Chuyên đề toán thực tế luyện thi vào lớp 10

Trong thực tế đường ngắn nhất giữa hai điểm dân cư là đường thẳng nối hai điểm đó. Nhưng bài toán ra là đường ống nối hai điểm dân cư với một điểm xử lí nước trên bờ sông. Vậy đường ống [r]

(1)



Sưu tầm

CHUYÊN ĐỀ TOÁN THỰC TẾ

LUYỆN THI VÀO LỚP 10

(2)

a

b= a

c c

d

b Đỉnhcây

Gốccây CHUYÊN ĐỀ:CÁC BÀI TỐN THỰC TẾ HÌNH HỌC §1 ĐỊNH LÍ PYTHAGORE VÀ NHỮNG ỨNG DỤNG

TRONG CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ

A. KIẾN THỨC LIÊN QUAN

Định lí Pythagore định lí quan trọng tất định lí khoa học nói chung hình học nói riêng Định lý Pythagore đơn giản lí thú Nhiều nhà khoa học cịn cam đoan có người sống hành tinh khác định lí hình học có giá trị mà họ tìm định lí Pythagore Đã có dự án đề nghị xây dựng cơng trình tường xanh tạo thành tam giác vng có ba cạnh 3, khổng lồ cánh đồng lớn để liên lạc với người Trái Đất

Ngày 08 tháng 09 năm 1977, hai tàu thăm dò Voyager Mỹ phóng lên vũ trụ mang theo hình vẽ biểu diễn định lí Pythagore

Pythagore nhà hiền triết người Hy Lạp sống khoảng 500 năm trước công nguyên Sau người ta phát định lí Pythagore biết đến trước từ lâu văn minh cổ đại giới Điển hình số nhà khảo cổ tìm thấy bảng đất sét nung văn minh Babilon nghìn năm trước Pythagore có hình vẽ khác tam giác vng có cạnh thể định lí

Trong văn tự Ấn Độ cổ đại khoảng 1500 năm trước Cơng ngun có phần quan trọng gọi Sulbasutras nói việc đo đạc thiết kế đền thờ Ở phần tìm thấy định lí Pythagore dạng: Diện tích hình vng có cạnh cạnh huyền tam giác vuông tổng diện tích hai hình vng bằng tổng diện tích hai hình vng có cạnh hai cạnh bên tam giác vng đó.

B. VÍ DỤ MINH HOẠ ỨNG DỤNG TOÁN HỌC VÀO BÀI TOÁN THỰC TẾ

PHƢƠNG PHÁP GIẢI

- Sử dụng cơng thức Pythagore để tìm cạnh góc vng cạnh huyền từ hai cạnh

lại: c2 a2 b2 (c cạnh huyền, a b, cạnh góc vng) - Rút kết luận tốn

Ví dụ

Từ đỉnh có treo dây thả xuống đất thừa đoạn có độ dài d Nếu kéo căng dây đầu dây chạm đất khoảng cách b so với gốc Hãy tìm độ dài dây

Nếu có độ dài a có tốn tính độ dài c

(3)

a

b c

d c

Ngọnt re

Gốct re Chỗgãy

a

b c

c - b

C

E D

B A a c d b Theo định lí Pythagore ta có:

2 2

(c d) b c

Từ suy ra:

2

b d

c

d

Ví dụ

Có tre có độ cao a Khi gãy tre chạm đất khoảng cách b so với gốc tre Hãy tìm độ cao chỗ tre

Ta phải tính cạnh a tam giác vng có cạnh bên b cạnh huyền c d a

Theo định lí Pythagore ta có: a2 b2 (d a)2 Từ suy ra:

2

d b

a

d

Ví dụ

Có ao hình vng, cạnh dài 3, 33m, ao có sậy nhơ lên khỏi mặt nước vừa 0, 33m, kéo sậy vào bờ chọn vừa chạm mặt nước Hỏi độ sau nước sậy cao bao nhiêu?

Giả sử chiều rộng ao ED 2a 3, 33 (m),

C trung điểm ED nên:

1, 665

DC a (m)

Chiều cao sậy mặt ao AB, phần nhô khỏi mặt nước

0, 33

AC (m)

Mà AB BD, giả sử BD c, độ sâu nước BC b, tam giác

BCD tam giác vuông Rõ ràng AC AB BC c b 0, 33 (m) Độ dài AC hiệu đường huyền với cạnh dài góc vng Vậy tốn quy việc tính chiều dài cạnh huyền cạnh góc vng lớn

tam giác vng biết cạnh góc vng bé hiệu cạnh huyền cạnh góc vng lớn

Từ định lí Pythagore, ta có:

2 2

a c b

2 2 2

( ) ( )

a c b c b c b

2 ( 2 2)

c b c bc b

2bc 2b2

(b c b) Vì

2

( ) 2( )

a c b

b

c b (1)

( )

(4)

A

D

C O

B

H

D C

M

J A

F E

B W

Đem giá trị a c b, thay vào hai công thức (1) (2) dễ dàng tính độ sâu nước là:

2

1, 665 0, 33 2, 772225 0,1089

4, 035 2.0, 33 0, 66

b (m)

Độ cao sậy là: c 4, 035 0, 33 4, 365 (m)

C. LỜI BÌNH

Định lí Pythagore định lí hình học nói riêng khoa học nói chung có nhiều cách chứng minh Theo thống kê, đến có 385 cách giải Nhiều trị gia lỗi lạc Tổng thống Hoa kỳ James Garfiel tham gia tìm cách chứng minh định lí Ở bậc học cao hơn, người ta dùng Vật lí học để chứng minh định lí Pythagore Định lí Pythagore cịn xuất mơn phi-Euclide, hình học giả Euclide, phương trình vi phân, Đại số tuyến tính, < Hầu lĩnh vực quan trọng người ta thấy bóng dáng định lí Pythagore Qua minh chứng tầm quan trọng định lí Pythagore lĩnh vực khoa học đời sống

D. BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài tốn

Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác có cạnh 50, 50, 60

Bài toán

Dựng hình vng có diện tích diện tích hình chữ nhật cho trước

E. ĐÁP SỐ VÀ HƢỚNG DẪN GIẢI Bài toán

Theo định lí Pythagore, ta có:

2 2

AD AC DC

Do DC BC : 30, nên:

2

50 30 40

AD

Ta lại có:

2 ( )2

OC DC AD OA

DC2 AD2 2ADOC OC2 Do đó:

2 2 2 30 40 125

2 2.40

DC AD

OC

AD

Bài tốn

Cho hình chữ nhật ABCD Ta vẽ hình chữ vng ABKH hình chữ nhật ABCD Sau xác định trung điểm E M

DH CK

Dựng hình vng AEFJ qua M Lấy J làm tâm vẽ đường trịn có bán kính JF cắt BM W Hình vng có cạnh BW có diện tích diện tích ABCD theo định lí Pythagore ta có:

2 2

BW JW BJ

2

(5)

a

c b

A

B C

(JF BJ JF)( KM)

AB BC

§2 HỆ THỨC GIỮA CÁC CẠNH VÀ CÁC GÓC CỦA MỘT TAM GIÁC VUÔNG

Trong tam giác vng, cạnh góc vng bằng: - Cạnh huyền nhân với sin góc đối hay nhân với cơsin góc kề - Cạnh góc vng nhân với tang góc đối hay nhân với cơtang góc kề

B. VÍ DỤ MINH HOẠ ỨNG DỤNG TOÁN HỌC VÀO BÀI TOÁN THỰC TẾ PHƢƠNG PHÁP GIẢI

- Sử dụng hệ thức lượng tam giác vng cách thích hợp như:

sin canhdoi ; cos canhke

canhhuyen canhhuyen

tan canhdoi; cotan canhke

canhke canhdoi

( góc nhọn tam giác vuông) - Từ rút kết luận tốn

Ví dụ

Một cột điện có bóng mặt đất dài 7, 5m, tia sáng mặt trời tạo với mặt đất góc xấp xỉ

0

(6)

6 10

H A

B

12

H A

C B

Gọi chiều cao cột đèn AB, bóng mặt đất AC Ta có BAC 900

Theo giả thiết, ta có BCA 420

Áp dụng tỉ số lượng giác tam giác ABC vuông A, ta có:

0

tanBCA AB AB AC tanBCA 7, tan 42 6, 75

AC (cm)

Vậy chiều cao cột đèn 6, 75 (cm)

Ví dụ

Ở độ cao 920m, từ máy bay trực thăng người ta nhìn hai điểm D C, hai đầu cầu góc so với đường vng góc với mặt đất góc 37 ,0 310

Tính chiều dài CD

cầu (hình vẽ)

Gọi A vị trí trực thăng, B chân đường vng góc hạ từ A xuống mặt đất C D hai điểm đầu cầu

Ta có

tanBAD BD AB

0

tan 920 tan 37

BD AB BAD

920.0, 754 693, 68 (m) Mặt khác

tanBAC BC AB

0

tan 920 tan 31 920.0, 552

BC AB BAC (m)

Vậy chiều dài cầu là:

693, 68 552 141, 68

CD BD BC (m)

C. LỜI BÌNH

Hệ thức lượng tam giác vng chủ đề hay quan trọng chương trình tốn phổ thơng Nó có nhiều ứng dụng thực tế Bài viết cần trao đổi thêm? Mong chia sẻ bạn

D. BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài toán

Cho tam giác ABC vng A, đường cao AH Tính sin , sinB C ứng với trường hợp sau:

(7)

H

A

B

Bài tốn

Cho tam giác vng ABC vng A Tính sin , tanB B trường hợp sau:

a) 12

13

AB

BC ; b)

15

AB

AC

E. ĐÁP ÁN VÀ HƢỚNG DẪN GIẢI Bài toán

a) Ta có: AH2 AB2 BH2 102 62 100 36 64

Vậy AH 64 (cm)

Do sin

10

AH B

AB

Ta có: 2 12 2

AH AB AC

2 2 2 2 2 2

1 1 10 36 6400 10

AB AH

AC AH AB AH AB

Vậy 6400 80 13, 36

AC (cm)

Theo định lí Pythagore, ta có:

2 2 2

10 13, 276, 89

BC AB AC

Suy BC 276, 89 16, 64 (cm)

Vì vậy: sin 10 0,

16, 64

AB C

BC

b) Áp dụng định lí Pythagore tam giác vng AHB vng H, ta có:

2 2 122 52 144 25 169

AB AH BH

Do AB 169 13 (cm)

Suy ra: sin 12

13

AH B

AB

Ta có 2 12 2

AH AB AC

2 2 2 2 2 2

1 1 13 12 25 24336 13 12

AB AH

AC AH AB AH AB

Vậy 24336 31, 25

AC (cm)

Áp dụng định lí Pythagore tam giác AHC vuông H:

2 2 31,22 122 829, 44

HC AC AH

Vậy HC 829, 44 28, (cm)

Ta có: BC BH HC 28, 33, (cm)

Vậy: sin 13

33,

AB C

(8)

H B A

C

Bài tốn

a) Ta có: cos 12

13

AB B

BC

Áp dụng công thức

2

sin B cos B 1, ta được:

2

2 12 144 25

sin cos 1

13 169 169

B B

Từ đó, ta có: sin 25 169 13

B (do sinB 0)

Mặt khác,

5 sin 13 tan

cos 12 13 13

B B

B

b) 15

8

AB

AC

Ta có: cotan 15 tan 1

8 cotan 15 15

AB

B B

AC B

Theo công thức lượng giác, ta được:

2

1 15 225 289 cotan 1

8 64 64 sin B B

Từ đây, suy ra: sin 64 289 17

B (do sinB 0)

§3 ĐỊNH LÍ THALES TRONG CÁC BÀI TỐN THỰC TẾ A. KIẾN THỨC LIÊN QUAN

(9)

nhiều khám phá địa lý thực Thế giới sẵn sàng cho kiểu văn minh

Nền văn minh xuất thành phố thương mại chạy dài dọc theo bờ biển Tiểu Á sau lãnh thổ Hy Lạp, vùng biển Italia Cái nhìn tĩnh phương đơng cổ đại trở nên phủ nhận bầu khơng khí phát triển chủ nghĩa lý, người ta bắt đầu hỏi

Ở thời gian đầu, toán học lĩnh vực khác, người ta bắt đầu đặt câu hỏi có tính chất “Tại các góc đáy tam giác cân lại nhau?” “Tại đường kính lại chia đơi đường trịn?” Những q trình thực nghiệm phương đơng cổ đại hồn tồn đủ để trả lời câu hỏi làm không đủ để trả lời câu hỏi có tính chất khoa học từ Ít nhiều cố gắng phương pháp chứng minh để tự khẳng định khía cạnh suy diễn mà học giả ngày coi đặc trưng toán học thấy xuất Có thể tốn học có ý nghĩa từ này, đời khơng khí chủ nghĩa lý đô thị thương mại nằm vùng bờ biển phía tây Tiểu Á Theo lời truyền lại hình học

chứng minh bắt đầu với Thales vùng Miletus, “bảy nhà thông thái” thời đại khoảng thời gian nửa đầu kỷ XV trước Công nguyên

Theo nhà nghiên cứu lịch sử, phần đầu đời Thales nhà bn trở nên giàu có để quãng đời sau đời dành cho việc nghiên cứu học tập du lịch Ông thiên tài nhiều mặt khách, người cố vấn, kỹ sư, doanh nghiệp, nhà triết học, toán học thiên văn học Thales người biết đến với khám phá toán học Trong hình học ơng cơng nhận đưa kết sau đây:

- Một đường trịn chia đơi đường kính - Hai góc đáy tam giác cân

- Các góc đối đỉnh

- Hai tam giác theo trường hợp góc cạnh góc

Thales coi người đoán tượng nhật thực vào năm 585

- Sử dụng tỉ số hai tam giác đồng dạng

AB A B

ABC A B C

AC A C

- Rút kết luận toán

Ví dụ

(10)

Kim tự tháp cơng trình kiến trúc cổ hùng vĩ phần mộ vua chúa Ai Cập cổ đại Hơn 2600 năm trước, có vương quốc Ai Cập muốn biết độ cao thực kim tự tháp bao nhiêu, chẳng đo

Cho người trèo lên đỉnh tháp? Rõ ràng khơng thể tháp nghiêng, có trèo lên chẳng biết dùng cách để đo

Thales cho người giúp Quốc Vương đo chiều cao kim tự tháp Thales chọn ngày đẹp trời, mời Quốc Vương quan trọng triều hành lễ đo tháp Người đến xem đông, chen chúc nhau, bàn tán vào sôi Nhưng thời gian trôi đi, mặt trời chiếu xuống Kim tự tháp đám người mà chưa thấy Thales có động tĩnh Mãi thấy bóng người chiều cao ơng, ơng phát lệnh đo tháp Lúc đó, người giúp việc đo độ dài bóng Kim tự tháp DB (hình vẽ trên) Sau đó, ơng đưa chiều cao Kim tự tháp cách chuẩn xác

Thales làm để đo chiều cao Kim tự tháp? Ông phải chờ tới độ dài bóng người ơng độ cao ơng đo, lúc tia nắng mặt trời người ơng tạo thành góc 450 Tức CBA 450 ACB 90 ,0 BAC 450 Lúc ấy, điểm đỉnh Kim tự tháp với điểm trung tâm Kim tự tháp điểm cuối bóng Kim tự tháp tạo thành tam giác vuông cân, đương nhiên hai cạnh bên AC CB Nửa độ dài Kim tự tháp đoạn CD (đã ơng đo trước, cịn độ dài đoạn bóng Kim tự tháp DB ơng nhờ trợ lý đo Cuối việc cộng lại hai đoạn CD DB lại chiều cao Kim tự tháp

Ví dụ

Làm để đo chiều cao cây?

(11)

Phương pháp đo sau đòi hỏi phải có khoảng đất trống vừa đủ rộng Các bước thực sau:

- Gọi chiều cao H

- Cắm sậy có chiều cao h cách gốc khoảng cho lấy số đo - Nằm xuống ngắm cho trùng với đỉnh gậy Bây mắt người, đỉnh gậy thẳng hàng

- Gọi đoạn từ vị trí đặt mắt đến gốc D, từ mắt đến nơi cắm gậy d Theo định lí Thales, ta có: H D

h d

Vậy chiều cao là: H h D d

Cách (Phương pháp dùng gậy bóng nắng)

Nếu có ánh mặt trời, ta đo chiều cao cách cắm gậy xuống đất, đo chiều dài bóng bóng gậy in mặt đất Gọi:

- H chiều cao muốn đo - B chiều dài bóng - h chiều cao gậy - b chiều dài bóng

Theo định lí Thales, ta có: h b H h B

H B b

(12)

- Đặt chân mục tiêu (ở cây) cần đo gậy chuẩn (hay người đứng chỗ mục tiêu) mà ta biết rõ chiều cao

- Đứng cách xa mục tiêu khoảng cách gấp lần chiều cao đoán mục tiêu

- Cầm que bút dang thẳng tay đằng trước - Bấm ngón tay que để ghi dấu chỗ mặt đất

- Sau đó, đo ướm dần lên xem mục tiêu cao vật chuẩn lần - Nhân chiều cao vật chuẩn với số lần ta có chiều cao mục tiêu Nhận xét

Ta hoàn toàn áp dụng phương pháp đo chiều cao chiều cao Kim tự tháp

Ví dụ

Làm để đo chiều rộng sông?

Cách (Phương pháp hai tam giác vuông nhau)

- Ta chọn điểm gốc A bên mép bờ sơng, đối diện bờ sơng bên ta đóng cọc B sát bờ

Từ B ta xoay góc 900 đo điểm để đóng cọc C, kéo dài BC chọn điểm D cho CB CD

- Tại D kẻ tia Dx vng góc với BD (góc vng D) - Trên tia Dx xác định điểm E cho A C E, , thẳng hàng

- Ta có hai tam giác vuông ABC EDC Vậy AB ED

- Đo ED khoảng cách AB (chiều rộng bờ sơng) cần tìm Cách (Phương pháp tam giác đồng dạng)

- Chọn điểm P sát bên bờ sông, đối diện sát bờ sông bên đóng cọc A Từ PA ta nối dài đóng cọc tiêu C

(13)

E D

G

M A

B C

- Kẻ tia Cy vng góc với PC C , tia Cy xác định cọc tiêu D cho P B D, ,

thẳng hàng (Xem hình vẽ)

- Hai tam giác PAB PCD đồng dạng Nên theo định lí Thales ta có:

PC CD PC AB

PA

PA AB CD

C.LỜI BÌNH

Định lí Thales định lí hình học quan trọng hình học Euclide Từ định lí ta rút định lí hình học quan trọng định lí ba đường trung tuyến, định lí ba đường cao, định lí ba đường phân giác, định lí Céva, Ménélaus, < Định lí Thales cịn ứng dụng tốn đồ gióng thẳng, ứng dụng quan trọng sản xuất đời sống

Cho tam giác ABC Gọi G trọng tâm tam giác ABC Qua G vẽ GD song song với AB

(D BC GE AC E); ( BC)

a) Tính tỉ số BD

BC ?

b) Chứng minh BD DE EC

Bài toán

Cho hình thang ABCD (AB CD) Trên cạnh bên AD lấy điểm E cho AE p

ED q Qua E kẻ

đường thẳng song song với đáy cắt BC tại F Chứng minh rằng: EF pCD q AB

p q

Bài tốn

Bóng ống khói nhà máy mặt đất có độ dài 36, 9m Cũng thời điểm đó, sắt cao 2,1m cắm vng góc với mặt đất có bóng dài 1, 62m Tính chiều cao ống khói (hình vẽ)

(14)

Theo định lí Thales, ta có:

2

1

2

BD BD AG CE CE

BM AM CM

BC BC

Vậy: a) 1

3

BD

BD BC

BC

b)

3 3

BD EC BC DE BC BC BC

Vậy BD DE EC

Bài toán

Sử dụng định lí Thales

Bài tốn

47,

AB m

§4 TIẾT KIỆM TRONG TĂNG GIA SẢN XUẤT A. KIẾN THỨC LIÊN QUAN

Tiết kiệm tăng gia sản xuất vấn đề cấp bách sinh hoạt, sản xuất đời sống Các bác nơng dân muốn tiết kiệm đất trồng trồng nhiều số đạt suất cao Các anh chị cơng nhân muốn tiết kiệm nguyên vật liệu, chi phí sản xuất Trong viết này, khám phá cách tiết kiệm chi phí tăng gia sản xuất

B. VÍ DỤ MINH HOẠ ỨNG DỤNG TRONG TOÁN HỌC VÀO BÀI TOÁN THỰC TẾ PHƢƠNG PHÁP GIẢI

- Tính diện tích cách khác nhau, so sánh xem diện tích tối ưu - Rút kết luận tốn

Ví dụ

(15)

Hình Hình

Hỏi cách trồng xu hào hợp lí nhất?

Chắc nhiều bạn trả lời trồng hình hợp lí nhất, lợi Tuy nhiên Bằng cơng cụ hình học sơ cấp, chứng minh cách trồng hình tối ưu theo yêu cầu đề

Thật vậy, giả sử khoảng đất xung quanh gốc sống phát triển đường tròn có đường kính đơn vị dài Thế thì, trồng có khoảng đất bỏ phí Ở hình “tứ giác cong” (tứ giác có cung trịn nhau), hình “tam giác cong” (tam giác có cung tròn nhau) Ta xét với hai cách trồng số đất bỏ phí

Diện tích tứ giác cong diện tích hình vng trừ diện tích hình trịn, nên bằng:

1

4 (đơn vị diện tích)

Diện tích tam giác cong diện tích hình thoi trừ diện tích hình trịn nên bằng:

3

4 4 (đơn vị diện tích)

Tỉ số:

1

4 2, 5

4

,

Vậy diện tích đất bỏ phí trồng theo hình gấp lần rưỡi diện tích đất bỏ phí trồng theo hình

Bây ta xét số trồng theo cách nhiều Mới nhìn bạn cho trồng theo cách hàng lại thiệt Nhưng cách “Bỏ săn sắt bắt cá rô” bạn Nếu bạn không tin tính thử Trong vườn 2, khoảng cách hai hàng ngang chiều cao tam giác nên

2 đơn vị dài

Trong vườn 1, khoảng cách hai hàng ngang đơn vị dài, trồng theo cách lợi khoảng đất là:

3

1 0,134

2 (đơn vị dài)

Nói cách khác tức trung bình khoảng hàng ngang cách trồng vườn lợi cách trồng vườn hàng

Để cụ thể giả sử số trồng hàng ngang 15 trồng hàng theo cách lợi 15 phải bỏ bớt (ở hàng 2, 4, 5) nên lợi 12

Do diện tích đất trồng rộng rõ ràng theo cách (ở hình 2) trồng nhiều tiết kiện đất

(16)

Trong nhà máy, anh thợ công nhân cần cắt tôn 1 x2m m

nhiều miếng tròn, đường kính 0 ,295m

Bạn cắt cho nhiều miếng trịn nhất?

Nếu khơng chịu khó tính tốn bạn cắt theo kiểu đơn giản hình 21

miếng trịn Nhưng suy nghĩ kỹ bạn thấy cắt theo kiểu hình lợi 26 miếng

Hình Hình

Tại cắt theo kiểu hình lợi hơn?

Lia giống trồng ví dụ Như ta lập luận khác chút Cho

d đường kính miếng trịn Trong vng hình 3, tỉ số diện tích sử dụng (tức tỉ số diện tích miếng trịn so với diện tích vng) bằng:

2

:

2

d

Nếu tôn lớn so với miếng trịn số lẻ (ơ khơng trịn) rìa khơng đáng kể tỉ số diện tích sử dụng tồn tơn xấp xỉ 78, 5%

4

Mặt khác, theo kiểu cắt hình 4, ta chia tôn ô lục giác, ô tỉ số diện tích sử dụng là:

2

:

2 2 3

d d

(

2

d

diện tích lục giác – bạn nên kiểm tra lại) Vậy tỉ số diện tích sử dụng theo kiểu cắt xấp xỉ 90, 7%

2

Do cắt theo kiểu thứ hai lợi hẳn so với kiểu thứ

C. LỜI BÌNH

Cách xếp hình trịn hình “chặt” nhất, chứng minh cách xếp khác tỉ số diện tích sử dụng nhỏ

2 Chính lí mà

xếp vật tròn (chai, hộp tròn, ống) trường hợp lớn người ta xếp theo kiểu hình cho lợi chỗ

(17)

Tìm ứng dụng xếp theo kiểu hình nói trịn thực tế

Bài toán

Ngày 4/4/1918, đạo luật quốc hội Hoa Kỳ cho phép thêm ngơi vào cờ có bang nhận vào liên bang Năm 1959 có 48 bang Vì 48 6x8 nên ngơi xếp cách đẹp đẽ thành 6 hàng, hàng 8 sao Năm 1959 có bang Alaska gia nhập liên bang nên có 49 bang Vì 49 7x7 nên xếp thành 7 hàng, hàng có 7 Năm 1960 có thêm bang Hawaii, cờ Hoa Kỳ phải có 50 ngơi Vì 50 5x6 4x5 nên người ta quyết định xếp thành 5 hàng 6 ngôi sao, đan xen với 4 hàng 5 sao, điều đạt đến cân đối việc bố trí ngơi ta thấy cờ Hoa Kỳ hình vẽ

Một câu hỏi xuất cách tự nhiên là: Người ta xếp có thêm một bang (51 bang)?

20 điếu thuốc bao thuốc xếp theo kiểu hình nói

Bài tốn

(18)

1 Số hai hàng liền kể sai khác tới mức được, tức nhau

2 Số hàng chẵn số hàng lẻ sai khác tới mức được, tức số hàng chẵn số hàng lẻ sai khác

Đặt x số hàng, hàng có r y số hàng, hàng có s sao, ta cần có:

51

xr ys

r s

Xảy trường hợp:

a) Nếu x y x s( 1) xs 51

Suy ra: 51

2

x

s

Vì 51 3x17 x số nguyên nên mẫu số 2s 1, hoặc 17 51 Nếu x 51 s 0,

Nếu x 17 s 1, Nếu x x 25

Các trường hợp đếu khơng đạt

Cịn với x s kéo theo y r

Lúc đó, 51 3x9 3x8 Lá cờ với 51 ngơi xếp thành hàng ngơi

hàng Ý định thực chấp nhận để xếp cho cờ tương lai

b) Nếu x y phương trình trở thành:

( 1) ( 1) 51

x s x s hay 2xs x 51 s, mà 51

2

s x

s số nguyên Suy

51

2

s s

cũng số nguyên, tức 101 101 2

s

s s số nguyên Vì 101 số nguyên

tố nên s 50 s Cả hai trường hợp bị loại Như sử dụng phương án trường hợp a)

Điều xảy vào thời điểm năm 1960 có thêm bang Hawaii, số bang tăng từ 49 lên 50? Dĩ nhiên xếp 50 thành hàng 10 hàng 25 sao, hai phương án khơng phù hợp với tính thẩm mĩ

Sử dụng biến nêu trên, trường hợp a), ta có:

50

xr ys

r s

Và x y, suy x s( 1) xs 50 hay 50 2.5.5

2

x

s s

Vì 2s số lẻ lớn nên 25 từ s s 12

 Nếu s x y 10 r 3, điều tạo hình ảnh khung hình chữ nhật “q cao”, có 10 hàng ngơi 10 hàng sao!

(19)

Ta xét trường hợp b)

Từ 50

1

xr ys

r s x y suy x s( 1) (x 1)s 50

Suy 2xs x 50 s hay 50

2

s x

s số nguyên, nên

50 99 99

2

2 2

s s

s s s số nguyên

Ta có bảng giá trị s r x y, , , sau:

2s 11 33

s 16

r 17

x 17

y 16 5 4 1

Hai cột thứ thứ tư bảng giá trị cho phương án không đạt

Hai cột thứ hai thứ ba ứng với 50 5x6 4x5 phương án xếp cờ chấp nhận

§5 TRỒNG CÂY THẲNG HÀNG TRONG THỰC TẾ CĨ LIÊN QUAN ĐẾN TỐN HỌC KHƠNG? A. KIẾN THỨC LIÊN QUAN

Trồng có ý nghĩa thực tiễn quan trọng: để lọc sách khơng khí, điều tiết khí hậu, làm đẹp thành phố

Như trồng có liên quan đến tốn học? Đương nhiên có Có đề tốn đơn giản sau:

Có đoạn đường vào khu vườn dài 16m, cách 2m trồng Hỏi cần trồng cây?

Không cần suy nghĩ lâu dễ thấy: 16 : (cây)

Nếu trả lời sai Vì quên trồng đầu đường nên phải thêm

Như số cần phải trồng là: (cây) Đây đáp án

(20)

B.VÍ DỤ MINH HOẠ ỨNG DỤNG TỐN HỌC VÀO BÀI TOÁN THỰC TẾ PHƢƠNG PHÁP GIẢI

- Nên dựa vào định lí quen thuộc, hình vẽ có tính đối xứng, < định lí

Papus, <

- Rút lời giải toán

Bài toán 1(Bài toán Newton)

Trong vườn có 9 Hãy trồng thành 10 hàng, hàng có 3 cây Cách

Newton đưa cách giải sau:

Các hàng là: ABC AYC AXB BXA BYB BZC CYA CZB XYZ A B C, , , , , , , , ,

Rõ ràng cách giải thú vị ngồi cách giải này, có cách giải khác sau Cách

Các hàng là: ABC AFE AHD CDE CHK CGF BKE BGD FKD EHG, , , , , , , , ,

Bản chất cách trồng thẳng hàng nào? Mỗi cách trồng có sở toán học ẩn chứa đằng sau cách giải khơng phải ngoại lệ Tuy nhiên có nhiều cách giải đưa đáp án mà chưa tìm sở tốn chất cách trồng vấn đề phức tạp vượt khả

Cở sở tốn cách ví dụ tốn sau:

Bài tốn (Định lí Papus)

Cho hai ba điểm thẳng hàng A B C A B C, , ; , , Gọi giao điểm AB A B là A ; AC và A C

(21)

Z

X Y

C'' B''

A'' A

B

A' B'

C

C'

Trường hợp 1: A C không qua X (X AC A C )

Kí hiệu Y A C A C Z; A C AC; ta gọi:

B A C AC Ta cần chứng minh: A B C, , thẳng hàng

Xét tam giác XYZ với đường thẳng qua ba điểm thảng hàng A B C, ,

, ,

A B C thẳng hàng A X B Y CZ

A Y B Z CX (1)

Xét tam giác XYZ với đường thẳng qua ba điểm thẳng hàng A A B, , , ta có:

A X A Y BZ

A Y A Z BX (2)

Tam giác XYZ với đường thẳng qua ba điểm thẳng hàng B C C, , , ta có:

CZ B X C Y

CX B Y C Z (3)

Tam giác XYZ với đường thẳng qua ba điểm thẳng hàng A B C, , , ta có;

AZ B Y C X

AX B Z C Y (4)

Do A A B, , thẳng hàng nên A Y AZ B X

A Z AX B Y (5)

Do B C C, , thẳng hàng nên BZ C X C Y

BX C Y C Z (6)

Nhân (2), (3), (4) áp dụng (5), (6) ta suy (1) Ta có điều phải chứng minh

Trường hợp 2: A C đi qua X Bạn đọc tự xét trường hợp

(22)

H K

D

F E

B C

A

M Cơ sở tốn cách ví dụ

Bài toán

Cho tam giác ABC với điểm M nằm tam giác Các tia

, ,

AM BM CM cắt cạnh BC CA AB, , tương ứng D E F, , Gọi K giao điểm DE CM Gọi H giao điểm

DF EM Chứng minh đường thẳng AD BK CH, , đồng quy

Áp dụng định lí Ménélaus cho tam giác AMC (với ba điểm thẳng hàng E K D, , ) tam giác BMA (với ba điểm thẳng hàng F H D, , ), ta có

1,

KM EC DA BH DM FA

KC EA DM HM DA FB

Suy KM EA DM BH , FB DA

KC EC DA HM FA DM (1)

Áp dụng định lí Céva cho tam giác ABC với ba đường thẳng đồng quy AD BE CF, , :

CD BF AE

BD FA EC

Từ đó: CD FA EC

BD BF AE (2)

Từ (1) (2) ta có: KM BH CD

KC HM BD

Vậy theo phần đảo định lí Céva, BK CH MD, , đồng quy, hay AD BK CH, , đồng quy Ví dụ

Trong vườn có 10 Hãy trồng thành 12 hàng, hàng có 3

Bài tốn có nhiều cách giải khác Cách

(23)

Các hàng là: AC B ATA AKD AB C B IB B KA CKC CTI CDA DTC A IC BTK, , , , , , , , , , , Cách

Các hàng là: EGK EAI EBH CBA CHG CIK DHA DIG HIF BKF AGF, , , , , , , , , , Cách

Các hàng ADB AFC BHE BKF BGC GHD GKE GIF CKD CIE HKI DEF, , , , , , , , , , , Ví dụ

(24)

Ta có cách trồng sau:

Ta có hàng là:

, , , , , , , , , , , , , , ,

ABC AIG ATC ADB BDA BTK BIC CID CTA CKB CGC GTD GKA C KD C B A B TI

Ví dụ (Bài tốn Same Loaid)

Trong vườn có 20 cây Hãy trồng thành 18 hàng, hàng có 4

Các hàng là: AETN AXZC AFYP MEFQ MXGD MTJC MLKN BLXQ BTYD BKZP NZHD, , , , , , , , , , , , , , , , ,

NJIP CIYQ PHGQ EXYH LTZI FXTK GYZJ

Tuy nhiên tốn Same Loaid làm tốt sau: Ví dụ

Trong vườn có 20 cây Hãy trồng thành 20 hàng, hàng có 4 cây

(25)

C. LỜI BÌNH

Chúng ta vừa có khám phá thú vị xoay quanh toán trồng thẳng hàng Có ba vấn đề tốn trồng thẳng hàng, là: Thứ nhất, lời giải toán trồng thẳng hàng Thứ hai, lại có lời giải Cuối cùng, chất toán học lời giải trồng thẳng hàng Đây vấn đề mà nhiều sách, báo thường quan tâm đề cập đến Nhưng chúng mấu chốt để hiểu cách sâu sắc toàn diện trồng thẳng hàng

Trong vườn có 9 Hãy trồng thành 9 hàng, hàng có 3

Bài tốn

(26)

E. ĐÁP SỐ VÀ HƢỚNG DẪN GIẢI Bài toán3

Bài toán

Bài tốn có cách trồng sau:

§6 PHƢƠNG PHÁP BẤT ĐẲNG THỨC TRONG CHỨNG MINH CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ

Ở bậc Trung học Cơ sở, học số bất đẳng thức quan trọng bất đẳng thức tam giác, bất đẳng thức Cauchy Mộ tốn cực trị hình học địi hỏi phải tìm giá trị độ dài, diện tích, thể tích, < nhỏ (hoặc lớn nhất) đối tượng hình học có tính chất chung Như ta phải so sánh kích cỡ hình vị trí cần khảo sát có tính chất mà tốn đặt Để giải vấn đề người ta hay dùng bất đẳng thức so sánh đơn giản nhất, áp dụng bất đẳng thức tiếng biết Từ bất đẳng thức hệ bất đẳng thức ta rút kết luận toán

Sau bất đẳng thức sử dụng viết

Bất đẳng thức

Chứng minh a2 b2 2ab

Dấu “=” xảy a b

Thật a2 b2 2ab (a b)2 Từ ta rút hệ quả:

Hệ

Nếu a b, 0 thì:

2

a b

ab

Dấu “=” xảy a b

Chứng minh với 3 số thực không âm a b c, , ta có:

3 3 3

a b c abc

Dấu “=” xảy a b c

Thật vậy:

3 3 3 ( )( 2 )

a b c abc a b c a b c ab bc ca

( ) 1( )2 1( )2 1( )2

2 2

a b c a b b c c a

Từ đây, ta rút hệ quả:

Hệ

Nếu a b c, , 0

3

a b c

(27)

x y z C

D

A B

Dấu “=” xảy a b c

Thật vậy, đặt a x b3, y z3, c3

theo bất đẳng thức 2, ta có

3

3 3 3 3

3 3

3

3 3

a b c x y z xyz

x y z abc

Chứng minh với 4 số a b c, , ta có a4 b4 c4 d4 4abcd

Dấu “=” xảy a b c d

Thật vậy, theo bất đẳng thức 1, ta có:

4 4 2 2 2 2

a b c d a b c d

4a b c d2 2

|abcd|

4abcd Từ đây, ta rút hệ quả:

Hệ

Nếu a b c d, , , 0

4

3

a b c d

abcd

Dấu “=” xảy a b c d

Thật vậy, đặt a x b4, y z4, c t4, d4

theo bất đẳng thức 3, ta có:

4 4 4 4 4

4 4

4

4 4

a b c d x y z t xyzt

x y z t abcd

B. VÍ DỤ MINH HOẠ ỨNG DỤNG TỐN HỌC VÀO BÀI TOÁN THỰC TẾ PHƢƠNG PHÁP GIẢI

- Sử dụng hệ 1, 2, - Rút lời giải toán

Ví dụ

Ba đường cắt tạo tam giác Trong tam giác phải đặt xí nghiệp đâu để tổng độ dài đường từ xí nghiệp đường ngắn nhất?

Giả sử giao điểm ba đường đỉnh tam giác ABC AB BC AC Đặt khoảng cách từ điểm

D đến cạnh tam giác AB BC CA, ,

,

x y z

Khi diện tích tam giác ABC tổng diện tích tam giác ADB BDC, ADC:

1 1

( ) 2 2

S x AB y BC z AC x y z AB

Từ ta có bất đẳng thức x y z 2S

(28)

x

y G D

A B

C F

E Hoặc z y 0, AB BC,

Hoặc z 0, AB BC AC,

Hoặc x y z, , bất kỳ, AB BC AC Như vậy, ứng với trường hợp ta có kết luận:

- Xí nghiệp phải đặt đỉnh đối diện với cạnh lớn

- Nếu có hai cạnh lớn nhau, xí nghiệp đặt điểm cạnh nhỏ

- Nếu ba cạnh xí nghiệp đặt đầu tam giác kể cạnh

Ví dụ (Bài toán mở đường)

Hãy chọn hướng mở đường qua thành phố cho tổng khoảng cách từ tới hai điểm dân cư có nhỏ

Giả sử AC BC (C vị trí thành phố, cịn B A vị trí hai điểm dân cư) Gọi D điểm đối xứng với B qua điểm C Con đường ta cần tìm cắt đoạn AB E cắt đoạn AD F

1) Trường hợp thứ

Diện tích SABC SAEC SBEC

Nghĩa 1( )

2 2

ABC

S x CE y CE x y CE

2) Trường hợp thứ hai Tương tự phần (x khoảng

3) cách từ A đến CF, y khoảng cách từ B đến CF), diện tích SACD SAFC SDFC

Nghĩa là: 1( )

2 2

ACD

S x CF y CF x y CF

Vì giá trị x y nhỏ giá trị CE CF tương ứng lớn Độ dài lớn E F A

(29)

a

a a

a x

x

Kết luận: Con đường phải qua điểm dân cư cách thành phố xa hơn, thành phố C

cách hai điểm dân cư đường qua điểm dân cư

Ví dụ 3 (Bài toán đào mương)

Người ta đào mương với thiết diện cắt ngang hình thang cân, đáy cạnh bên có độ dài

a Độ dài đáy lớn (bề ngang mặt mương) hình thang để diện tích mặt cắt lớn (cho lưu lượng nước thoát qua lớn nhất)

Đặt x độ dài hình chiếu cạnh bên hình thang xuống đáy lớn (bề rộng mương) Khi đó:

2 2

1

( ) ( )

S a a x x a x a x a x

Hay: S2 (a x a) (3 x)

Hoặc: 1( )( )( )(3 ),

3

S a x a x a x a x x a

Áp dụng hệ ta có:

1

( )( )( )(3 ) a x a x a x a x

4

1 3

3

a x a x a x a x

4

1 27 16

a

Vậy max

3

S a

2

a

x

Lúc này, cạnh lớn hình thang có chiều dài 2a, góc nhọn 600

Ví dụ

Từ miếng bìa hình vng cạnh a, người ta cắt bốn góc hình vng cho phần cịn lại miếng bìa theo đường chấm thành hộp tích lớn (hình vẽ)

Nếu ta ký hiệu y thể tích hình hộp chữ nhật, cịn x đương cao hộp, thì: y (a )x x2 Ta có: 1( ).( ).4

4

y a x a x x

3

1 2 4

a x a x x

27 a Dấu “=” xảy

6

a

x

Kết luận: thể tích hình hộp lớn

3 27 a a x

(30)

Ở bậc Trung học sở, số lượng bất đẳng thức học chưa nhiều, chủ yếu bất đẳng thức ta, giác, bất đẳng thức Cauchy dạng thức bình phương biểu thức lớn Tuy nhiên cần thơi số lượng toán thực tế chứng minh bất đẳng thức phong phú Mỗi toán thực tế khác mang lại cho nhiều cảm nhận thật thú vị, bổ ích Tốn học thật có nghĩa Những tốn thực tế minh chứng điều Tốn khơng cơng thức trừu tượng khơ khan, khơng có ý nghĩa, người làm toán “tự sướng” với cơng trình mà tốn học mang đến sống nhiều ứng dụng bổ ích cần thiết sống

Bên cạnh sông đào thẳng người ta phải làm khu vườn hình chữ nhật có diện tích cho trước S Người ta muốn rào khu vườn hàng rào ngắn bao nhiêu? Biết phía sơng thì khơng phải làm hàng rào

Bài tốn

Từ tất hình chữ nhật với chu vi cho, hình vng có diện tích lớn

Bài tốn

Trong đường tròn cho trước, nội tiếp hình chữ nhật có diện tích lớn

E. ĐÁP SỐ VÀ HƢỚNG DẪN GIẢI Bài tốn

Ta kí hiệu x độ dài cạnh khu vườn mà vng góc với kênh Khi độ dài hàng rào tính: P 2x S,x

x

Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có: P 2 x S x

Như P đạt giá trị nhỏ Pmin 2S 2x S

x , nghĩa

S

x Từ ta

cũng tính cạnh hình chữ nhật

Bài tốn

Đặt 2a chu vi cho hình chữ nhật Khi tổng x y hai cạnh hình chữ nhật x y đại lượng khơng đổi a, diện tích xy biến số, mà ta muốn có giá trị lớn

Trung bình cộng hai đại lượng

2

x y

m

Ta kí hiệu

2

x y

d , ta nhận x m d y, m d

Vì vậy:

2 2 ( )

( )( )

4

x y

xy m d m d m d d

Vì d2 số dương nên ta có:

2

x y

xy , dấu xảy d

(31)

Bài tốn

Gọi bán kính đường trịn R cạnh AB hình chữ nhật cần tìm x Theo định lí Pythagore, ta có: BC 4R2 x2 , từ suy biểu thức diện tích S S x 4R2 x2 Hàm số hàm số y S2 đạt giá trị cực đại với giá trị x Mà

2(4 2)

y x R x

Đặt x2 z

, ta có: y z R(4 z) z2 4R z2

Nghĩa ymax đạt z 2R2 tức x R

Ta nhận thấy AB x R BC R 2, ta nhìn thấy hình chữ nhật cần tìm hình vng Hay ta có kết luận: “Trong hình chữ nhật nội tiếp đường trịn hình vng có diện tích lớn nhất”

§7 ĐỐI XỨNG TRỤC VÀ CÁC BÀI TOÁN THỰC TIỄN

Đối xứng trục chủ đề quan trọng toán học, nghệ thuật Các vật thường có hình hài đối xứng hai bên Chẳng hạn bướm sau:

Các viên gạch lát nền, loại xe xe máy, ô tô hay chí

máy bay có gấu trúc đối xứng Các loài vật, loại xe, phương tiện lại có cấu trúc đối xứng phải đảm bảo tính cân thuận tiện cho việc lại

Trong viết này, nghiên cứu vấn đề khác đối xứng trục, dùng đối xứng trục chứng minh tốn thực tiễn

B. VÍ DỤ MINH HOẠ ỨNG DỤNG BÀI TOÁN HỌC VÀO BÀI TOÁN THỰC TẾ

- Lấy đối xứng điểm cố định (hình cố định) qua đường thẳng đươc điểm ảnh (hình

ảnh)

- Nối điểm ảnh với điểm cố định điểm cảnh với - Rút kết luận tốn

Ví dụ (Bài tốn trạm cấp nước)

Có hai điểm dân cư phía bên cạnh dịng sơng Người ta muốn xây dựng trạm cung cấp nước lấy từ dịng sơng qua xử lí cung cấp cho hai điểm dân cư nói Vậy phải đặt trạm xử lí nước điểm bờ sơng để độ dài đường ống dẫn nước từ tới hai điểm dân cư nhỏ nhất?

(32)

M' L'

K '

D2

E1

D1

B

D E

A C

M K

L

chính trạm xử lí nước Bài tốn hai điểm dân cư phía bờ sơng, nên giả sử điểm dân cư chuyển sang bên bờ sông Câu hỏi đặt điểm dân cư chuyển sang bên sông vị trí thích hợp nhất? Để đảm bảo tính chất điểm dân cư ta chuyển sang phải có khoảng cách từ đến dịng sơng Hay nói cách khác ta lấy điểm đối xứng điểm dân cư Gọi A B, hai điểm dân cư Điểm A đối xứng với B qua dòng sông Đường nối A B cắt bờ sông D Điểm D nơi đặt trạm xử lí nước

Thật với điểm C khác D, ta có:

CA CB CA CB A B DA DB DA DB

Ví dụ (Bài tốn trạm cấp xăng)

Đường quốc lộ đường ống dân dầu cắt góc nhỏ 450, góc có bãi đỗ ô tô xí nghiệp vận tải Xây trạm cung cấp xăng vị trí đường ống để loại xe xuất phát từ bãi đỗ xe đến lấy xăng đường quốc lộ với đường ngắn

Ta thấy điểm dân cư A điểm lối thoát đường

quốc lộ nằm phía đường ống dẫn đầu Tương tự ví dụ 1, ta lấy điểm B đối xứng với điểm A qua đường ống dẫn dầu

Từ điểm B hạ đường vng góc xuống đường quốc lộ, đường ta vừa hạ cắt đường ống dẫn dầu D, có chân đường vng góc C Điểm D nơi ta xây trạm cung cấp xăng đoạn đường AD DC đoạn đường ngắn ta phải mở

Thật vậy, gọi E điểm đường ống dẫn dầu, C điểm đường quốc lộ Ta có:

AE EC BE EC BC BC BD DC AD DC

(do BC đoạn đường ngắn từ B đến đường quốc lộ)

Ví dụ

Một mảnh đất hình tam giác nhọn ABC nằm vị trí giao ba sơng Trong mảnh đất có hai nhà máy D E Tàu chở hàng thả hàng ba vị trí M K L, , nằm cạnh

, ,

AC AB BC tam giác ABC Hãy tìm vị trí bỏ hàng M K L, để quãng đường từ D đến

M, đến K đến L đến E nhỏ

Gọi D1 E1 đối xứng với D E qua AC BC

Gọi D2 đối xứng với D1 qua AB Nối D E2 1 dựng đường gấp khúc DM K L E (hình vẽ)

Ta thấy đường gấp khúc DMKLE lớn đường gấp khúc DM K L E

(33)

p q

Q'

P' M''

M' O

O1 M

P Q

d

E D

B' O2 O

O1 B

C A

1 2

DM M K K L L E D M M K K L L E D K K L L E D E D K KL

1 1

LE D K KL LE D M MK KL LE DM MK KL LE

Hay kết ta có: DM M K K L L E DM MK KL LE (đpcm)

Ví dụ

Trong lịng sơng rộng có hịn đảo hình trịn Người ta muốn xây dựng bến đỗ cho các tàu chở khách du lịch để chở khách từ đảo lên bờ nhận khách, sang bờ bên nhận khách tiếp chở đảo ngược lại Phải đặt bến đâu để đường sông ngắn nhất, biết đường thẳng hai bờ sông kéo dài cắt O tạo thành góc nhọn

Đặt hình trịn hịn đảo góc nhọn Opq giới hạn hai bờ sơng Bài tốn đưa tìm tam giác MPQ cho M thuộc đường tròn, P thuộc Op Q thuộc Oq

cho chu vi tam giác MPQ nhỏ

Ta có định điểm M đường tròn lấy M M

điểm đối xứng với M qua Op Oq Tìm điểm P thuộc

Op điểm Q thuộc Oq cho chu vi tam giác MPQ có chu vi nhỏ Từ ví dụ 1, ta có kết điểm P Q giao điểm M M với Op Oq tương ứng

Trong trường hợp chi vi tam giác MPQ trùng với M M

Nhưng M M cạnh đáy tam giác cân M M O với góc cố định đỉnh Suy

M M nhỏ M phải giao điểm đường tròn với đoạn thẳng OO1, O1

tâm đường trịn

Ví dụ

Có hai kho chứa xăng hình trịn phía đối với đường quốc lộ Người ta muốn xây dựng trạm cung ứng phân phối xăng bên đường quốc lộ nối với hai đường ống nối tới hai bồn xăng ngắn

Gọi ( )O2 , B hình trịn điểm đối

xứng với ( )O1 , B qua d (d biểu trưng cho đường

quốc lộ)

Nối CA CB CB, ,

Ta có CA CB CA CB

Do CA CB AB DE (D E, giao

(34)

Hãy điểm D E điểm cần tìm Từ suy điểm A B, C cần tìm Đó là, điểm A trùng với điểm D, điểm C giao điểm DE với d điểm B điểm đối xứng với điểm E qua d

Ví dụ

Trên mảnh đất hình thang vuông ABCD người ta xây dựng sân vận động hình chữ nhật

AEFD 3 ngơi nhà Nhà bảo vệ C , nhà ban quản lý sân B, nhà tạm nghỉ thay trang phục P Kèm theo người ta xây dựng hai cửa Q H, cửa phụ K Bạn giúp người thiết kế sân tìm vị trí P Q H K, , , cho trước sau trận thi đấu, người bảo vệ theo

đường C H K Q B P C ngắn

nhất để làm nhiệm vụ Theo người ta cho xây cửa P H Q K, , , đường BPC Sơ đồ mảnh đất vị trí cố định B C, vị trí cần xác định

, , ,

P Q H K có dạng hình vẽ

Ta giải toán sau: Con đường

C H K Q B P C, ngắn ta

tìm P Q H K, , , mà S1 PB PC nhỏ S2 CH HK KQ QB nhỏ Ta xác định vị trí P Q H K, , , sau:

 Gọi C điểm đối xứng với C qua EF; gọi C điểm đối xứng với C qua AD

 Gọi P giao điểm BC EF; K giao điểm BC EF; H giao điểm CK EF

Việc chứng minh điểm P dựng để S1 nhỏ trình bày ví dụ Việc dựng điểm K trên, theo ví dụ nêu đảm bảo cho S BK KC

nhỏ

Ta chứng minh điểm K Q H, , dựng thoả mãn S2 CH HK KQ QB nhỏ Thật vậy: xét điểm K Q H1, ,1 1 thuộc AD EF, Ta nhận thấy:

1 1

1 1 1 1 1 1

CH H K CK

CH H K K Q Q B CK K B

K Q Q B K B

Theo cách dựng điểm K CK1 K B1 KB KC

Từ suy ra: CH1 H K1 K Q1 Q B1 KB KC

Dấu “=” CH1 H K1 K Q1 Q B1 KB KC

xảy dấu “=”

1 1 1, 1 1 , 1 1 1 1 ,

CH H K CK K Q Q B K B CH H K K Q Q B CK K B

1

CK K B KB KC đồng thời xảy Như K Q H, , dựng hình đảm bảo cho ta

2

S nhỏ Tóm lại: S1 S2 CH HK KQ QB BP PC , với cách dựng P Q H K, , ,

như S1 S2 nhỏ Do điểm P K, nhất, nên vị trí điểm P Q H K, , ,

(35)

H M

D' B' C'

A' O'

D A

B C

M N

P2

P1

A

B C

P N'

M'

hình chữ nhật nên ta chứng minh vị trí P Q H K, , , xác định thoả mãn yêu cầu thực tế toán (Cụ thể là: Q P H, , nằm cạnh EF; K nằm cạnh AD hình chữ nhật ABCD P nằm Q H)

C. LỜI BÌNH

Chúng ta vừa khám phá toán thực tế giải đối xứng trục Các toán tương tự hoá, khái quát hoá mang đến cho nhiều điều thú vị

D. BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài tốn

Cho hình vng ABCD Hãy xác định đường thẳng qua tam hình vng cắt cạnh đối AD

BC cho tổng khoảng cách từ bốn đỉnh hình vng đến đường thẳng

a) Lớn

b) Nhỏ

Bài toán

Cho tam giác nhọn ABC Hãy nội tiếp tam giác ABC tam giác có chu vi bé

Gọi d đường thẳng qua tâm O hình vng, m tổng khoảng cách từ bốn đỉnh hình vng đến d

Xét trường hợp đường thẳng d cắt hai cạnh đối AD BC Kẻ

, , ,

AA BB CC DD vng góc với d

Ta thấy m AA BB CC DD 2(AA BB)

Gọi M trung điểm AB, N trung điểm A B Ta có

MN A B MN đường trung bình hình thang ABB A nên

2

AA BB MN

Do đó: m lớn MN lớn

m nhỏ MN nhỏ

a) Ta có MN MO (khơng đổi) nên MN lớn

N O d AB

b) Kẻ MH O B, ta chứng minh MN MH (khơng đổi) nên MN nhỏ

N H hay d trùng với BD (hoặc AC) Tóm lại:

 Nếu d qua điểm O song song với cạnh hình vng tổng khoảng cách từ đỉnh hình vng tới d lớn

 Nếu d trùng với đường chéo hình vng tổng khoảng cách từ đỉnh hình vng tới d nhỏ

Bài toán

(36)

Lấy P P1, 2 đối xứng P qua AB AC, P P1 2 cắt AB AC, N M PMN tam giác cần dựng chu vi tam giác PMN

1 2

PN NM MP PP PN N M M P

chu vi tam giác PM N

Như vậy, cần phải tìm vị trí P để P P1 2 bé

Do P P1 2 đáy tam giác cân AP P1 2 có P AP1 2BAC khơng đổi Suy P P1 đạt giá trị nhỏ

nhất cạnh bên AP1 AP2 AP bé AP BC Hay AP đường cao tam giác

ABC

Tương tự lập luận lấy điểm N thuộc AB cố định hay M thuộc AC cố định ta đến kết luận chu vi tam giác ABC bé CN BM đường cao tam giác ABC Nhận xét

Bài tốn cịn có thêm cách giải khác nữa, xin dành cho bạn đọc tìm cách giải

§8 DỰNG HÌNH BÌNH HÀNH TRONG CHỨNG MINH CÁC BÀI TOÁN THỰC TIỄN

Có tốn cần dựng thêm điểm phụ đỉnh hình bình hành Việc điểm phụ đưa toán phức tạp trở nên đơn giản dễ tìm lời giải toán nhiều Cách thức dựng điểm phụ hình bình hành nào? Chúng ta khám phá điều viết

B. VÍ DỤ MINH HOẠ ỨNG DỤNG TỐN HỌC VÀO BÀI TOÁN THỰC TẾ

- Dựng hình bình hành hình bình hành để tìm điểm phụ cần dựng

- Rút lời giải tốn

Ví dụ (Bài tốn vị trí cầu qua sơng)

(37)

C'

D'

G' E'

B' A '

A

B C

D

E

G

Giả sử sông đẹp, hẹp đến mức hai bờ sông a b trùng Di chuyển điểm

M, ta tìm vị trí M giao điểm bờ sông a đoạn AB (Ta biết toán quen thuộc: MA MB AB MA MB ngắn M giao điểm a đoạn thẳng AB)

Từ ta cần tìm cách đưa ví dụ tốn Ta làm sau: Dựng hình bình hành AMNA : Ta có AM A N

Vậy AM MN NB AA A N NB Do AA không đổi, nên A N NB nhỏ N giao điểm A B bờ sông

Cách dựng M N, :

- Dựng A cho AMNA hình bình hành - Dựng N giao điểm A B b

- Dựng M cho NM vng góc với bờ sông a (M a) - M N, vị trí cần tìm

Ví dụ Hai xóm A B cách hai nhánh sơng Tìm địa điểm bắc cầu CD nhánh sông đối diện hai với điểm A địa điểm bắc cầu EG nhánh sông đối diện với điểm B cho tổng khoảng cách từ A đến C đến D đến E đến G đến B nhỏ Biết góc tạo hai nhánh sơng làgóc nhọn

Dựng hình bình hành ACDA BGEB,

Nối A B cắt nhánh sông D E hình vẽ Từ D E ta suy C G phép dựng vuông góc Ta chứng minh C D E G địa điểm cần dựng

Thật AC C D D E E G G B AA A D D E E B B B AA A D DE

EB B B AC CD DE EG GB

(38)

C' D'

E' F'

G' H'

B3

B2 B1

C B

D E F

G H

A

Ví dụ

Hai điểm dân cư cách ba sơng có lịng sơng rộng khác Hãy bắc cầu làm đường nối hai điểm dân cư với đường ngắn (hình vẽ)

Gọi CD EF GH, , ba cầu bắc qua ba sơng Dựng hình bình hành BCDB B EFB B GHB1, 1 2, 2 3

Nối AB3 cắt bờ sông thứ đối diện với điểm A H Dựng H G vng góc với bờ sơng cịn lại sông thứ Nối G B2 cắt bờ sông thứ hai đối diện với G F

Dựng F E vng góc với bờ sơng cịn lại sơng thứ hai Nối E B1 cắt bờ sông thứ ba đối diện với điểm E với D Dựng D C vng góc với bờ sơng cịn lại sơng thứ ba (hình vẽ) Ta có cầu H G F E D C, , cầu cần dựng

Thật vậy, AH H G G F F E E D D C C B H G F E D C AH G F

1

E D C B H G F E D C AH G F E B H G F E D C AH G B H G

3

F E D C AH HB HG FE DC AH HG GF FB FE DC AH HG GF

1

FE ED DB DC AH HG GF FE ED DC CB

Từ ta có điều phải chứng minh

C. LỜI BÌNH

Chúng ta vừa có số khám phá thú vị xoay quanh việc dựng điểm phụ đỉnh hình bình hành chứng minh toán thực tế Các toán mở rộng mang đến cho nhiều điều bổ ích giúp phát triển tư sáng tạo Đây tư quan trọng dạng tư

D. BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài toán

(39)

d

D'1 C'1 N

K

A2 A1

C1 D1

d

C' D' K

H

E B'

A B

C D

Bài toán

Cho điểm A1 cố định, đoạn C D1 1 thuộc đường thẳng d có độ dài không đổi chuyển động đường thẳng Tìm vị trí C D1 1 để chu vi tam giác AC D1 1 1 bé

Bài toán

Cho hai điểm A B, cố định nằm phía đường thẳng d Đoạn CD thuộc đường thẳng d có độ dài không đổi chuyển động đoạn thẳng Tìm vị trí CD để chu vi tứ giác ABCD

nhỏ

Xem ví dụ

Bài tốn

Để chứng minh chu vi tam giác AC D1 1 1 bé nhất, ta cần chứng minh AC1 A D1 bé

Dựng hình bình hành AC D A1 1 1 2 (hình vẽ)

Gọi K điểm đối xứng với A2 qua đường thẳng d

Nối KA1 cắt đường thẳng d C1

Dựng hình bình hành AC D A2 1 1 1 Ta có

1 1 1 1 1 1 1 1 1

C A AD C A C A C A C K AK AC C A C A D A

Dấu “=” xảy C1 trùng với C1

Bài toán

Dựng hình bình hành BCDB

Chu vi tứ giác ABCD nhỏ BC AD nhỏ Hay B D AD nhỏ

Theo ví dụ 1, §, hệ thức nhỏ điểm D trùng với

D giao EA với d (E điểm đối xứng B qua d) Dựng hình bình hành BB D C

Ta có BC AD B D AD DE AD

AE BC AD

B D AD BC AD

(40)

§9 DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN THỬA RUỘNG VÀ KHU VƢỜN A. KIẾN THỨC LIÊN QUAN

Dạng toán liên quan đến ruộng khu vườn hình chữ nhật thường bắt gặp nhiều thực tế Thông thường, đề tốn thường u cầu tính cạnh vườn biết diện tích chu vi tính cạnh hình tam giác biết diện tích chiều cao Tuy nhiên, dạng tốn có nhiều thể khác Chúng ta thường giải cách gọi x y chiều dài chiều rộng hình chữ nhật cạnh đáy đường cao hình tam giác Điều kiện x y,

- Gọi x y, , đại lượng đề toán

- Dựa vào giả thiết tốn để thiết lập hệ phương trình - Giải hệ phương trình

- Kết luận

Ví dụ

Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 280m Người ta làm lối xung quanh vườn (thuộc đất của vườn) rộng 2m, diện tích cịn lại 4524m2

Tính kích thước vườn

Gọi x y, chiều rộng chiều dài mảnh đất Điều kiện:

0

x

y

Vì chu vi khu vườn 280mnên ta có phương trình:

2x 2y 280 x y 140 (1)

Người ta làm lối xung quanh vườn (thuộc đất vườn) rộng 2m Nên chiều rộng chiều dài lại là: x y

Diện tích mảnh đất làm lối là: (x 2)(y 2) 4524 (2) Từ (1) (2) ta có hệ phương trình: 140

( 2)( 2) 4524

x y

Giải hệ phương trình đối chiếu điều kiện mảnh đất thấy nghiệm là: 60

80

x

y

Vậy chiều rộng mảnh đất 60m chiều dài mảnh đất 80m

Ví dụ

Một hình chữ nhật có chu vi 90m Nếu tăng chiều rộng lên gấp đơi giảm chiều dài 15m ta được hình chữ nhật có diện tích diện tích hình chữ nhật ban đầu Tính cạnh hình chữ nhật cho

(41)

Điều kiện:

0

x

y

Hình chữ nhật có chu vi 90m nên có phương trình:

2x 2y 90 x y 45 (1)

Diện tích hình chữ nhật ban đầu giảm chiều dài 15m ta hình chữ nhật có diện tích diện tích ban đầu

Diện tích hình chữ nhật lúc sau là: (2x y 15) Theo giả thiết thì: (x y 15) xy (2)

Từ (1) (2) ta có hệ phương trình: 45

2 ( 15)

x y

x y xy

Giải hệ phương trình sau đối chiếu điều kiện ta nghiệm hệ phương trình

là: 15

30

x

y

Vậy hình chữ nhật có chiều rộng 15m chiều dài hình chữ nhật 30m Chiều dài khu vườn 80m, chiều rộng khu vườn 60m

Ví dụ

Một ruộng hình tam giác có diện tích 180m2 Tính chiều dài cạnh đáy ruộng, biết tăng cạnh đáy thêm 4m chiều cao giảm 1m diện tích khơng đổi

Gọi x (m) cạnh đáy hình tam giác ruộng

y (m) chiều cao hình tam giác ruộng Điều kiện:

0

x

y

Diện tích ruộng lúc chưa tăng là:

2

S xy (m2)

Theo toán ta có: 180 360

2xy xy (1)

Nếu tăng cạnh đáy thêm 4m chiều cao giảm 1m ta có diện tích ruộng lúc là:

1

( 4)( 1)

S x y (m2)

Do diện tích khơng đổi nên:

1

( 4)( 1) 180 ( 4)( 1) 360

2 x y x y (2)

Từ (1) (2) ta có hệ phương trình: 360

( 4)( 1) 360

xy

x y

Giải hệ phương trình đối chiếu với điều kiện ta có nghiệm hệ phương trình là:

36 10

x

(42)

Vậy cạnh đáy ruộng ban đầu 36m chiều cao cạnh đáy ruộng ban đầu: 10m

C. LỜI BÌNH

Chúng ta vừa có số khám phá nho nhỏ tính cạnh ruộng, khu vườn hình chữ nhật, hình tam giác Bằng việc đặt đại lượng cần tính x y, , ta đưa hệ phương trình Giải hệ phương trình ta có kết luận toán

Một ruộng hình chữ nhật Nếu tăng chiều dài thêm 2m chiều rộng 3m diện tích tăng

2

100m Nếu giảm chiều dài chiều rộng 2m diện tích giảm 68m2 Tính diện tích ruộng

Bài toán

Nếu giảm chiều dài 20m tăng chiều rộng lên 20m hình chữ nhật diện tích tăng

2

400m Biết chu vi hình chữ nhật 200m Tính diện tích hình chữ nhật

Bài toán

Một miếng đất hình thang cân có đáy nhỏ đáy lớn 3m, chiều cao hình thang cân 8m Nếu gấp đôi đáy nhỏ thêm đáy lớn 1m (giữ ngun chiều cao) diện tích đám đất tăng thêm

2

36m so với diện tích ban đầu Tính số đo đáy lớn, đáy nhỏ cạnh bên mảnh đất

Gọi x y, chiều rộng chiều dài ruộng Điều kiện: xy 00

Diện tích ruộng xy

(m )

Nếu tăng chiều dài thêm 2m chiều rộng 3m diện tích tăng 100m2 nên ta có phương

trình: (x 3)(y 2) xy 100 (1)

Nếu giảm chiều dài chiều rộng 2m diện tích giảm 68m2 nên ta có phương trình:

(x 2)(y 2) xy 68 (2)

Từ (1) (2) ta có hệ phương trình: ( 3)( 2) 100

( 2)( 2) 68

x y xy

Giải hệ phương trình đối chiếu điều kiện ta xy 1422 thoả mãn Vậy ruộng có chiều rộng 14m chiều dài 22m

Bài toán

Gọi x ( )m y ( )m chiều dài chiều rộng hình chữ nhật Điều kiện: x y, Chu vi hình chữ nhật 200m nên

(43)

y x

a

Nếu giảm chiều dài 20m tăng chiều rộng 20m hình chữ nhật diện tích tăng

2

400m nên ta có:

(x 20)(y 20) xy 400

20 20 400 400

xy x y xy

20x 20y 800 x y 40 Mà y 100 x nên

(100 ) 40 140 70 30

x x x x y

Diện tích hình chữ nhật: xy 70.30 2100 (m2)

Bài toán

Gọi x ( )m đáy bé hình thang cân,

y ( )m đáy lớn hình thang cân Điều kiện: x y,

Hình thang cân có đáy nhỏ đáy lớn 3m nên ta có phương trình:

3

y x x y

Khi diện tích hình thang cân là:

1

( ).8 4.( ) 4

S x y x y x y

Khi gấp đôi đáy nhỏ thêm đáy lớn 1m (giữ nguyên chiều cao) diện tích miếng đất hình thang cân là:

1

(2 1).8 4(2 1) 4

S x y x y x y

Theo giả thiết diện tích đám đất có tăng thêm 36m2 so với diện tích ban đầu nên ta có phương trình:

8x 4y (4x )y 36

8x 4y 4x 4y 36

4x 32 x

Vậy đáy nhỏ miếng đất hình thang cân 8m đáy lớn miếng đất hình thang cân

11m

(44)

60 km

A D

N

§10 PHƢƠNG TRÌNH, BẤT PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI TRONG CÁC BÀI TOÁN THỰC TIỄN

Có tốn thực tế đưa phương trình bậc hai bất phương trình bậc hai Dựa vào cơng thức nghiệm phương trình bậc hai: ax3 bx c (a 0) có biệt thức b2 4ac Ta rút kết quan trọng sau:

- Nếu phương trình có hai nghiệm phân biệt:

1

2

b x

a

2

b x

a

- Nếu phương trình có hai nghiệm kép là: 1 2

2

b

x x

a

- Nếu phương trình vơ nghiệm Cơng thức nghiệm thu gọn

Đối với phương trình

3 0

ax bx c (a 0) b ,b b2 ac

- Nếu phương trình có hai nghiệm phân biệt:

1 ,

b b

x x

a a

- Nếu phương trình có nghiệm kép

b

x x

a

- Nếu phương trình vơ nghiệm

- Xác định hệ số a b c, , phương trình ax3 bx c

- Tính ,

- Áp dụng cơng thức nghiệm, cơng thức nghiệm thu gọn phương trình bậc hai

Ví dụ

Sau gặp điểm A mặt biển, tàu phía Nam, tàu phía Đơng với vận tốc lớn vận tốc tàu 6km/h Hai sau gặp nhau, hai tàu cách 60km Tính vận tốc tàu

Gọi x (km/h) vận tốc tàu phía Nam, x Suy x (km/h) vận tốc tàu phía Đơng

Sau giờ, khoảng cách từ A đến tàu phía Nam là: AN 2x (km) khoảng cách từ A đến tàu phía Đơng là: AD 2(x 6) (km)

Tam giác ADN vng góc A nên khoảng cách DN hai tàu cho bởi:

2 2

DN AN AD

Hay ta có

2 2 2

(45)

B A N

M

25 km

60°

A C

B B1

C1

Giải phương trình ta x 18;x 24 (loại) Vậy vận tốc tàu phía Nam 18km/h Vận tốc tàu phía Đơng 24km/h

Ví dụ

Hai địa điểm A B, cách 120km đường thẳng Một xe mô tô khởi hành từ A chạy B

với vận tốc 80km h/ Cùng lúc đó, xe đạp khởi hành từ B chạy đường thẳng vng góc với

AB với vận tốc 10km h/ Hỏi sau khoảng cách 2 xe ngắn

Gọi M vị trí xe mơ tơ sau khởi hành t (h) N

vị trí xe đạp sau khởi hành t (h) Ta có: BM 120 30t

10

BN t

Sử dụng định lí Pythagore, ta được:

2 2

1000 7200 14400 1000( 3, 6) 1440

z MN t t t

Vậy MN ngắn t 3, (h) 36 phút

Ví dụ

Một ô tô C, xe đạp B điểm cố định A vị trí tạo thành tam giác vng B Ơ tơ xe đạp khởi hành lúc phía A theo cạnh tam giác ABC Sau tơ

25km tam giác tạo điểm A, ô tô C, xe đạp B tam giác Khi ô tô đến A xe đạp cịn phải 12km đến A Tìm khoảng cách ban đầu tơ xe đạp

Góc A tam giác vng ABC với góc A góc tam giác AB C1 1 góc

Vậy A 600

Giả sử lúc đầu AC x (km) Vậy

2

x

AB (km)

Ta có: 1 ( 25) 50

2

x x

BB x

Gọi v1 vận tốc ô tô; v2 vận tốc xe đạp Ta có: 2

25 50

24

x

v v

x x

v v

Hệ phương trình đưa đến phương trình

2 25 600 0

x x , x 50

Giải phương trình ta x 40 Vì sin 600 20

2

BC

(46)

45° 45°

H

J C

I D

B A

Ví dụ 4

Người ta phải đắp 100m đường ray xe lửa có thiết diện ngang hình thang cân, đáy dưới dài 5m, đáy không nhỏ 2m, độ dốc hai bên 450

Tính chiều cao cho thể tích đào đắp khơng nhỏ 400m3 không lớn 500m3 đất

Gọi độ dài đáy nhỏ là: CD 2x (x 1)

I trung điểm AB J, trung điểm CD Kẻ CH vuông góc với AB H

Ta có: BH BI IH 2, x Tam giác CHB vuông cân nên:

2,

CH BH x

Diện tích hình thang cân ABCD là:

(5 )(2, ) ( )

2

x x

CH

AB CD

Thể tích đất đào để đắp là: 100(5 )(2, )

2

x x (m3)

Theo giả thiết, ta có:

100(5 )(2, ) 400 500

2

x x

16 (5 )(5 )x x 20

x thoả hệ bất phương trình:

2

4 ,

x

x x

(2 3)(2 3) 0,

2

x x

2 2

x

Đường cao CH 2, x

Vậy 2, 2, 2, 5

2 x

Vậy chiều cao nên phải thoả mãn 1( ) 5( )

m h m

C. LỜI BÌNH

Chúng ta vừa có số khám phá xoay quanh việc vận dụng kiến thức phương trình bậc hai, bất phương trình bậc hai giải toán thực tế Các toán tương đối đa dạng nội dung câu hỏi Có thể câu hỏi tính tối ưu, câu hỏi khoảng cách, câu hỏi tính chiều cao Qua ta nhận thấy, tính phong phú dạng toán thực tế giải phương trình bậc hai bất phương trình bậc hai

(47)

A T2 T '2

T1

T '1

Bài toán

Hai thuyền rời điểm A bãi biển lúc theo hai hướng vng góc với Nửa sau, hai thuyền cách 15km 15 phút theo thuyền thứ cách xa A thuyền thứ hai 4, 5km Hỏi vận tốc thuyền

Bài toán

Cho tam giác ABC vng góc A, đường cao AH Độ dài AB 12m, độ dài HC 12, 8m Tính các cạnh tam giác ABC

Gọi v1 (km/h) vận tốc thuyền 1,

2

v (km/h) vận tốc thuyền

1

T T2 vị trí thuyền 1, sau 30 phút

1

T T2 vị trí thuyền 1, sau 15 phút Theo giả thiết:

1

15 4,

TT

AT AT

Đưa đến hệ:

2 2

900

v v

v v dẫn đến

2

1 432

v v

Giải phương trình ta v2 18 (km/h) thoả mãn tốn

Vậy vận tốc thuyền 24 (km/h) vận tốc thuyền 18 (km/h)

Bài toán

Đặt BH x (m); x

x nghiệm hệ phương trình: x x( 12, 8) 122

Giải phương trình ta x 7,2

Đáp số: AC 16 (m); BC 20 (m)

§11 ĐỘ DÀI ĐƢỜNG TRỊN, ĐƢỜNG CUNG TRONG CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ A. KIẾN THỨC LIÊN QUAN

“Độ dài đường tròn” (còn gọi “chu vi hình trịn”) kí hiệu C Độ dài C đường trịn bán kính R tính theo cơng thức

2

C R

Nếu gọi d đường kính đường trịn (d )R

C d

Trên đường trịn bán kính R, độ dài l cung n0 tính theo cơng thức

180

Rn

(48)

O

A B

XíchĐạo HàNội

20°01'

O

B. VÍ DỤ MINH HOẠ ỨNG DỤNG TOÁN HỌC VÀO BÀI TOÁN THỰC TẾ

- Sử dụng công thức

C R; C R;

180

Rn

l

- Rút kết luận tốn

Ví dụ

Xích đạo đường trịn lớn Trái Đất có độ dài khoảng 40.076km Tính bán kính Trái Đất

Sử dụng công thức

2

C

R , ta dễ dàng tính R 6370km

Ví dụ

Bánh xe rịng rọc có chu vi 540mm, O tâm bánh xe Dây cua-roa bao bánh xe theo cung AB có độ dài

200mm Tính góc AOB (hình vẽ)

Từ cơng thức

180

Rn

l

Suy 180 360

2

l l

n

R R

360.200 133 540

n

Ví dụ

Vĩ độ Hà Nội 20 010 Mỗi vòng kinh tuyến Trái Đất dài khoảng 40.000km Tính độ dài cung kinh tuyến từ Hà Nội đến xích đạo

Vĩ độ Hà Nội 20 010

có nghĩa cung kinh tuyến từ xích đạo đến Hà Nội có số đo là:

0

20 01 20 60

Áp dụng công thức:

180 360

Rn Rn

l , ta tính l 2224km

Ví dụ

Máy kéo cơng nghiệp có hai bánh sau to hai bánh trước Khi bơm căng, bánh xe sau có đường kính 1, 672m bánh xe trước có đường kính 88cm Hỏi bánh xe sau lăn 10 vịng bánh xe trước lăn vòng?

Chu vi bánh xe trước là: 0, 88 (m) Chu vi bánh xe sau là: 1, 672 (m)

Số vòng bánh xe trước lăn bánh xe sau quay 10 vòng là:

10 .1, 672 19

(49)

C. LỜI BÌNH

Chúng ta vừa có khám phá thú vị xoay quanh toán đo độ dài đường tròn, cung tròn Đây vấn đề thực tế dễ gặp sống nhiều hình dạng chi tiết máy, hành tinh, < liên quan đến hình trịn Hình trịn có tính chất đặc biệt điểm đường trịn cách tâm Hình trịn có vơ số trục đối xứng nên thường sử dụng thiết kế hoa văn gạch men, thảm dệt, <

D. BÀI TẬP LUYỆN TẬP

Bài toán

Moscow có vĩ độ 560 Bắc Tìm độ dài kinh tuyến từ Moscow đến Xích Đạo, biết kinh tuyến nửa đường tròn lớn Trái Đất, có độ dài khoảng 20000km

Bài tốn

Trái Đất quay xung quanh Mặt Trời theo quỹ đạo gần tròn Giả thiết quỹ đạo trịn có bán kính khoảng

150 triệu kilomet Cứ hết năm Trái Đất quay vòng quanh Mặt Trời Biết 1 năm có 365 ngày, tính qng đường Trái Đất sau 1 ngày (làm tròn đến 10.000km)

E. ĐÁP SỐ VÀ HƢỚNG DẪN GIẢI

Bài toán

Cung 1800 ứng với 20.000 (km), cung 560 ứng với x (km) Vậy 20000.56 6222

180

x (km)

Bài toán

Quãng đường Trái Đất sau ngày là:

2.3,14.150000000

2580822

365 (km)

§12 DIỆN TÍCH HÌNH TRỊN, HÌNH QUẠT TRỊN

Diện tích hình trịn hình quạt trịn có nhiều ứng dụng thực tế Từ việc so sánh diện tích hình quạt trịn với tính diện tích phần hình trịn cần tính

Diện tích S hình trịn bán kính R tính theo cơng thức: S R2

Hình quạt trịn phần hình trịn giới hạn cung trịn hai bán kính qua hai mút cung Diện tích hình quạt trịn bán kính R, cung n0 tính theo cơng thức

2

360

R n

S hay

2

lR S

(l độ dài cung n0 hình quạt trịn)

(50)

60°

O

A

B

- Sử dụng công thức:

2

;

360

R n

S R S hay

2

lR

S

- Rút lời giải tốn

Ví dụ

Một vườn có hình chữ nhật ABCD có AB 40 ,m AD 30m

Người ta muốn buộc hai dê hai góc vườn A B, Có hai cách buộc:

 Mỗi dây thừng dài 20m

 Một dây thừng dài 30m dây thừng dài 10m

Hỏi với cách buộc diện tích cỏ mà hai dê ăn lớn hơn?

Theo cách buộc thứ tổng diện tích cỏ mà hai dê ăn là:

2

1

.20 20 200 4

S (m2)

Theo cách buộc thứ hai tổng diện tích cỏ mà hai dê ăn là:

2 2

1

.30 10 250 4

S (m2)

Vì S2 S1 nên với cách buộc thứ hai diện tích cỏ mà hai dê ăn lớn

Ví dụ

Chân đống cát đổ phẳng nằm ngang hình trịn có chu vi 12m Hỏi chân đống cát chiếm diện tích mét vng?

Trước hết ta tính R theo cơng thức

2

C

R R (m) Sau ta tính S theo cơng thức

2

S R S 36 11, 46 (m2)

C. LỜI BÌNH

Ở bậc Trung học sở, có nhiều dạng tốn diện tích hình trịn tính diện tích hình viên phân, hình vành phân Những dạng toán đề cập phần tập luyện tập Bài viết cần trao đổi thêm? Mong chia sẻ bạn

(51)

R2 R1 Hình viên phân phần hình trịn giới hạn cung

dây căng cung Hãy tính diện tích hình viên phân AmB, biết góc tâm AOB 600 bán kính đường trịn 5,1cm (hình vẽ)

Bài tốn

Hình vành khăn phần hình trịn nằm hai đường trịn đồng tâm (hình vẽ)

a) Tính diện tích S hình vành khăn theo R1 R2

(giả sử R1 R2)

b) Tính diện tích hình vành khăn R1 10, 5cm R, 2 7, 8cm

Tam giác OAB có OA OB O 600 nên tam giác cạnh 5,1cm Diện tích OAB là:

2

(5,1)

S

Diện tích hình quat OAB là:

2

.(5,1) 5,1 60

360

S

Diện tích hình viên phân là:

2

3 (5,1)

6

S S S

2, 35

S (cm2)

Bài tốn

a) Diện tích hình vành khăn là: S (R12 R22)

b) Khi R1 10, 5;R2 7, 2

3,14[(10, 5) (7, 8) ] 155,1

S

(cm )

§13 HÌNH TRỤ, DIỆN TÍCH XUNG QUANH VÀ THỂ TÍCH CỦA HÌNH TRỤ

Khi quay hình chữ nhật ABO O vòng quay cạnh OO cố định, ta hình trụ - Hai đáy hai hình trịn ( )O ( )O nằm hai mặt phẳng song song - Đường thẳng OO trục hình trụ

(52)

Diện tích xung quanh hình trụ: 2 ; 2 2

xq tp

S Rh S Rh R

(R bán kính đáy, h chiều cao) Thể tích hình trụ: V R h2

- Sử dụng cơng thức tính: + Diện tích xung quanh hình trụ:

2

2 ; 2

xq tp

S Rh S Rh R

(R bán kính đáy, h chiều cao) + Thể tích hình trụ: V R h2

Ví dụ

Một bóng đèn huỳnh quang dài 1,2m, đường kính đường trịn đáy 2cm, đặt khít vào ống giấy cứng dạng hình hộp (hình vẽ) Tính diện tích phần giấy

cứng dùng để làm hộp (Hộp hở hai đầu, khơng tính lề mép dán)

Diện tích phần giấy cứng cần tính diện tích xung quanh hình hộp chữ nhật có chiều cao 1,2m 120cm; có đáy hình vng cạnh 4cm

Trả lời V abc 4.4.120 1920 (cm2)

Ví dụ

Người ta nhấn chìm hồn tồn tượng đá nhỏ vào lọ thuỷ tinh có nước dạng hình trụ (hình vẽ) Diện tích đáy lọ thuỷ tinh 12, 8cm2 Nước lọ dâng lên thêm 8, 5mm Hỏi thể tích tượng đá bao nhiêu?

Thể tích tượng đá thể tích khối nước dâng lên lọ Thể tích là: V R h2 12, 8.0, 85 10, 88 (cm3)

Ví dụ

Một kim loại khoan thủng bốn lỗ hình vẽ (lỗ khoan dạng hình trụ), kim loại dày

2cm, đáy hình vng có cạnh 5cm Đường kính mũi khoan 8mm Hỏi thể tích phần cịn lại kim loại bao nhiêu?

Mỗi lỗ khoan hình trụ có bán kính đáy là:

8 : 4( ) 0, 4( )

R mm cm

Chiều cao hình trụ là:

2( )

h cm

Thể tích mũi khoan là:

2

1 (0, 4) 1, 0048

V R h (cm3)

Thể tích phần cịn lại kim loại là:

5.5.2 4.1, 0048 45, 98

V (cm3)

(53)

Ví dụ

Đường ống nối hai bể cá thuỷ cung miền Nam nước Pháp có dạng hình trụ, độ dài của đường ống 30m (hình vẽ) Dung tích đường ống nói 1800000 lít Tính diện tích đáy của đường ống?

Đổi 1800000l 1800000dm3

Diện tích đáy đường ống 1800 60

30

V S

h

2

(m ) Ví dụ

Từ khoanh giị hình trụ, người ta cắt rời phần thẳng đứng theo bán kính OA OB, (xem hình vẽ) Cho biết diện tích xung quanh khoanh giị sau cắt rời phần diện tích xung quanh trước cắt Tính góc AOB

Ta đặt AOB n0 sđAB n0

Diện tích xung quanh bị phần là: 1 180

R n

S h

Diện tích xung quanh thêm phần là: S2 R h Theo giả thiết, ta có:

1

2 360 180

R nh

S S R h Rnh Rh

n 360 144 390 Ví dụ

Một cốc hình trụ đổ đầy sữa Liệu em rót lượng sữa mà không cần phải sử dụng dụng cụ đo hay không?

Ta nghiêng cốc hình trụ đầy sữa, rót vật chứa sữa cốc hình trụ tạo thành góc AOB hình vẽ Khi đó, số sữa cốc cịn nửa hình vẽ

C. LỜI BÌNH

(54)

15,7

17

C

D

B A

y x

B A

có tốn cần đưa lí giải Điều nói lên tính phong phú đa dạng tốn thực tế hình trụ

Hình vẽ mẩu mát cắt từ khối mát dạng hình trụ (có kích thước hình vẽ) Khối lượng mẫu mát bao nhiêu? Biết khối lượng riêng mát 3g cm/

Bài toán

Thành bên lọ thuỷ tinh dạng hình trụ có giọt mật cách miệng lọ 3cm Bên ngồi thành lọ có kiến đậu điểm đối diện với giọt mật qua tâm đường tròn (song song với đường tròn đáy – xem hình vẽ) Hãy đường ngắn kiến để đến giọt mật, biết chiều cao lọ 20cm đường kính đường trịn đáy 10cm (lấy 3,14)

E. ĐÁP SỐ VÀ HƢỚNG DẪN GIẢI Bài tốn

Thể tích khối mát hình trụ là: 10 82 800

(cm ) Thể tích mẫu mát

0

15 24

360 thể tích khối mát

Khối lượng mẫu mát là: 800 100

24 ( )g

Bài tốn

Khai triển hình trụ theo đường sinh trải phẳng ra, ta có hình chữ nhật chiều rộng

20cm (hình vẽ) Chiều dài chu vi đáy lọ: 10.3,14 31, (cm)

Cần ý đến vị trí kiến giọt mật: Kiến điểm A cách đáy 17cm, giọt mật điểm

B cách điểm A nửa chu vi đáy lọ

Lấy C đối xứng với B qua đường thẳng xy Nối C với A cắt xy D; D điểm mà kiến phải bò qua

(55)

2πr

l

n°

O'

A A'

O

S

A A

A

§14 HÌNH NĨN, HÌNH NĨN CỤT, DIỆN TÍCH XUNG QUANH VÀ THỂ TÍCH CỦA HÌNH NỊN, HÌNH NĨN CỤT

1. Hình nón

Khi quay tam giác vng AOC vịng quanh cạnh góc vng OA cố định hình nón (hình vẽ) Khi đó:

- Cạnh OC qt nên đáy hình nón, hình trịn tâm O

- Cạnh AC qt nên mặt xung quanh của hình nón, vị trí AC gọi một đường sinh Chẳng hạn AD đường sinh

- A gọi đỉnh và OA gọi đường cao của hình nón

2. Diện tích xung quanh hình nón

Cắt mặt xung quanh hình nón dọc theo đường sinh trả phẳng ra, ta hình khai triển hình quạt trịn có tâm đỉnh hình nó, bán kính độ dài đường sinh độ dài cung độ dài đường trịn đáy hình nón Diện tích xung quanh hình nón diện tích hình quạt trịn khai triển

Gọi bán kính đáy hình nón r, đường sinh l Theo cơng thức tính độ dài cung, ta có: Độ dài cung hình quạt trịn

180

ln

r Độ dài đường trịn đáy hình r

Từ ta có:

180

ln

r Suy ra:

360

nl

r

Diện tích xung quanh hình nón diện tích hình quạt trịn khai triển nên

2

360 360

xq

l n ln

(56)

h r1

r2 l

h r1

r2 l Từ kết ta có:

Diện tích xung quanh hình nón là: Sxq rl

Diện tích tồn phần hình nón (tổng diện tích xung quanh diện tích đáy) là:

2

tp

S rl r

3. Thể tích hình nón

Có hai dụng cụ, hình trụ hình nón có đáy hai hình trịn Chiều cao hình nón chiều cao hình trụ (hình vẽ)

Nếu ta dùng dụng cụ có dạng hình nón nói trên, múc đầy nước đổ hết dụng cụ hình trụ thấy chiều cao cột nước

3 chiều cao hình trụ

Qua thực nghiệm ta thấy:

3

non tru

V V

Ta tích hình nón:

3

V r h

4. Hình nón cụt

Khi cắt hình nón một mặt phẳng song song với đáy phần mặt phẳng nằm hình nón một hình trịn Phần hình nón nằm mặt phẳng nói mặt đáy gọi hình nón cụt (hình vẽ)

5. Diện tích xung quanh thể tích hình nón cụt

Cho hình nón cụt có r r1, bán kính đáy, l độ dài đường sinh, h chiều cao

Kí hiệu Sxq diện tích xung quanh V thể tích hình nón cụt Quan sát hình vẽ ta nhận thấy Sxq hiệu diện tích xung quanh hình nón lớn hình nón nhỏ, V hiệu thể tích hình nón lớn hình nón nhỏ

Ta có cơng thức sau:

2 2

( )

xq

S r r l

2 2

1

( )

V h r r r r

B. VÍ DỤ MINH HOẠ ỨNG DỤNG TỐN HỌC VÀO BÀI TOÁN THỰC TẾ

- Sử dụng cơng thức tính diện tích hình nón, hình nón cụt, thể tích hình nón, hình nón

(57)

Ví dụ

Cái mũ với kích thước cho theo hình vẽ Hãy tính tổng diện tích vải cần có để làm nên mũ (khơng kể riềm, mép, phần thừa)

Cái mũ gồm hai phận: - Bộ phận hình nón có:

35 2.10 7,

r cm

Và l 30cm

- Bộ phận hình vành khăn có:

17,

R cm r 7, 5cm

Tổng diện tích vải cần có để làm mũ là:

2

[(17, 5)

.7, 5.30 (7, 5) ] 475

S (cm2) 1491, 5 (cm2)

Ví dụ

Hình vẽ cho ta hình ảnh đồng hồ cát kích thước kèm theo (OA OB)

Hãy so sánh tổng thể tích hai hình nón thể tích hình trụ

Tổng thể tích hai hình nón là:

2

1

3

h R h

V R

Thể tích hình trụ là: V2 R h2

Suy ra:

1

V V

Ví dụ

Một dụng cụ gồm phần có dạng hình trụ, phần cịn lại có dạng hình nón Các kích thước cho hình vẽ Hãy tính: a) Thể tích dụng cụ này;

b) Diện tích mặt ngồi dụng cụ (khơng tính nắp dây).

Dụng cụ gồm hai phận: - Bộ phận hình trụ có:

Bán kính đáy R 70cm có chiều cao h 70cm

- Bộ phận hình nón có: R 70cm h, 90cm có đường sinh:

2

70 90 10 130

l cm

Thể tích dụng cụ là:

2 2

.70 70 70 90 490000 ( ) 0, 49( )

V cm m

Diện tích mặt dụng cụ là:

2

2 70.70 70.10 130 55833( ) 5, 58( )

S cm m

(58)

Phần cối xay gió có dựng hình nón Chiều cao hình nón 42cm và thể tích 17600cm3

Em giúp chàng Don Quixote tính bán kính đáy hình nón (làm trịn kết đến chữ số thập phân thứ hai)

Ta có: 17600; 1 2.42 17600

3

V R h R ;

2 400, 36

R hay R 20, 01

Ví dụ

Một xơ inoc có dạng hình nón cụt đựng hố chất, có kích thước cho hình vẽ

a) Hãy tính diện tích xung quanh xô

b) Khi xô chứa đầy hố chất dung dịch bao nhiêu?

a) Diện tích xung quanh xô là:

( ) (21 9).36 1080

xq

S R r l

(cm ) 3391,2 (cm2)

b) Để tính dung tích xơ ta cần biết thêm chiều cao OO xơ Ta có: SO SA2 OA2 632 212 42 (cm)

2 272 92 18 2

SO SB O B (cm)

Vậy: OO 42 18 24 2(cm) 34(cm)

Vậy thể tích xô là: ( 2 )

3

V h R r Rr ;

2

1

.34.(21 21.9) 25302( ) 25, 3( )

V cm l

C. LỜI BÌNH

Hình nón hình nón cụt có nhiều hình ảnh thực tế, chẳng hạn hình ảnh nón thơ xứ Huế có dạng hình nón, đèn treo trần nhà có chụp đèn hình nón tạo nên cột sáng có dạng hình nón cụt Chúng ta vừa khám phá tốn thực tế hình nón hình nón cụt Bài viết cần trao đổi thêm? Mong chia sẻ bạn

D. BÀI TẬP LUYỆN TẬP

Bài toán

Từ hình nón, người thợ điện tiện hình trụ “hẹp” hình trụ rộng nhưng “thấp”

Trong trường hợp thợ tiện loại bỏ vật liệu hơn?

Bài toán

(59)

x r

R

E N

M B

C

A A C

B

O' C

O

A H B

D

a) Tính dung tích xơ

b) Tính diện tích tơn để làm xơ (khơng kể diện tích chỗ ghép)

Bài tốn

Từ khúc gỗ hình trụ cao 15cm người ta tiện thành hình nón tích lớn Biết phần gỗ bỏ tích 640 cm3

a) Tính thể tích khúc gỗ hình trụ

b) Tính diện tích xung quanh hình nón

Đặt BE x ta có ME BE

AD BD hay

r x Rx

r

R h h

Thể tích hình trụ là:

2 2

.R x ( )

V h x

h

Ta có:

2 2

2

(2 )

Vh

x h x

R

Vì h, ,R số nên V lớn x2(2h )x lớn Vì

(2 )

x x h x h (là số) nên tích x2(2h )x đạt giá trị lớn

2

x h x hay

3

x h

Bài toán

(60)

15

O' B O

A

O1 A

B

2 2

1

( ) 23(14 14.9)

3

V h R r Rr

9702(cm3) 9, 7(dm3) Vậy dung tích xơ 9, lít

b) Muốn tính diện tích tơn để làm xơ ta tính diện tích xung quanh cộng với diện tích đáy nhỏ

Trước hết, tính đường sinh AD cách áp dụng định lí Pythagore tam giác vng

ADH, DH 23cm AH; R r 5cm Diện tích xung quanh xô là:

( ) (14 9).23, 540,

xq

S R r l (cm2)

2 .92 81

d

S r (cm2)

Diện tích tơn để làm xơ là:

2

540, 81 612, 5( ) 1952

xq d

S S S cm (cm2)

Bài tốn

a) Ta có: ;

3

tru non

V R h V R h

Vậy thể tích gỗ tiện bỏ

3 thể tích hình trụ

Suy thể tích hình trụ là:

640 960

3

(cm )

b) Ta có: R h2 960 ; 15R2 960 R (cm) Áp dụng định lí Pythagore tam giác OO B ta

2 152 82 17( )

OB OO OB cm

Do diện tích xung quanh hình nón là:

.8.17 136

xq

S Rl (cm2)

(61)

2r r

O'

1. Hình cầu

Hình quay nửa hình trịn tâm O, bán kính R vịng quay quanh đường kính AB cố định hình cầu

2. Cắt hình cầu mặt phẳng

- Khi cắt hình cầu mặt phẳng ta hình trịn

- Khi cắt mặt cầu bán kính R mặt phẳng ta đường trịn

+ Đường trịn có bán kính R mặt phẳng qua tâm

+ Đường trịn có bán kính bé R mặt phẳng khơng qua tâm

3. Diện tích mặt cầu

2

4

S R hay S d2 (R bán kính; d đường kính mặt cầu)

4. Thể tích mặt cầu

3

4

V R

- Sử dụng diện tích mặt cầu:

2

4

S R hay S d2 (R bán kính; d đường kính mặt cầu) Thể tích hình cầu:

3

V R

- Rút kết luận toán

Ví dụ

Ngày 4 1783, anh em nhà Montgolfier (người Pháp) phát

minh khinh khí cầu dùng khinh khí nóng Coi khinh khí cầu hình cầu có đường kính 11m Hãy tính diện tích mặt khinh khí cầu (làm trịn kết đến chữ số thập phân thứ hai)

Sử dụng cơng thức tính diện tích mặt cầu:

2

4 4.3,14.5, 380

S R (m2)

Ví dụ

Cần phải có lít nước để thay nước liễn ni cá cảnh (hình vẽ)? Liễn xem phần mặt cầu (đường kính mặt cầu 22cm) Lượng nước đổ vào liễn chiến 2

3 thể

tích hình cầu

Thể tích hình cầu tính theo công thức:

3

4

V R hay

3

V d (d đường kính)

(62)

3,62 m

1,80 m

2x

h

A' O'

O A

3

2

.(2,2) 3, 71( ) 3, 71

3 dm lít

Ví dụ

Một khối gỗ dạng hình trụ, bán kính đường trịn đáy r, chiều cao 2r

(đơn vị: cm) Người ta khoét rỗng hai hình cầu hình vẽ Hãy tính diện tích bề mặt khối gỗ cịn lại (diện tích ngồi lẫn trong)

Diện tích bề mặt khối gỗ cịn lại gồm diện tích xung quanh hình trụ (có bán kính đáy r chiều cao 2r) diện tích hai nửa mặt cầu bán kính r

Diện tích cần tìm là: S 2r r r2 r2

Ví dụ

Một bồn chứa xăng gồm hai nửa hình cầu hình trụ (hình vẽ) Hãy tính thể tích bồn chứa theo kích thước cho hình vẽ

Thể tích bồn chứa tổng thể tích hình trụ (có bán kính đáy 0, 9m chiều cao 3, 62m) thể tích hình cầu bán kính 0, 9m

Thể tích bồn chứa là:

2

.(0, 9) 3, 62 (0, 9) 12,26

V (m3)

Ví dụ

Một chi tiết máy gồm hình trụ hai nửa hình cầu với kích thước đã cho hình vẽ (đơn vị: cm)

a) Tìm hệ thức x h AA có độ dài khơng đổi 2a b) Với điều kiện câu a), tính diện tích bề mặt thể tích chi tiết máy theo x a

a) Ta có: h 2x AA Do h 2x 2a b) Diện tích bề mặt chi tiết máy là:

2

2 ( )

S xh x x h x ax

Thể tích chi tiết máy là:

2 2 2( ) 2 3

3 3

V x h x x a x x ax x

C. LỜI BÌNH

(63)

A

H O

B C

hình trụ xuất nhiều thực tế Chính diện tích mặt cầu thể tích hình cầu vấn đề quan trọng cần quan tâm nhiều

Với hai dưa hấu (xem hai hình cầu) to nhỏ, tỉ số đường kính chúng

5 : 4, giá to gấp rưỡi giá cua nhỏ Bạn chọn mua lợi hơn? (Xem “chất lượng” chúng nhau)

Bài toán

Cho tam giác ABC cạnh a, đường cao AH Ta quay nửa đường tròn nội tiếp nửa đường tròn ngoại tiếp tam giác vòng quanh AH Tính:

a) Tỉ số diện tích hai mặt cầu nội tiếp ngoại tiếp hình nón b) Tỉ số thể tích hai hình cầu nói

c) Tính thể tích phần khơng gian giới hạn hình nón hình cầu ngoại tiếp hình nón

Bài tốn

Một hình cầu có diện tích bề mặt 100 (m2)

Tính thể tích hình cầu

Mua to lợi tỉ số thể tích với thể tích nhỏ

3

5 125

4 64 (gần

gấp đôi)

Trong giá gấp rưỡi! (Dễ thấy 125 96

64 64)

Bài toán

Gọi R r bán kính đường trịn ngoại tiếp đường trịn nội tiếp tam giác

Dễ thấy R 2r Vì BC a nên

2

a

HC

Và 3;

2

a a

AH OA

a) Tỉ số diện tích hai mặt cầu nội tiếp ngoại tiếp hình nón là:

2

2 2

4

4 (2 )

S r r

S R r

b) Tỉ số thể tích hai hình cầu nội tiếp ngoại tiếp hình nón là:

3

2

4

1

4 (2 )

r

V r

V R r

(64)

3

2

4 4

3 3 27

a a

V R (đvdt)

Thể tích hình nón là:

2 3

1 3

3 2 24

a a a

V (đvdt)

Thể tích phần khơng gian giới hạn hình nón hình cầu ngoại tiếp là:

3 3

3

4 3 23

0, 58 27 24 216

a a a

V V V a (đvdt)

Bài tốn

Theo đề ta có: R2 100 R (m) Thể tích hình cầu là: 52 500 3

V (m3)

§16 HÌNH HỌC PHỔ THƠNG TRONG ĐỜI SỐNG A. KIẾN THỨC LIÊN QUAN

Muốn tạo cho hứng thú học tốn, muốn thấy ứng dụng phong phú tốn học đời sống phải ln có mắt tốn học Xung quanh có hình ảnh tốn học: miệng bát đĩa hình trịn; mặt bàn ghế hình chữ nhật; thân cây, cột nhà hình trụ; bao diêm; vali hình chữ nhật; bóng, hịn bi hình cầu, <

Nhìn vào đường ray thấy hình ảnh hai đường thẳng song song, nhìn vào mành thấy hình ảnh đường thẳng song song cách đều, nhìn vào xe đạp thấy hình ảnh tiếp tuyến chung ngồi với hai đường trịn (đĩa, líp xích)

- Sử dụng tính đối xứng, tính tối ưu, < - vật vật cân bằng, hợp với thực tế, tiết kiệm,

Ví dụ

Tại bánh xe đạp lại hình trịn?

Khi bánh xe hình trịn mà lăn mặt đất khoảng cách từ trục bánh xe đến mặt đất ln (vì độ dài bán kính bánh xe) nên ta ngồi xe đảm bảo vững vàng Cứ tưởng tượng vành bánh xe méo mó, tức khoảng cách từ trục bánh xe đến mặt đất khác nhau, liệu ta có ngồi xe có vững khơng, đầu óc có bị rung

chuyển, chống váng khơng Ngồi bánh xe làm theo hình trịn lăn tốn sức đẩy, lăn vật ma sát đẩy vật

(65)

Tại hộp sữa làm theo hình trụ mà khơng làm theo hình lập phương hình hộp?

Thực tế cho thấy rằng, làm mơt vật chứa thể tích định mà tốn vật liệu có lợi cho việc giảm giá thành, tăng sức cạnh tranh Chúng ta biết diện tích ba hình: hình vng, tam giác hình trịn, hình trịn có chu vi nhỏ Do

làm hộp sữa tích chiều cao theo hình trụ tốn vật liệu

Nhận xét

- Chúng ta thấy thêm phần lớn đồ dụng để chứa chất lỏng (phích nước, phuy đựng xăng, cốc nước) làm theo hình trụ

- Nếu hộp sữa mà làm theo hình cầu sao? Dùng tốn học ta tính rằng: vật liệu tốn nhau hộp sữa hình cầu đựng nhiều hộp sữa hình trụ, làm theo hình cầu hộp để khơng vững nên khơng lợi

Ví dụ

Vì gạch men lát nhà sân vườn thường là hình vng hình lục giác đều?

Màu sắc hoa văn gạch men đa dạng, viên gạch không hình vng hình lục giác Đó la lí gì?

Trong hình đa giác có loại dùng để lát kín mặt phẳng khơng để lại khoảng trống,

đó hình tam giác đều, hình vng hình lục giác Bởi góc hình tam giác 600, ghép hình tam giác lại với tổng góc chung đỉnh

0

360 Một góc hình vng 900

, ghép hình vng lại với tổng

góc chung đỉnh 3600 Một góc hình lục giác 1200 ghép

hình lục giác lại với tổng góc chung đỉnh 3600

Nếu dùng hình đa giác khác khơng đạt u cầu Ví dụ góc hình ngũ giác 1080, ghép hình ngũ giác lại với nhau, tổng góc chung đỉnh 108.3 3240 nhỏ 3600, khoảng trống cịn lại khơng đủ ghép hình ngũ giác thứ tư, 4.108 4320 3600

Ghép hình tam giác lại với khơng có khoảng trống nhìn khơng đẹp mắt hình vng hình lục giác Vì vậy, thiết kế Mỹ thuật thường hay dùng gạch men vuông lục giác

Ví dụ

Vì kết cấu tam giác lại ổn định?

(66)

Nếu bạn đóng gỗ theo chiều chân ghế ngày sau bị lung lay Nhưng ta đặt đầu gỗ vào chân ghế đầu vào thành ghế tạo thành hình tam giác, đóng đầu ba đinh (cũng thành hình tam giác) sau sửa chữa ghế tương đối vững

Tại gỗ đóng dọc theo chân ghế đóng xiên lại có hiệu khơng giống nhau? Tại dùng đinh đủ? Đó hình tam giác có tính chất đặc biệt: Khi chiều dài ba cạnh xác định hình dạng kích thước hình tam giác hồn tồn xác định Ta gọi tính chất tính bất động hình tam giác Rất nhiều cánh cửa ghép thường đóng thêm gỗ chéo, thành cầu kèo nhà thường kết cấu giàn tam giác, lí

Bây hẳn bạn nhớ lại cắm trại ngoại thành ban đội viên thiếu niên thường dùng ba gậy buộc với thành giá chắn Đó ngồi việc lợi dụng tính chất bất động hình tam giác họ dựa vào nguyên lý qua

điểm khơng thẳng hàng có xác định mặt phẳng làm cho đường dây rọi giá chân nằm mặt phẳng hình tam giác gậy xác định

C. LỜI BÌNH

Toán học xung quanh ta, toán học thâm nhập cách mạnh mẽ vào lĩnh vực khoa học đời sống Điều quan trọng phải ln nhìn vật, tượng mắt tốn học thấy tốn học thật sống động phong phú, có nhiều điều bổ ích

Dù nói ngả nói nghiêng

Lòng ta vững kiềng ba chân

Giải thích kiềng ba chân đứng vững nhất?

Bài tốn

Vì đường chạy 200m, điểm xuất phát đường lại vượt lên trước nhiều so với đường trong?

Kiềng ba chân đững vững vàng theo tiên đề mặt phẳng, ba điểm không thẳng hàng xác định mặt phẳng

Bài toán

Tỉ lệ chu vi đường trịn với đường kính số có giá trị gần

3,14 Như chu vi đường tròn 3,14 lần đường kính nó, 6,28 lần bán kính nó, tức C 6,29R (ở C chu vi đường trịn, R bán kính) Nếu bán kính tăng 1m chu vi tương ứng tăng thêm 6,28m Thông thường đường chạy rộng

(67)

7, 54m Ở sân vận động tiêu chuẩn (vòng dài 400m) để tiện cho việc đánh giá phân tích, vạch đích đường thẳng Nói chung đường đưa 200m thường gồm hai đoạn: Trước hết đoạn chạy vịng (khoảng 114m) sau đoạn chạy thẳng (khoảng 86m) Phần chạy vịng, bán kính 36m, người chạy đường thứ xuất phát điểm cách vòng tròn

0, 3m, nên độ dài thực tế đoạn chạy vòng 36, x3,14m 114m Điểm xuất phát vịng ngồi phải dịch lên trước khoảng 1,2 x3,14m 3, 77m so với điểm xuất phát vịng Nếu có đường chạy điểm xuất phát thành hình bậc thang, điểm xuất phát người chạy đường vượt lên trước khoảng 18, 85m so với điểm xuất phát người chạy đường Làm điểm đích người đường thẳng Làm điểm đích người đường thẳng Hiểu quy tắc chuẩn bị sân vận động nói chung cần đo đường chạy dài 200m, xác định điểm xuất phát, sau dịch điểm xuất phát đường lên trước số nét (như tính), khơng cần thiết phải đo thực địa độ dài đường chạy

Chƣơng III

CÁC ĐỀ TOÁN THỰC TẾ THI VÀO LỚP 10 §1 CÁC ĐỀ THI NĂM HỌC 2011 – 2012 Bài tốn (Đề tuyển sinh lớp 10 THPT, Tỉnh Nghệ An 2011 - 2012)

Quãng đường AB dài 120km Hai xe máy khởi hành lúc từ A đến B Vận tốc xe máy thứ lớn vận tốc xe máy thứ hai 10km/h nên xe máy thứ đến

B trước xe máy thứ hai Tính vận tốc xe? Gọi x (km/h) vận tốc xe máy thứ nhất;

y (km/h) vận tốc xe máy thứ hai Điều kiện x y,

Vì vận tốc xe máy thứ lớn vận tốc xe máy thứ hai 10km/h nên: x y 10

(1)

Thời gian chạy quãng đường AB xe thứ là: 120

x (h)

Thời gian chạy quãng đường AB xe thứ hai là: 120

y (h)

Vì xe máy thứ đến B trước xe máy thứ hai nên ta có phương trình: 120 120

y x

(2)

Từ (1) (2) ta có hệ phương trình:

10 10 120 120 1 120 120

1 10

x y y x

y x x x

2

10

120 120 1200 10

y x

(68)

40 10

30( ) 10 1200

30

x

y x

x l

x x

y

Vậy vận tốc xe thứ 40 (km/h) Vận tốc xe thứ hai 30 (km/h)

Bài toán (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT, Tỉnh Kiên Giang 2011 - 2012)

Một phòng họp dự định có 120 người, họp có 160 người tham dự nên phải kê thêm 2 dãy ghế dãy phải kê thêm ghế vừa đủ Tính số dãy ghế dự định lúc đầu Biết số dãy ghế lúc đầu phòng nhiều 20 dãy ghế số ghế dãy ghế nhau.

Gọi số dãy ghế dư định lúc đầu x (dãy) (Điều kiện x N* x 20) Số dãy ghế lúc sau x (dãy)

Số ghế dãy lúc đầu là: 120 :x 120

x (ghế)

Số ghế dãy lúc sau là: 160 : ( 2) 160

x

x (ghế)

Do phải kê thêm dãy ghế vừa đủ nên ta có phương trình:

160 120

x x (*)

(*) 160x 120(x 2) x x( 2) 160x 120x 24 x2 2x

x2 38x 240 0, 361 240 121, 11

Vậy

19 11 30

x (nhận),

19 11 18

x (loại 18 20)

Vậy số dãy ghế dự định lúc đầu 30 dãy

Bài toán (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT, Tỉnh Khánh Hòa 2011 - 2012)

Quãng đường từ A đến B dài 50 km Một người dự định xe đạp từ A đến B với vận tốc không đổi Khi 2 giờ, người dừng lại 30 phút để nghỉ Muốn đến B thời gian định, người phải tăng vận tốc thêm 2km/h qng đường cịn lại Tính vận tốc ban đầu người xe đạp.

Đổi 30 phút

2

Gọi vận tốc ban đầu người xe đạp x (km/h) (Điều kiện x 0) Quãng đường sau là: x.2 2x (km)

Thời gian dự định từ A đến B là: 50 :x 50 x

Quãng đường lại là: 50 2x (km)

Vận tốc quãng đường lại là: x (km/h) Thời gian quãng đường lại là:

50 (50 ) : ( 2)

2

x

x x

(69)

Theo giả thiết ta có phương trình:

50 50 2

x

x x

2 (50 )x x (x x 2) 50.2(x 2)

2

100x 4x 5x 10x 100x 200

2

10 200

x x

25 200 225, 15 Vậy

5 15 10

x (nhận);

2

5 15

20

x (loại, 20 0)

Bài toán (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT, Tỉnh Bình Định 2011 - 2012)

Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài chiều rộng 6m bình phương số đo độ dài đường chéo gấp 5 lần số đo chu vi Tính diện tích mảnh đất hình chữ nhật cho.

Gọi độ dài chiều rộng mảnh đất hình chữ nhật cho x (m) (Điều kiện x 0) Chiều dài mảnh đất hình chữ nhật cho x (m)

Chu vi mảnh đất hình chữ nhật là: 2(x x 6) 4x 12 (m)

Theo định lí Pythagore ta có bình phương độ dài đường chéo hình chữ nhật

2 ( 6)2

x x

Theo giả thiết, ta có phương trình:

2 ( 6)2 5(4 14) 2 12 36 20 60

x x x x x x x

x2 4x 12

4 12 16, Vậy

2

x (nhận);

2

x (loại)

Vậy chiều rộng mảnh đất cho 6m, chiều dài mảnh đất cho là: 6 12 (m) Diện tích mảnh đất cho là: 6.12 72 (m2)

Bài toán (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT, Tỉnh Quảng Ngãi 2011 - 2012)

Hai bến sông cách 15km Thời gian ca nơ xi dịng từ bến A đến bến B, bến B nghỉ

20 phút ngược dòng từ bến B trở bến A tổng cộng 3 Tính vận tốc ca nơ nước yên lặng, biết vận tốc dòng nước 3 km/h.

Đổi 20 phút

3

Gọi vận tốc ca nô nước yên lặng x (km/h) (Điều kiện x 3) Vận tốc ca nơ lúc xi dịng là: x (km/h)

Vận tốc ca nơ lúc ngược dịng là: x (km/h)

Thời gian ca nơ ngược dịng từ A đến B là: 15 : ( 3) 15

x

x (h)

(70)

15 15 15 15

3 3 3

x x x x

45(x 3) 45(x 3) 8(x 3)(x 3)

2

45x 135 45x 135 8(x 9)

2

8x 90x 72 4x 45x 36

2025 576 2601, 51

Vậy

45 51 45 51 12;

2.4 2.4

x x (loại)

Vậy vận tốc ca nô nước yên lặng 12 km/h

Bài toán (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT, TP Hà Nội 2011 - 2012)

Một đội xe theo kể hoạch chở hết 140 hàng số ngày quy định Do ngày đội chử vượt mức 5 nên đội hoàn thành kế hoạch sớm thời gian quy định 1 ngày chở thêm

10 Hỏi theo kế hoạch đội xe chở hàng hết ngày?

Gọi số ngày theo kế hoạch đội xe chở hết hàng x (ngày) (Điều kiện x N*) Theo kế hoạch ngày đội xe chở là: 140 :x 140

x (tấn hàng)

Số ngày thực tế đội xe chở hàng là: x (ngày) Thực tế đội xe chở là: 140 10 150 (tấn hàng) Theo thực tế ngày đội xe chở là:

150 150 : ( 1)

1

x

x (tấn hàng)

150 140 30 28

5

1

x x x x

2

30x 28x 28 x x x 3x 28

9 112 121, 11 Suy

3 11

x (nhận);

3 11

x (loại)

Vậy theo kế hoạch đội xe chở hết hàng ngày

Bài toán (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT, Tỉnh Ninh Bình 2011 - 2012)

Một người xe đạp từ địa điểm A đến địa điểm B dài 30km Khi ngược trở lại từ B A người đó tăng vận tốc thêm 3 km/h nên thời gian ngắn thời gian 30 phút Tính vận tốc người xe đạp lúc từ A đến B.

Gọi vận tốc người xe đạp từ A đến B x (km/h) (Điều kiện x 0) Thời gian từ A đến B là: 30 :x 30

x (h)

Vận tốc người từ B đến A là: x (km/h) Thời gian từ B A là: 30 : ( 3) 30

3

x

(71)

Thời gian thời gian 30 phút

2 h nên ta có phương trình: 30 30

60( 3) 60 ( 3) x x x x

x x

60x 180 60x x2 3x x2 3x 180 0

9 720 729, 27 Vậy

3 27 12

x (nhận);

3 27

15

x (loại)

Vậy vận tốc người xe đạp từ A đến B 12 km/h

Bài toán (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT, chuyển ĐHSP Hà Nội 2011 - 2012)

Một nhóm cơng nhân đặt kế hoạch sản xuất 200 sản phẩm Trong 4 ngày đầu họ thực mức đề ra, ngày lại họ làm vượt mức ngày 10 sản phẩm, nên hoàn thành kế hoạch sớm 2 ngày Hỏi theo kế hoạch ngày nhóm cơng nhân cần sản xuất sản phẩm?

Gọi số sản phẩm theo kế hoạch ngày nhóm cơng nhân cần sản xuất x (sản phẩm) (Điều kiện x N *)

Thời gian hoàn thành theo kế hoạch 200

x (ngày)

Sản phẩm làm ngày đầu 4x (sản phẩm)

Số sản phẩm ngày lại phải làm là: 200 4x (sản phẩm)

Số sản phẩm ngày nhóm cơng nhân cần sản xuất ngày lại x 10 (sản phẩm)

Thời gian hồn thành số sản phẩm cịn lại là: 200

10

x

x (sản phẩm)

200 200 200 200

4

10 10

x x

x x x x

100 100 100 1000 100 2 30

10

x

x x x x x

x x

x2 30x 1000

225 1000 1225, 35 Vậy

15 35 20

x (nhận);

15 35

50

x (loại)

Vậy theo kế hoạch ngày nhóm cơng nhân cần sản xuất 20 sản phẩm

(72)

Hai người làm chung công việc 12

5 xong Nếu người làm

người thứ hồn thành cơng việc người thứ hai 2 Hỏi làm mỗi người phải làm thời gian để xong công việc?

Gọi thời gian người thứ làm xong cơng việc x (giờ) Điều kiện ( 12)

5

x

Thời gian người thứ hai làm xong cơng việc x (giờ) Trong giờ, người thứ làm được: :x

x (công việc)

Trong giờ, người thứ hai làm được: : ( 2)

x

x (công việc)

Trong giờ, hai người làm chung được: 1

2

x x (công việc) hay

12 :

5 12 (cơng việc)

Ta có phương trình:

1

12( 2) 12 ( 2) 12 x x x x

x x

12x 24 12x 5x2 10x 5x2 14x 24

49 120 169, 13 Ta có: 1 13

5

x (thích hợp), 2 13

5

x (loại)

Vậy thời gian ngồi thứ làm xong cơng việc Thời gian người thứ hai làm xong cơng việc là: (giờ)

Bài toán (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT, Tỉnh Đắk Lắk 2012 - 2013)

Hai ô tô từ A đến B dài 200km Biết vận tốc xe thứ nhanh vận tốc xe thứ hai 10 km/h nên xe thứ đến B sớm xe thứ hai 1 Tính vận tốc xe.

Gọi vận tốc xe thứ hai x (km/h) (Điều kiện x 0) Vận tốc xe thứ x 10 (km/h)

Thời gian xe thứ từ A đến B là: 200 : ( 10) 200 10

x

x (h)

Thời gian xe thứ hai từ A đến B là: 200 :x 200 x (h)

Xe thứ đến B sớm xe thứ hai giờ, nên ta có phương trình

200 200

1 200( 10) 200 ( 10) 10 x x x x

x x

x2 10x 2000

25 2000 2025, 45

Vậy 1 45 40

1

x (nhận), 2 45 50

1

x (loại)

Vậy vận tốc xe thứ hai 40km/h

(73)

Bài toán (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên ĐHSP Hà Nội 2012 - 2013)

Trên quãng đường AB dài 210km, thời điểm, xe máy khởi hành từ A B một ô tô khởi hành từ B A Sau gặp xe máy tiếp 4 đến B tơ tiếp

2 15 phút đến A Biết xe máy ô tô không thay đổi vận tốc suốt chặng đường Tính vận tốc xe máy ô tô.

Đổi 15 phút

4

Gọi vận tốc xe máy x (km/h), vận tốc ô tô y (km/h) (Điều kiện x 0,y 0) Xe máy 4x (km), xe ô tô

4

4y (km)

Ta có phương trình 210

x y (1)

Thời gian từ khởi hành đến lúc gặp

4 :x y x

y (h) hay

9 : 4

y y x

x (h)

4

x y

y x (2)

Từ (1) (2), ta có hệ phương trình:

9 9 9

4 210 4 3 210

4 4 4

4 3 4 3 4

x y x y y y

x y y x y x

y x

21

210 30

3 40

y x

y y

x

Vậy vận tốc xe máy 30 km/h, vận tốc ô tô 40 km/h

Bài toán (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Hưng Yên 2012 – 2013)

Trong giải bóng đá có 12 đội tham dư, thi đấu vịng trịn lượt (hai đội thi đấu với đúng trận)

a) Chứng minh sau 4 vòng đấu (mỗi đội thi đấu 4 trận) ln tìm ba đội bóng đơi chưa thi đấu với

b) Khẳng định cịn khơng đội thi đấu 5 trận?

a) Có 12 đội, đội thi đấu trận nên tìm hai đội chưa thi đấu với nhau, gọi hai đội A B

Mỗi đội A B, thi đấu trận, 10 đội cịn lai có đội chưa thi đấu với A B Gọi hai đội C

, ,

A B C ba đội bóng đơi chưa thi đấu với

b) Khẳng định không đội thi đấu trận

(74)

Xét ba đội bóng tuỳ ý, ln có đội bóng nhóm Như ba đội bóng bất kì, có hai đội thi đấu với

Bài toán (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên Kiên Giang 2012 – 2013)

Một phịng họp có 360 chỗ ngồi chia thành dãy có số chỗ ngồi Nếu thêm cho mỗi dãy 4 chỗ ngồi bớt 3 dãy số chỗ ngồi phịng khơng thay đổi Hỏi ban đầu số chỗ ngồi phòng họp chia thành dãy?

Gọi x (dãy) số ghế lúc đầu chia từ số chỗ ngồi phòng họp Điều kiện: x N* x

Số chỗ ngồi dãy lúc đầu: 360

x (chỗ)

Do thêm cho dãy chỗ ngồi va bớt dãy số chỗ ngồi phịng khơng thay đổi nên ta có phương trình:

2 18

360

4 ( 3) 360 270

15

x

x x x

x

Vậy lúc đầu số chỗ ngồi phòng họp chia thành 18 dãy

§3 CÁC ĐỀ THI NĂM HỌC 2013 – 2014 Bài toán (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT, Tỉnh Ninh Bình 2013 – 2014) Giải tốn sau cách lập phương trình:

Quãng đường từ A đến B dài 90km Một người xe máy từ A đến B Khi đến B, người nghỉ

30 phút quay trở A với vận tốc lớn vận tốc lúc 9km/h Thời gian kể từ lúc bắt đầu từ A đến lúc trở đến A 5h Tính vận tốc xe máy lúc từ A đến B

Gọi vận tốc xe máy lúc từ A đến B x (km/h) Vận tốc xe máy từ B đến A là: x (km/h) Thời gian xe máy từ B đến A là: 90 :x 90

x (h)

Tổng thời gian xe máy từ A đến B, từ B A (không kể thời gian nghỉ) là: - 30

phút

2 (giờ)

90 90 10 10 9

x x x x

20(x 9) 20x x x( 9)

2

20x 180 20x x 9x

2

31 180

x x

961 720 1681, 41 Vậy

31 41 36

x (nhận),

31 41

x (loại)

(75)

Bài toán (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT, Tỉnh Quảng Ninh 2013 - 2014)

Một tổ công nhân dự định làm xong 240 sản phẩm thời gian định Nhưng thực hiện, nhờ cải tiến kĩ thuật nên ngày tổ làm tăng thêm 10 sản phẩm so với dự định Do tổ hồn thành sớm công việc sớm dự định 2 ngày Hỏi thực hiện, ngày tổ làm bao nhiêu sản phẩm?

Gọi số sản phẩm ngày tổ làm x (sản phẩm) (Điều kiện x 0,x N ) Số sản phẩm ngày tổ dự định làm x 10 (sản phẩm)

Thời gian tổ hồn thành cơng việc theo dự định là:

240 240 : ( 10)

10

x

x (ngày)

Thời gian tổ hoàn thành công việc theo thực tế là: 240 :x 240

x (ngày)

240 240 10

x x

240x 240(x 10) (x x 10) 240x 240x 2400 2x2 20x 2x2 20x 2400 0

x2 10x 1200 0

25 1200 1225, 35 Vậy

5 35 40

x (sản phẩm),

5 35

30

x (loại)

Vậy số sản phẩm ngày tổ làm 40 sản phẩm

Bài toán (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT, Tỉnh Nghệ An 2013 - 2014)

Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 100m Nếu tăng chiều rộng 3m giảm chiều dài 4m diện tích mảnh vườn giảm xuống 2m2

Tính diện tích mảnh vườn

Gọi chiều rộng mảnh vườn x (m) (điều kiện x 25) Chiều dài mảnh vườn là: 100 : x 50 x (m)

Diện tích mảnh vườn là: x(50 x) (m2)

Chiều rộng mảnh vườn tăng thêm 3m là: x (m) Chiều dài mảnh vườn giảm 4m là: 50 x 46 x (m) Diện tích mảnh vườn là: (x 3)(46 x) (m2)

(50 ) ( 3)(46 )

x x x x

50x x2 46x x2 138 3x 2

7x 140 x 20

20

x thỏa mãn điều kiện Vậy chiều rộng mảnh vườn 20 (m) Chiều dài mảnh vườn là: 50 20 30 (m)

Diện tích mảnh vườn là: 20.30 600 (m2)

(76)

Bài toán (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT, Chuyên toán PTNK ĐHQG TP HCM 2013 - 2014) Có hai vịi nước A B, cung cấp cho hồ cạn nước vòi C (đặt sát đáy hồ) lấy nước từ hồ cung cấp cho hệ thống tưới Đúng 6 vòi A B mở; đến 7 vòi C mở; đến 9

giờ sống vịi B vịi C; đến 10 45 phút hồ đầy nước Người ta thấy đóng vịi

B từ đầu phải đến 13 hồ đầy Biết lưu lượng vòi B trung bình cộng vịi

A vịi C, hỏi vịi C tháo cạn hồ nước đầy bao lâu?

10 45 phút 43

4 (giờ)

Gọi thời gian để vòi A B, chảy riêng vào đầy bể x (giờ), y (giờ), thời gian để vòi

C tháo cạn hồ nước đầy z (giờ) (Điều kiện x y z, , 0) Trong vòi A chảy vào

x (hồ), vòi B chảy vào

1

y (hồ), vòi C tháo

1

z (hồ)

Đúng giờ, A B mở, đến C mở, đến đóng B C, , đến 10 45 phút hồ đầy Ta có:

43 1 19 (9 6) (9 7) 1

4 x y z 4x y z (1)

Nếu đóng B từ đầu đến 13 (h) hồ đầy nên

1 (13 6) (9 7) 1

x z x z (2)

Lưu lượng vịi B trung bình cộng lưu lượng vòi A vòi C nên:

1 1

y x z (3)

Từ (1), (2), (3) ta có:

19 1

19 1 25 1

1 1

4

4 4 2

7 7 1

1

4 1 1 1 1 1 1

2 2

x x z z

x y z x z

x z x z x z

y x z y x z y x z

6 12

8

x z

y

Vậy vịi C tháo cạn hồn nước đầy 12

Bài toán (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT, Chuyên toán tỉnh Bắc Ninh 2013 - 2014)

Một người xe đạp từ A đến B cách 36km Khi từ B trở A, người tăng vận tốc thêm 3km/h, thời gian thời gian 36 phút Tính vận tốc người xe đạp đi từ A đến B

Gọi x (km/h) vận tốc người xe đạp từ A đến B (x 0) Thời gian người xe đạp từ A đến B 36

(77)

Vận tốc người xe đạp từ B đến A x Thời gian người xe đạp từ B đến A 36

3

x

Theo giả thiết ta có phương trình: 36 36 36

3 60

x x

Giải phương trình ta hai nghiệm 12

15( )

x

x loai

Vậy vận tốc người xe đạp từ A đến B 12 (km/h)

Bài toán (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT, Chun tốn tỉnh Bình Thuận 2013 - 2014)

Trên quãng đường AB dài 60km, người thứ xe máy từ A đến B, người thứ hai xe đạp từ

B đến A Họ khởi hành lúc gặp C sau khởi hành 1 20 phút Từ

C người thứ tiếp đến B người thứ hai tiếp đến A Kết người thứ đến nơi sớm hơn người thứ hai 2 Tính vận tốc người, biết suốt quãng đường hai người với vận tốc không đổi

Gọi vận tốc người thứ x km/h, (x 0) Gọi vận tốc người thứ hai y km/h, (y 0) Đổi 20 phút

3

( ) 60 45 x y x y

Theo giả thiết ta có hệ phương trình:

45 60 60

2

x y

Giải hệ phương trình ta được: x 30,y 15

Vậy vận tốc người thứ 30 (km/h), vận tốc người thứ hai 15 (km/h)

Bài toán (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT, Chuyên toán PTNK ĐHQG TP HCM 2013 - 2014) Trong kì thi, 60 thí sinh phải giải 3 tốn Khi kết thúc kì thi, người ta nhận thấy rằng: với hai thí sinh ln có tốn mà hai thí sinh giải Chứng minh rằng: a) Nếu có tốn mà thí sinh khơng đạt giải phải có tốn khác mà mọi thí sinh giải

b) Có tốn mà có nhấ 40 thí sinh giải

Gọi ba tốn A B C, ,

a) Khơng tính tổng quát, giả sử thí sinh khơng giải tốn A

- Nếu thí sinh khơng giải tốn B từ giả thiết ta có thí sinh giải tốn C

- Nếu thí sinh giải toán B toán C ta có thí sinh giải toán B, toán C

(78)

b) Theo giả thiết ta có thí sinh giải tốn Nếu có thí sinh giải tốn, xét học sinh với tất học sinh lại, ta có thí sinh giải tốn Ta cịn xét trường hợp mà thí sinh giải hai tốn

Gọi số thí sinh giải A B, mà khơng giải C x, số thí sinh giải B C, mà khơng giải A y, số thí sinh giải A C, mà không giải B z, số thí sinh giải A B C, , ( , , ,x y z t N)

Ta có: x y z t 60 (1) Cách

Giả sử có điều trái với kết luận tốn Ta có: x z t 40;x y t 40;y z t 40

Do đó: x z t x y t y z t 40 40 40

2(x y z t) t 120

Kết hợp (1) có t Điều vơ lí! Điều giả sử sai Vậy có tốn mà có 40 thí sinh giải Cách

Ta có số học sinh khơng giải A y, không giải B z, không giải C x Nếu x 20,y 20,z 20 x y z 60 Mâu thuẫn (1)

Do ba số x y z, , phải có số khơng vượt q 20

Như có tốn mà có nhiều 20 thí sinh khơng giải Do tốn có 40 thí sinh giải

Vậy có tốn mà có 40 thí sinh giải

§3 CÁC ĐỀ THI NĂM 2014 - 2015 Bài toán (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT, Tỉnh Nghệ An 2014 - 2015)

Một ô tô xe máy hai địa điểm A B cách 180km, khởi hành lúc ngược chiều gặp sau 2 giờ Biết vận tốc ô tô lớn vận tốc xe máy 10 km/h Tính vận tốc xe

Gọi vận tốc ô tô x (km/h)

Vận tốc xe máy y (km/h) (Điều kiện: x y 0,x 10) Ta có phương trình: x y 10 (1)

Sau gờ ô tô quãng đường 2x (km)

Sau xe máy quãng đường 2y (km) chúng gặp nhau, ta có phương trình:

2x 2y 180 hay x y 90 (2)

Từ (1) (2) ta có hệ phương trình: 10 50

90 40

x y x

x y y

Vậy vận tốc ô tô 50 km/h vận tốc xe máy là: 40 km/h

(79)

Một phân xưởng theo kế hoạch cần phải sản xuất 1100 sản phẩm số ngày quy định Do ngày phân xưởng sản xuất vượt mức 5 sản phẩm phân xưởng hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định 2 ngày Hỏi theo kế hoạch, ngày phân xưởng phải sản xuất sản phẩm?

Gọi số sản phẩm phân xưởng làm ngày theo kế hoạch x (sản phẩm) (Điều kiện:

*

x N )

Số sản phẩm phân xưởng làm ngày theo thực tế x (sản phẩm) Theo kế hoạch phân xưởng sản xuất 1100 sản phẩm

1100 1100 :x

x (ngày)

Thực tế phân xưởng hoàn thành kế hoạch trong:

1100 1100 : ( 5)

5

x

x (ngày)

1100 1100

2 550( 5) 550 ( 5) x x x x

x x

25 11020 11025, 105 Giải phương trình ta

5 105 50

x (nhận);

2

5 105

55

x (loại)

Vậy theo kế hoạch ngày phân xưởng làm 50 sản phẩm

Bài toán (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT, Tỉnh Bình Phước 2014 - 2015) Cho mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích 360m2

Nếu tăng chiều rộng 2m giảm chiều dài 6m thì diện tích khơng thay đổi Tính chu vi mảnh vườn lúc ban đầu

Gọi chiều rộng mảnh vườn x (m) (điều kiện x 0) Chiều dài mảnh vườn là: 360 :x 360

x (m)

Chiều rộng mảnh vườn sau tăng 2m là: x (m) Chiều dài mảnh vườn sau giảm 6m là: 360

x (m)

Diện tích mảnh vườn tăng chiều rộng 2m giảm chiều dài 6m là: (x 2)(360 6)

x

2

(m )

2

360

(x 2) 360 6x 12x 720 x 2x 120

x

1 120 121, 11 Vậy

1 11 10

x (nhận),

1 11

12

(80)

Chiều rộng mảnh vườn 10m Chiều dài mảnh vườn 360 36

10 (m)

Chu vi mảnh vườn là: (10 36).2 92 (m)

Bài toán (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT, Chuyên ĐHSP Hà Nội 2014 - 2015)

Cho quãng đường AB dài 120km Lúc 7 sáng, xe máy từ A đến B Đi 3

4 quãng

đường xe bị hỏng phải dừng lại sửa 10 phút tiếp đến B với vận tốc nhỏ vận tốc lúc đầu 10km/h Biết xe máy đến B lúc 11 40 phút trưa ngày Giả sử vận tốc xe máy

3

4 quãng đường ban đầu không thay đổi vận tốc xe máy

4 quãng đường lại

không thay đổi Hỏi xe máy bị hỏng lúc giờ?

Gọi C vị trí xe máy bị hỏng Quãng đường AC dài là: 120.3 90

4 (km)

Quãng đường CB dài là: 120 90 30 (km)

Gọi vận tốc xe máy quãng đường AC là: x (km/h) (Điều kiện x 10) Vận tốc xe máy quãng đường CB x 10 (km)

Thời gian xe máy quãng đường AC 90 :x 90 x

Thời gian xe máy quãng đường CB

30 30 : ( 10)

10

x

x (h)

Đổi 10 phút

6 (h)

Thời gian xe máy từ A đến B (kể thời gian sửa xe) là:

11 40 phút - 14

3 (h)

90 30 14 10

x x

2

3x 110x 600

3025 1800 1225, 35

1

55 35 30

x (nhận),

55 35 20 3

x (loại)

Vận tốc xe máy quãng đường AC 30 (km/h) Thời gian xe máy từ A đến C 90

30 (h)

Vậy xe máy bị hỏng lúc: 10 (h) (trưa ngày)

(81)

Tổng kết học kì II, trường trung học sở N có 60 học sinh khơng đạt học sinh giỏi, có 6 em từng đạt học sinh giỏi học kì I; số học sinh giỏi học kì II 40

37 số học sinh giỏi học kì I có 8% số học sinh trường không đạt học sinh giỏi học kì I đạt học sinh giỏi học kì II Tìm số học sinh giỏi học kì II trường biết số học sinh trường không thay đổi suốt năm học

Gọi x số học sinh trường (x N x, 60) Khi đó, số học sinh giỏi học kì II x 60

Số học sinh giỏi học kì I 60 8% 23 54 25

x x x

40 23 60

60 54 300

37 25 185 37

x x x x (thỏa)

Vậy số học sinh giỏi học kì II là: 300 60 240 (học sinh)

Bài toán (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT, Chuyên tỉnh Long An 2014 - 2015)

Kì thi tuyển sinh vào trường THPT chuyên Long An năm có 529 học sinh đến từ 16 địa phương khác tham dự Gỉa sử điểm thi mơn Tốn học sinh số nguyên dương lớn

4 bé 10 Chứng minh ln tìm 6 học sinh có điểm mơn Tốn giống nhau đến từ địa phương

Ta có 529 học sinh có điểm thi điểm đến 10 điểm Theo ngun lí Dirichlet ta có 89 học sinh có điểm thi (từ điểm đến 10 điểm)

Ta có 89 học sinh có điểm thi đến từ 16 địa phương Theo nguyên lí Dirichlet tìm em có điểm thi mơn tốn đến từ địa phương

Bài toán 7 (Đề thi tuyển sinh lớp 10 - Thành phố Huế 2014 - 2015)

Một xơ I - nốc có dạng hình nón cụt (độ dày thành xô nhỏ không đáng kể) đựng hóa chất được đặt vào bên thùng hình trụ, có miệng xơ trùng khít với miệng thùng Đáy xơ dát với đáy thùng có bán kính 1

2 bán kính đáy thùng

Biết rằng, thùng có nhiều cao đường kính đáy diện tích xung

quanh 8

(dm ) Hỏi xô chứa đầy hóa chất dung tích lít? (cho 3,14 kết làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)

Gọi R (dm) bán kính đáy thùng

Thùng hình trụ có bán kính đáy R chiều cao h 2R nên diện tích xung quanh là: Sxq R R.2 R2 (dm2)

Nên R2 R2 R (dm)

Xơ có đáy hình nón cụt có hai đáy là:

1

R R (dm)

1 2

R R (dm)

(82)

B X A

Nên

2

1 2

.2 ( 2) 10,

3 2

V (dm3)

Vậy xơ chứa đầy hóa chất dung tích 10, (lít)

5 CÁC ĐỀ THI NĂM HỌC 2015 - 2016 Bài toán (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT, Tỉnh Long An 2015 - 2016)

Một đội xe cần chở 36 hàng Trước làm việc, đội bổ sung thêm 3 nên xe chở 1 hàng so với dự định Hỏi lúc đầu đội có xe, biết khối lượng hàng chở mỗi xe

Gọi số xe ban đầu xe có x (xe) (Điều kiện x N*) Số xe lúc sau có x (xe)

Lúc đầu xe dự định chở là: 36 :x 36

x (tấn)

Lúc sau xe chở là: 36 : ( 3) 36

x

x (tấn)

Theo giả thiết ta có phương trình: 36 36

x x

Phương trình tương đương với

36(x 3) 36x x x( 3) 36x 108 36x x2 3x x2 3x 108 0

432 441, 441 21

Vậy

3 21

x (nhận);

3 21

12

x (loại)

Bài toán (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT, Tỉnh An Giang 2015 - 2016)

Với phát triển khoa học kỹ thuật nay, người ta tạo nhiều mẫu xe lăn đẹp tiện dụng cho người khuyết tật Công ty A sản xuất xe lăn cho người khuyết tật với số vốn ban đầu 500 triệu đồng Chi phí sản để sản xuất xe lăn 2.500.000 đồng Gía bán mỗi 3.000.000 đồng

a) Viết hàm số biểu diễn tổng số tiền đầu tư đến sản xuất x xe lăn (gồm vốn ban đầu chi phí sản xuất) hàm số biểu diễn số tiền thu bán x xe lăn

b) Công ty A phải bán xe thu hồi vốn ban đầu

a) Tổng chi phí vốn cố định vốn sản xuất x xe lăn (đơn vị triệu đồng):

500 2,

y x

Hàm số biểu diễn số tiền thu bán x xe lăn là: y 3x b) Để số tiền bán số vốn đầu tư ban đầu nhau, ta có:

(83)

Vậy cơng ty A phải bán 1000 xe lăn thu hồi vốn ban đầu

Bài toán (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT, Tỉnh Bình Định 2015 - 2016) Trên vùng biên xem thẳng khơng có chướng

ngại vật Vào lúc 6 có tàu cá thẳng hàng qua tọa độ X theo hướng từ Nam tới Bắc với vận tốc không đổi Đến 7 tàu du lịch dũng thẳng qua tọa độ X theo hướng từ Đông sang Tây với vận tốc lớn vận tốc tàu cá 12 km/h Đến 8 khoảng cách hai tàu là 60 km/h Tính vận tốc tàu

Gọi vận tốc tàu đánh cá x (km/h) (Điều kiện x 0) Vận tốc tàu du lịch x 12 (km/h)

Giả sử tàu đánh cá đến điểm A, tàu du lịch đến điểm B Theo giả thiết, khoảng cách AB

60 km

Tàu đánh cá đi: (giờ) Khoảng cách XA dài 2x (km) Tàu du lịch đi: (giờ)

Khoảng cách XB dài là: (x 12).1 x 12 (km) Theo giả thiết, ta có tam giác XAB vng X Do XA2 XB2 AB2

(định lí Pythagore) Ta có phương trình:

2 2

(2 )x (x 12) 60 4x2 x2 24x 144 3600 5x2 24x 3456

Xét biệt thức 144 17280 17424 132

1

12 132 24

x (nhận); 2 12 132 28,

5

x (loại)

Vậy vận tốc tàu đánh cá 24 (km/h) Vận tốc tàu du lịch là: 24 12 36 (km/h)

Bài toán (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THP, Tỉnh Quảng Ngãi 2015 - 2016)

Hai công nhân làm chung 4 xong đường Nếu đội làm riêng để xong con đường thời gian đội thứ đội thứ hai 6 Hỏi làm riêng đội làm xong đường thời gian bao lâu?

Gọi thời gian đội thứ làm riêng xong công việc x (giờ) (Điều kiện x 0) Thời gian đội thứ hai làm riêng xong công việc x (giờ)

Trong giờ:

Đội thứ làm riêng được: :x

x (công việc)

Đội thứ hai làm riêng được: : ( 6)

x

(84)

Hai đội làm chung được: :

4 (cơng việc)

1 1

4 4( 6) ( 6) x x x x

x x

2

4x 4x 24 x 6x x 2x 24

1 24 25,

Vậy x1 (nhận); x2 (loại)

Thời gian đội thứ làm riêng xong công việc

Thời gian đội thứ hai làm riêng xong công việc là: 6 12 (giờ)

Bài toán (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT, TP Hà Nội 2015 - 2016)

Một tàu tuần tra chạy ngược dịng 60 km, sau chạy xi dịng 48 km dịng sơng có vận tốc dịng nước 2 km/giờ Tính vận tốc tàu tuần tra nước yên lặng, biết thời gian xi dịng thời gian ngược dòng 1

Gọi vận tốc tàu tuần tra nước yên lặng x (km/giờ) (Điều kiện x 2)

Tàu tuần tra xi dịng với vận tốc x (km/giờ) ngược dòng với vận tốc x (km/giờ) Thời gian tàu tuần tra chạy xi dịng là:

48 48 : ( 2)

2

x

x (giờ)

Thời gian tàu tuần tra chạy ngược dòng là:

60 60 : ( 2)

2

x

x (giờ)

60 48

1 60( 2) 48( 2) ( 2)( 2) 2 x x x x

x x

2

60x 120 48x 96 x

2 12 220 0

x x

36 220 256, 16

Ta có 1 16 22

1

x (nhận), 2 16 10

1

x (loại)

Vậy vận tốc tàu tuần tra nước yên lặng 22 km/giờ

Bài toán (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT, Tỉnh Phú Thọ 2015 - 2016)

Số tiền mua 1 dừa long 25 nghìn đồng Số tiền mua 5 dừa 4 thanh long 120 nghìn đồng Hỏi giá dừa long bao nhiêu? Biết mỗi dừa có long có

Gọi giá tiền mua dừa x (nghìn đồng), giá tiền mua long y (nghìn đồng) (Điều kiện: x y, 0)

(85)

Mua dừa long hết 120 nghìn đồng, ta có phương trình: 5x 4y 120

(2)

Từ (1) (2) ta có hệ phương trình:

25 25 25

5 120 5(25 ) 120 125 120

x y x y x y

x y y y y y

25 25 20 125 120 5

x y x y x

y y y

Vậy giá tiền dừa 20 nghìn đồng, giá tiền long nghìn đồng

Bài tốn (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT, Tỉnh Thái Bình 2015 - 2016)

Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích 168m2 Nếu giảm chiều dài 1m tăng chiều rộng thêm 1m mảnh vườn trở thành hình vng Tính chiều dài, chiều rộng mảnh vườn

Gọi chiều rộng mảnh vườn x (m) (Điều kiện x 0) Chiều dài mảnh vườn 168

x (m)

Nếu giảm chiều dài 1m cạnh cịn 168

x (m), tăng chiều rộng thêm 1m cạnh

đó x (m), mảnh vườn trở thành hình vng nên ta có phương trình: 168 x

x

Do ta có:

2

168 x x( 2) x 2x 168

1 168 169, 13 Vậy

1 13 12

x (nhận),

1 13

14

x (loại)

Vậy mảnh vườn có chiều rộng 12m, chiều dài 168 14

12 (m)

Bài toán (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT, TP Hồ Chí Minh 2015 - 2016)

Một người vận động viên tham gia thi đấu quần vợt Cứ hai người họ chơi với một trận Người thứ thắng x1 trận thua y1 trận, người thứ hai thắng x2 trận thua y2

trận, , người thứ mười thắng x10 trận thua y10 trận Biết trận đấu quần vợt

khơng có kết hòa Chứng minh rằng:

2 2 2 2 10 10

x x x y y y

Mỗi người chơi trận với người khác khơng có trận hịa Do đó:

1 2 10 10

x y x y x y

Mà tổng số trận thắng tổng số trận thua, đó:

1 10 10

x x x y y y

Ta có:

2 2 2 2 10 10

(x x x ) (y y y )

2 2 2 1 2 10 10

(86)

9(x1 y1) 9(x2 y2) 9(x10 y10) 9(x1 y1 x2 y2 x10 y10)

9[(x1 x2 x10) (y1 y2 y10)]

Vậy x12 x22 x102 y12 y22 y102

Bài toán (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT, Trường chuyên ĐHSP TP Hồ Chí Minh 2015 - 2016)

Một xe tải từ A đến B với vận tốc 40km/h Sau xe tải xuất phát thời gian xe khách cũng xuất phát từ A với vận tốc 50km/h khơng có thay đổi đuổi kịp xe tải B Nhưng sau nửa quãng đường AB, xe khách tăng vận tốc lên 60km/h nên đến B sớm hơn xe tải 16 phút Tính quãng đường AB

Gọi quãng đường AB dài x (km), thời gian từ lúc xe tải xuất phát đến lúc xe khách xuất phát y (giờ) (Điều kiện x y, 0)

Đổi 16 phút

15

Thời gian xe tải từ A đến B

40

x

(h), thời gian xe khách từ A đến B với vận tốc 50

km/h

50

x

(h), ta có phương trình:

40 50

x x

y (1)

Thời gian thực tế xe khách 1 60

x x

(h), ta có phương trình:

1 11

40 50 60 15 40 600 15

x x x x x

y y (2)

Từ (1), (2) ta có hệ phương trình:

4

160 40 50 600 15

11 0, 40 600 15 40 50

x x x

y x

x x x x y

y y

(thỏa mãn)

Vậy quãng đường AB dài 160 km

Bài toán 10 (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT, Trường chuyên ĐHSP Hà Nội 2015 - 2016)

Một xe tải có chiều rộng 2, 4m chiều cao 2, 5m muốn qua cổng có hình parabol Biết khoảng cách hai chân cổng 4m khoảng cách từ đỉnh cổng (đỉnh parabol) tới chân cổng là 2 5m (bỏ qua độ dày cổng)

1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy gọi parabol ( )P y ax2

với a 0 hình biểu diễn cổng mà xe tải muốn qua Chứng minh a 1

2) Hỏi xe tải qua cổng có không? Tại sao?

1) Đỉnh cổng đỉnh parabol y ax2 (a 0)

, đỉnh cổng O(0; 0) Gọi hai chân cổng A B, AB cắt Oy H

Ta có: ,

2

AB

(87)

120m

218m 258m

B

C H

A

(A B H, , nằm trục hoành)

HOA vuông H

Suy OH2 AH2 OA2 (định lí Pythagore)

2 (2 5)2 22 16 4

OH OH

Do H(0; 4) Nên A( 2; 4), (2; 4)B

( )

A P nên 4 a( 2)2 a 1

2) Gọi giao điểm đường thẳng qua điểm cao xe tải, song song với trục hoành với ( )P C D CD, , cắt Oy M

Phương trình đường thẳng CD y 1,

Phương trình hồnh độ giao điểm ( )P CD

2 1, 5

2

x x

Do CD Mà 2,

Tại độ cao 2, 5m chiều rộng cổng lớn 2, 4m

chiều rộng xe tải Như xe tải qua cổng

Bài toán 11 (Đề thi tuyển sinh lớp 10 Trường PTNK ĐHQG, TP HCM 2015 - 2016)

Bạn An dự định khoảng thời gian từ ngày 1/3 đến ngày 30/4 giải ngày 3 toán Thực hiện kế hoạch thời gian, vào khoảng cuối tháng 3 (tháng 3 có 31 ngày) An bị bênh, phải nghĩ giải toán nhiều ngày liên tiếp Khi hồi phục, tuần đầu An giải 16 bài; sau An cố gắng giải 4 ngày đến 30/4 An hồn thành kế hoạch định Hỏi bạn An phải nghỉ giải tốn ngày?

Gọi số ngày An giải toán trước bệnh x (ngày) (Điều kiện x N*, x 31) số ngày An nghỉ giải toán y (ngày) (Điều kiện y N)

Thời gian từ ngày 1/3 đến ngày 30/4 31 30 61 (ngày) Do số toán An dự định giải 3.61 183 (bài tốn) Theo giả thiết, ta có phương trình:

3.x 16 4.(61 x y 7) 183 x 4y 232 183

49 49

4

x

y x y

Mà x 31 Do 49 31 4,

y Khi x 49 4y 29

Vậy bạn An phải nghỉ giải tốn ngày

Bài toán 12 (Đề thi tuyển sinh lớp 10 Trường PTNK ĐHQG, TP HCM 2015 - 2016)

Để khuyến khích phong trào học tập, trường THCS tổ chức 8 đợt thi cho học sinh Ở đợt thi, có 3 học sinh chọn để trao giải Sau tổ chức xong 8 đợt thi, người ta nhận thấy rằng với hai đợt thi ln có 1 học sinh trao giải hai đợt thi Chứng minh rằng:

(88)

b) Có học sinh trao giải tất 8 đợt thi

a) Xét đợt thi thứ Theo giả thiết có học sinh trao giải hai đợt thi bất kì, đợt thi lại, ba học sinh trao giải đợt thi thứ có học sinh trao giải lần (vì : (dư 1))

Vậy có học sinh trao giải bốn lần

b) Từ a) giả sử A học sinh trao giải bốn đợt thi Xét đợt thi bốn đợt thi cịn lại Vì có học sinh trao giải hai đợt thi Do đợt thi này, bốn đợt thi đợt thi có học sinh trao giải Như học sinh phải A (nếu khơng A đợt có đến bốn học sinh trao giải) Vì xét đợt thi nên A trao giải bốn đợt thi lại

A trao giải tất đợt thi

Vậy có học sinh trao giải tất đợt thi

Bài toán 13 (Đề thi tuyển sinh lớp 10 Chuyên, Tỉnh Bình Định 2015 - 2016)

Trong phịng có 80 người họp, xếp ngồi dãy ghế có chỗ ngồi Nếu ta bớt 2 dãy ghế dãy ghế cịn lại phải xếp thêm 2 người vừa đủ chỗ Hỏi lúc đầu có dãy ghế dãy ghế xếp chỗ ngồi

Gọi số dãy ghế lúc đầu x (dãy ghế) (Điều kiện x N x*, 2) Mỗi dãy ghế xếp số chỗ ngồi 80

x (chỗ ngồi)

Nếu bớt dãy ghế cịn x (dãy ghế) dãy ghế xếp chỗ ngồi 80

2

x (chỗ

ngồi)

Theo giả thiết, ta có phương trình 80 80 2

x x

Ta có

40x 40(x 2) x x( 2) 40x 40x 80 x2 2x

x2 2x 80

80 81, 81

Vậy

1 10

x (nhận),

1

x (loại)

Vậy số dãy ghế lúc đầu 10 dãy

Mỗi dãy ghế xếp số chỗ ngồi 80