Nối tâm của các mặt bên ta được khối lập phương có thể tích bằng V. Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD.[r]
(1)MỘT SỐ CÔNG THỨC GIẢI NHANH PHẦN THỂ TÍCH KHỐI CHĨP
CT Cho hình chóp SABC với mặt phẳng SAB, SBC
SAC vng góc với đơi một, diện tích tam giác
, ,
SAB SBC SAC 1,S ,S2
S
Hình vẽ Thể tích
1
2 S S S ABC
S
V
CT Cho hình chóp S.ABC có
SA vng góc với ABC, hai mặt phẳng SAB SBC vng góc với nhau, BSC,
ASB
3
.sin tan 12
S ABC
SB
V
CT Cho hình chóp
S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh bằng a, cạnh bên
bằng b
2 2
3 12 S ABC
a b a
V
Khi a b tứ diện
3
2 12 S ABC
a
V
CT Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a mặt bên tạo với mặt phẳng đáy góc
3
tan 24 S ABC
a
V
CT Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh bên
b cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc
3
3 sin cos S ABC
b
V
CT Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy
a, cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc
3
.tan 12 S ABC
a
V
C S
A
B
B
C A
S
B S
A C
(2)CT Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh bằng a,
SA SB SC SD b
2 2
4 S ABC
a b a
V
Khi chóp tứ giác có tất cạnh a
3
2 S ABC
a
V
CT Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc tạo mặt bên mặt phẳng đáy
3
.tan S ABCD
a
V
CT Cho hình chóp tứ giác
S.ABCD có cạnh đáy bằng a,
SAB, với ;
. tan2
6 S ABCD
a
V
CT 10 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh bên bằng a, góc tạo mặt bên mặt đáy với
0;2
3
3
2 tan tan S ABCD
a
V
CT 11 Cho hình chóp tam giác
đều S.ABC có cạnh đáy a
Gọi P mặt phẳng qua A
song song với BC vng góc với SBC, góc P với mặt phẳng đáy
3
cot 24 S ABCD
a
V
O B
D A
S
C M
x
N
C A
S
B
F
(3)CT 12 Khối tám mặt có đỉnh tâm mặt hình lập
phương cạnh a
a V
CT 13 Cho khối tám mặt
đều cạnh a Nối tâm mặt bên ta khối lập
phương
3
2 2
3 27
a a
V
LỜI GIẢI CHI TIẾT
CT Cho hình chóp SABC với mặt phẳng SAB , SBC , SACvng góc với
nhau đơi một, diện tích tam giác SAB SBC SAC, , S1,S ,S2 3 Thể tích khối chóp SABC
là: . S S1 3 S ABC
S
V
Lời giải
AS SBC
3
VSABC S SBC SA SA SB SC
2 2
1
6 SA SB SC SA SB SB SC SA SC
1 3
2
2 2
6
S S S
S S S
Áp dụng:Cho hình chóp SABC với mặt phẳng SAB , SBC , SACvuông góc với
nhau đơi một, diện tích tam giác SAB SBC SAC, , 15cm2,20cm2,18cm2Thể tích khối chóp SABC
A. a3 20 B.
3 20
a
C.
3 20
a
D.
3 20
a
1 3
20
ABCD
S S S
V a Chọn đáp án A
O1
O3
O4 O2
O O'
A B
C D
B'
C' D'
A'
B
D A
S
C
S'
N G2
M G1
C S
A
(4)CT Cho hình chóp SABC có SA vng góc với mặt phẳng ABC, hai mặt phẳng
SABvà SBCvng góc với nhau, BSC ,ASB Thể tích khối chóp SABC
.sin tan 12
S ABC
SB
V
Lời giải
+SABvuông A có : AB SB sin, SA SB cos +SBCvng B có :
.tan
BC SB 1
.sin tan
2
S ABC AB BC SB
2
1 1
.sin tan cos
3
S ABC ABC
V S SA SB SB
3.sin tan 12
SB
Áp dụng: Cho hình chóp SABC có SA vng góc với mặt phẳng ABC, hai mặt phẳng SABvà SBCvng góc với nhau, SB a 3, 45o
BSC , 30o
ASB Thể tích khối chóp SABC A.
3
a
B. 6
a
C. 2
a
D. 3
a
3
.sin tan
12
S ABC
SB a
V Chọn đáp án A.
CT Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cạnh bằng a, cạnh bên b Thể tích khối chóp S.ABC là
2 2
3 12 a b a
Lời giải
Gọi G trọng tâm ABC SGABC
ABC
2
a AM
3
a AG
SGA
vng G có:
2 2
2 2
3
a b a
SG SA AG b
Vậy
2 2 2
1 3
3 12
SABC ABC
a b a a b a
V S SG
Khi a b
3 2 12 SABC
a V
B
C A
S
C A
S
B
(5)Áp dụng:Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cạnh bằng a, cạnh bên a Thể tích khối chóp S.ABC là
A. 3
24
a
B. 2
12
a
C. 2
24
a
D. 3
12
a
Chọn đáp án B
CT Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a mặt bên tạo với mặt phẳng đáy góc Thể tích khối chóp S.ABC là
3 tan
24
a
A.
3 48
a
B.
24
a
C.
3 24
a
D.
12
a
Lời giải
+ ABCđều SABC a
2
+ Gọi G là trọng tâm ABC SGABC
SBC , ABC SMG
Xét SGM vuông G có :
1 3.tan
.tan tan
3
a
SG GM SMG AM
Vậy
2
1 3.tan tan
3 24
SABC ABC
a a a
V S SG
Áp dụng:Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a mặt bên tạo với mặt phẳng đáy góc 600 Thể tích khối chóp S.ABC là
A. 3
48
a
B.
24
a
C. 3
24
a
D.
12
a
3
tan
24 24 SABC
a a
V Chọn đáp án C
CT Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh bên b tạo với mặt phẳng đáy góc Thể tích khối chóp S.ABC là
3
3 sin cos
b
C A
S
B
(6)Lời giải
+ Gọi G là trọng tâm ABC SGABC Xét SGA vng G có:
.sin sin SG SA b
.cos
AG SA 3 cos
2
b
AM AG
+ ABC AM AB
2
3 cos
AB AM b
2 3 2 3 3 cos2 cos
4 4
ABC
AB b
S b
Vậy
3
1 sin cos
3
SABC ABC
b
V S SG
CT Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a, cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc Thể tích khối chóp S.ABC là
3 tan
12
a
Lời giải
+ Gọi G là trọng tâm ABC SGABC Xét SGA vng G có :
2
.tan tan
SG AG AM
+ ABC AM AB
2 3.tan
.tan
3
a
SG AB
Vậy
2
1 3.tan tan
3 12
SABC ABC
a a a
V S SG
Áp dụng:Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a, mặt bên tạo với mặt phẳng đáy góc 30 Thể tích khối chóp S.ABC là
A.
48
a
B.
3 24
a
C.
3 24
a
D.
3 36
a
3tan 3 12 36 SABC
a a
V Chọn đáp án D
B S
A C
M G
B S
A C
(7)CT Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh bằng a, SA SB SC SD b Thể tích khối chóp S.ABCD là
2 2
4
a b a
Lời giải
ACBD O SO ABCD
Gọi M trung điểm AB
2
2 2
4
a
SM SA AM b
SOM
vng O có:
2 2
2 2
4
a a b a
SO SM OM b
Vậy
2 2
1
3
SABCD ABCD
a b a
V S SO
Khi SA SB SC SD a
3 2 SABCD
a V
Áp dụng:Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh bằng a, SA SB SC SD a Thể tích khối chóp S.ABCD là
A.
6
a
B.
2
a
C.
2
a
D.
3
a
Chọn đáp án C
CT Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc tạo mặt bên mặt phẳng đáy Thể tích khối chóp S.ABCD là
3.tan
a
Lời giải
ACBD O SO ABCD
Gọi M trung điểm CD
SCD ABCD SMO
,
+ Tam giác SOM vng O có: a
SO OM tanSMO tan SABCD ABCD
a a
V S SO a
3
1 tan
.tan
3
Áp dụng:Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc tạo mặt bên mặt phẳng đáy 45 Thể tích khối chóp S.ABCD là
O
B S
D A
C
M
O
C S
A D
B
(8)A.
12
a
B.
3
a
C.
6
a
D.
a
3tan
6
SABCD
a a
V Chọn đáp án D
CT Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy bằng a, SAB, với ;
4
Thể tích khối chóp S.ABCD là
3
tan
a
Lời giải
ACBD O SO ABCD
Gọi M trung điểm AB SMA
vuông M có: tan tan
2 a
SM AM SAB
SOM
vng O có:
2
2 tan
2
a a
SO SM OM
2
tan
2
a
3
2
1 tan
tan
3
SABCD ABCD
a a
V S SO a
Áp dụng: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy bằng a, SAB600 Thể tích khối chóp
S.ABCD là A.
3
12
a
B.
2
a
C.
6
a
D.
a
3
tan
6
SABCD
a a
V Chọn đáp án B
O C
A D
S
(9)CT 10 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh bên bằng a, góc tạo mặt bên mặt đáy với
0;2 Thể tích khối chóp S.ABCD là
3 tan tan
a
Lời giải
ACBD O SO ABCD
Gọi M trung điểm CD
SCD ABCD SMO
, 60
Gọi độ dài cạnh hình vng x
+ Tam giác SMC vuông M có: x SM SC CM a
2
2 2
4 + Tam giác SOM vng O có:
x
OM SM SMO a
2
.cos
2
2 2
2 2
cos cos
2 4
x x x x
a a
a
a a
x
2 2
2
2
2
4 cos 1 tan
1
1 cos tan
1
1 tan
a x
2
2 tan ABCD
a S
2 tan Ta có: SO OM SMO x a
tan tan tan
2 2 tan
SABCD ABCD
a a a
V S SO
2
2 2 3
2
1 tan tan
3 tan 2 tan
3 tan
CT 11 Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a Gọi P mặt phẳng qua A song song với BC vng góc với SBC, góc P với mặt phẳng đáy Thể tích khối chóp S.ABC
là
cot 24
a
O
C S
A D
B
(10)Lời giải
+ ABCđều SABC a
2 3
+ Gọi G là trọng tâm ABC SGABC + Gọi P SBCEFEF/ /BC
P SBC Ax
vớiAx/ /EF/ /BC
+ Gọi M là trung điểm BC, SMEFN Ta có: AMBC SG, BC
BC SAM AN BC AN Ax
Mà AMBC BC, / /AxAMAx
P ABC NAM
,
Ta có: GSM NAM (cùng phụ với SMA)
Xét SGM vng G có : SG GM cotGSM1.AMcot
3
a a
SG
3.cot 3.cot
3
Vậy VSABC SABCSG a a a
2
1 3.cot cot
3 24
Áp dụng: Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a Gọi P mặt phẳng qua A song
song với BC vng góc với SBC, góc P với mặt phẳng đáy 30 Thể tích khối chóp
S.ABC là:
A. a
3 3
24 B.
a3 3
8 C.
a3
D. a
3
8 Áp dụng này: VSABC a a
3
cot 30
24 24 Chọn đáp án A
x
N
C A
S
B
F
M G
(11)CT 12 Khối tám mặt có đỉnh tâm mặt hình lập phương cạnh a tích
A.
3 12
a
B.
3 a
C.
a
D.
3 a
Lời giải
+ 2 3
2
BD a
O O
1
2 2
2 O O O O
a
S O O
.
Chiều cao khối chóp O O O O1 2 3 4 ' 2
OO a
h
1 4
2 3
'
1
2
3 2 12 OO O O O O OO O O O
a a a
V V
Chọn đáp án C.
CT 13 Cho khối tám mặt cạnh a Nối tâm mặt bên ta khối lập phương tích V. Tỷ số
3
a
V gần giá trị giá trị sau?
A. 9,5 B. 7,8 C. 15,6 D. 22,6
Lời giải
+ 1 2 2
3 3
a
G G MN BD
+
3
2 2
3 27
a a
V
27 9,
a V
Chọn đáp án A.
MỘT SỐ CÔNG THỨC GIẢI NHANH PHẦN TỈ LỆ THỂ TÍCH
Câu 1. Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy hình vng ABCD cạnh a, góc mặt bên mặt phẳng đáy Mặt phẳng P qua AC vng góc với mặt phẳng SADchia khối chóp
S ABCD thành hai khối đa diện Tỉ lệ thể tích hai khối đa diện 2
cos V
V
O1
O3
O4 O2
O O'
A B
C D
B'
C' D'
A'
B
D A
S
C
S'
N G2
(12)Lời giải:
Ta có:
2 2
2
cos
SD SN ND ON ND
SNO
2
1
1 cos
2 cos 2.cos
a a
Ta có :
1
2
SCD
S CM SD SN CD
2
1
2 cos
1 cos cos
2.cos
a
a
SN CD a
CM
a SD
2
2 2
2 2
.cos cos 1 cos
a a
DM CD CM a
2
2
.cos
1. . . 1. 1 cos cos
2 2 cos
1 cos 2.cos
MACD MACD SABCD SACD
a
V V DM DA DC DM
a
V V DS DA DC DS
2
2 2
cos cos
1
1 cos cos cos
MACD SABCD SABCM SABCD SABCD
V V V V V
Vậy SABCMMACD cos2
V
V
O B
D A
S