Tính đơn điệu của hàm ẩn cho bởi đồ thị

 Bình luận : Đây là câu vận dụng cao về vấn đề tính đơn điệu của một hàm số... Ta xét một số khả năng có thể xảy ra..[r]

Câu 50 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HAØM ẨN CHO BỞI ĐỒ THỊ HAØM F’(X) 1 Định nghĩa

Giả sử K khoảng, đoạn khoảng y f x  hàm số xác định K Ta nói:

+ Hàm số y f x  gọi đồng biến (tăng) K x x1, 2K x, 1x2 f x 1  f x 2 + Hàm số y f x  gọi nghịch biến (giảm) K nếux x1, 2K x, 1x2  f x 1  f x 2 Hàm số đồng biến nghịch biến K gọi chung đơn điệu K

2 Nhận xét Nhận xét 1

Nếu hàm số f x  g x  đồng biến (nghịch biến) D hàm số f x   g x đồng biến (nghịch biến) D Tính chất khơng hiệu f x   g x

Nhận xét 2

Nếu hàm số f x  g x  hàm số dương đồng biến (nghịch biến) D hàm số

   

f x g x đồng biến (nghịch biến) D Tính chất khơng hàm số

   ,

f x g x không hàm số dương D

Nhận xét 3

Cho hàm số uu x , xác định với x a b; u x    c d; Hàm số f u x   xác định với

 ;



x a b Ta có nhận xét sau:

i. Giả sử hàm số uu x  đồng biến với x a b; Khi đó, hàm số f u x   đồng biến với

 ;  

 

x a b f u đồng biến với u c d;

ii. Giả sử hàm số uu x  nghịch biến với x a b; Khi đó, hàm số f u x   nghịch biến với

 ;  

 

x a b f u nghịch biến với u c d; 3 Định lý

Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng K Khi đó:

a) Nếu hàm số đồng biến khoảng K f ' x   0, x K b) Nếu hàm số nghịch biến khoảng K f ' x   0, x K

4 Định lý

KIẾN THỨC CẦN NHỚ I

Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng K Khi đó: a) Nếu f ' x   0, x K hàm số f đồng biến K b) Nếu f ' x   0, x K hàm số f nghịch biến K c) Nếu f ' x   0, x K hàm số f không đổi K

Chú ý

Chú ý: Khoảng K định lí ta thay đoạn nửa khoảng Khi phải có thêm giả thuyết “ Hàm số liên tục đoạn nửa khoảng đó’ Chẳng hạn:

Nếu hàm số f liên tục đoạn  a b; f ' x   0, x  a b; hàm số f đồng biến đoạn  a b;

5 Định lý

Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng K Khi đó:

a) Nếu f ' x   0, x K f ' x 0 hữu hạn điểm thuộc K hàm số f đồng biến K b) Nếu f ' x   0, x K f ' x 0 hữu hạn điểm thuộc K hàm số f đồng biến K

Quy tắc xét tính đơn điệu hàm số.

Giả sử hàm số f có đạo hàm K

 Nếu f ' x 0 với xK f ' x 0 số hữu hạn điểm xK hàm số f đồng biến K

 Nếu f ' x 0 với xK f ' x 0 số hữu hạn điểm xK hàm số f nghịch biến K

1 Lời giải tham khảo

Câu 50. Cho hàm số y f x( ) Hàm số y f x( ) có đồ thị hình vẽ bên Hàm số

2

( ) (1 )

g x f x x x nghịch biến khoảng đây?

BÀI TẬP MẪU II

A 1;3

2 B

1 0;

2 C ( 2; 1) D (2;3)

Lời giải Chọn A

Xét hàm số g x( ) f(1 )x x2 x

Tập xác định:

Đạo hàm: g x( ) (1 )f x 2x 1, x

Trước tiên ta cần tìm x cho g x( )

Ta có g x( ) (1 )f x 2x (1 ) 1(1 )

2

f x x (*)

Đặt t 2x, bất phương trình (*) trở thành ( )

2

f t t

Từ đồ thị ta có ( )

4

t

f t t

t

Do đó, g x( ) 2

1

x x

1

2 2

3

x x

1 3

( ) (1 ) ; ;

2 2

g x f x x x : hữu hạn

Như hàm số g x( )nghịch biến đoạn 3;

2 nửa khoảng

3 ;

2

Soi phương án đề bài, ta chọn A.

 Bình luận: Đây câu vận dụng cao vấn đề tính đơn điệu hàm số Để làm dạng tương tự mở rộng, ta cần nắm vững kiến thức sau:

Tính đơn điệu dấu đạo hàm

Điều kiện cần: Giả sử hàm số y f x( ) có đạo hàm khoảng K

+f đồng biến khoảng K f x( ) 0, x K +f nghịch biến khoảng K f x( ) 0, x K

Điều kiện đủ:Giả sử hàm số y f x( ) có đạo hàm khoảng K

Nếu f x( ) 0, x K hàm sốđồng biến khoảng K

Nếu f x( ) 0, x K hàm số nghịch biến khoảng K

Nếu f x( ) 0, x K hàm sốkhông đổi khoảng K

Mở rộng:

1)Nếu phương trình f x( ) có hữu hạn nghiệm K ta có điều kiện cần đủ sau

đây:

+f đồng biến khoảng K f x( ) 0, x K

+f nghịch biến khoảng K f x( ) 0, x K

2) ( ) ;

( ) 0, ;

f x a b

f x x a b liên tục

f đồng biến a b;

( ) ;

( ) 0, ;

f x a b

f x x a b liên tục

f nghịch biến a b;

( ) ;

( ) 0, ;

f x a

f x x a

liên tục

f đồng biến ;a

…

 Đạo hàm hàm hợp: Giả sử hàm số y f x( ) u u x có đạo hàm khoảng K Khi

đó: f u u f u

3 Phân tích hướng giải 1. Dạng tốn

Đây dạng tốn tìm khoảng đơn điệu hàm ẩn dạng g x  f u x  v x  biết đồ thị hàm số y f x

2. Hướng giải Cách 1:

B1: Tính đạo hàm hàm số g x , g x u x f  u x v x 

Cách 2:

B1: Tính đạo hàm hàm số g x , g x u x f  u x v x 

B2: Hàm số g x  đồng biến g x 0; (Hàm số g x  nghịch biến g x 0) (*)

B3: Giải bất phương trình  * (dựa vào đồ thị hàm số y f x ) từ kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số

Cách 3: (Trắc nghiệm)

B1: Tính đạo hàm hàm số g x , g x u x f  u x v x 

B3: Hàm số g x  đồng biến K g x   0, x K; (Hàm số g x  nghịch biến K

  0,

g x x K

    ) (*)

B3: Lần lượt chọn thay giá trị từ phương án vào g x  để loại phương án sai

 Câu 1: Cho hàm số f x  Hàm số y f x có đồ thị hình sau

Hàm số g(x)3f(12x)8x3 21x2 6x đồng biếntrên khoảng đây?

A  1;2 B 3;1 C  0;1 D 1;2

 Lời giải

Chọn A

Ta có g'(x)6f'(12x)24x242x6 (*) ) ( ' ) (

' x   f  x  x2 x g

Đặt

2

1 xt x t

Ta có (*) trở thành

2 3 ) ( ' ) ( ' 2              

 t t f t t t

t f

Ta vẽ parapol

2 3 : )

(P yx2  x hệ trục Oxy với đồ thị y f x hình

vẽ sau, ta thấy (P) có đỉnh )

16 33 ; ( 

I qua điểm 3;3 , 1;2  , 1;1

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN III

Từ đồ thị hàm số ta thấy khoảng 3;1ta có

3 )

(

' t t2  t  t f

2

1

3      

 x x

Vậy hàm số g(x) nghịch biến khoảng (1;2)

 Câu 2: Cho hàm số f x  Hàm số y f x có đồ thị hình sau

Có tất giá trị nguyên dương tham số m đề hàm số

2020

) ( )

(x  f xm x2 mx

g đồng biến khoảng (1;2)

A 2 B 3 C 0 D 1

* Ý tưởng : Phát triển thành toán chứa tham số.

 Lời giải

Chọn A

Ta có g'(x)4f'(xm)2x2m

(*) )

( ' ) (

' x f x m x m

g     

Đặt t xm

2 ) ( '

(*) f t t

Vẽ đường thẳng

2

x

Từ đồ thị ta có                    4 2 ) ( ' m x m x m t t t t f

Hàm số g(x) đồng biến khoảng (1;2) g'(x)0 x 1;2

                  3 2 m m m m m

Vì mnguyên dương nên m 2;3

Vậy có hai giátrị nguyên dương m đề hàm số g(x) đồng biến khoảng (1;2)

 Câu 3: Cho hàm số đa thức f(x) có đạo hàm tràm trênR Biết f(0)0 đồ thịhàm số

 

y f x hình sau

Hàm số

) ( )

(x f x x

g   đồng biến khoảng ?

A  0;4 B 2;0 C 4; D ;2

* Ý tưởng : Phát triển thành tốn tìm khoảng đồng biến nghịch biến hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối.

 Lời giải

Chọn A

Xét hàm số h(x)4f(x)x2 ,xR

Có ) ( ' ) ( ' ) ( ' ) (

' x f x x h x f x x

h      

Vẽ đường thẳng

2

x

Từ đồ thị ta có BBT h(x) sau :

Chú ý h(0)4f(0)0

Từ ta có BBT củanhư sau :

Từ BBT ta suy g(x) đồng biếntrên khoảng  0;4

 Câu 4: Cho hàm số y f(x) có bảng xét dấuđạo hàm sau

Biết 1 f(x)5,xR Hàm số g(x) f(f(x)1)x33x22020 nghịch biến

trên khoảng nàodưới

A  0;5 B 2;0 C 2;5 D ;2

* Ý tưởng : Phát triển thành tốn tìm khoảng đồng biến nghịch biến hàm số

) ( ) (u g x f

y  

 Lời giải

Chọn B

Ta có g'(x) f'(x).f'(f(x)1)3x26x

Vì 1 f(x)5,xR0 f(x)14

Do hàm g(x)nghịch biến khoảng 2;0

 Câu 5: Cho hàm số y f x( )liên tục có đồ thị hàm số f x( ) hình bên

Hỏi hàm số

2

( ) (1 ) x

g x f x x nghịch biến khoảng nào?

A ( 3;1) B ( 2;0) C 1;3

2 D (1;3)

Chọn B

( ) (1 ) 1, x

g x f x x

( ) (1 )

g x f x x f (1 x) (1 x)

1

1

x x

4

2

x

x

( ) (1 ) 2; 0;

g x f x x x : hữu hạn

 Câu 6: Cho hàm số f x ax5 bx4 cx3 dx2 ex f a b c d e f, , , , , Biết đồ

thị hàm số f x có đồ thị hình vẽ bên Hỏi hàm số g x f 2x 2x2 đồng

biến khoảng đây?

A 3;

2 B

1 ;

2 C 1;0 D 1;3

Chọn C

Hàm số g x f 2x 2x2 đồng biến g x( ) (1 ) 4f x x

(1 ) (1 )

f x x 1 2x x

 Câu 7: Cho hàm số y f x( ) Hàm số y f x( ) có đồ thị hình vẽ bên

Có tất giá trị nguyên m 10;10 đê hàm số

2

( ) ( 1)

g x f x m x m x m nghịch biến khoảng 1;2

Lời giải

Chọn B

( ) (1 ) 1,

g x f x m x m x

( )

g x (1 ) 1

2

f x m x m

2

x m

x m

3

1 2

2

2

m x x m

x m m m

x

( )

g x (1 ) 1

2

f x m x m 1; ;

2 2

m m m

x : hữu hạn

Hàm số g x nghịch biến 1;2 g x( ) 0, x 1;2

3

2 ( ) 0, 1;2

1

1

2

m

g x x

m m

7 m m

Vậy m 1;7;8;9

 Câu 8: Cho hàm số y f x có đạo hàm f x x x x2 với x Tìm tất

cả giá trị tham số m để hàm số y g x f x2 2x m 2019 đồng biến

trên khoảng 1;

Lời giải

Chọn D

Cách 1:

Ta có y g x 2x f x2 2x m

Hàm số đồng biến 1; g x 0, x 1;

2

2x f x 2x m 0, x 1; , x 1;

2

2 2

2x x 2x m x 2x m x 2x m 0, x 1;

2

2 2 2 1 2 1 0

x x m x x m x x m x 1;

2 2 2 1 0,

x x m x x m x 1;

( ) 1;

h t t m t m t ( t x2 2x x 1; ) Bảng xét dấu

Khi h t( ) 0, t 1; m m

Cách 2:Ta có bảng xét dấu đạo hàm f x sau

2

2 2

y g x x f x x m

Hàm số y g x đồng biến khoảng 1; g x 0, x 1;

Ta thấy 2x 0, x 1; nên

2

0, 0,

g x x f x x m x

2

2 1,

2 0,

x x m x

x x m x

2

2 ,

2 ,

m x x u x x

m x x v x x (do tính liên tục)

 

2

2 ,

m  x x u x  x : Không tồn m

 2

2

2 , 1 , 1

m  x x      x m x    x m

 Câu 9: Cho hàm số y f x có bảng xét dấu đạo hàm hình vẽ

Biết f x 3, x Hàm số y g x f f x x3 6x2 nghịch biến

khoảng đây?

A 3;4 B 3; C 1; D 2;1

Chọn A

2

( ) 12

g x f x f f x x x

Do f x 3, x nên từ bảng xét dấu ta có f f x( ) x

+ TH1: ( ) x f x x         

2 12

4 x x x x          

 Chưa xác định dấu g x với giả thiết cho

2

6 12

x  x  x g x 0, x Hàm số g x đồng biến 6;

+ TH2: ( )

1 x f x x         

Ta thấy với 3 x 4thì

2x 12x0 nên g x 0, x 3;4 Hàm số g x nghịch

biến 3;4

 Câu 10: Cho hàm số f x  có bảng xét dấu đạo hàm sau:

Hàm số y 1f x x2 x nghịch biến khoảng

A ; B ;1 C 2;0 D 3;

Chọn C

2

( ) 1

g x f x x x

2

( ) 1

1

x

g x f x

x

Để ý

2

1 , 0,

1

x

x x x x

x

Ta xét số khả dấu 2 (1f x)

+TH1: (1 ) (1 ) 1

3 x

f x f x

x                

 : Chưa xác định dấu g x

với giả thiết cho

+TH2: (1 ) (1 ) 1

1

x x

f x f x

x x                            

( ) 0, ; 2;0 g x       x 

 Hàm số g x nghịch biến 2;0

 Câu 11: Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm f x x2 2x với x Hàm số

2

2 1

g x f x x đồng biến khoảng đây?

Lời giải

Chọn A

Ta có

2

( )

1

x x

g x f x

x x

2

2 1 1

x

f x

x

Vì f x x2 2x x 12 nên f x( ) 1, x hay f x 0, x

Suy f x2 1 0, x

Bảng biến thiên:

∞

0

g x( )

0

x g' x( )

0 +

+ ∞

∞ ∞

Hàm số g x đồng biến khoảng ;0

 Câu 12: Cho hàm số y f x có đồ thị hàm số y f x' hình vẽ Hàm số

2 2 3 4

3

y f x x x x nghịch biến khoảng đây?

A ; B 3;0 C 1; D 3;

Chọn C

Ta xét y x f x2 x2 2x

2

( 2) (1)

2 (2) xf x

x x

Từ (2)

1 x

x nên loại A, B, D Vậy chọn C

Hàm số g x  f 3x 1 3x2x đồng biến khoảng đây?

A 1;3

 

 

  B

2 0;

3

 

 

  C 1;0 D

;

 

 

   Lời giải

Chọn B

Ta có: g x 3f3x 1 6x 2

Hàm g x( ) đồng biến khoảng K

 

g x  (dấu = xảy số hữu hạn điểm)

   

3f 3x 6x

      (1)

Đặt u3x1ta được: h u 3f u 2u3

Ta có: (1)    

3

u

f u u f u

      

Từđồ thị hàm số y f x ta có đồ thị hàm số y f u 

3

y u hình vẽ

Để h u 0 ta cần có đồ thị y f u  phải nằm bên đồ thị hàm

3

Từđó ta có h u 0 3 u u



 

    

0 3 3

x x

 



 

  

 

1 ; 3

4

x

x

       



   

Cho nên ta Chọn B 0;2 2;

3 3

    

   

   

 Câu 14: Cho hàm số f x  Đồ thị y f ' x cho hình bên Hàm số    

2

2 x g x  f x 

nghịch biến khoảng đây?

A  2; B  0;1 C 2;1 D  1;3

 Lời giải

Chọn A

Ta có:    

2

2 x

g x  f x  g x  fx 1 x

   1  1  1

g x f x x f x x

          

Đặt t x f t  t

Vẽ đường thẳng y x 1trên hệ trục tọa độ với đồ thị hàm số y f x (như

hình vẽ bên)

Dựa vào đồ thị f ' t     t t 3,t 1,t3

Hàm số nghịch biến g x  fx   1 x f t      t t ( ; 3) (1;3)

Do x   ( ; 2) (2; 4) g(x) nghịch biến  2;

Hàm số g x  f x 22x x2 2x đồng biến khoảng đây?

A  1 2; 1  B  1 2; 1  2 C  1;  D   1; 2

 Lời giải

Chọn A

Ta có: g x  f x 22x x2 2x

         

2 2 2 2

g x x f x x x x f x x 

           

     

0 2 1, 2,

g x x f x x  x x x

                

Xét    

 

   

2

2

2

1

2 x

I f x x

g x

x

II f x x

  

    

   

    

   

  

Xét sựtương giao đồ thị hàm số y f x y1

Xét hệ (I):  

2 x

f x x         2 x x x         1 2 x x x x                   

Xét hệ (II): 1 02 

2 x

f x x         2 x x x        

1 2

x x            

1 x

     

Vậy hàm số g x  đồng biến khoảng  1 2; 1   1 2;

 Câu 16: Cho hàm số y f x  có đạo hàm Hàm số y f ' x có đồ thịnhư hình vẽ

bên Đặt    

2

2 x

yg x  f x  Khẳng định sau đúng?

A Hàm số yg x  đồng biến khoảng  1;

B Đồ thị hàm số y g x  có điểm cực trị

C Hàm số yg x  đạt cực tiểu x 1

D Hàm số yg x  đạt cực đại x1

 Lời giải

Chọn D

Ta có: g x'  f ' x x; g x'  0 f ' x x (*)

Số nghiệm phương trình (*) sốgiao điểm đồ thị hàm số y f ' x đường thẳng yx

Dựa vào hình bên ta thấy giao điểm  1; ; 1;1 ; 2; 2     (*) x x x          

Bảng xét dấu g x' :

x  1 

 

'

Từ bảng xét dấu g x'  ta thấy hàm số    

2

2 x yg x  f x 

Đồng biến khoảng ;1 2;; nghịch biến khoảng  1; Hàm số yg x  đạt cực đại x1

 Câu 17: Cho hàm số f x  có đồ thị hàm số f x hình vẽ

Hỏi hàm số    

2

2 x

g x  f  x x nghịch biến khoảng đây?

A 2;0 B  1;3 C 1;3

2    

  D 3;1  Lời giải

Chọn A

Ta có: g x  f1  x x

Hàm số g x  nghịch biến g x 0  f1  x x (1) Đặt t 1 x Khi (1) trở thành f t  t (2)

Bất phương trình (2) thỏa f x  x hay đồ thị hàm số f x nằm phía

đồ thị hàm số y x

Từđồ thịta 3

1 1

t x x

t x x

     

  

 

         

   Vậy chọn khoảng 2;0

x y

-1 O

Hàm số    

2

g x  f x  đồng biến khoảng đây?

A 1; B 1;3

2

 

 

  C  ; 1 D

;1

 

 

   Lời giải

Chọn D

Ta có:    

8

g x  x f x 

TH1: x0 Để hàm số g x  đồng biến

  4 4

2 1 2 2

f x      x    x   x     x

4

0 x x 0; 2       

TH2: x0 Để hàm số g x  đồng biến

  4

4

2

4 4

0( )

2 1

2

2

2

x L

x x

f x

x

x x

 

     

      



     

 

So sánh với điều kiện 

0 ;

x   x    x  Vậy hàm số g x  đồng biến

0;  

 và  ; 2 Do chọn khoảng 12;1

 Câu 19: Cho hàm số y f x  Hàm số y f x có đồ thịnhư hình vẽ sau

Hàm số  2

y f xx nghịch biến khoảng nào?

A 1;

2

 

 

  B

3 ;

2

 

 

  C

3 ;

 

 

  D

1 ;

 

 

 

 Lời giải

Chọn A

Xét hàm số  2

Ta có:y1 2 x f x x   2

   

2

2 2

1

2 2

0 1

2 2 0

x x

y x x x x VN

x x x x VN

     

 



         

     

 



Ta lại có:

2

2 1 1,

4

x x   x    x R

 

Từđồ thị hàm số y f x  f x x  2  0, x R

Bảng biến thiên hàm số  2

y f xx

Vậy hàm số nghịch biến ;

2

 



 

  Chọn A

 Câu 20: Cho hàm số y  f x  có đạo hàm Đồ thị hàm số y  f x hình vẽ

Hàm số  

2

y f x  x đồng biến khoảng sau đây?

A  1; B  ; 3 C  0; D 2; 0

 Lời giải

Chọn A

Đặt    

2

g x  f x  x , ta có          

2 2

g x  x  x  f x  x  x f x  x

Hàm số g x  đồng biến      

0

g x   x f x  x 

   

1

1 x

f x x   

     1 02   2 x

f x x   

    

· Xét  

2

1

1 2 1 1 2

1

3 1                                             x x x x x x x x x x x

· Xét  

2 2 1

2

2

1

2                                      x x x x x x x x x x x 1

3

1 x x x x x x x                                    

 Câu 21: Cho hàm số y f x , biết hàm số y f x có đồ thịnhư hình bên

Hàm số g x  f 3x2đồng biến khoảng?

A  2;3 B 1;0 C  2; 1 D  0;1

Dựa vào đồ thị, ta có bảng xét dấu

   2

'  2  3

g x xf x

   2

0

2 3

'

3

1   

 

   

   



   



   

x

x x

g x

f x x

x

 

2

2

3

6

3

2

1

x x

f x x

x

x

    

     

      

 

    



Bảng biến thiên:

Từ BBT suy hàm sốđồng biến 1;0

 Câu 22: Cho hàm số y f x( ) có bảng xét dấu đạo hàm sau:

Biết: 1 f x( )  5, x R.Khi đó, hàm số g x( ) f f x( ( ) 1) x33x22020nghịch biến

khoảng đây:

A ( 2;0) B (0;5) C ( 2;5) D ( ; 2)

 Lời giải

Chọn A

Ta có: g x'( ) f x f'( ) '( ( ) 1) 3f x   x26x Vì 1 f x( )    5, x R f x( ) 4 

Từ bảng xét dấu f x'( ) 0 f '( ( ) 1)f x  0

Do đó, hàm g x( ) nghịch biến khoảng ( 2;0).

 Câu 23: Cho hàm số y f x  có đạo hàm có bảng biến thiên đạo hàm f ' x

như sau :

Hỏi hàm số    

2 2020

g x  f x  x  có điểm cực tiểu ?

A 1 B 2 C 3 D 4

 Lời giải

Chọn A

Ta có g x 2x f x2 ;x

2 theo BBT '

2

2

1

2 2 2 1 2

0

2 1

3

2

f x

x x

x x x x

g x

f x x x x x

x x x

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên đối chiếu với đáp án, ta Chọn A

Chú ý: Dấu g x xác định sau: Ví dụ xét khoảng 3;

 x 3; 2x

 3; 2 3 theo BBT 'f x 2 0.

x x x f x x

Từ , suy g x 2x f x2 2x khoảng 3; nên g x mang dấu

Nhận thấy nghiệm x x nghiệm bội lẻ nên g x qua nghiệm đổi dấu

 Câu 24: Cho hàm số y f x  có đạo hàm Đồ thị hàm số y f x hình vẽ bên

Hàm số    

3 18 12 2021

g x  f x  x  x  x nghịch biến khoảng

A ;1 B  1; C 3;1 D 2;1

3        Lời giải

Chọn D

Ta có          2

3 3(9 12 4); 3 (1)

g x  f x  x  x g x   f x  x

Đặt t3x1 đó(1) f  t  t 12

Dựa vào đồ thị ta suy    12

1

t f t t

t  

    

 

 (vì phần đồ thị f ' t nằm phía

dưới đồ thị hàm sốy t 12)

Như    2

1

3 3

3

1 2

1

x x

f x x

x

x     



         

   



Vậy hàm số    

3 18 12 2021

g x  f x  x  x  x nghịch biến khoảng

1 ;

3  

 

 

;1      

 Câu 25: Cho hàm số y f x có bảng xét dấu đạo hàm sau:

Đặt

2

4

y g x f x x x x Khẳng định đúng?

A Hàm số y g x đồng biến khoảng ; 0

B Hàm số y g x đồng biến khoảng  1;

C Hàm số y g x đồng biến khoảng  0;1

D Hàm số y g x nghịch biến khoảng 2;  Lời giải

Ta có: yg x  2f1  x x3 3x32x

Dựa vào bảng xét dấu f x ta có  

2

1

0 x x

f x

x x

    

   

    

    1

2 1

0 1

x x

f x f x

x x

      

 

 

       

    

 

  

3

3 2

x  x  xx x x

Bảng xét dấu yg x 

Vậy hàm sốđồng biến  0;1

 Câu 26: Cho hàm số y f x   Hàm số y f x '  có đồ thịnhư hình vẽ bên f(x)=-3x^5+2x^4-2x^2+x

f(x)=2 f(x)=-2 x(t)=-1 , y(t)=t x(t)=1 , y(t)=t

-8 -7.5 -7 -6.5 -6 -5.5 -5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1.5

-6 -5 -4 -3 -2 -1

x y

Hàm số g x   f x2  3 4 x212x1 đồng biến khoảng đây?

A 3;

2   

 

  B

5 ;   

 

  C

3 2;

2   

 

  D

1 ;0  

 

 

 Lời giải

f(x)=-3x^5+2x^4-2x^2+x f(x)=2

f(x)=-2 x(t)=-1 , y(t)=t x(t)=1 , y(t)=t f(x)=-2x

-8 -7.5 -7 -6.5 -6 -5.5 -5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1.5

-6 -5 -4 -3 -2 -1

x y

  '

y f x y 2x

Hàm số g x  đồng biến

       

' ' 12 ' 2

g x f x x f x x

           

2

2 .

3

0 1

2

x x

x x

  

    

 

      

  Chọn B

 Câu 27: Cho hàm số y f x  có đồ thị y f x hình vẽ Xét hàm số

    3

2018

3

g x  f x  x  x  x Mệnh đềnào đúng?

A Hàm số g x đồng biến 1;1 B Hàm số g x đồng biến 3;1

C Hàm số g x đồng biến  3; 1 D Hàm số g x nghịch biến 1;1

 Lời giải

Chọn B

Ta có:     3 2018     3

3 2

g x  f x  x  x  x  g x  f x  x x

O x

y

1

3

3



1 

+ '  '  3 2

g x   f x x  x Đặt 3

2

yx  x có đồ thị (P)

Dựa vào đồ thị y f x , ta có:

     

     

1

1 1

3 3

f g

f g

f g

      

 

 

    

 

       

 

Vẽđồ thị  P hàm số 3

2

yx  x hệ trục tọa độnhư hình vẽ (đường nét đứt ), Đồ thị  P qua điểm 3;3,  1; 2,  1;1 với đỉnh

3 33 ; 16 I  

 

Ta thấy: + Trên khoảng 1;1   3

2

f x x  x , nên g x 0 x  1;1

+Trên khoảng  3; 1   3

2

f x x  x , nên g x 0 x  3; 1 

Từ nhận xét trên, ta có bảng biến thiên hàm yg x  3;1 sau:

Vậy hàm số g x đồng biến 1;1 Chọn A

 Câu 28: Cho hàm số f x  Hàm số y f ' x có đồ thịnhư hình vẽ

x y

1

3

3

 1

2 

Hàm số    

2

4

2

x x

g x  f x    đồng biến khoảng đây?

A  ; 2 B  3; 1 C  0;1 D 1;0

 Lời giải

Chọn B

Ta có:        

2

4

1 ' '

2

x x

g x  f x    g x  f x  x Hàm sốđồng biến g x'  0 f 'x  1 x (1)

Đặt x 1 t Bất phương trình (1) có dạng: f ' t  t

Xét hai hàm số y f ' t y t 1:

Dựa vào đồ thị ta có: '   2; 0

2

t f t t

t

      

Ta có ' 

1

x x

g x

x x

       

 

  

  

 

 Câu 29: Cho hàm số f x( ) liên tục R có đồ thị f '( )x hình vẽ Tìm sốđiểm cực trị

của hàm số

( )

y f x x ?

A 10 B 11 C 12 D 13

 Lời giải

Chọn B

Ta có

' (2 1) '( ) y  x f x x ;

x  x m có nghiệm

4

m 

Dựa vào đồ thị ta thấy đồ thị hàm f '( )x cắt trục hồnh điểm điểm có

hoành độ nhỏhơn

4

 có tiệm cận

Khi ứng với giao điểm có hồnh độ lớn

4

 điểm khơng xác định

'

y  có hai nghiệm Từđây dễ dàng suy hàm

( )

y f x x có 11 cực trị

 Câu 30: Cho hàm số y f x( )có đạo hàm Đồ thị hàm số y f '( )x hình vẽ

Tìm khoảng đơn điệu hàm số g x( )2 ( )f x  x2 2x2020 y

x

2

3 O

-2 -1

Mệnh đềnào đúng?

A Hàm số g x nghịch biến  1;3 B Hàm số g x có điểm cực trịđại

C Hàm số g x đồng biến 1;1 D Hàm số g x nghịch biến 3;

 Lời giải

Chọn C

Dựa vào hình vẽ ta thấy đường thẳng y x 1 cắt đồ thị hàm số y f x'( )tại điểm:

( 1; 2), (1;0), (3;2). 

y

x

2

3 O

-2 -1

Dựa vào đồ thị ta có

 

'( ) '( ) ( 1)

3

x

g x f x x x

x

          

  

  1

'( ) '( ) ( 1)

x

g x f x x

x

   

      

 

 

'( ) '( ) ( 1)

1

x

g x f x x

x

  

      

  

 Câu 31: Cho hàm số y f x  có bảng xét dấu hình vẽ

Tìm khoảng đồng biến hàm số ( ) (1 ) 5 3x3

5

yg x  f  x x  x 

A ;0 B  2;3 C  0;2 D 3; 

 Lời giải

Chọn B

Coi f'  x  x 2x1 x x1 có bảng xét dấu

4

'( ) '(1 ) 6x g x   f   x x x 

Ta xét dấu g x'( ) P Q Với:

          

2 ' 2

P  f   x x x x  x x x x x Bảng xét dấu P

  

4 2

5 6x

Bảng xét dấu Q

Từ hai BXD P Q, Ta có P0,Q0 với  x  2;3 nên g x'( )  P Q 0với

 2;3

x

 

 Câu 32: Cho hàm số y f x  có đồ thị hàm số y f x hình vẽ

Xét hàm số g x 2f x 2x34x3m6 với m tham số thực Điều kiện cần đủđể g x 0 với x  5; 5

A  5

3

m f B  0

m f C  5

m f  D  5

m f

 Lời giải

Chọn A

Ta có g x 0 với x  5; 52f x 2x34x3m6 50 với

5;

x   2f x 2x34x6 53m với x  5; 5

 

 

5;

max 2f x 2x 4x 3m

 

 

Ta có h x 2f x 6x24,    

0

0

5 x

h x f x x x

x   

         

  

Dựa vào đồ thị ta thấy f x  3x22 với x  5; 5h x  đồng biến

trên  5; 5      

5;

max h x h 2f

 

 

  

Vậy  *  5  5

3

f m m f

   

 Câu 33: Cho hàm số f x( )có đồ thị hàm số y f’( )x hình vẽ:

Hàm số

3

(2 1)

3 x

y f x  x  x nghịch biến khoảng sau đây?

A  6; 3 B  3;6 C 6; D 1;0

 Lời giải

Chọn D

Ta có: ’ ’(2 1) 2 2 ’(2 1)  12 3

y  f x x  x  f x  x 

Nhận xét: Hàm số y f x( )có f’( ) 1x     3 x 3và ( ) 3

’ x

f x

x       



Do ta xét trường hợp:

Với       6 x 13 2x  1 7suy y’0 hàm sốđồng biến (loại) Với 3   x 2x 1 11suy y’0 hàm sốđồng biến (loại) Với x 6 2x 1 11suy y’0 hàm sốđồng biến (loại)

Với      1 x 2x  1 nên ’(2f x 1)  3 x12  3 suy y’0

hàm số nghịch biến (nhận)

 Câu 34: Cho hàm số f x  có bảng xét dấu đạo hàm sau

Hàm số g x 3f x   2 x3 3x đồng biến khoảng đây?

A 1;  B  ; 1 C 1;0 D  0;

 Lời giải

Ta có      

3

g x  f x  x  

Với x  1;0  x  1;  fx20 lại có  

3 0, 1;0

x       y x Vậy hàm số g x  đồng biến khoảng 1;0

Chú ý:

+) Ta xét x  1;      1;  x  3;  fx 2 0;x2 3

Suy hàm số nghịch biến  1; nên loại hai phương án A, D

+) Tương tự ta xét

       

; 2 ;0 0; 0, ;

x      x  f x  x        y x Suy hàm số nghịch biến khoảng  ; 2 nên loại phương án B

 Câu 35: Cho hàm số f x  có đạo hàm, liên tục Hàm số y f x có đồ thịnhư hình

sau

Hàm số    

3

2

g x  f x   x  x đồng biến khoảng đây?

A  3; 1  B  0;1 C 1;1 D 1;3

2        Lời giải

Chọn D

Ta có g x 6 x fx2 2 6x36x6x f x2 2 x21

   

0

2

x g x

f x x

      

   



Đặt      

2 1

Từđồ thị, ta có   1 t f t t

t         



 (t 1 nghiệm đơn t1 nghiệm kép)

   

2

2

1

2

3

x x

f x x

x x

 

    



       

 

  



Suy  

0

0

3 x

g x x

x        

   

(x0,x 1 nghiệm đơn x  3là nghiệm kép)

Bảng xét dấu g x 

(vì

2 4

g   f  

      )

Vậy hàm sốđồng biến khoảng 1; 0 1; 

 Câu 36: Cho hàm số yax5bx4cx3dx2 ex f với a b c d e f, , , , , số thực, đồ thị hàm số y f x hình vẽ Hàm số y f 1 2 x2x21 đồng biến

khoảng sau đây?

x y

2

3 1

A 3;   

 

  B

1 ; 2  

 

  C 1;0 D  1;3  Lời giải

Chọn C

x y

2

3 1

1

3 O

Cách 1: Ta có: g x  f 1 2 x2x2 1 g x  2f1 2 x4 x

Có: g x   0 2f1 2 x4x 0 f ' 2  x 2 (1).x

Đặt t 1 ,x bất phương trình  1 trở thành f t  t

Vẽđường thẳng y x Trên đồ thị, ta thấy đường thẳng y x nằm đồ thị hàm số f x khoảng  1;3  f t        t 1 t 1 2x    3 x

Vậy hàm số g x  đồng biến khoảng 1; 

Cách 2: Ta có: g x  f 1 2 x2x2 1 g x  2f1 2 x4 x

Có g x  0 f ' 2  x 2 x  f ' 2  x (1 ) 1.x 

Xét sựtương giao đồ thị hàm số y f ' t y t 1,t 1 2x

Từđồ thị ta có '  1

3       



t f t t

t Khi  

1

'

1

  

 

  

   

 

x x

g x

x x

Ta có bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu ta thấy hàm sốđồng biến khoảng 1; 

Cách 3: Cách trắc nghiệm

Ta có: g x  f 1 2 x2x2  1 g x  2f1 2 x4 x

Ta thửcác đáp án

Thử Chọn A Chọn 1, 25 3; ' 1, 25 ' 3,5 

x       g    f 

 

Nhìn đồ thị f ' x ta thấy f ' 3,5  0 g'1, 25 0 loại đáp án A Thử đáp án B: Chọn x0, 25  1; g' 0, 25  2 ' 0,5f  1

Nhìn đồ thị f ' x ta thấy f ' 0,5  0 g' 0, 25  0 loại đáp án B. Thử đáp án C: Chọn x 0,5  1;0g'0,5 2 ' 2f  2

Nhìn đồ thị f ' x ta thấy f ' 2   0 ' 2f   0 g'0,5 0 Chọn đáp án C. Thử đáp án D: Chọn x 2  1;3 g' 2  2 'f   3

Nhìn đồ thị f ' x ta thấy f '    3 'f    3 g' 2  0 loại đáp án D.

 Câu 37: Cho hàm số y f x  có đạo hàm f x có đồ thịnhư hình

Hàm số g x  f 3x 1 27x354x227x4 đồng biến khoảng đây?

A 0;2

3

 

 

  B

2 ;3

 

 

  C  0;3 D 4;  Lời giải

Chọn D

Cách 1:

Ta có: g x  f 3x 1 3x133 3 x12g x' 3f ' 3 x 1 3x122 3 x1

Có g' x  0 f ' 3 x 1 3x122 3 x1 (1).

Đặt t3x1, bất phương trình  1 trở thành f ' t  t2 2t

Suy  

0

1 1

' 4

3 3

3

x

t x

f t t t

t x x

      

  

    



   

  

Vậy hàm số g x  đông biến khoảng ; 0 4;  

 

 

Cách 2:

Ta có: g x  f 3x 1 3x133 3 x12g x' 3f ' 3 x 1 3x122 3 x1

Có: g' x  0 f ' 3 x 1 3x122 3 x1 

Xét sựtương giao đồ thị hàm số y f ' t y t2 t,t3x1 

Từđồ thị ta có:  

       

  

2

1

' 1( )

3

t

f t t t t nghiệm kép

t

Khi  

 

    

 

     



   

 

 1

2

' 1 ( )

3

3 3

x x

g x x x nghiệm kép

x x

Ta có bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu ta thấy hàm sốđồng biến khoảng ; 0 3;  Câu 38: Cho hàm số f x( ) liên tục có f( 1) 0 có đồ thị hàm số y f x( )

hình vẽ

Hàm số y (f x 1) x2 đồng biến khoảng

A 3; B 1; 2 C 0; D  0;3

 Lời giải

Chọn D

Dựa vào đồ thị hàm số y f x( ) vàđồ thị hàm số y x ta có:

( ) ( 1) ( 1) 1

g x   f x   x         x x

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số

2 ( 1)

y f x x đồng biến khoảng  0;3

 Câu 39: Cho hàm số f x  Hàm số y f x có đồ thịnhư hình sau

Hàm số g(x)3f(12x)8x3 21x2 6x đồng biến khoảng đây?

A  1;2 B 3;1 C  0;1 D 1;2

 Lời giải

Chọn A

Ta có g'(x)6f'(12x)24x242x6 (*) ) ( ' ) (

' x   f  x  x2  x g

Đặt

2

1 xt x t

Ta có (*) trở thành

2 3 )

( '

1 ) (

'

2

   

         

 t t f t t t

t f

Ta vẽ parapol

2 3 :

)

(P y x2  x hệ trục Oxy với đồ thị y f x hình

vẽsau ( đường nét đứt), ta thấy (P) có đỉnh )

16 33 ; ( 

I qua điểm

Từđồ thị hàm số ta thấy khoảng 3;1ta có

3 )

(

' t t2  t  t f

2

1

3      

 x x

Vậy hàm số g(x) nghịch biến khoảng (1;2)

 Câu 40: Cho hàm số y f x  liên tục có đạo hàm f x thỏa mãn:

   2 

1

f x  x x Hàm số y3f x   3 x3 12x nghịch biến khoảng sau đây?

A  1;5 B 2;  C 1;0 D  ; 1

 Lời giải

Chọn B

Ta có:    2 

1

f x  x x suy f    x 3 1 x 3 2 x 3 5

x 4x 2x 2

    

Mặt khác:  

3 3 12

y f x  x       

3 x x x x          

   

3 x x x

    

Xét y 0  3x2x2x 5 2

x x

    

  



Vậy hàm số y3f x   3 x3 12x nghịch biến khoảng  5; 2 2; 

 Câu 41: Cho hàm số y f x , hàm số f x x3ax2 bx c a b c , ,   có đồ thịnhư hình vẽ

Hàm số g x  f f  x  nghịch biến khoảng đây?

A 1;. B  ; 2 C 1;0 D 3;

3

 



 

 

Chọn B

Vì điểm 1;0 , 0;0 , 1;0     thuộc đồ thị hàm số y f x nên ta có hệ:

   

1 0

0 ''

1 0

a b c a

c b f x x x f x x

a b c c

                              

Ta có: g x  f f  x g x  f f  x  ''f  x

Xét            

3 3

0 '

1 x x x x

g x g x f f x f x f x x x

x x x                               1, 325 1, 325 3 x x x x x                  

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên g x  nghịch biến  ; 2

 Câu 42: Cho hàm số y f x  có đạo hàm f ' x x22x  3, x Có giá trị

nguyên tham số m thuộc đoạn 10; 20 để hàm số g x  f x 23x m m21

đồng biến  0; ?

A 16. B 17. C 18. D 19

 Lời giải

Chọn C

Ta có    

' *

1 t f t t t

t          



Có g x'   2x3 f 'x2 3x m

Vì 2x   3 0, x  0; nên g x  đồng biến  0; g x'   0, x  0;

   

' 0, 0;

f x x m x

              2 2

3 3, 0; 3, 0;

3 1, 0; 1, 0;

x x m x x x m x

x x m x x x m x

            

 

         

 

  (**)

Có h x x23x ln đồng biến  0; nên từ (**)  10 13

1

Vì m  10; 20

m   

 

 

 Có 18 giá trị tham sốm

Vậy có 18 giá trị tham sốm cần tìm

 Câu 43: Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục đồ thị hàm số y f ' x

như hình vẽ

Đặt     1 12 2019

2

g x  f x m  x m   với m tham số thực Gọi S tập giá trị

nguyên dương m để hàm số yg x  đồng biến khoản  5;6 Tổng phần tử

của S bằng:

A 4 B 11 C 14 D 20

 Lời giải

Chọn C

Ta có g x'  f 'x m    x m 1

Đặt h x  f '  x  x 1 Từđồ thị y f ' x đồ thị y x hình vẽ ta suy

  1

3 x h x

x    

    

Ta có '    1 1

3

x m m x m

g x h x m

x m x m

       

 

    

   

 

Do vậy, hàm số yg x  đồng biến khoảng  5;6 5 6 m m m m m                  

Do m nguyên dương nên m1; 2;5;6, tức S 1; 2;5;6

Tổng phần tử S 14

 Câu 44: Cho hàm số y f x  hàm đa thức có đồ thị hàm số y f x hình vẽ

Có giá trị nguyên tham số m, m Z, 2020 m 2020 để hàm số

   2 2

6

g x  f x mx x  x 

  đồng biến khoảng 3; 0

A 2021 B 2020 C 2019 D 2022

 Lời giải

Chọn B

Ta có    2  

2

g x  xf x  mx x  x

Hàm số g x  đồng biến khoảng 3; 0 suy g x    0, x  3;0

 2      2    

2xf x 4mx x 2x3    0, x 3;0  f x 2m  x 2x3    0, x 3;0

 2       2   

2

2 , 3;0 , 3;0

2

f x

f x m x x x m x

x x                         2 3;0 max

2

f x m x x       

Ta có  2

3 x 0 x f x

         dấu “”

1

x    x

 2  

2

2 4, 3;0

x x x x x x

               

2

1

,

x x

 

   dấu “” x 1

Suy  

 

2

2

3 2.4

2

f x

x x

  

 

   ,   x  3;0, dấu “” x 1

      2 3;0 max

2

Vậy

8

m  , mà m , 2020 m 2020 nên có 2020 giá trị tham số m thỏa mãn toán

 Câu 45: Cho hàm số f x  Hàm số y f x có đồ thịnhư hình sau

Có tất giá trịngun dương tham số m đề hàm số

2020 ) ( )

(x  f xm x2 mx

g đồng biến khoảng (1;2)

A 2 B 3 C 0 D 1

 Lời giải

Chọn A

Ta có g'(x)4f'(xm)2x2m

(*) ) ( ' ) (

' x f x m x m

g     

Đặt t xm

2 ) ( '

(*) f t t

Vẽđường thẳng

2

x

y hệ trục Oxy với đồ thị y f x hình vẽ sau

Từđồ thị ta có 

                  4 2 ) ( ' m x m x m t t t t f

Hàm số g(x) đồng biến khoảng (1;2) g'(x)0 x 1;2                   3 2 m m m m m

Vì mnguyên dương nên m 2;3

Vậy có hai giá trịnguyên dương m đề hàm số g(x) đồng biến khoảng (1;2)

 Câu 46: Cho hàm số f x  có đạo hàm f  x  x1x1x4 ;  x Có

số nguyên m2020 để hàm số  

1

x

g x f m

x



 

   



A 2018 B 2019 C 2020 D 2021  Lời giải

Chọn B

Ta có:  

 2

3

1

x

g x f m

x x             

Hàm số g x  đồng biến 2; 

 g x   0; x 2; 

 2  

3

0; 2;

1

x

f m x

x x                 

 0; 2; 

1

x

f m x

x             

Ta có: f x 0 x1x1x 4 0 

1 x x       

Do đó: 0; 2; 

1

x

f m x

x                      

1; 2;

1

1 4; 2;

1 x m x x x m x x                        

Hàm số  

1

x

h x m

x



 

 ; x2;  có bảng biến thiên:

Căn bảng biến thiên suy ra: Điều kiện  2 khơng có nghiệm m thỏa mãn

Điều kiện  1    m 1  m1,kết hợp điều kiện m2020 suy có 2019 giá trị

m thỏa mãn yêu cầu toán

Nhận xét: Có thể mở rộng tốn nêu sau:

Cho hàm số f x  có đạo hàm f  x  x1x1x4 ;  x Có số

nguyên m2020 để hàm số    

1

x

g x f h m

x



 

   



  đồng biến 2; 

 Câu 47: Cho hàm số y f x  có đạo hàm f '  x  x1ex, có giá trị nguyên tham số m đoạn 2019; 2019 để hàm số y g x  f  lnx mx2 mx2 nghịch biến  2

1;e

A 2018 B 2019 C 2020 D 2021

 Lời giải

Trên  2

1;e ta có g x'  ' lnf  x 2mx m lnx 2x 1m x

      

Để hàm sốy g x  nghịch biến  2

1;e      2

' ln 0, 1;

g x  x  x m  x e

   

 

2

2

ln 0, 1;

ln

, 1;

2

x x m x e

x

m x e

x

       

   



Xét hàm số   ln

2 x h x

x  

 trên 

2

1;e , ta có  

 2  2

1 ln

' 0, 1;

2

x x

h x x e

x

 

   

 , từđây