17 dạng toán hình học giải tích phằng Oxy

Viết phương trình các đường chứa các cạnh của hình chữ nhật ABCD , biết điểm B D , đều có hoành độ lớn hơn 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình thoi ABCD tâm I[r]

(1)

MỤC LỤC PHẦN 1: TỔNG HỢP KIẾN THỨC CƠ BẢN

PHẦN 2: NHỮNG BÀI TỐN CƠ BẢN

Bài tốn Tìm toạ độ giao điểm hai đường thẳng cắt Bài tốn Tìm điểm đối xứng điểm qua đường thẳng Bài toán Kiểm tra tính phía, khác phía với đường thẳng

Bài tốn Viết phương trình đường phân giác góc tạo hai đường thẳng cắt Bài tốn Viết phương trình đường phân giác trong, phân giác ngồi góc tam giác Bài tốn Tìm chân đường phân giác trong, ngồi góc tam giác

Bài tốn Tìm trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác PHẦN 3: 10 BÀI TỐN HÌNH HỌC OXY

Bài tốn Tìm M thuộc đường thẳng d biết phương trình cách điểm I khoảng cho trước (IM=R không đổi)

Bài tốn Tìm M thuộc đường thẳng d cách đường thẳng d’ khoảng không đổi Bài tốn Tìm M thuộc đường thẳng d cho tam giác MAB tam giác đăc biệt (vuông, cân, hai cạnh có mối quan hệ độ dài, ….)

Bài tốn Tìm M thuộc đường thẳng d thoả điều kiện cho trước (mở rộng toán 1, 2, 3)

Bài tốn Tìm M dựa vào hệ thức vectơ

Bài tốn 5.1 Tìm toạ độ M lien hệ với hai (ba) điểm cho trước qua hệ thức vectơ MAk MB Bài tốn 5.2 Tìm toạ độ hai điềm M, N thuộc hai đường thẳng d d lien hệ với điểm 1, thứ ba cho trước qua hệ thức vectơ

Bài tốn Viết phương trình đường thẳng

TRƯỜNG HỢP Bài tốn khơng cho vectơ pháp tuyến (hoặc vectơ phương)

Bài toán 6.1 Viết phương trình đường thẳng d qua điểm, cách điểm cho trước khoảng không đổi

Bài tốn 6.2 Viết phương trình đường thẳng d qua điểm, tạo với đường thẳng cho trước một góc khơng đổi

TRƯỜNG HỢP Bài toán cho vectơ pháp tuyến (hoặc vectơ phương)

Bài tốn 6.3 Viết phương trình đường thẳng d biết phương đường thẳng d cách điểm cho trước khoảng khơng đổi

Bài tốn 6.4 Viết phương trình đường thẳng d biết phương đường thẳng thoả mãn điều kiện cho trước

Bài tốn Tìm điểm dựa vào trung tuyến, đường cao, trung trực tam giác Bài tốn Tìm điểm dựa vào phân giác (ngồi) tam giác

Bài tốn Tìm điểm thuộc (E) thoả điều kiện cho trước; Viết phương trình tắc (E) Bài tốn 10 Cho hai đường tròn (C 1) (C cắt hai điểm A, B Viết phương trình 2) đường thẳng AB

PHẦN 4: SÁNG TẠO VÀ SỰ PHÁT TRIỂN TỪ CÁC BÀI TỐN HÌNH HỌC PHẲNG THUẦN TUÝ

PHẦN 5: BÀI TẬP TỔNG HỢP

(2)

SƠ ĐỒ TỔNG HỢP KIẾN THỨC

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

Nếu bạn cần lời giải xin liên hệ email: tailieutoan2015vl@gmail.com Page 21

PHẦN 2: NHỮNG BÀI TOÁN CƠ BẢN 1 BÀI TỐN Tìm tọa độ giao điểm hai đường thẳng cắt Ví dụ: Tìm tọa độ giao điểm M cặp đường thẳng cắt sau:

a) x y40 2xy 5 b) x t y t       

x t y t        

c) xy 3 x t y t       

d) 2x3y70

3

x y





2 BÀI TỐN Tìm điểm đối xứng điểm qua đường thẳng

Ví dụ: Tìm điểm M ' đối xứng với điểm M1;2 qua đường thẳng :x3y 5

3 BÀI TỐN Kiểm tra tính phía, khác phía hai điểm với đường thẳng

Ví dụ: Cho đường thẳng :x3y 5 Xét vị trí phía, khác phía cặp điểm sau với đường thẳng .a) A1; 2  B 1; 3 b) C2;3 D 2; 1

4 BÀI TOÁN Viết phương trình đường phân giác góc tạo hai đường thẳng cắt nhau

Ví dụ: Cho hai đường thẳng 1: 3x4y 1 2: 5x12y 2 Viết phương trình đường phân giác góc tạo hai đường 1 2

5 BÀI TỐN Viết phương trình đường phân giác trong, phân giác ngồi góc tam giác

Ví dụ: Cho tam giác ABC với A3;0 ,   B 1;1 ,C 1;8 Viết phương trình đường phân giác trong, phân giác ngồi góc A

6 BÀI TỐN Tìm chân đường phân giác trong, ngồi góc tam giác

Ví dụ: Cho tam giác ABC với A1;5 , B 4;5 , C 4; 1  Xác định tọa độ chân đường phân giác phân giác ngồi góc A

7 BÀI TỐN Tìm trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, tâm đường tròn nội tiếp tam giác

Ví dụ: Cho tam giác ABC với A2;6 , B  3; , C 5;0 Tìm trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC

(22)

PHẦN 3: 10 BÀI TỐN HÌNH HỌC OXY

Bài tốn Tìm M thuộc đường thẳng d biết phương trình cách điểm I khoảng cho trước (IM=R khơng đổi)

C VÍ DỤ GỐC:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm I5;2 đường thẳng : 2xy 3 Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng  cho MI 5

Cách 1: M d M t ; IM  5 t M ĐS: M1;5 17; 5

M 

 

Cách 2: MI 5→ M thuộc đường trịn tâm I bán kính R=5  M giao điểm đường thẳng đường tròn → M

1 CÁCH RA ĐỀ 1:

Ví dụ (D – 2006): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn   2

: 2

C x y  x y  đường thẳng d x:   y Tìm tọa độ điểm M nằm d cho đường tròn tâm M , có bán kính gấp đơi bán kính đường trịn  C , tiếp xúc ngồi với đường tròn  C

HD: Điểm M thuộc đường thẳng d  M t  Từ (C)  tâm I bán kính R ta có IM=3R  M ĐS: M1; 4 M2;1

(23)

kẻ tiếp tuyến MA MB đến  C ( ,A B tiếp điểm) Tìm tọa độ điểm M , biết tứ giác MAIB có diện tích 10

Hướng dẫn: Từ (C)  tâm I bán kính R Từ tứ giác MAIB có diện tích 10  diện tích tam giác MBI Có BI  MB, mà M t   M ĐS: M2; 4  M3;1 Ví dụ (B – 2002): Cho hình chữ nhật ABCD có tâm 1;0

2

I 

 , phương trình đường thẳng

AB x2y 2 AB2AD Tìm tọa độ điểm , , ,A B C D biết A có hồnh độ âm

Hướng dẫn: B thuộc đường thẳng AB  B t  I trung điểm BD D t  Ta có AD=2d(I,AB) t

Cách 2: AD=2d(I,AB)=2IH Tính IA=IB, từ  A, B giao điểm đường thẳng AB đường tròn tâm I, bán kính R=IA ĐS: A2;0 , B 2; , C 3;0 , D      1; 2

(24)

Hướng dẫn: Từ diện tích tam giác ABC  BC AB AC Ta có B, C giao điểm đường thẳng với đường trịn tâm A bán kính AB ĐS: B 3; , C 11 3;

2 2

   



   

   

3 11 ; , B ;

2 2

C    

   

Ví dụ 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD, có BD nằm đường thẳng có phương trình x y 3 0, điểm M1;2 thuộc đường thẳng AB, điểm

2; 2

N  thuộc đường thẳng AD Tìm tọa độ đỉnh hình vng ABCD biết điểm B

có hồnh độ dương

Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD vng A D, có

ABADCD, điểm B1;2, đường thẳng BD có phương trình y2 Biết đường thẳng : 7x y 25

    cắt đoạn thẳng AD CD, hai điểm M N, cho

(25)

Ví dụ (A, A1 – 2012 – CB): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD Gọi

M trung điểm cạnh BC N, điểm cạnh CD cho CN 2ND Giả sử 11

; 2

M 

  AN có phương trình 2xy 3 Tìm tọa độ điểm

A

Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng 1: 3xy 5 0,

2:x 2y

    đường tròn  C :x2 y26x10y 9 Gọi M điểm thuộc đường tròn  C  N điểm thuộc đường thẳng 1 cho M N đối xứng với qua 2 Tìm tọa độ điểm N

Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông A1; 3 có góc



30

ABC , đường thẳng :xy20 tiếp tuyến B đường trịn ngoại tiếp tam giácABC Tìm tọa độ điểm B C, biết B có hồnh độ số hữu tỉ

Ví dụ 10 Cho hình thoi ABCD, ngoại tiếp đường tròn  C :x2y22x2y180 Biết

(26)

Ví dụ 11 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có ,E F thuộc đoạn AB AD, cho EB2EA FA, 3FD F, 2;1 tam giác CEF vuông F Biết đường thẳng x3y 9 qua hai điểm C E, Tìm tọa độ điểm C biết C có hồnh độ dương

Ví dụ 12 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD vng A D có đáy lớn CD 

45

BCD Đường thẳng AD BD có phương trình 3xy0

x y Viết phương trình đường thẳng BC biết diện tích hình thang 15 điểm

B có tung độ dương

Ví dụ 13: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang cânABCD có hai đường chéo vng góc với AD3BC Đường thẳng BD có phương trình x2y 6 tam giác ABD có trực tâm H3;2 Tìm tọa độ đỉnh C D

Ví dụ 14: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông A, điểm B 1;1 Trên tia BC lấy điểm M cho BM BC 75 Phương trình đường thẳng

: 32

AC x y  Tìm tọa độ điểm C biết bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác

(27)

Ví dụ 15: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn   T : x12y225 đường thẳng :xy20 Từ điểm A thuộc  kẻ hai đường thẳng tiếp xúc với

 T B C Tìm tọa độ điểm A biết diện tích tam giác ABC

Ví dụ (B – 2005): Cho hai điểm A2;0 B6;4 Viết phương trình đường trịn  C

tiếp xúc với trục hoành điểm A khoảng cách từ tâm  C đến điểm B Ví dụ (B – 2009 – CB): Cho đường tròn   : 22

5

C x  y  hai đường thẳng

1:x y

   2:x7y0 Xác định tọa độ tâm K bán kính đường trịn  C1 ; biết đường tròn  C1 tiếp xúc với đường thẳng  1, 2 tâm K thuộc đường tròn  C

Ví dụ (B – 2012 – CB): Cho đường tròn  C1 :x2 y2 4, C2 :x2y212x180

đường thẳng d x:   y Viết phương trình đường trịn có tâm thuộc  C2 , tiếp xúc với

d cắt  C1 hai điểm phân biệt A B cho AB vng góc với d

(28)

Đường cao kẻ từ đỉnh C cắt đường tròn  T 17; 5

N  

  với N khác C Tìm tọa độ

các đỉnh tam giác ABC, biết B có hồnh độ dương

Ví dụ 5: Cho đường tròn  C :x2y2 8 Viết phương trình tắc elip  E có độ dài trục lớn  E cắt  C bốn điểm phân biệt tạo thành bốn đỉnh hình vng

Ví dụ (D – 2013 – NC): Cho đường tròn   C : x12y12 4 đường thẳng :y

   Tam giác MNP có trực tâm trùng với tâm  C , đỉnh N P thuộc

, đỉnh M trung điểm cạnh MN thuộc  C Tìm tọa độ điểm P

Ví dụ Cho đường trịn   C : x42y12 2   C : xy2y528 Cho

AB đường kính thay đổi đường tròn  C' M điểm di động đường trịn  C Tìm tọa độ điểm M A B, , cho diện tích tam giác MABlớn

(29)

Ví dụ 1: Cho đường trịn  C :x2y22x4y200 điểmA4;2 Gọi d tiếp tuyến A  C Viết phương trình đường thẳng  qua tâm I  C  cắt d

tại M cho tam giác AIM có diện tích 25 M có hồnh độ dương

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có diện tích 2, đường thẳng qua A B có phương trình xy0 Tìm tọa độ trung điểm M AC biết I2;1 trung điểm BC Ví dụ (B-2003): Cho tam giác ABC có AB AC BAC,900 Biết M1; 1  trung điểm cạnh BC 2;

3

G 

  trọng tâm tam giác ABC Tìm tọa độ đỉnh , ,A B C

Ví dụ (D-2013-CB): Cho tam giác ABC có điểm 3; 2

M 

  trung điểm cạnh

AB, điểm H2;4 điểm I1;1 chân đường cao kẻ từ B tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Tìm tọa độ điểm C

Ví dụ 5: Cho điểm A10;5 , B15; 5  D20;0 đỉnh hình thang cân

(30)

Ví dụ 6.: Cho hình thoi ABCD có tâmI3;3 AC2BD Điểm 2;4

M 

  thuộc đường

thẳng AB, điểm 3;13

N 

  thuộc đường thẳng CD Viết phương trình đường chéo BD biết

đỉnh B có tung độ nguyên

(31)

Ví dụ 8: Cho hai điểm A1;2 , B4;3 Tìm tọa độ điểm M cho 

135

MAB khoảng cách từ M đến đường thẳng AB 10

2

Ví dụ 9: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB AD

tiếp xúc với đường trịn  T có phương trình x22y32 4 Đường chéo AC cắt đường trịn  T hai điểm M N, Biết 16 23;

5

M  

 , trục tung chứa điểm N không

song song với AD; diện tích tam giác ADI 10 điểm A có hồnh độ âm nhỏ hồnh độ D Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật ABCD

Ví dụ 10 (Khối A, A1-2014): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD có điểm M trung điểm AB N điểm thuộc AC cho AN=3NC Viết phương trình đường thẳng CD, biết M(1;2) N(2;-1)

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ, cho đường tròn  C :x2 y22x4y200 hai đường thẳng d1: 2xy 5 0,d2: 2xy0 Lập phương trình đường thẳng  tiếp xúc

với đường trịn  C A cắt Oxy d d1, B Csao cho B trung điểm

(32)

Ví dụ (A – 2010 – CB): Cho hai đường thẳng d1: 3xy0 d2: 3xy0 Gọi  T đường tròn tiếp xúc với d1 A, cắt d2 hai điểm B Csao cho tam giác

ABCcó diện tích

2 điểm A có hồnh độ dương

Ví dụ (B – 2011 – NC): Cho tam giác ABC có đỉnh 1;1

B 

  Đường tròn nội tiếp tam

giácABC tiếp xúc với cạnh BC CA AB, , tương ứng điểm , ,D E F Cho D3;1 đường thẳng EF có phương trình y 3 Tìm tọa độ đỉnh A, biết A có tung độ dương

BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường trịn  C :x2 y2 4x6y120 Tìm tọa độ điểm M thuộc đường trịn  C' có diện tích gấp bốn lần diện tích đường trịn  C

(33)

Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm C2; 5 , đường thẳng : 3x4y40 Tìm đường thẳng  hai điểm A B đối xứng với qua điểm 2;5

2

I 

  cho

diện tích tam giác ABC 15

Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD có phương trình cạnh : 24

AB x y  9;

2

I 

  giao điểm hai đường chéo Tìm tọa độ đỉnh

hình vng ABCD, biết đỉnh A có hoành độ dương

Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCDbiết phương trình đường chéo 3xy70, điểm B0;3, diện tích hình thoi 20 Tìm tọa độ đỉnh cịn lại hình thoi

Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy Viết phương trình đường trịn  C qua hai điểm 0;5 , 2;3

A B có bán kính R 10

Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn   2

:

C x  y  x y  M0;1 Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC biếtM

(34)

Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC đều, biết điểm 2 3; 2 3 đường thẳng BC x: y0 Tìm tọa độ B C

Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A1; 2 đường thẳng :x2y 3 Trên đường thẳng  lấy hai điểm ,B C cho tam giác ABC vuông C AC 3BC TÌm tọa độ đỉnh B

Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d x:   y điểm A2;6 Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp ngoại tiếp tam giácABC biết hai điểm ,B C

thuộc đường thẳng d, tam giác ABC vng A có diện tích 35

(35)

Bài 11 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A1;3 đường thẳng  có phương trình x2y20 Dựng hình vng ABCD cho hai đỉnh ,B C nằm  Tìm tọa độ đỉnh , ,B C D biết C có tung độ dương

Bài 12 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCDcó diện tích 12, tâm hình chữ nhật điểm 3;

2

I 

  thuộc đoạn

BD cho IB 2ID Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật, biết A có dung độ dương

Bài 13 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD điểm M3;0 trung điểm cạnh AD Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật ABCD có phương trình

:

AD xy  , điểm I3; 2 thuộc đoạn BD cho IB 2ID Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật, biết D có hồnh độ dương AD2AB

(36)

Bài 15 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD vng A D có đáy lớn

CD Biết BC2AB2AD, trung điểm BClà điểm M1;0, đường thẳng AD cospt 3

x y  Tìm tọa độ điểm A biết A có tung độ nguyên

Bài 16 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân A, biết

  

120 ; 1;2

BAC  M trung điểm cạnh AC Đường thẳng BC có phương trình

xy  Tìm tọa độ điểm A biết điểm C có hồnh độ dương

Bài 17 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn  C :x2 y2 8x6y210 đường thẳng d: 2x y 3 Xác định tọa độ đỉnh hình vng ABCD ngoại tiếp đường tròn  C biết A nằm d có hồnh độ ngun

Bài 18 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng :x2y 5 đường tròn   2

:

C x  y  x y  Qua điểm M thuộc , kẻ hai tiếp tuyến MA MB, đến  C

( ,A B tiếp điểm) Tìm tọa độ điểm M , biết độ dài đoạn AB2

Bài 19 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường trịn  C :x2 y212x4y360 Viết phương trình đường trịn  C' tiếp xúc với hai trục tọa độ, đồng thời tiếp xúc ngồi với đường trịn  C Biết tâm  C' có hồnh độ tung độ dấu (Khơng hình)

(37)

của cạnh AD giao điểm d1 với trực hoành Xác định tọa độ bốn đỉnh hình chữ

nhật, biết A có tung độ dương

Bài 21 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trung điểm cạnh AB  1;2

M  , tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác I2; 1  Đường cao tam giác kẻ từ A

có phương trình : 2xy 1 Tìm tọa độ đỉnh C

Bài 22 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1:x y 3

2:

d xy  điểm M1;2 Viết phương trình đường tròn qua M cắt d1 hai

điểm A B cho AB8 đồng thời tiếp xúc với d2

Bài 23 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD có : 4 0, : 18

AB x  y CD x y  tâm I thuộc đường thẳng :xy 1 Tìm tọa độ đỉnh hình vng biết A có hồnh độ nhỏ

Bài 24 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn  C1 có phương trình 2

25

x  y  ,

(38)

Bài 25 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có tâm đường trịn ngoại tiếp điểm I4;0 phương trình hai đường thẳng chứa đường cao đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A tam giác d1:x y 2 d2:x2y 3 Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh tam giác ABC biết B có tung độ dương Bài 26 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có A1;0 , B3; 2



120

ABC  Xác định tọa độ hai đỉnh C D, biết D có tung độ dương

Bài 27 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có tâm I2;1 AC 2BD Điểm 0;1

3

M 

  thuộc đường thẳng AB, điểm N0;7 thuộc đường thẳng CD Tìm tọa độ

đỉnh B biết B có hồnh độ dương

Bài 28 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn   : 32  22 27

C x  y  có tâm

I đường thẳng d x:  y 5 Từ điểm M thuộc d kẻ tiếp tuyến MA MB, đến đường tròn  C ( ,A B tiếp điểm) Tìm tọa độ điểm M cho diện tích tam giác

IAB 27

(39)

Bài 29 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn  C :x2y26x2y 6 điểm A2; ,  B4;1 Tìm tọa độ điểm M đường tròn cho tam giác MAB cân

M có diện tích lớn

Bài 30 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vng OABC có đỉnh A3; 4 điểm B

có hồnh độ âm Gọi ,E F theo thứ tự giao điểm đường tròn  C ngoại tiếp hình vng OABC với trục hồnh trục tung (E F khác gốc tọa độ O) Tìm tọa độ điểm

M cho tam giác MEF có diện tích lớn

Bài 31 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A2;0 đường thẳng :x2y20 Tìm  hai điểm M N, cho tam giác AMN vuông A AM 2AN, biết điểm

N có tung độ số nguyên

(40)

Bài 32 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông A, có đỉnh C4;1, phân giác góc A có phương trình xy 5 Viết phương trình đường thẳng BC, biết diện tích tam giác ABC 24 đỉnh A có hồnh độ dương

Bài 33 Cho đường trịn  C :x2y22x4y0 điểm A1;3 Tìm tọa độ đỉnh cịn lại hình chữ nhật ABCD nội tiếp  C có diện tích băng 10

Bài 34 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn CBCD Trên tia đối tia DA lấy điểm E cho DE  AB Phương trình cạnh

: 13

BC x y  , phương trình AC x:  y 1 Tìm tọa độ đỉnh ,A B biết A có hồnh độ nhỏ E14;1

Bài 35 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn   2

: 4

T x y  y  cạnh AB có trung điểm M thuộc đường thẳng :

d xy  Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC, biết điểm M có hồnh độ khơng lớn

Bài 36 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có diện tích với 3; , 1;0

A  B Tìm tọa độ đỉnh C biết bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

(41)

Bài 37 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm H2;1 tâm đường tròn ngoại tiếp I1;0 Trung điểm BCnằm đường thẳng có phương trình

2

x y  Tìm tọa độ đỉnh ,B C biết đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC qua điểm E6; 1  hoành độ điểm B nhỏ

Bài 38 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với A 1;1 ,B2;3 C thuộc đường trịn có phương trình 2

6

x  y  x y  Tìm tọa độ trọng tâm tam giác

ABC, biết diện tích tam giác ABC 0,5 điểm C có hồnh độ số ngun (Khơng hình)

Bài 39 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1: 2xy 1

2:

d xy  Gọi I giao điểm d1 d2; A điểm thuộc d1 có hồnh độ dương Lập phương trình đường thẳng  qua A, cắt d2 B cho diện tích tam giác

IAB IB3IA

Bài 40 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình đường cao kẻ từ đỉnh A 3xy 5 0, trực tâm H 2; 1 1;

2

 

 

(42)

tọa độ đỉnh tam giác ABC, biết BC  10 B có hồnh độ nhỏ hồnh độ C

Bài 41 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng 1:xy150

2: 3x y 10

    Các đường trịn  C1  C2 có bán kính nhau, có tâm nằm

trên 1 cắt hai điểm A10;20 B Đường thẳng 2 cắt  C1  C2 C D (khác A) Tìm tọa độ đỉnh tam giác BCD , biết diện tích tam giác

BCD 120 tâm đường tròn  C1 có hồnh độ khơng dương

Bài 42 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng : 3xy0 Lập phương trình đường trịn tiếp xúc với  A, cắt trục tung hai điểm B C, cho tam giác ABC

vng A có chu vi 3

Bài 43 Cho hai điểmA0;1 , B2; 1  hai đường thẳng

   

1: 2

d m x m y m ; d2: 2 m x m1y3m 5 Gọi P giao điểm d1 d2 Tìm m co PAPB lớn

Bài 44 Cho tam giác nhọn ABC Đường thẳng chứa trung tuyến kẻ từ đỉnh A đường thẳng BC có phương trình 3x5y 8 xy40 Đường thẳng qua A

(43)

4; 2

D  Viết phương trình đường thẳng AB AC, biết hồnh độ điểm B

khơng lớn

: 25

C x  y  , đường thẳng AC qua điểm K2;1 Gọi M N, chân đường cao kẻ từ B C Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC, biết phương trình đường thẳng

MNlà 4x3y100 có điểm A có hồnh độ âm

Bài 46 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABCcó đỉnh A 1; 3 Biết trực tâm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABClần lượt làH1; 1  I2; 2  Tìm tọa độ đỉnh lại tam giác ABC

Bài 47 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD có hai đáy làAB CD Biết tọa độ B3;3 , C5; 3  Giao điểm I hai đường chéo nằm đường thẳng

: 2x y

(44)

Bài tốn Tìm M thuộc đường thẳng d cách đường thẳng d’ khoảng không đổi

C VÍ DỤ GỐC

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng :xy 1 đường thẳng ' : 5x 12y

    Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng  cho M cách ' khoảng

D CÁC VÍ DỤ MỞ RỘNG

Ví dụ (B – 2014): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A 1;1 ,B4; 3  Tìm điểm

C thuộc đường thẳng x2y 1 cho khoảng cách từ C đến đường thẳng AB

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có diện tích Biết 1;0 , 0;2

A B giao điểm I hai đường chéo nằm đường thẳng y  x Tìm tọa độ đỉnh ,C D

Ví dụ 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD có phương trình đường thẳng chứa cạnh AB CD xy40 xy40 Xác định tọa độ đỉnh hình vng biết tâm hình vuông thuộc đường thẳng

: 2x y

(45)

Ví dụ 4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng :xy0 Đường trịn  C có bán kính R 10 cắt  hai điểm ,A B cho AB4 Tiếp tuyến  C

tại A B cắt điểm thuộc tia Oy Viết phương trình đường trịn  C

E BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD A3;1 , B 4;5 Tâm I hình bình hành thuộc đường thẳng x y 3 Tìm tọa độ đỉnh C D, biết diện tích hình bình hạnh ABCD

Bài (D-2007) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn   C : x12y22 9 đường thẳng d: 3x4ym0 Tìm m để d có điểm P mà từ kẻ hai tiếp tuyến PA PB, tới  C ( ,A B tiếp điểm) cho tam giác PAB

Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân A với BC 4 Các đường thẳng AB AC qua điểm 1;

3

M     

18 0;

7

N 

(46)

tọa độ đỉnh tam giác ABC, biết đường cao AH có phương trình x y20 điểm B có hồnh độ dương

Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có giao điểm hai đường chéo I Trung điểm AB điểm M0; 7  trọng tâm G5;3 tam giác

ICD Biết diện tích ABD 12 A thuộc đường thẳng :xy20 Tìm tọa độ đỉnh hình bình hành ABCD

Bài tốn Tìm M thuộc đường thẳng d cho tam giác MAB tam giác đăc biệt (vuông, cân, hai cạnh có mối quan hệ độ dài, ….)

C VÍ DỤ GỐC:

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng : 2xy 5 với hai điểm A2;3 , B 4;1 Tìm tọa độ điểm M thuộc  cho tam giác MAB vng M

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác MAB cân A đường thẳng :x 2y

(47)

Ví dụ 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác MAB có trọng tâm G2; 1 

và A 1; 3   Đường thẳng : 2xy40 qua M Tìm tọa độ điểm M B biết

MB MA M có hồnh độ dương

Ví dụ (D – 2004): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh  1;0 , 4;0 , 0; 

A  B C m với m0 Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC theo m Xác định m để tam giác GAB vuông G

Ví dụ (A, A1 – 2013 – CB): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật

ABCD có điểm C thuộc đường thẳng d: 2x y 5 A4;8 điểm đối xứng

B qua , N hình chiếu vng góc B đường thẳng MD Tìm tọa độ điểm B

và C, biết A5; 4 

Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A1; 2, B3; 4 , đường thẳng

:

(48)

Ví dụ (A – 2009 – CB): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD

có điểm I6; 2 giao điểm hai đường chéo AC BD Điểm M1;5 thuộc đường thẳng AB trung điểm Ecủa cạnh CD thuộc đường thẳng :xy 5 Viết phương trình đường thẳng AB

Ví dụ 5: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có B1; 2  trọng điểm G tam giác ABC nằm đường thẳng d: 2x  y Trung điểm CD

là điểm N1;2 Tìm tọa độ đỉnh , ,A C D Biết G có hồnh độ nhỏ

Ví dụ 6.: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G2; 3 

và B 1;1 , đường thẳng :xy40 qua A đường phân giác gốc A cắt

BC điểm I cho diện tích tam giác IAB

(49)

Ví dụ 7: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích 18, đường chéo AC có phương trình x2y 9 0, đường thẳng AB qua điểm E5;5, đường thẳng AD qua điểm F5;1 Tìm tọa độ đỉnh , ,A B D hình chữ nhật biết điểm A có tung độ lớn

5 điểm B có hồnh độ lớn

Ví dụ 8: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân A có đỉnh A6; 6; đường thẳng d qua trung điểm cạnh AB AC có phương trình x  y 0 Tìm toạ độ B C biết E(1;-3) nằm đường cao qua đỉnh C tam giác cho

Ví dụ 9: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác nhọn ABC có phương trình đường trung tuyến kẻ từ A đường thẳng chứa cạnh BC 3x5y20

2

xy  Đường thẳng qua A vng góc với BC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác

(50)

Ví dụ 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD có hai đáy AB CD Biết tọa độ B3;3 , C5; 3 , giao điểm I hai đường chéo nằm đường thẳng

: 2x y

    Xác định tọa độ cịn lại hình thang ABCD để CI 2BI, tam giác

ABC có diện tích 12, điểm I có hồnh độ dương điểm A có hồnh độ âm

Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A3; 4, trọng tâm G2; 2, trực tâm 23 26;

9

H 

  Tìm tọa độ đỉnh cịn lại tam giác ABC

(51)

Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có tọa độ trực tâm H2;1 tâm đường tròn ngoại tiếp I1;0 Trung điểm BC nằm đường thẳng có phương trình x2y 1 Tim tọa độ đỉnh B C, biết đường tròn ngoại tiếp tam giác

HBC qua điểm M6; 1  hoành độ điểm B nhỏ

Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình đường cao kẻ từ đỉnh A 3xy 5 0, trực tâm H 2; 1 1;

2

M 

  trung điểm cạnh AB Tìm

(52)

Bài Cho tam giác nhọn ABC, đường thẳng chứa trung tuyến kẻ từ đỉnh A đường thẳng BC có phương trình 3x5y 8 xy40 Đường thẳng qua A

vng góc với đường thẳng BC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC điểm thứ hai 4; 2

D Viết phương trình đường thẳng AB AC, , biết hoành độ điểm B không lớn

Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác nhọn ABC có phương trình trung tuyến kẻ từ A đường thẳng chứa cạnh BC 3x5y20 xy20 Đường thẳng qua A vng góc với BC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC điểm thứ hai

2; 2

D  Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC, biết B có tung độ âm

Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn   T : x12y12 2 hai điểm A0; , B4;0 Tìm tọa độ hai điểm ,C D cho ABCD hình thang AB CD 

(53)

Bài tốn Tìm M thuộc đường thẳng d thoả điều kiện cho trước (mở rộng tốn 1, 2, 3)

Ví dụ (A – 2006): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng:

1: 0; 2: 0, 3:

d xy  d xyy d x y Tìm tọa độ điểm M nằm đường thẳng d1 cho khoảng cách từ M đến đến d1 hai lần khoảng cách từ M đến đường thẳng d2

D CÁC VÍ DỤ MỞ RỘNG:

Ví dụ (D – 2013 – NC): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng   C : x12y12 4 đường thẳng :y 3 Tam giác MNP có trực tâm trùng với tâm  C , đỉnh N P thuộc , đỉnh M trung điểm cạnh MN thuộc

 C Tìm tọa độ điểm P

Ví dụ (D – 2012 – NC): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng

:

(54)

Ví dụ (A – 2002): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông A, ot đường thẳng BC 3xy 30, đỉnh A B thuộc trục hoành bán kính đường trịn nội tiếp Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC

Ví dụ (B – 2007): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A2;2 đường thẳng d1:xy 2 0;d2:xy 8 Tìm tọa độ điểm B C thuộc d1

2

d cho tam giác ABC vuông cân A

Ví dụ (D – 2012 – CB): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD Các đường thẳng AC BD có phương trình x3y0 x y40; đường thẳng qua BD qua điểm 1;1

3

M 

  Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật ABCD

Ví dụ (B – 2012 – NC): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có

AC  BD đường tròn tiếp xúc với cạnh hình thoi có phương trình x2y2 4 Viết phương trình tăc elip  E qua đỉnh , , ,A B C D hình thoi Biết A

(55)

Ví dụ Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình đường thẳng chứa đường cao kẻ từ B x3y180, phương trình đường trung trực đoạn

BC : 3x19y2790, đỉnh C thuộc đường thẳng d: 2x  y Tìm tọa độ điểm A biết BAC1350

Bài (A-2005): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1:x y0

2:

d xy  Tìm tọa độ đỉnh hình vng ABCD biết đỉnh A thuộc d1, đỉnh C thuộc d2, đỉnh ,B D thuộc trục hoành

Bài 2: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng 1:x2y 3

2:x y

(56)

Bài (B – 2011 – CB): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng :x y

    d: 2x  y Tim tọa độ điểm N thuộc đường thẳng d cho đường thẳng ON cắt đường thẳng  điểm M thỏa mãn OM ON 8

Bài 4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A2;1, trực tâm 4; 7

H  , đường trung tuyến kẻ từ đỉnh B có phương trình 9x5y70 Tìm tọa độ đỉnh B C

(57)

Bài toán Tìm M dựa vào hệ thức vectơ

Bài tốn 5.1 Tìm toạ độ M lien hệ với hai (ba) điểm cho trước qua hệ thức vectơ MAk MB

 

Bài tốn 5.2 Tìm toạ độ hai điềm M, N thuộc hai đường thẳng d d1, 2 lien hệ

với điểm thứ ba cho trước qua hệ thức vectơ C VÍ DỤ GỐC

Ví dụ: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với A1; , B 3; 4và  1; 3

C   TÌm tọa độ điểm M trường hợp sau: 1) MA3AB

 

2) Tứ giác ABCM hình thang đáy AM MA2BC

Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD với hai đáy AB CD,

CD  AB Gọi H chân đường vng góc hạ từ A xuống AC M trung điểm

(58)

Ví dụ (B – 2014): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD Điểm  3;0

M  trung điểm cạnh AB, điểm H0; 1  hình chiếu vng góc B

AD điểm 4;3

G 

  trọng tâm tam giác BCD Tìm tọa độ đỉnh B D

Ví dụ 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD có A2;6, đỉnh B

thuộc đường thẳng d có phương trình x2y60 Gọi M N, hai điểm hai cạnh BC CD, choBM CN Xác định tọa độ đỉnh C, biết AM cắt BN điểm 14;

5

I 

 

Ví dụ 4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp 5;

3

I 

  , trực tâm

1 ; 3

H 

  trung điểm cạnh BC điểm M 1;1 Xác định

(59)

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD vng A D,

CD  AB, đỉnh B8; 4 Đỉnh B(8;4) Đường chéo AC qua điểm M4;12 đường  thẳng chứa cạnh AD có phương trình xy20 Tìm tọa độ A, C, D

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm thuộc đường thẳng :x2y 3 Đường thẳng qua A B có phương trình x2y 3 Tìm tọa độ A B biết AB 5, C 1; 1 hoành độ A lớn hoành độ B

(60)

Ví dụ 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tọa độ đỉnh cịn lại tam giác ABC biết 5; 2

A , phương trình đường trung trực BC, đường trung tuyến CD có phương trình x3y 1 4x3y160

Ví dụ 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC Biết trung tuyến kẻ từ A đường cao kẻ từ B có phương trình x3y 1 xy 1 Biết M1;2 trung điểm AB Tìm tọa độ điểm C

Ví dụ 6.: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm M nằm cạnh BC cho MC 2MB, tia đối tia DC lấy điểm N cho NC 2ND Đỉnh D1; 3  điểm A nằm đường thẳng 3xy 9 Phương trình đường thẳng

: 3

(61)

Ví dụ 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đường cao AH AH BC

và BC 3BH Đường trịn ngoại tiếp tam giácABH có phương trình   2

:

T x  y  x y , đường thẳng AC x: y20 Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC, biết A có hồnh độ dương

E BÀI TẬP VẬN DỤNG:

Bài 1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD Gọi M trung điểm cạnh , 1;

2

BC N 

 



điểm cạnh AC cho

AN  AC giao điểm AC

và DM 1;4

I 

  Xác định tọa độ đỉnh hình vng ABCD biết

B có hồnh độ dương

(62)

Bài 2: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC, biết phương trình đường thẳng AB AC, xy 3 2xy20 Biết trung điểm cạnh

BC 5;

2

M  

  Hãy viết phương trình đường thẳng BC

Bài 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có G trọng tâm của tam giác BCD, phương trình đường thẳng DG 2xy 1 0, phương trình đường thẳng BD 5x3y20 điểm C0;2 Tìm tọa độ đỉnh cịn lại hình bình hành ABCD

Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A2;3, đường cao CH

(63)

Bài 5.: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1: 3x  y 0,

2:

d xy  điểm M 1;1 Viết phương trình đường thẳng d qua M cắt

1,

d d ,A B cho 2MA3MB (Khơng hình)

Bài 6: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD, điểm C3; 3  điểm A thuộc đường thẳng B Gọi M trung điểm BC, đường thẳng DM có phương trình x y20 Xác định tọa độ đỉnh cịn lại hình vuông ABCD

Bài 7: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC biết trực tâm H1;0, chân đường cao hạ từ đỉnh B K0;2, trung điểm cạnh AB điểm

3;1

M

Bài 8: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình đường trung tuyến BN đường cao AH có phương trình 3x5y 1

8xy 5 Xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC, biết 1;

M  

  trung điểm

(64)

Bài 9: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, có hình thang vng ABCD có BC900  

Phương trình đường thẳng AC DC x2y0 xy 3 Xác định tọa độ đỉnh hình thang ABCD biết trung điểm cạnh AD 3;

2

M  

 

Bài 10: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A3;3 I2;1 tâm đường tròn ngoại tiếp Đường phân giác góc nhọn A có phương trình

0

xy Tìm tọa độ đỉnh cịn lại tam giác ABC, biết 5

BC

Bài 11: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A,

BM đường trung tuyến Kẻ từ đường thẳng qua A vng góc với BM cắt BC 2;1

E , trọng tâm tam giác ABC G2; 2 Xác định tọa độ đỉnh lại tam giác

(65)

Bài 12: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD với đáy lớn AD

AD BC, đỉnh B4;0, phương trình đường chéo AC: 2xy 3 0, trung điểm E

AD thuộc đường thẳng :x2y100 Tìm tọa độ đỉnh cịn lại hình thang

ABCD, biết cotADC2

Bài 13: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip  

2

:

4

x

E y  , điểm 2; 3

M 

 

Viết phương trình đường thẳng  qua M cắt E hai điểm A B, cho MA2MB (Khơng hình)

Bài 14: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có A5; 7 , M điểm cho 3MA MB0 Điểm C thuộc đường thẳng d x:   y Đường thẳng qua DM có phương trình 7x6y570 Tìm tọa độ đỉnh tam giác BCD biết điểm B có hồnh độ âm

(66)

ICD Biết diện tích ABD 12 A thuộc đường thẳng :xy20 Tìm tọa độ đỉnh hình bình hành ABCD

Bài tốn Viết phương trình đường thẳng

TRƯỜNG HỢP Bài tốn khơng cho vectơ pháp tuyến (hoặc vectơ phương) Bài tốn 6.1 Viết phương trình đường thẳng d qua điểm, cách điểm cho trước một khoảng khơng đổi

Ví dụ: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm M1;4 N2;1 Lập phương trình đường thẳng  qua M cho khoảng cách từ N tới đường thẳng 

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn  C :x2 y2 4x8y 5 Viết phương trình  qua điểm M5; 2 cắt đường tròn  C hai điểm A B, cho

5

(67)

Ví dụ (Khối A, A1 – 2014): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD

có điểm M trung điểm đoạn AB N điểm thuộc đoạn AC cho AN 3NC Viết phương trình đường thẳng CD, biết M1;2 N2; 1 

Ví dụ 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn   2

: 6

T x  y  x y  , điểm A1;3 Viết phương trình đường thẳng qua A cắt  T B C cho ABBC

Ví dụ 4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn   T : x12y22 5 ngoại tiếp tam giác ABC Đường thẳng BC qua điểm 7;

2

M 

  Hãy xác định tọa

độ điểm A

(68)

7; 3

N  Xác định tọa độ đỉnh cịn lại hình vng ABCD biết C có hồnh độ ngun

Ví dụ 6.: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng :xy20 điểm 3;0

M Đường thẳng ' qua M cắt đường thẳng  A Gọi H là hình chiếu vng góc A lên trục Ox Viết phương trình đường thẳng ', biết khoảng cách từ H đến '

bằng

Ví dụ 7: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD vng đỉnh A có diện tích 50 , đỉnh C2; 5 , AD3BC

 

Biết đường thẳng AB qua điểm

; 2

M 

 , đường thẳng AD qua điểm N3;5 Viết phương trình đường thẳng AB

khơng song song với trục tọa độ

(69)

Ví dụ: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng ' qua M tạo với đường thẳng  góc 45

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân A cân A, phương trình đường thẳng AB BC x2y 5 3xy70 Viết phương trình đường thẳng AC, biết AC qua điểm F1; 3 

Ví dụ (D – 2012 – CB): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD Các đường thẳng AC AD x3y0 xy40; đường thẳng BD qua điểm 1;1

3

M 

(70)

Ví dụ 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng

1: 0, 2:

d xy  d x y  Lập phương trình đường thẳng qua điểm M2; 1 

sao cho đường thẳng cắt hai đường thẳng d1 d2 tạo tam giác cân đỉnh giao điểm d1 d2

Ví dụ 4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông A I trung điểm BC Gọi 11;

2

M  

  trung điểm

IB N thuộc đoạn IC cho

NC NI Biết phương trình đường thẳng AN xy20 điểm N có tọa độ nguyên Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC

Ví dụ 5: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD Điểm 7; 2

M 

 

trung điểm AB Điểm N nằm đoạn AC cho AN 3NC Tìm tọa độ điểm A

(71)

Ví dụ 6.: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có A0;2 Gọi

H hình chiếu vng góc B lên AC Trên tia đối BH lây điểm E cho

BE AC Biết phương trình đường thẳng DE x: y0 Tìm tọa độ đỉnh C hình chữ nhật, biết B có tung độ dương D khơng trùng với gốc tọa độ

Ví dụ 7: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có tâm I3;3

AC  BD Điểm 2;4

M 

  thuộc đường thẳng AB điểm

13 3;

3

N 

  thuộc đường thẳng

CD Viết phương trình đường chéo BD

Ví dụ 8: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông A Gọi M điểm cạnh AC cho AB3AM Đường trịn tâm I1; 1  đường kính CM cắt

BM D đường thẳng qua hai điểm ,C D có phương trình x3y 6 Xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC biết phương trình đường thẳng BC qua 4;

3

N 

 

(72)

Ví dụ 9: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD Gọi E trung điểm , 11;

5

AD H  

  hình chiếu

B lên CE 3; 5

M  

  trung điểm đoạn

BH Xác định tọa độ đỉnh hình vng ABCD, biết A có hồnh độ âm

Ví dụ 10: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có đỉnh  7;0

B  Một điểm M nằm hình bình hành cho MAB MCB Phương trình đường thẳng chứa MB MC, 1:x y 2 0; 2: 2xy 1 Tìm tọa độ đỉnh

A, biết đỉnh A thuộc đường thẳng d y: 3x A có hồnh độ nguyên

(73)

Bài 2.A2009NC Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn   2

: 4

C x  y  x y  đường thẳng :xmy2m 3 0, với m tham số thực Gọi I tâm đường trịn  C , Tìm m để cắt  C hai điểm phân biệt Avà B Sao cho diện tích tam IAB lớn (khơng hình)

Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn   C : x12y22 5và điểm 6; 2

M Chứng minh M nằm ngồi đường trịn viết phương trình đường thẳng

đi qua M cắt  C hai điểm A B, cho MA2MB2 50

Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn   C : x12y12 16 có tâm

I điểm A1 3;2 Viết phương trình đường thẳng đi qua A cắt  C hai điểm ,

B C phân biệt cho tam giác IBCnhọn đồng thời có diện tích (Khơng hình) Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho mặt phẳng với hệ tọa Oxy, cho đường tròn

  2

:

C x  y  y  có tâm Ivà điểm A2;0 Viết phương trình đường thẳng  qua điểm A cắt đường tròn  C hai điểm ,B C cho tam giác IBC nhọn có diện tích (Khơng hình)

(74)

Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường  T có phương trình

2

6

x  y  x y  điểm A3;3 Lập phương trình đường thẳng đi qua A cắt  T hai điểm cho khoảng cách hai điểm độ dài cạnh hình vng nội tiếp đường tròn  T

Bài Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC Đường trịn nội tiếp tam giác ABC có phương trình   T : x42y22 5, đường thẳng BCđi qua điểm 3;

2

M  

  Tìm tọa độ điểm A

(75)

Bài 10 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD có đỉnh A1;3 Biết điểm M6; 4thuộc cạnh BC 17 9;

2

N 

  thuộc đường DC Tìm tọa độ đỉnh

cịn lại hình vng ABCD (Khơng hình)

Bài 11 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình thang cân ABCD có hai đáy ,

AB CDvà hai đường chéo ACvà BDvng góc với Biết A0;3 , B3;4và điểm C

thuộc trục hồnh Tìm tọa độ đỉnh D hình thang ABCD

Bài 12 Tong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vng A Biết phương trình cạnh BClà d x: 7y310 điểm N7;7 thuộc đường thẳng AC, điểm M 2; 3  thuộc đường thẳng AB.Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC

Bài 13 Trong mặt phẳng tọa đô Oxy, cho tam giác ABC cân A có phương trình hai cạnh AB AC x2y 2 0và 2xy 1 0, điểmM1; 2thuộc đoạn BC.Tìm tọa độ điểm D cho DB DC  có giá trị nhỏ (Khơng hình)

(76)

, điểm M1;0 thuộc đường cao kẻ từ đỉnh C Xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC

Bài 15 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vng cân A, phương trình

:2

BC xy  , đường thẳng ACđi qua điểm M1;1 điểm A nẳm đường thẳng:x4y 6 Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC, biết đỉnh A có hồnh độ dương

Bài 16 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân A Đường thẳng AB BC có phương trình7x6y240 x2y 2 Viết phương trình đường cao kẻ từ B tam giác ABC (Khơng hình)

Bài 17 Trong mặt phẳng tọa độOxy, cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường thẳng AB x: 2y 1 0, phương trình đường thẳng BD: 7 y140, đường thẳng AC qua điểm M2;1.Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật (Khơng hình)

Bài 18 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn   2

: 2

C x y  x y  Lập phương trình tiếp tuyến   C biết tiếp tuyến tạo với '

 góc

45 Biết đường thẳng '

:4x 2y 11

(77)

Bài 19 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD có đỉnh A thuộc đường thẳng :x y

    , đường thẳng BC qua điểm M4;0, đường thẳng CD qua điểm 0; 2

N Biết tam giác AMN cân A.Viết phương trình đường thẳng BC

Bài 20.Trong mặt phẳng tọa độOxy, viết phương trình đường thẳng  tiếp xúc với đường tròn   2

1

1 :

2

C x  y  cắt đường tròn   C2 : x22y22 4 hai điểm M N, cho MN 2

Bài 21 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích 16, đường thẳng AB BC CD DA, , , qua điểm

4;5 , 6;5 , 5; , 2;1

M N P Q Viết phương trình đường thẳng AB

1 : 13,

C x y  đường tròn    2

2 : 25

(78)

Bài 23 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy Viết phương trình bốn cạnh hình vng khơng song song với trục tọa độ có tâm Ovà hai cạnh kế qua M1; 2và N3; 1 

Bài 24 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD với đáy lớn AD AD2BC, đỉnh B4; 0, phương trình đường chéo AC:2xy 3 0, trung điểm E ADthuộc đường thẳng  : 2y100 Tìm tọa độ đỉnh cịn lại hình thang ABCD, biết



cotADC2

: 2 23

C x y  x y  điểm 7;3

M Viết phương trình đường thẳng qua M cắt  C hai điểm phân biệt A B, cho

(79)

Bài 26 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A 1; 3, B5;1 Điểm M nằm đoạn thẳng BCsao cho MC 2MB Tìm tọa độ điểm C biết MA AC5 đường thẳng BC có hế số góc số nguyên

TRƯỜNG HỢP Bài toán cho vectơ pháp tuyến (hoặc vectơ phương)

Bài tốn 6.3 Viết phương trình đường thẳng d biết phương đường thẳng d cách điểm cho trước khoảng khơng đổi

Ví dụ : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy Viết phương trình đường thẳng  có vecto pháp tuyến n3; 4  cách điểm M2;3 khoảng

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa đọ Oxy, cho đường tròn   2

: 18

T x y  x y  cách hai điểm A1; , B1;3 Gọi C D, hai điểm thuộc  T cho ABCD hình bình hành Viết phương trình đường thẳng CD

(80)

ABC đến đường thẳng BC 5, đường thẳng qua đỉnh B có phương trình

xy  Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC, biết A B, có tọa độ nguyên

Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường tròn   C1 : x12y22 5và C2 : x12y32 9 Viết phương trình đường thẳng  tiếp xúc với  C1 cắt  C2 hai điểm A B, cho AB4

Bài tốn 6.4 Viết phương trình đường thẳng d biết phương đường thẳng thoả mãn điều kiện cho trước

Ví dụ : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy Viết phương trình đường thẳng  có vecto pháp tuyế 1; 2

n cắt đường thẳng '

 có phương trình x3y 2 điểm M cho OM  D Các ví dụ mở rộng

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A1; 2, B4; 3  Viết phương trình đường thẳng  vng góc với đường thẳng ', đồng thời khoảng cách từ B đến đường thẳng  ba lần khoảng cách từ A đến đường thẳng  Biết đường thẳng

'

:3x 5y

(81)

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A4;3, đường phân giác góc A có phương trình xy 1 tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC 2;3

2 I 

  Viết phương trình cạnh BC, biết diện tích tam giác ABC hai lần diện tích tam giác IBC

Ví dụ (D-2011-NC) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A1;0 đường tròn   2

:

C x y  x y  Viết phương trình đường thẳng  cắt  C hai điểm M N cho tam giác AMN vuông cân A

(82)

Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn   2

: 4

C x y   y  Viết phương trình tiếp tuyến   C biết tiếp tuyến hệ số góc (Khơng hình) Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn   2

:

C x y  Đường tròn  ' C tâm 2; 2

I cắt  C điểm A B, cho AB Viết phương trình đường thẳng AB

Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn   C2 : x12y12 16   C2 : x22y12 25 Viết phương trình đường thẳng  cắt  C1 hai điểm A B, cắt  C2 hai điểm C D thỏa mãn AB2 CD8

Bài Trong mặt phẳng tọa độOxy, cho tam giác ABC có đỉnh A3;3 I2;1 tâm đường tròn ngoại tiế Đường phân giác góc nhọn A có phương trình xy0 Tìm tọa độ đỉnh lại tam giác ABC, biết

(83)

Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn   2

:

C x y  x y  điểm 1;0

(84)

Bài tốn Tìm điểm dựa vào trung tuyến, đường cao, trung trực tam giác Ví dụ: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm H2; 0, phương trình đường trung tuyến CM :3x7y 8 0, phương trình đường trung trực BC x 3 Tìm tọa độ đỉnh A

Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC, biết A1;6 hai đường trung tuyến nằm hai đường thẳng có phương trình x2y 1 3x  y Tìm tọa độ đỉnh cịn lại tam giác ABC

Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A1; 2 Trung tuyến

 

CM MAB đường cao BH HAC có phương trình 5x7x200 5x2y 4 Viết phương trình cạnh BC

Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân A M trung điểm AB Đường thẳng CM có phương trình y 3 7;

3 K 

(85)

Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC biết trực tâm 1; 0

H , chân đường cao hạ từ đỉnh B K0; 2, trung điểm cạnh AB điểm M3;1 

Ví dụ (D-2009-CB) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có M2;0 trung điểm cạnh AB Đường trung tuyến đường cao qua đỉnh A có phương trình 7x2y 3 6xy 4 Viết phương trình đường thẳng AC

(86)

Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình đường trung tuyến BN đường cao AH có phương trình 3x5y 1 8x  y Xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC, biết 1;

2 M  

  trung điểm cạnh BC

Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có diện tích 24 phương trình đường trung tuyến kể từ đỉnh A B C, , 1:xy20,

3:x 3y 10

    Tìm tọa độ A B C, ,

Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A3; 4, trọng tâmG2; 2, trực tâm 23 26;

9 H 

(87)

Ví dụ 10 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tamgiasc ABC có đỉnh A2;1, trực tâm 14; 7

H  , đường trung tuyến kể từ đỉnh B có phương trình 9x5y 7 Tìm tọa độ đỉnh B C

Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A 1; 3, hai đường cao BH CK có phương trình 5x3y250 3x8y120 Hay xác định tọa độ đỉnh B C

(88)

Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm 4;1 G 

 , trung điểm BC điểm M 1;1 , phương trình đường thẳng chứa đường cao kẻ từ B xy 7 Tìm tọa độ A B C, ,

Bài (D-2012-CB) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD Các đường thẳng AC AD có phương trình x3y0 xy40; đường thẳng BD qua điểm 1;1

3 M 

  Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật ABCD

Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,cho tam giác ABC Đường cao kẻ từ A, trung tuyến kẻ từ B, trung tuyến kể từ C nằm đường thẳng có phương trình xy 6 0,

2

(89)

Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh C 1; 2, đường trung tuyến kẻ từ A đường cao kẻ từ B có phương trình 5xy 9 x3y 5 Tìm tọa độ đỉnh A B

Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân đỉnh A, có trọng tâm

; 3 G 

 , phương trình đường thẳng BC x2y 4 phương trình đường thẳng BG 7x4y 8 Tìm tọa đọ đỉnh tam giác ABC

Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G2; 0, biết phương trình cạnh AB AC theo thứ tự 4xy140 2x5y 2 Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC

(90)

Bài 10 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A2; 4 Phương trình đường trung trực canh BC, đường trung tuyến xuất phát từ C x2y 1

3

x y  Tìm tọa độ đỉnh lại tam giác ABC

Bài tốn Tìm điểm dựa vào phân giác (ngồi) tam giác

Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đường phân giác ADlà : 0,

xy đường cao CH :2xy 3 0, cạnh AC qua điểm M0; 1  cho

AB AM Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC

Ví dụ ( B - 2013 - NC ) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,cho tam giác ABC có chân đường cao hạ từ đỉnh A 17;

5 H  

 , chân đường phân giác A   5;3

(91)

Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trung tuyến BM:2xy 3 0, phân giác BN: xy 2 Điểm P2;1 thuộc đường thẳng qua A B, Bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC

Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có C3; 1 , đường thẳng chứa BD đường thẳng chứa đường phân giác góc DAC có phương trình

4

x y  xy 4 Xác định tọa độ đỉnh cịn lại hình bình hành

(92)

Ví dụ (B – 2010 – CB) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vng A có đỉnh C4;1, phân giác góc A có phương trình xy 5 Viết phương trình đường thẳng BC, biết diện tích tam giác ABC 24 đỉnh A có hồnh độ dương

Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có đường chéo AC nằm đường thẳng d x: y 1 Điểm E9; 4 nằm đường thẳng chứa cạnh AB, điểm

 2; 5

F   nằm đường thẳng chứa cạnh AD Xác đinh tọa dộ đỉnh hình thoi ABCD biết điểm C có hồnh độ âm AC2

Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC Phân giác góc A phân giác ngồi góc B có phương trình x2 xy70 Các điểm

1 ;1 I 

 ,   2;1

(93)

Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân A với BC 4 Các đường thẳng AB AC qua điểm 1;

3 M  

 

18 0;

7 N 

  Xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC, biết đường cao AH có phương trình xy 2 điểm Bcó hồnh độ dương

Ví dụ 10 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC Đường phân giác góc A có phương trình xy 3 0, Đường trung tuyến kẻ từ đỉnh B có phương trình xy 1 0, đường cao kẻ từ C có phương trình x3y190 Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC

D BÀI TẬP VÂN DỤNG

Bài (D – 2011 – CB) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B4;1, trọng tâm G 1;1 đường thẳng chứa phân giác góc A có phương trình

1

(94)

Bài Trong măt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC biết phương trình đường thẳng chứa cạnh AB BC 4x3y 4 xy 1 Phân giác góc

A nằm đường thẳng x2y 6 Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC

Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông B, đường thẳng chứa cạnh BC có phương trình 2xy40, đường phân giác gócA có phương trình

:

A

d xy  Đường thẳng chứa cạnh AC qua điểm M0; 2  Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC

Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có ba góc nhọn Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh AC tam giác, biết tọa độ chân đường cao hạ từ ba đỉnh

, ,

(95)

Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với đường cao kẻ từ đỉnh B phân giác góc A có phương trình x2y 2 xy 1 Điểm

0; 2

M thuộc đường thẳng AB AC2AB Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC

Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng 1:4x2y 5 2:4x 6y 13

    Đường thẳng  cắt  1, A B, Biết 1 phân giác góc tạo OA  ; 2 phân giác góc tạo OB  Viết phương trình đường thẳng 

Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A0; , B2;6 C thuộc đường thẳng d x: 3y 1 Tìm tọa độ đỉnh C cho phân giác xuất phát từ đỉnh

(96)

Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với A5;3, đường cao BH nằm đường thẳng 4x3y140, phân giác góc C nằm đường thẳng

2

x y  Tìm tọa độ đỉnh lại tam giác ABC

Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông A , có đỉnh C4;1, phân giác góc A có phương trình xy 5 Viết phương trình đường thẳng BC, biết diện tích tam giác ABC 24 đỉnh A có hịanh độ dương

(Khơng có 10)

Bài 11 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với đường cao kẻ từ đỉnh B phương trinh phân giác góc A có phương trình 3x4y100

1

xy  , điểm M0; 2thuộc đường thẳng AB đồng thời cách C khoảng

(97)

Bài 12 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B4;1 Trọng tâm G 1;1 đường thẳng chứa phân giác góc A có phương trình xy 1 Xác định tọa độ đỉnh lại tam giác ABC

Bài 13 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC, biết phương trình cạnh BC

xy  Hai đường phân giác góc B C có phương trình

1:2

d xy  d2:xy 3 Viết phương trình cạnh AB tam giác ABC

(98)

Bài 15 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có D 6; 6 Đường trung trực đoạn DC có phương trình 2x3y170 đường phân giác góc BAC có phương trình 5xy 3 Xác đinh tọa độ đỉnh cịn lại hình bình hành ABCD

Bài tốn Tìm điểm thuộc (E) thoả điều kiện cho trước; Viết phương trình tắc của (E)

C CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, viết phương trình tắc elip  E biết  E có tâm sai

3 hình chữ nhật sở  E có chu vi 20 Ví dụ 2: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip  

2

:

8

x y

E   Viết phương trình đường thẳng d cắt  E hai điểm phân biệt có tọa độ số ngun

Ví dụ 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip  

2

:

9

x

E  y  Tìm tọa độ điểm

M  E cho bán kính qua tiêu tiêu điểm lần bán kính qua tiêu tiêu điểm

Ví dụ 4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M 3;1, đường elip  E qua điểm M khoảng cách hai đường chuẩn  E Lập phương trình tắc  E

(99)

Ví dụ 6.: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip  E có hai tiêu điểm

   

1 3;0 , 3;0

F  F qua điểm 3;1

A 

  Lập phương trình tắc  E

với điểm M thuộc  E , tính giá trị biểu thức

2 2

2 3O

PMF MF  M MF MF

Ví dụ 7: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip  

2

:

8

x y

E   Đường thẳng :x 2y

   cắt  E hai điểm ,B C Tìm tọa độ điểm A  E cho tam giác

ABC có diện tích lớn

Ví dụ 8: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip  E có phương trình

2

1

x y

 

với hai tiêu điểm F F1, 2 (hồnh độ F1 âm) Tìm tọa độ điểm M thuộc elip cho



1 60

MF F 

Ví dụ (A – 2012): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn  C :x2 y2 8 Viết phương trình tắc elip  E , biết  E có độ dài trục lớn  E

cắt  C bốn điểm tạo thành bốn đỉnh hình vng

Ví dụ 10 (B – 2012): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có

AC  BD đường tròn tiếp xúc với cạnh hình thoi có phương trình 2

4

x y 

VIết phương trình tắc elip  E qua đỉnh , , ,A B C D hình thoi Biết A

(100)

Ví dụ 11: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy Lập phương trình tắc elip  E có tâm sai

5, biết diện tích tứ giác tạo tiêu điểm đỉnh trục bé  E 24

Ví dụ 12: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip  E có tâm sai

(101)

Ví dụ 13: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip  E : 4x29y2 36 có hai tiêu điểm F1 F2 với F1 có hồnh độ âm Tìm tọa độ điểm M thuộc  E cho

2

1 2

MF  MF đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ Ví dụ 14: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip  

2

:

16

x y

E   điểm I1;2 Lập phương trình đường thẳng d qua I, cắt  E hai điểm phân biệt ,A B cho I

là trung điểm AB

Ví dụ 15: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A3;0 elip  

2

:

9

x

E y 

Tìm tọa độ điểm ,B C thuộc  E cho tam giác ABC vng A

Ví dụ 16: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip  

2

:

4

x

E y  điểm 2; 3

M 

 

Viết phương trình đường thẳng  qua M cắt E hai điểm ,A B cho MA 2MB D BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài 1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, viết phương trình tắc elip  E có tâm sai

3 độ dài đường chéo hình chữ nhật sở

Bài 2: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip  E có phương trình

2

1

x y

  1; 1

M  Một đường thẳng d qua M cắt  E ,A B cho MA MB lớn Tìm tọa độ ,A B

Bài 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy Lập p t tắc elip biết điểm

; 2

M 

 

(102)

Bài 4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy Viết phương trình tắc elip  E biết elip  E có hai tiêu điểm F1 F2 với F1 3;0 có điểm M thuộc  E cho tam giác F MF1 2 vng M có diện tích

Bài 5.: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy Viết phương trình tắc elip qua điểm 1;

2

M 

 

tiêu điểm elip nhìn trục nhỏ với góc 60

Bài 6: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip  E có phương trình

2

1

x y

  Giả sử F F1, hai tiêu điểm elip, F1 có hồnh độ âm Tìm tọa độ điểm M

 E cho MF1MF2 2

Bài 7: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip có phương trình

2

1 25

x y

  Tìm điểm M thuộc elip cho góc F MF1 2 900 với F F1, 2 hai tiêu điểm elip

Bài 8: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy Viết phương trình tắc elip, biết hai tiêu điểm với hai đỉnh trục bé xác định hình vng phương trình hai đường chuẩn x 8

Bài 9: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip  

2

:

25

x y

E   có hai tiêu điểm

1,

F F Tìm tọa độ điểm M thuộc  E cho bán kính đường tròn nội tiếp tam giác

1

MF F

Bài 10: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy Viết phương trình tắc elip  E biết điểm M thay đổi  E độ dài nhỏ OM độ dài lớn

1

MF 8, với F1 tiêu điểm có hồnh độ âm

Bài tốn 10 Cho hai đường tròn (C1) (C2) cắt hai điểm A, B Viết phương

trình đường thẳng AB C VÍ DỤ GỐC

Cho hai đường tròn  C1 :x2 y24x4y4y170  

2

2 :

C x y  x y 

(103)

Ví dụ (Khối B – 2006): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn   2

: 6

C x  y  x y  điểm M3;1 Gọi A B tiếp điểm tiếp tuyến kẻ từ M đến  C Viết phương trình đường thẳng AB

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn   C : xy2 y2 4 điểm 4;1

E Tìm tọa độ điểm M trục tung, cho từ điểm M kẻ hai tiếp tuyến

MA MB đến  C (với A B, tiếp điểm) cho AB quaE

(104)

Ví dụ 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân A, có trực tâm  3;2

H  Gọi D E, chân đường cao kẻ từ B C Biết điểm A thuộc đường thẳng :x 3y

    , điểm F2;3 thuộc đường thẳng DE HD2 Tìm tọa độ điểm A

(105)

Ví dụ 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn   T : x12y125 với tâm I

và điểm A4;5 Từ A kẻ đường thẳng cắt đường tròn  T hai điểm B C, , tiếp tuyến B C, cắt K Qua K kẻ đường thẳng vng góc với IA, cắt  T E F, Xác định tọa độ điểm E F,

Ví dụ 7: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn  C :x2 y22x 4 đường thẳng :x  y Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng  cho qua M kẻ hai tiếp tuyến MA MB, đến đường tròn  C (với A B, tiếp điểm), đồng thời khoảng cách từ điểm 1;3

2

N 

(106)

Ví dụ 8: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn x2y2 1 điểm A1;3 Viết phương trình đường trịn  T qua A tâm đường tròn  T' , đồng thời cắt đường tròn

 T' hai điểm B C, cho khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC lớn

E BÀI TẬP VẬN DỤNG:

Bài 1: Cho đường tròn  C :x2y23x 7 120 điểm A1; 2 Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật ABCD nội tiếp  C có diện tích Biết AB chiều dài hình chữ nhật B có hoành độ nguyên

(107)

Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường tròn  C1 :x2y218x6y650   2

2 :

C x y  Từ điểm M thuộc đường tròn  C1 kẻ hai tiếp tuyến với đường tròn  C2 với hai tiếp điểm A B, Tìm tọa độ điểm M , biết độ dài đoạn AB4,8

Bài 4: Cho đường tròn   C : x12y22 4 điểm K3; 4 Lập phương trình đường trịn  T tâm K cắt đường tròn  C hai điểm A B, cho diện tích tam giác

IAB lớn với I tâm đường tròn  C

Bài 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường trịn  C :x2y22x 4 Viết phương trình đường trịn có tâm K1;3 cắt đường trịn  C hai điểm A B, cho diện tích tam giác IAB 4, với I tâm đường tròn  C

Bài 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường tròn   C1 : x12y22 9

  C2 : x22y1024 Tìm tọa độ đỉnh hình vng ABCD, biết điểm A thuộc  C1 , điểm C có tọa độ nguyên thuộc  C2 đỉnh B D, thuộc đường thẳng

6

(108)

(109)

PHẦN SÁNG TẠO VÀ PHÁT TRIỂN TỪ CÁC BÀI TỐN HÌNH HỌC PHẲNG THUẦN TÚY

A Sáng tạo phát triển

Bài Cho tam giác ABC Gọi M N, trung điểm BC AB D E; , chân chiều cao kẻ từ A B, tam giác ABC Chứng minh MEND nội tiếp đường tròn

Bài 1.1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có B1;4 Gọi D E, 1; , N

lần lượt chân đường cao kẻ từ B trung điểm cạnh AB Biết 7; 2

I 

  tâm đường

tròn ngoại tiếp tam giác DEN Tìm tọa độ đỉnh C tam giác ABC

Bài 1.2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABCkhông vuông đường thẳng 

có phương trình 2x y 2 Giả sử D4;1 , E 2; ,  N1; 2 theo thứ tự chân đường cao kẻ từ A, chân đường cao kẻ từ B trung điểm cạnh AB Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC biết trung điểm cạnh BC nằm đường thẳng  điểm M có hồnh độ nhỏ

(110)

Bài 2.1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân A M trung điểm AB Biết 1;

3

I 

  tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

7 ; 3

G 

 

trọng tâm tam giác ABC ACM Tìm tọa độ đỉnh lại tam giác ABC, biết A

không trùng với gốc tọa độ

Bài 2.2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân A C2; 3  Biết

; 3

I  

  tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

7 ; 3

K 

  trọng tâm tam giác

(111)

Bài 2.3 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân A M trung điểm AB Biết 10 8;

3

I 

  tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ACM ,

10 ; 3

K 

 

trọng tâm tam giác ACM Các đường thẳng AB CM, qua điểm 0;3 , 2;0

E F Tìm tọa độ đỉnh lại tam giác ABC biết A có tung độ dương

Bài 2.4 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân A M trung điểm AB Đường thẳng CM có phương trình y 3 7;

3

K 

  trọng tâm tam

giác ACM Đường thẳng AB qua điểm 1;

D 

  Tìm tọa độ đỉnh tam giác

(112)

Bài 2.5 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân A M trung điểm AB Đường thẳng CM có phương trình 5x7y200 11;

6

K  

  trọng tâm

của tam giác ACM Đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm nằm đường thẳng 2x4y 7 có bán kính

2 Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC, biết A C có tọa độ ngun

Bài Cho hình vng ABCD Gọi M trung điểm cạnh AB N điểm thuộc đoạn AC cho AN 3NC Chứng minh tam giác DMN vuông cân

Bài 3.1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD Gọi M trung điểm cạnh , 1;

2

AB N 

  điểm cạnh AC cho AN 3NC Xác định tọa độ đỉnh

(113)

Bài 3.2 (Khối A, A1 – 2014) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD có điểm M trung điểm đoạn AB N điểm thuộc đoạn AC cho AN 3NC Viết phương trình đường thẳng CD, biết M1;2 N2; 1 

Bài 3.3 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD, gọi M trung điểm cạnh AB, N thuộc đường thẳng : 3xy 4 điểm cạnh AC cho

1

CN  AC Biết phương trình đường thẳng MD x:  1 Xác định tọa độ đỉnh C hình vng ABCD, biết khoảng cách từ C đường thẳng MD N có hồnh độ âm

Bài 3.4 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD có đỉnh D5;1 Gọi M trung điểm cạnh AB, N điểm cạnh AC cho

4

(114)

Bài 3.5 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD, gọi M trung điểm cạnh AB, N điểm cạnh AC cho

4

CN  AC Biết E1; 1  trung điểm

đoạn DM Tìm tọa độ đỉnh B, biết 2;0

F 

  trọng tâm tam giác AMN điểm N có

hồnh độ âm

Bài Cho tam giác ABC có tâm đường trịn nội tiếp J Gọi D giao điểm đường tròn ngoại tiếp tam giácABC với đường thẳng AJ Chứng minh D tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

(115)

Bài 4.2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn J2;1 Biết đường cao xuất phát từ đỉnh A tam giác ABC có phương trình 2xy100

2; 4

D  giao điểm thứ hai AJ với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC biết B có hồnh độ âm B thuộc đường thẳng có phương trình xy 7

Bài Cho hình bình hành ABCD Một điểm M nằm hình bình hành cho

 

(116)

Bài 5.1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có đỉnh D7;0 Một điểm M nằm hình bình hành cho MAB MCB Phương trình đường thẳng chứa

,

MB MC :x y 2 0; : 2 x  y Tìm tọa độ đỉnh A, biết đỉnh A

thuộc đường thẳng d y: 3x A có hồnh độ nguyên

Bài 5.2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có đỉnh 11 1; 2

A 

  Một

điểm M1; 1  nằm hình bình hành cho MAB MCB 1350 Tìm tọa độ đỉnh D, biết D thuộc đường trịn có phương trình  T :x2y22x2y 3

(117)

Bài 6.1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn  T có tâm 0;5

I Đường thẳng AI cắt đường tròn  T điểm thứ hai M5;0 Đường cao qua C cắt đường tròn  T điểm thứ hai 17 6;

5

N 

  Tìm tọa độ đỉnh tam

giác ABC, biết đỉnh B có hồnh độ dương

(118)

Bài 7.1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn  T :x2y2 25 ngoại tiếp tam giác ABC có tọa độ chân đường cao kẻ từ B C, M1;3 , N2;3 Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC, biết A có hồnh độ âm

Bài 7.2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn   2

: 25

(119)

Bài Cho tam giác ABC, có trực tâm H Gọi D giao điểm thứ hai AB với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC M giao điểm AH với BC Chứng minh M

là trung điểm HD

(120)

Bài 8.2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H5;5, phương trình đường thẳng chứa cạnh BC xy 8 Biết phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC qua hai điểm E7;3 F4; 2 Tím diện tích tam giác ABC

Bài 8.3 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác nhọn ABC có tâm đường trịn ngoại tiếp I2;2, trực tâm H2;12 Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC, biết đường thẳng BC có phương trình xy 2

(121)

A. Các toán đề xuất

Bài Cho tam giác ABC với H trực tâm Gọi A B C', ', ' trung điểm cạnh , ,

BC CA AB Gọi D E F, , chân chiều cao ứng với đỉnh A B C, , K L M, , trung điểm đoạn thẳng AH BH CH, , Chứng minh rằng: điểm

', ', ', , , , , ,

A B C D E F K L M nằm đường tròn H với trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thẳng hàng

Bài 9.1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G 1;1 Phương trình đường tròn qua trung điểm đoạn BA BC, chân đường cao hạ từ B xuống cạnh AC có phương trình x2y12 4 Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Đáp số: x32y52 16

Bài 9.2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn   T : x22y22 25 Đường thẳng qua A vng góc với BC cắt  T điểm

1; 2

E  khác A Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC, biết tam giác ABC có trọng tâm 16

1;

G 

 

Đáp số: A1;6 , B 6;5 , C 2;5

Bài 10 Cho hình vng ABCD Gọi M N, điểm cạnh BC CD cho BM CN Chứng minh AM BN

Bài 10.1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD có đỉnh B3;3 Gọi ,

(122)

vuông ABCD, biết A thuộc đường thẳng :xy 2 11 7; 5

H 

  giao điểm

AM BN

Đáp số: A1;3 , C 3; ,  D 1; 1

Bài 10.2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD có đáy lớn CD

2

CDAD AB; BAD 900, B3;6 Gọi M trung điểm AD 18 24; 5

H 

 

hình chiếu vng góc M BC Xác định tọa độ đỉnh cịn lại hình thang

ABCD, biết A có tung độ nhỏ Đáp số: A0;6 , C 6;0 , D0;0

PHẦN BÀI TẬP TỔNG HỢP

Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B12;1 trọng tâm

; 3

G 

  Đường phân giác kẻ từ đỉnh A có phương trình :x2y 5 Viết

phương trình đường thẳng BC

Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD có hai đáy AD BC, , đỉnh 13

;

A 

  4AD9BC Giao điểm hai đường chéo AC BD, E4; 2 Đỉnh

4; 2

(123)

Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD, đường trịn đường kính AM

cắt cạnh BC hai điểm B M, 5;7 cắt đường chéo BD N6;2, đỉnh C thuộc đường thẳng d: 2x  y Tìm tọa độ đỉnh hình vng ABCD, biết hồnh độ đỉnh C nguyên tung độ đỉnh A bé

Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD Điểm N3; 2 trung điểm cạnh BC, điểm M2;2 P2; 1  nằm AB DC cho

AM CP Xác định tọa độ đỉnh ABCD

Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có đỉnh A3;1 đỉnh C

(124)

biết N6; 2  hình chiếu vng góc D lên đường thẳng BE Xác định tọa độ đỉnh lại hình chữ nhật ABCD

Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d x:   y hai đường tròn   2

1 : 23

C x y  x y  ;  C2 :x2y26x8y230 Viết phương trình đường trịn  C có tâm nằm d , tiếp xúc với  C1 tiếp xúc với  C2

Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có điểm A2;3, tâm 2;0

G Hai đỉnh B C thuộc đường thẳng 1:xy 5 :x 2y

    Viết phương trình đường trịn tâm C tiếp xúc với đường thẳng BG

Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có AC 2AB Điểm M 1;1 trung điểm BC Điểm N thuộc đoạn AC cho NC3AN điểm D thuộc BC

sao cho AD đối xứng với AM qua phân giác góc A tam giác ABC Điểm C

(125)

Bài 11 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD có phương trình đường chéo

:

AC x y  Trên tia đối tia CB lấy điểm M tai đối tia DC lấy điểm

N cho DN BM Đường thẳng song song với AN kẻ từ M đường thẳng song song với AM kẻ từ N cắt F0; 3  Xác định tọa độ đỉnh hình vng

ABCD, biết điểm M nằm trục hoành

Bài 12 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A3;0 elip  

2

:

9

x

E y Tìm tọa độ điểm B C, thuộc  E cho tam giác ABC vng cân A, biết điểm B có tung độ dương

Bài 13 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho  

2

:

25

x y

E   Tìm điểm M có hồnh độ dương thuộc  E cho F MF1 2 900, F F1, 2 tiêu điểm

Bài 14 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip  E có tâm sai

e , đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật sở elip có phương trình x2y2 34 Viết phương trình tắc elip tìm tọa độ điểm M thuộc elip  E cho M nhìn hai tiêu điểm góc vng M có hồnh độ dương

Bài 15 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: 3x y 4 elip  

2

:

9

x y

E   Viết phương trình đường thẳng  vng góc với d cắt  E hai điểm A B, cho diện tích tam giác OAB

Bài 16 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có tam giác vuông ABD

(126)

đường chéo AC 22 14; 5

H 

 

13 11 ; 5

K 

  Xác định tọa độ đỉnh hình

bình hành ABCD, biết A có tung độ nguyên AD3

Bài 17 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm M nằm cạnh

BC cho MC 2MB, tia đối tia DC lấy điểm N cho NC2ND Đỉnh 1; 3

D  điểm A nằm đường thẳng 3x  y Phương trình đường thẳng : 3

M x y  Xác định tọa độ đỉnh lại hình chữ nhật ABCD

(127)

Bài 19 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A1; 2, đường trung tuyến BM: 2x y 1 phân giác CD x:  y 1 Viết phương trình đường thẳng BC

Bài 20 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A2;3, tâm đường tròn ngoại tiếp I6;6, tâm đường tròn nội tiếp J4;5 Tìm tọa độ đỉnh cịn lại tam giác ABC

Bài 21 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn    

2

2 15

:

2

C x y  

  hai

(128)

các đường thẳng AM BN cắt điểm 4;5

H 

 , AN BM cắt C Tìm

tọa độ điểm C, biết tọa độ điểm 4;5

H 

 

Bài 22 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có tâm đường trịn ngoại tiếp 4; 1

I  Đường cao trung tuyến xuất phát từ đỉnh A có phương trình

xy  x2y 1 Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh tam giác

ABC

Bài 23 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC Đường cao kẻ từ A, trung tuyến kẻ từ B, trung tuyến kẻ từ C có phương trình

6 0, 0,

(129)

Bài 24 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích 12, giao điểm hai đường chéo 3;

2

I 

  , trung điểm cạnh AD M3;0 Xác định tọa

độ đỉnh hình chữ nhật ABCD, biết A có hoành độ dương

Bài 25 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông cân A, phương trình

:

BC x  y , đường thẳng AC qua điểm M1;1, điểm A nằm đường thẳng :x 4y

    Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC biết A có hồnh độ dương

(130)

Bài 27 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC biết đường cao kẻ từ A, trung tuyến kẻ từ B phân giác kẻ từ C có phương trình 3x4y27 0, 4 x5y 3 x2y 5 Xác định tọa độ đỉnh tam giác

ABC

Bài 28 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có AC2AB Điểm M 1;1 trung điểm BC, điểm D cho AD đối xứng với AM qua tia phân giác góc



BAC Đường thẳng có phương trình d: 3x2y 8 qua D Xác định tọa độ đỉnh B

của tam giác ABC, biết C thuộc đường thẳng d' :x  y

Bài 29 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn  

2

5 325

:

2 16

T x  y  

    Đường phân giác góc



BAC cắt  T 0;

(131)

Xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC, biết đường thẳng BC qua điểm N5;2 đường thẳng AB qua điểm P 3; 2

Bài 30 Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng :5x2y190 đường tròn   2

:

T x y  x y Từ điểm M nằm đường thẳng  kể hai tiếp tuyến ,

MA MB đến đường tròn  C (A B, hai tiếp điểm ) Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác AMB biết AB 10

Bài 31 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có 10

BD AC Gọi hình chiếu vng góc điểm D lên đường thẳng AB BC,

 2; , 2; 1

(132)

Bài 32 Trong măt phẳng tọa độ Oxy, cho tamgiasc ABC có trọng tâm 4;1 G 

 , trung điểm BC điểm M 1;1 Phương tình đường thẳng chứa đường cao kể từ đỉnh B

:x y

    Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC

Bài 33 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng :x  y Viết phương trình đường trịn  C có tâm I thuộc đường thẳng  Biết  C cắt trục Ox hai điểm A B, cắt trục Oy hai điểm M N, cho diện tích hai tam giác IAB IMN 12

Bài 34 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường   2

1 :

C x y  y

  2

2 : 18 36

(133)

Bài 35 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip  

2

:

25 x y

E   điểm M2;1 Viết phương trình đường thẳng d qua M cắt  E hai điểm A B, cho trung điểm đoạn thẳng A B, nằm trến đường thẳng :y2x

Bài 36 Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn   2

:

C x y  Viết phương trình tiếp tuyến đường tròn  C biết tiếp tuyến cắt tia Ox Oy, A B, cho tam giác OAB có diện tích nhỏ

Bài 37 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A3; 4  Phương trình đường trung trực cạnh BC, đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh C xy 1 3x  y Tìm tọa độ đỉnh cịn lại tam giác ABC

:

T x y  x y  Đỉnh A thuộc tia Oy, đường cao vẽ từ C nằm đường thẳng :

d x y Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC, biết C có hồnh độ số nguyên

(134)

Bài 40 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M0; 2 hai đường thẳng 1, 2 có phương trình 3x  y x3y 4 Gọi A giao điểm 1 2 Viết phương trình đường thẳng  qua M , cắt hai đường thẳng 1,2 B C, (B C khác A) cho 12 12

AB AC đạt giá trị nhỏ

Bài 41 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip  

2

:

16 x y

E   ngoại tiếp tam giác ABC Tính diện tích tam giác ABC, biết  E nhận A0; 2 làm đỉnh trục tung làm trục đối xứng (Khơng hình)

Bài 42 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn   T : x12y22 5 đường thẳng :x  y Từ điểm A thuộc  kẻ hai đường thẳng tiếp xúc với  T

B C Tìm tọa độ điểm A biết diện tích tam giác ABC

Bài 43 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân A Gọi G trọng tâm tam giác ABC, biết BC BG có phương trình x2y 4 7x4y 8 Biết đường thẳng CG qua điểm 2;3

4 E 

(135)

Bài 44 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip  

2

:

100 25 x y

E   Tìm điểm M thuộc  E cho 

1 120

F MF  , F F1, hai tiêu điểm  E

Bài 45 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm I1; 2  hai đường thẳng có phương trình 1:3xy 5 2:3xy 1 Viết phương trình đường thẳng  qua I cắt  1, 2lần lượt A B cho AB2

Bài 46 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với trung tuyến phân giác đỉnh B có phương trình 1:2xy 3 2:xy 2 Điểm M2;1 nằm đường thẳng chứa cạnh AB, đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có bán kính

5 Xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC, biết đỉnh A có hồnh độ dương

Bài 47 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,cho hình chữ nhật ABCD Biết phân giác



(136)

D thuộc đường thẳng :x  y điểm E1; 2 thuộc canhk AB Tìm tọa độ đỉnh cho hình chữ nhật ABCD, biết điểm B có hồnh độ âm

Bài 48 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD có đỉnh C3; 3 , M trung điểm BC Đường thẳng MD có phương trình x  y 0, điểm A thuộc đường thẳng

:3

d   y Tìm tọa độ đỉnh cịn lại hình vng ABCD

Bài 49 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có BC2 Gọi H G, lượt trực tâm trọng tâm tam giác ABC O trung điểm BC Tìm tọa độ đỉnh A biết A thuộc đường thẳng : 5x2y 4 trung điểm K HG với điểm

,

B C thuộc trục hoành

(137)

Điểm M0; 2 thuộc đường thẳng AB cách C khoảng Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC

Bài 51 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD với A3;6 Biết tam giác ABC nội tiếp đường trịn có tâm I1;3 AB AC 60 Hình chiếu H điểm

A xuống cạnh BC thuộc đường thẳng d x: 2y 3 Hãy tìm tọa độ đỉnh cịn lại hình bình hành ABCD biết H có tọa độ ngun hồnh độ điêm B bé hoành độ điểm C

Bài 52 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vng A có đường cao AO Gọi  T đường trịn tâm A, đường kính OD Tiếp tuyến  T D cắt CA

 8;8

E  Đường cao xuất phát từ đỉnh A tam giác AEB qua điểm M4;7 Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC biết đường thẳng EB có phương trình

(138)

Bài 53 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn   T : x22y32 4 hai điểm A2; ,  D2; 5  Một đường kính MN thay đổi cho đường thẳng AM AN, cắt tiếp tuyên B P Q Tìm tọa độ trực tâm H tam giác MPQ biết điểm H nằm đường thẳng d: 2x  y

(139)

Bài 55 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A3; 4, đường phân giác góc A có phương trình xxy 1 tâm đường trịn ngoại tiếp I1;7 Viết phương trình cạnh BC, biết diện tích tam giác ABC gấp lần diện tích tam giác IBC

Bài 56 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A2;0 đường trịn   T : x12y225 Tìm tọa độ hai điểm B C, thuộc  T cho tam giác ABC

vng B có diện tích

Bài 57 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A1; 2 đường tròn   2

:

(140)

Bài 58 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A1;5 Tâm đường tròn nội tiếp ngoại tiếp tam giác K2;2 5;3

2

I 

  Tìm tọa độ đỉnh B C

của tam giác

Bài 59 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm 0; , 0;

A B  

  hai đường thẳng

1:x y 0; 2: 2x y

        Hãy viết phương trình đường thẳng  qua gốc tọa độ cắt  1, 2 M N, cho AM song song với BN

Bài 60 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng :x  y 0và hai elip có phương trình  

2

1 :

25 16

x y

E      

2

2 : 2

x y

E a b

a b    Biết hai elip có

(141)

Bài 61 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có diện tích Biết 1;0 ; 0; 2

A B giao điểm I hai đường chéo nằm đường thẳng :xy0 Tìm tọa độ đỉnh cịn lại hình bình hành ABCD

Bài 62 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông A2;3, AB2AC Gọi M trung điểm AB Hình chiếu vng góc điểm M lên đường thẳng BC

4;9

K Tìm tọa độ đỉnh B C,

Bài 63 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng 1:x3y120 hai điểm 2; , 3;1

M N Lập phương trình đường trịn qua hai điểm M N, cắt  hai điểm

AB cho AB 10

Bài 64 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M2;1 Viết phương trình đường thẳng

(142)

Bài 65 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng x7y 3 2: 2xy 1 Lập phương trình đường trịn có tâm thuộc đường thẳng 2 tiếp xúc 1 diểm có

hồnh độ (Khơng hình)

Bài 66 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A0; , B 1;0 , C 2; 1  Gọi  đường thẳng qua A B, K hình chiếu điểm B C, lên đường thẳng  Viết phương trình đường thẳng  biết BH CK đạt giá trị nhỏ

Bài 67 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn   : 22

C x y  hai đường thẳng 1:xy0; 2:xy0 Xác định tọa độ tâm K đường tròn  C tiếp xúc với

đường thẳng  1, 2 tâm K thuộc  C

(143)

B Viết phương trình đường trịn  T biết tam giác ABC có diện tích điểm A có hồnh độ dương

Bài 69 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip  

2

:

9

x y

E   hai điểm 3; ,  3;2

A  B  Tìm  E điểm C có tọa độ dương cho diện tích tam giác ABC

lớn (Khơng hình)

Bài 70 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn  T :x2y2 1 điểm A1;3 Viết phương trình đường trịn  T qua A tâm đường tròn  T' đồng thời cắt đường tròn B C, cho khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC lớn

Bài 71 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có diện tích 16 Biết tam giác ABC cân A; BC4 21 18;

5

K 

  hình chiếu điểm B xuống cạnh

AC Tìm tọa độ đỉnh hình bình hành ABCD biết B thuộc đường thẳng :x y

(144)

Bài 72 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn  T qua A4; 2, tiếp xúc với

1:x 2y

    điểm B có tung độ âm cắt 2:x3y 6 C D cho ABCD hình thang có đáy AD BC, đường chéo AC BD, vng góc Tìm tọa độ đỉnh cịn lại hình thang ABCD

Bài 73 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy Lập phương trình tắc elip  E , biết điểm 1; 3

M nhìn hai tiêu điểm  E góc vng hình chữ nhật sở  E

nội tiếp đường trịn có phương trình x2y2 20 (Khơng hình) Bài 74 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip  

2

:

25

x y

E   có hai tiêu điểm F F1, 2 Tìm tọa độ điểm M thuộc  E cho bán kính đường trịn nội tiếp tam giác MF F1 2

4

3 (Khơng hình)

Bài 75 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M2 3; 2 Viết phương trình tắc elip  E qua điểm M , cho M nhìn hai tiêu điểm  E góc vng (Khơng hình)

(145)

4; 2

M , đường thẳng BC qua N8; 4 Viết phương trình đường chứa cạnh hình chữ nhật ABCD, biết điểm B D, có hồnh độ lớn (Khơng hình)

Bài 77 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông A ABAC có diện tích 12 Đường phân giác góc A cắt đoạn BC điểm D 2; 2 Điểm A

nằm đường thẳng x 5 CD BD 15 Tìm tọa độ điểm C, biết C có tung độ âm

Bài 78 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD tâm I Gọi M N, trung điểm AI CI, Biết MBND hình vng, đường thẳng BD có phương trình 3x2y 1 Điểm đói xứng với điểm N qua điểm C H10; 4  Tìm tọa độ đỉnh hình thoi, biết hồnh độ điểm B khơng nhỏ hồnh độ điểm D

Bài 79 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm 1;11

G 

 , đường

(146)

Bài 80 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn  C : (x4)2y2 4 điểm E(4;1) Tìm M trục tung cho từ M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn (C) với A, B điểm cho đường thẳng AB qua E

Bài 81 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với đỉnh A1; 2  Đường cao

BH đường phân giác BN tam giác ABC có phương trình x  y 2xy 5 Tìm tọa độ đỉnh cịn lại tam giác ABC

Bài 82 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân C có phương trình cạnh

AB x2y0 Điểm I4;2 trung điểm AB, điểm 4;9

M 

  thuộc cạnh BC,

diện tích tam giác ABC 10 Tìm tọa độ đỉnh tam giác biết tung độ điểm B

(147)

Bài 83 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm I1; 1 , M2;3, N5;0 Tìm tọa độ đỉnh hình vng ABCD cho I tâm hình vng, M thuộc cạnh AB N, thuộc cạnh BC

Bài 84 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích 12 Điểm I giao điểmn hai đường thẳng d1:x  y d2:x y 6 Trung

điểm cạnh giao điểm d1 với trục Ox Biết điểm I tâm hình vng ABCD

và A có tung độ dương Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật ABCD Bài 85 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm C2;0 elip  

2

:

4

x

E y  Tìm điểm A B,  E cho CACB tam giác CAB có diện tích lớn

Bài 86 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông cân A Biết cạnh huyền nằm đường thẳng x7y31 0 , điểm 1;5

2

N 

  thuộc đường thẳng AC, điểm

2; 3

(148)

Bài 87 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn  T :x2y28x6y21 0 đường thẳng  có phương trình xy 1 Xác định tọa độ đỉnh hình vng

ABCD ngoại tiếp  T , biết điểm A thuộc đường thẳng  có hồnh độ nhỏ

Bài 88 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn  T :x2 y22x2y230 Viết phương trình đường thẳng  qua điểm A7;3 cắt đường tròn  T hai điểm phân biệt B C, cho AB3AC

Bài 89 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, chon đường tròn  C :x2y24x6x120 điểm M2;4 3 Viết phương trình đường thẳng  cắt  C hai điểm A B, cho tam giác MAB (Khơng hình)

Bài 90 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường thẳng AB BD, x2y 1 x7y150 Đường thẳng AC qua điểm

2;1

(149)

Bài 91 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân A D, trung điêm đoạn AB Biết 11 5;

3

I 

  ,

13 ; 3

E 

  tâm đường tròn ngoại tiếp ABC, trọng

tâm tam giác ADC Các điểm M3; ,  N3;0 thuốc đường thẳng DC AB, Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC biết A có tung độ dương

Bài 92 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy Viết phương trình tắc elip  E Biết  E

đi qua điểm M 2; 3 có phương trình đường chuẩn x 8

Bài 93 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn  C :x2y22x4y200 Gọi

I tâm  C Viết phương trình đường thẳng cắt  C hai điểm A B, cho ABOI

là hình thang đáy AB có độ dài

(150)

Bài 94 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD có M trung điểm cạnh BC , phương trình đường thẳng DM x  y điểm C3; 3  Biết đỉnh A

thuộc đường thẳng 3xy 2 A có hoành độ âm Xác định tọa độ đỉnh A B D, ,

Bài 95 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn có phương trình x2y24x2y 8 Đỉnh A thuộc tia Oy , đường cao kẻ từ đỉnh C thuộc đường thẳng x5y0 Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC biết đỉnh C có hồnh độ số nguyên

Bài 96 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn   : 12  12 25

C x  y  nội tiếp hình vng ABCD, đường chéo AC song song với đường thẳng 4x3y20150 Tìm tọa độ đỉnh hình vng biết đỉnh A đỉnh B có hồnh độ dương

(151)

Bài 97 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD biết đỉnh B2; 1 , đường cao AH tam giác ABC có phương trình 3x  y đường phân giác góc ACB có phương trình x  y Tìm tọa độ đỉnh D

Bài 98 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A3;0, cạnh BC có phương trình 3x4y 1 Đường thẳng  có phương trình x3y 4 cắt đoạn thẳng

BC điểm H cho HC2HB Xác định tọa độ đỉnh B C, biết diện tích tam giác

ABC 15 B có hồnh độ dương

Bài 99 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip có phương trình

2

1 25 16

x x

  Tìm điểm M

nằm elip cho MF 4MF2, F F1, 2 tiêu điểm trái, phải elip

Bài 100 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có đỉnh A2;2 , BAD 600 diện tích hình thoi 12 Xác định tọa độ đỉnh B C D, , biết đường chéo BD

vng góc với đường thẳng xy 3 tâm hình thoi có hồnh độ dương

(152)