Một số công thức giải nhanh phần thể tích khối chóp

MỘT SỐ CÔNG THỨC GIẢI NHANH PHẦN THỂ TÍCH KHỐI CHÓP Hình vẽ CT Cho hình chóp SABC với mặt phẳng  SAB  ,  SBC  SAC  Thể tích A vuông góc với đôi một, diện tích tam giác SAB, SBC , SAC S1 ,S ,S 2S1 S S VS ABC  S C B CT Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với  ABC  , hai mặt phẳng SAB S SBC  VS ABC vuông góc với nhau, BSC   , C A ASB   SB3 sin 2 tan   12 B CT Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, cạnh bên b a2 3b2  a2 VS ABC  12 Khi a  b tứ diện VS ABC  S CT Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a mặt bên tạo với mặt phẳng đáy góc  CT Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh bên b cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc  CT Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a, cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc  VS ABC  C A G M VS ABC  a3 12 a3 tan  24 3b3 sin  cos  B VS ABC a3 tan   12 CT Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA  SB  SC  SD  b VS ABC a 4b  a  Khi chóp tứ giác có tất S cạnh a VS ABC  CT Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, góc tạo mặt bên mặt phẳng đáy  CT Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a,    SAB   , với    ;  4 2 A D B C VS ABCD  CT 10 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh bên a, góc tạo mặt bên   mặt đáy  với    0;   2 a3 tan   4a3 tan  VS ABCD  CT 11 Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a Gọi  P  mặt phẳng qua A song song với BC vuông góc với  SBC  , góc  P  với mặt a3 tan  VS ABCD  M O a3   tan   S F VS ABCD  N A E C x G phẳng đáy  B M a3 cot  24 CT 12 Khối tám mặt có đỉnh tâm mặt hình lập phương cạnh a A' B' O' D' O1 C' V O2 O4 O3 A a3 B O D CT 13 Cho khối tám mặt cạnh a Nối tâm mặt bên ta khối lập phương C S G2 D A G1 a 2 2a3 V      27   N M C B S' LỜI GIẢI CHI TIẾT Cho hình chóp SABC với mặt phẳng SAB , SBC  , SAC  vuông góc với CT đôi một, diện tích tam giác SAB, SBC , SAC S1 ,S ,S Thể tích khối chóp SABC là: VS ABC  2S1 S S 3 Lời giải A 1 AS  SBC   VSABC  SSBC SA  SA.SB.SC 1  SA2 SB2 SC  SA.SB.SB.SC.SA.SC 6 2S1 S2 S3  2S1 2S2 2S3  S C B Áp dụng: Cho hình chóp SABC với mặt phẳng SAB , SBC  , SAC  vuông góc với đôi một, diện tích tam giác SAB, SBC , SAC 15cm2 ,20cm2 ,18cm2 Thể tích khối chóp SABC A a3 20 VABCD  2S1 S2 S3 B a 20  a3 20  Chọn đáp án A C a3 20 D a3 20 CT Cho hình chóp SABC có SA vuông góc với mặt phẳng  ABC  , hai mặt phẳng SAB SBC  vuông VS ABC  góc với nhau, BSC   , ASB   Thể tích khối chóp SABC SB3 sin 2.tan  12 Lời giải + SAB vuông A có : AB  SB.sin  , SA  SB.cos  + SBC vuông B có : 1 BC  SB.tan   SABC  AB.BC  SB2 sin  tan  2 1 VS ABC  SABC SA  SB2 sin  tan  SB.cos  3 SB sin 2 tan   12 S C A B Áp dụng: Cho hình chóp SABC có SA vuông góc với mặt phẳng  ABC  , hai mặt phẳng  SAB  SBC  vuông góc với nhau, SB  a , BSC  45o , ASB  30o Thể tích khối chóp SABC a3 B 3a A a3 C a3 D SB3 sin 2 tan  3a3 VS ABC    Chọn đáp án A 12 CT Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, cạnh bên b Thể tích khối chóp S.ABC a2 3b2  a2 12 S Lời giải Gọi G trọng tâm ABC  SG   ABC  a a  AG  SGA vuông G có: ABC  AM  a2 3b2  a2 SG  SA  AG  b   3 2 G 1 a2 3b2  a2 a2 3b2  a2  Vậy VSABC  SABC SG  3 12 Khi a  b  VSABC  C A a3 12 B M Áp dụng: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, cạnh bên a Thể tích khối chóp S.ABC a3 a3 a3 a3 A B C D 24 12 24 12  Chọn đáp án B CT Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a mặt bên tạo với mặt phẳng đáy góc  Thể tích khối chóp S.ABC a3 A 48 Lời giải a tan  24 a3 C 24 a3 B 24 D a3 12 S a2 + Gọi G trọng tâm ABC  SG   ABC  + ABC  SABC     SBC  ,  ABC   SMG   G a 3.tan  SG  GM.tan SMG  AM tan   Vậy VSABC C A Xét SGM vuông G có : M B 1 a2 a 3.tan  a3 tan   SABC SG   3 24 Áp dụng: Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a mặt bên tạo với mặt phẳng đáy góc 600 Thể tích khối chóp S.ABC a3 A 48 VSABC  a3 B 24 a3 C 24 a3 D 12 a3 tan  a3   Chọn đáp án C 24 24 CT Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh bên b tạo với mặt phẳng đáy góc  Thể tích khối chóp S.ABC 3b3 sin  cos  Lời giải S + Gọi G trọng tâm ABC  SG   ABC  Xét SGA vuông G có: SG  SA.sin   b.sin  3b.cos  AG  SA.cos   AM  AG  2  SABC  Vậy VSABC  C A AB + ABC  AM  2  AB  AM  3b.cos  G M B  AB2 3 3b2 cos   3b.cos   4 3b sin  cos   SABC SG  CT Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a, cạnh bên tạo với a3 tan  12 mặt phẳng đáy góc  Thể tích khối chóp S.ABC Lời giải S + Gọi G trọng tâm ABC  SG   ABC  Xét SGA vuông G có :  SG  AG.tan   AM.tan  + ABC  AM  AB C A G a 3.tan   SG  AB.tan   3 M B 1 a2 a 3.tan  a3 tan   Vậy VSABC  SABC SG  3 12 Áp dụng: Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a, mặt bên tạo với mặt phẳng đáy góc 30 Thể tích khối chóp S.ABC A VSABC  a3 48 B a3 24 a3 tan  a3   Chọn đáp án D 12 36 C a3 24 D a3 36 CT Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, a 4b  a SA  SB  SC  SD  b Thể tích khối chóp S.ABCD Lời giải S AC  BD  O  SO   ABCD  Gọi M trung điểm AB  SM  SA2  AM  b2  SOM vuông O có: a2 D a2 a2 4b  a SO  SM  OM  b2    4 M O a 4b  a Vậy VSABCD  SABCD SO  Khi SA  SB  SC  SD  a  VSABCD  A C B a3 Áp dụng: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA  SB  SC  SD  a Thể tích khối chóp S.ABCD a3  Chọn đáp án C A CT B a3 C a3 D a3 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, góc tạo mặt bên mặt phẳng đáy  Thể tích khối chóp S.ABCD Lời giải AC  BD  O  SO   ABCD  a3 tan  S Gọi M trung điểm CD    SCD  ,  ABCD   SMO   + Tam giác SOM vuông O có: A D a SO  OM.tan SMO  tan  M O 1 a a3 tan  VSABCD  SABCD SO  a tan   B C 3 Áp dụng: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, góc tạo mặt bên mặt phẳng đáy 450 Thể tích khối chóp S.ABCD a3 B a3 A 12 VSABCD  a3 C a3 D a3 tan  a3   Chọn đáp án D 6 CT Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, SAB   , với    a3 tan      ;  Thể tích khối chóp S.ABCD   Lời giải S AC  BD  O  SO   ABCD  Gọi M trung điểm AB SMA vuông M có: a.tan   SM  AM.tan SAB  SOM vuông O có: D  a.tan    a  SO  SM  OM        2 a  tan   2 A M O C B 1 a a3 tan   VSABCD  SABCD SO  a2 tan    3 Áp dụng: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, SAB  600 Thể tích khối chóp S.ABCD A VSABCD  a3 12 B a3 C a3 tan   a3   Chọn đáp án B 6 a3 D a3 CT 10 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh bên a, góc tạo mặt   bên mặt đáy  với    0;  Thể tích khối chóp S.ABCD  2 Lời giải 4a tan    tan   S AC  BD  O  SO   ABCD  Gọi M trung điểm CD    SCD  ,  ABCD   SMO  600 Gọi độ dài cạnh hình vuông x + Tam giác SMC vuông M có: x2 SM  SC  CM  a  + Tam giác SOM vuông O có: 2 A D M O B C x x2 x2  x2  x2   cos  a2     a   cos2  OM  SM.cos SMO  a2    4a2 2 4a cos  4a2 2a 4a2  tan  x    x  SABCD  1  cos   tan   tan   tan  1  tan  x a.tan  Ta có: SO  OM.tan SMO  tan   2  tan  1 4a2 a.tan  4a3 tan  VSABCD  SABCD SO   3  tan   tan   tan    CT 11 Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a Gọi  P  mặt phẳng qua A song song với BC vuông góc với  SBC  , góc  P  với mặt phẳng đáy  Thể tích khối chóp S.ABC a3 cot  24 Lời giải S + ABC  SABC  a F + Gọi G trọng tâm ABC  SG   ABC  N + Gọi  P   SBC   EF  EF / / BC A   P   SBC   Ax với Ax / / EF / / BC E C x G + Gọi M trung điểm BC, SM  EF  N Ta có: AM  BC , SG  BC  BC  SAM   AN  BC  AN  Ax M B Mà AM  BC , BC / / Ax  AM  Ax     P  ,  ABC   NAM   Ta có: GSM  NAM   (cùng phụ với SMA ) Xét SGM vuông G có : a a 3.cot  cot   SG  GM.cot GSM  AM cot   SG  1 a2 a 3.cot  a3 cot   Vậy VSABC  SABC SG  3 24 Áp dụng: Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a Gọi  P  mặt phẳng qua A song song với BC vuông góc với  SBC  , góc  P  với mặt phẳng đáy 30 Thể tích khối chóp S.ABC là: A a3 24 Áp dụng này: VSABC B a3 C a3 a3 cot 300 a3    Chọn đáp án A 24 24 D 3a CT 12 Khối tám mặt có đỉnh tâm mặt hình lập phương cạnh a tích A a3 12 B a3 C a3 Lời giải D a3 A' B' O' 2 BD a a   SO1O2O3O4   O2O3   2 OO ' a  Chiều cao khối chóp O1O2O3O4 h  2 + O2O3  D' O1 O2 O4  VOO1O2O3O4O '  2VOO1O2O3O4 C'  a  a a3       12 A O3 B O  Chọn đáp án C D C CT 13 Cho khối tám mặt cạnh a Nối tâm mặt bên ta khối lập phương tích a3 V Tỷ số gần giá trị giá trị sau? V A 9, B 7,8 C 15,6 D 22,6 Lời giải + G1G2  S a MN  BD  3 3 G2 a 2 2a3 + V     27   a3 27    9,  Chọn đáp án A V D A G1 N M C B S' MỘT SỐ CÔNG THỨC GIẢI NHANH PHẦN TỈ LỆ THỂ TÍCH Câu Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình vuông ABCD cạnh a, góc mặt bên mặt phẳng đáy  Mặt phẳng  P  qua AC vuông góc với mặt phẳng  SAD  chia khối chóp S.ABCD thành hai khối đa diện Tỉ lệ thể tích hai khối đa diện V1  cos  V2 Lời giải: Ta có: S SD  SN  ND2  ON cos SNO  ND M a a 1  cos   Ta có : 2 cos  2.cos  1 SSCD  CM.SD  SN.CD 2  SN.CD  CM   SD a a cos  a cos   2.cos   DM  CD2  CM  a2   A D N O B C a  cos  a2 a.cos    cos   cos  a.cos  VMACD V DM DA DC DM  MACD    VSABCD 2.VSACD DS DA DC DS  VMACD   cos  a  cos  2.cos   cos   cos   V cos2  cos2   V  V   VSABCD Vậy MACD  cos    VSABCD  SABCD SABCM 2 VSABCM  cos   cos    cos   ...    27   a3 27    9,  Chọn đáp án A V D A G1 N M C B S' MỘT SỐ CÔNG THỨC GIẢI NHANH PHẦN TỈ LỆ THỂ TÍCH Câu Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình vuông ABCD cạnh a, góc mặt bên mặt...   N M C B S' LỜI GIẢI CHI TIẾT Cho hình chóp SABC với mặt phẳng SAB , SBC  , SAC  vuông góc với CT đôi một, diện tích tam giác SAB, SBC , SAC S1 ,S ,S Thể tích khối chóp SABC là: VS ABC... góc với đôi một, diện tích tam giác SAB, SBC , SAC 15cm2 ,20cm2 ,18cm2 Thể tích khối chóp SABC A a3 20 VABCD  2S1 S2 S3 B a 20  a3 20  Chọn đáp án A C a3 20 D a3 20 CT Cho hình chóp SABC