Đang tải... (xem toàn văn)
Sưu tầm và tổng hợp TÀI LI ỆU TOÁN HỌC.[r]
(1) SƯU TẦM
TÌM GTLN, GTNN
CỦA BIỂU THỨC ĐẠI SỐ BỒI DƯỠNG HSG LỚP
(2)CHUYÊN ĐỀ: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC
A Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức
Khái niệm:Nếu với giá trị biến thuộc khoảng xác định mà giá trị biểu thức A luôn lớn (nhỏhơn bằng) số k tồn giá trị biến đểA có giá trị k k gọi giá trị nhỏ (giá trị lớn nhất) biểu thức A ứng với giá trị biểu thức thuộc khoảng xác định nói
Xét biểu thức A x( )
+) Ta nói A x( ) có giá trị lớn M, ( )
A x ≤M x∀ có giá trị x0 cho A x( 0)=M (Chỉ giá trịlà được) +) Ta nói A x( ) có giá trị nhỏ m,
( )
A x ≥ ∀m x có giá trị x0 cho A x( 0)=m (Chỉ giá trịlà được)
Như :
a) Để tìm giá trị nhỏ A, ta cần : - Chứng minh A≥k với k số
- Chỉ dấu “ = ” xảy với giá trịnào biến
b) Để tìm giá trị lớn A, ta cần : - Chứng minh A≤k với k số
- Chỉ dấu “ = ” xảy với giá trịnào biến
Ký hiệu: Min A giá trị nhỏ A Max A giá trị lớn A
Ví dụ:Sai lầm
2 2
( ) 2 ( 1) 2
A x = x − x+ =x + −x + ≥ ⇒GTNN = ( Không chỉra dấu = ) Đáp án :
2
1 5
( )
2 2 2
= − + ≥ ⇒ = ⇔ =
A x x GTNN x
B Các dạng tốn
Dạng 1: Tìm GTLN, GTNN tam thức bậc hai
ax +bx+c
Phương pháp: Áp dụng đẳng thức số số
Bài 1:Tìm GTNN biểu thức sau
a
( ) 24
A x =x − x+ b B x( )=2x2−8x+1 c.C x( )=3x2+ −x
Lời giải
a 2
( ) 24 ( 2) 20 20 ( ) 20
A x =x − x+ = x− + ≥ ∀ ⇒x A x = ⇔ =x
(3)b 2
( ) 2( 4) 2( 2) 7 minB
B x = x − x+ = x − x+ − = x− − ≥ − ⇒ = − ⇔ =x
c 2 13 13
( ) 3
6 12 12
− −
= + − = + − ≥ ⇔ =
C x x x x x
Bài 2: Tìm GTLN biểu thức sau
a
( )
A x = − x − x+ b
( )
B x = − x + +x
Lời giải
a
2
2 9
( ) 5
5 5 5
−
= − − + = − + − = − + + ≤ ⇔ =
A x x x x x x x
b
2
2 13 13
( ) 3
6 12 12
= − + + = − − + ≤ ⇔ =
B x x x x x
Dạng 2: Tìm GTLN, GTNN đa thức có bậc cao 2
Phương pháp:Ta đưa dạng tổng bình phương
Bài 1:Tìm GTNN biểu thức sau
a
( ) 10
A x =x − x + x − x+ b B x( )=x4−10x3+26x2−10x+30
c
( ) 2017
C x =x − x + x − x+ d
( )
D x =x −x + x+
e
( ) 20 22
E x =x − x + x − x+ f F x( )=x x( −3)(x−4)(x−7) g G x( )=(x−1)(x+2)(x+3)(x+ −6) 2006
Lời giải
a 4 2 2
( ) 10 ( ) ( 9) ( ) ( 3)
A x =x − x + x − x+ = x − x + x + x − x+ = x − x + −x ≥ ∀x
2
3
min ( )
3 x x
A x x
x
− =
⇒ = ⇔ ⇔ =
− =
b 2 2
( ) 10 26 10 30 ( ) ( 5) 5
5 x x
B x x x x x x x x x
x
− =
= − + − + = − + − + ≥ ⇔ ⇔ =
− =
c 2 2 2
( ) ( 2) ( 2) ( 2) 2015 ( 2)( 1) 2015 2015
C x =x x + − x x + + x + + = x + x− + ≥ ⇔ =x
d 2 2
( ) 2 ( 1) ( 1) 5
D x =x − x + +x + x+ + = x − + +x + ≥ ⇔ = −x
e Ta có :
4 2 2
( ) 20 22 ( 4 ) 5( 4) ( ) 5( 2) 2
E x =x − x + x − x+ = x − x + x + x − x+ + = x − x + x− + ≥ ⇔ =x
f 2
( ) ( 3)( 4)( 7) ( )( 12) 36 36
6 x
F x x x x x x x x x y y
x
=
= − − − = − − + = − ≥ − ⇔ = ↔
=
g 2 2
( ) ( 6)( 6) 2006 ( ) 2042 2042
5 x
G x x x x x x x
x
=
= + − + + − = + − ≥ − ⇔
= −
Dạng : Đa thức có từ biến trở lên
Phương pháp:Đa số biểu thức có dạng ( ) 2 ( )( )
;
F x y =ax +by +cxy+dx ey+ +h a b c≠
(4)- Ta đưa dần biến vào đẳng thức ( 2 2) ( )2
a ± ab b+ = a b± sau
( ) [ ]2 [ ]2 ( )
; ;
F x y =mK x y +nG y +r F x y( ); =mK x y[ ]; 2+nH x[ ]2+r( )3
Trong G y H x[ ] [ ], biểu thức bậc biến, K x y[ ]; = px+qy+k
biểu thức bậc hai biến x y
Cụ thể:
Ta biến đổi (1) để chuyển dạng (2) sau với
0;
a≠ ac b− ≠ Ta có
( ) 2 2 2 2
4 a F x y; =4a x +4abxy+4acy +4adx+4aey+4ah=4a x +b y +d +4abxy+4adx+2bdy
( 2) ( )
4ac b− y +2y 2ae bd− +4ah d−
( )2 ( 2) 2
2
2
2 4
4
ae bd ae bd
ax by d ac b y ah d
ac b ac b
− −
= + + + − + + − −
− −
Vậy có (2) với
( ) 2 ( ( )22)
2
1
; ; ; ( ) ; r h
4 4 4
ae bd
b ac ae bd d
m F x y ax by d n G y y
a a ac b a a ac b
−
− −
= = + + = − = + = − −
− −
+) Nếu ( ) ( ) ( )
0; 0, : ; *
a> ac b− > ⇒ >m n> ⇒ F x y ≥r
+) Nếu ( ) ( ) ( )
0; 0, : ; **
a< ac b− > ⇒ <m n< ⇒ F x y ≤r
+) Nếu m > 0, n > ta tìm giá trị nhỏ +) Nếu m < 0, n <0 ta tìm giá trị lớn
Dễ thấy tồn (x; y) đểcó dấu đẳng thức, ta sẽtìm cực trị
của đa thức cho
Trong cảhai trường hợp trên:
- Nếu r = phương trình F(x; y) = có nghiệm
- Nếu F x y( ); ≥ >r F x y( ); ≤ <r khơng có ( )x y; thảo mãn F(x; y) =
+) Nếu ( ) ( )
0; 0; : ;
a> ac b− < r= ⇒ F x y phân tích tích hai nhân tử, giúp ta
giải tốn khác
Bài 1:Tìm giá trị nhỏ
a 2
2
A=x + y − xy− y+ b B=2x2−2y2+5y2+5
Lời giải
a) Ta có 2 2 ( 2 2) ( 2 ) ( ) (2 )2
( ) 2 4
A x =x + y − xy− y+ = x − xy+y + y − y+ + = x−y + y− +
1 , " "
2
− =
⇒ ≥ ∀ ∈ ⇒ = ⇔ − = ⇔ = =
x y
A x y R x y
y
(5)Vậy minA= ⇔ = =1 x y
b) 2 2 2 ( 2 2) ( 2 2) 2 ( ) (2 )2
2 5 4 5
B= x − y + y + = x − xy+ y + x + xy+y +y + = x− y + x+y + ≥
2
0
x y
x y x y
− =
⇒ = = + =
Bài 2: Tìm giá trị nhỏ
a 2
( ) 2
A x = x +y − xy− x+ b B x( )=x2+xy+y2−3x−3y
c 2
( ) 18
C x = x + y + xy− x− y+ d D x( )=2x2+3y2+4z2−2(x+ + +y z)
e 2
( ) 11
E x = x + xy+ y − x− y+
f 2
( ) 6 2
F x = x + y + z − xy+ yz− xz+ y+ z+
g 2
( ) 2 2 2
G x = x + y +z + xy− xz− yz− x− y
h 2
( )
H x =x +y −xy− + +x y
Lời giải
a Ta có :
2 2 2 2
( ) 2 ( ) ( 1) ( ) ( 1) 2
A x = x +y − xy− x+ = x − xy+y + x − x+ + = x−y + −x + ≥ ⇔ = =x y
b 2 2
( ) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)( 1)
B x = x − x+ + y − y+ +x y− − y− − = x− + y− + −x y− −
2 2 2
2 1 2
( 1) 2( 1) .( 1) ( 1) 3
2 2
− − − − +
= − + − − + − + − − = − + − + − + −
y y y y y
x x y y x y y
2 2
1
1
1 3( 1)
1 3
1
2
1 y
x x
y y
x
y y
−
− + = =
− −
= − + + − ≥ − ⇔ ⇔
=
− =
c 2 2
( ) 18 ( ) 2( )2 ( 9)
C x = x + xy+ y +y − x− y+ = x+y − x+y + + y + y+ +
2
2(x y 2) (y 3) 1 minA y 3;x
= + − + + + ≥ ⇒ = ⇔ = − =
d 2 2 2
( ) 2( ) 2( ) (3 ) (4 )
D x = x + y + z − x+ + + =y z x − +x y − y + z − z +
2 2 1 1
2 (2 ) 2
4 4
= − + + − + + − + + − − −
x x y y z z
2 2
1 1 11 11 1
2 ( , , ) ; ;
2 2 2
= − + − + − + ≥ ⇒ =
x y z x y z
e 2 2
( ) 2( 4 ) 2( ) 4( )
E x = x + xy+ y + y − x− y+ = x+ y − x+ y + + y + y+
2 2
2( 1) 3( 1) 1
1
x y x
x y y
y y
+ − = =
= + − + + + ≥ ⇔ ⇔
+ = = −
f 2
( ) 6 2 2( )
F x = x + y + z − xy+ yz− xz+ y+ z+ kho
2
2 2
( ) 2 (3 )
2
+ +
= − + + + + + − + + +
y z y z
F x x x y z y z yz y z
(6)2
2 2
3 10 25
2
2
+
= − + + + + + + +
y z
x y yz z z y z
2
2
3 5 2
2
2 3 3 3
+
= − + + + + + + + + +
y z
x y z y z z z
2
2
3
0
2 1
3 5
2 x ( 1) 1
2 3 3
1
+
− =
=
+
= − + + + + + + ≥ ⇔ + + = ⇔ = ⇒ =
= −
+ =
y z x
x y z
y z x y z y A
z z
g Ta có :
2 2 2
( ) 2 2 2 ( 1) ( 2) ( ) 5 1; 2;
G x = x + y +z + xy− xz− yz− x− y= −x + y− + + −x y z − ≥ − ⇔ =x y= z=
h.Ta có : 2 2
( ) ( ) (2 ) 2.2 4
H x =x +y −xy− + + ⇒x y H x = x − x y+y + y − x+ y+
2 2 2 8
(2 ) 2(2 ) 3 (2 1) 3( 1) (2 1) 3( )
3 3
x y x y y y x y y y x y y
= − − − + + + + = − − + + + = − − + + + ≥
2;
3 3
A x y − A
⇒ = ⇔ = = ⇒ =
Bài 3:Tìm GTLN biểu thức sau
a 2
4 10 12
A= − x − y + xy+ y+ b − −x2 y2+ +xy 2x+2y
Lời giải
a Ta có:
2 2 2 2
4 10 12 10 25 37 4( ) ( 5) 37 37
A= − x − y + xy+ y+ = − x + xy− y −y + y− + = − x−y − y− + ≤
5 x y
= ⇔ =
b 2 2
2 4 4 8
A= − −x y + +xy x+ y⇒ A= − x − y + xy+ x+ y
2 2
4 ( 2) ( 2) ( 2)
A= − x + x y+ − y+ + y+ − y + y
2 2 2 2
(2 2) 3( ) (2 2) 3( 2) 16 16
2
x y x
x y y y x y y A
y y
− − = =
= − − − − − + = − − − − − + ≤ ⇒ ≤ ⇔ ⇔
− = =
Bài 4:Tìm GTNN biểu thức sau
a 2
5 12 24 48 82
A= x + y − xy+ x− y+
b 2
3 3 2
B= x + y + +z xy− yz− xz− x− y+
Lời giải
a 2 2 2
5 12 24 48 82 12 ( 4) 4( 4) 4( 4) 24 82
A= x + y − xy+ x− y+ = y − y x+ + x+ − x+ + x + x+
[ ]2 2 16
3 2( 4) ( 4) 2 , 4;
3
y x x x y R x y
= − + + − + ≥ ∀ ∈ ⇔ = =
(7)b
2
2
3
( ) ( 2) 1
2 3
= − + + + − + − + ≥
y
B z x y x y
Bài 5: Tìm GTLN 2
( )
A= + + −x y z x + y + z
Lời giải
2 2
1 1 7 1
2 ; ;
2 4 16 16 16
− −
− = − + − + − − ≥ ⇒ ≤ ⇔ = = =
A x y z A x y z
Bài 6: [ HSG – Yên Dũng – Bắc Giang ]
Tìm GTNN 2
2 2 2013
A=x + y + xy+ x− y+
Lời giải
2 2 2
2 2 2013 ( 1) ( 1) ( 3) 2003 2003 4;
A=x + y + xy+ x− y+ =x + x y+ + y+ + y− + ≥ ⇔ = −x y=
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1:Tìm GTNN của: 2
2 2 10 17
A=x − xy+ y + x− y+
Hướng dẫn
( )
2 2 1 2 10 17
A x= − x y− + y − y+ =x2−2x y( − +1) (y−1)2+2y2−10y+17−(y−1)2
( )2 ( 2 )
1 16
x y y y
= − + + − +
Bài 2:Tìm của: 2
2
B=x −xy+y − x− y
Hướng dẫn
( ) 2
2 2 2 2 . 4 2 1
2 4
y y y y
B x= −x y+ +y − y=x − x + + + + +y − y− − −y
( )2 2 2
4B= x y− −2 +4y −8y y− −4y−4
Bài 3:Tìm của: 2
3
C=x +xy+y − x− y
Hướng dẫn
( ) 2
2 3 3 2 . 3
2 4
y y y y y
C x= +x y− +y − y=x + x − + − + +y − y− − +
( )2 2 2
4C= x y+ −3 +4y −12y y− +6y−9
Bài 4: Tìm của: 2
2 12 45
D=x − xy+ y − x+ y+
Hướng dẫn
( ) ( ) ( )2 ( )
2 2 6 6 2 45 2 6 6 6 2 45 12 36 D x= − x y+ + y + y+ =x − x y+ + y+ + y + y+ − y + y+
( )2 2
6 10
x y y y
= − − + − +
(8)Bài 5: Tìm của: 2
3 10 20
E=x −xy+ y − x− y+
Hướng dẫn
( ) 2
2 2 3 10 20 2 4 3 10 20 4
2 4
y y y y y
E x= −x y− + y − y+ =x − x − + − + + y − y+ − − +
( )2 ( 2 ) ( 2 )
4E= x y− +2 + 12y −40y+80 − y −4y+4 =(x y− +2)2 +(11y2−36y+76)
Bài 6:Tìm max của: 2
2 10
F = − +x xy− y + x+ y−
Hướng dẫn
( )
2 2 4 2 10 3 2 1 4 10 3
F x xy y x y x x y y y
− = − + − − + = − + + − +
( ) ( )2 ( )2
2 2 1 1 4 10 3 1
F x x y y y y y
− = − + + + + − + − +
Bài 7: Tìm của: ( )2 ( ) 2 2
6 16 8 10
G= x−ay + x−ay +x + y − ay+ x− y+
Hướng dẫn
( )2 ( ) ( 2 ) 2
6 16 8
G= x ay− + x ay− + + x + x+ + y − ay− y
( ) (2 )2 2 ( ) ( ) (2 )2
3 16 1
G= x ay− + + x+ + y − y a+ + a+ − a+
( ) (2 ) (2 ) (2 )2 ( )2
3 1
G= x ay− + + x+ + y a− − − a+ ≥ − a+
Bài 8:Tìm max của: 2
2 11
H = − +x xy−y − x+ y+
Hướng dẫn
( )
2 2 4 11 2 4 11
H x xy y x y x x y y y
− = − + + − − = − − + − −
( )2
2
2 2 4 4 11
2 4
y
y y y
H x x − − + y y −
− = − + + − − −
( ) ( )
⇒ −4H= x y− +2 2+4y2−16y−44− y2−4y+4
Bài 9:Tìm của: 2
4 11
I =x + xy+ y − y+
Hướng dẫn
( 4 4 2) 6 11 I = x + xy+ y +y − y+
Bài 10: Tìm của: 2
3 20
K =x +y −xy+ x+ y+
Hướng dẫn
( ) ( )2 ( )2
2 2
4K =4x +4y −4xy+12x+12y+80=4x −4x y− +3 y−3 + 4y +12y+80− y−3
( )2 2
4K = 2x y− +3 +3y +18y+71
Bài 11:Tìm của: 2
2 2
M =x − xy+ y − y+
(9)Hướng dẫn
( 2 2) ( 2 1)
M = x − xy y+ + y − y+
Bài 12:Tìm của: 2
2
N =x − xy+ y −x
Hướng dẫn
( ) ( )2 ( )2
2 2 1 2 2 2 2 2 2
2 4
y y
y
N x= −x y+ + y =x − x + + + + y − +
( )2 2 ( 2 )
4N = x−2y−1 +8y − 4y +4y+1
Bài 13: Tìm của: 2
2 1997
= − + − +
A x xy y x
Hướng dẫn
( ) ( ) ( )2 ( )
2 2 1 3 1997 2 1 1 3 1997 2 1 A x= − x y+ + y + =x − x y− + y− + y + − y + y+
Bài 14: Tìm của: 2
2 2 10
Q=x + y − xy+ x− y
Hướng dẫn
( ) ( ) ( )2 ( )
2 2 1 2 10 2 1 1 2 10 2 1
Q x= − x y− + y − y x= − x y− + y− + y − y− y − y+
Bài 15:Tìm của: 2
2 2
R=x + y + xy− y
Hướng dẫn
2 2 2 2 2 2 2 1 1
R x= + y + xy− y x= + xy y+ +y − y+ − =(x y+ ) (2+ y−1)2 − ≥ −1
Bài 16:Tìm của: 2
4 16 32
A= x + y − xy− y+
Hướng dẫn
( ) ( )
2 2 2
4 16 32 4 16 32
A= x + y − xy− y+ = x − xy y+ + y − y+
Bài 17:Tìm của: 2
5 4 12
B=x + y + z − xy− yz− z+
Hướng dẫn
( 4 4 2) ( 4 4 2) ( 4 4) 8
B= x − xy+ y + y − yz+ z + z − z+ +
( ) (2 ) (2 )2
2 2 8
x y y z z
= − + − + − + ≥
Bài 18:Tìm của: 2
5 12 4
C= x − xy+ y − x+
Hướng dẫn
( 2 2) ( 2 ) ( ) (2 )2
4 2.2 4
C= x − x y+ y + x − x+ = x− y + x− ≥
Bài 19:Tìm max của: 2
2
D= − −x y +xy+ x+ y
Hướng dẫn
(10)( )
2 2 2 2 2
D x y xy x y x x y y y
− = + − − − = − + + −
( )2 2
2 2 2 2 4
2 4
y
y y y
D x x + + y y + +
− = − + + − −
Bài 20:Tìm của: 2
5
E=x + y − xy+ y−
Hướng dẫn
( ) (2 )2
2 4 4 2 2 1 4 2 1 4 4
E x= − xy+ y +y + y+ − = x− y + y+ − ≥ −
Bài 21:Tìm GTNN A a= 2+ab b+ 2−3a−3b+3
Hướng dẫn
Ta có: 4P a= 2−2ab b+ 2+3(a2+b2)+ +4 2ab−4a−4b =(a b− )2 +3(a b+ −2)2 ≥0
Bài 22:Tìm của: 2 ( )
3
G=x +xy+y − x+y +
Hướng dẫn
2
4G=4x +4xy+4y −12x−12y+12
( ) ( )2 ( ) ( )
2 2
4G=4x +4x y− +3 y−3 + 4y −12y+12 − y −6y+9
( )2 2 ( )2 ( )2
4G= 2x y+ −3 +3y −6y+ =3 2x y+ −3 +3 y−1 ≥0
Bài 23:CMR khơng có giá trị x, y, z thỏa mãn: 2
4 15
x + y + −z x+ y− z+ =
Hướng dẫn
(x2−2x+ +1) (4y2+8y+4) (+ z2 −6z+9 1)+ ≥
Bài 24:Tìm của: 2
2 2
A= x +y − xy− x+
Hướng dẫn
( ) (2 )2
2 2 2 2 1 2 1 2 2
A x= − xy y+ +x − x+ + = x y− + x− + ≥
Bài 25: Tìm của: 2
2 2 10 17
B=x − xy+ y + x− y+
Hướng dẫn
( ) ( )2 ( )
2 2 1 1 2 10 17 2 1
B x= − x y− + y− + y − y+ − y − y+ =(x y− +1)2+(y2 −8y+16)
Bài 26:Tìm của: 2
2 22
D= x + xy+ y − x− y
Hướng dẫn
( )
2 2
2D=4x +4xy+10y −16x−44y=4x +4x y− +4 10y −44y
( ) ( )2
2 2
2D=4x +2.2x y−4 + y−4 +10y −44y y− +8y−16
Bài 27:Tìm của: 2
2 6 12 2004
E= x + y − xy− x− y+
(11)Hướng dẫn
2
2E=4x +18y −12xy−12x−24y+4008
( ) ( )2 ( )
2 2
2E=4x −12x y+ +1 y+1 +18y −24y+4008 9− y +2y+1
( )2 2
2E= 2x y− −1 +9y −42y+3999
Bài 28:Tìm của: 2
2 12 12 45
F =x − xy+ y − x+ y+
Hướng dẫn
( ) ( )2 ( )
2 2 6 6 6 12 45 12 36
F x= − x y+ + y+ + y + y+ − y + y+ =(x y− −6)2+5y2+ ≥9 9
Bài 29: Tìm GTNN biểu thức : 2
3 3
a +ab b+ − a− b+
Hướng dẫn
( )2 ( )2
2
3 3
P=a +ab b+ − a− b+ => P= a b− + a b+ − ≥
Bài 30: Tìm của: 2
6 14
A=x + y + z − yz+ zx− xy
Hướng dẫn
( )
2 2 2 3 6 14
A x= − x y+ z + y − z
( ) ( ) ( )
⇒ =A x2−2 2x y+3z + 2y+3z 2+6y2−14z2− 4y2+12yz+9z2
( )
⇒ =A x−2y−3z +2y2−12yz−23z2
Bài 31:Tìm của: 2
2 2 2 2000
B=x + y + z − xy+ xz− x− y− +z
Hướng dẫn
( )
2 2 1 2 3 2 8 2000
B x= − x y z− + + y + z − y− z+
( ) ( )2 ( )
2 2 1 1 2 3 2 2 2000 2 1 2 2 2
x x y z y z y z y z y z yz z y
= − − + + − + + + − − + − + + − − +
( )2 ( 2 2 )
1 1999
x y z y z y yz
= − + − + + − + +
( )2 2 ( ) ( )2 2 ( 2 )
1 2 2 4 1999
x y z y y z z z z z
= − + − + − + + + + − + + +
( ) (2 )2 ( 2 )
1 1995
x y z y z z z
= − + − + − − + − +
Dạng 4: Tìm GTLN, GTNN biểu thức có quan hệ ràng buộc biến
Phương pháp :
- Dồn biến từđiều kiền thay vào biểu thức
- Biến đổi biểu thức thành thành phần có chứa điều kiện để thay - Sử dụng thêm số bất đẳng thức phụ :
+ a b+ ≥2 ab ( Dấu = a = b, với a, b không âm)
(12)+ a2+b2 ≥2ab ( Dấu “=” a = b)
+ a a
+ ≥ ( Dấu “=” a = 1)
Bài 1:Tìm GTNN biểu thức sau
a 3
;
A=x +y +xy x+ =y b 2
5 ;
B= x +y x+ =y
c 2
2 ;
C=x + y x+ y= d D=2x2+5y2; 4x−3y=7
Lời giải
a 2 2
( )( )
A= x+y x −xy+y +xy=x +y Có :
2
2 2 1 1 1
1 (1 ) 2 2
2 4 2
+ = ⇒ = − ⇒ = − + = − + = − + − + = − + ≥
x y x y A y y y y y y y
Dấu xảy 1;
2
x= y= b Có
2
2 2 1 5
1 (1 ) 6 ;
3 6 6 6
+ = ⇒ = − ⇒ = + − = − + = − + = − + ≥ ⇔ = =
x y y x B x x x x x x x x y
c 2 1
2
3
C=x + y = y − y+ ⇒ C= ⇔ = =y x
d Ta có :
2 2
4 7
4 5( ) 98 280 245 2(7 10) 45 45
3
x x
x− y= ⇒ =y − ⇒D= x + − ⇒ D= x − x+ = x− + ≥
10
min ;
7
D x y −
⇒ = ⇔ = =
Bài 2: [ HSG – BG – 2011 ]
Cho a + b = Tìm GTNN 2
( ) ( )
A=a a + b +b b −a
Lời giải
Có a + b =
2 3 3 3
1 ( ) ( ) (1 ) (1 ) 2
b a A a a b b b a a ab b ab a b ab a a a a a a
⇒ = − ⇒ = + + − = + + − = + + = + − + − = − +
2
2 1 1
2
2 2 2
= − + = − + ≥ ∀ ⇔ = =
a a a a a b
Bài 3: [ HSG – HN – 2006 - 2007 ]
Cho số thực x, y thỏa mãn: x + y = Tìm GTNN 3
A=x +y + xy
Lời giải
3 3
2 ( ) ( )
A=x +y + xy= x+y − xy x+y + xy
(13)Theo giả thiết
3 2
2 2 (2 ) (2 ) 8 4( 1) 4
x+ = ⇒ = − ⇒ =y y x A − x − +x x −x = x − x+ = x− + ≥ ∀∈ ⇔ = =R x y
Bài 4:Cho số thực x, y thỏa mãn : x + y + = Tìm giá trị nhỏ :
3 2
2( ) 3( ) 10
A= x +y + x +y + xy
Lời giải
Ta có : 3 2
2( ) 3( ) 10 2( ) ( ) 3( ) 10
A= x +y + x +y + xy= x+y − xy x+y + x+y − xy+ xy
2
28 80 28 ( ) 80 28( 4) 32 28( 2) 32 32 2
= xy− = x − − −x = − x + x+ + ⇒ = −A x+ + ≤ ⇔ = − ⇒ = −x y
Bài 5: [ HSG – HN – 1996 - 1997 ]
Cho số thực x, y thỏa mãn: 2
4
x +y −xy= Tìm GTLN, GTNN P=x2+y2
Lời giải
Ta có:
2 2 2 2 2 2
2
4 ( )
4 x y
x y xy x y x y xy x y x y x y P
x y xy
− =
+ − = ⇒ = + + + − = + + − ≥ + ⇒ ≤ ⇔
+ − =
2
x y
⇔ = = ±
Vậy GTLN P = -2 2 x y x y
= =
⇔ = = −
Mặt khác:
2 2 2 2
2
2
8
8 2( ) 3( ) ( ) 3( )
2
3
3
x y x y
x y xy x y x y x y P
x y xy
x y
= − =
+ =
= + − = + − − ≤ + ⇒ ≥ ⇔ ⇔
−
+ − =
= − =
Vậy GTNN P =
2
;
8 3
2
3
;
3
x y
x y
−
= =
⇔
−
= =
Bài 6:Cho số thực x, y, z thỏa mãn: 2x+2y+ =z Tìm GTLN biểu thức
A= xy+yz+zx
Lời giải
Từ giả thiết: 2x+2y+ = ⇒ = −z z 2x−2y⇒ =A 2xy+y(4 2− x−2 )y +x(4 2− x−2 )y
2 2 2 2
2x 2y 2xy 4x 4y 2A 4x 4y 4xy 8x 8y 4x (x y 2) (y 2) (y 2) 4y 8y
= − − − + + ⇒ = − − − + + = − − + − − + − − +
2
2
4 16 16 16
(2 2) (2 2)
2
3 3 3
3
=
= − + − − − + = − + − − − + ≤ ⇒ ≤ ⇔ ⇒ =
=
x
x y y y x y y A z
y
Bài 7: Cho số thực x, y, z thỏa mãn: x + y + z = Tìm GTLN A=xy+2yz+3xz
(14)Lời giải
Từ giả thiết
2
6 (2 ) (6 )(2 ) 18 12
z x y A xy z y x xy x y y x x y xy x y
⇒ = − − ⇒ = + + = + − − + = − − − + +
2 2 2
3A 9x 6y 12xy 54x 36y 9x (2x y 9) 6y 36y (3x 2y 9) 2y 81 81
⇒ = − − − + + = − − − − + = − + − − + ≤
3
27
0
x y x
A z
y y
+ − = =
⇒ ≤ ⇔ ⇔ ⇒ =
= =
Bài 8:Cho số thực x, y thỏa mãn: 2
2 7( ) 10
x + xy+ x+y + y + = Tìm giá trị nhỏ
của: A= + +x y
Lời giải
Từ giả thiết
2 2 2
2 7( ) 10 28 28 40 (2 7)
x + xy+ x+y + y + = ⇒ x + xy+ x+ y+ y + = ⇔ x+ y+ + y =
2
(2x 2y 7) 2x 2y 3 2x 2y x y 2 A
⇒ + + ≤ ⇒ + + ≤ ⇒ − ≤ + + ≤ ⇔ − ≤ + ≤ − ⇔ − ≤ ≤
+) A= ⇔ = −1 x 2;y=0 +) A= − ⇔ = −2 x 5;y=0
Bài 9:Tìm GTLN, GTNN S =ab+2009, với a, b, hai số thực khác
2
2
2
4
b a
a
+ + =
Lời giải
Ta có:
2
2
2
2
1
1
4 2 2 2011
4
0
− =
= + − + + − + − = − + − + + ≥ + ⇒ ≤ ⇒ ≤ ⇔
− =
a
b b a
a a ab ab a a ab a ab ab S
b
a a
a
1; 1;
a b
a b
= − = −
⇔ = =
Ta lại có:
2
1
1;
4 2 2007
1; 2
0
− =
= = −
= − + + − + ≥ − + ⇒ ≥ − ⇒ ≥ ⇔ ⇔
= − =
+ =
a
a b
b a
a a ab ab ab S
a b
b a
a
Vậy GTNN S = 2007 ⇔( , )a b = ± ±( 1; 2)
Bài 10: [ Tuyển sinh vào 10 – TH – 2009 – 2010 ]
Cho số thực m, n, p thỏa mãn: 2
2
m
n +np+p = − Tìm GTNN, GTLN A= + +m n p
(15)Lời giải
Theo giả thiết có:
2
2
2 2
2 2 2 2
2 2
2
3
2
2 2
2 2 2
( ) ( ) ( )
( ) 2 2
+ + = −
⇔ + + + =
⇔ + + + + + + − + + − + =
⇔ + + + − + − =
⇒ + + ≤ ⇒ − ≤ + + ≤ ⇒ − ≤ + + ≤
m n np p
n np p m
m n p mn np mp m mn n m np p
m n p m n m p
m n p m n p m n p
+)
0
2
2
3
m n
A m p m n p
m n p
− =
−
= − ⇔ − = ⇔ = = =
+ + = −
+)
0
2
2
3
m n
A m p m n p
m n p
− =
= ⇔ − = ⇔ = = =
+ + =
Bài 11:Cho x, y, z số thực thỏa mãn : 2
x +y +z = Tìm GTLN, GTNN
2
A= + +x y z
Lời giải
Từ 2 2 2 2 2
3 6 18 ( ) ( ) (2 ) (2 ) 18
x +y +z = ⇔ x + y + z = ⇔ x+ +y z + −x y + x−z + y−z =
2 18 3
x y z A
⇒ + + ≤ ⇒ − ≤ ≤
+)
0
2
2
3 2
2
2
x y
x z x y
A
y z
z x y z
− =
−
− = = =
= − ⇔ ⇔
− =
= −
+ + =
+) 2;
2
A= ⇔ = =x y z=
Bài 12:Cho số thực m, n, p thỏa mãn : 2
2 (1)
2
+ + + + + =
m n p mn mp np
Tìm GTLN, GTNN biểu thức A= + +m n p
Lời giải
2 2
2 2 2 2
2 2
2
(1) 4
3( 2 ) ( 4 ) ( )
3( ) ( ) ( )
3( ) 1
⇔ + + + + + =
⇔ + + + + + + − + + − + =
⇔ + + + − + − =
⇒ + + ≤ ⇒ − ≤ + + ≤
m n p mn mp np
m n p mn np pm m mp p n np p
m n p m p n p
m n p m n p
(16)+)
2
1
1 ;
2
1
m p
A n p m n p
m n p
− =
− −
= − ⇔ − = ⇔ = = =
+ + = −
+)
2
1
1 ;
2
1
m p
A n p m n p
m n p
− =
= ⇔ − = ⇔ = = =
+ + =
Bài 13:Cho x + y = z = ; 2
;
A=x +y +z B=xy+yz+zx
a Chứng minh A≥B b Tìm GTNN A
c Tìm GTLN B d Tìm GTNN A + B
Lời giải
a Xét 2
( ) ( ) ( )
2
A B− = x−y + −x z + y−z ≥ ⇒ ≥ ⇔ = =A B x y z
b Ta có :
2 2
2 2 2 2
2 2
2( )
(x y z) x y z xy yz zx x y z 2(xy yz zx) 3(x y z )
x y z xy yz zx
+ + + + + =
+ + = ⇔ ⇒ = + + + + + ≤ + +
+ + ≥ + +
9 3A A x y z
⇔ ≤ ⇒ ≥ ⇔ = = =
c 2
9=(x +y +z )+2(xy+yz+zx)≥3(xy+yz+zx)=3B⇒ ≤ ⇔ = = =B x y z
d Có: 9
3
A B
A B B x y z
B
+ =
⇒ + = − ≥ ⇔ = = =
≤
Bài 14:Cho a b c, , ∈ −[ 1; 2] thỏa mãn: a+ + =b c Tìm GTLN P=a2+b2+c2
Lời giải
Với x∈ −[ 1, 2], ta có: x≥ −1;x≤ ⇒2 (x+1)(x− ≤ ⇒2) x2− − ≤ ⇔x x2 ≤ +x
Áp dụng :
2 2
2 2 6 ( , , ) ( 1, 1, 2)
P=a +b +c ≤ + + + + + = + + + = ⇒a b c a b c a b c = − − ⇒GTLN=
Bài 15:Cho a b c, , ∈ −[ 1; 2] thỏa mãn a+ + =b c Tìm GTLN P=a2+b2+c2
Lời giải
Ta có : (a+1)(b+1)(c+ ≥ ⇒1) abc+ab bc+ +ca+ + + + ≥a b c
(2−a)(2−b)(2− ≥ ⇒ −c) 4(a+ + +b c) 2(ab bc+ +ca)−abc≥ ⇒0 3(ab bc+ +ca) 3(+ − a+ + ≥b c)
3(ab bc ca) ab bc ca P (a b c) 2(ab bc ca) 2(ab bc ca)
⇔ + + ≥ − ⇔ + + ≥ − ⇒ = + + − + + = − + + ≤
Dấu ‘ = ’’ xảy ⇔( , , )a b c = −( 1, 0, 2)⇒maxP=5 BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1:Tìm của: 2
3
A= x +y biết 3x+ =y Hướng dẫn
(17)Từ 3x y+ = =>1 ( )2
1 3
y= − x⇒ =A x + − x 2 12x 6x
= − +
Bài 2:Tìm của: A=xy biết 3x+ =y
Hướng dẫn
Ta có 3x+ = ⇒y y= −1 3x=> =A x(1 3− x)= −3x2+x
Bài 3: Tìm của: 3
A=a −b −ab biết: a – b =1
Hướng dẫn
Ta có:
( )3 3 ( )
1 1
a= + => =b A b+ − − +b b b =2b2+2b+1
Bài 4:Tìm max của: B=a b biết: 3a+5b=12
Hướng dẫn
Từ giả thiết ta có: 12
3
b
a= − , thay vào 12 5 12
3 3
b
B=b − =− b + b
Bài 5: Tìm của: 3
C=x +y +xy biết: x+ =y Hướng dẫn
Từ giả thiết =>y= −1 x thay vào C ta được: C=x3+ −(1 x)3+xy=2x2−2x+1
Bài 6:Tìm của: 2
2
D=x + y biết: x+2y=1 Hướng dẫn
Từ giả thiết suy x= −1 2y thay vào D= −(1 2y)2+2y2
Bài 7:Tìm của: 2
2
E = x + y biết: 4x−3y=7 Hướng dẫn
Từ giả thiết suy
x
y= − thay vào E làm tiếp
Bài 8:Cho a, b>0 a+b=4, tìm GTLN P 1 1
a b
= − −
Hướng dẫn
Ta có: P 1 1 a b 1 1
a b ab ab ab ab ab ab
+
= − + + = − + = − + = −
Do , 4
2
a b> => + = ≥a b ab => ab ≤ = =>ab≤
Khi đó: 3 3
4 4
ab ≥ => −ab ≤ − = , dấu = xày
4 2
a b
a b a b
+ =
<=> = = =
(18)Bài 9: Tìm của:
2
1
1
F
a b
= + + +
, biết: a + b = a,b >
Hướng dẫn Cách 1:
Ta có:
2 2
1 a b a b b a
a b a b
+ +
+ + + = + + +
=
2
2
8 a b a b
b a b a
+ + + +
8 4.2 18
≥ + + =
Cách 2:
Ta có:
2
2 2 2
2 1 1
1 2 2 a b a b
F
a a b b a b a b ab a b
+ +
= + + + + + = + + + + = + +
2 2
2
2 a b
F
ab a b
+
= + + (1)
Mà a b+ = =>1 a2+b2 = −1 2ab thay vào (1) ta được:
2 2
2
2 ab
F
ab a b a b
−
= + + = +
Lại có: 1 2 1 2
2 16
a b+ = ≥ ab => ab ≤ =>ab≤ =>a b ≤
2 2
1 16 F 2 2 16 18
a b a b
=> ≥ => = + ≥ + =
Dấu = 1
2
a b
a b a b
+ =
<=> = = =
Bài 10:Cho x, y thỏa mãn: 2
2
2
4 y x
x
+ + = , tìm Max của: A= x.y Hướng dẫn
Từ giả thiết ta có : 2 2
1
4 2
4
y
x x xy xy
x
= + − + + − + +
=>
2
1
4
2
y
x x xy
x
= − + − + +
=>xy+ ≤ =>2 xy≤2
Bài 11: Cho hai số thực a,b ≠0, thỏa mãn: 2
2
4 b a
a
+ + = , Tìm min, max của: 2017
S=ab+
Hướng dẫn
Từ giả thiết ta có :
2
2
2
2
1
4 2
4
b b
a a ab ab a a ab
a a
= + − + + − + + = − + − + +
=>ab+ ≤ =>2 ab+2017≤2019=> ≤S 2019
(19)Mặt khác :
2
2
2
2
1
4 2
4
b b
a a ab ab a a ab
a a
= + − + + + − + = − + − − +
=>− + ≤ =>ab ab≥ − =>2 ab+2017≥2015=>S≥2015
Bài 12:Cho hai số x,y khác thỏa mãn: 2
2
8 y x
x
+ + = , Tìm min, max của: A=xy+2024 Hướng dẫn
Từgt ta có : 2 2 2
2 2
8 16 16
8 16 8
8 4
y y y
x x x x xy xy
x x x
= + + => = + + = + − + + + − +
=>
2
4
8 8 16 2024 2016
2
y
x x xy xy xy A xy
x
= − + + − + => − + ≤ => ≥ − => = + ≥
Mặt khác :
2
2
2
2
16
16 8
4
y y
x x xy xy x x xy
x x
= + − + + − + + = − + − + −
=>xy− ≤8 16=>xy≤ => =8 S xy+2024≤2032
Bài 13:Cho x, y ∈R khác biết: 2
8
4
x y x
+ + = , Tìm x, y để B=x y đạt đạt max Hướng dẫn
Ta có : 2 ( 2 )
2
1
4 4 4
4
x y x x y xy xy
x x
= + + = + − + + − + +
4 = ( )
2
2
1
2 4
2
x x y xy xy B xy
x
− + − + + => + ≤ => = ≤
Mặt khác : ( )
2
2
1
4 2 4
2
x x y xy xy B xy
x
−
= − + + − + => − + ≤ => = ≥
Bài 14:Cho x, y > thỏa mãn: x + y = 1, Tìm của: ( )( )
4 25
A= x + y y + x + xy
Hướng dẫn
Ta có : 3 2 ( 3)
16( ) 12 12 25 12 34
A= xy + x + y + xy+ xy= x y + x +y + xy Vì x + y = nên 3 ( )( 2) ( )2
3
x +y = x+y x −xy+y = x+y − xy= − xy, thay vào A
( )
2
6 12 34
A= x y + − xy + xy, Đặt xy = t đó:
6 12
A= t − +t
Bài 15: Cho x, y số thực thỏa mãn: x y+ =1Tìm biểu thức: ( 4 )( 4 ) 8
C = x + y y + x + xy
Hướng dẫn
Ta có : C=(x2 +4y y)( 2+4x)+8xy x y= 2+4x3+4y3+16xy+8xy x y= 2+4(x3+y3)+24xy
(20)Do x y+ = =>1 x3+y3 =(x y+ )3−3xy x y( + )= −1 3xy Thay vào C ta được :
( ) ( ) ( )2
2 4 3 24 2 12 4 2 2 36 32 6 32 32 C x y= + − xy + xy x y= + xy+ = x y + xy + − = xy+ − ≥ −
32
MinC = − , Dấu = xảy
6
x y x
xy y
+ = =
=>
= − = −
2
x y
= − =
Bài 16:Cho x, y hai số thực thỏa mãn: x + 2y = tìm của: 2
2 A=x + y
Hướng dẫn
Từgt ta có: x= −3 2y thay vào A= −(3 2y)2+2y2 =6y2−12y+9
Bài 17: Cho x, y hai số thực thỏa mãn: 2
4
x +y −xy= , Tìm max của: A=x2+y2
Hướng dẫn
Ta có : 2 2 2 2 ( )2 2 2
4 2 8
x +y −xy= => x + y − xy= => x−y +x +y =
⇒x2+y2 ≤8 hayA≤8
Mặt khác : 2 2 2 2 2 2 ( )2
8=2x +2y −2xy=>2x +2y = +8 2xy=>3x +3y = +8 x+y ≥8 => 2
3
x +y ≥
Hay
3
A≥
Bài 18: Cho x,y thỏa mãn: x+ y =2, Tìm của: 3
2
A= +x y + xy
Hướng dẫn
Từgt ta có : y= −2 x thay vào A ta : A=x3+(2−x)3+2x(2−x)
Bài 19:Cho số thực x, y thỏa mãn: x+ + =y 0, Tìm max của: ( 3) ( 2)
2 10
A= x +y + x +y + xy
Hướng dẫn
Ta có: x y+ = −4, nên 3 ( )3 ( )
3 64 12
x +y = x+y − xy x+y = − + xy,
( )2 2
2 16
x +y = x+y − xy= − xy thay vào A=2(− +64 12xy) (+3 16 2− xy)+10xy
Bài 20: Cho x, y, z ∈ R, thỏa mãn: 2x+2y+ =z 4, tìm max của: A=2xy+yz+zx
Hướng dẫn
Từ giả thiết ⇒ = −z 2x−2y thay vào A ta :
( ) ( ) 2
2 2 2 2 4
A= xy+y − x− y +x − x− y = − x − y − xy+ x+ y
Bài 21: Cho x, y, z ∈ R thỏa mãn: x+ + =y z Tìm max của: A=xy+2yz+3zx
Hướng dẫn
(21)Từ gt => z= − −6 x y thay vào A=xy+2y(6− −x y)+3x(6− −x y)
Bài 22: Cho x,y ∈ R thỏa mãn: ( )
2 10
x + xy+ x+y + y + = Tìm max của:
3
S = + +x y
Hướng dẫn
Từgt ta có: 2
2 7 10
x + xy+ x+ y+ y + =
( )2 2
2 7 (2 7)
2 10
2 4
y
y y
x x + + y y +
⇒ + + + + + − =
2
7
0
2
x y y
⇒ + + + − =
3
5
2 x y 2 x y
⇒ − ≤ + + ≤ => − ≤ + ≤ − ⇒ − ≤ + + ≤2 x y
Bài 23:Cho số thực m, n, p thỏa mãn: 2
1 m
n +np+p = − Tìm min, max của:
A= + +m n p
Hướng dẫn
Từgt ta có : 2 2 2
2n +2np+2p = −2 3m =>3m +2n +2p +2np=2
=> 2 ( 2 )
(m +n +p +2mn+2np+2mp)+ 2m +n + p −2mn−2mp =2 =>( ) (2 ) (2 )2
2
m+ +n p + m−p + m n− ≤ =>− 2≤ + + ≤m n p
Bài 24:Cho x, y, z số thực thỏa mãn: 2
x +y +z = , Tìm min, max của:
2
P= + +x y z
Hướng dẫn
Ta có : ( )2 2
2 4
P = x+ +y z =x +y + z + xy+ yz+ xz, nên ta nhân vào gt :
( ) ( )
2 2 2 2 2
18=6x +6y +6z = x +y +4z +2xy+4yz+4zx + 5x +5y +2z −2xy−4yz−4zx
( ) (2 ) (2 ) (2 )2
18= x+ +y 2z + x−y + 2x−z + 2y−z =>(x+ +y 2z)2 ≤18 18 x y 2z 18
− ≤ + + ≤
Bài 25:Cho số thực m, n, p thỏa mãn: 2
2
2
m + n + p + mn+mp+ np= ,
Tìm max của: B= + +m n p
Hướng dẫn
Từgt ta có : 2
4m +4n +8p +6mn+2mp+4np=3
=> ( 2 ) ( 2 )
3 m +n +p +2mn+2mp+2np + m +n +5p −4mp−2np =3 => ( ) (2 ) (2 )2
3 m+ +n p + 2p−m + n−p =3=>3(m+ +n p)2 ≤ => − ≤ + + ≤3 m n p
Bài 26: Cho x, y, z thỏa mãn: x+ + =y z 3, Tìm max của: A=xy+yz+zx
(22)Hướng dẫn
Từ gt =>z= − −3 x y thay vào A=xy+y(3− −x y) (+x 3− −x y)=x2 −y2−xy+3x+3y
Bài 27: Cho x, y, z thỏa mãn: x + y + z = 3, Tìm max của: B= − +xy 3yz+4zx
Hướng dẫn
Từgt ta có: z= − −3 x y =>B= − +xy 3y(3− −x y)+4x(3− −x y)
⇒ = −B 4x2−3y2−16xy+9y+12x
Bài 28: Cho số thực x,y,z thỏa mãn: 2x+3y− =z 4, Tìm max A= − +xy yz+zx
Hướng dẫn
Từ gt =>z=2x+3y−4 thay vào A= − +xy y(2x+3y− +4) (x 2x+3y−4)
Bài 29:Cho số thực x,y,z thỏa mãn: 2x+3y− =z 4, Tìm max của:
12
B= xy− yz− zx
Hướng dẫn
Từgt ta có : z=2x+3y−4 thay vào B=12xy−3y(2x+3y− −4) 4x(2x+3y−4)
Bài 30: Cho hai số thực x,y thỏa mãn: x+ = −y 2, tìm của: A=2(x3+y3)−15xy+7 Hướng dẫn
Từ x + y = -2, ta có: 3 3 ( )3 ( )
3
x +y = x+y − xy x+y = − + xy thay vào
( )
2 15
A= − + xy − xy+ = − xy− y = - - x thay vào A= −3x(− − −2 x)
Bài 31: Cho hai số thực x, y thỏa mãn: x+ = −y 2, Tìm
( )
4 3 2 2
2 13
B=x +y −x −y + x y + xy x +y + xy
Hướng dẫn
( )
4 3 2 2
2 13
B=x +y −x −y + x y + xy x +y + xy
Từ x + y = - 2, ta có: 4 4 ( )2 2 2 ( )2 2 2
2 2
x +y = x+y − xy − x y = − xy − x y
3
6
x +y = xy− , x2+y2 = −4 2xy, Thay vào b ta :
( )2 2 2 ( ) 2 2 ( )
4 2 2 13
B= − xy − x y − xy− + x y + xy − xy + xy
24
B= − +xy , thay y= − − => =2 x B x2+2x
Bài 32: Cho hai số thực x, y thỏa mãn: x+ =y 5, Tìm max của:
( )
3 2
8
A=x +y − x +y +xy+
Hướng dẫn
(23)Vì x+ =y nên x3+y3 =125 15− xy x2+y2 =25 2− xy thay vào
( )
125 15 25 2
A= − xy− − xy +xy+
Bài 33:Cho hai số x,y thỏa mãn: x + y = 5, Tìm max của:
( ) ( )
4 3 2 2
4 20
B=x +y − x +y − x +y − x y +xy
Hướng dẫn
( ) ( )
4 3 2 2
4 20
B=x +y − x +y − x +y − x y +xy Vì x + y = nên 4 4 ( )2 2 2
25 2
x +y = − xy − x y , x3+y3 =125 15− xy, x2+y2 =25 2− xy
( )2 2 ( ) ( ) 2
25 2 125 15 20 25 2
B= − xy − x y − − xy − − xy − x y +xy
Bài 34:Cho hai số x, y thỏa mãn: 4 ( )
7
x +y − =xy − xy , Tìm max của: P=xy
Hướng dẫn
Từ giả thiết suy ra: 4 2
3
x +y − xy+ x y =
=>( ) ( )
2
4 2 2 2 121
2
4 16
x − x y +y + x y − xy= => x −y + xy− =
=>
2 121
4 16
xy
− ≤
Bài 35:Cho số thực x, y thỏa mãn: 2
7x +9y +12xy−4x−6y− =15 0, Tìm max của:
2
A= x+ y+
Hướng dẫn
Từ giả thiết suy ra: ( ) ( )2 2
2x + 3y +2.2 3x y−2.2x−2.3y+ +1 3x =16 =>(2x+3y+1)2+3x2 =16
Bài 36:Cho số thực x,y,z thỏa mãn: 2
3x +2y +5z +4xy−2xz+2yz=5, Tìm max của: P= +x y
Hướng dẫn
Từgt ta có: ( 2 ) ( 2 )
2 2
x +y + xy + x +y + z + xy− xz+ yz =
=>( )2 ( 2 ) ( 2)
2 2 4
x+y + x +y +z + xy+ yz+ zx + z − xz+x =
=>( )2
5 5
x+y ≤ => − ≤ + ≤x y
Bài 37:Cho số x, y, z thỏa mãn: 3x+ +y 2z=1 Tìm max của: p=x2+y2+z2
Hướng dẫn
Từgt ta có: y= −1 3x−2z =>y2 = +1 9x2+4z2−6x+12xz−4zkhi :
2
10 12
P= x + z + xz− x− z+
Bài 38: Cho số x, y, z thỏa mãn: x + y + z = 1, Tìm max của: A=2xy+3yz+4zx
Hướng dẫn
Từ gt =>z= − −1 x y thay vào A=2xy+3y(1− −x y)+4x(1− −x y)
(24)Bài 39:Cho x, y ∈R, thỏa mãn: x + 2y = 1, Tìm max của: P = x y Hướng dẫn
Từ gt =>x= −1 2y thay vào P= y(1 2− y)
Bài 40: Cho x, y ≥ 0, x + y = 1, Tìm min, max của: 2 A=x +y
Hướng dẫn
Từ gt =>y= −1 x thay vào A=x2+ −(1 x)2
Bài 41:Tìm max của: P= + +x y z, biết: 2
2
y +z +yz= − x
Hướng dẫn
Từ gt => 2 2 2
2y +2z +2yz= −2 3x =>3x +2y +2z +2yz=2
=>( 2 ) ( 2 )
2 2 2 2
x +y +z + xy+ yz+ zx + x +y +z − xy− zx =
=>( ) (2 ) (2 )2 ( )2
2
x+ +y z + x−y + x−z = => x+ +y z ≤
Bài 42:Cho 2
3 10 14 18
x + y + xy− x− y+ = , Tìm min, max của: S = +x y
Hướng dẫn
Từ gt => 2 ( ) ( )2 2 2
2 5 14 18 10 25
x + x y− + y− + y − y+ −y + y− =
=>( )2 ( 2 ) ( )2
5 2 9
x+ −y + y − y+ = => x+ −y ≤ =>− ≤ + − ≤3 x y
Bài 43:Cho a, b, c không âm thỏa mãn: 3a + 2c = 51 c + 5b = 21
Tìm max A = a + b + c
Hướng dẫn
Cộng theo vế giả thiết ta : 3a+3c+5b=72=>3(a b c+ + )=72 2− b≤72
Do 72 24
3
b≥ => + + ≤a b c =
Bài 44:Cho a, b, c sốkhông âm thỏa mãn: 2a + b = - 3c 3a + 4b = 3c + Tìm E=2a+3b−4c
Hướng dẫn
Cộng theo vếta :
4
4 3
2
3 2
3 c
a c
a b
b c
c
≤ = −
+ = => =>
= −
≥
0 a b
≥ ≥
Khi đó: E=2 3( − c) (+3 3c− −2) 4c= −2 c
Bài 45: Cho x y z, , ≥0, 2x+7y=2014, 3x+5z=3031, Tìm GTLN biểu thức A= + +x y z
Hướng dẫn
(25)Cộng theo vế gt ta có: 5x+5y+5z=5045 2− y≤5045 y≥0
nên 5(x+ +y z)≤5045=> + + ≤x y z 1009
Bài 46: Cho a b+ =2,Tìm max của: ( 2)
A=ab a +b
Hướng dẫn
Ta có: 2 ( ) 2
2 4 2
a b+ = =>a +b = − ab=> =A ab − ab = − a b + ab ( 2 )
2 2
A= − a b − ab+ + ≤ , Max A=2
Bài 47: Cho x, y thỏa mãn: (11x+6y+2015)(x− + =y 3) 0, Tìm của: P=xy−5x+2016 Hướng dẫn
Từgt ta có : 11x+6y+2015=0 x− + =y
TH1: Ta có : 11 2015 11 2015
x
x+ y+ = => =y + thay vào P TH2: ta có: x− + = => = +y y x thay vào P
Bài 48: Cho số x,y,z thỏa mãn : x+ + =y z 3, Tìm GTLN :B=xy+yz+zx
Hướng dẫn
Ta có : B=xy+z x( +y)=xy+3−(x+y) ( x+y)
= ( ) ( )2 2 2
3 3
xy+ x+y − x+y = − −x y −xy+ x+ y= ( )
2
2
3
1 3
2
y
x − − y
− + + − + ≤
Bài 49:Cho 2
3
x +xy+ y = , tìm Min max biểu thức : P= x2−2xy+2y2
Hướng dẫn
Ta có : 22 2 22
5
P x xy y x xy y
− +
=
+ +
Dạng 5: Phương pháp đổi biến số Phương pháp:
- Phân tích thành biểu thức tương đồng đểđặt ẩn phụ
- Sử dụng phương pháp nhóm hợp lý làm xuất nhân tửđểđặt ẩn phụ - Sử dụng đẳng thức (a b± ) (2, a b c+ + )2
Bài 1:Tìm GTNN biểu thức 2
( 1) ( 3)
A= x− + −x
Lời giải
Đặt 2
2 ( 1) ( 1) 2 2
y= − ⇒ =x A y+ + y− = y + ≥ ⇒ A= ⇔ = ⇒ =y x
Bài 2: Tìm GTNN A=(x−1)(x−4)(x−5)(x−8)
Lời giải
(26)2
( 1)( 4)( 5)( 8) ( 8)( 20)
A= x− x− x− x− = x − x+ x − x+ Đặt
2 2 2
9 ( 12) 12 ( 6) 36 36 14
7
x
t x x A t t t t t t x x
x
=
= − + ⇒ = + = + = + − ≥ − ⇔ = ⇔ − + = ⇔
=
Bài 3:Tìm GTNN biểu thức A= x2−42x+1 (x≠0)
x
Lời giải
2
2
4 1
1 ( ) ( 2) 3
2
A y y y A y y x
x x x
= − + = − + = ⇒ = − − ≥ − ⇔ = ⇔ =
Bài 4:Tìm GTNN của:A=x x( −3)(x−4)(x−7)
Lời giải
( 7)( 3)( 4) ( 7 )( 7 12)
A x x= − x− x− = x − x x − x+ , đặt x2 −7x+ =6 t, đó: ( )( )6 6 36 36
A= −t t+ = −t ≥ − , dấu “ = ” 0 7 6 0
6
x
t x x
x
= = <=> − + = <=>
=
Vậy Min A = - 36 x = x =
Bài 5:Tìm GTNN của: ( )( )( )
1
B= x− x− x − x+
Lời giải
( 4 5)( 4 5)
B= x − x+ x − x+ , Đặt x2−4x+ =4 0 Khi đó: ( )( )1 1 1 1
B= −t t+ = − ≥ −t , Dấu “ = “ t2 = <=>0 x2 −4x+ = <=> =4 0 t 2
Bài 6: Tìm của: A=x x( +2)(x+4)(x+ +6)
Lời giải
( 6)( 2)( 4 8) ( 6 )( 6 8 8)
A x x= + x+ x+ + = x + x x + x+ + , Đặt x2 +6x+ =4 t Khi đó: ( )( )4 4 8 16 8 8 8
A= −t t+ + = −t + = − ≥ −t , Dấu “ = ” Khi đó:
2 0 6 4 0
3
x
t x x
x
= − + = <=> + + = <=>
= − −
Bài 7: Tìm GTNN của: B=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)
Lời giải
( 1)( 4)( 2)( 3) ( 5 4)( 5 6)
B= x+ x+ x+ x+ = x + x+ x + x+ , Đặt x2 +5x+ =5 t, Khi đó: ( )( )1 1 1 1
B= −t t+ = − ≥ −t , Dấu “ = “ 0 5 5 0 5
2
t = <=>x + x+ = <=> =x − ±
Bài 8:Tìm GTNN của: ( )( )
6
A= x + −x x + +x
(27)Lời giải
Đặt x2 + − =x 2 t Khi đó: A= −( )( )t 4 t+4 = −t2 16≥ −16
Dấu “ = “ xảy khi: 0 2 0
2
x
t x x
x
= = <=> + − = <=>
= −
Bài 9:Tìm GTNN : C=(x−1)(x+2)(x+3)(x+6)
Lời giải
( 1)( 6)( 2)( 3) ( 5 6)( 5 6)
C= x− x+ x+ x+ = x + x− x + x+ , Đặt x2+5x t= Khi đó: ( )( )6 6 36 36
C= −t t+ = −t ≥ − , Dấu “ = ” 0 5 0
5
x
t x x
x
= = <=> + = <=>
= −
Bài 10: Tìm GTNN của: D=(2x−1)(x+2)(x+3 2)( x+1)
Lời giải
(2 1)( 3)( 2 2)( 1) (2 5 3 2)( 5 2)
D= x− x+ x+ x+ = x + x− x + x+ , Đặt 2x2+5x t= , Khi đó: ( )( )3 2 6 25 25
2 4
D= −t t+ = − − = −t t t − ≥ −
, Dấu “ = “ khi:
2
1 2 5 29
2
t = <=> x + x= <=> =x − ±
Bài 11: Tìm của: C=(x+1)(x+2)(x+3)(x+ +4) 2011
Lời giải
( )(1 4)( 2)( 2011)
C= x+ x+ x+ x+ + =(x2+5x+4)(x2 +5x+6)+2011, Đặt x2+5x+ =5 t
Khi đó: ( )( )1 1 2011 5 5 0 5
2
C= −t t+ + <=>x + x+ = <=> =x − ±
Bài 12: Tìm max của: E= + −5 (1 x)(x+2)(x+3)(x+6)
Lời giải
( )( )( )( ) ( )( )
5 6
E= − x− x+ x+ x+ = − x + x− x + x+ + , đặt x2+5x t=
Khi đó:E= − −( )( )t 6 t+6 + = −5 (t2−36)+ = − +5 t2 41 41≤
Dấu “ = “ Khi 0 5 0
5
x
t x x
x
= = <=> + = <=>
= −
Bài 13:Tìm GTNN của: M =(x−1)(x+2)(x+3)(x+6)
Lời giải
( 1)( 6)( 2)( 3) ( 5 6)( 5 6)
M = x− x+ x+ x = = x + x− x + x+ , Đặt x2+5x t=
(28)Khi đó:M = −( )( )t 6 t+6 = −t2 36≥ −36 , Dấu “ = ” 0 5 0
5
x
t x x
x
= = <=> + = <=>
= −
Bài 14:Tìm của: ( )( )( )
1 2014
D= x+ x − x+ +
Lời giải
( 1)( 2)( 2)( 5 2014) ( 3 10)( 3 2) 2014
D= x+ x+ x− x+ + = x + x− x + x+ + , Đặt x2+3x− =4 t
Khi đó: D= −( )( )t 6 t+ +6 2014= +t2 1978 , Dấu “= “ xảy khi:
2 0 3 4 0
4
x
t x x
x
= = <=> + − = <=>
= −
Bài 15:Tìm GTNN của:
6 10
C =x − x + x − x+
Lời giải
( 4 2 2) ( 2 ) ( 2 )2 ( )2
2.3 9 3
C= x − x x+ x + x − x+ = x − x + x− ≥
Bài 16: Tìm GTNN của: ( ) (4 )4
8
D= x+ + x+
Lời giải
Đặt: ( ) (4 )4
7 1 12 2
x+ = =>y D= y+ + y− = y + y + ≥
Bài 17:Tìm max của: ( )4 ( )4
2 3
F = − x+ − x−
Lời giải
Đặt x− = => = −2 t F 3(t+3)4−3( )t−3
( 2 ) (2 2 )2 4 2 ( 4 2)
3 9 324 484 54 484
F t t t t t t t t
− = + + + − + − = + + = + +
( 2 )2
6 27 3890 3890
F= − t + + ≤
Bài 18: Tìm của: ( ) (4 )4
3
G= x+ + x−
Lời giải
Đặt x− = => = +2 t G ( ) ( )t 5 + −t 5 =(t2+10 25t+ ) (2+ t2−10 25t+ )2
( ) ( )2
4 4 4
2 300 1250 2.75 5625 10 75 10 10
G= t + t + = t + t + − = t + − ≥ −
Bài 19: Tìm của:
6 11 12 20
I =x − x + x + x+
Lời giải
( )
4 6 11 12 20 2 6 9 2 12 20 I x= − x + x − x+ =x x − x+ + x − x+
( )2 ( ) ( )2 ( )2
2 3 2 6 9 2 3 2 3 2 2
I x x= − + x − x+ + =x x− + x− + ≥
Bài 20:Tìm sốngun m lớn cho BĐT ln với x:
(29)( )( ) (2 )
1
x+ x+ x+ ≥m
Lời giải
( )( )( )2 ( 2 )( 2 )
1 4
VT = x+ x+ x+ = x + x+ x + x+ , Đặt x2+4x t= , Khi đó: ( )( )3 4 7 12 2 .7 49 12 49 1
2 4 4
VT = +t t+ = + +t t = +t t + + − = +t − ≥ −
Dạng : Sử dụng bất đẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối
a Định nghĩa:
0
A A A
A A A
= ⇔ ≥
= − ⇔ ≤
b Tính chất
+) ∀ ∈ ⇒A R A ≥0; A ≥ A
+) ∀x y, ∈ ⇒ + ≤R x y x + y ⇔xy≥0 +) ∀x y, ∈ ⇒ − ≥R x y x − y ⇔(x−y y) ≥0
Bài 1:Tìm GTNN biểu thức sau
a A= − + −x x b B= − + − + −x x x
c C= − + − + − + −x x x x d D= + + + + − + −x x x x e E= + + + + + + + + + + +x x x x x x
Lời giải
a A= − + − = − + − ≥ − + − =x x x x x x = ⇒ ≥ ⇔4 A (x−3)(7−x)≥ ⇔ ≤ ≤0 x b B= − + − + −x x x
Ta có : B= − + − = − + − ≥x x x x 2(1)⇔(x−1)(3−x)≥ ⇔ ≤ ≤0 x Mà : x− ≥ ⇔ =2 x 2(2)⇒ ≥ ⇔ =C x
c C= − + − + − + −x x x x
Ta có : x− + − = − + − ≥ ⇔ ≤ ≤1 x x x x 3;x− + − = − + − ≥ ⇔ ≤ ≤2 x x x 2 x
4 4
C C x
⇒ ≥ ⇒ = ⇔ ≤ ≤
d D= + + + + − + −x x x x
Áp dụng bất đẳng thức M ≥ ∀ ∈M M R
Ta có : D= + + + + − + − ≥ + + + + − + − =x x x x x x x x 22∀ ∈x R
(30)5
2
min 22
7
8
x x
x x
D x
x x
x x
+ ≥ ≥ −
+ ≥ ≥ −
⇒ = ⇔ ⇔ ⇔ − ≤ ≤
− ≥ ≤
− ≥ ≤
e Ta có :
1 6
E= + + + + + + + + + + + = − − + − − + − − + + + + + +x x x x x x x x x x x x
1
E x x x x x x x R E x
⇒ ≥ − − − − − − + + + + + + = ∀ ∈ ⇒ = ⇔ − ≤ ≤ −
Bài 2:Cho số thực x Tìm GTNN biểu thức sau
a A= + + − + −x x x b B= − + − + − + − + −x x x x x
Lời giải
a A= + + − + − = + + − + − ≥ + + − ≥ + + − = ∀ ∈x x x x x x x x x x x R
Dấu ‘ = ’
3
2 2
5
x x
x x x
x x
+ ≥ ≥ −
⇔ − = ⇔ = ⇔ =
− ≥ ≤
b B= − + − + − + − + − = − + − + − + − + −x x x x x x x x x x
2 6
x x x x x x x x x R x
≥ − + − + − + − ≥ − + − + − + − = ∀ ∈ ⇔ =
Bài 3:Cho số thực x Tìm GTLN biểu thức sau
a A= + − −x x b B= − −x 3x− − −5 x
Lời giải
a A= + − −x x
Áp dụng bất đẳng thức : x − y ≤ − ∀x y x y, ∈ ⇔R y x( −y)≥0
5 ( 2) max ( 2)( 2)
A= + − − ≤ + − −x x x x = ∀ ∈ ⇒x R A= ⇔ x− x+ − +x ≥ ⇔ ≥x
b B= − −x 3x− − −5 x Vì
5
5 4
( 4)( 4)
x x
x B x x x x x
x x x x
− = =
− − ≤ ⇒ ≤ − − − ≤ − − + = ⇔ ⇔ ⇔ =
− − − + ≥ ≥
Bài 4:[ Chuyên LHP – 2003 ] Cho số thực x Tìm GTNN
1 2
A= x− − x− + x+ − x+
Lời giải
Đặt 2 2 2
2( 0) 2 ( 1) ( 3)
t= x− t≥ ⇒ = − ⇒ = − ⇒ =t x x t A t − + +t t − + =t t− + t−
1
1 3 3 11
3
t
t t t t t x x
t
− ≥
= − + − ≥ − + − = ⇔ − ≥ ⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤ − ≤ ⇔ ≤ ≤
(31)Bài 5: Cho số thực x Tìm GTNN biểu thức sau a A= x− +4 x− +5 x− −1 x−5 (x≥5) b B= x−2 x− +1 x+ −3 x− +1 x+ −8 x−1(x≥1)
Lời giải
a Đặt
2 2
5( 0) ( 1) (2 ) 2
t= x− t≥ ⇒ = + ⇒ =x t A t+ + −t = + + − = + + − ≥ + + − =t t t t t t
3 2 5
A= ⇔ − ≥ ⇔ ≤ ⇔t t x− ≤ ⇔ ≤ ≤x
b Đặt 2 2
1( 0) ( 1) ( 2) ( 3)
t= x− t≥ ⇒ = − ⇒ =x t A t− + t− + t− = − +t t− + −t
1
1 3 2 2
3
t
t t t t t t x x A x
t
− ≥
≥ − + − ≥ − + − = ⇔ = ⇔ = ⇔ − = ⇔ = ⇒ = ⇔ =
≤
Bài 6: (HSG Tỉnh Sóc Trăng năm 2014 – 2015)
Tìm GTNN A= + + − +x x 2012
Lời giải
Ta có A= + + − +x x 2012= + + − +x x 2012 Lại có : x+ ≥ + ⇔ ≥ −3 x x
Mà 2− ≥ − ⇔ ≤ ⇒ = + + − +x x x A x x 2012≥ + + − +x x 2012=2017 Vậy MinA=2017⇔ − ≤ ≤3 x
Bài 7:(HSG Tỉnh Quảng Ngãi năm 2015 – 2016)
Tìm GTNN A= + + − + − −x x x
Lời giải
Ta có A= + + − + − − = + + − + − −x x x x x x Lại có
1 1; 3 3; 4 4
x− ≥ ⇔ =x x+ ≥ + ⇔ ≥ −x x − ≥ − ⇔ ≤ ⇒ ≥ + + + − − =x x x A x x
Vậy MinA= ⇔ =4 x
Bài 8: (Tạp chí Tốn học tuổi trẻ số 420) Tìm GTNN
( )
1 n 2017 n
A= −x a + −x a + + −x a + a <a < <a
Lời giải
- Trường hợp n=2k⇒ = −A x a1 + −x a2 + + − x ak + ak+1− +x ak+2− + +x a2k− +x 2017
Ta có x−ai ≥ − ⇔ ≥ ∀ =x ai x a ii 1, ;k ak+1− ≥x ak+j − ⇔ ≤x x ak+j∀ =j 1,k
( )
1 k k k 2k 2017 k k 2k
A x a x a x a a + x a + x a x a + a + a
⇒ ≥ − + − + + − + − + − + + − + = + + + −
(32)(a1+a2+ + ak)+2017⇔ak ≤ ≤x ak+1 - Trường hợp
1 2
2 k k k k k 2017
n= k+ ⇒ = −A x a + −x a + + −x a + −x a + + a + − +x a + − + +x a − +x
Ta có: x−ak+1 ≥ ⇔ =0 x ak+1;ak+j − ≥x ak+1− ⇔ ≤x x ak+j∀ =j 1,k
Lại có x−ai ≥ − ⇔ ≥ ∀ =x ai x a i 1, ;k ak+j − ≥x ak+j− ⇔ ≤x x ak+j∀ =j 1,k
( )
1 k k 2k 2017 k k 2k
A x a x a x a a + x a + x a + a + a +
⇒ = − + − + + − + + − + + − + = + + + −
Bài 9: (HSG Tỉnh Yên Bái năm 2015 – 2016) Tìm GTNN A= 5x+ +3 2x− − +3 x
Lời giải
Ta có 3 3 3
5
A= x+ + x− − + =x x+ + x+ + x− − +x
Mặt khác 3;3 3 3
5 5 5
x+ ≥ ⇔ =x − x+ ≥ x+ ⇔ ≥x −
Lại có 3 3 3 29 29
2 5 5
x x x B x x MinB x −
− ≥ − ⇔ ≤ ⇒ ≥ + + + − + = ⇒ = ⇔ =
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1:(Chuyên Toán Quảng Ngãi năm 2014 – 2015)
Tìm GTNN A= 4x+ +3 5x− +7 2x− −9 15
Lời giải
Ta có
5
MinA=− ⇔ =x
Bài 2: Tìm GTNN A= − + − + − + −x x x x
Lời giải
Ta có MinA= ⇔ ≤ ≤4 x
Bài 3: Tìm GTNN ( )2
2 2
A= x− − x− +
Lời giải
Ta có
4
Min A=− ⇔ =x hay
4
x= −
Bài 4:Tìm GTNN A= − + − + − + + −x x x x 1998
Lời giải
Ta có
999 999 1000
Min A= ⇔ ≤ ≤x hay
4
x= −
(a1+ +a2 ak)+2017⇒MinB=(ak+2+ak+3+ + a2k+1) (− a1+ +a2 ak)+2017⇔ =x ak+1
(33)Bài 5:(Chuyên Toán Quảng Ngãi năm 2015 – 2016) Tìm GTNN
3 11
A= x + + x − + x −
Lời giải
Ta có ( 11 3)
11 11
Min A= − + ⇔ =x hay
4
x= −
Bài 6:(Chuyên Tốn Quảng Trịnăm 2015 – 2016) Tìm GTNN
5 2 2017
A= x − + x + + x+
Lời giải
Ta có 2018
2
Min A= + − ⇔ =x − hay
4
x=−
Dạng 7: Dạng phân thức A Phân thức có tử số, mẫu tam thức bậc hai
Phương pháp: Biểu thức dạng đạt giá trị nhỏ mẫu đạt giá trị lớn
min ax
2 ( )m
m
A A ax bc c
ax bc c
= ⇒ ⇔ + +
+ +
Bài 1:Tìm GTLN GTNN biểu thức sau
a) 2
9 12 10
A
x x
=
− + b) 2
4
B
x x
=
+ +
c) 2 2( 0)
9 12
y
C x
x xy y
= ≠
− +
Lời giải
a 2 ax
1 1
9 12 10 (3 2) 6 m
A A x
x x x
= = ≤ ⇒ = ⇔ =
− + − +
b ax
2
2 2 8
1 15
4 15 15
( )
2
m
B B x
x x
x
−
= = ≤ = ⇒ = ⇔ =
+ + +
c 2 2 ( 0)
9 12
y
C x
x xy y
= ≠
− +
+) y= ⇒ =0 A
+) 2
2
1 1 2
0 ( )
9 12 (3 2) 3
9 12
x
y A t t x y
x x t t y t
y y
≠ ⇒ = = = = ≤ ⇔ = ⇔ =
− + − +
− +
Bài 2:Tìm GTNN GTLN biểu thức sau
a) 2
1
y
x x
=
+ + b)
2
y
x x
=
− − c)
2
2
3
( 0)
25 20
= ≠
− + −
y
A x
x xy y
(34)Lời giải
a) Ta viết: 2
1
1 1 3
2
y
x x
x
= =
+ +
+ +
Vì
2
1 3
2 4
x y x −
+ + ≥ ⇒ ≤ ⇔ =
Vậy GTLN
y=
2
x=−
b) Ta có:
2
2 2
2 1 2 1
; (3 1) 4
6 (3 1) (3 1) 4 (3 1) 4
y x x x
x x x x x
− − − −
= = − + ≥ ∀ ⇒ ≤ ⇒ ≥ = ⇔ =
− − − + − + − +
c) y= ⇒ =0 A
+) 2 2 2
2
3 3
0
25 20 (5 2)
25 20
y A
x x t t t
y y
−
≠ ⇒ = = =
− + − − +
− + −
Vì
2
1 2
(5 2)
(5 2) 5
t A t x y
t
− ≥ ⇒ ≤ ⇒ ≥ − ⇔ = ⇔ =
− +
Bài 3: Tìm GTLN biểu thức sau
a) 2
2
A
x x
=
− − b)
1 11
B
x x
=
− +
Lời giải
a)
( )2
5 5
1
2 6
A maxA x
x x x
−
= = ⇒ = ⇔ =
− − − −
b) 2 1
4 11
B x
x x
= ≤ ⇔ =
− +
Bài 4: Tìm của: 2
4
B
x x
=
− +
Lời giải
Ta có : x2−4x+ =9 (x−2)2+ ≥5 5
( )
2
1 1 2 5
B
x x x
=> = = ≤
− + − + , Dấu “ = “ x=2
Bài 5:Tìm max của: 2
5
C
x x
− =
− +
Lời giải
Ta có :
2
2
5 21 21 12
2 4 21
x x x C
x x
− −
− + = − − ≥ => = ≤ =
− +
, dấu “ = ’’
5
x=
(35)Bài 6:Tìm max của: 2 D x x = − + −
Lời giải
Ta có : − +x2 2x− = −3 (x2 −2x+3)= − −(x 1)2 − ≤ −2 2
2
6 3
2
2
x x
=> ≥ = −
−
− + −
Bài 7: Tìm max của: 22
K x
= +
Lời giải
Ta có :
2
2
8
8
x
x
+ ≥ => ≤ =
+
Bài 8:Tìm max của: 2
1
M
x x
=
+ +
Lời giải
Ta có :
2
2
1 3 16
2 4
x x x
x x
+ + = + + ≥ => ≤
+ +
B Phân thức có mẫu bình phương nhị thức
Cách 1: Tách tửthành nhóm có nhân tử chung với mẫu
Cách 2: Viết biểu thức A thành tổng số với phân thức không âm
⇒Ta đưa dạng: = + ≥0
C C
A m
D D
Bài 1:Tìm GTNN biểu thức sau a 22 ( 1)
2 − + = ≠ − + x x A x
x x b
2 ( 1) ( 1) − + = ≠ − x x B x x
c 2 ( 2) ( 2) − + = ≠ − x x C x
x d
2
2 16 41
( ) 22 − + = ∈ − + x x
D x R
x x
e 42 22 ( 1) x x E x − − =
+ f
2
3 12 10 x x F x x − + = − +
Lời giải
a 22 ( 1) 2( 2 2 1) ( 2 4) ( 2)22 2
2 ( 1) ( 1) ( 1)
− + − + − + −
= ≠ = + = + ≥ ⇔ =
− + − − −
x x x x x x x
A x x
x x x x x
Cách khác: ( )
( )
2
2
2
3( 1) 1
3
2 ( 1) 1
− + − − +
− +
= = = +
− + − − −
x x x
x x A
x x x x x
Đặt 2 ( )2
3 2 1
1
y A y y y A y x
x x
= ⇒ = − + = − + ≥ ⇒ = ⇔ = ⇔ = ⇔ =
− −
b 21( 1) 4 2 2 21 23 ( 1)22 3
( 1) 4( 1) 4( 1) 4( 1) 4( 1) 4
x x x x x x x x x
B x x
x x x x x
− + − + + + − + +
= ≠ = = + = + ≥ ⇔ = −
− − − − −
(36)c Đặt 2
= ⇒ = +
−
t x
x t đó:
2
2 1 2
4 4(2 1) (2 1) 5( 1) 1
= + − + + = + − + + = + − ≥ −
A t t t t t t
t t ⇔ = − ⇔ =t x
d 22 22
2 16 41 2( 22) 3
( )
8 22 22 ( 4)
x x x x
D x R
x x x x x
− + − + −
= ∈ = = −
− + − + − +
Vì 2
2
3
( 4) ( 4) 6
( 4) 6
x x x − ≥ ⇒ − + ≥ ⇒ ≤ = − +
3 3
2 ( 4)
( 4) 2
D A x x
x
= − ≥ − = ⇒ = ⇔ − = ⇔ =
− +
e 4 2
2 2 2 2
4 4( 1) 9( 1)
4
( 1) ( 1) ( 1)
− − + + − + +
= = = − + = − + =
+ + + + +
x x x x x
E t t t
x x x x x
2 81 4 16 = − − + E t Ta có:
9 9 1 17
1 2 1
4 4 16 16 16
−
≤ ⇒ − ≤ − = ⇒ − ≥ ⇒ ≥ − = − ⇔ = ⇔ =
t t t A t x
Lời giải ngắn gọn hơn
4 2
1
( 1) x x
E A x
x
+
+ = ≥ ⇒ ≥ − ⇔ =
+
Cách khác: 24 2 22 12 1
( 1) ( 1)
x x E x x x + = − ≥ − = − ⇔ = + +
f 22 2
3 12 10 5
3 3
4 5 ( 2)
x x
F
x x x x x
− +
= = − = − ≥ − = −
− + − + − +
Do
2
( 2) 1
( 2)
x x
x
−
− + ≥ ⇒ ≥ − ⇔ =
− +
Bài 2: Tìm GTLN biểu thức sau a 22 10( 1)
2 x x A x x x + + = ≠
+ + b
2 11 ( 1) x x B x x x − + − = ≠ − +
c 2 ( 5)
10 25
x
C x
x x
= ≠ −
+ + d
2 14 ( 1) x x D x x x + − = ≠ − +
Lời giải
a 22 10 3( 22 3) 12 12
2 3 ( 1) ( 1)
x x x x
A
x x x x x x
+ + + +
= = + = +
+ + + + + + + +
Có: 2
ax
1 1 7
( 1) ( 1) 2
( 1) 2 2 m
x x A A x
x
+ ≥ ⇒ + + ≥ ⇒ ≤ ⇒ = + = ⇒ = ⇔ = −
+ +
(37)b 22 2 2
11 1 11 ( 1) ( 1) 11 11
1
2 ( 1) ( 1) ( 1)
x x x x x x x
B
x x x x x x
− + − − + − − + − − − − − −
= = = = − − −
− + − − − −
Đặt 2
2
1 1 1
1 11 (11 1) 11
1 22 22 22 11
= ⇒ = − − − = − + + = − + + − +
− y A y y y y y y
x
2
1 43 43 43
11 11 21
22 44 44 22 44 22
− − −
= − + + = − + ≤ ⇔ = ⇔ = −
y y y x
c
2 2
( 5) 5
( 5)
10 25 ( 5) ( 5) ( 5)
+ −
= ≠ − = = = − = − =
+ + + + + + +
x x x
C x t t t
x x x x x x x
2
2 1 1 1
5 5
10 20 20 20 10 10
−
⇒ − = − = − − ≥ ⇒ ≤ ⇔ = ⇔ = ⇔ =
+
A t t t A t x
x
d 22 14( 1)
x x
D x
x x
+ −
= ≠
− + Đặt
1
1
= ⇒ = +
−
t x
x t
2
2 1 2
1 14 ( 1) ( 1) 14 (3 1) 2
= + + + − = + + + − = − − + ≤
A t t t t t t
t t
1
2
3
D= ⇔ = ⇔ =t x
Bài 3: Tìm GTNN, GTLN 27 2
2
y xy A
x xy y
− =
− +
Lời giải
Điều kiện ( , )x y ≠(0, 0)
+) 2 922 ( )2 2
( ) ( )
x xy y x y
A A x y
x y y x y y
− + −
+ = = ≥ ⇒ ≥ − ⇔ = ≠
− + − +
+) ( 2 42 2) (2 2 )22 1;
( ) ( )
y xy x x y
A A x y
x y y x y y
− + − − −
− = = ≤ ⇒ ≤ ⇔ = =
− + − +
Bài 4: Tìm GTNN biểu thức 21 ( ;) 23 ( 1)
( 1) ( 1)
+ + − +
= ≠ − = ≠
+ −
x x x x
A x B x
x x
Lời giải
2
2
2 2
1 ( 1) 1 1
1
( 1) ( 1) ( 1)
+ + + + − − +
= = = − + = − + =
+ + + + +
x x x x x
A y y y
x x x x x
2
min
1 3
1
2 4
= − + ≥ ⇒ = ⇔ = ⇔ =
A y A y x
+) 2
2 2
3 ( 1) 1 1
1
( 1) ( 1) ( 1)
− + − + − + +
= = = − + = − + =
− − − − −
x x x x x
B y y y
x x x x x
2
1 3
3
2 4
= − + ≥ ⇔ = ⇔ =
B y y x
(38)Bài 5:Tìm GTNN biểu thức 2 2 x y A
x xy y
+ =
+ +
Lời giải
Ta có: ( ) ( )
( )
( )
( )
2
2 2
2
2
1
1 1
2 .
2 2 2
x y x y x y
x y
A minA x y
x xy y x y x y
+ + − −
+
= = = + ≥ ⇒ = ⇔ =
+ + + +
Bài 6:Tìm GTNN biểu thức 22 10 ( 1)
2
− −
= ≠
− +
x x
A x
x x
Lời giải
Ta có: ( ) ( )
( ) ( )
2
2
2
2
2
2 10
2 3
2 1 1
x x x
x x
A
x x x x x x
− + − − −
− −
= = = + − = − + + ≤
− + − − − −
Vì
2
3
1
1
− + ≤ ∀ ≠ ⇒ = ⇔ + = ⇔ = −
− −
x x maxA x x
Bài 7:Tìm max của: 2
4
x x G
x
− +
=
Lời giải
2
4
1
G
x x
= − + , đặt t G t2 4 1t (t 2)2 3 3
x = => = − + = − − ≥ −
Bài 8:Tìm max của: 22
2
x x E
x x
− +
=
− +
Lời giải
Đặt x− = => = + =>1 t x t 1 x2 = + +t2 2 1t
( ) ( ) 2
2 2
3 1 3 2 1 2 1
3
t t t t t
E
t
t t t
+ + − + + − +
= = = − + ,
Đặt : a E a2 2a 3 (a 1)2 2 2
t = => = − + = − + ≥
Bài 9: Tìm max của:
( )
2
4
2
x x F
x
− +
=
+
Lời giải
Đặt 2 1 2
2
t t t
x+ = => =t x − =>x = − + , đó:
( )
2 2
2 2
2 1 5 5 5 5
t t t t t
F
t
t t t
− + − − + − +
= = = − + , đặt a F 1 5a 5a2
t = => = − +
Bài 10: Tìm max của:
( )2 10
x H
x
= +
(39)Lời giải
Đặt x 10 t x t 10 H t 210 102
t
t t
−
+ = => = − => = = − , đặt a H 10a2 a
t = => = − +
Bài 11:Tìm max của:
( )2
2016
x I
x
= +
Lời giải
Đặt x 2016 t x t 2016 I t 2016 20162 2
t
t t
−
+ = => = − => = = − , Đặt a I a 2016a2
t = => = −
Bài 12:Tìm max của: D x2 2x2 2000 x
− +
=
Lời giải
Ta có : D 20002
x x
= − + , Đặt a D 1 2a 2000a2 x = => = − +
Bài 13:Tìm max của: 2 20152
2015 x x E
x
− +
=
Lời giải
Ta có : 2015E x2 2x2 2015 20152
x
x x
− +
= = − + , đặt a 2015E 1 2a 2015a2
x = => = − +
2 .
2015 2015
E a a
=> = − +
Bài 14:Tìm max của:
( )2
2000
x F
x
= +
Lời giải
Đặt x 2000 t F t 2000 20002 2
t
t t
−
+ = => = = − , Đặt a F a 2000a2
t = => = −
Bài 15: Tìm max của:
( )
2
2
1
2
x x B
x x
− + =
+ +
Lời giải
( )
2
1
x x B
x
− + =
+ ,Đặt
2
1
x+ = => = − =>t x t x − +t
2
3 1 3
t t B
t
t t
− +
=> = = − + , Đặt a B 3a2 3a 1 t = => = − +
Bài 16:Tìm max của: A 2x2 42x x
+ +
=
Lời giải
(40)2
4
2
A
x x
= + + , Đặt a A 4a2 4a 2
x = => = + +
Bài 17: Tìm max của: B x2 2x2 2012 x
− +
=
Lời giải
2
2 2012
B
x x
= − + , Đặt a B 2012a2 2a 1
x = => = − +
C Tìm GTLN, GTNN phân thức có dạng khác
Cách 1: Tách tửthành nhóm có nhân tử chung với mẫu
Cách 2: Viết biểu thức A thành tổng số với phân thức không âm
1 Bậc tử nhỏhơn bậc mẫu Bài 1: Tìm GTNN biểu thức sau a 2 12
4
x A
x
+ =
+ b
2
x B
x
+ =
+
c C=(x+2)(x+8) (x>0)
x
Lời giải
a 82 12 216 ( 2 4)2
4 4
x x x x x
A x
x x x
+ + + − − +
= = = − + ≥ − ⇔ = −
+ + +
b 42 ( 24) ( 2) ( 2 2)2 1
2 2
x x x x x
B x
x x x
+ + + − + +
= = = − ≥ − ⇔ = −
+ + +
c C (x 2)(x 8)(x 0) (x 4)2 18 18 x
x x
+ + −
= > = + ≥ ⇔ =
Bài 2: Tìm GTNN, GTLN biểu thức sau a [ HSG – Thanh Chương – 2011] 42
1
x A
x
− =
+ b 2
2
x B
x
+ =
+
c 42
x C
x
+ =
+ d
4
x D
x
+ =
+
e 42
4
x E
x
=
+
Lời giải
a [ HSG – Thanh Chương – 2011]
2 2
2 2
3 4 ( 2)
1 2
1 1
x x x x x
A x x
x x x
− − + − − −
= = = − ≥ − ⇔ − = ⇔ =
+ + +
+) 2 2 2 ax
3 4 4 (2 1)
4 4
1 1 m
x x x x x
A A x
x x x
− + − − − + −
= = = − ≤ ⇒ = ⇔ =
+ + +
(41)Cách khác:
Nháp để nhẩm GTLN GTNN có :
2
2
3 3 4 . 4 3 0
1
x
a ax a x a x x a
x
−
= = + = − => + + − =
+ ,
Xét 16 4 12 0
4
a
a a
a
= −
∆ = − + = =>
=
Khi ta có : 42 1 24 1 1
x x x
K
x x
− + +
= + − = − ≥ −
+ +
, Dấu = x= −2
Mặt khác : 42 4 22 4
1
x x x
K
x x
− − − −
= − + = + ≤
+ +
, Dấu = khí
1
x= −
b 22 2 2 2( 2)
x x
B
x x
+ +
= =
+ +
+) 2 2 2
2 ( 4) ( 2) ( 2) 1
2
2 2( 2) 2( 2) 2( 2) 2
x x x x x x
B A x
x x x x
+ + + + − + + − −
= = = = − ≥ ⇒ = ⇔ = −
+ + + +
+) 2 22 22 2 ax
2 2 ( 1)
1 1
2 2( 2) 2 m
x x x x x x
B A x
x x x x x
+ + − + − + − −
= = = + = + ≤ ⇒ = ⇔ =
+ + + + +
c 42 2 ( 2 2)2 1
1 1
x x x x x
C x
x x x
+ + + − − +
= = = − ≥ − ⇔ = −
+ + +
+) 42 4 2 4 (22 1)2 4
1 1
x x x x x
C x
x x x
+ − + − + + − −
= = = + ≤ ⇔ =
+ + +
d 2 (4 24) (4 1) (2 2 2)2 1
4 4
x x x x x
D x
x x x
+ + + − + +
= = = − + ≥ − ⇔ = −
+ + +
+) 2 16 (162 1) (4 2 1)2
4 4
x x x x x
D x
x x x
+ + − − + −
= = = − ≤ ⇔ =
+ + +
e 42 42 (2 2 1)2 1
4 4
x x x x x
E x
x x x
+ − − + −
= = = − ≤ ⇔ =
+ + +
+) 42 (4 1) (42 1) (2 2 1)2 1
4 4
x x x x x
E x
x x x
− + + + + + −
= = = − + ≥ − ⇔ =
+ + +
Bài 3: [ HSG – Yên Phong – 14/04/2014 ]
Tìm GTLN biểu thức 3 3( 2 1)
x A
x x x
+ =
+ + +
Lời giải
ax
3 2
3( 1)
3
1 m
x
A x A x
x x x x
+
= = ≤ ⇔ = ⇒ = ⇔ =
+ + + +
Bài 4:[ HSG – Yên Phong – 2016 – 2017 ]
(42)Tìm GTNN biểu thức sau 20102 2680 ( )
+
= ∈
+
x
D x R
x
Lời giải
2 2
2 2
2010 2680 335(6 8) 335( 1) 335( 3)
( ) 335 335
1 1
x x x x x x
D x R x
x x x x
+ + + + − − +
= ∈ = = = − ≥ − ⇔ = −
+ + + +
Bài 5:Tìm GTNN biểu thức sau 15 16 ( )
3
+
+ +
= x x ∈
A x R
x
Lời giải
Ta có: ( ) ( )
2
2 4
15 16 23 23 23
4
3 3 3
x
x x
A x R minA x
x x
+ −
+ +
= ∈ = + ≥ ⇒ = ⇔ =
Bài 6: Tìm GTLN biểu thức sau ( ) ( )
2 2
2 4
1 ,
2
+ − +
= ∈
+ + +
xy y y x
A x y R
x y y x
Lời giải
Ta có: ( ) ( )
( )( )
2 2 4
2 4
1 1
,
2 2
+ − + +
= ∈ =
+ + + + +
xy y y x y
A x y R
x y y x y x
Vì
+ ≠ ∀
y x nên chia tử mẫu cho
y + ta được: 21
2
A x
= +
Vì 2
2
1
0 2 0;
2
≥ ∀ ⇒ + ≥ ∀ ⇒ = ≤ ⇔ = ∈
+
x x x x A x y R
x
Bài 7:Tìm GTLN biểu thức sau 4 22
1
x A
x x
=
+ +
Lời giải
+) Xét x= ⇒ =0 A giá trịnày khơng phải giá trị lớn A với x≠ ⇒ >0 A
+) Xét x≠0 đặt P Amax Pmin A
= ⇒ ⇔
Ta có 2 ( )
2 2
1 1
1; 2 min
x x
P x x Cosi P P x
x x x
+ +
= = + + + ≥ ⇒ ≥ + = ⇒ = ⇔ = ±
Bài 8:Tìm max của: 27 122
9
x M
x
− =
+
Lời giải
Nháp : 2
2
27 12 . 9 27 12 . 12 9 27 0
9
x
a a x a x a x x a
x
−
= => + = − => + + − =
+
Có ' 36 (9 27)
1
a a a
a
=
∆ = − − = =>
= −
Khi ta có : ( )
2
2 2
2
27 12 4 4 12 4 4 4
9 9
x
x x x
M
x x x
− −
− − − −
= − + = + = + ≤
+ + +
(43)Mặt khác : ( )
2
2 2
6
27 12 1 1 12 36 1 1 1
9 9
x
x x x
M
x x x
−
− − +
= + − = − = − ≥ −
+ + +
Bài 9:Tìm max của: 2
4 x P x + = +
Lời giải
Nháp : 2
2
8 4 8 3 4 8 3 0
4
x
a a x a x a x x a
x
+
= => + = + => − + − =
+
Có ∆ =' 16 4− a a( − => =3) a 4;a= −1
Khi : ( )
2
2 2
4
8 4 4 16 4 4 4 4
x
x x x
P
x x x
− −
+ − + −
= − + = + = + ≤
+ + +
Mặt khác : ( )
2
2 2
4
8 1 1 1 1 1 4
x
x x x
P
x x x
+
+ + +
= + − = − = − ≥ −
+ + +
Bài 10:Tìm max của: 22
2 x D x + = +
Lời giải
Nháp :
2
2 . 2 2 1 0
2
x
a a x x a
x
+
= => − + − =
+ , có ( )
1
' 1;
2
a a a a −
∆ = − − = => = =
Khi : ( )
2
2 2
1
2 1 1 1 1 1
1 2
x
x x x
D
x x x
− −
+ − + −
= − + = + = + ≤
+ + +
Mặt khác : 22 12 12 2( 24 )4 12 21
2 2
x x x
D x x + + + − = + − = − ≥ + +
Bài 11:Tìm max của: E 2x2 x
+ =
Lời giải
2
2
E
x x
= + , Đặt a E a2 2a x = => = +
Bài 12: Tìm max của: 22 x F x − = +
Lời giải
Nháp :
2
2 . 2 2 1 0
2
x
a a x x a
x
−
= => − + + =
+ , có ( )
2
' 1 ;
2
a a a a a a
∆ = − + = − − => = = −
Khi :
( ) (( ))
2
2 2
2
2 1 4 1 2 2 2 2 2
x
x x x
F
x x x
− −
− − + −
= − + = + = + ≤
+ + +
(44)Mặt khác : ( )
2
2 2
1
2 1 1 1 1 1
2 2
x
x x x
F
x x x
+
− + +
= + − = − = − ≥ −
+ + +
Bài 13:Tìm max của: 62
1
x G
x
− =
+
Lời giải
Nháp :
2
6 . 6 8 0
1
x
a a x x a
x
−
= => − + + =
+ , có :
( )
' a a a 8a a 1;a
∆ = − + = − − + = => = = −
Khi : ( )
2
2 2
3
6 1 1 1 1 1
1 1
x
x x x
G
x x x
− −
− − + −
= − + = + = + ≤
+ + +
Mặt khác : ( )
2
2 2
3
6 9 9 9 9 9
1 1
x
x x x
G
x x x
+
− + +
= + − = − = − ≥ −
+ + +
Bài 14: Tìm max của:
27
3 9
x A
x x x x
+ =
− + − +
Lời giải
Hạphép chia ta : A x= 2+3x+3
Bài 15: Tìm max của: 62 512 x B
x
+ =
+
Lời giải
Hạphép chia ta : B x= −8x2+64=(x2 −4)2 +48 48≥
Bài 16:Tìm max của: 4 16 32 56 80 356
2
x x x x
G
x x
+ + + +
=
+ +
Lời giải
Hạphép chia ta được: ( )
256
4
2
G x x
x x
= + + +
+ + , Đặt
2 2 5 4 256
x x t G t
t
+ + = => = +
Sau sử dụng co si
Bài 17:Tìm max của: 28
3
I x
− =
+
Lời giải
Ta có :
2
8
3 2
2
3
x
x
+ ≥ => ≤ =
+
Bài 18: Tìm max của: 22
x B
x
+ =
+
Lời giải
(45)Nháp : 2
2 . 2 2 1 0
2
x
a a x x a
x
+
= => − + − =
+ , có ( )
1
' 1;
2
a a a a −
∆ = − − = => = =
Khi ; ( )
2
2 2
1 1 1 1 1 1
2 2
x
x x x
B
x x x
−
+ − + −
= − + = + = − ≤
+ + +
Mặt khác :
( ) (( ) )
2
2 2
2
2 1 4 1 2 2 2 2 2
x
x x x
B
x x x
+
+ + + −
= + − = − = − ≥
+ + +
Bài 19:Tìm max của: ( )
2 2
4 2
2
x y x x y G
x x y y
+ − +
=
+ + +
Lời giải
Ta có : 24 4 24 2 ( 4 ) (4 12 4 ) 21
2 2 1
x y x x y x
G
x x y y x y x y
+ − + +
= = =
+ + + + + + +
Bài 20: Tìm max của:
( ) 2 1 x H x + = +
Lời giải
Đặt x2+ = =>1 t x2 = − =>t 1 x4 = − +t2 2 1t ,
2
2 1 1 2
t t H t t t − + + = = − +
Đặt a H 2a2 2a 1
t = => = − +
Bài 21: Tìm max của: 22 16 71
8 22 x x I x x − + = − +
Lời giải
Hạphép chia ta : 2 27
8 22
I
x x
= +
− + , mà ( )
2
2 8 22 4 6 6
x − x+ = x− + ≥
Bài 22: Tìm max của: 42 x P x = +
Lời giải
Nháp: Đặt 2
2 t
x t a at t a a
t
= => = => − + = => = ± +
Khi :
( ) (( ))
2
2
4 4
1
1 1 1 2 2 2
x
x x x
P
x x x
+
+ + −
= + − = − = − ≥
+ + +
, Không xảy dấu
Mặt khác :
( ) (( ))
2
2
4 4
1
1 1 1 2 2 2
x
x x x
P
x x x
− −
− + −
= − + = + = + ≤
+ + +
(46)Bài 23:Tìm max của:
( )
4 2
1 x G
x
+ =
+
Lời giải
Đặt x2+ = =>1 t x2 = − =>t 1 x4 = − +t2 2 1t
Khi : G t2 22t 22
t
t t
− +
= = − + , đặt a G 2a2 2a 1
t = => = − +
Bài 24: Tìm 2(2 1)
2 x P
x
+ =
+
Lời giải
Nháp :
2
4 . 4 2 2 0
2
x
a a x x a
x
+
= => − + − =
+ , có ∆ = −' a a(2 −2)= => =0 a 2;a= −1
Khi : ( )
2
2 2
2
4 2 2 2 2 2
2 2
x
x x x
P
x x x
− −
+ − + −
= − + = + = + ≤
+ + +
Mặt khác : 42 1 24 1 2
x x x
P
x x
+ + +
= + − = − ≥ −
+ +
Bài 25:Tìm max của: 2 2
2 x K
x x
+ =
+ +
Lời giải
Ta có : 2
2
x K
x x
= −
+ +
Nháp :
2 2
x
a a x a x x a
x x
−
= => + + + =
+ + , có : ( )
2 2
1
7
a a a a ±
∆ = + − = => =
Bài 26: Tìm max của: 42
3
x M
x
+ =
+
Lời giải
Nháp :
2
4 . 4 3 1 0
3
x
a a x x a
x
+
= => − + − =
+ , có ( )
4
' 1;
3
a a a a
∆ = − − = => = − =
Bài 27: Tìm max của: 122 13
2
x P
x x
+ =
+ +
Lời giải
Nháp :
2
12 13 . 2 3 12 13 0
2
x
a a x a x a x
x x
+
= => + + − − =
+ + ,
Có ' ( 6)2 (3 13) 4;
2
a a a a a
∆ = − − − = => = − =
Bài 28:Tìm GTLN biểu thức: 4 22 x
x + +x , GTLN đạt giá trị x
(47)Lời giải
Ta có : ( ) 4 22 x P x
x x
=
+ + =
2
1
1 ( ) x
P x = + x + ≥
Bài 29: Tìm GTNN biểu thức: 22 ( 1)
2
+ +
= ≠ −
+ +
x x
M x
x x
Lời giải
Ta có : ( )
( )
2
2 1 1
1
2 1
x x x
M
x x x x
+ + − + +
= = − +
+ + + +
Đặt
1 t
x+ = , ta có:
2
2 1 3
2 4
M t= − + = −t t + ≥
Bài 30: Tìm giá trị lớn biểu thức: 3 3( 2 1)
1
x B
x x x
+ =
+ + +
Lời giải
Ta có: ( ) ( )
( ) ( ( )( ) )
3 2 2
3 3 3 1 1 1
x x x
B
x x x x x x x x x
+ + +
= = = =
+ + + + + + + + +
Do
2
3
1
1
x B
x
+ > => = ≤
+ , Dấu x=0
2 Bậc tử bậc mẫu
Bài 1: Tìm GTN N biểu thức sau a A x2 22x 3(x 0)
x
− +
= ≠ b 21( 1) ( 1)
x x
B x
x
− +
= ≠
−
c 22
x x
C x
+ +
=
+ d
2 2 2016
x x
D
x
− +
=
Lời giải
a 2 2 2
2 3( 3) ( 3) 2
( 0) 3
3 3 3
x x x x x
A x x A x
x x x
− + − + −
= ≠ = = + ≥ ⇔ = ⇒ = ⇔ = b 21( 1) 4 2 2 21 2 ( 1)22 3
( 1) 4( 1) 4( 1) 4( 1) 4( 1) 4
x x x x x x x x x
B x x
x x x x x
− + − + + + − + +
= ≠ = = + = + ≥ ⇔ = −
− − − − −
c 2( 22 3) 24 22 ( 2 2)2
2( 2) 2( 2) 2( 2) 2( 2)
x x x x x x
C x
x x x x
+ + + + + +
= = + = + ≥ ⇔ = −
+ + + +
d 2 2 2016 2016 2 2016 20162 ( 2016)2 2015 2015 2016
2016 2016 2016
x x x x x
D x
x x x
− + − + −
= = = + ≥ ⇔ =
Bài 2:Tìm GTLN biểu thức sau a 22 19
3
x x
A
x x
+ +
=
+ + b
2
2
x x
B x
+ +
=
+
(48)Lời giải
a 22 19 2(3 22 7) 2
3 7
x x x x
A
x x x x x x
+ + + + +
= = = +
+ + + + + +
2
ax ax
1 83 83 60
3 2
83
6 12 12 83
12
− −
= + + = + + ≥ ⇔ = ⇒ = ⇒ = + = ⇔ =
m m
M x x x x A M A x
b 22 2 22 2( 2) 42 2 ( 2 1)2
2 2
x x x x x x x x x
B x
x x x x
+ + − + + + − − + + −
= = = = − ≤ ⇔ =
+ + + +
Bài 3: Tìm GTLN, GTNN biểu thức sau a 22
1
x x
A
x
+ +
=
+ b
2
2
x x
B
x x
− −
=
+ +
Lời giải
a 22 2(22 1) ( 2 1)2 ( 2 1)2
1 1
x x x x x
A x
x x x x
+ + + + +
= = + = + ≥ ⇔ = −
+ + + +
+) 22 22 ( 22 1) ( 2 1)2
1 1
x x x x x x
A x
x x x x
+ + + − + −
= = − = − ≤ ⇔ =
+ + + +
b 22 2 (22 2 2) 23 2
1 1
x x x x x x
B x
x x x x x x
− − − + +
= = = − ≤ − ⇔ =
+ + + + + +
+) Với 2
2
3
0 2
1
1 1
x
x A
x x
x x
≠ ⇒ = − = −
+ + + +
Ta lại có:
2
2
1 1 3 1
1 2
3
4
4
−
+ + = + + ≥ ⇒ ≥ − = ⇒ = ⇔ = −
A x
x x x x
Bài 4: Tìm GTLN 22 10
2
x x
A
x x
+ +
=
+ +
Lời giải
2
ax
2 2
max
1 1
3 [( 1) 2] ( 1) 2
2 ( 1) ( 1)
= + = + ⇒ ⇔ ⇔ + + ⇔ + + = ⇔ = −
+ + + + m + +
A A x x x
x x x x
ax
1
1
(x 1) 2 x Am x
⇒ ≤ ⇔ = − ⇒ = ⇔ = −
+ +
Bài 5:Tìm GTLN biểu thức sau 22 10 ( )
2
+ +
= ∈
+ +
x x
A x R
x x
Lời giải
Ta có:
( )
2
3 10 1
3
2 2
x x
A x
x x x
+ +
= = + ≤ + = ⇔ = −
+ + + +
(49)Bài 6:Tìm max của: ( ) 2 1 x x C x + + = +
Lời giải
2 2 x C x = +
+ , Nháp :
2
2 . 2 0
1
x
a a x a x
x
= => + − =
+ , có
2
4 4a a
∆ = − = => = ±
Khi : 22 1 2 22 1
1
x x x
C x x + + = + − + = + ≥ + +
Mặt khác : ( )
2
2 2
1
2 1 2 3 3 3
1 1
x
x x x
C
x x x
− −
− + −
= − + + = + = + ≤
+ + +
Bài 7:Tìm max của: 2
1 x x N x + + = +
Lời giải
2 1 x N x = +
+ , Nháp :
2
2 1
x
a a x x a
x
= = − + =
+ , có :
2
1
2
a a
∆ = − = => = ±
Khi ta có : 2 1 2( 22 )1 1 2 2
x x x
N x x + + = + + − = + ≥ + +
Mặt khác :
( ) (( ))
2
2 2
1
1 1 3 2 2 2
x
x x x
N
x x x
− −
− + −
= − + + = + = + ≤
+ + +
Bài 8:Tìm max của: 22 17
2 x x Q x x − + = − +
Lời giải
Ta có : 2
2
Q
x x
= +
− + , mà ( )
2
2
2
2 4
4
2
x x x
x x
− + = − + ≥ => ≤ =
− +
Bài 9: Tìm max của: 22 16 41
8 22 x x R x x − + = − +
Lời giải
Ta có : 2 216 44 2 22 22
x x
R
x x x x
− + −
= = −
− + − + ,
Mà ( )
( ) ( )
2
2
3 3 22 6
6 2 6
x x x
x x
− −
− + = − + ≥ => ≤ = => ≥
− + − +
Bài 10:Tìm max của: 2
2 2010 x P x x = − +
Lời giải
(50)Hạphép chia ta : 22 2010
2 2010
x P
x x
− = +
− + ,
Nháp :
2
2 2010 . 2 2010 2 2010 0
2 2010
x
a a x a x a x
x x
−
= => − + − + =
− +
Có ' ( 1)2 (2010 2010) 1;
2009
a a a a a
∆ = + − + = => = − =
Làm tương tựnhư
Bài 11:Tìm max của: 22
2
x x Q
x x
− +
=
− +
Lời giải
Hạphép chia ta : 2
2
x Q
x x
− +
= +
− + , Đặt x− =1 t , ta có :
( )
2 2
3 2 2 1 2 1 t t t
Q
t
t t t
− + − +
= + = = − + , Đặt a
t =
2 2 2
Q a a
=> = − +
Bài 12: Tìm max của: A 2x2 42x x
+ +
=
Lời giải
2
4
2
A
x x
= + + , Đặt t A 4t2 4 2t x = => = + +
Bài 13:Tìm max của: 22 17
3
x x H
x x
− +
=
− +
Lời giải
Hạphép chia ta : 23
3
x H
x x
+ = +
− +
Nháp :
2
3 . 3 3 5 2 0
3
x
a a x a x x a
x x
+
= => − − + − =
− + , có :
( )2 ( ) 2 13 67
9 11 26
11
x a a a a a ±
∆ = + − − = − + + = => = ,
Bài 14: Tìm max của: K x2 42x x
− +
=
Lời giải
2
4
1
K
x x
= − + , đặt t K t2 4 1t (t 2)2 3 3
x = => = − + = − − ≥ −
Bài 15: Tìm max của: 222
2
x x N
x x
+ +
=
+ +
Lời giải
(51)Hạphép chia ta : 2
2
N
x x
= +
+ + , mà ( )
2
2 2 4 1 3 3
x + x+ = x+ + ≥
Bài 16:Tìm max của: 22 1999: 2 32
3
x x x
Q
x x x x x
− +
=
− + − +
Lời giải
Thực phép tính ta : Q x2 2x2 1999 19992
x
x x
− +
= = − + ,
Đặt t Q 1999t2 2 1t
x = => = − +
Bài 17: Tìm max của: 222
2
x x D
x x
+ +
=
+ +
Lời giải
2
1
2
D
x x
= +
+ + , mà ( )
2
2 2 4 1 3 3
x + x+ = x+ + ≥
Bài 18:Tìm max của: 22 2
2
x x F
x x
− +
=
+ +
Lời giải
2
4
2
x F
x x
− = +
+ +
Nháp :
2
4 . 2 4 2 0
2
x
a a x a x a a
x x
−
= => + + + =
+ + , có ( )
2
' a a a.2 a 2
∆ = + − = => = ±
Bài 19: Tìm max của: 222 22
2
x xy y H
x xy y
− +
=
+ +
Lời giải
Với y = ta H =
Với y ≠ Chia cá tử mẫu cho y2 ta được:
2 2
2
2
x x
y y
H
x x
y y
− +
=
+ +
, đặt 222 26
2 5
x t H t t t
y t t t t
− + +
= => = = −
+ + + +
Nháp :
2
6 2 5 6 0
2
t
a at at a t
t t
+
= − => + + + + =
+ + ,
Có : ' ( 3)2 (5 1) 1;
a a a a a
∆ = + − + = => = − = , làm giống
Bài 20:Tìm max của: 2
1 x J
x x
+ =
− +
Lời giải
(52)Ta có : 2 x J x x = + − +
Nháp :
2 1
x
a a x a x x a
x x
= => − − + =
− + , có ( )
2
1 1;
3
a a a a a −
∆ = + − = => = =
Khi : ( )
2
2 2
1
1 1 2
1 1
x
x x x
J
x x x x x x
− − + − = + − + = + = − ≤ − + − + − +
Mặt khác :
( )
2
2
1 2
3 3 3
x x x
J
x x x x
+ +
= + + − = + ≥
− + − +
Bài 21:Tìm max của: 25 2
3
y xy Q
x xy y
− =
− +
Lời giải
Chia tử mẫu cho y2 ta được:
2 3 x y Q x x y y − = − +
, đặt 25
3
x t Q t
y t t
− = => =
− +
Nháp :
2
5 3 4 3 0
3
t
a at at a t
t t
−
= => − + + − =
− + , có : ( ) ( )
2
9 a 4a a
∆ = − − − =
=> 1;
a= − a=
Bài 22:Tìm max của: 2 2
3
x y R
x xy y
− =
− +
Lời giải
Chia tử mẫu cho y2 ta được:
2 2
4
3
x y R x x y y − = − +
, Đặt 2
3
x t R t
y t t
− = => =
− +
Nháp : 2
2
4 3 4 5 4 0
t
a at at a t
t t
−
= => − + − + =
− + ,
Có ' 4 (3 1 5)( 4) 0 1;
11
a a a a a
∆ = − − + = => = − =
Bài 23: Tìm max của: 22 23
6 10 x x A x x − + = − +
Lời giải
2 13 10 A x x = + − +
(53)Bài 24: Tìm max của: 2 2
9 12
y B
x xy y
=
− +
Lời giải
Chia tử mẫu cho y2 ta được:
2
1 12
B
x x
y y
=
− +
, Đặt 2
9 12
x t B
y = => = t − t+
Bài 25:Tìm max của: 2 2
25 20
y D
x xy y
=
− + −
Lời giải
Chia tử mấu cho y2 ta được:
2
3
25 20
D
x x
y y
=
− + −
, Đặt 2
25 20
x t D
t = => = − t + t−
Bài 26:Tìm max của:
( )
2
4
2 x x E
x
− +
= −
Lời giải
Đặt x− = =>2 t x2 = + +t2 4 4t , đó :
2
4t 10 5t 4 10
E
t
t t
+ +
= = + + ,
Đặt a E 5a2 10a 4
t = => = + +
Bài 27:Tìm max của: 22 14
2
x x F
x x
+ −
=
− +
Lời giải
Đặt x− = =>1 t x2 = +t2 2 1t+ , Khi đó :
2
6 1
t t F
t
t t
+ −
= = + −
Đặt a F 9a2 6a 1 t = => = − + +
Bài 28:Tìm max của: 22
2
x x G
x x
− +
=
− +
Lời giải
Hạphép chia ta : 2
2
G
x x
− = +
− +
Bài 29:Tìm max của: 322 22
9
x xy y H
x xy y
− +
=
− +
Lời giải
(54)Chia tử mẫu cho y2 ta được:
2 2
3
9
x x
y y
H
x x
y y
− +
=
− +
, Đặt 322
9
x t H t t
y t t
− + = => =
− +
Nháp: 2
2
3 9 6 2 3 2 0
t t
a at at a t t
t t
− +
= => − + − + − =
− + ,
có : ' (3 1) (2 2)( 1) 1;
3
a a a a a
∆ = − − − − = => = =
Bài 30:Tìm max của: 22 22 19
4
x x
I
x x
+ +
=
+ +
Lời giải
( )2
6
2
x I
x
+ = +
+ , Đặt
( )
2
6 6 9 t
x t I
t
t t
− +
+ = => = + = + −
Đặt a I 9a2 6a 4 t = => = − + +
Bài 31: Tìm max của: 22 30
9
x x
K
x x
+ −
=
+ +
Lời giải
( )2
24
3
x K
x
− = +
+ , đặt 2
3 11
3x t 3x t K t
t
t t
− −
+ = => = − => = + = + −
Đặt a K 11a2 3a 1 t = => = − + +
Bài 32:Tìm max của: 22 22
2 10
x xy y M
x xy y
− +
=
− +
Lời giải
Với y = M = 22 =1
2
x x
Với y ≠ chia tử mẫu cho y2 ta được:
2 2
5
2 10
x x
y y M
x x
y y
− +
=
− +
,
Đặt 22
2 10
x t M t t
y t t
− + = => =
− +
Nháp 2
2
5 2 10 7 5 2 10
t t
a at at a t t
t t
− +
= => − + − + −
− + , có : ( ) ( )( )
2
25 2a 2a 7a
∆ = − − − −
(55)1 17
0 ;
2 22
a a
∆ = => = =
Bài 33:Tìm max của: 22 22 58 732
4
x xy y N
x xy y
− +
=
− +
Lời giải
Chia tử mấu cho y2 ta được:
2 2
22 58 73
4
x x
y y
N
x x
y y
− +
=
− +
, Đặt 22 22 58 73
4
x t N t t
y t t
− +
= => =
− +
( )2
30 15 22
2
t N
t
−
= +
− , Đặt
( )
2 2
30 15 30 45 30 45 22 a 22 a 22
t a N
a
a a a
+ − +
− = => = + = + = + +
Đặt b N 22 30b 45b2
a = => = + +
Bài 34:Tìm max của: 22
8x 6xy P
x y
+ =
+
Lời giải
Chia tử mẫu cho y2 ta được:
2 2
8
1
x x
y y P
x y
+ =
+
, Đặt 22 82 1
x t P t t t
y t t
+ −
= => = = +
+ +
Nháp:
2
6 6 0
1
t
a at a t
t
−
= => + − + =
+ , có ∆ = −' a a( + = => =8) a 1;a= −9
Bài 35: Tìm max của: 22 3
2
x x Q
x x
− +
=
− +
Lời giải
( )2
2
1
x Q
x
− + = +
− , Đặt x− = => = +1 t x t Khi : 2
1 1
1 t
Q
t
t t
− +
= + = − +
Đặt a Q a2 a 1 t = => = − +
Bài 36:Tìm max của: R x22 xy y22 x xy y
+ +
=
− +
Lời giải
Với y = R =
(56)Với y ≠ Chia tử mẫu cho y2 ta được: 2 2
1
1
x x
y y R
x x
y y
+ + =
− +
,
Đặt 22 1 2
1
x t R t t t
y t t t t
+ +
= => = = +
− + − +
Nháp :
2
2 2 0
1
t
a at at a t
t t
= => − + − =
− + , có ( )
2
2 2;
3
a a a a a −
∆ = + − = => = =