Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số

Sưu tầm và tổng hợp TÀI LI ỆU TOÁN HỌC.[r]

 SƯU TẦM

TÌM GTLN, GTNN

CỦA BIỂU THỨC ĐẠI SỐ BỒI DƯỠNG HSG LỚP

CHUYÊN ĐỀ: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC

A Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức

Khái niệm:Nếu với giá trị biến thuộc khoảng xác định mà giá trị biểu thức A luôn lớn (nhỏhơn bằng) số k tồn giá trị biến đểA có giá trị k k gọi giá trị nhỏ (giá trị lớn nhất) biểu thức A ứng với giá trị biểu thức thuộc khoảng xác định nói

Xét biểu thức A x( )

+) Ta nói A x( ) có giá trị lớn M, ( )

A x ≤M x∀ có giá trị x0 cho A x( 0)=M (Chỉ giá trịlà được) +) Ta nói A x( ) có giá trị nhỏ m,

( )

A x ≥ ∀m x có giá trị x0 cho A x( 0)=m (Chỉ giá trịlà được)

Như :

a) Để tìm giá trị nhỏ A, ta cần : - Chứng minh A≥k với k số

- Chỉ dấu “ = ” xảy với giá trịnào biến

b) Để tìm giá trị lớn A, ta cần : - Chứng minh A≤k với k số

- Chỉ dấu “ = ” xảy với giá trịnào biến

Ký hiệu: Min A giá trị nhỏ A Max A giá trị lớn A

Ví dụ:Sai lầm

2 2

( ) 2 ( 1) 2

A x = x − x+ =x + −x + ≥ ⇒GTNN = ( Không chỉra dấu = ) Đáp án :

2

1 5

( )

2 2 2

 

=  −  + ≥ ⇒ = ⇔ =

 

A x x GTNN x

B Các dạng tốn

Dạng 1: Tìm GTLN, GTNN tam thức bậc hai

ax +bx+c

Phương pháp: Áp dụng đẳng thức số số

Bài 1:Tìm GTNN biểu thức sau

a

( ) 24

A x =x − x+ b B x( )=2x2−8x+1 c.C x( )=3x2+ −x

Lời giải

a 2

( ) 24 ( 2) 20 20 ( ) 20

A x =x − x+ = x− + ≥ ∀ ⇒x A x = ⇔ =x

b 2

( ) 2( 4) 2( 2) 7 minB

B x = x − x+ = x − x+ − = x− − ≥ − ⇒ = − ⇔ =x

c 2 13 13

( ) 3

6 12 12

− −

 

= + − =  +  − ≥ ⇔ =

 

C x x x x x

Bài 2: Tìm GTLN biểu thức sau

a

( )

A x = − x − x+ b

( )

B x = − x + +x

Lời giải

a

2

2 9

( ) 5

5 5 5

−

   

= − − + = −  + − = −  +  + ≤ ⇔ =

   

A x x x x x x x

b

2

2 13 13

( ) 3

6 12 12

 

= − + + = −  −  + ≤ ⇔ =

 

B x x x x x

Dạng 2: Tìm GTLN, GTNN đa thức có bậc cao 2

Phương pháp:Ta đưa dạng tổng bình phương

Bài 1:Tìm GTNN biểu thức sau

a

( ) 10

A x =x − x + x − x+ b B x( )=x4−10x3+26x2−10x+30

c

( ) 2017

C x =x − x + x − x+ d

( )

D x =x −x + x+

e

( ) 20 22

E x =x − x + x − x+ f F x( )=x x( −3)(x−4)(x−7) g G x( )=(x−1)(x+2)(x+3)(x+ −6) 2006

Lời giải

a 4 2 2

( ) 10 ( ) ( 9) ( ) ( 3)

A x =x − x + x − x+ = x − x + x + x − x+ = x − x + −x ≥ ∀x

2

3

min ( )

3 x x

A x x

x

 − =

⇒ = ⇔ ⇔ =

− = 

b 2 2

( ) 10 26 10 30 ( ) ( 5) 5

5 x x

B x x x x x x x x x

x

 − =

= − + − + = − + − + ≥ ⇔ ⇔ =

− = 

c 2 2 2

( ) ( 2) ( 2) ( 2) 2015 ( 2)( 1) 2015 2015

C x =x x + − x x + + x + + = x + x− + ≥ ⇔ =x

d 2 2

( ) 2 ( 1) ( 1) 5

D x =x − x + +x + x+ + = x − + +x + ≥ ⇔ = −x

e Ta có :

4 2 2

( ) 20 22 ( 4 ) 5( 4) ( ) 5( 2) 2

E x =x − x + x − x+ = x − x + x + x − x+ + = x − x + x− + ≥ ⇔ =x

f 2

( ) ( 3)( 4)( 7) ( )( 12) 36 36

6 x

F x x x x x x x x x y y

x

= 

= − − − = − − + = − ≥ − ⇔ = ↔ 

= 

g 2 2

( ) ( 6)( 6) 2006 ( ) 2042 2042

5 x

G x x x x x x x

x

= 

= + − + + − = + − ≥ − ⇔ 

= − 

Dạng : Đa thức có từ biến trở lên

Phương pháp:Đa số biểu thức có dạng ( ) 2 ( )( )

;

F x y =ax +by +cxy+dx ey+ +h a b c≠

- Ta đưa dần biến vào đẳng thức ( 2 2) ( )2

a ± ab b+ = a b± sau

( ) [ ]2 [ ]2 ( )

; ;

F x y =mK x y +nG y +r F x y( ); =mK x y[ ]; 2+nH x[ ]2+r( )3

Trong G y H x[ ] [ ], biểu thức bậc biến, K x y[ ]; = px+qy+k

biểu thức bậc hai biến x y

Cụ thể:

Ta biến đổi (1) để chuyển dạng (2) sau với

0;

a≠ ac b− ≠ Ta có

( ) 2 2 2 2

4 a F x y; =4a x +4abxy+4acy +4adx+4aey+4ah=4a x +b y +d +4abxy+4adx+2bdy

( 2) ( )

4ac b− y +2y 2ae bd− +4ah d−

( )2 ( 2) 2

2

2

2 4

4

ae bd ae bd

ax by d ac b y ah d

ac b ac b

− −

   

= + + + −  + + − − 

− −

   

Vậy có (2) với

( ) 2 ( ( )22)

2

1

; ; ; ( ) ; r h

4 4 4

ae bd

b ac ae bd d

m F x y ax by d n G y y

a a ac b a a ac b

−

− −

= = + + = − = + = − −

− −

+) Nếu ( ) ( ) ( )

0; 0, : ; *

a> ac b− > ⇒ >m n> ⇒ F x y ≥r

+) Nếu ( ) ( ) ( )

0; 0, : ; **

a< ac b− > ⇒ <m n< ⇒ F x y ≤r

+) Nếu m > 0, n > ta tìm giá trị nhỏ +) Nếu m < 0, n <0 ta tìm giá trị lớn

Dễ thấy tồn (x; y) đểcó dấu đẳng thức, ta sẽtìm cực trị

của đa thức cho

Trong cảhai trường hợp trên:

- Nếu r = phương trình F(x; y) = có nghiệm

- Nếu F x y( ); ≥ >r F x y( ); ≤ <r khơng có ( )x y; thảo mãn F(x; y) =

+) Nếu ( ) ( )

0; 0; : ;

a> ac b− < r= ⇒ F x y phân tích tích hai nhân tử, giúp ta

giải tốn khác

Bài 1:Tìm giá trị nhỏ

a 2

2

A=x + y − xy− y+ b B=2x2−2y2+5y2+5

Lời giải

a) Ta có 2 2 ( 2 2) ( 2 ) ( ) (2 )2

( ) 2 4

A x =x + y − xy− y+ = x − xy+y + y − y+ + = x−y + y− +

1 , " "

2

− = 

⇒ ≥ ∀ ∈ ⇒ = ⇔ − = ⇔ = =



x y

A x y R x y

y

Vậy minA= ⇔ = =1 x y

b) 2 2 2 ( 2 2) ( 2 2) 2 ( ) (2 )2

2 5 4 5

B= x − y + y + = x − xy+ y + x + xy+y +y + = x− y + x+y + ≥

2

0

x y

x y x y

− =



⇒ = =  + =



Bài 2: Tìm giá trị nhỏ

a 2

( ) 2

A x = x +y − xy− x+ b B x( )=x2+xy+y2−3x−3y

c 2

( ) 18

C x = x + y + xy− x− y+ d D x( )=2x2+3y2+4z2−2(x+ + +y z)

e 2

( ) 11

E x = x + xy+ y − x− y+

f 2

( ) 6 2

F x = x + y + z − xy+ yz− xz+ y+ z+

g 2

( ) 2 2 2

G x = x + y +z + xy− xz− yz− x− y

h 2

( )

H x =x +y −xy− + +x y

Lời giải

a Ta có :

2 2 2 2

( ) 2 ( ) ( 1) ( ) ( 1) 2

A x = x +y − xy− x+ = x − xy+y + x − x+ + = x−y + −x + ≥ ⇔ = =x y

b 2 2

( ) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)( 1)

B x = x − x+ + y − y+ +x y− − y− − = x− + y− + −x y− −

2 2 2

2 1 2

( 1) 2( 1) .( 1) ( 1) 3

2 2

− − − − +

     

= − + − − +  −  + − − = − +  − + − + −

     

y y y y y

x x y y x y y

2 2

1

1

1 3( 1)

1 3

1

2

1 y

x x

y y

x

y y

−

 − + =  =

− − 

 

= − +  + − ≥ − ⇔ ⇔

=

   − = 

c 2 2

( ) 18 ( ) 2( )2 ( 9)

C x = x + xy+ y +y − x− y+ =  x+y − x+y + + y + y+ +

2

2(x y 2) (y 3) 1 minA y 3;x

= + − + + + ≥ ⇒ = ⇔ = − =

d 2 2 2

( ) 2( ) 2( ) (3 ) (4 )

D x = x + y + z − x+ + + =y z x − +x y − y + z − z +

2 2 1 1

2 (2 ) 2

4 4

     

=  − + +  − +  + − + + − − −

x x  y y   z z 

2 2

1 1 11 11 1

2 ( , , ) ; ;

2 2 2

       

=  −  +  −  + −  + ≥ ⇒ = 

x  y   z  x y z  

e 2 2

( ) 2( 4 ) 2( ) 4( )

E x = x + xy+ y + y − x− y+ = x+ y − x+ y + + y + y+

2 2

2( 1) 3( 1) 1

1

x y x

x y y

y y

+ − = =

 

= + − + + + ≥ ⇔ ⇔

+ = = −

 

f 2

( ) 6 2 2( )

F x = x + y + z − xy+ yz− xz+ y+ z+ kho

2

2 2

( ) 2 (3 )

2

+ +

   

= − + +   + + + −  + + +

   

y z y z

F x x x y z y z yz y z

2

2 2

3 10 25

2

2

+

   

=  −  +  + + + + + +

   

y z

x y yz z z y z

2

2

3 5 2

2

2 3 3 3

 

+

       

=  −  +  +  +  + + + + + +

         

y z

x y z y z z z

2

2

3

0

2 1

3 5

2 x ( 1) 1

2 3 3

1

+

 − =



=  

+  

   

=  − +  + +  + + + ≥ ⇔ + + = ⇔ = ⇒ =

      = −

 + =

 

y z x

x y z

y z x y z y A

z z

g Ta có :

2 2 2

( ) 2 2 2 ( 1) ( 2) ( ) 5 1; 2;

G x = x + y +z + xy− xz− yz− x− y= −x + y− + + −x y z − ≥ − ⇔ =x y= z=

h.Ta có : 2 2

( ) ( ) (2 ) 2.2 4

H x =x +y −xy− + + ⇒x y H x = x − x y+y + y − x+ y+

2 2 2 8

(2 ) 2(2 ) 3 (2 1) 3( 1) (2 1) 3( )

3 3

x y x y y y x y y y x y y

= − − − + + + + = − − + + + = − − + + + ≥

2;

3 3

A x y − A

⇒ = ⇔ = = ⇒ =

Bài 3:Tìm GTLN biểu thức sau

a 2

4 10 12

A= − x − y + xy+ y+ b − −x2 y2+ +xy 2x+2y

Lời giải

a Ta có:

2 2 2 2

4 10 12 10 25 37 4( ) ( 5) 37 37

A= − x − y + xy+ y+ = − x + xy− y −y + y− + = − x−y − y− + ≤

5 x y

=  ⇔  =



b 2 2

2 4 4 8

A= − −x y + +xy x+ y⇒ A= − x − y + xy+ x+ y

2 2

4 ( 2) ( 2) ( 2)

A= − x + x y+ − y+ + y+ − y + y

2 2 2 2

(2 2) 3( ) (2 2) 3( 2) 16 16

2

x y x

x y y y x y y A

y y

− − = =

 

= − − − − − + = − − − − − + ≤ ⇒ ≤ ⇔ ⇔

− = =

 

Bài 4:Tìm GTNN biểu thức sau

a 2

5 12 24 48 82

A= x + y − xy+ x− y+

b 2

3 3 2

B= x + y + +z xy− yz− xz− x− y+

Lời giải

a 2 2 2

5 12 24 48 82 12 ( 4) 4( 4) 4( 4) 24 82

A= x + y − xy+ x− y+ = y − y x+ + x+ − x+ + x + x+

[ ]2 2 16

3 2( 4) ( 4) 2 , 4;

3

y x x x y R x y

= − + + − + ≥ ∀ ∈ ⇔ = =

b

2

2

3

( ) ( 2) 1

2 3

   

= − +  +  + −  + − + ≥

   

y

B z x y x y

Bài 5: Tìm GTLN 2

( )

A= + + −x y z x + y + z

Lời giải

2 2

1 1 7 1

2 ; ;

2 4 16 16 16

− −

     

− = −  +  −  + −  − ≥ ⇒ ≤ ⇔ = = =

     

A x y z A x y z

Bài 6: [ HSG – Yên Dũng – Bắc Giang ]

Tìm GTNN 2

2 2 2013

A=x + y + xy+ x− y+

Lời giải

2 2 2

2 2 2013 ( 1) ( 1) ( 3) 2003 2003 4;

A=x + y + xy+ x− y+ =x + x y+ + y+ + y− + ≥ ⇔ = −x y=

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1:Tìm GTNN của: 2

2 2 10 17

A=x − xy+ y + x− y+

Hướng dẫn

( )

2 2 1 2 10 17

A x= − x y− + y − y+ =x2−2x y( − +1) (y−1)2+2y2−10y+17−(y−1)2

 

 

( )2 ( 2 )

1 16

x y y y

= − + + − +

Bài 2:Tìm của: 2

2

B=x −xy+y − x− y

Hướng dẫn

( ) 2

2 2 2 2 . 4 2 1

2 4

y y y y

B x= −x y+ +y − y=x − x + + + + +y − y− − −y

 

( )2 2 2

4B= x y− −2 +4y −8y y− −4y−4

Bài 3:Tìm của: 2

3

C=x +xy+y − x− y

Hướng dẫn

( ) 2

2 3 3 2 . 3

2 4

y y y y y

C x= +x y− +y − y=x + x − + − + +y − y− − +

 

( )2 2 2

4C= x y+ −3 +4y −12y y− +6y−9

Bài 4: Tìm của: 2

2 12 45

D=x − xy+ y − x+ y+

Hướng dẫn

( ) ( ) ( )2 ( )

2 2 6 6 2 45 2 6 6 6 2 45 12 36 D x= − x y+ + y + y+ =x − x y+ + y+ + y + y+ − y + y+

( )2 2

6 10

x y y y

= − − + − +

Bài 5: Tìm của: 2

3 10 20

E=x −xy+ y − x− y+

Hướng dẫn

( ) 2

2 2 3 10 20 2 4 3 10 20 4

2 4

y y y y y

E x= −x y− + y − y+ =x − x − + − + + y − y+ − − +

( )2 ( 2 ) ( 2 )

4E= x y− +2 + 12y −40y+80 − y −4y+4 =(x y− +2)2 +(11y2−36y+76)

Bài 6:Tìm max của: 2

2 10

F = − +x xy− y + x+ y−

Hướng dẫn

( )

2 2 4 2 10 3 2 1 4 10 3

F x xy y x y x x y y y

− = − + − − + = − + + − +

( ) ( )2 ( )2

2 2 1 1 4 10 3 1

F x x y y y y y

− = − + + + + − + − +

Bài 7: Tìm của: ( )2 ( ) 2 2

6 16 8 10

G= x−ay + x−ay +x + y − ay+ x− y+

Hướng dẫn

( )2 ( ) ( 2 ) 2

6 16 8

G= x ay− + x ay− + + x + x+ + y − ay− y

 

( ) (2 )2 2 ( ) ( ) (2 )2

3 16 1

G= x ay− + + x+ + y − y a+ + a+ − a+

( ) (2 ) (2 ) (2 )2 ( )2

3 1

G= x ay− + + x+ + y a− − − a+ ≥ − a+

Bài 8:Tìm max của: 2

2 11

H = − +x xy−y − x+ y+

Hướng dẫn

( )

2 2 4 11 2 4 11

H x xy y x y x x y y y

− = − + + − − = − − + − −

( )2

2

2 2 4 4 11

2 4

y

y y y

H x x − − + y y −

− = − + + − − −

( ) ( )

⇒ −4H= x y− +2 2+4y2−16y−44− y2−4y+4

Bài 9:Tìm của: 2

4 11

I =x + xy+ y − y+

Hướng dẫn

( 4 4 2) 6 11 I = x + xy+ y +y − y+

Bài 10: Tìm của: 2

3 20

K =x +y −xy+ x+ y+

Hướng dẫn

( ) ( )2 ( )2

2 2

4K =4x +4y −4xy+12x+12y+80=4x −4x y− +3 y−3   + 4y +12y+80− y−3 

   

( )2 2

4K = 2x y− +3 +3y +18y+71

Bài 11:Tìm của: 2

2 2

M =x − xy+ y − y+

Hướng dẫn

( 2 2) ( 2 1)

M = x − xy y+ + y − y+

Bài 12:Tìm của: 2

2

N =x − xy+ y −x

Hướng dẫn

( ) ( )2 ( )2

2 2 1 2 2 2 2 2 2

2 4

y y

y

N x= −x y+ + y =x − x + + + + y − +

( )2 2 ( 2 )

4N = x−2y−1 +8y − 4y +4y+1

Bài 13: Tìm của: 2

2 1997

= − + − +

A x xy y x

Hướng dẫn

( ) ( ) ( )2 ( )

2 2 1 3 1997 2 1 1 3 1997 2 1 A x= − x y+ + y + =x − x y− + y− + y + − y + y+

Bài 14: Tìm của: 2

2 2 10

Q=x + y − xy+ x− y

Hướng dẫn

( ) ( ) ( )2 ( )

2 2 1 2 10 2 1 1 2 10 2 1

Q x= − x y− + y − y x= − x y− + y− + y − y− y − y+

Bài 15:Tìm của: 2

2 2

R=x + y + xy− y

Hướng dẫn

2 2 2 2 2 2 2 1 1

R x= + y + xy− y x= + xy y+ +y − y+ − =(x y+ ) (2+ y−1)2 − ≥ −1

Bài 16:Tìm của: 2

4 16 32

A= x + y − xy− y+

Hướng dẫn

( ) ( )

2 2 2

4 16 32 4 16 32

A= x + y − xy− y+ = x − xy y+ + y − y+

Bài 17:Tìm của: 2

5 4 12

B=x + y + z − xy− yz− z+

Hướng dẫn

( 4 4 2) ( 4 4 2) ( 4 4) 8

B= x − xy+ y + y − yz+ z + z − z+ +

( ) (2 ) (2 )2

2 2 8

x y y z z

= − + − + − + ≥

Bài 18:Tìm của: 2

5 12 4

C= x − xy+ y − x+

Hướng dẫn

( 2 2) ( 2 ) ( ) (2 )2

4 2.2 4

C= x − x y+ y + x − x+ = x− y + x− ≥

Bài 19:Tìm max của: 2

2

D= − −x y +xy+ x+ y

Hướng dẫn

( )

2 2 2 2 2

D x y xy x y x x y y y

− = + − − − = − + + −

( )2 2

2 2 2 2 4

2 4

y

y y y

D x x + + y y + +

− = − + + − −

Bài 20:Tìm của: 2

5

E=x + y − xy+ y−

Hướng dẫn

( ) (2 )2

2 4 4 2 2 1 4 2 1 4 4

E x= − xy+ y +y + y+ − = x− y + y+ − ≥ −

Bài 21:Tìm GTNN A a= 2+ab b+ 2−3a−3b+3

Hướng dẫn

Ta có: 4P a= 2−2ab b+ 2+3(a2+b2)+ +4 2ab−4a−4b =(a b− )2 +3(a b+ −2)2 ≥0

Bài 22:Tìm của: 2 ( )

3

G=x +xy+y − x+y +

Hướng dẫn

2

4G=4x +4xy+4y −12x−12y+12

( ) ( )2 ( ) ( )

2 2

4G=4x +4x y− +3 y−3 + 4y −12y+12 − y −6y+9

( )2 2 ( )2 ( )2

4G= 2x y+ −3 +3y −6y+ =3 2x y+ −3 +3 y−1 ≥0

Bài 23:CMR khơng có giá trị x, y, z thỏa mãn: 2

4 15

x + y + −z x+ y− z+ =

Hướng dẫn

(x2−2x+ +1) (4y2+8y+4) (+ z2 −6z+9 1)+ ≥

Bài 24:Tìm của: 2

2 2

A= x +y − xy− x+

Hướng dẫn

( ) (2 )2

2 2 2 2 1 2 1 2 2

A x= − xy y+ +x − x+ + = x y− + x− + ≥

Bài 25: Tìm của: 2

2 2 10 17

B=x − xy+ y + x− y+

Hướng dẫn

( ) ( )2 ( )

2 2 1 1 2 10 17 2 1

B x= − x y− + y− + y − y+ − y − y+ =(x y− +1)2+(y2 −8y+16)

Bài 26:Tìm của: 2

2 22

D= x + xy+ y − x− y

Hướng dẫn

( )

2 2

2D=4x +4xy+10y −16x−44y=4x +4x y− +4 10y −44y

( ) ( )2

2 2

2D=4x +2.2x y−4 + y−4 +10y −44y y− +8y−16

Bài 27:Tìm của: 2

2 6 12 2004

E= x + y − xy− x− y+

Hướng dẫn

2

2E=4x +18y −12xy−12x−24y+4008

( ) ( )2 ( )

2 2

2E=4x −12x y+ +1 y+1 +18y −24y+4008 9− y +2y+1

( )2 2

2E= 2x y− −1 +9y −42y+3999

Bài 28:Tìm của: 2

2 12 12 45

F =x − xy+ y − x+ y+

Hướng dẫn

( ) ( )2 ( )

2 2 6 6 6 12 45 12 36

F x= − x y+ + y+ + y + y+ − y + y+ =(x y− −6)2+5y2+ ≥9 9

Bài 29: Tìm GTNN biểu thức : 2

3 3

a +ab b+ − a− b+

Hướng dẫn

( )2 ( )2

2

3 3

P=a +ab b+ − a− b+ => P= a b− + a b+ − ≥

Bài 30: Tìm của: 2

6 14

A=x + y + z − yz+ zx− xy

Hướng dẫn

( )

2 2 2 3 6 14

A x= − x y+ z + y − z

( ) ( ) ( )

⇒ =A x2−2 2x y+3z + 2y+3z 2+6y2−14z2− 4y2+12yz+9z2

( )

⇒ =A x−2y−3z +2y2−12yz−23z2

Bài 31:Tìm của: 2

2 2 2 2000

B=x + y + z − xy+ xz− x− y− +z

Hướng dẫn

( )

2 2 1 2 3 2 8 2000

B x= − x y z− + + y + z − y− z+

( ) ( )2 ( )

2 2 1 1 2 3 2 2 2000 2 1 2 2 2

x x y z y z y z y z y z yz z y

= − − + + − + + + − − + − + + − − +

( )2 ( 2 2 )

1 1999

x y z y z y yz

= − + − + + − + +

( )2 2 ( ) ( )2 2 ( 2 )

1 2 2 4 1999

x y z y y z z  z z z

= − + − + − + + + + − + + +

 

( ) (2 )2 ( 2 )

1 1995

x y z y z z z

= − + − + − − + − +

Dạng 4: Tìm GTLN, GTNN biểu thức có quan hệ ràng buộc biến

Phương pháp :

- Dồn biến từđiều kiền thay vào biểu thức

- Biến đổi biểu thức thành thành phần có chứa điều kiện để thay - Sử dụng thêm số bất đẳng thức phụ :

+ a b+ ≥2 ab ( Dấu = a = b, với a, b không âm)

+ a2+b2 ≥2ab ( Dấu “=” a = b)

+ a a

+ ≥ ( Dấu “=” a = 1)

Bài 1:Tìm GTNN biểu thức sau

a 3

;

A=x +y +xy x+ =y b 2

5 ;

B= x +y x+ =y

c 2

2 ;

C=x + y x+ y= d D=2x2+5y2; 4x−3y=7

Lời giải

a 2 2

( )( )

A= x+y x −xy+y +xy=x +y Có :

2

2 2 1 1 1

1 (1 ) 2 2

2 4 2

   

+ = ⇒ = − ⇒ = − + = − + =  − + − + =  −  + ≥

   

x y x y A y y y y y y y

Dấu xảy 1;

2

x= y= b Có

2

2 2 1 5

1 (1 ) 6 ;

3 6 6 6

   

+ = ⇒ = − ⇒ = + − = − + =  − + =  −  + ≥ ⇔ = =

   

x y y x B x x x x x x x x y

c 2 1

2

3

C=x + y = y − y+ ⇒ C= ⇔ = =y x

d Ta có :

2 2

4 7

4 5( ) 98 280 245 2(7 10) 45 45

3

x x

x− y= ⇒ =y − ⇒D= x + − ⇒ D= x − x+ = x− + ≥

10

min ;

7

D x y −

⇒ = ⇔ = =

Bài 2: [ HSG – BG – 2011 ]

Cho a + b = Tìm GTNN 2

( ) ( )

A=a a + b +b b −a

Lời giải

Có a + b =

2 3 3 3

1 ( ) ( ) (1 ) (1 ) 2

b a A a a b b b a a ab b ab a b ab a a a a a a

⇒ = − ⇒ = + + − = + + − = + + = + − + − = − +

2

2 1 1

2

2 2 2

   

=  − + =  −  + ≥ ∀ ⇔ = =

a a  a  a a b

Bài 3: [ HSG – HN – 2006 - 2007 ]

Cho số thực x, y thỏa mãn: x + y = Tìm GTNN 3

A=x +y + xy

Lời giải

3 3

2 ( ) ( )

A=x +y + xy= x+y − xy x+y + xy

Theo giả thiết

3 2

2 2 (2 ) (2 ) 8 4( 1) 4

x+ = ⇒ = − ⇒ =y y x A − x − +x x −x = x − x+ = x− + ≥ ∀∈ ⇔ = =R x y

Bài 4:Cho số thực x, y thỏa mãn : x + y + = Tìm giá trị nhỏ :

3 2

2( ) 3( ) 10

A= x +y + x +y + xy

Lời giải

Ta có : 3 2

2( ) 3( ) 10 2( ) ( ) 3( ) 10

A= x +y + x +y + xy= x+y − xy x+y + x+y − xy+ xy

2

28 80 28 ( ) 80 28( 4) 32 28( 2) 32 32 2

= xy− = x − − −x = − x + x+ + ⇒ = −A x+ + ≤ ⇔ = − ⇒ = −x y

Bài 5: [ HSG – HN – 1996 - 1997 ]

Cho số thực x, y thỏa mãn: 2

4

x +y −xy= Tìm GTLN, GTNN P=x2+y2

Lời giải

Ta có:

2 2 2 2 2 2

2

4 ( )

4 x y

x y xy x y x y xy x y x y x y P

x y xy

− = 

+ − = ⇒ = + + + − = + + − ≥ + ⇒ ≤ ⇔ 

+ − =



2

x y

⇔ = = ±

Vậy GTLN P = -2 2 x y x y

= = 

⇔  = = − 

Mặt khác:

2 2 2 2

2

2

8

8 2( ) 3( ) ( ) 3( )

2

3

3

x y x y

x y xy x y x y x y P

x y xy

x y

 = − = 

+ =

 

= + − = + − − ≤ + ⇒ ≥ ⇔ ⇔

−

+ − =

  = − =



Vậy GTNN P =

2

;

8 3

2

3

;

3

x y

x y

−

 = =

  ⇔

−

 = =



Bài 6:Cho số thực x, y, z thỏa mãn: 2x+2y+ =z Tìm GTLN biểu thức

A= xy+yz+zx

Lời giải

Từ giả thiết: 2x+2y+ = ⇒ = −z z 2x−2y⇒ =A 2xy+y(4 2− x−2 )y +x(4 2− x−2 )y

2 2 2 2

2x 2y 2xy 4x 4y 2A 4x 4y 4xy 8x 8y 4x (x y 2) (y 2) (y 2) 4y 8y

= − − − + + ⇒ = − − − + + = − − + − − + − − +

2

2

4 16 16 16

(2 2) (2 2)

2

3 3 3

3

 = 

   

= − + − −  − + = − + − −  −  + ≤ ⇒ ≤ ⇔ ⇒ =

     =



x

x y y y x y y A z

y

Bài 7: Cho số thực x, y, z thỏa mãn: x + y + z = Tìm GTLN A=xy+2yz+3xz

Lời giải

Từ giả thiết

2

6 (2 ) (6 )(2 ) 18 12

z x y A xy z y x xy x y y x x y xy x y

⇒ = − − ⇒ = + + = + − − + = − − − + +

2 2 2

3A 9x 6y 12xy 54x 36y 9x (2x y 9) 6y 36y (3x 2y 9) 2y 81 81

⇒ = − − − + + = − − − − + = − + − − + ≤

3

27

0

x y x

A z

y y

+ − = =

 

⇒ ≤ ⇔ ⇔ ⇒ =

= =

 

Bài 8:Cho số thực x, y thỏa mãn: 2

2 7( ) 10

x + xy+ x+y + y + = Tìm giá trị nhỏ

của: A= + +x y

Lời giải

Từ giả thiết

2 2 2

2 7( ) 10 28 28 40 (2 7)

x + xy+ x+y + y + = ⇒ x + xy+ x+ y+ y + = ⇔ x+ y+ + y =

2

(2x 2y 7) 2x 2y 3 2x 2y x y 2 A

⇒ + + ≤ ⇒ + + ≤ ⇒ − ≤ + + ≤ ⇔ − ≤ + ≤ − ⇔ − ≤ ≤

+) A= ⇔ = −1 x 2;y=0 +) A= − ⇔ = −2 x 5;y=0

Bài 9:Tìm GTLN, GTNN S =ab+2009, với a, b, hai số thực khác

2

2

2

4

b a

a

+ + =

Lời giải

Ta có:

2

2

2

2

1

1

4 2 2 2011

4

0

 − = 

   

= + − + + − + − = −  + −  + + ≥ + ⇒ ≤ ⇒ ≤ ⇔ 

     − =



a

b b a

a a ab ab a a ab a ab ab S

b

a a

a

1; 1;

a b

a b

= − = − 

⇔  = =



Ta lại có:

2

1

1;

4 2 2007

1; 2

0

 − =

  = = −



   

= −  + +  − + ≥ − + ⇒ ≥ − ⇒ ≥ ⇔ ⇔

= − =

     + = 



a

a b

b a

a a ab ab ab S

a b

b a

a

Vậy GTNN S = 2007 ⇔( , )a b = ± ±( 1; 2)

Bài 10: [ Tuyển sinh vào 10 – TH – 2009 – 2010 ]

Cho số thực m, n, p thỏa mãn: 2

2

m

n +np+p = − Tìm GTNN, GTLN A= + +m n p

Lời giải

Theo giả thiết có:

2

2

2 2

2 2 2 2

2 2

2

3

2

2 2

2 2 2

( ) ( ) ( )

( ) 2 2

+ + = −

⇔ + + + =

⇔ + + + + + + − + + − + =

⇔ + + + − + − =

⇒ + + ≤ ⇒ − ≤ + + ≤ ⇒ − ≤ + + ≤

m n np p

n np p m

m n p mn np mp m mn n m np p

m n p m n m p

m n p m n p m n p

+)

0

2

2

3

m n

A m p m n p

m n p

 − =

 −

= − ⇔ − = ⇔ = = =

 + + = − 

+)

0

2

2

3

m n

A m p m n p

m n p

 − = 

= ⇔ − = ⇔ = = =

 + + = 

Bài 11:Cho x, y, z số thực thỏa mãn : 2

x +y +z = Tìm GTLN, GTNN

2

A= + +x y z

Lời giải

Từ 2 2 2 2 2

3 6 18 ( ) ( ) (2 ) (2 ) 18

x +y +z = ⇔ x + y + z = ⇔ x+ +y z + −x y + x−z + y−z =

2 18 3

x y z A

⇒ + + ≤ ⇒ − ≤ ≤

+)

0

2

2

3 2

2

2

x y

x z x y

A

y z

z x y z

− = 

 −

 − = = =

 

= − ⇔ ⇔

− =

  = −



 + + =



+) 2;

2

A= ⇔ = =x y z=

Bài 12:Cho số thực m, n, p thỏa mãn : 2

2 (1)

2

+ + + + + =

m n p mn mp np

Tìm GTLN, GTNN biểu thức A= + +m n p

Lời giải

2 2

2 2 2 2

2 2

2

(1) 4

3( 2 ) ( 4 ) ( )

3( ) ( ) ( )

3( ) 1

⇔ + + + + + =

⇔ + + + + + + − + + − + =

⇔ + + + − + − =

⇒ + + ≤ ⇒ − ≤ + + ≤

m n p mn mp np

m n p mn np pm m mp p n np p

m n p m p n p

m n p m n p

+)

2

1

1 ;

2

1

m p

A n p m n p

m n p

− =



− −



= − ⇔ − = ⇔ = = =

 + + = − 

+)

2

1

1 ;

2

1

m p

A n p m n p

m n p

− =

 

= ⇔ − = ⇔ = = =

 + + = 

Bài 13:Cho x + y = z = ; 2

;

A=x +y +z B=xy+yz+zx

a Chứng minh A≥B b Tìm GTNN A

c Tìm GTLN B d Tìm GTNN A + B

Lời giải

a Xét 2

( ) ( ) ( )

2

A B− =  x−y + −x z + y−z ≥ ⇒ ≥ ⇔ = =A B x y z

b Ta có :

2 2

2 2 2 2

2 2

2( )

(x y z) x y z xy yz zx x y z 2(xy yz zx) 3(x y z )

x y z xy yz zx

 + + + + + =



+ + = ⇔ ⇒ = + + + + + ≤ + +

+ + ≥ + +



9 3A A x y z

⇔ ≤ ⇒ ≥ ⇔ = = =

c 2

9=(x +y +z )+2(xy+yz+zx)≥3(xy+yz+zx)=3B⇒ ≤ ⇔ = = =B x y z

d Có: 9

3

A B

A B B x y z

B

+ =

 ⇒ + = − ≥ ⇔ = = =

 ≤ 

Bài 14:Cho a b c, , ∈ −[ 1; 2] thỏa mãn: a+ + =b c Tìm GTLN P=a2+b2+c2

Lời giải

Với x∈ −[ 1, 2], ta có: x≥ −1;x≤ ⇒2 (x+1)(x− ≤ ⇒2) x2− − ≤ ⇔x x2 ≤ +x

Áp dụng :

2 2

2 2 6 ( , , ) ( 1, 1, 2)

P=a +b +c ≤ + + + + + = + + + = ⇒a b c a b c a b c = − − ⇒GTLN=

Bài 15:Cho a b c, , ∈ −[ 1; 2] thỏa mãn a+ + =b c Tìm GTLN P=a2+b2+c2

Lời giải

Ta có : (a+1)(b+1)(c+ ≥ ⇒1) abc+ab bc+ +ca+ + + + ≥a b c

(2−a)(2−b)(2− ≥ ⇒ −c) 4(a+ + +b c) 2(ab bc+ +ca)−abc≥ ⇒0 3(ab bc+ +ca) 3(+ − a+ + ≥b c)

3(ab bc ca) ab bc ca P (a b c) 2(ab bc ca) 2(ab bc ca)

⇔ + + ≥ − ⇔ + + ≥ − ⇒ = + + − + + = − + + ≤

Dấu ‘ = ’’ xảy ⇔( , , )a b c = −( 1, 0, 2)⇒maxP=5 BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1:Tìm của: 2

3

A= x +y biết 3x+ =y Hướng dẫn

Từ 3x y+ = =>1 ( )2

1 3

y= − x⇒ =A x + − x 2 12x 6x

= − +

Bài 2:Tìm của: A=xy biết 3x+ =y

Hướng dẫn

Ta có 3x+ = ⇒y y= −1 3x=> =A x(1 3− x)= −3x2+x

Bài 3: Tìm của: 3

A=a −b −ab biết: a – b =1

Hướng dẫn

Ta có:

( )3 3 ( )

1 1

a= + => =b A b+ − − +b b b =2b2+2b+1

Bài 4:Tìm max của: B=a b biết: 3a+5b=12

Hướng dẫn

Từ giả thiết ta có: 12

3

b

a= − , thay vào 12 5 12

3 3

b

B=b − =− b + b

 

Bài 5: Tìm của: 3

C=x +y +xy biết: x+ =y Hướng dẫn

Từ giả thiết =>y= −1 x thay vào C ta được: C=x3+ −(1 x)3+xy=2x2−2x+1

Bài 6:Tìm của: 2

2

D=x + y biết: x+2y=1 Hướng dẫn

Từ giả thiết suy x= −1 2y thay vào D= −(1 2y)2+2y2

Bài 7:Tìm của: 2

2

E = x + y biết: 4x−3y=7 Hướng dẫn

Từ giả thiết suy

x

y= − thay vào E làm tiếp

Bài 8:Cho a, b>0 a+b=4, tìm GTLN P 1 1

a b

  

= −  − 

  

Hướng dẫn

Ta có: P 1 1 a b 1 1

a b ab ab ab ab ab ab

  +

= − + + = − + = − + = −

 

Do , 4

2

a b> => + = ≥a b ab => ab ≤ = =>ab≤

Khi đó: 3 3

4 4

ab ≥ => −ab ≤ − = , dấu = xày

4 2

a b

a b a b

 + =

<=> = =  =



Bài 9: Tìm của:

2

1

1

F

a b

   

= +  + + 

    , biết: a + b = a,b >

Hướng dẫn Cách 1:

Ta có:

2 2

1 a b a b b a

a b a b

+ +

 +  + +  = +  + + 

       

        =

2

2

8 a b a b

b a b a

 

 

+  + + + 

   

8 4.2 18

≥ + + =

Cách 2:

Ta có:

2

2 2 2

2 1 1

1 2 2 a b a b

F

a a b b a b a b ab a b

 

         +  +

= + +  + + + = +  +  + + = +  +  

           

2 2

2

2 a b

F

ab a b

+

= + + (1)

Mà a b+ = =>1 a2+b2 = −1 2ab thay vào (1) ta được:

2 2

2

2 ab

F

ab a b a b

−

= + + = +

Lại có: 1 2 1 2

2 16

a b+ = ≥ ab => ab ≤ =>ab≤ =>a b ≤

2 2

1 16 F 2 2 16 18

a b a b

=> ≥ => = + ≥ + =

Dấu = 1

2

a b

a b a b

 + =

<=> = =  =



Bài 10:Cho x, y thỏa mãn: 2

2

2

4 y x

x

+ + = , tìm Max của: A= x.y Hướng dẫn

Từ giả thiết ta có : 2 2

1

4 2

4

y

x x xy xy

x

 

 

= + − + + − + +

    =>

2

1

4

2

y

x x xy

x

   

= −  + −  + +

   

=>xy+ ≤ =>2 xy≤2

Bài 11: Cho hai số thực a,b ≠0, thỏa mãn: 2

2

4 b a

a

+ + = , Tìm min, max của: 2017

S=ab+

Hướng dẫn

Từ giả thiết ta có :

2

2

2

2

1

4 2

4

b b

a a ab ab a a ab

a a

 

     

= + − + + − + + = −  + −  + +

       

=>ab+ ≤ =>2 ab+2017≤2019=> ≤S 2019

Mặt khác :

2

2

2

2

1

4 2

4

b b

a a ab ab a a ab

a a

 

     

= + − + + + − + = −  + −  − +

       

=>− + ≤ =>ab ab≥ − =>2 ab+2017≥2015=>S≥2015

Bài 12:Cho hai số x,y khác thỏa mãn: 2

2

8 y x

x

+ + = , Tìm min, max của: A=xy+2024 Hướng dẫn

Từgt ta có : 2 2 2

2 2

8 16 16

8 16 8

8 4

y y y

x x x x xy xy

x x x

 

 

= + + => = + + = + − + + + − +

   

=>

2

4

8 8 16 2024 2016

2

y

x x xy xy xy A xy

x

   

= −  + +  − + => − + ≤ => ≥ − => = + ≥

   

Mặt khác :

2

2

2

2

16

16 8

4

y y

x x xy xy x x xy

x x

 

     

= + − +  + − + + = −  + −  + −

       

=>xy− ≤8 16=>xy≤ => =8 S xy+2024≤2032

Bài 13:Cho x, y ∈R khác biết: 2

8

4

x y x

+ + = , Tìm x, y để B=x y đạt đạt max Hướng dẫn

Ta có : 2 ( 2 )

2

1

4 4 4

4

x y x x y xy xy

x x

 

= + + = + − + + − + +

 

4 = ( )

2

2

1

2 4

2

x x y xy xy B xy

x

 −  + − + + => + ≤ => = ≤

 

 

Mặt khác : ( )

2

2

1

4 2 4

2

x x y xy xy B xy

x

−

 

= −  + + − + => − + ≤ => = ≥

 

Bài 14:Cho x, y > thỏa mãn: x + y = 1, Tìm của: ( )( )

4 25

A= x + y y + x + xy

Hướng dẫn

Ta có : 3 2 ( 3)

16( ) 12 12 25 12 34

A= xy + x + y + xy+ xy= x y + x +y + xy Vì x + y = nên 3 ( )( 2) ( )2

3

x +y = x+y x −xy+y = x+y − xy= − xy, thay vào A

( )

2

6 12 34

A= x y + − xy + xy, Đặt xy = t đó:

6 12

A= t − +t

Bài 15: Cho x, y số thực thỏa mãn: x y+ =1Tìm biểu thức: ( 4 )( 4 ) 8

C = x + y y + x + xy

Hướng dẫn

Ta có : C=(x2 +4y y)( 2+4x)+8xy x y= 2+4x3+4y3+16xy+8xy x y= 2+4(x3+y3)+24xy

Do x y+ = =>1 x3+y3 =(x y+ )3−3xy x y( + )= −1 3xy Thay vào C ta được :

( ) ( ) ( )2

2 4 3 24 2 12 4 2 2 36 32 6 32 32 C x y= + − xy + xy x y= + xy+ = x y + xy + − = xy+ − ≥ −

32

MinC = − , Dấu = xảy

6

x y x

xy y

 + =  =

=>

 = −  = −

 

2

x y

 = −  = 

Bài 16:Cho x, y hai số thực thỏa mãn: x + 2y = tìm của: 2

2 A=x + y

Hướng dẫn

Từgt ta có: x= −3 2y thay vào A= −(3 2y)2+2y2 =6y2−12y+9

Bài 17: Cho x, y hai số thực thỏa mãn: 2

4

x +y −xy= , Tìm max của: A=x2+y2

Hướng dẫn

Ta có : 2 2 2 2 ( )2 2 2

4 2 8

x +y −xy= => x + y − xy= => x−y +x +y =

⇒x2+y2 ≤8 hayA≤8

Mặt khác : 2 2 2 2 2 2 ( )2

8=2x +2y −2xy=>2x +2y = +8 2xy=>3x +3y = +8 x+y ≥8 => 2

3

x +y ≥

Hay

3

A≥

Bài 18: Cho x,y thỏa mãn: x+ y =2, Tìm của: 3

2

A= +x y + xy

Hướng dẫn

Từgt ta có : y= −2 x thay vào A ta : A=x3+(2−x)3+2x(2−x)

Bài 19:Cho số thực x, y thỏa mãn: x+ + =y 0, Tìm max của: ( 3) ( 2)

2 10

A= x +y + x +y + xy

Hướng dẫn

Ta có: x y+ = −4, nên 3 ( )3 ( )

3 64 12

x +y = x+y − xy x+y = − + xy,

( )2 2

2 16

x +y = x+y − xy= − xy thay vào A=2(− +64 12xy) (+3 16 2− xy)+10xy

Bài 20: Cho x, y, z ∈ R, thỏa mãn: 2x+2y+ =z 4, tìm max của: A=2xy+yz+zx

Hướng dẫn

Từ giả thiết ⇒ = −z 2x−2y thay vào A ta :

( ) ( ) 2

2 2 2 2 4

A= xy+y − x− y +x − x− y = − x − y − xy+ x+ y

Bài 21: Cho x, y, z ∈ R thỏa mãn: x+ + =y z Tìm max của: A=xy+2yz+3zx

Hướng dẫn

Từ gt => z= − −6 x y thay vào A=xy+2y(6− −x y)+3x(6− −x y)

Bài 22: Cho x,y ∈ R thỏa mãn: ( )

2 10

x + xy+ x+y + y + = Tìm max của:

3

S = + +x y

Hướng dẫn

Từgt ta có: 2

2 7 10

x + xy+ x+ y+ y + =

( )2 2

2 7 (2 7)

2 10

2 4

y

y y

x x +  + y y +

⇒ +  + + + + − =

 

2

7

0

2

x y y

 

⇒ + +  + − =

 

3

5

2 x y 2 x y

⇒ − ≤ + + ≤ => − ≤ + ≤ − ⇒ − ≤ + + ≤2 x y

Bài 23:Cho số thực m, n, p thỏa mãn: 2

1 m

n +np+p = − Tìm min, max của:

A= + +m n p

Hướng dẫn

Từgt ta có : 2 2 2

2n +2np+2p = −2 3m =>3m +2n +2p +2np=2

=> 2 ( 2 )

(m +n +p +2mn+2np+2mp)+ 2m +n + p −2mn−2mp =2 =>( ) (2 ) (2 )2

2

m+ +n p + m−p + m n− ≤ =>− 2≤ + + ≤m n p

Bài 24:Cho x, y, z số thực thỏa mãn: 2

x +y +z = , Tìm min, max của:

2

P= + +x y z

Hướng dẫn

Ta có : ( )2 2

2 4

P = x+ +y z =x +y + z + xy+ yz+ xz, nên ta nhân vào gt :

( ) ( )

2 2 2 2 2

18=6x +6y +6z = x +y +4z +2xy+4yz+4zx + 5x +5y +2z −2xy−4yz−4zx

( ) (2 ) (2 ) (2 )2

18= x+ +y 2z + x−y + 2x−z + 2y−z =>(x+ +y 2z)2 ≤18 18 x y 2z 18

− ≤ + + ≤

Bài 25:Cho số thực m, n, p thỏa mãn: 2

2

2

m + n + p + mn+mp+ np= ,

Tìm max của: B= + +m n p

Hướng dẫn

Từgt ta có : 2

4m +4n +8p +6mn+2mp+4np=3

=> ( 2 ) ( 2 )

3 m +n +p +2mn+2mp+2np + m +n +5p −4mp−2np =3 => ( ) (2 ) (2 )2

3 m+ +n p + 2p−m + n−p =3=>3(m+ +n p)2 ≤ => − ≤ + + ≤3 m n p

Bài 26: Cho x, y, z thỏa mãn: x+ + =y z 3, Tìm max của: A=xy+yz+zx

Hướng dẫn

Từ gt =>z= − −3 x y thay vào A=xy+y(3− −x y) (+x 3− −x y)=x2 −y2−xy+3x+3y

Bài 27: Cho x, y, z thỏa mãn: x + y + z = 3, Tìm max của: B= − +xy 3yz+4zx

Hướng dẫn

Từgt ta có: z= − −3 x y =>B= − +xy 3y(3− −x y)+4x(3− −x y)

⇒ = −B 4x2−3y2−16xy+9y+12x

Bài 28: Cho số thực x,y,z thỏa mãn: 2x+3y− =z 4, Tìm max A= − +xy yz+zx

Hướng dẫn

Từ gt =>z=2x+3y−4 thay vào A= − +xy y(2x+3y− +4) (x 2x+3y−4)

Bài 29:Cho số thực x,y,z thỏa mãn: 2x+3y− =z 4, Tìm max của:

12

B= xy− yz− zx

Hướng dẫn

Từgt ta có : z=2x+3y−4 thay vào B=12xy−3y(2x+3y− −4) 4x(2x+3y−4)

Bài 30: Cho hai số thực x,y thỏa mãn: x+ = −y 2, tìm của: A=2(x3+y3)−15xy+7 Hướng dẫn

Từ x + y = -2, ta có: 3 3 ( )3 ( )

3

x +y = x+y − xy x+y = − + xy thay vào

( )

2 15

A= − + xy − xy+ = − xy− y = - - x thay vào A= −3x(− − −2 x)

Bài 31: Cho hai số thực x, y thỏa mãn: x+ = −y 2, Tìm

( )

4 3 2 2

2 13

B=x +y −x −y + x y + xy x +y + xy

Hướng dẫn

( )

4 3 2 2

2 13

B=x +y −x −y + x y + xy x +y + xy

Từ x + y = - 2, ta có: 4 4 ( )2 2 2 ( )2 2 2

2 2

x +y = x+y − xy − x y = − xy − x y

3

6

x +y = xy− , x2+y2 = −4 2xy, Thay vào b ta :

( )2 2 2 ( ) 2 2 ( )

4 2 2 13

B= − xy − x y − xy− + x y + xy − xy + xy

24

B= − +xy , thay y= − − => =2 x B x2+2x

Bài 32: Cho hai số thực x, y thỏa mãn: x+ =y 5, Tìm max của:

( )

3 2

8

A=x +y − x +y +xy+

Hướng dẫn

Vì x+ =y nên x3+y3 =125 15− xy x2+y2 =25 2− xy thay vào

( )

125 15 25 2

A= − xy− − xy +xy+

Bài 33:Cho hai số x,y thỏa mãn: x + y = 5, Tìm max của:

( ) ( )

4 3 2 2

4 20

B=x +y − x +y − x +y − x y +xy

Hướng dẫn

( ) ( )

4 3 2 2

4 20

B=x +y − x +y − x +y − x y +xy Vì x + y = nên 4 4 ( )2 2 2

25 2

x +y = − xy − x y , x3+y3 =125 15− xy, x2+y2 =25 2− xy

( )2 2 ( ) ( ) 2

25 2 125 15 20 25 2

B= − xy − x y − − xy − − xy − x y +xy

Bài 34:Cho hai số x, y thỏa mãn: 4 ( )

7

x +y − =xy − xy , Tìm max của: P=xy

Hướng dẫn

Từ giả thiết suy ra: 4 2

3

x +y − xy+ x y =

=>( ) ( )

2

4 2 2 2 121

2

4 16

x − x y +y + x y − xy= => x −y + xy−  =

  =>

2 121

4 16

xy

 −  ≤

 

 

Bài 35:Cho số thực x, y thỏa mãn: 2

7x +9y +12xy−4x−6y− =15 0, Tìm max của:

2

A= x+ y+

Hướng dẫn

Từ giả thiết suy ra: ( ) ( )2 2

2x + 3y +2.2 3x y−2.2x−2.3y+ +1 3x =16 =>(2x+3y+1)2+3x2 =16

Bài 36:Cho số thực x,y,z thỏa mãn: 2

3x +2y +5z +4xy−2xz+2yz=5, Tìm max của: P= +x y

Hướng dẫn

Từgt ta có: ( 2 ) ( 2 )

2 2

x +y + xy + x +y + z + xy− xz+ yz =

=>( )2 ( 2 ) ( 2)

2 2 4

x+y + x +y +z + xy+ yz+ zx + z − xz+x =

=>( )2

5 5

x+y ≤ => − ≤ + ≤x y

Bài 37:Cho số x, y, z thỏa mãn: 3x+ +y 2z=1 Tìm max của: p=x2+y2+z2

Hướng dẫn

Từgt ta có: y= −1 3x−2z =>y2 = +1 9x2+4z2−6x+12xz−4zkhi :

2

10 12

P= x + z + xz− x− z+

Bài 38: Cho số x, y, z thỏa mãn: x + y + z = 1, Tìm max của: A=2xy+3yz+4zx

Hướng dẫn

Từ gt =>z= − −1 x y thay vào A=2xy+3y(1− −x y)+4x(1− −x y)

Bài 39:Cho x, y ∈R, thỏa mãn: x + 2y = 1, Tìm max của: P = x y Hướng dẫn

Từ gt =>x= −1 2y thay vào P= y(1 2− y)

Bài 40: Cho x, y ≥ 0, x + y = 1, Tìm min, max của: 2 A=x +y

Hướng dẫn

Từ gt =>y= −1 x thay vào A=x2+ −(1 x)2

Bài 41:Tìm max của: P= + +x y z, biết: 2

2

y +z +yz= − x

Hướng dẫn

Từ gt => 2 2 2

2y +2z +2yz= −2 3x =>3x +2y +2z +2yz=2

=>( 2 ) ( 2 )

2 2 2 2

x +y +z + xy+ yz+ zx + x +y +z − xy− zx =

=>( ) (2 ) (2 )2 ( )2

2

x+ +y z + x−y + x−z = => x+ +y z ≤

Bài 42:Cho 2

3 10 14 18

x + y + xy− x− y+ = , Tìm min, max của: S = +x y

Hướng dẫn

Từ gt => 2 ( ) ( )2 2 2

2 5 14 18 10 25

x + x y− + y− + y − y+ −y + y− =

=>( )2 ( 2 ) ( )2

5 2 9

x+ −y + y − y+ = => x+ −y ≤ =>− ≤ + − ≤3 x y

Bài 43:Cho a, b, c không âm thỏa mãn: 3a + 2c = 51 c + 5b = 21

Tìm max A = a + b + c

Hướng dẫn

Cộng theo vế giả thiết ta : 3a+3c+5b=72=>3(a b c+ + )=72 2− b≤72

Do 72 24

3

b≥ => + + ≤a b c =

Bài 44:Cho a, b, c sốkhông âm thỏa mãn: 2a + b = - 3c 3a + 4b = 3c + Tìm E=2a+3b−4c

Hướng dẫn

Cộng theo vếta :

4

4 3

2

3 2

3 c

a c

a b

b c

c

 ≤  = −

 

+ = => =>

= −

  ≥



0 a b

≥   ≥ 

Khi đó: E=2 3( − c) (+3 3c− −2) 4c= −2 c

Bài 45: Cho x y z, , ≥0, 2x+7y=2014, 3x+5z=3031, Tìm GTLN biểu thức A= + +x y z

Hướng dẫn

Cộng theo vế gt ta có: 5x+5y+5z=5045 2− y≤5045 y≥0

nên 5(x+ +y z)≤5045=> + + ≤x y z 1009

Bài 46: Cho a b+ =2,Tìm max của: ( 2)

A=ab a +b

Hướng dẫn

Ta có: 2 ( ) 2

2 4 2

a b+ = =>a +b = − ab=> =A ab − ab = − a b + ab ( 2 )

2 2

A= − a b − ab+ + ≤ , Max A=2

Bài 47: Cho x, y thỏa mãn: (11x+6y+2015)(x− + =y 3) 0, Tìm của: P=xy−5x+2016 Hướng dẫn

Từgt ta có : 11x+6y+2015=0 x− + =y

TH1: Ta có : 11 2015 11 2015

x

x+ y+ = => =y + thay vào P TH2: ta có: x− + = => = +y y x thay vào P

Bài 48: Cho số x,y,z thỏa mãn : x+ + =y z 3, Tìm GTLN :B=xy+yz+zx

Hướng dẫn

Ta có : B=xy+z x( +y)=xy+3−(x+y) ( x+y)

= ( ) ( )2 2 2

3 3

xy+ x+y − x+y = − −x y −xy+ x+ y= ( )

2

2

3

1 3

2

y

x − − y

 

− +  + − + ≤

 

Bài 49:Cho 2

3

x +xy+ y = , tìm Min max biểu thức : P= x2−2xy+2y2

Hướng dẫn

Ta có : 22 2 22

5

P x xy y x xy y

− +

=

+ +

Dạng 5: Phương pháp đổi biến số Phương pháp:

- Phân tích thành biểu thức tương đồng đểđặt ẩn phụ

- Sử dụng phương pháp nhóm hợp lý làm xuất nhân tửđểđặt ẩn phụ - Sử dụng đẳng thức (a b± ) (2, a b c+ + )2

Bài 1:Tìm GTNN biểu thức 2

( 1) ( 3)

A= x− + −x

Lời giải

Đặt 2

2 ( 1) ( 1) 2 2

y= − ⇒ =x A y+ + y− = y + ≥ ⇒ A= ⇔ = ⇒ =y x

Bài 2: Tìm GTNN A=(x−1)(x−4)(x−5)(x−8)

Lời giải

2

( 1)( 4)( 5)( 8) ( 8)( 20)

A= x− x− x− x− = x − x+ x − x+ Đặt

2 2 2

9 ( 12) 12 ( 6) 36 36 14

7

x

t x x A t t t t t t x x

x

= 

= − + ⇒ = + = + = + − ≥ − ⇔ = ⇔ − + = ⇔ 

= 

Bài 3:Tìm GTNN biểu thức A= x2−42x+1 (x≠0)

x

Lời giải

2

2

4 1

1 ( ) ( 2) 3

2

A y y y A y y x

x x x

= − + = − + = ⇒ = − − ≥ − ⇔ = ⇔ =

Bài 4:Tìm GTNN của:A=x x( −3)(x−4)(x−7)

Lời giải

( 7)( 3)( 4) ( 7 )( 7 12)

A x x= − x− x− = x − x x − x+ , đặt x2 −7x+ =6 t, đó: ( )( )6 6 36 36

A= −t t+ = −t ≥ − , dấu “ = ” 0 7 6 0

6

x

t x x

x

 = = <=> − + = <=> 

= 

Vậy Min A = - 36 x = x =

Bài 5:Tìm GTNN của: ( )( )( )

1

B= x− x− x − x+

Lời giải

( 4 5)( 4 5)

B= x − x+ x − x+ , Đặt x2−4x+ =4 0 Khi đó: ( )( )1 1 1 1

B= −t t+ = − ≥ −t , Dấu “ = “ t2 = <=>0 x2 −4x+ = <=> =4 0 t 2

Bài 6: Tìm của: A=x x( +2)(x+4)(x+ +6)

Lời giải

( 6)( 2)( 4 8) ( 6 )( 6 8 8)

A x x= + x+ x+ + = x + x x + x+ + , Đặt x2 +6x+ =4 t Khi đó: ( )( )4 4 8 16 8 8 8

A= −t t+ + = −t + = − ≥ −t , Dấu “ = ” Khi đó:

2 0 6 4 0

3

x

t x x

x

 = − + = <=> + + = <=> 

 = − − 

Bài 7: Tìm GTNN của: B=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)

Lời giải

( 1)( 4)( 2)( 3) ( 5 4)( 5 6)

B= x+ x+ x+ x+ = x + x+ x + x+ , Đặt x2 +5x+ =5 t, Khi đó: ( )( )1 1 1 1

B= −t t+ = − ≥ −t , Dấu “ = “ 0 5 5 0 5

2

t = <=>x + x+ = <=> =x − ±

Bài 8:Tìm GTNN của: ( )( )

6

A= x + −x x + +x

Lời giải

Đặt x2 + − =x 2 t Khi đó: A= −( )( )t 4 t+4 = −t2 16≥ −16

Dấu “ = “ xảy khi: 0 2 0

2

x

t x x

x

 = = <=> + − = <=> 

= − 

Bài 9:Tìm GTNN : C=(x−1)(x+2)(x+3)(x+6)

Lời giải

( 1)( 6)( 2)( 3) ( 5 6)( 5 6)

C= x− x+ x+ x+ = x + x− x + x+ , Đặt x2+5x t= Khi đó: ( )( )6 6 36 36

C= −t t+ = −t ≥ − , Dấu “ = ” 0 5 0

5

x

t x x

x

 = = <=> + = <=> 

= − 

Bài 10: Tìm GTNN của: D=(2x−1)(x+2)(x+3 2)( x+1)

Lời giải

(2 1)( 3)( 2 2)( 1) (2 5 3 2)( 5 2)

D= x− x+ x+ x+ = x + x− x + x+ , Đặt 2x2+5x t= , Khi đó: ( )( )3 2 6 25 25

2 4

D= −t t+ = − − = −t t t  − ≥ −

  , Dấu “ = “ khi:

2

1 2 5 29

2

t = <=> x + x= <=> =x − ±

Bài 11: Tìm của: C=(x+1)(x+2)(x+3)(x+ +4) 2011

Lời giải

( )(1 4)( 2)( 2011)

C= x+ x+ x+ x+ + =(x2+5x+4)(x2 +5x+6)+2011, Đặt x2+5x+ =5 t

Khi đó: ( )( )1 1 2011 5 5 0 5

2

C= −t t+ + <=>x + x+ = <=> =x − ±

Bài 12: Tìm max của: E= + −5 (1 x)(x+2)(x+3)(x+6)

Lời giải

( )( )( )( ) ( )( )

5 6

E= − x− x+ x+ x+ = − x + x− x + x+ + , đặt x2+5x t=

Khi đó:E= − −( )( )t 6 t+6 + = −5 (t2−36)+ = − +5 t2 41 41≤

Dấu “ = “ Khi 0 5 0

5

x

t x x

x

 = = <=> + = <=> 

= − 

Bài 13:Tìm GTNN của: M =(x−1)(x+2)(x+3)(x+6)

Lời giải

( 1)( 6)( 2)( 3) ( 5 6)( 5 6)

M = x− x+ x+ x = = x + x− x + x+ , Đặt x2+5x t=

Khi đó:M = −( )( )t 6 t+6 = −t2 36≥ −36 , Dấu “ = ” 0 5 0

5

x

t x x

x

 = = <=> + = <=> 

= − 

Bài 14:Tìm của: ( )( )( )

1 2014

D= x+ x − x+ +

Lời giải

( 1)( 2)( 2)( 5 2014) ( 3 10)( 3 2) 2014

D= x+ x+ x− x+ + = x + x− x + x+ + , Đặt x2+3x− =4 t

Khi đó: D= −( )( )t 6 t+ +6 2014= +t2 1978 , Dấu “= “ xảy khi:

2 0 3 4 0

4

x

t x x

x

 = = <=> + − = <=> 

= − 

Bài 15:Tìm GTNN của:

6 10

C =x − x + x − x+

Lời giải

( 4 2 2) ( 2 ) ( 2 )2 ( )2

2.3 9 3

C= x − x x+ x + x − x+ = x − x + x− ≥

Bài 16: Tìm GTNN của: ( ) (4 )4

8

D= x+ + x+

Lời giải

Đặt: ( ) (4 )4

7 1 12 2

x+ = =>y D= y+ + y− = y + y + ≥

Bài 17:Tìm max của: ( )4 ( )4

2 3

F = − x+ − x−

Lời giải

Đặt x− = => = −2 t F 3(t+3)4−3( )t−3

( 2 ) (2 2 )2 4 2 ( 4 2)

3 9 324 484 54 484

F t t t t t t t t

− = + + + − + − = + + = + +

( 2 )2

6 27 3890 3890

F= − t + + ≤

Bài 18: Tìm của: ( ) (4 )4

3

G= x+ + x−

Lời giải

Đặt x− = => = +2 t G ( ) ( )t 5 + −t 5 =(t2+10 25t+ ) (2+ t2−10 25t+ )2

( ) ( )2

4 4 4

2 300 1250 2.75 5625 10 75 10 10

G= t + t + = t + t + − = t + − ≥ −

Bài 19: Tìm của:

6 11 12 20

I =x − x + x + x+

Lời giải

( )

4 6 11 12 20 2 6 9 2 12 20 I x= − x + x − x+ =x x − x+ + x − x+

( )2 ( ) ( )2 ( )2

2 3 2 6 9 2 3 2 3 2 2

I x x= − + x − x+ + =x x− + x− + ≥

Bài 20:Tìm sốngun m lớn cho BĐT ln với x:

( )( ) (2 )

1

x+ x+ x+ ≥m

Lời giải

( )( )( )2 ( 2 )( 2 )

1 4

VT = x+ x+ x+ = x + x+ x + x+ , Đặt x2+4x t= , Khi đó: ( )( )3 4 7 12 2 .7 49 12 49 1

2 4 4

VT = +t t+ = + +t t = +t t + + − = +t  − ≥ −

 

Dạng : Sử dụng bất đẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối

a Định nghĩa:

0

A A A

A A A

 = ⇔ ≥

 

= − ⇔ ≤ 

b Tính chất

+) ∀ ∈ ⇒A R A ≥0; A ≥ A

+) ∀x y, ∈ ⇒ + ≤R x y x + y ⇔xy≥0 +) ∀x y, ∈ ⇒ − ≥R x y x − y ⇔(x−y y) ≥0

Bài 1:Tìm GTNN biểu thức sau

a A= − + −x x b B= − + − + −x x x

c C= − + − + − + −x x x x d D= + + + + − + −x x x x e E= + + + + + + + + + + +x x x x x x

Lời giải

a A= − + − = − + − ≥ − + − =x x x x x x = ⇒ ≥ ⇔4 A (x−3)(7−x)≥ ⇔ ≤ ≤0 x b B= − + − + −x x x

Ta có : B= − + − = − + − ≥x x x x 2(1)⇔(x−1)(3−x)≥ ⇔ ≤ ≤0 x Mà : x− ≥ ⇔ =2 x 2(2)⇒ ≥ ⇔ =C x

c C= − + − + − + −x x x x

Ta có : x− + − = − + − ≥ ⇔ ≤ ≤1 x x x x 3;x− + − = − + − ≥ ⇔ ≤ ≤2 x x x 2 x

4 4

C C x

⇒ ≥ ⇒ = ⇔ ≤ ≤

d D= + + + + − + −x x x x

Áp dụng bất đẳng thức M ≥ ∀ ∈M M R

Ta có : D= + + + + − + − ≥ + + + + − + − =x x x x x x x x 22∀ ∈x R

5

2

min 22

7

8

x x

x x

D x

x x

x x

+ ≥ ≥ −

 

 + ≥  ≥ −

 

⇒ = ⇔ ⇔ ⇔ − ≤ ≤

− ≥ ≤

 

 − ≥  ≤

 

e Ta có :

1 6

E= + + + + + + + + + + + = − − + − − + − − + + + + + +x x x x x x x x x x x x

1

E x x x x x x x R E x

⇒ ≥ − − − − − − + + + + + + = ∀ ∈ ⇒ = ⇔ − ≤ ≤ −

Bài 2:Cho số thực x Tìm GTNN biểu thức sau

a A= + + − + −x x x b B= − + − + − + − + −x x x x x

Lời giải

a A= + + − + − = + + − + − ≥ + + − ≥ + + − = ∀ ∈x x x x x x x x x x x R

Dấu ‘ = ’

3

2 2

5

x x

x x x

x x

+ ≥ ≥ −

 

 

⇔ − = ⇔ = ⇔ =

 − ≥  ≤

 

b B= − + − + − + − + − = − + − + − + − + −x x x x x x x x x x

2 6

x x x x x x x x x R x

≥ − + − + − + − ≥ − + − + − + − = ∀ ∈ ⇔ =

Bài 3:Cho số thực x Tìm GTLN biểu thức sau

a A= + − −x x b B= − −x 3x− − −5 x

Lời giải

a A= + − −x x

Áp dụng bất đẳng thức : x − y ≤ − ∀x y x y, ∈ ⇔R y x( −y)≥0

5 ( 2) max ( 2)( 2)

A= + − − ≤ + − −x x x x = ∀ ∈ ⇒x R A= ⇔ x− x+ − +x ≥ ⇔ ≥x

b B= − −x 3x− − −5 x Vì

5

5 4

( 4)( 4)

x x

x B x x x x x

x x x x

− = =

 

− − ≤ ⇒ ≤ − − − ≤ − − + = ⇔ ⇔ ⇔ =

− − − + ≥ ≥

 

Bài 4:[ Chuyên LHP – 2003 ] Cho số thực x Tìm GTNN

1 2

A= x− − x− + x+ − x+

Lời giải

Đặt 2 2 2

2( 0) 2 ( 1) ( 3)

t= x− t≥ ⇒ = − ⇒ = − ⇒ =t x x t A t − + +t t − + =t t− + t−

1

1 3 3 11

3

t

t t t t t x x

t

− ≥ 

= − + − ≥ − + − = ⇔ − ≥ ⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤ − ≤ ⇔ ≤ ≤



Bài 5: Cho số thực x Tìm GTNN biểu thức sau a A= x− +4 x− +5 x− −1 x−5 (x≥5) b B= x−2 x− +1 x+ −3 x− +1 x+ −8 x−1(x≥1)

Lời giải

a Đặt

2 2

5( 0) ( 1) (2 ) 2

t= x− t≥ ⇒ = + ⇒ =x t A t+ + −t = + + − = + + − ≥ + + − =t t t t t t

3 2 5

A= ⇔ − ≥ ⇔ ≤ ⇔t t x− ≤ ⇔ ≤ ≤x

b Đặt 2 2

1( 0) ( 1) ( 2) ( 3)

t= x− t≥ ⇒ = − ⇒ =x t A t− + t− + t− = − +t t− + −t

1

1 3 2 2

3

t

t t t t t t x x A x

t

− ≥  

≥ − + − ≥ − + − = ⇔ = ⇔ = ⇔ − = ⇔ = ⇒ = ⇔ =

 ≤ 

Bài 6: (HSG Tỉnh Sóc Trăng năm 2014 – 2015)

Tìm GTNN A= + + − +x x 2012

Lời giải

Ta có A= + + − +x x 2012= + + − +x x 2012 Lại có : x+ ≥ + ⇔ ≥ −3 x x

Mà 2− ≥ − ⇔ ≤ ⇒ = + + − +x x x A x x 2012≥ + + − +x x 2012=2017 Vậy MinA=2017⇔ − ≤ ≤3 x

Bài 7:(HSG Tỉnh Quảng Ngãi năm 2015 – 2016)

Tìm GTNN A= + + − + − −x x x

Lời giải

Ta có A= + + − + − − = + + − + − −x x x x x x Lại có

1 1; 3 3; 4 4

x− ≥ ⇔ =x x+ ≥ + ⇔ ≥ −x x − ≥ − ⇔ ≤ ⇒ ≥ + + + − − =x x x A x x

Vậy MinA= ⇔ =4 x

Bài 8: (Tạp chí Tốn học tuổi trẻ số 420) Tìm GTNN

( )

1 n 2017 n

A= −x a + −x a + + −x a + a <a < <a

Lời giải

- Trường hợp n=2k⇒ = −A x a1 + −x a2 + + − x ak + ak+1− +x ak+2− + +x a2k− +x 2017

Ta có x−ai ≥ − ⇔ ≥ ∀ =x ai x a ii 1, ;k ak+1− ≥x ak+j − ⇔ ≤x x ak+j∀ =j 1,k

( )

1 k k k 2k 2017 k k 2k

A x a x a x a a + x a + x a x a + a + a

⇒ ≥ − + − + + − + − + − + + − + = + + + −

(a1+a2+ + ak)+2017⇔ak ≤ ≤x ak+1 - Trường hợp

1 2

2 k k k k k 2017

n= k+ ⇒ = −A x a + −x a + + −x a + −x a + + a + − +x a + − + +x a − +x

Ta có: x−ak+1 ≥ ⇔ =0 x ak+1;ak+j − ≥x ak+1− ⇔ ≤x x ak+j∀ =j 1,k

Lại có x−ai ≥ − ⇔ ≥ ∀ =x ai x a i 1, ;k ak+j − ≥x ak+j− ⇔ ≤x x ak+j∀ =j 1,k

( )

1 k k 2k 2017 k k 2k

A x a x a x a a + x a + x a + a + a +

⇒ = − + − + + − + + − + + − + = + + + −

Bài 9: (HSG Tỉnh Yên Bái năm 2015 – 2016) Tìm GTNN A= 5x+ +3 2x− − +3 x

Lời giải

Ta có 3 3 3

5

A= x+ + x− − + =x x+ + x+ + x− − +x

Mặt khác 3;3 3 3

5 5 5

x+ ≥ ⇔ =x − x+ ≥ x+ ⇔ ≥x −

 

Lại có 3 3 3 29 29

2 5 5

x x x B x  x MinB x −

− ≥ − ⇔ ≤ ⇒ ≥ +  + + − + = ⇒ = ⇔ =

 

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1:(Chuyên Toán Quảng Ngãi năm 2014 – 2015)

Tìm GTNN A= 4x+ +3 5x− +7 2x− −9 15

Lời giải

Ta có

5

MinA=− ⇔ =x

Bài 2: Tìm GTNN A= − + − + − + −x x x x

Lời giải

Ta có MinA= ⇔ ≤ ≤4 x

Bài 3: Tìm GTNN ( )2

2 2

A= x− − x− +

Lời giải

Ta có

4

Min A=− ⇔ =x hay

4

x= −

Bài 4:Tìm GTNN A= − + − + − + + −x x x x 1998

Lời giải

Ta có

999 999 1000

Min A= ⇔ ≤ ≤x hay

4

x= −

(a1+ +a2 ak)+2017⇒MinB=(ak+2+ak+3+ + a2k+1) (− a1+ +a2 ak)+2017⇔ =x ak+1

Bài 5:(Chuyên Toán Quảng Ngãi năm 2015 – 2016) Tìm GTNN

3 11

A= x + + x − + x −

Lời giải

Ta có ( 11 3)

11 11

Min A= − + ⇔ =x hay

4

x= −

Bài 6:(Chuyên Tốn Quảng Trịnăm 2015 – 2016) Tìm GTNN

5 2 2017

A= x − + x + + x+

Lời giải

Ta có 2018

2

Min A= + − ⇔ =x − hay

4

x=−

Dạng 7: Dạng phân thức A Phân thức có tử số, mẫu tam thức bậc hai

Phương pháp: Biểu thức dạng đạt giá trị nhỏ mẫu đạt giá trị lớn

min ax

2 ( )m

m

A A ax bc c

ax bc c

= ⇒ ⇔ + +

+ +

Bài 1:Tìm GTLN GTNN biểu thức sau

a) 2

9 12 10

A

x x

=

− + b) 2

4

B

x x

=

+ +

c) 2 2( 0)

9 12

y

C x

x xy y

= ≠

− +

Lời giải

a 2 ax

1 1

9 12 10 (3 2) 6 m

A A x

x x x

= = ≤ ⇒ = ⇔ =

− + − +

b ax

2

2 2 8

1 15

4 15 15

( )

2

m

B B x

x x

x

−

= = ≤ = ⇒ = ⇔ =

+ + +

c 2 2 ( 0)

9 12

y

C x

x xy y

= ≠

− +

+) y= ⇒ =0 A

+) 2

2

1 1 2

0 ( )

9 12 (3 2) 3

9 12

x

y A t t x y

x x t t y t

y y

≠ ⇒ = = = = ≤ ⇔ = ⇔ =

− + − +

− +

Bài 2:Tìm GTNN GTLN biểu thức sau

a) 2

1

y

x x

=

+ + b)

2

y

x x

=

− − c)

2

2

3

( 0)

25 20

= ≠

− + −

y

A x

x xy y

Lời giải

a) Ta viết: 2

1

1 1 3

2

y

x x

x

= =

+ +  

+ +

 

 

Vì

2

1 3

2 4

x y x −

 +  + ≥ ⇒ ≤ ⇔ =

 

 

Vậy GTLN

y=

2

x=−

b) Ta có:

2

2 2

2 1 2 1

; (3 1) 4

6 (3 1) (3 1) 4 (3 1) 4

y x x x

x x x x x

− − − −

= = − + ≥ ∀ ⇒ ≤ ⇒ ≥ = ⇔ =

− − − + − + − +

c) y= ⇒ =0 A

+) 2 2 2

2

3 3

0

25 20 (5 2)

25 20

y A

x x t t t

y y

−

≠ ⇒ = = =

− + − − +

− + −

Vì

2

1 2

(5 2)

(5 2) 5

t A t x y

t

− ≥ ⇒ ≤ ⇒ ≥ − ⇔ = ⇔ =

− +

Bài 3: Tìm GTLN biểu thức sau

a) 2

2

A

x x

=

− − b)

1 11

B

x x

=

− +

Lời giải

a)

( )2

5 5

1

2 6

A maxA x

x x x

−

= = ⇒ = ⇔ =

− − − −

b) 2 1

4 11

B x

x x

= ≤ ⇔ =

− +

Bài 4: Tìm của: 2

4

B

x x

=

− +

Lời giải

Ta có : x2−4x+ =9 (x−2)2+ ≥5 5

( )

2

1 1 2 5

B

x x x

=> = = ≤

− + − + , Dấu “ = “ x=2

Bài 5:Tìm max của: 2

5

C

x x

− =

− +

Lời giải

Ta có :

2

2

5 21 21 12

2 4 21

x x x C

x x

  − −

− + = −  − ≥ => = ≤ =

− +

  , dấu “ = ’’

5

x=

Bài 6:Tìm max của: 2 D x x = − + −

Lời giải

Ta có : − +x2 2x− = −3 (x2 −2x+3)= − −(x 1)2 − ≤ −2 2

2

6 3

2

2

x x

=> ≥ = −

−

− + −

Bài 7: Tìm max của: 22

K x

= +

Lời giải

Ta có :

2

2

8

8

x

x

+ ≥ => ≤ =

+

Bài 8:Tìm max của: 2

1

M

x x

=

+ +

Lời giải

Ta có :

2

2

1 3 16

2 4

x x x

x x

 

+ + = +  + ≥ => ≤

+ +

 

B Phân thức có mẫu bình phương nhị thức

Cách 1: Tách tửthành nhóm có nhân tử chung với mẫu

Cách 2: Viết biểu thức A thành tổng số với phân thức không âm

⇒Ta đưa dạng: = +  ≥0

 

C C

A m

D D

Bài 1:Tìm GTNN biểu thức sau a 22 ( 1)

2 − + = ≠ − + x x A x

x x b

2 ( 1) ( 1) − + = ≠ − x x B x x

c 2 ( 2) ( 2) − + = ≠ − x x C x

x d

2

2 16 41

( ) 22 − + = ∈ − + x x

D x R

x x

e 42 22 ( 1) x x E x − − =

+ f

2

3 12 10 x x F x x − + = − +

Lời giải

a 22 ( 1) 2( 2 2 1) ( 2 4) ( 2)22 2

2 ( 1) ( 1) ( 1)

− + − + − + −

= ≠ = + = + ≥ ⇔ =

− + − − −

x x x x x x x

A x x

x x x x x

Cách khác: ( )

( )

2

2

2

3( 1) 1

3

2 ( 1) 1

− + − − +

− +

= = = +

− + − − −

x x x

x x A

x x x x x

Đặt 2 ( )2

3 2 1

1

y A y y y A y x

x x

= ⇒ = − + = − + ≥ ⇒ = ⇔ = ⇔ = ⇔ =

− −

b 21( 1) 4 2 2 21 23 ( 1)22 3

( 1) 4( 1) 4( 1) 4( 1) 4( 1) 4

x x x x x x x x x

B x x

x x x x x

− + − + + + − + +

= ≠ = = + = + ≥ ⇔ = −

− − − − −

c Đặt 2

= ⇒ = +

−

t x

x t đó:

2

2 1 2

4 4(2 1) (2 1) 5( 1) 1

     

=   +  −  + + = + − + + = + − ≥ −

   

 

 

A t t t t t t

t t ⇔ = − ⇔ =t x

d 22 22

2 16 41 2( 22) 3

( )

8 22 22 ( 4)

x x x x

D x R

x x x x x

− + − + −

= ∈ = = −

− + − + − +

Vì 2

2

3

( 4) ( 4) 6

( 4) 6

x x x − ≥ ⇒ − + ≥ ⇒ ≤ = − +

3 3

2 ( 4)

( 4) 2

D A x x

x

= − ≥ − = ⇒ = ⇔ − = ⇔ =

− +

e 4 2

2 2 2 2

4 4( 1) 9( 1)

4

( 1) ( 1) ( 1)

− − + + − + +  

= = = − + = − +  = 

+ + + +  + 

x x x x x

E t t t

x x x x x

2 81 4 16   = −  − +   E t Ta có:

9 9 1 17

1 2 1

4 4 16 16 16

−  

≤ ⇒ − ≤ − = ⇒ −  ≥ ⇒ ≥ − = − ⇔ = ⇔ =

 

t t t A t x

Lời giải ngắn gọn hơn

4 2

1

( 1) x x

E A x

x

+

+ = ≥ ⇒ ≥ − ⇔ =

+

Cách khác: 24 2 22 12 1

( 1) ( 1)

x x E x x x + = − ≥ − = − ⇔ = + +

f 22 2

3 12 10 5

3 3

4 5 ( 2)

x x

F

x x x x x

− +

= = − = − ≥ − = −

− + − + − +

Do

2

( 2) 1

( 2)

x x

x

−

− + ≥ ⇒ ≥ − ⇔ =

− +

Bài 2: Tìm GTLN biểu thức sau a 22 10( 1)

2 x x A x x x + + = ≠

+ + b

2 11 ( 1) x x B x x x − + − = ≠ − +

c 2 ( 5)

10 25

x

C x

x x

= ≠ −

+ + d

2 14 ( 1) x x D x x x + − = ≠ − +

Lời giải

a 22 10 3( 22 3) 12 12

2 3 ( 1) ( 1)

x x x x

A

x x x x x x

+ + + +

= = + = +

+ + + + + + + +

Có: 2

ax

1 1 7

( 1) ( 1) 2

( 1) 2 2 m

x x A A x

x

+ ≥ ⇒ + + ≥ ⇒ ≤ ⇒ = + = ⇒ = ⇔ = −

+ +

b 22 2 2

11 1 11 ( 1) ( 1) 11 11

1

2 ( 1) ( 1) ( 1)

x x x x x x x

B

x x x x x x

− + − − + − − + − − − − − −

= = = = − − −

− + − − − −

Đặt 2

2

1 1 1

1 11 (11 1) 11

1 22 22 22 11

   

= ⇒ = − − − = − + + = −  + + − + 

− y A y y y y  y y  

x

2

1 43 43 43

11 11 21

22 44 44 22 44 22

    −   − −

= −  +  + = −  +  ≤ ⇔ = ⇔ = −

   

 

 y  y y x

c

2 2

( 5) 5

( 5)

10 25 ( 5) ( 5) ( 5)

+ −  

= ≠ − = = = − = −  = 

+ + + + + +  + 

x x x

C x t t t

x x x x x x x

2

2 1 1 1

5 5

10 20 20 20 10 10

−

 

⇒ − = − =  −  − ≥ ⇒ ≤ ⇔ = ⇔ = ⇔ =

+

 

A t t t A t x

x

d 22 14( 1)

x x

D x

x x

+ −

= ≠

− + Đặt

1

1

= ⇒ = +

−

t x

x t

2

2 1 2

1 14 ( 1) ( 1) 14 (3 1) 2

    

=  +  +  + − = + + + − = − − + ≤

   

 

 

A t t t t t t

t t

1

2

3

D= ⇔ = ⇔ =t x

Bài 3: Tìm GTNN, GTLN 27 2

2

y xy A

x xy y

− =

− +

Lời giải

Điều kiện ( , )x y ≠(0, 0)

+) 2 922 ( )2 2

( ) ( )

x xy y x y

A A x y

x y y x y y

− + −

+ = = ≥ ⇒ ≥ − ⇔ = ≠

− + − +

+) ( 2 42 2) (2 2 )22 1;

( ) ( )

y xy x x y

A A x y

x y y x y y

− + − − −

− = = ≤ ⇒ ≤ ⇔ = =

− + − +

Bài 4: Tìm GTNN biểu thức 21 ( ;) 23 ( 1)

( 1) ( 1)

+ + − +

= ≠ − = ≠

+ −

x x x x

A x B x

x x

Lời giải

2

2

2 2

1 ( 1) 1 1

1

( 1) ( 1) ( 1)

+ + + + − − +  

= = = − + = − +  = 

+ + + +  + 

x x x x x

A y y y

x x x x x

2

min

1 3

1

2 4

 

= −  + ≥ ⇒ = ⇔ = ⇔ =

 

A y A y x

+) 2

2 2

3 ( 1) 1 1

1

( 1) ( 1) ( 1)

− + − + − + +  

= = = − + = − +  = 

− − − −  − 

x x x x x

B y y y

x x x x x

2

1 3

3

2 4

 

= −  + ≥ ⇔ = ⇔ =

 

B y y x

Bài 5:Tìm GTNN biểu thức 2 2 x y A

x xy y

+ =

+ +

Lời giải

Ta có: ( ) ( )

( )

( )

( )

2

2 2

2

2

1

1 1

2 .

2 2 2

x y x y x y

x y

A minA x y

x xy y x y x y

 + + −  −

+  

= = = + ≥ ⇒ = ⇔ =

+ + + +

Bài 6:Tìm GTNN biểu thức 22 10 ( 1)

2

− −

= ≠

− +

x x

A x

x x

Lời giải

Ta có: ( ) ( )

( ) ( )

2

2

2

2

2

2 10

2 3

2 1 1

x x x

x x

A

x x x x x x

− + − − −

− −  

= = = + − = − +  + ≤

− + − − −  − 

Vì

2

3

1

1

 

− +  ≤ ∀ ≠ ⇒ = ⇔ + = ⇔ = −

− −

x  x maxA x x

Bài 7:Tìm max của: 2

4

x x G

x

− +

=

Lời giải

2

4

1

G

x x

= − + , đặt t G t2 4 1t (t 2)2 3 3

x = => = − + = − − ≥ −

Bài 8:Tìm max của: 22

2

x x E

x x

− +

=

− +

Lời giải

Đặt x− = => = + =>1 t x t 1 x2 = + +t2 2 1t

( ) ( ) 2

2 2

3 1 3 2 1 2 1

3

t t t t t

E

t

t t t

+ + − + + − +

= = = − + ,

Đặt : a E a2 2a 3 (a 1)2 2 2

t = => = − + = − + ≥

Bài 9: Tìm max của:

( )

2

4

2

x x F

x

− +

=

+

Lời giải

Đặt 2 1 2

2

t t t

x+ = => =t x − =>x = − + , đó:

( )

2 2

2 2

2 1 5 5 5 5

t t t t t

F

t

t t t

− + − − + − +

= = = − + , đặt a F 1 5a 5a2

t = => = − +

Bài 10: Tìm max của:

( )2 10

x H

x

= +

Lời giải

Đặt x 10 t x t 10 H t 210 102

t

t t

−

+ = => = − => = = − , đặt a H 10a2 a

t = => = − +

Bài 11:Tìm max của:

( )2

2016

x I

x

= +

Lời giải

Đặt x 2016 t x t 2016 I t 2016 20162 2

t

t t

−

+ = => = − => = = − , Đặt a I a 2016a2

t = => = −

Bài 12:Tìm max của: D x2 2x2 2000 x

− +

=

Lời giải

Ta có : D 20002

x x

= − + , Đặt a D 1 2a 2000a2 x = => = − +

Bài 13:Tìm max của: 2 20152

2015 x x E

x

− +

=

Lời giải

Ta có : 2015E x2 2x2 2015 20152

x

x x

− +

= = − + , đặt a 2015E 1 2a 2015a2

x = => = − +

2 .

2015 2015

E a a

=> = − +

Bài 14:Tìm max của:

( )2

2000

x F

x

= +

Lời giải

Đặt x 2000 t F t 2000 20002 2

t

t t

−

+ = => = = − , Đặt a F a 2000a2

t = => = −

Bài 15: Tìm max của:

( )

2

2

1

2

x x B

x x

− + =

+ +

Lời giải

( )

2

1

x x B

x

− + =

+ ,Đặt

2

1

x+ = => = − =>t x t x − +t

2

3 1 3

t t B

t

t t

− +

=> = = − + , Đặt a B 3a2 3a 1 t = => = − +

Bài 16:Tìm max của: A 2x2 42x x

+ +

=

Lời giải

2

4

2

A

x x

= + + , Đặt a A 4a2 4a 2

x = => = + +

Bài 17: Tìm max của: B x2 2x2 2012 x

− +

=

Lời giải

2

2 2012

B

x x

= − + , Đặt a B 2012a2 2a 1

x = => = − +

C Tìm GTLN, GTNN phân thức có dạng khác

Cách 1: Tách tửthành nhóm có nhân tử chung với mẫu

Cách 2: Viết biểu thức A thành tổng số với phân thức không âm

1 Bậc tử nhỏhơn bậc mẫu Bài 1: Tìm GTNN biểu thức sau a 2 12

4

x A

x

+ =

+ b

2

x B

x

+ =

+

c C=(x+2)(x+8) (x>0)

x

Lời giải

a 82 12 216 ( 2 4)2

4 4

x x x x x

A x

x x x

+ + + − − +

= = = − + ≥ − ⇔ = −

+ + +

b 42 ( 24) ( 2) ( 2 2)2 1

2 2

x x x x x

B x

x x x

+ + + − + +

= = = − ≥ − ⇔ = −

+ + +

c C (x 2)(x 8)(x 0) (x 4)2 18 18 x

x x

+ + −

= > = + ≥ ⇔ =

Bài 2: Tìm GTNN, GTLN biểu thức sau a [ HSG – Thanh Chương – 2011] 42

1

x A

x

− =

+ b 2

2

x B

x

+ =

+

c 42

x C

x

+ =

+ d

4

x D

x

+ =

+

e 42

4

x E

x

=

+

Lời giải

a [ HSG – Thanh Chương – 2011]

2 2

2 2

3 4 ( 2)

1 2

1 1

x x x x x

A x x

x x x

− − + − − −

= = = − ≥ − ⇔ − = ⇔ =

+ + +

+) 2 2 2 ax

3 4 4 (2 1)

4 4

1 1 m

x x x x x

A A x

x x x

− + − − − + −

= = = − ≤ ⇒ = ⇔ =

+ + +

Cách khác:

Nháp để nhẩm GTLN GTNN có :

2

2

3 3 4 . 4 3 0

1

x

a ax a x a x x a

x

−

= = + = − => + + − =

+ ,

Xét 16 4 12 0

4

a

a a

a

 = −

∆ = − + = => 

= 

Khi ta có : 42 1 24 1 1

x x x

K

x x

 −  + +

= + − = − ≥ −

+ +

  , Dấu = x= −2

Mặt khác : 42 4 22 4

1

x x x

K

x x

 −  − − −

= − + = + ≤

+ +

  , Dấu = khí

1

x= −

b 22 2 2 2( 2)

x x

B

x x

+ +

= =

+ +

+) 2 2 2

2 ( 4) ( 2) ( 2) 1

2

2 2( 2) 2( 2) 2( 2) 2

x x x x x x

B A x

x x x x

+ + + + − + + − −

= = = = − ≥ ⇒ = ⇔ = −

+ + + +

+) 2 22 22 2 ax

2 2 ( 1)

1 1

2 2( 2) 2 m

x x x x x x

B A x

x x x x x

+ + − + − + − −

= = = + = + ≤ ⇒ = ⇔ =

+ + + + +

c 42 2 ( 2 2)2 1

1 1

x x x x x

C x

x x x

+ + + − − +

= = = − ≥ − ⇔ = −

+ + +

+) 42 4 2 4 (22 1)2 4

1 1

x x x x x

C x

x x x

+ − + − + + − −

= = = + ≤ ⇔ =

+ + +

d 2 (4 24) (4 1) (2 2 2)2 1

4 4

x x x x x

D x

x x x

+ + + − + +

= = = − + ≥ − ⇔ = −

+ + +

+) 2 16 (162 1) (4 2 1)2

4 4

x x x x x

D x

x x x

+ + − − + −

= = = − ≤ ⇔ =

+ + +

e 42 42 (2 2 1)2 1

4 4

x x x x x

E x

x x x

+ − − + −

= = = − ≤ ⇔ =

+ + +

+) 42 (4 1) (42 1) (2 2 1)2 1

4 4

x x x x x

E x

x x x

− + + + + + −

= = = − + ≥ − ⇔ =

+ + +

Bài 3: [ HSG – Yên Phong – 14/04/2014 ]

Tìm GTLN biểu thức 3 3( 2 1)

x A

x x x

+ =

+ + +

Lời giải

ax

3 2

3( 1)

3

1 m

x

A x A x

x x x x

+

= = ≤ ⇔ = ⇒ = ⇔ =

+ + + +

Bài 4:[ HSG – Yên Phong – 2016 – 2017 ]

Tìm GTNN biểu thức sau 20102 2680 ( )

+

= ∈

+

x

D x R

x

Lời giải

2 2

2 2

2010 2680 335(6 8) 335( 1) 335( 3)

( ) 335 335

1 1

x x x x x x

D x R x

x x x x

+ + + + − − +

= ∈ = = = − ≥ − ⇔ = −

+ + + +

Bài 5:Tìm GTNN biểu thức sau 15 16 ( )

3

+

+ +

= x x ∈

A x R

x

Lời giải

Ta có: ( ) ( )

2

2 4

15 16 23 23 23

4

3 3 3

x

x x

A x R minA x

x x

+ −

+ +

= ∈ = + ≥ ⇒ = ⇔ =

Bài 6: Tìm GTLN biểu thức sau ( ) ( )

2 2

2 4

1 ,

2

+ − +

= ∈

+ + +

xy y y x

A x y R

x y y x

Lời giải

Ta có: ( ) ( )

( )( )

2 2 4

2 4

1 1

,

2 2

+ − + +

= ∈ =

+ + + + +

xy y y x y

A x y R

x y y x y x

Vì

+ ≠ ∀

y x nên chia tử mẫu cho

y + ta được: 21

2

A x

= +

Vì 2

2

1

0 2 0;

2

≥ ∀ ⇒ + ≥ ∀ ⇒ = ≤ ⇔ = ∈

+

x x x x A x y R

x

Bài 7:Tìm GTLN biểu thức sau 4 22

1

x A

x x

=

+ +

Lời giải

+) Xét x= ⇒ =0 A giá trịnày khơng phải giá trị lớn A với x≠ ⇒ >0 A

+) Xét x≠0 đặt P Amax Pmin A

= ⇒ ⇔

Ta có 2 ( )

2 2

1 1

1; 2 min

x x

P x x Cosi P P x

x x x

+ +

= = + + + ≥ ⇒ ≥ + = ⇒ = ⇔ = ±

Bài 8:Tìm max của: 27 122

9

x M

x

− =

+

Lời giải

Nháp : 2

2

27 12 . 9 27 12 . 12 9 27 0

9

x

a a x a x a x x a

x

−

= => + = − => + + − =

+

Có ' 36 (9 27)

1

a a a

a

 =

∆ = − − = => 

= − 

Khi ta có : ( )

2

2 2

2

27 12 4 4 12 4 4 4

9 9

x

x x x

M

x x x

− −

 −  − − −

= − + = + = + ≤

+ + +

 

Mặt khác : ( )

2

2 2

6

27 12 1 1 12 36 1 1 1

9 9

x

x x x

M

x x x

−

 −  − +

= + − = − = − ≥ −

+ + +

 

Bài 9:Tìm max của: 2

4 x P x + = +

Lời giải

Nháp : 2

2

8 4 8 3 4 8 3 0

4

x

a a x a x a x x a

x

+

= => + = + => − + − =

+

Có ∆ =' 16 4− a a( − => =3) a 4;a= −1

Khi : ( )

2

2 2

4

8 4 4 16 4 4 4 4

x

x x x

P

x x x

− −

 +  − + −

= − + = + = + ≤

+ + +

 

Mặt khác : ( )

2

2 2

4

8 1 1 1 1 1 4

x

x x x

P

x x x

+

 +  + +

= + − = − = − ≥ −

+ + +

 

Bài 10:Tìm max của: 22

2 x D x + = +

Lời giải

Nháp :

2

2 . 2 2 1 0

2

x

a a x x a

x

+

= => − + − =

+ , có ( )

1

' 1;

2

a a a a −

∆ = − − = => = =

Khi : ( )

2

2 2

1

2 1 1 1 1 1

1 2

x

x x x

D

x x x

− −

 +  − + −

= − + = + = + ≤

+ + +

 

Mặt khác : 22 12 12 2( 24 )4 12 21

2 2

x x x

D x x  +  + + − = + − = − ≥ + +  

Bài 11:Tìm max của: E 2x2 x

+ =

Lời giải

2

2

E

x x

= + , Đặt a E a2 2a x = => = +

Bài 12: Tìm max của: 22 x F x − = +

Lời giải

Nháp :

2

2 . 2 2 1 0

2

x

a a x x a

x

−

= => − + + =

+ , có ( )

2

' 1 ;

2

a a a a a a

∆ = − + = − − => = = −

Khi :

( ) (( ))

2

2 2

2

2 1 4 1 2 2 2 2 2

x

x x x

F

x x x

− −

 −  − + −

= − + = + = + ≤

+ + +

 

Mặt khác : ( )

2

2 2

1

2 1 1 1 1 1

2 2

x

x x x

F

x x x

+

 −  + +

= + − = − = − ≥ −

+ + +

 

Bài 13:Tìm max của: 62

1

x G

x

− =

+

Lời giải

Nháp :

2

6 . 6 8 0

1

x

a a x x a

x

−

= => − + + =

+ , có :

( )

' a a a 8a a 1;a

∆ = − + = − − + = => = = −

Khi : ( )

2

2 2

3

6 1 1 1 1 1

1 1

x

x x x

G

x x x

− −

 −  − + −

= − + = + = + ≤

+ + +

 

Mặt khác : ( )

2

2 2

3

6 9 9 9 9 9

1 1

x

x x x

G

x x x

+

 −  + +

= + − = − = − ≥ −

+ + +

 

Bài 14: Tìm max của:

27

3 9

x A

x x x x

+ =

− + − +

Lời giải

Hạphép chia ta : A x= 2+3x+3

Bài 15: Tìm max của: 62 512 x B

x

+ =

+

Lời giải

Hạphép chia ta : B x= −8x2+64=(x2 −4)2 +48 48≥

Bài 16:Tìm max của: 4 16 32 56 80 356

2

x x x x

G

x x

+ + + +

=

+ +

Lời giải

Hạphép chia ta được: ( )

256

4

2

G x x

x x

= + + +

+ + , Đặt

2 2 5 4 256

x x t G t

t

+ + = => = +

Sau sử dụng co si

Bài 17:Tìm max của: 28

3

I x

− =

+

Lời giải

Ta có :

2

8

3 2

2

3

x

x

+ ≥ => ≤ =

+

Bài 18: Tìm max của: 22

x B

x

+ =

+

Lời giải

Nháp : 2

2 . 2 2 1 0

2

x

a a x x a

x

+

= => − + − =

+ , có ( )

1

' 1;

2

a a a a −

∆ = − − = => = =

Khi ; ( )

2

2 2

1 1 1 1 1 1

2 2

x

x x x

B

x x x

−

 +  − + −

= − + = + = − ≤

+ + +

 

Mặt khác :

( ) (( ) )

2

2 2

2

2 1 4 1 2 2 2 2 2

x

x x x

B

x x x

+

 +  + + −

= + − = − = − ≥

+ + +

 

Bài 19:Tìm max của: ( )

2 2

4 2

2

x y x x y G

x x y y

+ − +

=

+ + +

Lời giải

Ta có : 24 4 24 2 ( 4 ) (4 12 4 ) 21

2 2 1

x y x x y x

G

x x y y x y x y

+ − + +

= = =

+ + + + + + +

Bài 20: Tìm max của:

( ) 2 1 x H x + = +

Lời giải

Đặt x2+ = =>1 t x2 = − =>t 1 x4 = − +t2 2 1t ,

2

2 1 1 2

t t H t t t − + + = = − +

Đặt a H 2a2 2a 1

t = => = − +

Bài 21: Tìm max của: 22 16 71

8 22 x x I x x − + = − +

Lời giải

Hạphép chia ta : 2 27

8 22

I

x x

= +

− + , mà ( )

2

2 8 22 4 6 6

x − x+ = x− + ≥

Bài 22: Tìm max của: 42 x P x = +

Lời giải

Nháp: Đặt 2

2 t

x t a at t a a

t

= => = => − + = => = ± +

Khi :

( ) (( ))

2

2

4 4

1

1 1 1 2 2 2

x

x x x

P

x x x

+

  + + −

= + − = − = − ≥

+ + +

  , Không xảy dấu

Mặt khác :

( ) (( ))

2

2

4 4

1

1 1 1 2 2 2

x

x x x

P

x x x

− −

  − + −

= − + = + = + ≤

+ + +

 

Bài 23:Tìm max của:

( )

4 2

1 x G

x

+ =

+

Lời giải

Đặt x2+ = =>1 t x2 = − =>t 1 x4 = − +t2 2 1t

Khi : G t2 22t 22

t

t t

− +

= = − + , đặt a G 2a2 2a 1

t = => = − +

Bài 24: Tìm 2(2 1)

2 x P

x

+ =

+

Lời giải

Nháp :

2

4 . 4 2 2 0

2

x

a a x x a

x

+

= => − + − =

+ , có ∆ = −' a a(2 −2)= => =0 a 2;a= −1

Khi : ( )

2

2 2

2

4 2 2 2 2 2

2 2

x

x x x

P

x x x

− −

 +  − + −

= − + = + = + ≤

+ + +

 

Mặt khác : 42 1 24 1 2

x x x

P

x x

 +  + +

= + − = − ≥ −

+ +

 

Bài 25:Tìm max của: 2 2

2 x K

x x

+ =

+ +

Lời giải

Ta có : 2

2

x K

x x

= −

+ +

Nháp :

2 2

x

a a x a x x a

x x

−

= => + + + =

+ + , có : ( )

2 2

1

7

a a a a ±

∆ = + − = => =

Bài 26: Tìm max của: 42

3

x M

x

+ =

+

Lời giải

Nháp :

2

4 . 4 3 1 0

3

x

a a x x a

x

+

= => − + − =

+ , có ( )

4

' 1;

3

a a a a

∆ = − − = => = − =

Bài 27: Tìm max của: 122 13

2

x P

x x

+ =

+ +

Lời giải

Nháp :

2

12 13 . 2 3 12 13 0

2

x

a a x a x a x

x x

+

= => + + − − =

+ + ,

Có ' ( 6)2 (3 13) 4;

2

a a a a a

∆ = − − − = => = − =

Bài 28:Tìm GTLN biểu thức: 4 22 x

x + +x , GTLN đạt giá trị x

Lời giải

Ta có : ( ) 4 22 x P x

x x

=

+ + =

2

1

1 ( ) x

P x = + x + ≥

Bài 29: Tìm GTNN biểu thức: 22 ( 1)

2

+ +

= ≠ −

+ +

x x

M x

x x

Lời giải

Ta có : ( )

( )

2

2 1 1

1

2 1

x x x

M

x x x x

+ + − + +

= = − +

+ + + +

Đặt

1 t

x+ = , ta có:

2

2 1 3

2 4

M t= − + = −t t  + ≥

 

Bài 30: Tìm giá trị lớn biểu thức: 3 3( 2 1)

1

x B

x x x

+ =

+ + +

Lời giải

Ta có: ( ) ( )

( ) ( ( )( ) )

3 2 2

3 3 3 1 1 1

x x x

B

x x x x x x x x x

+ + +

= = = =

+ + + + + + + + +

Do

2

3

1

1

x B

x

+ > => = ≤

+ , Dấu x=0

2 Bậc tử bậc mẫu

Bài 1: Tìm GTN N biểu thức sau a A x2 22x 3(x 0)

x

− +

= ≠ b 21( 1) ( 1)

x x

B x

x

− +

= ≠

−

c 22

x x

C x

+ +

=

+ d

2 2 2016

x x

D

x

− +

=

Lời giải

a 2 2 2

2 3( 3) ( 3) 2

( 0) 3

3 3 3

x x x x x

A x x A x

x x x

− + − + −

= ≠ = = + ≥ ⇔ = ⇒ = ⇔ = b 21( 1) 4 2 2 21 2 ( 1)22 3

( 1) 4( 1) 4( 1) 4( 1) 4( 1) 4

x x x x x x x x x

B x x

x x x x x

− + − + + + − + +

= ≠ = = + = + ≥ ⇔ = −

− − − − −

c 2( 22 3) 24 22 ( 2 2)2

2( 2) 2( 2) 2( 2) 2( 2)

x x x x x x

C x

x x x x

+ + + + + +

= = + = + ≥ ⇔ = −

+ + + +

d 2 2 2016 2016 2 2016 20162 ( 2016)2 2015 2015 2016

2016 2016 2016

x x x x x

D x

x x x

− + − + −

= = = + ≥ ⇔ =

Bài 2:Tìm GTLN biểu thức sau a 22 19

3

x x

A

x x

+ +

=

+ + b

2

2

x x

B x

+ +

=

+

Lời giải

a 22 19 2(3 22 7) 2

3 7

x x x x

A

x x x x x x

+ + + + +

= = = +

+ + + + + +

2

ax ax

1 83 83 60

3 2

83

6 12 12 83

12

− −

 

= + + =  +  + ≥ ⇔ = ⇒ = ⇒ = + = ⇔ =

  m m

M x x x x A M A x

b 22 2 22 2( 2) 42 2 ( 2 1)2

2 2

x x x x x x x x x

B x

x x x x

+ + − + + + − − + + −

= = = = − ≤ ⇔ =

+ + + +

Bài 3: Tìm GTLN, GTNN biểu thức sau a 22

1

x x

A

x

+ +

=

+ b

2

2

x x

B

x x

− −

=

+ +

Lời giải

a 22 2(22 1) ( 2 1)2 ( 2 1)2

1 1

x x x x x

A x

x x x x

+ + + + +

= = + = + ≥ ⇔ = −

+ + + +

+) 22 22 ( 22 1) ( 2 1)2

1 1

x x x x x x

A x

x x x x

+ + + − + −

= = − = − ≤ ⇔ =

+ + + +

b 22 2 (22 2 2) 23 2

1 1

x x x x x x

B x

x x x x x x

− − − + +

= = = − ≤ − ⇔ =

+ + + + + +

+) Với 2

2

3

0 2

1

1 1

x

x A

x x

x x

≠ ⇒ = − = −

+ + + +

Ta lại có:

2

2

1 1 3 1

1 2

3

4

4

−

 

+ + = + +  ≥ ⇒ ≥ − = ⇒ = ⇔ = −

  A x

x x x x

Bài 4: Tìm GTLN 22 10

2

x x

A

x x

+ +

=

+ +

Lời giải

2

ax

2 2

max

1 1

3 [( 1) 2] ( 1) 2

2 ( 1) ( 1)

 

= + = + ⇒ ⇔  ⇔ + + ⇔ + + = ⇔ = −

+ + + + m  + + 

A A x x x

x x x x

ax

1

1

(x 1) 2 x Am x

⇒ ≤ ⇔ = − ⇒ = ⇔ = −

+ +

Bài 5:Tìm GTLN biểu thức sau 22 10 ( )

2

+ +

= ∈

+ +

x x

A x R

x x

Lời giải

Ta có:

( )

2

3 10 1

3

2 2

x x

A x

x x x

+ +

= = + ≤ + = ⇔ = −

+ + + +

Bài 6:Tìm max của: ( ) 2 1 x x C x + + = +

Lời giải

2 2 x C x = +

+ , Nháp :

2

2 . 2 0

1

x

a a x a x

x

= => + − =

+ , có

2

4 4a a

∆ = − = => = ±

Khi : 22 1 2 22 1

1

x x x

C x x   + + = + − + = + ≥ + +  

Mặt khác : ( )

2

2 2

1

2 1 2 3 3 3

1 1

x

x x x

C

x x x

− −

  − + −

= − + + = + = + ≤

+ + +

 

Bài 7:Tìm max của: 2

1 x x N x + + = +

Lời giải

2 1 x N x = +

+ , Nháp :

2

2 1

x

a a x x a

x

= = − + =

+ , có :

2

1

2

a a

∆ = − = => = ±

Khi ta có : 2 1 2( 22 )1 1 2 2

x x x

N x x   + + = + + − = + ≥ + +  

Mặt khác :

( ) (( ))

2

2 2

1

1 1 3 2 2 2

x

x x x

N

x x x

− −

  − + −

= − + + = + = + ≤

+ + +

 

Bài 8:Tìm max của: 22 17

2 x x Q x x − + = − +

Lời giải

Ta có : 2

2

Q

x x

= +

− + , mà ( )

2

2

2

2 4

4

2

x x x

x x

− + = − + ≥ => ≤ =

− +

Bài 9: Tìm max của: 22 16 41

8 22 x x R x x − + = − +

Lời giải

Ta có : 2 216 44 2 22 22

x x

R

x x x x

− + −

= = −

− + − + ,

Mà ( )

( ) ( )

2

2

3 3 22 6

6 2 6

x x x

x x

− −

− + = − + ≥ => ≤ = => ≥

− + − +

Bài 10:Tìm max của: 2

2 2010 x P x x = − +

Lời giải

Hạphép chia ta : 22 2010

2 2010

x P

x x

− = +

− + ,

Nháp :

2

2 2010 . 2 2010 2 2010 0

2 2010

x

a a x a x a x

x x

−

= => − + − + =

− +

Có ' ( 1)2 (2010 2010) 1;

2009

a a a a a

∆ = + − + = => = − =

Làm tương tựnhư

Bài 11:Tìm max của: 22

2

x x Q

x x

− +

=

− +

Lời giải

Hạphép chia ta : 2

2

x Q

x x

− +

= +

− + , Đặt x− =1 t , ta có :

( )

2 2

3 2 2 1 2 1 t t t

Q

t

t t t

− + − +

= + = = − + , Đặt a

t =

2 2 2

Q a a

=> = − +

Bài 12: Tìm max của: A 2x2 42x x

+ +

=

Lời giải

2

4

2

A

x x

= + + , Đặt t A 4t2 4 2t x = => = + +

Bài 13:Tìm max của: 22 17

3

x x H

x x

− +

=

− +

Lời giải

Hạphép chia ta : 23

3

x H

x x

+ = +

− +

Nháp :

2

3 . 3 3 5 2 0

3

x

a a x a x x a

x x

+

= => − − + − =

− + , có :

( )2 ( ) 2 13 67

9 11 26

11

x a a a a a ±

∆ = + − − = − + + = => = ,

Bài 14: Tìm max của: K x2 42x x

− +

=

Lời giải

2

4

1

K

x x

= − + , đặt t K t2 4 1t (t 2)2 3 3

x = => = − + = − − ≥ −

Bài 15: Tìm max của: 222

2

x x N

x x

+ +

=

+ +

Lời giải

Hạphép chia ta : 2

2

N

x x

= +

+ + , mà ( )

2

2 2 4 1 3 3

x + x+ = x+ + ≥

Bài 16:Tìm max của: 22 1999: 2 32

3

x x x

Q

x x x x x

− +

=

− + − +

Lời giải

Thực phép tính ta : Q x2 2x2 1999 19992

x

x x

− +

= = − + ,

Đặt t Q 1999t2 2 1t

x = => = − +

Bài 17: Tìm max của: 222

2

x x D

x x

+ +

=

+ +

Lời giải

2

1

2

D

x x

= +

+ + , mà ( )

2

2 2 4 1 3 3

x + x+ = x+ + ≥

Bài 18:Tìm max của: 22 2

2

x x F

x x

− +

=

+ +

Lời giải

2

4

2

x F

x x

− = +

+ +

Nháp :

2

4 . 2 4 2 0

2

x

a a x a x a a

x x

−

= => + + + =

+ + , có ( )

2

' a a a.2 a 2

∆ = + − = => = ±

Bài 19: Tìm max của: 222 22

2

x xy y H

x xy y

− +

=

+ +

Lời giải

Với y = ta H =

Với y ≠ Chia cá tử mẫu cho y2 ta được:

2 2

2

2

x x

y y

H

x x

y y

− +

=

+ +

, đặt 222 26

2 5

x t H t t t

y t t t t

− + +

= => = = −

+ + + +

Nháp :

2

6 2 5 6 0

2

t

a at at a t

t t

+

= − => + + + + =

+ + ,

Có : ' ( 3)2 (5 1) 1;

a a a a a

∆ = + − + = => = − = , làm giống

Bài 20:Tìm max của: 2

1 x J

x x

+ =

− +

Lời giải

Ta có : 2 x J x x = + − +

Nháp :

2 1

x

a a x a x x a

x x

= => − − + =

− + , có ( )

2

1 1;

3

a a a a a −

∆ = + − = => = =

Khi : ( )

2

2 2

1

1 1 2

1 1

x

x x x

J

x x x x x x

−     − + − = + − + = +  = − ≤ − + − + − +    

Mặt khác :

( )

2

2

1 2

3 3 3

x x x

J

x x x x

  + +

= + + − = + ≥

− + − +

 

Bài 21:Tìm max của: 25 2

3

y xy Q

x xy y

− =

− +

Lời giải

Chia tử mẫu cho y2 ta được:

2 3 x y Q x x y y − = − +

, đặt 25

3

x t Q t

y t t

− = => =

− +

Nháp :

2

5 3 4 3 0

3

t

a at at a t

t t

−

= => − + + − =

− + , có : ( ) ( )

2

9 a 4a a

∆ = − − − =

=> 1;

a= − a=

Bài 22:Tìm max của: 2 2

3

x y R

x xy y

− =

− +

Lời giải

Chia tử mẫu cho y2 ta được:

2 2

4

3

x y R x x y y − = − +

, Đặt 2

3

x t R t

y t t

− = => =

− +

Nháp : 2

2

4 3 4 5 4 0

t

a at at a t

t t

−

= => − + − + =

− + ,

Có ' 4 (3 1 5)( 4) 0 1;

11

a a a a a

∆ = − − + = => = − =

Bài 23: Tìm max của: 22 23

6 10 x x A x x − + = − +

Lời giải

2 13 10 A x x = + − +

Bài 24: Tìm max của: 2 2

9 12

y B

x xy y

=

− +

Lời giải

Chia tử mẫu cho y2 ta được:

2

1 12

B

x x

y y

=

− +

, Đặt 2

9 12

x t B

y = => = t − t+

Bài 25:Tìm max của: 2 2

25 20

y D

x xy y

=

− + −

Lời giải

Chia tử mấu cho y2 ta được:

2

3

25 20

D

x x

y y

=

− + −

, Đặt 2

25 20

x t D

t = => = − t + t−

Bài 26:Tìm max của:

( )

2

4

2 x x E

x

− +

= −

Lời giải

Đặt x− = =>2 t x2 = + +t2 4 4t , đó :

2

4t 10 5t 4 10

E

t

t t

+ +

= = + + ,

Đặt a E 5a2 10a 4

t = => = + +

Bài 27:Tìm max của: 22 14

2

x x F

x x

+ −

=

− +

Lời giải

Đặt x− = =>1 t x2 = +t2 2 1t+ , Khi đó :

2

6 1

t t F

t

t t

+ −

= = + −

Đặt a F 9a2 6a 1 t = => = − + +

Bài 28:Tìm max của: 22

2

x x G

x x

− +

=

− +

Lời giải

Hạphép chia ta : 2

2

G

x x

− = +

− +

Bài 29:Tìm max của: 322 22

9

x xy y H

x xy y

− +

=

− +

Lời giải

Chia tử mẫu cho y2 ta được:

2 2

3

9

x x

y y

H

x x

y y

− +

=

− +

, Đặt 322

9

x t H t t

y t t

− + = => =

− +

Nháp: 2

2

3 9 6 2 3 2 0

t t

a at at a t t

t t

− +

= => − + − + − =

− + ,

có : ' (3 1) (2 2)( 1) 1;

3

a a a a a

∆ = − − − − = => = =

Bài 30:Tìm max của: 22 22 19

4

x x

I

x x

+ +

=

+ +

Lời giải

( )2

6

2

x I

x

+ = +

+ , Đặt

( )

2

6 6 9 t

x t I

t

t t

− +

+ = => = + = + −

Đặt a I 9a2 6a 4 t = => = − + +

Bài 31: Tìm max của: 22 30

9

x x

K

x x

+ −

=

+ +

Lời giải

( )2

24

3

x K

x

− = +

+ , đặt 2

3 11

3x t 3x t K t

t

t t

− −

+ = => = − => = + = + −

Đặt a K 11a2 3a 1 t = => = − + +

Bài 32:Tìm max của: 22 22

2 10

x xy y M

x xy y

− +

=

− +

Lời giải

Với y = M = 22 =1

2

x x

Với y ≠ chia tử mẫu cho y2 ta được:

2 2

5

2 10

x x

y y M

x x

y y

− +

=

− +

,

Đặt 22

2 10

x t M t t

y t t

− + = => =

− +

Nháp 2

2

5 2 10 7 5 2 10

t t

a at at a t t

t t

− +

= => − + − + −

− + , có : ( ) ( )( )

2

25 2a 2a 7a

∆ = − − − −

1 17

0 ;

2 22

a a

∆ = => = =

Bài 33:Tìm max của: 22 22 58 732

4

x xy y N

x xy y

− +

=

− +

Lời giải

Chia tử mấu cho y2 ta được:

2 2

22 58 73

4

x x

y y

N

x x

y y

− +

=

− +

, Đặt 22 22 58 73

4

x t N t t

y t t

− +

= => =

− +

( )2

30 15 22

2

t N

t

−

= +

− , Đặt

( )

2 2

30 15 30 45 30 45 22 a 22 a 22

t a N

a

a a a

+ − +

− = => = + = + = + +

Đặt b N 22 30b 45b2

a = => = + +

Bài 34:Tìm max của: 22

8x 6xy P

x y

+ =

+

Lời giải

Chia tử mẫu cho y2 ta được:

2 2

8

1

x x

y y P

x y

+ =

+

, Đặt 22 82 1

x t P t t t

y t t

+ −

= => = = +

+ +

Nháp:

2

6 6 0

1

t

a at a t

t

−

= => + − + =

+ , có ∆ = −' a a( + = => =8) a 1;a= −9

Bài 35: Tìm max của: 22 3

2

x x Q

x x

− +

=

− +

Lời giải

( )2

2

1

x Q

x

− + = +

− , Đặt x− = => = +1 t x t Khi : 2

1 1

1 t

Q

t

t t

− +

= + = − +

Đặt a Q a2 a 1 t = => = − +

Bài 36:Tìm max của: R x22 xy y22 x xy y

+ +

=

− +

Lời giải

Với y = R =

Với y ≠ Chia tử mẫu cho y2 ta được: 2 2

1

1

x x

y y R

x x

y y

+ + =

− +

,

Đặt 22 1 2

1

x t R t t t

y t t t t

+ +

= => = = +

− + − +

Nháp :

2

2 2 0

1

t

a at at a t

t t

= => − + − =

− + , có ( )

2

2 2;

3

a a a a a −

∆ = + − = => = =