Một số công thức giải nhanh phần thể tích khối chóp

Nối tâm của các mặt bên ta được khối lập phương có thể tích bằng V. Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD.[r]

MỘT SỐ CÔNG THỨC GIẢI NHANH PHẦN THỂ TÍCH KHỐI CHĨP

CT Cho hình chóp SABC với mặt phẳng



SAB



,



SBC





SAC



vng góc với đơi một, diện tích tam giác

, ,

SAB SBC SAC 1,S ,S2

S

Hình vẽ Thể tích

1

2 S S S ABC

S

V 

CT Cho hình chóp S.ABC có

SA vng góc với



ABC



, hai mặt phẳng



SAB





SBC



vng góc với nhau, BSC,



ASB 

3

.sin tan 12

S ABC

SB

V   

CT Cho hình chóp

S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh bằng a, cạnh bên

bằng b

2 2

3 12 S ABC

a b a

V  

Khi a b tứ diện

3

2 12 S ABC

a

V 

CT Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a mặt bên tạo với mặt phẳng đáy góc 

3

tan 24 S ABC

a

V  

CT Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh bên

b cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc 

3

3 sin cos S ABC

b

V   

CT Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy

a, cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc 

3

.tan 12 S ABC

a

V  

C S

A

B

B

C A

S

B S

A C

CT Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh bằng a,

SA SB SC SD b   

2 2

4 S ABC

a b a

V  

Khi chóp tứ giác có tất cạnh a

3

2 S ABC

a

V 

CT Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc tạo mặt bên mặt phẳng đáy 

3

.tan S ABCD

a

V  

CT Cho hình chóp tứ giác

S.ABCD có cạnh đáy bằng a,

SAB



, với ;     

  . tan2

6 S ABCD

a

V  

CT 10 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh bên bằng a, góc tạo mặt bên mặt đáy  với    

0;2





3

3

2 tan tan S ABCD

a

V 





 CT 11 Cho hình chóp tam giác

đều S.ABC có cạnh đáy a

Gọi

 

P mặt phẳng qua A

song song với BC vng góc với



SBC



, góc

 

P với mặt phẳng đáy 

3

cot 24 S ABCD

a

V  

O B

D A

S

C M

x

N

C A

S

B

F

CT 12 Khối tám mặt có đỉnh tâm mặt hình lập

phương cạnh a

a V 

CT 13 Cho khối tám mặt

đều cạnh a Nối tâm mặt bên ta khối lập

phương

3

2 2

3 27

a a

V     

LỜI GIẢI CHI TIẾT

CT Cho hình chóp SABC với mặt phẳng



SAB

 

, SBC

 

, SAC



vng góc với

nhau đơi một, diện tích tam giác SAB SBC SAC, , S1,S ,S2 3 Thể tích khối chóp SABC

là: . S S1 3 S ABC

S

V 

Lời giải







AS SBC

3 

VSABC  S SBC SA SA SB SC

2 2

1

6 SA SB SC SA SB SB SC SA SC

 

1 3

2

2 2

6

S S S

S S S

 

Áp dụng:Cho hình chóp SABC với mặt phẳng



SAB

 

, SBC

 

, SAC



vuông góc với

nhau đơi một, diện tích tam giác SAB SBC SAC, , 15cm2,20cm2,18cm2Thể tích khối chóp SABC

A. a3 20 B.

3 20

a

C.

3 20

a

D.

3 20

a

1 3

20

ABCD

S S S

V  a Chọn đáp án A

O1

O3

O4 O2

O O'

A B

C D

B'

C' D'

A'

B

D A

S

C

S'

N G2

M G1

C S

A

CT Cho hình chóp SABC có SA vng góc với mặt phẳng



ABC



, hai mặt phẳng



SAB



và



SBC



vng góc với nhau, BSC ,ASB Thể tích khối chóp SABC

.sin tan 12

S ABC

SB

V   

Lời giải

+SABvuông A có : AB SB sin, SA SB cos +SBCvng B có :

.tan 

BC SB  1

.sin tan

2



S ABC  AB BC SB  

2

1 1

.sin tan cos

3

S ABC ABC

V  S SA SB  SB 

3.sin tan 12

SB  



Áp dụng: Cho hình chóp SABC có SA vng góc với mặt phẳng



ABC



, hai mặt phẳng



SAB



và



SBC



vng góc với nhau, SB a 3, 45o

BSC , 30o

ASB Thể tích khối chóp SABC A.

3

a

B. 6

a

C. 2

a

D. 3

a

3

.sin tan

12

S ABC

SB a

V      Chọn đáp án A.

CT Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cạnh bằng a, cạnh bên b Thể tích khối chóp S.ABC là

2 2

3 12 a b a

Lời giải

Gọi G trọng tâm ABC SG



ABC



ABC



2

a AM

 

3

a AG

 

SGA

 vng G có:

2 2

2 2

3

a b a

SG SA AG  b   

Vậy

2 2 2

1 3

3 12

SABC ABC

a b a a b a

V  S SG   

Khi a b

3 2 12 SABC

a V

 

B

C A

S

C A

S

B

Áp dụng:Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cạnh bằng a, cạnh bên a Thể tích khối chóp S.ABC là

A. 3

24

a

B. 2

12

a

C. 2

24

a

D. 3

12

a

 Chọn đáp án B

CT Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a mặt bên tạo với mặt phẳng đáy góc  Thể tích khối chóp S.ABC là

3 tan

24

a 

A.

3 48

a

B.

24

a

C.

3 24

a

D.

12

a

Lời giải

+ ABCđều SABC  a

2

+ Gọi G là trọng tâm ABC SG



ABC





 





SBC , ABC



SMG 

  

Xét SGM vuông G có :

1 3.tan

.tan tan

3

a

SG GM SMG AM   

Vậy

2

1 3.tan tan

3 24

SABC ABC

a a a

V  S SG   

Áp dụng:Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a mặt bên tạo với mặt phẳng đáy góc 600 Thể tích khối chóp S.ABC là

A. 3

48

a

B.

24

a

C. 3

24

a

D.

12

a

3

tan

24 24 SABC

a a

V     Chọn đáp án C

CT Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh bên b tạo với mặt phẳng đáy góc  Thể tích khối chóp S.ABC là

3

3 sin cos

b  

C A

S

B

Lời giải

+ Gọi G là trọng tâm ABC SG



ABC



Xét SGA vng G có:

.sin sin SG SA  b 

.cos

AG SA  3 cos

2

b

AM AG 

  

+ ABC AM AB

2

3 cos

AB AM b 

  





2 3 2 3 3 cos2 cos

4 4

ABC

AB b

S b  

   

Vậy

3

1 sin cos

3

SABC ABC

b

V  S SG  

CT Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a, cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc  Thể tích khối chóp S.ABC là

3 tan

12

a 

Lời giải

+ Gọi G là trọng tâm ABC SG



ABC



Xét SGA vng G có :

2

.tan tan

SG AG  AM 

  

+ ABC AM AB

2 3.tan

.tan

3

a

SG AB  

  

Vậy

2

1 3.tan tan

3 12

SABC ABC

a a a

V  S SG   

Áp dụng:Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a, mặt bên tạo với mặt phẳng đáy góc 30 Thể tích khối chóp S.ABC là

A.

48

a

B.

3 24

a

C.

3 24

a

D.

3 36

a

3tan 3 12 36 SABC

a a

V     Chọn đáp án D

B S

A C

M G

B S

A C

CT Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh bằng a, SA SB SC SD b    Thể tích khối chóp S.ABCD là

2 2

4

a b  a

Lời giải

 





ACBD O SO ABCD

Gọi M trung điểm AB

2

2 2

4

a

SM SA AM b

    

SOM

 vng O có:

2 2

2 2

4

a a b a

SO SM OM  b    

Vậy

2 2

1

3

SABCD ABCD

a b a

V  S SO 

Khi SA SB SC SD a   

3 2 SABCD

a V

 

Áp dụng:Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh bằng a, SA SB SC SD a    Thể tích khối chóp S.ABCD là

A.

6

a

B.

2

a

C.

2

a

D.

3

a

 Chọn đáp án C

CT Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc tạo mặt bên mặt phẳng đáy  Thể tích khối chóp S.ABCD là

3.tan

a 

Lời giải

 





ACBD O SO ABCD

Gọi M trung điểm CD



 





SCD ABCD



SMO 

 ,  

+ Tam giác SOM vng O có: a

SO OM tanSMO tan SABCD ABCD

a a

V  S SO a   

3

1 tan

.tan

3

Áp dụng:Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc tạo mặt bên mặt phẳng đáy 45 Thể tích khối chóp S.ABCD là

O

B S

D A

C

M

O

C S

A D

B

A.

12

a

B.

3

a

C.

6

a

D.

a

3tan

6

SABCD

a a

V     Chọn đáp án D

CT Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy bằng a, SAB



, với ;

4     

  Thể tích khối chóp S.ABCD là

3

tan

a 

Lời giải

 





ACBD O SO ABCD

Gọi M trung điểm AB SMA

 vuông M có: tan tan

2 a

SM AM SAB 

  

SOM

 vng O có:

2

2 tan

2

a a

SO SM OM      

   

2

tan

2

a 

 

3

2

1 tan

tan

3

SABCD ABCD

a a

V  S SO a   

Áp dụng: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy bằng a, SAB600 Thể tích khối chóp

S.ABCD là A.

3

12

a

B.

2

a

C.

6

a

D.

a

3

tan

6

SABCD

a a

V     Chọn đáp án B

O C

A D

S

CT 10 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh bên bằng a, góc tạo mặt bên mặt đáy  với   

0;2 Thể tích khối chóp S.ABCD là





3 tan tan

a 





Lời giải

 





ACBD O SO ABCD

Gọi M trung điểm CD



 





SCD ABCD



SMO

  

, 60

Gọi độ dài cạnh hình vng x

+ Tam giác SMC vuông M có: x SM SC CM  a 

2

2 2

4 + Tam giác SOM vng O có:

x

OM SM SMO a 

2

.cos

2

2 2

2 2

cos cos

2 4

x x x x

a a

   

      

 

a

a a

x  

 





   

  



2 2

2

2

2

4 cos 1 tan

1

1 cos tan

1

1 tan

a x

  

 2

2 tan ABCD

a S



 



2 tan Ta có: SO OM SMO x  a 



  

 tan tan tan

2 2 tan





SABCD ABCD

a a a

V S SO  

  

  

  

2

2 2 3

2

1 tan tan

3 tan 2 tan

3 tan

CT 11 Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a Gọi

 

P mặt phẳng qua A song song với BC vng góc với



SBC



, góc

 

P với mặt phẳng đáy  Thể tích khối chóp S.ABC

là

cot 24

a 

O

C S

A D

B

Lời giải

+ ABCđều SABC  a

2 3

+ Gọi G là trọng tâm ABC SG



ABC



+ Gọi

  

P  SBC



EFEF/ /BC

  

P SBC



Ax

   vớiAx/ /EF/ /BC

+ Gọi M là trung điểm BC, SMEFN Ta có: AMBC SG, BC





BC SAM AN BC AN Ax

     

Mà AMBC BC, / /AxAMAx

  





P ABC



NAM 

 ,  

Ta có: GSM NAM 



(cùng phụ với SMA)

Xét SGM vng G có : SG GM cotGSM1.AMcot

3

a a

SG  

  3.cot  3.cot

3

Vậy VSABC  SABCSG a a  a 

2

1 3.cot cot

3 24

Áp dụng: Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a Gọi

 

P mặt phẳng qua A song

song với BC vng góc với



SBC



, góc

 

P với mặt phẳng đáy 30 Thể tích khối chóp

S.ABC là:

A. a

3 3

24 B.

a3 3

8 C.

a3

D. a

3

8 Áp dụng này: VSABC a a

3

cot 30

24 24  Chọn đáp án A

x

N

C A

S

B

F

M G

CT 12 Khối tám mặt có đỉnh tâm mặt hình lập phương cạnh a tích

A.

3 12

a

B.

3 a

C.

a

D.

3 a

Lời giải

+ 2 3

2

BD a

O O  





1

2 2

2 O O O O

a

S O O

   .

Chiều cao khối chóp O O O O1 2 3 4 ' 2

OO a

h 

1 4

2 3

'

1

2

3 2 12 OO O O O O OO O O O

a a a

V V  

     

 

 Chọn đáp án C.

CT 13 Cho khối tám mặt cạnh a Nối tâm mặt bên ta khối lập phương tích V. Tỷ số

3

a

V gần giá trị giá trị sau?

A. 9,5 B. 7,8 C. 15,6 D. 22,6

Lời giải

+ 1 2 2

3 3

a

G G  MN BD

+

3

2 2

3 27

a a

V     

27 9,

a V

    Chọn đáp án A.

MỘT SỐ CÔNG THỨC GIẢI NHANH PHẦN TỈ LỆ THỂ TÍCH

Câu 1. Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy hình vng ABCD cạnh a, góc mặt bên mặt phẳng đáy  Mặt phẳng

 

P qua AC vng góc với mặt phẳng



SAD



chia khối chóp

S ABCD thành hai khối đa diện Tỉ lệ thể tích hai khối đa diện 2

cos  V

V 

O1

O3

O4 O2

O O'

A B

C D

B'

C' D'

A'

B

D A

S

C

S'

N G2

Lời giải:

Ta có:

2 2

2

cos

SD SN ND ON ND

SNO

   

2

1

1 cos

2 cos 2.cos

a a 

 

    Ta có :

1

2

SCD  

S CM SD SN CD

2

1

2 cos

1 cos cos

2.cos

   

 

a

a

SN CD a

CM

a SD



 



2

2 2

2 2

.cos cos 1 cos

     

 

a a

DM CD CM a 

 

2

2

.cos

1. . . 1. 1 cos cos

2 2 cos

1 cos 2.cos

MACD MACD SABCD SACD

a

V V DM DA DC DM

a

V V DS DA DC DS



 

 





    

 

2

2 2

cos cos

1

1 cos cos cos

 

      

    

MACD SABCD SABCM SABCD SABCD

V  V V  V V

   Vậy SABCMMACD cos2

V

V 

O B

D A

S