Chuyên đề cực trị của hàm số

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị lập thành một tam giác có diện tích lớn nhất..[r]

§2 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

1 Những khái niệm cực trị:

Điểm cực đại, cực tiểu đồ thị: Xét đồ thị hàm số hình vẽ bên, ta có điểm A gọi điểm cực đại đồ thị, hai điểm

,

B C điểm cực tiểu đồ thị Điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số gọi chung điểm cực trị đồ thị hàm số

Điểm cực đại, cực tiểu hàm số: Giả sử hàm số y f x( ) xác định D

 Ta nói x0 điểm cực đại hàm f x( ) tồn khoảng ( ; )a b D x0( ; )a b cho f x( ) f x( ),0  x ( ; ) \a b  x0 Khi f x( )0 gọi giá trị cực đại hàm số y f x( ) ; điểm M x 0; ( )f x0  gọi điểm cực đại đồ thị hàm số

( ) y f x

 Ta nói x0 điểm cực tiểu hàm f x( ) tồn khoảng ( ; )a b D x0( ; )a b cho f x( ) f x( ),0  x ( ; ) \a b  x0 Khi f x( )0 gọi giá trị cực tiểu hàm số

( ) ;

y f x điểm M x 0; ( )f x0  gọi điểm cực tiểu đồ thị hàm số y f x( )

 Lưu ý:

 Điểm cực đại hay điểm cực tiểu gọi chung điểm cực trị; giá trị cực đại hay giá trị cực tiểu gọi chung cực trị

 Nói chung, giá trị cực đại (cực tiểu) f x( )0 không phải giá trị lớn (nhỏ nhất) hàm số tập xác định D, f x( )0 giá trị lớn (nhỏ nhất) khoảng

( ; )a b D chứa x0 mà thơi Chẳng hạn, hình vẽ trên, ta thấy điểm A điểm cực đại đồ thị, nên yA giá trị cực đại hàm số, nhiên yA yD nên giá trị cực đại yA chưa phải giá trị lớn hàm số Tương tự điểm B điểm cực tiểu đồ thị nên

B

2 Điều kiện có cực trị hàm số:

a) Điều kiện cần: Nếu hàm số y f x( ) có đạo hàm ( ; )a b đạt cực trị x0( ; )a b

0

( ) f x 

b) Điều kiện đủ:

 Định lí 1: Giả sử hàm số y f x( ) liên tục khoảng ( ; )a b chứa x0, đồng thời có đạo hàm khoảng ( ; )a b ( ; ) \a b  x0 Khi đó:

 Nếu

0

( ) 0, ( ; ) ( ) 0, ( ; )

f x x a x

f x x x b

   



    

 hàm số y f x( ) đạt cực đại điểm xx0

 Nếu

0

( ) 0, ( ; ) ( ) 0, ( ; )

f x x a x

f x x x b

   



    

 hàm số y f x( ) đạt cực tiểu điểm xx0

BBT 1:Hàm số đạt cực đại xx0

x a

0

x b

( )

f x   ( )

f x yCÑ

Nhận thấy: f x( ) đổi dấu từ dương sang âm x qua x0

BBT 2: Hàm số đạt cực tiểu xx0

x a

0

x b

( )

f x   ( )

f x

CT y

Nhận thấy: f x( ) đổi dấu từ âm sang dương x qua x0

 Định lí 2: Giả sử hàm số y f x( ) có đạo hàm cấp hai khoảng ( ; )a b chứa x0 Khi đó:

 Nếu

0

( ) ( ) f x f x

 



  

 hàm số f x( ) đạt cực đại xx0

 Nếu

0

( ) ( ) f x f x

 



  

 Bài tốn 1: Tính đạo hàm để tìm cực trị hàm số y f x( )  Phương pháp:

Quy tắc I Quy tắc II  Tìm tập xác định

 Tính y f x( ) Tìm x f x( )0 f x( ) khơng xác định

 Tính giới hạn cần thiết

 Lập bảng biến thiên

 Kết luận điểm cực trị

 Tìm tập xác định

 Tính y f x( ) Giải phương trình ( )

f x  để tìm nghiệm x x1, 2, (nếu có)

 Tính f( )x suy f( ),x1 f( ), x2

 Dựa vào dấu f( ),x1 f( ), x1 để kết luận

 Ghi nhớ : Quy tắc II không dùng trường hợp f x( )0 vô nghiệm

0

( ) ( ) f x f x

 



  



Ví dụ 1. Cho hàm số Hàm số y x4 2x21 có điểm cực trị?

A 2 B. C 1 D 0

Lời giải:  Tập xác định: D

 Đạo hàm:  

4 4

y  x  x x x  ; 0, 1,

x y

y

x y

 



      



 Giới hạn: lim

xy 

 Bảng biến thiên:

x 1

y 0

y

0

1

0 Dạng toán 1

 Ta thấy: Hàm số đạt cực tiểu x 1, giá trị cực tiểu yCT 0; hàm số đạt cực đại

0

x , giá trị cực đại yCĐ Do hàm số có ba cực trị Chọn B

Ví dụ 2. Tìm điểm cực đại x0 hàm số y  x3 3x

A x0 2 B x0 1 C. x0  1 D x0 3

Lời giải:  Tập xác định: D

 Đạo hàm:

3

y  x  , 1

1

x y

y

x y

    

       



 Giới hạn: lim , lim

xy  xy 

 Bảng biến thiên:

x  1 

y    y



3

1 



 Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số đạt cực đại x0  1 Chọn C

Ví dụ 3. Hàm số

2

x y

x  

  có cực trị?

A 3 B. C 2 D 1

Lời giải:

 Tập xác định: D \ 2 

 Ta có:

 2

3

0

y x



  

  ,  x D

 Giới hạn:

2

lim 2, lim , lim

x x x

y  y y

       

x

y

y

2

Ví dụ 4. Gọi A B, điểm cực trị đồ thị hàm số y x x

  Tính khoảng cách AB

A AB3 B AB4 C AB2 D AB2

Lời giải:

 Tập xác định: D \ 0

 Đạo hàm:

2

2

1

1 x

y

x x



    ; y    0 x

 Giới hạn:

0

lim , lim , lim , lim

x x x x

y y y  y

           

 Bảng biến thiên:

x  1 

y     y



2 

 

2



 Hai điểm cực trị đồ thị hàm số A 1; ;  B 1; , Do đó:AB2 Chọn C

Ví dụ 5. Cho hàm số

5

3

5

x x

y   x Mệnh đề sau ? A Hàm số đạt cực đại x 3, đạt cực tiểu x1

B Hàm số đạt cực tiểu x 3, đạt cực đại x0

C Hàm số đạt cực tiểu x 3 x1, đạt cực đại x0

D Hàm số đạt cực đại x 3 x1, đạt cực tiểu x0

Lời giải:

 Tập xác định: D Đạo hàm: y x42x33x2 x2x22x3

 Xét

1

5

0

2 187

10

x y

y x y

x y

     

 

       

     

 Giới hạn: lim , lim

xy  xy 

Nhắc lại: Khoảng cách hai điểm A x A;yA ;B xB;yB là:

  2 2

B A B A

 Bảng biến thiên:

x  3 

y    

y



187

10

5 

1 



 Ta thấy hàm số đạt cực đại x 3, đạt cực tiểu x1 Chọn A

Ví dụ 6. Cho hàm số

1

y x  Mệnh đề đúng?

A Hàm số đạt cực đại x0 B Hàm số cực trị

C Hàm số đạt cực tiểu x0 D Hàm số có hai điểm cực trị

Lời giải:  Tập xác định: D

 Ta có:  

2

2

1

2 1

x x

y

x x

 

  

  , y   0 x Giới hạn: xlimy 

 Bảng biến thiên:

x  

y  

y



1



 Ta thấy hàm số đạt cực tiểu x0 Chọn C

Ví dụ 7. Cho hàm số

12

y x  x Khẳng định sau đúng ?

A Hàm số đạt cực đại x 1 B Hàm số đạt cực đại x1

C Hàm số đạt cực tiểu x 1 D Hàm số đạt cực tiểu x1

Lời giải:

 Tập xác định D  2; 2

 Ta có  

2

2

12 3

1

2 12 12

x x

y

x x

 

    

  ;

2

2

0

0 12 3

12 x

y x x x

x x

 

       

 

 Bảng biến thiên:

x  2 

y   y

2 

4

2  Ta thấy hàm số đạt cực đại x1 Chọn B

Ví dụ 8. Hàm số y x24x3 có cực trị?

A 0 B 1 C 2 D 3

 Xây dựng công thức: Đồ thị hàm số y f x  hình thành hai bước: o Bước 1: Giữ nguyên phần đồ thị y f x  nằm trục hoành Ox

o Bước 2: Lấy đối xứng phần đồ thị y f x  nằm Ox qua Ox Bỏ phần đồ thị y f x  nằm trục Ox

Đồ thị hàm số y f x  Đồ thị hàm số y f x 

[[

Từ bước trên, ta thấy số cực trị ban đầu hàm y f x  nguyên, bên cạnh phát sinh cực trị giao điểm đồ thị y f x  với trục hoành

Kết luận: Số cực trị hàm số y f x  số cực trị hàm số y f x  cộng với số giao điểm hai đồ thị  :  

: C y f x Ox y

 







Lời giải:

 Cách 1: Tự luận

 Tập xác định: D

 Áp dụng công thức     

2

2

u u u

u u

u u



 

    , ta có:   

2

4

4

x x x

y

x x

  

 

  

1

4

0

4

3

x x x

x x x

y x x

x x

x

     

    

 

      

  

 

  

 Bảng biến thiên:

x  

y    

y 

0

1

0



 Ta thấy hàm số đạt cực đại x2, đạt cực tiểu điểm: x1, x3 Choïn D

 Cách 2: Trắc nghiệm

 Xét hàm số f x x24x3, đồ thị hàm có dạng parabol nên hàm số có cực trị

 Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm  

4

f x x  x với trục hoành:

2

4

3 x

x x

x  

    



 (ứng với giao điểm)

 Vậy số cực trị hàm số  

4

y f x  x  x là: + =

Ví dụ 9. Cho hàm số ycos 2xx Khẳng định sau sai?

A Tại

2

π

x  hàm số không đạt cực đại B Hàm số đạt cực đại điểm 11

12

π x

C Hàm số đạt cực đại điểm 13 12

π

x D. Tại 12

π

x hàm số đạt cực tiểu

Nhận xét : Đối với hàm số lượng giác, biến thiên ln có tính chu kỳ, mà việc lập bảng biến thiên trở nên không thuận tiện Cách đơn giản để tìm cực trị chúng sử dụng

Quy tắc II (xem mục Phương pháp), tức ta xét dấu đạo hàm cấp hai để suy cực trị hàm số

Lời giải:  Tập xác định D

 y  2sin 2x1;  

2

1 12

0 sin

5

2

2

6 12

π π

x k π x kπ

y x x

π π

x k π x kπ

     

 

      

     

 



4 cos 2

12

π π

y kπ   k π  

    12

π

x kπ

   điểm cực đại hàm số

5 5

4 cos 2

12 12

π π π

y kπ   k π   x kπ

    điểm cực tiểu hàm số

 Điểm cực đại hàm số   12

π

x kπ k ; với 11 12

π

k    x  Choïn B

Ví dụ 10 Hàm số

3

1 sin  x  x

y x có điểm cực trị khoảng 0;



 

 

 ?

A Vô số B 1 C 0 D 2

Lời giải:

 Ta có 1cos 2 11 2sin2  sin2 sin sin 

2 2

y    x x   x  x  xx  xx xx

 Xét hàm f x sinxx 0;



 

 

  Ta có f x cosx 1 0, 0;

2

x   

  

  f x sinxx nghịch biến 0;



 

 

 

   0

 f x  f  , 0;

2



 

  

 

x Vậy sin 0, 0;

2

x   x x     

 Mặt khác: sinx x 0 0;



 

  

 

x Do y sinx x sinx x

 

  

     

   , 0;2



 

  

 

x

Suy hàm số cho nghịch biến 0;



 

 

  Hàm số cho khơng có cực trị 0;2



 

 

 

Choïn C



 Bài tốn 2: Tìm cực trị hàm số dựa vào bảng biến thiên đạo hàm (cho sẵn). MỘT SỐ TÍNH CHẤT CẦN LƯU Ý:

Cho hàm số f x , g x có đạo hàm tập D Khi đó:

k f x k f x với k số f x g x f x g x

f x g x f x g x f x g x f x f x g x f x g x2

g x g x

f u u f u y f x  Thay x u y f u 

 Phương pháp chung:

o Kết hợp nguyên tắc xét dấu tích, thương, tổng (hiệu) biểu thức để có bảng xét dấu cho g x 

o Dựa vào bảng xét dấu dành cho g x  để kết luận cực trị hàm số  Nhắc lại quy tắc dấu tích, thương, tổng (hiệu) biểu thức:

  f x

  g x     f x g x

   : f x g x

   

f x g x Chưa biết Chưa biết

Ví dụ 11.Cho hàm số y f x xác định, liên tục có bảng biến thiên

x  

 

f x     

f x



0

1 



Khẳng định sau khẳng định đúng?

A Hàm số y f x có giá trị cực tiểu

B Hàm số y f x có giá trị lớn giá trị nhỏ C Hàm số y f x đạt cực đại x đạt cực tiểu x

D Hàm số y f x có cực trị

Lời giải:

 Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số đạt cực tiểu điểm x1

 Tại x0 đạo hàm f x không tồn hàm số f x vẫn xác định liên tục nên hàm số đạt cực đại x0 Chọn C

Ví dụ 12. Cho hàm số y f x  có bảng biến thiên:

x  

y    y



5

2

3

A Hàm số y f x  nghịch biến khoảng  0;

B Hàm số y f x  đạt cực đại điểm x0

C Hàm số y f x  đồng biến khoảng ; 0 4; D Hàm số y f x  có hai điểm cực trị

Lời giải:

 Tại x0 dù đạo hàm không xác định hàm số y f x  xác định liên tục nên hàm số đạt cực đại x0 Tại x4 hàm số y f x  khơng xác định, hàm số khơng có cực trị x4

 Do hàm số có cực trị Chọn D

Ví dụ 13. Cho đồ thị  C hàm số y f x  có y= 1 xx2 2 x331x2 Trong mệnh đề sau, tìm mệnh đề đúng:

A.  C có điểm cực trị B.  C có hai điểm cực trị

C.  C có ba điểm cực trị D.  C có bốn điểm cực trị

Lời giải:

 Xét đạo hàm:    2 3 2

1

y  x x x x = 1 x 2 x2 2 x3 3 1x

 '

1

x x

y

x x

     

     



 Vì x 1,x 2là nghiệm kép y nên y không đổi dấu qua hai điểm này;

1,

x x nghiệm kép y nên y đổi dấu qua điểm x1,x3

 Do hàm số có hai điểm cực trị x1,x3 Choïn B

Cần nhớ: Cho n số nguyên dương

 2

1 1

( ) n ( )

mũ chẵn

x x x x x x (ta nói x1 nghiệm kép phương trình)

 1

2 2

( ) n ( )

mũ lẻ

x x x x x x (ta nói x2 nghiệm đơn phương trình)

Ví dụ 14. Cho hàm số y f x có đạo hàm có bảng xét dấu f x sau

x  2 

( )

f x    

Hỏi hàm số  

2

y f x  x có điểm cực tiểu?

A 4 B 2 C 3 D 1

 Đặt    

2

g x  f x  x Ta có      

2 2

g x  x f x  x

 Xét        2   2 

2 2

0 2 (1) (2)

2

x x

g x x f x x

f x x f x x

                          

(1)

2

1

2

1

2

x x

x x x x

x x x                        (*)

(2)  2 

2 1 1 2

2

2 3 x x x x x x x

f x x x

x x x                                         (**)

 Hợp nghiệm (*), (**) ta có  

1 x g x x         

 ; đó:  

1 x g x x          

 Ta có bảng biến thiên:

x  1 

( )

g x    

 Vậy hàm số yg x  f x 22x có điểm cực tiểu x1 Chọn D

Ví dụ 15. Cho hàm số bậc bốn y f x  Bảng xét dấu bên đạo hàm f ' x Hàm số

   2 2

g x  f x  x có điểm cực trị ?

x  1 

( )

f x    

A 1 B 2 C 3 D 4

Lời giải:

 Ta có    

2

1

2

2

x

g x f x x

x x



    

 

   

1 0

2

x g x

f x x

            2

2

2 2 x x x x x x x                     1 2 2

 Bảng xét dấu:

x   1 2 1  1 2 

1

x    

 

2

f x  x    + ( )

g x    

 Từ bảng xét dấu ta suy hàm số g x  f  x2 2x2 có điểm cực trị Chọn C

Lưu ý : Để xét dấu g x( ), ta chọn giá trị x0 thuộc khoảng xét thay vào hàm x1, f x22x2 để xét dấu chúng Sau suy dấu g x( ) tích hai hàm Chẳng hạn:

 Để xét dấu ( )g x khoảng  1 2;, ta chọn giá trị x0    2  2;, thay số vào x1, ta dấu dương (+), thay vào x22x2, ta 10 3 nên

3

2

f x x



 

   

  mang dấu dương (+) (xem bảng biến thiên ban đầu) Vì mà dấu g x( ) dấu dương (+)

 Để xét dấu ( )g x khoảng   1; 2, ta chọn x0     1  1; 2, thay số vào x1 ta dấu dương (+), thay số vào x22x2 ta 5 1;3

 

2 1;3

2

f x x



 

 

  

 

 

mang dấu âm () (xem bảng biến thiên ban đầu) Vì mà dấu ( )

g x dấu âm () Bằng cách thức này, ta xét dấu g x( ) khoảng cịn lại có bảng xét dầu lời giải

Ví dụ 16. Cho hàm số f x( ) có bảng xét dấu đạo hàm sau:

x  

( )

f x     Đặt    

2 2019

3

B Hàm số yg x  có điểm cực trị

C Hàm số yg x  nghịch biến khoảng  1;

D Hàm số yg x  đồng biến khoảng  1;3 Lời giải:

 Ta có g x  fx 2 x24x3 Xét:  

2 1

2

2

x x

f x x x

x x

   

 

 

       

    

 

;

Xét x24x     3 x x

 Ta có bảng xét dấu:

x  1 

 2

f x    

2

4

x  x  +  + ( )

g x Chưa rõ dấu   

 Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy g x  đạt cực đại x1 Chọn A

Ví dụ 17. Cho hàm số f x có bảng biến thiên hình sau

x  

 

f x   

 

f x



1 

5



Hàm số

2

g x f x f x có điểm cực đại?

A 3 B 4 C 6 D 8

Lời giải:

   2              

6 12

g x  f x f x  f x f x  f x f x f x  ;



1

4

0

0 0

2

f x x x x x x x

g x f x x x

x x x x x x f x

 Từ bảng biến thiên, ta thấy x lim

x f x

f x g x

f x

 Giả sử thứ tự giá trị nghiệm phân biệt a a1, 2, ,a8), ta có bảng xét dấu g x( ): x  a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 

( )

g x         

 Ta thấy đạo hàm g x( ) đổi dấu từ dương (+) sang âm () bốn lần, hàm g x có bốn điểm cực đại Chọn B

 Bài tốn 1:Tìm tham số thỏa mãn điều kiện cực trị hàm số y ax3 bx2 cx d (*)

2

3 2

y ax bx c

Phương pháp:

1. Điều kiện để hàm số có n cực trị khơng có cực trị

Ta xét bảng sau (a  đạo hàm y):

Điều kiện a Điều kiện kèm Kết luận

a b0 Hàm số trở thành

2

ybx  cx d (parabol) nên có cực trị

0

a b0 Hàm số trở thành y cx d (đường thẳng)

nên khơng có cực trị

0

a  0 (hoặc   0) Hàm số có hai cực trị (một cực đại cực tiểu)

0

a  0 (hoặc   0) Hàm số khơng có cực trị Từ bảng trên, ta khẳng định:

o Hàm số (*) có hai cực trị 0 a    

 Ta thay  0   o Hàm số (*) có cực trị

0 a b

    



o Hàm số (*) có cực trị 0 a b

    



0 a    



o Hàm số (*) khơng có cực trị 0 a b

    



Dạng toán 2

2. Điều kiện cực trị bản:

o Hàm số có cực trị x x0:

Ta có:y x 0 0 Sau tìm m thay ngược trở lại để lập bảng biến thiên cho hàm số kết luận nhận hay loại giá trị m

o Hàm số đạt cực đại x x0 (hoặc hàm số đạt cực tiểu x x0):

Ta có:y x 0 0 Sau tìm m thay ngược trở lại để lập bảng biến thiên cho hàm số kết luận nhận hay loại giá trị m (hoặc thay m tìm vào đạo hàm cấp hai để xét dấu xem có phù hợp khơng)

o Đồ thị hàm số có điểm cực trị M x y 0; 0: Ta có:  

 

0

0 y x y x y

 

 

 

Tìm được m

Thay m trở lại đạo hàm để kiểm tra đạo hàm có đổi dấu x qua x0?

o Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A x A;yA ,B xB;yB: Ta có:    

   

0;

;

A B

A A B B

y x y x

y x y y x y

   

 

 

 ,

Tìm được m n

3. Điều kiện cực trị liên quan đến trục tọa độ:

o Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm khác phía trục Oy

1 0, 0 a ac x x         

o Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm cùng phía trục Oy

1

0, 0,

0

a a

x x ac

     

 

  

  



Để ý: Trong điều kiện trên, ta thay điều kiện x x1 2 c a

  ac0 Lý hai số trái dấu đồng nghĩa với tích thương chúng số âm Một a, c trái dấu điều kiện a 0, b2 4ac



     thỏa mãn,

1 0, 0 a ac x x         

Ta có biến đổi tương đương sau (phù hợp trắc nghiệm):

0

0 0;

0

0 0;

0 AB A A AB B B B AB A A AB B B B                       o Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm khác phía trục Ox

1 0, 0 a y y        

o Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm cùng phía trục Ox

(trong hai điều kiện y y1, 2 hai giá trị cực trị hàm số bậc ba) o Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị cách đều trục Ox a 0,

Điểm uốn I Ox o Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị cách đều trục Oy a 0,

Điểm uốn I Oy

 Lưu ý: Cách tìm điểm uốn I đồ thị bậc ba

yax bx  cx d :

3 ,

y  ax  bx c

6

3 I

b

y ax b x x

a 

       , thay

3 I

b x

a 

 vào hàm số ban đầu để tìm yI I x y I; I

4. Các công thức giải tích liên quan:

a) Đình lí Vi-ét: Cho phương trình ax2  bx c (*) có hai nghiệm x x1, 2 Ta có:

1 ,

b c

S x x P x x

a a

     

b) Công thức nghiệm phương trình ax2bx c 0 (*):

 (*) có hai nghiệm phân biệt 0 a    



 (*) có hai nghiệm trái dấua c 0

 (*) có hai nghiệm dương phân biệt 0, 0, a

S P

   

   



 (*) có hai nghiệm âm phân biệt 0, 0, a

S P

   

   



c) Cơng thức hình học giải tích mặt phẳng:

 Nếu ABC có

1

( ; ) ( ; ) AB b b AC c c

 

 



 2

1 ABC

S  b c b c  ABC A AB AC 0b c1 1b c2 20

 2

( B A) ( B A) AB x x  y y

 Khoảng cách từ điểm M x( M;yM) đến :ax by c  0  

2

; axM byM c d M

a b

 

 



Đặc biệt: d M Ox ;  yM , d M Oy ;  xM

Ví dụ 18. Với giá trị m đồ thị hàm số ( 6) (2 1)

y x mx  m x m có cực đại, cực tiểu

A m   ( ; 3) (2;) B m     ( ; 3) ( 2; )

Lời giải:

 Tập xác định : D Đạo hàm :

2

y x  mx m

 Ta thấy a 1 Hàm số có cực đại, cực tiểu yđổi dấu hai lần tập xác định

2

0 ( 6)

3 m

m m

m    

        





Choïn C



Ví dụ 19. Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số

( 2)

y m x  x mx có cực trị ?

A.m ( 3;1) \ 2 B.m ( 3;1)

C.m    ( ; 3) (1; ) D.m  3;1 Lời giải:

 Tập xác định : D Đạo hàm :

3( 2)

y  m x  xm

 Hàm số có hai cực trị 2 2

0 3( 2)

m

a m

m

m m

 

   

 

  



       

  

Chọn

A



Ví dụ 20. Tập hợp tất giá trị m để hàm số 1 1

y m x mx mx có cực trị là:

A

0 m m

   

 B m1 C m0 D m0

Lời giải:

 Tập xác định : D Đạo hàm :

( 1)

y  m x  mxm

 Hàm số cho có cực trị 0

0

a a

b

 

 

     

 

 

2

1

1

1

2 0

m

m m

m m

m m m m m

  

  

  

      

      

  

Chọn C



Ví dụ 21. Tìm tất giá trị thực m để hàm số

2 ( 3)

yx  x  m x khơng có cực trị ?

A.

3

m  B

3

m  C

3

m  D

3 m 

Lời giải:

 Tập xác định : D Đạo hàm :

3

y  x  x m

2

( 2) 3( 3)

3

m m m

            Chọn A

Ví dụ 22. Giá trị m để hàm số yx33mx23m21xm đạt cực đại x1

A. m 1 B. m 2 C m2 D. m0

Lời giải:

 Tập xác định: D Đạo hàm: y 3x26mx3m21

 Hàm số có cực đại x1 nên  1 3 1 0 m

y m m

m  

        

 

 Xét m0 Ta có y 3x23; y 6x Khi y 1  6 suy hàm số đạt cực tiểu

x (loại m0 trái giả thiết)

 Xét m2 Ta có y 3x212x9; y 6x12 Khi y 1   6 Do hàm số cho đạt cực đại x1 Vậy m2 thỏa mãn đề Chọn C

Ví dụ 23. Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số ymx3x2m26x1 đạt cực tiểu x1

A

4 m m

    

 B. m1 C m 4 D

1 m  Lời giải:

 Tập xác định: D Đạo hàm: y 3mx22x m 26

 Hàm số đạt cực tiểu  1 2 m

x y m m

m   

         

 



 Xét m1, ta có y3x22x5,y6x2 Khi y 1  8 0, hàm số cho đạt cực tiểu x1 Vì m1 thỏa mãn

 Xét m 4, ta có y 12x22x10, y 24x2 Khi y 1   22 0, suy hàm số đạt cực đại x1 Điều trái với giả thiết nên ta loại m 4 Choïn B

Ví dụ 24. Đồ thị hàm số

3

y x x ax b có điểm cực tiểu A 2; Tính a b

A 4 B 2 C 4 D. 2

Lời giải:

 Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu 2; 2 12 12 0

8 12 2

2

y a a

A

a b b

y

 Khi

3 , 6

y x x y x Ta thấy y 12 6 0, hàm số đạt cực tiểu x (thỏa mãn) Vậy

2 a

b , suy a b

Chọn D



Ví dụ 25. Cho hàm số

y  x ax bx c Biết đồ thị hàm số qua điểm A0; 1  có điểm cực đại M 2;3 Tính Q a 2b c

A. Q0 B. Q 4 C. Q1 D Q2

Lời giải:

 Tập xác định: D Đạo hàm:

3

y   x  ax b

 Đồ thị hàm số có điểm cực đại M 2;3 qua A0; 1  suy

     

2 12 4 0 3

2

1

0

y a b a

y a b c b

c c

y

 

      

         

  

        

 



 Thay hệ số vào đạo hàm:y 3x26 ,x y   6x y 2   6 0, hàm số đạt cực đại x2 (thỏa mãn đề bài) Vậy a3,b0,c    1 Q a 2b c 2

Chọn D



Ví dụ 26. Đồ thị hàm số

yax bx  cx d có hai điểm cực trị A(1; 7) , B(2; 8) Hãy tính y( 1)

A y  1 B y  1 11 C y   1 11 D y   1 35 Lời giải:

 Ta có:

3

y  ax  bx c

 Theo đề ta có hệ:

     

   

3

1 2

12

2 12

7

1 12

7

2 8 12

a b c

y a b c a

a b c

y a b c b

a b c

y a b c d c

d a b c

y a b c d d

       

   

            

  

             

  

               



Ví dụ 27. Cho hàm số    

2

3 m

y x mx  m x C , với m tham số Xác định tất giá trị m đồ thị hàm số  Cm có điểm cực đại cực tiểu nằm phía trục trung?

A 1; \  

m 

  B 0 m C m1 D

1

1

2 m

   Lời giải:

 Tập xác định: D Ta có y  x2 2mx2m1

 Yêu cầu đề bàiy0 có nghiệm x x1, 2 phân biệt dấu

 

2

1

2

2 a

m m

p m

    

     

    

1 m m

    

 

Chọn A



Ví dụ 28. Tìm tất giá trị m để đồ thị hàm số 2

(2 1) ( 2)

yx  m x  m  m x có điểm cực đại cực tiểu nằm hai phía trục tung

A 1 m B 0 m C 2 m D 1 m

Lời giải:

 Tập xác định : D

 Đạo hàm : 2

3 2(2 1)

y  x  m x m  m

 Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm hai phía trục tung

y

  có hai nghiệm trái dấu

2

3( 2) (1; 2)

a c m m m

       

Ví dụ 29. Có giá trị nguyên m để hàm số f x 2x36x2 m có giá trị cực trị trái dấu?

A. B. C. D.

Lời giải:

 Tập xác định: D Ta có f x 6x212x6x x 2

  0

2 x f x

x  

   



 Khi : y1 y 0  1 m y2  y 2   7 m

Vì m        m  6; 5; 4; 3; 2; 1; 0 Choïn D

Ví dụ 30. Điều kiện tham số m để hàm số y x3 3x2mx1 có hai điểm cực trị x x1, 2 thỏa mãn x12x22 6 là:

A m3 B m 1 C m1 D m 3

Lời giải:

 Tập xác định : D Ta có: y 3x26x m

 Hàm số có hai cực trị    3m  0 m

 Ta có :  

2

2

1 2 6

b c

x x x x x x

a a

 

           

 

2

2

3 m

m

       (thỏa mãn) Choïn D

Ví dụ 31. Tìm tổng tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số 3

3

yx  mx  m có hai điểm cực trị A, B cho SOAB 48, với O gốc tọa độ

A 1 B 0 C 2. D 3

(Trích từ Đề thi TSĐH 2012, Khối B)

Lời giải:

 Tập xác định : D

 Đạo hàm :

3 ( )

y  x  mx x x m ;

3

0

0

2

x y m

y

x m y m

       

   



 Đồ thị có hai điểm cực trị2m  0 m (1) Khi đó, tọa độ điểm cực trị : 3

(0;3 ), (2 ; )

A m B m m

 Xét ∆OAB với

3

(0;3 ) (2 ; )

OA m

OB m m

 

 

 

 , diện tích ∆OAB :

4

1

0

2 OAB

S   m  m

 Theo đề : 4

48 48 16

OAB

S   m  m    m (thỏa mãn (1))

 Ta có tổng hai giá trị m tìm : ( 2)  0 Chọn B

Ví dụ 32. Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số

3

1

( 3) 4( 3)

A 7;

m   

  B

7 ;

m  

  C

7 ;

m   

  D

7 ;

m     Lời giải:

 Tập xác định : D Đạo hàm :

( )

2( 3) 4( 3) g x

y x  m x m

 Hàm số có hai cực trị ( 3)2 4( 3) 2 3 m

m m m m

m    

             



 (*)

 Điều kiện cực trị :

2

1

1 ( 1) 2( 3) 4( 3) ( 1)

1 2( 3)

1 1

2 2

m m

a g

x x S m

       

 

  

 

     

   

 

 

7

2

3

m m

m

m 

   

 

 

 

    So sánh điều kiện (*), ta có

7 ;

m   

 

Choïn C



 Nhắc lại: Xét tam thức bậc hai có hai nghiệm phân biệt x x1, 2, ta có quy tắc xét dấu:   

x  x1 x2 

( )

f x Cùng dấu a Trái dấu a Cùng dấu a ( )

a f 

  a f ( ) 0 a f ( ) 0

 Khi x ( ; )x1 f x( ) dấu a mà  ( ; )x1 nên a f ( ) 0  Khi x( ;x2 )thì f x( ) dấu a mà ( ;x2 ) nên a f ( ) 0  Khi x( ;x x1 2) f x( ) trái dấu a mà ( ;x x1 2) nên a f ( ) 0

Đặc biệt: Trường hợp a f ( ) 0 xảy phương trình bậc II có hai nghiệm x1, x2  nằm khoảng hai nghiệm nên ta dùng a f ( ) 0 bao hàm ln điều kiện để phương trình bậc II có hai nghiệm phân biệt, khơng cần ghi  0 Vậy, với phương trình

 

2

0 (*)

f x

ax bx c , ta có:

 Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt thỏa 1 2

0 ( )

x x a f

S

 

    

   

   

(Một số nằm bên phải khoảng nghiệm trung bình cộng hai nghiệm nhỏ số đó)

 Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt thỏa 1 2

0 ( )

2 x x a f

S

 

    

   

   

(Một số nằm bên trái khoảng nghiệm trung bình cộng hai nghiệm lớn số đó)

Ví dụ 33. Cho hàm số y  x3 3mx23m1 (Cm) Với giá trị m đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu đối xứng qua đường thẳng  :x 8y740

A m0 B m3 C m1. D m2

Lời giải:

 Tập xác định : D Đạo hàm :

3 ( )

y   x  mx  x x m ;

3

0

0

2

x y m

y

x m y m m

    



        



 Hàm số có hai cực trị2m  0 m (*)

Khi đó, tọa độ điểm cực trị :

(0; 1), (2 ; 1)

A  m B m m  m

 Gọi I trung điểm

3

0

;

2

m m m m

AB I       

  hay

3

( ; 1)

I m m  m

3

(2 ; )

AB m m ; đường thẳng  có vectơ phương u(8; 1)

 Hai điểm cực trị đối xứng qua ∆

3

8(2 1) 74

AB AB u

I m m m



  

 

 

     

 

3

16 0 2

2

16 23 82

m m m m m

m m

m m

         



    

  

 



Ví dụ 34. Có giá trị nguyên tham số m để hàm số:

3

1

( 1) 3( 2)

3

y mx  m x  m x đạt cực trị x x1, 2 thỏa mãn x12x2 1 A 1 B 0 C 3. D 2

Lời giải:

 Tập xác định : D Đạo hàm :

2( 1) 3( 2)

y mx  m x m

 Hàm số đạt cực trị hai điểm x1, x2 2

( 1) ( 2) m

m m m

             

0 2 6 2 6

; \ (*)

2

2

m m m m                 

 Kết hợp đề định lí Vi-ét, ta có :

1

1

1

2 (1)

2( 1) (2) 3( 2) (3) x x m x x m m x x m               

 Lấy (1) trừ (2) theo vế, ta :

2 2

1 m m (4)

x

m m

 

   , từ (2) suy

1

2m

x x

m 

 

2 2

(5)

m m m

x

m m m

  

   

Thay (4) (5) vào (3) : 3m m 3(m 2) 3m2 10m 3m2 6m

m m m

  

      

2

2

6 16 2

3 m m m m           

 So sánh điều kiện (*), ta m2 hay

m Vì m ngun nên m2.Chọn D  Bài tốn 2:Bài tốn tham số có liên quan đến đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị

hàm số 3 2

(*)

yax bx cxd

1. Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị 3 2

(*)

yax bx cxd :

Giả sử đồ thị hàm số (*) có hai điểm cực trị, ta thực theo cách sau để viết phương

trình đường thẳng qua hai điểm cực trị :

 Phương pháp Tự luận :  Chia f x( ) cho f x( ) sau :

3

( )

f x

ax bx  cx d

( )

3

f x ax bx c



Dư : ( )P x x Thương : Q x( )

 Khi đó, hàm số viết lại : ( )f x  f x Q x( ) ( )x

 Tọa độ điểm cực trị thỏa mãn ( ) ( ) ( ) ( )

f x f x Q x x f x

  

  



  

 hay f x( )x

 Phương pháp Trắc nghiệm: Cách viết :

2

2

3

b bc

y c x d

a a

   

      

 

 

Cách viết : ( ) ( ) ( ) 18 f x f x y f x

a  

 

2. Tìm điểm uốn đồ thị hàm số 3 2

(*)

yax bx cxd :

Xét hình dáng đồ thị hàm bậc ba bên (đồ thị có hai điểm cực trị A, B), nhìn vào đồ thị lân cận điểm A, ta thấy bề lõm hướng xuống (lồi) ; nhìn vào đồ thị lân cận điểm B, ta thấy bề lõm hướng lên (lõm) Vậy có ranh giới để đồ thị chuyển từ lồi sang lõm, ranh giới gọi điểm uốn đồ thị (trong hình điểm I)

 Đặc biệt : Nếu đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B I trung điểm đoạn AB

 Cách tìm điểm uốn I :

 Bước : Tính

3

y  ax  bx c , y 6ax2b  Bước 2: Cho

3 I

b

y ax b x x

a

        , thay vào hàm số để yI Từ ta có

điểm uốn I x y I; I đồ thị hàm bậc ba

 Tính chất quan trọng : Điểm uốn I tâm đối xứng đồ thị hàm bậc ba tức đường thẳng qua I cắt đồ thị hai điểm cịn lại M, N I ln trung điểm đoạn MN

Ví dụ 35. Cho hàm số y f x( ) x3 x m (1) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số (1)

A

3

y x m B y x m C

3

y x m D

3

y x m

 Với toán này, xin hướng dẫn hai cách để bạn đọc lựa chọn phương án tối ưu cho Cách giải : Làm theo lý luận truyền thống Cách giải : Dựa vào công thức cung cấp

 Với cách giải 1, ta thực phép chia y cho y giấy nháp sau :

3

y

x x m

3

3 x x

2

3

y

x

3x

3x m (bậc I) Phép chia kết thúc bậc I nhỏ bậc II

Dư : dạng x

Lời giải:

 Cách giải :

 Tập xác định : D

 Đạo hàm :

3

y  x  ;

3

y    x nên hàm số ln có cực trị

 Hàm số viết lại

3

yy x  xm

 

 Tọa độ điểm cực trị đồ thị hàm số thỏa mãn :

1

3

0

y y x x m

y

      

  

 

    

3

y x m

    Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đô thị

y  x m

Choïn D



 Cách giải :

 Tập xác định : D Đạo hàm :

3

y  x  ;

3

y    x nên hàm số ln có cực trị

 Dựa vào công thức ( ) ( ) ( ) 18 f x f x y f x

a  

  , ta viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị sau :

2

3 (3 1).6

18

x x

yx   x m  3

3

y x x m x x y x m

         

 

Ví dụ 36. Cho biết có tham số mđể đồ thị hàm số

2 3( 3) 11

y x  m x   mcó hai điểm cực trị, đồng thời hai điểm cực trị điểmC(0; 1) thẳng hàng Tìm khẳng định đúng:

A m 3; B m 4; C m 1; D m  1;  Lời giải:

3

2 3( 3) 11 y

x  m x   m 6( 3)

y

x m x



 



2x 2(m3)x

3

m x 

(m3)x  11 3m

Khi phần dư có dạng x phép chia kết thúc

 2

(m3)x (m3) x Dư :

(m 3) x 11 3m

   

 Tập xác định : D Đạo hàm :

6 6( 3) ;

y  x  m x

0

0 ( 3)

3 x

y x x m

x m

 

       

 



 Hàm số có hai cực trị    3 m m

 Tọa độ điểm cực trị đồ thị hàm số thỏa mãn :

2

2

1

( 3) 11

( 3) 11

3

0

m

y y x m x m

y m x m

y

        

        

    

 Điểm (0; 1)C  thuộc đường thẳng qua hai điểm cực trị nên   1 11 3m m (thỏa mãn)

Choïn A



 Cách giải :

 Tập xác định : D Đạo hàm :

6 6( 3) ; 12 6( 3)

y x  m x y x m

0 ( 3)

3 x

y x x m

x m

 

       

 



 Hàm số có hai cực trị    3 m m

 Áp dụng công thức, ta viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị :

 

2

3 6( 3) 12 6( 3)

2 3( 3) 11

18.2

x m x x m

y x  m x   m     

3 2

2 3( 3) 11 ( 3) (2 3)

y x m x m x m x x m

           

3 2

2

2 3( 3) 11 3( 3) ( 3)

( 3) 11

y x m x m x m x m x

y m x m

 

           

     

 Điểm (0; 1)C  thuộc đường thẳng qua hai điểm cực trị nên   1 11 3m m (thỏa mãn)

Ví dụ 37. Tìm giá trị tham số m để đồ thị hàm số y x3 3x2 mx có điểm cực đại cực tiểu cách đường thẳng y x

A

2 B C

9.

 Đánh giá : Phương trình y  0 3x26x m 0 cho nghiệm đẹp ta muốn nên toán liên quan tọa độ điểm cực trị cần đến phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị

Lời giải:

 Tập xác định : D Đạo hàm :y 3x26x m

 Hàm số có hai cực trị     3m   0 m (*)

 Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị : 2

3

m m

y  x  

       

   

 Các điểm cực trị cách đường thẳng :d y x (1)

(2) d

I d với I trung điểm hai điểm cực trị

 Trường hợp :

2

2

3

2

3

m d

m

   

 

  

  

    

9 m

   (loại (*))

 Trường hợp : Gọi hai điểm cực trị đồ thị hàm số

1 2

2

; 2 , ; 2

3 3

m m m m

A x   x    B x   x   

       

    , điểm I trung điểm

AB nên : 1 ;

2

I

x x b

x

a

 

   2

1

( ) ( ) 2

2 3

I

m m

y  y y     x x     m

   

 

: 1

Id y       x m m (thỏa mãn (*)) Choïn D

 Bài tốn 3:Bài tốn tìm tham số thỏa mãn điều kiện cực trị hàm số yax4bx2c

1. Số cực trị hàm số yax4bx2c

 Đạo hàm :

4 2 (2 )

y  ax  bx x ax b ; 20

2 (*)

x y

ax b  

     



 Nhìn vào phương trình y 0, ta thấy ln có nghiệm x0 Do việc biện luận tiếp

theo phụ thuộc vào phương trình (*) Từ (*) ta thấy :

Trường hợp Nghiệm (*) Số nghiệm

của y Số cực trị

0 a b

   

 Vô nghiệm 1

0 a b

   

đây, ta khẳng định :

 Hàm số khơng có cực trị  a b

 Hàm số có cực trịa2b20

 Hàm số có cực trị 2 02 a b

a b  

   



 Hàm số có ba cực trịa b 0

 Lưu ý : Việc sử dụng a2b2 0 thể a b, không đồng thời 0, nhiên BPT

2

0

a b  mang tính phức tạp bậc m 4 Để khắc phục điều này, ta dùng phương pháp phủ định sau :

 Xét

1

0

Giải tìm

m m

a m m

b

 Quay lại giải a2 b2 tức lấy phủ định kết quả bước Ta có

1

m m

m m

2. Tìm điều kiện để hàm số yax4bx2c thỏa mãn điều kiện K:

 Bước : Tập xác định : D Đạo hàm : y 4ax32bx2 (2x ax2b) ;

2

0

2

x y

ax b  

     



 Bước : Điều kiện hàm số có cực trị (hoặc có ba cực trị) – Xem mục (lý thuyết)

 Xử lý điều kiện K (Công thức trắc nghiệm) :  Hàm số có cực trị thỏa mãn :

Hàm số có cực đại mà khơng có cực tiểu 0

0 a a b b          

Hàm số có cực tiểu mà khơng có cực đại 0

0 a a b b          

 Ba cực trị tạo thành tam giác vuoâng

đều , ta dùng cơng thức nhanh

3 cos b a BAC b a     Ba cực trị tạo thành tam giác vuông

3

0

8

cos cos 90

8 b a BAC b a      

 Ba cực trị tạo thành tam giác

3

0

8

cos cos 60

8 b a BAC b a      

 Ba cực trị tạo thành tam giác có diện tích S Ta dùng cơng thức nhanh bình phương diện tích :

5 32 b S a  

 Tọa độ ba điểm cực trị đồ thị (0; ), ; , ;

2 4

b b

A c B C

a a a a

   

  

   

   

    với

2

4 b ac   

 Tam giác ABC có 1 2 2 1

1

( ; )

2 ( ; )

Dieän tích

ABC

AB b b

S b c b c

AC c c

 Cơng thức diện tích khác : ; abc

S S pr

R

  với R r, theo thứ tự bán kính đường trịn ngoại tiếp nội tiếp tam giác ; a b c, , độ dài ba cạnh ;

2 a b c

p   nửa chu vi tam giác

C

R

r

O C O

A

B A

Ví dụ 38 Có tất giá trị nguyên m miền 10;10 để hàm số

4

2

y x m x có ba điểm cực trị?

A 20 B 10 C Vô số D 11 Lờigiải:

 Cách 1: Tự luận

 Tập xác định: D

 Ta có y 4x34 2 m1x; y  0 4x34 2 m1x0 2

2 (*) x

x m

 

   



 Hàm số cho có ba điểm cực trị phương trình y 0 có ba nghiệm phân biệt Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 1

2

m m

     

 Vì m nguyên thuộc 10;10 nên m0;1; 2;3; 4;5; 6; 7;8;9;10  Choïn D  Cách 2: Trắc nghiệm

 Hàm số có ba cực trị 2 1 2 1 ab   m   m    m

Ví dụ 39. Tìm tất giá trị tham số m để hàm số  

9 10

ymx  m  x  có cực trị

A. m0; 3 B. m3;

C. m    ; 3  0;3 D m  3; 0  3;

Lời giải:

 Cách 1: Tự luận

 Tập xác định: D

 Ta có: y 4mx32m29x2x2mx2m29;

2 2 , 0,

0

0 2 9 0 (1)

a m b c m

x

y mx m

    

 

     



 Hàm số cho có cực trị  y0 có nghiệm phân biệtPhương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác

 

2

0

2

3

8

0

2 3

m

a m

m m m

m

m m m

 

   

   

 

        



 

      

 

Suy m    ; 3  0;3 Choïn C

 Cách 2: Trắc nghiệm

 Hàm số có ba cực trị  9

0

m

ab m m

m   

     

Ví dụ 40. Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số y mx4 m x2 2m có cực trị

A m B m C m D m m

Lờigiải:

 Hàm số có cực trị  

 2

2 2

1 0

0

m m ab

a b m m

  



 



 

    

 

2

0

0

2 0,

m m

m m

m m m

   

    

    



 Vậy m m thỏa mãn đề Chọn D

Ví dụ 41. Tìm tất giá trị tham số m để hàm số 2

2

y x  mx  có cực tiểu mà khơng có cực đại

A. m0 B. m0 C. m1 D. m 1

Nhận xét : Có hai trường hợp để hàm số

yax bx c có cực tiểu mà khơng có cực đại: o Một : Hàm bậc bốn có cực trị cực tiểu, : 0

0

a a

ab b

 

 



   

 

o Hai : Hàm số trở thành hàm bậc hai (đồ thị parabol có bề lõm hướng lên), ta có : 0 a b

   



Lời giải :

 Ta thấy

a  , điều kiện toán tương đương với b  0 2m  0 m  Vậy m0 thỏa mãn đề Chọn B

Ví dụ 42. Tìm tất giá trị m để đồ thị hàm số  

1

y m  x mx  m có điểm cực đại khơng có điểm cực tiểu

A 1,5 m B m 1 C   1 m D   1 m 0,5

Lời giải:

 Hàm số có điểm cực đại mà khơng có cực tiểu 0(1) 0(2)

0

a a

b b

 

 

 

 

 

 Giải (1):

2

0 1

1

0 0

a m m

m

b m m

      

 

     

    



   (*)

 Giải (2):

2

0 1

1

0 0

a m m

m

b m m

     

     

    



   (**)

Ví dụ 43 Cho hàm số yx42(m1)x21 Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị lập thành tam giác vuông

A m 1 B m0 C m1 D m2

Lời giải:

 Cách 1: Tự luận

 Tập xác định: D



2

0

4 4( 1) ( 1);

1 x

y x m x x x m y

x m  

        

 



 Đồ thị hàm số có điểm cực trị y0 có ba nghiệm phân biệt     m m (*)

Khi điểm cực trị đồ thị là: A(0;1), B( m1; 2m m 2), C( m1; 2m m 2);

2

( 1; 1)

AB m mm  , AC ( m1; 2m m 21)

 Hàm số cho hàm số chẵn nên đồ thị hàm số nhậnOylàm trục đối xứng ABC cân tạiA Theo đề :ABC vng, phải vng A, ta có : AB AC 0

   3

2

( 1) (2 1) ( 1) ( 1) 1

2 m

m m m m m m m

m  

 

                   





 Kết hợp với điều kiện (*) ta có: m2 Choïn D

 Cách 2: Trắc nghiệm

 Hàm số có ba cực trịab 0 1.2(m1)  0 m

 Gọi A, B, C ba điểm cực trị đồ thị hàm số với A đỉnh tam giác cân ABC, ta có:

3

0

3

8

cos cos 90

8

b a b a

BAC b a

b a b a

 

      

 

 3  3

2m 8.1 2m 2m 2 m

                 (thỏa điều kiện)

Ví dụ 44 Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số yx42mx22m3 có ba điểm cực trị ba đỉnh tam giác cân

A m0 B m0 C m0 D m0

Lời giải:

 Tập xác định: D

 Ta có y 4x34mx4x x 2m; y x2

x m

      



 Hàm số cho có ba điểm cực trị phương trình y 0 có ba nghiệm phân biệt

2

x m

  có hai nghiệm phân biệt khác 0 m

 Vì hàm số cho hàm số chẵn nên đồ thị chúng đối xứng qua Oy, tam giác tạo ba điểm cực trị đồ thị luôn tam giác cân (tại đỉnh thuộc trục tung)

Ví dụ 45. Tìm m để  Cm : (3 1) 2( 1)

y x  m x  m có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có trọng tâm gốc tọa độ O

A

m  B

3

m C m1. D m0

Lời giải:

 Tập xác định: D

 Đạo hàm:

2(3 1) 2(3 1)

yx  m xx x  m ; 2

2(3 1) x

y

x m

 

     



 Hàm số có ba cực trị y có ba nghiệm phân biệt 2(3 1)

m m

     

 Gọi A, B, C ba điểm cực trị đồ thị, ta có: A(0; 2m 2) Oy,

 

2(3 1); ,

B  m  m  m C 2(3m1); 9 m24m1

 Vì O trọng tâm ABC nên

2

0

3

18

0

3

A B C

A B C

x x x

y y y m m

 

  



  

  

  



1 (nhaän)

2 (loại) m m

 Vậy

m thỏa mãn đề Choïn B

Ví dụ 46. Biết với tham số mm0thì đồ thị hàm số yx42mx22 có ba điểm cực trị tạo thành tam giác ngoại tiếp đường tròn có bán kính 1.Chọn mệnh đề sau đây:

A m0  ( 3; 1) B m0(0; 2) C m0(1;3). D m0(4;7)

 Lưu ý:

 Tam giác ngoại tiếp (tiếp xúc ngồi) đường trịn có nghĩa đường trịn nội tiếp (tiếp xúc trong) tam giác

 Tam giác nội tiếp (tiếp xúc trong) đường trịn có nghĩa đường trịn ngoại tiếp (tiếp xúc ngồi) tam giác

Lời giải:

 Tập xác định: D Đạo hàm: y 4x34mx4 (x x2m); y x2 x m

      



 Hàm số có ba cực trị y có ba nghiệm phân biệt m (*)

C

R r

O C

O A

B A

 Tọa độ điểm cực trị A(0; 2), B( m; 2m2), C( m; 2m2)

2

( ; ), ( ; ), (2 ;0)

AB  m m AC m m BC  m suy AB m m AC; BC2 m Diện tích tam giác ABC: 2

2

S m mm m m m Nửa chu vi tam giác:

4

4

2

2

AB BC CA m m m

p       m m  m

 Ta có

1

S  p rm m m m  mm  m  (rút gọn cho m0)

2

3

2

3

1

1

1

( 2)

1

m m

m

m m

m m m

m m m

   

   



     

  

   

 



0 (loại) (loại)

m m m

 Vậy m2 thỏa mãn yêu cầu đề Chọn C

Ví dụ 47. Có tham số m nguyên âm để đồ thị hàm số yx42mx2m có ba điểm cực trị A, B, C, cho đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC có bán kính 1?

A 0 B 1 C 2. D 3

Lời giải:

 Tập xác định: D Đạo hàm: y 4x34mx4 (x x2m); y x2 x m

      



 Hàm số có ba cực trị y có ba nghiệm phân biệt m

 Tọa độ ba điểm cực trị đồ thị: A(0; )m , B( m m m;  2), C( m m m;  2)

 

2

( ; ), ( ; ), ;0 ; ;

AB  m m AC m m BC m AB m m AC BC m Diện tích tam giác : 2

2

ABC S  m mm m m m

4

3

0

( )2

4 4.1 2 1

m m

abc AB AC BC m m m

S m m

R R m m

 



     

  

0 (loại)

1 (loại)

1

2 m

m m m

 Vậy 1

2

m  m   thỏa mãn Ta thấy khơng có giá trị m ngun âm thỏa mãn

Chọn A



 Bài tốn 4:Tìm tham số thỏa mãn điều kiện cực trị hàm số khác 1. Hàm số phân thức bậc hai bậc :

2

ax bx c

y

 Tập xác định : D \ e

d

 

  

  Đạo hàm :

2

2

2 ( )

( ) ( )

Ax Bx C g x y

dx e dx e

 

  

  với

, ,

0

a b a c b c

A a d b B a e c C b e c d

d e d e

        

 Hàm số có hai điểm cực trị y đổi dấu hai lần tập xác địnhg x 0 có hai nghiệm phân biệt khác e

d 

 Đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị có phương trình :

 

2

( )

ax bx c ax b a b

y y x

dx e d d d



  

    





2. Hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối :

a) Hàm số y f x  : Đạo hàm:    

 

f x f x y

f x 

 

Cho trước đồ thị hàm số y f x  liên tục D Ta xác định đồ thị hàm y f x  : o Bước 1: Giữ nguyên phần đồ thị y f x  nằm phía trục hồnh

o Bước 2: Lấy đối xứng phần đồ thị y f x  nằm trục hoành qua trục hoành Hợp hai phần (bỏ phần trục hoành), ta đồ thị hàm y f x  Minh họa:

Đồ thị y f x  Đồ thị y f x 

 Đúc kết :

 ( ) ( ) ( ) : ( )

:

Khoâng tínhtiếp xúc

C y f x Số cực trị hàm y f x Số cực trị hàm y f x Số giao điểm

Ox y

b)Hàm số y f  x :

Cho trước đồ thị hàm số y f x  liên tục D Ta xác định đồ thị hàm y f x :

o Bước 2: Lấy đối xứng phần đồ thị y f x  nằm bên phải trục tung qua trụng tung Hợp hai phần trên, ta đồ thị hàm y f x

Minh họa:

Đồ thị y f x  Đồ thị y f x

 Đúc kết :

 Xét hàm đa thức f x  có tập xác định (chắc chắn đồ thị hàm cắt Oy tại điểm), ta có:

0

( ) ( )

x

Số cực trị hàm y f x Số cực trị nằm bên phải Oy hàm y f x

Để cho dễ nhớ, ta gọi n số cực trị dương hàm số y f x , số cực trị hàm số

 

y f x 2n1

Ví dụ 48. Tìm tất giá trị tham số m cho hàm số  

2

1

x m x m

y

x m

   



 có cực đại, cực tiểu

A. m B. m0 C. m1 D. m 1

Lời giải:

 Tập xác định: D \ m Đạo hàm:

    

2

2

2 g x

x mx m y

x m x m

  

  

 

 Hàm số có cực đại, cực tiểu y đổi dấu hai lần tập xác địnhg x 0 có hai nghiệm

phân biệt khác m  

 

2

2 2

2

2 2

1

2

1

2

2

g g a

m

m m m

m

g m m m m

  

   

  

         

  



      



Chọn A



Ví dụ 49. Tìm tất giá trị tham số m để điểm A1; 3  với hai điểm cực trị đồ thị hàm số

2

2 x mx m y

x

 



A.

m  B. m1 C

1 m m        D. m m        Lời giải:

 Tập xác định: D \ 1 Đạo hàm:

     2 2 1 g x

x x m

y

x x

 

  

 

 Hàm số có hai cực trị  y đổi dấu hai lần tập xác địnhg x 0 có hai nghiệm phân biệt

khác 1

 

1

1

1

1

1

g g a m m m m g m                         

 Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị  

 

2

2

: 2

1 x mx m

d y x m

x        

Điểm 1; 3 2.1 A     d  m  m

 Vậy m1

m  thỏa mãn đề Choïn C

Ví dụ 50. Cho hàm số

2 x mx y x m   

 (m tham số) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số có giá trị cực đại

A. m7 B. m5 C m 9 D. m 5

Lời giải:

 Điều kiện x m Đạo hàm:

      2 2

2 x m

x mx m y

x m x m

          , 1            x m y

x m Vì 1     m m, m nên hàm số ln có hai điểm cực trị  m

Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị y2x m Suy y1m 2 m y,  1 m  2 m

 Ta có bảng biến thiên:

x   1 m m 1m  y    

y  m    

2m



Ví dụ 51. Tìm số thực a b, cho điểm A 0;1 điểm cực đại đồ thị hàm số

2

b y ax a

x

  



A. a 1;b0 B a  b C a b D a 1;b0

Lời giải:

 Tập xác định: D \ 1 Đạo hàm:

 2

'

1 b y ax

x

 



 A 0;1 điểm cực đại đồ thị hàm số  

 

' 0 0

1

0

y b b

a a

y 

    



    



 

 



 Với a1,b0, ta có y 2x đổi dấu từ âm sang dương (tính từ trái sang phải) qua x0

nên x0 điểm cực tiểu hàm số (không thỏa mãn)

 Với a 1,b0, ta có y  2x đổi dấu từ dương sang âm (tính từ trái sang phải) qua x0

nên x0 điểm cực đại hàm số (thỏa mãn đề bài)

 Vậy a 1,b0 Choïn D

Ví dụ 52 Gọi S tổng giá trị nguyên tham số m để hàm số 3

2

m y x  x  x  có điểm cực trị Vậy S nhận giá trị sau đây?

A 2016 B 1952 C 2016 D 496

 Nhận xét : Để giải dạng toán này, bạn học sinh cần :

 Xem lại lý thuyết tìm số cực trị hàm y f x  tóm tắt phần

 Ngồi ra, em cần phải nắm cơng thức tìm tổng cấp số cộng: Cho cấp số cộng với số hạng đầu u1, cơng sai d, tổng n số hạng đầu là:  

2

n n

u u n

S   với un  u1 n1d Lời giải :

 Cách 1: Tự luận

 Xét:  

2

m

y f x  với f x x33x29x  5, x Ta có: f x 3x26x9

 Áp dụng công thức:  u u u u



  , ta có:  

   

2

2 m f x y f x

m f x

  



 Xét y 0

   

0 f x

m f x

 

 

   



; f x 0 x

x x

x   

     



 Vậy hàm số   3

2

m m

y f x   x  x  x  có năm điểm cực trị  

2

m

f x   có ba nghiệm phân biệt khác 1, (*)

 Bản biến thiên hàm f x :

x  1 

 

f x     

f x



0

32





 Ta thấy với  * 32 0 64

m

m

        Vì m nguyên nên m1, 2, 63

 Tổng giá trị m 631 63 2016

S    Choïn A

 Cách 2: Trắc nghiệm

 Xét hàm số   3 m

f x x  x  x  có  

1

2

3

3 32

2 m

x y

f x x x

m

x y

     

      

      

 Ta biết: ( ) ( ) ( ) : ( )

:

Không tínhtiếp xuùc

C y f x Số cực trị hàm y f x Số cực trị hàm y f x Số giao điểm

Ox y

mà: Số cực trị hàm y f x  Do yêu cầu đề tương đương với ( ) : ( )

:

C y f x Ox y có ba giao điểm (khơng tính tiếp xúc) y f x  có hai cực trị trái dấu 32

2

m  m

   

 

 64 0 64

m m m

      Vì m nguyên nên m1, 2, 63

Ví dụ 53. Cho hàm số y f x( ) có bảng biến thiên hình vẽ

x  1 

 

f x   

  f x



11

4



Có giá trị nguyên tham số m để đồ thị hàm số g x( ) f x( )3m có điểm cực trị:

A. B. C. D.1

 Số điểm cực trị hàm số y f x m tổng số điểm cực trị hàm số y f x m số nghiệm đơn phương trình f x  m

 Dựa vào bảng biến thiên, ta có số điểm cực trị hàm số y f x( )3m Do để hàm số

( ) ( )

g x  f x  m có điểm cực trị phương trình ( ) 3f x  m0 phải có nghiệm đơn

 Từ bảng biến thiên, ta thấy: f x 3m có nghiệm đơn

4 11

4 11

3

m m

     ; m ngun nên m 2;3 Chọn A

Ví dụ 54. Có giá trị nguyên tham số m để hàm số

8 18

y x  x  x m có

điểm cực trị?

A 1 B Vô số C 2 D Không có

Lời giải:

 Áp dụng cơng thức:  x u u u



  , ta có:   

4 3

4

8 18 24 36

8 18

x x x m x x x

y

x x x m

    

 

  

 4 3 2   2

4

8 18

8 18

x x x m x x

y

x x x m

   

 

   ;

0 ( )

0 ( )

8 18 (*)

g x

x nghiệm đơn

y x nghiệm kép

x x x m

 Xét hàm số g x x48x318x2; g x 4x324x236x0  x x

   



 Bảng biến thiên:

x  

 

g x     

g x



0

27



 Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy phương trình

 

4

8 18 (*)

g x

x  x  x  m có tối đa hai nghiệm Ngồi ra, x0 nghiệm đơn, x3 nghiệm kép phương trìnhy 0 Vì hàm số cho có ba cực trị tương đương phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác

0

m m

Ví dụ 55 Cho hàm số y f x  có đạo hàm f  x  x12x22x,  x Số giá trị nguyên tham số m để hàm số    

3

g x  f x  x m có điểm cực trị là:

A B 4 C 3 D 2

Lời giải:

 Ta có:    2    2 

1 2

f x  x x  x  x x x ;

     

3

g x  x  x f x  x m 3x26x x 33x2 m 1 2 x33x2m x 33x2 m 2

    

 

3

3

3

0

3

3

x x

x x m

g x

x x m

x x m

   

     

      



    



 Ta thấy nghiệm (nếu có) từ phương trình (1) ln nghiệm kép (g x không đổi dấu qua nghiệm kép) Vì vậy, yêu cầu đề tương đương hai phương trình (2) (3) có tất sáu nghiệm phân biệt khác (*)

 Xét hàm số h x x33x2, x Đạo hàm:   0 x

h x x x

x  

     





 Ta có bảng biến thiên:

x  

y    y



0

4 



 Từ bảng biến thiên, tâ thấy: (*) 0 4

4 2

     

 

    

      

 

m m

m

m m

Chọn A



Ví dụ 56. Cho hàm số    1  3

y f x  x  m x  m x m  Tìm tất giá trị m để hàm số y f  x có điểm cực trị

A.    3 m B m1 C m4 D m0

 Nhận xét : Để giải dạng toán này, em học sinh cần xem lại cách xây dựng cơng thức tìm số cực trị hàm y f  x phần lý thuyết Từ ta rút công thức:

2

Số cực trị hàm y f x n với n số cực trị dương (x0) hàm số y f x 

Lời giải:

 Xét hàm    1  3

f x  x  m x  m x m với f x x22m1x m 3

 Hàm f x  có hai cực trị dương f x 0 có hai nghiệm phân biệt 0 x1 x2

   

 

2

1 2 1

2 1

3

m m m m

S m m m

m P m                                

Chọn B

Ví dụ 57. Cho hàm số y f x  có f  x  x13x24m5x m 27m6 ,  x Có tất số nguyên m để hàm số g x  f  x có điểm cực trị?

A 4 B 2 C 5 D 3

Lời giải:

 Ta có  

 

 

 

2

4 *

0

1

h x

x m x m m

f x x               

 Hàm g x  f  x có điểm cực trị  Hàm số y f x  có điểm cực trị x0

 Phương trình    * :h x 0 có hai nghiệm x x1, 2 thỏa  

 

1

1

0 1

0

x x x x                      2

0 6

1 1; 2;6

1,

1

h m m m

m

m m

h m m m

                          

 

1

2

0

0

1

2 5

,

0

4

x

x S x

h m m

m m m m m m                          

 Do tập giá trị nguyên m thỏa yêu cầu toán 3; 4;5 Chọn D

Ví dụ 58.Cho hàm số g x  f x 33x21 có bảng biến thiên sau:

x  

( )

g x    

( ) g x  18 

Hỏi hàm số y f x  có điểm cực trị?

 Nhận xét: Đây loai tốn Tìm cực trị truy ngược hàm ẩn Tôi xin giới thiệu hai cách xử lý phổ biến cho dạng tập

Lời giải:

 Ta có:          

3 3

g x  x  x f x  x   x x f x  x  (1)

 Khơng tính tổng quát, ta chọn g x x x 2x3 (2) Đồng (1) (2), ta có:  

3

3 x f x  x   

 Với x3 f 1 0 Với x1  1

f     Ta có bảng xét dấu f t sau:

t  

 

f t  

 Từ đây, ta thấy hàm số y f t  (hay y f x ) có điểm cực trị (cực tiểu) Chọn B

Ví dụ 59.Cho hàm số    

4

g x  f x  x có bảng xét dấu g x  sau:

x  1 

 

g x     Hỏi hàm số y f  x có điểm cực trị?

A 0 B 1 C 2 D 3 Lời giải:

 Ta có:          

2 4 2

g x  x f x  x  x f x  x (1)

 Khơng tính tổng qt, chọn g x   x1x2x5 (2)

 Đồng (1) (2), ta được:   1  

4

2

f x  x  x x

 Cách giải 1:

 Với x 1 f 5 0, với x5 f 5 0

 Chuẩn bị cho bảng xét dấu, ta có: với x0thì  0

f    , với x6  12 f  

t  

 

f t  

 Từ bảng , ta thấy hàm số y f t  (hay y f x ) có điểm cực trị dương (nằm bên phải trục Oy) Do số cực trị hàm y f  x là: 2.1 3  Choïn D

   1      1  

4 5 5

2

f x  x  x x  f x x   x x Đặt

 1 5 5  1 5

t x x    t x x

 Ta có:   1 5

f t  t   t (nghiệm đơn) Do hàm số y f t  (hay y f x ) có điểm cực trị dương (nằm bên phải trục Oy) Số cực trị hàm y f  x là:

2.1 3 

BÀI TẬP RÈN LUYỆN Câu 1. Cho hàm số f x  có bảng biến thiên hình vẽ

x  1 

y    y



2 

3





Điểm cực tiểu hàm số cho là:

A x3 B x0 C x 1 D x 2

Câu 2. Cho hàm số f x  xác định có bảng xét dấu f x hình bên Khẳng định sau sai?

x  3 

( )

f x    

A Hàm số đạt cực tiểu x2 B Hàm số đạt cực đại x 3

C x1 điểm cực trị hàm số D Hàm số có hai điểm cực trị Câu 3. Cho hàm sốy f x( )liên tục có bảng xét dấu f x sau:

x  

( )

Kết luận sau

A Hàm số có điểm cực trị B Hàm số có điểm cực đại

C Hàm số có điểm cực trị D Hàm số có điểm cực tiểu Câu 4. Cho hàm số y f x  có bảng biến thiên sau:

x  1 

y    

y



4 

3



4 



Hàm số đạt cực đại điểm:

A x0 B 0; 3  C y 3 D x 3

Câu 5. Hàm số y f x  xác định, liên tục có bảng biến thiên hình vẽ bên Khẳng định sau đúng?

x   y    

y 

1

1 

0

A Hàm số đạt cực tiểu x 1

B Hàm số có giá trị lớn giá trị nhỏ 1

C Hàm số có hai cực trị

D Hàm số đạt cực đại x0, x1và đạt cực tiểu x2 Câu 6. Cho hàm số y f x  xác định, liên tục có bảng biến thiên

x  

y   

y



0

1 



A Hàm số y f x  có giá trị cực tiểu

B Hàm số y f x  có giá trị lớn giá trị nhỏ

C Hàm số y f x  đạt cực đại x0 đạt cực tiểu x1

D Hàm số y f x  có cực trị Câu 7. Cho hàm số y f x  có bảng biến thiên

x  

y   

y



5

2



Khẳng định sau sai?

A Hàm số y f x  nghịch biến khoảng  0;

B Hàm số y f x  đạt cực đại điểm x0

C Hàm số y f x  đồng biến khoảng ; 0 4;

D Hàm số y f x  có hai điểm cực trị Câu 8. Hàm số sau có ba điểm cực trị

A y  x4 2x21 B

3

3

y x  x  x

C y x42x2 D y  x4 2x2 Câu 9. Tìm điểm cực đại hàm số 2

3

y  x  x  x

A x 1 B x 3 C x3 D x1 Câu 10. Tìm điểm cực tiểu đồ thị hàm số

4

3

x

y x 

A

2

y B 1;2

 

 

 ,

2 1;

5

 

 

  C

5 1;

2

 

 

 ,

5 1;

2

 

 

Câu 11. Hàm số yx42x21 đạt cực trị điểm x x x1, 2, 3 Tính S  x1 x2 x3

A 0 B 2 C 1 D 2

Câu 12. Cho hàm số y2x33x24 Tích giá trị cực đại cực tiểu hàm số

A 0 B 20 C 12 D 12 Câu 13. Cho hàm số

2

y  x x  có giá trị cực đại giá trị cực tiểu y y1, 2 Khi

A y1y2 12 B y13y215 C 2y1y2 5 D y2y12 Câu 14. Số điểm cực trị hàm số yx43x32x2 x

A 2 B 3 C 0 D 1 Câu 15. Cho hàm số yax4bx2c a 0 có bảng biến thiên đây:

x  1 

y    

y



2

1

2

 Tính P a 2b3 c

A.P3 B.P6 C.P 2 D P2

Câu 16. Cho hàm số y f x  có đạo hàm f '  x  x1x2 2 x3 Số điểm cực trị hàm số cho

A. B 1 C. D.2

Câu 17. Cho hàm số y f x  xác định liên tục biết f x x2x1x2 x 23x54 Số điểm cực trị đồ thị hàm số

A 4 B 3 C. D 1

Câu 18. Cho đồ thị  C hàm số y f x  có y= 1 xx2 2 x331x2 Trong mệnh đề sau, tìm mệnh đề đúng:

C.  C có ba điểm cực trị D.  C có bốn điểm cực trị

Câu 19. Cho hàm số f x  có đạo hàm   2019  2 3

1

f x x x x Số điểm cực đại hàm số f x 

A.1 B.-1 C.0 D.3 Câu 20. Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm    

2

2

( ) x x ,

f x x

x

 

   

Mệnh đề ?

A Hàm số có ba điểm cực trị B Hàm số có hai điểm cực trị

C Hàm số có điểm cực đại D Hàm số có điểm cực tiểu

Câu 21. Đồ thị hàm số yx33x29x2 có hai cực trị A B, Điểm sau thuộc đường thẳng AB?

A 1;

E 

  B M0; 1  C P 1; 7 D N 1;9 .

Câu 22. Cho điểm I2; 2và A B, hai điểm cực trị đồ thị hàm số y  x3 3x24 Tính diện

tích S tam giác IAB

A S 20 B S 10 C S 10 D S 20 Câu 23. Cho hàm số

2

yx  x  Tính diện tích S tam giác có ba đỉnh ba điểm cực trị đồ thị hàm số cho

A S 1 B S 2 C S 3 D

2 S 

Câu 24. Hàm số

2

4

x x

y x

 



 có số điểm cực trị

A 1 B 2 C 3 D 0 Câu 25. Giá trị cực đại hàm số

2

1 x x y

x   



A.yCĐ  1 B. yCĐ 3 C.yCĐ 5 D.yCĐ1 Câu 26. Cho hàm số

2

A Hàm số đạt cực đại x2 B Hàm số khơng có cực trị C Hàm số đạt cực tiểu x0 D Hàm số có hai điểm cực trị

Câu 27. Cho hàm số

1

y x  Mệnh đề đúng?

A Hàm số đạt cực đại x0 B Hàm số khơng có cực trị

C Hàm số đạt cực tiểu x0 D Hàm số có hai điểm cực trị Câu 28. Hàm số

2

y x  x  có điểm cực trị?

A 6 B 5 C 3 D 4 Câu 29. Các điểm cực đại đồ thị hàm số y f x( )sin x x 

A ( )

x  k k B ( )

4

x  k k

C ( )

k

x    k D ( )

4 k

x   k

Câu 30. Hàm số y x1x2x3x4  x2018x2019 có điểm cực trị?

A. 2019 B 2018 C 4037 D 4038

Câu 31. Cho hàm số y f x( ) xác định liên tục có bảng xét dấu đạo hàm sau:

x  2 

y    Hàm số y g x( ) f x 2x4 có điểm cực tiểu?

A 1 B 3 C 2 D 4 Câu 32. Cho hàm số y f x  có bảng biến thiên sau

x  1 

 

f x   

 

f x



2018

2018





A 4 B 3 C 2 D 5 Câu 33. Cho hàm số có bảng biến thiên sau

x  2 

y    y



6

2



Hàm số y f x( 3 ) có điểm cực trị?

A 5 B 6 C 3 D 1

Câu 34. Cho hàm số y f x  có bảng xét dấu đạo hàm sau:

x  3 

 

f x   

Hỏi hàm số g x  f x x33x29x5 có điểm cực trị?

A 2 B 1 C 0 D 3 Câu 35. Cho hàm số y f x  có bảng xét dấu đạo hàm sau:

x  1 

 

f x    Hỏi hàm số     3

6 2020

g x  f x x  x  x có điểm cực trị?

A 3 B 2 C 1 D 4 Câu 36. Cho hàm số y f x  liên tục Biết hàm số y f ' x có bảng xét dấu sau

x  3 

( )

f x    

Số điểm cực tiểu hàm số yg x  f 6x2 là:

A 5 B 7 C 3 D 4

 

Câu 37. Cho hàm số có đạo hàm Số điểm cực trị hàm số

A B C D Câu 38. Số điểm cực trị hàm số    

1

yg x  f x x 

A 0 B 1 C 3 D 2 Câu 39. Cho hàm số y f x( ) có bảng biến thiên sau:

x  2 

 

f x   

 

f x



2

5

 Số cực trị hàm số g x( ) f2(2x2x) là:

A 3 B 4 C D 6.

Câu 40. Cho hàm số có bảng biến thiên sau

x  1 

( )

f x    

( )

f x



2 

1 

2 



Số điểm cực tiểu hàm số   3 

3

g x  f x  x là:

A 5 B 2 C 3 D 4 Câu 41. Cho hàm số y f x  có bảng biến thiên:

x  2 

 

f x    

 

y f x f  x x x24x24

 

y f x

3

 

 

f x



4

2

7

 Hỏi hàm số y f 2x2 có điểm cực trị?

A 4 B 3 C 5 D 7 Câu 42. Cho hàm sốy f x  xác định, liên tục có bảng biến thiên sau?

x  

y    

y



3

1 

2

 Hàm số  

2018

1

x

g x f

x       



 

  có điểm cực trị?

A 7 B 3 C 5 D 6

Câu 43. Cho y f x là hàm số xác định có đạo hàm Biết bảng xác dấu y f3 2 x sau:

x 

2



2 

(3 )

f  x     

Hỏi hàm số y f x  có điểm cực đại?

A 0 B 1 C 2 D 3

Câu 44. Cho y f x  xác định có đạo hàm Biết bảng xét dấu  3

y f x sau

x  1 27 

 3

f x    

Tìm số điểm cực trị hàm số yf x 

Câu 45. Giá trị m để hàm số  

3

yx  mx  m  xm đạt cực đại x1

A. m 1 B. m 2 C. m2 D. m0

Câu 46. Hàm số y2x3 4 2m x 2m5x4 đạt cực đại x0 giá trị m

A 5 B 5 C 2 D 13

Câu 47. Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số yx44x3mx24x3 đạt cực tiểu x1

A m2 B m4 C m6 D m1

Câu 48. Để hàm số yx33x2mx đạt cực tiểu x2 tham số thực m thuộc khoảng sau đây?

A m 3;5 B m   3; 1 C m 1;3 D m  1;1.

Câu 49. Biết đồ thị hàm số yax3bx21a b,   có điểm cực trị A1; 2 , giá trị

3a4b

A 6 B 6 C 18 D 1

Câu 50. Biết đồ thị hàm số yx33x2ax b có điểm cực tiểu A2; 2  Tính tổng

S  a b

A S 34 B S  14 C S 14 D S  20

Câu 51. Ta xác định số , ,a b c để đồ thị hàm số yx3ax2bx c qua điểm  0;1 có

điểm cực trị 2; 0 Tính giá trị biểu thức T4a b c 

A 20 B. 23 C 24 D 22

Câu 52. Biết hàm số y f x x3ax2bxc đạt cực tiểu điểm x1, giá trị cực tiểu

3

 đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung độ Tìm giá trị hàm số x2

A f  2 8 B f  2 0 C f  2 0 D f  2 4

Câu 53. Cho hàm số 2 (4 1) 3

y x  mx  m x Mệnh đề sau sai?

A Hàm số đạt cực đại, cực tiểu

C Hàm số đạt cực đại, cực tiểu

m D Với m, hàm số có cực trị Câu 54. Tìm tất giá trị tham số m để hàm số yx33x2mx1 có hai điểm cực trị

A m3 B m3 C m 3 D m3

Câu 55. Tất giá trị thực tham số m để hàm số yx33x23mx1 khơng có cực trị là

A m1 B m1 C m1 D m1 Câu 56. Tìm số thực mđể hàm số ym2x33x2mx5 có cực trị

A

3

m m  

  

 B   3 m C

3

m m     

 D   2 m

Câu 57. Biết hàm số yxa 3 x b 3x3 có hai điểm cực trị Mệnh đề sau ?

A ab0 B ab0 C ab0 D ab0 Câu 58. Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số

3

yx  x m có giá trị cực đại giá trị cực tiểu trái dấu

A.   2 m B. m  2;  C. m 2 m2 D. m

Câu 59. Cho hàm số y2x33m1x26m2x1 với m tham số thực Tìm tất giá trị m để hàm số có điểm cực đại điểm cực tiểu nằm khoảng 2;3

A m  1;3   3; B m 1;3

C m 3; D m  1; 4

Câu 60. Cho hàm số y f x ax3bx2cxd với a0 Biết đồ thị hàm số có hai điểm cực trị

1; ,  1;3

A  B  Tính f  4

A f  4  53 B f  4 17 C f  4  17 D f  4 53

Câu 61. Cho hàm số yax3bx2 cx d có đồ thị nhận hai điểmA(0;3) B(2; 1) làm hai điểm cực trị Số điểm cực trị đồ thị hàm số 2

y ax x bx c x d là:

Câu 62. Có tất giá trị nguyên m miền 10;10 để hàm số

 

4

2

yx  m x  có ba điểm cực trị?

A 20 B 10 C Vô số D 11

Câu 63. Xác định hệ số , ,a b c đồ thị hàm số yax4bx2c biết A   1; ,B 0;3 điểm cực trị đồ thị hàm số?

A a1;b0;c3 B 1; 3;

a  b c 

C a1;b3;c 3 D a 1;b2;c3

Câu 64. Tìm giá trị tham số m để hàm số ymx42x210 có ba điểm cực trị

A.m0 B.m0 C.m0 D.m0

Câu 65. Có số nguyên m để đồ thị hàm số ym1x4 6 m x 2m có cực trị?

A 5 B 1 C 6 D 0

Câu 66. Có giá trị nguyên tham số m  3;3 để hàm số ymx4m24x28 có điểm cực trị

A 5 B 3 C 6 D 4

Câu 67. Tìm tất giá trị m để đồ thị hàm số ym21x4mx2 m có điểm cực đại khơng có điểm cực tiểu

A 1,5 m B m 1 C   1 m D   1 m 0,5 Câu 68. Tìm tất giá trị tham số m để hàm số 2

2

y x  mx  có cực tiểu mà khơng có cực đại

A. m0 B. m0 C. m1 D. m 1 Câu 69. Cho hàm số 2

2

yx  mx m  Tìm m để hàm số có điểm cực trị điểm cực trị đồ thị hàm số ba đỉnh tam giác vuông?

A m 1 B m 2 C m1 D m2

Câu 70. Xác định hệ số , ,a b c để đồ thị hàm số yax4bx2c có hai điểm cực trị

   1; , 0;3

A a1, b0, c3 B 1, 3,

a  b c 

C a1, b3, c 3 D a 1, b2, c3

Câu 71. Với giá trị thực tham số m đồ thị hàm số 4

2

yx  mx  m m có ba điểm cực trị ba đỉnh tam giác đều?

A m0 B m33 C. m 33 D m1

Câu 72. Tìm điều kiện tham số m để đồ thị hàm sốymx4(m2-1)x21- 2mcó cực tiểu hai cực đại

A.m (1; ) B.m  ( ; 1) C m(0;1) D.m ( ;0) (1; ) Câu 73. Cho hàm số  2

2 1

yx  m x  m Tìm tất giá trị tham số m để hàm số có cực đại, cực tiểu điểm cực trị đồ thị lập thành tam giác có diện tích lớn

A

2

m B m0 C m1 D

2 m  Câu 74. Cho hàm số f x( ) liên tục có đạo hàm Biết

'( ) ( 1) ( 2) f x  x x Tìm số điểm cực trị hàm số

( ) (2 ) g x  f x

A 2 B 3 C 5 D 4

Câu 75. Cho hàm số f x( )ax3bx2 cx d a b c d, , ,  thỏa mãn 0, 2019

2019

a d

a b c d

 



     

 Số

điểm cực trị hàm số y g x  với g x  f x 2019

A 2 B 5 C 3 D 1

Câu 76. Tính tổng S tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số yx42mx21 có ba điểm cực trị, đồng thời đường trịn qua ba điểm có bán kính

A

S   B

2

S   C S 0 D S 1

Câu 77.Tìm tập hợp S tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số yx42m x2 2m43 có ba điểm cực trị đồng thời ba điểm cực trị với gốc tọa độ O tạo thành tứ giác nội tiếp

A ;1;

3

S   

  B

1

;1;

2

S   

C ;

3

S   

  D

1

;

2

S   

 

Câu 78. Đồ thị hàm số yx42mx23m2 có điểm cực trị lập thành tam giác nhận G 0; làm trọng tâm

A m1 B

7

m  C m 1 D

7 m 

Câu 79. Cho hàm số y f x  có ba điểm cực trị 0,1, có đạo hàm liên tục Khi hàm số  2

4

y f x x có điểm cực trị?

A 5 B 2 C 3 D 4 Câu 80. Cho hàm số y f x  có đạo hàm    2 

'

f x  x x  x Có giá trị nguyên tham số mđể hàm số    2

10

g x  f x  xm có điểm cực trị

A 8 B 9 C 10 D 11

Câu 81. Cho hàm số y f x  có đạo hàm f  x  x12x22x với  x Có giá trị nguyên dương tham số m để hàm số f x 28xm có điểm cực trị

A 18 B 15 C 16 D 17

Câu 82. Cho hàm số yx33mx24m22 có đồ thị  C điểm C 1; Tính tổng giá trị nguyên dương m để  C có hai điểm cực trị A, B cho tam giác ABC có diện tích

A 6 B 5 C 3 D 4 Câu 83. Cho hàm số  1  3

3

y x  m x  m x m  m Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số có điểm cực trị

A m3 B m1 C m4 D    3 m

Câu 84. Tìm số giá trị nguyên tham số m để đồ thị hàm số y x42mx22m2 m 12 có bảy điểm cực trị

Câu 85. Tham số m thuộc khoảng để đồ thị hàm số yx42mx22m m có cực đại, cực tiểu mà điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích

A m 0; B m 1;3 C m 2; D m  2; 0

Câu 86. Có giá trị nguyên tham số mđể hàm số y 3x44x312x2m2 có năm điểm cực trị?

A 5 B 7 C 6 D 4

Câu 87. Số giá trị nguyên tham số m  2018; 2018 cho đồ thị hàm số yx3 x2 mx2 có điểm cực tiểu nằm bên phải trục tung

A 2019 B 0 C 2017 D 2018 Câu 88. Tổng tất giá trị nguyên tham số m để hàm số

3 24

y x  x  x  xm có 7

điểm cực trị

A 63 B 42 C 55 D 30

Câu 89. Cho hàm số có đạo hàm Có tất giá trị nguyên để hàm số có đúng điểm cực trị?

A B C D

Câu 90. Cho hàm số có đạo hàm với Có giá trị nguyên tham số để hàm số có điểm cực trị?

A 6. B 7. C 8. D 9.

Câu 91. Cho hàm số có đạo hàm với Có giá trị nguyên tham số để hàm số có điểm cực trị?

A 3. B 4. C 5. D 6.

Câu 92. Cho hàm số f '  x  x22x24x3 với x Có giá trị nguyên dương tham số m để hàm số y f x 210x m 9 có điểm cực trị?

A 17 B 18 C 15 D 16

 

f x   2  

1

f x x x x  mx

m f x 

7

( )



y f x f x x2x1x22mx5 x 10

m  g x  f  x

( )



y f x f  x  x1 4 x m  5 x33 x

 5;5

Câu 93. Cho hàm số yx32m1x2 3 m x 2 Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y f  x có điểm cực trị

A m3 B m3 C

2 m

  D

2 m   

Câu 94. Tìm tất giá trị thực tham số m để điểm  

2 ;

M m m tạo với hai điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số y2x33 2 m1x26m m 1x1 tam giác có diện tích nhỏ

A m2 B m0 C m 1 D m1

Câu 95. Cho hàm số f x x32m1x22m x 3 Hàm sốy f  x có điểm cực trị

;

a

m c

b

 

  (với a, b, c số nguyên a

b phân số tối giản) Tính P  a b c

A P9 B P7 C P11 D P6

Câu 96. Tìm tất giá trị cuả tham số m để hàm số y x3(2m1)x2(m1)x2 có điểm cực trị

A m1 B m 2 C   2 m D m1

Câu 97. Cho hàm số f x x32m1x22m x 2 Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y f  x có điểm cực trị ?

A.5

4 m B

2 m

   C

4 m

   D 5

4 m

Câu 98. Cho hàm số y x42mx2 m với m tham số thực Số giá trị nguyên m thuộc đoạn [−2; 2] để hàm số cho có điểm cực trị

A 2 B 4 C 3 D 1 Câu 99. Cho hàm số y f x  có bảng xét dấu f ' x sau

x  1 

 

'

f x    

A 10 B 15 C 20 D 21 Câu 100. Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm liên tục bảng xét dấu đạo hàm

x  2 

 

f x   

Hàm số y3 (f  x4 4x2 6) 2x63x412x2 có tất điểm cực tiểu?

A 3 B 0 C 1 D 2

ĐÁP ÁN BÀI TẬP

1B 2B 3D 4A 5C 6C 7D 8D 9C 10C

11A 12B 13C 14B 15C 16D 17D 18B 19A 20C

21B 22C 23A 24B 25C 26B 27C 28B 29B 30C

31B 32B 33C 34A 35B 36D 37D 38D 39C 40B

41C 42D 43C 44D 45C 46B 47C 48D 49B 50C

51B 52D 53D 54D 55D 56A 57C 58A 59A 60D

61A 62D 63D 64D 65C 66D 67C 68B 69C 70D

71B 72B 73B 74B 75B 76B 77C 78D 79C 80B

81D 82C 83A 84C 85A 86D 87D 88B 89C 90B