP có số đo 600 Tương tự B thuộc cung MBN nên có số đo 600 C 600 Do C
nằm cung chứa góc 600 dựng đoạn thẳng NP, A B C tam giác Kết luận:
Quĩ tích đỉnh tam giác ABC có cạnh qua ba điểm M N P, , cho trước ba cung
chứa
các góc 600 phía ngồi tam giác MNP Bài 157:
a) Phần thuận:
vẽ tia tiếp tuyến Ax nửa đường tròn ( )O , tia Ax nằm nửa mặt phẳng bờ Ab có chứa nửa đường trịn ( )O , tia Ax lấy ba điểm E cho
AE AB E cố định Xét ABC EAD có:
,
AB AE ABC EAD
(hệ góc tạo tia tiếp tuyến dây cung)
BC AD
Do đó: ABC EAD (c.g.c) Suy ra: ACB EDA
Mà ACB 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn ( )O ) Do đó: EDA 900, AEcố định
Vậy D thuộc đường trịn cố định đường kính AE
• Giới hạn:
Khi C A D E Khi C B D A
Vậy D chuyển động nửa đường trịn đường kính AE nằm nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ax có chứa điểm B (loại trừ A)
b) Phần đảo:
Lấy điểm Dbất kỳ thuộc nửa đường tron bán kính AE (D A), AD cắt ( )O C Ta có: ADE 90 ,0
900
ACB (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) Xét ABC (C 90 )0 EAD D( 90 )0
Ta có: AE AB ABC, EAD Do đó: ABC EAD
Suy ra: BC AD
Vậy tập hợp điểm D nửa đường trịn đường kính AE (trừ A)
(71)D A
C B
O
C B
A
I O
x
O I C
B A
y điểm B
Bài 158:
( )
CV ABC ABAC BC BC không đổi Trên tia đối tia AB lấy điểm D cho ADAC
ADC
cân A
2
BAC ADC
BAC không đổi
ADC
không đổi
BDC không đổi, BC cố định
D
thuộc cung chứa góc có số đo
4sđBC BC ( )O dựng đoạn thẳng BC
( )
CV ABC lớn (ABAC) lớn (ABAD) lớn
BD đường kính cung chứa góc nói Khi BCD 900
Mà ABCBDC ACBADC 900 BDC ACD AC( AD)
Do đó: ABC ACB AB AC A trung điểm cung lớn BC
Vậy A trung điểm cung lớn BC chu vi tam giác ABC lớn Bài 159:
Ta có: 1
2
IBC B (BI phân giác ABC )
1
2
ICB C (CI phân giác ACB)
BIC có 1800()900
2 A
BIC IBC ICB (không đổi)
900
2 A
BIC (không đổi), BC cố định
Do I chuyển động cung chứa góc dựng đoạn thẳng BC
mà CV IBC( )IBIC BC , BC khơng đổi Do đó: CV IBC( ) lớn
IBIC lớn
I trung điểm BC cung chứa góc dựng đoạn thẳng BC
A trung điểm cung lớn BC (vận dụng toán 158) Bài 160:
a) Phân tích:
Giả sử tam giác ABC dựng thỏa mãn: - Nội tiếp đường trịn ( ; )O R
- Có đường trịn nội tiếp ( ; )I r góc C AOB 2 Do tam giác ABC dựng
Ta lại có: 1(1800)
2 IAB IBA
Và IAB IBA 1800AIB Vậy 900
2
(72)d
αB
D C
B A
,
A B cố định nằm cung chứa góc 900
2
Vậy I xác định b) Cách dựng:
- Dựng tam giác AOB có OAOB R AOB 2 - Dựng cung chứa góc 900
2 vẽ đoạn AB
- Dựng đường thẳng XY AB cách AB khoảng r
- Dựng đường tròn ( ; )O R ; tia Bt hợp với BI góc Ibc ABI Tia Bt cắt ( ; )O R C Ta ABC cần dựng
c) Chứng minh:
Tam giác ABC rõ ràng nội tiếp ( ; )O R Và
2 AOB
C Ta có I nằm tia phân giác góc B
900 900 900
2 2
C A C A
AIB IAB
Vậy I nằm đường phân giác góc A
Do I tâm đường trịn nội tiếp tam giác ABC bán kính r d) Biện luận:
Bài tốn có nghiệm hình XY cung chứa góc 900
2 vẽ đoạn AB
Bài tốn có hai nghiệm hình XY tiếp xúc với cung chứa góc Bài tốn vơ nghiệm XY khơng cắt cung chứa góc
Bài 161:
a) Phân tích:
Gỉa sử hình thang ABCD dựng thỏa mãn điều kiện: - Nối tiếp đường tròn ( ; )O R , đáy CD 1 Hai đường chéo AC BD cắt I cho: CID
Nhận thấy:
1
CD nên hai đỉnh C D, xác định cần xác định hai đỉnh B A Việc xác định A
B đưa xác định I
- Để nội tiếp đường trịn ( ; )O R hình thang phải cân, I thuộc đường trung trực CD Mặt khác CID nên I thuộc cung trịn nhìn CD góc
b) Cách dựng:
- Trong đường tròn ( ; )O R dựng dây CD1
- Dựng cung góc nhìn CD góc - Dựng đường trung trực d CD
- Lấy I giao điểm d cung chứa góc
- Kéo dài CI DI, cắt đường tròn ( ; )O R A B c) Chứng minh: Hiển nhiên theo cách dựng
d) Biện luận:
- l 2R tốn có nghiệm hình - l 2R tốn có nghiệm hình - l 2R tốn vơ nghiệm
§7 TỨ GIÁC NỘI TIẾP BÀI TẬP
(73)Bài 163: Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn ( )O vẽ dây DE vng góc với OA cắt cạnh
,
AB AC S K,
Chứng minh rằng: tứ giác BCKS nội tiếp
Bài 164: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( )O vẽ Ax tiếp tuyến đường tròn ( )O Đường thẳng song song với Ax cắt cạnh AB AC, D E,
Chứng minh tứ giác BCED nội tiếp
Bài 165: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn ( )O ABBD Tiếp tuyến O A cắt đường thẳng BC Q Gọi R giao điểm hai đường thẳng AB DC
a) Chứng minh tứ giác AQRC nội tiếp đường tròn b) Chứng minh AD QR
Bài 166: Cho tam giác ABC cân A, nội tiếp đường trịn ( )O đường kính AI Gọi E trung điểm AB K trung điểm OI
a) Chứng minh tam giác EKB tam giác cân
b) Chứng minh tứ giác AEKC tứ giác nội tiếp
Bài 167: Gọi M điểm đường tròn ngoại tiếp ABC; P Q R, , hình chiếu
M đường thẳng BC , CA Chứng minh rằng:
a) Các điểm M B P R, , , thuộc đường tròn b) Các điểm R P Q, , thẳng hàng
Bài 168: Từ điểm A ngồi đường trịn ( )O , kẻ tiếp tuyến AB AC, với đường tròn (B C, tiếp điểm) Trên tia đối BC lấy điểm D Gọi E giao điểm DO AC Qua E vẽ tiếp tuyến thứ hai với đường tròn ( )O , tiếp tuyến cắt đường thẳng AB K
Chứng minh bốn điểm D B O K, , , thuộc đường tròn
Bài 169: Cho đường tròn ( )O , nội tiếp tam giác ABC, D E F, , điểm tiếp xúc ( )O với
, ,
BC CA AB Vẽ BB1 OA B( 1OA AA), 1 OB A( 1OB) Chứng minh D B A E, , ,1 1 thẳng hàng Bài 170: Tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( )O M điểm thuộc cạnh đáy BC Vẽ đường tròn qua B M đồng thời tiếp xúc với AB B Vẽ đường qua C M tiếp xúc với AC C Hai đường tròn cắt điểm N (khác M) Chứng minh rằng:
a) N thuộc đường tròn tâm O
b) Khi M di động cạnh BC đường thẳng MN ln qua điểm cố định
Bài 171: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn ( )O E đường chéo BD cho BAE CAD a) Chứng minh BAE ∽CAD
b) AB CD BC AD AC BD
Bài 172: Cho tam giác ABC , kẻ đường cao AH Gọi H H1, 2 điểm đối xứng H qua AB
AC Đường thẳng H H1 2 cắt AB AC K I Chứng tỏ rằng: AH BI, CK đồng quy
Bài 173: Cho hình vng ABCD, góc xAy 450 Ax cắt BC BD E F Ay cắt
,
CD BD G H Chứng minh tứ giác EFHG nội tiếp
Bài 174: Bốn đường thẳng cắt tạo thành bốn tam giác
Chứng minh bốn đường trịn ngoại tiếp bốn tam giác có chung điểm (Điểm Miquel) Bài 175: Cho đường tròn ( )O , dây AB không qua O Gọi I trung điểm AB Qua I kẻ hai dây cung CD EF (C E thuộc cung AB) CF ED cắt theo thứ tự M N Chứng minh IM IN
Bài 176: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn ( )O Gọi E F G H, , , tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC BCD CDA DAB, , , Chứng minh EFGH hình chữ nhật
(74)D
C B
A
K S
E
D
C B
A
O
x
O E D
C B
A
Q
R
D C B A
O
Bài 178: Cho tứ giác nội tiếp đường trịn ( )O có AD cắt BC E AC cắt CD F Chứng minh EA ED. FA FB. EF2
Hướng dẫn giải
Bài 162:
Tứ giác ABCD nội tiếp (gt)
1800
A B C D
Mà A 1200 (gt), B 1000 (gt) Do đó: C 18001200 600
1800 1000 800
D
Bài 163:
OADE (gt) xAC AED
AD AE
s
2 s BC
BSK đ E + đAD (góc có đỉnh bên đường trịn)
s
2
SK B
B đA (góc nội tiếp)
Do đó: s s s
2
BCE AD
BSKBCK đ đ đAB
0
s s s 360 180
2
BCE AE AB
đ đ đ Tứ giác nội BCKS nội tiếp
Bài 164:
( )
Ax DE gt xAC ACD
(hệ góc tạo tia tiếp tuyến dây cung) Do đó: AED DBC
Suy tứ giác BCED nội tiếp Bài 165:
a) QCR BAD (vì tứ giác ABCD nội tiếp)
2s
R A
QA đ B (QAR góc tạo tia tiếp tuyến dây cung)
2s
D B
BA đ D (BAD góc nội tiếp)
AB BD
AB BD
Do đó: QCR QAR
Tứ giác AQRC nội tiếp đường tròn b) QCA QCA (tứ giác AQRC nội tiếp)
BAD QCA (vì ABBD)
Suy ra: QRA BADmà QRA BAD so le Do đó: AD QR
Bài 166:
a) Gọi H trung điểm đoạn thẳng BE Ta có: E trung điểm AB,
(75)E H
K I
C B
A
O
R
Q P
M
C B
A
K
M
E
O D
C B
A
Mà ABI 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) Vì OE AB BI, AB ABI( 90 )0 OE BI Do tứ giác BEOI hình thang
Mà H K, trung điểm cạnh BE OI, nên HK OE Ta có: HK OE OE , AB
HK AB
EKB
có HK vừa đường cao vừa đường trung tuyến
EKB
cân K
b) OB OC(R) AB AC (gt)
O
A thuộc đường trung trực đoạn thẳng BC
OA
đường trung trực đoạn thẳng BC Mà K OA nên KB KC
Xét KBA KCA có: AB AC (gt)
KB KC AK; (cạnh chung) Do đó: KBA KCA (c.g.c)
KBI KCA
KBA KEB
(EKB cân K)
Do đó: KEBKCA Tứ giác AEKC nội tiếp Bài 167:
a) BRM BPM 900900 1800
Tứ giác RBPM nội tiếp
Các điểm M P B C, , , thuộc đường tròn b) Chứng minh tương tự a) có tứ giác MPQC nội tiếp
1800
MPQ MCQ
Mà RBM RPM (tứ giác RBPM nôi tiếp) Và RBM MCQ(tứ giác ABMC nội tiếp) Do đó: RPM MCQ
Ta có: RPMMPQ MCQ MPQ 1800
, , R P Q
thẳng hàng Bài 168:
EK tiếp xúc với đường tròn ( )O M
,
EM EC tiếp tuyến ( )O (gt)
1
2
MOE MOC
Mà 1
2
MBC MOC (hệ góc nội tiếp) Do đó: MOEMBC 1800 (hai góc kề bù)
1800
MBC MBD (hai góc kề bù) Suy ra: MOD MBD
, , , D O M B
thuộc đường tròn (1) Mà KMO KBO600
tứ giác KBOM nội tiếp
, , , K O M B
thuộc đườg trịn (2)
Từ (1), (2) có điểm D K O M B, , , , thuộc đường tròn
, , , D O K B
(76)D E F
C B
A
O A1
B1
N M
D
C B
A
E
D
C B
A
, , , D O K B
thuộc đường tròn Bài 169:
900
AEO (AE tiếp tuyến O nên AE OE)
1
(AAO 90 (AA OB))
Ta có:AEO AAO1 900
Tứ giác AEAO2 nội tiếp đường tròn
1 180
OAE OA E
1 90 ( )
AB B BB OA
AB B1 AAO1 900
Tứ giác AA B B1 1 nội tiếp đường tròn
1
1
BAB BAB
Mà BAB1 OAE (vì O tâm đường trịn nội tiếp ABC) Do BAB1 OAE
Ta có BAB1OA E1 1800
Ba điểm E A B, ,1 1 thẳng hàng
Do bốn điểm D B A E, , ,1 1 thẳng hàng Bài 170:
a) BNM ABC (hệ góc tạo tia tiếp tuyến dây cung) Tương tự: CNM ACB
Mà BACABCACB 1800
Do tứ giác ABNC nội tiếp đường tròn ( )O hay N thuộc đường tròn ( )O
b) Gọi D giao điểm MN đường tròn ( )O (D khác N ) Ta có: CAD CND (góc nội tiếp cung CD)
Mà CND ACB (chứng minh câu a)
CAD ACB
A B C, , cố định
D
cố định hay đường thẳng MN qua điểm cố định Bài 171:
a) Xét BAE CAD có:
BAE CAD (hai góc nối tiếp chắn cung AD)
BAE CAD (gt) Do BAE ∽CAD
b) Xét EAD BAC có:
EADBAC (vì BAE CAD)
ADE ACB (hai góc nội tiếp chắn cung AB) Do EAD∽BAC
AD DE
AC BC
BC AD AC DE
(77)x K
I
C B
A
H2
H1
H G
F
E
D
C B
A
P
F E
D C
B
A
AB BE
CD AB CD AC BE
AC CD
Do đó: AB CD BC AD AC BE AC DE
AC BE.( DE)AC BD Bài 172:
Ta có: AH H1 2 cân (AH1 AH AH2)AH H1 2 AH H2 1 Ta có: AH I2 AHI (vì H H2 đối xưng qua AC ) Vậy AH I1 AHI
1
H H nằm phía AI Do H1 H nằm cung chứa góc dựng đoạn AI
, , , A H H I
thuộc đường tròn Mặt khác:
1
H H đối xứng qua AB
1 90
AH B AHB
Do tứ giác AH BH1 nội tiếp đường trịn đường kính AB
Từ ta có năm điểm A H B H I, , , 1, thuộc đường tròn đường kínhAB BIA 900
BI
đường cao tam giác ABC
Chứng minh tương tự CK đường cao tam giác ABC Vậy AH BI CK, , đồng quy
Bài 173:
ABCD hình vng nên BDC 450 lại có GAF 450 (gt) A D phía GF nên
,
A D nằm cung chứa góc 450 vẽ đoạn FG
Tứ giác ADGH nối tiếp, có ADG900 nên
AG đường kính đường trịn (ADGH) Vì AFG 900 hay EFG 900
Chứng minh tương tự EHG 900 Vậy tứ giác EFGH nội tiếp Bài 174:
Với giả thiết bốn đường thẳng cắt tạo thành bốn tam giác nên khơng có ba đường thẳng chúng cắt điểm Giả sử đường thẳng AB BC CA, , cắt đường thẳng thứ tư D E F, , (hình vẽ)
Gọi P (P C) giao điểm hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác ABC CEF Ta có: BPE BPCCPE
Trong đó: BPC1800BAC DAF CPE ; CFE Suy ra: BPE BPCCPE DAFCFE 1800ADE
1800
BPE BDF
Tứ giác BPEDnội tiếp
P
nằm đường tròn ngoại tiếp, tam giác BDE
(78)K M I N H
F
E
D
C
B A
x O H
G F
E D
C B
A Bài 175:
Ta có: CFE CDE (hai góc nội tiếp chắn cung CE)
FCD FED (góc nội tiếp chắn cung DF) Do FIC ∽DIE CI FC
EI DE
(1)
Vẽ OH OK, vng góc với CF ED (H CF K, ED) Ta có H K, trung điểm FC DE
(Định lí đường kính vng góc với dây cung)
Do đó: CI FC CH
EI DE EK
Xét CHI EKI có:
;
CI CH HCI KEI
EI EK
Do CHI ∽EKI CHI EKI hay MHI NKI (2) Mặt khác I trung điểm AB nên OI AB OH, PC
Tứ giác OHMI nội tiếp đường trịn đường kính MO Ta có: MHIMOI (3) (góc nội tiếp chắn cung MI) Tương tự: Tứ giác OKNI nội tiếp đường tròn
Nên: NKI NOI (4)
Từ (2), (3) (4) ta có: MOI NOI
MON
cân có OI đường cao nên OI đường trung tuyến Do IM IN
Bài 176:
Gọi tia đối tia FC tia Fx
1
,
2
GDC ADC GCD ACD
(G tâm đường tròn nội tiếp CDA)
Do đó: 1( )
2
GDC GCD ADC ACD
1(1800 ) 900
2 DAC 2DAC
GDC
có 1800 ( ) 900
2
DGC GDC GCD DAC
Tương tự: 900
2
DFC DBC
Mà DAC DBC (hai góc nội tiếp chắn cung DC) Do đó: DGC DFC
Tứ giác GFCD nội tiếp
GFx GDC
Tương tự: xFE EBC
Mà 1 900
2
GDC EBC ADC ABC
Chứng minh tương tự ta có: HEF90 ,0 FGH 900 Do tứ giác EFGH hình chữ nhật
Bài 177:
(79)F E
D C
B A
E
M
F
D C
B A
O
Tam giác CBF cân C (
0
180
( )
2 BCD
CF BC BFC )
Tứ giác ABCD nội tiếp nên:
1800
DAB BCD ABC CAD
Do đó:
2 DAB BFC
Mà
2 DAB EAB
Suy ra: BFC EAB
DAF ABE (1)
Tam giác DAF cân D
1800
( )
2 CDA
DF AD AFD
Nên
2 ABC
AFD (2)
Từ (1) (2) có
2 ABC
ABE ABE EBC
Vậy BE tia phân giác góc ABC Do hai tia phân giác hai góc DAB ABC cắt
điểm E thuộc cạnh CD Bài 178:
Gọi M cạnh EF cho FBM AEF
Xét FBM FEA có FBM (chung), FBM AEF Do FBM ∽FEA
FB FM
EF FA
FA FB EF FM
FBM AEF
Tứ giác AEMB nội tiếp
EMAEBA
Mà EDF EBA (tứ giác ABCD nội tiếp) Do đó: EMA EDF
Xét EMA EDF có EMA EDF AEM , (chung) Do EMA∽EDF
EA EM
EF ED
EA ED EF EM
Vậy EA ED. AF FB. EF EM. EF FM. EF EM( FM)EF2 §8 ĐƯỜNG TRỊN NGOẠI TIẾP
ĐƯỜNG TRỊN NỘI TIẾP Bài tập
Bài 179: Trên đường trịn bán kính R, ta đặt theo chiều, kể từ điểm A; ba cung
, ,
AB BC CD cho sđAB 60 ,0 sđBC90 ,0 sđCD 1200 Tứ giác ABCD hình gì? Chúng minh hai đường chéo vng góc với Tính cạnh đường chéo tứ giác theo R
Bài 180:
(80)D C
B A
I O
K H
G
F D
C B A I
O
b) Tính cạnh, trung đoạn hình mười hai cạnh nội tiếp đường trịn ( ; )O R Bài 181: Tính độ dài đường chéo ngũ giác cạnh a theo a
Bài 182: Chứng minh ngũ giác có góc nội tiếp đường trịn ngũ giác
Bài 183: Cho đường tròn ( ; )O R , S điểm cho OS 2R Vẽ cát tuyến SCD đến đường tròn ( )O C D, thuộc đường tròn ( )O Cho biết CDR Tính SC SD theo R
Bài 184: Cho đường tròn ( ; )O R BC dây cung cố định, sđBC1200 A di động cung lớn BC Tìm giá trị lớn diện tích tam giác ABC
Hướng dẫn giải
Bài 179:
đ 3600 ( đ đ đ ) 3600 (600 0
s AD s AB s BC s CA 90 120 )
AD BC
ACDBAC
AB CD
ABCD hình thang mà tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn ( ; )O R nên ABCD hình thang cân Gọi I giao điểm hai đường chéo AC BD tứ giác ABCD
đ đ
đ s s
s 90
2
AB CD
AIB
Vậy AC BD
AB dây cung ( ; )O R sđAB 600
AB cạnh lục giác nội tiếp AB R BC dây cung ( ; )O R sđBC900
BC cạnh hình vng nội tiếp ( ; )O R BC R Do đó: ADBC R
CD dây cung ( ; )O R sđCD1200
CD cạnh tam giác nội tiếp ( ; )O R CDR
đ đ
s 1s 45
2
BAC BC
AIB vng cân I (vì I 90 ,0 BAI 450)
2
AB R
AI BI
Tương tự DIC vuông cân I
2 2
DC
IC R R
2(1 3)
2 2
R R R
BD AC AI IC
Bài 180:
a) OBK có OKB 90 ;0 KOB 450
OBK vuông cân
2 R
KB KO
(81)K B
A I
O
M E
D C
B A
O
(2 2)
2
R R
AK R
AKB có AKB 900, theo định lí Py-ta-go có:
2 2
2
2 2 (2 2) (2 4 4 2 2) 2(2 2)
2
R R R
AB KB AK R
ABR 2
AOI có AIO 900 Nên
2
2 2 2 (2 2)
2
R R
OI OA AI R
2
2 R OI
b) Tính AB OI;
Kẻ AK OB K
AOK có AOB 300
AKO 900 nên AOK nửa tam giác
;
2 2
AO R OA R
AK OK
Suy ra: (2 3)
2
R R
KB OB OK R
2
2
(1 4 3) (2 3)
4
R R
ABR 2
OAI có OIA 900 nên OI2 OA2AI2
2
2 (2 2 3)
2 2
R R
R R
2 2
OI R R
Bài 181:
AC cắt BE M; MAB∽MCE
(Vì AMB EMC (đối đỉnh); MAB MEC AE( BC))
MB AB MB a
ME CE a CE
Mà CE CACM MACBMB a MB
Do đó:
MB a
a a MB
a MB. MB2 a2
MB2a MB a. 0
2
5
2
a a
(82)M
H C
B A
O
O
H S
D C
E
D C
B A
5
2 2 0
5
2 2
a a a
MB MB
a a a a
MB MB
(khơng thích hợp)
Ta có: (1 5)
2
a a a
EB MB a
Bài 182:
EAB ABC (gt)
EAC EBC (hai góc nội tiếp chắn cung EC) Suy ra: EABEAC ABCEBC
CAB ABE BC; AE BC; AE
Chứng minh tương tự ta có AB BC CD DEEA Do ta có điều phải chứng minh
Chú ý:
Có thể cách chứng minh thay ngũ giác thành đa giác có n cạnh (n lẻ n 5) Mệnh đề không n chẵn Bài 183:
Vẽ OH CD, H CD
Ta có: CD R CD cạnh tam giác nội tiếp ( ; )O R sđCOD 1200
Do đó: HOC 600
Ta có HOC nửa tam giác
2
OC R
OH ,
2 R
DH HC (vì OH CD)
HOS có H 900 nên OS2 OH2SH2
SH2 OS2OH2 SH2
2 4 2 15
4
R R
SH OS OH R
15
2 R SH
Do đó: 15 3( 51)
2 2
R
R R
SC SH HC
15 3( 1)
2 2
R R
SD SH HD
Bài 184:
BC dây cung đường tròn ( ; )O R sđBC1200 (gt)
BC cạnh tam giác nội tiếp đường tròn ( ; )O R
BC 3R
(83)Ta có:
2 R
OM AH AM Xét ba điểm A O M, ,
Ta có: AM OA OM
Do vậy:
2
R R
AH R
Nên
2
1 3
2
ABC
R
S AH BC (không đổi)
Dấu “=” xảy
H M
OnamgiuaAvaM
A trung điểm cung lớn BC
Vậy giá trị lớn diện tích tam giác ABC
3 R
§9 ĐỘ DÀI ĐƯỜNG TRỊN, CUNG TRÒN BÀI TẬP
Bài 185: Cho đường trịn tâm O, bán kính R3cm Tính: a) Độ dài đường trịn
b) Độ dài cung trịn có số đo 30 , 60 , 45 , 90 ,1200 0 0
Bài 195: Trong hình vng cạnh có độ dài đặt số đường tròn mà tổng số độ dài chúng 30 Chứng minh tìm đường thẳng cắt 10 đường trịn Bài 196: Trong đường trịn bán kính có độ dài vẽ số dây cung Chứng minh mõi đường kính cắt khơng q n tổng độ dài dây nhỏ rn
Hướng dẫn giải
Bài 185:
a) C 2R6 (cm)
b) Độ dài cung trịn có số đo 300 là: 30
180
R
l (cm)
Độ dài cung tròn có số đo 600 là: 60
180 R
l (cm)
Độ dài cung trịn có số đo 450
là: 45 3
180
R
l (cm)
Độ dài cung trịn có số đo 900 là: 90 3
180
R
l (cm)
Độ dài cung trịn có số đo 1200
là: 1202
180 R
l (cm)
Bài 186:
a) AB R 2, AB dây cung đường tròn ( ; )O R
AB cạnh hình vng nội tiếp đường trịn ( ; )O R
sđAB900 nên số đo AB lớn 3600900 2700 Do đó: 90
180
R R
lAB (đvđd)
LAB lớn 270 3
180
R R (đvđd)
b) AB R 3, AB dây cung đường tròn ( ; )O R
AB cạnh tam giác nội tiếp đường tròn ( ; )O R
(84)M B
A
O' O
C B
A Do đó: 120 2
180
R R
lAB (đvđd)
LAB lớn 240 4
180
R R
(đvđd) Bài 187:
2
2 C
C R R
Tổng độ dài hai nửa đường trịn đường kính AB BC, là:
AB BC AB BC AC
bằng độ dài nửa đường trịn đường kính
AC Bài 188:
Tổng độ dài đường trịn đường kính
1 2, 3, , n n
A A A A A A là:
.A A1 2A A2 3 A An1 n
(A A1 2 A A2 3 A An 1 n)
A A1 2 độ dài đường trịn đường kính A A1 n Bài 189:
O OB cân O (vì OO OB)
BO M 2BOM
180 180
Rn R BOM
lMA
180 180 180
R BO M
R n R BOM
lMB
Vậy lMA lMB Bài 190:
,
180 180
Rn R n
lAB lA B
Ta có:
180 180
Rn R n R n
lAB lA B
R n
Bài 191:
Ta có: AB R 3;
AB dây cung ( ; )O R
Suy ra: AB cạnh tam giác nội tiếp ( ; )O R
sđAB1200
Do đó: sđAC sđABsđBC 1500 Nên 1505
180 180
Rn R
lAC R
Bài 192:
AB R
AB dây cung đường tròn ( ; )O R
AB cạnh tam giác nội tiếp ( ; )O R
(85)C
B
A O
Ta có: 2
180
Rn R
lAB (đvđd)
2,
AC R AC dây cung đường tròn ( ; )O R
AC cạnh hình vng nội tiếp ( ; )O R
sđAC sđAOC 900 Ta có:
180
Rn R
lAC (đvđd)
lBC3600(sđABsđAC)3600(1200 90 )0 1500 Do đó:
180
Rn R
lBC (đvđd)
Bài 193:
Vẽ AH đường cao tam giác ABC , Ta có:sđAB900
AB cạnh hình vng nội tiếp đường trịn ( ; )O R
ABR
Ta có: sđ 1sđ 600
2
ABH AC
Và sđ 1sđ 450
2
AHC AB
HAB vuông H có ABH 600 nên nửa tam giác
2;
2 2
AB R AB R
BH AH
HAC vng H có ACH 450 nên tam giác vuông cân
2 R
HC AH
Do đó: 2(1 3)
2 R
BC BH HC
Vậy độ dài đường tròn đường kính BC là:
2(1 ) 2(1 3)
2
R R
(đvđd) Bài 194:
Ta tô màu đỏ cung đối xứng với cung tô màu xanh qua tâm đường trịn Ta có tổng độ dài
cung tô màu đỏ tổng độ dài cung tô màu xanh Mà tổng độ dài cung tô màu xanh nhỏ nửa độ dài đường trịn Do tổng độ dài cung tơ màu đỏ nhỏ nửa độ dài đường tròn Do đường trịn có điểm khơng tơ màu Điểm đối xứng qua tâm đường trịn khơng tơ màu Đây đường kính mà hai đầu khơng bị tơ màu xanh Bài 195:
Chiếu tất đường trịn cho lên cạnh AB hình vng ABCD Hình chiếu hình trịn có độ dài C đoạn thẳng có độ dài
C Tổng độ dài hình chiều 30 đường trịn là:
30
30
9 9AB
Do đoạn AB có điểm thuộc hình chiếu 10 đường trịn Đường thẳng vng góc với AB vẽ qua điểm cách 10 đường tròn
(86)n°
D
C B
A
Giả sử tổng độ dài dây cung không bé .n Do độ dài cung bị trương lớn dây trương cung nên tổng độ dài cung bị trương dây cung lớn .n Bổ sung vào cung cung đối xứng với chúng qua tâm đường trịn tổng độ dài cung xét lớn
2 n Do ln tìm điểm mà có n1 cung phủ điểm Đường kính vẽ qua điểm cắt n1 dây Từ ta có đpcm
§10 DIỆN TÍCH HÌNH TRỊN, HÌNH QUẠT TRỊN BÀI TẬP
Bài 197:
a) Tính diện tích hình trịn có bán kính cm
b) Tính diện tích hình quạt có bán kính cm, số đo cung 720 Bài 198: Tính theo a diện tích hình trịn ( )O ;
a) Biết độ dài cạnh hình vng nội tiếp đường tròn ( )O a b) Biết độ dài cạnh tam giác nội tiếp đường tròn ( )O a
Bài 199: Cho đường tròn ( ; )O R có AB dây cung AB R Tính diện tích hình viên phân giới hạn cung AB dây AB
Bài 200: Hãy tính diện tích hình viên phân AmB theo R biết góc tâm AOB 1200 bán kính hình trịn R
Bài 201: Hình vành khăn phần hình trịn bao gồm phần hai hình trịn đồng tâm Hãy lập cơng thức tính diện tích hình vành khăn S theo R1 R2 (R1R2)
Bài 202: Trong tam giác đều, vẽ cung tròn qua tâm tam giác cặp đỉnh (hình bên) cạnh tam giác a Tính diện tích hình hoa thị gạch dọc
Bài 203: Cho hình tròn ( ; )O R ; A điểm cho OA2R Vẽ hai tiếp tuyến AB AC, đến đường tròn
( )O (B C tiếp điểm)
Tính diện tích phần tứ giác OBAC nằm ngồi hình trịn ( )O
Bài 204: Cho đoạn thẳng AB: M điểm nằm A B nửa mặt phẳng bờ AB vẽ nửa đường trịn có đường kính AM; MB AB Xác định vị trí M để diện tích hình giới hạn ba nửa đường trịn có giá trị lớn
Bài 205: Cho ba hình trịn có bán kính R R R1; ;2 3 có diện tích S S S1; ;2 3 tiếp xúc tiếp xúc với đường thẳng d R3 bán kính có độ dài nhỏ
Tìm giá trị nhỏ S S1 theo độ dài cho trước R3
Bài 206: Một tờ giấy hình trịn bán kính 100cm có 9800 lỗ kim châm Chứng minh cắt tờ giấy hình trịn bán kính 1cm khơng có lỗ kim châm
Hướng dẫn giải
Bài 197:
a) Diện tích hình trịn có bán kính 4cm là:
15 ( 2)
S R cm
b) Diện tích hình quạt trịn có bán kính 4cm, số đo cung 720 là:
2( 2)
360
q
R n R
S cm
Bài 198:
a) AB cạnh hình vng nội tiếp đường trịn ( ; )O R
Ta có:
2 a
(87)O C B A O m B A m B A O R2 R1 O m I H C B A O
2
hinhtron
a
S R (đvdt)
b) AB cạnh tam giác nội tiếp đường trịn ( ; )O R
Ta có:
3 a
AB R R
3
hinhtron
a
S R (đvdt)
Bài 199:
,
AB R AB dây cung đường tròn ( ; )O R
AB cạnh lục giác nội tiếp đường tròn ( ; )O R
sđAB600 nên tam giác
4
OAB
OA R
S (đvdt)
360
quatOAB
R n R
S (đvdt)
23
12
quatOAB OAB
vienphanAmB
S S S R (đvdt)
Bài 200:
là cạnh tam giác nội tiếp đường tròn
(đvdt) (đvdt) (đvdt) Bài 201:
S R
2
S R
1 2 vanhkhan
S S S
2
1
(R R ) (đvdt) Bài 202:
Gọi O tâm tam giác ABC
Ta có:
3 3
a a
OA AH
O nằm cung chứa góc 1200 dựng đoạn AB nên có số đo OA 600
IAO có
3 a
IO AI AO
6 ( )
hoathi vienphanAmO
S S
1200
AOB
AB
( ; )O R
0
; 3, s 120
2 R
OH AB R AB
đ OAB OH AB
S R
2
2
( )
120
360 360
quatOAB
n R
S R R
2
2
( ) ( )
3
(4 3)
3 12
vienphanAmB quatOAB AOB
R R
(88)C B
A O
B M
A
R1 R2
d
O'
O D
C B
A
(vienphanAmO) quatAIO AIO
S S S
2
2
2
3 3 3
3 3 3
(2 3)
6 36
a a a
a a
Suy ra:
2
(2 3)
hoathi
a
S (đvdt)
Bài 203:
OAB có B 900;
( )
2
OB OA R
Nên OBA nửa tam giác Suy ra: BOA 60 ;0 ABR 30 Mà OBA OCA nên BOC 1200
Và 2 2
2
BOAC OBA
OB AB
S S R R R (đvdt)
Mặt khác: 120
360
quatOBC
R
S R (đvdt)
Do đó:
( ) 3 3 (3 )
cantim OBAC quatOBC
R R
S S S R (đvdt)
Bài 204:
Đặt AB 2 ,a AM 2x
Suy ra: MB 2(ax)
Gọi S diện tích hình giới hạn ba nửa đường tròn trên; S S S1, ,2 3 diện tích nửa đường trịn có đường kính AM MB AB; ;
Ta có:
2
2
3
( )
( )
2 2
a x
a x
S S S S
2 2
2
2 ( )
2
a x a ax x x ax
2 2 2
2 4
a a a
x (không đổi)
Dấu “=” xảy
2 a
x M trung điểm AB Diện tích giới hạn ba nửa đường trịn lớn
4 a
M trung điểm đoạn thẳng AB
Bài 205:
Dễ thấy OACD hình chữ nhật AC OD
2 2
OD OO O D
(R1R2)2(R2R1)2 4R R1 2 Suy ra: AC 2 R R1 2
Chứng minh tương tự ta có:
2 1 3; 2 2 3;
(89) 1 2 1 3 2 3
3
1 1
2 R R R R R R
R R R
1 2
1
1
min
S S R R max
R R
Mà tổng
3
1 1
R R R khơng đổi
Do tích
1 2
1 . 1 1
2 max
R R R R R
R1 R2 4R3 Vậy giá trị nhỏ S S1 2 16R32 (đvdt) Bài 206:
Ta cần chứng minh hình trịn ( ;1O cm) khơng có lỗ kim châm (1) Tâm ( )O hình trịn ( ;1O cm) có mép giấy 1cm
(2) Tâm ( )O hình trịn ( ;1O cm) cách lỗ kim châm không nhỏ 1cm Từ (1) tâm ( )O thuộc hình trịn ( ; 99O cm) có diện tích là:
2
99 9801 (cm )
Từ (2) tâm ( )O phải ngồi 9800 hình trịn có tâm 9800 lỗ kim chân có bán kính 1cm, diện tích là: 9800.1 29800 (cm2)
98019800
Suy tờ giấy chỗ trống để chọn tâm ( )O Ta có đpcm
ÔN TẬP CHƯƠNG III
Bài 207: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( ; )O R tam giác A B C nội tiếp đường trịn ( ; )O R có ABC A B C ACB , A C B Gọi r r, bán kính đường trịn nội tiếp tam giác
,
ABC A B C Chứng minh rằng:
a)
AB R
A B R b)
AB r
A B r
Bài 208: Cho hai đường tròn ( ; )O R ( ; )O R cắt A B, M điểm tia đối AB Vẽ
,
MC MD tiếp tuyến đường tròn ( ),( )O O C ( );O D( )O Vẽ cát tuyến MEF
của đường tròn ( )O , cát tuyến MHG đường tròn ( )O Chứng minh rằng:
a) MC2 MA MB b) MC MD
c) Bốn điểm E F G H, , , thuộc đường tròn
Bài 209: Cho tam giác ABC vuông A Trên cạnh AC lấy điểm M vẽ đường trịn đường kính
MC BM cắt đường tròn D (M khác D) AD cắt đường tròn E Chứng minh rằng: a) ABCD tứ giác nội tiếp
b) CA tia phân giác góc ECB Bài 210: Cho H trực tâm tam giác ABC
a) Gọi H điểm đối xứng H qua BC Chứng minh H nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
b) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC CHA AHB, , có bán kính Bài 211: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O trực tâm H Lấy điểm
M thuộc cung nhỏ BC
(90)b) Với M thuộc cung nhỏ BC , gọi N E, điểm đối xứng M qua AB
AC Chứng minh ba điểm N H E, , thẳng hàng
c) Xác định vị trí M thuộc cung nhỏ BC NE có độ dài lớn
Bài 212: Cho đường tròn ( ; )O R đường thẳng ( )d cắt đường tròn ( )O hai điểm A B, Từ điểm
M đường thẳng ( )d ( )O , ( )d không qua O, ta vẽ hai tiếp tuyến MN MP, với đường tròn ( )O (N P, hai tiếp điểm)
a) Chứng minh: NMO NPO
b) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP qua hai điểm cố định M lưu động đường thẳng ( )d
c) Xác định vị trí điểm M đường thẳng ( )d cho tứ giác MNOP hình vng
d) Chứng minh tâm I đường tròn nội tiếp tam giác MNP lưu động đường cố định M lưu động ( )d
Bài 213: Cho đường tròn O dây cung BC cố định không qua tâm A điểm di động cung lớn
BC cho tam giác ABC có ba góc nhọn
a) Chứng tỏ A thuộc cung A A1 2 rõ A A1, 2 điểm hình vẽ b) Tìm tập hợp trực tâm H tam giác ABC A di chuyển cung A A1 2
c) Đường thẳng song song với tiếp tuyến A ( )O cắt hai cạnh AB AC, E F, Chứng tỏ
, , ,
B C E F đường tròn
d) Tìm vị trí A diện tích tam giác ABC lớn
Bài 214: Cho đường tròn ( ; )O R cố định điểm A cố định OA2R BC đường kính quay quanh O (đường thẳng BC khơng qua A) Đường trịn qua A B C, , cắt đường thẳng OA A I
a) Chứng minh OAOI OB OC
b) Trường hợp đường thẳng AB AC, lại cắt đường tròn ( ; )O R D E, ; nối DE cắt đường thẳng OA K Chứng minh bốn điểm E I K C, , , nằm đường trịn tính độ dài
AK theo R
c) Chứng tỏ tâm đường tròn qua A D E, , di chuyển đường cố định BC quay quanh
O
Bài 215: Cho đường trịn tâm O Từ điểm M ngồi đường tròn ( )O vẽ tiếp tuyến MC MD, với ( )O (C D, tiếp điểm) Vẽ cát tuyến MAB không qua tâm O, A nằm M B Tia phân giác góc ACB cắt AB E
a) Chứng minh MC ME
b) Chứng minh DE phân giác góc ADB
c) Gọi I trung điểm đoạn AB Chứng minh điểm O I C M N, , , , nằm đường tròn d) Chứng minh IM phân giác góc CID
Bài 216: Cho tam giác cân ABC nội tiếp đường trịn ( ; )O R có AB AC R a) Tính độ dài BC theo R
b) M điểm di động cung nhỏ AC, đường thẳng AM cắt đường thẳng BC D Chứng tỏ
AM AD số
c) Chứng tỏ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MCD di động đường cố định M di động cung nhỏ AC
Bài 217: Cho đường trịn ( )O đường kính AB Trên đường thẳng AB lấy điểm C nằm đoạn AB Từ C kẻ hai tiếp tuyến CE CF, với đường tròn ( )O (E F, hai tiếp điểm) Gọi I giao điểm AB EF Qua C kẻ cát tuyến cắt đường tròn ( )O M N (M nằm C N) Chứng minh:
(91)I
D C B
A
O
O' A'
B' C'
D' I'
M
H G
F
E D
C
B A
M
E D
C B
A
Hướng dẫn giải
Bài 207:
a) Xét ABC A B C có: ABC A B C ACB , A C B (gt) Do ABC ∽A B C BAC B AC AB AC BC
A B A C B C
Không tính tổng qt giả sử ACB 900
Ta có: ,1
2AOBACB 2A O B A C B
Do đó: AOB A O B
OAOB R OAB cân O
O A O B R O A B cân O Do OAB∽O A B AB OA R
A B O A R
b) Gọi I I, đường tròn nội tiếp tam giác ABC A B C, Vẽ ID AC D, I D A C D
Ta có: IDr I D, r
Mà , 1
2
IAC BAC I A C B A C
Nên: IAC I A C
Do IAC ∽I A C AC ID
A C I D
nên
AB r
A B r
Bài 208:
a) MCA∽MBC
b) MC2 MD2(MA MB ) c) Tương tự câu a ta có:
2
ME MF MC
2
MG MH MD
Suy ra: ME MF MG MH (vì MC2 MD2)
ME MC
MH MF
Xét MEG MHF có EMG
ME MG
MH MF
Do MEG ∽MHF MEGMHF
Tứ giác EGHF nội tiếp Bài 209:
a) MDC 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) Ta có: BAC BDC 900
(92)H' H
C B
A
O' O
K
M N
H
E
C B
A
b) ACBADB (tứ giác ABCD nội tiếp) Suy ra: ACB ACE
CA
tia phân giác góc ECB Bài 210:
a) HBC H AC (vì phụ với góc ACB)
HBC H BC (tính chất đối xứng trục) Do đó: H AC H BC
, , , A B H C
thuộc đường tròn
H
nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC b) Gọi O điểm đối xứng O qua BC
Theo tính chất đối xứng trục ta có: O B OB O C, OC O H, OH mà
OB OC OHR
Do đó: O H O B O C R
Bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác BHC R
Chứng minh tương tự có bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác CHA AHB, R Bài 211:
a) BH AC CH, AB (H trực tâm ABC) Tứ giác BHCM hình bình hành
BH MC
CH MB
AC MC
AB MB
AM
đường kính ( )O M
điểm đối xứng A qua O b) AMB ANB (tính chất trục đối xứng)
AMBACB (hai góc nội tiếp chắn cung AB) Suy ra: ANB ACB
Mà AHBACB 1800 Do đó: AHB ACB 1800
Tứ giác NAHB nội tiếp
NHB NAB
Mà NAB BAM (tính chất đối xứng trục) Suy ra: NHB BAM
Chứng minh tương tự có: CHE MAC BAC ; BHC 1800 Do đó: NHE NHBCHEBHC
BAMMACBHC BACBHC 1800
, , N H E
thẳng hàng
c) NAE2BAC
Vẽ AK NE K, NE ,
AM AN AM AE (tính chất đối xứng trục)
AN AE ANE
cân A, mà AK đường cao
AK
đường phân giác, đường trung tuyến
2, 2
NAE NAK NE NK
Do đó: BAC NAK KAN
(93)d
P I' N
M
O
C B
A
x
A2 A1
E H C'
B' F
M
A' C
B A
O Do đó: NE2AMsinBAC
2 ; sin
AM R BAC không đổi
NE lớn AM lớn
AM
đường kính ( )O M
điểm đối xứng A qua O
Vậy M điểm đối xứng A qua O NE lớn Bài 212:
a) MN MP, hai tiếp tuyến đường tròn ( )O (gt)
900
ONM OPM
Tứ giác MNOP nội tiếp
NMONPO (hai góc nội tiếp chắn cung NO) b) Gọi C trung điểm dây AB ta có C cố định ( )d
khơng qua O nên OC AB
900
ACM ANM OPM
, , C N P
thuộc đường trịn đường kính OM , , , ,
C N P O M
thuộc đường tròn
Mà O C cố định
Do đường trịn ngoại tiếp tam giác MNP qua hai điểm cố định O C M lưu động đường thẳng ( )d
c) Tứ giác MNOPlà hình vng
Hình thoi MNOP có ONM 900
Tứ giác MNOP có MN ON OP PM ONM 900
M
giao điểm đường tròn ( ;O R 2) đường thẳng d d) Giả sử đoạn thẳng OM cắt đường tròn ( )O I
Chứng minh I I
Do I lưu động cung lớn AB đường tròn ( ; )O R
Bài 213:
a) Vẽ đường kính CA1, đường kính BA2
ABC nhọn
A
thuộc cung AC1 (không chứa B AA1)
ACB nhọn
A
thuộc cung A B2 (không chứa C AA2) Do A thuộc cung A A1 2 trừ A1 A2
b) BHCBAC 1800
1800
BHC BAC
(không đổi)
Mà BC cố định
Do H thuộc cung chứa dựng đoạn thẳng BC
* Giới han: Khi AA1 H B Khi AA2 H C
Vậy H thuộc cung chứa góc 1800A (trừ B
C ) dựng đoạn thẳng BC c) ABC AFE(xAC)
Tứ giác BEFC nội tiếp
d) AA AM AM, OA OM R OM
1
( )
2
ABC
(94)H I N O
M K E
C D B
A
E I
D C
B
O
A
M Bài 214:
a) Xét OAB OCI có:
AOBCOI (đối đỉnh)
OAB OCI (hai góc nội tiếp cung chắn BI) Do OAB∽OCI
OA OB OAOI OB OC
OC OI
b) AEDDBC (tứ giác BCED nội tiếp)
DBI KIC (hai góc nội tiếp chắn AC đường trịn (ACB)) Do đó: AED KIC
Tứ giác EKIC nội tiếp đường tròn
Bốn điểm E K I C, , , nằm đường tròn OA cắt ( )O M N, Ta có
, M N cố
định
Xét ACM ANE Có: A chung
ACM ANE (hai góc nội tiếp chắn cung ME ( )O ) Do ACM ∽ANE
AC AM
AC AE AM AN
AN AE
Chứng minh tương tự có: AC AE AI AK
Suy ra: AI AK AM AN
Mà AM AN (OA OM OA ON )( )3AR2
;
2
OB OC R R
OI AI OA OI
OC
Do đó:
5
2
AM AN R
AK R
AI R
c) Gọi H giao điểm đường tròn ( )J ngoại tiếp ADE với OA
Chứng minh tương tự (a) ta có:
;
KD KE KM KN KD KE KH KA
KM KN
KH KA KM KN KH
KA
6
KA R (không đổi), OA cố định
K
cố định
KM KN KA
khơng đổi
Do KH khơng đổi mà K cố định H cố định
IH JA (J tâm đường trịn (ADE))
Do tâm J đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE di động đường cố định đường trung trực đoạn thẳng
Bài 215:
a) BCE ECA (CE tia phân giác góc ACB)
(
2s )
ABC ACM đAC
(95)D I
M
C B
A
O
Và MCE ECAACM Do đó: MEC MCE
MEC
cân M MC ME
b) MC MD, tiếp tuyến ( )O MC MD Mà MC ME (câu a)
Do đó: MDME MDE cân M MED MDE
Mà MED BDEABD (MED góc tam giác BDE) MED ADEADM
Mặt khác: ( )
2s ABD ADM đAD
Do ta có: BDE ADE
Nên DE tia phân giác góc ADB
c) I trung điểm dây cung AB AB, không qua O (gt)
OI AB
(định lí đường kính, dây cung)
,
MC MD tiếp tuyến đường tròn ( )O
900
OCM ODM
Ta có: OCM ODM OIM 900
, , C D I
thuộc đường trịn đường kính OM
Năm điểm O I C M D, , , , nằm đường tròn d) Xét đường trịn (OICMD) có: MC MD
MC MD CIM MID IM tia phân giác góc CID Bài 216:
a) OAB có OA2OB2 AB2 (vì R2R2(R 2)2)
OAB
vng O OAOB Chứng minh tương tự có: OAOC
Do đó: B O C, , thẳng hàng BC 2R
b) s 1(s s )
2
ADC AB MC
đ đ đ (góc có đỉnh bên
ngồi đường trịn)
s s
2
ACM AM
đ đ (góc nội tiếp)
( )
AB AC AB AC ;
AM AC MC
Do đó: ADCACM
Xét ADC ACM có A chung, ADC ACM Do ADC ∽ACM
AD AC
AC AM
2
AM AD AC
Do đó: AM AD. (R 2)2 2R2 khơng đổi c) Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MCD
IC ID ICD
cân I
Ta có: BAC 900(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
ABC
(96)F M I
E N
C B
A
O
ABC
cân A
450
ABC
450
CMD ABC (tứ giác AMCB nội tiếp)
Mà 1
2
CMD CID (hệ góc nội tiếp)
2. 900
CID CMD
Do ICD vng cân I
450
ICD
( 45 )0
ICDABC CI AB ,
AB C cố định
Do I di động đường thẳng qua C song song với AB Bài 217:
a) Xét CEM CNE có: RCM (chung), (
2s )
CEM CNE đEM
Do đó: CEM ∽CNE CE CM CM CN. CE2
CN CE
Mặt khác CE CF, tiếp tuyến ( )O (gt)
, CE CF CO
tia phân giác ECF
CEF
cân C có CO đường phân giác Do CO đường cao tam giác CEF
EOC
vng E có EI đường cao nênCI CO CE2 Ta có: CI CO CM CN (CE2)
CI CM
CN CO
Xét CIM CNO có
ICM (chung), CI CM
CN CO
Do CIM ∽CNO
CIM CNO
Tứ giác ONMI nội tiếp
Do O I M N, , , nằm đường trịn b) Ta có: BIM ONM (tứ giác ONMI nội tiếp)
và NIANMO( s đON)
OMN
cân O (vì OM ON R)
ONM NMO
Do đó: BIM NIA
( 180 )0
BIM AIM NIA BIM
Suy ra: AIM BIM
CHƯƠNG IV: HÌNH TRỤ - HÌNH TRỊN – HÌNH CẦU
1 HÌNH TRỤ - DIỆN TÍCH XUNG QUANH VÀ THỂ TÍCH HÌNH TRỤ BÀI TẬP
Bài 218: Một hình trụ có bán kính đáy 3cm, diện tích xung quanh 15cm2 Tính chiều cao hình trụ
Bài 219: Chiều cao hình trụ bán kinh đường trịn đáy Diện tích xung quanh hình trụ
(97)3
4 D
C B
A
F G
12
H
2
E Tính bán kính đường trịn đáy thể tích hình trụ
Bài 220: Diện tích xung quanh hình trụ 24cm2 diện tích tồn phần 42cm2 Tính bán kinh đường trịn đáy chiều cao hình trụ
Bài 221: Hai hình chữ nhật ABCD EFGH có cạnh AB3cm BC, 4cm EF, 12cm FG, 2cm Cho hình thứ quay quanh AB hình thứ hai quay quanh EF Chứng tỏ hai hình trụ tạo thành có diện tích tồn phần thể tích
Hướng dẫn giải Bài 218:
15
2 ; 2, 5( )
2
xq xq
S
S rh h h cm
r
Chiều cao hình trụ 2, 5cm Bài 219:
2 50
, 25 5( )
2
xq xq
S
r h S rh r h r h cm
Bán kính đường trịn đáy 5cm
Thể tích hình trụ là: V r h2 125 (cm3) Bài 220:
2
tp xq
S S Sđ 2Sđ Stp Sxq
2
2r 18
2 9
r
3( ) r cm
Bán kính đường trịn đáy 3cm 24
2 4( )
2
xq xq
S
S rh h cm
r
Chiều cao hình trụ 4cm Bài 221:
Diện tích tồn phần hình trụ thứ nhất:
2
1 2
S Rh R
2 43 2 (4) 56 (cm2) Thể tích:
2
1 48 ( )
V R h cm
Diện tích tồn phần thể tích hình trụ thứ hai:
2
2 2.12 2 56 ( )
S cm
2
2 12 48 ( )
V cm
Ta có: S1 S2( 56 cm2) 2( 48 )
V V cm
2 HÌNH NĨN – HÌNH NĨN CỤT – DIỆN TÍCH XUNG QUANH VÀ THỂ TÍCH CỦA HÌNH NĨN, HÌNH NĨN CỤT
BÀI TẬP Bài 222: Chọn câu trả lời đúng:
Cho tam giác ABC vuông A, ACB 60 ,0 BC a Quay tam giác vòng quanh cạnh AB Tính diện tích xung quanh hình tạo thành
A Sxq a2 C
2
2
xq
(98)r l
O h
C B
A
H C
B
A
B Sxq 2a2 D
2
3
xq
a S
Bài 223: Cho hình nón biết diện tích xung quanh 60cm2, độ dài đường sinh 10cm Tính diện tích tồn phần thể tích
Bài 224: Cho tam giác ABC (vuông A), ACB 30 ,0 BC 2m
Quay tam giác vòng quanh cạnh hyền BC Tính diện tích xung quanh thể tích hình tạo thành Bài 225: Cho tam giác ABC vuông A Gọi V V V1, ,2 3 thể tích hình sinh quay tam giác ABC vòng quanh cạnh BC AB, AC
Chứng minh rằng: 2 2 2
1
1 1
V V V
Hướng dẫn giải Bài 222:
Chọn C Bài 223:
60 6( )
.10
xq xq
S
S rl r cm
l
Diện tích tồn phần:
2
60 96 ( )
tp xq day
S S S cm
Theo định lí Pi-ta-go có:
2 2
r h l
2 2
h l r
2 102 62
h
2 64
h
8( ) h cm
Thể tích hình nón là:
2
1 .6 8 96 ( )
3
V r h cm
Bài 224:
Khi quay tam giác ABC vng A vịng xung quanh cạnh huyền BC ta hai hình nón có
đáy úp vào nhau, bán kính đường trịn đáy chiều cao AH ứng với cạnh BC tam giác
ABC
ABC
vuông A có ACB 300 nên nửa tam giác
3
,
2
BC BC
AB m AC m
AHB
vng H có ABH 600 nên nửa tam giác
3
2
AB m
AH
Diện tích xung quanh hình tạo thành là:
xq
S AH AC AH AB
3
2
m m m m
(3 3)
2 m
(đvdt)
(99)d (m)
2d (m)
2
1 . .
3
V AH CH AH HB
2
3
1
.2
3 2
m m
AB BC m
(đvdt)
Bài 225:
Gọi độ dài cạnh tam giác a b c, , (a - độ dài cạnh huyền) h chiều cao ứng với cạnh huyền
Ta có: a h bc b bc
a
2 2
2
1 2 4
1
1
3
b c a
V AH BC
a V b c
Tương tự: 2 2 4
1
V b c 2
1
V b c
Do đó: 2 2 2 4 2 4 22 42 4 42
2
9( )
1 9 b c 9a
V V b c b c b c b c
Vậy 2 2 2
1
1 1
V V V
3 HÌNH CẦU – DIỆN TÍCH MẶT CẦU VÀ THỂ TÍCH HÌNH CẦU BÀI TẬP
Bài 226: Một hình cầu có diện tích mặt cầu 100cm2 Tính thể tích hình cầu
Bài 227: Một hình cầu tích 228 (dm3) Tính diện tích mặt cầu Bài 228: Hai hình cầu có bán kính tương ứng
a 3a (cm) Tính tỉ số thể tích hai hình cầu
Bài 229: Một hình cầu đường kính d (m) đặt hình trụ có chiều cao 2d (m)
Tính tỉ số cau tru
V V
Hướng dẫn giải Bài 226:
2
4 S R
4R2 100
2 25 5( )
R R cm
Thể tích hình cầu: 500 ( 3)
3
V R cm Bài 227:
3
4 V R
228
3R
R3 216
R 3216
R6(cm)
(100)6dm 10dm
18dm
B A
H O'
O Bài 228:
Thể tích V V1, 2 hai hình cầu
1 3, 2 (3 )3 36
3
V a V a a
Do đó:
3
3
4
1
27 36
a V
V a
Nhận xét: Nếu
R k R
3
2
V k V
Bài 229:
Thể tích hình cầu là: 3( 3)
3
cau
V R d m
Thể tích hình trụ là:
2
2 .2 3( 3)
2
tru
d
V r h d d m
Do đó:
3
cau tru
V
V
ƠN TẬP CHƯƠNG IV
Bài 230:Cho hình nón cụt với hai bán kính đáy 6cm 10cm, đường sinh 16cm a) Tính diện tích xung quanh
b) Tính đường cao thể tích hình nón cụt Bài 231: Chọn câu trả lời đúng:
Một chi tiết máy có dạng hình vẽ sau: Diện tích mặt ngồi chi tiết máy là: A 75 (dm2)
B 90 (dm2) C 60 (dm2) D 150 (dm2)
Bài 232: Từ khúc gỗ hình trụ người ta tiện thành hình nón tích lớn Biết thể tích phần gỗ tiện bỏ 200cm3
a) Tính thể tích khúc gỗ hình trụ
b) Giả sử chiều cao hình trụ 12cm, tính diện tích xung quanh hình nón
Bài 233: Một tam giác cạnh a ngoại tiếp đường tròn ( )O Cho hình xung quanh đường cao tam giác đều, ta hình nón ngoại tiếp hình cầu
Tính thể tích phần hình nón ngồi hình cầu
Bài 234: Cho tam giác ABC có B C BC; a Chiều cao vẽ từ A xuống cạnh BC h Tính thể tích hình tạo thành quay tam giác ABC vòng quanh cạnh BC trường hợp:
a) B 900 b) B 900 c) B 900 Hướng dẫn giải Bài 230:
Giả sử hình thang vng O OAB quay quanh
OO vịng tạo thành hình nón cụt:
•Đáy nhỏ có bán kính r OA6cm
•Đáy lớn có bán kính RO B 10cm
•Đường sinh AB có độ dài l 16cm
•Đường cao h OO
a) Diện tích xung quanh hình nón cụt:
2
( ) (10 6).16 256 ( )
xq
(101)A O'
O
O
H A
B C
b) Vẽ đường cao AH
Ta có tứ giác OAHO hình chữ nhật nên:
6( ) 4( )
O H OA cm HB cm
Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vng AHB, ta có:
2 2 162 42 240
AH AB BH
4 15( )
h AH cm
• Thể tích hình nón cụt:
2
( )
3
V h R r R r
2 784 15
4 15(10 10.6 ( )
3
V cm
Bài 231:
Chọn B Bài 232:
a) Vì hình nón tích lớn nên hình nón phải có bán kính đáy chiều cao với hình trụ
2
1 ,
non tru
V r h V r h
Suy phần gỗ tiện bỏ
3 thể
tích hình trụ
Vậy thể tích khúc gỗ hình trụ là: 200 x3 300 ( 3)
2
tru
V cm
b) Nếu h 12cm thì: 300 r2.12 r 5cm
Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vng OO A , ta có:
2 2 52 122 169
AO OA OO
13( ) O A cm
Vậy ( ) . .5.13 65 ( 2)
xq
S non r l cm Bài 233:
AH đường cao tam giác ABC,
O tâm đường tròn nội tiếp tam giác
ABC
Ta có: 3
2
AB a
AH
3
a OH AH
Thể tích V cần tìm hiệu thể tích V1 hình nón có chiều cao
2 a
, bán kính
2
a và thể tích
2
V
hình cầu
có bán kính
6 a OH
2
3
1 3
3 2 24
a a
V a
2
3
4 3
3 54
a
V a
(102)Hình a)
a
h
B A
A
Hình b)
C
B
A H
Hình c)
h a B
C
A H
Do đó:
1
5 216
V V V a (đvdt) Bài 234:
a) Hình tạo thành hình nón (H.a) Thể tích hình tạo thành:
3 V h a
b) Hình tạo thành hai hình nón có đáy đáy úp vào (H.b) 2,
V V V CH HB a
2
1
1
3
V AH CH h CH
2
2
1 . .
3
V AH HB h HB
Nên
3 V h a
c) Hình tạo thành tích hiệu thể tích hai hình nón (H.c) 2,
V V V CH HB a
2
1
1
3
V HA CH h CH
2
2
1 . .
3
V HA HB h HB
Nên
3 V h a Nhận xét:
Trong ba trường hợp thể tích hình tạo thành
3h a
ÔN TẬP CUỐI NĂM 10 BỘ ĐỀ TOÁN TỰ LUYỆN BỘ ĐỀ
Bài 1:
a) Rút gọn: x2 x1 : ( x 1 1)
b) Tính: (4 13)( 10 6) 4 15 Bài 2: Cho hàm số y x22x 1 x6x9
(103)b) Tìm giá trị nhỏ y giá trị x tương ứng c) Với giá trị x y4?
Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn
2
1
x x
A x
giá trị tương ứng x
Bài 4: Cho tam giác ABC có góc nhọn nội tiếp ( )O , đường cao AE cắt đường tròn F AD, đường kính
a) Chứng minh rằng: BAC DAF có tia phân giác B C F D, , , bốn đỉnh hình thang cân
b) Chứng minh có hai cặp tam giác đồng dạng cho kết AD AE AB AC
c) Gọi H trực tâm AB, chứng tỏ BC trung trực HF DH qua trung điểm I
BC
d) Gọi G tâm ABC Chứng minh ba điểm O G H, , thẳng hàng
e) Gọi K trung điểm OH Chứng minh đường tròn tâm K qua điểm đặc biệt
ABC
chân đường cao, chân ba đường trung tuyến, ba trung điểm HA HB HC, , So sánh bán kính ( )O ( )K
Bài 5:
a) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( ; )O R có góc BAC nhọn Chứng minh rằng: BC 2 sinR BAC
b) Cho hai đường tròn ( )O ( )O cắt A B, Một đường thẳng qua B cắt ( )O ( )O
,
M N Tìm vị trí MN để bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ANM lớn BỘ ĐỀ
Bài 1: Cho phương trình x2(2m3)xm23m 0
a) Chứng minh phương trình ln ln có hai kinh nghiệm m thay đổi b) Định m để phương trình có hai nghiệm:
1,
x x thỏa 1x1x2 6 Bài 2: Giải phương trình hệ phương trình:
a)
2
2
25 11
( 5) x x
x
b) 3
3 x y
x y
Bài 3: Với a0,b ,c chứng minh bất đẳng thức sau: a) ab bc 2b
c a
b) ab bc ca a b c
c a b
c)
3 3 3
2 2
a b b c c a
a b c
ab bc ca
Bài 4: Cho đường tròn ( ; )O R có AB dây cung cố định không qua tâm O C, điểm di động cung lớn AB (C không trùng với A B)
a) Gọi ( )d tiếp tuyến C đường tròn ( ; )O R M N, chân đường vng góc vẽ từ A B đến ( )d Tìm vị trí C cho khoảng cách MN dài nhất, ngắn
b) Gọi AD BE hai đường cao tam giác ABC, G F chân đường vng góc vẽ từ E D đến ( )d , C di động tìm tỉ số GM FN:
c) Tìm tập hợp trực tâm H tam giác ABC C di động
Bài 5: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Gọi H trực tâm tam giác ABC K chân đường cao vẽ từ M tam giác ABC
Chứng minh
(104)Bài 1: Cho ( )P đồ thị hàm số
2
4 x
y điểm A( 2; 1) hệ trục a) Vẽ ( )P Chứng tỏ A( )P
b) Gọi B( )P có hồnh độ Viết phương tình đường thẳng AB
Bài 2: Cho phương trình x2(2m1)xm2m 2 (m tham số) a) Chứng tỏ phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 x2 với m b) Tìm m để 35x1x2 17
Bài 3:
a) Chứng minh x2y2 4 xy2x2y b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức:
2 2 4 5 2 10 4 29
A x y x y x y x y
Bài 4: Gọi O tâm đường tròn nội tiếp, O1 O2 tâm đường tròn bàng tiếp góc A góc B
ABC
Đường tròn ngoại tiếp ABC cắt OO1 OO2 tương ứng M N, Chứng minh MN O O 1 2
Bài 5: Cho đường tròn ( ; )O R dựng đường tròn ( ; )O R cho tâm O nằm đường tròn ( ; )O R Dây
AB ( ; )O R di động tiếp xúc với ( ; )O R C
Xác định vị trí dây AB để AC2BC2 có giá trị lớn BỘ ĐỀ
Bài 1: Khơng dùng bảng số máy tính, so sánh A B biết:
3 5
2 2
A
4 7
3 7
B
Bài 2: Giải phương trình hệ phương trình sau:
a) 2 4
1
x x
x x
b)
2005 2005
2005 2005
x y
x y
Bài 3: (4 điểm)
Cho a b c, , chiều dài ba cạnh tam giác Chứng minh bất đẳng thức sau đây: a) a2b2c2 2(abbcca)
b) (a b c b)( c a c)( a b) abc
Bài 4: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, bên tam giác vẽ hai nửa đường trịn có đường kính AB AC Một đường thẳng d quay quanh A cắt nửa đường tròn M N, (khác A) I K, trung điểm BC MN,
a) Chứng tỏ BCNM hình thang vng, IK đường trung trực MN b) Chứng tỏ MA2NA2MB2NC2 không đổi
c) Giả sử A 900, xác định điểm M N, cho chu vi tứ giác BCNM lớn d) Giả sử A 900, xác định điểm M N, cho chu vi tứ giác BCNM lớn
Bài 5: Cho tam giác ABC vng A có đường cao AH Gọi I J K, , tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC ABH, AHC Chứng tỏ AI vng góc với JK
BỘ ĐỀ
(105)b)
7
x y
x y
Bài 2:
a) Cho xy1 x y Chứng minh
2
2
x y
x y
b) Cho a b c, , độ dài ba cạnh tam giác thỏa: a b c Chứng minh: a2 b2c22abc2
Bài 3: Với x y, số dương thỏa mãn: xy (1x2)(1y2) 2000 Tính giá trị biểu thức: S x 1y2 y 1x2
Bài 4: Từ điểm A ngồi đường trịn ( )O vẽ cát tuyến ABC, tiếp tuyến ( )O B C, cắt
M H hình chiếu M OA
a) Chứng minh B H O C, , , thuộc đường tròn b) Chứng minh M thuộc đường cố định
Bài 5: Cho đường trịn cố định tâm O, bán kính Tam giác ABC thay đổi ngoại tiếp đường tròn ( )O Một đường thẳng qua tâm O cắt đoạn AB AC, M N,
Xác định giá trị nhỏ diện tích tam giác AMN BỘ ĐỀ 6:
Bài 1:
a) Tính: 2( 2 )( 31) b) Giải phương trình: x 1 2x4 c) Tìm TXĐ rút gọn:
2
( )
x y y x x y xy
A
xy x y
Bài 2: Cho b c, hai số thỏa 1
2 b c
Chứng minh hai phương trình sau có nghiệm:
2 0
x bx c x2 cx b Bài 3: Giải hệ phương trình:
2
5
3
x y z
x y z
x y z
(106)