Cho töù giaùc ABCD coù M laø trung ñieåm CD, N laø trung ñieåm CB. Bieát AM, AN caét BD thaønh ba ñoaïn baèng nhau.. Goïi M laø trung ñieåm cuûa BC. Goïi E laø moät ñieåm baát kyø thuoä[r]
(1) SƯU TẦM
16 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG
HỌC SINH GIỎI LỚP 8
(2)16 CHUYÊN ĐỀ
B
Ồ
I D
ƯỠ
NG
(3)CHUYÊN ĐỀ : ĐA THỨC
B CÁC PHƯƠNG PHÁP VÀ BÀI TẬP:
I TÁCH MỘT HẠNG TỬ THÀNH NHIỀU HẠNG TỬ: * Định lí bổ sung:
+ Đa thức f(x) có nghiệm hữu tỉ có dạng p/q p ước hệ số tự do, q ước dương hệ số cao
+ Nếu f(x) có tổng hệ số f(x) có nhân tử x –
+ Nếu f(x) có tổng hệ số hạng tử bậc chẵn tổng hệ số hạng tử
bậc lẻ f(x) có nhân tử x +
+ Nếu a nghiệm nguyên f(x) f(1); f(- 1) khác f(1)
a - f(-1)
a + số
nguyên Để nhanh chóng loại trừ nghiệm ước hệ số tự 1 Ví dụ 1: 3x2 – 8x +
Cách 1: Tách hạng tử thứ
3x2 – 8x + = 3x2 – 6x – 2x + = 3x(x – 2) – 2(x – 2) = (x – 2)(3x – 2) Cách 2: Tách hạng tử thứ nhất:
3x2 – 8x + = (4x2 – 8x + 4) - x2 = (2x – 2)2 – x2 = (2x – + x)(2x – – x) = (x – 2)(3x – 2)
2 Ví dụ 2: x3 – x2 -
Ta nhân thấy nghiệm f(x) có x = 1; 2; 4, có f(2) = nên x = nghiệm f(x) nên f(x) có nhân tử x – Do ta tách f(x) thành nhóm có xuất nhân tử x –
Cách 1: x3 - x2 – =
x32x2
x2 2x
2x 4
x x 22
x(x 2) 2(x 2) =
x x
2 x 2
Cách 2: x3x2 4 x3 8 x2 4
x3 8
x24
(x 2)(x 2x 4) (x 2)(x 2)
=
x 2
x22x 4
(x 2) (x 2)(x 2 x 2)
3 Ví dụ 3: f(x) = 3x3 – 7x2 + 17x –
Nhận xét: 1, không nghiệm f(x), f(x) khơng có nghiệm ngun Nên f(x) có nghiệm nghiệm hữu tỉ
Ta nhận thấy x =
3 nghiệm f(x) f(x) có nhân tử 3x – Nên
f(x) = 3x3 – 7x2 + 17x – = 3x3x26x22x 15x 5
3x3x2
6x22x
15x 5
= x (3x 1) 2x(3x 1) 5(3x 1) (3x 1)(x2 2x 5)
Vì x2 2x (x 2x 1) (x 1) 4 0 với mọi x nên khơng phân tích được thành nhân tử
4 Ví dụ 4: x3 + 5x2 + 8x +
Nhận xét: Tổng hệ số hạng tử bậc chẵn tổng hệ số hạng tử
bậc lẻ nên đa thức có nhân tử x +
(4)= (x + 1)(x2 + 4x + 4) = (x + 1)(x + 2)2
5 Ví dụ 5: f(x) = x5 – 2x4 + 3x3 – 4x2 +
Tổng hệ số nên đa thức có nhân tử x – 1, chia f(x) cho (x – 1) ta có: x5 – 2x4 + 3x3 – 4x2 + = (x – 1)(x4 - x3 + 2x2 - 2x - 2)
Vì x4 - x3 + 2x2 - 2x - khơng có nghiệm ngun khơng có nghiệm hữu tỉ nên khơng phân tích
6.Ví dụ 6: x4 + 1997x2 + 1996x + 1997 = (x4 + x2 + 1) + (1996x2 + 1996x + 1996) = (x2 + x + 1)(x2 - x + 1) + 1996(x2 + x + 1)= (x2 + x + 1)(x2 - x + + 1996) = (x2 + x + 1)(x2 - x + 1997)
7 Ví dụ 7: x2 - x - 2001.2002 = x2 - x - 2001.(2001 + 1)
= x2 - x – 20012 - 2001 = (x2 – 20012) – (x + 2001) = (x + 2001)(x – 2002)
II THÊM , BỚT CÙNG MỘT HẠNG TỬ:
1 Thêm, bớt số hạng tửđể xuất hiệu hai bình phương: a) Ví dụ 1: 4x4 + 81 = 4x4 + 36x2 + 81 - 36x2 = (2x2 + 9)2 – 36x2
= (2x2 + 9)2 – (6x)2 = (2x2 + + 6x)(2x2 + – 6x) = (2x2 + 6x + )(2x2 – 6x + 9)
b) Ví dụ 2: x8 + 98x4 + = (x8 + 2x4 + ) + 96x4 = (x4 + 1)2 + 16x2(x4 + 1) + 64x4 - 16x2(x4 + 1) + 32x4
= (x4 + + 8x2)2 – 16x2(x4 + – 2x2) = (x4 + 8x2 + 1)2 - 16x2(x2 – 1)2 = (x4 + 8x2 + 1)2 - (4x3 – 4x )2
= (x4 + 4x3 + 8x2 – 4x + 1)(x4 - 4x3 + 8x2 + 4x + 1)
2 Thêm, bớt số hạng tửđể xuất nhân tử chung
a) Ví dụ 1: x7 + x2 + = (x7 – x) + (x2 + x + ) = x(x6 – 1) + (x2 + x + ) = x(x3 - 1)(x3 + 1) + (x2 + x + ) = x(x – 1)(x2 + x + ) (x3 + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)[x(x – 1)(x3 + 1) + 1] = (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x2 - x + 1)
b) Ví dụ 2: x7 + x5 + = (x7 – x ) + (x5 – x2 ) + (x2 + x + 1) = x(x3 – 1)(x3 + 1) + x2(x3 – 1) + (x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)(x – 1)(x4 + x) + x2 (x – 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)[(x5 – x4 + x2 – x) + (x3 – x2 ) + 1] = (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x3 – x + 1)
* Ghi nhớ:
Các đa thức có dạng x3m + + x3n + + như: x7 + x2 + ; x7 + x5 + ; x8 + x4 + ; x5 + x + ; x8 + x + ; … có nhân tử chung x2 + x +
III.ĐẶT BIẾN PHỤ:
1 Ví dụ 1: x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = [x(x + 10)][(x + 4)(x + 6)] + 128 = (x2 + 10x) + (x2 + 10x + 24) + 128
Đặt x2 + 10x + 12 = y, đa thức có dạng
(y – 12)(y + 12) + 128 = y2 – 144 + 128 = y2 – 16 = (y + 4)(y – 4) = ( x2 + 10x + )(x2 + 10x + 16 ) = (x + 2)(x + 8)( x2 + 10x + )
2 Ví dụ 2: A = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + Giả sử x ta viết
x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + = x2 ( x2 + 6x + – + 12
x x ) = x
2 [(x2 +
2
1
x ) + 6(x -
(5)A = x2(y2 + + 6y + 7) = x2(y + 3)2 = (xy + 3x)2 = [x(x - x )
2 + 3x]2 = (x2 + 3x – 1)2
* Chú ý: Ví dụ giải cách áp dụng đẳng thức sau: A = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + = x4 + (6x3 – 2x2 ) + (9x2 – 6x + )
= x4 + 2x2(3x – 1) + (3x – 1)2 = (x2 + 3x – 1)2
3 Ví dụ 3: A = (x2 y2 z )(x y z)2 2(xy yz+zx)
=
(x
2
y
2
z ) 2(xy yz+zx) (x
2
y
2
z ) (xy yz+zx)
2
Đặt x2y2 z2 = a, xy + yz + zx = b ta cóA = a(a + 2b) + b2 = a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 = ( 2
x y z + xy + yz + zx)2 4 Ví dụ 4: B = 2( 4 4) ( 2 2) 2( 2 2)( )2 ( )4 x y z x y z x y z x y z x y z Đặt x4 + y4 + z4 = a, x2 + y2 + z2 = b, x + y + z = c ta có:
B = 2a – b2 – 2bc2 + c4 = 2a – 2b2 + b2 - 2bc2 + c4 = 2(a – b2) + (b –c2)2 Ta lại có: a – b2 = - 2( 2 2 2
x y y z z x ) b –c2 = - 2(xy + yz + zx) Do đó:
B = - 4(x y2 2y z2 z x2 2) + (xy + yz + zx)2
2 2 2 2 2 2 2 2
4x y 4y z 4z x 4x y 4y z 4z x 8x yz 8xy z 8xyz 8xyz(x y z)
5 Ví dụ 5: (a b c) 4(a3b3 c ) 12abc3 Đặt a + b = m, a – b = n 4ab = m2 – n2
a3 + b3 = (a + b)[(a – b)2 + ab] = m(n2 + m - n2
4 ) Ta có: C = (m + c)3 – m + 3mn3 4c3 3c(m - n )2
4 = 3( - c
3 +mc2 – mn2 + cn2)
= 3[c2(m - c) - n2(m - c)] = 3(m - c)(c - n)(c + n) = 3(a + b - c)(c + a - b)(c - a + b)
IV PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH: 1 Ví dụ 1: x4 - 6x3 + 12x2 - 14x +
Nhận xét: số 1, 3 không nghiệm đa thức, đa thức khơng có nghiệm ngun củng khơng có nghiệm hữu tỉ
Như đa thức phân tích thành nhân tử phải có dạng
(x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd
đồng đa thức với đa thức cho ta có:
a c
ac b d 12
ad bc 14
bd
Xét bd = với b, d Z, b
1, 3
với b = d = hệ điều kiện trở thànha c
ac 2c c
a 3c 14 ac a
bd
(6)2 Ví dụ 2: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x +
Nhận xét: đa thức có nghiệm x = nên có thừa số x - ta có: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + = (x - 2)(2x3 + ax2 + bx + c)
= 2x4 + (a - 4)x3 + (b - 2a)x2 + (c - 2b)x - 2c
a
a b 2a
b
c 2b
c
2c
Suy ra: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + = (x - 2)(2x3 + x2 - 5x - 4)
Ta lại có 2x3 + x2 - 5x - đa thức có tổng hệ số hạng tử bậc lẻ bậc chẵn nên có nhân tử x + nên 2x3 + x2 - 5x - = (x + 1)(2x2 - x - 4) Vậy: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + = (x - 2)(x + 1)(2x2 - x - 4)
3 Ví dụ 3:
12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - = (a x + by + 3)(cx + dy - 1)
= acx2 + (3c - a)x + bdy2 + (3d - b)y + (bc + ad)xy –
ac 12
a bc ad 10
c 3c a
b
bd 12
d 3d b 12
12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - = (4 x - 6y + 3)(3x + 2y - 1)
BÀI TẬP:
Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 1) x3 - 7x +
2) x3 - 9x2 + 6x + 16 3) x3 - 6x2 - x + 30 4) 2x3 - x2 + 5x + 5) 27x3 - 27x2 + 18x - 6) x2 + 2xy + y2 - x - y - 12
7) (x + 2)(x +3)(x + 4)(x + 5) - 24 8) 4x4 - 32x2 +
9) 3(x4 + x2 + 1) - (x2 + x + 1)2
10) 64x4 + y4
11) a6 + a4 + a2b2 + b4 - b6 12) x3 + 3xy + y3 -
13) 4x4 + 4x3 + 5x2 + 2x + 14)
x
8+ x + 1
15) x
8+ 3x
4+ 4
16) 3x
2+ 22xy + 11x + 37y + 7y
2+10
(7)CHUYÊN ĐỀ - LUỸ THỪA BẬC N CỦA MỘT NHỊ THỨC
B KIẾN THỨC VÀ BÀI TẬP VẬN DỤNG:
I Một số đẳng thức tổng quát:
1 an - bn = (a - b)(an - + an - b + an - b2 + … + abn - + bn - ) an + bn = (a + b) ( an - - an - 2b + an - 3b2 - … - abn - + bn - ) Nhị thức Niutơn: (a + b)n = an +
n
C an - b + n
C an - b2 + …+ n n
C ab n - 1 + bn
Trong đó: k n
n(n - 1)(n - 2) [n - (k - 1)] C
1.2.3 k
: Tổ hợp chập k n phần tử
II Cách xác định hệ số khai triển Niutơn: Cách 1: Dùng công thức C k
n
n(n - 1)(n - 2) [n - (k - 1)] k !
Chẳng hạn hệ số hạng tử a4b3 khai triển (a + b)7
7.6.5.4 7.6.5.4
C 35
4!
4.3.2.1
Chú ý: a) C nk n !
n!(n - k) ! với quy ước 0! =
4
7! 7.6.5.4.3.2.1
C 35
4!.3! 4.3.2.1.3.2.1
b) Ta có: k n
C = k - n
C nên
7
7.6.5
C C 35
3!
2 Cách 2: Dùng tam giác Patxcan
Đỉnh 1
Dòng 1(n = 1) 1 1
Dòng 2(n = 1) 1 2 1
Dòng 3(n = 3) 1 3 3 1
Dòng 4(n = 4) 1 4 6 4 1
Dòng 5(n = 5) 1 5 10 10 5 1
Dòng 6(n = 6) 1 6 15 20 15 6 1
Trong tam giác này, hai cạnh bên gồm số 1; dòng k + thành lập từ dòng k (k 1), chẳng hạn dòng (n = 2) ta có = + 1, dịng (n = 3): = + 1, = + dòng (n = 4): = + 3, = + 3, = + 1, …
Với n = thì: (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
Với n = thì: (a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5
Với n = thì: (a + b)6 = a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2 b4 + 6ab5 + b6
3 Cách 3:
Tìm hệ số hạng tử đứng sau theo hệ số hạng tửđứng trước: a) Hệ số hạng tử thứ
b) Muốn có hệ số của hạng tử thứ k + 1, ta lấy hệ số hạng tử thứ k nhân với số
mũ biến hạng tử thứ k chia cho k Chẳng hạn: (a + b)4 = a4 + 1.4
1 a
3b + 4.3
2 a
2b2 + 4.3.2
2.3 ab
3 + 4.3.2
2.3.4 b
5
Chú ý rằng: hệ số khai triển Niutơn có tính đối xứng qua hạng tử đứng giữa, nghĩa hạng tử cách hai hạng tửđầu cuối có hệ số
(a + b)n = an + nan -1b + n(n - 1) 1.2 a
n - 2b2 + …+ n(n - 1)
1.2 a
(8)III Ví dụ:
1 Ví dụ 1: phân tích đa thức sau thành nhân tử
a) A = (x + y)5 - x5 - y5
Cách 1: khai triển (x + y)5 rút gọn A
A = (x + y)5 - x5 - y5 = ( x5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 + y5) - x5 - y5 = 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 = 5xy(x3 + 2x2y + 2xy2 + y3)
= 5xy [(x + y)(x2 - xy + y2) + 2xy(x + y)] = 5xy(x + y)(x2 + xy + y2) Cách 2: A = (x + y)5 - (x5 + y5)
x5 + y5 chia hết cho x + y nên chia x5 + y5 cho x + y ta có:
x5 + y5 = (x + y)(x4 - x3y + x2y2 - xy3 + y4) nên A có nhân tử chung (x + y), đặt (x + y) làm nhân tử chung, ta tìm nhân tử cịn lại
b) B = (x + y)7 - x7 - y7 = (x7+7x6y +21x5y2 + 35x4y3 +35x3y4 +21x2y5 7xy6 + y7) - x7 - y7 = 7x6y + 21x5y2 + 35x4y3 + 35x3y4 + 21x2y5 + 7xy6
= 7xy[(x5 + y5 ) + 3(x4y + xy4) + 5(x3y2 + x2y3 )]
= 7xy {[(x + y)(x4 - x3y + x2y2 - xy3 + y4) ] + 3xy(x + y)(x2 - xy + y2) + 5x2y2(x + y)} = 7xy(x + y)[x4 - x3y + x2y2 - xy3 + y4 + 3xy(x2 + xy + y2) + 5x2y2 ]
= 7xy(x + y)[x4 - x3y + x2y2 - xy3 + y4 + 3x3y - 3x2y2 + 3xy3 + 5x2y2 ]
= 7xy(x + y)[(x4 + 2x2y2 + y4) + 2xy (x2 + y2) + x2y2 ] = 7xy(x + y)(x2 + xy + y2 )2
Ví dụ 2:Tìm tổng hệ số đa thức có sau khai triển a) (4x - 3)4
Cách 1: Theo cơnh thức Niu tơn ta có:
(4x - 3)4 = 4.(4x)3.3 + 6.(4x)2.32 - 4x 33 + 34 = 256x4 - 768x3 + 864x2 - 432x + 81 Tổng hệ số: 256 - 768 + 864 - 432 + 81 =
b) Cách 2: Xét đẳng thức (4x - 3)4 = c0x4 + c1x3 + c2x2 + c3x + c4 Tổng hệ số: c0 + c1 + c2 + c3 + c4
Thay x = vào đẳng thức ta có: (4.1 - 3)4 = c0 + c1 + c2 + c3 + c4 Vậy: c0 + c1 + c2 + c3 + c4 =
* Ghi chú: Tổng hệ số khai triển nhị thức, đa thức giá trị đa thức x =
C BÀI TẬP:
Bài 1: Phân tích thành nhân tử
a) (a + b)3 - a3 - b3 b) (x + y)4 + x4 + y4
(9)CHUYÊN ĐỀ - CÁC BÀI TOÁN VỀ SỰ CHIA HẾT CỦA SỐ
NGUYÊN
B.KIẾN THỨC VÀ CÁC BÀI TOÁN: I Dạng 1: Chứng minh quan hệ chia hết 1 Kiến thức:
*Để chứng minh A(n) chia hết cho số m ta phân tích A(n) thành nhân tử có nhân tử làm bội m, m hợp số ta lại phân tích thành nhân tử có
đoi nguyên tố nhau, chứng minh A(n) chia hết cho sốđó * Chú ý:
+ Với k số nguyên liên tiếp củng tồn bội k
+ Khi chứng minh A(n) chia hết cho m ta xét trường hợp số dư chia A(n) cho m
+ Với số nguyên a, b số tự nhiên n thì:
2 Bài tập: 2 Các toán
Bài 1: chứng minh
a) 251 - chia hết cho b) 270 + 370 chia hết cho 13
c) 1719 + 1917 chi hết cho 18 d) 3663 - chia hết cho không chia hết cho 37
e) 24n -1 chia hết cho 15 với n N Giải
a) 251 - = (23)17 - 23 - =
b) 270 + 370 (22)35 + (32)35 = 435 + 935 + = 13 c) 1719 + 1917 = (1719 + 1) + (1917 - 1)
1719 + 17 + = 18 1917 - 19 - = 18 nên (1719 + 1) + (1917 - 1)
hay 1719 + 1917 18
d) 3663 - 36 - = 35
3663 - = (3663 + 1) - chi cho 37 dư - e) 4n - = (24) n - 24 - = 15
Bài 2: chứng minh
a) n5 - n chia hết cho 30 với n N ;
b) n4 -10n2 + chia hết cho 384 với n lẻ n Z c) 10n +18n -28 chia hết cho 27 với n N ;
Giải:
a) n5 - n = n(n4 - 1) = n(n - 1)(n + 1)(n2 + 1) = (n - 1).n.(n + 1)(n2 + 1) chia hết cho (n - 1).n.(n+1) tích ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho (*)
Mặt khác n5 - n = n(n2 - 1)(n2 + 1) = n(n2 - 1).(n2 - + 5) = n(n2 - 1).(n2 - ) + 5n(n2 - 1) = (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) + 5n(n2 - 1)
Vì (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) tích số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho +) an - bn chia hết cho a - b (a - b)
+) a2n + + b2n + chia hết cho a + b + (a + b)n = B(a) + bn
(10)5n(n2 - 1) chia hết cho
Suy (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) + 5n(n2 - 1) chia hết cho (**) Từ (*) (**) suy đpcm
b)Đặt A = n4 -10n2 + = (n4-n2 ) - (9n2 - 9) = (n2 - 1)(n2 - 9) = (n - 3)(n - 1)(n + 1)(n + 3) Vì n lẻ nên đặt n = 2k + (k Z)
A = (2k - 2).2k.(2k + 2)(2k + 4) = 16(k - 1).k.(k + 1).(k + 2) A chia hết cho 16 (1) Và (k - 1).k.(k + 1).(k + 2) tích số ngun liên tiếp nên A có chứa bội 2, 3, nên A bội 24 hay A chia hết cho 24 (2)
Từ (1) (2) suy A chia hết cho 16 24 = 384 c) 10 n +18n -28 = ( 10 n - 9n - 1) + (27n - 27) + Ta có: 27n - 27 27 (1)
+ 10 n - 9n - = [(
n
9 + 1) - 9n - 1] = n
9 - 9n = 9( n
1 - n) 27 (2)
vì
n
1 - n n
1 - n số có tổng chữ số chia hết cho
Từ (1) (2) suy đpcm
3 Bài 3: Chứng minh với số nguyên a a) a3 - a chia hết cho
b) a7 - a chia hết cho Giải
a) a3 - a = a(a2 - 1) = (a - 1) a (a + 1) tích ba số nguyên liên tiếp nên tồn số
là bội nên (a - 1) a (a + 1) chia hết cho
b) ) a7 - a = a(a6 - 1) = a(a2 - 1)(a2 + a + 1)(a2 - a + 1) Nếu a = 7k (k Z) a chia hết cho
Nếu a = 7k + (k Z) a2 - = 49k2 + 14k chia hết cho
Nếu a = 7k + (k Z) a2 + a + = 49k2 + 35k + chia hết cho Nếu a = 7k + (k Z) a2 - a + = 49k2 + 35k + chia hết cho Trong trường hợp củng có thừa số chia hết cho
Vậy: a7 - a chia hết cho
Bài 4: Chứng minh A = 13 + 23 + 33 + + 1003 chia hết cho B = + + + + 100 Giải
Ta có: B = (1 + 100) + (2 + 99) + + (50 + 51) = 101 50
Để chứng minh A chia hết cho B ta chứng minh A chia hết cho 50 101 Ta có: A = (13 + 1003) + (23 + 993) + +(503 + 513)
= (1 + 100)(12 + 100 + 1002) + (2 + 99)(22 + 99 + 992) + + (50 + 51)(502 + 50 51 + 512) = 101(12 + 100 + 1002 + 22 + 99 + 992 + + 502 + 50 51 + 512) chia hết cho 101 (1)
Lại có: A = (13 + 993) + (23 + 983) + + (503 + 1003)
Mỗi số hạng ngoặc chia hết cho 50 nên A chia hết cho 50 (2) Từ (1) (2) suy A chia hết cho 101 50 nên A chi hết cho B
Bài tập nhà
(11)d) Nếu a + b + c chia hết cho a3 + b3 + c3 chia hết cho e) 20092010 không chia hết cho 2010
f) n2 + 7n + 22 không chia hết cho
Dạng 2: Tìm số dư phép chia Bài 1:
Tìm số dư chia 2100
a)cho 9, b) cho 25, c) cho 125
Giải
a) Luỹ thừa sát với bội 23 = = -
Ta có : 2100 = (23)33 = 2.(9 - 1)33 = 2.[B(9) - 1] = B(9) - = B(9) + Vậy: 2100 chia cho dư
b) Tương tự ta có: 2100 = (210)10 = 102410 = [B(25) - 1]10 = B(25) + Vậy: 2100 chia chop 25 dư
c)Sử dụng cơng thức Niutơn:
2100 = (5 - 1)50 = (550 - 549 + … + 50.49
2 - 50 ) +
Không kể phần hệ số khai triển Niutơn 48 số hạng đầu chứa thừa số với số mũ
lớn nên chia hết cho 53 = 125, hai số hạng tiếp theo: 50.49
2 - 50.5 chia hết cho 125 , số hạng cuối
Vậy: 2100 = B(125) + nên chia cho 125 dư
Bài 2:
Viết số 19951995 thành tổng số tự nhiên Tổng lập phương chia cho dư
bao nhiêu? Giải
Đặt 19951995 = a = a1 + a2 + …+ an
Gọi 3 3
1 n
S a a + a + + a = 3 3
1 n
a a + a + + a + a - a = (a1 - a1) + (a2 - a2) + …+ (an - an) + a
Mỗi dấu ngoặc chia hết cho dấu ngoặc tích ba số tự nhiên liên tiếp Chỉ
cần tìm số dư chia a cho
1995 số lẻ chia hết cho 3, nên a củng số lẻ chia hết cho 3, chia cho dư
Bài 3: Tìm ba chữ số tận 2100 viết hệ thập phân giải
Tìm chữ số tận tìm số dư phép chia 2100 cho 1000 Trước hết ta tìm số dư phép chia 2100 cho 125
Vận dụng ta có 2100 = B(125) + mà 2100 số chẵn nên chữ số tận
có thể 126, 376, 626 876
Hiển nhiên 2100 chia hết cho 2100 = 1625 chi hết ba chữ số tận chia hết cho
trong số 126, 376, 626 876 có 376 chia hết cho Vậy: 2100 viết hệ thập phân có ba chữ số tận 376
Tổng quát: Nếu n số chẵn không chia hết cho chữ số tận 376
Bài 4: Tìm số dư phép chia số sau cho
(12)c) 19921993 + 19941995 d) 21930
3 Giải
a) ta có: 2222 + 5555 = (21 + 1)22 + (56 – 1)55 = (BS +1)22 + (BS – 1)55 = BS + + BS - = BS nên 2222 + 5555 chia dư
b) Luỹ thừa sát với bội 33 = BS – Ta thấy 1993 = BS + = 6k + 1, đó:
31993= 6k + = 3.(33)2k = 3(BS – 1)2k = 3(BS + 1) = BS + c) Ta thấy 1995 chia hết cho 7, đó:
19921993 + 19941995 = (BS – 3)1993 + (BS – 1)1995 = BS – 31993 + BS – Theo câu b ta có 31993 = BS + nên
19921993 + 19941995 = BS – (BS + 3) – = BS – nên chia cho dư d) 21930
3 = 32860 = 33k + = 3.33k = 3(BS – 1) = BS – nên chia cho dư
Bài tập nhà
Tìm số d khi: a) 21994 cho
b) 31998 + 51998 cho 13
c) A = 13 + 23 + 33 + + 993 chia cho B = + + + + 99
Dạng 3: Tìm điều kiện để xảy quan hệ chia hết
Bài 1: Tìm n Z để giá trị biểu thức A = n3 + 2n2 - 3n + chia hết cho giá trị biểu thức B = n2 - n
Giải
Chia A cho B ta có: n3 + 2n2 - 3n + = (n + 3)(n2 - n) +
Để A chia hết cho B phải chia hết cho n2 - n = n(n - 1) chia hết cho n, ta có:
n - -
n - - -
n(n - 1) 2
loại loại
Vậy: Để giá trị biểu thức A = n3 + 2n2 - 3n + chia hết cho giá trị biểu thức B = n2 - n n
1;2
Bài 2:
a) Tìm n N để n5 + chia hết cho n3 + b) Giải toán n Z
Giải
Ta có: n5 + n3 + n2(n3 + 1) - (n2 - 1) n3 + (n + 1)(n - 1) n3 +
(n + 1)(n - 1) (n + 1)(n2 - n + 1) n - n2 - n + (Vì n + 0) a) Nếu n =
Nếu n > n - < n(n - 1) + < n2 - n + nên xẩy n - n2 - n +
Vậy giá trụ n tìm n =
b) n - n2 - n + n(n - 1) n2 - n + (n2 - n + ) - n2 - n +
(13)+ n2 - n + = -1 n2 - n + = (Vô nghiệm)
Bài 3: Tìm số nguyên n cho:
a) n2 + 2n - 11 b) 2n3 + n2 + 7n + 2n -
c) n4 - 2n3 + 2n2 - 2n + n4 - d) n3 - n2 + 2n + n2 + Giải
a) Tách n2 + 2n - thành tổng hai hạng tử có hạng tử B(11) n2 + 2n - 11 (n2 - 2n - 15) + 11 11 (n - 3)(n + 5) + 11 11
(n - 3)(n + 5) 11 n 11 n = B(11) +
n + 11 n = B(11) -
b) 2n3 + n2 + 7n + = (n2 + n + 4) (2n - 1) +
Để 2n3 + n2 + 7n + 2n - 2n - hay 2n - Ư(5)
2n = - n = - 2n = -1 n = 2n = n = 2n = n =
Vậy: n
2; 0; 1;
2n3 + n2 + 7n + 2n - c) n4 - 2n3 + 2n2 - 2n + n4 -Đặt A = n4 - 2n3 + 2n2 - 2n + = (n4 - n3) - (n3 - n2) + (n2 - n) - (n - 1)
= n3(n - 1) - n2(n - 1) + n(n - 1) - (n - 1) = (n - 1) (n3 - n2 + n - 1) = (n - 1)2(n2 + 1) B = n4 - = (n - 1)(n + 1)(n2 + 1)
A chia hết cho b nên n A chia hết cho B n - n + (n + 1) - n +
n +
n = -3 n = -
n = - n = -
n = n =
n = n = (khong Tm)
Vậy: n
3; 2;
n4 - 2n3 + 2n2 - 2n + n4 -d) Chia n3 - n2 + 2n + cho n2 + thương n - 1, dư n +
Để n3 - n2 + 2n + n2 + n + n2 + (n + 8)(n - 8) n2 + 65 n2 +
Lần lượt cho n2 + 1; 5; 13; 65 ta n 0; 2; 8 Thử lại ta có n = 0; n = 2; n = (T/m)
Vậy: n3 - n2 + 2n + n2 + n = 0, n = Bài tập nhà:
Tìm số nguyên n để: a) n3 – chia hết cho n –
b) n3 – 3n2 – 3n – chia hết cho n2 + n + c)5n – 2n chia hết cho 63
Dạng 4: Tồn hay không tồn chia hết Bài 1: Tìm n N cho 2n – chia hết cho Giải
Nếu n = 3k ( k N) 2n – = 23k – = 8k - chia hết cho
(14)Bài 2: Tìm n N để: a) 3n – chia hết cho
b) A = 32n + + 24n + chia hết cho 25 c) 5n – 2n chia hết cho
Giải
a) Khi n = 2k (k N) 3n – = 32k – = 9k – chia hết cho – = Khi n = 2k + (k N) 3n – = 32k + – = (9k – ) + = BS + Vậy : 3n – chia hết cho n = 2k (k N)
b) A = 32n + + 24n + = 27 32n + 2.24n = (25 + 2) 32n + 2.24n = 25 32n + 2.32n + 2.24n = BS 25 + 2(9n + 16n)
Nếu n = 2k +1(k N) 9n + 16n = 92k + + 162k + chia hết cho + 16 = 25
Nếu n = 2k (k N) 9n có chữ số tận , cịn 16n có chữ số tận suy 2((9n + 16n) có chữ số tận nên A không chia hết không chia hết cho 25
c) Nếu n = 3k (k N) 5n – 2n = 53k – 23k chia hết cho 53 – 23 = 117 nên chia hết cho Nếu n = 3k + 5n – 2n = 5.53k – 2.23k = 5(53k – 23k) + 23k = BS + 8k
= BS + 3(BS – 1)k = BS + BS +
(15)CHUYÊN ĐỀ – TÍNH CHIA HẾT ĐỐI VỚI ĐA THỨC
A Dạng 1: Tìm dư phép chia mà khơng thực phép chia
1 Đa thức chia có dạng x – a (a hằng) a) Định lí Bơdu (Bezout, 1730 – 1783):
Số dư phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x – a giá trị f(x) x = a Ta có: f(x) = (x – a) Q(x) + r
Đẳng thức với x nên với x = a, ta có f(a) = 0.Q(a) + r hay f(a) = r
Ta suy ra: f(x) chia heát cho x – a f(a) =
b) f(x) có tổng hệ số chia hết cho x –
c) f(x) có tổng hệ số hạng tử bậc chẵn tổng hệ số hạng tử bậc lẻ chia hết cho x +
Ví dụ : Không làm phép chia, xét xem A = x3 – 9x2 + 6x + 16 chia heát cho
B = x + 1, C = x – không Kết quả:
A chia hết cho B, khơng chia hết cho C Đa thức chia có bậc hai trở lên
Cách 1: Tách đa thức bị chia thành tổng đa thức chia hết cho đa thức chia dư Cách 2: Xét giá trị riêng: gọi thương phép chia Q(x), dư ax + b
f(x) = g(x) Q(x) + ax + b
Ví dụ 1: Tìm dư phép chia x7 + x5 + x3 + cho x2 –
Cách 1: Ta biết x2n – chia hết cho x2 – nên ta tách:
x7 + x5 + x3 + = (x7 – x) + (x5 – x) +(x3 – x) + 3x +
= x(x6 – 1) + x(x4 – 1) + x(x2 – 1) + 3x + chia cho x2 – dö 3x +
Caùch 2:
Gọi thương phép chia Q(x), dư ax + b, Ta có: x7 + x5 + x3 + = (x -1)(x + 1).Q(x) + ax + b với x
Đẳng thức với x nên với x = 1, ta có = a + b (1) với x = - ta có - = - a + b (2)
Từ (1) (2) suy a = 3, b =1 nên ta dư 3x + Ghi nhớ:
an – bn chia heát cho a – b (a -b)
an + bn ( n lẻ) chia hết cho a + b (a -b)
Ví dụ 2: Tìm dư phép chia a) x41 chia cho x2 + 1
b) x27 + x9 + x3 + x cho x2 – 1
c) x99 + x55 + x11 + x + cho x2 + 1
(16)HƯ sè cđa ®a thøc chia HƯ sè thø cđa ®a thøc bị chia +
Hệ số thứ 1đa thức bị chia a
a) x41 = x41 – x + x = x(x40 – 1) + x = x[(x4)10 – 1] + x chia cho x4
– dư x nên chia cho
x2 + dư x
b) x27 + x9 + x3 + x = (x27 – x) + (x9– x) + (x3 – x) + 4x
= x(x26 – 1) + x(x8 – 1) + x(x2 – 1) + 4x chia cho x2 – dö 4x
c) x99 + x55 + x11 + x + = x(x98 + 1) + x(x54 + 1) + x(x10 + 1) – 2x + 7
chia cho x2 + dö – 2x +
B Sơ đồ HORNƠ
1 Sơ đồ
Để tìm kết phép chia f(x) cho x – a (a số), ta sử dụng sơ đồ hornơ
Nếu đa thức bị chia a0x3 + a1x2 + a2x + a3,
đa thức chia x – a ta thương b0x2 + b1x + b2, dư r ta có
Ví dụ:
Đa thức bị chia: x3 -5x2 + 8x – 4, đa thức chia x –
Ta có sơ đồ
1 - -
2 + (- 5) = -3 2.(- 3) + = r = 2 +(- 4) =
Vaäy: x3 -5x2 + 8x – = (x – 2)(x2 – 3x + 2) + phép chia hết
2 Áp dụng sơ đồ Hornơ để tính giá trị đa thức x = a Giá trị f(x) x = a số dư phép chia f(x) cho x – a Ví dụ 1:
Tính giá trị A = x3 + 3x2 – x = 2010
Ta có sơ đồ:
1 -4
a = 2010 2010.1+3 = 2013 2010.2013 +
= 4046130
2010.4046130 – = 8132721296 Vaäy: A(2010) = 8132721296
C Chưngs minh đa thức chia hết cho đa thức khác I Phương pháp:
1 Cách 1: Phân tích đa thức bị chia thành nhân tử có thừa số đa thức chia
2 Cách 2: biến đổi đa thức bị chia thành tổng đa thức chia hết cho đa thức chia
r= ab2 + a3 a3
b2 = ab1+ a2 b1= ab0+ a1
a2 a1
b0 = a0 a0
(17)II Ví dụ 1.Ví dụ 1:
Chứng minh rằng: x8n + x4n + chia hết cho x2n + xn +
Ta coù: x8n + x4n + = x8n + 2x4n + - x4n = (x4n + 1)2 - x4n = (x4n + x2n + 1)( x4n - x2n + 1)
Ta lại có: x4n + x2n + = x4n + 2x2n + – x2n = (x2n + xn + 1)( x2n - xn + 1)
chia heát cho x2n + xn +
Vaäy: x8n + x4n + chia heát cho x2n + xn +
2 Ví dụ 2:
Chứng minh rằng: x3m + 1 + x3n + 2 + chia hết cho x2 + x + với m, n N
Ta coù: x3m + 1 + x3n + 2 + = x3m + 1 - x + x3n + 2 – x2 + x2 + x +
= x(x3m – 1) + x2(x3n – 1) + (x2 + x + 1)
Vì x3m – x3n – chia hết cho x3 – nên chia heát cho x2 + x +
Vậy: x3m + 1 + x3n + 2 + chia hết cho x2 + x + với m, n N
3 Ví dụ 3: Chứng minh
f(x) = x99 + x88 + x77 + + x11 + chia heát cho g(x) = x9 + x8 + x7 + + x +
Ta coù: f(x) – g(x) = x99 – x9 + x88 – x8 + x77 – x7 + + x11 – x + –
= x9(x90 – 1) + x8(x80 – 1) + + x(x10 – 1) chia heát cho x10 –
Maø x10 – = (x – 1)(x9 + x8 + x7 + + x + 1) chia heát cho x9 + x8 + x7 + + x +
Suy f(x) – g(x) chia heát cho g(x) = x9 + x8 + x7 + + x +
Neân f(x) = x99 + x88 + x77 + + x11 + chia heát cho g(x) = x9 + x8 + x7 + + x +
4 Ví dụ 4: CMR: f(x) = (x2 + x – 1)10 + (x2 - x + 1)10 – chia heát cho g(x) = x2 – x
Đa thức g(x) = x2 – x = x(x – 1) có nghiệm x = x =
Ta có f(0) = (-1)10 + 110 – = x = nghiệm f(x) f(x) chứa thừa số x
f(1) = (12 + – 1)10 + (12 – + 1)10 – = x = nghiệm f(x) f(x) chứa thừa số
x – 1, mà thừa số x x – khơng có nhân tử chung, f(x) chia hết cho x(x – 1)
hay f(x) = (x2 + x – 1)10 + (x2 - x + 1)10 – chia heát cho g(x) = x2 – x
5 Ví dụ 5: Chứng minh
a) A = x2 – x9 – x1945 chia heát cho B = x2 – x + 1
b) C = 8x9 – 9x8 + chia heát cho D = (x – 1)2
c) C (x) = (x + 1)2n – x2n – 2x – chia heát cho D(x) = x(x + 1)(2x + 1)
Giaûi
a) A = x2 – x9 – x1945 = (x2 – x + 1) – (x9 + 1) – (x1945 – x)
Ta coù: x2 – x + chia heát cho B = x2 – x +
x9 + chia hết cho x3 + nên chia hết cho B = x2 – x +
x1945 – x = x(x1944 – 1) chia heát cho x3 + (cùng có nghiệm x = - 1)
nên chia hết cho B = x2 – x +
(18)b) C = 8x9 – 9x8 + = 8x9 – - 9x8 + = 8(x9 – 1) – 9(x8 – 1)
= 8(x – 1)(x8 + x7 + + 1) – 9(x – 1)(x7+ x6 + + 1)
= (x – 1)(8x8 – x7 – x6 – x5 – x4 – x3 – x2 – x – 1)
(8x8 – x7 – x6 – x5 – x4 – x3 – x2 – x – 1) chia heát cho x – có tổng hệ số
suy (x – 1)(8x8 – x7 – x6 – x5 – x4 – x3 – x2 – x – 1) chia heát cho (x – 1)2
c) Đa thức chia D (x) = x(x + 1)(2x + 1) có ba nghiệm x = 0, x = - 1, x = -
2
Ta coù:
C(0) = (0 + 1)2n – 02n – 2.0 – = x = nghiệm C(x)
C(-1) = (-1 + 1)2n – (- 1)2n – 2.(- 1) – = x = - nghiệm C(x)
C(-
2) = (-1 + 1)
2n – (-1
2)
2n – 2.(- 1
2) – = x = -
2 nghiệm C(x)
Mọi nghiệm đa thức chia nghiệm đa thức bị chia đpcm Ví dụ 6:
Cho f(x) đa thức có hệ số nguyên Biết f(0), f(1) số lẻ Chứng minh f(x) nghiệm nguyên
Giả sử x = a nghiệm nguyên f(x) f(x) = (x – a) Q(x) Trong Q(x) đa thức có hệ số nguyên, f(0) = - a Q(0), f(1) = (1 – a) Q(1)
Do f(0) số lẻ nên a số lẻ, f(1) số lẻ nên – a số lẻ, mà – a hiệu số lẻ số lẻ, mâu thuẩn
Vậy f(x) nghiệm nguyên
Bài tập nhà:
Bài 1: Tìm số dư a) x43 chia cho x2 + 1
b) x77 + x55 + x33 + x11 + x + cho x2 + 1
Bài 2: Tính giá trị đa thức x4 + 3x3 – x = 2009
Bài 3: Chứng minh
a) x50 + x10 + chia heát cho x20 + x10 + 1
b) x10 – 10x + chia heát cho x2 – 2x + 1
c) x4n + 2 + 2x2n + 1 + chia heát cho x2 + 2x + 1
d) (x + 1)4n + 2 + (x – 1)4n + 2 chia heát cho x2 + 1
(19)CHUYÊN ĐỀ : SỐ CHÍNH PHƯƠNG
I Số phương: A Một số kiến thức:
Số phương: số bình phương số khác Ví dụ:
4 = 22; = 32
A = 4n2 + 4n + = (2n + 1)2 = B2
+ Số phương khơng tận chữ số: 2, 3, 7,
+ Sốchính phương chia hết cho chia hết cho 4, chia hết cho chia hết cho 9, chia hết cho chia hết cho 25, chia hết cho 23 chia hết cho 24,…
+ Số
n
11 = a n
99 = 9a 9a + =
n
99 + = 10n B Một số tốn:
1 Bài 1:
Chứng minh rằng: Một số phương chia cho 3, cho dư Giải
Goïi A = n2 (n N)
a) xét n = 3k (k N) A = 9k2 nên chia hết cho n = 3k (k N) A = 9k2 6k + 1, chia cho dư Vậy: số phương chia cho dư
b) n = 2k (k N) A = 4k2 chia hết cho
n = 2k +1 (k N) A = 4k2 + 4k + chia cho dư Vậy: số phương chia cho dư
Chú ý: + Số phương chẵn chia hết cho
+ Số phương lẻ chia cho dư 1( Chia củng dư 1) Bài 2: Số số sau số phương
a) M = 19922 + 19932 + 19942
b) N = 19922 + 19932 + 19942 + 19952
c) P = + 9100 + 94100 + 1994100
d) Q = 12 + 22 + + 1002
e) R = 13 + 23 + + 1003
Giaûi
a) số 19932, 19942 chia cho dư 1, 19922 chia hết cho M chia cho dư 2
do M khơng số phương
b) N = 19922 + 19932 + 19942 + 19952 gồm tổng hai số phương chẵn chia hết cho
4, hai số phương lẻ nên chia dư suy N không số phương c) P = + 9100 + 94100 + 1994100 chia dư nên không số phương
(20)Số Q gồm 50 số phương chẵn chia hết cho 4, 50 số phương lẻ, số chia dư nên tổng 50 số lẻ chia dư Q chia dư nên Q khơng số phương
e) R = 13 + 23 + + 1003
Goïi Ak = + + + k = k(k + 1)
2 , Ak – = + + + k =
k(k - 1)
Ta có: Ak2 – Ak -12 = k3 đó:
13 = A 12
23 = A
22 – A12
n3 = A
n2 = An - 12
Cộng vế theo vế đẳng thức ta có: 13 + 23 + +n3 = A
n2 =
2
2
n(n + 1) 100(100 1)
50.101
2
số phương
3 Bài 3:
CMR: Với n N số sau số phương
a) A = (10n +10n-1 + +.10 +1)(10 n+1 + 5) + 1
A = (
n
11
)(10 n+1 + 5) + 1
1
10
.(10 5) 10 n n
Đặt a = 10n+1 A = a -
9 (a + 5) + =
2
2
a + 4a - + a + 4a + a +
9
b)B =
n
111.1
555.n - 1 56 ( có n số n-1 số 5) B =
n
111.1
n
555. 5 + =
n
111.1
10
n +
n
555. 5 + =
n
111. 1 10n +
n
111 1
+
Đặt
n
11
= a thì10n = 9a + nên
B = a(9a + 1) + 5a + = 9a2 + 6a + = (3a + 1)2=
n -
33 34
c) C =
2n
11
.+ 44. n 4
+
Đặt a =
n
11
Thì C = n
11.
n
11
+ n
11. + = a 10n + a + a +
= a(9a + 1) + 5a + = 9a2 + 6a + = (3a + 1)2
d) D =
n
99 98
n
00
1 Đặt n
99
= a 10n = a + D =
n
99 9 10n + + 10n + + = a 100 10n + 80 10n +
= 100a(a + 1) + 80(a + 1) + = 100a2 + 180a + 81 = (10a + 9)2 = (
n +
(21)= [a(9a + 1) + 2a]100 + 25 = 900a2 + 300a + 25 = (30a + 5)2 = (
n
33. 35)2
f) F =
100
44
= 100
11
số phương 100
11. số phương
Số
100
11
số lẻ nên số phương chia cho phải dư Thật vậy: (2n + 1)2 = 4n2 + 4n + chia dö
100
11
có hai chữ số tận 11 nên chia cho dư 100
11
không số phương nên F = 100
44
không số phương Bài 4:
a) Cho số A =
2m
11 11
; B = m +
11. 11 ; C =
m
66. 66 CMR: A + B + C + số phương
Ta có: A 102
m
; B = 10 1
m
; C = 6.10
m
Neân: A + B + C + = 102
9
m
+ 10 1
m
+ 6.10
m
+ = 102 10 1 6(10 1) 72
m m m
= 102 10.10 6.10 72
m m m
=
2 2
10 16.10 64 10 8
9
m m m
b) CMR: Với x,y Z A = (x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y) + y4 số phương
A = (x2 + 5xy + 4y2) (x2 + 5xy + 6y2) + y4
= (x2 + 5xy + 4y2) [(x2 + 5xy + 4y2) + 2y2) + y4
= (x2 + 5xy + 4y2)2 + 2(x2 + 5xy + 4y2).y2 + y4 = [(x2 + 5xy + 4y2) + y2)2
= (x2 + 5xy + 5y2)2
Bài 5: Tìm số nguyên dương n để biểu thức sau số phương
a) n2 – n + 2 b) n5 – n + 2
Giaûi
a) Với n = n2 – n + = khơng số phương
Với n = n2 – n + = số phương
Với n > n2 – n + khơng số phương Vì
(n – 1)2 = n2 – (2n – 1) < n2 – (n - 2) < n2
b) Ta coù n5 – n chia hết cho Vì
n5 – n = (n2 – 1).n.(n2 + 1)
Với n = 5k n chia hết cho
Với n = 5k n2 – chia hết cho Với n = 5k n2 + chia hết cho
Nên n5 – n + chia cho dư nên n5 – n + có chữ số tận nên
n5 – n + không số phương
(22)Baøi :
a)Chứng minh : Mọi số lẻ viết dạng hiệu hai số phương b) Một số phương có chữ số tận chữ số hàng chục chữ số chẵn Giải
Mọi số lẻ có dạng a = 4k + a = 4k +
Với a = 4k + a = 4k2 + 4k + – 4k2 = (2k + 1)2 – (2k)2
Với a = 4k + a = (4k2 + 8k + 4) – (4k2 + 4k + 1) = (2k + 2)2 – (2k + 1)2
b)A số phương có chữ số tận nên A = (10k 3)2 =100k2 60k + = 10.(10k2 6) + Số chục A 10k2 số chẵn (đpcm)
Bài 7:
Một số phương có chữ số hàng chục chữ số lẻ Tìm chữ số hàng đơn vị Giải
Gọi n2 = (10a + b)2 = 10.(10a2 + 2ab) + b2 nên chữ số hàng đơn vị cần tìm chữ số tận
cùng b2
Theo đề , chữ số hàng chục n2 chữ số lẻ nên chữ số hàng chục b2 phải lẻ
Xét giá trị b từ đến có b2 = 16, b2 = 36 có chữ số hàng chục chữ
số lẻ, chúng tận Vậy : n2 có chữ số hàng đơn vị
* Baøi tập nhà:
Bài 1: Các số sau đây, số số phương a) A =
50
22
4 b) B = 11115556 c) C = n
99
n
00 025
d) D =
n
44. 4
n -
88 89 e) M = 2n
11. 1 –
n
22 2 f) N = 12 + 22 + + 562 Bài 2: Tìm số tự nhiên n để biểu thức sau số phương
a) n3 – n + 2
b) n4 – n + 2
Bài 3: Chứng minh
a)Tổng hai số phương lẻ không số phương
(23)CHUN ĐỀ – ĐỒNG DƯ THỨC
A ĐỊNH NGHĨA:
Nếu hai số ngun a b có số dư phép chia cho số tự nhiên m
ta nói a đồng dư với b theo mơđun m, có đồng dư thức: a b (mod m) Ví dụ:7 10 (mod 3) , 12 22 (mod 10)
+ Chú ý: a b (mod m) a – b m B TÍNH CHẤT:
1 Tính chất phản xạ: a a (mod m)
2 Tính chất đỗi xứng: a b (mod m) b a (mod m)
3 Tính chất bắc cầu: a b (mod m), b c (mod m) a c (mod m) Cộng , trừ vế: a b (mod m) a c b d (mod m)
c d (mod m)
Hệ quả:
a) a b (mod m) a + c b + c (mod m) b) a + b c (mod m) a c - b (mod m) c) a b (mod m) a + km b (mod m)
5 Nhân vế : a b (mod m) ac bd (mod m) c d (mod m)
Hệ quả:
a) a b (mod m) ac bc (mod m) (c Z) b) a b (mod m) an bn (mod m)
6 Có thể nhân (chia) hai vế môđun đồng dư thức với số nguyên dương
a b (mod m) ac bc (mod mc)
Chẳng hạn: 11 (mod 4) 22 (mod 8) ac bc (mod m) a b (mod m)
(c, m) =
Chẳng hạn : 16 (mod 7) (mod 7) (2, 7) =
C CÁC VÍ DỤ:
1 Ví dụ 1:
Tìm số dư chia 9294 cho 15
Giải
Ta thấy 92 (mod 15) 9294 294 (mod 15) (1)
Lại có 24 (mod 15) (24)23 22 (mod 15) hay 294 (mod 15) (2)
Từ (1) (2) suy 9294 (mod 15) tức 9294 chia 15 dư
2 Ví dụ 2:
(24)Thaät vaäy:
Từ 24 (mod 5) 24k (mod 5) (1)
Laïi coù 22 (mod 5) (2)
Nhân (1) với (2), vế theo vế ta có: 24k + (mod 5) 24k + 2 - (mod 5)
Hay 24k + 2 - chia hết cho với k = 0, 1, 2, hay ta vô số số dạng 2n –
(n N) chia heát cho
Chú ý: giải toán đồng dư, ta thường quan tâm đến a (mod m) a (mod m) an (mod m)
a -1 (mod m) an (-1)n (mod m) Ví dụ 3: Chứng minh
a) 2015 – chia heát cho 11 b) 230 + 330 chi heát cho 13
c) 555222 + 222555 chia hết cho 7
Giải
a) 25 - (mod 11) (1); 10 - (mod 11) 105 - (mod 11) (2)
Từ (1) (2) suy 25 105 (mod 11) 205 (mod 11) 205 – (mod 11)
b) 26 - (mod 13) 230 - (mod 13) (3)
33 (mod 13) 330 (mod 13) (4)
Từ (3) (4) suy 230 + 330 - + (mod 13) 230 + 330 (mod 13)
Vậy: 230 + 330 chi hết cho 13
c) 555 (mod 7) 555222 2222 (mod 7) (5)
23 (mod 7) (23)74 (mod 7) 555222 (mod 7) (6)
222 - (mod 7) 222555 (-2)555 (mod 7)
Lại có (-2)3 - (mod 7) [(-2)3]185 - (mod 7) 222555 - (mod 7)
Ta suy 555222 + 222555 - (mod 7) hay 555222 + 222555 chia hết cho
4 Ví dụ 4: Chứng minh số 24n +
2 + chia hết cho 11 với số tự nhiên n
Thật vậy:Ta có: 25 - (mod 11) 210 (mod 11)
Xeùt số dư chia 24n + 1 cho 10 Ta coù: 24 (mod 5) 24n (mod 5)
2.24n (mod 10) 24n + (mod 10) 24n + = 10 k + Neân 24n +
2 + = 210k + + =4 210k + = 4.(BS 11 + 1)k + = 4.(BS 11 + 1k) +
= BS 11 + 11 chia heát cho 11
Bài tập nhà: Bài 1: CMR:
a) 228– chia hết cho 29
b)Trong số có dạng2n – có vô số số chia hết cho 13
(25)CHUYÊN ĐỀ – CÁC BÀI TỐN VỀ BIỂU THỨC HỮU TỈ
A Nhắc lại kiến thức:
Các bước rút gọn biểu thức hửu tỉ
a) Tìm ĐKXĐ: Phân tích mẫu thành nhân tử, cho tất nhân tử khác b) Phân tích tử thành nhân , chia tử mẫu cho nhân tử chung
B Baøi taäp:
Bài 1: Cho biểu thức A = 44 22
10
x x
x x
a) Rút gọn A b) tìm x để A =
c) Tìm giá trị A 2x 1
Giải a)Đkxđ :
x4 – 10x2 + [(x2)2 – x2] – (9x2 – 9) x2(x2 – 1) – 9(x2 – 1)
(x2 – 1)(x2 – 9) (x – 1)(x + 1)(x – 3)(x + 3)
3
x x
Tử : x4 – 5x2 + = [(x2)2 – x2] – (x2 – 4) = x2(x2 – 1) – 4(x2 – 1)
= (x2 – 1)(x2 – 4) = (x – 1)(x + 1)(x – 2)(x + 2)
Với x 1; x A = (x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2) (x - 2)(x + 2) (x - 1)(x + 1)(x - 3)(x + 3) (x - 3)(x + 3) b) A = (x - 2)(x + 2)
(x - 3)(x + 3) = (x – 2)(x + 2) = x =
c) 2x 1
2
x x x
x x x
* Với x = A = (x - 2)(x + 2) (4 - 2)(4 + 2) 12
(x - 3)(x + 3) (4 - 3)(4 + 3)
* Với x = - A khơng xác định
2 Bài 2:
Cho biểu thức B = 2x33 7x22 12x 45 3x 19x 33x
a) Rút gọn B b) Tìm x để B > Giải
a) Phân tích mẫu: 3x3 – 19x2 + 33x – = (3x3 – 9x2) – (10x2 – 30x) + (3x – 9)
= (x – 3)(3x2 – 10x + 3) = (x – 3)[(3x2 – 9x) – (x – 3)] = (x – 3)2(3x – 1)
Đkxđ: (x – 3)2(3x – 1) x vaø x
3
b) Phân tích tử, ta có:
(26)= (x – 3)[(2x2 – 6x) + (5x – 15)] = (x – 3)2(2x + 5)
Với x x
3
Thì B = 33 22 12 45
3 19 33
x x x
x x x
=
2
(x - 3) (2x + 5) 2x + (x - 3) (3x - 1) 3x -
c) B > 2x +
3x - >
1
3 5 1
2 2 3
5
3 1
2
2
5 x x x x x x x x x x 3 Baøi 3
Cho biểu thức C = 2 :1 22
1 1
x x
x x x x
a) Rút gọn biểu thức C
b) Tìm giá trị nguyên x để giá trị biểu thức B số ngun Giải
a) Đkxđ: x
C = 2 :1 22 2(1 ) ( 1)( 1)
1 1 (1 )(1 ) 2
x x x x x x
x x x x x x x x
b) B có giá trị nguyên x số nguyên
2x
có giá trị nguyên 2x – Ư(2)
2 1
2 1
2 1,5
2
x x x x x x x x
Đối chiếu Đkxđ có x = thoả mãn
4 Baøi 4
Cho biểu thức D = 22
2
x x x
x x x
a) Rút gọn biểu thức D
b) Tìm x ngun để D có giá trị nguyên c) Tìm giá trị D x =
Giải
a) Nếu x + > x2 = x + nên
D = x3x22x
=
3 2 ( 1)( 2)
x x x x x x x x
(27)D = 22
2
x x x
x x x
=
3 2
2 ( 1)( 2)
( 2) ( 2) ( 2)( 2)
x x x x x x x
x x x x x x x
Nếu x + = x = -2 biểu thức D khơng xác định b) Để D có giá trị nguyên
2
x x hoặc
x
có giá trị nguyên +)
2
x x có giá trị nguyên
x - x 2 x(x - 1)
x > - x > -
Vì x(x – 1) tích hai số nguyên liên tiếp nên chia hết cho với x > - +)
2 x
có giá trị nguyên x x = 2k
2k (k Z; k < - 1) x < - x < - x
c) Khia x = x > - neân D =
2
x x = 6(6 1) 15
* Dạng 2: Các biểu thức có tính quy luật
Bài 1: Rút gọn biểu thức a) A =
22
3
(1.2) (2.3) ( 1) n n n
Phương pháp: Xuất phát từ hạng tử cuối để tìm quy luật Ta có
22 ( 1)
n n n
= 2 2
2 1
( 1) ( 1)
n
n n n n
Neân
A = 12 12 12 12 12 12 12 2 1 2 ( 1)2
1 2 3 ( 1) ( 1) ( 1)
n n
n n n n n
b) B = 12 12 12 12
2 n
Ta coù 12 k2 21 (k 1)(2k 1)
k k k
Neân
B = 1.3 2.4 3.5 (2 2 2 1)(2 1) 1.3.2.4 (2 2 2 1)(2 1) 1.2.3 ( 1) 3.4.5 ( 1) 1 4 2.3.4 ( 1) 2.3.4 2
n n n n n n n n
n n n n n n n
c) C = 150 150 150 150
5.8 8.11 11.14 47.50 =
1 1 1 1
150
3 8 11 47 50
= 50 1 50.9 45
5 50 10
d) D = 1
1.2.3 2.3.4 3.4.5 (n1) (n n1) =
1 1 1 1
2 1.2 2.3 2.3 3.4 (n 1)n n n( 1)
= 1 ( 1)( 2)
2 1.2 ( 1) ( 1)
n n
n n n n
Baøi 2:
a) Cho A =
1 2
m m
m n
; B =
1 1
2 4 n Tính A B
(28)A =
1
1 1
1 ( 1)
1 2 n 2
n n n n
n n
n n n n
= 1 1 1 1 nB
1 2 2
n n
n n n n
A B = n
b) A = 1 1
1.(2n - 1) 3.(2n - 3) (2n - 3).3 (2n - 1).1
; B = +
3 2n -
Tính A : B Giải
A = 1 1 1 1
2n 2n - 2n - 2n - 3 2n -
1 1 1 1
1
2n 2n - 2n - 2n - 2n - 3
1 1 1 A
.2 2.B
2n 2n - 2n - 2n B n
Bài tập nhà
Rút gọn biểu thức sau: a) +.1.2 2.31 +(n - 1)n
b) 212 232 252 n22
2 1 1 1 (n + 1) 1
c) 1 + +
1.2.3 2.3.4 n(n + 1)(n +2)
* Dạng 3: Rút gọn; tính giá trị biểu thức thoả mãn điều kiện biến Bài 1: Cho x
x
+ = TÝnh giá trị biểu thức sau : a) A x2 12
x
= + ; b) B x3 13 x
= + ; c) C x4 14 x
= + ; d) D x5 15 x = + Lêi gi¶i a) 2 1
A x x
x x ổ ửữ ỗ = + = ỗỗỗ + ữữ - = - = ố ø ; b) 3
1 1
B x x x 27 18
x x x
ổ ửữ ổ ửữ ỗ ỗ = + = ỗỗỗ + ữữ - ỗỗỗ + ữữ= - = è ø è ø ; c) 4 1
C x x 49 47
x x
ỉ ư÷
ỗ
= + = ỗỗỗ + ữữ - = - =
è ø ;
d) A.B x2 12 x3 13 x5 x 15 D
x x x x
ỉ ưỉ÷ ÷
ỗ ỗ
= ỗỗỗ + ữữỗỗỗ + ữữ= + + + = +
è øè ø D = 7.18 – = 123
Baøi 2: Cho x + + = 2y z
a b c (1);
a b c
+ + =
(29)Từ (1) suy bcx + acy + abz = (3) Từ (2) suy
2
2 2
a b c ab ac bc a b c ab ac bc
+ + + + +
x y z xy xz yz x y z xy xz yz
(4)
Thay (3) vào (4) ta có D = – 2.0 =
Baøi
a) Cho abc = 2; rút gọn biểu thức A = a b 2c
ab + a + bc + b + ac + 2c + 2
Ta coù : A = a ab 2c a ab 2c
ab + a + abc + ab + a ac + 2c + 2 ab + a + 2 + ab + a ac + 2c + abc
= a ab 2c a ab ab + a +
ab + a + 2 + ab + a c(a + + ab) ab + a + 2 + ab + a a + + ab ab + a + 2
b) Cho a + b + c = 0; rút gọn biểu thức B = 2 a22 2 2 b22 2 2 c22 2
a - b - c b - c - a c - b - a
Từ a + b + c = a = -(b + c) a2 = b2 + c2 + 2bc a2 - b2 - c2 = 2bc
Tương tự ta có: b2 - a2 - c2 = 2ac ; c2 - b2 - a2 = 2ab (Hoán vị vòng quanh), nên
B = a2 b2 c2 a3 b3 c3
2bc 2ac 2ab 2abc
(1)
a + b + c = -a = (b + c) -a3 = b3 + c3 + 3bc(b + c) -a3 = b3 + c3 – 3abc a3 + b3 + c3 = 3abc (2)
Thay (2) vào (1) ta có B = a3 b3 c3 3abc
2abc 2abc
(Vì abc 0)
c) Cho a, b, c đôi khác thoả mãn: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2
Rút gọn biểu thức C = 2 a2 + 2 b2 2 c2 a + 2bc b + 2ac c + 2ab
Từ (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 ab + ac + bc =
a2 + 2bc = a2 + 2bc – (ab + ac + bc) = a2 – ab + bc – ac = (a – b)(a – c) Tương tự: b2 + ac = (b – a)(b – c) ; c2 + 2ab = (c – a)(c – b)
C = a2 + b2 c2 a2 - b2 c2
(a - b)(a - c) (b - a)(b - c) (c - a)(c - b) (a - b)(a - c) (a - b)(b - c) (a - c)(b - c)
= a (b - c)2 - b (a - c)2 c (b - c)2 (a - b)(a - c)(b - c) (a - b)(a - c)(b - c) (a - b)(a - c)(b - c) (a - b)(a - c)(b - c) (a - b)(a - c)(b - c) * Dạng 4: Chứng minh đẳng thức thoả mãn điều kiện biến
1 Baøi 1: Cho + + = 21
a b c (1); 2
1 1
+ + =
a b c (2)
Chứng minh rằng: a + b + c = abc Từ (1) suy
2 2 2
1 1 1 1 1 1
+ + + + + + + + +
a b c ab bc ac ab bc ac a b c
+ + 1 a + b + c
(30)2 Baøi 2: Cho a, b, c ≠ vμ a + b + c ≠ tháa m·n ®iỊu kiƯn 1 1
a+ b+ c= a+ b+ c
Chứng minh ba số a, b, c có hai số đối Từ suy :
2009 2009 2009 2009 2009 2009
1 1
a + b + c = a + b + c
Ta cã : 1 1
a+ b+ c= a+ b+ c
1 1
0 a+ b+ c- a+ b+ c=
a b a b
0
ab c(a b c)
+ +
+ =
+ +
a b a b
c(a b c) ab
(a b) (a + b)(b + c)(c + a) = b c b c
abc(a b c)
c a c a
é + = é =
-ê ê
+ + + ê ê
+ = Û Û ê + = Û ê =
-+ -+ ê ê
+ = =
-ë ë
Từ suy : 20091 20091 20091 20091 12009 20091 20091
a + b + c = a + ( c)- + c = a
2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009
1 1
a + b + c = a + -( c) + c = a
20091 20091 20091 2009 20091 2009
a + b + c = a + b + c 3 Baøi 3: Cho a + b c b + c a
b c a a b c (1)
chứng minh : ba số a, b, c tồn hai số
Từ (1) a c + ab + bc = b c + ac + a b 2 2 2 a (b - c) - a(c2 2b ) bc(c - b) = 02 (c – b)(a2 – ac = ab + bc) = (c – b)(a – b)( a – c) = đpcm 4 Bài 4: Cho (a2 – bc)(b – abc) = (b2 – ac)(a – abc); abc a b
Chứng minh rằng: + + = a + b + c1 a b c
Từ GT a2b – b2c - a3bc + ab2c2 = ab2 – a2c – ab3c + a2bc2
(a2b – ab2) + (a2c – b2c) = abc2(a – b) + abc(a - b)(a + b) (a – b)(ab + ac + bc) = abc(a – b)(a + b + c)
ab + ac + bc = a + b + c
abc
1 1
+ + = a + b + c a b c
5 Baøi 5:
Cho a + b + c = x + y + z = a + + = 0b c
x y z Chứng minh rằng: ax
2 + by2 + cz2 =
Từ x + y + z = x2 = (y + z)2 ; y2 = (x + z)2 ; z2 = (y + x)2 ax2 + by2 + cz2 = a(y + z)2 + b(x + z)2 + c (y + x)2 = … = (b + c)x2 + (a + c)y2 + (a + b)z2 + 2(ayz + bxz + cxy) (1)
Từ a + b + c = - a = b + c; - b = a + c; - c = a + b (2) Từ a + + = 0b c
(31)Cho a + b c
b - c c - a a - b ; chứng minh: 2
a b c
+
(b - c) (c - a) (a - b)
Từ a + b c
b - c c - a a - b
2
a b c b ab + ac - c =
b - c a - c b - a (a - b)(c - a)
a 2 b2 ab + ac - c2
(b - c) (a - b)(c - a)(b - c)
(1) (Nhân hai vế với
b - c)
Tương tự, ta có: b 2 c2 bc + ba - a2
(c - a) (a - b)(c - a)(b - c)
(2) ; c 2 a2 ac + cb - b2
(a - b) (a - b)(c - a)(b - c)
(3)
Cộng vế (1), (2) (3) ta có đpcm
7 Bài 7:
Cho a + b + c = 0; chứng minh: a - b + b - c c - a c + a b c a b a - b b - c c - a
= (1)
Đặt a - b = x ; b - c ;c - a
c a y b z
c a b
= ;
a - b x b - c y c - a z
(1)
x + y + z
+ + 1x y z
Ta coù:
x + y + z
+ + 1 y + z + x + z + x + yx y z x y z
(2)
Ta lại có: y + z b - c c - a c b2 bc + ac - a2 c c(a - b)(c - a - b) c(c - a - b) x a b a - b ab a - b ab(a - b) ab
= c 2c - (a + b + c)
2c2ab ab (3)
Tương tự, ta có: x + z 2a2
y bc (4) ;
2
x + y 2b z ac (5)
Thay (3), (4) (5) vào (2) ta có:
x + y + z
+ + 1x y z
+
2 2
2c 2a 2b
ab bc ac = + abc(a
3 + b3 + c3 ) (6)
Từ a + b + c = a3 + b3 + c3 = 3abc (7) ? Thay (7) vào (6) ta có:
x + y + z
+ + 1x y z
+
2
abc 3abc = + = Bài tập nhà:
Baøi 1:
Cho biểu thức A = 2 :
3
x x x x
x x x x x
a) Rút gọn A
b) Tìm x để A = 0; A > Bài 2:
Cho biểu thức B = 33 22
2
y y y
y y y
(32)b) Tìm số nguyên y để 2D
2y + có giá trị nguyên
c) Tìm số nguyên y để B Bài :
cho + + 1
x y z ; tính giá trị biểu thức A = 2
yz xz xy + +
x y z
HD: A = xyz3 + xyz3 + xyz3
x y z ; vận dụng a + b + c = a
3 + b3 + c3 = 3abc
Baøi 4:
Cho a3 + b3 + c3 = 3abc ; Tính giá trị biểu thức A = a b c
+ + +
b c a
Baøi 5:
Cho x + y + z = 0; chứng minh rằng: y z x z x y
x y z
Baøi 6:
Cho a + b + c = a2 + b2 + c2 = 1; a b c
(33)CHUYÊN ĐỀ - CÁC BÀI TỐN VỀ ĐỊNH LÍ TA-LÉT
A.Kiến thức:
1 Định lí Ta-lét:
*Định lí Talét ABC
MN // BC
AM AN
= AB AC
*Hệ quả: MN // BC AM = AN MN AB AC BC B Bài tập áp dụng:
1 Baøi 1:
Cho tứ giác ABCD, đường thẳng qua A song song với BC cắt BD E, đường thẳng qua B song song với AD cắt AC G
a) chứng minh: EG // CD
b) Giả sử AB // CD, chứng minh AB2 = CD EG
Giải
Gọi O giao điểm AC BD a) Vì AE // BC OE = OA
OB OC (1)
BG // AC OB = OG
OD OA (2)
Nhân (1) với (2) vế theo vế ta có: OE = OG
OD OC EG //
CD
b) Khi AB // CD EG // AB // CD, BG // AD neân
2
AB OA OD CD AB CD
= = AB CD EG
EG OG OB ABEG AB Baøi 2:
Cho ABC vng A, Vẽ phía ngồi tam giác tam giác ABD vuông cân B, ACF vuông cân C Gọi H giao điểm AB CD, K giao điểm AC BF Chứng minh rằng:
a) AH = AK b) AH2 = BH CK
Giải
Đặt AB = c, AC = b
BD // AC (cùng vuông góc với AB)
nên AH AC b AH b AH b
HB BD c HB c HB + AH b + c
Hay AH b AH b AH b.c
AB b + c c b + c b + c (1)
N M
C B
A
H
F K
D
C B
A O
G E
D C
(34)AB // CF (cùng vng góc với AC) nên AK AB c AK c AK c
KC CF b KC b KC + AK b + c
Hay AK b AK c AK b.c
AC b + c b b + c b + c (2)
Từ (1) (2) suy ra: AH = AK b) Từ AH AC b
HB BD c vaø
AK AB c
KC CF b suy
AH KC AH KC
HB AK HB AH(Vì AH = AK)
AH2 = BH KC
3 Bài 3: Cho hình bình hành ABCD, đường thẳng a qua A cắt BD, BC, DC theo thứ tự E, K, G Chứng minh rằng:
a) AE2 = EK EG
b) 1
AE AK AG
c) Khi đường thẳng a thay đổi vị trí qua A tích BK DG có giá trị khơng đổi
Giải
a) Vì ABCD hình bình hành K BC nên AD // BK, theo hệ định lí Ta-lét ta coù:
2
EK EB AE EK AE
= = AE EK.EG
AE ED EG AE EG
b) Ta coù: AE = DE AK DB ;
AE BE =
AG BD neân
AE AE BE DE BD 1
= AE
AK AG BD DB BD AK AG
1 1
AE AK AG (ñpcm)
c) Ta coù: BK = AB BK = a
KC CG KC CG (1);
KC CG KC CG
= =
AD DG b DG (2)
Nhân (1) với (2) vế theo vế ta có: BK = a BK DG = ab
b DG khơng đổi (Vì a = AB; b =
AD độ dài hai cạnh hình bình hành ABCD khơng đổi)
4 Bài 4:
Cho tứ giác ABCD, điểm E, F, G, H theo thứ tự chia cạnh AB, BC, CD, DA theo tỉ số 1:2 Chứng minh rằng: a) EG = FH
b) EG vng góc với FH Giải
Gọi M, N theo thứ tự trung điểm CF, DG Ta có CM =
2 CF =
3BC
BM = BC
BE BM
= =
BA BC
EM // AC EM BM = EM = AC2
AC BE (1)
G b
a
E K
D C
B A
Q P O
N M
H F
G E
D
C B
(35)mμ AC = BD (3)
Tõ (1), (2), (3) suy : EM = NF (a)
T−¬ng tù nh− trªn ta cã: MG // BD, NH // AC vμ MG = NH =
3AC (b)
Mặt khác EM // AC; MG // BD V AC BD EM MG EMG = 900(4) T−¬ng tù, ta cã: FNH = 900(5)
Tõ (4) vμ (5) suy EMG = FNH = 900 (c)
Tõ (a), (b), (c) suy EMG = FNH (c.g.c) EG = FH
b) Gäi giao ®iĨm cđa EG vμ FH lμ O; cña EM vμ FH lμ P; cđa EM vμ FN lμ Q th×
PQF = 90 QPF + QFP = 900 mμ QPF = OPE (đối đỉnh), OEP = QFP (EMG = FNH) Suy EOP = PQF = 900 EO OP EG FH
5 Bμi 5:
Cho hình thang ABCD có đáy nhỏ CD Từ D vẽ đ−ờng thẳng song song với BC, cắt AC M vμ AB K, Từ C vẽ đ−ờng thẳng song song với AD, cắt AB F, qua F ta lại vẽ đ−ờng thẳng song song với AC, cắt BC P Chứng minh
a) MP // AB
b) Ba đ−ờng thẳng MP, CF, DB đồng quy Giải
a) EP // AC CP = AF PB FB (1) AK // CD CM = DC
AM AK (2)
c¸c tứ giác AFCD, DCBK la hình bình hnh nên AF = DC, FB = AK (3)
KÕt hỵp (1), (2) vμ (3) ta cã CP CM
PB AM MP // AB (Định lí Ta-lét đảo) (4)
b) Gäi I lμ giao ®iĨm cđa BD vμ CF, ta cã: CP CM PB AM = DC DC
AK FB Mμ DC DI
FB IB (Do FB // DC)
CP DI
PB IB IP // DC // AB (5)
Từ (4) vμ (5) suy : qua P có hai đ−ờng thẳng IP, PM song song với AB // DC nên theo tiên đề Ơclít ba điểm P, I, M thẳng hang hay MP qua giao điểm CF vμ DB hay ba đ−ờng thẳng MP, CF, DB đồng quy
6 Bμi 6:
Cho ABC có BC < BA Qua C kẻ đờng thẳng vuông goác với tia phân giác BE ABC; đờng thẳng ny cắt BE F v cắt trung tuyến BD G Chứng minh đoạn thẳng EG bị đoạn thẳng DF chia lm hai phần
Giải
Gọi K l giao điểm CF v AB; M lμ giao ®iĨm cđa DF vμ BC
KBC có BF vừa l phân giác vừa l đờng cao nên KBC cân B BK = BC vμ FC = FK
I P
F K M
D C
(36)Mặt khác D l trung điểm AC nên DF l đờng trung b×nh cđa AKC DF // AK hay DM // AB
Suy M lμ trung ®iĨm cđa BC DF =
2AK (DF l đờng trung bình cña AKC), ta cã BG BK
=
GD DF( DF // BK)
BG BK 2BK =
GD DF AK (1) Mỉt kh¸c CE DC - DE DC AD
DE DE DE DE (V× AD = DC)
CE AE - DE DC AD DE DE DE DE Hay CE AE - DE AE AB
DE DE DE DF (v× AE DE=
AB
DF: Do DF // AB) Suy CE AK + BK 2(AK + BK)
DE DE AK (Do DF =
2AK)
CE 2(AK + BK) 2BK
DE AK AK (2)
Tõ (1) vμ (2) suy BG GD =
CE
DE EG // BC
Gäi giao ®iĨm cña EG vμ DF lμ O ta cã OG = OE = FO
MC MB FM
OG = OE
Bμi tËp vÒ nhμ Bμi 1:
Cho tứ giác ABCD, AC v BD cắt O Đờng thẳng qua O v song song với BC cắt AB E; đờng thẳng song song với CD qua O cắt AD F
a) Chứng minh FE // BD
b) Từ O kẻ đờng thẳng song song với AB, AD cắt BD, CD G vμ H Chøng minh: CG DH = BG CH
Bμi 2:
Cho hình bình hμnh ABCD, điểm M thuộc cạnh BC, điểm N thuộc tia đối tia BC cho BN = CM; đ−ờng thẳng DN, DM cắt AB theo thứ tự E, F
Chøng minh: a) AE2 = EB FE
b) EB = AN
DF
EF
M
G K
F
D E C
B
(37)CHUN ĐỀ – CÁC BÀI TỐN SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ TALÉT VÀ
TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC
A Kiến thức:
1 Định lí Ta-lét:
*Định lí Talét ABC
MN // BC
AM AN
= AB AC *Hệ quả: MN // BC AM = AN MN
AB AC BC
2 Tính chất đường phân giác:
ABC ,AD phân giác góc A BD = AB
CD AC
AD’là phân giác góc ngồi A: BD' = AB CD' AC B Bài tập vận dụng
1 Bài 1:
Cho ABC có BC = a, AB = b, AC = c, phân giác AD a) Tính độ dài BD, CD
b) Tia phân giác BI góc B cắt AD I; tính tỉ số: AI
ID
Giải
a) AD phân giác BAC nên BD AB c CD AC b
BD c BD c BD = ac
CD + BD b + c a b + c b + c
Do CD = a - ac
b + c = ab b + c
b) BI phân giác ABC nên AI AB c : ac b + c IDBD b + c a 2 Baøi 2:
Cho ABC, có B< 600 phân giác AD
a) Chứng minh AD < AB
b) Gọi AM phân giác ADC Chứng minh BC > DM
Giải
a)Ta có ADB = C + A >
A + C =
0
0
180 - B 60
ADB > B AD < AB
b) Goïi BC = a, AC = b, AB = c, AD = d Trong ADC, AM phân giác ta có
DM AD
=
CM AC
DM AD DM AD
= =
CM + DM AD + AC CD AD + AC
D' B C
A
D C
B A
a c b
I
D C
B A
M D B
C
A
N M
C B
(38) DM = CD.AD CD d
AD + AC b + d ; CD = ab
b + c( Vận dụng 1) DM =
abd (b + c)(b + d)
Để c/m BC > DM ta c/m a > 4abd
(b + c)(b + d) hay (b + d)(b + c) > 4bd (1)
Thật : c > d (b + d)(b + c) > (b + d)2 4bd Bất đẳng thức (1) c/m Bài 3:
Cho ABC, trung tuyến AM, tia phân giác góc AMB , AMC cắt AB, AC theo thứ tự D E
a) Chứng minh DE // BC
b) Cho BC = a, AM = m Tính độ dài DE
c) Tìm tập hợp giao diểm I AM DE ABC có BC cố định, AM = m không đổi
d) ABC có điều kiện DE đường trung bình Giải
a) MD phân giác AMB nên DA MB DB MA (1)
ME phân giác AMC nên EA MC EC MA (2)
Từ (1), (2) giả thiết MB = MC ta suy DA EA
DB EC DE // BC
b) DE // BC DE AD AI
BC AB AM Đặt DE = x
x m -
x 2 2a.m
x =
a m a + 2m
c) Ta coù: MI =
2 DE = a.m
a + 2m không đổi I cách M đoạn không đổi nên
tập hợp điểm I đường tròn tâm M, bán kính MI = a.m
a + 2m (Trừ giao điểm
với BC
d) DE đường trung bình ABC DA = DB MA = MB ABC vuông A 4 Bài 4:
Cho ABC ( AB < AC) phân giaùc BD, CE
a) Đường thẳng qua D song song với BC cắt AB K, chứng minh E nằm B K
b) Chứng minh: CD > DE > BE Giải
a) BD laø phân giác nên
AD AB AC AE AD AE
= < =
DC BC BC EB DC EB (1)
Mặt khác KD // BC neân AD AK
DC KB (2)
E D
M I
C B
A
E
D
M
K
C B
(39) E nằm K B
b) Gọi M giao điểm DE CB Ta coù CBD = KDB(so le trong)KBD = KDB
mà E nằm K B nên KDB > EDB KBD > EDB EBD > EDB EB < DE Ta lại có CBD + ECB = EDB + DEC DEC>ECB DEC>DCE (Vì DCE = ECB)
Suy ra: CD > ED CD > ED > BE
5 Bài 5: Cho ABC Ba đường phân giác AD, BE, CF
Chứng minh
a
DB EC FA
.
.
1
DC EA FB
b 1 1 1
AD BE CF BC CA AB
Giaûi
a)AD đường phân giác BAC nên ta có: DB = AB
DC AC (1)
Tương tự: với phân giác BE, CF ta có: EC = BC
EA BA (2) ;
FA CA =
FB CB (3)
Từ (1); (2); (3) suy ra: DB EC FA = AB BC CA DC EA FB AC BA CB= b) §Ỉt AB = c , AC = b , BC = a , AD = da
Qua C kẻ đờng thẳng song song víi AD , c¾t tia BA ë H Theo §L TalÐt ta cã: AD BA
CH BH
BA.CH c.CH c
AD CH
BH
BA + AH b + c
Do CH < AC + AH = 2b nªn: da b c
bc
1 1 1 1
2 2
a a
b c
d bc b c d b c
Chøng minh t−¬ng tù ta cã : 1 1
2
b
d a c
Vμ
1 1
2
c
d a b
Nªn:
1 1 1 1 1
2
a b c
d d d b c a c a b
1 1 1 1
2
a b c
d d d a b c
1 1 1
a b c
d d d a b c
( ®pcm )
Bμi tËp vỊ nhμ
Cho ABC có BC = a, AC = b, AB = c (b > c), phân giác BD, CE a) Tính độ dài CD, BE suy CD > BE
b) Vẽ hình bình hành BEKD Chứng minh: CE > EK c) Chứng minh CE > BD
H
F
E
D C
B
(40)CHUN ĐỀ 10 – CÁC BÀI TỐN VỀ TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
A Kiến thức:
* Tam giác đồng dạng:
a) trường hợp thứ nhất: (c.c.c)
ABC A’B’C’ AB = AC = BC A'B' A'C' B'C'
b)trường hợp thứ nhất: (c.g.c) ABC A’B’C’ AB = AC
A'B' A'C' ; A = A'
c Trường hợp đồng dạng thứ ba (g.g) ABC A’B’C’ A = A'; B = B'
AH; A’H’là hai đường cao tương ứng thì: A'H'
AH = k (Tỉ số đồng dạng); A'B'C'
ABC
S
S = K
2
B Bài tập áp dụng Bài 1:
Cho ABC coùB = C, AB = cm, BC = 10 cm
a)Tính AC
b)Nếu ba cạnh tam giác ba số tự nhiên liên tiếp cạnh bao nhiêu?
Giải Cách 1:
Trên tia đối tia BA lấy điểm E cho:BD = BC
ACD ABC (g.g) AC AD
AB AC
2
AC AB AD =AB.(AB + BD)
= AB(AB + BC)
= 8(10 + 8) = 144 AC = 12 cm Cách 2:
Vẽ tia phân giác BE ABC ABE ACB
AB AE BE AE + BE AC
= AC = AB(AB + CB)
AC ABCB AB + CBAB + CB = 8(8 + 10) = 144
AC = 12 cm
b) Gọi AC = b, AB = a, BC = c từ câu a ta có b2 = a(a + c) (1)
Vì b > anên b = a + b = a +
+ Neáu b = a + (a + 1)2= a2 + ac 2a + = ac a(c – 2) =
a = 1; b = 2; c = 3(loại)
+ Nếu b = a + a(c – 4) = - Với a = c = (loại)
E
D
C B
A
(41)- với a = c = ; b = Vậy a = 4; b = 5; c =
Baøi 2:
Cho ABC cân A, đường phân giác BD; tính BD biết BC = cm; AC = 20 cm
Giaûi
Ta coù CD = BC
AD AC CD = cm vaø BC = cm
Bài tốn trở
Bài 3:
Cho ABC cân A O trung điểm BC Một điểm O di động AB, lấy điểm E AC cho CE = OB2
BD Chứng minh
a) DBO OCE
b) DOE DBO OCE
c) DO, EO phân giác góc BDE, CED
d) khoảng cách từ O đến đoạn ED không đổi D di động AB Giải
a) Từ CE = OB2 BD
CE OB =
OB BD vaø B = C (gt) DBO OCE
b) Từ câu a suy O = E3 (1)
Vì B, O ,C thẳng hàng nên
3
O + DOE EOC 180 (2)
trong tam giác EOC
2
E + C EOC 180 (3) Từ (1), (2), (3) suy DOE B C
DOE DBO có DO = OE
DB OC (Do DBO OCE)
vaø DO = OE
DB OB (Do OC = OB) vaø DOE B C
neân DOE DBO OCE
c) Từ câu b suy D = D1 2 DO phân giác góc BDE
Củng từ câu b suy E = E1 EO phân giác góc CED
c) Gọi OH, OI khoảng cách từ O đến DE, CE OH = OI, mà O cố định nên OH không đổi OI không đổi D di động AB
Bài 4: (Đề HSG huyện Lộc hà – năm 2007 – 2008)
Cho ABC cân A, có BC = 2a, M trung điểm BC, lấy D, E thuộc AB, AC cho DME = B
a) Chứng minh tích BD CE khơng đổi
b)Chứng minh DM tia phân giác BDE
c) Tính chu vi AED ABC tam giác
Giaûi
2
3
1 H
I
O E
D
C B
(42)a) Ta coù DMC = DME + CME = B + BDM, maø DME = B(gt)
nên CME = BDM, kết hợp với B = C (ABC cân A)
suy BDM CME (g.g)
BD = BM BD CE = BM CM = a2
CM CE không đổi
b) BDM CME DM = BD DM = BD
ME CM ME BM
(do BM = CM) DME DBM (c.g.c) MDE = BMD
hay DM tia phân giác BDE
c) chứng minh tương tự ta có EM tia phân giác DEC
keû MH CE ,MI DE, MK DB MH = MI = MK DKM = DIM
DK =DI EIM = EHM EI = EH
Chu vi AED laø PAED = AD + DE + EA = AK +AH = 2AH (Vì AH = AK)
ABC tam giác nên suy CME củng tam giác CH = MC 2
a
AH = 1,5a PAED = AH = 1,5 a = 3a
Baøi 5:
Cho tam giác ABC, trung tuyến AM Qua điểm D thuộc cạnh BC, vẽ đường thẳng song song với AM, cắt AB, AC E F a) chứng minh DE + DF không đổi D di động BC b) Qua A vẽ đường thẳng song song với BC, cắt FE K Chứng minh K trung điểm FE
Giaûi
a) DE // AM DE = BD DE = BD.AM
AM BM BM (1)
DF // AM DF = CD DF = CD.AM = CD.AM
AM CM CM BM (2)
Từ (1) (2) suy
DE + DF = BD.AM + CD.AM
BM BM =
BD CD BC
+ AM = AM = 2AM
BM BM BM
không đổi
b) AK // BC suy FKA AMC (g.g) FK = KA
AM CM (3)
EK KA EK KA EK KA EK KA EK KA
= = =
ED BD ED + EK BD + KA KD BD + DM AM BMAM CM (2)
(Vì CM = BM)
Từ (1) (2) suy FK EK
AM AM FK = EK hay K trung điểm FE Bài 6: (Đề HSG huyện Thạch hà năm 2003 – 2004)
Cho hình thoi ABCD cạnh a có 0, đường thẳng qua C cắt tia đối
K H
I
M E D
C B
A
K F
E
D M
C B
(43)a) Chứng minh tích BM DN có giá trị khơng đổi
b) Gọi K giao điểm BN DM Tính số đo góc BKD Giaûi
a) BC // AN MB = CM BA CN (1)
CD// AM CM = AD
CN DN (2)
Từ (1) (2) suy
2
MB AD
= MB.DN = BA.AD = a.a = a BA DN
b) MBD vàBDN có MBD = BDN = 1200
MB MB CM AD BD
= =
BD BA CN DN DN(Do ABCD hình thoi
có A = 600nên AB = BC = CD = DA) MBD BDN
Suy M = B1 MBD vàBKD có BDM = BDK M = B1 neân BKD = MBD = 1200 Bài 7:
Cho hình bình hành ABCD có đường chéo lớn AC,tia Dx cắt SC, AB, BC I, M, N Vẽ CE vng góc với AB, CF vng góc với AD, BG vng góc với AC Gọi K điểm đối xứng với D qua I Chứng minh
a) IM IN = ID2
b) KM = DM
KN DN
c) AB AE + AD AF = AC2
Giaûi
a) Từ AD // CM IM = CI ID AI (1)
Từ CD // AN CI ID
AI IN (2)
Từ (1) (2) suy IM
ID= ID
IN hay ID
2 = IM IN
b) Ta coù DM = CM DM = CM DM = CM
MN MBMN + DM MB + CM DN CB (3)
Từ ID = IK ID2 = IM IN suy IK2 = IM IN
IK = IN IK - IM = IN - IK KM = KN KM = IM IM IK IM IK IM IK KN IK
KM IM CM CM
=
KN ID AD CB (4)
Từ (3) (4) suy KM = DM
KN DN
c) Ta coù AGB AEC AE = AC AB.AE = AC.AG AG AB
AB AE = AG(AG + CG) (5) CGB AFC AF = CG CG
AC CB AD(vì CB = AD)
AF AD = AC CG AF AD = (AG + CG) CG (6)
1
1 K
M
N D
C B
A
I
K F
G
E M D
C
B
(44)Cộng (5) (6) vế theo vế ta có:
AB AE + AF AD = (AG + CG) AG + (AG + CG) CG
AB AE + AF AD = AG2 +2.AG.CG + CG2 = (AG + CG)2 = AC2 Vaäy: AB AE + AD AF = AC2
Bài tập nhà
Bài
Cho Hình bình hành ABCD, đường thẳng cắt AB, AD, AC E, F, G Chứng minh: AB + AD = AC
AE AF AG
HD: Keû DM // FE, BN // FE (M, N thuộc AC) Bài 2:
Qua đỉnh C hình bình hành ABCD, kẻ đường thẳng cắt BD, AB, AD E, G, F chứng minh:
a) DE2 = FE
EG BE
2
b) CE2 = FE GE
(Gợi ý: Xét tam giác DFE BCE, DEC BEG) Bài
Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH, trung tuyến BM, phân giác CD cắt điểm Chứng minh
a) BH CM AD HC MA BD
(45)CHUYÊN ĐỀ 11 – PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO
A.Mục tiêu:
* Củng cố, ơn tập kiến thức kỹ giải Pt bậc cao cách phân tích thành nhân tử
* Khắc sâu kỹ phân tích đa thức thành nhân tử kỹ giải Pt
B Kiến thức tập: I Phương pháp:
* Cách 1: Để giải Pt bậc cao, ta biến đổi, rút gọn để dưa Pt dạng Pt có vế trái đa thức bậc cao, vế phải 0, vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để đưa Pt dạng pt tích để giải
* Cách 2: Đặt ẩn phụ
II Các ví dụ: 1.Ví dụ 1: Giải Pt
a) (x + 1)2(x + 2) + (x – 1)2(x – 2) = 12
2x3 + 10x = 12 x3 + 5x – = (x3 – 1) + (5x – 5) (x – 1)(x2 + x + 6) =
2
x = x - =
x 1 23
x + x + = x +
(Vì x + 23
2
vô nghiệm)
b) x4 + x2 + 6x – = (1)
Vế phải Pt đa thức có tổng hệ số 0, nên có nghiệm x = nên có nhân tử x – 1, ta có
(1) (x4 – x3) + (x3 – x2) + (2x2 – 2x) + (8x – 8) =
(x – 1)(x3 + x2 + 2x + 8) (x – 1)[(x3 + 2x2) – (x2 + 2x) + (4x – 8) ] = (x – 1)[x2(x + 2) – x(x + 2) + 4(x + 2) = (x – 1)(x + 2)(x2 – x + 4) = c) (x – 1)3 + (2x + 3)3 = 27x3 + 8
x3 – 3x2 + 3x – + 8x3 + 36x2 + 54x + 27 – 27x3 – = - 18x3 + 33x2 + 57 x + 18 = 6x3 - 11x2 - 19x - = (2) Ta thấy Pt có nghiệm x = 3, nên vế trái có nhân tử x – 3: (2) (6x3 – 18x2) + (7x2 – 21x) + (2x – 6) =
6x2(x – 3) + 7x(x – 3) + 2(x – 3) = (x – 3)(6x2 + 7x + 2) =
(x – 3)[(6x2 + 3x) + (4x + 2)] = (x – 3)[3x(2x + 1) + 2(2x + 1)] = (x – 3)(2x + 1)(3x + 2)
d) (x2 + 5x)2 – 2(x2 + 5x) = 24 [(x2 + 5x)2 – 2(x2 + 5x) + 1] – 25 = 0
(x2 + 5x - 1)2 – 25 = (x2 + 5x - + 5)( (x2 + 5x - – 5) =
(x2 + 5x + 4) (x2 + 5x – 6) = [(x2 + x) +(4x + 4)][(x2 – x) + (6x – 6)] = (x + 1)(x + 4)(x – 1)(x + 6) =
(46) (x2 + x + 1)2 – 3(x2 + x + 1)( x2 - x + 1) =
( x2 + x + 1)[ x2 + x + – 3(x2 - x + 1)] = ( x2 + x + 1)( -2x2 + 4x - 2) = (x2 + x + 1)(x2 – 2x + 1) = ( x2 + x + 1)(x – 1)2 =
f) x5 = x4 + x3 + x2 + x + (x5 – 1) – (x4 + x3 + x2 + x + 1) = 0
(x – 1) (x4 + x3 + x2 + x + 1) – (x4 + x3 + x2 + x + 1) = (x – 2) (x4 + x3 + x2 + x + 1) =
+) x – = x =
+) x4 + x3 + x2 + x + = (x4 + x3) + (x + 1) + x2 = (x + 1)(x3 + 1) + x2 =
(x + 1)2(x2 – x + 1) + x2 = (x + 1)2 [(x2 – 2.x.1
2 + 4) +
3 4] + x
2 =
(x + 1)2
2
1
x + +
2
+ x
2 = Vô nghiệm (x + 1)2
2
1
x + +
2
nhöng
không xẩy dấu
Bài 2:
a) (x2 + x - 2)( x2 + x – 3) = 12 (x2 + x – 2)[( x2 + x – 2) – 1] – 12 = 0
(x2 + x – 2)2 – (x2 + x – 2) – 12 = Đặt x2 + x – = y Thì
(x2 + x – 2)2 – (x2 + x – 2) – 12 = y2 – y – 12 = (y – 4)(y + 3) =
* y – = x2 + x – – = x2 + x – = (x2 + 3x) – (2x + 6) = (x + 3)(x – 2) =
* y + = x2 + x – + = x2 + x + = (vô nghiệm)
b) (x – 4)( x – 5)( x – 6)( x – 7) = 1680 (x2 – 11x + 28)( x2 – 11x + 30) = 1680 Đặt x2 – 11x + 29 = y , ta coù:
(x2 – 11x + 28)( x2 – 11x + 30) = 1680 (y + 1)(y – 1) = 1680 y2 = 1681 y =
41
y = 41 x2 – 11x + 29 = 41 x2 – 11x – 12 = (x2 – x) + (12x – 12) = (x – 1)(x + 12) =
* y = - 41 x2 – 11x + 29 = - 41 x2 – 11x + 70 = (x2 – 2x 11
2 + 121
4 )+ 159
4 =
c) (x2 – 6x + 9)2 – 15(x2 – 6x + 10) = (3)
Đặt x2 – 6x + = (x – 3)2 = y 0, ta coù
(3) y2 – 15(y + 1) – = y2 – 15y – 16 = (y + 1)(y – 15) = Với y + = y = -1 (loại)
Với y – 15 = y = 15 (x – 3)2 = 16 x – = + x – = x =
+ x – = - x = -
d) (x2 + 1)2 + 3x(x2 + 1) + 2x2 = (4)
(47)+) x + y = x2 + x + = : Vô nghiệm
+) y + 2x = x2 + 2x + = (x + 1)2 = x = - Baøi 3:
a) (2x + 1)(x + 1)2(2x + 3) = 18 (2x + 1)(2x + 2)2(2x + 3) = 72 (1)
Đặt 2x + = y, ta coù
(1) (y – 1)y2(y + 1) = 72 y2(y2 – 1) = 72 y4 – y2 – 72 =
Đặt y2 = z Thì y4 – y2 – 72 = z2 – z – 72 = (z + 8)( z – 9) =
* z + = z = - (loại)
* z – = z = y2 = y = x = b) (x + 1)4 + (x – 3)4 = 82 (2)
Đặt y = x – x + = y + 2; x – = y – 2, ta coù (2) (y + 2)4 + (y – 2)4 = 82
y4 +8y3 + 24y2 + 32y + 16 + y4 - 8y3 + 24y2 - 32y + 16 = 82 2y4 + 48y2 + 32 – 82 = y4 + 24y2 – 25 =
Đặt y2 = z y4 + 24y2 – 25 = z2 + 24 z – 25 = (z – 1)(z + 25) =
+) z – = z = y = 1 x = 0; x = +) z + 25 = z = - 25 (loại)
Chú ý: Khi giải Pt bậc dạng (x + a)4 + (x + b)4 = c ta thường đặt ẩn phụ y = x + a + b
2
c) (4 – x)5 + (x – 2)5 = 32 (x – 2)5 – (x – 4)5 = 32
Đặt y = x – x – = y + 1; x – = y – 1; ta coù: (x – 2)5 – (x – 4)5 = 32 (y + 1)5 - (y – 1)5 = 32
y5 + 5y4 + 10y3 + 10y2 + 5y + – (y5 - 5y4 + 10y3 - 10y2 + 5y - 1) – 32 = 10y4 + 20y2 – 30 = y4 + 2y2 – =
Đặt y2 = z y4 + 2y2 – = z2 + 2z – = (z – 1)(z + 3) =
d) (x - 7)4 + (x – 8)4 = (15 – 2x)4
Đặt x – = a; x – = b ; 15 – 2x = c - c = 2x – 15 a + b = - c , Neân
(x - 7)4 + (x – 8)4 = (15 – 2x)4 a4 + b4 = c4 a4 + b4 - c4 = a4 + b4 – (a + b)4 =
0
4ab(a2 +
2ab + b
2) = 4ab a + b + 3 b2
4 16
= 4ab =
(Vì a + b + 3 b2
4 16
không xẩy dấu bằng) ab = x = 7; x = e) 6x4 + 7x3 – 36x2 – 7x + =
2
1
6 x x - 36
x x
(Vì x = không nghiệm) Đặt x -
x = y
2
1 x
x
(48)2
1
6 x x - 36
x x
6(y
2 + 2) + 7y – 36 = 6y2 + 7y – 24 =
(6y2 – 9y) + (16y – 24) = (3y + )(2y – 3) = +) 3y + = y = -
3 x -
x = -
3 (x + 3)(3x – 1) = 0
x = - x + =
1 3x - = x =
3
+) 2y – = y =
2 x -
x =
2 (2x + 1)(x – 2) = 0
x = x - =
1 2x + = x = -
2
Bài 4: Chứng minh rằng: Pt sau vô nghiệm
a) x4 – 3x2 + 6x + 13 = ( x4 – 4x2 + 4) +(x2 + 6x + 9) = (x2 – 2)2 + (x + 3)2 =
0
Vế trái (x2 – 2)2 + (x + 3)2 không đồng thời xẩy x2 = x = -3
b) x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + = (x – 1)( x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1) = 0
x7 – = x =
x = không nghiệm Pt x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + =
Bài tập nhà: Bài 1: Giải Pt a)(x2 + 1)2 = 4(2x – 1)
HD: Chuyển vế, triển khai (x2 + 1)2, phân tích thành nhân tử: (x – 1)2(x2 + 2x + 5) =
b) x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = 24 (Nhân nhân tử với nhau, áp dụng PP đặt ẩn phụ) c) (12x + 7)2(3x + 2)(2x + 1) = (Nhân vế với 24, đặt 12x + = y)
d) (x2 – 9)2 = 12x + (Thêm, bớt 36x2)
e) (x – 1)4 + (x – 2)4 = ( Đặt y = x – 1,5; Ñs: x = 1; x = 2)
f) (x – 1)5 + (x + 3)5 = 242(x + 1) (Đặt x + = y; Ñs:0; -1; -2 )
g) (x + 1)3 + (x - 2)3 = (2x – 1)3
Đặt x + = a; x – = b; - 2x = c a + b + c = a3 + b3 + c3 = 3abc h) 6x4 + 5x3 – 38x2 + 5x + = 0 (Chia vế cho x2; Đặt y =
x + x )
i) x5 + 2x4 + 3x3+ 3x2 + 2x + = 0 (Vế trái đa thức có tổng hệ số bậc chẵn
bằng tổng hệ số bậc lẻ )
Bài 2: Chứng minh pt sau vô nghiệm a) 2x4 – 10x2 + 17 = 0
(Phân tích vế trái thành tổng hai bình phương) b) x4 – 2x3+ 4x2 – 3x + = 0
(49)CHUYÊN ĐỀ 12 – VẼ ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG ĐỂ TẠO
THAØNH CÁC CẶP ĐOẠN THẲNG TỶ LỆ
A Phương pháp:
Trong tập vận dụng định lí Talét Nhiều ta cần vẽ thêm đường phlà đường thẳng song song với đường thẳng cho trước, Đây cách vẽ đường phụ ïhay dùng, nhờ mà tạo thành cặp đoạn thẳng tỉ lệ
B Các ví dụ: 1) Ví duï 1:
Trên cạnh BC, CA, AB tam giác ABC, lấy tương ứng điểm P, Q, R cho ba đường thẳng AP, BQ, CR cắt điểm
Chứng minh: AR BP CQ
RB PC QA (Định lí Cê – va)
Giải
Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt đường thẳng CR, BQ E, F Gọi O giao điểm AP, BQ, CR
ARE BRC AR = AE
RB BC (a)
BOP FOA BP = OP
FA OA (1)
POC AOE PC = PO
AE AO (2)
Từ (1) (2) suy ra: BP = PC BP FA FA AEPC AE (b)
AQF CQB CQ = BC
AQ FA (c)
Nhân (a), (b), (c) vế theo vế ta có: AR BP CQ AE FA BC RB PC QA BC AE FA
* Đảo lại: Nếu AR BP CQ
RB PC QA bai đường thẳng AP, BQ, CR đồng quy 2) Ví dụ 2:
Một đường thăng cắt cạnh( phần kéo dài cạnh) tam giác ABC P, Q, R
Chứng minh rằng: RB.QA.PC
RA.CQ.BP (Định lí Mê-nê-la-uýt)
Giải:
Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt PR E Ta có RAE RBP RB = BP
RA AE (a)
O F E
R Q
C P
B A
E R
Q
C P
(50)AQE CQP QA = AE QC CP (b)
Nhân vế theo vế đẳng thức (a) (b) ta có
RB QA BP AE =
RA QC AE CP (1)
Nhân hai vế đẳng thức (1) với PC
BP ta coù:
RB PC QA BP AE PC = RA BP QC AE CP BP
Đảo lại: Nếu RB.QA.PC
RA.CQ.BP ba điểm P, Q, R thẳng hàng
3) Ví dụ 3:
Cho tam giác ABC, trung tuyến AM Gọi I điểm cạnh BC Đường thẳng qua I song song với AC cắt AB K; đường thẳng qua I song song với AB cắt AC, AM theo thứ tự D, E Chứng minh DE = BK
Giaûi
Qua M kẻ MN // IE (N AC).Ta có:
DE AE DE MN
=
MN AN AE AN (1)
MN // IE, mà MB = MC AN = CN (2) Từ (1) (2) suy DE MN
AE CN (3)
Ta lại có MN CN MN AB
AB AC CN AC(4)
Từ (4) (5) suy DE AB
AE AC (a)
Tương tự ta có: BK AB
KI AC (6)
Vì KI // AC, IE // AC nên tứ giác AKIE hình bình hành nên KI = AE (7)
Từ (6) (7) suy BK BK AB
KI AE AC (b)
Từ (a) (b) suy DE BK
AE AE DE = BK 4) Ví dụ 4:
Đường thẳng qua trung điểm cạnh đối AB, CD tứ giác ABCD cắt đường thẳng AD, BC theo thứ tự I, K Chứng minh: IA KC = ID KB
Giaûi
Gọi M, N theo thứ tự trung điểm AB, CD Ta có AM = BM; DN = CN
Vẽ AE, BF song song với CD
N D
I M
E
K
C B
A
F
E I K
M
N
D C
B
(51)Theo định lí Talét ta có: IA = AE BF ID DN CN (1)
Củng theo định lí Talét ta coù: KB = BF KC CN (2)
Từ (1) (2) suy IA =KB
ID KC IA KC = ID KB 5) Ví dụ 5:
Cho xOy, điểm A, B theo thứ tự chuyển động tia Ox, Oy cho
1 1
+
OA OBk (k số) Chứng minh AB qua điểm cố định
Giaûi
Vẽ tia phân giác Oz xOy cắt AB C vẽ CD // OA
(D OB) DOC = DCO = AOC
COD cân D DO = DC
Theo định lí Talét ta có CD = BD CD OB - CD OA OBOA OB
CD CD 1 1
OA OB OA OB CD (1)
Theo giả thiết + 1 OA OBk (2)
Từ (1) (2) suy CD = k , không đổi
Vậy AB qua điểm cố định C cho CD = k CD // Ox , D OB 6) Ví dụ 6:
Cho điểm M di động đáy nhỏ AB hình thang ABCD, Gọi O giao điểm hai cạnh bên DA, CB Gọi G giao điểm OA
CM, H giao điểm OB DM Chứng minh rằng: Khi M di động AB tổng OG + OH
GD HC
không đổi Giải
Qua O kẻ đường thẳng song với AB cắt CM, DM theo thứ tự I K Theo định lí Talét ta có:
OG OI GD CD;
OH OK HC CD
OG OH OI OK IK +
GD HC CD CD CD GD HC CD
OG OH IK +
(1)
Qua M vẽ đường thẳng vng góc với AB cắt IK, CD theo thứ tự P Q, ta có:
IK MP FO
CD MQ MQ không đổi FO khoảng cách từ O đến AB, MQ đường cao
hình thang nên khơng đổi (2)
Từ (1) (2) suy OG + OH FO
GD HC MQ không đổi
Q P
F
K I
H G
M O
D C
B A
z
O
y
x D
C B
(52)7) Ví dụ 7:
Cho tam giác ABC (AB < AC), phân giác AD Trên AB lấy điểm M, AC lấy điểm N cho BM = CN, gọi giao điểm CM BN O, Từ O vẽ đường thẳng song song với AD cắt AC, AB E F
Chứng minh rằng: AB = CF; BE = CA Giải
AD phân giác nên BAD = DAF
EI // AD BAD = AEF (góc đồng vị)
Mà DAF OFC (đồng vị); AFE = OFC (đối đỉnh)
Suy AEF AFE AFE cân A AE =AF (a)
p dụng định lí Talét vào ACD , với I giao điểm EF với BC ta có CF = CI CF CA
CA CD CI CD (1)
AD phân giác BAC nên CA BA CD BD (2)
Từ (1) (2) suy CF BA
CI BD (3)
Kẻ đường cao AG AFE BP // AG (P AD); CQ // AG (Q OI) BPD = CQI = 900
Gọi trung điểm BC K, ta có BPK = CQK (g.c.g) CQ = BP BPD = CQI (g.c.g) CI = BD (4)
Thay (4) vào (3) ta có CF BA
BD BD CF = BA (b)
Từ (a) (b) suy BE = CA
Bài tập nhà
1) Cho tam giác ABC Điểm D chia BC theo tỉ số : 2, điểm O chia AD theo tỉ số : gọi K giao điểm BO AC Chứng minh KA
KC không đổi
2) Cho tam giác ABC (AB > AC) Lấy điểm D, E tuỳ ý thứ tự thuộc cạnh AB, AC cho BD = CE Gọi giao điểm DE, BC K, chứng minh :
Tỉ số KE
KD không đổi D, E thay đổi AB, AC
(HD: Veõ DG // EC (G BC)
G
P O K
I N
D Q
C B
M A
(53)CHUYÊN ĐỀ 13 – BỔ ĐỀ HÌNH THANG VAØ CHÙM ĐƯỜNG
THẲNG ĐỒNG QUY
A Kiến thức:
1) Bổ đề hình thang:
“Trong hình thang có hai đáy khơng nhau, đường thẳng qua giao điểm đường chéo qua giao điểm đường thẳng chứa hai cạnh bên qua trung điểm hai đáy”
Chứng minh:
Gọi giao điểm AB, CD H, AC, BD G, trung điểm AD, BC E F
Nối EG, FG, ta có: ADG CBG (g.g) , nên :
AD AG 2AE AG AE AG CB CG 2CF CG CF CG (1)
Ta laïi coù : EAG FCG (SL ) (2)
Từ (1) (2) suy : AEG CFG (c.g.c) Do đó: AGE CGF E , G , H thẳng hàng (3) Tương tự, ta có: AEH BFHAHE BHF
H , E , F thẳng hàng (4)
Tõừ (3) (4) suy : H , E , G , F thẳng hàng
2) Chùm đường thẳng đồng quy:
Nếu đường thẳng đồng quy cắt hai đường thẳng song song chúng định hai đường thẳng song song đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ
Nếu m // n, ba đường thẳng a, b, c đồng quy O chúng cắt m A, B, C cắt n A’, B’, C’
AB BC AC =
A'B' B'C'A'C'
AB A'B' AB A'B' = ;
BC B'C' ACA'C'
* Đảo lại:
+ Nếu ba đường thẳng có hai đường thẳng cắt nhau, định hai đường thẳng song song cặp đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ ba đường thẳng đồng quy
+ Nếu hai đường thẳng bị cắt ba đường thẳng đồng quy tạo thành cặp đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ chúng song song với
B p dụng: 1) Bài 1:
Cho tứ giác ABCD có M trung điểm CD, N trung điểm CB Biết AM, AN cắt BD thành ba đoạn Chứng minh ABCD hình bình hành
Giải
// //
/ /
H
G E
F D
C B
A
c b
a
O
n m
A' B' C'
C B
(54)Gọi E, F giao điểm AM, AN với BD; G, H giao điểm MN với AD, BD
MN // BC (MN đường trung bình BCD)
Tứ giác HBFM hình thang có hai cạnh bên địng quy A, N trung điểm đáy BF nên theo bổ đề hình thang N trung điểm đáy MH
MN = NH (1)
Tương tự : hình thang CDEN M trung điểm GN GM = MN (2)
Từ (1) (2) suy GM = MN = NH
Ta có BNH = CNM (c.g.c) BHN = CMN BH // CM hay AB // CD (a) Tương tự: GDM = NCM (c.g.c) DGM = CNM GD // CN hay AD // CB (b) Từ (a) (b) suy tứ giác ABCD có cặp cạnh đối
song song nên hình bình hành
2) Bài 2:
Cho ABC có ba góc nhọn, trực tâm H, đường thẳng qua H cắt AB, AC thứ tự tạ P, Q cho HP = HQ Gọi M trung điểm BC Chứng minh: HM
PQ Giaûi
Gọi giao điểm AH BC I Từ C kẻ CN // PQ (N AB),
ta chứng minh MH CN HM PQ
Tứ giác CNPQ hình thang, có H trung điểm PQ, hai cạnh bên NP CQ đồng quy A nên K trung điểm CN MK đường trung bình BCN MK // CN MK // AB (1)
H trực tâm ABC nên CHA B (2)
Từ (1) (2) suy MK CH MK đường cao củaCHK (3) Từ AH BC MCHK MI đường cao CHK (4)
Từ (3) (4) suy M trực tâm CHK MHCN MHPQ 3) 3:
Cho hình chữ nhật ABCD có M, N thứ tự trung điểm AD, BC Gọi E điểm thuộc tia đối tia DC, K giao điểm EM AC Chứng minh rằng: NM tia phân giác KNE
Giải
Gọi H giao điểm KN DC, giao điểm
H
G F
E
N
M D
C B
A
I K N
M
Q P
H
C B
A
// //
I
N M
K
(55)chữ nhật ABCD)
Tứ giác EMNH hình thang có hai cạnh bên EM HN đồng quy K I trung điểm MN nên C trung điểm EH
Trong ENH NC vừa đường cao, vừa đường trung tuyến nên ENH cân N NC tia phân giác ENH mà NC MN (Do NM BC – MN // AB) NM tia phân giác góc ngồi N ENH
Vậy NM tia phân giác KNE
Bài 4:
Trên cạnh BC = cm hình vuông ABCD lấy điểm E cho BE = cm Trên tia đối tia CD lấy điểm F cho CF = cm Gọi M giao điểm AE BF Tính AMC
Giải
Gọi giao điểm CM AB H, AM DF G Ta có: BH = AB BH
CF FG FG
Ta lại có AB = BE = CG = 2AB = 12 cm CG EC 4 2
FG = cm BH BH = cm
3 9 BH = BE
BAE = BCH (c.g.c) BAE = BCH maø BAE + BEA = 900
Mặt khác BEA = MEC ; MCE = BCH MEC + MCE = 900 AMC = 900
Baøi 5:
Cho tứ giác ABCD Qua điểm E thuộc AB, H thuộc AC vẽ đường thẳng song song với BD, cắt cạnh lại tứ giác F, G
a) Có thể kết luận đường thẳng EH, AC, FG b) Gọi O giao điểm AC BD, cho biết OB = OD Chứng minh ba đường thẳng EG, FH, AC đồng quy Giải
a) Nếu EH // AC EH // AC // FG
Nếu EH AC không song song EH, AC, FG đồng quy b) Gọi giao điểm EH, HG với AC
Trong hình thang DFEB có hai cạnh bên DF, BE đồng quy A OB = OD nên theo bổ đề hình thang M trung điểm EF
Tương tự: N trung điểm GH Ta có ME = MF
GN HN nên ba đường thẳng EG, FH, AC đồng quy O
H
M
G F
E
D C
B A
O
H
G F
E
N M
D C
B
(56)CHUYÊN ĐỀ 14 – SỬ DỤNG CÔNG THỨC DIỆN TÍCH ĐỂ THIẾT
LẬP QUAN HỆ ĐỘ DÀI CỦA CÁC ĐOẠN THẲNG
A Một số kiến thức:
1 Cơng thức tính diện tích tam giác: S =
2 a.h (a – độ dài cạnh, h – độ dài đường cao tương ứng)
2 Một số tính chất:
Hai tam giác có chung cạnh, có độ dài đường cao có diện tích Hai tam giác có diện tích
B Một số tốn: 1 Bài 1:
Cho ABC có AC = 6cm; AB = cm; đường cao AH; BK; CI Biết AH = CI + BK
2
Tính BC Giải
Ta có: BK = 2SABC
AC ; CI =
ABC
2S AB
BK + CI = SABC 1
AC AB
2AH = 2.1
2 BC AH
1
AC AB
BC
1
AC AB
=
BC = : 1
AC AB
= :
1
= 4,8 cm Bài 2:
Cho ABC có độ dài cạnh a, b, c; độ dài đường cao tương ứng ha, hb, hc
Biết a + = b + hb = c + hc Chứng minh ABC tam giác
Giải
Gọi SABC = S
Ta xét a + = b + hb a – b = – hb = 2S - 2S 2S - 2S a - b
b a b a ab
a – b = 2S a - b
ab (a – b)
2S -
ab
= ABC cân C vng C (1) Tương tự ta có: ABC cân A vuông A (2); ABC cân B vuông B (3)
Từ (1), (2) (3) suy ABC cân vuông ba đỉnh (Không xẩy vuông ba đỉnh) ABC tam giác
Baøi 3:
K I
H C
(57)ABC theo thứ tự A’, B’, C’ Chứng minh rằng: a) OA' OB' OC'
AA' BB' CC' b)
OA OB OC AA' BB' CC'
c) M = OA OB OC
OA' OB' OC' Tìm vị trí O để tổng M có giá
trị nhỏ
d) N = OA OB OC
OA' OB' OC' Tìm vị trí O để tích N có giá trị
nhỏ Giải
Gọi SABC = S, S1 = SBOC , S2 = SCOA , S3 = SAOB Ta coù:
3
2
OA'C OA'B
S S S
S OA
= =
OA' S S S
(1)
OA'C OA'B OA'C OA'B AA'C AA'B AA'C AA'B
S S S S S
OA'
= =
AA' S S S S S
(2)
Từ (1) (2) suy OA S2 S3
AA' S
Tương tự ta có
2
S S OB
OB' S
;
3
S S OC
OC' S
; OB' S2
BB' S ;
3
S OC' CC' S
a) OA' OB' OC' S1 S2 S3 S 1
AA' BB' CC' S S S S
b) OA OB OC S2 S3 S1 S3 S1 S2 2S 2
AA' BB' CC' S S S S
c) M = 3 2 3
1 2 3
S S S S S S S S S S S S OA OB OC
OA' OB' OC' S S S S S S S S S
Aùp dụng Bđt Cô si ta có 3
2 3
S S
S S S S
2 2
S S S S S S
Đẳng thức xẩy S1 = S2 = S3 O trọng tâm tam giác ABC
d) N = 3
3
3
2
1 3
S S S S S S S S S S S S
S S S S S S
N2 =
2 2
2 3 2 3
2
1 3
S S S S S S 4S S 4S S 4S S 64 S S S S S S
N
Đẳng thức xẩy S1 = S2 = S3 O trọng tâm tam giác ABC
Baøi 4:
Cho tam giác ABC, đường caoAD, BE, CF; gọi A’, B’, C’ hình chiếu M (nằm bên tam giác ABC) AD, BE, CF Chứng minh rằng: Khi M thay đổi vị trí tam giác ABC thì:
(58)Gọi h = AH chiều cao tam giác ABC h không đổi Gọi khoảng cách từ M đến cạnh AB; BC; CA MP; MQ; MR A’D + B’E + C’F = MQ + MR + MP
Vì M nằm tam giác ABC nên SBMC + SCMA + SBMA =
SABC
BC.(MQ + MR + MP) = BC.AH MQ + MR + MP =
AH
A’D + B’E + C’F = AH = h
Vậy: A’D + B’E + C’F = AH = h không đổi
b) AA’ + BB’ + CC’ = (AH – A’D)+(BE – B’E) (CF – C’F)
= (AH + BE + CF) – (A’D + B’E + C’F) = 3h – h = 2h khơng đổi
Bài 5:
Cho tam giác ABC có BC trung bình cộng AC AB; Gọi I giao điểm phân giác, G trọng tâm tam giác Chứng minh: IG // BC
Giaûi
Gọi khoảng cách từ a, I, G đến BC AH, IK, GD Vì I giap điểm ba đường phân giác nên khoảng cách từ I đến ba cạnh AB, BC, CA IK
Vì I nằm tam giác ABC nên:
SABC = SAIB + SBIC + SCIA BC.AH = IK(AB+BC+CA) (1)
Maø BC = AB + CA
2 AB + CA = BC (2)
Thay (2) vào (1) ta có: BC AH = IK 3BC IK =
3AH (a)
Vì G trọng tâm tam giác ABC nên: SBGC =
3 SABC BC GD =
3 BC AH GD =
3 AH (b)
Từ (a) (b) suy IK = GD hay khoảng cách từ I, G đến BC nên IG // BC
Bài tập nhà:
1) Cho C điểm thuộc tia phân giác
xOy = 60 , M điểm nằm đường
vng góc với OC C thuộc miền xOy, gọi MA, MB thứ tự khoảng
cách từ M đến Ox, Oy Tính độ dài OC theo MA, MB
2) Cho M điểm nằm tam giác ABC A’, B’, C’ hình chiếu M cạnh BC, AC, AB Các đường thẳng vng góc với BC C, vng góc với CA A , vng góc với AB B cắt D, E, F Chứng minh rằng:
a) Tam giác DEF tam giác
b) AB’ + BC’ + CA’ không phụ thuộc vị trí M tam giaùc ABC
R
Q P
C' B'
A' M
F E
D C
B
A
M K
H
G I
D C
(59)CHUYÊN ĐỀ 15 – TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA MỘT
BIỂU THỨC
A Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức:
1) Khái niệm: Nếu với giá trị biến thuộc khoảng xác định mà giá trị biểu thức A ln ln lớn (nhỏ bằng) số k tồn giá trị biến để A có giá trị k k gọi giá trị nhỏ (giá trị lớn nhất) biểu thức A ứng với giá trị biến thuộc khoảng xác định nói
2) Phương pháp
a) Để tìm giá trị nhỏ A, ta cần: + Chứng minh A k với k số
+ Chỉ dấ “=” xẩy với giá trị biến b) Để tìm giá trị lớn A, ta cần:
+ Chứng minh A k với k số
+ Chỉ dấ “=” xẩy với giá trị biến
Kí hiệu : A giá trị nhỏ A; max A giá trị lớn A
B.Các tập tìmGiá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức: I) Dạng 1: Tam thức bậc hai
Ví dụ :
a) Tìm giá trị nhỏ A = 2x2 – 8x + 1
b) Tìm giá trị lớn B = -5x2 – 4x + 1
Giaûi
a) A = 2(x2 – 4x + 4) – = 2(x – 2)2 – - 7
min A = - x = b) B = - 5(x2 + 4
5x) + = - 5(x
2 + 2.x.2
5 + 25) +
9 =
9
5 - 5(x + 5)
2
5
max B =
5 x =
b) Ví dụ 2: Cho tam thức bậc hai P(x) = a x2 + bx + c
a) Tìm P a > b) Tìm max P a < Giải
Ta có: P = a(x2 + b
a x) + c = a(x + b 2a )
2 + (c - b2
4a )
Đặt c - b2
4a = k Do (x + b 2a )
2 nên:
a) Nếu a > a(x + b
2a )
2 P k P = k x = - b
2a
b) Nếu a < a(x + b
2a )
2 P k max P = k x = - b
(60)II Dạng 2: Đa thức có dấu giá trị tuyệt đối 1) Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ
a) A = (3x – 1)2 –
3x - +
đặt 3x - = y A = y2 – 4y + = (y – 2)2 + A = y = 3x - =
x = 3x - =
1 3x - = - x = -
3
b) B = x - + x -
B = x - + x - = B = x - + - x x - + - x =
B = (x – 2)(3 – x) x 2) Ví dụ 2: Tìm GTNN C = x - x + 2 x - x - 22
Ta coù C = x - x + 2 x - x - 2 = x - x + 2 + x - x2 x - x + + + x - x2 =
min C = (x2 – x + 1)(2 + x – x2) + x – x2 x2 – x – (x + 1)(x – 2) - x 2
3)Ví dụ 3:
Tìm giá trị nhỏ : T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4| Ta cã |x-1| + |x-4| = |x-1| + |4-x| |x-1+4-x| = (1) Vμ x 2 x x x x x = (2)
VËy T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4| + = Ta cã tõ (1) DÊu b»ng x¶y 1 x
(2) DÊu b»ng x¶y x Vậy T có giá trị nhỏ lμ 2 x III.Dạng 3: Đa thức bậc cao
1) Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ
a) A = x(x – 3)(x – 4)(x – 7) = (x2 – 7x)( x2 – 7x + 12)
Đặt x2 – 7x + A = (y – 6)(y + 6) = y2 – 36 - 36
Min A = - 36 y = x2 – 7x + = (x – 1)(x – 6) = x = x = b) B = 2x2 + y2 – 2xy – 2x + = (x2 – 2xy + y2) + (x2 – 2x + 1) + 2
= (x – y)2 + (x – 1)2 + x - y =
x = y = x - =
c) C = x2 + xy + y2 – 3x – 3y = x2 – 2x + y2 – 2y + xy – x – y
Ta coù C + = (x2 – 2x + 1) + (y2 – 2y + 1) + (xy – x – y + 1)
= (x – 1)2 + (y – 1)2 + (x – 1)(y – 1) Ñaët x – = a; y – = b
C + = a2 + b2 + ab = (a2 + 2.a.b
2 +
2
b ) +
2
3b
4 = (a + b 2)
2 + 3b2
4
(61)Đặt x + = y C = (y + 1)4 + (y – 1)4 = y4 + 4y3 + 6y2 + 4y + + y4 - 4y3 + 6y2 - 4y +
= 2y4 + 12y2 + A = y = x = -
b) D = x4 – 6x3 + 10x2 – 6x + = (x4 – 6x3 + 9x2 ) + (x2 – 6x + 9)
= (x2 – 3x)2 + (x – 3)2 D = x =
IV Dạng phân thức:
1 Phân thức có tử số, mẫu tam thức bậc hai
Biểu thức dạng đạt GTNN mẫu đạt GTLN
Ví dụ : Tìm GTNN A = 2
6x - - 9x = 2
- 2
9x - 6x + (3x - 1)
Vì (3x – 1)2 (3x – 1)2 +
2
1 2
(3x - 1) 4 (3x - 1) 4
A -
1
min A = -1
2 3x – = x =
2 Phân thức có mẫu bình phương nhị thức a) Ví dụ 1: Tìm GTNN A = 3x - 8x + 622
x - 2x +
+) Cách 1: Tách tử thành nhóm có nhân tử chung với mẫu A = 3x - 8x + 622 = 3(x - 2x + 1) - 2(x - 1) + 12 2 2
x - 2x + (x - 1) x - (x - 1) Đặt y =
x - Thì
A = – 2y + y2 = (y – 1)2 + A = y =
x - = x =
+) Cách 2: Viết biểu thức A thành tổng số với phân thức không âm A = 3x - 8x + 622 = 2(x - 2x + 1) + (x - 4x + 4)2 2 2 (x - 2)22
x - 2x + (x - 1) (x - 1)
A = x – = x = b) Ví dụ 2: Tìm GTLN B = 2 x
x 20x + 100
Ta coù B = 2 x x 2
x 20x + 100(x + 10) Ñaët y =
x + 10 x =
10 y
B = (1 10 y ).y
2 = - 10y2 + y = - 10(y2 – 2.y.
20y + 400) +
1
40 = - 10
2
y - 10
1
+
1 40
1 40
Max B =
40
1 y -
10 = y =
10 x = 10
c) Ví dụ 3: Tìm GTNN C = 2 x + y2 2
x + 2xy + y
Ta coù: C =
2
2 2
2 2
1
(x + y) (x - y)
x + y 2 1 (x - y)
x + 2xy + y (x + y) 2 (x + y)
A =
2 x = y 3 Các phân thức có dạng khác
(62)Ta coù: A = - 4x2 (4x2 4x 4) (x2 1) (x - 2)2 1
x x x
A = - x =
Ta lại có: A = - 4x2 (4x2 4) (4x + 4x + 1) 2 (2x 1)2
x x x
max A = x =
1
C Tìm GTNN, GTLN biểu thức biết quan hệ biến
1) Ví dụ 1: Cho x + y = Tìm GTNN A = x3 + y3 + xy
Ta coù A = (x + y)(x2 – xy + y2) + xy = x2 + y2 (vì x + y = 1)
a) Cách 1: Biểu thị ẩn qua ẩn kia, đưa tam thức bậc hai Từ x + y = x = – y
neân A = (1 – y)2 + y2 = 2(y2 – y) + = 2(y2 – 2.y.1
2 + 4) +
1 =
2
1 1
y - +
2 2
Vaäy A =
2 x = y =
b) Cách 2: Sử dụng đk cho, làm xuất biểu thức có chứa A
Từ x + y = x2 + 2xy + y2 = 1(1) Mặt khác (x – y)2 x2 – 2xy + y2 (2) Cộng (1) với (2) vế theo vế, ta có:
2(x2 + y2) x2 + y2
2 A =
2 x = y = 2)Ví dụ 2: Cho x + y + z =
a) Tìm GTNN A = x2 + y2 + z2
b) Tìm GTLN cuûa B = xy + yz + xz
Từ Cho x + y + z = Cho (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + xz) = (1) Ta có x2 + y2 + z2- xy – yz – zx =
2
1.2 ( x2 + y2 + z2- xy – yz – zx)
=
2
1 ( )2 ( )2 ( )2
x y x z y z
x2 + y2 + z2 xy+ yz + zx (2)
Đẳng thức xẩy x = y = z a) Từ (1) (2) suy
9 = x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + xz) x2 + y2 + z2 + 2(x2 + y2 + z2) = 3(x2 + y2 + z2)
x2 + y2 + z2 A = x = y = z = b) Từ (1) (2) suy
= x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + xz) xy+ yz + zx + 2(xy + yz + xz) = 3(xy+ yz + zx)
xy+ yz + zx max B = x = y = z =
3)Vớ duù 3:
Tìm giá trị lớn S = xyz.(x+y).(y+z).(z+x) víi x,y,z > vμ x + y + z = Vì x,y,z > ,áp dụng BĐT Côsi ta có: x+ y + z 33 xyz 1
3 xyz
27 xyz
áp dụng bất đẳng thức Cơsi cho x+y ; y+z ; x+z ta có
(63)Vậy S có giá trị lớn nhÊt lμ
729 x = y = z =
4)Ví dụ 4: Cho xy + yz + zx = Tìm giá trị nhỏ x4y4z4
áp dụng BĐT Bunhiacốpski cho sè (x,y,z) ;(x,y,z) Ta cã
xyyzzx
2
x2 y2z2
2 1
x2y2z2
2 (1) áp dụng BĐT Bunhiacốpski cho (x2,y z2, 2) v (1,1,1)Ta cã (x2y2z2 2) (12 12 )(2 x4y4z4)(x2y2z2 2) 3(x4y4 z4) Tõ (1) vμ (2) 1 3(x4y4z4) 4
3
x y z
VËy x4y4z4 có giá trị nhỏ l
3 x= y = z = 3
D Một số ý:
1) Khi tìm GTNN, GTLN ta đổi biến
Ví dụ : Khi tìm GTNN A =(x – 1)2 + (x – 3)2 , ta đặt x – = y
A = (y + 1)2 + (y – 1)2 = 2y2 + 2…
2) Khi tìm cực trị biểu thức, ta thay đk biểu thức đạt cực trị đk tương đương biểu thức khác đạt cực trị:
+) -A lớn A nhỏ ; +)
Blớn B nhỏ (với B > 0)
+) C lớn C2 lớn Ví dụ: Tìm cực trị A =
4 2
x + x +
a) Ta có A > nên A nhỏ
A lớn nhất, ta có
2
22
4
x +
1 2x
1
A x + x + 1
A = x = max A = x =
b) Ta coù (x2 – 1)2 x4 - 2x2 + x4 + 2x2 (Dấu xẩy x2 =
1)
Vì x4 + >
4
2x
x +
2
2x
1 1
x + 1 max
A = x
2 =
A =
2 x = 1
3) Nhiều ta tìm cực trị biểu thức khoảng biến, sau so sámh cực trị để để tìm GTNN, GTLN tồn tập xác định biến
Ví dụ: Tìm GTLN cuûa B = y
5 - (x + y)
a) xeùt x + y
- Nếu x = A = - Nếu y 3 A - Nếu y = x = A =
(64)So sánh giá trị A, ta thấy max A = x = 0; y = 4) Sử dụng bất đẳng thức
Ví dụ: Tìm GTLN A = 2x + 3y biết x2 + y2 = 52
p dụng Bđt Bunhiacốpxki: (a x + by)2 (a2 + b2)(x2 + y2) cho số 2, x , 3, y ta coù:
(2x + 3y)2 (22 + 32)(x2 + y2) = (4 + 9).52 = 262
2x + 3y 26
Max A = 26 x = y
3 y = 3x
2 x
2 + y2 = x2 + 3x
2
= 52 13x
2 = 52.4 x =
4
Vậy: Ma x A = 26 x = 4; y = x = - 4; y = -
5) Hai số có tổng khơng đổi tích chúng lớn chúng
Hai số có tích khơng đổi tổng chúng lớn chúng
a)Ví dụ 1: Tìm GTLN A = (x2 – 3x + 1)(21 + 3x – x2)
Vì (x2 – 3x + 1) + (21 + 3x – x2) = 22 khơng đổi nên tích (x2 – 3x + 1)(21 + 3x – x2)
lớn x2 – 3x + = 21 + 3x – x2 x2 – 3x – 10 = x = x
= -
Khi A = 11 11 = 121 Max A = 121 x = x = - b) Ví dụ 2: Tìm GTNN B = (x + 4)(x + 9)
x
Ta coù: B = (x + 4)(x + 9) x2 13x + 36 x + 36 13
x x x
Vì số x 36
x có tích x 36
x = 36 không đổi nên
36 x +
x nhỏ x = 36
x x =
6
A = x + 36 13
x nhỏ laø A = 25 x =
6)Trong tìm cực trị cần tồn giá trị biến để xẩy đẳng thức không cần giá trị để xẩy đẳng thức
Ví dụ: Tìm GTNN A = 11m5n
Ta thấy 11m tận 1, 5n tận
Nếu 11m > 5n A tận 6, 11m < 5n A tận
(65)GIẢI MỘT SỐ ĐỀ THI
Bài 1:
a) Thực phép chia: (x3 - 2x - 4) : (x2 + 2x + 2) b) Xác định a cho ax3 - 2x - chia hết cho x - c) Tìm nghiệm đa thức: x3 - 2x -
Bài 2:
a) Tính S = a b c
(c a)(a b) (a b)(b c) (b c)(c a) b) Chứng minh 1 1
(3n 2)(3n 5) 3n 3n
c) Tính 150 150 150 150 5.8 8.11 11.14 47.50
Bài 3: Giải phương trình a) 2x 2x 4 2
x x x x x(x x 1)
b) x x x 1993 1995 1997
Bài 4:
Cho ABC vng A Vẽ phía ngồi tam giác tam giác ABD vng cân B, ACE vuông cân C CD cắt AB M, BE cắt AC N
a) Chứng minh ba điểm D, A, E thẳng hàng; tứ giác BCE; ACBD hình thang b) Tính DM biết AM = 3cm; AC = cm; MC = 5cm
c) Chứng minh AM = AN Bài 5:
Cho M điểm nằm ABC, từ M kẻ MA’ BC, MB’ AC, MC’ AB (A’ BC; B’ AC; C’ AB) Chứng minh rằng:
a b c
MA ' MB' MC ' h h h =
(Với ha, hb, hc ba đường cao tam giác hạ từ A, B, C xuống ba cạnh ABC)
Bài giải Bài 1:
a) Thực phép chia: (x3 - 2x - 4) : (x2 + 2x + 2) = x - b) Xác định a cho ax3 - 2x - chia hết cho x -
Vì ax3 - 2x - chia hết cho x - nên x = nghiệm đa thức ax3 - 2x - , nên ta có: a 23 - 2 - = 8a - = a =
c) Tìm nghiệm đa thức: x3 - 2x - Nghiệm đa thức giá trị x để
x3 - 2x - = (x2 + 2x + 2)(x - 2) = x2 2x
x
+) x - = x = 2+) x2 + 2x + (x2 + 2x + 1) + = (x + 1)2 + = : Vô nghiệm
(66)a) S = a b c a(b c) b(c a) c(a b)
(c a)(a b) (a b)(b c) (b c)(c a) (c a)(a b)(b c)
= a(b c) b(c a) c(a b) ab ac bc ab ac bc 0 (c a)(a b)(b c) (c a)(a b)(b c) (c a)(a b)(b c)
b) Chứng minh 1 1
(3n 2)(3n 5) 3n 3n
Ta có: 1 1 3n (3n 2)
3 3n 3n (3n 2)(3n 5) (3n 2)(3n 5) (3n 2)(3n 5)
c) Tính : 150 150 150 150 5.8 8.11 11.14 47.50
áp dụng câu b ta tính 150 150 150 150 5.8 8.11 11.14 47.50 =
Bài 3: Giải phương trình
a) 2x 2x 4 2 x(x 1)(x4 22 x 1) x(x 1)(x4 22 x 1) 4 2 x x x x x(x x 1) x(x x 1) x(x x 1) x(x x 1)
(1)
ĐKXĐ: x(x4 + x2 + 1) x Vì x4 + x2 + >
(1) x(x + 1)(x2 - x + 1) - x(x - 1)(x2 + x + 1) = x(x3 - 1) - x(x3 + 1) = x4 - x - x4 - x = - 2x = x = -
b) x x x x x x 1993 1995 1997 1993 1995 1997
x = 2000
Bài 4:
Cho ABC vuông A Vẽ phía ngồi tam giác tam giác ABD vuông cân B, ACE vuông cân C CD cắt AB M, BE cắt AC N
a) Chứng minh ba điểm D, A, E thẳng hàng; tứ giác BCE; ACBD hình thang b) Tính DM biết AM = 3cm; AC = cm; MC = 5cm
c) Chứng minh AM = AN Giải
a) Chứng minh DAB + BAC + CAE = 1800
D, A, E thẳng haøng
b) Đặt AB = c, AC = b
BD // AC (cùng vng góc với AB)
nên MC AM AC AM AC
MD MB BD MB + AM AC + BD
AM AC AM AC AM AC AB
AB AC + BDAB AC AB AC AB (1)
AM(AC + AB) = AC AB 3(4 + AB) = AB AB = 12 cm MB = cm
Từ MC AM MD MC.MB 5.9 15
MD MB MA cm
c) AB // CE (cùng vng góc với AC) nên AN AB AN AB
N M
E D
C B
(67) AN AB AN AB AC AC AB + AC AB + AC (2)
Từ (1) (2) suy ra: AM = AN
Bài 5:
Cho M điểm nằm ABC, từ M kẻ MA’ BC, MB’ AC, MC’ AB (A’ BC; B’ AC; C’ AB) Chứng minh rằng:
a b c
MA ' MB' MC ' h h h =
(Với ha, hb, hc ba đường cao tam giác hạ từ A, B, C xuống ba cạnh ABC)
Giải
Kẻ đường cao AH, ta có: MBC
a ABC
S MA ' MA '
h AH S (1)
Tương tự: MCA b ABC
S MB'
h S (2)
MBA c ABC
S MC '
h S (3)
Cộng (1), (2) (3) vế theo vế, ta có: MBC MCA MBA
a b c ABC ABC ABC
S S S
MA ' MB' MC '
h h h S S S
= MBC MCA MBA ABC
ABC ABC
S S S S
1
S S
C©u
a) Trong ba sè a, b, c cã số dơng, số âm v số 0; ngoi biết thêm
2
a b (b c) Hái sè nμo d−¬ng, sè nμo ©m, sè nμo b»ng b) Cho x + y = Tính giá trị biểu thức A = x3 + y3 + 3xy Câu
a) Giải phơng tr×nh: x 1
b) Giả sử a, b, c lμ ba số đôi khác vμ a b c
b c c a a b
Chøng minh r»ng: a 2 b 2 c 2
(b c) (c a) (a b)
C©u 3:
Cho tam giác ABC; gọi Ax l tia phân giác BAC, Ax cắt BC E Trên tia Ex lÊy ®iĨm H choBAE ECH Chøng minh r»ng:
a) BE EC = AE EH
b) AE2 = AB AC - BE EC
C©u 4:
Cho tứ giác ABCD Từ A kẻ đờng thẳng song song với BC cắt BD E; từ B kẻ đờng thẳng song song với AD cắt AC F
Chøng minh r»ng: EF // DC
H C'
B'
A' M
C B
(68)hớng dẫn giải
Câu 1:
a) Vì a b (b c)2 nên a vμ b v× NÕu a = b = hc b = c V« lÝ NÕu b = a = V« lÝ
c = a = b3 mμ a víi mäi a b > a <
b) V× x + y = A = x3 + y3 + 3xy = x3 + y3 + 3xy (x + y) = (x + y)3 = C©u 2:
b)Từ a + b c
b - c c - a a - b
2
a b c b ab + ac - c =
b - c a - c b - a (a - b)(c - a)
a 2 b2 ab + ac - c2
(b - c) (a - b)(c - a)(b - c)
(1) (Nhân hai vế với
b - c)
Tương tự, ta có: b 2 c2 bc + ba - a2
(c - a) (a - b)(c - a)(b - c)
(2) ; c 2 a2 ac + cb - b2
(a - b) (a - b)(c - a)(b - c)
(3)
Cộng vế (1), (2) (3) ta có đpcm
C©u 3:
a) Ta cã BAE HCE (g.g)
BE AE BE.EC AE.EH EH EC (1)
b) BAE HCE (g.g)
ABE = CHE ABE = CHA BAE HAC (g.g)
AE AB AB.AC AE.AH
AC AH (2)
Trõ (1) cho (2) vÕ theo vÕ ta cã :
AB AC - BE EC = AE.AH - AE EH
AB AC - BE EC = AE (AH - EH) = AE AE = AE2 C©u 4:
Gọi O giao điểm AC BD a) Vì AE // BC OE = OA
OB OC (1)
BF // AD OB = OF
OD OA (2)
Nhân (1) với (2) vế theo vế ta có: OE = OF OD OC
EG // CD Bài 1:
H E
x
C B
A
O F D
E
(69)a) Tìm TXĐ P b) Rút gọn P
c) Tính giá trị P x 1,5 Bài 2:
So sánh A B biết:
a) A = 2002 2004 B = 20032
b) A = 3.(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) B = 264 Bài 3:
Cho hình bình hành ABCD có đường chéo lớn AC Hạ CE vng góc với AB, CF vng góc với AD BG vng góc với AC Chứng minh:
a) ACE ABG AFC CBG b) AB AE + AD AF = AC2
Bài 4:
Cho hình thoi ABCD cạnh a, có Â = 600 Một đường thẳng qua C cắt tia đối tia BA DA M N
a) Chứng minh: Tích BM DN có giá trị không đổi
b) Gọi K giao điểm BN DM Tính số đo góc BKD Bài 5:
Tìm nghiệm nguyên phương trình 4(x + y) = 11 + xy
Giải Bài 1:
a) Đkxđ: x2 + x - 20 (x - 4)(x + 5) x x - b) P = 22 x x
x x 20 (x 4)(x 5)
Nếu x > P =
x 5 Nếu x < P =
x
c) x 1,5 x 1,5;(x 5) x 6,5 x 1,5;(x 5) x 3,5
Với x = 6,5 P = 2 20
x 5 6,5 11,5 115 23
Với x = 3,5 P = 2 2
x 3,5 8,5 17
Bài 2:
a) A = 2002 2004 = (2003 - 1)(2003 + 1) = 20032 - < 20032 A < B b) Ta có:
A = 3.(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1)
= (22 - 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1)
= (24 - 1)( 24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) = (28 - 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) = (216 - 1)(216 + 1)(232 + 1) = (232 - 1)(232 + 1) = 264 - < 264 A < B
(70)Ta coù AGB AEC AE = AC AG AB
AB AE = AC AG (1)
CGB AFC AF = CG CG
AC CB AD(vì CB = AD)
AF AD = AC CG (2)
Cộng (5) (6) vế theo vế ta có:
AB AE + AF AD = AC AG + AC CG
AB AE + AF AD = AC(AG + CG) = AC AC Vaäy: AB AE + AD AF = AC2
Bμi 4:
a) BC // AN MB = CM BA CN (1)
CD// AM CM = AD
CN DN (2)
Từ (1) (2) suy MB = AD MB.DN = BA.AD = a.a = a2
BA DN
b) MBD vàBDN có MBD = BDN = 1200
MB MB CM AD BD
= =
BD BA CN DN DN(Do ABCD hình thoi có
0
A = 60 neân
AB = BC = CD = DA) MBD BDN
Suy M = B1 MBD vàBKD có BDM = BDK M = B1 nên BKD = MBD = 1200 C©u 1:
Cho
2
x 7x A
x
a) Rút gọn A b) Tìm x để A =
c) Tìm giá trị nguyên x để A có giá trị ngun Câu 2:
Gi¶i phơng trình: (x + 1)2 = 4(x2 + 2x + 1) C©u 3:
Cho a, b, c tho· m·n: 1 1
a b c a b c
Tính giá trị biểu thøc: A = (a3 + b3)(b3 + c3)(c3 + a3)
C©u 4: Cho ABC cã A 2B 4C 4 Chøng minh: 1
AB BC CA
C©u 5:
Cho ABC c©n A có BC = 2a, M l trung điểm cña BC LÊy D, E theo thø tù thuéc AB, AC cho: DME B
(71)H−íng dÉn
C©u 3:
Tõ 1 1
a b c a b c
1 1
0 a+ b+ c- a+ b+ c=
a b a b
0
ab c(a b c)
+ +
+ =
+ +
(a b).c(a b c) ab (a + b)(b + c)(c + a) = abc(a b c)
+ + +
+ = Û
+ +
Từ suy : A = (a3 + b3)(b3 + c3)(c3 + a3) = ( a + b)(b + c)(c + a) B = Câu :
VÏ tia CM (M AB) cho ACM
CAM vμ CBM l tam giác cân
AB AB AM AB AM AB BM
BC AC CM CM CM CM
(v× BM = CM) AB AB 1 1
BC AC AB BC CA
C©u :
a) Ta có DMC = DME + CME = B + BDM, maø DME = B(gt)
nên CME = BDM, kết hợp với B = C (ABC cân A) suy BDM CME (g.g)
BD = BM BD CE = BM CM = a2
CM CE không đổi
b) BDM CME DM = BD DM = BD
ME CM ME BM
(do BM = CM) DME DBM (c.g.c) MDE = BMD
hay DM tia phân giác BDE
c) chứng minh tương tự ta có EM tia phân giác DEC
keû MH CE ,MI DE, MK DB MH = MI = MK DKM = DIM DK =DI EIM = EHM EI = EH
Chu vi AED laø PAED = AD + DE + EA = AK +AH = 2AH (Vì AH = AK)
ABC tam giác nên suy CH = MC 2
a
AH = 1,5a PAED = AH = 1,5 a = 3a
đề - khảo sát chất l−ợng học sinh giỏi lộc hμ(2009 - 2010)
Câu : Giải phương trình : a)
) ( ) ( x x x x x x
b) 6x2 - x - =
Câu : Cho x + y + z = Rút gọn : 2 2 2 2
) ( ) ( )
(y z z x x y z y x Câu : Chứng minh không tồn x thỏa mãn :
a) 2x4 - 10x2 + 17 = b) x4 - x3 + 2x2 - x + =
(72)Câu : Cho tam giác ABC, điểm D nằm cạnh BC cho
2
DC
DB ;
điểm O nằm đoạn AD cho OA
OD 2 Gọi K giao điểm BO AC
Tính tỷ số AK : KC
Câu : Cho tam giác ABC có góc nhọn, trực tâm H Một đường thẳng qua H cắt AB, AC thứ tự P Q cho HP = HQ Gọi M trung điểm BC Chứng minh tam giác MPQ cân M
h
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i
Câu 2:
Từ x + y + z = x2 + y2 + z2 = - 2(xy + yz + zx) (1)
Ta có: (x - y)2 + (y - z)2 + (z - x)2 = 2(x2 + y2 + z2 ) - 2(xy + yz + zx) (2) Từ (1) (2) suy ra: (x - y)2 + (y - z)2 + (z - x)2 = - 6(xy + yz + zx) (3) Thay (1) (3) vào biểu thức A ta có:
A = - 2(xy + yz + zx)
- 6(xy + yz + zx) 3
Câu 3:
a) 2x4 - 10x2 + 17 = 2( x4 - 5x2 + 17
2 ) = 2(x
4 - 5
2 x
2 + 25
4 )
2 + 9
2 = 2(x2 -
2)
2 + 9
2 = Vì 2(x
2 - 5
2)
2 + 9
2 > với x nên không tồn x để
2x4 - 10x2 + 17 =
b) x4 - x3 + 2x2 - x + = (x2 + 1)(x2 - x + 1) =
Vì vế phải ln dương với x nên không tồn x để x4 - x3 + 2x2 - x + = Câu 4:
Từ D kẻ DM // BK áp dụng định lí Talét vào AOK ta có:
AK AO
KM OD (1)
Tương tự, CKB thì: KM CD
CK DB (2)
Nhân (1) với (2) vế theo vế ta có: AK
CK
Câu
Gọi giao điểm AH BC I Từ C kẻ CN // PQ (N AB),
Tứ giác CNPQ hình thang, có H trung điểm PQ, hai cạnh bên NP CQ đồng quy A nên K trung điểm CN MK đường trung bình BCN
MK // CN MK // AB (1)
H trực tâm ABC nên CHA B (2)
O K
M
C D
B A
K N
Q P
H A
(73)Từ AH BC MCHK MI đường cao CHK (4)
Từ (3) (4) suy M trực tâm CHK MHCN MHPQ MPQ cĩ MH vừa đường trung tuyến vừa đường cao nên cân M
Đề - thi HSG Tốn - cấp huyện
C©u 1: a) Tìm số nguyên m, n thoả mÃn
2
n n m
n
b) §Ỉt A = n3 + 3n2 + 5n + Chøng minh r»ng A chia hÕt cho víi giá trị nguyên dơng n
c) Nếu a chia 13 d− vμ b chia 13 d− a2+b2 chia hết cho 13 Câu2 : Rút gän biÓu thøc:
a) A=
) )( (a b a c
bc
+ (b c)(b a)
ca
+ (c a)(c b)
ab
b) B = 6 3
6
1 1
x x : x x
x x x x
C©u 3: TÝnh tỉng: S =
3
1
+
5
1
+
7
1
+ +
2009.2011
C©u 4: Cho số x, y, z, thoả mÃn điều kiện xyz = 2011 Chøng minh r»ng biĨu thøc sau kh«ng phơ thuéc vμo c¸c biÕn x, y, z : 2011x y z
xy 2011x 2011 yz y 2011 xz z 1
C©u 5: Giải phơng trình: 69 x 67 x 65 x 63 x 61 x
1942 1944 1946 1948 1950
Câu 6: Cho ABC tam giác đều, gọi M lμ trung điểm BC Một góc xMy = 600 quay quanh điểm M cho cạnh Mx , My cắt cạnh AB vμ AC lần l−ợt D vμ E Chứng minh :
a) BD.CE=
2
BC
b) DM, EM lần l−ợt lμ tia phân giác BDE vμ CED c) Chu vi ADE không đổi
Gi¶i
1) a, Thùc hiƯn chia
2
n n m
n
= n +
1
n 1
Để m nguyên với n nguyên n + lμ −íc cđa
Hay n + 1; -1 Khi : n + = n = Z ( t/m) n + = -1 n = -2 Z (t/m) Với n = m = Với n = -2 m = - Vậy
b, A = n3 + 3n2 + 3n +1 + 2n +2 = (n+ 1) +2(n+1) = = n ( n +1) (n+ 2) + 3( n+1) Khi : 3(n+1)
n( n +1) (n+ 2) lμ tÝch cđa sè nguyªn dơng liên tiếp nên tồn số l bội cña c, a = 13k +2, b = 13q +3
a2 + b2 = ( 13k +2 )2 + ( 13q + 3) 2 = = 13( 13k2 +4k +13 q2 + 4q +1) 13
2) a) A= bc ca ab
(a b)(a c) (b c)(a b) (a c)(b c) = =
(a b)(a c)(b c) (a b)(a c)(b c)
(74)b) Ta cã: x x = 3 1
(x ) 3(x )
x x ;
26 3
6 3
1 1
x x x
x x x
Tö thøc: 6 1
x x
x x = 3 1
(x ) 3(x )
x x - 3 x x
= x x3 13 x
x x x
MÉu thøc: 3 1 x x x x = 3 1
2 x x
x x
Rót gän ta cã: B = 3( 1) x x
3) S = 1(1 1 1 ) 1(1 ) 1005 3 2009 2011 2011 2011
4) 2011x y z
2011 2011x xy xyz y yz z zx =
xy.xz y z
xyz x yz xy xyz y yz z zx
= ) ( z xz xy xz xy + zx z 1 + zx z z
1 = z zx
xz z 1
= không đổi
5) 69 x 67 x 65 x 63 x 61 x
1942 1944 1946 1948 1950
x = 2011
6) a,Chøng minh BMD CEM
V× BM = CM =BC
2 BD.CE =
2
BC
b, Chøng minh BMD MED
Từ suy Dˆ1Dˆ2 , DM lμ tia phân giác góc BDE Chứng minh t−ơng tự ta có EM lμ tia phân giác góc CED c, Gọi H, I, K lμ hình chiếu M AB, DE, AC
Chøng minh DH = DI, EI = EK Chu vi b»ng 2.AH
Bi 1 (4.0 điểm)
Phân tích ®a thøc sau thμnh nh©n tư
a) x2 -7x + 12.
b) x4 + 2011x2 + 2010x + 2011
c) (x2+ y2+1)4 - 17(x2+y2+1)2x2 + 16x4 Bμi 2(4.0 ®iĨm).
Cho biĨu thøc : A =
4 10 x x x x
a) Rút gọn A b) tìm x để A =
2 1
(75)a) 2 2 2 1 x 9x 20 x 11x 30 x 13x 42 18
b) 2025 2046 2057 2068 10
25 23 19 17
x x x x
Bμi (2.®) Chøng minh : a5 - a chia hÕt cho 30 víi a Z
Bμi 5 (4.0®iĨm) : Cho hình vuông ABCD có cạnh a Gọi E; F lần lợt l trung điểm cạnh AB, BC Gọi M ìa giao điểm CE v DF
a) Chøng minh CE vu«ng gãc víi DF b) Chøng minh :
2
C M C E C F
= SABCD
Bμi 62.0 điểm) Cho tam giác ABC có chu vi 18 Trong BC lμ cạnh lớn nhát Đ−ờng phân giác góc B cắt AC M cho MA 1
MC Đờng phân giác góc C cắt AB
ë N cho NA 3
NB Tính cạnh tam giác ABC
thi HSG
Câu 1: Tìm x biết: a) x2 – 4x + = 25
b)
1004 x 1986 21 x 1990 17
x c) 4x – 12.2x + 32 =
Câu 2: Cho x, y, z đôi khác z y x
1 Tính giá trị biểu thức:
xy z xy xz y xz yz x yz
A 2 2 2
Câu 3: Cho biểu thức :
P =
10 : 6 x x x x x x x x
a) Rút gọn p
3
b) Tính giá trị biểu thức p x =
4
c) Với giá trị x P =
d) Tìm giá trị nguyên x để P có giá trị nguyên
Câu 4: Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AA’, BB’, CC’, H trực tâm a) Tính tổng
' CC ' HC ' BB ' HB ' AA ' HA
b) Gọi AI phân giác tam giác ABC; IM, IN thứ tự phân giác góc AIC góc AIB Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM
(76)Qua trọng tâm G tam giác ABC , kẻ đường thẳng song song với AC , cắt AB BC M N
Tính độ dài MN , biết AM + NC = 16 (cm) ; Chu vi tam giác ABC 75 (cm)
Giải
Câu
a) Tính x = 7; x = -3 b) Tính x = 2007
c) 4x – 12.2x + 32 = 2x.2x – 4.2x – 8.2x + 4.8 =
2x(2x – 4) – 8(2x – 4) = (2x – 8)(2x – 4) = (2x – 23)(2x –22) = 2x –23 = 2x –22 = 2x = 23 2x = 22 x = 3; x =
Câu 2: z y x
1 0 xy yz xz 0
xyz xz yz
xy
yz = –xy–xz
x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z) Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y)
Do đó:
) y z )( x z ( xy ) z y )( x y ( xz ) z x )( y x ( yz A
Tính A = Câu 3:
a) p =
2 : 2 ) )( (
x x x x
x x = x x x x x x x x 2 : ) )( ( ) (
b) Với x ≠ ; x ≠ ± biểu thức p xác định /x/ =
4
3 nên x =
3 hoặc x = -
3
+ Nếu x =
4
3 p =
5 4 + Nếu x = -
4
3 p =
11 4 c) Với p =
2
x x =
13 ( thỏa mãn điều kiện của x )
d)Để p có giá trị ngun - x phải ước Từđó ta có : x = ; x = ;
Vậy để p nguyên lúc x = ; x = ; Câu 4:
a) AAHA'' BC ' AA BC ' HA S S ABC
HBC
(77)Tương tự:
S
S
CC
HC
'
'
ABC HAB
; ' BB ' HB S S ABC HAC S S S S S S ' CC ' HC ' BB ' HB ' AA ' HA ABC HAC ABC HAB ABCHBC
b) Áp dụng tính chất phân giác vào tam giác ABC, ABI, AIC: AI IC MA CM ; BI AI NB AN ; AC AB IC
BI
AM IC BN CM AN BI BI IC AC AB AI IC BI AI AC AB MA CM NB AN IC BI
c)Vẽ Cx CC’ Gọi D điểm đối xứng A qua Cx
-Chứng minh góc BAD vng, CD = AC, AD = 2CC’ - Xét điểm B, C, D ta có: BD BC + CD
-BAD vuông A nên: AB2+AD2 = BD2 AB2 + AD2 (BC+CD)2
AB2 + 4CC’2 (BC+AC)2
4CC’2 (BC+AC)2 – AB2 Tương tự: 4AA’2 (AB+AC)2 – BC2
4BB’2 (AB+BC)2 – AC2
-Chứng minh : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) (AB+BC+AC)2
4 ' CC ' BB ' AA ) CA BC AB ( 2 2
(Đẳng thức xảy BC = AC, AC = AB, AB = BC AB = AC =BC ABC đều)
Câu 5:
ta có :
3 ; BK BG BK GK
Do MN // AC nên
3 BK GK BC CN AB AM Mà BC AB NC AM
vì AM + NC = 16 (cm) AB + BC = 75 – AC Do :
3 75
16
AC AC = 27 (cm)
Ta lại có : 18
3 27
MN MN
AC
(78)CHUYÊN ĐỀ 16 – BẤT ĐẲNG THỨC
Phần I : kiến thức cần lu ý1-§inhnghÜa:
0
A B A B
A B A B
2-tÝnh chÊt + A>B B A
+ A>B vμ B >C A > C + A>B A + C >B + C
+ A>B vμ C > D A +C > B + D + A>B vμ C > A.C > B.C + A>B vμ C < A.C < B.C
+ < A < B vμ < C < D < A.C < B.D
+ A > B > An > Bn n
+ A > B An > Bn víi n lỴ
+ A > B An > Bn víi n ch½n
+ m > n > vμ A > Am
> An
+ m > n > vμ <A < Am
< An
+A < B vμ A.B >
B A
1
3 - số bất đẳng thức
+ A2 víi A ( dÊu = x¶y A = ) + An víiA ( dÊu = x¶y A = )
+ A 0 víi A (dÊu = x¶y A = ) + - A < A = A
+ A B A B ( dÊu = x¶y A.B > 0) + A B A B ( dÊu = x¶y A.B < 0)
Phần II : số ph−ơng pháp chứng minh bất đẳng thức 1) Ph−ơng pháp 1: dùng định nghĩa
Kiến thức : Để chứng minh A > B Ta chứng minh A – B > L−u ý dùng bất đẳng thức M2 với M
VÝ dô x, y, z chøng minh r»ng : a) x2 + y2 + z2 xy+ yz + zx b) x2 + y2 + z2 2xy – 2xz + 2yz Gi¶i:
a) Ta xÐt hiÖu : x2 + y2 + z2- xy – yz – zx =
2
.2 ( x2 + y2 + z2- xy – yz – zx) =
2
1 ( )2 ( )2 ( )2
x y x z y z
với x;y;zR
V× (x-y)2 0 víix ; y DÊu b»ng x¶y x = y (x- z)2 0 víix ; z DÊu b»ng x¶y x = z
(y- z)2 0 víi z; y DÊu b»ng x¶y z = y
VËy x2 + y2 + z2 xy+ yz + zx DÊu b»ng x¶y x = y =z b)Ta xÐt hiÖu:
x2 + y2 + z2 - ( 2xy – 2xz +2yz ) = x2 + y2 + z2 - 2xy +2xz –2yz = ( x – y + z)2 0
đúng với x;y;zR
(79)a)
2 2
a b a b
2
; b)
2 2
a b c a b c
3
c) H·y tổng quát bi toán giải
a) Ta xét hiệu
2
2
a b a b
2
=
2
2 22 a b a 2ab b
4
= 1
2a2 2b2 a2 b2 2ab
4 =
2
1
a b
4
VËy
2
2
a b a b
2
DÊu b»ng x¶y a = b
b)Ta xÐt hiÖu:
2 2
a b c a b c
3
=
2 2
1
a b b c c a
9
VËy
2 2
a b c a b c
3
DÊu xảy a = b =c c)Tổng quát:
2
2 2
1 n n
a a a a a a
n n
* Tóm lại b−ớc để chứng minh AB theo định nghĩa B−ớc 1: Ta xét hiệu H = A - B
B−ớc 2:Biến đổi H = (C+D)2hoặc H=(C+D)2+ +(E+F)2 B−ớc 3: Kết luận A B
2) ph−ơng pháp : Dùng phép biến đổi t−ơng đ−ơng L−u ý:
Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh t−ơng đ−ơng với bất đẳng thức bất đẳng thức đ−ợc chứng minh lμ
VÝ dô 1: Cho a, b, c, d,e lμ c¸c sè thùc chøng minh r»ng a)
2 b
a ab
4
b)a2b2 1 ab a b c)a2b2c2d2e2a b c d e
Gi¶i:a)
2
2
2 b 2 2
a ab 4a b 4ab 4a 4a b 2a b
4
(Bđt nμy đúng)
Vëy
2 b
a ab
4
(dÊu b»ng x¶y 2a = b) b) a2b2 1 ab a b 2(a2b2 1) 2(ab a b)
2 2 2 2
a 2ab b a 2a b 2b (a b) (a 1) (b 1)
(luôn đúng)
VËy a2b2 1 ab a b DÊu b»ng x¶y a = b =
c) a2 b2c2d2e2 a b c d e
4 a
2b2c2d2e2
4a b c d e
2
2
2
2
a 4ab 4b a 4ac 4c a 4ad 4d a 4ac 4c 0
2
2
2
2a 2b a 2c a 2d a 2c 0
VÝ dô 2: Chøng minh r»ng:
a10 b10
a2b2
a8b8
a4b4
Gi¶i:
10 10
2
8
4
12 10 2 10 12 12 4 12 (80) 2
2
8
2
a b a b a b b a 0 a2b2(a2-b2)(a6-b6)
a2b2(a2-b2)2(a4+ a2b2+b4)
VÝ dô 4: cho ba sè thực khác không x, y, z thỏa mÃn:
z y x z y x
z y x
1 1
1
Chứng minh : có ba số x,y,z lớn Giải: Xét (x-1)(y-1)(z-1) = xyz + (xy + yz + zx) + x + y + z - = (xyz - 1) + (x + y + z) - xyz(
z y x
1 1
) = x + y + z - (1 1) z y x
(v×
z y x
1 1
< x+y+z theo gt) sè x-1 , y-1 , z-1 âm ba sỗ-1 , y-1, z-1 l d−¬ng
Nếủ tr−ờng hợp sau xảy x, y, z >1 x.y.z>1 Mâu thuẫn gt x.y.z =1 bắt buộc phải xảy tr−ờng hợp tức lμ có ba số x ,y ,z lμ số lớn
3) Ph−ơng pháp 3: dùng bất đẳng thức quen thuộc A) số bất đẳng thức hay dùng
1) Các bất đẳng thức phụ:
a) x2y22xy b) x2y2 xy dÊu( = ) x = y = c)
x y
2 4xy d)a bb a
2)Bất đẳng thức Cô sy: a1 a2 a3 an n a a a a1 3 n
n
Víi ai 0
3)Bất đẳng thức Bunhiacopski
2 2 2
2 2 2
22 n n 1 2 n n
a a a x x a x a x a x
4) Bất đẳng thức Trê-b− - sép: Nếu a b c
A B C
aA bB cC a b c A B C
3 3
NÕu a b c
A B C
aA bB cC a b c A B C
3 3
DÊu b»ng x¶y a b c
A B C
B) c¸c vÝ dơ vÝ dơ
Cho a, b ,c lμ số không âm chứng minh (a+b) (b+c)(c+a) 8abc Giải: Dùng bất đẳng thức phụ:
x y
2 4xyTacã
a b
2 4ab;
b c
2 4bc ;
c a
2 4ac
a b
2 b c
2 c a
2 2 2
264a b c
(81)Do a,b,c đối xứng , giả sử a b c
2 2
a b c
a b c
b c a c a b
áp dụng BĐT Trê- b−-sÐp ta cã
2 2
2 a b c a b c a b c
a b c
b c a c a b b c a c a b
=
3
=
2
VËy
3 3
a b c
b c a c a b DÊu b»ng x¶y a = b = c =
vÝ dô 3: Cho a,b,c,d > vμ abcd =1 .Chøng minh r»ng :
2 2
a b c d a b c b c d d c a 10
Ta cã a2b2 2ab; c2d2 2cd Do abcd =1 nªn cd =
ab
(dïng
2 1
x
x )
Ta cã a2 b2 c2 2(ab cd) 2(ab )
ab
(1)
Mặt khác:
a b c b c d d c a = (ab + cd) + (ac + bd) + (bc + ad)
= ab ac bc 2
ab ac bc
a2b2c2d2a b c
b c d
d c a
10 ví dụ 4: Chứng minh : a2b2c2 ab bc ac Giải: Dùng bất đẳng thức BunhiacopskiXÐt cỈp sè (1,1,1) vμ (a,b,c) ta cã
12 12 (a2
2b2 c )2
1.a 1.b 1.c
2 3
a2b2c2
a2b2c22 ab bc ac
a2b2c2 ab bc ac (đpcm) Dấu xảy a = b = c4) Phơng pháp 4: dùng tính chÊt cña tû sè A KiÕn thøc
1) Cho a, b ,c l số dơng a ) NÕu a
b th×
a a c b b c
b ) NÕu a
1 b th×
a a c b b c
2) NÕu b, d > th× tõ a c a a c c
b d b b d d
B C¸c vÝ dơ:
vÝ dơ 1: Cho a, b, c, d >
Chøng minh r»ng :1 a b c d
a b c b c d c d a d a b
Theo tÝnh chÊt cđa tØ lƯ thøc ta cã a a a d
a b c a b c a b c d
(1)
Mặt khác : a a
(82)Từ (1) vμ (2) ta cã a a a d
a b c d a b c a b c d
(3)
T−¬ng tù ta cã : b b b a
a b c d b c d a b c d
(4)
c c b c
a b c d c d a a b c d
(5);
d d d c
a b c d d a b a b c d
(6)
céng vÕ víi vÕ cña (3); (4); (5); (6) ta cã
2 b a d d a d c c d c b b c b a a (®pcm) vÝ dơ : Cho:a c
b d vμ b,d >
Chøng minh r»ng a ab cd2 2 c
b b d d
Gi¶i: Tõ a c ab2 cd2
b d b d 2 2
ab ab cd cd c
b b d d d
2
a ab cd c
b b d d
(®pcm)
vÝ dơ : Cho a;b;c;d l số nguyên dơng thỏa mÃn : a + b = c+d =1000 tìm giá trÞ lín nhÊt cđa a b
c d
giải : Không tính tổng quát ta giả sử :a b
c d
a a b b
c c d d
;
a
c v× a + b = c + d
a, NÕu: b 998 th× b 998
d
a b
c d 999
b, NÕu: b = 998 th× a =1 a b
c d =
1 999
c d Đạt giá trị lớn d = 1; c = 999
Vậy: giá trị lớn
d b c a
= 999 +
999
a = d = 1; c = b = 999 VÝ dô : Víi mäi sè tù nhiªn n >1 chøng minh r»ng :
4 1 n n n n Ta cã n n n k n 1
víi k = 1,2,3, ,n-1
Do đó: 2 2 1 n n n n n n n
VÝ dô 5: CMR: A = 2 2 2 12
4 1 n
với n không l số tự nhiên
HD: 12 ; 12 ;
2 1.2 2.3
VÝ dô 6: Cho a ,b ,c ,d > Chøng minh r»ng :
2 a b b c c d d a
a b c b c d c d a d a b
Giải :
Vì a ,b ,c ,d > nªn ta cã: a b a b a b d
a b c d a b c a b c d
(83)d a d a d a c a b c d d a b a b c d
(3)
Cộng vế bất đẳng thức ta có :
a b b c c d d a
2
a b c b c d c d a d a b
(®pcm)
5 Ph−ơng pháp 5:Dùng bất đẳng thức tam giác L−u ý: Nếu a;b;clμ số đo ba cạnh tam giác : a; b; c > Vμ |b-c| < a < b+c ; |a-c| < b < a+c ; |a-b| < c < b+a
VÝ dô1:
Cho a; b; clμ sè đo ba cạnh tam giác chứng minh a, a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ac)
b, abc > (a+b-c).(b+c-a).(c+a-b) Giải
a)Vì a,b,c l số đo cạnh tam giác nên ta cã
2 2
0 a b c a a(b c)
0 b a c b b(a c)
0 c a b c c(a b)
Cộng vế bất đẳng thức ta có a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ac) b) Ta có a > b - c a2 a2 (b c)2>
b > a - c b2 b2 (c a)2> c > a - b c2 c2 (a b)2 0
Nhân vế bất đẳng thức ta đ−ợc: a b c2 2 a2
b c
2 b2
c a
2 c2
a b
2a b c2 2
a b c
2 b c a
2 c a b
2abc
a b c b c a c a b
Ví dụ2: (đổi biến số)
Cho a,b,c lμ ba c¹nh cđa mét tam gi¸c Chøng minh r»ng a b c
b c c a a b 2(1)
Đặt x= b + c ; y= c + a ;z = a + b ta cã a = y z x
2
; b = z x y
2
; c =x y z
2
ta cã (1) y z x z x y x y z y z x z x y
2x 2y 2z x x y y z z
( y x) (z x) (z y)
x y x z y z lμ Bđt đúng?
Ví dụ 3: (đổi biến số)
Cho a, b, c > vμ a + b + c <1 Chøng minh r»ng : 2 2 2
a 2bc b 2ac c 2ab (1)
Giải: Đặt x = a22bc ; y = b22ac ; z = c22ab Ta cã x y z
a b c
2 1(1) 11 19 z y
x Víi x + y + z < vμ x ,y,z >
(84)x y z 3.3 xyz vμ 1
x y z .3
xyz
1 1
x y z
x y z
6) ph−¬ng pháp lm trội : Chứng minh BĐT sau :
a) 1 1
1.3 3.5 (2n 1).(2n 1)
b)11.2 1.2.31 1.2.3.1 n2
Gi¶i : a) Ta cã :
2 2
1 1
12 (2.
2 11).(2
(2 1)1) 12 1 1k k
n n k k k k
Cho n chạy từ đến k Sau cộng lại ta có
1 1
1.3 3.5 (2 1).(2 1) 2
n n n (®pcm)
b) Ta cã :
1 1 1
1
1.2 1.2.3 1.2.3 n 1.2 1.2.3 n n
< 1 1 1 2
2 n n n
(®pcm)
Bμi tËp vỊ nhμ:
1) Chøng minh r»ng: x2 + y2 + z2+3 (x + y + z)
HD: Ta xÐt hiÖu: x2 + y2 + z2 +3 – 2( x+ y +z ) = x2- 2x + + y2 -2y +1 + z2 -2z +1 2) Cho a ,b,c lμ số đo ba cạnh tam giác Chứng minh : a b c
b c c a a b
(HD: a a a 2a
b c a b c a b c
vμ
a a
b c a b c )
3) < 1 1
n + n + 2 2n + 1 3n 3n + <
áp dụng phơng pháp lm trội
4) Cho a, b, c > Chøng minh r»ng bc ac ab
a b c a + b + c
HD: bc ac
a b = c
b a a b
2c;
ac ab b c ? ;