Đáp án HSG Toán học lớp 8 Thọ Xuân, Thanh Hóa 2017-2018 - Học Toàn Tập

Vì tam giác ABC vuông cân tại A và O là trung điểm của cạnh BC nên AO là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC.. - Các trường hợp khác tổ chấm thống nhất phương án chấm.[r]

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN THỌ XN

HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN KỲ THI CHỌN HSG CẤP HUYỆN

NĂM HỌC: 2017 - 2018 Ngày thi: 08 tháng năm 2018 (Hướng dẫn chấm có 04 trang)

Câu Nội dung Điểm

1.a

Ta có



 

   

  

 

    



 2 3 2 2 2 2

y x

3y 2x : 2y x

(2y) x

y xy x

y x P

   

   

  

 

  

 



  



2 2

2

2

y x

3y 2x : 2y

x

2y) 2y)(x (x

y xy x

) y xy y)(x (x

2 2

y x

3y 2x : 2y) x y

(x   



2

2

y x 3y 2x

y x 3y)

(2x 

 



1,0 0,5 0,5

1.b

Điều kiện:

2y x y; x 0; y 0;

x    

Ta có

x  y2 x2 2x y y2 62 262x y  x y 5 Vậy P = 52

= 25

0,5 0,5 0,5

1.c

Với x, y dương thỏa mãn điều kiện y;x 2y

3 x 0; y 0;

x    ta có:

1

y x xy

2        

 (vì x + y = 2) Dấu xảy x = y, mà x + y = Suy x = y = Vậy Px2y2 (xy)2 12 1

Vậy giá trị lớn biểu thức P x = y =

0,5 0,5 0,5

2.a

Gọi vận tốc xe buýt từ A đến C x (km/h; x > 3) vận tốc xe buýt từ C đến B (x - 3) (km/h)

Thời gian để xe buýt hết quãng đường AC

x 39

(h), thời gian để xe buýt hết quãng đường CB

3 21



x (h) Thời gian dừng lại sửa xe 15 phút =

(h) Theo giả thiết ta có phương trình

6 11 21 39

   

x

x

Giải x = 39 (thỏa mãn điều kiện ẩn); x = 19 36

(loại)

Vậy từ A tới C xe buýt với vận tốc 39km/h, suy thời gian để xe buýt hết quãng đường AC 39 : 39 = (giờ)

Do sáng xe buýt bị hỏng

0,25

2.b

ĐKXĐ: x1;x2;x3;x4 Ta có pttđ

3 x 3) (x x 2) (x x 4) (x x 1)

(x 2 2

               x 3 x x 2 x x 4 x x 1 x                 x x x x         x x x x         1) 2)(x (x x 3) 4)(x (x x       x 

 (thỏa mãn ĐKXĐ); (x+4)(x+3) = (x+2)(x+1) (*) Giải pt (*) ta x =

2

 (thỏa mãn ĐKXĐ) Vậy phương trình cho có tập nghiệm :

        0; S 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 3.a Ta có: n 2n 2n n 2n n 4n 2         

Vì n số nguyên nên 2n -1 số nguyên Do để 4n3

+ n + chia hết cho 2n2 + n + 2n2 + n + phải ước số

Mặt khác:

16 ) (n 2 n n n

2n2 2 

               

Do 2n2 + n + = 2n2 + n + = 2n2 + n + = Giải trường hợp suy ra: n = n = -1; n =1

Vậy giá trị n cần tìm n = 0; n = 1; n = -1

0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 3.b

Ta có : 3x2y22xy2x2y400

4x2 (x2y22xy2x2y1)41 (xy1)2 (2x)2 41

(3xy1)(yx1)41

Đặt:3xy1a yx1b Suy a b ước 41, có tích 41 Nhận thấy 41 số ngun tố, từ ta có trường hợp bảng sau :

a - 41 - 1 41

b - - 41 41

4 / ) (a b

x  - 10 10 - 10 10

4 / ) (    a b

y - 12 - 32 30 10

Vậy cặp số nguyên (x; y) cần tìm : ( 10; 12); (10; 32); ( 10;30); (10;10)   

4.a

Vì tam giác ABC vng cân A O trung điểm cạnh BC nên AO đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC Suy : OA = OC = OB

0 45 ACO

OAB 



Xét ∆OEA ∆OMC có : OA = OC

45 ACO

OAB 



AE = CM (gt)

Suy : ∆OEA = ∆OMC ( c g.c)

 OE = OM EOAMOC (1)

Vì AO đường trung tuyến tam giác cân ABC nên AO cũng đường cao Suy : AOBC

0 90 AOC MOC

AOM  



 (2)

Từ (1) (2) suy :

90 EOM AOE

AOM  



Vì OE = OM

90 EOM

 nên tam giác OEM vuông cân O

0,5

0,5 0,25 0,25 0,25 0,25

4.b

Vì ME // AN nên theo định lí Ta – lét, ta có :

(3) BM BE

MN  EA

Vì tam giác ABC cân A nên AB = AC, mà AE = CM nên BE = AM Do đó, (3) ta thay BE AM, thay EA MC, ta :

(4) BM AM

MN  MC

 AB // CN (theo định li Ta-lét đảo) Mà : ABAC CNAC

0,5 0,5

0,5 0,5

4.c

Từ ME // ANOMEOHA ( cặp góc đồng vị)

Mà

45 OME

 ( ∆OEM vuông cân O), suy :OHA450 ACBhay ACB

MHA

 Kết hợp với OMCAMH(đối đỉnh)

∆OMC đồng dạng với ∆AMH (g.g)

OM MC AM MH

  , kết hợp OMACMH(hai góc đối đỉnh)

0,25 0,25 0,25 0,25

A B

C O

E

M

∆OMA ∆CMH (c.g.c) OAM MHC (2)

Từ (1) (2) suy

90  

 



AHC MHA MHC , suy CH AN Xét tam giác AHC tam giác ACN có :AHCACN 900;HAC chung Suy : Tam giác AHC đồng dạng với tam giác CAN (g.g)

2

AH AC

AH AN AC AC AN

    ( không đổi )

0,25 0,25 0,25 0,25

5

Chứng minh :

2

a b c

bccaab (1)

Ta có :

1 1

a b c a b c

b c c a a b b c c a a b

     

          

           

1 1

3 ( )

a b c b c a c a b

a b c

b c c a a b b c c a a b

       

          

       

Đặt : x b c y;  c a z;  a b Suy : x, y, z > ta có :

1 1

( )

2

a b c

x y z

b c c a a b x y z

 

        

    

1

9 2

2

x y x z y z

y x z x z y

      

           

 

   

 

2 2

1 ( ) ( ) ( )

9

2 2

x y x z y z

xy xz yz

    

        

 

( (x y)2 (x z)2 (y z)2

xy xz yz

     

)

Vậy :

2

a b c

bccaab ( Dấu ‘=” xảy   a b c)

0,25 0,25

0,25

0,25

5

Chứng minh :

2 2

2 2 2

a b c a b c

b c c a a b

b c c a a b       (2)

- Thật vậy, vai trị a, b, c nên khơng tính tổng qt, ta giả sử : a b c

xét hiệu :

2 2

2 2 2

a b c a b c

b c c a a b

b c c a a b

   

     

         

 

 

2 2

2 2 2

a a b b c c

b c c a a b

b c c a a b

     

        

  

  

     

2 2 2 2 2 2

2 2 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )( )

a b ab a c ac b a ba b c bc c a ca c b cb

b c b c c a c a a b a b

        

  

- Hết - Chú ý:

- Các cách làm khác cho điểm tối đa, điểm thành phần giám khảo tự phân chia sở tham khảo điểm thành phần đáp án

- Đối với câu (Hình học): Khơng vẽ hình, vẽ hình sai khơng chấm. - Các trường hợp khác tổ chấm thống phương án chấm

2 2 2

2 2

2 2

2 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )( )

1

( )

( )( ) ( )( )

1

( )

( )( ) ( )( )

1

( )

( )( ) ( )(

ab a b ac a c ab a b bc b c ac a c bc b c

b c b c c a c a a b a b

ab a b

b c b c c a c a

bc b c

c a c a a b a b

ac a c

b c b c a b a

          

  

     

 

    

   

 

 

    

   

 

  

   b)

 



 



 

( Vì giá trị biểu thức ngoặc không âm a b c)

Vậy : 2

2 2 2

a b c a b c

b c c a a b

b c c a  a b      

Từ (1) (2) suy 2 2

2

2 2

2

b a

c a

c b c

b a b

a c a c

b c b

a

           

( Dấu ‘=” xảy   a b c)

0,25

0,25