Bài tập trắc nghiệm phương pháp tọa độ trong mặt phẳng có lời giải chi tiết

Lời giải. Tìm toạ độ giao điểm của hai đường thẳng đã cho. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng AB và d.. Tính cosin của góc tạo bởi giữa hai đường thẳng đã cho. Tính cosin của góc [r]

CHỦ ĐỀ

8 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

Baøi 01

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

1 Vectơ phương đường thẳng

Vectơ u gọi vectơ phương đường thẳng ∆ u≠0 giá u song song trùng với ∆

Nhận xét Một đường thẳng có vơ số vectơ phương 2 Phương trình tham số đường thẳng Đường thẳng ∆ qua điểm M0(x y0; 0) có VTCP u=(a b; )

→ phương trình tham số đường thẳng ∆ có dạng 0

.

x x at

t

y y bt

 = +

 ∈



 = +



ℝ Nhận xét Nếu đường thẳng ∆ có VTCP u=(a b; ) có hệ số góc k b

a = 3 Vectơ pháp tuyến đường thẳng

Vectơ n gọi vectơ pháp tuyến đường thẳng ∆ n≠0 n vng góc với vectơ phương ∆

Nhận xét

● Một đường thẳng có vơ số vectơ pháp tuyến

● Nếu u=(a b; ) VTCP ∆ →n=(b;−a) VTPT ∆ ● Nếu n=(A B; ) VTPT ∆ →u=(B;−A) VTPCTcủa ∆ 4 Phương trình tổng quát đường thẳng

Đường thẳng ∆ qua điểm M0(x0;y0) có VTPT n=(A B; )

→ phương trình tổng quát đường thẳng ∆ có dạng A x( −x0)+B y( −y0)=0 hay

0

Ax+By+ =C với C= −Ax0−By0 Nhận xét

● Nếu đường thẳng ∆ có VTPT n=(A B; ) có hệ số góc k A B = −

● Nếu A B C, , khác ta đưa phương trình tổng quát dạng

1 o

x y

a +b = với ,

C C

a b

A B

= − = −

Phương trình gọi phương trình đường thẳng theo đoạn chắn, đường thẳng cắt Ox Oy M a( 0;0) N(0;b0)

1:a x1 b y1 c1

∆ + + = ∆2:a x2 +b y2 +c2=0 Tọa độ giao điểm ∆1 ∆2 nghiệm hệ phương trình: 1

2 2

0 a x b y c a x b y c

 + + =

 

 + + =

 ● Nếu hệ có nghiệm (x y0; 0) ∆1 cắt ∆2 điểm M0(x y0; 0) ● Nếu hệ có vơ số nghiệm ∆1 trùng với ∆2

● Nếu hệ vơ nghiệm ∆1 ∆2 khơng có điểm chung, hay ∆1 song song với ∆2 Cách Xét tỉ số

● Nếu 1

2 2

a b c

a =b =c ∆1 trùng với ∆2 ● Nếu 1

2 2

a b c

a =b ≠c ∆1 song song ∆2 ● Nếu 1

2

a b

a ≠b ∆1 cắt ∆2 6 Góc hai đường thẳng Cho hai đường thẳng

1:a x1 b y1 c1

∆ + + = có VTPT n1=(a b1; 1); 2:a x2 b y2 c2

∆ + + = có VTPT n2=(a b2; 2) Gọi α góc tạo hai đường thẳng ∆1 ∆2 Khi

( ) 1 2 1 2

1 2 2 2 2

1 2

. . .

cos cos , .

. .

n n a a b b

n n

a b a b

n n

α= = = +

+ +

7 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

Khoảng cách từ M0(x y0; 0) đến đường thẳng ∆:ax+by+ =c tính theo cơng thức

( ) 0

0, 2 2 .

ax by c

d M

a b

+ +

∆ =

+

Nhận xét Cho hai đường thẳng ∆1:a x1 +b y1 +c1=0 ∆2:a x2 +b y2 +c2=0 cắt phương trình hai đường phân giác góc tạo hai đường thẳng là:

1 1 2

2 2

1 2

.

a x b y c a x b y c

a b a b

+ + + +

= ±

CAÂU HOÛI TRAÉC NGHIEÄM

Vấn đề VECTƠ CHỈ PHƯƠNG – VECTƠ PHÁP TUYẾN

Câu Vectơ vectơ phương đường thẳng song song với trục Ox? A u1=(1; 0) B u2=(0; − ) C u3= −( 1;1 ) D u4=( )1;1

Lời giải Trục Ox: y=0 có VTCP i( )1; nên đường thẳng song song với Ox có

VTCP i(1; ) Chọn A

Câu Vectơ vectơ phương đường thẳng song song với trục Oy? A u1=(1; − ) B u2=(0;1 ) C u3=(1;0) D u4=( )1;1

Lời giải Trục Oy: x=0 có VTCP j(0;1) nên đường thẳng song song với Oy có VTCP j( )0;1 Chọn B

Câu Vectơ vectơ phương đường thẳng qua hai điểm A(−3;2) B(1;4)?

A u1=(−1;2 ) B u2=(2;1) C u3= −( 2;6 ) D u4=( )1;1

Lời giải Đường thẳng qua hai điểm A(−3;2) B( )1; có VTCP AB=(4; 2) (2;1 )

u Chọn B

Câu Vectơ vectơ phương đường thẳng qua gốc tọa độ O(0;0) điểm M a b( ; )?

A u1=(0;a+b) B u2=(a b; ) C u3=(a;−b) D u4= −( a b; ) Lời giải OM=(a b; )→ đường thẳng OM có VTCP: u=OM=(a b; ) Chọn B

Câu Vectơ vectơ phương đường thẳng qua hai điểm A a( ;0) B(0;b)?

A u1=(a;−b) B u2=(a b; ) C u3=(b a; ) D u4= −( b a; ) Lời giải AB= −( a b; )→ đường thẳng AB có VTCP: AB= −( a b; ) u= −AB=(a;−b)

Chọn A

Câu Vectơ vectơ phương đường phân giác góc phần tư thứ nhất?

A u1=( )1 1; B u2=(0; − ) C u3=(1;0) D u4= −( 1;1 )

Lời giải Đường phân giác góc phần tư (I): x− = y → VTPT: n(1; 1− ) → VTCP: u( )1;1

Chọn A

Câu Vectơ vectơ pháp tuyến đường thẳng song song với trục Ox? A n1=(0 1; ) B n2=(1;0) C n3= −( 1;0 ) D n4=( )1;1

Lời giải Đường thẳng song song với Ox: y+m=0(m=/0)→ VTPT: n( )0;1 Chọn A

Câu Vectơ vectơ pháp tuyến đường thẳng qua hai điểm A(2;3) B(4;1 ?)

A n1=(2;−2 ) B n2=(2; − ) C n3=( )1;1 D n4=(1; − ) Lời giải AB=(2; 2− )→ đường thẳng AB có VTCP u(1; 1− ) → VTPT n( )1;1 Chọn C

Câu 10 Vectơ vectơ pháp tuyến đường thẳng qua gốc tọa độ điểm A a b( ; )?

A n1=(−a b; ) B n2=(1;0) C n3=(b;−a) D n4=(a b; )

Lời giải OA=(a b; )→ đường thẳng AB có VTCP u=AB=(a b; )→ VTPT n b( ;−a)

Chọn C

Câu 11 Vectơ vectơ pháp tuyến đường thẳng qua hai điểm phân biệt A a( ;0) B(0;b)?

A n1=(b;−a) B n2= −( b a; ) C n3=(b a; ) D n4=(a b; )

Lời giải AB= −( a b; )→ đường thẳng AB có VTCP u= −( a b; )→ VTPT n=(b a; ) Chọn

C

Câu 12 Vectơ vectơ pháp tuyến đường phân giác góc phần tư thứ hai?

A n1=( )1 1; B n2=(0;1 ) C n3=(1;0) D n4= −( 1;1 ) Lời giải Góc phần tư (II): x+ = y → VTPT n=( )1;1 Chọn A

Câu 13 Đường thẳng d có vectơ phương u=(2; 1− ) Trong vectơ sau, vectơ vectơ pháp tuyến d?

A n1=(−1;2) B n2=(1; − ) C n3= −( 3;6) D n4=(3;6 ) Lời giải Đường thẳng d có VTCP: u(2; 1− ) → VTPT n(1; 2) 3n=(3; ) Chọn D Câu 14 Đường thẳng d có vectơ pháp tuyến n=(4; 2− ) Trong vectơ sau, vectơ vectơ phương d?

A u1=(2;−4 ) B u2= −( 2; ) C u3=(1;2) D u4=(2;1 ) Lời giải Đường thẳng d có VTPT: n(4; 2− )→ VTCP u(2; 4) ( 2)

2 ;

1

u= Chọn C Câu 15 Đường thẳng d có vectơ phương u=(3; 4− ) Đường thẳng ∆ vng góc với d có vectơ pháp tuyến là:

A n1=(4 3; ) B n2=(−4; − ) C n3=(3;4) D n4=(3; − ) Lời giải d (3; 4) d (3; )

u

n u

d ∆

 →

 

= −

= =



−

∆ ⊥ Chọn D

Câu 16 Đường thẳng d có vectơ pháp tuyến n= − −( 2; 5) Đường thẳng ∆ vng góc với d có vectơ phương là:

A u1=(5;−2 ) B u2= −( 5;2 ) C u3=(2;5) D u4=(2; − ) Lời giải d ( 2; 5) d ( 2; 5)

n

u n

d ∆

 →

 

= − −

= = − −

∆  ⊥ 

hay chọn −n∆=(2;5 ) Chọn C

Câu 17 Đường thẳng d có vectơ phương u=(3; 4− ) Đường thẳng ∆ song song với d có vectơ pháp tuyến là:

Lời giải (3; 4) (3; 4) (4;3 )

|| d

d u

u u n

d ∆ ∆

 = −  = = −  →   → ∆ 

= Chọn A

Câu 18 Đường thẳng d có vectơ pháp tuyến n= − −( 2; 5) Đường thẳng ∆ song song với d có vectơ phương là:

A u1=(5;−2 ) B u2=(−5; − ) C u3=(2;5) D u4=(2; − ) Lời giải ( 2; 5) ( 2; 5) (5; )

|| d

d n

n u u

d ∆ ∆

 →

 = − − = = − − → = −

∆

 Chọn A

Vấn đề VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Câu 19 Một đường thẳng có vectơ phương?

A 1 B 2 C D Vô số

Lời giải Chọn D

Câu 20 Đường thẳng d qua điểm M(1; 2− ) có vectơ phương u=(3;5) có phương trình tham số là:

A : x t d y t  = +    = − 

B : x t d y t  = +    = − + 

C :

2 x t d y t  = +    = − − 

D :

5 x t d y t  = +    = + 

Lời giải ( ) (3; 5)

1; d d M u  −  →   ∈  =

PTTS : ( )

2 x t d t y t  = +    − +  ∈

= ℝ Chọn B

Câu 21 Đường thẳng d qua gốc tọa độ O có vectơ phương u= −( 1;2) có phương trình tham số là:

A :

2 x d y  = −    = 

B d: x 2t y t  =    = 

C :

2 x t d y t  =    = − 

D d: x 2t y t  = −    = 

Lời giải ( )

(1 )

0; ; d O d u u  ∈ = − =  → 

 − PTTS : ( )

x t d t y t  =    = −  ∈ 

ℝ Chọn C

Câu 22 Đường thẳng d qua điểm M(0; 2− ) có vectơ phương u=(3;0) có phương trình tham số là:

A : x t d y  = +    = 

B : x d y t  =    = − + 

C :

2 x d y t  =    = − 

D :

2 x t d y  =    = − 

Lời giải ( ) ( ; ) 0; d d u M u ∈ = =  −  → 

 PTTS ( )

3 : x t d t y  =    = −  ∈ 

ℝ Chọn D

Câu 23 Vectơ vectơ phương đường thẳng : x d y t  =    = − +  ? A u1=(6;0) B u2= −( 6;0) C u3=(2;6) D u4=(0;1) Lời giải :

1 x d y t  =  →   = − + 

VTCP u=(0; 6)=6 0;1( ) hay chọn u=( )0;1 Chọn D

Câu 24 Vectơ vectơ phương đường thẳng

1 : 3 x t y t  = −  ∆   =− +  ?

A u1= −( 1;6 ) B

;3

Lời giải : 3 x t y t  = −  ∆  →  =− + 

VTCP 1; 1( 1; 6)

2

u= − = −

 hay chọn u(−1; ) Chọn A Câu 25 Viết phương trình tham số đường thẳng qua hai điểm A(2; 1− ) B(2;5)

A

1 x y t  =    = − + 

B x t y t  =    = − 

C

5 x t y t  = +    = + 

D

2 x y t  =    = +  Lời giải ( )

( ) ( )

2; 2

: 0; AB A x AB A y t B AB t u  −  =  →     ∈ ∈  = − +   =  = 

ℝ Chọn A

Câu 26 Viết phương trình tham số đường thẳng qua hai điểm A(–1;3) B(3;1)

A

3 x t y t  = − +    = + 

B

3 x t y t  = − −    = − 

C

1 x t y t  = +    = − + 

D

3 x t y t  = − −    = + 

Lời giải ( )

(4; 2) 2( 2; ) ( )

1;3 1 2

:

1

AB

A AB x t

u AB AB y t t

 −  = − −  →      = ∈ ∈ = − = − − + =    

ℝ Chọn D Câu 27 Đường thẳng qua hai điểm A( )1;1 B(2;2) có phương trình tham số là:

A

2 x t y t  = +    = + 

B

1 x t y t  = +    = + 

C 2 x t y t  = +    = + 

D x t y t  =    =  Lời giải ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1

:

1;1

1;1 1

: 0;

1 AB

t

A x t

AB t O

AB x t

AB A

y t B y t t

u AB =−   = +  ∈ ∈ ∈ →  = ∈  = = =  → →     = +       ℝ ℝ Chọn D

Câu 28 Đường thẳng qua hai điểm A(3; 7− ) B(1; 7− ) có phương trình tham số là: A x t y  =    = − 

B

7 x t y t  =    = − − 

C

1 x t y t  = −    = − 

D

7 x t y  =    =  Lời giải Ta có

( )

( ) ( ) ( )

3

:

7

2;

3; 3

: 0;

7 ;

t AB

A AB x t x t

AB AB

y

u AB AB y M

=−  −  = +  →  → −    ∈  = ∈ →   = − = = − =  = −       − Chọn A

Câu 29 Phương trình khơng phải phương trình tham số đường thẳng qua hai điểm O(0;0) M(1; 3− )?

A x t y t  = −    = 

B

3 x t y t  = +    = − − 

C

3 x t y t  = −    = − + 

D

3 x t y t  = −    =  Lời giải: Kiểm tra đường thẳng không chứa O(0; 0)→ loại A Chọn A Nếu cần kiểm tra đường thẳng không chứa điểm M(1; − )

Câu 30 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ba điểm A(2;0)¸ B(0;3) C(− −3; 1) Đường thẳng qua điểm B song song với AC có phương trình tham số là:

A x t y t  =    = + 

B

1 x y t  =    = + 

C

3 x t y t  =    = − 

D x 5t y t  = +    =  Lời giải Gọi d đường thẳng qua B song song với AC Ta có

( )

( 5; 1) 5;1( ) ( )

0;3 5

: d

B d x t

u A d t y t C   =  →  →     = ∈ ∈ = = − − =  +    − 

ℝ Chọn A

Câu 31 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ba điểm A(3;2)¸ P(4;0) Q(0; 2− ) Đường thẳng qua điểm A song song với PQ có phương trình tham số là:

A 2 x t y t  = +    = − 

B x t y t  = −    = + 

C x 2t y t  = − +    = 

Lời giải Gọi d đường thẳng qua A song song với PQ Ta có

( )

( ) ( ) ( ) ( )

2

3; 3 2

: 1;

2

1

:

4; 2 2;1

d

t

d x t

d d t

y t

u

A x t

d M y PQ t =−   = +  ∈  ∈ →  = − + ∈  = = = − − = − → → −     = +       ℝ Chọn C

Câu 32 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có đỉnh A(–2;1) phương trình đường thẳng chứa cạnh CD

3 x t y t  = +    = 

Viết phương trình tham số đường thẳng chứa cạnh AB

A

2 x t y t  = − +    = − − 

B

1 x t y t  = − −    = − 

C

1 x t y t  = − −    = − 

D

1 x t y t  = − −    = + 

Lời giải ( ) ( )

( ) ( )

, 4;

2;1

:

1

|| 4; 3

CD

AB CD

A x t

AB t

AB u

AB CD u u y t

∈ = ∈ → = − = − −  −  = − −  →      = −   

ℝ Chọn B

Câu 33 Viết phương trình tham số đường thẳng d qua điểm M(−3;5) song song với đường phân giác góc phần tư thứ

A

5 x t y t  = − +    = − 

B

5 x t y t  = − +    = + 

C

5 x t y t  = +    = − + 

D

3 x t y t  = −    = − + 

Lời giải Góc phần tư (I) : ( )1;1 ( )

5

: :

0 u ud d x t t

y

x y VTCP

t  = − +  =  − =  →  ∈  = + 

→ ℝ Chọn B

Câu 34 Viết phương trình tham số đường thẳng d qua điểm M(4; 7− ) song song với trục Ox

A x t y t  = +    = − 

B

7 x y t  =    = − + 

C

4 x t y  = − +    = 

D

7 x t y  =    = − 

Lời giải ( ) ( ) 4 ( )

1; 1; :

7 0; :

t Ox d x t d A y x t

u u d d

y =−  = +  = → = →  → −  = −   =  ∈ →   = −  Chọn D Câu 35 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(1; 4), B(3;2) C(7;3 ) Viết phương trình tham số đường trung tuyến CM tam giác

A

3 x y t  =    = + 

B x t y  = −    = − 

C x t y  = +    = 

D x y t  =    = −  Lời giải ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1;

5; 1;

2;3 :

3 3;

A x t

CM t y M MC B   → →  = = →  = + ∈  = 

 ℝ Chọn C

Câu 36 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2; 4), B(5;0) C(2;1) Trung tuyến BM tam giác qua điểm N có hồnh độ 20 tung độ bằng:

A −12 B 25

− C −13 D 27

2 − Lời giải ( )

( ) ( )

5

5

3; 6; :

5

2; 5

2 ; 2;1 x t MB M A M

C B y t

 = +     = − = − →      →  →          = −   Ta có ( )

20 2

5 20; 25 N N N t

N BM t

y y y t   =   = +     ∈ → ⇔ → = −    = −   Chọn B

Câu 37 Một đường thẳng có vectơ pháp tuyến?

A 1 B 2 C 4 D Vô số

Lời giải Chọn D

A n1=(0; 2− ) B n2=(1; 2− ) C n3= −( 2;0) D n4=(2;1) Lời giải d x: −2y+2017= 0 →nd=(1; − ) Chọn B

Câu 39 Vectơ vectơ pháp tuyến d:−3x+ +y 2017=0? A n1= −( 3;0) B n2= − −( 3; 1) C n3=(6;2) D n4=(6; 2− ) Lời giải d:−3x+ +y 2017= 0 →nd= −( 3;1) hay chọn −2nd =(6;−2 ) Chọn D Câu 40 Vectơ vectơ pháp tuyến : ?

3

x t

d

y t

 = − + 

  = − 

A n1=(2; 1− ) B n2= −( 1;2) C n3=(1; 2− ) D n4=(1;2) Lời giải : (2; 1) (1; )

3 d d

x t

d

y t u n

 = − +

 → = − → =

  = − 

Chọn D

Câu 41 Vectơ vectơ phương d: 2x−3y+2018=0 ?

A u1= − −( 3; 2) B u2=(2;3) C u3= −( 3;2) D u4=(2; 3− ) Lời giải d: 2x−3y+2018= 0 →nd =(2; 3− )→ud=(3; 2) hay chọn −nd = − −( 3; ) Chọn A

Câu 42 Đường trung trực đoạn thẳng AB với A= −( 3;2), B= −( 3;3) có vectơ pháp tuyến là:

A n1=(6;5) B n2=(0;1) C n3= −( 3;5) D n4= −( 1; 0) Lời giải Gọi d trung trực đoạn AB, ta có: (0;1) d ( )0;1

AB

n AB

d AB



 → =

 

= 

=

⊥ Chọn B

Câu 43 Cho đường thẳng ∆:x−3y− =2 Vectơ sau vectơ pháp tuyến ∆?

A n1=(1; –3) B n2=(–2;6) C

;

n = −  D n4=(3;1)

Lời giải ( )

( )

( )

1

3

1;

: 1; 2;

1

;

3

d

d d

d

n n

n n n

n n

x y

 

 − =

 

∆ − − = → = − → − = − 

  

  − =

  

   

Chọn D

Câu 44 Đường thẳng d qua điểm A(1; 2− ) có vectơ pháp tuyến n= −( 2; 4) có phương trình tổng quát là:

A d x: +2y+ =4 B d x: −2y− =5 C d:−2x+4y=0 D d x: −2y+ =4 Lời giải ( )

( ) ( ) ( )

1;

: : 10 :

2; d

A

d x y d x y d x y

d n

 −

 → − − + + = ⇔ − + + = ⇔ − − =

  = − 

∈ Chọn B

Câu 45 Đường thẳng d qua điểm M(0; 2− ) có vectơ phương u=(3;0) có phương trình tổng quát là:

A d x: =0 B d y: + =2 C d y: − =2 D d x: − =2 Lời giải ( )

(3; 0) 1; 0( ) ( )0;1 0;

:

d d

u n d

M

y d

 −

 → + =

 

∈

= →

 = =

Chọn B

A x t y t  = − −    = + 

B

1 x t y t  = −    = + 

C

3 x t y t  = +    = 

D

4 x t y t  = −    = − + 

Lời giải ( )

(3; 2) ( ) ( )

4;5

:

5

2;3

d d

A x t

u y

n t t

d d  −  = − −  →      = +  ∈ ∈ = →   = −

ℝ Chọn A

Câu 47 Phương trình sau phương trình tổng quát đường thẳng : x t d y t  = −    = +  ? A 4x+5y+17=0 B 4x−5y+17=0

C 4x+5y−17=0 D 4x−5y−17=0 Lời giải Ta có

( )

( ) ( ) ( ) ( )

3;1

5; 4;

3

: : : 17

1 d d

A

x t

d d d x y d x y

u n y t ∈ = − → =   = −    → → − + − = ⇔ + − =    = +    Chọn C

Câu 48 Phương trình sau phương trình tổng quát đường thẳng : 15 x d y t  =    = +  ? A x−15=0 B x+15=0 C 6x−15y=0 D x− − =y

Lời giải ( )

(0; 7) 7( ) ( )

15; 15

: :

0;1 1; 15

6 d d

A x

d d

y t

d

u n x

∈ = =   =    → → − =    = +  → =   Chọn A

Câu 49 Phương trình sau phương trình tham số đường thẳng d x: − + =y 0?

A

3 x t y t  =    = + 

B

3 x t y t  =    = − 

C x

y t  =    = 

D

1 x t y t  = +    = +  Lời giải ( ) ( )

( )1 ( )

0;3

0

: :

1; d ;1

d

d A

x y x t

d x y d

y t

n u t

  = ⇒ =      =   − + = → → →   = −   = +     ∈  ∈ =

ℝ Chọn A Câu 50 Phương trình sau phương trình tham số đường thẳng

: ? d x− y+ =

A

2 x t y t  =    = + 

B

3 x t y t  =     = + 

C

3 x t y t  =     = − +  D 3 x t y t  =     = +  Lời giải ( ) ( )

(2;3) 1;3 ( )

2 0;

0

: :

3;

2

d d

A x t

x y

d x y d

d

n u y t t

∈ ∈    = =     =   = ⇒ =       − + = → → →   = −   = +          ℝ Chọn B

Câu 51 Cho đường thẳng d: 3x+5y+2018=0 Tìm mệnh đề sai mệnh đề sau: A d có vectơ pháp tuyến n=(3;5)

B d có vectơ phương u=(5; 3− ) C d có hệ số góc

3 k=

D d song song với đường thẳng ∆: 3x+5y=0

Lời giải ( ) ( ) ( ) ( ) 3; 3;5

: 2018

5 5; 5 5; d d d d d d

n n n

u u u

d x y

k k k

  = =   = − =    = =/     =   + + = → = − → →      = −  Chọn C

: 2018 || :

Câu 52 Đường thẳng d qua điểm M(1;2) song song với đường thẳng : 2x 3y 12

∆ + − = có phương trình tổng qt là:

A 2x+3y− =8 B 2x+3y+ =8 C 4x+6y+ =1 D 4x−3y− =8

Lời giải ( ) ( )

( )

1; 1;

2.1

12

|| : 12 :

M M

c c

x y c c

x y

d d

d d



 

 

 → → + + = ⇔ = −

 

 ∆ + − =  + + =

 

 

∈ ∈

=/ − Vậy

:

d x+ y− = Chọn A

Câu 53 Phương trình tổng quát đường thẳng d qua O song song với đường thẳng : 6x 4x

∆ − + = là:

A 3x−2y=0. B 4x+6y=0 C 3x+12y− =1 0. D 6x−4y− =1

Lời giải ( ) ( )

( )

0; 0;

6.0 4.0 0

:

|| :

d d

d x

O O

c

x c c c

d x x



 

 

 → → − + = ⇔ =

 

 

 

 

∈ ∈

− + = =/

∆ − + = Vậy

: :

d x− y= ⇔d x− y= Chọn A

Câu 54 Đường thẳng d qua điểm M(−1;2) vng góc với đường thẳng : 2x y

∆ + − = có phương trình tổng qt là:

A 2x+ =y B x−2y− =3 C x+ − =y D x−2y+ =5

Lời giải ( 1; 2) ( 1; 2) 2.2

: :

d d

M M

c c

x y d x y c

d

 

 −  −

 → →− − + = ⇔ =

 

 ∆ + − =  − + =



∈

⊥ 



∈

 Vậy d x: −2y+ =5 0.Chọn D

Câu 55 Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm A(4; 3− ) song song với đường

thẳng :

1

x t

d

y t

 = −    = + 

A 3x+2y+ =6 B −2x+3y+17=0 C 3x+2y− =6 D 3x−2y+ =6 Lời giải Ta có

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2;3 : :

2;3 3;

4;

4

2 |

;

| d

d

d

u x y

A

A

x y

u n

d ∆ ∆

 −

 ∈  ∈

= − ∆ − +

  −

 → → + = ⇔ ∆

 

 

 



+ − =

= − → =

∆  Chọn C

Câu 56 Cho tam giác ABC có A(2 ;0 , ) B(0 ;3 , ) C(–3;1) Đường thẳng d qua B song song với AC có phương trình tổng quát là:

A 5 –x y+ =3 B 5x+y– 3=0 C x+5 – 15y =0 D x– 15y+15=0

Lời giải ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

0;3

0;3

:1

5;1 : 15

1;5 ||

AC

d d

d

u AC

n B

B

d x y d

d A

x y

C



 

 

 → → − + − = ⇔ + − =

 

 

 

 

∈

∈

= = −

=

Chọn C

Câu 57 Viết phương trình tổng quát đường thẳng d qua điểm M(−1;0) vng góc

với đường thẳng :

2 x t

y t

 =  ∆ 

 = − 

A 2x+ + =y B 2x− + =y C x−2y+ =1 D x+2y+ =1 Lời giải

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

1; 1;

1;

:1 0 :

2

1; d

M

M

d x y d x y

d

d u

n d

∆

 −

 

  −

 → → + − − = ⇔ − + =

 

 

 

∈

∈

= −

= −



 ∆

 ⊥ 

Câu 58 Đường thẳng d qua điểm M(−2;1) vng góc với đường thẳng : x t y t  = −  ∆   = − + 

có phương trình tham số là: A

1 x t y t  = − −    = + 

B x t y t  = − +    = + 

C x t y t  = −    = + 

D x t y t  = +    = +  Lời giải ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3;5 3; 2;1

2;1

:

5 5;3

d d M M d d u n u d x t d t y t ∆ ∈ ∈ = − ∈ = − →  −     −  = − +  → →        = +     ⊥ ∆ =

ℝ Chọn B

Câu 59 Viết phương trình tham số đường thẳng d qua điểm A(−1;2) song song với đường thẳng ∆: 3x−13y+ =1

A 13

2 x t y t  = − +    = + 

B 13 x t y t  = +    = − + 

C 13

2 x t y t  = − −    = + 

D

2 13 x t y t  = +    = −  Lời giải ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3; 13 3; 13 1;

1; 13

:

2

13;3

|| d d

A

A x t

d d

d n

n y t

d u t

∆ ∈ ∈ = − ∈ = − →  −     −  = − +  → →        = +     ∆ =

ℝ Chọn A

Câu 60 Viết phương trình tham số đường thẳng d qua điểm A(−1;2) vuông góc với đường thẳng ∆: 2x− + =y

A

2 x t y t  = − +    = − 

B

4 x t y t  =    = + 

C

2 x t y t  = − +    = + 

D

2 x t y t  = +    = −  Lời giải ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1;

1; 2

: 2;

2;

d d A

A x t

d t y d t d n u ∆  −     −  = − +  → →        = −     ∈ ∈ = − ∈ = − ⊥ ∆ 

ℝ Chọn A

Câu 61 Viết phương trình tổng quát đường thẳng d qua điểm M(− −2; 5) song song với đường phân giác góc phần tư thứ

A x+ − =y B x− − =y C x+ + =y D 2x− − =y Lời giải ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2; 2;

(I) : 0

0 ||

5

:

M

M

c c

d x y

x c y c d d ∈ − = ∆ =/  − −     − − =  → → − − − + = ⇔ = −     − + =    ∆ 

Vậy d x: − − =y Chọn B

Câu 62 Viết phương trình tổng quát đường thẳng d qua điểm M(3; 1− ) vng góc với đường phân giác góc phần tư thứ hai

A x+ − =y B x− − =y C x+ + =y D x− + =y Lời giải

( )

( )II : 0( ) ( ) ( )

3;

3;

3 :

:

M

M

c c d x y

d x d x y y c d  −     −  → → − − + = ⇔ = − → − − =     − + =    + ∆  ∈ = ⊥ ∆ Chọn B

Câu 63 Viết phương trình tham số đường thẳng d qua điểm M(−4;0) vng góc với đường phân giác góc phần tư thứ hai

A x t y t  =    = − + 

B x t

y t  = − +    = − 

C

4 x t y t  =    = + 

D

Lời giải

( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

4

II : 1;1 :

4;

4

0;

1

4

4 ;

t

d d

x t

x y n d d t

y t

d u

M

x t

A

y t

∆

=

 −

 ∈  =  =

+ = ∆ → = ∈ →  ∈

 = +  ⊥ ∆ →

− + 

 → →

 

  =

 

 =



ℝ

Chọn C

Câu 64 Viết phương trình tổng quát đường thẳng d qua điểm M(−1;2) song song với trục Ox

A y+ =2 B x+ =1 C x− =1 D y− =2 Lời giải ( )

|| 1;

2

:

:

d

d Ox y y

M

d

 −

 →



 = =

∈ 

Chọn D

Câu 65 Viết phương trình tham số đường thẳng d qua điểm M(6; 10− ) vng góc với trục Oy

A 10

x t

y

 = +

   = 

B : 10

x t

d y  = +    = − 

C :

10 x d

y t

 =  

 = − − 

D : 10 x d

y t

 =  

 = − + 

Lời giải ( )

( ) ( )

4

6; 10

: 2; 10

10

2

:

10

: d 1;

t

d x t

d d

y

d Oy

M x t

d A

y

x u

=−

 −  = +

 →  → −

 

 

∈  = +

∈ → 

 = −

⊥ = → =  = −

  

Chọn B

Câu 66 Phương trình tổng quát đường thẳng qua hai điểm A(3; 1− ) B(1;5) là: A − +x 3y+ =6 0. B 3x− +y 10=0

C 3x− + =y 0. D 3x+ − =y Lời giải ( )

( 2; 6) ( ) : 3( 3) 1( 1) :

3;

3;1

AB AB

AB

AB x y AB y

u B

A

x

A n

 ∈

 → − + + = ⇔ + − =



 = = − → =

 − 

Chọn D

Câu 67 Phương trình đường thẳng cắt hai trục tọa độ A(–2;0) B(0 ;3) là:

A 2x−3y+ =4 B 3 – 2x y+ =6 C 3 – 2x y− =6 D 2 – 3x y− =4 Lời giải ( )

( )

2;

:

3

0;3

Ox

A x y

A x

B Oy B y

 −

 → + = ⇔ − + =



 −



∈

∈ Chọn B

Câu 68 Phương trình tổng quát đường thẳng qua hai điểm A(2; 1− ) B(2;5) là: A x+ − =y 0. B 2x−7y+ =9 C x+ =2 0. D x− =2 Lời giải ( )

( ) ( )

2;

:

0; 1;

2

0

AB AB

AB

u AB n AB x

A

 −

 → − =

 

∈

= = → = Chọn D

Câu 69 Phương trình tổng quát đường thẳng qua hai điểm A(3; 7− ) B(1; 7− ) là: A y− =7 0. B y+ =7 C x+ + =y 0. D x+ + =y Lời giải ( )

( ) ( )

3;

:

4; 0;

7

1

AB AB

AB

u AB

A

AB y n

 −

 → + =

 

∈

= =

 − → =

Chọn B

Câu 70 Cho tam giác ABC có A( )1;1 , B(0; , − ) C(4;2 ) Lập phương trình đường trung tuyến tam giác ABC kẻ từ A

A x+ − =y 0. B 2x+ − =y C x+2y− =3 0. D x− =y 0. Lời giải Gọi M trung điểm BC Ta cần viết phương trình đường thẳng AM Ta có :

( )

( ) ( ) ( ) ( )

0;

2; 1;

4;2 uAM AM 1;1 :

B

M AM n AM

C x y

 −

 → → = = − → = → − =



 + Chọn A

A 2x+3y− =3 0. B 3x+2y+ =1 C 3x− + =y 0. D x+ − =y Lời giải Gọi I trung điểm AB d trung trực đoạn AB Ta có

( ) ( ) ( )

( ) ( )

1; , 5;

4; 2

;

: 3

3

;

d

d A

A

B n A

B I

d y

B

x d

∈

⊥ → = = =

 − → −

 → + − =



 Chọn A

Câu 72 Đường trung trực đoạn AB với A(4; 1− ) B(1; 4− ) có phương trình là: A x+ =y 1. B x+ =y C y− =x 0. D x− =y Lời giải Gọi I trung điểm AB d trung trực đoạn AB Ta có

( ) ( )

( ) ( )

5

4; , 1; ;

2

3; 3 1;

2 .

1

:

d

d

AB n A

A B I

d x

d B

y

  

 

 − − →  − 

  

   → + =



∈

⊥ → = = −



 −

 = −

 

Chọn B

Câu 73 Đường trung trực đoạn AB với A(1; 4− ) B(1;2) có phương trình là: A y+ =1 0. B x+ =1 C y− =1 0. D x−4y=0 Lời giải Gọi I trung điểm AB d trung trực đoạn AB Ta có

( ) ( ) ( )

( ) ( )

1; , 1; 1;

0; 6 0;

1

:

1

1

d

d

AB n AB

A B I

d y d

 − → −

 → + =

 

∈

⊥ → = = = Chọn A

Câu 74 Đường trung trực đoạn AB với A(1; 4− ) B(3; 4− ) có phương trình : A y+ =4 0. B x+ − =y C x− =2 0. D y− =4 Lời giải Gọi I trung điểm AB d trung trực đoạn AB Ta có

( ) ( ) ( )

( ) ( )

1; , 3;

2; ;

0 1;

:

d

d

AB n AB

A B I

d x d

 − − → −

 → − =

 

∈

⊥ → = = =



Chọn C

Câu 75 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2; , − ) B(4;5) ( 3;2)

C − Lập phương trình đường cao tam giác ABC kẻ từ A A 7x+3y−11=0 B −3x+7y+13=0. C 3x+7y+ =1 D 7x+3y+13=0 Lời giải Gọi hA đường cao kẻ từ A tam giác ABC Ta có

( )

( 7; 3) ( )

2;

: 11

7

;

A

A A

A h

A

h x y

h

h BC n BC

∈

⊥ → = = − − = −

 −

 → + − =



 Chọn A

Câu 76 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2; , − ) B(4;5) ( 3;2 )

C − Lập phương trình đường cao tam giác ABC kẻ từ B A 3x−5y−13=0 B 3x+5y−20=0. C 3x+5y−37=0. D 5x−3y− =5 0. Lời giải Gọi hB đường cao kẻ từ B tam giác ABC Ta có

( )

( 5;3) (5; 3)

4;5

: 5

B

B

B h

B h

h AC n AC

B

h x y

∈

⊥ → = = − = − −



 → − − =

  

Chọn D

Câu 77 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2; , − ) B(4;5) ( 3;2 )

C − Lập phương trình đường cao tam giác ABC kẻ từ C

A x+ − =y B x+3y− =3 0. C 3x+ +y 11=0. D 3x− +y 11=0. Lời giải Gọi hC đường cao kẻ từ C tam giác ABC Ta có

( )

(2; 6) ( )

3;

: 3

2 1;3

C

C C

C h

h

h AB n A

C

h x y

B

∈

⊥ → = = =

 −

 → + − =

  

Vấn đề VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG

Câu 78 Xét vị trí tương đối hai đường thẳng d1:x−2y+ =1 d2: 3− x+6y−10=0 A Trùng B Song song

C Vng góc với D Cắt khơng vng góc

Lời giải

1

1

1

||

: 1

: 10 10

d x y

d x y d d

 − + =  −  → = =/ →   − + − = −  − Chọn B

Câu 79 Xét vị trí tương đối hai đường thẳng d1: 3x−2y− =6 d2: 6x−2y− =8 A Trùng B Song song

C Vng góc với D Cắt khơng vng góc

Lời giải ( )

( ) 1 2 2

: 3;

6

:

2

,

0

8 6;

d x y

d x y

n

d d

n n n

    − − = → = −   →    − − = → = −      − =/ → − ⋅ =  /

cắt không

vng góc Chọn D

Câu 80 Xét vị trí tương đối hai đường thẳng 1: x y

d − = d2: 3x+4y−10=0 A Trùng B Song song

C Vng góc với D Cắt khơng vng góc Lời giải

( )

1

1

2

2

1

: ;

3 4

: 10 3;

0 x y d d x n

n n d d

y n       − = → = −        →   + − = → = 

⋅ = → ⊥ Chọn C

Câu 81 Xét vị trí tương đối hai đường thẳng

1 : 2 x t d y t  = − +    = − − 

2 : x t d y t  = − ′    = − + ′  A Trùng B Song song

C Vuông góc với D Cắt khơng vng góc

Lời giải

( )

( ) ( )

1

1

2 2

1

: 1; 1 2

2

2

2

: 2; , 2;

8 x t d y t d d u

B d t

d

x t

d B

y t u

  = − +   → = −     −  = − −   =   → → ≡ −      = − ′     → − = −      = − + ′    ∈  ∈ ↔ =  Chọn A

Câu 82 Xét vị trí tương đối hai đường thẳng

3 : x t d y t  = − +    = − 

2: 2

8 x t d y t  = − ′    = − + ′  A Trùng B Song song

C Vng góc với D Cắt khơng vng góc

Lời giải

( ) ( )

( )

1 1

2

1 2

3

: 3; , 2; 2 3

2 || : 2;3 x t d A y t d d x t d y u A d u t d   = − +   → − = −     −  = −   =   →− →      = − ′     → = −       = + ′   ∈ ∈   / Chọn B

Câu 83 Xác định vị trí tương đối hai đường thẳng 1

3 : x t y t   = +  ∆   = − +  

2

9 : x t y t   = + ′  ∆   = + ′  

A Trùng B Song song

Lời giải ( ) ( ) 1 2 1 3

: 3; , ; 3 4

4

1 2 3

3 9 : 9;8 x t A y t x t y t u A t u       = +        ∆  → − =   = − +        =  → →         = + ′            ∆  → =     = + ′     ∈ ∆ ∆ ≡ ∆ ′ ∈ ∆    ↔ = −  Chọn A

Câu 84 Xác định vị trí tương đối hai đường thẳng ∆1: 7x+2y− =1

4 : x t y t  = +  ∆   = −  A Trùng B Song song

C Vng góc với D Cắt khơng vng góc Lời giải

( )

( ) ( )

1

2

2 2

1

: 7; 7 2

5

4

: 1; 5;1

1 , n u n n n x y x t y t  ∆ + − = → =      → →  = +      ∆  = − → = − → =     =/ ∆ ∆ =/  ⋅  

cắt

khơng vng góc Chọn D

Câu 85 Xét vị trí tương đối hai đường thẳng

4 : x t d y t  = +    = − 

d2: 3x+2y−14=0 A Trùng B Song song

C Vng góc với D Cắt khơng vng góc

Lời giải ( ) ( )

( ) ( )

1 1

1 2 2 2

: 4;1 , 2;

1

: 14 3; 2;

d u u u

d

n u

x t

d A

y t d d

A

d x y

  = +   → = −       = − → → ≡       + − = → = → = −  ∈ =

∈ Chọn A

Câu 86 Xét vị trí tương đối hai đường thẳng

4 : x t d y t  = +    = − 

d2: 5x+2y−14=0 A Trùng B Song song

C Vuông góc với D Cắt khơng vng góc

Lời giải ( ) ( )

( ) ( )

1 1

1 2

2 2

1

4

: 4;1 , 2;

1 ||

: 14 5; 2;

d u u u

d

n u

x t

d A

y t d d

A

d x y

  = +   → = −       = − → →       + − = → = → = ∈ −  = ∈/  Chọn B

Câu 87 Xét vị trí tương đối hai đường thẳng 1: x t d y t  = +    = − 

2 : x t d y t  = ′    = − + ′  A Trùng B Song song

C Vng góc với D Cắt khơng vng góc

Lời giải

( )

( )

1

1

2

2

2

: 3;

2 : 2;3 u x t d y t d d x t d y t u u u   = +   → = −     = −    → →    = ′    → =     = − + ′   

⋅ = ⊥ Chọn C

Câu 88 Cho hai đường thẳng 1 :

2

d x t

y t  = +    = − + 

2

1

7

: x t

y t

d  = −  = − + 

Khẳng định sau đúng:

( ) 1 1 2 2

:

3 :

:

5

:

:

3; :

7

d

d

x t

d x y

y t d x y x

d

d x y y

x t d x y M d y t   = +   → − − =     = − +   − − =  =  → ⇔ →     = − + − = = −      → + − =   ∩ =   = − +    −   Chọn D

Câu 89 Cho hai đường thẳng 1

: x t

y t

d  = −  = + 

d2: – 2x y+ =1 Khẳng định sau đúng:

A d1 song song d2 B d2 song song với trục Ox C d2 cắt trục Oy 0;1

2

M  D d1 d2 cắt

; 8 M 

Lời giải

2 1

15

:

:

: –

1 7

:

5

7

2 1

d

d x

x

d x y

x t d x y y y y t  =    = −  + − =    → + − = → ⇔ →     = +      =  +  

= A, B, D sai

2

1

: – 0 0;

2

Oy∩d x y+ = ↔ = ⇒ =x y →d ∩Oy=M 

 Chọn C Chọn D

Câu 90 Cho bốn điểm A(4; 3− ), B(5;1), C(2;3) D(−2; 2) Xác định vị trí tương đối hai đường thẳng AB CD

A Trùng B Song song

C Vng góc với D Cắt khơng vng góc

Lời giải ( )

( ) , 4 1;

4; 0

AB

CD AB CD

u AB u A CD u B D u C       → − →    = = =/ − = = − −  ⋅ =/    

cắt khơng vng góc Chọn D

Câu 91 Cho bốn điểm A(1;2), B(4;0), C(1; 3− ) D(7; 7− ) Xác định vị trí tương đối hai đường thẳng AB CD

A Trùng B Song song

C Vng góc với D Cắt khơng vng góc

Lời giải ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1; , 3; 2;3 : 8

1; , 6;

3

6

AB CD

AB

A AB u AB n AB x y

C CD u CD C AB

∈ = − → = → + − = − ∈  −   =  =    → −      = = −    ∈/ nên ||

AB CD Chọn B

Câu 92 Các cặp đường thẳng sau vng góc với nhau? A 1:

1 x t d y t  =    = − − 

d2: 2x+y–1=0 B d1:x− =2 2: x t d y  =    = 

C d1: 2x− + =y d2:x−2y+ =1 D d1: 2x− + =y d2: 4x−2y+ =1

Lời giải (i) ( )

( ) ( ) 2 2

2 – 2;1 1;

: 1;

1 2 : x t d y t d u u u

x y n u

   → ⋅ =/ →    + = → = → = −   =  → = −   = − −   loại A (ii) ( )

( ) ( )

1

2

1

2

2

: 1;

: :

0

0

1; 0;1

n

n n d d

d x

x t

d d u

y n    → ⋅ = → ⊥   → = − = → =  =    → =      = Chọn B

Tương tự, kiểm tra loại đáp án C, D

A 2x+3y+ =1 B x−2y+ =5 C 2x−3y+ =3 D 4x−6y− =2 Lời giải: Xét đáp án A: : 3

:

1

||

1 A

A

d x y

d x y d d

 + − =  → =   + + =  − →  =/

− Chọn A

Để ý đường thẳng song song với 2x+3y− =1 có dạng 2x+3y+ =c 0(c=/ −1)

Do kiểm tra thấy có đáp án A thỏa, đáp án cịn lại khơng thỏa

Câu 94 Đường thẳng sau khơng có điểm chung với đường thẳng x−3y+ =4 0?

A

2 x t y t  = +    = + 

B

2 x t y t  = −    = + 

C x t y t  = −    = + 

D x t y t  = −    = −  Lời giải Kí hiệu d x: −3y+ = →4 nd=(1; − )

(i) Xét đáp án A: 1 ( )

1

: 1;3 ,

2

x t

d

y t n n n

 = +

 → = →

  = + 

không phương nên loại A

(ii) Xét đáp án B: 2 ( )

1

: 3;1 ,

2

x t

d

y t n n n

 = −

 → = →

  = + 

không phương nên loại B

(iii) Xét đáp án C: 3 ( )

1

: 1;3 ,

2 x t n n y n d t  = −  → = →   = + 

không phương nên loại C

(iv)Xét đáp án D: ( )

( ) 4 4 1; : ||

2 1;

d n n

M d

M

x t

d d d

y t n

    = −  =    → → →     = −  = −    ∈  ∈/   Chọn D Câu 95 Đường thẳng sau vng góc với đường thẳng 4x−3y+ =1 0?

A

3 x t y t  =    = − − 

B

3 x t y t  =    = − + 

C

3 x t y t  = −    = − − 

D

3 x t y t  =    = − + 

Lời giải Kí hiệu d: 4x−3y+ = →1 nd =(4; − )

(i) Xét đáp án A: 1 ( )

4

: 3;

3

x t

d

y t n n n

 =

 → = →



 = − − ⋅

 =

nên Chọn A (ii) Tương tự kiểm tra loại đáp án B, C, D

Câu 96 Đường thẳng sau có vô số điểm chung với đường thẳng

1 x t y  =    = −  ?

A

1 2018 x y t  =    = − + 

B

0 x t y  = − +    = 

C 2018 x t y  = − +    = − 

D

1 x y t  =    = − + 

Lời giải Hai đường thẳng có hai điểm chung chúng trùng Như tốn trở thành tìm đường thẳng trùng với đường thẳng cho lúc đầu Ta có

( )

( )

0; :

1 1;

 −  = ∈    → →    = − 

  d =

d u

A

x t

d

y kiểm tra đường thẳng chứa điểm A(0; 1− ) có VTCP

cùng phương với ud →Chọn C

Câu 97 Đường thẳng sau có điểm chung với đường thẳng x t y t  = − +    = −  ? A 7x+3y− =1 B 7x+3y+ =1

C 3x−7y+2018=0 D 7x+3y+2018=0 Lời giải Ta cần tìm đường thẳng cắt : :

5  = − +  → + − =   = −  x t

d d x y

y t

1: +3 − = 1 → 1≡ →

d x y d d loại A

2: +3 + =1 & 3: +3 +2018= 0 → 2, 3|| →

Câu 98 Với giá trị m hai đường thẳng d1: 3x+4y+10=0

( )

2: 10

d m− x+m y+ = trùng nhau?

A m±2 B m= ±1 C m=2 D m= −2

Lời giải ( )

2

2

2

2

: 10 10

2

3 10

: 10

≡   − =  − + + = −   → = = ⇔ ⇔ =    + + =  =   

d d m

d m x m y m m

m m

d x y Chọn C

Câu 99 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng có phương trình

( )

1:

d mx+ m− y+ m= d2: 2x+ − =y Nếu d1 song song d2 thì: A m=2 B m= −1 C m= −2 D m=1

Lời giải ( ) 1||2

2

:

2

:

1 2 2  + − + = −  → = =/ ⇔− = / ⇔ =   + − =  −  = − d d

d mx m y m m m

d x m m m

m

y Chọn A

Câu 100 Tìm m để hai đường thẳng d1: 2x−3y+ =4

2 : x t d y mt  = −    = −  cắt A

2

m≠ − B m≠2 C

2

m≠ D

2 m=

Lời giải ( )

( ) 1 2

:

2; 4

2

: ;

1 ∩ =  − + =   = −     = − → →       = −      = − − =/ ⇔ =/ −  d M d n

d x y

m x t d m y m m t n Chọn C

Câu 101 Với giá trị a hai đường thẳng d1: – 4x y+ =1

( ) : x at d

y a t

 = − + 



 = − + 

vng góc với nhau?

A a= −2 B a=2 C a= −1 D a=1 Lời giải Ta có

( ) ( ) ( ) 1 2

: –

1

:

;

0

3 1; ⊥  + =   = −    → → ⋅ = ⇔ + − = ⇔ =     = − +  =  = − +  +      d d

d x y

n

n n a a a

n a a

x at

d

y a t

Chọn D

Câu 102 Với giá trị m hai đường thẳng 1: 2 x t d y t  = − +    = −  ( ) 2 :

6

x mt

d

y m t

 = +    = − + −  trùng nhau? A

2

m= B m= −2 C m=2 D m≠ ±2

Lời giải ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 , ; 2

: 2;

3

: 2;

6 2

≡  = − +  → = −   = −   = +  → −   = − + −     ∈      → ⇔ =   −   =     ∈ = −   −  d d

u A d

m m m d x t d y t x mt u m d A

y m t m

Chọn C

Câu 103 Tìm tất giá trị m để hai đường thẳng

2 : x t d y mt  = +    = + 

2:

d x− y+m= trùng

A m= −3 B m=1 C

m= D m∈ ∅

Lời giải ( ) ( )

( ) 2 1 , 2;

2 5 0

: 2;1

1 8

:

3

3; 4

≡   = +     + =  →         = + → ⇔ ⇔     =       − + = → =    ∈ ∈ = ∈  ∅ = d d

x t A d

d u m

m u

m

d A

y mt m

m

Chọn D

Câu 104 Với giá trị m hai đường thẳng d1: 2x+ + −y m=0

( )

2: +3 + +2 − =1

d m x y m song song?

A m=1 B m= −1 C m=2 D m=3 Lời giải

2

2

1

:

4

: 7

 + =



= → →

+ + = 

∩ 

=/ ∅ →

d

d x y

m d

d x y loại m=4 Với m=/

( )

1

1 ||

2

: 3 1

:

1

2

1

1

3

 + + − =

 +

 → = = −  = −



 + / − ⇔ =/ ⇔ = −



+ − − =



d d

m

d x y m m

d m x y m m

m

m m Chọn B

Câu 105 Tìm tất giá trị m để hai đường thẳng ∆1: 2x−3my+10=0 2:mx 4y

∆ + + = cắt

A 1<m<10 B m=1 C Khơng có m D Với m

Lời giải

1

1

2

:

0 (

: 10 : tm)

2

:

0

4

4 ∆ ∩∆ =

  + =

 = → → =



∆ − + = 

 + =

 

∆ ∆

− =/  

 

→

 

∆ + + =



→ =/ /

 ⇔ =

 

 M ∀

x

m m

x my

m

m m

m y

mx y Chọn D

Câu 106 Với giá trị m hai đường thẳng ∆1:mx+ −y 19=0

( ) ( )

2: m x m y 20

∆ − + + − = vng góc?

A Với m B m=2 C Khơng có m D m= ±1 Lời giải Ta có :

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1

1

2

: 19 ;1

1 1

: 1 20 1;

∆ ⊥∆

∆ + − = → =

 → − + + = ⇔



∆ − + + − = → = − + ∈



∅

mx y m

m m m m

m x m y m

n

n m

Chọn C

Câu 107 Với giá trị m hai đường thẳng d1: 3mx+2y+ =6 ( )

2: 2

d m + x+ my+ = cắt nhau?

A m≠ −1 B m≠1 C m∈ℝ D m≠1 m≠ −1 Lời giải Ta có

( )

( ) ( )

( )

1

1

2

2

2

2

:

0

: ; : 3 0

: 2

tm

2

0

2

0 2;

3

∩ =

  + =

 = → → =

 + + = → =   + + =

 → 

 

 + + + = +

=/ → =

→ = +

 

 / ⇔ =

 /

  ±



d d M

d y

m m

d mx y n m d x

n m m

m y

d m x my

m

m m

m

Chọn D

Câu 108 Với giá trị m hai đường thẳng d1: 2x−3y−10=0

2 :

1

x t

d

y mt

 = −    = −  vng góc?

A

m= B

8

m= C

8

m= − D

4 m= − Lời giải

( )

( ) ( ) ( )

1

1

2

: 10 2;

9

2.4

2

8

:

1

⊥

 − − = → = −



  = − → + − − = ⇔ = −

 

  → = −

  = −   

d d

d x y

m m

x t

d m

y m

n n t

Chọn C

Câu 109 Với giá trị m hai đường thẳng d1: 4x−3y+3m=0

1 :

4

x t

d

y mt

 = +    = +  trùng nhau?

A

3

m= − B

3

m= C

3

m= − D

Lời giải

( )

( ) ( )

1

1 1

2

2

: 3 4; 3 8 0

8

1

, ;

4

2

3

: 1;

3 ≡  − + = → = −   − =         = + → ⇔ ⇔ =       →   =      = +      ∈ − = ∈ = − − d d n d

d x y m A m

m x t m d A y m m d n t m Chọn B

Câu 110 Với giá trị m hai đường thẳng d1: 3mx+2y− =6 ( )

2: 2

d m + x+ my− = song song?

A m=1;m= −1 B m∈ ∅ C m=2 D m= −1 Lời giải Ta có

( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 |

2 |

ktm

2

0

:

0

: ; : 3 0

: 2

1

3

0 2;

  − = + − =/   = → → =  + − = → =   + − =  →     + + −  = → → = = = +     / ⇔ ± −  =  d d d y m m

d mx y m d x y

d m x my m m

m n

n m m

m m

Chọn A

Câu 111 Với giá trị m hai đường thẳng 1: ( 1) 10

x m t

d y t  = − +   = + 

2: 14

d mx+ y− = song song? A

2 m m  =   = − 

B m=1 C m= −2 D m∈ ∅ Lời giải Ta có

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1 ||

2 2 1;1 ktm 0; 1

: 8;10 , 1;

10

: 14

0 0 ; ∈/   =   ∈ = → →   =     +  =/ → =         = − +    → = +       = + →         + − = → =       =   +   =   ⇔ ⇔  = −    =  / =/ d d d n

d n m

n n m m m m m A

x m t

d A m

y t

d mx y m

m

m m

Chọn A

Câu 112 Với giá trị m hai đường thẳng ( )

1:

d m− x+ y+m − =

2:

d − +x my+m − m+ = cắt nhau? A m≠1 B

2 m m  ≠    ≠ 

C m≠2 D

2 m m  ≠   ≠ 

Lời giải ( )

1 2 2

:

0

:

: tm

1

3

:

0 ∩ =   − + − =  = → →     − + + − =  − + =  →    − + + − + =      =/  −  =/ → =/ ⇔   =/ −  d M d

d x y

m

d x

d m x y m

d x my m m m m

m

m m

Chọn B

Câu 113 Với giá trị m hai đường thẳng

( )

1

2 :

1

x m t

y m t

 = +  ∆  = +

+ 

2: x mt

y m t

 = +  ∆   = +  trùng nhau?

A Khơng có m B

Lời giải

( ) ( ) ( )

( )

( )

( )( )

1

1 2

2

1

2

2

3

2

: ;1

1

1

2

: ;1

1

1 1 0

1

1

, 2;

0

1

2

1 ≡

∈ = + ∈

 

  = +

 

∆  → 

  

  = + + 

  →

 

  = +  =

  

∆  → =  +

  = +   

 = + 

  = + − 

  − =

  

⇔ = + ⇔ ⇔

  − + + =  − =

  

 + − =



d d

x m t

A m A

y m t

m

x mt m

m

y m t

m mt

m m m m

m t

m

m m

d u m d

u

m

m m

1

⇔ =



m

Chọn C

Câu 114 Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng ∆: 5x+2y−10=0 trục hoành A (0;2 ) B (0;5 ) C (2;0 ) D (−2;0 )

Lời giải : 10 0

5 10 0

 =  =

 

 

∆ + − = → ⇔

 + − =  =

 

 

∩ y x

Ox x y

x y y Chọn C

Câu 115 Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng : 15

x t

d

y t

 =  

 = − + 

trục tung A 2;0

3      

  B (0; 5− ) C (0;5) D (−5;0) Lời giải

1

2 3

:

5 15

,

5 15

3



 = 

  =

  =

  

 → = ⇔

  

 = − +  

  = − +  = =

 

∩

y t

x t

Oy d x t

y t

x y

y t

Chọn A

Câu 116 Tìm tọa độ giao điểm hai đường thẳng 7x−3y+16=0 x+10=0 A (−10; 18− ) B (10;18) C (−10;18) D (10; 18− ) Lời giải

2

: 16 10

: 10 18

 − + =  = −

 

 ⇔

 

 + =  = −

 



d x y x

d x y Chọn A

Câu 117 Tìm toạ độ giao điểm hai đường thẳng 1:

x t

d

y t

 = − + 

  = + 

2:

x t

d

y t

 = + ′ 



 = − ′ 

A (1;7 ) B (−3;2 ) C (2; − ) D (5;1 )

Lời giải

1

2

3

:

2 4 1

7

2

1

:

7

→

 

  = − +

   =

   

  = + − + = + ′  − =′  = →

  

 ⇔ ⇔ ⇔  =

    

  = + ′  + = − ′  + =′ 

    

   ′ =

  ′ 

  = − 

d

x t

d x

y t t t t t t

y

t t t t

x t

d t

y t

Chọn A

Câu 118 Cho hai đường thẳng   : 2d1 x+3y−19=0   :2 22 55

x t

d

y t

 = +

 

 = +



Tìm toạ độ giao điểm hai đường thẳng cho

A (2;5 ) B (10;25 ) C (−1;7 ) D (5;2 )

Lời giải ( ) ( )

1

2

: 19

2

2 22 55 19 10

22

:

55

∩

 + − =

  =

 

  = + → + + + − = ⇔ = − →

  

   =

  

  = + 

d d

d x y

x

t t t

x t

d y

y t

Chọn A

Câu 119 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A(–2 ;0 , ) B(1;4) đường thẳng :

2

x t

d

y t

 = −    = − 

Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng AB d

Lời giải

(–2 ; , ) (1; 4) :

4 0

2

: :

2

∩

 → − + =

  

  − + =  =

  = − → ⇒

   

  → − + =  − + =  =

  

  = −   

AB d

A B AB x y

x y x

x t

x y y

d d x y

y t

Chọn C

Câu 120 Xác định a để hai đường thẳng d1:ax+3 – 4y =0

1 :

3

x t

d

y t

 = − + 

  = + 

cắt điểm nằm trục hoành

A a=1 B a= −1 C a=2 D a= −2

Lời giải 2 ( )

1

2;

0

2

3

 

∩ ↔ = − + ⇔ = − → ∩

 = + =  = = − ∈ → − − = ⇔ = −

 

 

d

x t x

Ox d Ox d

y t y A a a

Chọn D

Câu 121 Tìm tất giá trị tham số m để hai đường thẳng 1: – d x+ my m =

2 :

6

x t

d

y t

 = +    = + 

cắt điểm thuộc trục tung

A m=0 m= −6 B m=0 m=2 C m=0 m= −2 D m=0 m=6

Lời giải ( )

2

2

2 0

6

0

0;

6

2

2

 = + =  =

 

 

↔ ⇔ →

 = +  =

 

 

 = 

∩ ∩ = ∈ ⇔ − = ⇔

 = 

m

d A d m m

x t x

Oy d Oy

y t y m

Chọn D

Câu 122 Cho ba đường thẳng d1: – 2x y+ =5 0, d2: 2x+4 – 7y =0, d3: 3x+4 – 1y =0 Phương trình đường thẳng d qua giao điểm d1 d2, song song với d3 là:

A 24x+32 – 53y =0 B 24x+32y+53=0 C 24 – 32x y+53=0 D 24 – 32 – 53x y =0

Lời giải

1

1

3

: – 8

: – 31

1

3 31

;

8 16

 =− 

 + =

 

 ⇔ →

 

 + = 

 

 

 ∩ = − 

  =



 



x

d x y

d

d x y

y

d A Ta có

( )

3

9 31 53

0

: –

|| :

∈ ∈

+ +



 

 → → − + + = ⇔ = −

 

 + =  =

  / −

  =

A A

c c

d x y

d d

d d x y c c

Vậy

53

: – : 24 32 53

8

+ = ⇔ + − =

d x y d x y Chọn A

Câu 123 Lập phương trình đường thẳng ∆ qua giao điểm hai đường thẳng 1:

d x+ y− = , d2:x−3y− =5 vng góc với đường thẳng d3: 2x− + =y A 3x+6y− =5 B 6x+12y− =5

C 6x+12y+10=0 D x+2y+10=0 Lời giải

1 2

3

:

2

:

2

3

3

;

 = 

 + − = 

 

 ⇔ →

 

 − − =  = −

  

∩ = − 

 

   

  

x

d x y

d

d x y y d A Ta có

3 :

2

3

: 3

   

 

 → → + − + = ⇔ = −

 ∈  ∈  

 − + =   

 ⊥  + + =

A A

c c

d x y

d d

d d x y c

Vậy : :

3

+ − = ⇔ + − =

d x y d x y Chọn A

Câu 124 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ba đường thẳng có phương trình 1: 15

d x− y+ = , d2: 5x+2y− =1 d3:mx−(2m−1)y+9m−13=0 Tìm tất giá trị tham số m để ba đường thẳng cho qua điểm

A

m= B m= −5 C

5

Lời giải Ta có

( )

1

1 2

1;3

: 15

: 13

 − + =  = −

 

 ⇔ →

  ∩ = − ∈ → −

 + − =  = − + + − = ⇔ =

 



d x y x

d

d x y y d A d m m m m

Chọn D

Câu 125 Nếu ba đường thẳng   : 2d1 x+y– 4=0, d2: – 2x y+ =3 d3:mx+3 – 2y =0 đồng quy m nhận giá trị sau đây?

A 12

5 B

12

− C 12 D −12

Lời giải

1

1

2

5

: – 9

: –

5 26 26

; 12

9 9

2

3

 = 

 + =

 

 ⇔ →

 

 

  

∩ =  ∈ → + − = ⇔ =

+ =

 

 =

 



 



m

d A d m

x

d x y

d

d x y

y

Chọn C

Câu 126 Với giá trị m ba đường thẳng d1: – 4x y+15=0, d2: 5x+2 – 1y =0 3: – 15

d mx y+ = đồng quy?

A m= −5 B m=5 C m=3 D m= −3

Lời giải ( )

1 2

: – 15

1;3 12 15

: –

 + =  = −

 

 ⇔ → ∩ = − ∈ → − − + = ⇔ =

 

 + =  =

 



d x y x

d d A d m m

d x y y

Chọn C

Câu 127 Với giá trị m ba đường thẳng d1: 2x+y– 1=0, d2:x+2y+ =1 3: – –

d mx y = đồng quy?

A m= −6 B m=6 C m= −5 D m=5

Lời giải ( )

1

2

: – 1

1; 1

: 1

 + =  =

 

 ⇔ → ∩ = − ∈ ⇔ + − = ⇔ =

 

 + + =  = −

 



d x y x

d d A d m m

d x y y

Chọn B

Câu 128 Đường thẳng d: 51x−30y+11=0 qua điểm sau đây?

A 1; M− −  

  B

4 1;

3

N−  C 1;3

P  D 1; Q− −  

 

Lời giải Đặt ( )

( ) ( ) ( ) ( )

4

1;

3

1; 80

; 51 30 11

3 0

  

 

 = − − = → ∈

  

  



  

 

 

 = − = − =/ → ∈/

= − + →  

  =/   =/ 

f M f M d

f N f N d

f x y x y

f P f Q

Chọn A

Câu 129 Điểm sau thuộc đường thẳng : ?

x t

d

y t

 = +    = − 

A M(2; –1) B N(–7;0) C P(3;5) D Q(3; 2)

Lời giải ( ) 2, ( )

1

2

2

1

2; –

4

1 = =− →

 

 = + =

 



 → ⇔ →

− = − 

  =



∈/ 

x y d t t

VN M

t t

M d

( ) 7, 4( )

0 3

–7; =− = → − = +  = −

→ ⇔ →

 = −  =

 

 

∈/

x y d t t

VN N

N

t t d

( ) 3, ( )

5

3;5  = = → → = + ⇔ = →

 = −  = −

 

∈ 

/

x y d t t

VN P

t t

P d

( ) 3,

3;

2

= ∈

=  = +

→ ⇔ = →

 = − ∈



d x y

Q t Q

t d

t

Câu 130 Đường thẳng 12x−7y+ =5 không qua điểm sau đây? A M( )1;1 B N(− −1; 1) C ;0

12

P−  D 1;17 Q 

Lời giải Gọi 12x−7y+ =5 0, đặt ( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

1;1 10

; 12

0

1;

0,

=/ → ∈/

− − = → ∈

 =

 

= − + →



 = =



M d

f N N d

f P f M

f x y x y

f Q

Chọn A

Câu 131 Điểm sau không thuộc đường thẳng ?

x t

y t

 = − + 

  = − 

A M(−1;3) B N(1; 2− ) C P(3;1) D Q(−3;8) Lời giải Gọi :

3

 = − + 

  = − 

x t

d

y t ( )

1, 1

1;3

3

=− = → − = − +

− → ⇔ = →

 = − 

∈ 

x y d t

t M

t d

M

( ) 1, 1

1;

3

2 = =− →  = − +

−  → ⇔ = →

− = − 

∈

x y d t

N t N d

t

( ) 3,

2

3

3;1

1

5

= = →

 =   = − +

 



→ ⇔ →

 = −  = ∈

 

/ 

x y d

t t

P P

t t d Chọn C

( ) 3,

3;8

8

=− = → − = − +

−  → ⇔ = →

 = − 

∈ 

x y d t

t Q

t d

Q

Vấn đề GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG

Câu 132 Tính góc tạo hai đường thẳng d1: 2x− −y 10=0 d2:x−3y+ =9 A o

30 B o

45 C o

60 D o

135 Lời giải Ta có

( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

1

1

2

;

2

2

2

2.1

45

2

: 10 2;

cos

: 1;

ϕ

ϕ ϕ

=

 − − = → = −

 →



 − + =

+ − −

= = → =

+ −

→ = −

 −

 +

d d n

n

d x y

d x y

Chọn B

Câu 133 Tính góc tạo hai đường thẳng d1: 7x−3y+ =6 d2: 2x−5y− =4 A

4

π B

π C

π D 3

π Lời giải Ta có

( )

( )

(1;2)

1

2

: 7;

cos :

14 15

49

2 2; 25

ϕ π

ϕ ϕ

=

 − + = → = − +

 →



 − − = → = − = + + = → =



d d

d x n

d y n

y

x Chọn A

Câu 134 Tính góc tạo hai đường thẳng d1: 2x+2 3y+ =5 d2:y− =6 A o

30 B o

45 C o

60 D o

90 Lời giải Ta có

( )

( )

(1 2)

1 ;

2

3 3

: 2 1;

cos

: 0;1

30

1

ϕ

ϕ ϕ

=

 + + = → =



= = → =

 →



 − = → =

 +

 +



d d n

n

d x y

d y

Chọn A Câu 135 Tính góc tạo hai đường thẳng d1:x+ 3y=0 d2:x+10=0

A o

30 B o

45 C o

60 D o

Lời giải ( ) ( )

(1 2)

1

2

;

1 1

60

1

: 1;

co

1

1

: 0 1;

s ϕ ϕ ϕ =  + = → =   →   + = = → = + + + =  =  →  d d n x d n

d x y

Chọn C

Câu 136 Tính góc tạo hai đường thẳng d1: 6x−5y+15=0

10 : x t d y t  = −    = +  A o

30 B o

45 C o

60 D o

90 Lời giải

( )

( )

(1; 2)

2

1

1

: 15

0 90 ; 5 10 ; :

6 ⋅ = ϕ= ϕ=

→  − + = → = −    = − →  →       = +    = d d n n n d n x y x t d y t Chọn D

Câu 137 Cho đường thẳng d1:x+2y− =7 d2: 2x−4y+ =9 Tính cosin góc tạo hai đường thẳng cho

A

− B

5 C

3

5 D

3

Lời giải ( )

( )

(1;2)

1

2

1

1;

: 1;

cos

: 4

ϕ ϕ =  + − = → =   →   − + =  − = =  → = − + + d d n n

d x y

d x y Chọn C

Câu 138 Cho đường thẳng d1:x+2y− =2 d2:x− =y Tính cosin góc tạo hai đường thẳng cho

A 10

10 B

2

3 C

3

3 D

Lời giải ( )

( )

(1 2)

1 ;

2

2 2

: 1;

c

0 1; 1 1 10

os : ϕ ϕ =  → =   →  + − = = −  − = → =  = − + + d d

x y n

x n

d y

d

Chọn A

Câu 139 Cho đường thẳng d1: 10x+5y− =1 2 : x t d y t  = +    = − 

Tính cosin góc tạo hai đường thẳng cho

A 10

10 B

3

5 C

10

10 D

3 10 Lời giải

( ) ( )

(1 2)

1

2

;

10

2

: 2;1 cos :

1 ;1 1 10

ϕ ϕ =  → =    + − = + = = → = →  = + + +       = −    d d

d x y n

n

x t

d

y t

Chọn A

Câu 140 Cho đường thẳng d1: 3x+4y+ =1

15 12 : x t d y t  = +    = + 

Tính cosin góc tạo hai đường thẳng cho

A 56

65 B

33 65

− C

65 D

33 65 Lời giải

( )

( )

(1 2)

2

1

; 15 48 33

65

5; 12

: 3;

c

16 25 144

os 15 12 : ϕ ϕ =  + + = → =    = +  →    − = = → = − +    = +    + d d

d x y

x t

d

y t

n

n Chọn D

Câu 141 Cho đường thẳng

1:

d x+ y+m − = 2: 24 1

x m t

d

y m t

 = − +

 

 = − +



Tính cosin góc tạo hai đường thẳng cho

A

130 B

5 C

5 D

1 − Lời giải ( ) ( )

(1;2)

2

1

2

6 3

3;

: 2;3

cos

2

:

1 130

ϕ ϕ =  + + − = → =    = − +  →       = − +   − = = → = − +  + d d

d x y m

x n m n t d

y m t

Câu 142 Cho hai đường thẳng d1: 3x+4y+12=0 2 :

2

d x at

y t

 = +    = − 

Tìm giá trị tham số a để d1 d2 hợp với góc

0 45 A

7

a= a= −14 B

2

a= a=3

C a=5 a= −14 D

7

a= a=5 Lời giải Ta có

( )

( )

( )

( ) ( )

1;2 45

2

2

2

2

2

4 12

6

2

2; 25. 4

1

25 12

14

7 96 28

: 3;

1

cos 45 cos

7

:

ϕ

ϕ

= =

 → =



 

+ + =

+ =  = +

 → =

 +

 = − 

⇔ + = + +

 = −  

⇔ + − = ⇔

 = 

→ = =

  



d d

x y n

a

x at

n a a

y t

a a a

a a

d

a

a d

Chọn A

Câu 143 Đường thẳng ∆ qua giao điểm hai đường thẳng d1: 2x+ − =y 2:

d x− y+ = đồng thời tạo với đường thẳng d3:y− =1 góc

45 có phương trình: A ∆: 2x+ =y ∆:x− − =y B ∆:x+2y=0 ∆:x−4y=0 C ∆:x− =y ∆:x+ − =y D ∆: 2x+ =1 ∆:x−3y=0

Lời giải ( )

1 2

:

: 1 1;1

 + − =  =

 

 ⇔ →

 

 − + =  =



∩ = ∈ ∆

 

d x y x

d

d x y y d A Ta có d3:y− = →1 n3=( )0;1 ,gọi

( ; ),ϕ ( ; 3)

∆= = ∆

n a b d Khi

2 2 2

1 :

2

1, :

1 cos

2 ϕ

 = → = = → ∆ + − = 

= ⇔ + = ⇔

 = − → = = − → ∆ − 

=

=

+ +

b a b a b x y

a b b

a b a b x y

a b

Chọn C Câu 144 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, có đường thẳng qua điểm A(2;0) tạo với trục hồnh góc 45 ?°

A Có B 2

C Vô số D Không tồn

Lời giải Chọn B

Cho đường thẳng d điểm A Khi

(i) Có đường thẳng qua A song song trùng vng góc với d

(ii) Có hai đường thẳng qua A tạo với d góc <α<90

Câu 145 Đường thẳng ∆ tạo với đường thẳng d x: +2y− =6 góc

45 Tìm hệ số góc k đường thẳng ∆

A

k= k= −3 B

3

k= k=3

C

3

k= − k= −3 D

3

k= − k=3 Lời giải d x: +2y− = →6 nd =(1; ,) gọi n∆=( ; )→ ∆= −

a

a b k

b Ta có

( 2) 2

2

2

2

cos 45 8

2

1

3 3

3

∆

∆

+

= = ⇔ + = + +

+



 = − → =



⇔ − − = ⇔



 = → = −



a b

a b a ab b

a b

a b k

a ab b

a b k

Chọn A

Câu 146 Biết có hai giá trị tham số k để đường thẳng d y: =kx tạo với đường thẳng ∆:y=x góc

60 Tổng hai giá trị k bằng:

A −8 B −4 C −1 D −1 Lời giải

( )

( )

1 sol:

2

1 ,

2

2

: ; 1

cos 60

2

: 1; 1 2

4

∆

= =

 = → = − +

 → = = ⇔ + = + +



∆ = → = − +



⇔ + + = → + = −

d

k k k k

d y kx k k

k k k

y x k

k k k k

n n

Chọn B

Câu 147 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng ∆:ax+by+ =c hai điểm ( m; m)

M x y , N x( n;yn) không thuộc ∆ Chọn khẳng định khẳng định sau: A M N, khác phía so với ∆ (axm+bym+c) ( axn+byn+ >c)

B M N, phía so với ∆ (axm+bym+c) ( axn+byn+ ≥c) C M N, khác phía so với ∆ (axm+bym+c) ( axn+byn+ ≤c) D M N, phía so với ∆ (axm+bym+c) ( axn+byn+ >c) Lời giải Chọn D

Câu 148 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: 3x+4y− =5 hai điểm (1;3)

A , B(2;m) Tìm tất giá trị tham số m để A B nằm phía d A m<0 B

4

m> − C m> −1 D m= − Lời giải A(1;3), B(2;m) nằm phía với d: 3x+4y− =5

(3 3)( 5) 10 1( )

4

+ − + − > ⇔ + > ⇔ > −

A A B B

x y x y m m Chọn B

Câu 149 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: 4x−7y+m=0 hai điểm A(1;2), B(−3;4) Tìm tất giá trị tham số m để d đoạn thẳng AB có điểm chung

A 10≤m≤40 B 40 10 m m  >   < 

C 10<m<40 D m<10 Lời giải Đoạn thẳng ABvà d: 4x−7y+m=0 có điểm chung

(4xA−7yA+m)(4xB−7yB+m)≤0⇔(m−10)(m−40)≤0⇔10≤m≤40.Chọn A

Câu 150 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng :

x t

d

y t

 = +    = − 

hai điểm (1;2)

A , B(−2;m) Tìm tất giá trị tham số m để A B nằm phía d A m>13 B m≥13 C m < 13 D m = 13

Lời giải : :

1

 = +

 → + − =

  = − 

x t

d d x y

y t Khi điều kiện toán trở thành

(3xA+yA−7 3)( xB+yB−7)> ⇔ −0 2(m−13)> ⇔0 m<13 Chọn C

Câu 151 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng :

x m t

d

y t

 = +    = − 

hai điểm (1;2)

A , B(−3;4) Tìm m để d cắt đoạn thẳngAB

A m<3 B m=3 C m>3 D Không tồn m

Lời giải : : 2

1

 = +

 → + − − =

  = − 

x m t

d d x y m

y t Đoạn thẳng AB cắt d

( )( ) ( )2

0

2 2 3

+ − − + − − ≤ ⇔ − ≤ ⇔ =

A A B B

Câu 152 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(1;3), B(−2;4) ( 1;5)

C − Đường thẳng d: 2x−3y+ =6 cắt cạnh tam giác cho?

A Cạnh AC B Cạnh AB C Cạnh BC D Không cạnh

Lời giải Đặt ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

1;3

; 2; 10

1;5 11

 = − < 



= − + → − = − < → 

 − = − < 

f A

f x y x y f B

f C

d không cắt cạnh

của tam giác ABC Chọn D

Câu 153 Cặp đường thẳng phân giác góc hợp hai đường thẳng 1:x 2y

∆ + − = ∆2: 2x− + =y

A 3x+ =y x−3y=0 B 3x+ =y x+3y− =6 C 3x+ =y − +x 3y− =6 D 3x+ + =y x−3y− =6 Lời giải Điểm M x y( ; ) thuộc đường phân giác góc tạo ∆ ∆1;

( 1) ( 2)

2 3

; ;

3

5



+ − − + + =



= ⇔ =

− 

∆ ⇔

 +

∆

=

x y x y x y

d M d M

x y Chọn C

Câu 154 Cặp đường thẳng phân giác góc hợp đường thẳng :x y

∆ + = trục hoành

A (1+ 2)x+ =y 0; x− −(1 2)y=0 B (1+ 2)x+ =y 0; x+ −(1 2)y=0 C (1+ 2)x− =y 0; x+ −(1 2)y=0 D x+ +(1 2)y=0; x+ −(1 2)y=0 Lời giải Điểm M x y( ; ) thuộc đường phân giác góc tạo ∆;Ox y: =0

( ) ( ) ( )

( )

1

; ;

2 1

 + + =

 +



= ⇔ = ⇔

 + − =

 ∆

x y

x y y

d M d M Ox

x y

Chọn D

Câu 155 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có 7;3

A , B(1;2) ( 4;3)

C − Phương trình đường phân giác góc A là:

A 4x+2y−13=0 B 4x−8y+17=0 C 4x−2y− =1 D 4x+8y−31=0

Lời giải

( )

( )

7

;3 , 1; :

4

;3 , 4;3 :

4

  

 

   → − + =

          

   − → − =

      

A B AB x y

A C AC y

Suy đường phân giác góc A là:

( ) ( ( ))

( )

( )

1;

4 13 ; 13

4 3

5 17 4;3 23

 = − <

 + − = → = + −

− + −  

= ⇔ → 



− + =  − = − <

 

f B

x y f x y x y

x y y

x y f C

suy đường phân giác góc A 4x−8y+17=0.Chọn B

Câu 156 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(1;5), B(− −4; 5) (4; 1)

C − Phương trình đường phân giác ngồi góc A là:

A y+ =5 B y− =5 C x+ =1 D x− =1 Lời giải ( ) ( )

( ) ( )

1;5 , 4; :

1;5 , 4; :

 − − → − + =

 

 − → + − =



A B AB x y

A C AC x y Suy đường phân giác góc A là:

( ) ( ( ))

( )

( )

4; 5

1 ;

2

5

5 4;

 − − = − <

 − = → = −

− + + − 



= ⇔ → 

− =  − = >

 

f B

x f x y x

x y x y

y f C

suy đường phân giác góc A y− =5 0.Chọn B

Câu 157 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1: 3x−4y− =3 2: 12 12

d x+ y− = Phương trình đường phân giác góc nhọn tạo hai đường thẳng d1

d là:

A 3x+11y− =3 B 11x−3y−11=0 C 3x−11y− =3 D 11x+3y−11=0

Lời giải Các đường phân giác góc tạo d1: 3x−4y− =3 d2: 12x+5y−12=0 là:

3 12 12 11

11 11

5 13



− − + − + − =



= ⇔

 − − =



x y x y x y

x y

Gọi I=d1∩d2→I(1; 0);d:3x+11y− = →3 M(−10;3)∈d, gọi H hình chiếu M lên d1

Ta có: 130, 30 12 9,

5

− − −

= = =

IM MH suy

MH

MIH MIH MIH

IM

9

sin 52 90

130

= = → > → >

Suy d: 3x+11y− =3 đường phân giác góc tù, suy đường phân giác góc nhọn 11x−3y−11=0 Chọn B

Vấn đề KHOẢNG CÁCH

Câu 158 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M x y( 0; 0) đường thẳng :ax by c

∆ + + = Khoảng cách từ điểm M đến ∆ tính cơng thức:

A ( ) 0

2

, ax by

d M

a b

+ ∆ =

+ B ( )

0 2 , ax by d M

a b

+ ∆ =

+

C ( ) 0

2

, ax by c

d M

a b

+ +

∆ =

+ D ( )

0 2 , ax by c d M

a b

+ +

∆ = + Lời giải Chọn C

Câu 159 Khoảng cách từ điểm M(−1;1) đến đường thẳng ∆: 3x−4y− =3 bằng: A

5 B 2 C

4

5 D

4 25 Lời giải ( ; )

9 16

− − − +

∆ = =

d M Chọn B

Câu 160 Khoảng cách từ giao điểm hai đường thẳng x−3y+ =4 2x+3y− =1 đến đường thẳng ∆: 3x+ + =y bằng:

A 10 B 10

5 C

10

5 D 2

Lời giải ( 1;1) ( ; )

2 1 10

 − + =  = − − + +



∆ 

 ⇔ → − → = =

 

 + − =  = +

 

 

x y x

A d A

x y y Chọn C

Câu 161 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(1;2), B(0;3) (4;0)

C Chiều cao tam giác kẻ từ đỉnh A bằng:

A

5 B 3 C

1

25 D

Lời giải ( )

( ) ( ) ( )

3 12

;

5

, : 12 16

1;

0;3 4;

 + −

 → = = =



 → + − = +

 A

h d A BC

BC y

A

x

B C Chọn A

Câu 162 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(3; ,− ) B(1;5) (3;1)

C Tính diện tích tam giác ABC

A 10 B 5 C 26 D 2

Lời giải ( ) ( ) ( )

( )

( )

3;

2

3;

2 5 5

2

, ;

:

1;5 3;1

 −

 

  

   =

 → = → → = =

  

   = =

  

  + − = 

 −

ABC A

A

BC

BC S

h d A BC

B A

y C

x B

C

Chọn B

Cách 2: 2 ( )2

2

∆ABC = − AB⋅

S AB AC AC

Câu 163 Khoảng cách từ điểm M(0;3) đến đường thẳng ∆: cosx α+ysinα+3 2( −sinα)=0 bằng:

A B 6 C 3 sin α D

cosα+sinα Lời giải ( ; ) 3sin 2 2( sin2 )

cos sin

α α

α α

+ −

∆

+

= =

d M Chọn B

Câu 164 Khoảng cách từ điểm M(2;0) đến đường thẳng :

x t

y t

 = +  ∆ 

 = + 

bằng: A 2 B

5 C

10

5 D

5

Lời giải : ( )

2

8

: ;

16

 = + 

∆  →

 = + 

+ +

∆ − + = → ∆ = =

+

x y d M

x t

y t Chọn A

Câu 165 Khoảng cách nhỏ từ điểm M(15;1) đến điểm thuộc đường thẳng

: x t

y t  = +  ∆ 

 = 

bằng:

A 10 B

10 C

16

5 D

Lời giải ( )

2

: : ; 15 10

1

∀ ∈∆ − −

∆ − −

 = + 

∆  → = → = ∆ = =

 =

 +

N

x y MN d M

x t

y t

Chọn A

Câu 166 Tìm tất giá trị tham số m để khoảng cách từ điểm A(−1;2) đến đường thẳng ∆:mx+ −y m+ =4

A m=2 B

2 m

m  = −    = 

C

2

m= − D Không tồn m

Lời giải ( ) 2

2

2

2

; 5 1

1

2

 = −

− + − + 



= = ⇔ − = + ⇔ + − = ⇔

∆

 =

+ 

m

m m

d A m m m m

m m

Chọn B

Câu 167 Tìm tất giá trị tham số m để khoảng cách từ giao điểm hai đường thẳng 1:

2 x t d

y t

 =    = − 

d2:x−2y+m=0 đến gốc toạ độ A

2 m m  = −   = 

B

2 m m  = −   = − 

C

2 m m  =   = 

D

Lời giải 1 ( )

2

2

: :

4 ;

2

: 2

:

    =

  + − =  = −

  

  = − → ⇔ → − − =

   

  − + =  = −

  

 − + =



∩

x t

d d x y x m

M m m d

y t

d x y m y m

d x y m

d Khi

đó: ( )2 ( )2 2

2 4

4

 = 

= ⇔ − + − = ⇔ − + = ⇔

 = 

m

OM m m m m

m Chọn C

Câu 168 Đường trịn ( )C có tâm gốc tọa độ O(0;0) tiếp xúc với đường thẳng : 8x 6y 100

∆ + + = Bán kính R đường trịn ( )C bằng:

A R=4 B R=6 C R=8 D R=10 Lời giải ( ; ) 100 10

64 36

∆

= = =

+

R d O Chọn D

Câu 169 Đường trịn ( )C có tâm I(− −2; 2) tiếp xúc với đường thẳng ∆: 5x+12y−10=0 Bán kính R đường trịn ( )C bằng:

A 44 13

R= B 24

13

R= C R=44 D

13 R= Lời giải ( ; ) 10 24 10 44

13

25 144

− − −

= = =

+ ∆

R d I Chọn A

Câu 170 Với giá trị m đường thẳng : 2 x y m

∆ − + = tiếp xúc với đường tròn ( )C :x2 y2 1

+ = ?

A m=1 B m=0 C m= D 2 m= Lời giải ( )∆ tiếp xúc đường tròn ( ) 2 (0; 0) ( )

: 1: ;

1 1

 = 

+ =  ↔ = ⇔ = ⇔ =±



∆  =

I O m

C x y d I R m

R

Chọn A

Câu 171 Cho đường thẳng d: 21x−11y−10=0 Trong điểm M(21; 3− ), N(0;4), ( 19;5)

P − Q(1;5) điểm gần đường thẳng d nhất?

A M B N C P D Q

Lời giải ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

21; 464

0; 54

; 21 11 10

19; 464

1;5 44

 − =



 =



= − − → 

 − =

 

 =



f M f N

f x y x y

f P f Q

Chọn D

Câu 172 Cho đường thẳng d: 7x+10y−15=0 Trong điểm M(1; 3− ), N(0;4), P(−19;5) Q(1;5) điểm cách xa đường thẳng d nhất?

A M B N C P D Q

Lời giải ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

1; 38

0; 25

; 10 15

19;5 98

1;5 42

 − =



 =



= + − → 

− =

 

 =



f M f N

f x y x y

f P f Q

Chọn C

Câu 173 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A(2;3) B(1;4) Đường thẳng sau cách hai điểm A B?

Lời giải Đường thẳng cách hai điểm A B, đường thẳng song song (hoặc

trùng) với AB, qua trung điểm I đoạn AB Ta có

( )

( )

( ) ( )

3 ;

2 || :

1;1 2;3

1;

1

;1

  

 

 

 

   

 →   → + − =

 

 

 

  = − → =

 AB

I

AB d x A

B

AB n

y Chọn A

Câu 174 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ba điểm A(0;1), B(12;5) C(−3;0 ) Đường thẳng sau cách ba điểmA, B C

A x−3y+ =4 B − + +x y 10=0 C x+ =y D 5x− + =y Lời giải Dễ thấy ba điểm A B C, , thẳng hàng nên đường thẳng cách điều A B C, ,

khi chúng song song trùng với AB Ta có

(12; 4)→ =(1;−3)→ || :

= AB − + =

AB n AB d x y Chọn A

Câu 175 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A( )1;1, B(−2;4) đường thẳng :mx y

∆ − + = Tìm tất giá trị tham số m để ∆ cách hai điểm A B, A

2 m m  =   = − 

B

2 m m  = −   = 

C

1 m m  = −   = 

D

2 m m  =   = − 

Lời giải Gọi I trung điểm đoạn

( ) ( )

1 ;

2

3;3 1;1

  

 

 −    

  

→  

 = − → =

 AB

I AB

AB n

Khi

( )

( )

: ∆ ;

∆ mx− + =y n = m− cách

5

1

3

, 2

1

1

1

 

 =

 − − + =



 

⇔ ⇔ ⇔



   = −

= −

 

 

∈ ∆ − =

I

m

A m

m B

m m

Chọn C

Câu 176 Khoảng cách hai đường thẳng song song ∆1: – 8x y+ =3 2: – – 6x y

∆ = bằng:

A

2 B

3

2 C 2 D

5

Lời giải ( ) ( ) ( )

2

2

1

2; 12

|| :

3

; ;

2 100

 +

 → = = =

 

∈ ∆

∆ ∆ ∆

∆ ∆ x− y+ = A

A

d d Chọn B

Câu 177 Tính khoảng cách hai đường thẳng d: 7x+ − =y :  2

x t

y t

 = − + 

∆   = − 

A

2 B 15 C 9 D

9 50

Lời giải ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2; , 7;1 14 3

; ;

: 7;1 50

∆

 − ∈ ∆ = − + −

 → ∆ ↑↑ → ∆ = = =



 + − = → =

 d

A n

d d d d A d

d x y n

Chọn A

Câu 178 Khoảng cách hai đường thẳng song song d1: – 8x y−101=0 d2: –   0x y= bằng:

A 10,1 B 1,01 C 101 D 101

Lời giải ( ) ( )

1 2

4;3 24 24 101 101

; 10,1

10

|| : – 101 100

 ∈ − −

 → = = =



 − =



A d

d d d

d d x y Chọn A

Câu 179 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A( )1;1 , B(4; 3− ) đường thẳng

:

A M(3;7 ) B M(7;3 ) C M(−43; 27 − ) D

1 3; 27

1 M 

 −

Lời giải : (2 1; ),

:

 ∈ − − = → + ∈



 + − =



M d x y M m m m

AB x y

ℤ

Khi

( )

( ) ( )

3

8

6 ; 11 30 27 7;3

5 l

11

 =

+ + − 



= = ⇔ − = ⇔ →

 = 

m

m m

d M AB m M

m Chọn B

Câu 180 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(0;1) đường thẳng 2

3 :

d x t

y t

 = +    = + 

Tìm điểm M thuộc d cách A khoảng 5, biết M có hồnh độ âm

A M(4; ) B

( 4;4) 24

;

5

M

M  − 

  

 − −     

C 24;

5

M− −  D M(−4; ) Lời giải : 2 (2 ;3 )

3

 = +

 → + +

  =  ∈

+ 

x t

M t t

y

M d

t với 2+2t< ⇔ < −0 t Khi

( ) ( )

( )

2 2

1

24

5 2 25 12 17 17 ;;

5

5

 =

  



= ⇔ + + + = ⇔ + − = ⇔ → − − 

 

= − 

t l

AM t t t t M

t Chọn C

Câu 181 Biết có hai điểm thuộc trục hoành cách đường thẳng ∆: 2x− + =y khoảng Tích hồnh độ hai điểm bằng:

A 75

− B 25

4

− C 225

4

− D Đáp số khác

Lời giải Gọi M x( ; 0)∈Ox hồnh độ hai điểm nghiệm phương trình:

( )

1

1

2

5

2 2

; 5

15

2

75

  = =

+ 

= ⇔ = ⇔ →



= − = 



∆ ⋅ = −

x x

x d M

x x

x

x Chọn A

Câu 182 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A(3; 1− ) B(0;3) Tìm điểm M thuộc trục hoành cho khoảng cách từ M đến đường thẳng AB

A

( )

;0 1;0 M

M   

   

       

B 14

;0

;0 M

M   



  

 

  



         

C

( )

7 ;0 1;0 M

M   

  − 

  

  − 

D

14 ;0

;0 M

M

     − 

  



    −     

Lời giải ( ) ( )

( )

7

;

;

2

1 ;

5

:

1 1;

  



 = → 

 −  

 → = = ⇔  

 

 + − =

 

 = →



x M

M x x

d M AB

AB x y

x M

Chọn A

Câu 183 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A(3;0) B(0; 4− ) Tìm điểm M thuộc trục tung cho diện tích tam giác MAB

A ( )

( )

0;0 0; M M  

 −



B M(0; − ) C M(6;0 ) D ( )

( )

( ) ( )

( )

( )

: 12

0 0;

3 12

1

5

2 0;

3 12

0; ;

5

∆

 

 − − =

 +  = →

 = → = = ⇔

 

 = − → −

 

 +

 → = =

 

MAB

M

AB x y

y M

y

AB S

y M

y

M y h d M AB

Chọn A

Câu 184 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x−2y− =6 2: 3x 2y

∆ − + = Tìm điểm M thuộc trục hồnh cho M cách hai đường thẳng cho

A 0;1 M 

 B

;0 M 

 C

1 ;0 M− 

 D M( 2;0 ) Lời giải ( )

( 1) ( 2)

; 3 1

;

2

; ; 13 13

 − +  

 → =  

∆ ∆ ⇔ = → 

  

 =  



M x x x

x M

d M d M Chọn B

Câu 185 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A(−2;2 ,) B(4; 6− ) đường thẳng :

1 x t d

y t

 =    = + 

Tìm điểm M thuộc d cho M cách hai điểm A B, A M(3;7 ) B M(− −3; ) C M(2;5 ) D M(− −2; 3)

Lời giải

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

2 2

: ;1

2

1

20 60 3;

 

  =

 → +

 

  = + → + + − = − + +

 



 =



⇔ + = ⇔ = − → − −

∈ x t

M d M t t

t t t t

y t

MA MB

t t M

Chọn B

Câu 186 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A(−1;2 ,) B(−3;2) đường thẳng d: 2x− + =y Tìm điểm C thuộc d cho tam giác ABC cân C

A C(− −2; ) B 3;0 C− 

 C C(−1;1 ) D C(0;3) Lời giải

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

2 2

: ;

1

2 2;

 − + = → +

 ∈ → + + + = + + +



 =



⇔ = − → − −

M d x y M m m

m m m m

MA MB

m M

Chọn A

Câu 187 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1;2 ,) B(0;3) đường thẳng

:

d y= Tìm điểm C thuộc d cho tam giác ABC cân B A C(1;2 ) B C(4;2 ) C ( )

( )

1;2 1;2 C C    − 

D C(−1;2 )

Lời giải ( ) ( )

( )

2

: ;2 1;2

1

1;

2

 = →

 ∈ → = ± → 

−  + ⇔ = 

 =



C

d y C c

c c

BA BC

C

C Chọn C

Câu 188 Đường thẳng ∆ song song với đường thẳng d: 3x−4y+ =1 cách d khoảng có phương trình:

A 3x−4y+ =6 3x−4y− =4 B 3x−4y− =6 3x−4y+ =4 C 3x−4y+ =6 3x−4y+ =4 D 3x−4y− =6 3x−4y− =4

Lời giải : ( )1;1 ( ; ) ( ; )

6

|| :

 

 − + = → ∈ − = −

 → = ∆ = ∆ = ⇔

 

∆ → ∆ − + = =

 



d x y M d c c

d d d M

c

d x y c Chọn A

A 3x−4y+ =8 3x−4y+12=0 B 3x−4y− =8 3x−4y+12=0 C 3x−4y− =8 3x−4y−12=0 D 3x−4y+ =8 3x−4y−12=0 Lời giải ( ( ; ); ) 2 12

3

5



− + − + =



∆ = ⇔ = ⇔

 − − =



x y x y

d M x y

x y Chọn B

Câu 190 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1: 5x+3y− =3 2:

d x+ y+ = song song Đường thẳng vừa song song cách với d1, d2 là: A 5x+3y− =2 B 5x+3y+ =4

C 5x+3y+ =2 D 5x+3y− =4 Lời giải ( ( ) 1) ( ( ) 2)

5 3

; ; ; ;

34 34

+ − + +

= ⇔ x y = x y ⇔ + + =

d M x y d d M x y d x y

Chọn C

Câu 191 Đường thẳng ∆ qua điểm P(2;5) cách điểm Q(5;1) khoảng có phương trình:

A y=5 7x+24 – 134y =0 B x=2 3x+4y− =5 C x=2 7x+24 – 134y =0 D y=5 3x+4y− =5 Lời giải Gọi n∆=(a b; ), ta có

( )

2

3

: ; 24

0 :

7 24 7, 24 : 24 134

−

∆ + − − = → = ∆ = ⇔ − =

+  = → = → ∆ − =

 ⇔

 = → = = → ∆ + − =



a b

ax by a b d Q b ab

a b

b a x

b a a b x y

Chọn C

Câu 192 Đường thẳng ∆ qua điểm P(2;5) cách hai điểm A(−1;2), B(5; 4) có phương trình:

A x− =2 x−3y+13=0 B 3x+ −y 11=0 x−3y+13=0 C x− =2 3x+ −y 11=0 D 3x+ −y 11=0

Lời giải Gọi n∆=(a b; ), ta có

( ) ( ) ( )

: ; ; 3

3 1, : 13

0 :

∆ + − − = → ∆ = ∆ ⇔ + = −

 = − → = = − → ∆ − + =

 ⇔

 = → = → ∆ − = 

ax by a b d A d B a b a b

a b a b x y

b a x

Chọn A

Câu 193 Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm P(10;2) cách hai điểm (3;0)

A , B(−5;4) Biết ∆ không song song với AB

A y− =2 B x− =2 C x+2y−14=0 D 2x+ − =y Lời giải Gọi I trung điểm đoạn AB→I(−1; ) Vì ∆ qua P cách hai điểm A B, ;

Baøi 02

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN 1 Phương trình đường trịn cĩ tâm bán kính cho trước

Trong mặt phẳng Oxy, đường tròn ( )C tâm I a b( ; ), bán kính R có phương trình: ( )2 ( )2

.

x−a + y−b =R

Chú ý. Phương trình đường trịn có tâm gốc tọa độ O bán kính R 2 x +y =R

2 Nhận xét

● Phương trình đường trịn ( )2 ( )2

x−a + y−b = R viết dạng 2

2 2 0

x +y − ax− by+ =c

trong 2

c=a +b −R ● Phương trình 2

2

x +y − ax− by+ =c phương trình đường trịn ( )C 2

0

a +b − >c Khi đó, đường trịn ( )C có tâm I a b( ; ),bán kính 2 R= a +b −c

3 Phương trình tiếp tuyến đường trịn

Cho đường trịn ( )C có tâm I a b( ; ) bán kính R Đường

thẳng ∆ tiếp tuyến với ( )C điểm M0(x y0; 0) Ta có

● M0(x y0; 0) thuộc ∆

● IM0=(x0−a y; 0−b) vectơ pháp tuyến ∆

Do ∆ có phương trình

(x0–a x)( –x0) (+ y0–b)(y–y0)=0.

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Vấn đề CHO PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN, TÌM TÂM & BÁN KÍNH Câu 1. Tọa độ tâm I bán kính R đường tròn ( ) ( )2 ( )2

: 16

C x− + y+ = là:

A. I(−1;3 , ) R=4 B. I(1; , − ) R=4

C. I(1; , − ) R=16 D. I(−1;3 , ) R=16

Lời giải ( ) ( )2 ( )2 ( )

: −1 + +3 =16→ 1;−3 , = 16=4

C x y I R Chọn B

Câu 2. Tọa độ tâm I bán kính R đường tròn ( ) ( )2

:

C x + y+ = là:

A. I(0; , − ) R= B. I(0; , − ) R=5

C. I(0; , ) R= D. I(0; , ) R=5

Lời giải.( ): ( 4)2 5 (0; 4 ,) 5.

+ + = → − =

C x y I R Chọn A

Câu 3. Tọa độ tâm I bán kính R đường tròn ( ) ( )2

:

C x+ +y = là:

A. I(−1;0 , ) R=8 B. I(−1;0 , ) R=64

∆

0 M

C. I(−1; , ) R=2 D. I(1;0 , ) R=2

Lời giải ( ) ( )2 2 ( )

: +1 + = 8 → −1; , = 8=2

C x y I R Chọn C

Câu 4. Tọa độ tâm I bán kính R đường trịn ( ) 2

:

C x +y = là:

A. I(0;0 , ) R=9 B. I(0;0 , ) R=81

C. I( )1;1 , R=3 D. I(0;0 , ) R=3

Lời giải ( ) 2 ( )

: + = 9 → 0; , = 9=3

C x y I R Chọn D

Câu 5. Đường tròn ( ) 2

: 6

C x +y − x+ y+ = có tâm I bán kính R là:

A. I(3; , − ) R=4 B. I(−3;1 , ) R=4

C. I(3; , − ) R=2 D. I(−3;1 , ) R=2

Lời giải Ta có có

( ): 2 6 2 6 0 3, 1, 6 (3; 1 ,) 32 ( )12 6 2.

2

−

+ − + + = → = = = = − = → − = + − − =

− −

C x y x y a b c I R

Chọn C

Câu 6. Đường tròn ( ) 2

: 12

C x +y − x+ y− = có tâm I bán kính R là:

A. I(2; , − ) R=5 B. I(−2;3 , ) R=5

C. I(−4;6 , ) R=5 D. I(−2;3 , ) R=1

Lời giải ( ): 2 4 6 12 0 2, 3, 12 (2; 3 ,) 4 9 12 5.

+ − + − = → = = − = − → − = + + =

C x y x y a b c I R

Chọn A.

Câu 7. Tọa độ tâm I bán kính R đường tròn ( ) 2

:

C x +y − x+ y− = là:

A. I(2; , − ) R=2 B. I(−2;1 , ) R=2

C. I(2; , − ) R=8 D. I(−2;1 , ) R=8

Lời giải ( ): 2 4 2 3 0 2, 1, 3 (2; 1 ,) 4 1 3 2 2.

+ − + − = → = = − = − → − = + + =

C x y x y a b c I R

Chọn A

Câu 8. Tọa độ tâm I bán kính R đường tròn ( ) 2

: 2

C x + y − x+ y− = là:

A. ( 2;1 , ) 21

I − R= B. (2; , ) 22

2 I − R=

C. I(4; , − ) R= 21 D. I(−4;2 , ) R= 19

Lời giải Ta có

( )

( )

2 2

2, 1

: 2 4 1

2

2 22

2; , 2

 = = −

 

+ − + − = ⇔ + − + − = → 

 = − 

→ − = + + =

a b

C x y x y x y x y

c

I R

Chọn B

Câu 9. Tọa độ tâm I bán kính R đường tròn ( ) 2

: 16 16 16 11

C x + y + x− y− = là:

A I(−8; , ) R= 91 B. I(8; , − ) R= 91

C. I(−8; , ) R= 69 D. 1; ,

I−  R=

Lời giải ( ) 2 2

1 ; 11

:16 16 16 11 0

2 16 1 11

1 16 16

  

 

 −    

  



+ + − − = ⇔ + + − − = → 



 = + + =

 I

C x y x y x y x y

R

Câu 10. Tọa độ tâm I bán kính R đường tròn ( ) 2

: – 10 11

C x +y x− = là:

A I(−10;0 , ) R= 111 B. I(−10;0 , ) R= 89

C I(−5;0 , ) R=6 D. I(5;0 , ) R=6

Lời giải ( ): 2– 10 11 0 ( 5; ,) 25 0 11 6.

+ − = → − = + + =

C x y x I R Chọn C

Câu 11. Tọa độ tâm I bán kính R đường trịn ( ) 2

: –

C x +y y= là:

A. I(0;5 , ) R=5 B. I(0; , − ) R=5

C. 0;5 ,

2

I  R=

 D.

5

0; ,

2

I −  R= 

Lời giải ( ): 2– 5 0 0;5 , 0 25 0 5.

2

  

+ = →   = + − =

C x y y I R Chọn C

Câu 12. Đường tròn ( ) ( )2 ( )2

: 25

C x− + y+ = có dạng khai triển là:

A. ( ) 2

: 30

C x +y − x+ y+ = B. ( ) 2

: 20

C x +y + x− y− =

C. ( ) 2

: 20

C x +y − x+ y− = D. ( ) 2

: 30

C x +y + x− y+ =

Lời giải ( ) (: 1)2 ( 2)2 25 2 2 4 20 0.

− + + = ⇔ + − + − =

C x y x y x y Chọn C

Câu 13. Đường tròn ( ) 2

: 12 14

C x +y + x− y+ = có dạng tổng quát là:

A. ( ) ( )2 ( )2

:

C x+ + y− = B. ( ) ( )2 ( )2

: 81

C x+ + y− =

C. ( ) ( )2 ( )2

: 89

C x+ + y− = D. ( ) ( )2 ( )2

: 89

C x+ + y− =

Lời giải ( ): 2 12 14 4 0 ( 6; 7) ( ) (: 6)2 ( 7)2 81.

36 49  −



+ + − + = → → + + − =

 = + − =

 I

C x y x y C x y

R

Chọn B

Câu 14. Tâm đường tròn ( ) 2

: 10

C x +y − x+ = cách trục Oy khoảng bằng:

A. −5 B. C. 10 D.

Lời giải ( ): 2 10 1 0 (5; 0) [ ; ] 5.

+ − + = → → =

C x y x I d I Oy Chọn D

Câu 15. Cho đường tròn ( ) 2

:

C x +y + x+ y− = Tính khoảng cách từ tâm ( )C đến

trục Ox

A. B. C. 3,5 D. 2,5

Lời giải ( ): 2 5 7 3 0 5; [ ; ] 7.

2 2

 



+ + + − = → − − → = − =

C x y x y I d I Ox Chọn C

Vấn đề LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN

Ta thường gặp số dạng lập phương trình đường trịn

1. Có tâm I bán kính R

2. Có tâm I qua điểm M

3. Có đường kính AB

4. Có tâm I tiếp xúc với đường thẳng d

6. Có tâm I thuộc đường thẳng d

Đi qua hai điểm A B,

Đi qua A, tiếp xúc ∆ Có bán kính R, tiếp xúc ∆ Tiếp xúc với ∆1 ∆2

7. Đi qua điểm A

Tiếp xúc với ∆ M

Tiếp xúc với hai đường thẳng ∆1, ∆2

8. Đi qua hai điểm A B, có tiếp xúc với đường thẳng d

Câu 16. Đường trịn có tâm trùng với gốc tọa độ, bán kính R=1 có phương trình là:

A. ( )2

1

x + y+ = B. 2

1 x +y =

C. ( )2 ( )2

1 1

x− + y− = D. ( )2 ( )2

1 1

x+ + y+ =

Lời giải ( ) (0; 0) ( ) 2

: :

1

 → + =

  = 

I

C C x y

R Chọn B

Câu 17. Đường trịn có tâm I(1;2), bán kính R=3 có phương trình là:

A. 2

2 4

x +y + x+ y− = B. 2

2 4

x +y + x− y− =

C. 2

2 4

x +y − x+ y− = D. 2

2 4

x +y − x− y− =

Lời giải ( ): (1; 2) ( ) (: 1)2 ( 2)2 9 2 2 4 4 0.

3

 → − + − = ⇔ + − − − =

  = 

I

C C x y x y x y

R Chọn A

Câu 18. Đường tròn ( )C có tâm I(1; 5− ) qua O(0;0) có phương trình là:

A ( )2 ( )2

1 26

x+ + y− = B ( )2 ( )2

1 26

x+ + y− =

C (x−1)2+(y+5)2=26 D (x−1)2+(y+5)2= 26

Lời giải ( ) (1; 5) ( ) ( )2 ( )2

: : 26

26  −

 → − + + =



 = =

 I

C C x y

R OI

Chọn C

Câu 19. Đường tròn ( )C có tâm I(−2;3) qua M(2; 3− ) có phương trình là: A (x+2)2+(y−3)2= 52 B (x−2)2+(y+3)2=52

C 2

4 57

x +y + x− y− = D 2

4 39

x +y + x− y− =

Lời giải ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

2

2

2

2;3

: : 52

2 3 52

: 39

 −

 → + + − =



 = = + + − − =



+ + − − =

I

C C x y

R IM

C x y x y

Chọn D

Câu 20. Đường trịn đường kính AB với A(3; , − ) B(1; 5− ) có phương trình là:

A ( )2 ( )2

2

x+ + y− = B ( )2 ( )2

1 17

x+ + y+ =

C ( )2 ( )2

2

x− + y+ = D ( )2 ( )2

2

x− + y+ =

Lời giải ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

2

2;

: 1 1 :

1 5

2

 −

 → − + + =



 = = − + − + =

 I

C C x y

R AB

Chọn D

Câu 21. Đường trịn đường kính AB với A( )1;1 , B(7;5  ) có phương trình là:

A 2

– – 6 12

x +y x y+ = B 2

8 – 6 – 12 x +y + x y =

C 2

8  6 12

x +y + x+ y+ = D 2

Lời giải ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

2

2

4;3

: : 13

4 13

8 12 

 → − + − =



 = = − + − =



⇔ + − − + =

I

C C x y

R IA

x y x y

Chọn A

Câu 22. Đường tròn ( )C có tâm I(2;3) tiếp xúc với trục Ox có phương trình là:

A ( )2 ( )2

2 –

x− + y = B ( )2 ( )2

2 –

x− + y =

C ( )2 ( )2

2 – 3

x− + y = D ( )2 ( )2

2

x+ + y+ =

Lời giải ( ) ( )

[ ] ( ) ( ) ( )

2

2;3

: :

;



 → − + − =



 = =

 I

C C x y

R d I Ox Chọn A

Câu 23. Đường trịn ( )C có tâm I(2; 3− ) tiếp xúc với trục Oy có phương trình là:

A ( )2 ( )2

2 –

x+ + y = B ( )2 ( )2

2 –

x+ + y =

C. ( )2 ( )2

2

x− + y+ = D. (x−2)2+(y+3)2=9

Lời giải ( ) ( )

[ ] ( ) ( ) ( )

2

2;

: :

;

 −

 → − + + =



 = =

 I

C C x y

R d I Oy Chọn C

Câu 24. Đường trịn ( )C có tâm I(−2;1) tiếp xúc với đường thẳng ∆: – 4x y+ =5 có

phương trình là:

A ( )2 ( )2

2 – 1

x+ + y = B. ( )2 ( )2

2 –

25 x+ + y =

C. ( )2 ( )2

2 1

x− + y+ = D. ( )2 ( )2

2 –

x+ + y =

Lời giải ( )

( )

[ ] ( ) ( ) ( )

2

2;1

: : 1

;

9 16  −



 → + + − =

 − − +

 = = =

 +



∆ 

I

C C x y

R d I Chọn A

Câu 25. Đường trịn ( )C có tâm I(−1;2) tiếp xúc với đường thẳng ∆: – 2x y+ =7 có

phương trình là:

A ( )2 ( )2

1 –

25

x+ + y = B ( )2 ( )2

1 –

5 x+ + y =

C ( 1)2 ( – 2)2

x+ + y = D (x+1)2+(y– 2)2=5

Lời giải ( )

( )

[ ] ( ) ( ) ( )

2

1;

4

: :

5 ;

1

 − 

 → + + − =

 − − +

 = = =

 ∆ +

 I

C C x y

R d I Chọn B

Câu 26. Tìm tọa độ tâm I đường trịn qua ba điểm A(0; 4), B(2; 4), C(4;0)

A I(0;0) B I(1;0) C I(3; 2) D I( )1;1

Lời giải ( ) 2 ( )

16

: 2 20 1;1

16 , ,

0

 + + =  = −

 

 

 

 

∈ + + + + = ⇔ + + + = ⇔ = − →

 

 

 + + =  = −

 

 

b c a

C x y ax by c a b c b I

a c

C

c

A B

Chọn D

Câu 27. Tìm bán kính R đường trịn qua ba điểm A(0; 4), B(3; 4), C(3;0)

A. R=5 B. R=3 C. R= 10 D.

2 R=

Lời giải ( )

( )

( )2 ( )2

3; 0

2 2

0; 

 →



 −



= − − + −

⊥ →



= 

= =

=

BA AC

BC R BC

Câu 28. Đường tròn ( )C qua ba điểm A(− −3; 1), B(−1;3) C(−2;2) có phương trình là:

A 2

4 20

x +y − x+ y− = B. 2

2 20

x +y + x− −y =

C ( )2 ( )2

2 25

x+ + y− = D. ( )2 ( )2

2 20

x− + y+ =

Lời giải ( ) 2

10 2

: 2 10

8 4 20

, ,

 − − + =  = −

 

 

 

 

∈ + + + + = ⇔ − + + = ⇔ =

 

 

 − + + =  = −

 

 

a b c a

C x y ax by c a b

A C c b

a b c c

B

Vậy ( ): 2 4 2 20 0.

+ − + − =

C x y x y Chọn A

Câu 29. Cho tam giác ABC có A(−2; , ) B(5;5 , ) C(6; 2− ) Đường tròn ngoại tiếp tam giác

ABC có phương trình là:

A. 2

2 20

x +y − x− +y = B. ( )2 ( )2

2 20

x− + y− =

C 2

4 20

x +y − x− y+ = D. 2

4 20

x +y − x− y− =

Lời giải ( ) 2

20

: 2 50 10 10

40 12 20

, ,

 − + + =  = −

 

 

 

 

∈ + + + + = ⇔ + + + = ⇔ = −

 

 + − + =  = −

 

 

a b c a

C x y ax by c a b c b

a b c c

A B C

Vậy ( ): 2 4 2 20 0.

+ − − − =

C x y x y Chọn D

Câu 30. Cho tam giác ABC có A(1; , − ) B(−3;0 , ) C(2; 2− ) Tam giác ABC nội tiếp đường

trịn có phương trình là:

A. 2

3 18

x +y + x+ y+ = B. 2

3 18

x +y − x− y− =

C. 2

3 18

x +y − x− y+ = D. 2

3 18

x +y + x+ y− =

Lời giải ( ) 2

5

: 2

4, 18

8 4

, ,

 + − + =

 

  = −

 



∈ + + + + = ⇔ − + = ⇔

  = − = −

 + − + =  

a b c

a C x y ax by c a c

b c

a b c

A B C

Vậy ( ): 2 3 8 18 0.

+ − − − =

C x y x y Chọn B

Câu 31. Đường tròn ( )C qua ba điểm O(0;0), A(8;0) B(0;6) có phương trình là: A. ( )2 ( )2

4 25

x− + y− = B. ( )2 ( )2

4 25

x+ + y+ =

C. ( )2 ( )2

4

x− + y− = D. ( )2 ( )2

4

x+ + y+ =

Lời giải ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )2 ( )2

4;3

: 25

5 0; , 8; , 0;

 

⊥ → → − + − =

 = =

 →

 I O

O A B B A C x y

R

OA B

Chọn A

Câu 32. Đường tròn ( )C qua ba điểm O(0;0 , ) A a( ;0 , ) B(0;b) có phương trình là:

A. 2

2

x +y − ax−by= B. 2

0

x +y −ax−by+xy=

C. 2

0

x +y −ax−by= D. 2

0

x −y −ay+by=

Lời giải Ta có

( ) ( ) ( ) ( )

( )

2 2

2

2

; 2

0; , ; , 0; :

2

2

:

  

 

     

       +

    

⊥ → →  −  + −  =

   

+  = = 

→ + − − =

→OA

a b I

a b a b

O A a B b OB C x y

AB a b R

C x y ax by

Chọn C

Câu 33. Đường tròn ( )C qua hai điểm A( )1;1 , B(5;3) có tâm I thuộc trục hồnh có

A. ( )2

4 10

x+ +y = B. ( )2

4 10

x− +y =

C. ( )2

4 10

x− +y = D. ( )2

4 10

x+ +y =

Lời giải ( ) ( )2 ( )2 ( )

2

4

; 1 4;

10  =  

→ = = ⇔ = − + = − + → 



 =

 a

I a IA IB R R a a I

R

Vậy đường trịn

cần tìm là: ( )2

4 10

− + =

x y Chọn B

Câu 34. Đường tròn ( )C qua hai điểm A( )1;1 , B(3;5) có tâm I thuộc trục tung có

phương trình là:

A. 2

8

x +y − y+ = B. ( )2

4

x + y− =

C. ( )2

4

x + y+ = D. 2

4

x +y + y+ =

Lời giải ( ) 2 ( )2 ( )2 ( )

2

4

0; 1 0;

10  =  

→ = = ⇔ = + − = + − → 



 =

 a

I a IA IB R R a a I

R

Vậy đường trịn

cần tìm là: 2 ( )2

4 10

+ − =

x y Chọn B

Câu 35. Đường tròn ( )C qua hai điểm A(−1;2 , ) B(−2;3) có tâm I thuộc đường thẳng

: 3x y 10

∆ − + = Phương trình đường trịn ( )C là:

A. ( )2 ( )2

3

x+ + y− = B. ( )2 ( )2

3

x− + y+ =

C. ( )2 ( )2

3

x− + y+ = D. ( )2 ( )2

3

x+ + y− =

Lời giải Ta có

( ) ( )2 ( )2 ( )2 ( )2 ( )

2

3

;3 10 3;1

5  = −  

∈ ∆ → + → = = ⇔ = + + + = + + + ⇔ −



 =

 a

I a a IA IB R R a a a a I

R I

Vạy đường tròn cần tìm là: ( )2 ( )2

3

+ + − =

x y Chọn D

Câu 36. Đường trịn ( )C có tâm I thuộc đường thẳng d x: +3y+ =8 0, qua điểm A(−2;1)

và tiếp xúc với đường thẳng ∆:3x−4y+10=0 Phương trình đường trịn ( )C là:

A. ( )2 ( )2

2 25

x− + y+ = B. ( )2 ( )2

5 16

x+ + y+ =

C. (x+2)2+(y+2)2=9 D. (x−1)2+(y+3)2=25

Lời giải Dễ thấy A∈ ∆ nên tâm I đường tròn nằm đường thẳng qua A vng góc

với ∆ : : (1; 3)

3



 + + =  =  −

 

  

′ ′

∆ + + = → = ∆ ∩  ⇔ →

 + + =  = −  = =

 

  

I

x y x

x y I d

x y y R IA Vậy phương

trình đường trịn là: ( )2 ( )2

1 25

− + + =

x y Chọn D

Câu 37. Đường tròn ( )C có tâm I thuộc đường thẳng d x: +3y− =5 0, bán kính R=2

tiếp xúc với đường thẳng ∆:x− − =y Phương trình đường tròn ( )C là:

A. ( )2 ( )2

1

x+ + y− = ( )2

5

x− +y =

B. ( )2 ( )2

1

x+ + y− = ( )2

5

x+ +y =

C. ( )2 ( )2

1

x− + y+ = ( )2

5

x− +y =

D. (x−1)2+(y+2)2=8 ( )2

5

x+ +y =

Lời giải ( ) [ ] ( )

( )

5;

4

5 ; ; 2 2

2 1; 2

 

− = 



∈ → − → ∆ = = ⇔ = ⇔ → 

 = −

 

I

a a

d I a a d I R

a I

I Vậy

phương trình đường tròn là: ( )2

5

− + =

x y ( )2 ( )2

1

+ + − =

Câu 38. Đường trịn ( )C có tâm I thuộc đường thẳng d x: +2y− =2 0, bán kính R=5

tiếp xúc với đường thẳng ∆:3x−4y−11=0 Biết tâm I có hồnh độ dương Phương trình

của đường tròn ( )C là:

A. ( )2 ( )2

8 25

x+ + y− =

C. ( )2 ( )2

2 25

x− + y+ = ( )2 ( )2

8 25

x+ + y− =

C. ( )2 ( )2

2 25

x+ + y− = ( )2 ( )2

8 25

x− + y+ =

D. (x−8)2+(y+3)2=25

Lời giải (2 ; ), [ ; ] 10 5 2( ) (8; 3)

5

 = +



∈ → − < → ∆ = = ⇔ = ⇔ → −

 = − 

a l a

d I a a a d I R I

a

I Vậy

phương trình đường trịn là: ( )2 ( )2

8 25

− + + =

x y Chọn D

Câu 39. Đường trịn ( )C có tâm I thuộc đường thẳng d x: +5y−12=0 tiếp xúc với hai

trục tọa độ có phương trình là:

A. ( )2 ( )2

2

x− + y− =

B. (x−3)2+(y+3)2=9

C. ( )2 ( )2

2

x− + y− = ( )2 ( )2

3

x− + y+ =

D ( )2 ( )2

2

x− + y− = ( )2 ( )2

3

x+ + y− =

Lời giải ( ) [ ] [ ] ( )

( )

3 3;3 ,

12 ; ; ; 12

2 2; ,

 = → − =



∈ → − → = = = − = → 

= → =



a I R

d I a a R d I Ox d I Oy a a

a I R

I

Vậy phương trình đường trịn là: ( )2 ( )2

2

− + − =

x y ( )2 ( )2

3

+ + − =

x y

Chọn D

Câu 40. Đường trịn ( )C có tâm I thuộc đường thẳng ∆:x=5 tiếp xúc với hai đường

thẳng d1: –x y+3 =0, d2: –x 3y+ =9 có phương trình là:

A. (x−5)2+(y+2)2=40  (x−5)2+(y−8)2=10. 

B. ( )2 ( )2

5 40

x− + y+ =

C. (x−5)2+(y−8)2=10. 

D. ( )2 ( )2

5 40 

x− + y− = ( )2 ( )2

1

5

x− + y+ =

Lời giải Ta có

( ) [ ] [ ] ( )

( )

1

8 5;8 , 10 18 14

5; ; ;

10 10 5; , 10

 = → =

− − 

∈ ∆ → → = = = = ⇔ 

 = − → − =



a I R

a a

I a R d I d d I d

a I R

I

Vậy phương trình đường trịn: ( )2 ( )2

5 10

− + − =

x y ( )2 ( )2

5 40

− + + =

x y Chọn A

Câu 41. Đường tròn ( )C qua điểm A(1; 2− ) tiếp xúc với đường thẳng ∆:x− + =y

(1;2)

M Phương trình đường trịn ( )C là:

A. ( )2

6 29

x− +y = B ( )2

5 20

x− +y =

C. ( )2

4 13

x− +y = D. ( )2

3

x− +y =

Lời giải Tâm I đường tròn nằm đường thẳng qua M vng góc với ∆

( )

: ;3

′

∆ x+ − = →y I a −a Ta có

( )2 ( )2 ( )2 ( )2 ( ) ( ) ( )2

2 2

2

3;

1 1 :

8  

= = = − + − = − + − ⇔ = → → − + =

 =

 I

R IA IM a a a a a C x y

R

Câu 42. Đường tròn ( )C qua điểm M(2;1) tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox Oy, có

phương trình là:

A. ( )2 ( )2

1 1

x− + y− = ( )2 ( )2

2

5 5

x− + y− =

B. (x+1)2+(y+1)2=1 (x+5)2+(y+5)2=25

C. ( )2 ( )2

5 5

x− + y− =

D. ( )2 ( )2

1 1

x− + y− =

Lời giải Vì M(2;1) thuộc góc phần tư (I) nên A a a( ; ),a>0 Khi

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2

2

2

2

1 1;1 , : 1

2

5 5; , : 5 25

 = → = → − + − =



= = = − + − ⇔ 

 = → = → − + − =



a I R C x y

R a IM a a

a I R C x y

Chọn A Câu 43. Đường tròn ( )C qua điểm M(2; 1− ) tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox Oy, có

phương trình là:

A. (x+1)2+(y−1)2=1 (x+5)2+(y−5)2=25

B. ( )2 ( )2

1 1

x− + y+ =

C. ( )2 ( )2

5 5

x− + y+ =

D. ( )2 ( )2

1 1

x− + y+ = ( )2 ( )2

2

5 5

x− + y+ =

Lời giải Vì M(2;−1) thuộc góc phần tư (IV) nên A a( ;−a),a>0 Khi

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2

2

2

2

1 1; , : 1

2

5 5; , : 5 25

 = → − = → − + + =



= = = − + − ⇔ 

 = → − = → − + + =



a I R C x y

R a IM a a

a I R C x y

Chọn A

Câu 44. Đường tròn ( )C qua hai điểm A(1;2 , ) B(3; 4) tiếp xúc với đường thẳng

: 3x y

∆ + − = Viết phương trình đường trịn ( )C , biết tâm ( )C có tọa độ số

nguyên

A. 2

3 – 12

x +y − x y+ = B. 2

6 –

x +y − x y+ =

C. 2

8 – 10

x +y − x y− = D. 2

8 –

x +y − x y+ =

Lời giải AB x: − + =y 0, đoạn AB có trung điểm M(2;3)→trung trực đoạn AB

( )

: + − = →5 ;5− , ∈

d x y I a a a ℤ Ta có

[ ] ( )2 ( )2 2 ( )

; 4;1 , 10

10 +

= = ∆= − + − = a ⇔ = → =

R IA d I a a a I R

Vậy phương trình đường trịn là: ( 4)2 ( 1)2 10 2 8 2 7 0.

− + − = ⇔ + − − + =

x y x y x y Chọn D.

Câu 45. Đường tròn ( )C qua hai điểm A(–1;1  , ) B(3;3) tiếp xúc với đường thẳng

: –

d x y+ = Viết phương trình đường trịn ( )C , biết tâm ( )C có hồnh độ nhỏ

A. ( )2 ( )2

3 25

x− + y+ = B. ( )2 ( )2

3

x+ + y− =

C. ( )2 ( )2

5

x+ + y+ = D. (x−5)2+(y−2)2=25

Lời giải AB x: −2y+ =5 0, đoạn AB có trung điểm M(1; 2)→trung trực đoạn AB

( )

: + − = →4 ; 4−2 , <5

d x y I a a a Ta có

[ ] ( )2 ( )2 11 ( )

; 3 3; ,

5 −

= = ∆ = + + − = a ⇔ = → − =

R IA d I a a a I R

Vậy phương trình đường trịn là: ( )2 ( )2

3 25

− + + =

Vấn đề TÌM THAM SỐ m ĐỂ LP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN

Câu 46. Cho phương trình 2 ( )

2

x +y − ax− by+ =c Điều kiện để ( )1 phương trình

đường trịn là:

A 2

a −b >c B 2

a +b >c C 2

a +b <c D 2 a −b <c

Lời giải Chọn B

Câu 47. Trong phương trình sau, phương trình phương trình đường trịn?

A 2

4x +y −10x−6y− =2 0. B 2

2 20

x +y − x− y+ =

C 2

2

x + y − x− y+ = D 2

4 12

x +y − x+ y− =

Lời giải Xét phương trình dạng: 2 2 2 0,

+ − − + =

x y ax by c tính hệ số a b c, , kiểm tra điều kiện 2

0

+ − >

a b c

2 4 6 12 0 2, 3, 12 2 0.

+ − + − = → = = − = − → + − >

x y x y a b c a b c Chọn D

Các phương trình 4 2 10 6 2 0, 2 4 8 1 0

+ − − − = + − − + =

x y x y x y x y khơng có dạng nêu

loại đáp án A C Đáp án 2 2 8 20 0

+ − − + =

x y x y không thỏa mãn điều kiện

2 0.

+ − >

a b c

Câu 48. Trong phương trình sau, phương trình phương trình đường tròn?

A. 2

2

x +y + x− y+ = B 2

6 13

x +y − x+ y+ =

C 2

2x +2y −8x−4y− =6 D. 2

5x +4y + −x 4y+ =1

Lời giải Loại đáp án D khơng có dạng 2 2 2 0.

+ − − + =

x y ax by c

Xét đáp án A: 2 2 4 9 0 1, 2, 9 2 0

+ + − + = → = − = =− → + − < →

x y x y a b c a b c loại A

Xét đáp án B : 2 2

6 13 3, 2, 13

+ − + + = → = = − = → + − < →

x y x y a b c a b c loại B

Xét đáp án D : 2 2 2

2

2

3  =  

+ − − − = ⇔ + − − − = → = → + − >

  = − 

a

x y x y x y x y b a b c

c

Chọn D

Câu 49. Trong phương trình sau, phương trình phương trình đường trịn?

A 2

9

x +y − − + =x y B 2

0 x +y − =x

C 2

2

x +y − xy− = D 2

2

x −y − x+ y− =

Lời giải Loại đáp án C D khơng có dạng 2

2

+ − − + =

x y ax by c

Xét đáp án A: 2 9 0 1, 1, 9 2 0

2

+ − − + = → = = = → + − < →

x y x y a b c a b c loại A

Xét đáp án B : 2 2

0 , 0

2

+ − = → = = = → + − > →

x y x a b c a b c Chọn B

Câu 50. Trong phương trình sau, phương trình khơng phải phương trình đường trịn?

A 2

4

x +y − + + =x y B 2

– 100 x +y y+ =

C 2

–

x +y = D 2

0 x +y − =y

Lời giải Xét A: 2 4 0 1, 1, 4 2 0

2

+ − + + = → = = − = → + − < →

x y x y a b c a b c Chọn A

Các đáp án lại hệ số a b c, , thỏa mãn 2 0.

+ − >

a b c

Câu 51. Cho phương trình 2 ( ) ( )

2 –

x +y + mx+ m y+ m = Tìm điều kiện m để

A.

2

m< B.

2

m≤ C. m>1 D. m=1

Lời giải Ta có

( )

2 2 2

2

1

2 – 2

2

 = −  

+ + + + = → = − → + − > ⇔ − + > ⇔ <

  = 

a m

x y mx m y m b m a b c m m

c m

Chọn A

Câu 52. Cho phương trình 2 ( ) ( )

2

x +y − mx− m− y+ −m= Tìm điều kiện m để

( )1 phương trình đường trịn

A. m∈R B. m∈ −∞( ;1) (∪ 2;+∞)

C. m∈ −∞( ;1] [∪2;+∞) D. ;1 (2; )

3

m∈ −∞ ∪ +∞

Lời giải Ta có

( ) ( )

2 2

2

2 2

6

5 15 10

2  =  

+ − − − + − = → = − → + − >

  = − 

 < 

⇔ − + > ⇔

 >  a m

x y mx m y m b m a b c

c m

m

m m

m

Chọn B

Câu 53. Cho phương trình 2 ( )

2   10

x +y − x+ my+ = Có giá trị m nguyên

dương không vượt 10 để ( )1 phương trình đường trịn?

A. Khơng có B. C. D.

Lời giải Ta có

2 2 2

1

2 10 0

10

4;5 ;10

 =  

+ − + + = → = − → + − > ⇔ − >

  =   < − 

⇔ ⇔ = …

 > 

a

x y x my b m a b c m

c m

m m

Chọn C

Câu 54. Cho phương trình 2 ( )

– 10

x +y x+ y+m= Tìm điều kiện m để ( )1

phương trình đường trịn có bán kính

A m=4 B m=8 C m=–8 D. m = –

Lời giải 2 2

4

– 10 49

 =  

+ + + = → = − → + − = = ⇔ = −

  = 

a

x y x y m b a b c R m

c m

Chọn C

Câu 55. Cho phương trình 2 ( ) ( )

2 1

x +y − m+ x+ y− = Với giá trị m để ( )1

phương trình đường trịn có bán kính nhỏ nhất?

A m=2 B m= −1 C m=1 D m= −2

Lời giải Ta có

( ) ( )2

2 2 2

min

1

2 5

1

 = +

 

+ − + + − = → = − → = + − = + + → = ⇔ = −

  = − 

a m

x y m x y b R a b c m R m

c

Vấn đề PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRỊN Câu 56 Phương trình tiếp tuyến d đường tròn ( ) ( )2 ( )2

2

: x y 25

C + + + = điểm

(2;1)

M là:

A d:− + =y B d: 4x+3y+14=0

C d: 3x−4y− =2 D d: 4x+3y−11=0

Lời giải Đường trịn (C) có tâm I(− −2; 2) nên tiếp tuyến M có VTPT n=IM=(4;3 ,)

nên có phương trình là: 4(x−2)+3(y− = ⇔1) 4x+3y−11=0.Chọn D

Câu 57 Cho đường tròn ( ) ( )2 ( )2

:

C x− + y+ = Viết phương trình tiếp tuyến d ( )C

tại điểm A(3; 4− )

A d x: + + =y B d x: −2y−11=0

C d x: − − =y D d x: − + =y

Lời giải Đường trịn (C) có tâm I(1;−2) nên tiếp tuyến A có VTPT

(2; 2) 1;( ,)

= = − = −

n IA nên có phương trình là: 1.(x− −3) 1.(y+4)= ⇔ − − =0 x y

Chọn C

Câu 58 Phương trình tiếp tuyến d đường tròn ( ) 2

:

C x +y − x− =y điểm N(1; 1− )

là:

A d x: +3y− =2 B d x: −3y+ =4

C d x: −3y− =4 D d x: +3y+ =2

Lời giải Đường trịn (C) có tâm 1; 2  

 

 

 

I nên tiếp tuyến N có VTPT

( )

1

; 1;3 ,

2 2

 



= = − − = −

n IN nên có phương trình là: 1(x− +1) 3(y+ = ⇔ +1) x 3y+ =2

Chọn D

Câu 59. Viết phương trình tiếp tuyến đường trịn ( ) ( )2 ( )2

3

: x

C − + y+ = , biết tiếp

tuyến song song với đường thẳng d: 2x+ + =y

A 2x+ + =y 2x+ − =y B 2x+ =y 2x+ −y 10=0

C 2x+ +y 10=0 2x+ −y 10=0 D 2x+ =y 2x+ +y 10=0

Lời giải Đường tròn (C) có tâm I(3;−1 ,) R= tiếp tuyến có dạng

( )

:

∆ x+ + =y c c=/ Ta có [ ; ] 5 10



+ =



= ∆ ⇔ = ⇔

 = − 

c c

R d I

c Chọn B.

Câu 60. Viết phương trình tiếp tuyến đường trịn ( ) 2

4 17

:x y x

C + + + y− = , biết tiếp

tuyến song song với đường thẳng d:3x−4y−2018=0

A – 4x y+23=0 – – 27x y =0. B 3 – 4x y+23=0 – 4x y+27=0

C 3 – 4x y−23=0 – 4x y+27=0. D 3 – 4x y−23=0 – – 27x y =0

Lời giải Đường trịn (C) có tâm I(− −2; ,) R=5 tiếp tuyến có dạng

( )

: 2018

∆ x− y+ =c c=/ − Ta có [ ; ] 23

27



+ =



= ∆ ⇔ = ⇔

 = − 

c c

R d I

c Chọn A.

Câu 61. Viết phương trình tiếp tuyến đường trịn ( ) ( )2 ( )2

: x y 25

C − + − = , biết tiếp

tuyến song song với đường thẳng d: 4x+3y+14=0

A 4x+3y+14=0 4x+3y−36=0. B 4x+3y+14=0

Lời giải Đường trịn (C) có tâm I(2;1 ,) R=5 tiếp tuyến có dạng ∆: 4x+3y+ =c 0(c=/14 )

Ta có [ ; ] 11 14( )

5 36

 =

+ 

= ∆ ⇔ = ⇔ 

= − 

c l c

R d I

c Chọn C.

Câu 62. Viết phương trình tiếp tuyến đường tròn ( ) ( )2 ( )2

: x y 25

C − + + = , biết tiếp

tuyến vng góc với đường thẳng d:3x−4y+ =5

A – 3x y+ =5 – – 45x y =0. B 4x+3y+ =5 4x+3y+ =3

C 4x+3y+29=0. D 4x+3y+29=0 4x+3 – 21y =0

Lời giải Đường trịn (C) có tâm I(2;−4 ,) R=5 tiếp tuyến có dạng ∆: 4x+3y+ =c Ta có

[ ; ] 29

21



− =



= ∆ ⇔ = ⇔

 = − 

c c

R d I

c Chọn D.

Câu 63. Viết phương trình tiếp tuyến đường tròn ( ) 2

:

C x +y + x− y− = , biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng d: 2x−3y+2018=0

A 3x+2y−17=0 3x+2y− =9 B 3x+2y+17=0 3x+2y+ =9

C 3x+2y+17=0 3x+2y− =9 D 3x+2y−17=0 3x+2y+ =9

Lời giải Đường trịn (C) có tâm I(−2;1 ,) R= 13 tiếp tuyến có dạng ∆: 3x+2y+ =c Ta

có [ ; ] 13 17

9 13



− =



= ∆ ⇔ = ⇔

 = − 

c c

R d I

c Chọn C.

Câu 64. Viết phương trình tiếp tuyến đường tròn ( ) 2

: 4

C x +y − x− y+ = , biết tiếp tuyến vng góc với trục hồnh

A x=0 B y=0 y− =4

C x=0 x− =4 D y=0

Lời giải Đường trịn (C) có tâm I(2; ,) R=2 tiếp tuyến có dạng ∆:x+ =c Ta có

[ ; ] 2

4  = 

= ∆ ⇔ + = ⇔

 = − 

c R d I c

c Chọn C.

Câu 65. Viết phương trình tiếp tuyến ∆ đường tròn ( ) ( )2 ( )2

:

C x− + y+ = , biết tiếp

tuyến qua điểm A(5; 2− )

A. ∆:x− =5 B. ∆:x+ − =y ∆:x− − =y

C. ∆:x− =5 ∆:x+ − =y D. ∆:y+ =2 ∆:x− − =y

Lời giải Đường trịn (C) có tâm I(1;−2 ,) R=2 tiếp tuyến có dạng

( 2 )

: 0

∆ ax+by− a+ b= a +b =/ Ta có

[ ] 2

2

4

; 2

1,  = → = = 

∆ = ⇔ = ⇔ − = ⇔

 = − → = = −

+ 

a a b a b

d I R a b

a b a b a b

Chọn B Câu 66. Viết phương trình tiếp tuyến ∆ đường trịn ( ) 2

: 4

C x +y − x− y+ = , biết tiếp tuyến qua điểm B(4;6)

A. ∆:x− =4 ∆: 3x+4y−36=0 B. ∆:x− =4 ∆:y− =6

C. ∆:y− =6 ∆: 3x+4y−36=0 D. ∆:x− =4 ∆: 3x−4y+12=0

Lời giải Đường trịn (C) có tâm I(2; ,) R=2 tiếp tuyến có dạng

( 2 )

: 0

∆ ax+by− a− b= a +b =/ Ta có

[ ; ] 2 42 (3 ) 0 1,

3 3,



+ = → = =



∆ = ⇔ = ⇔ + = ⇔

 = − → = = −

+ 

a b b a b

d I R b b a

b a a b

a b

Câu 67. Cho đường tròn ( ) ( )2 ( )2

: 1 25

C x+ + y− = điểm M(9; 4− ) Gọi ∆ tiếp tuyến ( )C , biết ∆ qua M không song song với trục tọa độ Khi khoảng cách từ

điểm P(6;5) đến ∆ bằng:

A. B. C. D.

Lời giải Đường trịn (C) có tâm I(−1;1 ,) R=5 tiếp tuyến có dạng

( )

: 0

∆ ax+by− a+ b= ab=/ Ta có

[ ] ( )

[ ]

2

10

; 4 4, : 24

24 15 24

;

5 −

∆ = ⇔ = ⇔ − = ⇔ = → = = → ∆ + − =

+

+ −

∆ = =

a b

d I R a a b a b a b x y

a b

d P

Chọn B

Câu 68. Có đường thẳng qua gốc tọa độ O tiếp xúc với đường tròn

( ) 2

: 11

C x +y − x+ y− = ?

A. B. C. D.

Lời giải Đường trịn (C) có tâm I(1;−2 ,) R= →4 OI= 5<R→khơng có tiếp tuyến đường trịn kẻ từ O Chọn A

Câu 69. Cho đường tròn ( ) ( )2 ( )2

: 3

C x− + y+ = Qua điểm M(4 ;−3) kẻ bao

nhiêu đường thẳng tiếp xúc với đường tròn ( )C ?

A. B. C. D. Vô số

Lời giải Vì M∈( )C nên có tiếp tuyến đường tròn kẻ từ M Chọn C

Câu 70. Có đường thẳng qua điểm N(−2 ;0) tiếp xúc với đường tròn

( ) ( )2 ( )2

:

C x− + y+ = ?

A. B. C 2 D. Vô số

O x

( ; )

M x y

2

F

1

F

y Baøi 03

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ELIP

1 Định nghĩa Cho hai điểm cố định F1 F2 với F F1 =2c (c>0) Tập hợp

điểm M thỏa mãn MF1+MF2=2a (a không đổi a> >c 0) đường Elip ●

1,

F F hai tiêu điểm

●

1 2

F F = c tiêu cự Elip

2 Phương trình tắc Elip ( )E :x22 y22

a +b = với

2 2

a =b +c

Do điểm ( ) ( )

2

0

0; 2

x y

M x y E

a b

∈ ⇔ + = x0 ≤a, y0 ≤b

3 Tính chất hình dạng Elip

● Trục đối xứng Ox (chứa trục lớn), Oy (chứa trục bé)

● Tâm đối xứng O

● Tọa độ đỉnh ( ) ( ) ( ) ( )

1 ;0 , ;0 , 0; , 0;

A −a A a B −b B b

● Độ dài trục lớn 2a Độ dài trục bé 2b

● Tiêu điểm ( ) ( )

1 ;0 , ;0

F −c F c

● Tiêu cự 2c

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Vấn đề CHO PHƯƠNG TRÌNH ELIP, HỎI CÁC THƠNG SỐ Câu Elip ( )

2

:

25

x y

E + = có độ dài trục lớn bằng:

A 5 B 10 C 25 D 50

Lời giải Gọi phương trình Elip x22 y22 1,

a +b = có độ dài trục lớn A A1 2=2 a

Xét ( )

2

2

1

2

25

: 2.5 10

3

25 9

a a

x y

E A A

b b

 

 =  =

 

+ = ⇒ ⇒ → = =

 =

= 

 



Chọn B Câu Elip ( ) 2

: 16

E x + y = có độ dài trục lớn bằng:

A 2 B 4 C 1 D 1

2

Lời giải Gọi phương trình Elip x22 y22 1,

Xét ( )

2

2

2

1

2

1

1

4

: 16 1

1 1 2

4 16 16

a

x y

E x y a A A

b

  = 

+ = ⇔ + = ⇔ ⇒ = → = =  =

  Chọn C

Câu Elip ( ) 2

: 25

E x + y = có độ dài trục lớn bằng:

A 1 B 2 C 5 D 10

Lời giải Gọi phương trình Elip x22 y22 1,

a +b = có độ dài trục lớn A A1 2=2 a

Xét ( )

2

2

2

1

2

25

: 25 2.5 10

25 5

a

x y

E x y a A A

b

 = 

+ = ⇔ + = ⇔ ⇒ = → = = =



Chọn D Câu Elip ( )

2

:

100 64

x y

E + = có độ dài trục bé bằng:

A 8 B 10 C 16 D 20

Lời giải Gọi phương trình Elip x22 y22 1,

a +b = có độ dài trục bé B B1 2=2 b

Xét ( )

2

2

1

2

100

: 2.8 16

100 64 64

a

x y

E b B B

b

 = 

+ = ⇔ ⇒ = → = = =



Chọn C Câu Elip ( ) 2

:

16

x

E +y = có tổng độ dài trục lớn trục bé bằng:

A 5 B 10 C 20 D 40

Lời giải Gọi phương trình Elip x22 y22 1,

a +b = có độ dài trục lớn A A1 2=2a độ

dài trục bé B B1 2=2 b Khi đó, xét ( )

2 2

2

:

16 64

x x y

E +y = ⇔ + =

2

64

a b

 =  ⇔ 

=

 2

8

2.8 2.2 20

a

A A B B b

 = 

⇒ → + = + =  =



Chọn C Câu Elip ( )

2

:

25 16

x y

E + = có tiêu cự bằng:

A.3 B C D 18

Lời giải Gọi phương trình Elip x22 y22 1,

a +b = có tiêu cự c

Xét ( )

2

2

2 2

2

25

:

25 16 16

a

x y

E c a b c c

b

 = 

+ = ⇔ ⇒ = − = ⇒ = → = =



Chọn B Câu Elip ( )

2

:

9

x y

E + = có tiêu cự bằng:

A B 5 C 10 D 2

Lời giải Gọi phương trình Elip x22 y22 1,

a +b = có tiêu cự c

Xét ( )

2

2

2 2

2

9

: 5 2

9 4

a

x y

E c a b c c

b

 = 

+ = ⇔ ⇒ = − = ⇒ = → = =



Câu Elip ( )

2

2

:x y

E

p +q = , với p> >q có tiêu cự bằng:

A p+q B p−q C 2

p −q D 2 2

p −q

Lời giải Gọi phương trình Elip x22 y22 1,

a +b = có tiêu cự c

Xét ( )

2

2

2 2 2 2

2 2

:x y a p 2

E c p q c p q c p q

p q b q

 = 

+ = ⇔ ⇒ = − ⇒ = − → = − =



Chọn D

Câu Elip ( )

2

:

100 36

x y

E + = có đỉnh nằm trục lớn là:

A (100;0) B (−100;0) C (0;10) D (−10;0) Lời giải Gọi M điểm nằm trục lớn ( )E ⇒ M∈Ox ⇒ M m( ;0 )

Mặt khác M ∈( )E suy ( )

( )

2

2 10 10;0

1 10

10

100 10;0

M m

m

m

m M



 = 



= ⇔ = ⇔ ⇒ 

 = − −

 

Chọn D Câu 10 Elip ( )

2

:

16 12

x y

E + = có đỉnh nằm trục bé là:

A (4;0) B (0;12) C (0;2 3) D (4;0) Lời giải Gọi N điểm nằm trục bé ( )E ⇒ N∈Oy ⇒ N(0;n)

Mặt khác N∈( )E suy ( ) ( )

( )

2 2

2 0;2

1

12 0;

N n

n

n

m N



 = 

 

= ⇔ = ⇔ ⇒

 = −

 −

 

Chọn C Câu 11 Elip ( ): 2

9

x y

E + = có tiêu điểm là:

A (0;3 ) B (0 ; ) C (− 3;0 ) D (3;0 )

Lời giải Gọi phương trình ( )E

2

2 1,

x y

a +b = có tọa độ tiêu điểm F(±c;0 )

Xét ( )

2

2

2 2

2

9

: 3

9 6

a

x y

E c a b c

b

 = 

+ = ⇔ ⇔ = − = ⇒ =

= 

Vậy tiêu điểm Elip F1( 3;0 ,) F2(− 3;0 ) Chọn C Câu 12 Cặp điểm tiêu điểm elip ( )

2

:

5

x y

E + = ?

A F1(−1;0) F2(1;0) B F1(−3;0) F2(3;0)

C F1(0; 1− ) F2(0;1) D F1(−2;0) F2(2;0)

Lời giải Gọi phương trình ( )E

2

2 1,

x y

a +b = có tọa độ tiêu điểm F(±c;0 )

Xét ( )

2

2

2 2

2

5

: 1

5 4

a

x y

E c a b c

b

 = 

+ = ⇔ ⇔ = − = ⇒ =

 =



Câu 13 Elip ( )

2

:

16

x y

E + = Tỉ số e tiêu cự độ dài trục lớn elip bằng:

A e=1 B

e= C

4

e= D

4

e=

Lời giải Xét ( )

2

2

2

4

16 16

:

16 9 7

a

a a

x y c

E e

a c

b c

   =

 =  = 

  

+ = ⇔ ⇔ ⇒ → = =

 =

= =

  

 

Chọn B

Câu 14 Elip ( )

2

:

9

x y

E + = Tỉ số f độ dài trục lớn tiêu cự elip bằng:

A

f = B

5

f = C

3

f = D

3

f =

Lời giải Xét ( )

2

2

2

3

9

:

9 4 5

a

a a

x y

E

c

b c

   =

 =  = 

  

+ = ⇔ ⇔ ⇒  =  =  =

  

 

Vậy tỉ số f cần tính

2

a f

c

= = Chọn B

Câu 15 Elip ( )

2

:

16

x y

E + = Tỉ số k tiêu cự độ dài trục bé elip bằng:

A k=8 B k= C k=1 D k= −1 Lời giải Xét ( )

2

2

2

16 2

:

16 8 2

a b b

x y

E

b c c



  

 =  =  =

  

+ = ⇔ ⇔ ⇒

= = =

  

  

Vậy tỉ số k cần tính 2

2 2

c k

b

= = = Chọn C

Câu 16 Cho elip ( )

2

:

25

x y

E + = Trong khẳng định sau, khẳng định sai?

A ( )E có tiêu điểm F1(−4;0) F2(4;0 )

B ( )E có tỉ số

5

c a=

C ( )E có đỉnh A1(−5;0 )

D ( )E có độ dài trục nhỏ

Lời giải Ta có ( ) ( )

2 2

2

2 2

5

: :

25

5

a

x y x y

E E b

c a b

 =  

+ = ⇔ + = → =



 = − = − =



Do đó, độ dài trục nhỏ ( )E Chọn D

Câu 17 Cho elip ( ): 4 1

E x + y = Khẳng định sau đúng?

A Elip có tiêu cự B Elip có trục nhỏ 2 C Elip có tiêu điểm 0;

3

F  

  D Elip có trục lớn

Lời giải Ta có ( ) ( )

2

2

2

2

1

: :

1

3

2

a b

x y

E x y E

c a b

 =    =  + = ⇔ + = →   

  

  

 = − =

   

Do đó:

( )E có tiêu cự F F1 2=2c=

( )E có trục nhỏ 1, trục lớn

( )E có tiêu điểm 1 3;0

2

F−    

3 ;0

F      Chọn A

Câu 18 Cho elip ( ): 4 9 36

E x + y = Tìm mệnh đề sai mệnh đề sau:

A ( )E có trục lớn B ( )E có trục nhỏ

C ( )E có tiêu cự D ( )E có tỉ số

3

c a=

Lời giải Ta có ( ) ( )

2

2

2

2

3

: 36 :

3

5

a

x y

E x y E b

c a b

 =  

+ = ⇔ + = → =



 = − =



Do đó, ( )E có tiêu cự Chọn C

Vấn đề LẬP PHƯƠNG TRÌNH ELIP

Câu 19 Phương trình elip ( )E có độ dài trục lớn 8, độ dài trục nhỏ là:

A 9 16 144.

x + y = B 9 16 1.

x + y = C 2

9 16

x y

+ = D

2

1

64 36

x y

+ =

Lời giải Xét đáp án A Ta có ( ) ( )

2

2

2

4

: 16 144 :

3

4

a

x y

E x y E

b

 = 

+ = ⇔ + = →

 = 

Do ( )E có độ dài trục lớn 8, độ dài trục nhỏ Chọn A

Câu 20 Tìm phương trình tắc elip có tiêu cự trục lớn 10. A 2

25

x y

+ = B

2

1

100 81

x y

+ = C

2

1

25 16

x y

− = D

2

1

25 16

x y

+ =

Lời giải Elip ( )E có 2

1

6

4

10

F F c c

b a c

A A a a

 = =  =

 

 ⇒ ⇒ = − =

 

 = =  =

 



Do đó, phương trình tắc elip ( )

2

:

25 16

x y

E + = Chọn D

Câu 21 Elip có độ dài trục lớn 10 có tiêu điểm F(−3;0) Phương trình

A 2

25

x y

+ = B

2

1

100 16

x y

+ = C

2

1

100 81

x y

+ = D

2

1

25 16

x y

+ =

Lời giải Elip ( )E có độ dài trục lớn 10 →2a=10⇒ =a Elip ( )E có tiêu điểm F(−3;0)→ =c

Khi đó, 2 4

b= a −c =

Phương trình tắc elip ( ): 2

25 16

x y

E + = Chọn D

Câu 22 Elip có độ dài trục nhỏ 4 có tiêu điểm F(5;0) Phương trình

chính tắc elip là: A 2

121 96

x y

+ = B

2

1

101 96

x y

+ = C

2

1

49 24

x y

+ = D

2

1

29 24

x y

+ =

Lời giải Elip ( )E có độ dài trục nhỏ 6→2b=4 6⇒ =b

Elip ( )E có tiêu điểm F(5;0)→ =c

Khi đó, 2 7

a= b +c =

Phương trình tắc elip ( ): 2

49 24

x y

E + = Chọn C

Câu 23 Elip có đỉnh A(5;0) có tiêu điểm F1(−4;0) Phương trình tắc

của elip là:

A 2

25 16

x y

+ = B

2

1

5

x y

+ = C

2

1

25

x y

+ = D

5

x y

+ =

Lời giải Elip ( )E có đỉnh A(5;0)∈Ox→ =a

Elip ( )E có tiêu điểm F(−4;0)→ =c

Khi đó, 2

3

b= a −c =

Phương trình tắc elip ( )

2

:

25

x y

E + = Chọn C

Câu 24 Elip có hai đỉnh (−3;0 ; 3;0) ( ) có hai tiêu điểm (−1;0 ; 1;0) ( ) Phương

trình tắc elip là: A 2

9

x y

+ = B

2

1

8

x y

+ = C

2

1

9

x y

+ = D

2

1

1

x y

+ =

Lời giải Elip ( )E có hai đỉnh (−3;0)∈Ox (3;0)∈Ox→ =a

Elip ( )E có hai tiêu điểm F1(−1;0) F2(1;0)→ =c

Khi đó, 2 2 2

b= a −c =

Phương trình tắc elip ( )

2

:

9

x y

E + = Chọn C

Câu 25 Tìm phương trình tắc elip trục lớn gấp đơi trục bé có tiêu

cự

A 2+

16

x y

= B

2

1

36

x y

+ = C

2

1

36 24

x y

+ = D

2

+

24 16

x y

=

Lời giải Elip ( )E có trục lớn gấp đôi trục bé ⇒A A1 2=2B B1 ⇔2a=2.2b⇔ =a 2b

Ta có 2 ( )2 2 (2 3)2 2

a =b +c ⇔ b =b + ⇒ =b Khi đó, a=2b=4

Phương trình tắc elip ( ): 2

16

x y

E + = Chọn A

Câu 26 Lập phương trình tắc elip biết độ dài trục lớn độ dài trục nhỏ đơn vị, độ dài trục nhỏ độ dài tiêu cự đơn vị

A 2

64 60

x y

+ = B

2

1

25

x y

+ = C

2

1

100 64

x y

+ = D

2

1

9

x y

+ =

Lời giải Elip ( )E có độ dài trục lớn độ dài trục nhỏ đơn vị →2a−2b=4 Elip ( )E có độ dài trục nhỏ độ dài tiêu cự đơn vị →2b−2c=4

Ta có

( )2 ( )2

2 2

2 2

2

2 2 10

2

8

2 2 4

a b

a b a b a b a

b c

b

b b

a b b b b b

a b c

 − =

  − =  = +  = +  =

   

 − = ⇒ ⇔ ⇔ ⇒

    

  = + −  + = − +  − =  =

    

 = + 

Phương trình tắc elip ( )

2

:

100 64

x y

E + = Chọn C

Câu 27 Lập phương trình tắc elip biết tỉ số độ dài trục nhỏ tiêu cự

bằng 2, tổng bình phương độ dài trục lớn tiêu cự 64

A 2 12

x y

+ = B

2

1 12

x y

+ = C

2

1 12

x y

+ = D

2

1

x y

+ = Lời giải Elip ( )E có tỉ số độ dài trục nhỏ tiêu cự 2 2

2

b b

c c

→ = ⇒ = Mặt khác, ( )2 ( )2 64 2 16

a + c = ⇔a +c =

Ta có

2

2

2 2

2

2 2

2 1

16

12

2 2

16 0

2

b

c a b

a

a c b

a b

a b c

 

 = 

  + =

   =

 ⇒ ⇔

  

 + =   =

  − = 

 

 

 = + 

Phương trình tắc elip ( )

2

:

12

x y

E + = Chọn A

Câu 28 Elip có tiêu điểm F(−2;0) tích độ dài trục lớn với trục bé 12 Phương trình tắc elip là:

A 2

x y

+ = B

2

1 36 20

x y

+ = C

2

1 144

x y

+ = D

2

1 45 16

x y

+ = Lời giải Elip ( )E có tiêu điểm F(−2;0)→ =c

Elip ( )E có tích độ dài trục lớn với trục bé 12 5→2 2a b=12 5⇒ab=3

Ta có

2 2

2

3

3

5

4

a

b a

ab

b

a b c

b b

  = 

  =

 =  

 ⇔ ⇔

   

 − =    =

  

   − =     

Phương trình tắc elip ( )

2

:

9

x y

Câu 29 Lập phương trình tắc elip có độ dài trục lớn 26 tỉ số

tiêu cự với độ dài trục lớn 12

13 A 2

26 25

x y

+ = B

2

1 169 25

x y

+ = C

2

1 52 25

x y

+ = D

2

1 169

x y

+ = Lời giải Elip ( )E có độ dài trục lớn 26→2a=26⇒ =a 13

Elip ( )E có tỉ số tiêu cự với độ dài trục lớn 12 12 12 12

13 13 13

c

c a

a

→ = ⇒ = =

Do đó, 2

5

b= a −c =

Phương trình tắc elip ( )

2

:

169 25

x y

E + = Chọn B

Câu 30 Lập phương trình tắc elip có độ dài trục lớn 6 tỉ số

tiêu cự với độ dài trục lớn

3 A 2+

9

x y

= B

2

1

x y

+ = C

2

1

x y

+ = D

2

+

x y

= Lời giải Elip ( )E có độ dài trục lớn 6→2a= ⇒ =6 a

Elip ( )E có tỉ số tiêu cự với độ dài trục lớn 1

3 3

c

c a

a

→ = ⇒ = =

Do đó, 2

2

b= a −c =

Phương trình tắc elip ( )

2

:

9

x y

E + = Chọn A

Câu 31 Lập phương trình tắc elip có độ dài trục nhỏ 12 tỉ số

tiêu cự với độ dài trục lớn

5 A 2

36 25

x y

+ = B

2

1 25 36

x y

+ = C

2

1 64 36

x y

+ = D

2

1 100 36

x y

+ = Lời giải Gọi phương trình tắc elip ( )

2

2

:x y 1,

E

a +b = với a> >b

• Độ dài trục nhỏ elip 12 suy 2b=12⇔ =b

• Tiêu cự elip ,c độ dài trục lớn 2a suy tỉ số 4

5

c

c a

a= ⇔ =

Mặt khác 2 2 62 16 36 100.

25 25

a −b =c ⇔a − = a ⇔ a = ⇔a =

Vậy phương trình cần tìm ( )

2

:

100 36

x y

E + = Chọn D

Câu 32 Elip có tổng độ dài hai trục 18 tỉ số tiêu cự với độ dài trục lớn

bằng

5 Phương trình tắc elip là: A 2

25 16

x y

+ = B

2

1

x y

+ = C

2

1 25

x y

+ = D

2

1

x y

+ = Lời giải Gọi phương trình tắc elip ( )

2

2

:x y 1,

E

a +b = với a> >b

• Tiêu cự elip ,c độ dài trục lớn 2a suy tỉ số 3

5

c

c a

a= ⇔ =

Mà 2

a −b =c suy (9 )2 5

25

a − −a = a ⇔ =a (a=45 loại b= −9 45= −36<0)

Vậy phương trình cần tìm ( )

2

:

25 16

x y

E + = Chọn A

Câu 33 Elip có tổng độ dài hai trục 10 tỉ số tiêu cự với độ dài trục lớn

bằng

3 Phương trình tắc elip là:

A 2 25 16

x y

+ = B

2

1

x y

+ = C

2

1 25

x y

+ = D

2

1

x y

+ = Lời giải Gọi phương trình tắc elip ( )

2

2

:x y 1,

E

a +b = với a> >b

• Tổng độ dài hai trục elip 2a+2b=10⇔ + = ⇔ = − >a b b a

• Tiêu cự elip ,c độ dài trục lớn 2a suy tỉ số 5

3

c

c a

a= ⇔ =

Mà 2

a −b =c suy (5 )2 3

9

a − −a = a ⇔ =a (a=15 loại b= −5 15= −10<0)

Vậy phương trình cần tìm ( )

2

:

9

x y

E + = Chọn D

Câu 34 Lập phương trình tắc elip, biết elip qua hai điểm A(7;0) (0;3)

B

A 2 40

x y

+ = B

2

1 16

x y

+ = C

2

1 49

x y

+ = D

2

1 49

x y

+ = Lời giải Gọi phương trình tắc elip ( )E :x22 y22 1,

a +b = với a> >b

• Elip qua điểm A(7;0) suy

2

7

1 a 49

a = ⇔ =

• Elip qua điểm B(0;3) suy

2

3

1 b

b = ⇔ =

Vậy phương trình cần tìm ( )

2

:

49

x y

E + = Chọn D

Câu 35 Elip qua điểm M(0;3) 3; 12

N −  

  có phương trình tắc là:

A 2 16

x y

+ = B

2

1 25

x y

+ = C

2

1 25

x y

+ = D

2

1 25

x y

− = Lời giải Gọi phương trình tắc elip ( )E :x22 y22 1,

a +b = với a> >b

• Elip qua điểm M(0;3) suy

2

2

2

0

1 b

a +b = ⇔ =

• Elip qua điểm 3; 12

5

N −  

  suy

2

2

2 2

12

3 144

1 25

25 a

a b a b

 

− 

 

 

Vậy phương trình cần tìm ( )

2

:

25

x y

E + = Chọn B

Câu 36 Elip qua điểm A(0;1) 1;

N  

  có phương trình tắc là:

A 2

16

x y

+ = B

2

1

8

x y

+ = C

2

1

4

x y

+ = D

2

1

2

x y

+ =

Lời giải Gọi phương trình tắc elip ( )

2

2

:x y 1,

E

a +b = với a> >b

• Elip qua điểm A(0;1) suy

2

2

2

0

1 b

a +b = ⇔ =

• Elip qua điểm 1;

2

N  

  suy

2

2

2

2 2

3

1

1

4 a

a b a b

 

 

 

   

+ = ⇔ = − ⇔ =

Vậy phương trình cần tìm ( )

2

:

4

x y

E + = Chọn C

Câu 37 Tìm phương trình tắc elip có trục lớn gấp đơi trục bé qua điểm M(2; 2− )

A 2+

20

x y

= B

2

1

36

x y

+ = C

2

1

24

x y

+ = D

2

+

16

x y

=

Lời giải Gọi phương trình tắc elip ( )

2

2

:x y 1,

E

a +b = với a> >b

• Elip có độ dài trục lớn gấp đôi trục bé suy 2a=2.2b⇔ =a b

• Elip qua điểm M(2;−2) suy ( )

2

2 2

2

2 1

1

4

a b a b

−

+ = ⇔ + =

Do đó, ta có hệ phương trình

2

2

2 2

2

20

1 1 1

5

4 4

a b a b

a b

a b b b



 =  =

  

   =

 ⇔ ⇔

  

 + =  + =  =

  

 

 

Vậy phương trình cần tìm ( ): 2

20

x y

E + = Chọn A

Câu 38 Tìm phương trình tắc elip, biết elip có tiêu cự 6 qua

(5;0)

A

A. 2

25 16

x y

− = B

2

+

25 16

x y

= C

2

+

25

x y

= D

2

+

100 81

x y

=

Lời giải Gọi phương trình tắc elip ( )

2

2

:x y 1,

E

a +b = với a> >b

• Elip có tiêu cự suy 2 6 3 2 9.

c= ⇔ = ⇔c a −b =c =

• Elip qua điểm A(5;0) suy

2

2

2

5

1 a 25

a +b = ⇔ =

Do đó, ta có hệ phương trình

2 2

2

9 25

25 16

a b a

a b

 

 − =  =

 ⇔

 

 =  =

 

 

Vậy phương trình cần tìm ( )

2

:

25 16

x y

Câu 39 Tìm phương trình tắc elip, biết elip có tiêu cự 2 qua (2;1)

A

A 2+

6

x y

= B

2

1

8

x y

+ = C

2

1

8

x y

+ = D

2

+

9

x y

=

Lời giải Gọi phương trình tắc elip ( )

2

2

:x y 1,

E

a +b = với a> >b

• Elip có tiêu cự suy 2 2 3 3 2 3

c= ⇔ =c ⇔a −b =c = ( )1

• Elip qua điểm A(2;1) suy

2

2 2

2

1

a +b = ⇔a +b = ( )2 Từ ( ) ( )1 , suy

2

2

2 2

4 2

2

2

3

3

4

4

1

1 3

3

a b

a b

a b a

b b b

b b

a b



 

 − =  = +  

   = +  =

 ⇔ ⇔ ⇔

   

 + =  + =  − − =  =

   

  +

 

Vậy phương trình cần tìm ( )

2

:

6

x y

E + = Chọn A

Câu 40 Tìm phương trình tắc elip, biết elip có tiêu cự 8 qua điểm M( 15; 1− )

A 2

12

x y

+ = B

2

1

16

x y

+ = C

2

1

18

x y

+ = D

2

1

20

x y

+ =

Lời giải Gọi phương trình tắc elip ( )

2

2

:x y 1,

E

a +b = với a> >b

• Elip có tiêu cự suy 2 8 4 2 16

c= ⇔ =c ⇔a −b =c = ( )1

• Elip qua điểm M( 15; 1− ) suy ( ) ( )

2

2

2 2

15 1 15 1

1

a b a b

−

+ = ⇔ + = ( )2

Từ ( ) ( )1 , suy

2

2

2 2

4

2

2

16 16

16 20

15

15

1

1 16

16

a b

a b

a b a

b b

b b

a b



 

 − =  = +  

   = +  =

 ⇔ ⇔ ⇔

   

 + =  + =  =  =

   

  +

 

Vậy phương trình cần tìm ( ): 2

20

x y

E + = Chọn D

Câu 41 Elip qua điểm 2;5

M  có tiêu điểm F(−2;0) Phương trình tắc

của elip là: A 2

9

x y

+ = B

2

1

9

x y

+ = C

2

1

25 16

x y

+ = D

2

1

25

x y

+ =

Lời giải Gọi phương trình tắc elip ( )

2

2

:x y 1,

E

a +b = với a> >b

• Elip có tiêu điểm F(−2;0) suy 2 2 2 4

c= ⇔a =b +c =b + ( )1

• Elip qua điểm 2;5

3

M  suy

2

2 2

5

2 25

1

9

a b a b

       

+ = ⇔ + = ( )2

Từ ( ) ( )1 , suy

2

2

2

2

2

4

9

4 25

4 25

1

1

4

9

a b

a b

a b

b b

a b



 

 = +  = + 

   =

 ⇔ ⇔

  

 + =  + =  =

  

  +

Vậy phương trình cần tìm ( )

2

:

9

x y

E + = Chọn A

Câu 42 Phương trình tắc elip có hai tiêu điểm F1(−2;0 , ) F2(2;0) qua

điểm M(2;3) là:

A 2

16 12

x y

+ = B

2

1

16

x y

+ = C

2

1

16

x y

+ = D

2

1

16

x y

+ =

Lời giải Gọi phương trình tắc elip ( )

2

2

:x y 1,

E

a +b = với a> >b

• Elip có hai tiêu điểm F1(−2;0 ,) F2(2;0)⇒

2 2

2

c= ⇔a =b +c =b + ( )1

• Elip qua điểm M(2;3) suy

2

2 2

2

1

a +b = ⇔a +b = ( )2

Từ ( ) ( )1 , suy

2

2

2 2

4 2

2

2

4

4 16

4

4

1

1 36 12

4

a b

a b

a b a

b b b

b b

a b



 

 = +  = +  

   = +  =

 ⇔ ⇔ ⇔

   

 + =  + =  − − =  =

   

  +

 

Vậy phương trình cần tìm ( )

2

:

16 12

x y

E + = Chọn A

Câu 43 Tìm phương trình tắc elip qua điểm A(6;0) tỉ số

tiêu cự với độ dài trục lớn

2

A 2+

36 27

x y

= B

2

1

6

x y

+ = C

2

+

36 18

x y

= D

2

+

6

x y

=

Lời giải Gọi phương trình tắc elip ( )

2

2

:x y 1,

E

a +b = với a> >b

• Elip qua điểm A(6;0) suy

2

2

2

6

1 a 36

a +b = ⇔ =

• Tỉ số tiêu cực với độ dài trục lớn

2 suy

2

2 1

2 2

c c a

c

a= ⇔a= ⇔ =

Kết hợp với điều kiện 2

,

b =a −c ta

2

2 3

.36 27

4 4

a

b =a − = a = =

Vậy phương trình cần tìm ( )

2

:

36 27

x y

E + = Chọn A

Câu 44 Tìm phương trình tắc elip qua điểm 2;

N −  

  tỉ số

của tiêu cự với độ dài trục lớn

3

A 2

9

x y

+ = B

2

1

9

x y

+ = C

2

1

9

x y

+ = D

2

1

9

x y

+ =

Lời giải Gọi phương trình tắc elip ( )

2

2

:x y 1,

E

a +b = với a> >b

• Elip qua điểm 2;

3

N −  

  suy ( )

2

2 2

5

2 25

1 1

9

a b a b

  − 

 

 

• Tỉ số tiêu cực với độ dài trục lớn

3 suy

2

2 2

2 3

c c

c a

a= ⇔a= ⇔ =

Kết hợp với điều kiện 2

,

b =a −c ta 2 9 5 ( )2

9

b =a − a = a ⇔ b = a

Từ ( ) ( )1 , suy

2

2 2 2

2

2 2 2

4 25 25

1 1

9

5

9 9

a

a b a a a

b

b a b a b a

  

   

 + =  + =  =  =

  

 ⇔ ⇔ ⇔

   

    =

 =  =  = 

  

  

  

Vậy phương trình cần tìm ( ): 2

9

x y

E + = Chọn B

Câu 45 Tìm phương trình tắc elip qua điểm A(2; 3) tỉ số

độ dài trục lớn với tiêu cự

3

A 2

16

x y

+ = B

2

1

4

x y

+ = C

2

1

3

x y

+ = D

2

1

4 16

x y

+ =

Lời giải Gọi phương trình tắc elip ( )

2

2

:x y 1,

E

a +b = với a> >b

• Elip qua điểm A(2; 3) suy ( ) ( )

2

2 2

3

2

1 1

a + b = ⇔a +b =

• Tỉ số độ dài trục lớn với tiêu cự

3 suy

2

2

2

a

c a

c = ⇔ =

Kết hợp với điều kiện 2 2,

b =a −c ta ( )

2

2 2 4 2

4

a

b =a − a = ⇔a = b

Từ ( ) ( )1 , suy

2

2 2 2

2

2 2 2

4 4

1 1 16

4

4 4

a

a b b b b

b

a b a b a b

  

   

 + =  + =  =  =

  

 ⇔ ⇔ ⇔

   

    =

 =  =  = 

  

  

  

Vậy phương trình cần tìm ( )

2

:

16

x y

E + = Chọn A

Vấn đề CÂU HỎI VẬN DỤNG Câu 46 Cho elip ( )

2

2

:x y

E

a +b = với a> >b Gọi 2c tiêu cự ( )E Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng?

A 2 2.

c =a +b B 2 2.

b =a +c C 2 2.

a =b +c D c= +a b

Lời giải. Ta có 2 2 2

= − ←→ = +

c a b a b c Chọn C

Câu 47 Cho elip có hai tiêu điểm F1, F2 có độ dài trục lớn 2a Trong

mệnh đề sau, mệnh đề đúng?

A 2a=F F1 2 B 2a>F F1 2 C 2a<F F1 2 D 4a=F F1 2

Lời giải. Ta có a> ←c →2a>2c

Câu 48 Cho elip ( )

2

:

25

x y

E + = Hai điểm A B, hai đỉnh elip nằm

trên hai trục Ox, Oy Khi độ dài đoạn thẳng AB bằng:

A.34 B 34 C 5 D 136

Lời giải.

Ta có

25

= → =

a a

9

= → =

b b

Tam giác OAB vng, có 2

34

= + =

AB OA OB

Vậy AB= 34 Chọn B

Câu 49 Một elip ( )E có trục lớn dài gấp lần trục nhỏ Tỉ số e tiêu cự với độ dài

trục lớn bằng: A

3

e= B

3

e= C

3

e= D 2

3

e=

Lời giải. Ta có

1 2=3 → =3

A A B B a b

( )

2 2 2

9 9

→a = b = a −c → c = a

2

8 2

9

→c = →c=

a a

Vậy 2

3

=

e Chọn D

Câu 50 Một elip ( )E có khoảng cách hai đỉnh gấp

2 lần tiêu cự

của Tỉ số e tiêu cự với độ dài trục lớn bằng:

A 5

e= B

5

e= C

5

e= D

5

e=

Ta có 2

3

3

= → + =

AB F F a b c

( )

2 2 2 2 2

9 10

→a +b = c →a + a −c = c → a = c

2

2

1

5

→c = → =c

a a

Vậy

5

=

e Chọn A

Câu 51 Cho điểm M(2;3) nằm đường elip ( )E có phương trình tắc:

2

2

x y

a +b = Trong điểm sau điểm không nằm ( )E :

A M1(−2;3 ) B M2(2; − ) C M3(− −2; ) D M4(3;2 )

Lời giải. Ta có điểm M đối xứng qua Ox có tọa độ (2; − ) Điểm M đối xứng qua Oy có tọa độ (−2;3 )

Điểm M đối xứng qua gốc tọa độ O có tọa độ (− −2; ) Chọn D Câu 52 Cho elip ( )

2

2

:x y

E

a +b = Khẳng định sau đúng?

A ( )E trục đối xứng

B ( )E có trục đối xứng trục hoành

C ( )E có hai trục đối xứng trục hồnh trục tung

D ( )E có vơ số trục đối xứng

Lời giải. Ta có ( )E có hai trục đối xứng trục hoành trục tung Chọn C Câu 53 Cho elip ( )

2

2

:x y

E

a +b = Khẳng định sau đúng?

A ( )E khơng có tâm đối xứng

B ( )E có tâm đối xứng

C ( )E có hai tâm đối xứng D ( )E có vơ số tâm đối xứng

Lời giải. Ta có ( )E có tâm đối xứng gốc tọa độ O Chọn B

Câu 54 Elip ( )E có độ dài trục bé tiêu cự Tỉ số e tiêu cự với độ dài trục lớn

của ( )E bằng:

A e=1 B e= C

e= D

3

e=

Lời giải. Ta có

1 2= 2←→ =

B B F F b c

( )

2 2 2

→b =c → a −c =c

2

1

2

→c = →c=

a a

Vậy

2

=

Câu 55 Elip ( )E có hai đỉnh trục nhỏ với hai tiêu điểm tạo thành hình vng Tỉ số e tiêu cự với độ dài trục lớn ( )E bằng:

A e=1 B e= C

e= D

3

e=

Lời giải. Ta có

1 90

2

= → =F F → =

F B F OB b c

( )

2 2 2

→b =c → a −c =c

2

1

2

→c = →c=

a a

Vậy

2

=

e Chọn C

Câu 56 Elip ( )E có độ dài trục lớn 2, đỉnh trục nhỏ tiêu

điểm elip nằm đường tròn Độ dài trục nhỏ ( )E bằng:

A 2 B 4 C 8 D 16

Lời giải.

Ta có

1 2=4 2→ =2

A A a bốn điểm

1, 1, 2,

F B F B nằm đường tròn

2

→ = b c →b =c

2 2

2

→b =a −b → =b a =

Vậy độ dài trục nhỏ ( )E 4.Chọn B.

Câu 57 Cho elip ( )

2

16

:

9

x y

E + = M điểm tùy ý ( )E Khi đó:

A 3≤OM ≤4 B 4≤OM ≤5 C OM ≥5 D OM ≤3 Lời giải. Ta có

16

= → =

a a

9

= → =

b b

Mà OB≤OM≤OA←→ ≤3 OM ≤4 Chọn A

Câu 58 Cho elip ( )

2

: +

169 144

x y

E = điểm M nằm ( )E Nếu M có hồnh độ

bằng −13 khoảng cách từ M đến hai tiêu điểm bằng:

A 10 B 18 C 13 ± D 13 ± 10

Lời giải. Ta có

169 13

= → =

a a , b2 =144→ =b 12 c2= a2−b2 =5

Tọa độ hai tiêu điểm F1(−5; ,) F2(5; 0)

1 8, 18

→MF = MF = Chọn B

Câu 59 Cho elip ( )

2

: +

16 12

x y

E = điểm M nằm ( )E Nếu M có hồnh độ

bằng khoảng cách từ M đến hai tiêu điểm bằng:

A 3,5 4,5 B 3 C 4± D 4 2

±

Lời giải. Ta có

16

= → =

a a , b2=12→ =b c2= a2−b2 =2

Tọa độ hai tiêu điểm F1(−2; ,) F2(2; 0)

M có hồnh độ

2

→ = ±y Do tính đối xứng ( )E nên chọn

3

1;

2

 

 

 

 

 

M

1

9

,

2

→MF = MF = Chọn A

Câu 60 Cho elip có phương trình 16 25 100

x + y = Tính tổng khoảng cách từ điểm

M thuộc elip có hồnh độ đến hai tiêu điểm

A B 2 C 5 D 4

Lời giải. Ta có

2

2

16 25 100

25

4

+ = ←→ x +y =

x y

2

2 25

4

= → =

a a ,

4

= → =

b b

1+ 2=2 =5

MF MF a Chọn C

Câu 61 Cho elip ( ): 2

100 36

x y

E + = Qua tiêu điểm ( )E dựng đường thẳng

song song với trục Oy cắt ( )E hai điểm M N Tính độ dài MN

A 64

5 B

36

5 C 25 D

25

Lời giải Xét ( )

2

2

2 2

2 100

: 100 36 64

100 36 36

a

x y

E c a b

b

 = 

+ = ⇒ ⇔ = − = − =

= 

Khi đó, elip có tiêu điểm F1(−8;0)⇒ đường thẳng d//Oy qua F1 x= −8

Giao điểm d ( )E nghiệm hệ phương trình 2

8

24

5

100 36

x x

x y

y

 = −  = −

 

 

 

 ⇔

 

 + =  = ±

 

 



Vậy tọa độ hai điểm 8;24 , 8; 24

5

M−  N− − ⇒MN =

Câu 62 Cho ( )

2

:

20 16

x y

E + = Một đường thẳng qua điểm A(2;2) song song với

trục hoành cắt ( )E hai điểm phân biệt M N Tính độ dài MN

Lời giải Phương trình đường thẳng d qua điểm A(2;2) song song trục hồnh

có phương trình y=2

Ta có ( ) ( )

( )

2

2

2

2

2 15;2

2

15

20 16

15

1 15;2

2 20 16 15

y y

x y y M

d E x x

x N

y x

 = 

  = 

   

 + =   =  

   

    

∩ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ = ⇒

=

+ = −

 =    

   

  = −

  

Vậy độ dài đoạn thẳng MN=2 15 Chọn C

Câu 63 Dây cung elip ( )

2

2

:x y

E

a +b = (0< <b a) vng góc với trục lớn tiêu điểm có độ dài bằng:

A 2c2

a B

2 2b

a C

2 2a

c D

2

a

c

Lời giải Hai tiêu điểm có tọa độ F1(−c;0 ,) F c2( ;0 )

Đường thẳng chứa dây cung vng góc với trục lớn (trục hồnh ) tiêu điểm F có

phương trình ∆:x=c

Suy ( ) ( )

2

2 2

2 2

2

2 2

1

1

x c

x c x c

x y

E a b c y b a c b y b

y

x c a b a a a

 =

  =   =

   

 + =   

  

   

∆ ∩ ⇔ ⇔ ⇔ − ⇔

+ = = = = ±

 =   

   

  

  

Vậy tọa độ giao điểm ∆ ( )E

2 2

;b , ; b b

M c N c MN

a a a

   

   − ⇒ =

   

   

 

    Chọn B

Câu 64 Đường thẳng d: 3x+4y−12=0 cắt elip ( )

2

:

16

x y

E + = hai điểm phân

biệt M N Khi độ dài đoạn thẳng MN bằng:

A 3 B 4 C 5 D 25

Lời giải Tọa độ giao điểm đường thẳng d ( )E nghiệm hệ

2

2

2

3

3 12

3

3

4

4

16

1

16

x y

x y x

y

x y x

x x

x

  = − 

 + − =  

  

   = −

 

 ⇔ ⇔

    

 + =   −  

     − =

    

 

  + =

 

3

4

x y

x x

  = −   ⇔  =

 =  

Vậy tọa độ giao điểm ( )

( )

0;3

5 4;0

M

MN N



 ⇒ =



 Chọn C

Câu 65 Giá trị m để đường thẳng ∆:x−2y+m=0 cắt elip ( )

2

:

4

x y

E + =

hai điểm phân biệt là:

( )2 ( )

4 2

2

2

2

2

8 4

1

4

x y m

x y m

x y m

x y y m y y my m

 = −  − + = 

  

   = −

 ⇔ ⇔

  − 

 + =  + =  − + − = ∗

  

 

 

Hai đồ thị có hai giao điểm phân biệt ( )∗ có hai nghiệm phân biệt

Suy ( ) 0 4 8( 4) 0 8 2 2 2 2.

m m m m

∗

′