Tính đơn điệu của hàm ẩn cho bởi đồ thị

 Bình luận : Đây là câu vận dụng cao về vấn đề tính đơn điệu của một hàm số... Ta xét một số khả năng có thể xảy ra..[r]

Câu 50

TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HAØM ẨN

CHO BỞI ĐỒ THỊ HAØM F’(X)

1 Định nghĩa

Giả sử K khoảng, đoạn khoảng y f x

 

hàm số xác định K Ta nói:

+ Hàm số y f x

 

gọi đồng biến (tăng) K x x1, 2K x, 1x2 f x

 

1  f x

 

2 + Hàm số y f x

 

gọi nghịch biến (giảm) K nếux x1, 2K x, 1x2  f x

 

1  f x

 

2 Hàm số đồng biến nghịch biến K gọi chung đơn điệu K

2 Nhận xét Nhận xét 1

Nếu hàm số f x

 

g x

 

đồng biến (nghịch biến) D hàm số f x

   

g x đồng biến (nghịch biến) D Tính chất khơng hiệu f x

   

g x

Nhận xét 2

Nếu hàm số f x

 

g x

 

hàm số dương đồng biến (nghịch biến) D hàm số

   

f x g x đồng biến (nghịch biến) D Tính chất khơng hàm số

   

,

f x g x không hàm số dương D

Nhận xét 3

Cho hàm số uu x

 

, xác định với x

 

a b; u x

   

 c d; Hàm số f u x

 

 xác định với

 

;



x a b Ta có nhận xét sau:

i. Giả sử hàm số uu x

 

đồng biến với x

 

a b; Khi đó, hàm số f u x

 

 đồng biến với

 

;

 

 

x a b f u đồng biến với u

 

c d;

ii. Giả sử hàm số uu x

 

nghịch biến với x

 

a b; Khi đó, hàm số f u x

 

 nghịch biến với

 

;

 

 

x a b f u nghịch biến với u

 

c d;

3

Định lý

Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng K Khi đó:

a) Nếu hàm số đồng biến khoảng K f '

 

x   0, x K b) Nếu hàm số nghịch biến khoảng K f '

 

x   0, x K

4

Định lý

KIẾN THỨC CẦN NHỚ

I

Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng K Khi đó: a) Nếu f '

 

x   0, x K hàm số f đồng biến K b) Nếu f '

 

x   0, x K hàm số f nghịch biến K c) Nếu f '

 

x   0, x K hàm số f không đổi K

Chú ý

Chú ý: Khoảng K định lí ta thay đoạn nửa khoảng Khi phải có thêm giả thuyết “ Hàm số liên tục đoạn nửa khoảng đó’ Chẳng hạn:

Nếu hàm số f liên tục đoạn

 

a b; f '

 

x   0, x

 

a b; hàm số f đồng biến đoạn

 

a b;

5

Định lý

Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng K Khi đó:

a) Nếu f '

 

x   0, x K f '

 

x 0 hữu hạn điểm thuộc K hàm số f đồng biến K b) Nếu f '

 

x   0, x K f '

 

x 0 hữu hạn điểm thuộc K hàm số f đồng biến K

Quy tắc xét tính đơn điệu hàm số.

Giả sử hàm số f có đạo hàm K

 Nếu f '

 

x 0 với xK f '

 

x 0 số hữu hạn điểm xK hàm số f đồng biến K

 Nếu f '

 

x 0 với xK f '

 

x 0 số hữu hạn điểm xK hàm số f nghịch biến K

1 Lời giải tham khảo

Câu 50. Cho hàm số y f x( ) Hàm số y f x( ) có đồ thị hình vẽ bên Hàm số

2

( ) (1 )

g x f x x x nghịch biến khoảng đây?

BÀI TẬP MẪU

II

A 1;3

2 B

1 0;

2 C ( 2; 1) D (2;3)

Lời giải Chọn A

Xét hàm số g x( ) f(1 )x x2 x

Tập xác định:

Đạo hàm: g x( ) (1 )f x 2x 1, x

Trước tiên ta cần tìm x cho g x( )

Ta có g x( ) (1 )f x 2x (1 ) 1(1 )

2

f x x (*)

Đặt t 2x, bất phương trình (*) trở thành ( )

2

f t t

Từ đồ thị ta có ( )

4

t

f t t

t

Do đó, g x( ) 2

1

x x

1

2 2

3

x x

1 3

( ) (1 ) ; ;

2 2

g x f x x x : hữu hạn

Như hàm số g x( )nghịch biến đoạn 3;

2 nửa khoảng

3 ;

2

Soi phương án đề bài, ta chọn A.

 Bình luận: Đây câu vận dụng cao vấn đề tính đơn điệu hàm số Để làm dạng tương tự mở rộng, ta cần nắm vững kiến thức sau:

Tính đơn điệu dấu đạo hàm

Điều kiện cần: Giả sử hàm số y f x( ) có đạo hàm khoảng K

+f đồng biến khoảng K f x( ) 0, x K +f nghịch biến khoảng K f x( ) 0, x K

Điều kiện đủ:Giả sử hàm số y f x( ) có đạo hàm khoảng K

Nếu

f x

( )

0,

x

K

hàm sốđồng biến khoảng K

Nếu

f x

( )

0,

x

K

hàm số nghịch biến khoảng K

Nếu f x( ) 0, x K hàm sốkhông đổi khoảng K

Mở rộng:

1)Nếu phương trình f x( ) có hữu hạn nghiệm K ta có điều kiện cần đủ sau

đây:

+f đồng biến khoảng K f x( ) 0, x K

+f nghịch biến khoảng K f x( ) 0, x K

2) ( ) ;

( ) 0, ;

f x a b

f x x a b liên tục

f đồng biến a b;

( ) ;

( ) 0, ;

f x a b

f x x a b liên tục

f nghịch biến a b;

( ) ;

( ) 0, ;

f x a

f x x a

liên tục

f đồng biến ;a

…

 Đạo hàm hàm hợp: Giả sử hàm số y f x( ) u u x có đạo hàm khoảng K Khi

đó: f u u f u

3 Phân tích hướng giải 1. Dạng tốn

Đây dạng tốn tìm khoảng đơn điệu hàm ẩn dạng g x

 

 f u x

 

v x

 

biết đồ thị hàm số y f

 

x

2. Hướng giải Cách 1:

B1: Tính đạo hàm hàm số g x

 

, g x

 

u x f

 

u x

 

v x

 

Cách 2:

B1: Tính đạo hàm hàm số g x

 

, g x

 

u x f

 

u x

 

v x

 

B2: Hàm số g x

 

đồng biến g x

 

0; (Hàm số g x

 

nghịch biến g x

 

0) (*)

B3: Giải bất phương trình

 

* (dựa vào đồ thị hàm số y f

 

x ) từ kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số

Cách 3: (Trắc nghiệm)

B1: Tính đạo hàm hàm số g x

 

, g x

 

u x f

 

u x

 

v x

 

B3: Hàm số g x

 

đồng biến K g x

 

  0, x K; (Hàm số g x

 

nghịch biến K

 

0,

g x x K

    ) (*)

B3: Lần lượt chọn thay giá trị từ phương án vào g x

 

để loại phương án sai

 Câu 1: Cho hàm số f x

 

Hàm số y f

 

x có đồ thị hình sau

Hàm số g(x)3f(12x)8x3 21x2 6x đồng biếntrên khoảng đây?

A

 

1;2 B



3;1



C

 

0;1 D



1;2



 Lời giải

Chọn A

Ta có g'(x)6f'(12x)24x242x6 (*) ) ( ' ) (

' x   f  x  x2 x g

Đặt

2

1 xt x t

Ta có (*) trở thành

2 3 ) ( ' ) ( ' 2              

 t t f t t t

t f

Ta vẽ parapol

2 3 : )

(P yx2  x hệ trục Oxy với đồ thị y f

 

x hình

vẽ sau, ta thấy (P) có đỉnh )

16 33 ; ( 

I qua điểm



3;3

 

, 1;2

  

, 1;1

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN

III

Từ đồ thị hàm số ta thấy khoảng



3;1



ta có

3 )

(

' t t2  t  t f

2

1

3      

 x x

Vậy hàm số g(x) nghịch biến khoảng (1;2)

 Câu 2: Cho hàm số f x

 

Hàm số y f

 

x có đồ thị hình sau

Có tất giá trị nguyên dương tham số m đề hàm số

2020

) ( )

(x  f xm x2 mx

g đồng biến khoảng (1;2)

A 2 B 3 C 0 D 1

* Ý tưởng : Phát triển thành toán chứa tham số.

 Lời giải

Chọn A

Ta có g'(x)4f'(xm)2x2m

(*) )

( ' ) (

' x f x m x m

g     

Đặt t xm

2 ) ( '

(*) f t t

Vẽ đường thẳng

2

x

Từ đồ thị ta có                    4 2 ) ( ' m x m x m t t t t f

Hàm số g(x) đồng biến khoảng (1;2) g'(x)0 x

 

1;2

                  3 2 m m m m m

Vì mnguyên dương nên m

 

2;3

Vậy có hai giátrị nguyên dương m đề hàm số g(x) đồng biến khoảng (1;2)

 Câu 3: Cho hàm số đa thức f(x) có đạo hàm tràm trênR Biết f(0)0 đồ thịhàm số

 

y f x hình sau

Hàm số

) ( )

(x f x x

g   đồng biến khoảng ?

A

 

0;4 B



2;0



C



4;



D



;2



* Ý tưởng : Phát triển thành tốn tìm khoảng đồng biến nghịch biến hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối.

 Lời giải

Chọn A

Xét hàm số h(x)4f(x)x2 ,xR

Có ) ( ' ) ( ' ) ( ' ) (

' x f x x h x f x x

h      

Vẽ đường thẳng

2

x

Từ đồ thị ta có BBT h(x) sau :

Chú ý h(0)4f(0)0

Từ ta có BBT củanhư sau :

Từ BBT ta suy g(x) đồng biếntrên khoảng

 

0;4

 Câu 4: Cho hàm số y f(x) có bảng xét dấuđạo hàm sau

Biết 1 f(x)5,xR Hàm số g(x) f(f(x)1)x33x22020 nghịch biến

trên khoảng nàodưới

A

 

0;5 B



2;0



C



2;5



D



;2



* Ý tưởng : Phát triển thành tốn tìm khoảng đồng biến nghịch biến hàm số

) ( ) (u g x f

y  

 Lời giải

Chọn B

Ta có g'(x) f'(x).f'(f(x)1)3x26x

Vì 1 f(x)5,xR0 f(x)14

Do hàm g(x)nghịch biến khoảng



2;0



 Câu 5: Cho hàm số y f x( )liên tục có đồ thị hàm số f x( ) hình bên

Hỏi hàm số

2

( ) (1 ) x

g x f x x nghịch biến khoảng nào?

A ( 3;1) B ( 2;0) C 1;3

2 D (1;3)

Chọn B

( ) (1 ) 1, x

g x f x x

( ) (1 )

g x f x x f (1 x) (1 x)

1

1

x x

4

2

x

x

( ) (1 ) 2; 0;

g x f x x x : hữu hạn

 Câu 6: Cho hàm số f x ax5 bx4 cx3 dx2 ex f a b c d e f, , , , , Biết đồ

thị hàm số f x có đồ thị hình vẽ bên Hỏi hàm số g x f 2x 2x2 đồng

biến khoảng đây?

A 3;

2 B

1 ;

2 C 1;0 D 1;3

Chọn C

Hàm số g x f 2x 2x2 đồng biến g x( ) (1 ) 4f x x

(1 ) (1 )

f x x 1 2x x

 Câu 7: Cho hàm số y f x( ) Hàm số y f x( ) có đồ thị hình vẽ bên

Có tất giá trị nguyên m 10;10 đê hàm số

2

( ) ( 1)

g x f x m x m x m nghịch biến khoảng 1;2

Lời giải

Chọn B

( ) (1 ) 1,

g x f x m x m x

( )

g x (1 ) 1

2

f x m x m

2

x m

x m

3

1 2

2

2

m x x m

x m m m

x

( )

g x (1 ) 1

2

f x m x m 1; ;

2 2

m m m

x : hữu hạn

Hàm số g x nghịch biến 1;2 g x( ) 0, x 1;2

3

2 ( ) 0, 1;2

1

1

2

m

g x x

m m

7 m m

Vậy m 1;7;8;9

 Câu 8: Cho hàm số y f x có đạo hàm f x x x x2 với x Tìm tất

cả giá trị tham số m để hàm số y g x f x2 2x m 2019 đồng biến

trên khoảng 1;

Lời giải

Chọn D

Cách 1:

Ta có y g x 2x f x2 2x m

Hàm số đồng biến 1; g x 0, x 1;

2

2x f x 2x m 0, x 1; , x 1;

2

2 2

2x x 2x m x 2x m x 2x m 0, x 1;

2

2 2 2 1 2 1 0

x x m x x m x x m x 1;

2 2 2 1 0,

x x m x x m x 1;

( ) 1;

h t t m t m t ( t x2 2x x 1; ) Bảng xét dấu

Khi h t( ) 0, t 1; m m

Cách 2:Ta có bảng xét dấu đạo hàm f x sau

2

2 2

y g x x f x x m

Hàm số y g x đồng biến khoảng 1; g x 0, x 1;

Ta thấy 2x 0, x 1; nên

2

0, 0,

g x x f x x m x

2

2 1,

2 0,

x x m x

x x m x

2

2 ,

2 ,

m x x u x x

m x x v x x (do tính liên tục)

 

2

2 ,

m  x x u x  x : Không tồn m





2

2

2 , 1 , 1

m  x x      x m x    x m

 Câu 9: Cho hàm số y f x có bảng xét dấu đạo hàm hình vẽ

Biết f x 3, x Hàm số y g x f f x x3 6x2 nghịch biến

khoảng đây?

A 3;4 B 3; C 1; D 2;1

Chọn A

2

( ) 12

g x f x f f x x x

Do f x 3, x nên từ bảng xét dấu ta có f f x( ) x

+ TH1: ( ) x f x x         

2 12

4 x x x x          

 Chưa xác định dấu g x với giả thiết cho

2

6 12

x  x  x g x 0, x Hàm số g x đồng biến 6;

+ TH2: ( )

1 x f x x         

Ta thấy với 3 x 4thì

2x 12x0 nên g x 0, x 3;4 Hàm số g x nghịch

biến 3;4

 Câu 10: Cho hàm số f x

 

có bảng xét dấu đạo hàm sau:

Hàm số y 1f x x2 x nghịch biến khoảng

A ; B ;1 C 2;0 D 3;

Chọn C

2

( ) 1

g x f x x x

2

( ) 1

1

x

g x f x

x

Để ý

2

1 , 0,

1

x

x x x x

x

Ta xét số khả dấu 2 (1f x)

+TH1: (1 ) (1 ) 1

3 x

f x f x

x                

 : Chưa xác định dấu g x

với giả thiết cho

+TH2: (1 ) (1 ) 1

1

x x

f x f x

x x                        



 



( ) 0, ; 2;0 g x       x 

 Hàm số g x nghịch biến 2;0

 Câu 11: Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm f x x2 2x với x Hàm số

2

2 1

g x f x x đồng biến khoảng đây?

Lời giải

Chọn A

Ta có

2

( )

1

x x

g x f x

x x

2

2 1 1

x

f x

x

Vì f x x2 2x x 12 nên f x( ) 1, x hay f x 0, x

Suy f x2 1 0, x

Bảng biến thiên:

∞

0

g x

( )

0

x

g' x

( )

0

+

+ ∞

∞

∞

Hàm số g x đồng biến khoảng ;0

 Câu 12: Cho hàm số y f x có đồ thị hàm số y f x' hình vẽ Hàm số

2 2 3 4

3

y f x x x x nghịch biến khoảng đây?

A ; B 3;0 C 1; D 3;

Chọn C

Ta xét y x f x2 x2 2x

2

( 2) (1)

2 (2) xf x

x x

Từ (2)

1 x

x nên loại A, B, D Vậy chọn C

Hàm số g x

 

 f



3x 1



3x2x đồng biến khoảng đây?

A 1;3

 

 

  B

2 0;

3

 

 

  C



1;0



D

;

 

 

   Lời giải

Chọn B

Ta có: g x

 

3f



3x 1

 

6x 2



Hàm g x( ) đồng biến khoảng K

 

g x  (dấu = xảy số hữu hạn điểm)



 



3f 3x 6x

      (1)

Đặt u3x1ta được: h u

 

3f u

 

2u3

Ta có: (1)

 

 

3

u

f u u f u

      

Từđồ thị hàm số y f

 

x ta có đồ thị hàm số y f u

 

3

y u hình vẽ

Để h u

 

0 ta cần có đồ thị y f u

 

phải nằm bên đồ thị hàm

3

Từđó ta có h u

 

0 3 u u



 

    

0 3 3

x x

 



 

  

 

1 ; 3

4

x

x

       



   

Cho nên ta Chọn B 0;2 2;

3 3

    

   

   

 Câu 14: Cho hàm số f x

 

Đồ thị y f '

 

x cho hình bên Hàm số

 





2

2 x g x  f x 

nghịch biến khoảng đây?

A

 

2; B

 

0;1 C



2;1



D

 

1;3

 Lời giải

Chọn A

Ta có:

 





2

2 x

g x  f x  g x

 

 f



x 1



x

 



1





1

 

1



g x f x x f x x

          

Đặt t x f

 

t  t

Vẽ đường thẳng y x 1trên hệ trục tọa độ với đồ thị hàm số y f

 

x (như

hình vẽ bên)

Dựa vào đồ thị f '

 

t     t t 3,t 1,t3

Hàm số nghịch biến g x

 

 f



x   1



x f t

 

     t t ( ; 3) (1;3)

Do x   ( ; 2) (2; 4) g(x) nghịch biến

 

2;

Hàm số g x

 

 f x



22x



 x2 2x đồng biến khoảng đây?

A



 1 2; 1



B



 1 2; 1  2



C



 1;



D



  1; 2



 Lời giải

Chọn A

Ta có: g x

 

 f x



22x



 x2 2x

  















2 2 2 2

g x x f x x x x f x x 

           

 









0 2 1, 2,

g x x f x x  x x x

                

Xét

 





 





 

2

2

2

1

2 x

I f x x

g x

x

II f x x

  

    

   

    

   

  

Xét sựtương giao đồ thị hàm số y f

 

x y1

Xét hệ (I):





2 x

f x x         2 x x x         1 2 x x x x                   

Xét hệ (II):



1 02



2 x

f x x         2 x x x        

1 2

x x            

1 x

     

Vậy hàm số g x

 

đồng biến khoảng



 1 2; 1





 1 2;



 Câu 16: Cho hàm số y f x

 

có đạo hàm Hàm số y f '

 

x có đồ thịnhư hình vẽ

bên Đặt

 

 

2

2 x

yg x  f x  Khẳng định sau đúng?

A Hàm số yg x

 

đồng biến khoảng

 

1;

B Đồ thị hàm số y g x

 

có điểm cực trị

C Hàm số yg x

 

đạt cực tiểu x 1

D Hàm số yg x

 

đạt cực đại x1

 Lời giải

Chọn D

Ta có: g x'

 

 f '

 

x x; g x'

 

 0 f '

 

x x (*)

Số nghiệm phương trình (*) sốgiao điểm đồ thị hàm số y f '

 

x đường thẳng yx

Dựa vào hình bên ta thấy giao điểm



 1; ; 1;1 ; 2; 2

    

(*) x x x          

Bảng xét dấu g x'

 

:

x  1 

 

'

Từ bảng xét dấu g x'

 

ta thấy hàm số

 

 

2

2 x yg x  f x 

Đồng biến khoảng



;1





2;



; nghịch biến khoảng

 

1; Hàm số yg x

 

đạt cực đại x1

 Câu 17: Cho hàm số f x

 

có đồ thị hàm số f

 

x hình vẽ

Hỏi hàm số

 





2

2 x

g x  f  x x nghịch biến khoảng đây?

A



2;0



B

 

1;3 C 1;3

2    

  D



3;1



 Lời giải

Chọn A

Ta có: g x

 

 f



1  x



x

Hàm số g x

 

nghịch biến g x

 

0  f



1  x



x (1) Đặt t 1 x Khi (1) trở thành f t

 

 t (2)

Bất phương trình (2) thỏa f

 

x  x hay đồ thị hàm số f

 

x nằm phía

đồ thị hàm số y x

Từđồ thịta 3

1 1

t x x

t x x

     

  

 

         

   Vậy chọn khoảng



2;0



x y

-1 O

Hàm số

 





2

g x  f x  đồng biến khoảng đây?

A



1;



B 1;3

2

 

 

  C



 ; 1



D

;1

 

 

   Lời giải

Chọn D

Ta có:

 





8

g x  x f x 

TH1: x0 Để hàm số g x

 

đồng biến





4 4

2 1 2 2

f x      x    x   x     x

4

0 x x 0; 2       

TH2: x0 Để hàm số g x

 

đồng biến





4

4

2

4 4

0( )

2 1

2

2

2

x L

x x

f x

x

x x

 

     

      



     

 

So sánh với điều kiện



0 ;

x   x    x  Vậy hàm số g x

 

đồng biến

0;  

 và



 ; 2 Do chọn khoảng 12;1

 Câu 19: Cho hàm số y f x

 

Hàm số y f

 

x có đồ thịnhư hình vẽ sau

Hàm số



2



y f xx nghịch biến khoảng nào?

A 1;

2

 

 

  B

3 ;

2

 

 

  C

3 ;

 

 

  D

1 ;

 

 

 

 Lời giải

Chọn A

Xét hàm số



2



Ta có:y



1 2 x f x x







 2



 

 

2

2 2

1

2 2

0 1

2 2 0

x x

y x x x x VN

x x x x VN

     

 



         

     

 



Ta lại có:

2

2 1 1,

4

x x   x    x R

 

Từđồ thị hàm số y f

 

x  f x x



 2



  0, x R

Bảng biến thiên hàm số



2



y f xx

Vậy hàm số nghịch biến ;

2

 



 

  Chọn A

 Câu 20: Cho hàm số y  f x

 

có đạo hàm Đồ thị hàm số y  f

 

x hình vẽ

Hàm số





2

y f x  x đồng biến khoảng sau đây?

A

 

1; B



 ; 3



C

 

0; D



2; 0



 Lời giải

Chọn A

Đặt

 





2

g x  f x  x , ta có

 



 











2 2

g x  x  x  f x  x  x f x  x

Hàm số g x

 

đồng biến

 









0

g x   x f x  x 





 

1

1 x

f x x   

    



1 02



 

2 x

f x x   

    

· Xét

 

2

1

1 2 1 1 2

1

3 1                                             x x x x x x x x x x x

· Xét

 

2 2 1

2

2

1

2                                      x x x x x x x x x x x 1

3

1 x x x x x x x                                    

 Câu 21: Cho hàm số y f x

 

, biết hàm số y f

 

x có đồ thịnhư hình bên

Hàm số g x

 

 f



3x2



đồng biến khoảng?

A

 

2;3 B



1;0



C



 2; 1



D

 

0;1

Dựa vào đồ thị, ta có bảng xét dấu

 



2



'  2  3

g x xf x

 



2



0

2 3

'

3

1   

 

   

   



   



   

x

x x

g x

f x x

x





2

2

3

6

3

2

1

x x

f x x

x

x

    

     

      

 

    



Bảng biến thiên:

Từ BBT suy hàm sốđồng biến



1;0



 Câu 22: Cho hàm số y f x( ) có bảng xét dấu đạo hàm sau:

Biết: 1 f x( )  5, x R.Khi đó, hàm số g x( ) f f x( ( ) 1) x33x22020nghịch biến

khoảng đây:

A

( 2;0)



B

(0;5)

C

( 2;5)



D

(

 

; 2)

 Lời giải

Chọn A

Ta có: g x'( ) f x f'( ) '( ( ) 1) 3f x   x26x Vì 1 f x( )    5, x R f x( ) 4 

Từ bảng xét dấu f x'( ) 0 f '( ( ) 1)f x  0

Do đó, hàm g x( ) nghịch biến khoảng

( 2;0).



 Câu 23: Cho hàm số y f x

 

có đạo hàm có bảng biến thiên đạo hàm f '

 

x

như sau :

Hỏi hàm số

 





2 2020

g x  f x  x  có điểm cực tiểu ?

A 1 B 2 C 3 D 4

 Lời giải

Chọn A

Ta có g x 2x f x2 ;x

2 theo BBT '

2

2

1

2 2 2 1 2

0

2 1

3

2

f x

x x

x x x x

g x

f x x x x x

x x x

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên đối chiếu với đáp án, ta Chọn A

Chú ý: Dấu g x xác định sau: Ví dụ xét khoảng 3;

 x 3; 2x

 3; 2 3 theo BBT 'f x 2 0.

x x x f x x

Từ , suy g x 2x f x2 2x khoảng 3; nên g x mang dấu

Nhận thấy nghiệm x x nghiệm bội lẻ nên g x qua nghiệm đổi dấu

 Câu 24: Cho hàm số y f x

 

có đạo hàm Đồ thị hàm số y f

 

x hình vẽ bên

Hàm số

 





3 18 12 2021

g x  f x  x  x  x nghịch biến khoảng

A



;1



B

 

1; C



3;1



D 2;1

3        Lời giải

Chọn D

Ta có

 





 



 



2

3 3(9 12 4); 3 (1)

g x  f x  x  x g x   f x  x

Đặt t3x1 đó(1) f

  

t  t 1



2

Dựa vào đồ thị ta suy

  

1



2

1

t f t t

t  

    

 

 (vì phần đồ thị f '

 

t nằm phía

dưới đồ thị hàm sốy 



t 1



2)

Như



 



2

1

3 3

3

1 2

1

x x

f x x

x

x     



         

   



Vậy hàm số

 





3 18 12 2021

g x  f x  x  x  x nghịch biến khoảng

1 ;

3  

 

 

;1      

 Câu 25: Cho hàm số y f x có bảng xét dấu đạo hàm sau:

Đặt

2

4

y g x f x x x x Khẳng định đúng?

A Hàm số y g x đồng biến khoảng



; 0



B Hàm số y g x đồng biến khoảng

 

1;

C Hàm số y g x đồng biến khoảng

 

0;1

D Hàm số y g x nghịch biến khoảng



2;



 Lời giải

Ta có: yg x

 

 2f



1  x



x3 3x32x

Dựa vào bảng xét dấu f

 

x ta có





2

1

0 x x

f x

x x

    

   

    









1

2 1

0 1

x x

f x f x

x x

      

 

 

       

    

 







3

3 2

x  x  xx x x

Bảng xét dấu yg x

 

Vậy hàm sốđồng biến

 

0;1

 Câu 26: Cho hàm số y f x

 

Hàm số y f x '

 

có đồ thịnhư hình vẽ bên f(x)=-3x^5+2x^4-2x^2+x

f(x)=2 f(x)=-2 x(t)=-1 , y(t)=t x(t)=1 , y(t)=t

-8 -7.5 -7 -6.5 -6 -5.5 -5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1.5

-6 -5 -4 -3 -2 -1

x y

Hàm số g x

  

 f x2  3 4



x212x1 đồng biến khoảng đây?

A 3;

2   

 

  B

5 ;   

 

  C

3 2;

2   

 

  D

1 ;0  

 

 

 Lời giải

f(x)=-3x^5+2x^4-2x^2+x f(x)=2

f(x)=-2 x(t)=-1 , y(t)=t x(t)=1 , y(t)=t f(x)=-2x

-8 -7.5 -7 -6.5 -6 -5.5 -5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1.5

-6 -5 -4 -3 -2 -1

x y

 

'

y f x y 2x

Hàm số g x

 

đồng biến

 













' ' 12 ' 2

g x f x x f x x

           

2

2 .

3

0 1

2

x x

x x

  

    

 

      

  Chọn B

 Câu 27: Cho hàm số y f x

 

có đồ thị y f

 

x hình vẽ Xét hàm số

 

 

3

2018

3

g x  f x  x  x  x Mệnh đềnào đúng?

A Hàm số g x

 

đồng biến



1;1



B Hàm số g x

 

đồng biến



3;1



C Hàm số g x

 

đồng biến



 3; 1



D Hàm số g x

 

nghịch biến



1;1



 Lời giải

Chọn B

Ta có:

 

 

3 2018

 

 

3

3 2

g x  f x  x  x  x  g x  f x  x x

O x

y

1

3

3



1 

+ '

 

'

 

3 2

g x   f x x  x Đặt 3

2

yx  x có đồ thị (P)

Dựa vào đồ thị y f

 

x , ta có:

 

 

 

 

 

 

1

1 1

3 3

f g

f g

f g

      

 

 

    

 

       

 

Vẽđồ thị

 

P hàm số 3

2

yx  x hệ trục tọa độnhư hình vẽ (đường nét đứt ), Đồ thị

 

P qua điểm



3;3



,



 1; 2



,

 

1;1 với đỉnh

3 33 ; 16 I  

 

Ta thấy: + Trên khoảng



1;1



 

3

2

f x x  x , nên g x

 

0 x 



1;1



+Trên khoảng



 3; 1



 

3

2

f x x  x , nên g x

 

0 x 



3; 1



Từ nhận xét trên, ta có bảng biến thiên hàm yg x

 



3;1



sau:

Vậy hàm số g x

 

đồng biến



1;1



Chọn A

 Câu 28: Cho hàm số f x

 

Hàm số y f '

 

x có đồ thịnhư hình vẽ

x y

1

3

3

 1

2 

Hàm số

 





2

4

2

x x

g x  f x    đồng biến khoảng đây?

A



 ; 2



B



 3; 1



C

 

0;1 D



1;0



 Lời giải

Chọn B

Ta có:

 





 





2

4

1 ' '

2

x x

g x  f x    g x  f x  x Hàm sốđồng biến g x'

 

 0 f '



x  1



x (1)

Đặt x 1 t Bất phương trình (1) có dạng: f '

 

t  t

Xét hai hàm số y f '

 

t y t 1:

Dựa vào đồ thị ta có: '

 



2; 0



2

t f t t

t

      

Ta có '

 

1

x x

g x

x x

       

 

  

  

 

 Câu 29: Cho hàm số f x( ) liên tục R có đồ thị f '( )x hình vẽ Tìm sốđiểm cực trị

của hàm số

( )

y f x x ?

A 10 B 11 C 12 D 13

 Lời giải

Chọn B

Ta có

' (2 1) '( ) y  x f x x ;

x  x m có nghiệm

4

m 

Dựa vào đồ thị ta thấy đồ thị hàm f '( )x cắt trục hồnh điểm điểm có

hoành độ nhỏhơn

4

 có tiệm cận

Khi ứng với giao điểm có hồnh độ lớn

4

 điểm khơng xác định

'

y  có hai nghiệm Từđây dễ dàng suy hàm

( )

y f x x có 11 cực trị

 Câu 30: Cho hàm số y f x( )có đạo hàm Đồ thị hàm số y f '( )x hình vẽ

Tìm khoảng đơn điệu hàm số g x( )2 ( )f x  x2 2x2020 y

x

2

3 O

-2 -1

Mệnh đềnào đúng?

A Hàm số g x

 

nghịch biến

 

1;3 B Hàm số g x

 

có điểm cực trịđại

C Hàm số g x

 

đồng biến



1;1



D Hàm số g x

 

nghịch biến



3;



 Lời giải

Chọn C

Dựa vào hình vẽ ta thấy đường thẳng y x 1 cắt đồ thị hàm số y f x'( )tại điểm:

( 1; 2), (1;0), (3;2).

 

y

x

2

3 O

-2 -1

Dựa vào đồ thị ta có





'( ) '( ) ( 1)

3

x

g x f x x x

x

          

  





1

'( ) '( ) ( 1)

x

g x f x x

x

   

      

 





'( ) '( ) ( 1)

1

x

g x f x x

x

  

      

  

 Câu 31: Cho hàm số y f x

 

có bảng xét dấu hình vẽ

Tìm khoảng đồng biến hàm số ( ) (1 ) 5 3x3

5

yg x  f  x x  x 

A



;0



B

 

2;3 C

 

0;2 D



3; 



 Lời giải

Chọn B

Coi f'

  

x  x 2



x1

 

x x1



có bảng xét dấu

4

'( ) '(1 ) 6x g x   f   x x x 

Ta xét dấu g x'( ) P Q Với:











 









2 ' 2

P  f   x x x x  x x x x x Bảng xét dấu P







4 2

5 6x

Bảng xét dấu Q

Từ hai BXD P Q, Ta có P0,Q0 với  x

 

2;3 nên g x'( )  P Q 0với

 

2;3

x

 

 Câu 32: Cho hàm số y f x

 

có đồ thị hàm số y f

 

x hình vẽ

Xét hàm số g x

 

2f x

 

2x34x3m6 với m tham số thực Điều kiện cần đủđể g x

 

0 với x  5; 5

A

 

5

3

m f B

 

0

m f C

 

5

m f  D

 

5

m f

 Lời giải

Chọn A

Ta có g x

 

0 với x  5; 52f x

 

2x34x3m6 50 với

5;

x   2f x

 

2x34x6 53m với x  5; 5

 





5;

max 2f x 2x 4x 3m

 

 

Ta có h x

 

2f

 

x 6x24,

 

 

0

0

5 x

h x f x x x

x   

         

  

Dựa vào đồ thị ta thấy f

 

x  3x22 với x  5; 5h x

 

đồng biến

trên  5; 5

 

 

 

5;

max h x h 2f

 

 

  

Vậy

 

*

 

5

 

5

3

f m m f

   

 Câu 33: Cho hàm số f x( )có đồ thị hàm số y f’( )x hình vẽ:

Hàm số

3

(2 1)

3 x

y f x  x  x nghịch biến khoảng sau đây?

A



 6; 3



B

 

3;6 C



6;



D



1;0



 Lời giải

Chọn D

Ta có: ’ ’(2 1) 2 2 ’(2 1)



1



2 3

y  f x x  x  f x  x 

Nhận xét: Hàm số y f x( )có f’( ) 1x     3 x 3và ( ) 3

’ x

f x

x       



Do ta xét trường hợp:

Với       6 x 13 2x  1 7suy y’0 hàm sốđồng biến (loại) Với 3   x 2x 1 11suy y’0 hàm sốđồng biến (loại) Với x 6 2x 1 11suy y’0 hàm sốđồng biến (loại)

Với      1 x 2x  1 nên ’(2f x 1)  3



x1



2  3 suy y’0

hàm số nghịch biến (nhận)

 Câu 34: Cho hàm số f x

 

có bảng xét dấu đạo hàm sau

Hàm số g x

 

3f x



  2



x3 3x đồng biến khoảng đây?

A



1; 



B



 ; 1



C



1;0



D

 

0;

 Lời giải

Ta có

 









3

g x  f x  x  

Với x 



1;0



  x

 

1;  f



x2



0 lại có





3 0, 1;0

x       y x Vậy hàm số g x

 

đồng biến khoảng



1;0



Chú ý:

+) Ta xét x

  

1;      1;



x

 

3;  f



x 2



0;x2 3

Suy hàm số nghịch biến

 

1; nên loại hai phương án A, D

+) Tương tự ta xét

















; 2 ;0 0; 0, ;

x      x  f x  x        y x Suy hàm số nghịch biến khoảng



 ; 2



nên loại phương án B

 Câu 35: Cho hàm số f x

 

có đạo hàm, liên tục Hàm số y f

 

x có đồ thịnhư hình

sau

Hàm số

 





3

2

g x  f x   x  x đồng biến khoảng đây?

A



 3; 1



B

 

0;1 C



1;1



D 1;3

2        Lời giải

Chọn D

Ta có g x

 

6 x f



x2 2



6x36x6x f 



x2 2



x21

 





0

2

x g x

f x x

      

   



Đặt





 

 

2 1

Từđồ thị, ta có

 

1 t f t t

t         



 (t 1 nghiệm đơn t1 nghiệm kép)



 



2

2

1

2

3

x x

f x x

x x

 

    



       

 

  



Suy

 

0

0

3 x

g x x

x        

   

(x0,x 1 nghiệm đơn x  3là nghiệm kép)

Bảng xét dấu g x

 

(vì

2 4

g   f  

      )

Vậy hàm sốđồng biến khoảng



1; 0





1; 



 Câu 36: Cho hàm số yax5bx4cx3dx2 ex f với a b c d e f, , , , , số thực, đồ thị hàm số y f

 

x hình vẽ Hàm số y f



1 2 x



2x21 đồng biến

khoảng sau đây?

x y

2

3 1

A 3;   

 

  B

1 ; 2  

 

  C



1;0



D

 

1;3  Lời giải

Chọn C

x

y

2

3

1

1

3

O

Cách 1: Ta có: g x

 

 f



1 2 x



2x2 1 g x

 

 2f



1 2 x



4 x

Có: g x

 

  0 2f



1 2 x



4x 0 f ' 2



 x



 2 (1).x

Đặt t 1 ,x bất phương trình

 

1 trở thành f t

 

 t

Vẽđường thẳng y x Trên đồ thị, ta thấy đường thẳng y x nằm đồ thị hàm số f

 

x khoảng

 

1;3  f t

 

       t 1 t 1 2x    3 x

Vậy hàm số g x

 

đồng biến khoảng



1;



Cách 2: Ta có: g x

 

 f



1 2 x



2x2 1 g x

 

 2f



1 2 x



4 x

Có g x

 

 0 f ' 2



 x



 2 x  f ' 2



 x



 (1 ) 1.x 

Xét sựtương giao đồ thị hàm số y f '

 

t y t 1,



t 1 2x



Từđồ thị ta có '

 

1

3       



t f t t

t Khi

 

1

'

1

  

 

  

   

 

x x

g x

x x

Ta có bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu ta thấy hàm sốđồng biến khoảng



1;



Cách 3: Cách trắc nghiệm

Ta có: g x

 

 f



1 2 x



2x2  1 g x

 

 2f



1 2 x



4 x

Ta thửcác đáp án

Thử Chọn A Chọn 1, 25 3; '



1, 25



' 3,5

 

x       g    f 

 

Nhìn đồ thị f '

 

x ta thấy f ' 3,5

 

 0 g'



1, 25



 0 loại đáp án A Thử đáp án B: Chọn x0, 25  1; g' 0, 25





 2 ' 0,5f

 

1

Nhìn đồ thị f '

 

x ta thấy f ' 0,5

 

 0 g' 0, 25





 0 loại đáp án B. Thử đáp án C: Chọn x 0,5 



1;0



g'



0,5



 2 ' 2f

 

2

Nhìn đồ thị f '

 

x ta thấy f ' 2

 

  0 ' 2f

 

 0 g'



0,5



 0 Chọn đáp án C. Thử đáp án D: Chọn x 2

 

1;3 g' 2

 

 2 'f

 

 3

Nhìn đồ thị f '

 

x ta thấy f '

 

   3 'f

 

  3 g' 2

 

 0 loại đáp án D.

 Câu 37: Cho hàm số y f x

 

có đạo hàm f

 

x có đồ thịnhư hình

Hàm số g x

 

 f



3x 1



27x354x227x4 đồng biến khoảng đây?

A 0;2

3

 

 

  B

2 ;3

 

 

  C

 

0;3 D



4;



 Lời giải

Chọn D

Cách 1:

Ta có: g x

 

 f



3x 1

 

3x1



33 3



x1



2g x'

 

3f ' 3



x 1

 

3x1



22 3



x1





Có g'

 

x  0 f ' 3



x 1

 

3x1



22 3



x1 (1).



Đặt t3x1, bất phương trình

 

1 trở thành f '

 

t  t2 2t

Suy

 

0

1 1

' 4

3 3

3

x

t x

f t t t

t x x

      

  

    



   

  

Vậy hàm số g x

 

đông biến khoảng



; 0



4;  

 

 

Cách 2:

Ta có: g x

 

 f



3x 1

 

3x1



33 3



x1



2g x'

 

3f ' 3



x 1

 

3x1



22 3



x1





Có: g'

 

x  0 f ' 3



x 1

 

3x1



22 3



x1



Xét sựtương giao đồ thị hàm số y f '

 

t y t2 t,



t3x1



Từđồ thị ta có:

 

       

  

2

1

' 1( )

3

t

f t t t t nghiệm kép

t

Khi

 

 

    

 

     



   

 

 1

2

' 1 ( )

3

3 3

x x

g x x x nghiệm kép

x x

Ta có bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu ta thấy hàm sốđồng biến khoảng



; 0





3;



 Câu 38: Cho hàm số f x( ) liên tục có f( 1) 0 có đồ thị hàm số y f x( )

hình vẽ

Hàm số y (f x 1) x2 đồng biến khoảng

A



3;



B



1; 2



C



0;



D

 

0;3

 Lời giải

Chọn D

Dựa vào đồ thị hàm số y f x( ) vàđồ thị hàm số y x ta có:

( ) ( 1) ( 1) 1

g x   f x   x         x x

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số

2 ( 1)

y f x x đồng biến khoảng

 

0;3

 Câu 39: Cho hàm số f x

 

Hàm số y f

 

x có đồ thịnhư hình sau

Hàm số g(x)3f(12x)8x3 21x2 6x đồng biến khoảng đây?

A

 

1;2 B



3;1



C

 

0;1 D



1;2



 Lời giải

Chọn A

Ta có g'(x)6f'(12x)24x242x6 (*) ) ( ' ) (

' x   f  x  x2  x g

Đặt

2

1 xt x t

Ta có (*) trở thành

2 3 )

( '

1 ) (

'

2

   

         

 t t f t t t

t f

Ta vẽ parapol

2 3 :

)

(P y x2  x hệ trục Oxy với đồ thị y f

 

x hình

vẽsau ( đường nét đứt), ta thấy (P) có đỉnh )

16 33 ; ( 

I qua điểm

Từđồ thị hàm số ta thấy khoảng



3;1



ta có

3 )

(

' t t2  t  t f

2

1

3      

 x x

Vậy hàm số g(x) nghịch biến khoảng (1;2)

 Câu 40: Cho hàm số y f x

 

liên tục có đạo hàm f

 

x thỏa mãn:

 



2







1

f x  x x Hàm số y3f x



  3



x3 12x nghịch biến khoảng sau đây?

A

 

1;5 B



2; 



C



1;0



D



 ; 1



 Lời giải

Chọn B

Ta có:

 



2







1

f x  x x suy f    



x 3



1



x 3

 

2 x 3 5





x 4



x 2



x 2



    

Mặt khác:





3 3 12

y f x  x 













3 x x x x          









3 x x x

    

Xét y 0  3



x2



x2



x 5



2

x x

    

  



Vậy hàm số y3f x



  3



x3 12x nghịch biến khoảng



 5; 2





2; 



 Câu 41: Cho hàm số y f x

 

, hàm số f

 

x x3ax2 bx c a b c



, , 



có đồ thịnhư hình vẽ

Hàm số g x

 

 f f





 

x



nghịch biến khoảng đây?

A



1;



. B



 ; 2



C



1;0



D 3;

3

 



 

 

Chọn B

Vì điểm



1;0 , 0;0 , 1;0

    

thuộc đồ thị hàm số y f

 

x nên ta có hệ:

 

 

1 0

0 ''

1 0

a b c a

c b f x x x f x x

a b c c

                              

Ta có: g x

 

 f f





 

x



g x

 

 f 



f

 

x



''f

 

x

Xét

 

 



 



 







3 3

0 '

1 x x x x

g x g x f f x f x f x x x

x x x                               1, 325 1, 325 3 x x x x x                  

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên g x

 

nghịch biến



 ; 2



 Câu 42: Cho hàm số

y



f x

 

có đạo hàm f '

 

x x22x  3, x Có giá trị

nguyên tham số m thuộc đoạn



10; 20



để hàm số g x

 

 f x



23x m



m21

đồng biến  0; ?

A 16. B 17. C 18. D 19

 Lời giải

Chọn C

Ta có

 

 

' *

1 t f t t t

t          



Có g x'

  

 2x3



f '



x2 3x m



Vì 2x   3 0, x

 

0; nên g x

 

đồng biến

 

0; g x'

 

  0, x

 

0;





 

' 0, 0;

f x x m x

     

 

 

 

 

2 2

3 3, 0; 3, 0;

3 1, 0; 1, 0;

x x m x x x m x

x x m x x x m x

            

 

         

 

  (**)

Có h x

 

x23x ln đồng biến

 

0; nên từ (**)  10 13

1

Vì m



10; 20



m   

 

 

 Có 18 giá trị tham sốm

Vậy có 18 giá trị tham sốm cần tìm

 Câu 43: Cho hàm số y f x

 

có đạo hàm liên tục đồ thị hàm số y f '

 

x

như hình vẽ

Đặt

 





1



1



2 2019

2

g x  f x m  x m   với m tham số thực Gọi S tập giá trị

nguyên dương m để hàm số yg x

 

đồng biến khoản

 

5;6 Tổng phần tử

của S bằng:

A 4 B 11 C 14 D 20

 Lời giải

Chọn C

Ta có g x'

 

 f '



x m

 

  x m 1



Đặt h x

 

 f '

  

x  x 1



Từđồ thị y f '

 

x đồ thị y x hình vẽ ta suy

 

1

3 x h x

x    

    

Ta có '

  



1 1

3

x m m x m

g x h x m

x m x m

       

 

    

   

 

Do vậy, hàm số yg x

 

đồng biến khoảng

 

5;6 5 6 m m m m m                  

Do m nguyên dương nên m



1; 2;5;6



, tức S 



1; 2;5;6



Tổng phần tử S 14

 Câu 44: Cho hàm số y f x

 

hàm đa thức có đồ thị hàm số y f

 

x hình vẽ

Có giá trị nguyên tham số

m

, m Z, 2020 m 2020 để hàm số

 

 

2 2

6

g x  f x mx x  x 

  đồng biến khoảng



3; 0



A 2021 B 2020 C 2019 D 2022

 Lời giải

Chọn B

Ta có

 

 

2





2

g x  xf x  mx x  x

Hàm số g x

 

đồng biến khoảng



3; 0



suy g x

 

   0, x



3;0



 

2









 

2









2xf x 4mx x 2x3    0, x 3;0  f x 2m  x 2x3    0, x 3;0

 

2











 

2







2

2 , 3;0 , 3;0

2

f x

f x m x x x m x

x x                    

 





2 3;0 max

2

f x m x x       

Ta có

 

2

3 x 0 x f x

         dấu “”

1

x    x





2





2

2 4, 3;0

x x x x x x

               

2

1

,

x x

 

   dấu “” x 1

Suy

 





2

2

3 2.4

2

f x

x x

  

 

   ,   x



3;0



, dấu “” x 1

 

 





2 3;0 max

2

Vậy

8

m  , mà m , 2020 m 2020 nên có 2020 giá trị tham số

m

thỏa mãn toán

 Câu 45: Cho hàm số f x

 

Hàm số y f

 

x có đồ thịnhư hình sau

Có tất giá trịngun dương tham số m đề hàm số

2020 ) ( )

(x  f xm x2 mx

g đồng biến khoảng (1;2)

A 2 B 3 C 0 D 1

 Lời giải

Chọn A

Ta có g'(x)4f'(xm)2x2m

(*) ) ( ' ) (

' x f x m x m

g     

Đặt t xm

2 ) ( '

(*) f t t

Vẽđường thẳng

2

x

y hệ trục Oxy với đồ thị y f

 

x hình vẽ sau

Từđồ thị ta có 

                  4 2 ) ( ' m x m x m t t t t f

Hàm số g(x) đồng biến khoảng (1;2) g'(x)0 x

 

1;2                   3 2 m m m m m

Vì mnguyên dương nên m

 

2;3

Vậy có hai giá trịnguyên dương m đề hàm số g(x) đồng biến khoảng (1;2)

 Câu 46: Cho hàm số

f x

 

có đạo hàm

f



  

x



x



1



x



1



x



4 ;



 

x

Có

số nguyên

m



2020

để hàm số

 

1

x

g x f m

x



 

   



A

2018

B

2019

C

2020

D

2021

 Lời giải

Chọn B

Ta có:

 





2

3

1

x

g x f m

x x             

Hàm số

g x

 

đồng biến



2;

 





g x



 

  

0;

x



2;

 







2





3

0; 2;

1

x

f m x

x x                 

 0;



2;



1

x

f m x

x             

Ta có:

f



 

x



0





x



1



x



1



x

 

4



0



1 x x       

Do đó: 0;



2;



1

x

f m x

x              





 



  

1; 2;

1

1 4; 2;

1 x m x x x m x x                        

Hàm số

 

1

x

h x m

x



 

 ;

x





2;

 



có bảng biến thiên:

Căn bảng biến thiên suy ra: Điều kiện

 

2

khơng có nghiệm m thỏa mãn

Điều kiện

 

1



  

m

1



m



1

,kết hợp điều kiện

m



2020

suy có

2019

giá trị

m

thỏa mãn yêu cầu toán

Nhận xét: Có thể mở rộng tốn nêu sau:

Cho hàm số

f x

 

có đạo hàm

f



  

x



x



1



x



1



x



4 ;



 

x

Có số

nguyên

m



2020

để hàm số

 

 

1

x

g x f h m

x



 

   



  đồng biến



2;

 



 Câu 47: Cho hàm số y f x

 

có đạo hàm f '

  

x  x1



ex, có giá trị nguyên tham số m đoạn



2019; 2019



để hàm số y g x

 

 f

 

lnx mx2 mx2 nghịch biến

 

2

1;e

A 2018 B 2019 C 2020 D 2021

 Lời giải

Trên

 

2

1;e ta có g x'

 

' lnf

 

x 2mx m lnx



2x 1



m x

      

Để hàm sốy g x

 

nghịch biến

 

2

1;e

 





 

2

' ln 0, 1;

g x  x  x m  x e





 

 

2

2

ln 0, 1;

ln

, 1;

2

x x m x e

x

m x e

x

       

   



Xét hàm số

 

ln

2 x h x

x  

 trên

 

2

1;e , ta có

 





2

 

2

1 ln

' 0, 1;

2

x x

h x x e

x

 

   

 , từđây