Hình học không gian

- Với những khối chóp ta xác định được đường cao một cách tương đối dễ thì nên áp dụng.. cách này.[r]

CHUYÊN ĐỀ 8:

Các yếu tố tam giác cần nắm vững

+ Với tam giácABCvng tạiAcó đường cao AHkhi

2 2 2

; ; ;

BC  AB AC AB BH BC AC CH BC 2 12 12 AH  AB  AC

+ Với tam giác ABCcó cạnh a b c, , độ dài trung tuyến m m ma, b, cvà có bán kính đường trịn ngoại tiếp R, bán kính đường trịn nội tiếp r, nửa chu vi pkhi

Định lý cosin:

2 2 2 2 2

cos , cos , cos

2 2

b c a c a b a b c

A B C

bc ca ab

     

  

Từđó tính được: sinA 1cos2A,sin , sin B C

Định lý hàm số sin:

sin sin sin

a b c

R A B  C  Độdài đường trung tuyến:

 2  2  2

2 2 2

; ;

4 4

a b c

b c a c a b a b c

m    m    m   

Diện tích tam giác:

1 1

2 a b c

S  a h  b h  c h

1 1

sin sin a sin

2 2

S  ab C  bc A c B

   

4

abc

S pr p p a p b p c

R

     

Với tam giác cạnh athì có diện tích

2

3

a S

Diện tích hình thang 1 

2

Tứgiác có hai đường chéo vng góc với

ABCD

S  AC BD

Các cơng thức tính thể tích

+ V (khối hộp chữ nhật)abc( với a b c, , ba kích thước hình hộp chữ nhật) + V (khối chóp)

3dt

 (đáy).chiều cao + V (khối lăng trụ)dt(đáy).chiều cao + V (khối cầu)

3R 

Phương pháp xác định chiều cao khối chóp

Loại 1: Khối chóp có cạnh vng góc với đáy chiều cao khối chóp

Loại 2: Khối chóp có mặt bên vng góc với đáy đường cao đường kẻ từ đỉnh khối chóp đến giao tuyến mặt bên với đáy khối chóp

Loại 3: Khối chóp có hai mặt bên kề vng góc với đáy đường cao giao tuyến hai mặt bên

Loại 4: Khối chóp có cạnh bên tạo với đáy góc đường cao đường kẻ từđỉnh khối chóp đến tâm vịng trịn ngoại tiếp đáy

Loại 5: Khối chóp có mặt bên tạo với đáy góc đường cao đường kẻ từđỉnh đến tâm vịng trịn nội tiếp đáy

Loại 6: Khối chóp có hai mặt bên tạo với đáy góc chân đường cao khối chóp hạ từđỉnh nằm đường phân giác góc tạo hai cạnh nằm mặt đáy hai mặt bên Chẳng hạn khối chóp S ABCD có hai mặt bên SACvà SABcùng tạo với đáy góc 

khi chân đường cao khối chóp hạ từđỉnh Snằm đường phân giác góc BAC Loại 7: Khối chóp có hai cạnh bên tạo với đáy góc chân đường cao hạ từ đỉnh khối chóp nằm đường trung trực nối hai giao điểm hai cạnh bên với đáy Chẳng hạn khối chóp S ABCD có cạnh SBSDkhi chân đường cao khối chóp hạ từđỉnhSnằm đường trung trực BD

+ Tính thể tích khối chóp thơng qua cơng thức V (khối chóp) 3dt

 (đáy).chiều cao

+ Tính góc tạo đường thẳng mặt phẳng bên với đáy tính góc hai mặt bên khối chóp(góc tạo cạnh bên mặt đáy góc tạo cạnh bên đường thẳng nối chân đường cao khối chóp giao điểm cạnh bên với đáy) Chẳng hạn khối chópSABCDcó chân đường cao hạ từđỉnh Scủa khối chóp Hkhi góc tạo cạnh bên SAvà mặt phẳng đáy góc hai đường thẳng SAvà AH

+ Tính khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng:

d V h

S

 Phương pháp tính thể tích khối đa diện

+ Khi xác định chiều cao khối chóp áp dụng cách tính trực tiếp thể tích khối chóp nhờ cơng thức V (khối chóp)

3dt

 (đáy).chiều cao

+ Phân chia khối đa diện thành nhiều khối đa diện dễ tính thểtích + Dùng tỷ số thể tích:

Cho ba đường thẳng khơng đồng đồng phẳng SA SB SC, , điểm A'SA B; 'SB C; 'SCkhi ta có tỷ số thể tích

 

 

' ' ' ' ' '

V SA B C SA SB SC V SABC  SA SB SC

 

 

' '

V A ABC A A V SABC  SA

Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

- Nếu đường thẳng dsong song với mặt phẳng  P khoảng cách từ điểm dđến

 P

- Đường thẳng dcắt mặt phẳng  P điểm M có hai điểm A B, dsao cho AM kBM d A P ; k d B P  ;  Áp dụng tính khoảng cách trực tiếp từ điểm đến mặt phẳng khó khăn

Tìm tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện

+ I thuộc trục đường tròn đáy đường thẳng qua tâm đường tròn ngoại tiếp đáy vng góc với mặt phẳng đáy

+ I cách tất cảcác điểm S A A, 1, 2, ,Annên I phải nằm mặt phẳng trung trực SAi Để chứng minh điểm thuộc mặt cầu

+ Chứng minh điểm nhìn cạnh góc 90 + Chứng minh chúng cách điểm

Dưới trình bày tốn nhất, emnên nắm vững để áp dụng vào thi

Bài tốn 1: Cho khối chóp có diện tích đáy Svà chiều cao khối chóp hkhi thể tích

khối chóp xác định theo công thức

3

V  S h

Bài toán 2: Cho khối chóp S ABC cạnh SA SB SC; ; lấy điểm '; '; '

A B C Khi ta có

1 1

1

S ABC S A B C

V SA SB SC

V  SA SB SC

Bài tốn 3:Cho tứ diện ABCD, có dlà khoảng cách hai đường thẳng AB CD,

 góc hai đường thẳng Khi thể tích tứ diện ABCDđược xác định theo cơng thức

.sin

6

ABCD

V  AB CD d 

Dựng hình bình hành ABCE, ECD

Ta có VABCD VE BCD. VB CED. ( AEsong song với mặt phẳng BCD)

Do ABsong song với mặt phẳng CEDnên khoảng cách AB CD; khoảng cách

từ Bđến mặt phẳng CED

Vậy VABCD VB CED.

 

 

1

; sin

3d B CED 2CE CD 

 sin

6AB CD d  

Bài toán 4: Tính thể tích khối tứ diện ABCDcó cặp cạnh đối

; ;

ABCDa ACBDb ADBCc Lời giải:

Dựng tứ diện APQRsao cho B C D; ; trung điểm QR RP PQ; ; B

C

D A

Ta có

ABCD QR, mà B

lại trung điểm QRsuy

tam giác AQRvuông A

AQ AR

 

Một cách tương tự, ta có ;

APAQ ARAP

Do

4

BCD PQR S  S

1 1

4

ABCD APQR

V V AQ AR AP

  

Ta xác định AQ AP AR; ; : Theo định lý pitago ta có:

 

 

 

2

2 2

2

2 2

2

2 2

2

2

2

AQ AR QR CD a

AQ AP QP BC c

AP AR PR BD b

                  

Từ suy ra:  2 2  2 2  2 2

2 ; ;

AQ a b c AP a b c AR a b c

Vậy  2 2 2 2 2 2

12

ABCD

V  a b c c b a c b a

1.1. PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG CÔNG THỨC TRỰC TIẾP

- Với khối chóp ta xác định đường cao cách tương đối dễ nên áp dụng

cách Đây cách thông dụng để giải tốn thi đại học, mức độ u cầu học sinh nắm cách vận dụng kiến thức

BÀI TẬP MẪU

Bài Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCDlà hình chữ nhật; ABa AD; 2a Cạnh SA vng góc với mặt phẳng đáy ABCD, cạnh bên SBtạo với mặt đáy góc 600 Trên cạnh

SAlấy điểm M cho

3

a

AM  ; mặt phẳng BCMcắt cạnh SD N Tính thể tích khối

chóp S BCNM Lời giải:

Do ADsong song với BCnên

giao tuyến mặt phẳng

BCMvới mặt phẳng SADlà đường thẳng MNsong song với

AD

Lại có

 

BC AB

BC SAB BC BM

BC SA

 

    

 

vậy thiết diện hình thang vng BCNM

Có ABlà hình chiếu SBtrên mặt phẳng ABCDnên góc cạnh SBvà mặt phẳng

SABchính góc 

60

SBA Suy SAABtan 600 a Xét tam giác SADcó:

3

4

.2

3

a a

MN SM SA AM SA AM a

MN AD a

AD SA SA SA a



 

     

D

A B

C H

S

M

Và 2 3

a BM  AB AM 

Diện tích hình thang BCNM  

2

1 10

2

2 3

BCNM

a a a

S  ABMN BM   a    

Hạ SH BM , BCSABSH BCSH BCNM

Vậy SHchính đường cao khối chóp S BCNM

  

tan 30 30

3

AM

ABH ABH SBH SH SB a

AB

        

Vậy

2

1 10 10

3 27

S BCNM BCNM

a a

V  S SH  a

Cách khác: Sử dụng tỷ số thể tích; tính thể tích khối chóp S BCNM theo tổng thể tích khối

chóp SBMN SBCN

-

S BMN S BAD

V SM SN

V  SA SD

-

S BCN S BCD

V SN

V  SD

( chi tiết xem phương pháp tỷ số thể tích)

Bài Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C ' ' 'có tất cạnh a Mặt phẳng  P qua Avà vng góc với B C' chia khối lăng trụ ABC A B C ' ' 'thành hai khối đa diện; khối chứa đỉnh C, khối chưa đỉnh B' Tính thể tích khối chứa đỉnh B'

Lời giải:

Gọi M trung điểm BC; kẻ MNsong song với BC'NCC'

Khi MN B C'

A' C'

A

B

C M

Và  ' ' ' '

AM BC

AM BCC B AM B C

AM BB         

vì tam giác AMNchính thiết diện lăng trụ cắt mặt phẳng  P

Ta có ' ' ' 3 ' 4

ABC A B C ABC

a a

V  AA S a 

3

1 3

3 2 2 48

A CMN CMN

a a a a

V  AM S   Vậy

3

' ' ' ' ' '

11

(dvtt) 48

AA BMNC B ABC A B C A CMN a

V V V 

Bài Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCDlà tứ giác nội tiếp đường trịn đường kính AD; SDvng góc với mặt phẳng đáy ABCD AD2 ;a ABCD SD; a



60

BAD Trên đường thẳng vng góc với mặt phẳng ABCDtại A B C; ; lấy điểm A B C'; '; '( A B C'; '; 'cùng phía với S) Tính thể tích khối chóp S ABCD chứng minh VS ABC. VD A B C ' ' '

Lời giải:

Gọi I trung điểm AD

Do ABCD nên BCsong song với AD, suy tứ giác ABCDlà hình thang cân

Lại có BAD600

Suy tam giác IABđều, có ICDđều; IBCđều cạnh a

Vậy

2

3 3

3

4

ABCD IAB

a a

S  S  

Chứng minh: VS ABC. VD A B C ' ' '

Suy

2

1 3

3 4

S ABCD ABCD

a a

V  SD S  a  (dvtt)

Gọi ACBD O ;A C' 'B S'  O'

Do OO'song song với SDnên ta có:

 

 

 

 

 

 

 

 

; ' ' ' ;

;

' '

; ' ' ' ';

d D A B C SD d S ABC SD

OO OO

d O A B C  d O ABC  Từ suy

' ; ' ' ' ' ' '

' '

S ABC O ABC D A B C O A B C

SD SD

V V V V

OO OO

 

Ta cần chứng minh: VO ABC'. VO A B C ' ' ' Thật vậy:

- ' ' ' ' ' '    ' '    ' '

1

'; ' ' '; ' '

3

O A B C B OA C OA C OA C

V V  d B ACC A S  d BB ACC A S

- '. '  ; ' '  '  '; ' '  '

3

O ABC B O AC O AC O AC

V V  d B ACC A S  d BB ACC A S Mặt khác SOA C' 'SO AC' ; từ ta có điều phải chứng minh

Bài Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCDlà hình thoi cạnh a Mặt phẳng SACvà SBD vng góc với mặt đáy ABCD Mặt bên SADcân Svà tạo với đáy góc 60 Tính thể tích khối chóp S ABCD

Gọi Olà tâm mặt đáy ABCD Do

   

   

   

 

SAC ABCD

SBD ABCD SO ABCD SAC SBD SO

 



  

 

 



Gọi M trung điểm AD

Thì tam giác SADcân Snên SM  AD

Lại có SOAD

Từ suy ADSMO Vậy nên góc mặt bên SAD mặt đáy ABCDchính góc



60

SMO

Mặt khác ADMO, tam giác vng AODcó OM vừa trung tuyến lại vừa đường cao nên

nó tam giác cân; hay ODOA ABCDlà hình vng

Vậy tan 600

2

a

SOOM 

Vậy

3

1 3

3

S ABCD ABCD

a a

V  S SO a  (đvtt)

Bài Trên mặt phẳng  P chứa tam giác ABCcạnh a, Dlà điểm đối xứng Aqua trung điểm I BC Lấy điểm Strên đường thẳng vng góc với mặt phẳng  P D, biết

6

a

SD Gọi Hlà hình chiếu I SA Chứng minh mặt phẳng SABvng góc với mặt phẳng SAC Tính thể tích khối chóp H ABC

O

A B

C D

S

Lời giải:

Ta có ABCDlà hình thoi( có tất cạnh a)

Suy BC AD

Lại có BCSD, từ suy

 

BC SAD BCSA Mặt khác lại có HI SA

Vậy SAHBC; suy góc hai mặt phẳng SABvà SACchính góc BHC

Ta tính góc BHC:

Tam giác ~ ( )

2

AI AS a BC

AHI ADS g g HI

HI DS

     Tam giác HBCcó trung tuyến

1

2cạnh đối diện nên hình vng Vậy



90

BHC Từ suy SAB  SAC

Ta có

3

1 1

3 2 24

H ABC

a a a

V  AH HI BC a (đvtt)

Bài Cho lăng trụ đứng có đáy ABC A B C ' ' 'có đáy ABClà tam giác vng B, góc



60

BAC , bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABCbằng a khoảng cách hai đường

thẳng A B' ACbằng  

3

4

a 

Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC A B C ' ' ' Lời giải:

I H A

B D

C

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

1.1. Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' có cạnh a Gọi M N, trung điểm cạnh A B B C' '; ' ' Tính theo a thể tích khối tứ diện AD MN' khoảng cách từ

A đến D N'

1.2. Cho hình chóp S ABC cạnh đáy a, đường cao hình chóp a Mặt phẳng

 P qua cạnh BC vng góc với SA Hỏi mặt phẳng  P chia khối chóp thành hai phần có tỷ số thể tích bao nhiêu?

1.3.

1.2. PHƯƠNG PHÁP TỶ SỐ THỂ TÍCH Nội dung: Xem tốn

BÀI TẬP MẪU

Bài Cho hình chóp tứ giác S ABCD Xét mặt phẳng ( ) qua hai điểm A; Bvà trung điểm M cạnh SC Tính tỷ số thể tích hai phần khối chóp bị phân chia mặt phẳng

Lời giải:

Kẻ MNsong song với SD N SD Khi hình thang ABMN thiết diện cắt mặt phẳng ( ) hình chóp

S ABMN S ABN S ABM

V V V

I

O

A D

S

M

Áp dụng tỷ số thể tích cho hai khối chóp S ABD S BCD ; ta được:

-

1 1

2

S ABN

S ABN S ABD S ABCD S ABD

V SN SM

V V V

V  SD  SD    

-

1 1

2

S BMN

S BMN S BCD S ABCD S BDC

V SM SN

V V V

V  SD SD   

Từ suy ra: . . . .

8

S ABMN S ABN S ABM S ABCD

V V V  V

Suy ra: /

/

S ABMN V

V ABCDNM   

Bài Cho hình chóp tứ giác S ABCD cạnh a, mặt bên hợp với mặt đáy góc 600 Mặt phẳng qua hai điểm A B; trọng tâm Gcủa tam giác SCDcắt cạnh SC SD;

Evà F Tính thể tíchkhối chóp S ABEF

Lời giải:

Gọi M trung điểm CD O;

tâm hình vng ABCD

Ta có

  

60 tan

SO CD

CD SMO SMO SO OM SMO

OM CD            

Kẻ EFqua Gvà song song với

 ; 

CD ESC FSD ; dó thiết diện hình thang cân ABEF Áp dụng tỷ số thể tích ta được:

-

2 2 1

3 3

S ABF

S ABF S ABD S ABCD S ABCD S ABD

V SF SG

V V V V

V  SD  SM     

-

2 4

3 9

S BEF

S ABF S BCD S ABCD S ABCD S BCD

V SE SF

V V V V

V  SC SD    

Từ suy ra:

3

1 5

3 9 54

S ABEF S ABF S BEF S ABCD S ABCD S ABCD

a a

V V V  V  V  V  a 

Bài Cho điểm M cạnh SA, điểm Ntrên cạnh SBcủa khối chóp S ABC cho

;

2

SM SN

MA  NB  Mặt phẳng ( ) qua MNvà song song với SC, chia khối chóp thành hai phần Tìm tỷ số thể tích hai phần

Lời giải:

Kéo dài MNcắt ABtại I

Kẻ MDsong song với SC; DIcắt BCtại E

Khi tứ giác MNEDlà thiết diện khối chóp cắt mặt phẳng

( )

Trước hết ta tính thể tích khối chóp AMNEDtheo thể tích khối chóp

A SBC

Kẻ MJ song song với ABsuy

3

SJ  SBJlà trung điểm SN Từ suy

3

IBMJ  AB

Theo công thức tỷ số thể tích ta có

-

2 16 16 16

3 3 27 27 27

A MDI

A MDI A SCB S ABC A SCB

V AM AD AI

V V V

V  AS AC AB    

-

1 1 1 16

4 2 16 16 16 27 27

I BNE

I BNE I AMD S ABC S ABC I AMD

V IB IN IE

V V V V

V  IA IM ID      

Suy . . 15 .

27

ADMNE A MDI I BNE S ABC

V V V  V

Vậy gọi V V1; 2lần lượt thể tích phần dưới; phần mặt phẳng ( ) tạo với khối chóp

S ABCthì

15 / 27

1 15 / 27

V

V   

Bài Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCDlà hình bình hành Gọi B D'; 'lần lượt trung điểm cạnh SB SD; Mặt phẳng AB D' 'cắt cạnh SCtại C' Tìm tỷ số thể tích hai khối chóp S AB C D ' ' 'và S ABCD

Lời giải:

Gọi Olà tâm mặt đáy ABCD B D; ' 'SO I ; AISC C'

Kẻ OC''song song với AC C' ''SC

Do B D' 'là đường trung bình tam giác SBDnên I trung điểm SO Và Olà trung điểm AC Từ suy

S

l

O

D C

B A

D'

B' C'

'

' ' ''; ' '' ''

3

SC SC C C C C C C

SC

    Theo công thức tỷ số thể tích ta có

- ' '

' '

' ' 1 1

2 6 12

S AD C

S AD C S ADC S ABCD S ADC

V SD SC

V V V

V  SD SC     

- ' '

' '

' ' 1 1

2 6 12

S AB C

S AB C S ABC S ABCD S ABC

V SB SC

V V V

V  SB SC     

Vậy ' '

' ' ' ' ' '

1

6

S AB D S AB D S AD C S AB C S ABCD

S ABCD V

V V V V

V

    

Bài Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCDlà hình vng cạnh a; cạnh SAvng góc với đáy; SA2a Gọi B D'; 'lần lượt hình chiếu vng góc điểm Atrên cạnh SB SD; Mặt phẳng AB D' 'cắt cạnh SCtại C' Chứng minh năm điểm S A B C D; ; '; '; 'cùng thuộc mặt cầu tính thể tích khối chóp S AB C D ' ' '

Lời giải:

Để chứng minh năm điểm

; ; '; '; '

S A B C D thuộc mặt cầu ta cần chứng minh

'

AC SC Vì chúng thuộc mặt cầuđường kính SA

Ta có:   ' ( )

CD AD

CD SAD CD AD

CD SA gt

 

    

 

Mặt khác AD'SDAD'SCD AD'SC

Tương tự ta có: AB'SC Từ suy SC  AB D' 'SC'SC( ta có đpcm) Dễ thấy VS AB C D. ' ' '2VS AB C. ' '( tính chất đối xứng xứng hình chóp)

Theo cơng thức tỷ số thể tích, ta có:

2 2

' '

2 2 2

' ' ' ' 4

5 15

S AB C S ABC

V SB SC SB SB SC SC SA SA a a

V  SB SC  SB SC  SB SC  a a  Từ suy

3

3

' ' ' ' ' ' '

8 1 16

15 15 45 45

S AB C S ABC S AB C D S AB C a

V  V  SA AB BC V  V  a

Bài Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCDlà hình bình hành Gọi M N P; ; trung điểm cạnh AB AD SC; ; Chứng minh mặt phẳng MNPchia khối chóp thành hai phần tích

Lời giải:

MNcắt BC I , cắt CDtại K

Cắt ACtại L; gọi Olà tâm hình bình

hành ABCD

IPcắt cạnh SBtại E KP; cắt cạnh SDtại F

Khi thiết diện khối chóp cắt

mặt phẳng MNPlà ngũ giác MNFPE

Theo tính chất song song ta có L

K

F

E

A B

C D

S

M

N O

3 3 ;

2 2

CK CI CL

CK CD CI CB

CD CB CO     Do Plà trung điểm cạnh SCnên

 

 ;   ; 

2

d P ABCD  d S ABCD

- . 1  ; .1 sin

3 2

P CIK

V  d S ABCD CK CI ICK

 

  

1 3

; sin

12d S ABCD 2CD 2CB DCB 16VS ABCD

 

Bây ta tính thể tích hai khối tứ diện I MBE K END ; theo thể tích khối tứ diện S ABCD

Vì tính chất đối xứng suy VI BME. VK END. Theo tỷ số thể tích ta có:

1 1 1

3 18 18 32

I BME

I BME I CKP S ABCD I CKP

V IB IM IE

V V V

V  IC IK IP     

Gọi V1là thể tích phần phía tạo mặt phẳng MNPvà khối chóp

Ta có

9 1

2

16 32

P CIK I BME S ABCD S ABCD V V  V   V  V

  Từ ta có đpcm

Bài Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' Gọi E F; trung điểm cạnh

' '; ' '

C B C D Tính tỷ số thể tích hai phần cắt hình lậpphương mặt phẳng AEF

Lời giải:

EFcắt A B' 'tại M MA; cắt BB'tại Q EFcắt A D' 'tại N PN; cắt DD'tại P

Gọi Olà tâm hình vng A B C D' ' ' ' Klà giao điểm A C' 'và EF

Khi thiết diện hình lập phương cắt mặt phẳng AEFlà ngũ giác APFEQ

Theo tính chất song song ta có

' '

' ' ' '

A M A N AK A B  A D  AO 

Ta có

3 '

1 3

' ' '

6 2

A A MN

a a a

V  AA A M A N  a 

' '

P D NF Q B ME

V V ( tính chất đối xứng)

3

1

' ' '

6 2 72

a a a a PD D F D N

  

Gọi V1 phần thể tích phía cắt mặt phẳng AEF; V2là phần thể tích phía Ta có

3

3

1 ' ' '

3 25

2

8 72 72

A A MN P D NF Q B ME

a a

V V V V    a

Suy

25 / 72 25

1 25 / 72 47

V

V   

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

1.1. Cho hình chóp S ABC , gọi G trọng tâm tam giác SBC Mặt phẳng quay quanh AG cắt cạnh SB SC, theo thứ tự M N, Gọi V1 thể tích tứ diện SAMN ; V thể tích tứ diện SABC Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ tỷ số V1

V

1.2. Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' 'có độ dài cạnh avà điểm Kthuộc cạnh

'

CC cho

3

a

CK  Mặt phẳng  P qua A K, song song với BDchia hình lập phương thành hai phần Tính thể tích hai phần

BÀI TẬP VỀ MẶT CẦU NGOẠI TIẾP, NỘI TIẾP ĐA DIỆN

Bài Cho hình chóp A ABCD có đáy ABCDlà hình thang vng A B, có

;

ABBC  ADa SAvng góc với mặt phẳng ABCD Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SACD

cắt SBtại H Chứng minh AH BSvà tính khoảng cách từ Hđến mặt phẳng SCD Lời giải:

Do

2

ABBC AD nên

2 2

2

CD BC AB  a

2 2

2

AC AB BC  a

Suy AC2CD2 AD2 4a2 Vậy tam giác ACDvuông cân tại

C

Vì gọi I trung điểm SD I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SACD

Do Hcũng thuộc mặt cầu nên



90

SHD hay SH HD (1)

Lại có SA ABCD AD SAB AD SH

AD AB

  

    

  

(2)

Từ (1) (2) ta suy SBAHDAH SB BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCDlà hình thang vng Avà Bcó

;

ABBCa AD a Cạnh bên SAvng góc với mặt phẳng đáy ABCDvà SAa Gọi E trung điểm AD Tính thể tích khối chóp S CDE xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp

C

D A

S

B

Bài Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCDlà hình chữ nhật cạnh ABa ADa Góc hai mặt phẳng SACvà ABCDbằng 60 G0 ọi Hlà trung điểm AB Biết mặt bên

SABvuông góc với đáy tam giác cân đỉnh S Tính thể tích khối chóp S ABCD xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S AHC

Bài Cho tứ diện ABCDcó ABClà tam giác cạnh , 3

a

a DADB CDvng góc

với AD Trên cạnh CDkéo dài lấy điểm Esao cho tam giác AEBvuông E Tính góc tạo mặt phẳng ABCvà mặt phẳng ABD Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối tứ diện ABCE

Bài Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCDlà hình vng cạnh a Chân đường vng góc kẻ từ đỉnh Strùng với trọng tâm tam giác ABD Mặt bên SABtạo với đáy góc 60 Tính theo athể tích khối chóp S ABCD Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp

S ABD

Bài Cho hình lăng trụtam giác ABC A B C ' ' 'có cạnh đáy bằnga Gọi M N I, , trung điểm A A AB' , BC Biết góc tạo mặt phẳng C AI' và mặt phẳng ABCbằng

0

60 Tính thể tích khối chóp N AC I ' xác định tâm, bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp

'

C AIB

Bài Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCDlà hình vng cạnh a có đường cao SHtrong Hlà điểm thỏa mãn HN  3HM( M N, trung điểm ABvà CD) Mặt phẳng

SABtạo với mặt phẳng đáy ABCDmột góc 60 Tính kho0 ảng cách từ Nđến mặt phẳng

SACvà xác định thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD

Bài Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCDlà hình thang vng Avà Bcó

; ,

ABBC a AD a SAClà tam giác cân Svà nằm mặt phẳng vuông góc với đáy, SBtạo với mặt phẳng SACgóc 60 G0 ọi Olà giao điểm ACvà BD Giả sử mặt phẳng

Bài Cho tứ diện ABCD có AB2 ;a CBCDa ABvng góc với mặt phẳng BCD Gọi M trung điểm AB Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng ACDvà tính thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD

Bài Cho tam giác ABCđều cạnh a Gọi M trung điểm BC, lấy điểm Dđối xứng với A

qua M Trên đường thẳng vng góc với mặt phẳng ABCDtại Dlấy điểm Ssao cho

2

a

SD Gọi Nlà hình chiếu vng góc M lên SA Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng SAC Chứng minh mặt phẳng SACvuông góc với mặt phẳng SABvà xác định tâm, bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp NBCD

Bài 10 Cho tứ diện ABCDcó ABClà tam giác cạnh , 3,

a

a DADB CDvng góc

AD Trên cạnh CDkéo dài lấy điểm Ssao cho ASB 900 Tính góc tạo mặt phẳng ABC mặt phẳng ABD Xác định tâm thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCE

Bài 11 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCDlà hình vng cạnh 2a Mặt bên vng góc với đáy Biết SAa 3;SBa Gọi M N, trung điểm AB AD, Olà giao điểm ACvà BD Tính theo athể tích khối chóp SAMBNvà xác định tâm,bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp SAMON

Bài 12 Cho hình vng ABCDcó cạnh a Lấy điểm Htrên đoạn ACsao cho

2

a AH  Trên đường thẳng vng góc với mặt phẳng ABCDtại Hlấy điểm Ssao cho 

ASC45 Xác định tâm bán kính hình cầu ngoại tiếp khối chóp SABCD

Bài 13 Cho tứ diện ABCDcó AB ACa BC, b Hai mặt phẳng ABCvà BCDvng góc với tam giác BCDvuông D Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCDtheo a b,

Bài 15 Cho tam giác ABCvng cân Bcó ABa Từ trung điểm M ABta dựng đường thẳng vng góc với mặt phẳng ABC, lấy điểm Ssao cho tam giác SABđều Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp SABC

Bài 16 Cho tam giác ABCvuông cân A AB,  ACa BB CC', 'là hai đoạn thẳng vng góc với mặt phẳng ABCvà phía với mặt phẳng ABCbiết BB'CC'a Tính thể tích khối chóp ABCC B' 'và xác định tâm, bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp ABCC B' '

Bài 17 Cho hình lăng trụtam giác ABCA B C' ' 'có cạnh đáy a Gọi M N P, , trung điểm A A AB BC' , , biết mặt phẳng MNPtạo với mặt phẳng ABCgóc 60 Tính thể tích khối chóp MNPC'và xác định tâm, bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp ABPC' Bài 18 Cho hình chóp SABCD Hai mặt bên SABvà SADcùng vng góc với mặt đáy Biết đáy ABCDlà tứ giác nội tiếp đường tròn tâm Obán kính R Xác định tâm bán kính khối cầu ngoại tiếp khối chóp SABCDbiết SAh

Bài 19 Cho hình cầu  S có đường kính AB2R, lấy điểm Htrên ABsao cho

(0 )

AH x x R Mặt phẳng  P vng góc với ABtại Hcắt mặt cầu  S theo giao tuyến đường trịn  C MNPQlà hình vng nội tiếp đường trịn  C

1 Tính bán kính đường tròn  C độ dài AC MN,

2 Tính thể tích khối đa diện tạo hai khối chóp AMNPQvà BMNPQ

Bài 20 Cho hình chóp tứgiác giác SABCDcạnh đáy a, tâm đáy O, chiều cao

2

a SH 

1 Chứng minh có mặt cầu  S tiếp xúc với tất mặt hình chóp SABCD Xác định tâm bán kính Rcủa mặt cầu

Bài 21 Cho hình chóp tứgiác SABCDcó chiều cao cạnh đáy a Gọi E K, trung điểm cạnh AD BC, Tính diện tích xung quanh, thể tích mặt cầu  S ngoại tiếp khối chóp SEBK

Bài 22 Cho tứ diện ABCDcó ABCDa AC, BDb AD, BCc Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD

Bài 23 Cho hình chóp tứgiác SABCDcó cạnh đáy a, cạnh bên tạo với đáy góc

30 Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp SABCD

Bài 24 Cho hình chóp cụt tam giác ngoại tiếp hình cầu bán kính r Tính thể tích khối chóp cụt biết cạnh đáy lớn gấp đơi cạnh đáy nhỏ

Bài 25 Cho hình chóp tam giác đều SABCcó độ dài cạnh bên a Các mặt bên hợp với đáy góc  Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp SABC

BÀI TẬP VỀ HÌNH TRỤ VÀ HÌNH NĨN

Bài Cho hình trụcó hai đáy hai hình trịn tâm O O, ' Bán kính đáy chiều cao a Trên đường tròn đáy tâm Olấy điểm A, đường tròn đáy tâm Blấy điểm Bsao cho

2

AB a

1.Tính diện tích tồn phần hình trụ thể tích khối trụ

2.Tính thể tích tứ diện OABO'

Bài Cho hình trụ trịn xoay hình vng ABCDcó cạnh a, có hai đỉnh A B, nằm đường tròn đáy thứ hai đỉnh C D, nằm đường tròn đáy thứ hai Biết mặt phẳng

BÀI TẬP TỔNG HỢP

1.1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O Hình chiếu S lên mặt đáy

trùng với điểm H trung điểm đoạn AO Mặt phẳng (SAD) tạo với đáy góc 600 AB=a Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng AB SC.

1.2. Cho hình lăng trụ ABC A B C ' ' ' có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC tam giác vuông A AB, a AC, a hình chiếu vng góc đỉnh A' mặt phẳng ABC trung điểm cạnh BC Tính thể tích khối chop A BCC B ' ' theo a

1.3. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, tam giác SAB đều, tam giác SCD vuông cân S Gọi I J K, , trung điểm cạnh AB CD SA, , Chứng minh SIJ  ABCD tính thể tích khối chóp K IBCD

1.4. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thang vng A B, có đáy nhỏ BC Biết tam giác SAB độ dài cạnh 2a nằm mặt phẳng vng góc với đáy, đọ dài SC a khoảng cách từD đến mặt phẳng SHC 2a , với H trung điểm AB Tính thể tích khối chóp S ABCD theo a

1.5. Cho hình chóp tứgiác S ABCD có cạnh bên tạo với đáy góc 60 c0 ạnh đáy a Tính thể tích khối chóp S ABCD , qua A dựng mặt phẳng  P vng góc với SC Tính diện tích thiết diện tạo mặt phẳng  P hình chóp SABCD

1.6. Cho hình chóp SABC có đáy ABC tâm giác vuông cân A, ABa Gọi I trung điểm cạnh BC Hình chiếu vng góc H S lên mặt phẳng ABC thỏa mãn

2

IA  IH  

1.7. Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác vuông cân C, cạnh huyền 3a,

trọng tâm G có  , 14

2

a

SG ABC SB Tính thể tích khối chóp SABC khoảng

cách từB đến mặt phẳng SAC

1.8. (TSĐH Khối D 2011) Cho hình chóp S ABC có đáy ABClà tam giác vng

,

B BA a BC4 ;a mặt phẳng SBCvng góc với mặt phẳng ABC Biết

2

SB a SBC300 Tính thể tích khối chóp S ABC khoảng cách từđiểm Bđến mặt phẳng SACtheo a

1.9. (TSĐH Khối B 2011) Cho lăng trụ ABCD A B C D 1 1 1 1có đáy ABCDlà hình chữ nhật

,

ABa ADa Hình chiếu vng góc điểm A1trên mặt phẳng ABCDtrùng với giao điểm ACvà BD Góc hai mặt phẳng ADD A1 1và ABCDbằng 60 Tính thể tích khối lăng trụđã cho khoảng cách từđiểm B1đến mặt phẳng A BD1 theo

a

1.10. (TSĐH Khối A 2011) Cho hình chóp S ABC có đáy ABClà tam giác vng cân B

2

ABBC  a Hai mặt phẳng SABvà SACcùng vng góc với mặt đáy ABC Gọi M trung điểm AB; mặt phẳng qua SM song song với BC, cắt ACtại N Biết góc hai mặt phẳng SBCvà ABCbằng 60 Tính th0 ể tích khối chóp S BCNM khoảng cách hai đường thẳng ABvà SNtheo a

1.11. Cho hình chóp S ABC có đáy ABClà tam giác vng C,CAa CB, b Cạnh bên SAvng góc với mặt phẳng đáy Số đo góc phẳng nhị diện cạnh BCcủa hình chóp

S ABCbằng  Gọi Dlà trung điểm cạnh AB - Tính thể tích khối chóp S ABC

1.12. Cho hình chóp S ABC có SAvng góc với mặt đáy ABCvà tam giác ABCcân A; cạnh bên SBlần lượt tạo với mặt phẳng đáy, mặt phẳng trung trực BCcác góc

0

30 , 45 , khoảng cách từ Sđến cạnh BCbằng a Tính thể tích khối chóp S ABC theo a 1.13. Cho hình chóp tam giác có góc cạnh bên mặt phẳng đáy 60 Kho0 ảng

cách mặt bên đỉnh đối diện Tính thể tích khối chóp cho

1.14. (TSĐH Khối A 2010) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCDlà hình vng cạnh a Gọi ,

M Nlần lượt trung điểm cạnh ABvà AD; Hlà giao điểm CN DM Biết SHvng góc với mặt phẳng ABCDvà SH a Tính thể tích khối chóp S CDNM

và tính khoảng cách hai đường thẳng DM SCtheo a

1.15. (TSĐH Khối B 2010) Cho hình lăng trụtam giác ABC A B C ' ' 'có ABa, góc hai mặt phẳng A BC' và ABCbằng 60 G0 ọi Glà trọng tâm tam giác A BC' Tính thể tích khối lăng trụđã cho bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABCtheo a

1.16. (TSĐH Khối D 2010) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCDlà hình vng cạnh a Cạnh bên SAa, hình chiếu vng góc đỉnh Strên mặt phẳng ABCDlà điểmH

thuộc đoạn ,

4

AC

AC AH  Gọi CM đường cao tam giác SAC Chứng minh M trung điểm SAvà tính thể tích khối tứ diện SMBCtheo a

1.17. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCDlà hình thoi cạnh a BAD, 600 SAvng góc với mặt phẳng đáy ABCD SA, a Gọi C'là trung điểm SC Mặt phẳng  P qua ACvà song song với BDcắt cạnh SB SD, B D', ' Tính thể tích khối chóp S AB C D ' ' '

1.18. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCDlà hình chữ nhật,ABa AD, 2a cạnh SA vng góc với đáy ABCD, cạnh SBhợp với đáy góc 60 Trên SAlấy điểm M

sao cho

3

a

AM  Mặt phẳng BCMcắt SDtại N Tính thể tích khối chóp

1.19. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCDlà hình vng cạnh a.Chân đường vng góc hạ từ Strùng với trọng tâm tam giác ABD Mặt bên SABtạo với mặt phẳng đáy ABCD góc 60 Tính theo athể tích khối chóp SABCDvà khoảng cách từ Bđến mặt phẳng

SAD

1.20. Cho hình lăng trụ đứng ABCD A B C D ' ' ' 'có đáy ABCDlà hình thoi,



3, 120

ABa BAD Biết góc đường thẳng AC'và mặt phẳng ADD A' 'bằng

0

30 Tính thể tích khối lăng trụ theo avà khoảng cách từtrung điểm Ncủa BB'đến mặt phẳng C MA'  Biết M trung điểm A D' '

1.21. Cho hình chóp SABCcó góc tạo hai mặt phẳng SBCvà ABCbằng 60 , ABCvà SBClà tam giác đều cạnh a Tính khoảng cách từđỉnh Bđến mặt phẳng SAC 1.22. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCDlà hình vng cạnh ,a SAavà SBa Mặt

phẳng SABvng góc với mặt đáy ABCD Gọi M N, trung điểm cạnh ABvà BC Tính theo athể tích khối chóp SBMDNvà tính cơsin góc tạo DN SM

1.23. (TSĐH Khối A 2009) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCDlà hình thang vng A

và D ABAD2 ,a CDa; góc hai mặt phẳng SBCvà ABCDbằng 60 G0 ọi

I trung điểm cạnh AD Biết hai mặt phẳng SBIvà SCIcùng vng góc với mặt phẳng ABCD Tính thể tích khối chóp S ABCD theo a

1.24. (TSĐH Khối B 2009) Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C ' ' 'có BB'a, góc đường thẳng BB'và mặt phẳng ABCDbằng 60 , tam giác ABCvuông Cvà



60

BAC Hình chiếu vng góc điểm B'lên mặt phẳng ABCtrùng với trọng tâm tam giác ABC Tính thể tích khối tứ diện A ABC' theo a

1.25. (TSĐH Khối D 2009) Cho lăng trụđứng ABC A B C ' ' 'có đáy ABClà tam giác vng

điểm AM A C' Tính theo athể tích khối tứ diện IABCvà khoảng cách từđiểm

Ađến mặt phẳng IBC

1.26. (TSĐH Khối A 2008) Cho lăng trụ ABC A B C ' ' 'có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC tam giác vuông A AB, a AC, a 3và hình chiếu vng góc đỉnh A'trên mặt phẳng ABClà trung điểm cạnh BC Tính theo athể tích khối chóp A ABC' tính cosin góc hai đường thẳng A A' B C' '

1.27. (TSĐH Khối B 2008) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCDlà hình vng cạnh ,a SAa SB, a 3và mặt phẳng SABvng góc với mặt phẳng đáy Gọi M N, trung điểm cạnh AB BC, Tính theo athể tích khối chóp SBMDNvà tính cosin góc hai đường thẳng SM DN,

1.28. (TSĐH Khối D 2008) Cho lăng trụđứng ABC A B C ' ' 'có đáy ABClà tam giác vuông ABBC a, cạnh bên A A' a 2 Gọi M là trung điểm cạnh BC Tính theo athể tích khối lăng trụ ABC A B C ' ' 'và khoảng cách hai đường thẳng AM B C' 1.29. (TSĐH Khối A 2007) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCDlà hình vuông cạnh a,

mặt bên SADlà tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M N P, , trung điểm cạnh SB BC CD, , Chứng minh AM vuông góc với BPvà tính thể tích khối tứ diện CMNP

1.30. (TSĐH Khối B 2007) Cho hình chóp tứgiác S ABCD có đáy hình vng cạnh a Gọi Elà điểm đối xứng Dqua trung điểm SA, M trung điểm AE, Nlà trung điểm BC Chứng minh MNvng góc với BDvà tính theo akhoảng cách hai đường thẳng MN AC,

1.31. (TSĐH Khối D 2007) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thang,  

90

ABCBAD ,

,

1.32. (TSĐH Khối B 2006) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCDlà hình chữ nhật với ,

ABa ADa 2,SAavà SAvng góc với ABCD Gọi M N, trung điểm ADvà SC, I giao điểm BMvà AC Chứng minh mặt phẳng

SACvng góc với mặt phẳng SMB Tính thể tích khối tứ diện ANIB

1.33. (TSĐH Khối D 2006) Cho hình chóp S ABC có đáy ABClà tam giác cạnh

,

a SA avà SAvng góc với mặt phẳngABC Gọi M N, hình chiếu vng góc Atrên đường thẳng SB SC, Tính thể tích khối chóp A BCMN 1.34. (TSĐH Khối A 2002) Cho hình chóp tam giác đều S ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy

bằng a Gọi M N, trung điểm SB SC, Tính theo adiện tích tam giác AMN, biết mặt phẳng AMNvng góc với mặt phẳng SBC

1.35. (TSĐH Khối A 2002) Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' Tính số đo góc phẳng nhị diện B A C D, ' , 

1.36. (TSĐH Khối B 2002) Cho hình lập phương ABCD A B C D 1 1 1 1cạnh a

1.Tính theo akhoảng cách hai đường thẳng A B1 B D1

2.Gọi M N P, , trung điểm BB CD A D1, , 1 1 Tính góc hai đường thẳng MPvà

1 C N

1.37. (TSĐH Khối D 2003) Cho mặt phẳng  P  Q vng góc với nhau, có giao tuyến đường thẳng  Trên lấy hai điểm A B, với ABa Trong mặt phẳng  P lấy điểm C, mặt phẳng  Q lấy điểm Dsao cho AC BD, vng góc với và ACBDAB Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCDvà tính khoảng cách từ Ađến mặt phẳng BCDtheo a

1.39. (TSĐH Khối B 2004) Cho hình chóp tứgiác S ABCD có cạnh đáy a, góc cạnh bên mặt đáy 00 900 Tính tan góc hai mặt phẳng SAB ABCDtheo  Tính thể tích khối chóp S ABCD theo avà 

1.40. Khối chóp SABCDcó đáy hình bình hành, M trung điểm SC Mặt phẳng  P qua AM , song song với BDchia khối chóp làm hai phần Tính tỷ số thể tích hai phần

1.41. Khối chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh avà SAvng góc với mặt phẳng đáy

ABCD,SA2a Gọi E F, hình chiếu Atrên SB SD, ; I giao điểm SCvà mặt phẳng AEF Tính thể tích khối chóp S AEIF

1.42. Cho lăng trụ đứng ABC A B C 1 1có đáy tam giác Mặt phẳng A BC1 tạo với mặt

phẳng ABC góc 30 tam giác A BC1 có diện tích Tính thể tích khối lăng

trụđã cho

1.43. Cho lăng trụ ABC A B C 1 1 1có đáy tam giác vuông cân, cạnh huyền AB Mặt phẳng

A AB1 vng góc với mặt phẳng ABC,AA1 3, góc A AB1 nhọn , mặt phẳng

A AC1 tạo với mặt phẳng ABCmột góc

0

60 Tính thể tích khối lăng trụ

1.44. Cho lăng trụ tứ giác ABCD A B C D 1 1 1 1có khoảng cách hai đường thẳng ABvà

1

A Dbằng 2, độ dài đường chéo mặt bên Hạ AKvng góc với A D1 K Chứng minh AK 2và tính thể tích khối lăng trụđã cho

1.45. Cho hình tứ diện ABCDcó cạnh ADvng góc với mặt phẳng ABCvà

4; 3;

AC AD AB BC Tính khoảng cách từ Ađến mặt phẳng BCD

1.46. Cho hình chóp tam giác S ABC có độ dài cạnh đáy a Gọi M N, trung điểm cạnh bên SB SC, Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết mặt phẳng

AMNvng góc với mặt phẳng SBC

1.47. Cho hình chóp S ABC có SA3avà vng góc với mặt đáy ABC Tam giác ABCcó



2 , 120

1.48. Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh bên SASBSCa, góc

  

ASB120 ,BSC60 ,CSA90 Chứng minh tam giác ABCvng tính thể tích khối chóp cho

1.49. Cho hình chóp tứgiác S ABCD có khoảng cách từ Ađến mặt phẳng SBCbằng 2a , góc mặt bên mặt đáy  Tính thể tích khối chóp cho theo a, Xác định để thểtích nhỏ

1.50. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCDlà hình chữ nhật,ABa AD, a 2và SAavà vng góc với mặt đáy Gọi M N, trung điểm AD SC, I giao điểm BM AC, Chứng minh mặt phẳng SACvng góc với mặt phẳng SMBvà tính thể tích khối chóp ANIB

1.51. Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C ' ' 'có đáy ABClà tam giác vng

, , ' , '

B ABa AA  a A C a Gọi M trung điểm đoạn A C' 'và I giao điểm AM A C' Tính theo athể tích khối tứ diện IABCvà khoảng cách từ Ađến mặt phẳng IBC

1.52. Cho hình chóp tam giác SABCcó SC a Góc tạo mặt phẳng SABvà mặt phẳng ABCbằng 60 Tính th0 ể tích khối chóp S ABC theo a

1.53. Cho hình chóp S ABCD có đáyABCDlà hình thoi cạnh a, góc ,

a SO vng góc với mặt phẳng đáy(Olà tâm mặt đáy), M trung điểm AD Gọi  P mặt phẳng qua BMvà song song với SA, cắt SCtại K Tính thể tích khối chóp

KABCD

1.54. Cho hình chóp SABCDcó đáy ABCD hình vng cạnh a Mặt phẳng SACvng

góc với đáy, góc 

ASC 90 SAtạo với đáy góc 60 Tính th0 ể tích khối chóp cho



60

1.55. Cho hình lăng trụ ABC A B C ' ' 'có đáy ABClà tam giác cạnh a Mặt phẳng  P chứa BCvà vng góc với AA'cắt lăng trụ theo thiết diện có diện tích

2

3

a

Tính thể tích khối lăng trụđã cho

1.56. Cho hình chóp SABCcó , ;

a

AB ACa BC SAa , góc  

30

SABSAC Tính

theo athể tích khối chóp S ABC

1.57. Cho hình chóp tứ giác SABCDcó cạnh đáy a Gọi Glà trọng tâm tam giác SAC, khoảng cách từ Gđến mặt bên SCDbằng

6

a

Tính theo athể tích khối chóp

S ABCDvà khoảng cách từ tâm mặt đáy đến mặt bên SCD

1.58. Cho lăng trụđứng ABC A B C 1 1 1có ABa AC, 2 ,a AA1 2a 5và góc 

120

BAC Gọi

M trung điểm cạnh CC1 Chứng minh MBvng góc với MB1và tính khoảng cách từ Ađến mặt phẳng A MB1 

1.59. Cho hình chóp S ABC có góc hai mặt phẳng SBCvà ABCbằng 60 Các tam giác SBCvà ABClà tam giác cạnh a Tính theo akhoảng cách từ Bđến mặt phẳng SAC

1.60. Trong mặt phẳng  P cho nửa đường trịn đường kính AB2R, gọi Slà điểm nằm đường thẳng vng góc với mặt phẳng  P trung điểm ABvà điểm Cthuộc nửa đường tròn cho góc hai mặt phẳng SABvà SBCbằng 60 G0 ọi H K, hình chiếu vng góc Alên SB SC, Chứng minh tam giác AHKvng tính theo Rthể tích khối chóp S ABC